44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε"

Transcript

1 Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και να προσδιορίζει τις διάφορες μορφές της εξίσωσης ευθείας Να μπορεί να γράφει το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(x, y ) και που αποτελείται από την κατακόρυφη ευθεία x=x και τις κατακόρυφες ευθείες ( ) y y = λ x x, λ R Την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία A( x,y ) και B( x,y ) x x, που δίνεται από τον τύπο y y = ( x x ) y y x x, με, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σημείο και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης Να αντιμετωπίζει το πρόβλημα της συγγραμμικότητας τριών σημείων διανυσματικά ή εξετάζοντας αν η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα δύο σημεία επαληθεύεται και από τις συντεταγμένες του τρίτου σημείου Να προσδιορίζει τη γωνία δύο ευθειών με τον προσδιορισμό της γωνίας αντίστοιχων παράλληλων διανυσμάτων

2 44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ( ) ε:y y =λ x x Α και έχει β Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α ( x,y) και Β( x,y) x με y y y y x είναι: ε: y y = ( x x), όπου = λε = λ x x x x ή x = x αν x = x γ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (, β) είναι ε: y = λx + β, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) δ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Ο(, ) και δεν είναι ο άξονας y y είναι: ε: y = λx ε Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α ( x, ) και είναι παράλληλη στον άξονα x x είναι: ε :y= y ο y ο ΑΒ στ Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α ( x, ) και είναι παράλληλη στον άξονα y y είναι: ε :x= x ο y ο Η ΕΞΙΣΩΣΗ Ax + By + Γ=, με Α η Β Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής: Ax + By +Γ=, µε Α ηβ () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία γραμμή Παρατηρήσεις: Αν Β τότε: Α α Η ευθεία με εξίσωση () έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ = Β β Η ευθεία με εξίσωση () είναι παράλληλη στο μη μηδενικό διάνυσμα δ = ( Β, Α ) ή στο (, ) δ = Β Α = γ Η ευθεία με εξίσωση () είναι κάθετη στο μη μηδενικό διάνυσμα k ( A,B)

3 Τύποι - Βασικές έννοιες Ευθεία 45 Απόσταση σημείου απο ευθεία Η απόσταση d ενός σημείου Μ (x,y ) από μία ευθεία με εξίσωση: δίνεται από τον τύπο: Ax + By +Γ=, Α+Β Α x + By +Γ d = d(m, ε ) = Α +Β Εμβαδόν τριγώνου Αν είναι γνωστές οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ, το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο: (ABΓ) = det(αβ,αγ) όπου det( ΑΒ, ΑΓ ) είναι η ορίζουσα των συντεταγμένων των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ Ισοδύναμα ισχύει: (AB Γ ) = det( ΒΑ, ΒΓ) = det( ΓΑ, ΓΒ )

4 46 Ευθεία Βήμα ο : µ µ, µ µ µ µ µ x x, µ : µ µ, y y x x = =+ : µ y y µ A( x, y) B ( x, y ), µ x x x x A x, y ) B x, y ) µ ( (

5 Βήμα ο Ευθεία 47 µ µ- y - y AB ( x - x, y - y), µ x - x 3 Oxy µ µ A( x, y ) µ - µ µ µ Oxy A x, y ) ( µ y µ µ - µ M ( x, y) A x, y ), µ, ( (x,y ) M(x,y) x µ AM, µ, - µ AM AM x x, y ), µ ( y y y AM x x µ, µ M ( x, y), µ, : y y x x y y x ) ( x µ A x, y ) - : y y ( x ) x (

6 48 Ευθεία Βήμα ο 4 Oxy µ µ A( x, y) B( x, y ) µ µ A x, y ) B x, y ) ( ( - µ A( x, y) B ( x, y ) x x, y y µ x x ( x x y y ) : y y y y ( x ) x x x y B(x,y ) (x,y ) x x x x, - µ A x, y ) µ, µ ( µµ x : x x 5 : µ Ax By µ A B (), µ () µµ µ µ yy µ (, ), y x, x( ) y µ Px (, y ), x x, µ :

7 Βήμα ο Ευθεία 49 xy( x ) µ,, µ y P(x,y ) Ax By µ A B, x Ax By µ A B A B, y B x, - B µ A B µ yy µ, B B,,, A x, A µ P, A xx - Ax By µ A B -

8 5 Ευθεία Βήμα ο Α Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 3 : Α Ομάδα: 3, 7 Β Ομάδα:, 3, 5 Α Ομάδα: 4, 5, 6 Β Ομάδα:,, 4, 6 3 Α Ομάδα: 6, 8, 9, Β Ομάδα:, 3, 4, 8, Γενικές ασκήσεις:,, 6 ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

9 Βήμα 3 ο Ευθεία 5 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Η ορθόκεντρό του Αν είναι Α(, ), Β(3,4) και Η(,), να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ Λύση: 4+ λab = = 5 3, άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: ( ) y 5 x 5x y + = = Επειδή xa = xh =, η ΑΔ έχει εξίσωση: x = Επειδή BΓ ΑΔ και η ΒΓ διέρχεται από το Β(3,4), η ΒΓ έχει εξίσωση: y= 4 4 λ = =, οπότε λ λ = λ =, άρα η ΑΓ έχει εξίσωση: 3 Είναι ΒΗ ΒΗ ΑΓ ΑΓ y+ = ( x ) y+ = x+ x+ y= Για να βρούμε τις συντεταγμένες του Γ λύνουμε το σύστημα: y= 4 y= 4 y= 4 x+ y= x = y x = 8 Άρα Γ( 8,4) Δίνεται η εξίσωση: ( λ ) x+ ( λ 3) y + 3λ + 6 = (), λ R i Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ η () παριστάνει ευθεία γραμμή ii Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την () διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Λύση: i H () είναι εξίσωση της μορφής Αx + By + Γ = με Α=λ και Β=λ 3

10 5 Ευθεία Βήμα 3 ο Επειδή το σύστημα: λ = λ = λ 3= λ= 3 λ R ώστε να είναι συγχρόνως Α = και Β = Επομένως η () είναι εξίσωση ευθείας για κάθε λ R ii Για λ = η () γίνεται: + = ( ) x 3y 6 : ε = η () γίνεται: + = ( ) Για λ x y 9 : ε Βρίσκουμε το σημείο τομής των ε και ε : είναι αδύνατο άρα δεν υπάρχει x 3y+ 6= 5y+ 5= y= 3 y= 3,x = 3 x y+ 9= x y+ 9= x ( 3) + 9= Άρα οι ευθείες (ε ) και (ε ) τέμνονται στο σημείο Μ( 3,3) Το σημείο Μ( 3,3) επαληθεύει την () αφού: 3λ ( ) + 3( λ 3) + 3λ+ 6= 6λ+ 3+ 3λ 9+ 3λ+ 6= = Άρα όλες οι ευθείες της εξίσωσης () διέρχονται από το σταθερό σημείο Μ( 3,3) 3 Οι δύο πλευρές ορθογωνίου παρ/μου ΑΒΓΔ έχουν εξισώσεις: x+ y+ 3= και x y = και η μία κορυφή του Α(4,) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του ορθογωνίου καθώς και του σημείου τομής των διαγωνίων του Λύση: Το σημείο Α(4,) δεν επαληθεύει τις δοθείσες εξισώσεις άρα πρόκειται για τις εξισώσεις των πλευρών ΒΓ και ΓΔ Έστω ΓΔ : x + y + 3 = () και BΓ:x y = ( ) Οι συντεταγμένες του Γ είναι η λύση του συστήματος του () και () Έχουμε: ΓΔ : x + y + 3 = x = ΒΓ : x y = y = λ = = λ ( ΓΔ//ΑΒ) ΓΔ ΑΒ Άρα Γ(, ) Άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: y = ( x 4) x+ y 6= Οι συντεταγμένες του Β δίνονται από τη λύση του συστήματος: x+ y 6= x y =

11 Βήμα 3 ο Ευθεία 53 Έχουμε: 7 x = x+ y 6= x y = 5 y = λ = = λ ( AΔ//ΒΓ) ΒΓ ΑΔ Άρα 7 5 B, Άρα η εξίσωση της ΑΔ είναι: ( ) y x 4 x y = = Οι συντεταγμένες του Δ δίνονται από την επίλυση του (Σ): x y = x+ y+ 3= x = x y = Έχουμε: Άρα x+ y+ 3= 5 y = 5 Δ, Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το μέσο τους Το μέσο της ΒΔ είναι: Κ, 3 ή Κ, 4 Δίνεται η εξίσωση: x y + 8x+ 6= i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (η) και (θ) ii Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (η) και (θ) είναι κάθετες iii Να βρείτε σημείο Κ(α,β), α > και β > τέτοιο ώστε το διάνυσμα δ = ( 4,α) να είναι παράλληλο προς μία από τις δύο ευθείες (η) και (θ) και δ = 8,β να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία Λύση: το διάνυσμα ( ) iv Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που διέρχεται από το σημείο Κ και το κέντρο του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ο(,) i ( ) ( ) x y + 8x + 6 = x + 8x + 6 y = x + 4 y = ( x+ 4 y)( x+ 4+ y) = x+ 4 y= ήx+ 4+ y= Άρα οι ευθείες είναι οι ( η:x ) y+ 4= και () θ :x+ y+ 4=

12 54 Ευθεία Βήμα 3 ο λη = = η θ = λθ = = α α δ = 4,α και λ = Έχουμε: δ δ//η λ = λ δ η = α= ii λ λ ( η) () θ iii ( ) δ = 8,β ( ) και λ β β = = 8 4 δ β Έχουμε: δ //θ λ = λ δ θ = β= 4 4 iv Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε: ρ= ΚΟ ή ρ= ρ= 3 ρ= 4 Άρα Κ4,4 ( ) Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι: ( ) x + y = 4 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου γνωρίζουμε: την εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ: 3x + y = την εξίσωση του ύψους ΒΕ: x y= 6 την εξίσωση της διάμεσου ΒΣ: 3x 3y = 8 Να βρείτε: α Τις συντεταγμένες της κορυφής Β β Το συμμετρικό του Β ως προς την ΑΔ έστω Μ γ Την εξίσωση της ΑΓ δ Τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ Λύση: α Οι συντεταγμένες της κορυφής B δίνονται από την λύση του συστήματος: x y = 6 3x 3y = 8 x y = 6 Έχουμε: 3x 3y = 8 β Εύρεση της εξίσωσης της ΒΜ x = y = 7 Άρα B(, 7) BM AΔ λβμλαδ λβμ ( 3) = = λ ΒΜ = άρα η εξίσωση της ΒΜ εί- 3

13 Βήμα 3 ο Ευθεία 55 ναι y+ 7 = ( x+ ) 3y + = x + x + 3y + = 3 Για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου Ν του ΒΜ λύνουμε το σύστημα: x+ 3y = 3x + 9y = 6 y = 5 y = 5 3x + y = 3x + y = x = 3y +, άρα Ν(5,-5) x = 5 Εύρεση των συντεταγμενων του Μ α β 7 Αν Μ(α,β) τότε το μέσο του ΒΜ γράφεται και N,,όμως Ν(5,-5),οπό- τε α = 5 και β 7 = 5 α = και β = 3, άρα Μ(,-3) γ Επειδή ΑΔ διχοτόμος και Μ το συμμετρικό του Β ως προς την ΑΔ (γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία) το Μ βρίσκεται πάνω στην ΑΓ Ισχύει ΒΕ ΑΓ άρα : λαγλβε = λαγ= λαγ = Η εξίσωση της ΑΓ είναι: y+ 3= ( x ) y= x+ 8 δ Οι συντεταγμένες του Α βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος: 3x + y = 3x + y = x = x = x + y = 8 x y = 8 y = 8 x y = 7 άρα Α(,7) Το Γ ανήκει στην ΑΓ: y= x+8, άρα θα είναι της μορφής Γ(α,-α+8) οπότε το μέσο Σ της ΑΓ είναι το οπότε: Οπότε : α+ α+ 5 Σ, Το Σ ανήκει και στην ΒΣ :3x 3y 8 = α+ 5 α 3 3 = 8 3α α = 6 6α = 48 α = 3 Γ(3,5) 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(,3), υ α :3x 5y + 6= και μ α :x y + = Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του Λύση Για την εύρεση των συντεταγμένων του Α λύνουμε το σύστημα: 3x 5y = 6 3x 5y = 6 8y = y = x y = 3x + 33y = 6 x = + y x =, άρα Α(-,)

14 56 Ευθεία Βήμα 3 ο Εύρεση της εξίσωσης της ΑΓ Ισχύει λ ΑΓ 3 3 = = 4 ( ) Εύρεση της εξίσωσης της ΒΓ Ισχύει: 3 = + 4 άρα AΓ: y ( x ) 3 υ α ΒΓ λυ λ = α ΒΓ λβγ 5 = λ 5 ΒΓ 3 Εύρεση των συντεταγμένων του Β Το Β ανήκει στην ΒΓ άρα θα είναι της μορφής 5α+ 9 B α, οπότε το μέσο της ΒΓ θα είναι το 3 α+ 8 5α Μ, 6 μ α :x y + = οπότε: α+ 8 5α 6 το οποίο ανήκει στην + = ( ) ( ) 3 α + 8 5α + = 3α α+ = 58α = 9 α = 5 άρα Β(5,-) Εύρεση της εξίσωσης της ΑΒ Ισχύει λ ΑΒ = = 5 7 ( ) = + 7, άρα AB : y ( x ) 5 = 3 = άρα ΒΓ : y 3 ( x ) 7 Δίνονται οι ευθείες: ( ε ) :y = x 3 και ( ) ε :y + x+ 3= α Βρείτε την ευθεία (δ) που περνάει από το Μ(3, ) και τέμνει τις ε, ε στα Α, Β αντίστοιχα ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ β Αν Γ το κοινό σημείο των ε, ε βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓ Λύση: α Εύρεση της εξίσωσης ΑΒ Το Α ανήκει στην ε :y = x 3 άρα θα είναι την μορφής Α(α,α 3) Το Β ανήκει στην ε :y = x 3, άρα θα είναι την μορφής Β(β, β 3) οπότε το μέσο του

15 Βήμα 3 ο Ευθεία 57 α β α β 6 ΑΒ θα είναι το + Μ, όμως μας δίνεται ότι το Μ είναι Μ (3, ) άρα: α+ β = 3 α+ β = 6 3α = α = 4, οπότε: Α(4, 5), Β(, 5) α β 6 α β = 6 β = α 6 β = = ( ) 5 5 και λαβ = = = 5 4 β Για την εύρεση των συντεταγμένων του Γ λύνουμε το σύστημα: ε :y= x 3, που έχει λύση ε :y= x 3 Έυρεση του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ AΓ = 4, 8 AB =, Ισχύουν ( ) και ( ), άρα η ΑΒ έχει εξίσωση: y= 5( x 3) y= 5x 5 x = y = 3, οπότε Γ(, -3) οπότε: 4 8 ABΓ = det AΓ,ΑΒ = = = 4 6 = τμ ( ) ( ) ( ) 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β(, -3) και Γ(4, ) ενω η κορυφή Α κινείται στην ευθεία ε:x y+ = και Μ το μέσο της διαμέσου ΑΔ α Δείξτε ότι το Μ κινείται σε ευθεία (δ) παράλληλη στην (ε) β Βρείτε την απόσταση του Μ από την (ε) γ Αν (ΑΒΓ) = τμ βρείτε το Μ Λύση α Το Α ανήκει στην ευθεία ε:y= x+ άρα θα είναι της μορφής Α(α, α+), α R ενω το μέσο Δ της ΒΓ είναι το Δ = 3, = άρα το μέσο της ΑΔ α+ 3 α+ είναι το Μ, α+ 3 x = α x 3 Αν τώρα M(x, y) τότε = άρα το Μ κινείται στην ευθεία α+ α = y y = = = που βέβαια είναι παράλληλη με την (ε) ( λ = λ ) δ:x 3 y y x ε δ

16 58 Ευθεία Βήμα 3 ο β Ισχύει: d( M,ε) α+ 3 α+ + α+ 3 α = = = + ( ) γ Ισχύουν: BΓ = ( 4, ( 3) ) = (, 4) BA = ( α, α+ ( 3) ) = ( α, α+ 5) 4 det BΓ, BA = = α α = α + 8 α α+ 5 οπότε: ( ) ( ) ( ) όμως: ( ΑΒΓ) = α+ 8 = α 8 + = α+ 8= α = α = ή α+ 8= α = 38 α = 9 Άρα: Μ(,) ή Μ(,) 9 Δίνεται η εξίσωση (ε): ( λ ) x ( λ+ ) y + λ = i Δείξτε ότι για κάθε τιμή του λ R η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες που περνάνε από το ίδιο σημείο, το οποίο να βρείτε ii Βρείτε για ποια τιμή του λ η απόσταση του Α(, ) από την ευθεία (ε) είναι iii Βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον x x παράλληλη στον y y περνάει από το (, ) iv Αν λ, λ δύο τιμές του λ ώστε λ λ =, δείξτε ότι οι αντίστοιχες ευθείες ε, ε που προκύπτουν από την (ε) για τις τιμές λ, λ τέμνονται κάθετα Λύση: i Επειδή το σύστημα λ = λ = είναι αδύνατο, η εξίσωση (ε) παριστά- λ+ = λ = νει ευθεία για κάθε λ R ος τρόπος Για λ = παίρνουμε την ευθεία με εξίσωση ε: y = Για λ = παίρνουμε την ευθεία με εξίσωση δ: x = οι οποίες τέμνονται στο σημείο Κ(, ) Από το σημείο Κ διέρχονται και όλες οι 3 5

17 Βήμα 3 ο Ευθεία 59 άλλες ευθείες που παριστάνει η (ε), αφού οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την (ε) διότι : ( λ ) ( λ+ )+ λ = λ = =, που ισχύει ος τρόπος Έστω Κ( x,y ) το κοινό σημείο όλων των ευθειών με την πιο πάνω εξίσωση τότε: Για κάθε λ R ισχύει: ( ) ( ) λ x λ y λ + + = ( ) λx x λy y + λ = x y = x y = x = x y λ x y + = x + y = 4x + y = 4 y = Άρα Κ(,) ii Ισχύει: d( A,ε) ( ) ( ) 3 λ λ+ + λ 3 = = ( λ ) + ( λ+ ) λ+ 4 = 3 5λ + 5 3λ+ 4 = 3 λ + ( ) 7 3λ + 4 = 9 λ + 9λ + 4λ + 6 = 9λ + 9 λ = 4 iii Η (ε) παριστάνει ευθεία: i παράλληλη στον x x,αν και μόνον αν: ii παράλληλη στον y y,αν και μόνον αν: λ = λ = λ = λ+ λ λ λ λ = λ+ = λ = iii που περνάει από το Ο(,) αν: ( λ ) ( λ+ ) + λ = λ = iv Η ε έχει εξίσωση: ( ) ( ) και το διάνυσμα: ( ) λ x λ+ y + λ = δ = λ +, λ είναι παράλληλο στην ε Η (ε ) έχει εξίσωση: ( ) ( ) λ x λ + y + λ = και ένα διάνυσμα παράλ- δ = λ +,λ = = ληλο στην (ε ) είναι το ( ) Ισχύει: δ δ ( λ )( λ ) ( λ )( λ ) = 4λλ + λ+ λ + + λλ λ λ + 4 = = 5λ ( ) λ + 5= 5 + 5= Άρα δ δ οπότε και ε ε

18 6 Ευθεία Βήμα 3 ο Δίνονται οι εξισώσεις: i λx y λ+ x λ y + 4= + = ii ( ) ( ) α Δείξτε ότι και οι δύο εξισώσεις παριστάνουν ευθεία για κάθε τιμή του λ R β Βρείτε για ποιες τιμές των λ η ευθεία με εξίσωση την i είναι παράλληλη στην ευθεία: ζ :4x y + 3= γ Βρείτε για ποιες τιμές των λ η ευθεία με εξίσωση την ii είναι κάθετη στην ευθεία: ζ :x 3y + 4= δ Δείξτε ότι οι ευθείες που βρήκατε στα β και γ τέμνονται και βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν ε Δείξτε ότι όλες οι ευθείες με εξίσωση την ii διέρχονται από το ίδιο σημείο Λύση α Οι εξισώσεις i και ii παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του λ R αφού τα συστήματα: λ = λ+ = και = λ = είναι αδύνατα 3 β Η i γράφεται y = λx + και η (ζ ) y= x+ άρα θα είναι παράλληλες όταν λ = γ Το δ= ( λ, λ+ ) είναι παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την ii ενω το σ = ( 3,) ζ και ισχύει: δ σ δ σ = 3( λ) + λ+ = 3 3λ+ λ+ = λ = δ Αν λ = η i δίνει την ευθεία ε :x y + = και το διάνυσμα v = (,) ε Αν λ = η ii δίνει την ευθεία ε :3x+ y + 4= και το διάνυσμα w = (,3) ε v w και βέβαια ισχύει: συν( v, w) = = = = = = = v w Άρα η οξεία γωνία των ευθειών είναι 45 ε Αν Μ(x, y ) το κοινό σημείο των ευθειών με εξίσωση την ii ( ) ( ) λ x λ y = ( ) λx + x y + λy + 4= x + y = x = x + y λ+ x y + 4= x y = 4 y = Άρα το κοινό σημείο όλων των ευθειών με εξίσωση την ii είναι το Μ(-, )

19 Βήμα 3 ο Ευθεία 6 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: + + =, ( Α ή Β ) ε : Αx Βy Γ ε : Αx Βy Γ, + + =, ( Α ή Β ) με AB AB και η εξίσωση ( ) ( ) ε : Α Α x + Β Β y + Γ Γ = Να αποδειχθεί ότι: α Οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε σημείο Μ β Η εξίσωση ε παριστάνει ευθεία γ Οι ευθείες ε, ε και ε διέρχονται από το ίδιο σημείο δ Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ xoy των αξόνων τότε A + B = A + B ε Αν A + B = A + B τότε η ευθεία ε είναι μια από τις διχοτόμους των γωνιών ( ε,ε ) Λύση: α ος τρόπος Τα κοινά σημεία των ευθειών ε και ε προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: Η ορίζουσα του συστήματος είναι Αx + Βy = Γ και Αx + Βy = Γ D AB AB A B = A B =,άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση, δηλαδή οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε σημείο Μ ος τρόπος Τα διανύσματα δ = ( Β,Α ) και δ = ( Β,Α ) ευθείες ε και ε αντίστοιχα Επειδή ( ) Β Α det δ,δ = = ΑΒ + ΑΒ Β Α είναι παράλληλα προς τις τα δ,δ δεν είναι συγγραμμικά, επομένως οι ευθείες ε και ε δεν είναι παράλληλες,άρα τέμνονται σε σημείο έστω Μ β Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση ( ) ( ) ε: Α Α x+ Β Β y+ Γ Γ = παριστάνει ευθεία αρκεί να δείξουμε ότι δεν μηδενίζονται συγχρόνως οι συντελεστές A A και B B Πράγματι, αν A A = και B B = τότε A = A και B = B οπότε

20 6 Ευθεία Βήμα 3 ο και AB AB =, που είναι άτοπο Άρα A A ή B B και η εξίσωση ε παριστάνει ευθεία γ Έστω M( x,y ) το σημείο τομής των ε και ε Τότε θα είναι Ax + By + Γ = και Ax + By + Γ = Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει η εξίσωση ( ) ( ) Α Α x + B B y + Γ Γ = δηλαδή οι συντεταγμένες x, y επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας ε, που σημαίνει ότι η ευθεία ε διέρχεται από το κοινό σημείο Μ των ε και ε δ = (Β B ),Α A = B+ B,A A είναι παράλληλο δ =, είναι παράλληλο προς την διχοτόμο δ Το διάνυσμα ( ) ( ) προς την ευθεία ε και το διάνυσμα ( ) της πρώτης γωνίας των αξόνων,δηλαδή την ευθεία με εξίσωση: y= x x y= Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς την διχοτόμο, άρα έχουμε: Β + B Α A δ δ' det( δ,δ' ) = = B + B A + Α = A + B = A + B ( ) ε Σημείο M(x,y) ανήκει σε μια από τις διχοτόμους των γωνιών ε,ε,αν και μόνον, αν ισχύει: Αx+ Βy + Γ Α x+ Β y + Γ d( Μ,ε) = d( Μ,ε) = Α + Β Α + Β και επειδή A + B = A + B, η (Ι) γίνεται : Οπότε: Αx Βy Γ Αx Βy Γ και τελικά: Αx + By + Γ = Αx + Βy + Γ + + = + + ή Αx+ Βy+ Γ= ( Αx+ Βy+ Γ) (Ι) ( Α Α ) x+ ( Β Β ) y+ Γ Γ = ή ( ) ( ) που είναι οι εξισώσεις των δύο διχοτόμων Επομένως η ευθεία ( ) ( ) διχοτόμους των γωνιών ε,ε Α + Α x+ Β + Β y+ Γ + Γ = ε: Α Α x+ Β Β y+ Γ Γ = είναι μια από τις ( )

21 Βήμα 4 ο Ευθεία 63 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία: i Διέρχεται από το σημείο Α(,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3 ii Διέρχεται από το σημείο Β(, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία () δ : x+ y = iii Διέρχεται από το σημείο Γ(,4) και είναι κάθετη στην ευθεία () ε :x= Ευθεία (ε) σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Οx γωνία 35 και τέμνει τον y y στο σημείο Α(,4) i Να βρείτε την εξίσωση της (ε) ii Να βρείτε την εξίσωση ευθείας (δ) που είναι κάθετη στην (ε) στο σημείο της Β(,6)

22 64 Ευθεία Βήμα 4 ο 3 Έστω τα σημεία Κ( 3,), Λ(5, ) και Μ( 7,) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά βρίσκονται στην ίδια ευθεία και στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει η ευθεία αυτή με τους άξονες 4 Δίνεται η εξίσωση ( ) λ λ x ( λ 5λ 6) y λ () = i Για ποιες τιμές του λ R παριστάνει ευθεία γραμμή; ii Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία είναι παράλληλη στον x x; iii Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(,) 5 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(,) και η ευθεία ε: x+ y = i Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας (ε) ώστε το τρίγωνο ΑΒΜ να είναι ορθογώνιο στο Μ ii Να βρείτε την εξίσωση του περιγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΜ

23 Βήμα 4 ο Ευθεία 65 6 Το Πολεμικό μας Ναυτικό εκτελεί άσκηση με πραγματικά πυρά, σε θαλάσσια περιοχή στο Βόρειο Αιγαίο, η περίμετρος της οποίας περιγράφεται από την εξίσωση: x + y 4x + 8y 4 = Την ίδια χρονική στιγμή θαλαμηγός που βρίσκεται στη θέση Θ(, ) σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων αποφασίζει να κινηθεί για ανεφοδιασμό σε κάυσιμα με κατεύθυνση νησί που βρίσκεται στη θέση Ν(,4) Με δεδομένο ότι η θαλαμηγός κινείται σε ευθεία γραμμή πιστεύεται ότι οι επιβάτες της θα κινδυνεύσουν; (Αιτιολογήστε την απάντησή σας) Ας υποθέσουμε ότι στην θέση Μ(, 4) υπάρχει και άλλος ένας σταθμός ανεφοδιασμού Μετά τη λήξη της άσκησης, ο καπετάνιος της θαλαμηγού ποιον από τους δύο σταθμούς θα πρέπει να επιλέξει ώστε να διανύσει τη μικρότερη δυνατή απόσταση; (Θεωρήστε ότι η θαλαμηγός ξεκινάει από το σημείο Θ(, ) 7 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: ε :λx ( λ 3) y = λ και ε :( λ+ 3) x λy= λ i Να δείξετε ότι οι (ε ) και (ε ) τέμνονται για κάθε λ R ii Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής τους ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

24 66 Ευθεία Βήμα 4 ο 8 Έστω τα σημεία Α(κ+, λ ) και Β(λ,κ), κ,λ R i Να δείξετε ότι το μέσο Μ του ΑΒ κινείται σε ευθεία (ε) της οποίας να βρείτε την εξίσωση ii Δείξτε ότι η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ΑΒ iii Βρείτε την απόσταση του σημείου Δ( 3, 3) από την ευθεία (ε) 9 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(3,6) και η βάση του ΒΓ έχει εξίσωση: 4x 3y 9 = Αν το σημείο Μ(3,) είναι το μέσο της ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 45 τμ : i να υπολογίσετε την d(a,βγ), ii να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ, iii να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

25 Βήμα 4 ο Ευθεία 67 Οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ(x,y) επαληθεύουν την εξίσωση: x 4y 3x 6y 4xy = i Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε δύο ευθείες ε, ε ii Να αποδείξετε ότι (ε )//(ε ) iii Να βρείτε την απόσταση των δύο ευθειών

26 68 Ευθεία Βήμα 5 ο Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) Οι ευθείες λ x λ y= ( λ ) και x + λy = είναι κάθετες Η η από τις προηγούμενες είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ= (, λ) 3 Η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία (, 4), (4, 7): α Έχει συντελεστή διεύθυνσης β Είναι παράλληλη προς την ευθεία x +y = α γ Τέμνει τον άξονα x στο σημείο (, ) 4 Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία x + y - 4 = με τον άξονα xx είναι αμβλεία 5 Η ευθεία με εξίσωση x + y =, λ, µ τέμνει τους άξονες στα σημεία (, λ) και (μ, ) λ µ 6 Τα διανύσματα u = ( β, α) και v = ( β, α) είναι παράλληλα στην ευθεία: αx + βy + γ = 7 Το διάνυσμα u = ( β, α) είναι παράλληλο στην ευθεία: αx + βy + γ =, β 8 Το συμμετρικό του σημείου (, ) ως προς την ευθεία x + y = είναι το (, ) 9 Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4, ) και σχηματίζει γωνία 35 με τον θετικό ημιάξονα είναι x - y = Η ευθεία που σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα των x είναι x + y = 4 (Μονάδες ) B Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και απέχουν από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με

27 Βήμα 5 ο Ευθεία 69 (Μονάδες 5) Θέμα A Δίνονται τα σημεία Α (, ) και Β (4, 6) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ίση με τμ B Θεωρούμε τα σημεία Α ( 4, ), Β (, ) και Γ (, 4) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (x, y) για τα οποία ισχύει: ( ) MBΓ = ( ΑΒΓ) (Μονάδες 5) Θέμα 3 Α Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών ( ) λx λ y λ + = και ( λ+ ) x+ λy = λ + για όλες τις τιμές του λ R Β Ορθή γωνία στρέφεται γύρω από το σημείο Α(,) και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία Β, Γ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του ΒΓ

28 7 Ευθεία Βήμα 5 ο (Μονάδες 5) Θέμα 4 Σε ένα χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy ένα πλοίο ξεκινά από κάποιο λιμάνι Λ και κατευθύνεται προς το λιμάνι Ο Το ραντάρ θέσης του πλοίου δίνει για κάθε χρονική στιγμή συντεταγμένες Π (t - 3,t - 4), t α Πού βρίσκεται το λιμάνι Λ στον χάρτη; β Πόσο απέχει το λιμάνι Λ από το λιμάνι Ο; γ Βρίσκεται το πλοίο στη σωστή πορεία για το λιμάνι Ο; δ Αν η θέση ενός άλλου πλοίου προσδιορίζεται από το σημείο Π (t -,t + ), t υπάρχει περίπτωση τα πλοία να συναντηθούν; ε Ποια είναι η απόστασή τους τη χρονική στιγμή t = ; (Μονάδες 5) ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα.

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα. Κεφάλαιο ο : Η ευθεία στο επίπεδο Θέµατα «Ανάπτυξης» Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (,5) και οι διάµεσοι ΒΕ και ΓΖ έχουν εξισώσεις x 4y + = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Kόλλιας Σταύρος 1

Kόλλιας Σταύρος  1 Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα