Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα"

Transcript

1 Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα: OA 4BΓ ΑΓ Να αποδείξετε ότι: α) Για τις διανυσματικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση OA 4ΟΒ 5ΟΓ β) Τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ είναι κάθετα γ) Για την γωνία των διανυσμάτων ΟΑ,ΟΓ είναι: συνοα,ογ 5 είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ det ΟΑ,ΟΒ 1 δ) Αν det ΟΑ,ΟΒ, τότε Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν: α 4, β 5 και α β 10 α) Να βρείτε τη γωνία των α και β β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u α β ν α β α κβ, κ είναι κάθετο στο διάνυσμα β, να βρείτε την τιμή του κ γ) Αν το διάνυσμα Δίνονται τα διανύσματα α,β π με α, β και α,β Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσός του για το οποίο ισχύουν: ΑΒ α β και ΑΜ α β α) Να βρείτε το α β β) Να εκφράσετε το ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β γ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ και α είναι ίση με π 6 π 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ α β, ΑΓ α β με α, β 1 και α,β α) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις i α β ii α β iii α β β) Έστω Μ μέσο του ΒΓ Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ σαν γραμμικό συνδυασμό των α και β ΑΜ,ΒΓ γ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας 5 Δίνονται τα διανύσματα α,β,γ με α, β, α α β και γ α β α) Να δείξετε ότι α β 4 και β γ 1 β) Να δείξετε ότι α β 5 γ α λ α β να βρείτε την τιμή του λ γ) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι δ) Για λ= 4 να γραφεί το διάνυσμα γ σαν γραμμικός συνδυασμός των α και β και να δείξετε ότι η 1

2 γωνία των διανυσμάτων γ και α β είναι οξεία wwwaskisopolisgr 6 Δίνονται τα διανύσματα α,β για τα οποία ισχύει α, β 1 α) Να αποδείξετε ότι: α β 1 β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α,β γ) Να αποδείξετε ότι: α β α β και α β α β 7 Δίνονται τα σημεία Α 1,, Β(, -1) και κ 4 Γ κ,, κ α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ και να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β, Γ είναι συνευθειακά β) Να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΟ είναι αμβλεία, όπου O είναι η αρχή των αξόνων γ) Αν ΑΒ ΑΓ ΒΓ, να βρείτε τον αριθμό κ 8 Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύει α, β 4, γ α κβ με κ και π α, β α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α και β β) Να υπολογίσετε το κ ώστε α γ γ) Για κ 4 να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων β και γ 9 Δίνονται τα σημεία 1,, 1,4 και το διάνυσμα 4, α) Βρείτε το συμμετρικό Β, του σημείου Α ως προς το Κ β) Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ και του, που είναι η γ) Υπολογίστε το μέτρο 10Έστω δύο κυκλικά ρολόγια τοίχου µε δείκτες Το πρώτο βρίσκεται στην Αθήνα και το δεύτερο στο Λονδίνο Τα ρολόγια λειτουργούν άψογα και δείχνουν την ώρα στην Αθήνα και στο Λονδίνο αντίστοιχα Το ρολόι που βρίσκεται στην Αθήνα έχει λεπτοδείκτη μήκους 4cm και ωροδείκτη μήκους cm Το ρολόι που βρίσκεται στο Λονδίνο έχει λεπτοδείκτη μήκους 8cm Θεωρούμε το λεπτοδείκτη και τον ωροδείκτη του ρολογιού που βρίσκεται στην Αθήνα ως διανύσματα λ Α,ω Α, αντιστοίχως, µε κοινή αρχή το κέντρο του ρολογιού Αναλόγως λ Λ,ωΛ, είναι τα διανύσματα του λεπτοδείκτη και του ωροδείκτη αντιστοίχως, του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο, µε κοινή αρχή το κέντρο του ρολογιού λ ω : α) Να βρείτε την τιμή του εσωτερικού γινομένου Α Α i) Όταν η ώρα στην Αθήνα είναι 06:00 πµ ii) Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία η απόσταση του πέρατος του ω είναι 5cm Α λ Α από το πέρας του β) Να βρείτε το μήκος του ωροδείκτη του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο αν στις 04:00πµ ώρα Αθήνας, ο λόγος του εσωτερικού γινομένου των δεικτών του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο προς το εσωτερικό γινόμενο των δεικτών του ρολογιού που βρίσκεται στην Αθήνα, είναι ίσος µε 4 Δίνεται ότι η ώρα στο Λονδίνο είναι δύο ώρες ακριβώς πίσω από την ώρα στην Αθήνα

3 11Δίνονται τα διανύσματα u,k, v,, k 0 τα οποία έχουν ίσα μέτρα α) Να δείξετε ότι k β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u,v είναι κάθετα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u v δ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα u v και u wwwaskisopolisgr Ευθεία 1Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(-,) και η ευθεία ε: x y α 0 όπου α α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση με την απόσταση του Α από την ευθεία ε, να βρείτε την τιμή του α β) Για την τιμή α 4 να βρείτε: i) Το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α, Β και το σημείο Γ που η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y ii) Ποιο σημείο της ευθείας ε έχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων 1Δίνεται η εξίσωση α 1 x α 1 y 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από το σημείο Μ (-1,) γ) Δίνεται η ευθεία ε: x 5y 0 Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της ε με τις ευθείες που προκύπτουν από την (1) για α = 0 και α = -1 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι τμ 14Στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy δίνονται τα σημεία Α(,0), Β(4,5), Γ(6,κ) με κ 10 α) Να δείξετε ότι: i Τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά ii H εξίσωση της ευθείας της διαμέσου (ε) που φέρουμε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι x=4 β) Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓ)= 8 τετραγωνικές μονάδες γ) Για κ =,να βρείτε την εξίσωση του ύψους (η) που φέρουμε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου Δ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες (η) και (ε) 15Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με εξισώσεις διαγωνίων (ΒΔ): y x 1 και (AΓ): y x Η διαγώνιος ΒΔ είναι η μεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1, ε,των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι ΑΔ 4,6, τότε: d = και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως Αν α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε έχουν εξισώσεις (ε 1 ): x y 1 0 και (ε ): x y 0 γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ, Δ του παραλληλογράμμου δ) Να βρείτε το εμβαδόν (ΑΒΓΔ) του παραλληλογράμμου 16Δίνονται τα σημεία Α(-5,), Β(-1,-) και Γ(4,) του καρτεσιανού επιπέδου α) Να βρείτε τo εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΒΓ Ποιο είναι το συμπέρασμά σας για τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ ; β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία φ των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ ισούται με 45

4 17Δίνεται η εξίσωση wwwaskisopolisgr 1 x λ 1 x λy 0 (1) 4 α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει, ευθείες για κάθε λ β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της μορφής (1) γ) Αν (ε 1 ), (ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την (1) για λ = 1 και λ = -1 αντίστοιχα, να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζουν οι (ε 1 ), (ε ) με τον άξονα y y δ) Να βρείτε το σημείο της (ε 1 ) το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων τη μικρότερη απόσταση 18Δίνεται ευθεία ε με εξίσωση: x + 4y = 1 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το 9 σημείο A, β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας η των ευθειών ε και ζ γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Β και η ευθεία ζ τον άξονα x'x στο σημείο Γ, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 19Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 5,4 Η πλευρά ΑΒ έχει εξίσωση x y 4 0, ενώ το ύψος ΒΔ έχει εξίσωση y 11 5x α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Β β) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ B 1,6 τότε βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ και το σημείο γ) Αν τομής Ζ, της μεσοκαθέτου με το ύψος ΒΔ 0 α) Δίνονται τα σημεία,5 και μέσου Μ του ΑΒ 4, 4, Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του β) Αν η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα,5 και 4, 4 είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : y x 5 0, τότε να βρείτε το και να δείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση: x y 1 0 γ) Έστω τα διανύσματα u και v, όπου, διανύσματα με, 1 και, i Βρείτε το γινόμενο u v και το v ii Βρείτε σημείο Γ της ευθείας (ε) του ερωτήματος Δ και τον ώστε: u v v 4, 1 1Δίνονται τα διανύσματα 1, j α) Δείξτε ότι το διάνυσμα,1 β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ διέρχεται από το σημείο, διάνυσμα, ενώ η πλευρά ΒΓ έχει εξίσωση και βρείτε τον αριθμό 4 και είναι κάθετη στο y 4 x τότε βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΒΓ και την κορυφή Β γ) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας γραμμής, στην οποία βρίσκονται τα σημεία 1,, δ) Αν η πλευρά ΑΓ είναι η ευθεία γραμμή που βρήκατε στο ερώτημα Β τότε να δείξετε ότι το μήκος του ύψους ΒΛ είναι

5 5 wwwaskisopolisgr κ 1 1 Δίνεται η ευθεία ε: y x και τα σημεία του επιπέδου A,κ, κ και Βμ, μ, μ 0 α) i Αν η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α, να βρείτε τις συντεταγμένες του Α ii Αν ισχύει ΟΒ 5, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να βρείτε τις συντεταγμένες του Β Θεωρούμε τα διανύσματα α ΟΑ 1,, β ΟΒ,1, γ x, y και δ y,x με xy 0 ω α,β φ γ,δ και α γ να αποδείξετε ότι: β) Αν, 4 i συνω 5 ii x y και β δ iii οι γωνίες φ και ω είναι παραπληρωματικές γ) Να αποδείξετε ότι: i Τα διανύσματα γ και δ δεν είναι παράλληλα ii Το παραλληλόγραμμο που κατασκευάζεται από τα διανύσματα γ και δ είναι ρόμβος Δίνεται η ευθεία (ζ) με εξίσωση: y x α) i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α µε τεταγμένη ii η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι x 4y 1 0 να βρείτε το σημείο τομής Β της ευθείας (ε) µε τον άξονα x x A 0, και Β 4,0 τότε: β) Αν είναι i Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ αν ισχύει: 9 ΑΔ ΑΒ ii Αν είναι Δ,, να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα Ο είναι το ύψος του 5 5 ορθογωνίου τριγώνου ΑΟΒ προς την υποτείνουσα Γ,0 Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του ευθυγράμμου ΟΜ ΟΑ ΟΜ ΟΓ ΟΜ γ) Θεωρούμε το σημείο τμήματος ΑΓ ισχύει: 4Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α1,1,Β,, Γ5, α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β) i Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ της πλευράς ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες ii Να δείξετε ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ έχει εξίσωση (ε): y x 8 γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ για το οποίο το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 5Δίνεται η ευθεία (ε): y α x α β τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ότι: α) i α 1 β) α β ii β 1, η οποία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο και β 1, β 1 να δείξετε A 0, Αν για το διάνυσμα β ισχύει γ) Οι ευθείες ε 1 : y x λ και ε : y λx λ λ, τέμνοντα για κάθε λ σε σημείο το οποίο κινείται πάνω στην (ε)

6 wwwaskisopolisgr Κωνικές τομές Κύκλος 6Ο κύκλος C του σχήματος έχει κέντρο το σημείο Κ(0, 1) Μ α,β είναι εσωτερικό και ακτίνα ρ = Το σημείο του C α) Να αποδείξετε ότι i Οι συντεταγμένες του σημείου Μα,β επαληθεύουν την σχέση: x y 1 4 ii Η ευθεία x =, αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C λ x λ y 1 x 0 (1), όπου λ β) Δίνεται η εξίσωση i Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία ii Θεωρούμε τα σημεία Ν x 0, y0 με x o τα oποία δεν ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση της μορφής (1) Να βρείτε το γεωμετρικό τους τόπο x y ημθ x συνθ y, θ (1) 7Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση θ 0,π αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο γ) Να βρείτε τις τιμές του Μ(1,-1) δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ (όπου Ο η αρχή των αξόνων) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ) 8Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α,β εξίσωση: x y α x β y α β 0, τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ = π, και η (1) α) Να αποδείξετε ότι: i α β 1 ii Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ α β β) Αν Κ(1, 1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: α 1, β και ρ = 1 γ) Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία x 4y 1 0 9Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α1,, η εξίσωση του ύψους ΒΔ: x 4y 5 0 και η εξίσωση της διαμέσου ΓΜ: x y 0 α) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β) Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β γ) Αν Ε το σημείο τομής των ΓΜ και ΒΔ τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ δ) Δίνεται η γραμμή (C) με εξίσωση x y λx(λ 8)y 0 (1) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ και να βρείτε την τιμή του λ, ώστε ο κύκλος (1) να έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ 0Δίνονται τα σημεία Ν(6μ -, 6λ) με λ, μ και ισχύει ότι 6 μ λ 1 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν βρίσκονται στον κύκλο C: x y 6 β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του παραπάνω κύκλου c που διέρχονται από το σημείο Δ (4,8)

7 wwwaskisopolisgr γ) Αν τα σημεία A(4,0) και Ε είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτόμενων με τον κύκλο C, να βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΔΕΚΑ, όπου Κ το κέντρο του κύκλου C δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων, που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C και διέρχονται από το σημείο Σ(,0) 1Δίνεται η εξίσωση β α x α βy 8 0, x, y 1 α και β 4 όπου α,β διανύσματα με α) Να αποδείξετε ότι εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που προκύπτει από την (1) αν η γωνία των διανυσμάτων α,β είναι 60 γ) Έστω ο κύκλος µε κέντρο το Ο(0, 0) ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία ζ που έχει εξίσωση x y 0, στο σημείο Ν Να βρείτε: i Τις συντεταγμένες του σημείου Ν ii Την εξίσωση του κύκλου C Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε ότι ο ημιάξονας Οy είναι ένας κατακόρυφος τοίχος και ο ημιάξονας Ox είναι το έδαφος επί του οποίου μπορεί να κυλιέται ένα σύρμα σχήματος κύκλου µε ακτίνα ρ = 1 Η αρχική θέση του κυκλικού σύρματος είναι τέτοια ώστε να εφάπτεται ταυτοχρόνως στους ημιάξονες Ox και Oy και τότε έχει κέντρο το σημείο Κάποια στιγμή αρχίζει να κυλιέται προς τα δεξιά μέχρι τη στιγμή που προσκρούει στο κεκλιμένο επίπεδο Αz οπότε και ακινητοποιείται όπως φαίνεται στο σχήμα Η τετμημένη του σημείου A είναι 9 Τα σημεία K και M αφορούν στην τελική θέση του κυκλικού σύρματος και είναι αντιστοίχως το κέντρο του και το σημείο επαφής του µε το επίπεδο Αz Αν P σημείο αυτού του κύκλου τέτοιο ώστε KP / / x για το οποίο ισχύει: KM KP τότε: Α Να αποδείξετε ότι: α) ˆ ˆ ˆ 45 όπου Λ το σημείο τομής της προέκτασης του ΚΡ µε το επίπεδο Az β) Η εξίσωση της ευθείας ε που ορίζει το κεκλιμένο επίπεδο Az είναι x y 9 0 γ) Οι συντεταγμένες του κέντρου K είναι 8,1 Β Θεωρούμε ότι η εξίσωση x y Ax By 0 με 4 0 παριστάνει την οικογένεια των κύκλων που περιλαμβάνει όλες τις θέσεις από τις οποίες διέρχεται το κυκλικό σύρμα κατά την διάρκεια της συνολικής διαδρομής του Να αποδείξετε ότι: α) Β = β) γ) 1 64 Να θεωρήσετε τη διάμετρο (πάχος) του σύρματος αμελητέα Οι αριθμοί που αφορούν σε μήκη είναι σε cm 7

8 wwwaskisopolisgr Παραβολή Έστω τα σημεία Α(-1,y) και Β(x,y) με x,y του καρτεσιανού επιπέδου Οxy α) Αν είναι ΟΑ ΟΒ, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) ανήκουν στην παραβολή C 1 : y = x, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ β) Αν ισχύει, ΟΑ ΟΒ 15, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ x, y ανήκουν στο κύκλο C : x y, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα γ) Να αποδείξετε ότι: i Τα κοινά σημεία των C1 και C είναι το Κ 1, και Λ 1, 8 ii H εφαπτομένη της C1 στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του C στο Λ 4Δίνεται η εξίσωση: x y 1 κx y 5 0 (1), όπου κ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου κ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1), διέρχονται από το σημείο Α, γ) Να βρείτε την τιμή του κ, για την οποία η (1) παριστάνει ευθεία ε κάθετη στον άξονα x'x Ποια η εξίσωση της ευθείας ε; Α, στον άξονα x x, να βρείτε τον γεωμετρικό δ) Αν Kx 0,0 είναι η προβολή του σημείου τόπο των σημείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από το σημείο Ex,0 του γ ερωτήματος o και την ευθείς ε 5Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A(5, -1), B(4,4) και Γ(,1) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους ΓΔ του τριγώνου β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με μονάδες γ) i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον y y ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C, η οποία είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ x y λ 4 x λ 4 y λ 0 (1), όπου λ 6Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ η εξίσωση (1) παριστάνει ίσους κύκλους β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση: x y 0 γ) Να αποδείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι της μορφής (1) εφάπτονται δύο ευθειών (δ 1 ), (δ ) των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις δ) Έστω η παραβολή (C): x py και η ευθεία (ε) του ερωτήματος Δ Αν η (ε) είναι εφαπτομένη της παραβολής, να βρείτε: i την παράμετρο p, την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής ii την εφαπτομένη (η) παραβολής, η οποία είναι κάθετη στην (ε) 7Δίνονται οι εξισώσεις x y x 1 0 (1) και λ λ 1 x λ 1 y λ 6λ 1 0 (), λ α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες ε 1, ε κάθετες και να βρεθεί το σημείο τομής τους Ε β) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ και ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας αυτής διέρχονται από το ίδιο σημείο Ζ γ) Αν E(1,0) TO σημείο τομής των ε 1,ε και Z(,-1) το σταθερό σημείο του ερωτήματος β τότε: i να βρείτε την εξίσωση και τη διευθετούσα της παραβολής c, η οποία έχει εστία Ε, κορυφή Ο(0,0)

9 και άξονα συμμετρίας τον x'x, ii να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής c που έχει μέσο το σημείο Ζ 8Έστω α x,4y, β x, 9 wwwaskisopolisgr, με x, y, δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) είναι η παραβολή Ο, με εξίσωση: x 8y, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ β) i Να βρείτε τις εξισώσεις ει, ε των εφαπτομένων στην παραβολή C, στο σημείο x 1 N x 1,, x1 0, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α (1, -1) 8 10 ii) Να δείξετε ότι για την αμβλεία γωνία ω των εφαπτομένων ει, ε ισχύει: συνω 10 β) Δίνεται, επιπλέον, σημείο Β( x 0,y 0 ) της παραβολής Ο, με x0 0 που απέχει από την διευθετούσα δ αυτής απόσταση ίση με 10Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C 1, ο οποίος έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία Ε και Β 9Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφή, και τη πλευρά ΓΔ να έχει εξίσωση x y 5 0 Μια πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία ε: x y 0 α) Δείξτε ότι η πλευρά που βρίσκεται στην ευθεία ε είναι η ΒΓ, βρείτε τις συντεταγμένες της 1 κορυφής Γ και δείξτε ότι το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι, 1 β) Βρείτε την πλευρά ΑΒ και δείξτε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 18/5 τμ 0,0, άξονα συμμετρίας τον x x γ) Δείξτε ότι η εξίσωση της παραβολής C, που έχει κορυφή το 1 και διέρχεται από το κέντρο Κ του παραλληλογράμμου είναι x y δ) Δείξτε ότι η εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο Κ είναι x y 1 0 και μετά βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της διχοτόμου της γωνίας ˆ, όπου Ε η εστία και / / 40Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α1,1, Β4,1 και Γ1,5 α) Αν Μ είναι το μέσον της ΑΓ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Β και Μ είναι η x y 6 β) Δίνεται η εξίσωση της ευθείας ζ: 4x y 1, η οποία διέρχεται το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ Να αποδείξετε ότι: Δ 4,5 i Το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ είναι το ii Το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο γ) Να βρείτε την παράμετρο p και την εστία Ε της παραβολής C µε εξίσωση x py, της οποίας η διευθετούσα είναι η οριζόντια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β Έλλειψη x y 41Δίνεται η έλλειψη 1 και η παραβολή y 16x 5 9 α) Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστία της παραβολής β) Έστω Ε', Ε οι εστίες της έλλειψης ( η Ε' να έχει αρνητική τετμημένη ) i Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής στα σημεία της Μ(4, 8) και Μ'(4, -8), και να δείξετε ότι τέμνονται στο Ε' ii Να αποδείξετε ότι ΕΜ EM 0 iii Αν Ν είναι το μέσο του Ε'Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε'Μ'

10 λ 1 x λ y 6 λ x 16 λ 1, λ (1) 4Δίνεται η εξίσωση wwwaskisopolisgr α) Αν λ = 1, να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει παραβολή C 1 της οποίας να βρείτε την διευθετούσα δ και την εστία Ε β) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο Ο και την ακτίνα R γ) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, μία εστία της κοινή με την εστία Ε της παραβολής C 1 και μεγάλο άξονα ίσο με την ακτίνα R του κύκλου δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία Ρ 1 και Ρ των κωνικών τομών C 1 και C, και να αποδείξετε ότι: d Ρ,δ Ρ Ε d Ρ,δ Ρ Ε 1 1 x y 4Δίνεται η εξίσωση 1 (1) όπου μ, μ μ α) Να βρείτε την τιμή του μ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη; 1 γ) μ,, τότε: i) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την (1) έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα y y ii) Να υπολογίσετε την τιμή του μ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης (1) να είναι ίση με π με θ 0, Να δείξετε ότι: π α) Η εξίσωση (1) παριστάνει για κάθε θ 0,, κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο K x 0, y0 και την ακτίνα ρ ως συνάρτηση της γωνίας θ x, y που προκύπτουν από την (1) ανήκουν σε έλλειψη της οποίας να 44Δίνεται η εξίσωση C: x y ημθx 4συνθy ημ θ 0, 1 β) Τα κέντρα των κύκλων K 0 0 βρείτε τα μήκη του μεγάλου Α'Α και μικρού Β Β άξονα της, τις εστίες της Ε', Ε καθώς και την εκκεντρότητα της ε x, y των κύκλων που προκύπτουν από την (1), γ) Για τις συντεταγμένες των κέντρων Κ 0 0 ισχύουν : x0 0, y0 0 x 0, y 0 δ) Η ελάχιστη και η μέγιστη απόσταση, της εστίας Ε (με θετική συντεταγμένη) από τυχαίο σημείο του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την (1) για θ= π, είναι d1 1 και d και στην συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων K 45Δίνεται η εξίσωση: x y λ 4 x λy λ 0 (1), όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) Να δείξετε ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1), κινείται σε μια ευθεία γραμμή, καθώς το λ μεταβάλλεται στο γ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει εστίες τα σημεία Ε 0, μεγάλο άξονα (Α'Α)=8, Ε0, δ) Αν η εφαπτομένη της έλλειψης C του ερωτήματος γ, στο σημείο της του κύκλου C 1, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση (1) για λ = 0, να δείξετε ότι: i y x1 α x,4 β x, 4x είναι μεταξύ τους κάθετα ii Τα διανύσματα 1 και 1 1 και Μ x, y εφάπτεται και 10

11 46Δίνεται η έλλειψη C 1 με εξίσωση C : 7 wwwaskisopolisgr x 4y 1 και εστίες Ε, Ε' και ο κύκλος C με εξίσωση C : x y α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ' είναι ισόπλευρο, όπου Β είναι ένα από τα άκρα του μικρού άξονα της έλλειψης β) Να αποδείξετε ότι το σημείο P, είναι κοινό σημείο των δύο κωνικών τομών C 1, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σημεία M x, y τα οποία είναι τέτοια ώστε: (OM) 7 και γ) Να υπολογίσετε τα σημεία 0 0 ME ME 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων δ) Να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας E P E, όπου P, 47Έστω η εξίσωση x y λy 1 0,(1), με λ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C λ,για κάθε λ, του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) i) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C λ, για κάθε λ,διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β, των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες ii) Αν Α(1,0), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου Cλ στο σημείο Α γ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, με εστίες τα σημεία Α, Β και εκκεντρότητα δ) Αν Μ είναι ένα κοινό σημείο των C λ, C, να υπολογίσετε τις τιμές του λ, έτσι ώστε: ΜΑ ΜΒ ΜΚ 48Δίνεται η ευθεία ε: x y 0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση x y 4x 4y 0 παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) Ποια είναι η σχετική θέση της ευθείας και του κύκλου; γ) Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει 4 τότε να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται στην έλλειψη την εκκεντρότητα x 4y 1, της οποίας να βρείτε τα μήκη των αξόνων και δ) Δείξτε ότι η εφαπτομένη της έλλειψης σε σημείο x 1, y1 διέρχεται από το, είναι x y 4 0 Μετά δείξτε ότι τα σημεία Ζ, 0,0 του ΝΑ είναι συνευθειακά, όπου Α η κορυφή της έλλειψης στον άξονα Οx διαφορετικό των κορυφών της, που και το μέσο Υπερβολή x y 49Δίνεται η υπερβολή C : 1 και το σημείο Κ(0,β) Μια ευθεία (ε) που έχει συντελεστή α β διεύθυνσης λ 0 διέρχεται από το Κ και τέμνει τις εφαπτόμενες της C στις κορυφές της Α' και Α, στα σημεία Μ και Ρ αντίστοιχα Μ α, αλ β Ρ α,αλ β α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι: και β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη ΜΡ είναι η x y β α 1 λ γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήματος (β) να είναι ίση με την απόσταση των 11

12 wwwaskisopolisgr κορυφών της υπερβολής δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήματος (β) διέρχεται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: λ ε 50Δίνεται η εξίσωση x y x(y 4) 1 8y 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε 1 ) και (ε ) οι οποίες είναι παράλληλες β) Αν (ε 1 ): x y 0 και (ε ): x y 6 0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (1), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε 1 ) και (ε ) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y=x γ) Βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη απόσταση του σημείου τομής των ευθειών (ε 1 ) και (ε) από τον κύκλο C δ) Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C 1 με εστίες στον άξονα x x, που έχει ασύμπτωτη την (ε): y=x και εστιακή απόσταση γ 10ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου C 1

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα