( ) ( ) ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π. Δρακουλάκος. 1. Αφού η C έχει άξονα τον x x, η εξίσωση της είναι της μορφής y = 2ρx, ρ Εύρεση του ρ.

Transcript

1 ΠΑΑΟΛΗ ΘΕΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π Δρακουλάκος Αφού η C έχει άξονα τον, η εξίσωση της είναι της μορφής = ρ, ρ Εύρεση του ρ ος τρόπος: Αφού η = ρ, = +, = ρ και η = + εφάπτονται, το σύστημα έχει μία διπλή λύση = = ρ( ) ρ+ ρ= ( 3) : :, Για διπλή λύση στο σύστημα, η ( 3 ) πρέπει να έχει μία διπλή ρίζα, δηλαδή διακρίνουσα ίση με το ρ=, απορρίπτεται ρ 6ρ= ρ ρ = ρ = Άρα, Για ρ=, η C : = 8 ος τρόπος: Έστω (, ) το σημείο επαφής της ε : = + με την C : = ρ Η εφαπτομένη στο την ε έχει εξίσωση ρ( ) = + και ταυτίζεται με Άρα: = = = = ρ και αφού ρ, C : ρ = ρ ρ=, απορρίπτεται, ρ = οπότε C : = 8 αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

2 (α) Αφού η χορδή διέρχεται από το (, ), άκρα της είναι τα και (, ) όπου τυχαίο σημείο της C Έστω Ν το μέσο της χορδής Έχω Ν =, ( ) Ν =, ( 5) Έχω, επίσης, 8 ( 6) =, Απαλείφοντας τα, : = 6 Άρα το Ν είναι σημείο της παραβολής, Ν Ν = με εξαίρεση το ( ), (β) Για να τέμνει η = + β την C σε δύο σημεία, πρέπει το σύστημα των εξισώσεων τους να έχει δύο διαφορετικές λύσεις Έχω = 8, 7 = + β, 8 Άρα β ( 7) : 8( β) = = 8+ 8β=, ( 9) Για διαφορετικές λύσεις στο σύστημα, πρέπει η έχει δυο διαφορετικές ρίζες, δηλαδή διακρίνουσα > Έχω: 6 3β> β< Άρα, τέμνει σε δυο σημεία για β< 9 να (γ) ος τρόπος Αναζητώ σημείο (, ) της C τέτοιο ώστε d P, ζ = minimum Έχω d( P, ζ) = = το τριώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο όταν (, ) ος τρόπος ( ) = = Για =, dmin = = = και το Το είναι το σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη με την ζ Έστω (, ) Έχω C 8 ( o) : =, Η εφαπτομένη στο έχει εξίσωση αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

3 = ( + ) και αφού είναι ζ, έχω = = Για, = = δηλαδή (, ) και + 6 dmin = d P, ζ = = Θέτω = µ, έχω µ µ = δηλαδή, µ, µ R Η εφαπτομένη στο 6 6 έχει εξίσωση: 3( ) 3 µ = + = + Τα σημεία τομής της με τους µ µ άξονες, είναι Α, 6 µ και, Αφού το Ν είναι μέσο του Α, έχω Απαλείφοντας το µ από τις ( ) και ( ), έχω: Ν Ν = Ν = Ν Άρα, γτ του Ν η παραβολή 8, Α + µ Ν = =, 8 Α + µ Ν = =, = με εξαίρεση την κορυφή της ( ), 3 Έστω (, ) το σημείο επαφής της ζητούμενης κοινής εφαπτομένης ε με την C : 8 = Έχω = 8, Η ε έχει τύπο: ( ) εφάπτεται και με τον, C ισχύει = + και αφού d(,, ε) = =, 6+ : ( ) = + = + ή ± 3 = = = απορρίπτεται αφού Για =, = 6 δηλαδή = οπότε =± οπότε (, ) ή (, ) ε : = + ή = + ενώ η ε : = και η αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

4 Η σχετική θέση της ε : = λ+ κ με την C : = ρ διευκρινίζεται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων τους και ερμηνεύοντας γεωμετρικά κάθε είδος λύσης = ρ, Έχω: = λ + κ, ( λ+ κ) = ρ λ + ( κλ ρ) + κ = ( 3) Αν λ=, η ( 3 ) είναι η πρωτοβάθμια εξίσωση :, λύση ε : Αν λ, κ ρ = οπότε, : κ ρ κ + = και έχει = Άρα, αν λ= για κάθε κ R, η κ = κ τέμνει την C σε ένα σημείο, το, κ ρ 3 είναι δευτεροβάθμια και το είδος των ριζών της η εξαρτάται από την διακρίνουσά της, = κλ ρ κ λ = κ λ ρκλ+ ρ κ λ = = ρ ρκλ = ρ ρ κλ ρ> i) ρ( ρ κλ) ρ κλ, > > > είναι η συνθήκη για δυο διαφορετικές ρίζες Άρα, όταν ρ> κλ η ε τέμνει την C σε δύο διαφορετικά σημεία ii) = ρ= κλ, η συνθήκη για μία «διπλή» ρίζα Άρα, όταν ρ= κλ η ε εφάπτεται με την C iii) < ρ< κλ, η συνθήκη για να μην έχει η ( 3 ) λύσεις στο R Άρα, όταν ρ< κλ η ε και η C δεν έχουν κοινά σημεία 5 (, ) C : = Έστω (, ), (, ) P τα άκρα της χορδής Ο συντελεστής διευθύνσεως λ της, είναι: λ= ( διότι το ) Ισχύουν: : C, P C : =, : = ( ) ή ( + )( ) = ( ) ή + = ή ( + ) λ= = και αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

5 + είναι το μέσο του,, έχω: = =, οπότε + = Άρα, λ= οπότε λ= και η, = λ Αλλά, αφού το (, ) δηλαδή = ( ) = 3 έχει εξίσωση: 6 Α Κ Έστω Α = α οπότε Α α = και ρ = β οπότε β = με αβ, R, α β Έχω ρ α β ΟΑ =, α και Ο=, β και αφού ρ ρ ΟΑ Ο ΟΑ Ο=, έχω: αβ αβ αβ ραβ ρ + = + = αβ αβ αβ+ ρ = αβ= ρ, Ισχύει λ ρ( β α) β α ρ = = =, β α β+ α β α β+ α ρ ρ Α β α οπότε, η εξίσωση της Α είναι: ρ α αρ α= ή ( β+ α) α( β+ α) = ρ ή β+ α ρ ρ + + = ή, αφού αβ= ρ, η Α είναι η ρ ( α β) αβ ρ ( α β) ρ + = Για =, για κάθε αβ, έχω = ρ Άρα, η Α διέρχεται από το σταθερό σημείο Κ( ρ, ) Αν β α, = από την : Η ευθεία Α έχει εξίσωση Κ( ρ, ) α ρ = ή α = ρ ρ = Α = = ρ και διέρχεται και αυτή από το ρ Άρα σε κάθε περίπτωση, η Α διέρχεται από το σταθερό σημείο Κ( ρ, ) αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

6 7 Έστω ( M, M) (, ), το κέντρο κύκλου που βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, > > εφάπτεται με τον τον Έστω επίσης, ρ η ακτίνα του + = εξωτερικά, και εφάπτεται και με Έχω: ( Ο) = + ρ + M = + ρ, d( M, ) = ρ = ρ και αφού > ρ= : M+ M = ( + M) δηλαδή = ( + ),, + = + + οπότε M M M M Άρα το είναι σημείο της παραβολής = ( + ), [στο τμήμα της για >, αφού = > > < ή > και ισχύει > ] αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου

7 ε 8 C Έστω το σημείο της C στο οποίο φέρεται τυχαία εφαπτομένη της Θέτω = µ, * Α C µ έχω =, µ R Η εφαπτομένη της C στο είναι: ε = + ή : = + µ Τα Α, είναι οι µ λύσεις του συστήματος των εξισώσεων της C : = 8, με την ε, ( ) : = 8 µ : = + µ µ µ µ : + = 8 µ + + = 8 ή 6+ =, ( 3) µ µ 6 3µ ίζες της ( 3), είναι τα A, Ισχύει Α + = " S" = = και αφού µ A + 3µ µ 3µ µ =, έχω = Αφού ε : = + = + = µ µ µ 3µ =, ( ) Άρα, = µ, ( 5 ) και απαλείφοντας την µεταβλητή µ, Θα προκύψει η εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκεται το 3 M 6 Έχω ( 5 ) : µ = ( ) : = ή M = M Άρα, το είναι σημείο της 3 6 παραβολής = 3 αθηματικά Κατεύθυνσης Λυκείου