PITANJA. RJEŠENJA pitanja i zadataka za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole. 18. ožujka 2011.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PITANJA. RJEŠENJA pitanja i zadataka za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole. 18. ožujka 2011."

Transcript

1 RJEŠENJA pitanja i zadataka za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole 18. ožujka 011. PITANJA Zaokruži slovo ispred točnog odgovora ( svaki točan odgovor boda ) 1. Jedina zvijezda u našem Sunčevom sustavu je: a. Venera b. Mjesec c. Sunce d. Jupiter. Jedino nebesko tijelo na koje su ljudi sletjeli je: a. Mars b. Venera c. Mjesec d. Zemlja 3. Koje od navedenih zviježđa nije cirkumpolarno? a. Kasiopeja b. Cefej c. Lav d. Žirafa 4. Najdulji dan u godini je prvi dan: a. Proljeća b. Ljeta c. Jeseni d. Zime 1

2 5. Šesti planet od Sunca je: a. Zemlja b. Mars c. Saturn d. Jupiter Dopuni rečenicu ( svaki točan odgovor boda ) 1. Planet koji ima veliku crvenu pjegu, oluju koja se vrti poput uragana je, Jupiter.. Tijelo koje kruži oko planeta je njegov satelit. 3. Godišnja doba se izmjenjuju zbog nagnutosti Zemljine osi (priznati i odgovor: rotacije ili kruženja Zemlje oko Sunca). 4. Vrtnja Zemlje oko svoje osi uzrokuje izmjenu _dana i noći. 5. Kugle svijetlećeg užarenog plina u svemiru su zvijezde.

3 ZADACI 1. (8 bodova) Na karti neba, na slici ispod, najsjajnije zvijezde čine jedno cirkumpolarno zviježñe. Spoji zvijezde u zviježñe i napiši njegovo ime. Priznaje se bilo koji od dva navedena načina spajanja zvijezda. Za dobro nacrtano zviježđe 6 bodova, a za njegov naziv boda (priznaje se bilo koji naziv od dva navedena u rješenju). (6 bodova) Koje zviježđe zodijaka prepoznajete na ovoj karti neba? Upišite njegov naziv na kartu. Priznaje se bilo koji od dva navedena naziva zviježđa 3

4 3. (8 bodova) Svjetlost putuje 8 minuta i 18 sekundi od Sunca do Zemlje. Udaljenost Saturna od Sunca je deset puta veća nego što je udaljenost Zemlje do Sunca. Koliko dugo će svjetlost putovati od Sunca do Saturna? Odgovor izrazi u satima i minutama. Svjetlost će deset puta veću udaljenosti prijeći u deset puta duljem vremenu: (1 bod) 8 10 = 80 () = 180 () Za to je potrebno ukupno 80 minuta sekundi. () 180 sekundi je 180 : 60 = 3 minute. () Put će trajati ukupno = 83 minute. () 83 : 60 = 1 i ostatak 3 () Put svjetlosti od Sunca do Saturna traje 1 sat i 3 minute. () 4. (18 bodova) Slika ispod prikazuje prividno kretanje Sunca preko nebeskog svoda na prvi dan dvaju godišnjih doba. Na prazne crte napiši: a. Iznad plavih strelica: stranu svijeta koju pokazuju b. Iznad crvenih strelica: o kojem se godišnjem dobu radi c. Ispod horizonta napiši je li to mjesto izlaska ili zalaska Sunca d. Na horizontu označi točkama položaje triju strana svijeta i iznad njih stavi oznake: S za južnu točku, E za istočnu točku i W za zapadnu točku. Svaki točan odgovor boduje se s boda. 4

5 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole 18. ožujka 011. ODGOVORI Zaokruži slovo ispred točnog odgovora (svaki točan odgovor boda) 1. Planet koji je po veličini (promjeru) najsličniji Zemlji je: a) Mars b) Merkur c) Venera d) Uran. Planet koji ima najviše prirodnih satelita (mjeseca) je: a) Saturn b) Jupiter c) Uran d) Mars 3. Najveći prirodni satelit (mjesec) u našem Sunčevom sustavu je: a) Europa b) naš Mjesec c) Titan d) Ganimed 4. Mjesec se najbrže kreće oko Zemlje onda kada je: a) najbliže Zemlji (u perihelu) b) puni Mjesec c) najdalje od Zemlje (u afelu) d) mlañak 5. Svemirska misija u kojoj je bio lansiran prvi astronaut zvala se: a) Apollo b) Sputnik c) Vostok d) Voyager Dopuni rečenicu (svaka točno dopunjena rečenica boda) 1

6 1. Velika oluja na Jupiteru eliptičnog oblika i koja se vidi na Jupiteru zove se Velika crvena pjega.. Planet koji ima najsporiju rotaciju zove se Venera. 3. Poredaj po veličini (promjeru) od najmanjeg do najvećeg, četiri najveća planeta u našem Sunčevom sustavu Neptun, Uran, Saturn, Jupiter. 4. Početni meridijan na Zemlji zove se nulti meridijan i prolazi kroz Greenwich. 5. Prvi astronaut koji je bio u orbiti oko Zemlje zvao se Gagarin i to je bilo godine. ZADACI 1. Svjetlost za 1 sekundu prijeñe udaljenost km. Koliko vremena treba svjetlosti da stigne od Venere do Zemlje, onda kada se Venera nalazi u donjoj konjunkciji (udaljenost Venere do Sunca je 108 milijuna km, a udaljenost Zemlje do Sunca je 150 milijuna km). Izračunaj traženo vrijeme i nacrtaj meñusobni položaj Zemlje, Venere i Sunca. (5 bodova) Udaljenost Zemlje do Venere u donjoj konjunkciji je 150 milijuna km 108 milijuna km = 4 milijuna km. (4 boda) Ako za 1 sekundu svjetlost prijeñe 300 tisuća km, 4 milijuna km će prijeći za vrijeme: : = 140 sekundi = min i 0 sekundi (6 bodova) Ukupno 15 bodova. Nacrtaj skicu zviježña za Veliki i Mali medvjed (5 bodova), označi zvijezdu Sjevernjaču ( boda) te naznači kako se pomoću Velikog medvjeda pronalazi zvijezda Sjevernjača ( boda).

7 . Ukupno: 9 bodova. 3. Pretpostavimo da se vrtnja Zemlje promijenila u suprotni od onog koji je sada. Ako se trajanje okreta oko svoje osi ne bi promijenilo: a) Koje bi se strane svijeta zamijenile? Istok i zapad ( boda) b) Da li Sunčev (solarni) dan bio kraći nego sada? Da ( boda) Objasni. Jer bi smjer gibanja Zemlje oko Sunca ostao kao i prije promjene smjera vrtnje. ( boda) Ukupno (6 bodova) 4. Ucrtaj položaj Sunca na nebu u podne za promatrača na Zemljinom ekvatoru: a) Na dane solsticija b) Na dane ekvinocija c) Da li je visina Sunca je različita za vrijeme zimskog i ljetnog solsticija? (NE boda) Ukupno 10 bodova 3

8 a) b) (4 boda) (4 boda) 4

9 Rješenja za Županijsko natjecanje VI. razred 18. ožujka 011. PITANJA A - Zaokruži slovo ispred točnog odgovora ( svaki točan odgovor boda ) 1. Staza gibanja Mjeseca oko Zemlje nalazi se u ravnini ekliptike. a) točno b) netočno. Pretpostavimo da se nalazimo na planetu Marsu. Koji bi nam planeti Sunčevog sustava mogli prividno prijeći preko Sunčeve ploče: a) Merkur, Venera, Saturn i Uran b) Merkur, Venera i Zemlja, Uran i Jupiter c) Merkur, Venera i Zemlja d) svi planeti osim Marsa 3. Rigel je plavi superdiv koji je u odnosu na Sunce: a) veći i topliji b) veći i hladniji c) manji i topliji d) manji i hladniji

10 4. U jednom kalendarskom mjesecu moguće je vidjeti dva uštapa a) DA b) NE 5. Rep repatica (kometa) uvijek je usmjeren: a) u smjeru prema Suncu b) u smjeru prema Jupiteru c) u smjeru od Sunca d) u smjeru od Zemlje B - Odgovori ili dopuni (svaki točan odgovor boda) 1) Koliko godina treba Suncu za jedan okret oko središta galaksije, i kako se to vrijeme zove? 30 milijuna godina (0-40), galaktička godina (kozmička godina) ) Neka zvijezda ima visinu 35 stupnjeva iznad horizonta. Kolika je njena zenitna udaljenost? 55 stupnjeva 3) Središte naše galaksije nalazi se u smjeru zviježđa Strijelac 4) Koje je boje Mjesec tijekom pomrčine Mjeseca? Crvene (zagasito crvene) 5) Satelit SOHO već nekoliko godina proučava Sunce

11 ZADACI 1) Koliko vremena treba svjetlosnom signalu da se vrati na Zemlju ako se odbije od zrcala na Mjesecu? Prosječna udaljenost Zemlje i Mjeseca iznosi 0,0057 aj. s=0,0057 aj m aj -1 = m boda v= m s -1 boda t = s/v t = 1,85 s t ukupno = t =,57 s UKUPNO boda boda boda 10 bodova Ukoliko nedostaje ili nije ispravna mjerna jedinica oduzima se bod za svaku mjernu jedinicu ) Za vrijeme najmanjeg sjaja Neptun je prividne magnitude 8, dok planetoid Ceres ima prividnu magnitudu 9. Odredi koji objekt je sjajniji i koliko puta. Vidimo li Neptun golim okom? Možemo li vidjeti Ceres golim okom? sjajniji je Neptun n = m C - m N n = 1 boda boda v =,51 n ili v je umnožak broja,51 boda n puta v =,51 puta Neptun ne vidimo golim okom Ceres ne vidimo golim okom UKUPNO 10 bodova

12 3) Skiciraj maksimalnu istočnu elongaciju Venere, opoziciju Marsa i izračunaj udaljenost Marsa od Zemlje, ako je udaljenost Zemlje od Sunca km, udaljenost Marsa od Sunca km. Izrazi udaljenost u astronomskim jedinicama. Položaj pojedinog planeta (putanja) 3 3 boda Oznake svih planeta Maksimalna elongacija boda Opozicija boda Venera d = d M - d Z a d = km UKUPNO Ukoliko nema mjerne jedinice bod manje a 10 bodova Zemlja Mars 4) Na slijepoj karti ucrtaj zviježđa Malih i Velikih kola, Casiopeje, te označi imenom zvijezdu Polaris. Uz zviježđe napiši kraticu pripadnog zviježđa. Svako zviježđe boda 3 Svaka kratica zviježđa 3 Označena zvijezda Polaris UKUPNO 6 bodova 3 boda 10 bodova UMa UMi Polaris Cas

13 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole 18. ožujka 011. RJEŠENJA PITANJA Zaokruži slovo ispred točnog odgovora ( svaki točan odgovor boda ) 1. Za motritelja na sjevernoj polarnici Sunce se nalazi u gornjoj kulminaciji na horizontu samo oko: a) proljetnog ekvinocija b) ljetnog solsticija c) jesenjeg ekvinocija d) zimskog solsticija. Na svom putu prema Jupiteru letjelica Galileo približila se asteroidu: a) Gaspra b) Geographos c) Mathilda d) Toutatis 3. Vremenski period koji proñe izmeñu dvije uzastopne iste faze Mjeseca naziva se: a) sinodički mjesec b) siderički mjesec c) lunarni mjesec d) solarni mjesec 4. Prosječna temperatura Sunčeve fotosfere je oko: a) K b) K c) K d) K. 5. Najviša planina na Veneri je a) Maat Mons b) Maxwell Montes c) Olympus Mons d) Sif Mons Odgovori ili dopuni ( svaki točan odgovor boda) 6. Letjelica New Horizons lansirana je 006. godine u cilju istraživanja Mjeseca DA NE 7. Sunce je središte našeg planetarnog sustava, a istovremeno je i središte naše Galaksije. 1

14 DA NE 8. Prvi čovjek koji je prije pedeset godina lansiran u stazu oko Zemlje bio je Jurij Gagarin 9. U zviježñu Bika nalaze se dva otvorena zvjezdana skupa, koja su poznavali još stari narodi. Kako se zovu ti skupovi? Vlašići ( Plejade ) i Hijade 10. Granica na Mjesecu izmeñu dana i noći zove se terminator ( sumračnica ). ZADACI 1. Na Merkuru je Markova masa 54 kg. Koristeći se tablicom odgovori: a) Kolika je Markova masa na Veneri? b) Kolika je Markova težina na Marsu? c) Koliko je puta Markova težina na Marsu veća od njegove težine na Mjesecu? Odgovor zaokruži na jednu decimalu! Nebesko tijelo Gravitacija m/s s Nebesko tijelo Gravitacija m/s s Sunce 74,1 Mars 3,78 Merkur 3,703 Jupiter 5,93 Venera 8,87 Saturn 11,19 Zemlja 9,81 Uran 9,01 Mjesec 1,65 Neptun 11,8 a) masa je 54 kg ( m = 54 kg ) boda b) m = 54 kg g Mars = 3,78 m/s G Mars =? G Mars = m g Mars G Mars = 54 kg 3,78 m/s G Mars = 01,31 N c) m = 54 kg g Mjesec = 1,65 m/s G Mjesec =? G Mjesec = m g Mjesec G Mjesec = 54 kg 1,65 m/s G Mjesec = 87,75 N 3 boda 3 boda

15 Markova težina na Marsu je,3 puta veća. Ukupno 10 bodova. Sunce i Mjesec vidimo pod istim kutom od 0,5. S unce je 400 puta dalje od Mjeseca. Koliki je promjer Sunca, ako je polumjer Mjeseca km. Skica sa upisanim oznakama! Crtež s oznakama 3 boda r Mjeseca = km d Mjeseca = r Mjeseca d Mjeseca = km = km d Sunca : d Mjeseca = 400 : 1 ( Uputa: Treba priznati svaki omjer koji je točan ) d Sunca = 400 d Mjeseca d Sunca = km d Sunca = km 6 bodova Ukupno 10 bodova 3. Poveži zvijezde sa zviježñima: Alčita Algieba Gemma Nekar Porrima Boo CrB Crv Leo LMi Vir 3

16 Svaki točno spojeni par boda Ukupno 10 bodova 4. Nacrtaj zviježñe Lava, označi i imenuj α Leo i β Leo Skica boda Svaka točno označena zvijezda po boda Svaki točan naziv po boda Ukupno 10 bodova 4

17 RJEŠENJA za Županijsko natjecanje iz astronomije razred osnovne škole 18. ožujka 011. PITANJA Zaokruži slovo ispred točnog odgovora ( svaki točan odgovor boda ): 1. Slika predstavlja: a) eliptičnu galaktiku u zviježñu Pegaz b) spiralnu galaktiku u zviježñu Pegaz c) eliptičnu galaktiku u zviježñu Andromeda d) spiralnu galaktiku u zviježñu Andromeda. Najbliža i najdalja točka na putanji nebeskog tijela (prirodnog i umjetnog satelita) na putanji oko Zemlje je: a) perijov i apojov b) afel i perihel c) perigej i apogej d) perihel i afel 3. Prvi je u antičko doba odredio polumjer Zemlje: a) Hiparh b) Eratosten c) Aristotel d) Ptolemej 4. Vega, alfa Lyr i prividne magnitude 0,0; po sjaju je u odnosu na Polaris, alfa UMi i prividne magnitude,0: a) sjajnija,51 puta b) sjajnija,51 x,51 puta c) manjeg sjaja za,51 puta d) manjeg sjaja za,51 x,51 puta 5. Zemljina os opisuje stožac oko pola ekliptike, a vrijeme potrebno da opiše 1

18 jedan puni krug zove se Platonova godina i iznosi: a) 5800 godina b) godina c) 5800 godina d) godina Ako je tvrdnja točna, zaokruži slovo T, a ako je netočna, zaokruži slovo N (svaki točan odgovor boda): 6. Sunce je smješteno u ekvatorskoj ravnini Galaktike i udaljeno od središta 3000 gs. T N (udaljenost: gs) 7. Masa nekog tijela na Mjesecu ista je kao na Zemlji. T N Nadopuni točnim odgovorom (svaki točan odgovor boda): 8. Apsolutna zvjezdana veličina M je ona veličina koju bi zvijezda imala da se nalazi na udaljenosti od 10 pc (parseca). 9. Hubbleov teleskop za objektiv ima udubljeno ili konkavno sferno zrcalo. /dovoljno je napisati: udubljeno zrcalo/ 10. Dvije osnovne koordinate ekvatorskog koordinatnog sustava su: deklinacija i rektascencija. /jedan bod priznati ako su navedeni samo simboli: D i RA ili α i δ/ ZADACI

19 1. Deneb, najsjajnija zvijezda u zviježñu Labuda, udaljena je 1600 gs. Odredi: a) udaljenost ove zvijezde u kilometrima b) udaljenost ove zvijezde u parsecima c) paralaksu zvijezde izraženu u lučnim sekundama 10 a) Račun za 1 gs: s = v t = km/s 365d 4h 60min 60s = 9, km 3 boda Račun za 1600 gs: s = , = 1, km b) 1 pc = 3,6 gs 1600 : 3,6 = 490,8 pc c) p ('') = 1 : d (pc) = 1 : 490,8 = 0,00'' boda boda 3 boda Napomena: priznati i ako učenici u rješenjima napišu više decimalnih mjesta, te ako ispišu rezultate pod a) s nulama, bez potencija.. Potraga za novim planetom X Sunčeva sustava odvija se na udaljenosti od 50 astronomskih jedinica, u području tzv. Kuiperova grebena. Koliko bi iznosio period revolucije ovog planeta? Koliko bi taj planet bio udaljen od Zemlje u položajima: a) opozicije b) konjunkcije c) kvadrature? Skicirajte! 14 Treći Keplerov zakon: a X 3 : a Z 3 = T X : T Z T X = ( a X 3 T Z ) : a Z 3 = (50 3 1god ) : 1aj 3 T X = 353,55 godina 3 boda Položaji vanjskih planeta: 1 aj 3

20 a) opozicija: Planet Z S d (X-Z) = 49 aj 50 aj Skica: Udaljenost: b) konjunkcija: 1 aj Z S 50 aj d (X-Z) = 51 aj Skica: Udaljenost: c) kvadratura: 1 aj Primjena Pitagorina poučka: Z S 1 aj c = a + b d = 50 1 d 50 aj 50 aj d = 49,99 aj /~ 50 aj/ Skica u kojoj se uočava pravokutan trokut: 3 boda Udaljenost: 3 boda 3. Dopuni tablicu na odgovarajući način: 10 4

21 Zvijezda Oznaka za Zviježñe zvijezdu Kapela (Capella) alfa Aur ili: α Aur Regulus alfa Leo Lav ili: Leo Rigel beta Ori Orion Kočijaš ili: Auriga Gemma Šedir (Shedir) alfa CrB ili: α CrB alfa Cass ili: α Cass Sjeverna Kruna ili: Corona Borealis Kasiopeja ili: Cassiopeia Po jedan bod za svaki točan pojam Napomena: dovoljan je samo jedan način zapisa 4. Sekstantom je izmjerena visina Sjevernjače u iznosu od 15 30' za opažača na Zemlji. Odredite: a) geografsku širinu opažača b) zenitnu udaljenost Sjevernjače. Skicirajte! Koji je uvjet potreban da se zadatak jednostavno riješi? 6 a) geografska širina opažača jednaka je visini Sjevernjače: φ = 15 30' boda b) zenitna udaljenost: z = ' = 74 30' Skica: N z φ Zenit boda Skica: Napomena: potrebne oznake za N Sjeverni nebeski pol φ geografsku širinu /ili neki drugi znak/ z zenitnu udaljenost Uvjet: za račun je potrebno uzeti obzir da je Sjevernjača točno u Sjevernom nebeskom polu! 5

22 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije razred srednje škole 18. ožujka 011. godine ODGOVORI NA PITANJA Zaokruži točan odgovor (moguće je i više točnih odgovora): 1. Popularnosti Dobsonove montaže najviše je pridonijela: a) mogućnost snimanja astrofotografija zbog izvrsnog praćenja b) jednostavnost izrade i relativno niska cijena c) mogućnost prihvata svih vrsta teleskopa d) visoka stabilnost zbog uporabe isključivo metalnih dijelova. Proljetna točka je za promatrača smještenog na sjevernom geografskom polu Zemlje prividno: a) uvijek ispod obzora b) uvijek iznad obzora c) od prvog dana proljeća do prvog dana ljeta ispod obzora d) od prvog dana jeseni do prvog dana zime iznad obzora e) ništa od navedenog 3. Za zvijezdu plave boje uvijek možemo ustvrditi da je: a) sjajnija od zvijezde crvene boje. b) toplija od zvijezde crvene boje. c) veća od zvijezde crvene boje. d) hladnija od zvijezde crvene boje. e) manja od zvijezde crvene boje.

23 4. Astronautu na Marsu: a) nebo će biti potpuno tamno jer mu je atmosfera veoma rijetka. b) biti će lakše hodati nego na Zemlji jer tamo ima manju masu. c) Zemlja će u gornjoj konjunkciji sa Suncem biti prividno veća nego Jupiter u opoziciji sa Suncem d) Mjesec će u gornjoj konjunkciji sa Suncem biti prividno veći od Merkura u donjoj konjunkciji e) ništa od navedenog 5. U mjesno podne Marko je mjerio duljinu sjene gnomona, a istovremeno je Ivan istim takvim gnomonom mjerio sjenu na lokaciji udaljenoj 1000 km. Oba su se nalazila na Zemljinom ekvatoru. a) Na prvi dan proljeća Marko je izmjerio dulju sjenu od Ivana. b) Na prvi dan ljeta Marko je izmjerio dulju sjenu od Ivana. c) Na prvi dan proljeća Marko je izmjerio kraću sjenu od Ivana. d) Na pvi dan ljeta oba su izmjerila sjenu jednake duljine. Nadopuni: 6. Letjelica Mariner 9 poslala je i 197. godine snimke površine planeta Marsa. 7. Koja pogreška je karakteristična za refraktorske tipove teleskopa za razliku od reflektorskih? Kromatska aberacija. 8. Razlika između pravog i srednjeg sunčeva vremena uvjetovana je eliptičnom Zemljinom stazom (nejednolikom brzinom kruženja Zemlje) i nagibom osi rotacije Zemlje prema ravnini ekliptike. 9. Točku na stazi koja sječe ekliptiku kroz koju Mjesec dolazi "ispod" nje nazivamo silazni čvor. 10. Planet Sunčevog sustava na čijem je sjevernom polu Sunce neprekidno najdulje iznad obzora je Neptun.

24 RJEŠENJA ZADATAKA 1. Krešo je pratio gibanje malog tijela Sunčeva sustava i utvrdio da je između dvije opozicije proteklo 448,8 dana. Na osnovu mjerenja provedenog blizu stacionarnog položaja planetoida utvrdio je da krivulja promjene sjaja ima period od 0 sati i 6 minuta. Koliki je siderički period revolucije tijela iskazan u godinama, srednja udaljenost od Sunca (u astronomskim jedinicama), te koliko traje dan na njemu ako je rotacija progradna i ako zanemarimo izduženosti njegove i staze Zemlje? 10 S = 448,8 dana P rot = P rot sid = 0 h 6 min = 0,1 sati = 0,8375 dana = S A T boda = = 5, T 365, 5 448,8 T = 196 d = 5,37 godina T 3 1 a T 3 a = = boda 3 a = 5,37 = 3,067a.j = Protsin Protsid T = = 1,1935 P 0, rot sin h min P rot sin 0, ,5 = =

25 . Kojom brzinom (u m/s) se letjelica približava Suncu i na kojoj se udaljenosti nalazi ako je Sunce prividno veliko 1" i povećava se 0,3" na dan. Je li moguće teleskopom poput Hubbleovog (pri λ = 550 nm i d =,4 m) uočiti ovu dnevnu promjenu sa točnošću od ±0%? (Polumjer Sunca r S = m) Uputa: najmanji kut koji se može razlučiti teleskopom proporcionalan je valnoj duljini opažene svjetlosti pomnožene s korektivnim faktorom 1,, a obrnuto proporcionalan otvoru teleskopa. 10 1" π α = = = rs rs rs d = = α α tg α d = = 6 4, " 4, rad 14, m boda Jednako bodovati pristup pomoću aproksimacije i pomoću trigonometrijskih funkcija! Alternativno: Isti rezultat je moguće dobiti ako učenik zna koliko iznosi 1 a.j. (149, m) i da je Sunce gledano sa Zemlje približno veliko 3'. U tom je slučaju: α Zemlja d = dz-s = 149,6 10 =,87 10 m 3 boda αletjelica Δα v= rs Δt π 0,3 v = m v = 84,36 s 6 najmanji kut koji možemo razlučiti teleskopom: λ λ ϑ = 1, d = 1, d ϑ teleskop mora razlučiti 0% kuta dnevne promjene: ϑ = 0,3" 0, = 0,06" d = 1, =,31m π 0, Teleskopom poput Hubbleovog (d =,4m) teoretski je moguće uočiti ovu promjenu. (ovo rješenje može se priznati bez računanja promjera samo u slučaju ako učenik zna da Hubbleov teleskop može razlučiti kut ϑ 0,058")

26 3. Ivan je 3. rujna u 11 sati i 30 minuta po lokalnom vremenu iz Praga (15 E; 50 N) krenuo na put zrakoplovom. Nakon 7,5 sati leta zrakoplov je sletio, a Sunce se nalazilo točno na obzoru. Prilikom zalaska Mjeseca u fazi prve četvrti, Mjesečev terminator je bio gotovo paralelan s obzorom. Ako je prosječna brzina zrakoplova na prosječnoj visini od m bila 805 km/h odredi približne koordinate zračne luke na koju je sletio. Pretpostavi da je letio najkraćim putem. (d Z = 1756 km) 10 Nakon 7,5 sati leta bilo je 18 h (po SEV-u), a kako je Sunce bilo na obzoru (na prvi dan jeseni) to znači da je geografska duljina mjesta ili 15 E ili 165 W, iz čega proizlazi da je zrakoplov letio usporedo s meridijanom. boda Opseg staze zrakoplova na visini m: O= rπ = ( rz + h) π = ( dz + h) π O = ( ) π = km Kut koji prevali zrakoplov: Δ ϕ = s = v t O O 360 Δ ϕ = 805 7,5 = 54, Kandidati su lokacije: ϕ1, = ϕprag ±Δϕ ϕ 1 = 180 ( ,15 ) = 75,85 N ϕ = 50 54,15 = 4,15 N = 4,15 S Mjesečev terminator prilikom zalaska Mjeseca u fazi prve četvrti je približno paralelan s obzorom u blizini ekvatora. Stoga su približne koordinate zračne luke 15 E, 4,15 S. boda Komentar: U blizini ovih koordinata nalaze se zračne luke u Brazzavilleu (Republika Kongo) i Kinshasi (Demokratska Republika Kongo) pa nam znanje astronomije u ovom slučaju ne može pomoći da sa sigurnošću utvrdimo u koju smo državu sletjeli.

27 4. Na priloženoj slijepoj karti prikazano je jedno zviježđe. a) Ucrtaj položaje dviju zvijezda koje nedostaju i napiši njihove nazive. b) Poveži zvijezde u zviježđe. c) Označi približne položaje svih Messierovih objekata u tom zviježđu s njihovim oznakama. 10 a) Svaki točno ucrtan položaj po (ukupno boda) Svaki točno upisan naziv po (ukupno boda) b) povezane osnovne zvijezde povezane ostale zvijezde boda c) svaki položaj i oznaka po (ukupno 3 boda)

28 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije razred srednje škole 18. ožujka 011. godine ODGOVORI NA PITANJA I RJEŠENJA ZADATAKA Zaokruži točan odgovor: 1. Ako o nekoj zvijezdi znamo da je crvene boje, onda sigurno znamo: a) ta zvijezda je veća od Sunca b) ta zvijezda je manja od Sunca c) ta zvijezda se udaljava od Sunca d) ta zvijezda je hladnija od Sunca e) ta zvijezda je toplija od Sunca. Zvijezda s rektascenzijom 6 h doći će u položaj gornje kulminacije u ponoć na: a) prvi dan ljeta b) prvi dan jeseni c) prvi dan zime d) prvi dan proljeća e) niti jedan od navedenih dana 3. Reflektirajuća površina pomoćnog zrcala na Cassegrainovu tipu teleskopa je: a) ravna b) sferna c) eliptična d) parabolična e) hiperbolična 4. Koji od navedenih objekata ima, gledano sa Zemlje, najveću dnevnu paralaksu? a) Sunce b) Mjesec c) Proxima Centauri d) Venera e) Veliki Magellanov oblak 1

29 5. Koja od navedenih montaža teleskopa ne postoji: a) Dobsonova montaža b) altazimutalna montaža c) francuska ekvatorijalna montaža d) njemačka ekvatorijalna montaža e) engleska ekvatorijalna montaža Nadopuni rečenicu: 6. Omjer intenziteta reflektiranog zračenja i intenziteta upadnog zračenja na neki planet naziva se albedo. 7. Otvoreni skup zvijezda M44 u zviježñu Raka naziva se i Praesepe (Jaslice). 8. Izmjeren je satni kut zvijezde od 4 h 30 min. Ako je zvjezdano vrijeme h 15 min, rektascenzija te zvijezde iznosi 1 h 45 m. 9. Prosječno najstalniju i najveću zenitnu satnu frekvenciju (ZHR) ima meteorski roj Geminidi. 10. Galaksije koje su po svojem izgledu izmeñu eliptičnih i spiralnih galaksija nazivaju se lentikularne galaksije.

30 RJEŠENJA ZADATAKA 1. Koliko bi trebalo promijeniti brzinu satelita koji se oko Zemlje giba po kružnoj stazi na visini od 500 km da bi napustio Zemljino gravitacijsko polje? Masa Zemlje iznosi 4 M = 6 10 kg, polumjer Zemlje je R = 6378 km i gravitacijska konstanta iznosi G Nm kg 11 = 6, R = 6378 km r = R + h = 8878 km 4 M = 6 10 kg 11 Nm G = 6, kg v =? Brzina kruženja se izračuna izjednačavanjem centripetalne i gravitacijske sile: Mm mv Fg = Fcp G = () r r Prva kozmička brzina za visinu r iznosi: v I M = G ( boda) r 10 v I 4 11 Nm 6 10 kg = 6, = 6714 m/s ( boda) 6 kg 8, m Druga kozmička brzina za visinu r se računa: v II M = G ( boda) r v II 4 11 Nm 6 10 kg = 6,67 10 = 9495 m/s ( boda) 6 kg 8, m Potrebna promjena brzine je razlika druge i prve kozmičke brzine za visinu r: v = v v = 9495 m/s 6714 m/s = 781m/s () II I Ukupno: 10 bodova 3

31 . U dvojnom zvjezdanom sustavu zvijezde obiñu oko zajedničkog težišta za 1 dana Ako je masa jedne zvijezde m 1 = 10 kg, a druge m = 10 kg, izračunaj udaljenost svake zvijezde od zajedničkog centra mase. Gravitacijska konstanta iznosi: 11 Nm G = 6, kg 6 T = 1 dana = 1, s 31 m 1 = 10 kg 31 m = 10 kg 11 Nm G = 6, kg a = 1? a =? Treći Keplerov zakon za dvojni sustav glasi: 10 T ( m1 + m) 4π = ( boda) 3 a G a GT ( m + m ) GT ( m + m ) = = ( boda) 4π 4π a 11 Nm , (1, s) (10 kg + 10 kg) 3 kg 10 a = = 3,79 10 m () 4π Udaljenosti zvijezda od centra mase računamo iz sljedeće dvije jednadžbe: a + a = a 1 a1 m = a m1 sustav jednadžbi: (1 +) a1 m = = a1 = a ; uvrštavanjem u prvu jednadžbu: a m1 a a + a = a a = 3 () 10 3,79 10 m 10 a = = 1,6 10 m 3 () a1 = a a = 3, m 1, 6 10 m =,53 10 m () Ukupno: 10 bodova 4

32 3. Astronom-amater promatra Saturn (čiji je polumjer km) kroz astronomski teleskop ukupne duljine 100 mm. Saturn je u tom trenutku od Zemlje udaljen 1,4 milijarde km. Promatrano kroz okular teleskopa Saturn ima prividni kutni promjer od 0,. Kolika je žarišna daljina teleskopa ako se zanemari spljoštenost Saturna? r = km 9 d = 1, 4 10 km L = 100 mm δ = 0, 10 f =? T f =? O r km 5 α [ rad] = = = 8, rad 9 d 1,4 10 km 180 α [ ] = α [ rad ] = 0,00494 ( boda) π 0, Povećanje: M δ = = = 40,5 ( boda) α 0, f = = () T M ft M fo fo L = ft + f ( 1) O = M fo + fo = fo M + () L 100 mm fo = = = 9 mm M ,5 + 1 ( boda) f = L f = 100 mm 9 mm = 1171mm ( boda) T O Ukupno: 10 bodova 5

33 4. Odredi srednju udaljenost izmeñu Sunca i Ceresa (izraženu u astronomskim jedinicama) ako je prosječni srednji prividni promjer Ceresa gledan sa Zemlje u vrijeme opozicije,47 puta veći nego kada je Ceres u konjunkciji sa Suncem. 10 dop =, 47 dko r =? C S Prividni promjer Ceresa i njegova udaljenost od Zemlje su obrnuto proporcionalni. d r + r = d r r op C S Z S ko C S Z S ( boda) Udaljenost izmeñu Zemlje i Sunca je 1 astronomska jedinica, tj. rz S = 1 a.j., te navedena jednadžba izražena u astronomskim jedinicama poprima sljedeći oblik: d d op ko r = r C S C S + 1 ( boda) 1 dop ( rc S 1) = rc S + 1 d d d d d op ko op ko ko dop rc S = rc S + 1 d ko dop rc S rc S = 1+ ( boda) d ko dop dop rc S 1 = 1+ dko dko dop + 1 dko rc S = dop 1 dko ( boda), rc S = =,36 a.j., 47 1 ( boda) Ukupno: 10 bodova 6

34 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije 011. III. razred srednje škole 18. ožujka 011. Zaporka riječ peteroznamenkasti broj PITANJA 1. Jedna vrlo poznata zvijezda je druga najsjajnija u zviježñu Perzeja. U stvarnosti, radi se o prvom otkrivenom pomrčinskom sustavu triju zvijezda. Vrijednost sjaja je približno konstanta i iznosi,1 m, ali periodički, svaka dva dana, opadne na 3,4 m. Zvijezda se zove: a) Mirfak b) Algol c) Spica d) Zubenešamali e) Altair [ boda]. Svjetlost koju uočavamo kao meteor nastaje zbog: a) ablacije b) katalitičkih reakcija reorganizacije molekula zraka c) pregrijavanja tijela meteoroida d) ionizacije molekula zraka e) reakcija pri kojima nastaju elementi teži od željeza [ boda] 3. Koje su tvrdnje o Titanu točne: a) prvi otkriveni satelit nekog drugog planeta b) Uranov satelit c) atmosfera se sastoji od dušika, uz mnogo ugljikovog dioksida d) veći je od Merkura e) jedan je od galilejanskih satelita f) atmosfera se sastoji od dušika, uz mnogo ugljikovodika g) njegovim raspadom nastali su Saturnovi prstenovi [ boda svaki točan odgovor po ] 1

35 4. Kad bi se planeti Sunčeva sustava mogli promatrati iz nekog udaljenog planetnog sustava, koji bi planet imao najveći Dopplerov pomak? a) Venera b) Jupiter c) Neptun [ boda] 5. Apsolutni sjaj Rigela je otprilike puta veći od apsolutnog sjaja Sunca, dok je apsolutni sjaj Siriusa B oko puta manji od apsolutnog sjaja Sunca. Obje zvijezde pripadaju spektralnoj klasi B8. Iz tih podataka zaključite koja od tih zvijezda ima veću površinsku temperature: a) Rigel b) Sirius B c) temperatura obje zvijezde je jednaka [ boda] Dopunite rečenice 6. Na slici su prikazane krivulje zračenja četiriju zvijezda. Najveću temperaturu ima zvijezda, a najsjajnija je zvijezda. Rješenje: Na slici su prikazane krivulje zračenja triju zvijezda. Najveću temperaturu ima zvijezda A, a najsjajnija je zvijezda B. [ boda svaki točan odgovor po ] 7. Ako se udaljavamo od površine Sunca, temperatura najprije, a zatim, ako se i dalje udaljavamo od površine prema koroni, temperatura. Rješenje: Ako se udaljavamo od površine Sunca, temperature najprije opada, a zatim, ako se udaljavamo prema koroni, temperatura raste. [ boda svaki točan odgovor po ] 8. Dio Hertzsprung-Russellovog dijagrama u kojemu većina zvijezda provede najveći dio svog života zove se, a najvažniji parameter koji odreñuje tok evolucije zvijezde je zvijezde. Rješenje: Dio Hertzsprung-Russelovog dijagrama u kojemu većina zvijezda provede najveći dio svog života zove se glavni niz, a najvažniji parameter koji odrñuje tok evolucije zvijezde je masa zvijezde.

36 [ boda svaki točan odgovor donosi po ] 9. Brzina kruženja planeta oko Sunca s udaljenošću od Sunca, a brzina prirodnih satelita s udaljenošću od središnjeg planeta. Rješenje Brzina kruženja planeta oko Sunca opada s udaljenošću od Sunca, a brzina prirodnih satelita opada s udaljenošću od središnjeg planeta. [ boda svaki točan odgovor donosi po ] 10. Najudaljeniji object kojega možemo vidjeti golim okom je, a najbliže nebesko tijelo kojega redovito opažamo je. Rješenje: Najudaljeniji objekt kojega možemo vidjeti golim okom je galaksija u Andromedi (priznaje se i Andromedina galaksija i M31), a najbliže nebesko tijelo kojega redovito opažamo je Mjesec. [ boda svaki točan odgovor donosi po ] 3

37 ZADACI 1. Slike prikazuju zvijezdu (označen je prividni sjaj okolnih zvijezda) i njen spektar. Ako je za tu zvijezdu izmjerena paralaksa 4,09 lučne milisekunde, ucrtajte njen položaj u HR dijagramu i odredite spektralnu klasu kojoj pripada zvijezda. (Wienova konstanta je b =, m K),85 0,95-0,64,1 4

38 Rješenje: 5

39 Fotografija površina slike zvijezde je proporcionalna prividnom sjaju te zvijezde. Prema tome, iz promjera zvijezda dobivamo njihove površine: d A = π Odredi se ovisnost prividnog sjaja o površini: d / mm A / mm l / m 5 196,5-0, , 0, ,9,1 5 78,5,85 To je zgodno nacrtati: [] [ boda] l / m [] A / mm Zatim se odredi površina nepoznate zvijezde: d = 10 mm A = 314 mm [ boda] Nanošenjem na baždarni dijagram dobivamo prividni sjaj l nepoznate zvijezde: 6

40 l / m l =,00 m A / mm [] {Alternativno, sjaj se može dobiti i ovako: I 1 A 1 l1 l =,5log =,5log I A l =,00 m } [] Apsolutni sjaj L se dobiva iz udaljenosti zvijezde od promatrača, a ta udaljenost (u parsecima) se dobiva iz paralakse: 1 d = [] p p = 4, d = 3,76 pc [] d L = l 5log [] 10 L = 0,1 m [] Sad se iz spektra zvijezde dobiva njena temperatura. Očita se položaj maksimuma: λ max = 5100 Ǻ = 510 nm [] Iz Wienovog zakona dobiva se temperatura: b T = [] λmax T = 5700 K [] Sad imamo sve potrebne podatke pa to jednostavno ucrtamo u priloženi HR dijagram: 7

41 Zvijezda spada u divove spektralne klase G. [ boda] [Ukupno 16 bodova]. Pri kojem bi periodu rotacije T nebesko tijelo mase M = 15 M imalo obodnu brzinu na ekvatoru jednaku polovici brzine svjetlosti. Koliki bi bio polumjer tog tijela? Gravitacijska konstanta G = 6, N m kg - ; M = kg. Rješenje: mv mm = G R R 1 GM c = R R = m Rπ v = T 1 Rπ c = T 4Rπ T = c T = 3,73 ms [ boda] [] [ boda] [] 8

42 [ukupno 6 bodova] 3. Ako je masa Zemlje 5, kg, a njen polumjer 6400 km, kolika je najmanja udaljenost do koje se Zemlja može približiti crnoj rupi mase 15 M, a da se ne raspadne pod djelovanjem plimne sile (M = kg)? Rješenje: Plimna sila F p uzrokuje raspad tijela ako je F p > F M Gdje je F M sila koja drži tijelo na okupu. Sad izrazimo te sile: Mm Mm Fp = FA FB = G ( r d ) ( r + d ) d Fp = GMm r 3 d r d (izraz se svodi na ( r d / 4) r 3 jer je d << r, pa je (r d /4) r ) A F M d B [3 boda za jasnu skicu, boda za izraz] (M je masa crne rupe, m je masa Zemlje, FA i FB su sile koje drže na okupu zamisšljene polovice Zemlje d je udaljenost izmeñu središta polovica Zemlje, što je 6400 km r je udaljenost Zemlje od crne rupe). m FM = G [] d Iz uvjeta raspada: F = F p M d m GMm = G [ boda] 3 r d M m = 3 3 r d Iz toga dobivamo izraz za kritičnu udaljenost: r = d M 3 [] m r = 1,110 6 km [] [ukupno 10 bodova] 9

43 4. Natrijeva D-linija, mjerena u laboratoriju, nalazi se na 589,3 nm. Ista ta linija, ali opažena u spektru galaksije, nalazi se na 600,0 nm. Odredite brzinu kojom se ta galaksija udaljava od nas te njenu trenutnu udaljenost u parsecima i svjetlosnim godinama, ako je Hubbleov parametar H 0 = m s -1 Mpc -1. Rješenje: λ 0 = 589,3 nm λ = 600,0 nm Prvo trebamo utvrditi koliko je brzina manja od brzine svjetlosti, kako bismo znali da li moramo koristiti relativistički izraz za Dopplerov efekt: v λ λ0 z = = c λ0 [ boda] z = 0, 0178 S obzirom na to da je z mali, koristimo nerelativistički izraz za Dopplerov efekt: 0 v c λ = λ [] λ0 v = 5, m s -1 Udaljenost se odreñuje pomoću Hubbleovog zakona: v = Hd v [ boda] d = H d = 76,3 Mpc [] 1 pc = 3,6 g.s. [] d =, g.s. [] [ukupno 8 bodova] 10

44 Pitanja i zadaci za Županijsko natjecanje iz astronomije razred srednje škole 18. ožujka 011. Zaporka riječ peteroznamenkasti broj Pitanja Zaokružite slovo ispred točnog odgovora ili dopunite rečenicu (svaki točan odgovor donosi boda) 1. Koja od navedenih tvrdnji o zvijezdama nije točna? a) Zvijezda veće mase živi kraće od zvijezde manje mase. b) Boja zvijezde ovisi o površinskoj temperaturi. c) Postoje zvijezde čija je temperatura površine veća od milijun kelvina. d) Sve su zvijezde nastale sažimanjem međuzvjezdane tvari. Rješenje: c ( boda). Koja od sljedećih pojava nije izvor energije? a) fisija; b) fuzija; c) anihilacija; d) retardacija. Rješenje: d ( boda) 3. Najveći broj galaksija u svemiru, po izgledu, su: a) eliptičke; b) spiralne; c) lentikularne; d) nepravilne. Rješenje: b ( boda)

45 4. Koje tvrdnje o našoj galaksiji su točne? a) Ukupna masa galaksije je približno 10 9 Sunčevih masa. b) Sunce se oko središta galaksije giba brzinom od,3 km/s. c) Sunce je od središta galaksije udaljeno 8,5 kpc. d) Luminozitet galaksije jednak je približno 10 milijuna Sunčevih luminoziteta. Rješenje: a, c ( boda) 5. Širenje svemira znači da se: a) sve u svemiru širi; b) galaksije s vremenom šire; c) udaljenost skupova galaksija od Zemlje s vremenom povećava; d) sve galaksije u svemiru udaljavaju jedna od druge. Rješenje: c ( boda) 6. Međudjelovanje koje određuje dinamiku svemira je gravitacijsko međudjelovanje. Rješenje: gravitacijsko ( boda) 7. Luminozitet je ukupna snaga zračenja astronomskog objekta. Rješenje: snaga ( boda) 8. Bijeli patuljak je zvijezda koja se uglavnom sastoji od degeneriranog plina. Rješenje: degeneriranog ( boda) 9. Seyfertove galaksije, radiogalaksije, N-galaksije, blazari i kvazari su jednim imenom aktivne galaksije. Rješenje: aktivne ( boda) 10. Kozmološko načelo sadrži dva zahtjeva: homogenost i izotropnost. Rješenje: homogenost, izotropnost ( boda)

46 Zadaci 1. Učenik je mjerenjem utvrdio da se Sunce sa Zemlje vidi pod kutom od 0,5 o te da snaga njegova zračenja po kvadratnom centimetru, na Zemlji, iznosi 0,14 W. Iz tih je podataka izračunao temperaturu na površini Sunca. Odredite i vi temperaturu Sunca iz tih podataka. Pretpostavlja se poznavanje srednje udaljenosti od Zemlje do Sunca. (ova) Rješenje: Iz izmjerene kutne udaljenosti i trigonometrije dobije se polumjer Sunca tan = R d ( boda) R=d tan = m tan 0,5o m ( boda) Iz izmjerene snage zračenja po jedinici površine i geometrije dobije se snaga Sunca (luminozitet) L 0 =0.14 W 4d cm ( boda) L 0 = m 0,14 W 10 4 m () L W () Iz Stefan-Boltzmannovog zakona za snagu zračenja crnog tijela dobije se temperatura P=S T 4 () L 0 =4 R T 4 () Konačno, temperatura na površini Sunca T = 4 L 0 4 R = K 5800 K ,67 10 ( boda)

47 . Koliko je puta gravitacijsko ubrzanje na površini neutronske zvijezde veće od gravitacijskog ubrzanja na površini Sunca? Mase obiju zvijezda su jednake, a polumjer neutronske zvijezde iznosi 10 km. (8 bodova) Rješenje: Težina je približno jednaka gravitacijskoj sili na površini F tez =F grav ( boda) m g=g m M R () g S =G M S R S g N =G M N R N () g N g S = M N M S R S R N ( boda) g N g S = = ( boda)

48 3. Eliptična galaksija M87 udaljena je od Zemlje 16,4 Mpc. Izračunajte pomak prema crvenom za taj objekt. Za vrijednost Hubbleovog parametra uzmite 71 km s 1 (Mpc) 1. (8 bodova) Rješenje: Hubbleovo zakon je v=h 0 d ( boda) Za male vrijednosti pomaka prema crvenom vrijedi z= v c ( boda) z c=h 0 d z=h 0 d c ( boda) 1 71 kms 16,4 Mpc z= =0,004 Mpc m s ( boda)

49 4. Najudaljeniji astronomski objekt, galaksija UDFj , ima pomak prema crvenom približno 10. Kolika je relativna promjena energije fotona emitiranog s tog objekta i opaženog na Zemlji? Ako opaženi foton ima energiju od ev, kolika je bila energija emitiranog fotona? Kojem području elektromagnetskog spektra odgovara ta energija? (ova) Rješenje: Pomak prema crvenome, z, definiran je kao z= 0 0 ( boda) gdje je 0 valna duljina emitirane svjetlosti, a valna duljina opažene svjetlosti. Valna duljina i frekvencija fotona povezane su izrazom c= () Energija i frekvencija fotona povezane su izrazom Stoga je z= c c 0 = c 0 E=h 0 = h 0 h h = E E 0 E = E E () (3 boda) Relativna promjena energije je E E =z=10=1000% () Energija emitiranog fotona, E 0, je E 0 ev ev =10 E 0 = ev ( boda) E 0 =h 0 =h c 0 = hc E 0 = 6, , =56 nm () To je ultraljubičasto područje. ()

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 2012/ razred osnovne škole. 5. veljače ODGOVORI

Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 2012/ razred osnovne škole. 5. veljače ODGOVORI Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 01/013. 5. razred osnovne škole 5. veljače 013. ODGOVORI Zaokruži slovo ispred točnog odgovora (svaki točan odgovor boda): 1. Na našim geografskim

Διαβάστε περισσότερα

Rješenja PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda)

Rješenja PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda) HRVATSKO ASTRONOMSKO DRUŠTVO Državno povjerenstvo za školska natjecanja i susrete iz astronomije Pitanja i zadaci iz astronomije za županijsko natjecanje 00. 1. &. razred srednje škole Rješenja PITANJA

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda)

PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda) HRVATSKO ASTRONOMSKO DRUŠTVO Državno povjerenstvo za školska natjecanja i susrete iz astronomije Pitanja i zadaci iz astronomije za županijsko natjecanje 003. 4. razred osnovne škole PITANJA A - zaokruži

Διαβάστε περισσότερα

5. razred osnovne škole

5. razred osnovne škole 5. razred osnovne škole PITANJA Odgovori: 1. Kako se zove točka na nebeskoj sferi koja je suprotna zenitu? Nadir. Navedi planete u čijem imenu ima manje od 6 slova! Zemlja, Mars, Uran 3. Oko kojeg planeta

Διαβάστε περισσότερα

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA)

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) OSNOVE ORIJENTACIJE ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) ODREĐIVANJE OSNOVNIH TOČAKA, PRAVACA, KRUŽNICA I RAVNINA NEBESKE SFERE ORIJENTACIJA NA NEBESKOM SVODU ASTROGNOZIJA POZNAVANJE OBJEKATA NA NEBESKOM

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α

Διαβάστε περισσότερα

1. razred srednje škole

1. razred srednje škole Zaokruži točan odgovor ili odgovori! 1. razred srednje škole PITANJA 1. Pomrčina Sunca je pojava koja može nastati samo kada je mjesec u fazi: a) uštapa b) mlađaka c) u zadnjoj četvrti. Poznati komet koji

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

4. razred osnovne škole

4. razred osnovne škole 4. razred osnovne škole Zaokruži slovo ispred točnog odgovora! PITANJA. Zviježđa koja su uvijek iznad obzora (nikad ne zalaze) nazivaju se a) cirkumpolarna zviježđa b) zviježđa zodijaka c) zviježđa južnog

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI

ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI PLANETI ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI Građa terestričkih planeta stjenovito središte, tanka atmosfera km ρ 4880 5,43 12104 5,24 12756 5,52

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258.

Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258. Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258. 2. Da li zvijezde koje promatramo bilo s južnog, bilo sa sjevernog pola

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα