4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch"

Transcript

1 4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών και δίνεται ένα αναλυτικό παράδειγμα κβαντικού υπολογισμού. Παρουσιάζεται η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής και δίνεται το διάγραμμα ροής της. Δίνεται η εξίσωση του Schrödinger στη μορφή στην οποία βασίζεται η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής. Περιγράφεται ο κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch και δίνεται ένα παράδειγμα εφαρμογής του. Προαπαιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα, το πρώτο, δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου. 4. Το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών Όπως είχαμε πει στην αρχή του 3 ου κεφαλαίου, οι κλασικοί υπολογιστές αποτελούνται από αγωγούς και λογικές πύλες, οι οποίες συγκροτούν κυκλώματα και επεξεργαστές. Οι αγωγοί μεταφέρουν την πληροφορία από πύλη σε πύλη όπου γίνεται η επεξεργασία της. Οι πύλες των κλασικών υπολογιστών είναι φυσικά συστήματα και η πληροφορία διέρχεται μέσα από αυτές. Μάθαμε στο ίδιο κεφάλαιο ότι στους κβαντικούς υπολογιστές η πληροφορία βρίσκεται αποθηκευμένη σε uits ή σε κβαντικούς καταχωρητές και παραμένει εκεί. Oι κβαντικές πύλες συνήθως δεν είναι φυσικά συστήματα, αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε uits ή σε κβαντικούς καταχωρητές. Οι κβαντικοί υπολογισμοί είναι δράσεις τελεστών που έχουν ως αποτέλεσμα την περιστροφή διανυσμάτων στο χώρο Hilert. Είναι αδύνατο να σχηματίσουμε κάποια εικόνα για αυτούς στο μυαλό μας. Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες, για να αναπαρασταθούν οι κβαντικοί υπολογισμοί με κάποιο μοντέλο. Το πιο επιτυχημένο μοντέλο, που σήμερα χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά, είναι το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών. Κάθε κβαντικός υπολογισμός, απλός ή πολύπλοκος, μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κύκλωμα. Τα κυκλώματα που αναπαριστούν κβαντικούς υπολογισμούς ονομάζονται κβαντικά κυκλώματα και αποτελούνται από uits, κβαντικούς καταχωρητές και κβαντικές πύλες. Στα κβαντικά κυκλώματα δεν υπάρχει ροή πληροφορίας από πύλη σε πύλη, αλλά διαδοχικές δράσεις κβαντικών πυλών σε κβαντικούς καταχωρητές στους οποίους βρίσκεται αποθηκευμένη η πληροφορία. Τα κβαντικά κυκλώματα αναπαριστούν τη χρονική σειρά και τον τρόπο με τον οποίο δρουν οι κβαντικές πύλες στους κβαντικούς καταχωρητές (Nielsen & Chung, ). Ας αρχίσουμε την παρουσίαση και την περιγραφή του κυκλωματικού μοντέλου των κβαντικών υπολογισμών με ένα παράδειγμα. Στο παράδειγμα αυτό θα αναπαραστήσουμε με ένα κβαντικό κύκλωμα ένα γνωστό μας κβαντικό υπολογισμό, το παιχνίδι του Qunt με τον Cptin Clss. Θα κάνουμε όμως μία μικρή αλλαγή στο συμβολισμό των καταστάσεων του κβαντικού κέρματος. Η κατάσταση στην οποία το κβαντικό κέρμα βρίσκεται με το γράμμα Η στην πάνω όψη συμβολίζεται με και η κατάσταση με το γράμμα Τ στην πάνω όψη συμβολίζεται με, δηλαδή το κβαντικό κέρμα είναι ένα uit. Ο κβαντικός υπολογισμός αποτελείται από τα παρακάτω βήματα: Βήμα ο : Ο Cptin Clss τοποθετεί το κέρμα με το γράμμα Τ στην πάνω όψη. Βήμα ο : Ο Qunt δρα στο κέρμα με την κβαντική πύλη Hdmrd (H). Βήμα 3 ο : Ο Cptin Clss δρα στο κέρμα με την κβαντική πύλη αδρανείας (Ι), δηλαδή δεν αλλάζει την κατάστασή του. Βήμα 4 ο : Ο Qunt δρα για δεύτερη φορά στο κέρμα με την κβαντική πύλη Hdmrd (H). Βήμα 5 ο : Βγάζουν το κάλυμμα για να φανεί το κέρμα, μετρούν δηλαδή την κατάσταση του. Φυσικά, το κέρμα βρίσκεται στην κατάσταση που βρισκόταν στην αρχή του παιχνιδιού. 65

2 Σχήμα 4-. Το κυκλωματικό μοντέλο του κβαντικού υπολογισμού του παιχνιδιού του Qunt με τον Cptin Clss. Το κβαντικό κύκλωμα που αναπαριστά αυτόν τον κβαντικό υπολογισμό φαίνεται στο Σχήμα 4-. Το ορθογώνιο με το ημικύκλιο και το βέλος στο 5 ο βήμα δεν είναι κβαντική πύλη, αλλά συμβολίζει τη μέτρηση της κατάστασης του uit, δηλαδή του κέρματος. Δεν είναι απαραίτητο να σημειώνουμε τη μέτρηση σε ένα κβαντικό κύκλωμα, διότι κάθε κβαντικός υπολογισμός τελειώνει με μέτρηση της κατάστασης του uit ή του κβαντικού καταχωρητή. Πρέπει εδώ να τονίσουμε για ακόμη μία φορά ότι στα κβαντικά κυκλώματα η πληροφορία, που είναι αποθηκευμένη στα uits ή στους κβαντικούς καταχωρητές, δε μεταφέρεται από πύλη σε πύλη. Η πληροφορία μένει στα uits ή στους κβαντικούς καταχωρητές όπου δρουν οι κβαντικές πύλες. Το κέρμα δηλαδή μένει σκεπασμένο πάνω στο τραπέζι και δρουν σ αυτό διαδοχικά οι δύο παίκτες. Το κβαντικό κύκλωμα αναπαριστά τη χρονική σειρά με την οποία δρουν οι κβαντικές πύλες. Από εδώ και εμπρός θα χρησιμοποιούμε το κυκλωματικό μοντέλο για να αναπαραστήσουμε κβαντικούς υπολογισμούς. Στα κβαντικά κυκλώματα δεν πρέπει να υπάρχουν διακλαδώσεις, αφού δεν μπορούμε να αντιγράψουμε την κατάσταση ενός uit. Επίσης, δεν πρέπει να υπάρχουν βρόχοι ανάδρασης (Milurn, 998). 4. Ένας αναλυτικός κβαντικός υπολογισμός Στο πάνω μέρος του Σχήματος 4- φαίνεται ένα κβαντικό κύκλωμα που αναπαριστά έναν κβαντικό υπολογισμό. Θα κάνουμε τον υπολογισμό αυτό βήμα προς βήμα: Βήμα ο : Ο κβαντικός καταχωρητής του κυκλώματος αποτελείται από δύο uits και η κατάστασή του είναι η. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στην κατάσταση αυτή είναι το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που αντιστοιχούν στις καταστάσεις των δύο uits: (4.) Αν μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο βήμα αυτό, θα βρούμε με πιθανότητα ίση με τη μονάδα (δηλαδή σίγουρα) την κατάσταση. Στο μέσον του Σχήματος 4- φαίνεται ένας πίνακας του οποίου οι στήλες αντιστοιχούν στα βήματα του κβαντικού υπολογισμού και οι γραμμές στις βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή. Οι βασικές καταστάσεις αναγράφονται και ως δεκαδικοί αριθμοί. Στον πίνακα αυτό αναγράφονται οι πιθανότητες να μετρήσουμε τις βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή σε κάθε βήμα του κβαντικού υπολογισμού. Φυσικά, το άθροισμα των πιθανοτήτων σε κάθε στήλη του πίνακα πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα. 66

3 Σχήμα 4-. Στο πάνω μέρος φαίνεται το κβαντικό κύκλωμα. Στο μέσον δίνεται ο πίνακας με τις πιθανότητες να μετρηθούν οι καταστάσεις σε κάθε βήμα του κβαντικού υπολογισμού. Στο κάτω μέρος φαίνεται το αποτέλεσμα της προσομοίωσης του κβαντικού υπολογισμού από τον Προσομοιωτή Κβαντικού Υπολογιστή QCS. 67

4 Στο πρώτο βήμα η πιθανότητα να μετρήσουμε την είναι ένα, ενώ η πιθανότητα να μετρήσουμε τις άλλες τρεις είναι μηδέν. Βήμα ο : Στο βήμα αυτό στο δεύτερο uit δρα η πύλη Hdmrd (H) και στο πρώτο uit δεν δρα καμία πύλη. Αυτό είναι ισοδύναμο με τη δράση της πύλης αδρανείας Ι. Συνήθως, όταν σε κάποιο βήμα δεν δρα καμία πύλη σε κάποιο uit, δεν βάζουμε στο κβαντικό κύκλωμα την πύλη αδρανείας, αλλά μία συνεχόμενη γραμμή όπως στο Σχήμα 4-. Είναι πολύ σημαντικό όμως να θυμόμαστε ότι η συνεχής αυτή γραμμή αντιστοιχεί σε μία πύλη αδρανείας, γιατί στους κβαντικούς υπολογιστές το «δεν κάνω τίποτα» είναι και αυτό μία δράση. Αυτό θα το δούμε αμέσως παρακάτω. Η συνολική δράση των κβαντικών πυλών σε ένα βήμα του κβαντικού υπολογισμού εκφράζεται από το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που περιγράφουν τις πύλες αυτές. Στο ο κεφάλαιο είδαμε πώς υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο πινάκων με μία μόνο στήλη. Πριν προχωρήσουμε ας δούμε πώς υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο δύο πινάκων που έχουν περισσότερες από μία στήλες και γραμμές. Αν έχουμε δύο πίνακες τον Α και τον Β:,,,, A B, (4.),,, τότε, το τανυστικό τους γινόμενο δίνεται από: A B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (4.3) Στο δεύτερο βήμα του κβαντικού υπολογισμού δρουν οι πύλες Ι και Η. Η συνολική τους δράση δίνεται από το τανυστικό τους γινόμενο. Για να υπολογίσουμε το τανυστικό γινόμενο γράφουμε στην πιο δεξιά θέση την πύλη που δρα στο πρώτο uit και στην πιο αριστερή αυτήν που δρα στο τελευταίο: 68

5 69 I H (4.4) Εδώ φαίνεται ότι το «δεν κάνω τίποτα», δηλαδή η δράση της πύλης αδρανείας, συμβάλλει στο τανυστικό γινόμενο. Θα υπολογίσουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του ου βήματος, δηλαδή μετά τη δράση των πυλών: H I (4.5) Αφού θυμηθούμε ότι η πιθανότητα δίνεται από το τετράγωνο του μέτρου του πλάτους πιθανότητας, διαπιστώνουμε από την (4.5) ότι στο τέλος του ου βήματος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση είναι,5 και η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση είναι,5. Οι πιθανότητες αυτές αναγράφονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα που βρίσκεται στο μέσον του Σχήματος 4-. Βήμα 3 ο : Στο βήμα αυτό δρα στον κβαντικό καταχωρητή μόνο η κβαντική πύλη ελεγχόμενου όχι (CNOT). Για να υπολογίσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του τρίτου βήματος, δηλαδή μετά τη δράση της CNOT, πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα που περιγράφει την πύλη επί τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αμέσως προηγούμενο βήμα:

6 7 (4.6) Στο τέλος του 3 ου βήματος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση είναι,5 και η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση είναι,5. Οι πιθανότητες αυτές αναγράφονται στην τρίτη στήλη του πίνακα του Σχήματος 4-. Βήμα 4 ο : Όπως και στο 3 ο βήμα, στο βήμα αυτό δρα στον κβαντικό καταχωρητή μόνο η κβαντική πύλη ελεγχόμενου όχι (CNOT). Για να υπολογίσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του τετάρτου βήματος, πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα που περιγράφει την πύλη επί τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αμέσως προηγούμενο βήμα: (4.7) Στο τέλος του 4 ου βήματος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση είναι,5 και η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση είναι,5. Οι πιθανότητες αυτές αναγράφονται στην τέταρτη στήλη του πίνακα του Σχήματος 4-.

7 Βήμα 5 ο : Στο βήμα αυτό, που είναι και το τελευταίο, στο δεύτερο uit δρα η πύλη Hdmrd (H) και στο πρώτο uit δεν δρα καμία πύλη, δηλαδή δρα η πύλη αδρανείας. Η συνολική δράση των κβαντικών πυλών στο βήμα αυτό, εκφράζεται από το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που περιγράφουν τις πύλες. Για να υπολογίσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του πέμπτου βήματος, πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα που προκύπτει από το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των πυλών (το έχουμε ήδη υπολογίσει στην (4.4)) επί τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αμέσως προηγούμενο βήμα: (4.8) Στο τέλος του 5ου βήματος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση είναι ένα. Αυτό αναγράφεται στην πέμπτη στήλη του πίνακα του Σχήματος 4-. Όταν ο κβαντικός καταχωρητής αποτελείται από πολλά uits και ο κβαντικός υπολογισμός περιλαμβάνει αρκετά βήματα, τότε είναι σχεδόν αδύνατο να κάνουμε τους υπολογισμούς με το χέρι. Ο συγγραφέας του βιβλίου αυτού έχει αναπτύξει έναν προσομοιωτή κβαντικού υπολογιστή που τον ονόμασε QCS, από τα αρχικά των λέξεων Quntum Computer Simultor (Krfyllidis, 5). Ο προσομοιωτής αναπτύχθηκε για ερευνητικούς σκοπούς και χρησιμοποιήθηκε σε αρκετές ερευνητικές εργασίες, όμως μία σχετικά απλή μορφή του προσομοιωτή QCS μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως διδακτικό εργαλείο. Μία απλή και εύχρηστη μορφή του προσομοιωτή QCS συνοδεύει αυτό το βιβλίο. O προσομοιωτής κβαντικού υπολογιστή QCS είναι διαθέσιμος στην ιστοσελίδα του κεφαλαίου 9 αυτού του βιβλίου, στον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων (http://repository.kllipos.gr). Στο 9 ο κεφάλαιο περιγράφεται ο QCS και δίνονται αναλυτικές οδηγίες για τη χρήση του, για να μπορέσει ο αναγνώστης να επαναλάβει τους κβαντικούς υπολογισμούς που περιγράφονται στο βιβλίο αυτό και να κάνει, εφόσον το θέλει, και δικούς του κβαντικούς υπολογισμούς. Η δομή και η λειτουργία του QCS περιγράφονται και στο: (Krfyllidis, 5). Στο κάτω μέρος του Σχήματος 4- δίνεται το αποτέλεσμα της προσομοίωσης του κβαντικού υπολογισμού με τον οποίο ασχοληθήκαμε. Η προσομοίωση έγινε με τον προσομοιωτή QCS. Πρόκειται για μία γραφική παράσταση του πίνακα του Σχήματος 4-. Στον άξονα των x της γραφικής αυτής παράστασης δίνονται τα βήματα του υπολογισμού (Computtion Steps). Στον άξονα των y δίνονται οι βασικές καταστάσεις των uits που συμμετέχουν στον κβαντικό υπολογισμό, δηλαδή οι βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή (Krfyllidis, 3). Οι βασικές καταστάσεις δίνονται σε δεκαδική μορφή (Deciml Numer Representtion). Οι πιθανότητες να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής σε μία από τις βασικές καταστάσεις δίνονται εδώ όχι με αριθμούς, όπως στον πίνακα του Σχήματος 4-, αλλά με τόνους του γκρι, όπου ο αριθμός αντιστοιχεί στο μαύρο και ο αριθμός στο άσπρο. Όλοι οι ενδιάμεσοι αριθμοί παριστάνονται με τόνους του γκρι. Για να διευκολυνθεί ο αναγνώστης, στο δεξιό μέρος του Σχήματος 4-, όπου φαίνεται η προσομοίωση του κβαντικού υπολογισμού, υπάρχει μία στήλη όπου φαίνεται η αντιστοιχία των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ του και του με τους τόνους του γκρι. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να έχουμε άμεση εποπτεία του κβαντικού υπολογισμού. 7

8 4.3 Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής Όλοι σχεδόν οι κβαντικοί υπολογισμοί περιγράφονται από το κυκλωματικό μοντέλο και εκτελούνται με την ίδια διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως. Στο Σχήμα 4-3 φαίνεται ένα διάγραμμα που περιγράφει τη διαδικασία αυτή η οποία αποτελεί και την αρχή της κβαντικής υπολογιστικής (Krfyllidis, 3). Συνοπτικά η διαδικασία είναι η εξής: Σχήμα 4-3. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής ως διάγραμμα ροής για την εκτέλεση των κβαντικών υπολογισμών. Με i συμβολίζεται ο αριθμός του βήματος και με n ο συνολικός αριθμός βημάτων του κβαντικού υπολογισμού. 7

9 . Δίνεται η αρχική κατάσταση των uits που αποτελούν τον κβαντικό καταχωρητή. Υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των καταστάσεων των uits. Ο πίνακας που προκύπτει είναι η αρχική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή.. Υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που περιγράφουν τις κβαντικές πύλες οι οποίες δρουν στο επόμενο βήμα του κβαντικού υπολογισμού. 3. Πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα που προκύπτει από το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των κβαντικών πυλών με τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή. Το αποτέλεσμα είναι ο πίνακας της νέας κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή. 4. Επαναλαμβάνουμε τα και 3 τόσες φορές όσα και τα βήματα του κβαντικού υπολογισμού. 5. Η τελική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι το αποτέλεσμα του κβαντικού υπολογισμού. Παρακάτω θα εκτελέσουμε έναν κβαντικό υπολογισμό ακολουθώντας τη διαδικασία που μόλις περιγράψαμε. Το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού υπολογισμού φαίνεται στο Σχήμα 4-4. Σχήμα 4-4. Επάνω φαίνεται το κβαντικό κύκλωμα και κάτω το αποτέλεσμα της προσομοίωσης του κβαντικού υπολογισμού από τον Προσομοιωτή Κβαντικού Υπολογιστή QCS. 73

10 74 Η αρχική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι και η κατάστασή του στο πρώτο βήμα του κβαντικού υπολογισμού ( i) δίνεται από: (4.9) Στο δεύτερο βήμα ( i) υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των πυλών: H H (4.) και τη νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή: H H (4.) Στο τέλος του ου βήματος όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν την ίδια πιθανότητα, η οποία είναι ίση με,5. Ο αριθμός των βημάτων είναι πέντε (n5) και αφού i<n, αυξάνουμε τον αριθμό βήματος κατά ένα (i3) και επαναλαμβάνουμε. Στο 3 ο βήμα δρα στον κβαντικό καταχωρητή μόνο η κβαντική πύλη CNOT και η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι:

11 75 (4.) Όπως και στο τέλος του ου βήματος, όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν την ίδια πιθανότητα που είναι ίση με,5. Προσοχή όμως, σε κάποιες καταστάσεις τα πρόσημα (δηλαδή οι φάσεις) έχουν αλλάξει. Πάλι i<n, οπότε αυξάνουμε τον αριθμό βήματος κατά ένα (i4) και επαναλαμβάνουμε. Στο 4 ο βήμα δρουν στον κβαντικό καταχωρητή οι κβαντικές πύλες Η και Ι. Υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των πυλών: H I (4.3) και τη νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή: (4.4) Στο τέλος του 4 ου βήματος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση είναι,5 και η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση είναι,5. Αφού i<n, αυξάνουμε τον αριθμό βήματος κατά ένα (i5) και επαναλαμβάνουμε. Στο 5 ο βήμα δρουν στον κβαντικό καταχωρητή οι κβαντικές πύλες Ι και Η, των οποίων το τανυστικό γινόμενο δίνεται από την (4.4). Υπολογίζουμε τη νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή:

12 (4.5) Στο τέλος του 5 ου βήματος ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται σίγουρα στην κατάσταση. Τώρα έχουμε in, δηλαδή ο κβαντικός υπολογισμός έφτασε στο τέλος του. Στο κάτω μέρος του Σχήματος 4-4 φαίνεται όλος ο κβαντικός υπολογισμός ως αποτέλεσμα της προσομοίωσής του από τον Προσομοιωτή Κβαντικού Υπολογιστή QCS. Φαίνεται με μία ματιά ότι ο κβαντικός καταχωρητής βρισκόταν αρχικά στη βασική κατάσταση και στο τέλος του κβαντικού υπολογισμού βρέθηκε στη βασική κατάσταση. 4.4 Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής και η εξίσωση του Schrödinger Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής περιγράφει τη μεταβολή της κατάστασης των uits και των κβαντικών καταχωρητών κατά τη διάρκεια των κβαντικών υπολογισμών, οι οποίοι αναπαριστώνται ως κβαντικά κυκλώματα (Beth & Leuchs, 5). Στα κβαντικά κυκλώματα ο "άξονας των x" είναι ο χρόνος, δηλαδή τα κβαντικά κυκλώματα περιγράφουν τη χρονική αλληλουχία της δράσης των κβαντικών πυλών στα uits και στους κβαντικούς καταχωρητές. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω. Στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού είχαμε γράψει την εξίσωση του Schrödinger στην μορφή της (.39), η οποία επαναλαμβάνεται εδώ: i ħ Ψ( x, t) H Ψ( x, t) (4.6) t Η συνάρτηση κύματος Ψ(x,t) περιγράφει την κατάσταση του κβαντικού συστήματος. Στο συμβολισμό Ψ x, t. Όπως είπαμε, οι κβαντικοί του Dirc η συνάρτηση κύματος αντιστοιχεί στο διάνυσμα κατάστασης υπολογισμοί περιγράφουν τη χρονική μεταβολή της κατάστασης των uits ή των κβαντικών καταχωρητών και για τον λόγο αυτό δεν θα λάβουμε υπόψη τη χωρική μεταβλητή "x" του διανύσματος κατάστασης, το οποίο θα Ψ t. Μετά από αυτό η (4.6) γίνεται: γράψουμε ως: iħ Ψ ( t) H Ψ ( t) (4.7) t Ας θυμηθούμε ότι: t e t e t (4.8) 76

13 Θεωρούμε ότι ο κβαντικός υπολογισμός αρχίζει την χρονική στιγμή t, δηλαδή θεωρούμε ότι η αρχική. Με αυτή την αρχική συνθήκη η λύση κατάσταση των uits ή των κβαντικών καταχωρητών είναι η Ψ της εξίσωσης του Schrödinger (4.7) είναι (Brylinski & Chen, ): i H t ( t) e ħ Ψ Ψ (4.9) Αντικαθιστούμε τον εκθετικό όρο που περιλαμβάνει τον τελεστή Η με έναν νέο τελεστή, τον U ως εξής: i H t ħ U t e (4.) Θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη ότι όταν δύο τελεστές συνδέονται με την εκθετική μορφή της (4.) και ο τελεστής στον εκθέτη (ο Η δηλαδή) είναι ερμιτιανός, τότε ο τελεστής U είναι ορθομοναδιαίος. Μετά από αυτό η (4.9) γράφεται: ( t) U( t) Ψ Ψ (4.) Δηλαδή η δράση του όρθομοναδιαίου τελεστή U έχει ως αποτέλεσμα την περιστροφή στον χώρο Ψ στην Hilert του διανύσματος των uits ή των κβαντικών καταχωρητών, από την αρχική κατάσταση τελική κατάσταση Ψ ( t). Κατ' αναλογία με τους κλασικούς υπολογισμούς μπορούμε να πούμε ότι η Ψ αντιστοιχεί με τα δεδομένα, ο τελεστής U με το κβαντικό κύκλωμα και η Ψ ( t) με το αποτέλεσμα του κβαντικού υπολογισμού. Η διάρκεια του κβαντικού υπολογισμού είναι ίση με t. Η (4.) μπορεί να αναλυθεί σε χρονικά βήματα: ( n ) U ( n ) ( n) Ψ Ψ (4.) H Ψ ( n) είναι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του χρονικού βήματος n του κβαντικού υπολογισμού. U(n) είναι το τανυστικό γινόμενο των κβαντικών πυλών που δρουν στο n χρονικό Ψ n είναι η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος βήμα του κβαντικού υπολογισμού. Η του χρονικού βήματος n του κβαντικού υπολογισμού. Η (4.) αναπαριστά το διάγραμμα ροής του Σχήματος 4-3. Η εξίσωση (4.) που προήλθε από τη λύση της εξίσωσης του Schrödinger αποτελεί τη μαθηματική έκφραση της αρχής της κβαντικής υπολογιστικής. 4.5 Ο κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος, δηλαδή ένας αλγόριθμος που να μπορεί να τρέξει μόνο σε έναν κβαντικό υπολογιστή, αναπτύχθηκε από τον Deutsch (Deutsch, 985). Στον αλγόριθμο αυτό χρησιμοποιείται η κβαντική παραλληλία, δηλαδή η υπέρθεση των βασικών καταστάσεων των uits και φαίνεται για πρώτη φορά ότι ο κβαντικός υπολογιστής μπορεί να εκτελέσει υπολογισμούς που είναι αδύνατον να εκτελεστούν από έναν κλασικό υπολογιστή. Το πρόβλημα που έθεσε ο Deutsch είναι το εξής: Δίνεται μία συνάρτηση f(x) τέτοια ώστε: f ( x) : {,} {,} (4.3) 77

14 Δηλαδή η μεταβλητή x και η συνάρτηση f(x) μπορούν να πάρουν μόνο τις τιμές ή. Για κάθε τέτοια συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: α) f f, οπότε η συνάρτηση ονομάζεται σταθερή, ή β) f f, οπότε η συνάρτηση ονομάζεται ισορροπημένη. Αν δοθεί λοιπόν μία τέτοια συνάρτηση, με έναν μόνο υπολογισμό της f(x) να βρεθεί αν η συνάρτηση είναι σταθερή ή ισορροπημένη. Αν χρησιμοποιήσουμε έναν κλασικό υπολογιστή θα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή f(), στη συνέχεια να υπολογίσουμε την τιμή f() και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αν είναι ίδια, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή, αν είναι διαφορετικά, η συνάρτηση είναι ισορροπημένη. Δεν είναι δηλαδή δυνατόν να βρούμε τι είναι η συνάρτηση με έναν μόνο υπολογισμό. Αυτό όμως είναι δυνατό, αν χρησιμοποιήσουμε έναν κβαντικό υπολογιστή. Σχήμα 4-5. Το κβαντικό αυτό κύκλωμα υπολογίζει το άθροισμα με βάση το (mod) του πρώτου uit με την συνάρτηση f(x), όπου x είναι το δεύτερο uit. Πριν περιγράψουμε τον αλγόριθμο του Deutsch, ας δούμε το κβαντικό κύκλωμα του Σχήματος 4-5. Το κύκλωμα αυτό αποτελείται από έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uits, όπου το πρώτο είναι το και το δεύτερο το x, και από ένα συνδυασμό κβαντικών πυλών, που παριστάνεται από τον τελεστή (ορθογώνιο στο Σχήμα 4-5) U f. Για κάθε διαφορετική συνάρτηση f(x) χρειάζεται και ένας διαφορετικός συνδυασμός κβαντικών πυλών. Ο συνδυασμός των κβαντικών πυλών U f δρα στα δύο uits και αφήνει το δεύτερο αμετάβλητο, ενώ φέρνει το πρώτο στην κατάστασή που αντιστοιχεί με το άθροισμα με βάση το (mod) του πρώτου uit με τη συνάρτηση f(x), όπου x είναι το δεύτερο uit. Δηλαδή, υπολογίζεται η f(x) και το άθροισμα της με το mod. Το σύμβολο σημαίνει πρόσθεση με βάση το (mod ), δηλαδή,, και. Το κβαντικό κύκλωμα του Σχήματος 4-5 δίνεται από την: U f x ( x) x f (4.4) Σχήμα 4-6. To κβαντικό κύκλωμα του αλγορίθμου του Deutsch. 78

15 79 Ο αλγόριθμος του Deutsch είναι και αυτός ένας κβαντικός υπολογισμός και περιγράφεται από το κβαντικό κύκλωμα του Σχήματος 4-6. Η αρχική κατάσταση του πρώτου uit είναι και του δεύτερου. Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου (δηλαδή του κβαντικού υπολογισμού) του Deutsch η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι. Στο δεύτερο βήμα δρουν δύο κβαντικές πύλες Η. Στο τρίτο δρα ο συνδυασμός κβαντικών πυλών U f που περιγράψαμε προηγουμένως και στο τέταρτο δρα η κβαντική πύλη Η στο δεύτερο uit. Στο τέλος του τέταρτου βήματος μετράται η κατάσταση του δεύτερου uit. Αν το uit αυτό βρεθεί στην κατάσταση, τότε η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή και αν βρεθεί στην κατάσταση, τότε η f(x) είναι ισορροπημένη. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό. Στο πρώτο βήμα η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, που θα την ονομάσουμε είναι. Γνωρίζουμε ότι η κατάσταση αυτή περιγράφεται από τον πίνακα: (4.5) Στο δεύτερο βήμα δρουν δύο κβαντικές πύλες Η. Το τανυστικό γινόμενο των δύο πυλών δίνεται από την (4.) και η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, η, είναι: H H H H (4.6) Θυμηθείτε ότι p p. Στο τρίτο βήμα δρα στον κβαντικό καταχωρητή ο συνδυασμός κβαντικών πυλών U f. Αν λάβουμε υπόψη την (4.4), η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, 3, είναι:

16 8 3 f f f f U U U U U U f f f f f f (4.7) Πρέπει εδώ να δούμε και τις τέσσερις δυνατές περιπτώσεις τιμών της f(x). Περίπτωση η : f() και f(), τότε η (4.7) γίνεται: 3 (4.8 α) Περίπτωση η : f() και f(), τότε η (4.7) γίνεται: 3 (4.8 β) Περίπτωση 3 η : f() και f(), τότε η (4.7) γίνεται 3 (4.8 γ) Περίπτωση 4 η : f() και f(), τότε η (4.7) γίνεται 3 (4.8 δ) Οι δύο πρώτες περιπτώσεις αντιστοιχούν σε σταθερή συνάρτηση και οι δύο τελευταίες σε ισορροπημένη. Προσέξτε ότι στις (4.8) αλλάζουν μόνο τα πρόσημα (δηλαδή οι φάσεις) των τεσσάρων βασικών καταστάσεων των οποίων η υπέρθεση δίνει την κατάσταση 3. Στο τέταρτο βήμα δρουν οι κβαντικές πύλες Ι και Η. Το τανυστικό τους γινόμενο δίνεται από την (4.4). Θα υπολογίσουμε την τελική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή 4 για την πρώτη από τις προηγούμενες περιπτώσεις, δηλαδή την (4.8 α):

17 8 4 3 I H (4.9) Δηλαδή, στην περίπτωση που f() και f() το πρώτο uit βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων, ενώ το δεύτερο στη βασική κατάσταση. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε την 4 και για τις άλλες τρεις περιπτώσεις. Όλα τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 4-. Πίνακας 4- Αποτελέσματα του κβαντικού αλγορίθμου του Deutsch για όλες τις περιπτώσεις της συνάρτησης f(x). Όπως φαίνεται από τον πίνακα, όταν η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή, τότε το δεύτερο uit βρίσκεται πάντα στην κατάσταση. Όταν όμως είναι ισορροπημένη, το δεύτερο uit βρίσκεται πάντα στην κατάσταση. Δεν χρειάζεται να μετρήσουμε την κατάσταση του πρώτου uit, η οποία δεν μας ενδιαφέρει, αλλά μόνο του δεύτερου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-6. Με τον αλγόριθμο του Deutsch, χρησιμοποιώντας δηλαδή την κβαντική παραλληλία, μπορούμε να βρούμε τι είναι η f(x) με ένα μόνο υπολογισμό της τιμής της. Αυτό είναι αδύνατον να επιτευχθεί με τη χρήση κλασικών υπολογιστών. Παράδειγμα 4.

18 8 Όπως προκύπτει από τον Πίνακα 3-5, όταν η κβαντική πύλη CNOT δρα σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από δύο uits, δεν επηρεάζει την κατάσταση του δεύτερου, αλλά μεταβάλλει την κατάσταση του πρώτου, αν το δεύτερο βρίσκεται στην κατάσταση. Με λίγη προσοχή μπορούμε να δούμε ότι μετά τη δράση της CNOT, το πρώτο uit είναι το άθροισμα με βάση το των αρχικών καταστάσεων των δύο uits. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του Σχήματος 4-5, η CNOT γίνεται: Αν θεωρήσουμε ότι ο συνδυασμός των κβαντικών πυλών U f περιλαμβάνει μόνο τη CNOT, τότε η συνάρτηση f(x) είναι η: f(x) x, δηλαδή μία ισορροπημένη συνάρτηση. Για τη συνάρτηση αυτή f() και f(), οπότε έχουμε την περίπτωση της (4.8 γ), δηλαδή την τρίτη γραμμή του πίνακα. Οπότε, μετά την εκτέλεση του αλγορίθμου, το πρώτο uit θα βρεθεί στην κατάσταση και ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση: 4 Ας δούμε αν είναι έτσι. Τα τρία πρώτα βήματα του αλγορίθμου του Deutsch με την CNOT στη θέση της U f ταυτίζονται με τα τρία πρώτα βήματα του κβαντικού υπολογισμού του Σχήματος 4-4. Μετά το τέλος του τρίτου βήματος η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή δίνεται από την (4.) που ταυτίζεται με την (4.8 γ). Στο τέταρτο βήμα του αλγορίθμου δρουν οι Ι και Η, που το τανυστικό τους γινόμενο δίνεται από την (4.4). Στο τέλος του τετάρτου βήματος η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή θα είναι: 3 4 I H Ας δούμε και την εκτέλεση του αλγορίθμου αυτού του από τον QCS:

19 Ο υπολογισμός ξεκινά από την κατάσταση που αντιστοιχεί στον δεκαδικό. Ο υπολογισμός τελειώνει με πιθανότητα.5 να μετρηθεί κάθε μια από τις καταστάσεις και που αντιστοιχούν στους δεκαδικούς και 3. Οι γωνίες των φάσεων των καταστάσεων κατά την εξέλιξη του κβαντικού υπολογισμού δίνονται στην παρακάτω έξοδο του QCS: 83

20 Τα οριζόντια, στραμμένα προς τα δεξιά, βέλη αντιστοιχούν σε μηδενική γωνία φάσης. Στο τρίτο βήμα οι καταστάσεις και 3 (δεκαδικό) έχουν φάση μηδέν. Τα βέλη είναι σε γωνία μηδέν και τα πρόσημα των πλατών πιθανότητας των δύο αυτών καταστάσεων είναι "". Στο ίδιο βήμα, οι καταστάσεις και (δεκαδικό) έχουν φάση ίση με "π". Τα βέλη είναι σε γωνία "π" και τα πρόσημα των πλατών πιθανότητας των δύο αυτών καταστάσεων είναι "-". Βιβλιογραφία Beth T., & Leuchs G., Quntum informtion processing, Wiley-VCH, 5. Brylinski R. K., & Chen C., Mthemtics of untum computtion, Chpmn & Hll / CRC,. Deutsch D., Quntum theory, the Church-Turing Principle nd the Universl Quntum Computer, Proceedings of the Royl Society London A, vol. 4, pp. 97-7, 985. Krfyllidis G. I., Visuliztion of the Quntum Fourier Trnsform using Quntum Computer Simultor, Quntum Informtion Processing, vol., pp. 7-88, 3. Krfyllidis G. I., Cellulr Quntum Computer Architecture, Physics Letters A, vol 3, pp , 3. Krfyllidis G. I. Quntum Computer Simultor sed on the Circuit Model of Quntum Computtion, IEEE Trnsctions on Circuits nd Systems I, vol. 5, pp , 5. Milurn G. J., The Feynmn processor, Perseus Books, 998. Nielsen M. A., & Chung I. L., Quntum computtion nd untum informtion, Cmridge University Press,. Ασκήσεις Άσκηση 4. Να κάνετε τον παρακάτω κβαντικό υπολογισμό: Άσκηση 4. Να κάνετε τον παρακάτω κβαντικό υπολογισμό: 84

21 Άσκηση 4.3 Να αποδείξετε ότι οι κβαντικοί υπολογισμοί (α) και (β) είναι ισοδύναμοι. Δηλαδή όταν οι αντίστοιχες κβαντικές πύλες δρουν στον ίδιο κβαντικό καταχωρητή, μεταβάλλουν την κατάστασή του με τον ίδιο τρόπο. Άσκηση 4.4 Να κάνετε τον παρακάτω κβαντικό υπολογισμό: 85

22 Άσκηση 4.5 Να κάνετε τον παρακάτω κβαντικό υπολογισμό: 86

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες 3. Τελεστές και κβαντικές πύλες Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι κβαντικές πύλες ως τελεστές του χώρου Hlber. Περιγράφονται οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub. Παρουσιάζονται επίσης οι κβαντικές

Διαβάστε περισσότερα

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover 5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Grover για τη διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων. Περιγράφονται οι τελεστές και το

Διαβάστε περισσότερα

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας . Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μονάδα της κβαντικής πληροφορίας που είναι το κβαντικό t (utum t). Θα περιγραφούν φυσικά συστήματα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

9. O Προσομοιωτής Κβαντικού Υπολογιστή QCS

9. O Προσομοιωτής Κβαντικού Υπολογιστή QCS 9. O Προσομοιωτής Κβαντικού Υπολογιστή QCS Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται οι οδηγίες χρήσης του προσομοιωτή κβαντικού υπολογιστή QCS, ο οποίος έχει αναπτυχθεί από τον συγγραφέα και συνοδεύει το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

8. Κβαντική τηλεμεταφορά

8. Κβαντική τηλεμεταφορά 8. Κβαντική τηλεμεταφορά Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η κβαντική τηλεμεταφορά και θα δοθεί το αντίστοιχο κβαντικό κύκλωμα. Θα εξηγηθεί γιατί η κβαντική τηλεμεταφορά δεν παραβιάζει το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor 7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor Σύνοψη Ο κβαντικός αλγόριθμος του Shor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιόδου περιοδικών συναρτήσεων και για την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική Κβαντική Υπολογιστική Συγγραφή Ιωάννης Καραφυλλίδης Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Σούντρης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ 4.1 ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να παρουσιάσει τις βασικές αρχές της σχεδίασης λογικών (ψηφιακών) κυκλωμάτων για πρακτικές εφαρμογές. Στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής

Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής Αλγόριθμος (algorithm) λέγεται μία πεπερασμένη διαδικασία καλά ορισμένων βημάτων που ακολουθείται για τη λύση ενός προβλήματος. Το διάγραμμα ροής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου, χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM). Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Άνοιξε τη μικροεφαρμογή (applet) PhET "Πίεση και ροή υγρού". Κάνε κλικ στην οθόνη "Πίεση" και βρες:

Άνοιξε τη μικροεφαρμογή (applet) PhET Πίεση και ροή υγρού. Κάνε κλικ στην οθόνη Πίεση και βρες: 1. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ Το 1ο μέρος του φύλλου εργασίας του Applet PhET "Πίεση και Ροή ρευστού" προτείνεται σε μαθητές που έχουν διδαχθεί από το Γυμνάσιο το νόμο της υδροστατικής πίεσης και θέλουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Κυκλώματα Χρονισμού

Κεφάλαιο 11. Κυκλώματα Χρονισμού Κεφάλαιο 11. Κυκλώματα Χρονισμού Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η λειτουργία των κυκλωμάτων χρονισμού. Τα κυκλώματα αυτά παρουσιάζουν πολύ μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον και απαιτείται να λειτουργούν με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Εκφράσεις, τελεστές, σχόλια. 3.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Εκφράσεις, τελεστές, σχόλια. 3.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκφράσεις, τελεστές, σχόλια Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τον τρόπο τέλεσης πράξεων μεταξύ μεταβλητών και σταθερών, εκφράσεις μεταξύ αυτών καθώς και το σχολιασμό της λογικής ενός προγράμματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα