5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover"

Transcript

1 5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Grover για τη διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων. Περιγράφονται οι τελεστές και το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού αλγορίθμου του Grover. Δίνονται δύο ερμηνείες του κβαντικού αυτού αλγορίθμου και δύο παραδείγματα εφαρμογής του. Προαπαιτούμενηγνώση Γραμμική άλγεβρα, το πρώτο, δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου. 5. Διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων Όπως γνωρίζουμε, ένας έντυπος τηλεφωνικός κατάλογος περιέχει ένα μεγάλο αριθμό ονομάτων, σε καθ ένα από τα οποία αντιστοιχεί ένας αριθμός τηλεφώνου. Στους τηλεφωνικούς καταλόγους τα ονόματα είναι ταξινομημένα κατά αλφαβητική σειρά και είναι πολύ εύκολο για έναν άνθρωπο ή για έναν κλασικό υπολογιστή να βρει τον αριθμό τηλεφώνου που αντιστοιχεί σε κάποιο όνομα. Οι τηλεφωνικοί κατάλογοι είναι δηλαδή δομημένες βάσεις δεδομένων όσον αφορά στα ονόματα. Ας δούμε τώρα το αντίστροφο πρόβλημα. Μας δίνουν έναν έντυπο τηλεφωνικό κατάλογο που περιέχει Ν ονόματα ταξινομημένα σε αλφαβητική σειρά, σε καθένα από τα οποία αντιστοιχεί ένας αριθμός τηλεφώνου. Μας δίνουν επίσης έναν αριθμό τηλεφώνου. Εμείς πρέπει να βρούμε στον κατάλογο το όνομα στο οποίο αντιστοιχεί ο αριθμός αυτός. Το πρόβλημα αυτό είναι δύσκολο, διότι οι αριθμοί στον τηλεφωνικό κατάλογο ακολουθούν τη σειρά των ονομάτων, δηλαδή ο τηλεφωνικός κατάλογος είναι μια μη δομημένη βάση δεδομένων όσον αφορά στους αριθμούς τηλεφώνων. Ο μόνος τρόπος να ερευνήσει ένας άνθρωπος ή ένας κλασικός υπολογιστής μία μη δομημένη βάση δεδομένων για να βρει ένα στοιχείο της είναι να προσπαθεί συνεχώς στην τύχη μέχρι να το βρει. Αν η μη δομημένη βάση δεδομένων περιέχει Ν στοιχεία και είμαστε τυχεροί, θα βρούμε το στοιχείο που ψάχνουμε την πρώτη φορά και αν είμαστε άτυχοι θα το βρούμε μετά από Ν προσπάθειες. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι για να βρούμε ένα στοιχείο σε μία μη δομημένη βάση δεδομένων με Ν στοιχεία, πρέπει να την ερευνήσουμε Ν/ φορές. Όμως, ο Lov Grover με ένα άρθρο του με τίτλο «Η κβαντική μηχανική μπορεί να μας βοηθήσει να βρούμε μια βελόνα στ άχυρα» απέδειξε ότι αν χρησιμοποιήσουμε έναν κβαντικό υπολογιστή μπορούμε να βρούμε ένα στοιχείο σε μία μη δομημένη βάση δεδομένων αν την ερευνήσουμε μόνο φορές περίπου (Grover 997). Αυτή είναι μία σημαντική βελτίωση, διότι για να βρει ένας κλασικός υπολογιστής ένα στοιχείο σε μια μη δομημένη βάση δεδομένων που περιέχει.. στοιχεία, πρέπει να την ερευνήσει κατά μέσο όρο 5. φορές, ενώ ένας κβαντικός υπολογιστής πρέπει να την ερευνήσει μόνο. φορές. Η μέθοδος με την οποία ένας κβαντικός υπολογιστής ερευνά μία μη δομημένη βάση δεδομένων ονομάζεται κβαντικός αλγόριθμος του Grover και αποτελεί το αντικείμενο του κεφαλαίου αυτού. 5. Ο κβαντικός αλγόριθμος του Grover Υποθέστε ότι θέλουμε να ερευνήσουμε μία μη δομημένη βάση δεδομένων που περιέχει Ν στοιχεία. Κάθε στοιχείο της βάσης έχει αριθμηθεί με έναν αριθμό από το έως το Ν-. Υποθέστε επίσης ότι έχουμε στη διάθεσή μας ένα σύστημα το οποίο μπορεί να αναγνωρίσει αν κάποιο στοιχείο είναι αυτό που ζητάμε ή όχι. Υποθέστε δηλαδή ότι ερευνάτε εσείς μία μη δομημένη βάση δεδομένων και συγκεκριμένα έναν τηλεφωνικό κατάλογο. Έχετε έναν βοηθό ο οποίος ερευνά τον τηλεφωνικό κατάλογο, βρίσκει αριθμούς και σας τους δείχνει. Εσείς βλέπετε τον αριθμό και λέτε αν είναι αυτός που ψάχνετε ή όχι. Αυτό ακριβώς κάνει και το σύστημα. Του παρουσιάζετε έναν αριθμό, αυτό επεξεργάζεται τον αριθμό και σας λέει αν είναι αυτός που ψάχνετε ή όχι. Το σύστημα αυτό σε έναν κλασικό υπολογιστή μπορεί να είναι ένας καταχωρητής όπου έχουμε αποθηκεύσει τον αριθμό που ψάχνουμε να βρούμε και ένα κύκλωμα λογικών πυλών, που συγκρίνει κάθε αριθμό που έρχεται στην είσοδο με τον αποθηκευμένο αριθμό. Το σύστημα αυτό, που το θεωρούμε ως ένα μαύρο κουτί, ονομάζεται 87

2 στη διεθνή βιβλιογραφία orcle. Η λέξη αυτή μπορεί να αποδοθεί ως μάντης ή ως κάποιος που ξέρει πολλά. Νομίζω ότι είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε τον όρο orcle. Ας περιγράψουμε τώρα το πρόβλημα της έρευνας μίας μη δομημένης βάσης δεδομένων από έναν κλασικό υπολογιστή με έναν απλό μαθηματικό τρόπο (Grover 996). Θεωρούμε ότι έχουμε Ν στοιχεία τα οποία αποτελούν τη βάση και ότι έχουμε αντιστοιχίσει σε κάθε στοιχείο έναν αριθμό από έως Ν-. Το στοιχείο που αντιστοιχεί στον αριθμό συμβολίζεται με. To orcle είναι μία συνάρτηση f( ) η οποία παίρνει μόνο τις τιμές και. Αν το στοιχείο που ψάχνουμε είναι το, τότε: f ( ) αν αν (5.) Δηλαδή, παρουσιάζουμε ένα στοιχείο στο orcle και αν είναι αυτό που ψάχνουμε τότε το orcle αποκρίνεται με, αν όχι με. Ας δούμε τώρα το πρόβλημα της έρευνας μίας μη δομημένης βάσης δεδομένων με έναν κβαντικό υπολογιστή. Θεωρούμε ότι η βάση περιέχει Ν στοιχεία και χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να πούμε ότι: n, n,,, (5.) Δηλαδή θέλουμε το πλήθος των στοιχείων της βάσης να μπορεί να γραφεί όπως στην (5.). Αν έχουμε λιγότερα στοιχεία, μπορούμε να προσθέσουμε εμείς όσα χρειάζεται για να φτάσουμε στον επιθυμητό αριθμό (Kwt, ). Αντιστοιχίζουμε κάθε ένα από τα στοιχεία με μία από τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή που περιλαμβάνει n qubt. Δηλαδή, το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση που στη δεκαδική αναπαράσταση είναι η 5 συμβολίζεται με 5. Το κβαντικό orcle, δηλαδή το σύστημα που διακρίνει αν ένα στοιχείο είναι αυτό που ψάχνουμε ή όχι, είναι το κβαντικό κύκλωμα που συμβολίζεται με Ο και φαίνεται στο Σχήμα 5-. Σχήμα 5-. Το κβαντικό orcle. Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τις κβαντικές πύλες από τις οποίες αποτελείται το κβαντικό orcle. Αυτό που χρειάζεται να γνωρίζουμε είναι η δράση του στον κβαντικό καταχωρητή. Αν δηλαδή το κβαντικό orcle δράσει στον κβαντικό καταχωρητή που βρίσκεται στην κατάσταση y τότε: y ( ) y O y f (5.) όπου, με συμβολίζεται η πρόσθεση με βάση το (mod) (θυμηθείτε ότι,, και ). Το qubt y ονομάζεται qubt του orcle. Όπως και στο κλασικό orcle, η f() παίρνει τιμή αν το είναι το στοιχείο που ψάχνουμε, αλλιώς παίρνει τιμή. 88

3 89 Ας δούμε καλύτερα τη δράση του κβαντικού orcle στη διαδικασία της έρευνας μίας μη δομημένης βάσης δεδομένων. Το qubt του orcle τίθεται στη βασική κατάσταση και στη συνέχεια δρα σ αυτό μία κβαντική πύλη Η. Μέχρι τώρα περιγράφαμε τα κβαντικά κυκλώματα με πίνακες που αντιπροσωπεύουν καταστάσεις των καταχωρητών και κβαντικές πύλες. Εδώ όμως δεν θα μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τρόπο, γιατί οι πίνακες είναι μεγάλοι για να χωρέσουν στις σελίδες του βιβλίου. Αντί για τους πίνακες θα χρησιμοποιούμε τα διανύσματα br και et και τα σύμβολα των κβαντικών πυλών. Για παράδειγμα, η δράση της Η στο γράφεται: H (5.4) Το συμβολίζει μία βασική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, κάθε βασική κατάσταση του οποίου αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της μη δομημένης βάσης δεδομένων. Δηλαδή η αντιστοιχεί στο τυχαίο στοιχείο της βάσης. Το κβαντικό orcle δρα στο qubt του, που βρίσκεται στην κατάσταση που δίνεται από την (5.4), και στην. Το αποτέλεσμα της δράσης του δίνεται από: ( ) f O (5.5) Η μπορεί να αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε, μπορεί και να μην αντιστοιχεί. Ας δούμε πρώτα την περίπτωση που δεν αντιστοιχεί. Τότε η f() παίρνει τιμή και η (5.5) γίνεται: O (5.6) Ας δούμε τώρα την περίπτωση που η αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε. Τότε η f() παίρνει τιμή και η (5.5) γίνεται: O (5.7) Από της (5.6) και (5.7) έχουμε: αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε ανη δεν αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε ανη O (5.8) Δεδομένου ότι το qubt του κβαντικού orcle σε καμία περίπτωση δεν μεταβάλλεται, μπορούμε να το απαλείψουμε από την (5.8) και να τη γράψουμε ως εξής:

4 O ανη ανη δεναντιστοιχεί στοστοιχείο πουψάχνουμε αντιστοιχεί στοστοιχείοπουψάχνουμε (5.9) Η (5.9) μπορεί να γραφεί και ποιο συνοπτικά: f ( ( ) (5.) O ) με την f() να παίρνει τιμές ή. Μην σας προβληματίζει το γεγονός ότι η f() βρίσκεται στον εκθέτη. Αν f() τότε: O ( ) (5.) και αν f() τότε: O ( ) (5.) Τι κάνει λοιπόν το κβαντικό orcle; Το κβαντικό orcle δρα στις βασικές καταστάσεις που αντιστοιχούν σε στοιχεία της μη δομημένης βάσης δεδομένων. Αν η βασική κατάσταση δεν αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε, την αφήνει όπως ήταν, αν όμως αντιστοιχεί, τότε τη «σημαδεύει» αλλάζοντας το πρόσημο της. Όπως γνωρίζουμε, οι κβαντικές πύλες είναι τελεστές του χώρου Hlbert που δρουν σε qubt και σε κβαντικούς καταχωρητές, αλλάζοντας την κατάστασή τους. Κάθε κβαντικό κύκλωμα, το οποίο όπως ξέρουμε αποτελείται από κβαντικές πύλες, είναι και αυτό ένας τελεστής του χώρου Hlbert. Φυσικά, και το κβαντικό orcle είναι τελεστής του χώρου Hlbert. Αν το στοιχείο που ψάχνουμε αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση, ο τελεστής του κβαντικού orcle είναι: O I (5.) όπου I είναι ο τελεστής που αντιστοιχεί στην πύλη αδρανείας, και όταν δρα δεν αλλάζει την κατάσταση του qubt ή του κβαντικού καταχωρητή. Ας δούμε τώρα το αποτέλεσμα της δράσης του τελεστή O σε μία βασική κατάσταση η οποία δεν είναι αυτή που ψάχνουμε: O I I (5.4) Οι και είναι διαφορετικές βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή, και επομένως, όπως είδαμε στο δεύτερο κεφάλαιο, είναι ορθογώνιες μεταξύ τους:. Η (5.4) γίνεται: O (5.5) 9

5 Δηλαδή, ο τελεστής του κβαντικού orcle άφησε αναλλοίωτη την κατάσταση αποτέλεσμα της δράσης του τελεστή O στη βασική κατάσταση που ψάχνουμε, την. Ας δούμε τώρα το : O (5.6) I I Δηλαδή, ο τελεστής του κβαντικού orcle άλλαξε το πρόσημο της κατάστασης που ψάχνουμε. Όπως είχαμε αναφέρει παραπάνω, για να ερευνήσουμε μία μη δομημένη βάση δεδομένων που περιέχει Ν στοιχεία με έναν κβαντικό υπολογιστή, αντιστοιχίζουμε κάθε ένα από τα στοιχεία με μία από τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή. Ο καταχωρητής περιλαμβάνει n qubt. Τα Ν και n σχετίζονται με την (5.). Για να το πετύχουμε αυτό, θέτουμε τον κβαντικό καταχωρητή σε μία κατάσταση η οποία είναι μία υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων. Σ αυτή την υπέρθεση όλες οι καταστάσεις έχουν το ίδιο πλάτος πιθανότητας: ( ) Η (5.7) είναι η (.9) στην οποία θέσαμε c ( / ) ο Grover όρισε έναν ακόμη τελεστή, τον G που δίνεται από (Grover, 998): (5.7) για κάθε. Κατ αναλογία με τον τελεστή O G I I (5.8) Ο αλγόριθμος του Grover είναι μία διαδοχική εφαρμογή των τελεστών O και G στον κβαντικό π / 4, περίπου φορές. Τα βήματα του αλγορίθμου του Grover είναι: καταχωρητή για ( ) ( ) 5 Βήμα ο Θέστε έναν κβαντικό καταχωρητή που περιλαμβάνει n qubt σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας να είναι ίδιο για κάθε βασική κατάσταση. Για να το πετύχετε αυτό, ξεκινάτε με τον κβαντικό καταχωρητή στην κατάσταση όπου όλα τα qubt είναι, δηλαδή στην κατάσταση. Στη συνέχεια δράστε στο κάθε qubt με μία κβαντική πύλη Hdmrd (H). Η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι: (5.9) n H είναι η υπέρθεση των βασικών καταστάσεων, όπου. Αντιστοιχίστε κάθε βασική κατάσταση με ένα στοιχείο της μη δομημένης βάσης δεδομένων. Έστω ότι ψάχνετε για το στοιχείο που αντιστοιχεί στην. Θέστε b, όπου b είναι ο αριθμός των επαναλήψεων εκτέλεσης των βημάτων που ακολουθούν. 9

6 Βήμα ο Δράστε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή O I Βήμα ο Δράστε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή G I Είναι ο αριθμός επαναλήψεων b μεγαλύτερος από ή περίπου ίσος με ( π 4) ( / ), 5 προχωρήστε στο 4 ο Βήμα, αν ΟΧΙ αυξήστε το b κατά ένα ( b b ) και πηγαίνετε στο ο Βήμα. ; Αν ΝΑΙ Βήμα 4 ο Μετρήστε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή. Είναι πρακτικώς βέβαιο ότι θα βρίσκεται στην κατάσταση που αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνετε. Σχήμα 5-. Το κβαντικό κύκλωμα του αλγορίθμου του Grover. Το κβαντικό κύκλωμα που περιγράφει τον αλγόριθμο του Grover φαίνεται στο Σχήμα 5- (Jone, 998). Αν διαβάζετε για πρώτη φορά αυτές τις γραμμές, είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα έχετε καταλάβει πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος του Grover. Αυτό είναι φυσικό, διότι ο αλγόριθμος αυτός είναι πιο δυσνόητος κβαντικός αλγόριθμος. Για να γίνει κατανοητός αλγόριθμος του Grover, έχουν αναπτυχθεί δύο σχηματικές ή γεωμετρικές ερμηνείες τις οποίες θα δούμε αμέσως παρακάτω. 5. Γεωμετρικές ερμηνείες του κβαντικού αλγορίθμου του Grover Πριν δώσουμε την πρώτη γεωμετρική ερμηνεία του κβαντικού αλγορίθμου του Grover, θα ήταν καλό να θυμηθούμε κάτι από τη διανυσματική ανάλυση. Στο Σχήμα 5- φαίνονται διανύσματα στον Καρτεσιανό χώρο. Το διάνυσμα διανυσμάτων: είναι το άθροισμα τριών (5.) 9

7 Σχήμα 5-. Διανύσματα στον Καρτεσιανό χώρο. Το είναι κατοπτρικό του. Αν αλλάξουμε το πρόσημο ενός από τα διανύσματα, ας πούμε του τριών διανυσμάτων γίνεται:, τότε το νέο άθροισμα των (5.) Προσέξτε ότι το διάνυσμα είναι κατοπτρικό του ως προς το επίπεδο που ορίζεται από τα άλλα δύο διανύσματα και, δηλαδή ως προς το επίπεδο που είναι κάθετο στο. Αυτό θα μας χρειαστεί παρακάτω. Ας έρθουμε τώρα στην πρώτη γεωμετρική ερμηνεία του κβαντικού αλγορίθμου του Grover. Στο Σχήμα 5-4(α) φαίνεται μία σχηματική παράσταση του χώρου Hlbert όπου φαίνονται τα διανύσματα (καταστάσεις) και. Όπως γνωρίζουμε, η κατάσταση είναι η υπέρθεση των βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή και δίνεται από την (5.9), ενώ η δεδομένων το οποίο ψάχνουμε. Σύμφωνα με τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover πρώτα δρα ο τελεστής αντιστοιχεί το στοιχείο της μη δομημένης βάσης κατάσταση. Όπως προκύπτει από τις (5.5) και (5.6), η δράση του τελεστή αυτού έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή του προσήμου μόνο της κατάστασης : O I ( ) O O (5.) στην 9

8 Όπως είδαμε στο Σχήμα 5., αυτή η αλλαγή του προσήμου σημαίνει ότι η κατάσταση κατοπτρική της ως προς το υπερεπίπεδο το κάθετο στην και είναι. Η διακεκομμένη γραμμή μεταξύ των, στο σχήμα 5-4(α), είναι η παράσταση της τομής του υπερεπιπέδου αυτού με το επίπεδο του χαρτιού. Στη συνέχεια δρα στην ο τελεστής G I : G (5.) Σχήμα 5-4. (α) Η δράση του τελεστή Oπεριστρέφει την και τη φέρνει στην περιστρέφει την και τη φέρνει στην. (β) Η δράση του τελεστή G. (γ) Η δράση των τελεστών περιστρέφει την κατάσταση του κβαντικού G O καταχωρητή κατά γωνία β προς την κατάσταση. Όπως φαίνεται από την (5.8), αυτός ο τελεστής έχει τη μορφή του O, αλλά με αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή, η είναι κατοπτρική της όχι ως το επίπεδο το κάθετο στην, αλλά ως το υπερεπίπεδο που περιέχει την και είναι κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού (Σχήμα 5-4(β)). Μπορούμε να πούμε ότι: 94

9 G O (5.4) δηλαδή ότι μία επανάληψη του κβαντικού αλγορίθμου του Grover περιστρέφει την κατάσταση β προς την κατάσταση. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα 5-4(γ). κατά γωνία Σχήμα 5-5. Κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθμου του Grover περιστρέφει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή κατά γωνία β προς την κατάσταση. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5-5, κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθμου του Grover περιστρέφει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή κατά γωνία β προς την κατάσταση. Η γωνία β είναι ίση με το μισό της γωνίας που σχηματίζεται από την υπολογιστεί ότι μετά από ( 4) ( / ), 5 και το υπερεπίπεδο το κάθετο στην. Είναι εύκολο να π επαναλήψεις, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή θα συμπέσει ή θα βρεθεί πάρα πολύ κοντά στην κατάσταση που αντιστοιχεί με το στοιχείο που ψάχνουμε. Τότε μία μέτρηση της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή είναι βέβαιο ή πρακτικά βέβαιο ότι θα δώσει την. Μία άλλη ερμηνεία του κβαντικού αλγορίθμου του Grover, που είναι περισσότερο σχηματική παρά γεωμετρική, φαίνεται στο Σχήμα 5-6. Στο Σχήμα 5-6(α) φαίνονται τα πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή, όταν αυτός βρίσκεται στην υπέρθεση βασικών καταστάσεων που δίνεται από την (5.9). Όλα τα πλάτη πιθανότητας είναι ίσα με ( / ) και ο μέσος όρος τους είναι και αυτός ( / ).Τονίζεται και πάλι ότι η περιγραφή είναι σχηματική, διότι τα πλάτη πιθανότητας είναι γενικά μιγαδικοί αριθμοί. Σύμφωνα με τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover πρώτα δρα ο τελεστής κατάσταση. Γνωρίζουμε από την (5.) ότι O στην. Όπως φαίνεται και από την (5.), η δράση του τελεστή αυτού έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή του προσήμου μόνο της κατάστασης. Στο Σχήμα 5-6(β) φαίνονται τα πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή, όταν αυτός βρίσκεται, στην κατάσταση. O I 95

10 Σχήμα 5-6. (α) Τα πλάτη πιθανότητας των βασικών καταστάσεων πριν τη δράση των τελεστών Gκαι O. (β) Τα πλάτη πιθανότητας μετά τη δράση του τελεστή O. (γ) Τα πλάτη πιθανότητας μετά τη δράση του τελεστή. G 96

11 97 Θεωρούμε μία γενική κατάσταση ψ η οποία εκφράζεται ως άθροισμα των βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή με διαφορετικά πλάτη πιθανότητας που δίνονται από τα : ψ (5.5) Το εσωτερικό γινόμενο της ψ με την είναι: ψ (5.6) όπου (5.7) είναι ο μέσος όρος των πλατών πιθανότητας. Θυμηθείτε ότι δ. Ας δούμε τώρα τη δράση του τελεστή G στην κατάσταση που δίνεται από την (5.): I G (5.8) Αν λάβουμε υπόψη την (5.7) με τη στη θέση της ψ, η (5.8) γίνεται: G (5.9) Αν αντικαταστήσουμε την με την (5.9) και γράψουμε την με τον γενικό τρόπο της (5.5) (δηλαδή όπως στην (5.) αλλά με στη θέση των πλατών) έχουμε: ( ) G (5.) Δηλαδή, με τη δράση του τελεστή G στην κατάσταση κάθε βασική κατάσταση έχει πλάτος πιθανότητας ( ). Στην (5.) όλα τα πλάτη είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με τον μέσο όρο, εκτός από το πλάτος της που είναι ίσο με το αρνητικό του μέσου όρου: (5.) Ας γράψουμε τώρα την (5.) αναλυτικά:

12 G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.) Δηλαδή, με τη δράση του τελεστή G έμειναν αναλλοίωτα και ίσα με τα πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων, εκτός από το πλάτος πιθανότητας της που έγινε θετικό και ίσο με. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα 5-6(γ). Με κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθμου του Grover, το πλάτος της αυξάνεται, ενώ τα πλάτη των άλλων βασικών καταστάσεων μειώνονται. Μετά από ( π 4) ( / ), 5 επαναλήψεις γίνεται ή πρακτικά ίσο με, ενώ τα πλάτη των υπολοίπων βασικών καταστάσεων γίνονται ή πρακτικά ίσα με. Αν μετρήσουμε τότε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, είναι βέβαιο ή πρακτικά βέβαιο ότι η μέτρηση θα δώσει τη βασική κατάσταση που αντιστοιχεί με το στοιχείο της βάσης δεδομένων που ψάχνουμε. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται ενίσχυση του πλάτους πιθανότητας. (Για να είμαστε απόλυτα ακριβείς πρέπει εδώ να σημειώσουμε ότι το στην (5.) είναι λίγο μικρότερο από ( / ), διότι το άθροισμα των τετράγωνων των πλατών πιθανότητας πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα.) 5.4 Πρώτο παράδειγμα εφαρμογής του κβαντικού αλγορίθμου του Grover Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 4 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Αρχίζουμε με έναν κβαντικό καταχωρητή με qubt. Ψάχνουμε για το στοιχείο που αντιστοιχεί με τον αριθμό, δηλαδή με την κατάσταση. Εκτελούμε ένα προς ένα τα βήματα του αλγορίθμου: Βήμα ο Αρχίζουμε με τον κβαντικό καταχωρητή στην κατάσταση και τον θέτουμε σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας πρέπει να είναι ίδιο για κάθε βασική κατάσταση. Για να το πετύχουμε αυτό χρησιμοποιούμε δύο κβαντικές πύλες Η. Έχουμε ήδη υπολογίσει το H H, οπότε: 98

13 99 ( ) H H (5.) Δηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση που δίνεται από την (5.9). Ψάχνουμε να βρούμε την, δηλαδή θέλουμε να φέρουμε τον κβαντικό καταχωρητή σε τέτοια κατάσταση ώστε η μέτρησή του να δώσει την με πολύ μεγάλη πιθανότητα. Βήμα ο Δρούμε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή ο οποίος σε μορφή πίνακα δίνεται από: [ ] O I O (5.4) Οπότε: ( ) O (5.5) Δηλαδή η δράση του τελεστή άλλαξε το πρόσημο της I O

14 Βήμα ο Δρούμε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή I G ο οποίος σε μορφή πινάκα δίνεται από: [ ] G I G (5.6) Η δράση του G έχει ως αποτέλεσμα: G (5.7) Μετά από μία επανάληψη του αλγορίθμου αν μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι βέβαιο ότι θα βρούμε την κατάσταση.ο αριθμός επαναλήψεων είναι: ( ) ( ),5 4 / π 5.5 Δεύτερο παράδειγμα εφαρμογής του κβαντικού αλγορίθμου του Grover Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 8 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Αρχίζουμε με έναν κβαντικό καταχωρητή με qubt. Ψάχνουμε για το στοιχείο που αντιστοιχεί με τον αριθμό 5, δηλαδή με την κατάσταση. Εκτελούμε ένα προς ένα τα βήματα του αλγορίθμου: Βήμα ο Αρχίζουμε με τον κβαντικό καταχωρητή στην κατάσταση και τον θέτουμε σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας πρέπει να είναι ίδιο για κάθε βασική κατάσταση. Για να το πετύχουμε αυτό χρησιμοποιούμε τρεις κβαντικές πύλες Η. Έχουμε ήδη υπολογίσει το H H, οπότε:

15 H H H

16 ( ) 8 (5.8) Δηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση που δίνεται από την (5.9). Ψάχνουμε να βρούμε την, δηλαδή θέλουμε να φέρουμε τον κβαντικό καταχωρητή σε τέτοια κατάσταση ώστε η μέτρησή του να δώσει την με πολύ μεγάλη πιθανότητα. Βήμα ο Δρούμε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή O I ο οποίος σε μορφή πίνακα δίνεται από: O I [ ] (5.9)

17 Οπότε: O 8 8 O 8 ( ) (5.4) Δηλαδή η δράση του τελεστή άλλαξε το πρόσημο της Βήμα ο δίνεται από: Δρούμε στον κβαντικό καταχωρητή με τον τελεστή G I ο οποίος σε μορφή πίνακα G [ ] 8 8 4

18 4 4 (5.4) Η δράση του G έχει ως αποτέλεσμα: G (5.4) Μετά από μία επανάληψη του αλγορίθμου, αν μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, η πιθανότητα να βρούμε την κατάσταση είναι ίση με: 78 % (5.4) ενώ η πιθανότητα να βρούμε μία άλλη, π.χ. την είναι: %.5 (5.44) Φυσικά, το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι ίσο με τη μονάδα: (5.45)

19 Ο αριθμός επαναλήψεων πρέπει να είναι ίσος ή μεγαλύτερος από ( π 4) ( / ),5. Δηλαδή χρειάζεται άλλη μία επανάληψη του αλγορίθμου. Στο τέλος της επόμενης επανάληψης, η πιθανότητα να μετρήσουμε την θα είναι πρακτικά ίση με τη μονάδα. Η συνέχεια αφήνεται σε εσάς. Οι τελεστές O και Gέχουν ήδη υπολογιστεί. Βιβλιογραφία Grover L. K., A ft quntum mechncl lgorthm for dtbe erch, Proceedng of the 8th Annul ACM Sympoum on the Theory of Computng, pp. -9, 996. Grover L. K., Quntum mechnc help n erchng for needle n hytc, Phycl Revew Letter, vol. 79, pp. 5-8, 997. Grover L. K., Quntum computer cn erch rpdly by ung lmot ny trnformton, Phycl Revew Letter, vol. 8, pp. 49-4, 998. Jone J. A., Moc M., & Hnen R. H., Implementton of quntum erch lgorthm on quntum computer, ture, vol. 9, pp , 998. Kwt P. G., Mtchell J. R., Schwndt P. D. D.,. & Whte A. G, Grover erch lgorthm: An optcl pproch, Journl of Modern Optc, vol. 47, pp ,. Ασκήσεις Άσκηση 5. Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 4 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Άσκηση 5. Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 4 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Άσκηση 5. Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 4 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Άσκηση 5.4 Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 8 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. 5

20 Άσκηση 5.5 Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 8 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. Άσκηση 5.6 Δίνεται μία μη δομημένη βάση δεδομένων με 8 στοιχεία. Να εφαρμόσετε τον κβαντικό αλγόριθμο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση. 6

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή... 11 Δύο λόγια για το Διδάσκοντα... 1 Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Κεφάλαιο 1: Κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων...17 1.1 Το κβαντικό κέρμα... 17

Διαβάστε περισσότερα

4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch

4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch 4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών και δίνεται ένα αναλυτικό παράδειγμα κβαντικού

Διαβάστε περισσότερα

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας . Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μονάδα της κβαντικής πληροφορίας που είναι το κβαντικό t (utum t). Θα περιγραφούν φυσικά συστήματα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες 3. Τελεστές και κβαντικές πύλες Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι κβαντικές πύλες ως τελεστές του χώρου Hlber. Περιγράφονται οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub. Παρουσιάζονται επίσης οι κβαντικές

Διαβάστε περισσότερα

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor 7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor Σύνοψη Ο κβαντικός αλγόριθμος του Shor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιόδου περιοδικών συναρτήσεων και για την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

8. Κβαντική τηλεμεταφορά

8. Κβαντική τηλεμεταφορά 8. Κβαντική τηλεμεταφορά Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η κβαντική τηλεμεταφορά και θα δοθεί το αντίστοιχο κβαντικό κύκλωμα. Θα εξηγηθεί γιατί η κβαντική τηλεμεταφορά δεν παραβιάζει το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

CoveX: Quantum Circuit Simulator

CoveX: Quantum Circuit Simulator Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Μάρτιος 2015 Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Περιεχόμενα 1 Κβαντική Πληροφορία 2

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015-2016 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016 Χρόνος: 2 ώρες Βαθμός:.. Υπογραφή καθηγητή/

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011 Ψευδοκώδικας November 7, 2011 Οι γλώσσες τύπου ψευδοκώδικα είναι ένας τρόπος περιγραφής αλγορίθμων. Δεν υπάρχει κανένας τυπικός ορισμός της έννοιας του ψευδοκώδικα όμως είναι κοινός τόπος ότι οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 29 / σελίδα 28

Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 30 / σελίδα 28 Αντιμετάθεση / σελίδα 10 Να γράψετε αλγόριθμο, οποίος θα διαβάζει τα περιεχόμενα δύο μεταβλητών Α και Β, στη συνέχεια να αντιμεταθέτει τα περιεχόμενά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική Κβαντική Υπολογιστική Συγγραφή Ιωάννης Καραφυλλίδης Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Σούντρης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Το φτερό του αεροπλάνου

Το φτερό του αεροπλάνου Το φτερό του αεροπλάνου Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Πίεση) Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι Οι μαθητές: - Να εξηγούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM). Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Αλγεβρική τιμή διανύσματος Όταν ένα διάνυσμα είναι παράλληλο σε έναν άξονα (δηλαδή μια ευθεία στην οποία έχουμε ορίσει θετική φορά), τότε αλγεβρική τιμή του διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Proslipsis.gr ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό αντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολή κυμάτων και σύνθεση ταλαντώσεων.

Συμβολή κυμάτων και σύνθεση ταλαντώσεων. Συμβολή κυμάτων και σύνθεση ταλαντώσεων. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π αρχίζουν τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελούν στην αρχικά ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονική ταλάντωση της μορφής 0,4 4 t, (SI).

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α Γιατί νομίζετε ότι η άλγεβρα είναι το πιο σημαντικό εργαλείο που έχουμε στα μαθηματικά; Είναι ένα από τα λίγα εργαλεία των μαθηματικών που το χρησιμοποιούνε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

παραδειγματα επεισοδίων

παραδειγματα επεισοδίων παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα