ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ. (Πλέγμα. + ηλεκτρόνια)

Transcript

1 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ (Πλέγμα + ηλεκτρόνια)

2 Τι θα μελετήσουμε Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με στερεό Μικροσκοπικά Απορρόφηση φτονίου Δημιουργία ζευγών ηλεκτρονίου οπής Μακροσκοπικά Εξισώσεις Maxwell Παράμετροι υλικού. Μεικτή Θα ξεκινήσουμε από τη Μακροσκοπική και επιλεκτικά θα επεκταθούμε στην Μικροσκοπική. Απλά φαινόμενα Γραμμικά φαινόμενα Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών

3 Διηλεκτρική Συνάρτηση Περιγράφει ποσοτικά την επίδραση ΗΜΑ στο στερεό. Ε πεδίο "κίνηση" Ρεύμα "ελεύθερους φορείς" ( Μέταλλα, ημιαγγούς με προσμίξεις). Αγγιμότητα Δέσμια (εντοπισμένα) φορτία Διπολικές ροπές (,, rt) σe(,, rt) Καιοιδύοδιαδικασίεςερμηνεύονταιαπότις εξισώσεις Maxwell. Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3

4 Διηλεκτρική Συνάρτηση Εξισώσεις Maxwell curle E (, t r) B (, t r) curlh H(, t r)(, t r) + D (, t r) Χρονικά (χρικά?) εξαρτώμενες ποσότητες!! Συχνοτικά εξαρτώμενες ποσότητες Μετασχηματισμών Fourer: t r (, t ) (, ) e k E r d e d π E k k t D(, t r) (, ) e d e π D k k r dk Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 4

5 t H( ) H ( ) e H( ) ( ) + D( ) t E( ) E ( ) e Διηλεκτρική Συνάρτηση Εξισώσεις υλικού (,) rt σ ( k, ) E(, k ) Er (,, t ) πραγματικ ήσυν άρτηση Dr (,) t εε(, k) Ek (, ) Θερούμε ότι: k << G σ ( ) σ( ) D( ) D*( ) E( ) E*( ) ε ( ) ε( ) H( ) [ σ ( ) εε( ) ] E( ) σ( ) E( ) σ( ) H( ) εe( )[ + ε ( )] ε ε ( ) E( ) D( ) ε Επανεξέταση έννοιας "δεσμίου"? Αντίφαση?? Αγγιμότητα Δέσμια ηλεκτρόνια Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 5

6 Διηλεκτρική Συνάρτηση D P + ε E εε ( ) E P ε( ε ( ) ) E ε χ( ) E Αρχή αιτιότητος: ΗπόλσηΡ σε χρόνο t οφείλεται σε πεδία E(t'), t'<t t Συνεπώς για να ισχύει χ Ρ(t) t > t' ή διαφορετικά τ t t' Θα πρέπει χ() για και να απειρίζεται (πόλος) για Im() Δημιουργεί '"σχέση" μεταξύ πραγματικού και φανταστικού μέρους! χ ( ) ε ( ) ε ( ) ε( ) + ε ( ) ε( ) π ' ε( ') d ' ε( ') ( ) d ' π ' ε P() t (, t t') E(') t dt' χ( t t') E(') t dt' χτ ( ) E( t τ) dτ t Εξαρτάται μόνο από τη διαφορά του χρόνου (Memory functon) Σχέσεις Kramers Krong Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 6

7 Απορρόφηση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας n ( ) n+ κ + ε( ) ε ( ) n κ ε ( ) nκ E E e E ( t kx) ( t nx / c) e Ee E [ t ( n+ κ) x/ c)] κ x/ c ( t nx/ c) e e n n ε ( ) T T R n + n + n + ε ( ) + Διερχόμενη: E E TT e ( + R e +...) διερχ n ( / cd ) n ( / cd ) ETT e ( n / c) d ( n / c) d Re E E e I E E διερχ ( n / c) d διερχ * διερχ Ee I Ie ( n / c) d Δ<< ( n / c) d κ ε Νόμος Beer Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 7

8 Απορρόφηση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Κ() Συντελεστής απορρόφησης 85 C-Cl stretch. 895 bend out of plane C-H bend n plane 65 CC stretch 3 C-H stretch Το μιγαδικό μέρος της διηλεκτρικής συνάρτησης ελέγχει την απορρόφηση (διαπερατότητα) Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 8

9 Διηλεκτρική συνάρτηση αρμονικού ταλανττή M M Οπτικός τρόπος για q u n u u n Cl Na Cl Na ( u + γu + u ) e E n n n n n n ( u + γu + u ) + e E ( u n u ) ( ) n + γ u n u n + ( un u ) ( ) n e E + M M e u( )( ) E( ) μ N N P( ) e u( ) + ε αe( ) V V Cl Μετασχηματισμός Fourer {α() α} Ηισοδύναμα θερώντας Ε e t εst ε( ) st ) + ε ( ε ε ε( ) γ Mu + f( u u ) + ee n n n, n n n n, n n, + ] e u + γu u+ E μ N e N P u + ε α E V V Πόλση Ιόντν Πόλση Ηλεκτρονίν N e N V εμ ( ε ε ) ε ( α ) + ε( ) + ε ( ) V γ Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 9 Mu n + f( un un) ee u u e E / μ ( u u ) f / μ ( u u )[ f / μ e E / μ e E u( ) un un, μ p e*u

10 Διηλεκτρική συνάρτηση αρμονικού ταλανττή ( ε ε ) ( ) st ( ) ε + ( ) + γ ε ε ( ε ε ) γ st ( ) ( ) + γ Συχνότητα πλάσματος L ε ( L ) Μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή απορρόφησης: Συνολική απορρόφηση : lm + πδ ( z) γ z γ z ( ) δ( z a ) δ( z a) + δ( z+ a) a K( ) ε ( ) ( ε ε ) γ c st c ( ) + γ I( ) d K( ) d ln d I ( ) d ( ε ε ) γ πd ( εst ε) c ( ) γ c st d + Συνολική απορρόφηση : Εξαρτάται μόνον από τις παραμέτρους του συστήματος Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια

11 Διηλεκτρική συνάρτηση αρμονικού ταλανττή γ δ( z) lm lm + πδ( z) γ π z + γ γ z γ z δ z a z a + z a a [ δ δ + ] ( ) ( ) ( ) δ ( z a) f( z) f( a) + ( )[ ( ) + ( + )] [ ] ( ε ε) ε ( ) ε + γ st ( ε ε ) ε + st ( για μικρό γ ) π ε st ε δ δ ε ( ) K( ) d d ( st )[ ( ) + ( + ) ] d c c c π ε ε δ δ π ε st ε δ + δ + ( ) ( ) ( ) d π π π ( εst ε ) + c c c ( εst ε ) [ δ( ) + δ( + ) ] d ( εst ε )[ ] π ( ε st ε) N π e K( ) d c V c ε μ * * fee K()d N π e N π f e 6 V ε c μ 6 V ε c μ Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια

12 Διαμήκεις και εγκάρσιοι κανονικοί τρόποι P x P y P ( t qx) Pq P x Διάμηκες PL PL P e y e ( t qx) Pq P Εγκάρσιο P P Τ Διηλεκτρικό χρίς ελεύθερα φορτία: ρ(x,y,z)!! Διαμήκη κύματα: P D ρ ε ε E ε ε ( ) D P+ εe [ ( ) ] ( ) P ε[ ε( ) ] E ε( L ) EL P ε Τα ανύσματα τν Ε και P είναι εκτός φάσες κατά 8 ο. Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια

13 Διαμήκεις και εγκάρσιοι κανονικοί τρόποι Εγκάρσια κύματα ( μόνο κατά τον y!!!) E μμh ( t qx) P Py Pye και E H D ε [ ε ( ) ] P xˆ yˆ zˆ το H θα έχει zˆ x y z μόνο z συνιστώσα P ( t qx) qpy e y xˆ yˆ zˆ ( t qx) ( t qx) Η ˆ z Ηze Ηz qh ze x x y z Η ( t qx) Το D θα έχει μόνο x συνιστώσα D D e, αλλά με πλάτος D x Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3 x z x ε Py ε

14 Διαμήκεις και εγκάρσιοι κανονικοί τρόποι E μμh H D P qp e zˆ H H e qp e ( t qx) x και ( t qx) y ( t qx) ( t qx) y z z ( t qx) y ( t qx) μhze qpy με ε Hz ε [ ε( ) ] Η qh z ( ) [ ( ) ] z e P P x y P e P D E P e ε [ ε( ) ] ε ε( ) xˆ ε ( ) D qp e P e ε ( ) ( t qx) ( t qx) ( t qx) x z y ( t qx) ε( ) ( t qx) ε( ) qh ze Pze qh z Py ε ( ) ε ( ) Μη τετριμμένη λύση Σχέση διασποράς q με [ ε( ) ] P q μ ε [ ε( ) ] ε( ) ε( ) q q q εμε ( ) ε ( ) ε ( ) H ε ( ) z y q c Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 4

15 ( ε ε ) ε ( ) ε ε ( ) st T + ( T ) ε L st L Σχέση LST ε ( ) ε T ε T L ε st ε cq L ε cq ε ( ) T cq cq + + ε 4 L T ε T ( q ) ( q ) cq L ε Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 5

16 Λύση L + cq / ε ± ( L ( cq / ε ) ) 4 c q T / ε + Για μικρά q / / c T c q T L + cq / 4 cq T / L + q 4 L + ε L L ε L ( ε) ε οπότε L L + cq / ε cq T ± L + cq T cq ε L ε L ε / / / cq 4ε T cq L + cq / 4 cq T / cq / 4 cq T / T ε cq ε ( ) ( ) ε ε ε ε οπότε cq cq cq / ε ± T ε ε T Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 6 / + cq( ε ε ) Για μεγάλα q

17 Πολαριτόνια Σύζευξη μηχανικών + ΗΜ κυμάτν. Εξαρτάται ισχυρά από τη μορφή ε(). cq/ T q s /(3 6 Å s ) 3 4 Å - << G (π/α Å - ). Δηλ. από πολύ μικρά q τα "μεικτά " κύματα κινούνται με τη συχνότητα συντονισμού Τ. Ισχυρή σύζευξη Αν c τότε η Τ, η ΜΟΝΗ ΛΥΣΗ ΔΕΝ υπάρχει λύση οδευόντν κυµάτν για Τ < < L. To q γίνεται φανταστικό! Για µεγάλα q το πάν κλάδος τείνει ασυµπττικά στη Το φς "βλέπει" "στάσιµα" τα ιόντα.! Μη καθυστερηµένη λύση. (Ηλεκτροστατική λύση) Παρατηρούνται µε τη φασµατοσκοπία Raman ή εξασθενηµένης ολικής ανάκλασης. Δυνατότητα µεταβολής του q της προσπίπτουσας ΗΜ-ακτινοβολίας. φτόνιο cq / Φτόνιο Φτονοειδής "ακίνητα ιόντα" Πλέγμα, L Φνοειδής, Τ ε ε st ε Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 7

18 Επιφανειακά κύματα σε ένα διηλεκτρικό Μη άπειρες διαστάσεις. Οριακές συνθήκες Ημιεπίπεδο. Θερούμε c με E B μ H Λύσεις χρίς καθυστέρηση ( στατικός ΗΜ, Coulomb). Εγκάρσια οδεύοντα κύματα // επιφάνεια. Μειώνονται εκθετικά κατά τον z. z Y x E, E z φ φ ξίσση Δ Ε Μία λύση φ(,) xz Laplace Δεν μας ενδιαφέρει ηθεώρησηδιαμήκν κυμάτν όγκου. Συνέχεια του D στον z, δίδει Ιοντικό πλέγμα φ φ φ qz ( qx t) (,) xz e e Exz (,) (,) xz φ( xz, ) φ( xz, ) εε ( ) ε z z z + ε ( ) < ( ε ( ) ) Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 8 D z spl spl L L / / ( εst ε ) T εst + ε st ( ) + s T s < s < L ( T s) ε + ε ε ε z

19 Επιφανειακά κύματα σε ένα διηλεκτρικό Εδώ ειδική περίπτση: Εντοπισμένα στην επιφάνεια. Οι συχνότητες τν επιφανειακών κυμάτν κείνται T < s < L Τα επιφανειακά κύματα υφίστανται για φτός x Τα επιφανειακά κύματα δεν συζευγνύονται με το φώς! Μόνο σε ειδικές γεμετρίες τραχύτητα, νανοσφαίρες, φράγματα, Συζευγνύονται με φορτισμένα σματίδια, (e, He +, H +, e + κλπ). Διαμήκη κύματα. q q ( /c)snθ s Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 9

20 Ανακλαστικότητα διηλεκτρικού επιπέδου Ενώ η διαπερατότητα Τ() για λεπτά υμένια καθορίζεται βασικά από το ε () Η ανακλαστικότητα εμπεριέχει και τα δύο μέρη της ε(). Ειδικά για την κάθετη πρόσπτση δίδεται ( ε st ε) ( ) ε( ) ε + ( ) + γ ε ( ε st ε) ( ) ( ) + γ γ n, κ Μιγαδικός δείκτης διαθλάσες n κ κ Ανακλαστικότητα ε / / st ε 3 LO, ε, n κ γ I ( ) E TT n e R e ( / c) d ( n / c) d n* n IR R R R n * + n + ε ( ) ( n ) + κ ε ( ) + ( n + ) + κ Reststrahlen Band InAs TO LO ε ε + R ( st st ε / ε + ) / ( ε ε / + ) / Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια

21 ΤΟΠΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Το εξτερικό πεδίο E E loc σε πυκνά μέσα. E loc Έστ ότι Ε//z. κυψελίδες. 3z Eloc E + p 4πε Σφαιρική συμμετρία. E + p 4πε r 5 r 3z r 5 r pr p cosθ z ϕ() r 4πε r 4πε r 4 πε ( x + y + z ) Σφαιρική συμμετρία. Χρήσιμη για q, ή λ >> α E E x 3/ ϕ θ θ ϕ θ x psn cos p(3cos ) E 3 y 3 4πεr r 4πεr ( 3( pr ) r r p ϕ p(3z 5 5 4πε r 4πεr Μένει όμς η συνεισφορά από υλικό εκτός σφαίρας!!! Εδώ: Συνεχής, μακροσκοπική πόλση P. ρ ˆ P Pn P n Pcosθ Κατανομή φορτίου κατανομή Ε. Πεδίο στο κέντρο: dq P cosθ π asnθ adθ ) r ) E r E θ de E P dq P cs o θ πa snθadθ P cos θsnθdθ cosθ cosθ 4πε a 4πε a πε π P P π P cos θsnθdθ loc πε E E + πε 3 3ε Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια

22 ΤΟΠΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Η διαφοροποίηση λόγ τοπικού πεδίου επιβάλλει διαφοροποίηση τν εξισώσεν ταλάντσης (πλάτος, επαγόμενη πόλση). u( ) e u( )( ) Eloc( ) N e e E( ) u( ) μ 3εμ V Nα/3V μ Nα/3V N N P( ) e u( ) + ε αeloc( ) N e N α V V P( ) u( ) + ε E( ) V Nα /3V V Nα /3V e u( )( ) E( ) + μ N N P( ) e u( ) + ε α E( ) + V V N 3εμ V Nα /3V ' < e α P( ) u( ) + ε( ε ) E( ) ε Nα /3 V ( N / V)/( ε ) e ( ( P( ) 3ε ) P( ) 3ε ) e E( ) μ Nα /3V Μείση ο Γενικά, u() P( ) Nα / V ε N ε + α ε E( ) Nα /3V ε + 3V Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια u( ) e ε E( ) μ ( ) Nα / V ' e α P( ) u( ) + ε( ε ) E( ) ε e ε ε ε ε μnα / V ( γ) P( ) ε ( ) ( ) + ' E( ) ( ε ε) ' e ε ( ) ε + εst ε + ( γ) ε μαn / V ' ' T st ' T '

23 Καταστροφή λόγ πόλσης Τοπικό πεδίο Μείση συχνότητας συντονισμού. Πόσο? Τ? ή <? Τ Απστικές άμεσν γειτόνν (ελαστικές) < δυνάμεις λόγ πεδίου. Συνισταμένη δύναμη νέα θέση ισορροπίας. Δυνάμεις στην νέα θέση μη αρμονικές!! Διαχρισμόςτουστερεούσεπεριοχέςμεδιαφορετική πόλση. Καταστροφή λόγ πόλσης.!! Σιδηροηλεκτρική φάση ( Σιδηρομαγνητική φάση) N e T 3εμV Nα/3V Η πόλση υπολογίζεται αθροιστικά από το γινόμενο του φορτίου επί την μετατόπιση για όλα τα ιόντα Ba +, T 4+, O. p,5 C m/κυψελίδα P p* κυψελίδα 9 Cm. Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3

24 Κοντά στην κρίσιμη πολσιμότητα Καταστροφή λόγ πόλσης Na( ) + ε ( a) ε Na ( ) 3 V ε a ( ) 3V ε 3 V Na + a( ) 3 V N 3V a( ) + s( s<< ) ε( a) / s / ξ( T Tc ) N ε / ξ( ) ε T Tc T Tc Από την LST σχέση για να έχουμε Τ, πρέπει ε st, c ε ε T T T T L T st T Tc ε st ε st PbTO 3 Τεχνολογικό ενδιαφέρον Υλικά υψηλής ε Πυκντές, Μετασχηματιστές Μη πτητικές μνήμες Πιεζοηλεκτρικά Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 4

25 Αέριο Ελευθέρν Ηλεκτρονίν Χαρακτηρίζει τη διηλεκτρική συμπεριφορά υλικών με μεγάλη συγκέντρση φορέν. Μέταλλα, Ημιαγγοί με μεγάλο αριθμό φορέν. Πάλι από την εξίσση του εξαναγκασμένου ταλανττή. Νέφος ηλεκτρονίν M nm e ne M( u n + γ u n + un ) e E nee n e Mγ γ enu en σe γ γ σ nmu + γ u nee ne nmu + u nee σ p Συχνότητα πλάσματος Συχνότητα διαμήκους ταλάντσης "ελεύθερν" ηλεκτρονίν Θετικά Ιόντα ne nm u( ) nee( ) σ ( ) P neu( ) ε ε( ) E( ) Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 5 ( ) ε ( ) + σ ( ) p ne p p mε

26 Αέριο Ελευθέρν Ηλεκτρονίν Ιδιαίτερα χρήσιμη η περίπτση μικρών απλειών ( γ, σ ). ε ( ) ε( ) ( + ) ( ) Εδώ ε( P ). Υπάρχουν μόνο διαμήκη κύματα. Τ. ΔΕΝ υπάρχει δύναμη επαναφοράς.!! Οι τιμές του P εξαρτώνται από τη συγκέντρση (n) καιτης ενεργού μάζας (m ). Περίπου 3 ev. Τα πλασμόνια είναι καλά ορισμένα μόνο απουσία άλλν διεγέρσεν. Μέταλλα, ημιαγγοί με προσμίξεις. Ερμηνεύει όμς "καλά" την υψηλή ανακλαστικότητα τν μετάλλν. ( Al, Zn κλπ). Η παρουσία της διαταινιακής μετάπτσης "προκαλεί" συνολική μείση της ανακλαστικότητας στο 9%. σ ε ( ) ( σ / ) I R p Σε p ne n κ ε ( ) ε έσον p Μ εmε p ε ( ) ε ( ) + ( n ) + κ ( n + ) + κ + Optcal constant s.... μ -7 κ() n() γε P /σ P. Frequency n HeVL ε() Εξασθένηση 5, p,5 Διαταινιακή μετάπτση σ 3, 6 Ω cm 5 Διάδοση,5 Πλάσμα Al p Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 6

27 Αέριο Ελευθέρν Ηλεκτρονίν Καιτατρίαχαρακτηριστικάμεγέθηπαριστάνονταιστο διπλανό σχήμα. Πλάσμα μπορεί να σχηματισθεί και από τα ηλεκτρόνια σθένους.. (Ενέργεια( 3 ev) Ενδιαφέρουσα περίπτση είναι ο ημιαγγός In O 3 :Sn. Optcal constant s.... μ -7 κ() n() γε P /σ P. Frequency n HeVL Absopton C oeffcn th c m - L. ( ) K ε /c nκ c.8. Frequency nhevl R() Διαπερατό στο ορατό. Φίλτρο στο υπέρυθρο. ( Επιστρώσεις λυχνιών, θερμικών παραθύρν) Reflectance Frequency n HeVL Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 7

28 Διαταινιακές μεταπτώσεις Ταινία αγγιμότητος Ενδοταινιακή μετάπτση Ταινία σθένους Διαταινιακή μετάπτση a () t m E E xexcos t ex V () r E e e (,) (,) r t ψ r t E Fx eexx t t + x( + ) ψ t E E ( ) t t t x < > ( e + e ) e < > x < > ψ (,) r t a () t ψ (,) r t a () t e ϕ () r E E ee x x ϕ ( r) xϕ () r dr ee x ( ) t ( + ) t e e + + Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 8 Et

29 Διαταινιακές μεταπτώσεις Ας δούμε αναλυτικότερα το πινακοστοιχείο < x > ϕ ( r) xϕ( r) dr το μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της διπολικής ροπής p στη διηγερμένη κατάσταση. Et p ψ ( r) exψ ( r) dr a () t e ϕ () r ex a () t e ϕ ( r) dr Et Et Et Et Et Et Et a( t) ϕ ( r) e ex e ϕ () r dr a() t e e ϕ () r exϕ ( r) dr a() t e e ϕ ( r) exϕ Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 9 Μόνο γραμμικούς όρους + + eex t t ( a() t e a() t e ) e< x > + e < x > +< x > ( ) t ( + ) t t t ee x e e ex + e xa () te + e xa() t e a() t < x > + + ex + x e t t t t t t e e e e e e e t t t t ee ( ) ( ) x e + e e + e ex + e x e E p e ( t ) x x + x cos cs o t t t ( r) dr

30 Η τελευταία σχέση είναι πολύ σημαντική. Διαταινιακές μεταπτώσεις Ο πρώτος όρος δίδει τη ενυπάρχουσα P( ) εχ ( ) E( ) ε( ε( ) ) E( ) διπολική ροπή. (Χρίς πεδίο!!). Αν ϕ (r) ) ϕ ( r) τότε χ. Ο δεύτερος όρος είναι γραμμικός ς την Ε. Συνεπώς δίδει την πολσιμότητα χ του μέσου. γ Περιέχει δύο συνιστώσες. Η μία ταλαντούται με τη συχνότητα του lm lm + πδ ( z) γ z γ γ z + γ z διεγείροντος πεδίου (). Η δεύτερη ταλαντούται με τις "ατομικές συχνότητες" >> δ ( z a ) ( δ( ) ( )) z a + δ z + a a ΔΕΝ μπορούμε να την παρατηρήσουμε. ( ev.4 4 Hz) Απειρίζεται αν η συχνότητα διέγερσης συμπίπτει με μια ατομική συχνότητα. Εδώ ο υπολογισμός της γίνεται με τη βοήθεια τν σχέσεν Kramers Krong. Προσθέτουμεμιαμικρήμιγαδικήποσότηταγτηνοποίαστησυνέχειααφήνουμενα τείνει στο μηδέν. e x ε ( ) P( )/ E( )/ ε ( p / V)/ E( )/ ε lm Vε γ + γ x e πe + V ε π ε e πe + V ε V V x δ ( ) π x x [ δ( ) + δ( + )] ε ee + x p ex x ( cos t cos ) t + Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3

31 ε ( ) ε ( ) + ε ( ) Διαταινιακές μεταπτώσεις x ( E E ) + + [ ( E E )] + δ( + ( E E )] πe πe ( ε ) x ( δ εv ( E E ) εv Αυτήηέκφρασηείναιγενικήκαιισχύειγιακάθεκβαντομηχανικόσύστημα ( διακριτές καταστάσεις)!! Περιοδικό ή μη. Το I αριθμεί τις αρχικές και το τις τελικές καταστάσεις. Ο παραπέρα υπολογισμός της ε() απαιτεί τη γνώση τν ιδιοκαταστάσεν του κβαντομηχνικού συστήματος. Σημαντική "ελάφρυνση" παρέχει η παρουσία περιοδικότητας. Σε ένα περιοδικό υλικό οι καταστάσεις περιγράφονται μέσ συναρτήσεν Bloch. (χρικό τμήμα) k r < r, k > uk () r e < r, k () > uk r e V V Με τη βοήθεια αυτών μπορούμε να υπολογίσουμε τα πινακοστοιχεία χ. < k x, k > ϕ () r xϕ () r dr p m x k k+ G ( ) n < p, > < p, > k k r k k k k e μνοαν ό k κυψελίδα k Ν Δηλ. ισούται με το πινακοστοιχείο χ σεμιακυψελίδαεπίτιςσυνεισφορέςτνάλλνκυψελίδν. Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3 k r n

32 Διαταινιακές μεταπτώσεις ε ) ] ( ( )] Απορρόϕηση Εκπομπ ή πe < k p, k > ( [ δ( ( E ) E + δ + E E εv k m d p, 3 < p > V ( π ) k k k ε k Απορρόϕηση πe ( ) p [ ( ( ( ) ( ))]] 3 d δ E E εm ( π) k k k dk df dk de( k) dk d [ E( k) δ () π e ε ( ) p εm π Z ( ) Z ( E ( k) E ( k) k 3 ( ) [ E ( ( E ( k) E ( k)) k 3 ( π ) [ E ( ) ( )] ( E ( ) E ( )) E k k k k k df df k) E ( k)] Φνόνια V Z( ) d Z( q) dq d 3 ( π ) q ( q) σταθερά dq df dq d( q) grad ( q) dq V Z( ) d ( π ) q 3 g() δ{ f()} g() f() d r r r r S S const d + d σταθερό df grad ( q) q Συνδυασμένη πυκνότητα καταστάσεν Πυκνότητα καταστάσεν Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 3

33 Διαταινιακές μεταπτώσεις πe πe ε ( ) ( ) Z( ) p Z p εm εm k[ E( k) E( k)] Κρίσιμα σημεία ή E ( k) E ( k) Ανμαλία van Hove k k Αν p ε () Απαγορευμένες μεταπτώσεις Θερούμε υλικό με άμεσο χάσμα. Οπότε E E k E E k p p c g + v g + ( k) mc mc Ec Ev Eg + ( + ) k m m μ Eg + k ( E E) k ( Eg) μ μ c v Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 33

34 Άμεσες Διαταινιακές μεταπτώσεις ( E ) dϕ Z( ) ( π) [ ( ) ( )] ( π) ( ) π μ ( E ) 3 g ( π ) π df μ g 3 3 E ( E E ) E k k k Eg c v / p ε () A(h -E e μ / ( E ) g g εm 4π Επιτρεπτές μεταπτώσεις Αν p (k) τότε το αναπτύσσουμε ς προς k p p( k) ( k) p( k) + ( k k) + k ) / Z( ) C ( π ) μ g 3 ( π ) ( E E ) ( Eg ) p ( k) 3 k ε () A '(h -E g c μ ( Eg ) ) v 3/ C E d( E ) 3/ Απαγορευμένες μεταπτώσεις g Επειδή p (k) η όλη θεώρηση είναι ποιοτική Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 34

35 Έμμεσες Διαταινιακές μεταπτώσεις Το ελάχιστο της ταινίας αγγιμότητας σε διαφορετικό k από το μέγιστο της ταινίας σθένους. Η υλοποίηση απαιτεί τη συμμετοχή και φνονίν. Παρέχουν την απαιτούμενη "ψευδοορμή" Διαδικασία δύο βημάτν. Συμμετοχή τριών "ημι σματιδίν". Η ενδιάμεση κατάσταση μπορεί να είναι πραγματική ή "δυνατή" Διατήρηση Ορμής: Σε κάθε βήμα! Διατήρηση ενέργειας: Αρχική και τελική. ΔΕ Δt t k k + k ± q E( k ) E( k ) + ± L k << k, k << q <<(E E ) L q Έχουν μικρή ένταση. ( μικρή πιθανότητα "σύμπραξης" τριών "ημι σματιδίν" Εμφανίζονται όταν δεν υπάρχουν άμεσες μεταπτώσεις. ε abs ( )C nq ( + q Eg) για Eg q < < Eg + q ε abs em ( )C nq ( q Eg) C ( nq + ) ( q Eg ) για Eg + + > + q q ΔΕ n q / KT e Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 35

36 Διαταινιακές μεταπτώσεις +Ελεύθεροι φορείς ε abs 3 ( )C nq ( + q Eg) για Eg q < < Eg + q ε abs 3 em 3 ( )C nq ( q Eg) C ( nq + ) ( q Eg ) για Eg + + > + q Έμμεσες Απαγορευμένες Μεταπτώσεις Σε αρκετά κρυσταλλικά υλικά οι διαταινιακές μεταπτώσεις βρίσκονται στην ίδια ενεργειακή περιοχή με αυτή τν ελευθέρν φορέν. Ιδίς σε υλικά με d στάθμες. (Ag, Cu, Au). Ενδιαφέρουσες οπτικές ιδιότητες. Μηδενισμός της ε () στην οπτική περιοχή. Υψηλή απορρόφηση, Εκπομπή, Ανακλαστικότητα Νανοπηγές Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 36

37 Εξιτόνια Λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση Coulomb e οπής. Οδηγεί σε συσχετισμένη "κίνηση" τν e οπής. Το εξιτόνιο έχει τη δυνατότητα "κίνησης" εντός του υλικού. Εμφανίζονται αν Ε c (k) Ε v (k) Εμφάνιση οξέν δομών (κορυφών) εντός του ενεργειακού χάσματος. Λίγο πριν από την ακμή απορρόφησης. Η ένταση τν εν λόγ κορυφών μειώνεται όσο πλησιάζουμε στην ακμή. Δενσυνεισφέρουνστην αγγιμότητα. Είναι Bosons ( Συμπύκνση) Wanner (Ασθενικά προσδεδεμένα) Η ενέργεια σύνδεσης μπορεί να μετρηθεί Με μετρήσεις οπτικής απορρόφησης Με μετρήσεις φταύγειας. (Επανασύζευξη) Hoppng Frenkel (Ισχυρά προσδεδεμένα) Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 37

38 Εξιτόνια Υδρογονικό πρότυπο K k + k E E n, K e h 4 μ e Eg + 3πεεn ( mc + mv) Ενέργεια Σύνδεσης Κινητικ ή Εν έργεια E K ( ) b n, K Eg + * * n me + mh K 4 μ e μ E E E 3,6eV b H H (4 πεε ) m ε m < rn > εα on αo,59 Α μ CdS GaAs ε,8 m,67m m,m μ,5m e h,8,59 < rn > n Α n 3 Α >> a 5,6 Α,5,5 Eb 3,6 ev 4, mev Σταθερά T 49 K,8 Στήριος Βες Διηλεκτρικές Ιδιότητες Στερεών Διαφάνεια 38