Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος εαρινού εξαμήνου 1-11) ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [] και καμπτικών ροπών [] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής ροπής στο ζύγωμα ΓG. N/ m G m N/ m N 4 N 3 m 8 m Επίλυση: Αντιδράσεις: 4 N, 115 N, B 6 N και B 15 N x y x y ΤΕΙ Αθήνας, Οκτ / 9

2 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) Γ G -8-8 Ζ Δ Ε -8 Α -115 [ N (N) ] -15 Β x=5.75m +115 Γ Ζ = max -45 Δ G Ε Α -4 [ (N) ] Β q /8=16-8 Γ + max =+5.63 G Ζ x=5.75m Δ q /8=4 Ε -18 Α [ (Nm) ] Β ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 / 9

3 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η μέγιστη ροπή θα εμφανισθεί σε σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Αυτό σύμφωνα με το διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων θα συμβεί δεξιά του σημείου Γ σε απόσταση x, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: 115 N x 5.75 m N/ m Η δε τιμή της μέγιστης ροπής στο σημείο αυτό μπορεί να προκύψει με δύο τρόπους: (α) Γίνεται τομή στο σημείο αυτό και υπολογίζεται η ροπή από το τμήμα αριστερά της τομής, που είναι προς το σημείο Α: 5.75 m max 5.75 m y 5 m x m 4 N ( N/ m 5.75 m) 5.75 m 115 N 5 m 4 N 8 Nm Nm max max Nm Nm 8 Nm Nm 5.65 Nm (β) Η μέγιστη ροπή υπολογίζεται από το εμβαδόν του διαγράμματος της τέμνουσας: 5.75 m maxαπό έως θέση εμβαδόν 8 Nm 115 N max max 5.65 Nm ΘΕΜΑ ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. N/m 6 m EI 8 N 6 m 18 Nm EI 6 m ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

4 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ N B B B N B 1 P q B B B EI EI 1, B 1 1, B 1 P P, B 8 8 P P, B q, 1 q B 1 q q, B Επίλυση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή στο Β. Δοκός ΑΒ: B EI EI B B B B 4EI EI B EI 16 B EI 16 B 1 4 Δοκός ΒΓ: B 4EI 6 EI B B EI 6 EI B ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

5 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) B B 6 EI 6 B EI 6 B 6 6 Ισορροπία κόμβου Β: EI EI B B B EI 48 EI EI Fy B y B 16 y y 8 N Κόμβος Α: EI y B y 16 y 18 N 4 EI B Nm (αριστερόστροφα) 6 Κόμβος Γ: EI y B y 6 y N 6 EI B 6 1 Nm (αριστερόστροφα) 3 Ισορροπία πλαισίου: (έλεγχος ή εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού y ) F y y y y y 8 N y ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

6 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών: Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η πρώτη μέγιστη θετική ροπή εμφανίζεται δεξιά της πάκτωσης στο σημείο που εφαρμόζεται η δύναμη των 8 N με τιμή max 8 Nm, ενώ η δεύτερη εμφανίζεται στην πάκτωση Γ με τιμή max 1 Nm. ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

7 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (Α' επιλογή) Για την μονοπροέχουσα δοκό του παρακάτω σχήματος ζητούνται η βύθιση w στο άκρο Γ του προβόλου και η στροφή στη στήριξη Β. Δίνεται EI Nm και οι σχέσεις υπολογισμού των παραμορφώσεων: w 1 N = dx και 1 Nm = EI dx EI N/m Α Β Γ m Οι πίνακες με τους πολλαπλασιασμούς διαγραμμάτων δίνονται στην επόμενη σελίδα. Τιμές ολοκληρωμάτων dx dx τετραγ. παραβολή ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

8 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (Β' επιλογή) Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να προσδιορισθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη ΔΖ, ΔΘ και ΓΖ. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στις ράβδους ΑΕ, ΑΗ, ΕΗ, ΕΔ και ΕΓ). Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 1 N 8 N 3 m 3 m 3 m 3 m ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9

9 Εαρινό εξάμηνο 1-11 (Β' περίοδος) Επίλυση: ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 9