V AM = V NΔ = V γεν! V AM = V NΔ = E (1) Eξάλλου την χρονική στιγµή t=0 ισχύει και η σχέση:

Transcript

1 Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (44), στην οποία η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτι κή δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. Eάν η εσωτερική αντίσταση του γαλβανοµέτρου (Γ) είναι R Γ, να βρεθούν οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους των δύο πυκνωτών, την στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης Δ. Ποια είναι τα τελικά ηλεκτρικά φορτία των δύο πυκνωτών; Δίνονται οι ηλεκτρικές αντιστάσεις R 1, R και οι χω ρητικότητες C 1 και C των δύο πυκνωτών. ΛYΣH: i) Tην χρονική στιγµή t0 οι δύο πυκνωτές έχουν µηδενική τάση στους οπλισµούς τους, γεγονός που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή η τάση V A,M στις άκρες της R 1 και η τάση V NΔ στις άκρες της R θα είναι ίση µε την πολική τάση V γεν της γεννήτριας, δηλαδή θα ισχύει: V AM V NΔ V γεν V AM V NΔ E (1) Eξάλλου την χρονική στιγµή t0 ισχύει και η σχέση: V AM + V MN + V NΔ E (1) E + V MN + E E V MN - E () Σχήµα 44 που σηµαίνει ότι, η συµβατική φορά του ρεύµατος στο γαλβανόµετρο (Γ) είναι από το άκρο N προς το άκρο M αυτού. H ένταση του ρεύµατος αυτού θα είναι: () I Γ V NM /R Γ I Γ E/R Γ (3)

2 Eάν I 1, I είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στις αντιστάσεις R 1 και R αντιστοί χως, την χρονική στιγµή t0, θα ισχύουν οι σχέσεις: (1) I 1 V AM /R 1 (1) I V NΔ /R 1 I 1 E/R 1 (4) I E/R (5) Eξάλλου, εάν I C1, I C είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους των δύο πυκνωτών την στιγµή t0, τότε σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του kirchoff στους κόµβους M και N, θα έχουµε αντιστοίχως τις σχέσεις: (3 ) I 1 + I I C (4 ) (3 ) I + I I C1 (5 ) I C E + E I R 1 R C E R + R $ 1 R R & (6) 1 I C1 E + E I R R C1 E R + R $ R R & (7) ii) Όταν οι πυκνωτές λάβουν τα τελικά τους ηλεκτρικά φορτία Q 1 και Q, τότε οι κλάδοι MB και AΓN του κυκλώµατος δεν θα διαρρέονται από ρεύµα (σχ. 45), οπότε η γεννήτρια, το γαλβανόµετρο και οι αντιστάσεις R 1, R θα διαρρέονται µε κοινό ρεύµα, του οποίου η ένταση I υπολογίζεται από την σχέση: I E R 1 + R + R (8) Σχήµα 45 Για τα ηλεκτρικά φορτία Q 1 και Q ισχύουν οι σχέσεις: ( ) ( ) Q 1 C 1 V AN C 1 I R 1 + R Q C V MB C I R + R (8) Q 1 C 1E(R 1 + R ) R 1 + R + R Q C E(R + R ) R 1 + R + R $

3 Στην συνδεσµολογία του σχήµατος (46), το µεταλλι κό σύρµα AB είναι οµογενές και σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του, παρουσιάζει δε ηλεκτρική αντίσταση R. Eξάλλου η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέα εσω τερική αντίσταση, ο δε πυκνωτής έχει χωρητικότητα C. Eάν O είναι το µέσον του σύρµατος AB, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση µε την ηλεκτρι κή αντίσταση R x του τµήµατος AM, όταν ο δροµέας M µετακινείται από το άκρο A προς το άκρο B του σύρµατος. ΛYΣH: Eάν R x είναι η ηλεκτρική αντίσταση που παρουσιάζει το τµήµα AM του µεταλλικού σύρµατος AB, τότε διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις: i) 0 R x R, δηλαδή ο δροµέας M µετακινείται µεταξύ του άκρου A και του µέ σου O του σύρµατος AB. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκ νωτή θα είναι: q CV AM CIR x (1) όπου I η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει την γεννήτρια και το τµήµα AO (από τον κλάδο του πυκνωτή δεν διέρχεται ρεύµα). Όµως η αντίσταση του τµήµατος OB είναι ίση µε R και συνδέεται παράλληλα µε την αντίσταση R που βρίσκεται µεταξύ των σηµείων O και Δ, οπότε οι δύο αυτές αντιστάσεις θα διαρ ρέονται από ρεύµατα έντασης I/ (1ος κανόνας του kirchoff στον κόµβο O). Eφαρµόζοντας στον βρόχο (AOΔZA) τον ο κανόνα του kirchoff παίρνουµε: E - IR - IR/ 0 E 3RI/ I E/3R () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: q ECR x 3R µε 0 R x R (3) Σχήµα 46 Σχήµα 47 ii) R R x R, δηλαδή ο δροµέας M µετακινείται µεταξύ του µέσου O και του άκρου B του σύρµατος AB. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή θα είναι:

4 q CV AM C(V AO + V OM ) q C[ IR + I(R x - R)/] q IC R + R x $ & () q EC ( R + R x) 3R µε R R x R (4) Oι σχέσεις (3) και (4) συνοψίζονται στην συνάρτηση: q $ $ ECR x / 3R, 0 R x R ( ), R R x R EC (R + R x )/ 3R (5) H γραφική παράσταση της (5) φαίνεται στο σχήµα (47). Δύο γεννήτριες συνεχούς ρεύµατος έχουν την ίδια εσωτερική αντίσταση r και ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E 1, E, µε E 1 >E. Oι δύο γεννήτριες συνδέονται παράλληλα µεταξύ τους και η ηλεκτρική συστοιχία που προκύπτει χρησιµοποιείται για την φόρτι ση ενός πυκνωτή χωρητικότητας C, δια µέσου µιας ηλεκτρικής αντίσ τασης R. Nα βρείτε το τελικό ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και την ένταση του ρεύµατος φόρτισης κατά την χρονική στιγµή που κλείνει ο διακόπτης. ΛYΣH: i) Όταν ο πυκνωτής λάβει το τελικό του φορτίο q, από τον κλάδο ΓZHΔ δεν θα διέρχεται ρεύµα (σχ. 48)), που σηµαίνει ότι οι δύο γεννήτριες θα διαρρέονται µε το ίδιο ρεύµα, που η έντασή του I υπολογίζεται µε εφαρµογή του δεύτερου κανόνα του Kirchoff στο βρόχο (AΓΔBA). Έτσι θα έχουµε: E 1 - E Ir + Ir E 1 - E Ir I (E 1 - E )/ (1) Tο τελικό φορτίο q του πυκνωτή είναι: Σχήµα 48 (1) q CV C C(V Z - V H ) q C(V A - V B ) q C(E 1 - Ir)

5 q C E 1 - (E 1 - E )r $ & q C E r 1 - E 1 - E $ & q C E 1 + E $ & () ii) Kατά την χρονική στιγµή t0 (σχ. 49) που κλείνει ο διακόπτης, η τάση του πυκνωτή είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η τάση V R στις άκρες της αντίστα σης R είναι ίση µε την κοινή τάση των δύο γεννητριών. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: Σχήµα 49 E 1 - I 1 r E - I r I 0 R I 0 R$ E 1 + E - r(i 1 + I ) IR E 1 + E ri 0 + I 0 R E 1 + E I 0 (R + r) I 0 E 1 + E R + r όπου I 0 η ζητούµενη ένταση του ρεύµατος φόρτισης του πυκνωτή. Στο κύκλωµα του σχήµατος (50) η γεννήτρια Γ έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση και ηλεκτρεγερτική δύναµη E, το δε µεταλλικό σύρµα AB είναι οµογενές και σταθερής διατοµής σε όλο του το µήκος. Πάνω στο σύρµα AB µετακινείται µεταλλικός δροµέας M, που το χωρίζει σε δύο τµήµατα AM και BM, τα οποία έχουν λόγο (MB/MA)x. Eάν C είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή, να υπολογι στεί το ηλεκτρικό του φορτίο σε συνάρτηση µε τον λόγο x. ΛYΣH: Έστω M µιά τυχαία θέση του δροµέα πάνω στο µεταλλικό σύρµα AB, που αντιστοιχεί σε φορτίο q του πυκνωτή. Eπειδή από τον κλάδο στον οποίο βρίσκεται ο πυκνωτής δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα, τα τµήµατα AM και MB διαρρέονται µε το ίδιο ρεύµα, έντασης I 1, οι δε αντιστάσεις R επίσης διαρρέον ται µε το ίδιο ρεύµα, έντασης I. Για το φορτίο q ισχύει η σχέση:

6 q C(V O V M ) (1) Θεωρώντας εξάλλου την διαδροµή OAM του κυκλώµατος, έχουµε τις σχέσεις: V O - V A V A - V M -I R I 1 R AM (+ ) V O - V M I 1 R AM - I R () Σχήµα 50 Eπειδή η γεννήτρια έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση, η πολική της τάση είναι ίση µε E, οπότε θα έxουµε: E I 1 R AB E I R $ I E/R 1 AB I E/R $ (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: V O - V M ER AM R AB - ER R V O - V M E (AM) (AB) - E V O - V M V O - V M AM E AM + MB - 1 $ AM & V O - V M E AM + x(am) - 1 $ & 1 E 1 + x - 1 $ & E 1 - x $ & 1 + x (3) Aπό (1) και (3) προκύπτει: q CE 1 - x $ & 1 + x µε 0 x < + Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (51), η οποία περιλαµβάνει n το πλήθος όµοιους πυκνωτές χωρητικό τητας C, οι οποίοι είναι αφόρτιστοι. H γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος

7 της συνδεσµολογίας έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. i) Nα δείξετε ότι την στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης (Δ) µόνο ο βρόχος (AA 1 B 1 BA) της συνδεσµολογίας διαρρέεται από ρεύµα και να βρείτε την έντασή του. ii) Nα βρείτε το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο όλων των πυκνωτών της συνδεσµολογίας. ΛYΣH: i) Tην στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης (Δ), όλοι οι πυκνωτές της συνδεσµολογίας είναι αφόρτιστοι, δηλαδή την στιγµή αυτή η τάση σε όλους τους πυκνωτές είναι µηδενική. Θεωρώντας εποµένως την στιγµή t0 τον τυχαίο βρόχο A κ A κ+1 B κ+1 B κ A κ της συνδεσµολογίας (σχ. 5) µε κ1,, και εφαρµόζοντας στον βρόχο αυτό τον δεύτερο κανόνα του kirchoff, παίρνουµε την σχέση: 0 I κ R + I κ R I κ R 0 I κ 0 δηλαδή οι αντιστάσεις R του βρόχου δεν διαρρέονται από ρεύµα, οπότε, σύµφω να µε τον πρώτο κανόνα του kirchoff στους κόµβους του βρόχου, δεν θα κυκ Σχήµα 51 λοφορεί ρεύµα και στους κλάδους των δύο πυκνωτών του βρόχου. Aν όµως θεωρήσουµε τον πρώτο βρόχο (AA 1 B 1 BA) της συνδεσµολογίας (σχ. 53) και εφαρ µόσουµε σ αυτόν το δεύτερο κανόνα του Kirchoff, θα έχουµε την σχέση: 0 E - I 0 R - I 0 R I 0 E/R (1) δηλαδή οι δύο αντιστάσεις του βρόχου αυτού διαρρέονται από ρεύµα τη στιγ µή t0 και σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του kirchoff στον κόµβο A 1 και ο κλάδος A 1 B 1 του βρόχου αυτού θα διαρρέεται µε ρεύµα έντασης I 0. ii) Oταν οι πυκνωτές της συνδεσµολογίας λάβουν τα τελικά τους ηλεκτρικά φορτία, όλες οι αντιστάσεις αυτής θα διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα έντασης I, αφού στους κλάδους των πυκνωτών δεν κυκλοφορεί ρεύµα (σχ. 51). Στην περίπτωση αυτή η συνολική αντίσταση R ολ του εξωτερικού κυκλώµατος της γεννήτριας θα είναι R ολ nr+r 0, οπότε η ένταση I θα είναι:

8 I E R E nr + R 0 () Σχήµα 5 Σχήµα 53 Eξάλλoυ για τα τελικά φορτία q 1, q,... q n των πυκνωτών, ισχύουν οι σχέσεις: q 1 CV 1 C(E - IR) q CV C(E - 4IR) q n CV n C(E - nir) $ (3) Tο ολικό φορτίο q ολ όλων των πυκνωτών της συνδεσµολογίας είναι: q q 1 + q q n (3) q C [ ne - IR( n) ] (4) Όµως για το άθροισµα n ισχύει η σχέση: n n 1 + n $ & (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: q C ne - IR(n + 1)n $ & () ' RE $ n + 1$ * q Cn ) E - & &, ( nr + R 0 + R(n + 1) $ q nce 1 - nr + R & 0 nce (nr + R 0 - nr - R) nr + R 0 q nce [ R(n - 1) + R 0 ] nr + R 0 Πυκνωτής χωρητικότητας C συνδέεται σε σειρά µε ηλεκτρική αντίσταση R και το σύστηµα τροφοδοτείται µέσω διακόπ

9 τη µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος, που έχει ηλεκτρεγερτική δύνα µη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. i) Mετά πόσο χρόνο από το κλείσιµο του διακόπτη η τάση του πυκ νωτή θα γίνει ίση µε την τάση στις άκρες της αντίστασης; Ποιός είναι τότε ο ρυθµός αποθήκευσης ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκ νωτή; ii) Πόση είναι η αύξηση του φορτίου του πυκνωτή στην διάρκεια της δεύτερης σταθεράς χρόνου του κυκλώµατος; ΛYΣH: i).εστω V R και V C οι τάσεις στις άκρες της αντίστασης R και του πυκνωτή αντιστοίχως, ύστερα από χρόνο t αφότου κλείσει ο διακόπτης. Tότε θα ισχύει η σχέση: V γεν V C + V R E V C + V R (1) Όµως θέλουµε να ισχύει V R V C, οπότε η σχέση (1) γράφεται: E V C E E (1- e t/rc ) 1/ 1 - e t/rc e t/rc t /RC ln t RC ln () O ρυθµός αποθήκευσης ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή κατά την χρονική στιγµή t, εκφράζει ουσιαστικά την αντίστοιχη ισχύ P C του πυκνωτή. H ισχύς αυτή είναι, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, ίση µε την αντίστοιχη ισχύ P γεν της γεννήτριας, µείον την αντίστοιχη ισχύ P R της αντίστα σης R, δηλαδή ισχύει: P C P γεν - P R P C EI - I R (3) Όµως ισχύει: I U R R E R E R οπότε η σχέση () γράφεται: P C E R - E R 4R E 4R (4) ii) Eάν q 1, q είναι τα ηλεκτρικά φορτία του πυκνωτή κατά τις χρονικές στιγ µές t 1 RC και t RC αντιστοίχως, τότε η αύξηση Δq του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή, στην διάρκεια της δεύτερης σταθεράς χρόνου του κυκλώµατος θα είναι: Δq q - q 1 Δq CV - CV 1 C(V - V 1 ) (5) όπου V 1, V οι τιµές της τάσεως του πυκνωτή κατά τις χρονικές στιγµές t 1 και t αντιστοίχως. Όµως για τις τάσεις αυτές ισχύουν οι σχέσεις:

10 V 1 E (1- e t 1 / RC ) E(1-1/e) $ V E (1 - e t / RC ) E(1-1/e ) $ ( ) V - V 1 E e 1-1 $ & (6) e Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: q CE e 1-1 $ & e Πυκνωτής χωρητικότητας C, είναι φορτισµένος σε τάση V 0 και εκφορτίζεται διαµέσου µιας αντίστασης R. Nα βρεθούν: i) η µέση ισχύς του ρεύµατος εκφόρτισης του πυκνωτή, για το χρονι κό διάστηµα που διαρκεί η εκφόρτισή του, ii) ο χρόνος που χρειάζεται, για να ελαττωθεί η ενέργεια του ηλεκ τρικού πεδίου του πυκνωτή στο 1/4 της αρχικής της τιµής και iii) ο χρόνος, για να ελαττωθεί η τάση του πυκνωτή από την τιµή V 1 στην τιµή V, όπου V 1 <V <V 0. ΛYΣH: i) Eάν W 0 είναι η αποθηκευµένη στον πυκνωτή ενέργεια και t ολ ο χρό νος εκφόρτισής του, τότε η µέση ισχύς P του ρεύµατος εκφόρτισης του πυκνω τή, για τον χρόνο t ολ, είναι: P W 0 V 0C/ t 5 P V 0 10R (1) όπου τ η σταθερά χρόνου του κυκλώµατος R-C. ii) Eάν W είναι ενέργεια του πυκνωτή, ύστερα από χρόνο t αφότου άρχισε η εκφόρτισή του και V C η αντίστοιχη τάση του, θα ισχύει η σχέση: W W 0 4 CV C CV 0/ 4 V C V 0 4 V C V 0 V 0 e t/rc V 0 / e t/rc t RC ln () iii) Eστω t 1, t οι χρονικές στιγµές, που η τάση στους οπλισµούς του πυκνωτή παίρνει τις τιµές V 1 και V αντιστοίχως. Tότε θα ισχύουν οι σχέσεις: V 1 V 0 e t 1 / RC $ V V 0 e t / RC $ V 1 V V 0 e t 1 /RC V 0 e t /RC V 1 V t t 1 RC e

11 ln V $ 1 & t ' t 1 RC t - t RC ln V $ 1 1 & V V Πυκνωτής χωρητικότητας C συνδέεται σε σειρά µε αντίσταση R και το κύκλωµα τροφοδοτείται µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος, αµελητέας εσωτερικής αντίστασης και ηλεκτρεγερτικής δύ ναµης E. i) Nα βρείτε την θερµότητα joule που ελευθερώνει η αντίσταση R στην διάρκεια της πρώτης σταθεράς χρόνου του κυκλώµατος. ii) Όταν ολοκληρωθεί η φόρτιση του πυκνωτή αποσυνδέουµε την γεν νήτρια από το κύκλωµα και ταυτόχρονα συνδέουµε τις άκρες του κυ κλώµατος µε µεταλλικό σύρµα αντίστασης R. Nα βρείτε την ταχύτη τα µεταβολής της τάσεως του πυκνωτή την στιγµή που ενέργειά του αποτελεί το µισό αυτής που είχε κατά την έναρξη της εκφόρτισής του. ΛYΣH: i) Kατά την φόρτιση του πυκνωτή διά µέσου της αντίστασης R, η έντα ση του ρεύµατος φόρτισης µειώνεται µε τον χρόνο. Έτσι η θερµότητα joule που ελευθερώνει η R στην διάρκεια της πρώτης σταθεράς χρόνου του κυκλώµατος δεν θα υπολογιστεί από το νόµο του Joule, ο οποίος απαιτεί σταθερή ένταση ρεύµατος, αλλά µε εφαρµογή στο κύκλωµα της αρχής διατήρησης της ενέργει ας, από την στιγµή t0 που αρχίζει η φόρτιση του πυκνωτή µέχρι την στιγµή trc, οπότε θα έχουµε την σχέση: W W C + Q R Q R W - W C (1) όπου Q R η ζητούµενη θερµότητα joule, W γεν η ηλεκτρική ενέργεια που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωµα κατά την πρώτη σταθερά χρόνου του κυκλώµατος και W C η αντίστοιχη ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή, µε την µορφή ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου. Όµως, εάν V C είναι η τάση του πυκνωτή κατά την χρονική στιγµή trc, θα ισχύουν οι σχέσεις: και W Eq ECV C W E C (1 e 1 ) () W CV C C CE ( 1 e 1 ) (3) όπου q το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει µέσα από την γεννήτρια στην διάρ κεια της πρώτης σταθεράς χρόνου, το οποίο αποτελεί και ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή την χρονική στιγµή trc. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε την σχέση: Q R E C 1-1 $ & - E C 1-1 $ & e e E C 1-1 $ e & $ e &

12 Q R E C 1-1 $ e & $ e & E C 1-1 $ & (4) e ii) Όταν ο πυκνωτής φορτιστεί πλήρως, δηλαδή όταν η τάση στους οπλισµούς του γίνει ίση µε E, τότε µεταφέρουµε τον διακόπτη (Δ) από την θέση α στην θέση β, µε αποτέλεσµα η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος να εξέρχεται του κυκλώµατος, ενώ ταυτόχρονα εισέρχεται στο κύκλωµα η αντίσταση R σε σειρά Σχήµα 54 µε την R. Έτσι αρχίζει η εκφόρτιση του πυκνωτή διά µέσου των αντιστάσεων R και R, µε αποτέλεσµα η ένταση του ρεύµατος εκφόρτισης να µειώνεται εκ θετικά µε τον χρόνο, σύµφωνα µε την σχέση I E $ & e ' R + R' t (R+ R')C (5) Eάν dv C είναι η µεταβολή της τάσεως του πυκνωτή µεταξύ των χρονικών στιγ µών t και t+dt, τότε η αντίστοιχη µεταβολή dq του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή θα είναι: dq CdV C dq dt C dv $ C & dt -I C dv $ C & dt dv C dt - I C (6) όπου I η ένταση του ρεύµατος εκφόρτισης κατά την χρονική στιγµή t και dv C /dt η ταχύτητα µεταβολής της τάσεως του πυκνωτή την στιγµή αυτή. Eάν αναφερθούµε στην χρονική στιγµή, που η ενέργεια W C του πυκνωτή αποτελεί το µισό της αρχικής της τιµής W 0, τότε θα έχουµε: W C W 0 CV C CE 4 V C E (7) όπου V C η τάση του πυκνωτή την στιγµή αυτή. Όµως η V C αποτελεί και τάση στις άκρες του συστήµατος των αντιστάσεων R και R, δηλαδή ισχύει:

13 (7) E V C I(R + R') I(R + R') I E (R + R') (8) όπου I η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος εκφόρτισης. Συνδυάζοντας τις σχέ σεις (6) και (8) παίρνουµε: dv C dt E C (R + R') Ένας πυκνωτής A χωρητικότητας C 1, είναι φορτισ µένος µε φορτίο Q 0 και συνδέεται διαµέσου µιας αντίστασης R µε δεύτερο αφόρτιστο πυκνωτή B, χωρητικότητας C. i) Nα βρείτε τα τελικά φορτία των δύο πυκνωτών και την ένταση του ρεύµατος στην R, την στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης (Δ). ii) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της έντασης I του ρεύµα τος που διαρρέει την R, σε συνάρτηση µε το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή B. ΛYΣH: i) Όταν κλείσει ο διακόπτης (Δ) ο πυκνωτής χωρητικότητας C 1 θα εκ φορτίζεται, ενώ ο πυκνωτής χωρητικότητας C θα φορτίζεται. Έτσι ο πυκνω τής A θα συµπεριφέρεται µέσα στο κύκλωµα ως γεννήτρια, ενώ ο B θα συµπε ριφέρεται ως καταναλωτής. Eάν I είναι η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει Σχήµα 55 Σχήµα 56 την αντίσταση R κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και q 1, q τα αντίστοιχα φορτία των δύο πυκνωτών θα έχουµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff, την σχέση: V C1 V C IR q 1 C 1 q C IR (1) Όµως ισχύει η σχέση Q 0 q 1 +q οπότε η (1) γράφεται:

14 Q 0 - q - q IR Q q C 1 C C + 1 $ 1 C 1 C & IR Q 0 C - q + C $ 1 C 1 C 1 C & IR I Q 0 C 1 R - q C + C 1 C 1 C R $ & () Eίναι προφανές ότι, αν ο πυκνωτής B λάβει το τελικό του φορτίο Q, τότε I0 και η σχέση (1) γράφεται: 0 Q 0 C 1 R - q C + C 1 C 1 C R $ &. Q Q 0C C + C 1 Έτσι η ζητούµενη συνάρτηση έχει την µορφή: I Q 0 C 1 R $ C + C 1 ' q µε 0 C 1 C R & q < Q 0C (3) C 1 + C Παρατηρούµε από την (3) ότι, η σχέση ανάµεσα στην ένταση I και στο ηλεκτ ρικό φορτίο q είναι πρώτου βαθµού και εποµένως η ζητούµενη γραφική παρά σταση είναι ευθεία γραµµή, όπως φαίνεται στο σχήµα (56). Πυκνωτής χωρητικότητας C, συνδέεται σε σειρά µε ωµική αντίσταση R και το σύστηµα τροφοδοτείται µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος, που έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέ α εσωτερική αντίσταση. i) Nα βρείτε την συνολική θερµότητα joule που ελευθερώνει η αντί σταση. ii) Nα βρείτε την ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος φόρ τισης, ύστερα από µια σταθερά χρόνου του κυκλώµατος, αφότου άρχι σε η φόρτιση του πυκνωτή. ΛYΣH: i) Kατά την φόρτιση του πυκνωτή διά µέσου της R η ένταση του ρεύ µατος φόρτισης µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, που σηµαίνει ότι για τον υπο λογισµό της θερµότητας joule που ελευθερώνει η R δεν θα χρησιµοποιήσουµε τον νόµο του joule, ο οποίος απαιτεί σταθερή ένταση του ρεύµατος στην αντί σταση R, αλλά την αρχή διατήρησης της ενέργειας, σύµφωνα µε την οποία η ηλεκτρική ενέργεια W γεν που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωµα κατά την φόρτιση του πυκνωτή, µετασχηµατίζεται σε θερµότητα joule Q R στην αντίσταση R και σε ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου W C στον πυκνωτή, δηλαδή ισχύει: W γεν Q R + W C Q R W γεν - W C (1) Όµως, εάν q 0 είναι το τελικό ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή, τότε q 0 θα είναι και το ολικό φορτίο που πέρασε µέσα από την γεννήτρια, οπότε θα ισχύει:

15 W γεν Eq E CE E C () Eξάλλου για την ενέργεια W C ισχύει η σχέση: W C CV CE (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε: Q R CE CE Q R CE (4) ii) Eστω I η ένταση του ρεύµατος φόρτισης του πυκνωτή κατά µια τυχαία χρο νική στιγµή t, V C η αντίστοιχη τάση του και q το αντίστοιχο φορτίο του πυκνω τή. Eφαρµόζοντας την στιγµή αυτή στο κύκλωµα τον δεύτερο κανόνα του Kir choff, παίρνουµε την σχέση: E - V C IR E - q/c IR (5) Eάν di, dq είναι οι µεταβολές της έντασης του ρεύµατος φόρτισης και του φορ τίου του πυκνωτή αντιστοίχως, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, από την (5) θα έχουµε: 0 - dq C RdI - 1 C dq$ & dt R di $ & dt di dt - 1 RC dq$ & dt di dt - I RC (6) όπου di/dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος φόρτισης κατά την χρονική στιγµή t και dq/dt η αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή, δηλαδή η ενταση I του ρεύµατος φόρτισης. Όµως για την έντα ση I ισχύει η σχέση: I Ee -t/rc / R οπότε η (6) γράφεται: di dt - 1 Ee t/rc RC R t/rc Ee - R C (7) H (7) για trc δίνει: di$ & dt t RC RC/RC Ee' - R C - Ee' 1 R C - E R Ce

16 Πυκνωτής χωρητικότητας C συνδέεται σε σειρά µε ωµική αντίσταση R 1. Παράλληλα προς το παραπάνω σύστηµα συνδέ εται ωµική αντίσταση R και οι άκρες της ενώνονται µε σύρµατα αµε λητέας αντίστασης, µέσω ενός διακόπτη (Δ), µε τους πόλους γεννήτ ριας συνεχούς ρεύµατος ηλεκτρεγερτικής δύναµης E και αµελητέας εσωτερικής αντίστασης. i) Nα βρείτε την ταχύτητα µεταβολής της τάσεως του πυκνωτή την χρονική στιγµή που κλείνει ο διακόπτης. ii) Όταν ο πυκνωτής φορτιστεί πλήρως ανοίγουµε τον διακόπτη. Nα γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος, σε συνάρτηση µε τον χρόνο, στην αντίσταση R και να σχεδιάσετε την γραφική της παρά σταση. Στο διάγραµµα να φαίνεται και η σταθεροποιηµένη ένταση του ρεύµατος στην R, για ένα µικρό χρονικό διάστηµα πριν το άνοιγµα του διακόπτη. ΛYΣH: i) Tην στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης (Δ) ο πυκνωτής είναι αφόρ τιστος, δηλαδή η τάση V C στους οπλισµούς του είναι µηδενική, οπότε η τάση στις άκρες της R 1 είναι την στιγµή αυτή ίση µε την τάση στους πόλους της γεννήτριας, δηλαδή ίση µε E. Έτσι την χρονική στιγµή t0 η ένταση του ρεύ µατος στον κλάδο R 1 -C του κυκλώµατος θα είναι: I 1 E/R 1 (1) Σχηµα 57 Έστω dq η αύξηση του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή σ ένα πολύ µικρό χρόνο dt, που θεωρείται αµέσως µετά το κλεισιµο του διακόπτη και dv C η αντί στοιχη αύξηση της τάσεως του πυκνωτή. Tότε θα ισχύει η σχέση: dq CdV C dq$ & dt t 0 C dv $ C & dt t 0 I 1 C dv $ C & dt t 0 (1) E C dv $ C & R 1 dt t 0 dv C dt $ & t 0 E R 1 C () ii) Oταν ο πυκνωτής λάβει το τελικό του φορτίο, ο κλάδος R 1 -C του κυκλώµα τος δεν διαρρέεται από ρεύµα, οπότε η γεννήτρια και η αντίσταση R διαρρέο

17 νται από κοινό ρεύµα έντασης I 0 E/R. Έτσι η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στις άκρες M και N της R, λίγο πριν το άνοιγµα του διακότπη (Δ) θα είναι: V M, N I 0 R V M,N E (3) Aµέσως µετά το άνοιγµα του διακόπτη αρχίζει η εκφόρτιση του πυκνωτή δια µέσου των αντιστάσεων R 1 και R, οπότε η R διαρρέεται από ρεύµα, που η συµβατική του φορά είναι από το άκρο M προς το άκρο N της αντίστασης (σχ. 58) η δε έντασή του I µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: I' E $ R 1 + R & e ' t C(R 1 + R ) (4) Έτσι η διαφορά δυναµικού V M,N θα δίνεται από την σχέση: Σχήµα 58 Σχήµα 59 V M,N I R (4) V M,N ER $ R 1 + R & e ' t (R 1 + R )C (5) Aπό την (5) προκύπτει ότι, µε το άνοιγµα του διακόπτη η τάση V M,N διατηρεί την πολικότητα της, αλλά η τιµή της µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο από την τιµή ER /(R 1 +R ) στην τιµή µηδέν, την οποία θεωρητικά παίρνει σε άπειρο χρό νο. Aκόµη πρέπει να παρατήρησουµε ότι, µε το άνοιγµα του διακόπτη Δ η δια φορά δυναµικού V M,N παθαίνει µια απότοµη µείωση, από την τιµή E στην τιµή ER /(R 1 + R ). Tα παραπάνω αποδίδονται στο διάγραµµα του σχήµατος (59). Ένας πυκνωτής χωρητικότητας C συνδέεται σε σειρά µε αντίσταση R και το κύκλωµα τροφοδοτείται µε γεννήτρια Γ 1 συνεχούς ρεύµατος, που έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση και ηλεκτρεγερτική δύναµη E 1. Όταν ολοκληρωθεί η φόρτιση του πυκνω τή, µε κατάλληλο διακόπτη αποσυνδέεται η γεννήτρια από το κύκ λωµα και συνδέεται µια άλλη γεννήτρια Γ, που έχει εσωτερική αντί σταση r και ηλεκτρεγερτική δύναµη E <E 1. i) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση την γραφική παράσταση της τάστως του πυκνωτή σε συνάρτηση µε τον χρόνο, λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που ο διακόπτης θέτει την γεννήτρια Γ στο κύκλωµα.

18 ii) Eάν τ είναι η σταθερά χρόνου του κυκλώµατος, να βρείτε την τα χύτητα µεταβολής της τάσεως του πυκνωτή την στιγµή που η γεννήτ ρια Γ συνδέεται στο κύκλωµα. ΛYΣH: i) Tην στιγµή που ο διακόπτης (Δ) µεταφέρεται από την θέση α στην θέση β η τάση του πυκνωτή είναι E 1. Όµως την στιγµή αυτή η γεννήτρια Γ 1 αν τικαθίσταται µε την Γ, που έχει µικρότερη ηλεκτρεγερτική δύναµη από εκείνη της Γ 1. Έτσι αρχίζει η εκφόρτιση του πυκνωτή, ώστε η τάση στους οπλισµούς του να λάβει την νέα τελική της τιµή E. Kατά την εκφόρτιση του πυκνωτή η τάση στους οπλισµούς του µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή E 1 στην τιµή E. Έτσι η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι µια κατερχόµενη εκθετική καµπύλη γραµµή, όπως φαίνεται στο σχήµα (61). Σχήµα 60 Σχήµα 61 ii) Eστω dq η στοιχειώδης µεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή σ ένα στοιχειώδη χρόνο dt, που θεωρείται αµέσως µετά την µεταφορά του δια κόπτη (Δ), και dv C η αντίστοιχη µεταβολή της τάσεως του πυκνωτή. Tότε θα ισχύει η σχέση: dq CdV C dq$ & C dt t 0 dv C dt $ & t 0 -I 0 C dvc dt $ & t 0 dvc dt $ & - I 0 C t 0 όπου I 0 η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά την χρονική στιγµή t0 και (dv C /dt) t0 η αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής της τάσης του πυκνωτή. Eφαρ µόζοντας την χρονική στιγµή t0 το δεύτερο κανόνα του Kirchoff στο κύκλω µα, παίρνουµε: -E + V C I 0 (R + r) -E + E 1 I 0 (R + r) I 0 E 1 - E R + r () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε:

19 dvc dt $ & - E 1 ' E t 0 (R + r)c $ dvc & - E 1 - E dt t 0 όπου τ η σταθερά χρόνου του κυκλώµατος ίση µε (R+r)C Δίνονται δύο πυκνωτές A και B µε αντίστοιχες χωρητικότητες C 1 και C, από τους οποίους ο A φέρει ηλεκτρικό φορ τίο q 0, ενώ ο B είναι αφόρτιστος. Συνδέουµε παράλληλα τους δύο πυκνωτές διά µέσου δύο συρµάτων συνολικής αντίστασης R, χρησι µοποιώντας κατάλληλο διακόπτη (Δ). i) Nα γράψετε την σχέση που συνδέει τα ηλεκτρικά φορτία των δύο πυκνωτών και την ένταση του ρεύµατος που κυκλοφορεί στα σύρ µατα, όταν κλείσει ο διακόπτης Δ. ii) Mε την βοήθεια αυτής της σχέσεως να βρείτε την ένταση του ρεύ µατος την στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης, καθώς και τα τελικά ηλεκτρικά φορτία των δύο πυκνωτών. iii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση την γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο, καθώς και τις αντί στοιχες γραφικές παραστάσεις των ηλεκτρικών φορτίων των δύο πυκ νωτών. ΛYΣH: i) Όταν κλείσει ο διακόπτης (Δ) ο πυκνωτής χωρητικότητας C 1 θα εκφορτίζεται, οπότε το ηλεκτρικό του φορτίο q 1 θα µειώνεται, ενώ ο πυκνωτής χωρητικότητας C θα φορτίζεται µε αποτέλεσµα το ηλεκτρικό του φορτίο q ν αυξάνεται. Kατά την εξέλιξη του φαινοµένου αυτού τα σύρµατα θα διαρρέων ται από ηλεκτρικό ρεύµα, που η συµβατική του φορά φαίνεται στο σχήµα (6), Σχήµα 6 Σχήµα 63 διαρκεί δε το ρεύµα αυτό µέχρις ότου οι δύο πυκνωτές αποκτήσουν κοινή τά ση. Eξάλλου ο πυκνωτής A θα συµπεριφέρεται στο κύκλωµα ως ηλεκτρική γεννήτρια, δηλαδή ο πυκνωτής αυτός δίνει ενέργεια στο κύκλωµα, ενώ ο πυκ νωτής B θα συµπεριφέρεται ως ηλεκτρικός καταναλωτής αφού αυτός παίρνει

20 ενέργεια από το κύκλωµα. Eφαρµόζοντας κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, που η ένταση του ρεύµατος στα σύρµατα είναι I, τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff, παίρνουµε την σχέση: V C1 - V C IR q 1 C 1 - q C IR (1) H σχέση (1) είναι η ζητούµενη από το πρόβληµα. ii) Eάν η σχέση (1) εφαρµοστεί την χρονική στιγµή t0, που κλείνει ο διακόπ της (Δ), οπότε ισχύει q 1 q 0 και q 0, δίνει: q 0 C 1-0 C I 0 R I 0 q 0 C 1 R () όπου I 0 η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος στα σύρµατα. Eξάλλου η σχέση (1) εφαρµοζόµενη, όταν οι πυκνωτές λάβουν τα τελικά τους φορτία Q 1 και Q, οπό τε θα ισχύει I0, δίνει: Q 1 C 1 - Q C 0 Q 1 C 1 Q C Q 1 + Q C 1 + C (3) Όµως, σύµφωνα µε την αρχη διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου ισχύει: Q 1 + Q q 0 οπότε η σχέση (3) γράφεται: Q 1 C 1 Q C q 0 C 1 + C Q 1 Q q 0 C 1 C 1 + C q 0 C C 1 + C $ Σχήµα 64 Σχήµα 65 iii) Aπό όσα αναφέρθηκαν παραπάνω προκύπτουν τα εξής: α) Tο ηλεκτρικό φορτίο q 1 του πυκνωτή A ελαττώθηκε από την τιµή q 0 στην τιµή q 0 C 1 /(C 1 +C ), ενώ το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή B αυξήθηκε από την τιµή µηδέν στην τιµή q 0 C /(C 1 +C ).

21 β) H ένταση I του ρεύµατος στα σύρµατα ελαττώθηκε από την τιµή q 0 C 1 /R στην τιµή µηδέν. Eπειδή όλες αυτές οι µεταβολές εξελλίσσονται εκθετικά µε τον χρό νο, οι ζητούµενες γραφικές παραστάσεις είναι οι εκθετικές καµπύλες γραµµές που φαίνονται στα σχήµατα (63), (64) και (65). Σε µιά διάταξη παραγωγής πριονωτής τάσεως (σχ. 66) η λυχνία θύρατρον παρουσιάζει ηλεκτρική αντίσταση R Λ, όταν βρίσκεται σε κατάσταση ηλεκτρικής αγωγιµότητας. Δίνεται ότι, κατά το στάδιο που η λυχνία είναι σε ηλεκτρική αποκοπή η τάση στις άκρες του πυκνωτή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέ ση: V C E + (V E)e t RC (1) όπου V σ η τάση σβέσεως της λυχνίας θύρατρον, R η ηλεκτρική αντίσ ταση της διάταξης, C η χωρητικότητα του πυκνωτή και E η H.E.Δ. της γεννήτριας που τροφοδοτεί την διάταξη. Kατά το στάδιο που η λυχνία βρίσκεται σε ηλεκτρική αγωγιµότητα αποδεικνύεται ότι, εφ όσον R Λ <<R, η τάση στους οπλισµούς του πυκνωτή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: V C V e t R C () όπου V α η τάση αφής της λυχνίας θύρατρον. i) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της τάσεως του πυκνωτή σε συνάρτηση µε τον χρόνο, όταν η διάταξη είναι σε λειτουργία. ii) Nα βρείτε την περίοδο της πριονωτής τάσεως σε συνάρτηση µε τα στοιχεία V α V σ E, R, R Λ και C. iii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση την γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει την λυχνία θύρατρον, σε συνάρ τηση µε τον χρόνο. ΛYΣH: i) Σε κάθε περίοδο T λειτουργίας της πριονωτής τάσεως διακρίνουµε δύο στάδια. Kατά το πρώτο στάδιο ο πυκνωτής φορτίζεται µεταξύ των τάσεων V σ και V α, η δε τάση V C στους οπλισµούς αυξάνεται εκθετικά µε το χρόνο ακο λουθώντας την σχέση (1), ενώ κατά το δεύτερο στάδιο ο πυκνωτής εκφορτίζε ται µεταξύ των τάσεων V α και V σ, η δε τάση V C στους οπλισµούς του µειώνε ται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση (). Έτσι η γραφική παράστα ση της συνάρτησης V C f(t) θα έχει την µορφή που φαίνεται στο σχήµα (67). ii) H περίοδος T της πριονωτής τάσεως είναι ίση µε το άθροισµα του χρόνου φόρτισης t φ του πυκνωτή και του χρόνου εκφόρτισης t ε αυτού. O χρόνος t φ θα προκύψει από την (1), εάν θέσουµε όπου tt φ και V C V α, οπότε θα έχουµε: V E + (V E)e t /RC V - E (V - E)e t / RC

22 e t / RC E - V - t E - V RC ln E - V $ E - V & t -RC ln E - V $ E - V & (3) Σχήµα 66 Σχήµα 67 Eξάλλου ο χρόνος εκφόρτισης t ε του πυκνωτή θα προκύψει από την σχέση (), εάν θέσουµε σ αυτήν όπου tt ε και V C V σ, οπότε θα έχουµε: V V e t /R $ C e t /R C V t - V $ R A C ln V $ & -t R C ln V $ & t R C ln V $ & (4) V $ H περίοδος T της πριονωτής τάσης θα είναι Tt φ +t ε, η οποία λόγω των (3) και (4) γράφεται: T RC ln E - V $ E - V & + R C ln V $ V & (5) iii) Στον χρόνο t φ που φορτίζεται ο πυκνωτής, η λυχνία θύρατρον είναι σε ηλεκτρική αποκοπή, δηλαδή δεν διαρρέεται από ρεύµα, οπότε η ένταση I Λ του ρεύµατος της λυχνίας θα είναι µηδενική κατά το χρονικό αυτό διάστηµα. Kατά τον χρόνο εκφόρτισης t ε η λυχνία είναι σε κατάσταση ηλεκτρικής αγωγιµότη V $ V

23 τας, δηλαδή διαρρέεται από ρεύµα, του οποίου η ένταση I Λ υπολογίζεται κάθε στιγµή από την σχέση: Σχήµα 68 I V R V C R V e t/r C R (6) δηλαδή η ένταση I Λ µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή V Λ /R Λ στην τιµή V σ /R Λ. Έτσι η γραφική παράσταση της συνάρτησης I Λ f(t) θα είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα (68). Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (69), στην οποία η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτι κή δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. Όταν οι διακόπτες Δ και Δ βρίσκονται στις θέσεις 1 και 0 αντιστοίχως, τότε ο πυκνω τής της συνδεσµολογίας φορτίζεται από την τάση -E/ στην τάση E/ η δε εξίσωση που δίνει την τάση του V C σε συνάρτηση µε τον χρόνο t, έχει την µορφή: V C E$ 1 3e t/ ' (1) & όπου τ η σταθερά χρόνου του κυκλώµατος R-C. Όταν όµως οι δια κόπτες Δ και Δ βρίσκονται στις θέσεις 0 και 1 αντιστοίχως, ο πυκνω τής εκφορτίζεται από την τάση E/ στην τάση E/ και η εξίσωση που ακολουθεί η τάση του V C είναι της µορφής: V C E $ 1 + 3e t/ ' () & Eάν η εναλλαγή των δύο διακοπτών στις θέσεις 0 και 1 γίνεται περι οδικά µε περίοδο T, να υπολογιστεί η σταθερά χρόνου τ. Eπίσης να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των τάσεων στις άκρες της αντίστασης R και του πυκνωτή, σε συνάρτηση µε τον χρόνο

24 ΛYΣH: Όταν οι διακόπτες Δ και Δ βρίσκονται στις θέσεις 1 και 0 αντιστοί χως, ο πυκνωτής φορτίζεται ο δε χρόνος φόρτισής του t φ θα υπολογιστεί από την σχέση (1) θέτοντας σ αυτήν V C E/ και tt φ, οπότε θα έχουµε: E E 1-3 e t / $ ' 1 & 1 3 e t / 3 e t / 1 e t / 1 3 t ln3 (3) Όταν οι διακόπτες Δ και Δ βρίσκονται στις θέσεις 0 και 1 αντιστοίχως, ο πυκ νωτής εκφορτίζεται, ο δε χρόνος εκφόρτισής του t E θα υπολογιστεί από την σχέ ση () θέτοντας σ αυτήν όπου tt E και V C -E/, οπότε θα έχουµε: - E E 3e t E / $ - 1 ' 3e t E / & 1 t E ln3 (4) Σχήµα 69 Σχήµα 70 Όµως στο χρονικό διάστηµα t φ +t E οι διακόπτες Δ και Δ έχουν εναλλαγεί στις θέσεις 0 και 1 δύο φορές, οπότε το χρονικό αυτό διάστηµα είναι ίσο µε T, δη λαδή ισχύει η σχέση t φ +t E T, η οποία λόγω των (3) και (4) γράφεται: τln3 + τln3 T τ T/ln3 (5) Kατά τον χρόνο t φ που ο πυκνωτής φορτίζεται, η αντίσταση R διαρρέεται από ρεύµα, που η συµβατική του φορά είναι από το άκρο M προς το άκρο N της αντίστασης και εποµένως ισχύει: ( 1 ) V R IR E - V C V R E - E $ 1-3e t/ ' & V R E - E + 3Ee t/ 3Ee t/

25 δηλαδή η τάση αυτή µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, από την τιµή 3E/, µέχ ρι την τιµή E/. Eξάλλου, κατά τον χρόνο εκφόρτισης του πυκνωτή η αντί σταση R διαρρέεται από ρεύµα, που η συµβατική του φορά είναι από το άκρο N προς το άκρο M της αντίστασης και εποµένως ισχύει: ( ) V R -IR -(E + V C ) V R - $ E + 3Ee t/ - E ' & - 3Ee t/ Σχήµα 71 δηλαδή η τάση αυτή µεταβάλλεται εκθετικά µε τον χρόνο µεταξύ των τιµών - 3E/ και -E/. Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι, η γραφική παράσταση της τάσεως στις άκρες της R σε συνάρτηση µε τον χρόνο t, είναι η καµπύλη γραµ µή του σχήµατος (71). Aφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητας C, συνδέ εται παράλληλα µε ηλεκτρική αντίσταση R και το σύστηµα τροφοδο τείται, µέσω ενός διακόπτη (Δ), µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος η οποία έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και εσωτερική αντίσταση r. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, κλεί νουµε το διακόπτη (Δ). i) Nα εκφράσετε την ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στην αντίσταση R σε συνάρτηση µε την ένταση του ρεύµατος στην αντίσταση αυτή. ii) Nα δείξετε ότι, η όλη διάταξη ισοδυναµεί µε ένα κύκλωµα σειράς R -C, όπου R Rr/(R+r), το οποίο τροφοδοτείται µέσω του διακόπτη (Δ), από µια γεννήτρια, συνεχούς ρεύµατος, που έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E Er/(R+r) και µηδενική εσωτερική αντίσταση. iii) Mε βάση το ισοδύναµο κύκλωµα της διάταξης να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την τάση του πυκνωτή και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ΛYΣH: i) Eστω I, I R, I c οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους της γεννήτ ριας, της αντίστασης R και του πυκνωτή αντιστοίχως, κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και V C η αντίστοιχη τάση του πυκνωτή. Σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του Kirchoff στον κόµβο A, θα ισχύει η σχέση:

26 I I R + I C (1) Όµως κάθε στιγµή η τάση V R στις άκρες της R είναι ίση µε V C, δηλαδή ισχύει: V R V C RI R V C RdI R dv C R di $ R & dt dv C dt () όπου di R η στοιχειώδης µεταβολή της έντασης I R σ ένα πολύ µικρό χρόνο dt ο οποίος θεωρείται µετά από την χρονική στιγµή t και dv C η αντίστοιχη µεταβο λή της τάσεως V C του πυκνωτή. Eξάλλου, εάν dq είναι η στοιχειώδης µεταβο λή του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή στον χρόνο dt, θα ισχύει: dq CdV C dq dt C dv $ C & dt dv C dt I C C (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε; R di $ R & dt I C C I C CR di $ R & (4) dt Σχήµα 7 Σχήµα 73 Πρέπει ακόµη να παρατηρήσουµε ότι, κάθε στιγµή η πολική τάση V γεν της γεν νήτριας είναι ίση µε την τάση V R στις άκρες της αντίστασης R, δηλαδή ισχύει: V γεν VR E - Ir I R R Ir E - I R R I E - I R R r (5) Έτσι η σχέση (1) µε βάση τις (4) και (5) γράφεται: E - I R R r I R + CR di $ R & dt CR di $ R & dt E - I R R r - I R CR di $ R & dt E - I RR - I R r r ( ) di R dt E - I R R + r CRr (6)

27 όπου di R /dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στην αντίσταση R, κατά την χρονική στιγµή t. ii) Eπειδή κάθε στιγµή η πολική τάση V γεν της γεννήτριας είναι ίση µε την τάση V C στους οπλισµούς του πυκνωτή θα ισχύει η σχέση: E - Ir V C I (E - V C )/ R (7) Eπίσης κάθε στιγµή ισχύει: V C V R V C I R R I R V C /R (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (7) και (8) παίρνουµε την σχέση E - V C r V C R + I C R(E - V C ) V C r + I C Rr ER - RV C rv C + I C Rr ER V C (R + r) + RrI C ER R + r - V C RrI C R + r (9) Aς υποθέσουµε τώρα ότι, ο πυκνωτής φορτίζεται δια µέσου µιας αντίστασης R'Rr/(R+r), από γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος αµελητέας εσωτερικής αντί στασης και ηλεκτρεγερτικής δύναµης E Er/(R+ r). Tότε κάθε στιγµή η τάση Σχήµα 74 στις άκρες του και η ένταση του ρεύµατος φόρτισης του πυκνωτή, σύµφωνα µε τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff, θα ικανοποιούν την σχέση (9), γεγονός που σηµαίνει ότι τα κυκλώµατα των σχήµάτων (7) και (73) είναι µεταξύ τους ισο δύναµα. iii) Θεωρώντας το ισοδύναµο κύκλωµα του σχήµατος (73), παρατηρούµε ότι αυτό είναι ένα τυπικό κύκλωµα φόρτισης πυκνωτή δια µέσου µιας αντίστασης, οπότε για την τάση V C του πυκνωτή θα έχουµε την σχέση: V C E'(1 - e -t/r C ) V C ER R + r 1 - e - (R+ r)t/rrc [ ] (10) δηλαδή η τάση του πυκνωτή αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή 0, η οποία αντιστοιχεί την στιγµή t0 που κλείνει ο διακόπτης Δ, στην τελική

28 τιµή ER/(R + r), την οποία λαµβάνει οριακά σε άπειρο χρόνο. H γραφική παρά σταση της σχέσεως (10) είναι η εκθετική καµπύλη γραµµή του σχήµατος (74). Στην διάταξη του σχήµατος (75) οι γεννητριες συ νεχούς ρεύµατος Γ 1 και Γ έχουν αµελητέα εσωτερική αντίσταση, οι δε ηλεκτρεγερτικές τους δυνάµεις E 1 και E ικανοποιούν την σχέση E 1 /E 6. Όταν ο µετακινούµενος διακόπτης (Δ) είναι σ επαφή µε το άκρο α, η µέγιστη ένδειξη του βαλλιστικού γαλβανόµετρου (G) αντι στοιχεί σε α 1 υποδιαιρέσεις της κλιµακάς του, ενώ µε τον διακόπτη (Δ) στην θέση β ο δείκτης του γαλβανόµετρου αποκλίνει αντίθετα απ ότι προηγουµένως κατα α υποδιαιρέσεις, µε α α 1 / και επανέρχεται στην ένδειξη µηδέν. Nα βρεθεί ο λόγος R 1 /R. ΛYΣH: Oταν ο διακόπτης (Δ) είναι σ επαφή µε το άκρο α, ο πυκνωτής φορ τίζεται µε αποτέλεσµα το γαλβανόµετρο να διαρρέται από ρεύµα η δε µέγιστη ένδειξή του αντιστοιχεί στο ηλεκτρικό φορτίο που διέρχεται µέσα από αυτό, δηλαδή αντιστοιχεί στο ηλεκτρικό φορτίο q 1 που τελικά θα λάβει ο πυκνωτής. Έτσι θα ισχύει η σχέση: q 1 K 1 CV C K 1 (1) Σχήµα 75 όπου K συντελεστής χαρακτηριστικός του γαλβανοµέτρου (σταθερά του γαλβα νοµέτρου) και V C η τελική τάση του πυκνωτή. Όµως ισχύει η σχέση: V C IR E 1 R R 1 + R () όπου I η τελική τιµή της έντασης του ρεύµατος στις αντιστάσεις R 1 και R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: E 1 CR R 1 + R K 1 (3) Oταν ο διακόπτης (Δ) µεταφερθεί στη θέση β, ο πυκνωτής εκφορτίζεται διαµέσου του γαλβανοµέτρου, αφού ο δείκτης του εκτρέπεται αντίθετα απ ότι κατά τη φόρτισή του, η δε µέγιστη ένδειξή του α αντιστοιχεί στην ελάττωση

29 του φορτίου του πυκνωτή. Άρα το ηλεκτρικό φορτίο q που παρέµεινε στον πυκνωτή είναι: q K( 1 - ) CE K( 1-1 /) CE 1 /6 K 1 / CE 1 /3 K 1 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε την σχέση: E 1 CR CE 1 R 1 + R 3 3R R 1 + R R 1 /R Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (76) στην οποία ο κινητός διακόπτης (Δ) µπορεί να εναλλάσσεται στις θέσεις α και β. Aρχικά ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ο διακόπτης έρ χεται σ επαφή µε το άκρο α και ύστερα από µικρό διάστηµα Δt (Δt<<RC) ερχεται σ επαφή µε το άκρο β όπου και παραµένει. i) Nα βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της έντασης του ρεύ µατος στην αντίσταση R που συνδέεται στην σειρά µε τον πυκνωτή. ii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση την γραφική παράσταση της έντασης του ως άνω ρεύµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. H γεννήτ ρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση, τα δε µεγέθη R κα C θεωρούνται γνωστά. Για την λύση της άσκησης να χρησιµοποιήσετε την προσεγγιστική σχέση: e -x 1- x όταν x<<1 ΛYΣH: Oταν οδιακόπτης (Δ) είναι σ επαφή µε το άκρο α, οπυκνωτής φορτί ζεται διά µέσου της αντίστασης R που συνδέεται στη σειρά µε αυτόν, η δε τάση στις άκρες του σύστήµατος R-C παραµένει σταθερή και ίση µε E, αφού η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση. Έτσι η τάση V C του πυκνωτή και η ένταση I C του ρεύµατος στον κλάδο R-C θα δίνον ται από τις σχέσεις: Σχήµα 76 Σχήµα 77

30 V C E (1- e -t/rc ) και I C E R e-t/rc Aναπτύσσοντας σε σειρά τον εκθετικό όρο e - t/ RC έχουµε: e -t/rc 1- t RC + t R C - t 3 6R 3 C (1) Eφαρµόζοντας την (1) για tδt και λαµβάνοντας υπ όψη ότι Δt<<RC παίρ νουµε την προσεγγιστική σχέση: e -t/rc 1 - t/rc () Mε βάση την () η τάση V C και η ένταση I C στο τέλος του χρόνου Δt έχουν τις τιµές: V * Et RC και I * E t $ 1- ' R RC& Oταν ο διακόπτης (Δ) ελθει σ επαφή µε το άκρο β η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος τίθεται εκτός κυκλώµατος και η αντίσταση R που συνδέεται παράλ ληλα προς το σύστηµα R-C βραχυκυκλώνεται, οπότε ο ήδη φορτισµένος πυκ νωτής θ αρχίσει εκφορτιζόµενος διά µέσου της αντίστασης R µε αποτέλεσµα ο κλάδος R-C να διαρρέεται από ρεύµα αντίθετης συµβατικής φοράς απ ότι προη γουµένως. H ένταση I C του ρεύµατος αυτού δίνεται από την σχέση: I C -V * R e-t/rc -Et R C e-t/rc (3) Σχήµα 78 Mε βάση τα όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή της έντασης I C είναι εκείνη που αντιστοιχεί λίγο πριν το τέλος του χρόνου Δt, δηλαδή η τιµή E/R, η δε ελάχιστη τιµή της είναι εκείνη που αντιστοιχεί αµέ σως µετά το τέλος του χρόνου Δt, δηλαδή η τιµή -EΔt/R C. Έτσι θα έχουµε: I C (max) E/R και I C (min) - Et/R C

31 H συνάρτηση I C f(t) έχει την µορφή: I C $ & E ( R 1 - t/rc ), 0 t t -Et R C e- (t-t)/rc, t < t < + H γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής φαίνεται στο σχήµα (78). Στην ηλεκτρική διάταξη του σχήµατος (79) η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµε λητέα εσωτερική αντίσταση. i) Eάν κλείσει ο διακόπτης (Δ) να δείξετε ότι, η ταχύτητα µεταβολής της έντασης I R του ρεύµατος στην παράλληλη προς τον πυκνωτή αντίσταση R ικανοποιεί την σχέση: di R dt E - RI R CR (α) ii) Oλοκληρώνοντας την διαφορική εξίσωση (α) να δείξετε ότι, η έντα ση I R ικανοποιεί την σχέση: I R E - t R 1 - e $ RC & iii) Nα βρείτε το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή ύστερα από χρόνο trc αφότου κλείσει ο διακόπτης (Δ). ΛYΣH:i) Eάν I, I C είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στην γεννήτρια και στον κλάδο του πυκνωτή αντιστοίχως κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, τότε συµφωνα µε τον δεύτερο κανόνα τoυ Kirchoff στον βρόχο της γεννήτριας και των δύο αντιστάσεων R θα ισχύει η σχέση: Σχήµα 79 E IR + I R R (I R + I C )R + I R R E RI R + RI C (1)

32 Όµως εάν V C είναι η τάση του πυκνωτή και q το ηλεκτρικό του φορτίο κατά την χρονική στιγµή t, θα ισχύει η σχέση: q CV C dq CdV C dq dt C dv C dt Eξάλλου ισχύει η σχέση: I C C dv C dt () V C I C R dv C dt R di R dt οπότε η () γράφεται: I C CR di R dt Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: (3) E RI R + CR di R dt di R dt E - RI R CR (4) ii) H σχέση (4) γράφεται: di R dt d(e - RI ) R -dt E - RI R CR E - RI R CR (5) Oλοκληρωνοντας την (5) έχουµε: ln(e - RI R ) -t CR + K (6) H σταθερά ολοκλήρωσης K θα βρεθεί από την οριακή συνθήκη, ότι για t0 είναι V C 0, οπότε I R V C /R0 και η (6) δίνει KlnE µε αποτέλεσµα η (6) να γράφεται: ln(e - RI R ) -t CR + lne ln E - RI $ R & -t E CR E - RI R E -t -t RC RC e E - RI R Ee I R E - t R 1 - e $ RC & (7) iii) H τάση V C του πυκνωτή κατά την χρονική στιγµή t είναι: (7) V C RI R V C E - t 1- e $ trc RC & V C E 1-1 $ & (8) e Το ηλεκτρικό φορτίο q C του πυκνωτή ύστερα από χρόνο trc αφότου κλείσει ο διακόπτης (Δ), είναι:

33 (8) q C CV C q C EC 1-1 $ e & Aγώγιµο οµογενές υλικό ειδικής αντίστασης ρ, πε ριέχεται µεταξύ δύο όµοιων αντικρυστών µεταλλικών φύλλων που έχουν την µορφή τεταρτοκυκλίου εσωτερικής ακτίνας r 1 και εξωτερι κής r, όπως φαίνεται στο σχήµα (80). H απόσταση των δύο φύλλων είναι h το δε αγώγιµο υλικό τίθεται υπό τάση V, η οποία καθιστά την κυρτή του επιφάνεια Β και την κοίλη επιφάνειά του Α ισοδυναµικές επιφάνειες. Mε τον τρόπο αυτό δηµιουργείται εντός του αγώγιµου υλι κού ένα ηλεκτρικό πεδίο ροής των ελεύθερων ηλεκτρονίων του, του οποίου οι γραµµές ροής έχουν ακτινική διεύθυνση. i) Nα βρείτε την ηλεκτρική αντίσταση του αγώγιµου υλικού. ii) Nα δείξετε ότι το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε από σταση r από την ευθεία τοµής (ε) των ακραίων επιφανειών του α και β, δίνεται από την σχέση: E V ln(r /r 1 ) 1 r ΛYΣH: i) Θεωρούµε µια τοµή του αγώγιµού υλικού µε επίπεδο κάθετο στην ευθεία τοµής (ε) των ακραίων επιφανειών του α και β. Oι γραµµές ροής των ελεύθερων ηλεκτρονίων που κινούνται πάνω στην τοµή αυτή είναι ακτίνες µε φορά προς το το κέντρο, γεγονος που σηµαίνει ότι η πυκνότητα ρεύµατος J σε κάθε σηµείο της τοµής αυτής έχει ακτινική κατεύθυνση προς το κέντρο, οπότε και η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο αυτό θα κατευθύνεται προς το κέντρο. H στοιχειώδης ηλεκτρική αντίσταση dr µιας φέτας του αγώγιµου υλικού, απειροστού πάχους dr και ακτίνας r (r 1 r r ), υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: Σχήµα 80 dr dr S dr hr/ h dr r (1) Oλοκληρώνοντας την (1) µε όρια ολοκλήρωσης για την ακτίνα r τα r 1 και r

34 παίρνουµε την ηλεκτρική αντίσταση R του αγωγιµου υλικού, δηλαδη θα έχου µε την σχέση: r R h dr r dr r h R r h ln r $ & () r 1 r 1 ii) H ένταση I του ρεύµατος σε κάθε διατοµή του αγωγιµου υλικού που είναι κάθετη στην ακτινική διεύθυνση, δίνεται από την σχέση: r 1 I V R () I hv ln(r / r 1 ) H πυκνότητα ρεύµατος J σε απόσταση r από την ευθεία (ε) έχει µέτρο: (3) J I S I h r/ I h r (3) J hv h r ln(r / r 1 ) J V ln(r / r 1 ) 1 r J V ln(r / r 1 ) 1 r Όµως το γινόµενο J ρ αποτελεί το µέτρο της έντασης E του ηλεκτρικού πεδί ου σε απόσταση r από την ευθεία (ε), δηλαδή ισχύει: (4) E V ln(r /r 1 ) 1 r Δίνεται αγώγιµος κυκλικός δακτύλιος σταθερής διατοµής S σε όλο το µήκος του, η οποία θεωρείται πολύ µικρή σε σχέση µε το τετράγωνο της ακτίνας α του άξονά του. Tο ένα ήµισυ AMB του δακτυλίου έχει ειδική αντίσταση ρ και αποτελεί ηλεκτρική γεννήτρια της οποίας η ηλεκτρεγερτική δύναµη απορρέει από ένα ηλεκτροχωριστικό πεδίο, που σε κάθε σηµείο διευθύνεται κατά την εφαπτοµένη του άξονα του δακτυλίου µε φορά από τo άκρο A προς το άκρο B του τµήµατος AMB. Tο µέτρο της έντασης του πεδίου αυτού µεταβάλλεται µε την γωνία φ (σχ. 81), σύµφωνα µε την σχέση: E n E 0 (- ) όπου E 0 σταθερή ποσότητα. Eάν η ειδική αντίσταση του άλλου µισού ANB του δακτυλίου είναι ρ, να βρεθούν: i) η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει τον δακτύλιο και ii) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στα τµήµατα ANB και AMB του δακτυλίου.

35 ΛYΣH: i) Eπειδή η ένταση του ηλεκτροχωριστικού πεδίου στο εσωτερικό του τµήµατος AMB του δακτυλίου κατευθύνεται από το A στο B, το άκρο A αποτε λεί τον θετικό πόλο και το B τον αρνητικό πόλο της γεννήτριας που αντιστοι χεί στο τµήµα αυτό. H ηλεκτρεγερτική δύναµη E της γεννήτριας αυτής υπολο γίζεται από την σχέση: E ( E n d E l ) (E n dl0) E 0 d AMB AMB (- ) 0 E - E 0 d(-) 1 - E (- ) 0 $ - - ' & 0 0 E E $ & E 0 (1) Σχήµα 81 H εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας είναι ίση µε την την ηλεκτρική αντί σταση που παρουσιάζει το αγώγιµο τµήµα AMB, δηλαδή ισχύει: r L AMB S S () Eξάλλου το εξωτερικό κύλλωµα της γεννήτριας είναι µια ωµική αντίσταση, ίση µε την ηλεκτρική αντίσταση R που παρουσιάζει το τµήµα ANB, δηλαδή ισχύει: R ' L ANB S ' S (3) H ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει τον δακτύλιο, δίνεται από την σχέση: E I R + r (3) (1),() I E 0 / ( + ')/S E 0 S ( + ') ii) Σε κάθε σηµείο του τµήµατος ANB η πυκνότητα ρεύµατος J είναι κάθετη στην εγκάρσια διατοµή του δακτυλίου που διέρχεται από το σηµείο αυτό, δηλα δή είναι εφαπτοµενική της κυκλικής γραµµής ροής που διέρχεται από το ση µείο αυτό, έχει φορά ίδια µε την συµβατική φορά του ρεύµατος, το δε µέτρο της δίνεται από την σχέση: (4) J I S (4) J E 0 S ( + ') (5)

36 H ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: J E ' E J (5) ' E J ' E E 0 ' ( + ') Σε κάθε σηµείο του τµήµατος AMB υπάρχουν δύο ηλεκτρικά πεδία, το ηλεκτρο χωριστικό πεδίο έντασης E n και το ηλεκτρικό πεδίο έντασης E. Tα δύο αυτά πεδία είναι αντίρροπα µε E n >E, οπότε το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο έχει ένταση E οµόρροπη της E n, µε µέτρο: (6) (1) E E n - E () E n E 0 (- ) - E 0 ' ( +'), µ$ 0 Σε µια δίοδο λυχνία κενού η άνοδος και η κάθο δος είναι επίπεδα ηλεκτρόδια αντικρυστά µεταξύ τους, των οποίων η απόσταση d είναι πολύ µικρή σε σχέση µε τις διαστάσεις τους. H κά θοδος της λυχνίας είναι προσγειωµένη, ενώ η άνοδος της συνδέεται µε τον θετικό πόλο γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, της οποίας ο αρνη τικός πόλος προσγειώνεται. H λυχνία εργάζεται υπό συνθήκες φορτί ου χώρου µπροστά από την θερµαινόµενη κάθοδο, δηλαδή τα ηλεκτρό νια που εκπέµπει η κάθοδος σχηµατίζουν ένα νέφος, το οποίο επηρεά ζει την σχέση έντασης ρεύµατος και ανοδικής τάσεως της λυχνίας. Nα δεχθείτε ότι το δυναµικό V των σηµείων του ηλεκτρικού πεδίου της λυχνίας εξαρτάται µόνο από την απόσταση τους x από την κάθο δο και ότι ικανοποιεί την εξίσωση Poisson: d V dx - 0 (α) όπου ρ η πυκνότητα του φορτίου χώρου και ε0 η απόλυτη διηλεκτρι κή σταθερά του κενού. Aκόµη να δεχθείτε ότι τα ηλεκτρόνια εξέρχον ται µε περίπου µηδενική ταχύτητα από την θερµαινόµενη κάθοδο. Mε βάση τις παραπάνω προϋποθέσεις να δείξετε ότι η πυκνότητα του ανοδικού ρεύµατος της λυχνίας ικανοποιεί την σχέση: J 4 0 9d q e m e $ & 1/ V 3/ όπου q e το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου, me η µάζα του και Vα η ανοδική τάση της λυχνίας. ΛYΣH: Eπειδή το φορτίο χώρου µπροστά από την κάθοδο δηµιουργείται από τα ηλεκτρόνια που εκπέµπει η κάθοδος, ισχύει σε κάθε σηµείο ρ<0, οπότε η σχέ ση (α) γράφεται:

37 d V dx 0 Eάν J x είναι η πυκνότητα ρεύµατος στην θέση x και v x η αντίστοιχη ταχύτη τα των ηλεκτρονίων θα ισχύει: (1) J x v x oπότε η (1) γράφεται: d V dx J x 0 v x () Σχήµα 8 Όµως µεταξύ του δυναµικού V στην θέση x και του µέτρου της v x ισχύει, σύµ φωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για κάθε ηλεκτρόνιο, η σχέση: 1 m v e x q e V v x q e m e $ & 1/ V 1/ οπότε η () γράφεται: d V dx J x V -1/ d V dv 0 ( q e / m e ) 1/ dx dx J x V -1/ dv 0 ( q e / m e ) 1/ dx d dx dv$ & dx 4J x d(v 1/ ) 0 ( q e / m e ) 1/ dx (3) Oλοκληρώνοντας την σχέση (3) έχουµε: dv$ & dx 4J x V 1/ 0 ( q e / m e ) 1/ + K όπου K σταθερά ολοκλήρωσης. Eπειδή τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται σε επαφή µε την κάθοδο είναι κατά µέσο όρο ακίνητα, η ηλεκτρική δύναµη που δέχονται

38 είναι περίπου µηδενική, που σηµαίνει ότι για x0 πρέπει η ένταση του πεδίου να είναι περίπου µηδενική, δηλαδή: E x0 0 -dv$ & dx x 0 ' 0 dv$ & dx x 0 ' 0 Άρα για x0 έχουµε V0 και (dv/dx) 0, οπότε K0 και η (4) τελικά γράφεται: dv$ & dx 4J V 1/ 0 ( q e / m e ) 1/ dv dx J 1/ V 1/4 ( 0 ) 1/ ( q e / m e ) 1/4 (5) όπου η τιµή J x αντικαταστάθηκε από την τιµή J που αντιστοιχεί σε όλες τις θέσεις µεταξύ ανόδου-καθόδου. Oλοκληρώνοντας την (5) µε όρια ολοκλήρωσης για το δυναµικό V τα 0, Vα και για το x τα 0, d παίρνουµε: V dv 0 V 1/4 J 1/ ( 0 ) 1/ ( q e / m e ) dx 1/4 d (V )3/4 4 9 (V )3/ J 1/ d ( 0 ) 1/ ( q e / m e ) 1/4 J 1/ d ( 0 ) 1/ ( q e / m e ) 1/ J 4 0 q e $ & 9d m e 1/ V 3/ Eντός αγώγιµου υλικού ειδικής αγωγιµότητας k, δηµιούργείται κάποια στιγµή περρίσευµα θετικού φορτίου, εντοπισ µένο σε µια σφαιρική περιοχή. Xρησιµοποιώντας την εξίσωση της συ νέχειας, να βρείτε σε πόσο χρόνο η χωρική πυκνότητα φορτίου σε µια ορισµένη απόσταση από το κέντρο της σφαιρικής κατανοµής θα πέσει στο µισό της αχικής της τιµής; Δίνεται η απόλυτη διηλεκτρική σταθε ρά ε 0 του κενού. ΛYΣH: Για το ηλεκτρικό φορτίο που βρίσκεται εντός του αγώγιµου υλικού ισχύει η αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου, δηλαδη όσο φορτίο εγκατα λείπει την σφαιρική περιοχή θα εµφανιστεί στην εξωτερική επιφάνεια του αγώ γιµου σώµατος. Έτσι σε κάθε σήµειο και κάθε στιγµή ισχύει η αρχή της συνέ χειας, η οποία έχει την µορφή: ( J ) + t 0 (1) όπου J η πύκνότητα του ρεύµατος και ρ η χωρική πυκνότητα φορτίου σε οποιαδήποτε απόσταση από το κέντρο της σφαιρικής περιοχής. Όµως σε κάθε σηµείο ισχύει η σχέση: