Κεφάλαιο 3. Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται ορισμένες από τις βασικές έννοιες στις οποίες βασίζεται η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας. Δίνεται πρώτα το γραμμικό ελατήριο, το οποίο, αν και απλό, είναι γενικά, χρήσιμο ως διδακτικό εργαλείο για την επεξήγηση των βασικών εννοιών. Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες της μεθόδου δυσκαμψίας με την οποία επιτρέπεται ο υπολογισμός των δυνάμεων και των μετακινήσεων ενός παραμορφώσιμου σώματος. Η μέθοδος χρησιμοποιεί την τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων (βλ. κεφάλαιο 2), δηλαδή τον χωρισμό του θεωρούμενου σώματος σε επιμέρους τμήματα πεπερασμένου μεγέθους (πεπερασμένα στοιχεία) και στη συνέχεια στον υπολογισμό των συνολικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο φορέα, καθώς και των μετακινήσεων που αυτές προκαλούν. Η μητρωϊκή στατική αποτελεί τη βάση για τις υπολογιστικές μεθόδους που αναπτύσσονται εδώ, βλ. [10]. Η σύγχρονη ελληνική βιβλιογραφία προσφέρει κλασικά συγγράμματα με θεωρητικά στοιχεία της μεθόδου, [18], και εφαρμογές σε κατασκευές κυρίως πολιτικού μηχανικού, [14], ή μηχανολόγου μηχανικού, [7], καθώς και το πρόσφατο σύγγραμμα [16]. Νεότερα συγγράμματα περιέχουν κώδικες πεπερασμένων στοιχείων, [1], [5], [17]. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας Ξεκινάμε με έναν γενικό ορισμό του μητρώου δυσκαμψίας και στη συνέχεια εξετάζουμε τη δημιουργία αυτού του μητρώου για ένα γραμμικό-ελαστικό 59

2 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στοιχείο ελατηρίου. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τη συρραφή για τη δημιουργία του ολικού μητρώου δυσκαμψίας για μια δομή που αποτελείται από μια παράθεση στοιχείων ελατηρίων χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις έννοιες της ισορροπίας και της συμβατότητας. Έπειτα δείχνουμε πώς το ολικό μητρώο δυσκαμψίας για μια συνάθροιση μπορεί να ληφθεί υπερθέτοντας τα μητρώα δυσκαμψίας των επιμέρους στοιχείων με άμεσο τρόπο. Ο όρος άμεση μέθοδος δυσκαμψίας εξελίχθηκε για την αναφορά αυτής της τεχνικής. Μετά τη δημιουργία του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος, παρουσιάζουμε πώς επιβάλλονται οι συνοριακές συνθήκες τόσο ομογενών όσο και μη ομογενών. Έτσι, λαμβάνεται μια ολοκληρωμένη λύση συmπεριλαμβάνοντας τις κομβικές μετακινήσεις και αντιδράσεις. Στη συνέχεια εισάγουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας, εφαρμόζοντάς την για να εξάγουμε τις εξισώσεις του στοιχείου ελατηρίου, και χρησιμοποιώντας τις για την επίλυση ενός προβλήματος διάταξης ελατηρίων. Θα προβάλλουμε αυτή την αρχή για τα πιο απλά στοιχεία (αυτά με μικρό αριθμό βαθμών ελευθερίας), έτσι ώστε να γίνει πιο άμεσα κατανοητή η έννοια όταν εφαρμόζεται, σε στοιχεία με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας στα κεφάλαια που ακολουθούν Ορισμός του Μητρώου Δυσκαμψίας Για ένα στοιχείο, ένα μητρώο δυσκαμψίας ˆk είναι ένα μητρώο τέτοιο ώστε ˆf = ˆk ˆd, όπου το ˆk συνδέει τις τοπικές συντεταγμένες (ˆx, ŷ, ẑ) των κομβικών μετακινήσεων ˆd με τις τοπικές δυνάμεις ˆf ενός μεμονωμένου στοιχείου. Χρησιμοποιώντας την ευθεία προσέγγιση ισορροπίας, θα εξάγουμε το μητρώο δυσκαμψίας για ένα μονοδιάστατο γραμμικό ελατήριο, το οποίο θα είναι ένα ελατήριο που υπακούει στοv νόμο του Hooke και αντιστέκεται μόνο σε δυνάμεις προς την κατεύθυνση αυτού. Θεωρείστε το γραμμικό στοιχείο ελατηρίου που παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. Τα σημεία αναφοράς 1 και 2 βρίσκονται στα άκρα του στοιχείου. Αυτά τα σημεία καλούνται κόμβοι. Οι τοπικές κομβικές δυνάμεις είναι ˆf 1x και ˆf 2x για το στοιχείο ελατηρίου το οποίο είναι συνδεδεμένο με τον τοπικό άξονα ˆx. Ο τοπικός άξονας δρα στην κατεύθυνση του ελατηρίου, έτσι ώστε να μπορέσουμε να μετρήσουμε μετακινήσεις και δυνάμεις κατά μήκος του. Οι τοπικές κομβικές μετακινήσεις είναι ˆd1x και ˆd2x για το στοιχείο αυτό και καλούνται ως βαθμοί ελευθερίας για κάθε κόμβο. Θετικές κατευθύνσεις για τις δυνάμεις και τις μετακινήσεις σε κάθε κόμβο ορίζονται σύμφωνα με τη θετική κατεύθυνση του ˆx όπως φαίνεται από τον κόμβο 1 στον κόμβο

3 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 61 2 στο σχήμα. Το σύμβολο k είναι η σταθερά του ελατηρίου ή δυσκαμψία του ελατηρίου. Αντιστοιχίες σε πραγματικές σταθερές ελατηρίου προκύπτουν σε k ˆf 1x, ˆd 1x ˆf2x, ˆd 2x x L Σχήμα 3.1: Γραμμικό στοιχείο ελατηρίου με τις θετικές διευθύνσεις για τις επικόμβιες μετακινήσεις και δυνάμεις. πολυάριθμα προβλήματα μηχανικού. H μέθοδος δυσκαμψίας μπορεί να εφαρμοστεί σε μη δομικά προβλήματα, όπως η μετάδοση θερμότητας, ροή ρευστών και ηλεκτρικά δίκτυα, αλλά και σε δομικά προβλήματα με απλή εφαρμογή του στοιχειώδους νόμου (όπως ο νόμος του Hooke για δομικά προβλήματα, ο νόμος του Fourier για τη μετάδοση θερμότητας, ο νόμος του Darcy για τη ροή των ρευστών και ο νόμος του Ohm για τα ηλεκτρικά δίκτυα) και μιας αρχής διατήρησης, όπως η επικόμβια ισορροπία ή η διατήρηση της ενέργειας. Παραδείγματα ισοδύναμων «σταθερών ελατηρίου»: μία πρισματική μονοαξονική ράβδος έχει σταθερά ελατηρίου k = AE/L, όπου το A παριστάνει το εμβαδόν της διατομή της ράβδου, το E είναι το μέτρο ελαστικότητας και το L το μήκος της ράβδου. μια ράβδος κυκλικής διατομής σε στρέψη έχει σταθερά k = JG/L, όπου J είναι η πολική ροπή αδράνειας και G το μέτρο διάτμησης του υλικού. για μονοδιάστατη ροή ρευστού διαμέσου ενός πορώδους μέσου, k = AK xx /L, όπου K xx είναι ο συντελεστής διαπερατότητας του υλικού.

4 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.2: Ορισμοί για ένα στοιχείο ελατηρίου. Τώρα, θέλουμε να αναπτύξουμε μια σχέση μεταξύ επικόμβιων δυνάμεων και επικόμβιων μετακινήσεων για ένα στοιχείο ελατηρίου. Αυτή η σχέση θα έχει ως σταθερές το μητρώο δυσκαμψίας. Ως εκ τούτου, μπορούμε να συνδυάσουμε το μητρώο επικόμβιας δύναμης με το μητρώο επικόμβιας μετακίνησης ως ακολούθως: { } [ ] { } ˆf1x ˆk11 ˆk12 ˆd1x = (3.1) ˆf 2x ˆk 21 ˆk22 ˆd 2x όπου οι συντελεστές δυσκαμψίας ˆk ij (του στοιχείου) του μητρώου ˆk θα καθοριστούν. Το k ij αναπαριστά τη δύναμη F i στον i- οστό βαθμό ελευθερίας, εξαιτίας μιας μοναδιαίας μετακίνησης d j στον jth - οστό βαθμό ελευθερίας, ενώ όλες οι άλλες μετακινήσεις είναι μηδενικές. Αυτό συμβαίνει όταν d j = 1 και d k = 0 για k j, οπότε η δύναμη F i = k ij. Συνεχίζουμε με τη δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου (έχοντας υπόψη ότι τα ίδια βήματα θα εφαρμοστούν αργότερα στην δημιουργία των μητρώων δυσκαμψίας των γενικότερων στοιχείων) με στόχο να χρησιμοποιηθεί μετά για την γραφή των εξισώσεων ισορροπίας για ένα σύνολο ελατηρίων συνδεδεμένων μεταξύ τους. Επειδή η προσέγγισή μας μέσω αυτού του κειμένου είναι να δημιουργήσει διάφορα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας και μετά να παρουσιάσουμε πώς να λύσουμε μηχανικά προβλήματα με τα στοιχεία,

5 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 63 το Βήμα 1 περιλαμβάνει μόνο την επιλογή του τύπου του στοιχείου. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του Στοιχείου. Θεωρείστε το γραμμικό στοιχείο ελατηρίου (το οποίο μπορεί να είναι ένα στοιχείο σε ένα σύστημα ελατηρίων) που υποβάλλεται σε επικόμβιες δυνάμεις εφελκυσμού T, οι οποίες μπορεί να είναι αποτέλεσμα της δράσης γειτονικών ελατηρίων, κατευθυνόμενες στο μήκος του ελατηρίου με αξονική κατεύθυνση ˆx όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3, έτσι ώστε να είναι σε ισορροπία. Ο τοπικός ˆx άξονας κατευθύνεται από τον k ˆd 1x ˆd2x ˆx L Σχήμα 3.3: Ενα γραμμικό ελατήριο που υπόκεινται σε εφελκυστικές δυνάμεις. κόμβο 1 στον κόμβο 2. Αναπαριστούμε το ελατήριο σημειώνοντας τους κόμβους στα άκρα και αριθμώντας το στοιχείο. Η αρχική απόσταση μεταξύ των κόμβων πριν την παραμόρφωση συμβολίζεται με L. Η ιδιότητα του υλικού (σταθερά ελατηρίου) του στοιχείου είναι k. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή μιας Συνάρτησης Μετακίνησης. Πρέπει να επιλέξουμε εξαρχής τη μαθηματική συνάρτηση για να αναπαραστήσουμε το παραμορφωμένο σχήμα του στοιχείου ελατηρίου υπό φόρτιση. Υποθέτουμε μια πολυωνυμική μαθηματική προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων μέσα στο στοιχείο. Η συνάρτηση παρεμβολής, δηλαδή το πολυώνυμο που επιλέχθηκε, μπορεί να έχει διαφορετική μορφή για άλλες εφαρμογές.

6 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επειδή το στοιχείο ελατηρίου αντιστέκεται στο αξονικό φορτίο μόνο με τους τοπικούς βαθμούς ελευθερίας, που για το στοιχείο είναι οι μετακινήσεις ˆd 1x και ˆd2x κατά μήκος της κατεύθυνσης του ˆx, επιλέγουμε μια συνάρτηση μετακίνησης û για να αναπαραστήσουμε την αξονική μετακίνηση σε όλο το μήκος του στοιχείου. Εδώ θεωρείται γραμμική μετακίνηση κατά μήκος του άξονα ˆx του ελατηρίου, επειδή μια γραμμική συνάρτηση με καθορισμένα τελικά σημεία ορίζεται με μοναδικό τρόπο. Ως εκ τούτου û = a 1 + a 2ˆx. (3.2) Γενικά, ο συνολικός αριθμός συντελεστών α είναι ίσως με τον συνολικό αριθμό των βαθμών ελευθερίας που σχετίζονται με το στοιχείο. Εδώ ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι δύο, μια αξονική μετακίνηση σε καθένα απ τους δύο κόμβους του στοιχείου. Σε μητρωική μορφή η (3.2) γίνεται: { } a1 û = [1 ˆx]. Τώρα θέλουμε να εκφράσουμε την û σαν μια συνάρτηση των επικόμβιων μετακινήσεων ˆd 1x και ˆd 2x που υποδεικνύεται στο Βήμα 3 και έπειτα να σχετίσουμε τις επικόμβιες μετακινήσεις με τις επικόμβιες δυνάμεις στο Βήμα 4. Το επιτυγχάνουμε αυτό αξιολογώντας το û σε κάθε κόμβο και λύνοντας για a 1 και a 2 από την εξίσωση (3.2) όπως παρακάτω: όπου για a 2 έχουμε a 2 û(0) = a 1 + a 2 0 = ˆd 1x = a 1, (3.3) û(l) = a 1 + a 2 L = ˆd 2x = a 2 L + ˆd 1x. a 2 = ˆd 2x ˆd 1x. (3.4) L Μεταφέροντας τις εξισώσεις (3.3) και (3.4) στην (3.2), έχουμε ( ˆd2x û = ˆd ) 1x ˆx + L ˆd 1x (3.5) Σε μητρωική μορφή εκφράζουμε την εξίσωση (3.5) ως û = [ 1 x L ] { } ˆx ˆd1x L ˆd 2x

7 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 65 ή { } ˆd1x û = [N 1 N 2 ]. ˆd 2x Εδώ N 1 = 1 ˆx L και N 2 = ˆx L (3.6) ονομάζονται συναρτήσεις μορφής επειδή εκφράζουν τη μορφή της υποτιθέμενης συνάρτησης μετακίνησης πάνω στη περιοχή (ˆx συντεταγμένη) του στοιχείου όταν ο i-οστός βαθμός ελευθερίας του στοιχείου έχει τιμή μονάδα και όλοι οι άλλοι βαθμοί ελευθερίας είναι μηδενικοί. Από την (3.6) έχουμε N 1 = 1, N 2 = 0 στο κόμβο 1, N 1 = 0, N 2 = 1 στο κόμβο 2, και N 1 + N 2 = 1 για κάθε αξονική συντεταγμένη κατά μήκος της ράβδου. Δείτε στο Σχήμα 3.4 τις γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων μορφής πάνω στο στοιχείο ελατηρίου. Επιπροσθέτως, τα N i ονομάζονται συνήθως συναρτήσεις παρεμβολής, επειδή παρεμβάλουμε έτσι ώστε να βρούμε την τιμή της συνάρτησης μεταξύ των δοσμένων επικόμβιων τιμών. ΒΗΜΑ 3: Ορίζουμε τις σχέσεις τάσεων/παραμορφώσεων και παραμορφώσεων μετακινήσεων. Οι εφελκυστικές δυνάμεις T παράγουν μια συνολική επιμήκυνση (παραμόρφωση) d του ελατηρίου. Η τυπική ολική επιμήκυνση του ελατηρίου φαίνεται στο Σχήμα 3.5. Εδώ το ˆd 1x έχει αρνητική τιμή, επειδή η κατεύθυνση του ˆx είναι αρνητική και του ˆd 2x είναι θετική. Η παραμόρφωση του ελατηρίου παρουσιάζεται, τότε, με τη σχέση: δ = û(l) û(0) = ˆd 2x ˆd 1x. (3.7) Από την εξίσωση (3.7) παρατηρούμε ότι η ολική παραμόρφωση είναι η διαφορά των επικόμβιων μετακινήσεων στην κατεύθυνση του ˆx. Για ένα στοιχείο ελατηρίου μπορούμε να σχετίσουμε τη δύναμη του ελατηρίου άμεσα με την παραμόρφωση. Ως εκ τούτου, η σχέση παραμόρφωσης μετακίνησης δεν είναι απαραίτητη εδώ. Η σχέση τάσης/παραμόρφωσης μπορεί να εκφραστεί με όρους σχέσεων δύναμης/παραμόρφωσης αντί της: T = kδ. (3.8)

8 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.4: Συναρτήσεις μορφής N 1 και N 2 στοιχείου γραμμικού ελατηρίου.

9 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 67 Τώρα χρησιμοποιώντας την (3.7) από την (3.8) παίρνουμε την T = k( ˆd 2x ˆd 1x ). (3.9) Σχήμα 3.5: Παραμορφωμένο γραμμικό στοιχείο ελατηρίου. ΒΗΜΑ 4: Δημιουργία του τοπικού Μητρώου Δυσκαμψίας και κατάστρωση Εξισώσεων Ισορροπίας. Δημιουργούμε τώρα το μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου. Από τη σύμβαση για τις επικόμβιες δυνάμεις και την ισορροπία έχουμε ˆf 1x = T, ˆf2x = T. (3.10) Χρησιμοποιώντας τις: (3.128) και (3.10), έχουμε: Ξαναγράφοντάς τις (3.11) παίρνουμε ˆf 1x = k( ˆd 1x ˆd 2x ), ˆf2x = k( ˆd 2x ˆd 1x ). (3.11) } [ ] { } k k ˆd1x =. (3.12) ˆf 2x k k ˆd 2x { ˆf1x

10 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τώρα εκφράζουμε τις (3.12) σε ένα μόνο σύστημα μητρώων/εξισώσεων [ ] k k ˆk =. (3.13) k k Εδώ το ˆk ονομάζεται τοπικό μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο. Το ˆk είναι ένα συμμετρικό, k ij = k ji και τετραγωνικό μητρώο (ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στο ˆk). ΒΗΜΑ 5: Κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας και εισαγωγή των συνοριακών συνθηκών. Το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και το ολικό μητρώο δύναμης έχουν δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας εξισώσεις ισορροπίας για τις επικόμβιες δυνάμεις, εξισώσεις δύναμης/ παραμόρφωσης, την εξίσωση συμβιβαστού των παραμορφώσεων στην Ενότητα 3.1.2, και τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας όπως περιγράφεται στην Ενότητα Αυτό το βήμα εφαρμόζεται για συνεχή σώματα (κατασκευές) που έχουν διακριτοποιηθεί με τη χρήση περισσότερων του ενός στοιχείων K = [K] = N k (e) and F = {F } = e=1 N e=1 f (e) όπου το k και f είναι τώρα τα μητρώα δυσκαμψίας στοιχείου και δυνάμεων εκφρασμένα σε ολικό σύστημα συντεταγμένων. (Σε όλο το κείμενο το σύμβολο που χρησιμοποιείται στο περιεχόμενο δεν υπονοεί ένα άλλο άθροισμα στοιχείων μητρώων, αλλά υποδηλώνει ότι αυτά τα μητρώα στοιχείων πρέπει να συρραφτούν σωστά σύμφωνα με την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας που περιγράφεται στην Ενότητα 3.1.3). ΒΗΜΑ 6: Επίλυση για τις επικόμβιες μετακινήσεις. Οι μετακινήσεις υπολογίζονται μετά την επιβολή συνοριακών συνθηκών, όπως οι συνθήκες στήριξης ή άλλοι κινηματικοί περιορισμοί και λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων, F = Kd. ΒΗΜΑ 7: Μετεπεξεργασία για τον υπολογισμό των δυνάμεων και τάσεων στα στοιχεία. Τελικά, οι δυνάμεις στοιχείων καθορίζονται από αντικατάσταση, εφαρμοσμένη σε κάθε στοιχείο, σε εξισώσεις παρόμοιες των (3.11).

11 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Παράδειγμα μιας διάταξης ελατηρίου Δομές όπως δικτυώματα, πλαίσια κτιρίων και γέφυρες αποτελούν βασικά δομικά συστατικά που συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν τις συνολικές δομές. Για να αναλύσουμε αυτές τις δομές πρέπει να καθορίσουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής για ένα διασυνδεδεμένο δίκτυο στοιχείων. Πριν από την εξέταση των δικτυωμάτων και των πλαισίων θα καθορίσουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής για μια διάταξη ελατηρίου χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το μητρώο δύναμης/μετακίνησης που προέκυψαν στην Ενότητα 3.1 για το στοιχείο ελατηρίου μαζί με τις θεμελιώδεις αρχές της ισορροπίας κάθε κόμβου και την συνθήκη συμβιβατού των παραμορφώσεων. Έτσι το Βήμα 5 παραπάνω θα καταστεί εμφανές. Θα θεωρήσουμε το συγκεκριμένο παράδειγμα μιας διάταξης δύο ελατηρίων όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.6. Το παράδειγμα αυτό είναι γενικά αρκετό για Σχήμα 3.6: Διάταξη δύο ελατηρίων. να παρουσιάσει την άμεση προσέγγιση ισορροπίας για τη λήψη του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας της διάταξης του ελατηρίου. Εδώ στηρίζουμε σταθερά τον κόμβο 1 και εφαρμόζουμε τις αξονικές δυνάμεις F 3x και F 2x στους κόμβους 3 και 2. Η δυσκαμψία των στοιχείων ελατηρίου 1 και 2 είναι k 1 και k 2, αντίστοιχα. Οι κόμβοι της διάταξης έχουν αριθμηθεί ως 1, 3 και 2 για περαιτέρω γενίκευση, επειδή συνεχής αρίθμηση μεταξύ στοιχείων δεν συμβαίνει σε μεγάλα προβλήματα. Ο x άξονας είναι ο ολικός άξονας της διάταξης. Ο τοπικός άξονας ˆx του κάθε στοιχείου συμπίπτει με τον ολικό-γενικό άξονα της διάταξης.

12 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για το στοιχείο 1, χρησιμοποιώντας την (3.12), έχουμε: { } [ ] { } ˆf1x k1 k = ˆd(1) 1 1x ˆf 3x k 1 k 1 ˆd (1) 3x και για το στοιχείο 2, έχουμε { ˆf3x } [ ] { k2 k = ˆd(2) 2 3x ˆf 2x k 2 k 2 ˆd (2) 2x } (3.14) (3.15) Επιπλέον, τα στοιχεία 1 και 2 πρέπει να παραμείνουν συνδεδεμένα στον κοινό κόμβο 3 σε όλη την μετακίνηση. Αυτό καλείται ανάγκη συνέχειας ή συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων. Η απαίτηση συμβιβαστού των παραμορφώσεων αποδίδεται ως d (1) 3x = d (2) 3x = d 3x, (3.16) όπου η απαίτηση κοινής μετατόπισης αποδίδεται ως d και αναφέρεται στον αριθμό στοιχείου (εκθέτης) με τον οποίο σχετίζονται. Θυμηθείτε ότι ο δείκτης στα δεξιά δείχνει τον κόμβο και την κατεύθυνση της μετακίνησης αντίστοιχα, και ότι το d 3x είναι η μετακίνηση του κόμβου 3 της συνολικής ή ολικής διάταξης του ελατηρίου. Τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος για κάθε στοιχείο και κόμβο (χρησιμοποιώντας τις θεμελιωμένες συμβολικές συμβάσεις για επικόμβιες δυνάμεις στοιχείου στο Σχήμα 3.1) φαίνονται στο Σχήμα 3.7. Βασισμένοι πάνω στα δια- Σχήμα 3.7: Οι επικόμβιες δυνάμεις, σύμφωνα με τη σύμβαση προσήμων των δυνάμεων του πεπερασμένου στοιχείου.

13 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 71 γράμματα ελευθέρου σώματος για κάθε κόμβο που φαίνεται στο Σχήμα 3.7 και το γεγονός ότι οι εξωτερικές δυνάμεις πρέπει να είναι ίσες με τις εσωτερικές σε κάθε κόμβο, μπορούμε να γράψουμε τις επικόμβιες εξισώσεις ισορροπίας στους κόμβους 3, 2, και 1 ως: F 3x = f (1) 3x + f (2) 3x, (3.17) F 2x = f (2) 2x, (3.18) F 1x = f (1) 1x, (3.19) όπου η F 1x είναι αποτέλεσμα της εξωτερικά εφαρμοσμένης αντίδρασης στη σταθερή στήριξη. Εδώ ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα, για ίσες αλλά αντίθετες δυνάμεις, εφαρμόζεται από έναν κόμβο σε ένα στοιχείο που συνδέεται με αυτό τον κόμβο. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.14) (3.16) στις (3.17) (3.19), παίρνουμε: F 3x = ( k 1 d 1x + k 1 d 3x ) + (k 2 d 3x k 2 d 2x ), F 2x = k 2 d 3x + k 2 d 2x, (3.20) F 1x = k 1 d 1x k 1 d 3x, Σε μητρωική μορφή οι εξισώσεις (3.20) εκφράζονται από F 1x k 1 0 k 1 d 1x F 2x = 0 k 2 k 2 d 2x F 3x k 1 k 2 k 1 + k 2 d 3x Σε μια απλή εξίσωση μητρώων (πινάκων) θα γραφτεί F = Kd, όπου η F = {F 1x F 2x F 3x } T καλείται μητρώο ολικής επικόμβιας δύναμης, d = {d 1x d 2x d 3x } T καλείται μητρώο επικόμβιας μετακίνησης και k 1 0 k 1 K = 0 k 2 k 2 (3.21) k 1 k 2 k 1 + k 2 καλείται το συνολικό ή το ολικό ή συστημικό μητρώο δυσκαμψίας. Εν ολίγοις, για την κατάστρωση των εξισώσεων δυσκαμψίας και τον υπολογισμό των μητρώων δυσκαμψίας των (3.1.2) και (3.21), για μια διάταξη ελατηρίου, χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις δυνάμεων/παραμορφώσεων (3.14) και (3.15), τη σχέση

14 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ συμβιβαστού των παραμορφώσεων (3.16), και την ισορροπία επικόμβιας δύναμης (3.17) (3.19). Θα εξετάσουμε την πλήρη λύση σ αυτό το παράδειγμα, αφού εξετάσουμε μια πιο πρακτική μέθοδο συρραφής του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας στην Ενότητα και συζητώντας για τις συνοριακές συνθήκες στήριξης στην Eνότητα Συρραφή του Μητρώου Ολικής Δυσκαμψίας μέσω υπέρθεσης (Μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας), Εναλλακτική παρουσίαση Θα εξετάσουμε τώρα μία πιο εύκολη μέθοδο για την κατασκευή του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη σωστή υπέρθεση των μητρώων δυσκαμψίας για κάθε επιμέρους στοιχείο που συνθέτει μια δομή (δείτε επίσης αναφορές [11] και [9]). Αναφερόμενοι στη διάταξη δύο ελατηρίων στην Ενότητα 3.1.2, τα μητρώα δυσκαμψίας για το στοιχείο δίνονται στις εξισώσεις (3.14) και (3.15) ως [ d 1x d 3x ] [ d 3x d 2x ] k k k (1) d1x = k k k d (2) k2 k = 2 d3x. 3x k 2 k 2 d 2x Εδώ τα d ix που γράφονται πάνω απ τις στήλες και δίπλα στις γραμμές των k δείχνουν τους βαθμούς ελευθερίας που συνδέονται με κάθε στοιχείο γραμμής και στήλης. Στα μητρώα δυσκαμψίας για τα δύο στοιχεία δεν συνδέονται οι ίδιοι βαθμοί ελευθερίας και αυτό γιατί στο στοιχείο 1 συνδέονται οι αξονικές μετακινήσεις στους κόμβους 1 και 3, ενώ στο στοιχείο 2 συνδέονται οι αξονικές μετακινήσεις στους κόμβους 2 και 3. Ως εκ τούτου, τα μητρώα δυσκαμψίας για τα στοιχεία δεν μπορούν να προστεθούν άμεσα (επάλληλα) στην παρούσα μορφή τους. Για να μπορούμε να προσθέσουμε τα μητρώα των στοιχείων, πρέπει να τα επεκτείνουμε στην τάξη (μέγεθος) του μητρώου δυσκαμψίας της συνολικής δομής (διάταξη ελατηρίου), έτσι ώστε κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου να συνδέεται με όλους τους βαθμούς ελευθερίας της δομής. Για να επεκτείνουμε κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου στην τάξη του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας, απλά προσθέτουμε γραμμές και στήλες μηδενικών στοιχείων για αυτές τις μετακινήσεις που δεν συνδέονται με αυτό το συγκεκριμένο στοιχείο. Για το στοιχείο 1, ξαναγράφουμε το μητρώο δυσκαμψίας σε επεκταμένη μορφή

15 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 73 έτσι ώστε η(3.14) να γίνει k d (1) 1x d (1) 2x d (1) 3x = f (1) 1x f (1) 2x f (1) 3x. (3.22) Όπου βλέπουμε ότι d (1) 2x και f (1) 2x δεν συνδέονται με το k (1). Παρόμοια, για το στοιχείο 2, έχουμε d (2) 1x f (2) k d (2) 1x 2x d (2) = f (2) 2x 3x f (2). (3.23) 3x Τώρα, θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων σε κάθε κόμβο καταλήγουμε σε: f (1) 1x 0 f (1) 3x + 0 f (2) 2x f (2) 3x = που είναι στην πραγματικότητα οι (3.17) (3.19) εκφρασμένες σε μητρωική μορφή. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση ισορροπίας για τα στοιχεία 1 και 2, παίρνουμε k d (1) 1x d (1) 2x d (1) 3x k F 1x F 2x F 3x. d (2) 1x d (2) 2x d (2) 3x = όπου, ξανά, οι εκθέτες στα d δείχνουν τους αριθμούς των στοιχείων. Απλοποιώντας την εξίσωση καταλήγουμε: k 1 0 k 1 d 1x F 1x 0 k 2 k 2 d 2x = F 2x. (3.24) k 1 k 2 k 1 + k 2 d 3x F 3x Εδώ οι εκθέτες δείχνουν τους αριθμούς των στοιχείων που συνδέονται με τις επικόμβιες μετακινήσεις, διότι το d (1) 1x είναι στην πραγματικότητα το d 1x, d (2) 2x είναι το d 2x, και από την εξίσωση (3.16), d (1) 3x = d (2) 3x = d 3x είναι η μετακίνηση του κόμβου 3 της συνολικής διάταξης. Τα επεκταμένα μητρώα δυσκαμψίας του στοιχείου στις (3.22) και (3.23) θα μπορούσαν να είχαν προστεθεί αμέσως για F 1x F 2x F 3x,

16 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ να ληφθεί το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής που δόθηκε στην (3.24). Αυτή η αξιόπιστη μέθοδος της άμεσης συρραφής των μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους στοιχείων για τον σχηματισμό του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας καλείται μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας. Είναι το πιο σημαντικό βήμα στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Συνοριακές Συνθήκες Πρέπει να διευκρινισθούν οι συνοριακές συνθήκες (ή στηρίξεις, γενικά κινηματικοί περιορισμοί) για μοντέλα δομής όπως η διάταξη ελατηρίου του Σχήματος 3.6. Με την προϋπόθεση της ύπαρξης επαρκών στηρίξεων η ορίζουσα του πίνακα K δεν είναι μηδέν, το αντίστροφό του υφίσταται και το προκύπτον σύστημα εξισώσεων ισορροπίας είναι επιλύσιμο. Εάν δεν έχουν ορισθεί επαρκείς κινηματικοί ή συνθήκες στήριξης, η δομή θα ήταν ελεύθερη να κινείται σαν ένα άκαμπτο σώμα και να μην αντιστέκεται σε οποιοδήποτε φορτίο. Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των απαραίτητων συνοριακών συνθηκών για να γίνει ο [K] μη αναστρέψιμος είναι ίσος με τον αριθμό των δυνατών βαθμών ελευθερίας στερεού σώματος και μπορεί να καθορισθεί με υπολογισμό των μηδενικών ιδιοτιμών του μητρώου δυσκαμψίας K. Υπάρχουν δύο γενικοί τύποι συνοριακών συνθηκών, ομογενείς και μη ομογενείς. Οι ομογενείς συνοριακές συνθήκες-οι πιο κοινές συμβαίνουν σε περιοχές όπου δεν επιτρέπεται να υπάρξει μετακίνηση. Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες-συμβαίνουν όπου υπάρχουν πεπερασμένες μη μηδενικές τιμές μετακίνησης, όπως στις περιοχές συγκριμένων στηρίξεων. Για να παρουσιάσουμε τους δύο γενικούς τύπους συνοριακών συνθηκών, ας εξετάσουμε την (3.24), προερχόμενη από τη διάταξη ελατηρίου του Σχήματος 3.6, το οποίο έχει μια μόνο λειτουργία άκαμπτου σώματος στην κατεύθυνση της κίνησης κατά μήκος της διάταξης του ελατηρίου. Πρώτα εξετάζουμε την περίπτωση των ομογενών συνοριακών συνθηκών δηλαδή των συνοριακών συνθηκών όπου οι μετακινήσεις είναι μηδενικές, κάτι που συμβαίνει σε ορισμένους κόμβους. Εδώ έχουμε d 1x = 0 επειδή ο κόμβος 1 είναι σταθερός. Έτσι η (3.24) μπορεί να γραφτεί σαν k 1 0 k 1 0 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 0 d 2x d 3x = F 1x F 2x F 3x (3.25)

17 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 75 Η (3.25), γραμμένη σε επεκταμένη μορφή γίνεται k 1 d 3x = F 1x, k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, (3.26) k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = F 3x, όπου F 1x είναι η άγνωστη αντίδραση και F 2x και F 3x είναι γνωστά εφαρμοσμένα φορτία. Γράφοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση (3.26) σε μητρωική μορφή έχουμε: [ ] { } { } k2 k 2 d2x F2x =. (3.27) k 2 k 1 + k 2 d 3x F 3x Συνεπώς έχουμε χωρίσει την πρώτη γραμμή και στήλη του K και την πρώτη γραμμή του d και F φτάνοντας στην εξίσωση (3.27). Οι ομογενείς συνοριακές συνθήκες, λοιπόν, (3.27) θα μπορούσαν να έχουν προκύψει διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη της εξίσωσης (3.25) που αντιστοιχούν στη μηδενική μετακίνηση των βαθμών ελευθερίας. Εδώ η γραμμή 1 και η στήλη 1 διαγράφονται γιατί γίνεται πολλαπλασιασμός της στήλης 1 και K με το d 1x = 0. Ωστόσο, η F 1x δεν είναι απαραίτητα μηδέν οπότε μπορεί να οριστεί μια φορά η d 2x και στην συνέχεια να λυθεί για d 3x. Αφού λύσουμε την (3.27) για d 2x και d 3x, έχουμε { d2x d 3x } [ ] 1 { } k2 k = 2 F2x = k 2 k 1 + k 2 F 3x [ 1 k k 1 1 k k 1 k 1 ] { F2x F 3x } (3.28) Τώρα που οι d 2x και d 3x είναι γνωστές από την (3.28), τις αντικαθιστούμε στην πρώτη από τις εξισώσεις (3.26) για να πάρουμε την αντίδραση της F 1x σαν F 1x = k 1 d 3x (3.29) Μπορούμε να εφαρμόσουμε την επικόμβια δύναμη στον κόμβο 1 (λέγεται επίσης αντίδραση) σε συνάρτηση με τις εφαρμόζουσες επικόμβιες δυνάμεις F 2x και F 3x χρησιμοποιώντας την (3.28) και λύνοντας για d 3x αντικαθιστούμε στην εξίσωση (3.29). Το αποτέλεσμα είναι: F 1x = F 2x F 3x. Ως εκ τούτου, για όλες τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες, μπορούμε να διαγράψουμε τις γραμμές και τις στήλες που αντιστοιχούν σε βαθμούς ελευθερίας

18 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ μηδενικών μετακινήσεων από το αρχικό σύστημα εξισώσεων και μετά να λύσουμε για τις άγνωστες μετακινήσεων. Αυτή η διαδικασία είναι χρήσιμη για πρόχειρους υπολογισμούς. Τώρα εξετάζουμε την υπόθεση των μη-ομογενών συνοριακών συνθηκών. Ως εκ τούτου, μερικές από τις καθορισμένες μετακινήσεις είναι μηδενικές. Για λόγους απλότητας, λέμε ότι d 1x = d, όπου d είναι γνωστή μετακίνηση (Σχήμα 3.8), στην (3.24). Έχουμε Σχήμα 3.8: Διάταξη δύο ελατηρίων με γνωστή μετακίνηση δ στον κόμβο 1. k 1 0 k 1 0 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 δ d 2x d 3x = F 1x F 2x F 3x (3.30) Η εξίσωση (3.30) γραμμένη σε εκτενή μορφή γίνεται k 1 δ k 1 d 3x = F 1x, k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, (3.31) k 1 δ k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = F 3x, Όπου F 1x είναι τώρα η αντίδραση από τη στήριξη που μετακινήθηκε κατά δ. Εξετάζουμε την 2η και την 3η εξίσωση (3.31) επειδή γνωρίζουμε τις επικόμβιες δυνάμεις F 2x και F 3x της δεξιάς πλευράς, και μετασχηματίζοντας τον γνωστό όρο στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων παίρνουμε k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = k 1 δ + F 3x. (3.32)

19 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 77 Αναγράφοντας την (3.32) σε μητρωική μορφή, έχουμε: [ ] { } { } k2 k 2 d2x F = 2x k 2 k 1 + k 2 d 3x k 1 δ + F 3x (3.33) Ως εκ τούτου, όταν έχουμε να κάνουμε με μη-ομογενείς συνοριακές συνθήκες, αρχικά δε μπορούμε να διαγράψουμε τη γραμμή 1 και τη στήλη 1 της εξίσωσης (3.30), που αντιστοιχεί στη μη ομογενή συνοριακή συνθήκη, όπως αντιστοιχεί από το αποτέλεσμά της (3.33) επειδή πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο με μη μηδενικό αριθμό. Για τις μη-ομογενείς συνοριακές συνθήκες, πρέπει, γενικά να μετασχηματίσουμε τους όρους που έχουν σχέση με τις γνωστές μετακινήσεις στη δύναμη της δεξιάς πλευράς του μητρώου, πριν να λύσουμε για την άγνωστη επικόμβια μετακίνηση. Αυτό απεικονίσθηκε με τον μετασχηματισμό του k 1 δ όρου της 2ης από τις εξισώσεις (3.31) στη δεξιά πλευρά από τη δεύτερη των εξισώσεων (3.32). Μπορούμε τώρα να λύσουμε για τη μετακίνηση στην (3.33) με παρόμοιο τρόπο όπως αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για τη λύση της εξίσωσης (3.27). Ωστόσο, δεν θα ασχοληθούμε περαιτέρω με τη λύση της (3.33) διότι δεν έχουμε κάποια ουσιαστική διαφορά. Ωστόσο, στην αντικατάσταση της μετακίνησης πίσω στην (3.30), η αντίδραση γίνεται F 1x = k 1 δ k 1 d 3x, που είναι διαφορετική από την (3.29) για F 1x. Σ αυτό το σημείο συνοψίζουμε κάποιες ιδιότητες του μητρώου δυσκαμψίας στην (3.30) που εφαρμόζονται στη γενίκευση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Το K είναι συμμετρικό, όπως και το μητρώο δυσκαμψίας κάθε στοιχείου. Μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τους νόμους δράσης-αντίδρασης που περιγράφονται σε τέτοιες αναφορές όπως η [6] και [12]. Το μητρώο δυσκαμψίας K δεν αντιστρέφεται (η ορίζουσά του είναι μηδέν). Συνεπώς η εξίσωση ισορροπίας έχει άπειρες μη μηδενικές λύσεις και γενικά οποιαδήποτε μετακίνηση σαν στερεό σώμα. Εάν στην κατασκευή επιβληθούν αυτοϊσορροπούμενες εξωτερικές δυνάμεις, είναι δυνατός ο μονοσήμαντος καθορισμός τάσεων και παραμορφώσεων, αλλά οι μετακινήσεις ορίζονται με προσθαφαίρεση μιας αυθαίρετης μετακίνησης στερεού σώματος. Πρέπει λοιπόν να μπουν οι κατάλληλες συνθήκες στήριξης ώστε να μην έχει δυνατότητα μετακίνησης στερεού σώματος (rigid body motion).

20 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Όλοι οι διαγώνιοι όροι του K είναι θετικοί, αφού σε θετική μετατόπιση αντιστοιχεί θετική δύναμη. Αλλιώς, μια θετική επικόμβια δύναμη F i θα μπορούσε να δημιουργήσει μια αρνητική μετακίνηση d i, δηλαδή μια συμπεριφορά αντίθετη στη φυσική συμπεριφορά κάθε πραγματικής κατασκευής. Το στοιχείο i j του μητρώου δυσκαμψίας είναι η δύναμη F i που απαιτείται για μετατόπιση d i ίση με τη μονάδα και με μηδενικές τις υπόλοιπες μετατοπίσεις. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου είναι μηδέν, δηλαδή η κάθε στήλη παριστάνει δυνάμεις που ισορροπούν. Γενικά, οι καθορισμένες συνθήκες στήριξης αντιμετωπίζονται μαθηματικά με διαχωρισμό των γενικών εξισώσεων ισορροπίας όπως [ ] { } { } K11 K 12 d1 F1 =, (3.34) K 21 K 22 d 2 F 2 όπου d 1 είναι οι μετατοπίσεις χωρίς περιορισμό ή ελεύθερες και d 2 είναι οι καθορισμένες μετακινήσεις. Από (3.34) έχουμε και K 11 d 1 = F 1 K 12 d 2 (3.35) F 2 = K 21 d 1 + K 22 d 2, (3.36) όπου F 1 είναι οι γνωστές επικόμβιες δυνάμεις και F 2 είναι οι άγνωστες επικόμβιες δυνάμεις σε καθορισμένες μετακινήσεις κόμβων. Η F 2 βρίσκεται από την (3.36) και μετά το d 1 καθορίζεται από την (3.35). Υποθέτουμε ότι το K 11 δεν είναι πλέον ιδιόμορφο, οπότε επιτρέπουμε τον καθορισμό του d 1. Η διαδικασία της προηγούμενης παραγράφου γενικεύεται και χρησιμοποιείται για τη στατική συμπύκνωση των εσωτερικών κόμβων και τη δημιουργία ισοδύναμων στοιχείων στη μέθοδο των υπερκατασκευών (static condensation, substructures). Για να απεικονίσουμε τη μέθοδο δυσκαμψίας και τη λύση παρελκόμενων ελατηρίων, παρουσιάζουμε τα παρακάτω παραδείγματα. Παράδειγμα Για τη συναρμολόγηση τριών ελατηρίων με την αυθαίρετη αρίθμηση κόμβων όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.9, έχουμε (α) το γενικό μητρώο

21 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 79 δυσκαμψίας, (β) τις μετακινήσεις των κόμβων 3 και 4, (γ) τις δυνάμεις αντίδρασης στους κόμβους 1 και 2, και (δ) τις δυνάμεις σε κάθε ελατήριο. Μια δύναμη 5000 N εφαρμόζεται στον κόμβο 4 στην κατεύθυνση x. Οι σταθερές του ελατηρίου δίνονται στο σχήμα. Οι κόμβοι 1, 2 είναι σταθερά περιορισμένοι. 1 k 1 =1000 k 2 =2000 k 3 = x Σχήμα 3.9: Διάταξη τριών ελατηρίων. α) Κάθε στοιχείο στο μητρώο δυσκαμψίας εκφράζεται ως εξής: [ 1 3 ] [ 3 4 ] k (1) = k (2) = k (2) = [ 4 2 ] Όπου οι αριθμοί κάτω από τις στήλες και δίπλα σε κάθε γραμμή δείχνουν τους επικόμβιους βαθμούς ελευθερίας που συνδέονται με κάθε στοιχείο. Για παράδειγμα, το στοιχείο 1 συνδέεται με το βαθμό ελευθερίας d 1x καθ d 3x. Επίσης, ο τοπικός άξονας ˆx συμπίπτει με τον γενικό άξονα x για κάθε στοιχείο. Χρησιμοποιώντας την έννοια της υπέρθεσης (την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας) παίρνουμε το ολικό μητρώο δυσκαμψίας ως: ή K = k (1) + k (2) + k (3)

22 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ K = (β) Tο ολικό μητρώο δυσκαμψίας συνδέει τις ολικές δυνάμεις με τις ολικές μετακινήσεις όπως παρακάτω: F 1x d 1x F 2x = d 2x F 3x (3.37) d 3x F 4x d 4x Εφαρμόζοντας τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 2x = 0 στην (3.37), αντικαθιστούμε τις επικόμβιες δυνάμεις και διαχωρίζουμε τις 2 πρώτες εξισώσεις (3.37) (ή διαγράφουμε τις δύο πρώτες γραμμές της {F } και {d} και τις δυο πρώτες γραμμές και στήλες του K που αντιστοιχούν στη μηδενική μετακίνηση της συνοριακής συνθήκης) οπότε έχουμε: { } = [ ] { d3x d 4x } (3.38) Λύνουμε την εξίσωση (3.38) και παίρνουμε τη γενική επικόμβια μετακίνηση d 3x = cm. d 4x = 15 cm. (3.39) 11 (γ) Για να λάβουμε υπόψη τις γενικές επικόμβιες δυνάμεις (που περιέχουν τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 2), αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (3.39) και τις συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 2x = 0 στην (3.37). Από την αντικατάσταση προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων F 1x F 2x F 3x F 4x = Από το οποίο, υπολογίζουμε τις δυνάμεις σε κάθε κόμβο. F 1x = 10, , 000 N, F 2x = N, F 3x = , 000 F 4x = N. 11 (3.40)

23 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 81 Από αυτά τα αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αντιδράσεων F 1x και F 2x είναι ίσο σε μέγεθος αλλά με αντίθετη κατεύθυνση από αυτή της εφαρμόζουσας δύναμης F 4x. Αυτό το αποτέλεσμα επαληθεύει την ισορροπία ολόκληρης της δομής των ελατηρίων. (δ) Ακολούθως, χρησιμοποιούμε το τοπικό στοιχείο της εξίσωσης (3.12) για τον υπολογισμό των δυνάμεων σε κάθε στοιχείο. Στοιχείο 1 Απλοποιώντας έχουμε { ˆf1x } = ˆf 2x [ ] { }. (3.41) ˆf 1x = 10, 000 N, ˆf3x = 11 10, 000 N. (3.42) 11 Όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 1 που δίνεται στο Σχήμα 3.10, το ελατήριο υποβάλλεται στις δυνάμεις εφελκυσμού που δίνονται από τις εξισώσεις (3.42). Επίσης, η f 1x είναι ίση με τη δύναμη αντίδρασης F 1x που δίνεται στην (3.40) xˆ Σχήμα 3.10: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 1. Στοιχείο 2 Ωστόσο, έχουμε { ˆf3x } = ˆf 4x ˆf 3x = [ ] { / /11 10, 000 N, ˆf4x = 11 }. 10, 000 N. (3.43) 11

24 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 2, που δίνεται στο Σχήμα 3.11, το ελατήριο υποβάλλεται στις εφελκυστικές δυνάμεις που δίνονται στην (3.43) xˆ Σχήμα 3.11: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 2. Στοιχείο 3 { ˆf4x } = ˆf 3x Απλοποιώντας αναφέρουμε ˆf 4x = [ ] { / , }. 45, 000 N, ˆf2x N. (3.44) 11 Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του ελατηρίου 3 φαίνεται στο Σχήμα xˆ Σχήμα 3.12: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 3. Το ελατήριο υποβάλλεται σε θλιπτικές δυνάμεις που δίνονται στις εξισώσεις (3.44). Επίσης, η f 2x είναι ίση με τη δύναμη αντίδρασης F 2x που δίνεται στην (3.40).

25 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 83 Παράδειγμα Για το σύστημα ελατηρίων ελατηρίου όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.13, έχουμε (α) το ολικό μητρώο δυσκαμψίας (β) τις επικόμβιες μετακινήσεις 2-4 (γ) τις γενικές επικόμβιες δυνάμεις και (δ) τις τοπικές δυνάμεις ελατηρίου. Ο κόμβος 1 στηρίζεται στερεά και ο κόμβος 5 υποβάλλεται σε γνωστή μετακίνηση ίση με d = 20 mm. Οι σταθερές ελατηρίου είναι όλες ίσες με k = 200 kn/m. Σχήμα 3.13: Διάταξη ελατηρίου για λύση. (α) Χρησιμοποιούμε την εξίσωση (3.13) για να εκφράσουμε το μητρώο δυσκαμψίας κάθε στοιχείου ως k (1) = k (2) = k (3) = k (4) = [ 200 ] Χρησιμοποιούμε ξανά υπέρθεση και παίρνουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας ως K = kn (3.45) m (β) Το ολικό μητρώου δυσκαμψίας, (3.45), συνδέει/συσχετίζει τις ολικές δυνά-

26 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ μεις με τις ολικές μετακινήσεις, όπως παρακάτω: F 1x F 2x F 3x = F 4x F 5x d 1x d 2x d 3x d 4x d 5x (3.46) Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 5x = 20 mm (= 0.02 m), αντικαθιστώντας τις γνωστές ολικές δυνάμεις F 2x = 0, F 3x = 0, και F 4x = 0, και τμηματοποιώντας τις πρώτες και τις πέμπτες εξισώσεις της (3.46) αντιστοιχίζοντας αυτές τις οριακές συνθήκες, παίρνουμε = d 2x d 3x d 4x 0.02m (3.47) Ξαναγράφουμε την (3.47), μεταφέροντας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης τον φορτιστικό όρο που προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του κατάλληλου συντελεστή δυσκαμψίας ( 200) με τη γνωστή μετακίνηση (0.02m) kN = Λύνοντας την (3.48), παίρνουμε: d 2x d 3x d 4x d 2x = 0.005m, d 3x = 0.01m, d 4x = 0.015m. (3.48) (γ) Οι ολικές επικόμβιες δυνάμεις υπολογίζονται με την αντικατάσταση των γνωστών πλέον μετακινήσεων d 2x, d 3x και d 4x στην (3.46). Αυτή η αντικατάσταση μας δίνει: F 1x = ( 200)(0.005) = 1.0kN, F 2x = (400)(0.005) (200)(0.01) = 0, F 3x = ( 200)(0.005) + (400)(0.01) (200)(0.015) = 0, F 4x = (200)(0.01) + (400)(0.015) (200)(0.02) = 0, F 5x = (200)(0.015) + (200)(0.02) = 1.0kN (3.49)

27 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 85 Τα αποτελέσματα των εξισώσεων (3.49) αναφέρουν την αντίδραση F 1x αντίθετη από την επικόμβια δύναμη F 5x που απαιτείται για να αντικαταστήσει τον κόμβο 5 για d = 20 mm. Αυτό το αποτέλεσμα αποδεικνύει την ισορροπία όλου του συστήματος των ελατηρίων. (δ) Στη συνέχεια, κάνουμε χρήση του τοπικού ελατηρίου (3.12) για να αποκτήσουμε τις δυνάμεις σε κάθε στοιχείο. Στοιχείο 1 Ωστόσο αναφέρουμε { ˆf1x } = ˆf 2x [ ] { ˆf 1x = 1.0kN, ˆf2x = 1.0kN. (3.50) } Στοιχείο 2 Ωστόσο { ˆf2x } = ˆf 3x [ ] { ˆf 2x = 1kN, ˆf3x = 1kN. (3.51) } Στοιχείο 3 { ˆf3x } = ˆf 4x Απλοποιώντας την εξίσωση έχουμε [ ] { ˆf 3x = 1kN, ˆf4x = 1kN. (3.52) } Στοιχείο 4 { ˆf4x } = ˆf 5x Απλοποιώντας την εξίσωση έχουμε [ ] { ˆf 4x = 1kN, ˆf5x = 1kN. (3.53) Μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος για κάθε κόμβο και στοιχείο και να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα των εξισώσεων (3.49) (3.53) για να επαληθεύσουμε την ισορροπία κάθε κόμβου και στοιχείου. }

28 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τέλος, ως ανασκόπηση των βασικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στο παρόν κεφάλαιο, δίνεται η λύση στο πρόβλημα που ακολουθεί. Παράδειγμα (α) Χρησιμοποιώντας την ιδέα που παρουσιάστηκε πριν στην Ενότητα 2.3 ([8]) για το σύστημα των γραμμικών ελαστικών ελατηρίων που φαίνονται στο Σχήμα 3.14, να εκφράσετε τις συνοριακές συνθήκες, τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων ή συνέχειας, σύμφωνα με την (3.16), και τις συνθήκες ισορροπίας κόμβων, σύμφωνα με τις (3.17) (3.19). Στη συνέχεια να διατυπώσετε το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και τις εξισώσεις ισορροπίας ως προς τις άγνωστες μετακινήσεις και δυνάμεις. Η σταθερά του ελατηρίου για τα στοιχεία είναι k 1, k 2, και k 3. P είναι η δύναμη που εφαρμόζεται στον κόμβο 2. β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δυσκαμψίας διατυπώστε και πάλι το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και τις εξισώσεις όπως στο α) ερώτημα. k 2 k 1 2 P 2 3 x 1 1 Άκαμπτη ράβδος k 3 4 Σχήμα 3.14: Διάταξη ελατηρίων προς επίλυση. (α) Οι συνοριακές συνθήκες είναι d 1x = 0, d 3x = 0, d 4x = 0. (3.54) Η συνθήκη συμβιβαστού στον κόμβο 2 δίνεται ως d (1) 2x = d (2) 2x = d (3) (2x) = d 2x. (3.55)

29 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 87 Οι εξισώσεις ισορροπίας κόμβων είναι F 1x = f (1) 1x, P = f (1) 2x + f (2) 2x + f (3) 2x, F 3x = f (2) 3x, F 4x = f (3) 4x (3.56) όπου χρησιμοποιήθηκε για την κατάστρωση της εξίσωσης (3.56) το πρόσημο για τις θετικές κομβικές δυνάμεις των στοιχείων, με βάση το Σχήμα 3.1. Στο Σχήμα 3.15 δίνεται, το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου και οι κομβικές δυνάμεις. Χρησιμοποιώντας το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας, (3.12) κάθε στοι- Σχήμα 3.15: (1) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα χείου και τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων, (3.55), παίρνουμε τις τοπικές ή ολικές εξισώσεις ισορροπίας ως F 1x = k 1 d 1x k 1 d 2x, P = k 1 d 1x + k 1 d 2x + k 2 d 3x + k 3 d 2x k 3 d 4x, (3.57) F 3x = k 2 d 2x + k 2 d 3x, F 4x = k 3 d 2x + k 3 d 4x

30 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.16: (2) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα Σχήμα 3.17: (3) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα Σε μητρωική μορφή, (3.57) δίνονται ως F 1x P F 3x F 4x k 1 k = k 1 k 1 + k 2 + k 3 k 2 k 3 0 k 2 k k 3 0 k 3 d 1x d 2x d 3x d 4x (3.58)

31 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 89 Ως εκ τούτου, το ολικό μητρώο δυσκαμψίας είναι το τετράγωνο, συμμετρικό μητρώο στο δεξί μέλος της (3.58). Με χρήση των συνοριακών συνθηκών, (3.54), και θεωρώντας τη δεύτερη εξίσωση από τις (3.57) ή (3.58), επιλύουμε ως προς d 2x P d 2x =. k 1 + k 2 + k 3 Μπορούσαμε να είχαμε εξασφαλίσει το ίδιο αποτέλεσμα με τη διαγραφή των γραμμών 1, 3 και 4 στα F και d μητρώα και των γραμμών και στηλών 1, 3 και 4 στον K, που αντιστοιχούν σε μηδενική μετακίνηση, όπως περιγράφηκε στην Ενότητα 2.4, και στη συνέχεια λύνοντας το σύστημα για d 2x. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις g (3.56), λύνουμε για τις καθολικές δυνάμεις ως F 1x = k 1 d 2x, F 3x = k 2 d 2x, F 4x = k 3 d 2x. Οι δυνάμεις μπορούν να ερμηνευτούν ως οι καθολικές δυνάμεις σ αυτό το παράδειγμα. Τα αρνητικά πρόσημα σ αυτές τις δυνάμεις δείχνουν ότι έχουν κατεύθυνση προς τα αριστερά (αντίθετα του άξονα x). (β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας σχηματίζουμε το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας. Πρώτα χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.13), εκφράζουμε το κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου ως: [ d 1x d] 2x [ d 2x d 3x ] d[ 2x d 4x ] k (1) k1 k = 1, k k 1 k (2) k2 k = 2, k 1 k 2 k (1) k3 k = 3 2 k 3 k 3 όπου οι συγκεκριμένοι βαθμοί ελευθερίας που συνδέονται με το κάθε στοιχείο παρατίθενται στις στήλες πάνω από κάθε μητρώο. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας όπως περιγράφεται στην Ενότητα προσθέτουμε όρους από κάθε μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου στην κατάλληλη αντίστοιχη γραμμή και στήλη στο καθολικό μητρώο. Λύνουμε για να πάρουμε d 1x d 2x d 3x d 4x k 1 k K= k 1 k 1 + k 2 + k 3 k 2 k 3 0 k 2 k k 3 0 k 3 Παρατηρούμε ότι κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου k προστέθηκε στη θέση στο καθολικό K αντίστοιχα στο πανομοιότυπο βαθμό ελευθερίας, συνδυασμένο με το στοιχείο k. Για παράδειγμα, το στοιχείο 3, είναι συνδυασμένο με τους βαθμούς ελευθερίας d 2x και d 4x ; ως εκ τούτου, προστέθηκε στις 2-2,

32 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2-4, 4-2 και 4-4 θέσεις του K όπως φαίνεται στην εξίσωση για K από τους όρους του k 3. Έχοντας συρράψει το K μέσω της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας, έπειτα φτιάχνουμε τις καθολικές εξισώσεις με τον συνηθισμένο τρόπο κάνοντας χρήση της γενικής εξίσωσης (3.1.2), F = Kd. Αυτές οι εξισώσεις είχαν προηγουμένως ληφθεί από την εξίσωση (3.58) και ως εκ τούτου δεν επαναλαμβάνονται. 3.2 Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας για την δημιουργία εξισώσεων στοιχείου ελατηρίου Μία απ τις εναλλακτικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία των εξισώσεων του στοιχείου και του μητρώου δυσκαμψίας για ένα στοιχείο βασίζεται στην αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. (Η χρήση αυτής της αρχής στη δομική μηχανική περιγράφεται πλήρως στην Αναφορά??.) Αυτή η μέθοδος έχει το πλεονέκτημα ότι είναι πιο γενική από τη μέθοδο της Ενότητας 3.1, η οποία περιλαμβάνει εξισώσεις ισορροπίας κόμβων και στοιχείων μαζί με το νόμο τάσεων/παραμορφώσεων για το στοιχείο. Έτσι η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας είναι περισσότερο προσαρμοσμένη στον προσδιορισμό των εξισώσεων του στοιχείου για περίπλοκα στοιχεία (αυτά με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας), όπως η επίπεδη παραμόρφωση/τάση του στοιχείου, η αξονοσυμμετρική παραμόρφωση στοιχείου, η κάμψη λεπτού επιπέδου στοιχείου και η τρισδιάστατη στερεή τάση στοιχείου. Ξανά, αναφέρουμε ότι η αρχή των δυνατών έργων είναι εφαρμόσιμη για κάθε συμπεριφορά υλικού. Όμως, και οι δύο αρχές χρησιμοποιούν τις ίδιες εξισώσεις στοιχείου για γραμμικά-ελαστικά υλικά τα οποία είναι το μόνο είδος που εξετάζεται σ αυτό το κείμενο. Επιπλέον, η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας, συμπεριλαμβάνεται στη γενική κατηγορία, των μεθόδων μεταβολών (όπως η αρχή των δυνατών έργων), οδηγεί σε άλλες συναρτήσεις μεταβολών (ή συναρτησιακά) όμοιες της δυναμικής ενέργειας, οι οποίες μπορούν να διατυπώνονται για άλλες κατηγορίες προβλημάτων, κυρίως μη δομικού τύπου. Αυτά τα άλλα προβλήματα είναι γενικώς κατηγοριοποιημένα ως προβλήματα πεδίου που περιέχουν, μεταξύ άλλων, στρέψη ράβδων, μετάδοση θερμότητας, ροή ρευστών και ηλεκτρικό δυναμικό. Ακόμη άλλες κατηγορίες προβλημάτων, για τα οποία μια διατύπωση με την μέθοδο μεταβολών δεν είναι ξεκάθαρα σαφής, μπορεί να εκφραστεί από σταθμισμένες υπολειμματικές μεθόδους. (Για περισσότερες πληροφορίες πάνω στις σταθμικές υπολογιστικές μεθόδους, επίσης συμβουλευτείτε στην βιβλιογραφία

33 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 91 αυτού του κεφαλαίου.) Εδώ παρουσιάζουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας όπως χρησιμοποιείται για τη δημιουργία των εξισώσεων ισορροπίας του στοιχείου ελατηρίου. Θα παρουσιάσουμε αυτή την ιδέα εφαρμόζοντάς τη στο απλούστερο των στοιχείων έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι τότε πιο άνετος όταν τη χρησιμοποιεί για πιο πολύπλοκους τύπους στοιχείων στα μετέπειτα κεφάλαια. Η ολική δυναμική ενέργεια π p μιας δομής εκφράζεται με όρους μετακινήσεων. Στη διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων, αυτά θα είναι γενικώς επικόμβιες μετακινήσεις όπως π p = π p (d 1, d 2,..., d n ). ). Όταν το π p ελαχιστοποιείται βάσει αυτών των μετακινήσεων, προκύπτουν εξισώσεις ισορροπίας. Για το στοιχείο ελατηρίου, θα δείξουμε ότι προκύπτουν οι ίδιες επικόμβιες εξισώσεις ισορροπίας ˆk ˆd = ˆf όπως στην Ενότητα 3.1. Ορίζουμε, πρώτα, την αρχή ελάχιστης δυναμικής ενέργειας ακολούθως: Από όλες τις γεωμετρικές μορφές που ένα σώμα μπορεί να πάρει, η πραγματική προκύπτει, από την ικανοποίηση της σταθερής ισορροπίας του σώματος και προσδιορίζεται από μια ελάχιστη τιμή της συνολικής δυναμικής ενέργειας. Για να εξηγήσουμε αυτή την αρχή, πρέπει πρώτα να εξηγήσουμε τις έννοιες της δυναμικής ενέργειας της σταθερής τιμής μιας συνάρτησης. Τώρα θα συζητήσουμε αυτές τις δύο έννοιες. Η συνολική δυναμική ενέργεια ορίζεται ως το άθροισμα της ενέργειας εσωτερικής παραμόρφωσης U και της δυναμικής ενέργειας των εξωτερικών δυνάμεων Ω: π p = U + Ω. (3.59) H ενέργεια παραμόρφωσης είναι η ενέργεια που αναπτύσσεται λόγω των εσωτερικών δυνάμεων που δημιουργούν παραμόρφωση στη δομή ενός σώματος, ενώ Ω είναι η ενέργεια που αναπτύσσεται λόγω εξωτερικών δυνάμεων όπως οι δυνάμεις του σώματος, επιφανειακές δυνάμεις έλξης και οι εξωτερικά εφαρμοσμένες επικόμβιες δυνάμεις. Θυμηθείτε ότι ένα γραμμικό ελατήριο έχει δύναμη που σχετίζεται με την παραμόρφωση μέσω της F = kx, όπου k η σταθερά του ελατηρίου και x η παραμόρφωση του ελατηρίου (Σχήμα 3.18). Το διαφορικό εσωτερικό έργο (ή ενέργεια παραμόρφωσης) du στο ελατήριο για μικρή μεταβολή στο μήκος είναι η εσωτερική δύναμη πολλαπλασιασμένη με τη μεταβολή της μετακίνησης μέσω της οποίας η δύναμη κινεί. Δίνεται ως du = F dx (3.60)

34 92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τώρα εκφράζουμε τη F ως F = kx (3.61) Χρησιμοποιώντας την (3.61) στην (3.60), βρίσκουμε ότι η διαφορική ενέργεια παραμόρφωσης γίνεται du = kxdx Η συνολική ενέργεια παραμόρφωσης δίνεται από Σχήμα 3.18: Η καμπύλη δύναμης/ παραμόρφωσης για το γραμμικό ελατήριο. U = Μέσω ολοκλήρωσης της (3.62), έχουμε x 0 kxdx (3.62) Χρησιμοποιώντας την (3.61) στην (3.63), έχουμε U = 1 2 kx2 (3.63) U = 1 2 (kx)x = 1 2 F x (3.64) Η εξίσωση (3.64) δείχνει ότι η ενέργεια παραμόρφωσης είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη δύναμης παραμόρφωσης. Η δυναμική ενέργεια της εξωτερικής δύναμης είναι αντίθετη σε πρόσημο από την εξωτερική δύναμη, και δίνεται ως: Ω = F x (3.65)

35 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 93 Ως εκ τούτου, αντικαθιστώντας τις (3.63) και (3.65) στην (3.154), παίρνουμε την ολική δυναμική ενέργεια ως π p = 1 2 kx2 F x. (3.66) Η έννοια της σταθερής τιμής μιας συνάρτησης G (χρησιμοποιήθηκε στον ορισμό της αρχής της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας) φαίνεται στο Σχήμα Εδώ το G εκφράζεται ως μια συνάρτηση μεταβλητής x. Η σταθερή τιμή μπορεί να είναι ένα μέγιστο, ένα ελάχιστο ή ένα ουδέτερο σημείο της G(x). Για να βρούμε μια τιμή του x παίρνοντας μια σταθερή τιμή του G(x), χρησιμοποιούμε διαφορικό λογισμό για να παραγωγήσουμε την G ως προς x και εξισώνουμε την έκφραση με το μηδέν, όπως ακολουθεί dg = 0. (3.67) dx Μια ανάλογη διαδικασία θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για την αντικατάσταση της G με την π p και x με διακριτικές τιμές (επικόμβιες μετακινήσεις) d i, αφού καταλάβαμε τη χρήση αυτού του λογισμού (βλ. Αναφορά [8]) του π p (ορισμένη με δπ p, όπου δ δηλώνει αυθαίρετη μεταβολή ή διακύμανση) για την ελαχιστοποίηση του π p. Όμως, θα αποφύγουμε τις λεπτομέρειες του λογισμού της διακύμανσης και θα δείξουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον οικείο διαφορικό λογισμό για να πραγματοποιήσουμε την ελαχιστοποίηση του π p. Για να εφαρμόσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας- δηλαδή να ελαχιστοποιήσουμε το π p παίρνουμε τη διακύμανση του π p, η οποία είναι μια συνάρτηση επικόμβιων μετακινήσεων d i oρισμένων γενικά ως: δπ p = π p d 1 δd 1 + π p d 2 δd π p d n δd n. (3.68) Η αρχή αναφέρει ότι η ισορροπία υπάρχει όταν το d i ορίζει μια δομική κατάσταση όπως αυτή της δπ p = 0 (μεταβολή της δυναμικής ενέργειας = 0), για αυθαίρετες αποδεκτές διακυμάνσεις στη μετακίνηση δd i από την κατάσταση ισορροπίας. Μια αποδεκτή διακύμανση είναι αυτή, στην οποία το πεδίο μετακίνησης ακόμα ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες και τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων (ή συνέχειας των στοιχείων). Το Σχήμα 3.20 δίνει την υποθετική πραγματική αξονική μετακίνηση και μια παραδοχή για ένα ελατήριο με συγκεκριμένες συνοριακές μετακινήσεις û 1 και û 2. Εδώ δû αναπαριστά τη διακύμανση στο û. Στη γενική διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων δû αντικαθίσταται από το δ ˆd i. Αυτό υπονοεί ότι κάθε δd i μπορεί να είναι μη μηδενικό. Ως εκ τούτου, για την ικανοποίηση του δπ p = 0, όλοι οι συντελεστές των

36 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.19: Η σταθερή τιμή μιας συνάρτησης. Σχήμα 3.20: Πραγματική και δυνατών μετακινήσεων συνάρτηση.

37 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 95 δ ˆd i πρέπει να είναι ανεξάρτητοι του μηδενός. Έτσι, π p d i = 0 (i = 1, 2, 3,..., n) or π p d = 0, (3.69) όπου πρέπει να λυθούν n εξισώσεις για τις n τιμές του d i που ορίζουν τη στατική κατάσταση ισορροπίας της δομής. Η εξίσωση (3.69) δείχνει ότι για τους σκοπούς μας σε όλο το κείμενο, μπορούμε να ερμηνεύσουμε τη διακύμανση του π p ως μια παραγώγιση του π p ως προς τις άγνωστες επικόμβιες μετακινήσεις για τις οποίες το π p εκφράζεται. Για γραμμικά ελαστικά υλικά σε ισορροπία, το γεγονός ότι το π p είναι ένα ελάχιστο φαίνεται για παράδειγμα, στην Αναφορά [4]. Πριν συζητήσουμε τη διατύπωση των εξισώσεων του στοιχείου ελατηρίου παρουσιάζουμε την έννοια της αρχής της ελαχίστης δυναμικής ενέργειας αναλύοντας ένα ελατήριο, με ένα μόνο βαθμό ελευθερίας και του εφαρμόζεται μία δύναμη, όπως δίνεται στο παράδειγμα Σ αυτό το παράδειγμα θα δείξουμε ότι η θέση του ελατηρίου συνδέεται με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια. Παράδειγμα Για το γραμμικό-ελαστικό ελατήριο που του ασκείται μια δύναμη των 1000 N όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.21, υπολογίστε την δυναμική ενέργεια για διάφορες τιμές μετακίνησης και δείξτε ότι η ελάχιστη δυναμική ενέργεια επίσης ανταποκρίνεται στη θέση ισορροπίας του ελατηρίου. Υπολογίζουμε τη συνολική δυναμική ενέργεια ως π p = U + Ω, όπου U = 1 (kx)x και Ω = F x. 2 Τώρα παρουσιάζουμε την ελαχιστοποίηση του π p μέσω συνηθισμένων μαθηματικών. Παίρνοντας τη διακύμανση του π p ως προς το x, ή ισοδύναμα, παίρνοντας την παράγωγο του π p ως προς x (ως π p θεωρούμε μια συνάρτηση μιας μόνο μετακίνησης x), όπως στις εξισώσεις (3.68) και (3.69), έχουμε δπ p = π p δx = 0, x ή επειδή το δx είναι αυθαίρετο και μπορεί να μην είναι μηδέν π p x = 0.

38 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ F F k = 500 x k x Σχήμα 3.21: Ελατήριο υποβάλλεται στη δύναμη F που περιγράφεται από την καμπύλη φόρτισης/παραμόρφωσης. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη έκφραση για το π p, παίρνουμε ή π p x = 500x 1000 = 0 x = 2.00 cm. Αυτή τη τιμή του x τη βάζουμε στο π p για να πάρουμε π p = 250(2) (2) = 1000 N-cm, το οποίο αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυναμική ενέργεια που έχει ληφθεί στον Πίνακα 3.1. Εδώ το U = (1/2)(kx)x είναι η ενέργεια παραμόρφωσης ή περιοχή κάτω από την καμπύλη φορτίου/μετακίνησης όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.21, και το Ω = F x είναι η δυναμική ενέργεια του φορτίου F. Για τις τιμές του F και k, έχουμε π p = 1 2 (500)x2 1000x = 250x x. Τώρα ψάχνουμε την ελάχιστη τιμή του π p για διάφορες τιμές x παραμόρφωσης ελατηρίου. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 3.1. Ένα γράφημα του π p ως προς το x παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.22, όπου παρατηρούμε ότι το π p έχει

39 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 97 ελάχιστη τιμή το x = 2.00 cm. Αυτή η παραμορφωμένη θέση επίσης αντιστοιχεί σε θέση ισορροπίας, επειδή ( π p / x) = 500(2) 1000 = 0. Τώρα δημιουργούμε τις εξισώσεις για το στοιχείο ελατηρίου και το μητρώο δυσκαμψίας χρησιμοποιώντας την αρχή της ελαχίστης ενέργειας. Θεωρείστε ότι στο γραμμικό ελατήριο ασκούνται επικόμβιες δυνάμεις. Χρησιμοποιώντας την (3.66) προκύπτει ότι η συνολική δυναμική ενέργεια είναι π p = 1 2 k( ˆd 2x ˆd 1x ) 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x, (3.70) όπου ˆd 2x = ˆd 1x είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου στην (3.66). Ο πρώτος όρος στα δεξιά (3.70) είναι η ενέργεια παραμόρφωσης στο ελατήριο. Απλοποιώντας την (3.70), παίρνουμε π p = 1 2 k( ˆd 2 2x 2 ˆd 1x ˆd2x + ˆd 2 1x) 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x. Στη συνέχεια η ελαχιστοποιήση του π p ως προς κάθε επικόμβια μετακίνηση Παραμόρφωση Συνολική Δυνάμικη Ενέργεια x, cm. π p, N-cm Πίνακας 3.1: Συνολική δυναμική ενέργεια για διάφορες παραμορφώσεις του ελατηρίου. είναι π p ˆd 1x = 1 2 k( 2 ˆd 2x + 2 ˆd 1x ) ˆf 1x = 0, π p ˆd 2x = 1 2 k(2 ˆd 2x 2 ˆd 1x ) ˆf 2x = 0. (3.71)

40 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.22: Μεταβολή δυναμικής ενέργειας παραμόρφωσης του ελατηρίου.

41 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 99 Απλοποιώντας τις (3.71), έχουμε k( ˆd 2x + ˆd 1x ) = ˆf 1x k( ˆd 2x ˆd 1x ) = ˆf 2x. Σε μητρωική μορφή εκφράζουμε την (3.72) ως [ ] { } k k ˆd1x = k k ˆd 2x { ˆf1x (3.72) ˆf 2x }. (3.73) Επειδή {f} = [k]{d}, έχουμε το μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου που έχει ληφθεί από την (3.73): [ ] k k [ˆk] =. (3.74) k k Όπως αναμένεται, η (3.74) είναι πανομοιότυπη του μητρώου δυσκαμψίας που λήφθηκε στην Ενότητα 3.1. Θεωρήσαμε την ισορροπία ενός μόνου στοιχείου ελατηρίου ελαχιστοποιώντας τη συνολική δυναμική ενέργεια ως προς τις επικόμβιες μετακινήσεις (δες Παράδειγμα 3.2.1). Επίσης, αναπτύξαμε τις εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων για το στοιχείο ελατηρίου ελαχιστοποιώντας τη συνολική δυναμική ενέργεια ως προς τις επικόμβιες μετακινήσεις. Τώρα δείχνουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια μιας ολόκληρης δομής (εδώ διάταξη από στοιχεία ελατηρίου) μπορεί να ελαχιστοποιηθεί ως προς κάθε επικόμβιο βαθμό ελευθερίας και ότι τα αποτελέσματα της ελαχιστοποίησης οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν για τη λύση με τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας. Παράδειγμα Πάρτε τη συνολική δυναμική ενέργεια της διάταξης ελατηρίου στο Παράδειγμα και βρείτε την ελάχιστη τιμή της. Η διαδικασία κατάστρωσης των εξισώσεων στοιχείου μπορούν να ληφθούν από την ελαχιστοποίηση της συνολικής δυναμικής ενέργειας. Χρησιμοποιώντας την (3.67) για κάθε στοιχείο της διάταξης ελατηρίου, βρίσκουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια δίνεται από π p = 3 e=1 π (e) p = 1 2 k 1(d 3x d 1x ) 2 f (1) 1x d 1x f (1) 3x d 3x k 2(d 4x d 3x ) 2 f (2) 3x d 3x f (2) 4x d 4x k 3(d 2x d 4x ) 2 f (2) 4x d 4x f (2) 4x d 2x.

42 100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ελαχιστοποιώντας το π p ως προς κάθε επικόμβια μετακίνηση παίρνουμε π p = k 1 d 3x + k 1 d 1x f (1) 1x = 0 d 1x π p = k 3 d 2x + k 3 d 4x f (3) 2x = 0 d 2x π p = k 1 d 3x k 1 d 1x k 2 d 4x + k 2x d 3x f (1) 3x f (2) 3x = 0 d 3x π p = k 2 d 4x + k 2 d 3x k 3 d 2x + k 3 d 4x f (2) 4x f (3) 4x = 0 d 4x (3.75) Σε μητρωική μορφή οι εξισώσεις, (3.75) γίνονται k 1 0 k k 3 0 k 3 k 1 0 k 1 + k 2 k 2 0 k 3 k 2 k 2 + k 3 d 1x d 2x d 3x d 4x = f (1) 1x f (3) 2x f (1) 3x + f (2) 3x f (2) 4x + f (3) 4x (3.76) Χρησιμοποιώντας ισορροπία επικόμβιων δυνάμεων όμοια με τις (3.17) (3.19), έχουμε f (1) 1x = F 1x = F 2x = F 3x 4x = F 4x. f (3) 2x f (1) 3x + f (2) 3x f (2) 4x + f (3) (3.77) Χρησιμοποιώντας τις (3.77) στην (3.76) και αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές για k 1 ; k 2, και k 3, παίρνουμε d 1x d 2x d 3x d 4x = F 1x F 2x F 3x F 4x (3.78) Η εξίσωση (3.78) είναι παρόμοια με την (3.74), η οποία λήφθηκε μέσω της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας. Οι συρραμμένες εξισώσεις (3.78) λαμβάνονται τότε από την ελαχιστοποίηση της δυναμικής ενέργειας. Όταν εφαρμόζουμε τις συνοριακές συνθήκες και αντικαθιστούμε την F 3x = 0 και F 4x = 5000 N στην (3.78), η λύση είναι όμοια με αυτήν του Παραδείγματος

43 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Κατάστρωση εξισώσεων ισορροπίας Έχοντας θέσει τις βάσεις στις οποίες βασίζεται η μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας, θα εξάγουμε το μητρώο δυσκαμψίας για μια γραμμική-ελαστική ράβδο (ή στήριγμα) χρησιμοποιώντας τις γενικές αρχές που υπογραμμίστηκαν στο Κεφ.1. Θα συμπεριλάβουμε την εισαγωγή ενός τοπικού συστήματος συντεταγμένων, επιλεγμένου με βάση το στοιχείο, και ένα καθολικό ή σύστημα συντεταγμένων αναφοράς, επιλεγμένο ώστε να είναι συμβατό (για αριθμητική ευκολία) με τη δομή της κατασκευής. Θα ασχοληθούμε επίσης με τη μετατροπή ενός διανύσματος από το τοπικό σύστημα συντεταγμένων στο καθολικό με τη χρήση της έννοιας των μητρώων μετασχηματισμού για την έκφραση του μητρώου ακαμψίας για ένα αυθαίρετα προσανατολισμένο στοιχείο ράβδου στο πλαίσιο του καθολικού συστήματος συντεταγμένων. Θα λύσουμε τρία παραδείγματα επίπεδων προβλημάτων στήριξης, ώστε να γίνει κατανοητή η διαδικασία δημιουργίας ολικού μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεων για τη λύση μιας κατασκευής. Στη συνέχεια θα επεκτείνουμε τη μέθοδο δυσκαμψίας ώστε να συμπεριλάβουμε τα χωροδικτυώματα. Θα αναπτύξουμε το μητρώο μετασχηματισμού στον τρισδιάστατο χώρο και θα αναλύσουμε δισδιάστατες στηρίξεις. Έπειτα θα περιγράψουμε την έννοια της συμμετρίας και της χρήσης της για τη μείωση του όγκου ενός προβλήματος και τη διευκόλυνση της λύσης του. Θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα προβλήματος στήριξης για να επεξηγήσουμε την έννοια και στη συνέχεια θα περιγράψουμε το πώς χειριζόμαστε κεκλιμένες και λοξές στηρίξεις. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας και θα την εφαρμόσουμε για να αντλήσουμε ξανά τις εξισώσεις στοιχείου της ράβδου. Κατόπιν θα συγκρίνουμε μια πεπερασμένη λύση στοιχείου με μια ακριβή λύση για μια ράβδο που υποβάλλεται σε γραμμικά κατανεμημένη μεταβολή φορτίου. Θα δούμε την υπολλειματική μέθοδο Galerkin και θα την εφαρμόσουμε στις εξισώσεις στοιχείων ράβδου. Τέλος θα δούμε άλλες κοινές υπολλειματικές μεθόδους και τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων απλά για να έρθουμε σε επαφή με αυτές τις άλλες μεθόδους. Απεικονίζουμε αυτές τις μεθόδους με την επίλυση ενός προβλήματος μιας ράβδου που υποβάλλεται σε γραμμικά μεταβαλλόμενο φορτίο Δημιουργία μητρώου δυσκαμψίας στοιχείου ράβδου σε τοπικές συντεταγμένες Θα εξετάσουμε τώρα την δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για τη γραμμικήελαστική ράβδο, με διατομή πρισματική σταθερής επιφάνειας στοιχείου ράβδου

44 102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ που φαίνεται στην Σχήμα Η διαδικασία θα είναι άμεσα εφαρμόσιμη στη λύση αρθρωτά συνδεδεμένων δικτυωμάτων. Η ράβδος υποβάλλεται σε δυνάμεις εφελκυσμού κατευθυνόμενες κατά μήκος του τοπικού άξονα της ράβδου και εφαρμόζονται στους κόμβους 1 και 2. Εδώ θα συναντήσουμε δύο συστή- Σχήμα 3.23: Ράβδος που υποβάλλεται σε δυνάμεις εφελκυσμού Τ οι θετικές κατευθύνσεις των κομβικών μετατοπίσεων και δυνάμεων, στη διεύθυνση του τοπικού άξονα x. ματα συντεταγμένων ένα τοπικό (ˆx, ŷ) με το ˆx να κατευθύνεται κατά μήκος της ράβδου και ένα καθολικό (x, y), αν υποθέσουμε ότι ταιριάζει καλύτερα με την όλη δομή. Η σωστή επιλογή καθολικών συστημάτων αποδεικνύεται περίτρανα μέσω της λύσης προβλημάτων στήριξης δύο διαστάσεων όπως απεικονίζεται στις Παραγράφους και 3.5. Και τα δυο συστήματα θα χρησιμοποιηθούν εκτενώς στο κείμενο. Το στοιχείο ράβδου θεωρείται ότι έχει σταθερή διατομή A, μέτρο ελαστικότητας E και αρχικό μήκος L. Οι κομβικοί βαθμοί ελευθερίας είναι τοπικές αξονικές μετατοπίσεις (διαμήκης μετατοπίσεις κατευθύνονται κατά μήκος της ράβδου) που αντιπροσωπεύονται από τα d 1x και d 2x στα άκρα της ράβδου όπως φαίνεται στο Σχήμα Από το νόμο του Hooke και τη σχέση τάσεων/παραμορφώσεων έχουμε: σ x = Eε x, (3.79) ε x = dû dˆx. (3.80)

45 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 103 Από την ισορροπία δυνάμεων έχουμε: Aσ x = T = const (3.81) για μια ράβδο που τα φορτία εφαρμόζονται μόνο στα άκρα. Αντικαθιστώντας την (3.80) στην (3.79) και στη συνέχεια την (3.79) στην (3.81) και λύνοντας ως προς x παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη γραμμική-ελαστική συμπεριφορά της ράβδου. ( d AE dû ) = 0, (3.82) dˆx dˆx Όπου û είναι η συνάρτηση αξονικής μετατόπισης κατά μήκος της ράβδου στην κατεύθυνση του ˆx και A, E είναι γραμμένα σαν να επρόκειτο για τις λειτουργίες του ˆx στη γενική μορφή της διαφορικής εξίσωσης ακόμα και αν τα A, E πρέπει να θεωρούνται σταθερά καθ όλο το μήκος της ράβδου σε αυτά που ακολουθούν. Οι υποθέσεις που ακολουθούν χρησιμοποιούνται για την δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας: Η ράβδος δεν αναπτύσσει διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές, δηλαδή f 1y = 0, f 2y = 0, ˆm 1 = 0 και ˆm 2 = 0. Οποιαδήποτε επίδραση της εγκάρσιας μετατόπισης αγνοείται. Ισχύει ο νόμος του Hooke που συνδέει την αξονική τάση σ x με την αξονική παραμόρφωση ε x ως σ x = ε x. Δεν εφαρμόζονται ενδιάμεσα φορτία. Τα βήματα που ήδη αναφέρθηκαν στην Παράγραφο 3.1 χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας για το στοιχείο ράβδου και στη συνέχεια για την παρουσίαση μιας ολοκληρωμένης λύσης για τη περίπτωση σύνδεση ράβδων. ΒΗΜΑ 1. Επιλέξτε τον τύπο στοιχείου. Ταυτοποιήστε τη ράβδο επισημαίνοντας τους κόμβους σε κάθε άκρο και γενικά επισημαίνοντας τον αριθμό στοιχείου.

46 104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΗΜΑ 2. Επιλέξτε μια συνάρτηση μετατόπισης. Ας υποθέσουμε μια γραμμική μεταβολή μετατόπισης κατά μήκος του άξονα ˆx της ράβδου, επειδή μια γραμμική συνάρτηση με καθορισμένες παραμέτρους έχει μία μοναδική λύση. Αυτές οι καθορισμένες παράμετροι είναι οι κομβικές τιμές d 1x και d 2x. (Περισσότερη συζήτηση σχετικά με την επιλογή της συνάρτησης μετατόπισης παρέχονται στις αναφορές [1-3].) Στη συνέχεια û = a 1 + a 2ˆx (3.83) όπου ο συνολικός αριθμός των συντελεστών a i είναι πάντα ίσος με το συνολικό αριθμό των βαθμών ελευθερίας που σχετίζονται με το στοιχείο. Εδώ ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι δυο αξονικές μετατοπίσεις σε καθένα από τους δύο κόμβους του στοιχείου. Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία όπως για το στοιχείο ελατηρίου, εκφράζουμε την (3.83) ως û = ( ˆd2x ˆd 1x L ) ˆx + ˆd 1x. (3.84) Ο λόγος που μετατρέπουμε τη συνάρτηση μετατόπισης από τη μορφή της (3.83) στην (3.84) είναι ότι μας επιτρέπει να εκφράσουμε την τάση συναρτήσει των κομβικών μετατοπίσεων χρησιμοποιώντας τη σχέση τάσης/παραμόρφωσης που δίνεται από την (3.84) και στη συνέχεια συσχετίζοντας τις κομβικές δυνάμεις με τις κομβικές μετατοπίσεις στο Βήμα 4. Σε μορφή μητρώου, η (3.84) γίνεται { } ˆd1x û = [N 1 N 2 ] ˆd 2x με τις συναρτήσεις του σχήματος να δίνονται από (3.85) N 1 = 1 ˆx L, N 2 = ˆx L. (3.86) Αυτές οι συναρτήσεις σχήματος είναι πανομοιότυπες με εκείνες που πήραμε στο στοιχείο ελατηρίου στην Ενότητα Η συμπεριφορά του και ορισμένες ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων σχήματος περιγράφηκαν στην Ενότητα Η γραμμική συνάρτηση μετατόπισης u (3.84) σχεδιάζεται πάνω από το μήκος του στοιχείου ράβδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.24.

47 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 105 Σχήμα 3.24: Μετατόπιση u, πάνω από το μήκος του στοιχείου. Τοπικό και ολικό σύστημα αναφοράς. ΒΗΜΑ 3. Ορίστε τις σχέσεις παραμόρφωσης (μετατόπισης) και τάσης (παραμόρφωσης). Η σχέση παραμόρφωσης (μετατόπισης) είναι ε x = dû dˆx = ˆd 2x ˆd 1x L (3.87) όπου οι (3.85) και (3.86) χρησιμοποιήθηκαν για να προκύψει η εξίσωση (3.87) και η σχέση τάσης/παραμόρφωσης (3.79). ΒΗΜΑ 4. Αντλήστε το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου και καταστρώστε τις εξισώσεις. Το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου προκύπτει ως εξής. Από τη στοιχειώδη μηχανική έχουμε T = Aσ x. (3.88) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.87) και (3.79) στην (3.88) έχουμε ( ˆd2x T = AE ˆd ) 1x. (3.89) L Ακόμα από το πρόσημο της δύναμης που ασκείται στους κόμβους στο Σχήμα 3.23, ˆf 1x = T. (3.90)

48 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Όταν αντικαθιστούμε την (3.89) στην (3.90) γίνεται ˆf 1x = AE L ( ˆd 1x ˆd 2x ). (3.91) Ομοίως, ˆf 2x = T. (3.92) Αλλιώς από την (3.89) η (3.92) γίνεται ˆf 2x = AE L ( ˆd 1x ˆd 2x ). (3.93) Εκφράζοντας τις (3.91) και (3.93) μαζί σε μορφή μητρώου έχουμε { ˆf1x ˆf 2x } = AE L [ ] { } 1 1 ˆd1x. (3.94) 1 1 ˆd 2x Τώρα, λόγω ˆf = ˆk ˆd έχουμε από την (3.94) ˆk = AE [ ] 1 1. (3.95) L 1 1 Η εξίσωση (3.95) αποτελεί το μητρώο δυσκαμψίας για στοιχείο ράβδου σε τοπικές συντεταγμένες. Στην (3.95) ο λόγος AE/L για ένα στοιχείο ράβδου είναι ανάλογος της σταθεράς ελατηρίου k για ένα στοιχείο ελατηρίου. ΒΗΜΑ 5. Συγκεντρώστε τις εξισώσεις στοιχείου για να λάβετε τις καθολικές ή τοπικές εξισώσεις. Συγκεντρώστε τα μητρώα καθολικής δυσκαμψίας και δύναμης και τις καθολικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας που περιγράφεται στα Παράγραφα για παράδειγμα στήριξης. Αυτό το βήμα ισχύει για δομές που αποτελούνται από περισσότερα από ένα στοιχεία και έχομε K = [K] = N k (e) and F = F = e=1 N f (e). (3.96) e=1 Τώρα όλα τα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας ˆk πρέπει να μετατραπούν σε καθολικά μητρώα στοιχείου k (εκτός αν οι τοπικοί άξονες συμπίπτουν με τους καθολικούς) πριν η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας εφαρμοστεί όπως δείχνεται στην (3.96).

49 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στοιχεία 1 & 2 E = 30 x 10 6 A = x Στοιχεἰο 3 E = 15 x 10 6 A = 2 Σχήμα 3.25: Συναρμογή τριών ράβδων. ΒΗΜΑ 6. Λύστε ως προς τις κομβικές μετατοπίσεις. Προσδιορίστε τις μετατοπίσεις εισάγοντας συνοριακές συνθήκες και ταυτόχρονα λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων, F = kd. ΒΗΜΑ 7. Λύστε ως προς τις δυνάμεις των στοιχείων. Τέλος, προσδιορίστε τα στελέχη και τις τάσεις σε κάθε στοιχείο με αντικατάσταση προς τα πίσω των μετατοπίσεων σε εξισώσεις παρόμοιες με τις (3.87) και (3.79). Θα δείξουμε τώρα τη λύση για ένα μονοδιάστατο πρόβλημα ράβδου. Παράδειγμα Για τη συναρμογή των τριών ράβδων που φαίνονται στο Σχήμα 3.25 υπολογίστε (α) το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας, (β) τη μετατόπιση των κόμβων 2 και 3 και (γ) τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 4. Μια δύναμη 3000 ασκείται στη διεύθυνση του άξονα x στον κόμβο 2. Το μήκος του κάθε στοιχείου είναι 30 cm. Ισχύουν E = N/cm 2 και A = 1cm 2 για τα στοιχεία 1 και 2, και ισχύει E = N/cm 2 και A = 2cm 2 για το στοιχείο 3. Οι κόμβοι 1 και 4 είναι σταθεροί. (α) Χρησιμοποιώντας την (3.95), βρίσκουμε ότι τα μητρώα δυσκαμψίας των

50 108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στοιχείων είναι k (1) = k (2) = (1)(30 [ ] [ ] 106 ) = k (3) = (2)(15 [ ] [ ] 106 ) = (3.97) όπου, πάλι, οι εκθέτες των μητρώων στην (3.97) δείχνουν τον αριθμό του στοιχείου στο οποίο αντιστοιχεί κάθε μητρώο. Συγκεντρώνοντας τα μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων με την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας, παίρνουμε το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας k 1 k K = k 1 k 1 + k 2 k k 2 k 2 + k 3 k k 3 k 3 Συνεπώς αντικαθιστώντας τις τιμές έχουμε K = (3.98) Εφόσον F 1x = F 2x = F 3x = F 4x = (1) ˆf 1x, (1) ˆf 2x + (2) ˆf 3x + (3) ˆf 4x (2) ˆf 2x, ˆf (3) 3x, η εξίσωση (3.98) συνδέει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις ως εξής: F 1x d 1x F 2x = d 2x F 3x (3.99) d 3x F 4x d 4x

51 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 109 Επικαλούμενοι τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε d 1x = 0, d 4x = 0. (3.100) Χρησιμοποιώντας τις συνοριακές συνθήκες, αντικαθιστώντας γνωστές εφαρμοσμένες καθολικές δυνάμεις στην εξίσωση (3.99), και διαχωρίζοντας τις εξισώσεις 1 και 4 από την (3.99), λύνουμε τις εξισώσεις 2 και 3 της (3.99) για να πάρουμε { } [ ] { 2 1 = 10 6 d2x 1 1 d 3x Λύνοντας την (3.101) προκύπτουν οι τιμές των μετατοπίσεων }. (3.101) d 2x = 0.002, d 3x = (3.102) Στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις (3.100) και (3.102) στην (3.99), θα πάρουμε τις καθολικές κομβικές δυνάμεις, οι οποίες περιλαμβάνουν τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 4, ως εξής: Συνεπώς F 1x F 2x F 3x F 4x = F 1x F 2x F 3x F 4x = (3.103) Τα αποτελέσματα των (3.103) δείχνουν ότι το σύνολο των αντιδράσεων F 1x και F 4x είναι ίσες σε μέγεθος αλλά με αντίθετη κατεύθυνση στην εφαρμοζόμενη κομβική δύναμη 3000 Ν στον κόμβο 2. Έτσι επαληθεύεται η ισορροπία στη συναρμογή των ράβδων. Επιπλέον οι (3.103) δείχνουν ότι F 2x = 3000 και F 3x = 0 είναι απλά οι δυνάμεις που εφαρμόζονται στους κόμβους 2 και 3, αντίστοιχα, πράγμα που ενισχύει ακόμα περισσότερο την ορθότητα της λύσης Επιλογή των προσεγγιστικών συναρτήσεων για μετατοπίσεις Ακολουθείστε τις παρακάτω οδηγίες, καθώς έχουν σχέση με το στοιχείο ράβδου μιας διάστασης, κατά την επιλογή συνάρτησης μετατόπισης.

52 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Οι κοινές συναρτήσεις προσέγγισης είναι συνήθως πολυώνυμα όπως το απλούστερο όλων που δείχνει τη γραμμική μεταβολή της μετατόπισης και δίνεται στην (3.83) ή εναλλακτικά στην (3.85), όπου η συνάρτηση εκφράζεται σε όρους συνάρτησης σχήματος. Η προσεγγιστική λειτουργία πρέπει να είναι συνεχής μέσα στο στοιχείο ράβδου. Η απλή γραμμική εξίσωση για το u της (3.83) σίγουρα είναι συνεχής μέσα στο στοιχείο. Ως συνέπεια, η γραμμική συνάρτηση αποδίδει συνεχείς τιμές του u μέσα στο στοιχείο και αποτρέπει ανοίγματα, επικαλύψεις και υπερπηδήσεις λόγω της συνεχούς και ομαλής μεταβολής στο u. Η προσεγγιστική συνάρτηση θα πρέπει να παρέχει μεταξύ των στοιχείων συνέχεια για όλους τους βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο για διακριτά στοιχεία γραμμής και κατά μήκος των κοινών οριακών γραμμών και επιφανειών για δισδιάστατα και τρισδιάστατα στοιχεία. Για το στοιχείο ράβδου, πρέπει να διασφαλίσουμε ότι οι κόμβοι ταυτίζονται σε δύο ή περισσότερα στοιχεία και παραμένουν κοινοί σε αυτά τα στοιχεία κατά την παραμόρφωση και έτσι να αποφευχθούν επικαλύψεις ή κενά μεταξύ των στοιχείων. Για παράδειγμα, παρατηρείστε τη συναρμογή των δύο ράβδων που φαίνεται στο Σχήμα Για τη συναρμογή δύο ράβδων, η γραμμική λειτουργία για το û (3.84) μέσα σε κάθε στοιχείο θα διασφαλίσει ότι τα στοιχεία 1 και 2 παραμένουν συνδεδεμένα η μετατόπιση στον κόμβο 2 για το στοιχείο 1 θα ισοδυναμεί με τη μετατόπιση στον ίδιο (1) (2) τον κόμβο 2 για το στοιχείο 2 αυτό είναι ˆd 2x = ˆd 2x. Η γραμμική συνάρτηση σε αυτή την περίπτωση καλείται σύμφωνη ή συμβατή λειτουργία για στοιχείο ράβδου, επειδή διασφαλίζει την ικανοποίηση τόσο της συνέχειας μεταξύ γειτονικών στοιχείων, όσο και της εντός του στοιχείου. Γενικά, το σύμβολο C m χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη συνέχεια ενός τμηματικού πεδίου (όπως μια αξονική μετατόπιση), όπου ο εκθέτης m δείχνει το βαθμό της παραγώγου που είναι μεταξύ των στοιχείων συνεχής. Ένα πεδίο είναι C 0 συνεχές εάν η συνάρτηση από μόνη της είναι μεταξύ των στοιχείων συνεχής. Για παράδειγμα, για το μεταβλητό πεδίο είναι η αξονική μετατόπιση που απεικονίζεται στο Σχήμα 3.26, η μετατόπιση είναι συνεχής κατά μήκος του κοινού κόμβου 2. Ως εκ τούτου το πεδίο μετατόπισης λέγεται ότι είναι C 0 συνεχές. Στοιχεία ράβδου, επίπεδα στοιχεία και στερεά στοιχεία είναι C 0, στοιχεία που επιβάλλουν τη συνέχεια της μετατόπισης κατά μήκος κοινών συνόρων. Εάν η συνάρτηση έχει ταυτοχρόνως μεταβλητό πεδίο και η πρώτη της παράγωγο συνεχής

53 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 111 u 1 = ˆd 2x ˆd 1x L ˆx + ˆd 1x u 2 = ˆd 3x ˆd 2x ˆx + ˆd L 2x ˆd (1) 1x ˆd (1) 2x ˆd (2) 2x 1 2 ˆd (2) 3x 1 L 2 L 3 ˆx Σχήμα 3.26: Συνέχεια μεταξύ των στοιχείων για συναρμογή δύο ράβδων. κατά μήκος κοινού ορίου, τότε το μεταβλητό πεδίο λέγεται C 1 συνεχές. Αργότερα θα δούμε ότι το στοιχείο δοκού και το στοιχείο πλακιδίου είναι C 1 συνεχή. Αυτό σημαίνει ότι εφαρμόζεται συνέχεια μετατόπισης και κλίσης κατά μήκος κοινών συνόρων. Η προσεγγιστική συνάρτηση θα επιτρέψει τη μετατόπιση ενός άκαμπτου σώματος και για μια κατάσταση διαρκούς στελέχους μέσα στο στοιχείο. Η μονοδιάστατη συνάρτηση μετατόπισης (3.83) πληρεί αυτά τα κριτήρια επειδή ο όρος a 1 επιτρέπει την κίνηση άκαμπτου σώματος (συνεχής κίνηση του σώματος χωρίς παραμόρφωση) και ο όρος a 2ˆx επιτρέπει τη συνεχή παραμόρφωση, επειδή ε x = dû/dˆx = a 2 είναι μια σταθερά. (Αυτή η κατάσταση συνεχούς παραμόρφωσης στο στοιχείο μπορεί στην πραγματικότητα να συμβεί εάν τα στοιχεία είναι επιλεγμένα αρκετά μικρά.) Το απλό πολυώνυμο (3.83) που καλύπτει την τέταρτη κατευθυντήρια γραμμή τότε λέγεται ότι είναι πλήρες για το στοιχείο ράβδου. Η ιδέα της πληρότητας επίσης σημαίνει σε γενικές γραμμές ότι ο όρος κατώτερης τάξης δεν μπορεί να παραληφθεί υπέρ του όρου υψηλότερης τάξης. Για την απλή γραμμική συνάρτηση, αυτό σημαίνει ότι το a 1 δεν μπορεί να παραληφθεί ενώ κρατάμε το a 2ˆx. Η πληρότητα μιας συνάρτησης είναι απαραίτητος

54 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μετατόπιση Ακριβής λύση Αριθμός στοιχείων Σύγκλιση σε ακριβή λύση Σχήμα 3.27: Σύγκλιση προς την ακριβή λύση για μετατόπιση, καθώς ο αριθμός στοιχείων μιας πεπερασμένης λύσης στοιχείου αυξάνεται. όρος για τη σύγκλιση προς την ακριβή λύση, για παράδειγμα, για μετατοπίσεις και τάσεις (Σχήμα 3.27) (βλέπε αναφορά [3]). Το Σχήμα 3.27 απεικονίζει μονότονη σύγκλιση προς μια ακριβή λύση για τη μετατόπιση, καθώς ο αριθμός των στοιχείων σε μια λύση πεπερασμένου στοιχείου αυξάνεται. Η μονότονη σύγκλιση είναι τότε η διαδικασία στην οποία οι διαδοχικές προσεγγιστικές λύσεις (λύσεις πεπερασμένων στοιχείων) προσεγγίζουν την ακριβή λύση με συνέπεια χωρίς να αλλάζει το πρόσημο ή η κατεύθυνση. Η ιδέα ότι η συνάρτηση παρεμβολής (προσεγγιστική) πρέπει να επιτρέπει σε ένα άκαμπτο σώμα να μετατοπίζεται σημαίνει ότι η συνάρτηση θα πρέπει να είναι ικανή να αποδώσει μια σταθερή τιμή (ας πούμε a 1 ), επειδή μια τέτοια τιμή μπορεί, στην πραγματικότητα, να υπάρχει. Ως εκ τούτου πρέπει να εξετάσουμε την υπόθεση û = a 1 (3.104)

55 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 113 Για u = a 1 επιβάλλονται κομβικές μετατοπίσεις d 1x = d 2x για να πετύχουμε μια μετατόπιση άκαμπτου σώματος. Επομένως Χρησιμοποιώντας την (3.105) στην (3.85), έχουμε Από τις (3.104) και (3.106), έχουμε Συνεπώς, παίρνουμε a 1 = ˆd 1x = ˆd 2x (3.105) û = N 1 ˆd1x + N 2 ˆd2x = (N 1 + N 2 )a 1. (3.106) û = a 1 = (N 1 + N 2 )a 1. N 1 + N 2 = 1. (3.107) Έτσι η (3.107) δείχνει ότι οι εξισώσεις παρεμβολής μετατόπισης πρέπει να προστεθούν στην ενότητα κάθε σημείου μέσα στο στοιχείο, έτσι ώστε στο u να αποδοθεί μια σταθερή τιμή όταν υφίσταται μετατόπιση άκαμπτου σώματος Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων σε διδιάστατα προβλήματα Σε πολλά προβλήματα είναι βολικό να εισάγουμε τοπικές και καθολικές (ή αναφοράς) συντεταγμένες. Οι τοπικές συντεταγμένες επιλέγονται πάντα ώστε να εκφράζουν το ξεχωριστό στοιχείο κατάλληλα. Οι καθολικές συντεταγμένες επιλέγονται ώστε να είναι κατάλληλες για όλη την κατασκευή. Με δεδομένη την κομβική μετατόπιση ενός στοιχείου, που συμβολίζεται από το διάνυσμα d στο Σχήμα 3.28, θέλουμε να συνδέσουμε τις συνιστώσες αυτού του διανύσματος σ ένα σύστημα συντεταγμένων με τις συνιστώσες ενός άλλου. Για γενικές χρήσεις, θα υποθέσουμε σ αυτή την ενότητα ότι το d δεν συμπίπτει ούτε με τον τοπικό ούτε με τον καθολικό άξονα. Σ αυτήν την περίπτωση, θέλουμε να συσχετίσουμε τις καθολικές συνιστώσες μετατόπισης με τις τοπικές. Κάνοντας αυτό, θα αναπτύξουμε ένα μητρώο μετατροπής που στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί για να επεξηγήσει το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας για ένα στοιχείο ράβδου. Ορίζουμε τη γωνία ως θετική όταν μετριέται αριστερόστροφα από το x στο ˆx. Μπορούμε να εκφράσουμε τη μετατόπιση διανύσματος d στις καθολικές και τοπικές συντεταγμένες με d = d x i + d y j = ˆd x î + ˆd y ĵ (3.108)

56 114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.28: Διάνυσμα d και διάφορα συστήματα αναφοράς. Όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις καθολικές κατευθύνσεις x και y και τα î και ĵ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις τοπικές κατευθύνσεις ˆx και ŷ. Τώρα θα συσχετίσουμε τα i και j με τα î και ĵ με τη χρήση του Σχήματος Χρησιμοποιώντας το Σχήμα 3.29 και το άθροισμα διανύσματος παίρνουμε a + b = i (3.109) Επίσης από το νόμο των συνημίτονων, a = i cos θ. και επειδή το i είναι εξ ορισμού μοναδιαίο διάνυσμα, i = 1 έχουμε a = cos θ. Παρομοίως b = sin θ. Τώρα το a είναι στην κατεύθυνση ^i και το b είναι στην κατεύθυνσ ĵ. Άρα, a = a î, b = b ( ĵ). (3.110) Χρησιμοποιώντας τις (3.110) στην (3.109) έχουμε απόδοση i = cos θî sin θĵ. (3.111)

57 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 115 Σχήμα 3.29: Σχέση ανάμεσα στα μοναδιαία διανύσματα ορθογώνιων συστημάτων αναφοράς. Παρομοίως, από το Σχήμα 3.29 παίρνουμε a + b = j, (3.112) a = cos θĵ, (3.113) b = sin θî. (3.114) Τώρα, χρησιμοποιώντας τις (3.113) και (3.114) στη (3.112) έχουμε j = sin θî + cos θĵ. (3.115) Ενώ, χρησιμοποιώντας τις (3.111) και (3.115) στην (3.108) έχουμε d x (cos θî sin θĵ) + d y(sin θî + cos θĵ) = ˆd x î + ˆd y ĵ. Συνεπώς συνδυάζοντας παρόμοιους συντελεστές του î και του ĵ παίρνουμε d x cos θ + d y sin θ = ˆd x, d x sin θ + d y cos θ = ˆd y (3.116) Σε μητρωική μορφή, οι (3.116) γράφονται ως { ˆdx ˆd y } = [ C ] { S dx S C d y }, (3.117)

58 116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου C = cos y και S = sin y. Η (3.117) συνδέει την καθολική μετατόπιση d με την τοπική μετατόπιση ˆd. Το μητρώο [ ] C S S C ονομάζεται μητρώο μετατροπής (ή περιστροφής). Τώρα, για την περίπτωση του ˆd y = 0, έχουμε, από την (3.108), d x i + d y j = ˆd x î Ολικός πίνακας δυσκαμψίας Θέλουμε να βρούμε έναν πίνακα k τέτοιον ώστε f 1x f 1y f 2x f 2y = k d 1x d 1y d 2x d 2y (3.118) ή, σε απλοποιημένη μορφή πίνακα η (3.118) γίνεται f = kd (3.119) Παρατηρούμε από την (3.118) ότι ένα σύνολο τεσσάρων συνιστωσών ισχύος και τεσσάρων μετατόπισης προκύπτουν όταν χρησιμοποιούνται καθολικές συντεταγμένες. Ωστόσο, ένα σύνολο δύο συνιστωσών ισχύος και δύο μετατόπισης εμφανίζονται για την παράσταση της τοπικής συντεταγμένης ενός ελατηρίου ή μιας ράβδου. Χρησιμοποιώντας σχέσεις ανάμεσα στις συνιστώσες τοπικής και καθολικής ισχύος και ανάμεσα στις συνιστώσες τοπικής και καθολικής μετατόπισης θα είμαστε σε θέση να πάρουμε τον καθολικό πίνακα δυσκαμψίας. Γνωρίζουμε από την (3.116) σχέσης μετατροπής ότι ˆd 1x = d 1x cos θ + d 1y sin θ, ˆd2x = d 2x cos θ + d 2y sin θ. (3.120) Σε μορφή πίνακα, η (3.120) μπορεί να αποδοθεί ως εξής { } [ ] d 1x ˆd1x C S 0 0 d = 1y ˆd 2x 0 0 C S d 2x d 2y

59 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 117 ή ως ˆd = T d (3.121) όπου { ˆf1x T = } = ˆf 2x [ ] C S 0 0. (3.122) 0 0 C S Παρομοίως, επειδή οι δυνάμεις μετατρέπονται κατά τον ίδιο τρόπο όπως οι μετατοπίσεις, έχουμε ] [ C S C S f 1x f 1y f 2x f 2y. (3.123) Χρησιμοποιώντας την (3.122) μπορούμε να γράψουμε την (3.123) ως ˆf = T f. (3.124) Τώρα, αντικαθιστώντας την (3.121) στην ˆf = ˆk ˆd παίρνουμε ˆf = ˆkT d (3.125) και χρησιμοποιώντας την (3.124) στην (3.125) παράγουμε T f = ˆkT d. (3.126) Ωστόσο, για να γράψουμε την τελική έκφραση που σχετίζει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις για ένα στοιχείο, πρέπει να αντιστρέψουμε το T στην (3.126). Αυτό δεν είναι άμεσα δυνατό επειδή το T δεν είναι ένας τετράγωνος πίνακας. Επομένως, πρέπει να επεκτείνουμε ˆd, ˆf, και ˆk στο βαθμό που είναι σύμφωνος με τη χρήση των καθολικών συντεταγμένων ακόμη κι αν τα f 1y και f 2y είναι μηδέν. Χρησιμοποιώντας την (3.117) για κάθε κομβική μετατόπιση, παίρνουμε ˆd 1x ˆd 1y ˆd 2x ˆd 2y C S 0 0 = S C C S 0 0 S C d 1x d 1y d 2x d 2y ή ˆd = T d, (3.127)

60 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου Παρόμοια, μπορούμε να γράψουμε C S 0 0 T = S C C S. (3.128) 0 0 S C ˆf = T f (3.129) επειδή οι δυνάμεις είναι όπως οι μετατοπίσεις και οι δύο είναι διανύσματα. Επίσης, το ˆk πρέπει να επεκταθεί σ έναν πίνακα 4 4. Επομένως, η (3.94) σε εκτεταμένη μορφή γίνεται ˆf 1x ˆf 1y ˆf 2x ˆf 2y = AE L ˆd 1x ˆd 1y ˆd 2x ˆd 2y (3.130) Στην (3.130), επειδή τα f 1y και f 2y είναι μηδενικά, σειρές από μηδενικά που αντιστοιχούν στους αριθμούς σειράς f 1y και f 2y εμφανίζονται στο ˆk. Τώρα, χρησιμοποιώντας τις (3.127) και (3.129) στην ˆf = ˆk ˆd, παίρνουμε T f = ˆkT d. (3.131) Πολλαπλασιάζοντας από πριν και τα δύο μέρη της (3.131) με το T 1, έχουμε f = T 1ˆkT d, (3.132) όπου T 1 είναι το αντίστροφο του T. Ωστόσο, μπορεί να αποδειχτεί ότι T 1 = T T, (3.133) όπου το T T είναι η αλλαγή θέσης / μετάθεση του T. Η ιδιότητα των τετράγωνων πινάκων όπως ο T που δίνεται από την (3.133) ορίζει τον T ως ορθογώνιο πίνακα. Για περισσότερα σχετικά με τους ορθογώνιους πίνακες, δες το Παράρτημα A ([8]). Ο πίνακας μετατροπής T μεταξύ των ορθογωνίων πλαισίων συντεταγμένων είναι ορθογώνιος. Αυτή η ιδιότητα του T χρησιμοποιείται παντού σ αυτό το κείμενο. Αντικαθιστώντας την (3.133) με την (3.132), παίρνουμε f = T T kt d. (3.134)

61 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y119 Εξισώνοντας τις (3.119) και (3.134), παίρνουμε τον καθολικό πίνακα δυσκαμψίας για ένα στοιχείο ως k = T T ˆkT. (3.135) Αντικαθιστώντας την (3.128) για το T και τη διευρυμένη μορφή του k που δίνεται στην (3.130) με την (3.135), παίρνουμε k που δίνεται σε συγκεκριμένη μορφή έτσι k = AE L C 2 CS C 2 CS S 2 CS S 2 C 2 CS Συμμετρία S 2. (3.136) Τώρα, επειδή η λειτουργική (3.83) δοκιμαστικής μετατόπισης θεωρήθηκε τμηματικά συνεχής ανά στοιχείο, ο πίνακας δυσκαμψίας για κάθε στοιχείο μπορεί να συνοψιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας για να πάρουμε N k (e) = K, e=1 όπου K είναι ο πίνακας συνολικής δυσκαμψίας και είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων. Ομοίως, κάθε πίνακας στοιχείου καθολικής κομβικής ισχύος μπορεί να συνοψιστεί έτσι N f (e) = F. e=1 Το K τώρα συνδέει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις F με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις d για ολόκληρη την κατασκευή με F = Kd. 3.4 Υπολογισμός της Τάσης για μια Ράβδο στο Επίπεδο x y Θα εξετάσουμε τώρα τον προσδιορισμό της τάσης σ ένα στοιχείο ράβδου. Για μια ράβδο, οι τοπικές δυνάμεις σχετίζονται με τις τοπικές μετατοπίσεις από την (3.94) ή την (3.130). Αυτή η εξίσωση επαναλαμβάνεται εδώ για ευκολία. Ο συνήθης ορισμός της αξονικής τάσης εφελκυσμού (αντοχής) είναι η ισχύς του άξονα διαιρεμένη με το εμβαδόν διατομής. Επομένως, η τάση του άξονα

62 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.30: Βασικό στοιχείο ράβδου με θετικές διευθύνσεις των επικόμβιων δυνάμεων σε τοπικό σύστημα αναφοράς. είναι σ = ˆf 2x A, (3.137) όπου το ˆf 2x χρησιμοποιείται επειδή είναι η αξονική ισχύς που ασκεί δύναμη στη ράβδο όπως φαίνεται στο Σχήμα Με την (3.94), ˆf 2x = AE { } ˆd1x L [ 1 1]. (3.138) ˆd 2x Επομένως, συνδυάζοντας τις (3.137) και (3.138) έχουμε σ = E [ 1 1] ˆd. L Τώρα, χρησιμοποιώντας την (3.121), παίρνουμε σ = E L [ 1 1]T d (3.139) Η εξίσωση (3.139) μπορεί να εκφραστεί σε απλούστερη μορφή ως σ = C d, (3.140)

63 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y121 όπου, όταν χρησιμοποιούμε την (3.122) C = E [ ] C S 0 0 L [ 1 1] 0 0 C S Παράδειγμα επίλυσης δικτυώματος Θα δείξουμε τώρα τη χρήση των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν μαζί με τη μέθοδο συναρμολόγησης άμεσης δυσκαμψίας του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων για να λύσουμε τα ακόλουθα παραδείγματα προβλημάτων επίπεδης στήριξης. Η επίπεδη στήριξη είναι μια κατασκευή που αποτελείται από στοιχεία ράβδου που βρίσκονται όλα σ ένα κοινό επίπεδο και συνδέονται με καρφιά χωρίς τριβές. Η επίπεδη στήριξη πρέπει επίσης να έχει φορτία που δρουν μόνο στο κοινό επίπεδο και όλα τα φορτία πρέπει να εναποτίθενται στους κόμβους ή τους συνδέσμους. Παράδειγμα Για την επίπεδη στήριξη που αποτελείται από τα τρία στοιχεία (που φαίνονται στο Σχήμα 3.31) υποβαλλόμενα σε δύναμη προς τα κάτω των 10,000 Ν εφαρμοσμένη στον κόμβο 1, καθορίστε τις μετατοπίσεις x και y στον κόμβο 1 και τις πιέσεις σε κάθε στοιχείο. Έστω E = N/cm 2 και A = 2 cm 2 για όλα τα στοιχεία. Τα μήκη των στοιχείων φαίνονται στο σχήμα. Πρώτα, καθορίζουμε τα καθολικά μητρώα δυσκαμψίας για κάθε στοιχείο χρησιμοποιώντας την (3.136). Αυτό απαιτεί καθορισμό της γωνίας θ ανάμεσα στον καθολικό άξονα x και τον τοπικό άξονα ˆx για κάθε στοιχείο. Σ αυτό το παράδειγμα, η κατεύθυνση του άξονα ˆx για κάθε στοιχείο λαμβάνεται στην κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον άλλο κόμβο. Η αρίθμηση των κόμβων είναι αυθαίρετη για κάθε στοιχείο. Ωστόσο, από τη στιγμή που επιλεχθεί η κατεύθυνση, η γωνία θ ορίζεται ως θετική όταν μετριέται αριστερόστροφα από το θετικό x στο ˆx. Για το στοιχείο 1, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 2 επομένως, θ (1) = Για το στοιχείο 2, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 3 και θ (2) = Για το στοιχείο 3, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 4 και θ (3) = 0 0. Βολεύει να φτιάξουμε τον Πίνακα 3.2 για να μας βοηθήσει στον καθορισμό κάθε μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου. Υπάρχει ένα σύνολο από οκτώ κομβικές συνιστώσες μετατόπισης ή βαθμούς ελευθερίας, για τη στήριξη πριν επιβληθούν περιοριστικά όρια. Έτσι το μέγεθος του μητρώου συνολικής δυσκαμψίας πρέπει να είναι 8 8. Θα μπορούσαμε λοιπόν να επεκτείνουμε το μητώο k για κάθε στοιχείο στο βαθμό 8 8 προσθέτοντας γραμμές και στήλες από μηδενικά στοιχεία όπως εξηγήθηκε στο πρώτο μέρος της Ενότητας

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ o 1 45 o Σχήμα 3.31: Επίπεδη στήριξη. Στοιχείο θ 0 C S C 2 S 2 CS /2 2/2 1/2 1/2 1/ Πίνακας 3.2: Δεδομένα για τη στήριξη του Σχήματος 3-14.

65 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y ([8]). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις γραμμές και τις στήλες κάθε μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου σύμφωνα με τις συνιστώσες μετατόπισης που συνδέονται μ αυτό όπως εξηγήθηκε στο τελευταίο μέρος της Ενότητας 2.4 ([8]). Χρησιμοποιώντας αυτή την τελευταία προσέγγιση, φτιάχνουμε το μητρώο ολικής δυσκαμψίας K απλά προσθέτοντας όρους από τα μητρώα δυσκαμψίας των μεμονωμένων στοιχείων στις αντίστοιχες θέσεις τους στο K. Αυτή η προσέγγιση θα χρησιμοποιηθεί εδώ και σε όλο αυτό το κείμενο. Για το στοιχείο 1, χρησιμοποιώντας την (3.136) μαζί με το μητρώο 3.2 για τα συνημίτονα κατεύθυνσης, παίρνουμε k (1) = (30x106 )(2) (3.141) Παρομοίως, για το στοιχείο 2, έχουμε k (2) = (30x106 )(2) 120x (3.142) Και για το στοιχείο 3, έχουμε k (3) = (30x106 )(2) (3.143) Ο κοινός παρανομαστής του ( )/120 = 500, 000 μπορεί να ληφθεί από καθεμιά από τις (3.141)-(3.143).

66 124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για το μητρώο ολικής δυσκαμψίας έχουμε K = k (1) 11 k (1) 12 k (1) 13 k (1) k (1) 21 k (1) 22 k (1) 23 k (1) k (1) 31 k (1) 32 k (1) 33 k (1) k (1) 41 k (1) 42 k (1) 43 k (1) k (3) 11 k (3) k (3) 13 k (3) 14 k (3) 21 k (3) k (3) 23 k (3) k (3) 31 k (3) k (3) 33 k (3) 34 k (3) 41 k (3) k (3) 43 k (3) k (2) 13 k (2) k (2) 23 k (2) k (2) k (2) 33 k (2) k (2) k (2) 43 k (2) k (2) 11 k (2) k (2) 21 k (2) k (2) k (2) Αφού προσθέσουμε όρους από τα μητρώα δυσκαμψίας μεμονωμένων στοιχείων στις αντίστοιχες θέσεις τους στο K, παίρνουμε το μητρώο ολικής δυσκαμψίας ως K = (500000) (3.144) Το καθολικό μητrώο K, (3.144), συνδέει τις καθολικές δυνάμεις με τις καθολικές μετατοπίσεις. Έτσι γράφουμε τις εξισώσεις δυσκαμψίας όλης της κατασκευής που αντιστοιχούν για την εφαρμοσμένη δύναμη στον κόμβο 1 και τα

67 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y125 περιοριστικά όρια στους κόμβους 2-4 ως ακολούθως: F 2x F 2y F 3x F 3y F 4x F 4y = (500000) d 1x d 1y d 2x = 0 d 2y = 0 (3.145) d 3x = 0 d 3y = 0 d 4x = 0 d 4y = 0 Θα μπορούσαμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε το σχέδιο διαμερισμού που περιγράψαμε στο πρώτο μέρος της Ενότητας 2.5 ([8]) για να πάρουμε τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν τις άγνωστες μετατοπίσεις d 1x και d 1y δηλαδή να διαχωρίσουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις από την τρίτη μέσω της όγδοης στην (3.145). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να αφαιρέσουμε τις γραμμές και στήλες στο μητρώο ολικής δυσκαμψίας που αντιστοιχούν σε μηδενικές μετατοπίσεις όπως περιγράφτηκε προηγουμένως στο τελευταίο μέρος της Ενότητας 2.5 ([8]). Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε την τελευταία προσέγγιση, δηλαδή θα αφαιρέσουμε τις γραμμές και τη στήλη 3-8 στην (3.145) επειδή αυτές οι γραμμές και στήλες αντιστοιχούν σε μηδενικές μετατοπίσεις. Παίρνουμε λοιπόν { } } = (500000) [ ] { d1x d 1y (3.146) Η εξίσωση (3.146) μπορεί τώρα να λυθεί για τις μετατοπίσεις πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της μητρωικής με το αντίστροφο μητρώο δυσκαμψίας 2 2 ή λύνοντας και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο διαδικασίες για τη λύση αποδίδει τις εξής μετατοπίσεις: d 1x = , d 1y =

68 126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το αρνητικό πρόσημο στο αποτέλεσμα d 1y δείχνει πως η συνιστώσα μετατόπισης στην κατεύθυνση y στον κόμβο 1, είναι σε κατεύθυνση αντίθετη απ αυτή της θετικής κατεύθυνσης y που βασίζεται σε υποθετικές καθολικές συντεταγμένες, δηλαδή μια μετατόπιση προς τα κάτω συμβαίνει στον κόμβο 1. Χρησιμοποιώντας την (3.140) και τον Πίνακα 3.2 προσδιορίζουμε τις πιέσεις σε κάθε στοιχείο ως ακολούθως: σ (1) = σ (2) = σ (3) = [ ] [ [ ] d 1x = d 1y = d 2x = 0 d 2y = ] 2 2 d 1x = d 1y = d 4x = 0 d 4y = 0 = 3965,, d 1x = d 1y = d 3x = 0 d 3y = 0 = = 1471, Επαληθεύουμε τώρα τα αποτελέσματά μας εξετάζοντας την ισορροπία δυνάμεων στον κόμβο 1, δηλαδή αθροίζοντας τις δυνάμεις στις καθολικές κατευθύνσεις x και y, παίρνουμε: 2 Fx = 0, 1471 (2 ) (1035 )(2 ) = 0, Fy = 0, 3965 (2) + (1471 )(2 ) = Πίνακας μετασχηματισμού και δυσκαμψίας για μια ράβδο στον τρισδιάστατο χώρο Θα παράγουμε το μητρώο μετασχηματισμού που είναι απαραίτητο για να πάρουμε την γενική δυσκαμψία της ράβδου αυθαίρετα τοποθετημένης στον τρισδιάστατο χώρο όπως φαίνεται στο Σχήμα Αφήνουμε τις συντεταγμένες του κόμβου 1 ως x 1,y 1 και z 1 και αυτές του κόμβου 2 ως x 2,y 2 και z 2. Επίσης αφήνουμε τις θ x, θ y, και θ z ως τις γωνίες μετρημένες από το γενικό

69 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ127 σύστημα αξόνων x, y και z σε σχέση με τον τοπικό άξονα ˆx. Ο άξονας ˆx έχει διεύθυνση κατά μήκος των στοιχείων από το κόμβο 1 προς τον κόμβο 2. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εξετάσουμε ότι το T είναι τέτοιο ώστε ˆd = T d. Ξεκινάμε την δημιουργία του T λαμβάνοντας το διάνυσμα ˆd = d εκφρασμένο στις τρεις διαστάσεις ως ˆd x î + ˆd y ĵ + ˆd z ˆk = dx î + d y ĵ + d z ˆk, (3.147) όπου τα î, ĵ και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα για τους τοπικούς άξονες ˆx, ŷ και ẑ αντίστοιχα και τα i, j και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα για τους γενικούς άξονες ˆx, ŷ και ẑ. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο της (3.147) με το î, έχουμε ˆd x = d x (î i) + d y(î j) + d z(î k), (3.148) και, συγκεκριμένα το εσωτερικό γινόμενο όπου και î i = x 2 x 1 L = C x, î j = y 2 y 1 L = C y, î k = z 2 z 1 L L = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y1) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2 C x = cos θ x, C y = cos θ y, C z = cos θ z. = C z, (3.149) Σ αυτό το σημείο τα C x, C y, και C z είναι οι προβολές του î στα i, j και k αντίστοιχα. Επιπλέον χρησιμοποιούμε τις (3.149) στην (3.148) και έχουμε ˆd x = C x d x + C y d y + C z d z. (3.150) Για ένα διάνυσμα στο χώρο με κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα ˆx η (3.150) δίνει τα στοιχεία του διανύσματος αυτού στις διευθύνσεις των γενικών συντεταγμένων x, y και z. Χρησιμοποιώντας την (3.150), μπορούμε να γράψουμε ˆd = T d στη γενική μορφή ως d 1x { } [ ] d 1y ˆd1x Cx C = y C z d 1z, ˆd 2x C x C y C z d 2x d 2y d 2z

70 128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ^ y y 2 ^ x 1 x z ^ z Σχήμα 3.32: Η ράβδος σε τρισδιάστατο χώρο. όπου [ ] T Cx C = y C z C x C y C z (3.151) είναι το μητρώο μετασχηματισμού, που επιτρέπει το τοπικό μετατοπισμένο μητρώο ˆd να εκφραστεί υπό όρους όπως η μετατόπιση των στοιχείων στο γενικό σύστημα συντεταγμένων. Το γενικό μητρώο δυσκαμψίας (το μητρώο δυσκαμψίας για την οποία η δοκός εκφράζεται σε γενικές συντεταγμένες) δίνεται από τον γενικό τύπο k = ˆkT. Αυτή η εξίσωση τώρα θα χρησιμοποιηθεί για να εκφράσουμε τη γενική μορφή του μητρώου δυσκαμψίας μίας δοκού συγκεκριμένα οροθετημένης στον χώρο. Γενικά, πρέπει να διευρύνουμε το μητρώο μετασχηματισμού κατά τρόπο ανάλογο με αυτόν που αναπτύξαμε το T πριν. Ωστόσο, τα ίδια αποτελέσματα θα εξασφαλιστούν και εδώ με το να χρησιμοποιήσουμε το T, που καθορίστηκε στην (3.151) στη θέση του T. Στη συνέχεια καθορίζουμε το k με το να

71 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ129 χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση k = (T ) T ˆkT ως εξής: C x 0 C y 0 [ ] [ ] k = C z 0 AE 1 1 Cx C y C z C x. (3.152) L C x C y C z 0 C y 0 C z Απλοποιώντας την (3.152) καθορίζουμε την αναλυτική μορφή του k ως Cx 2 C x C y C x C z Cx 2 C x C y C x C z k = AE Cy 2 C y C z C x C y Cy 2 C y C z Cz 2 C x C z C y C z C 2 z L Cx 2 C x C y C x C z. (3.153) Cy 2 C y C z Cz 2 Θα πρέπει να επαληθεύσουμε την (3.153). Αρχικά, αναπτύσσουμε τον T σε ένα 6 6 τετραγωνικό μητρώο με τρόπο τέτοιο που κάναμε στο Παράγραφο για την περίπτωση του διδιάστατου. Στη συνέχεια αναπτύσσουμε τον k σε ένα 6 6 μητρώο με το να προσθέσουμε τις κατάλληλες σειρές και στήλες μηδενικών στοιχείων (για τον ˆd z ) στην (3.130). Τέλος, πραγματοποιούμε το μητρώο τριπλού γινομένου k = T T ˆkT. Η εξίσωση (3.153) είναι η βασική μορφή του μητρώου δυσκαμψίας για μια αυθαίρετα ορισμένη δοκό στον τρισδιάστατο χώρο. Τώρα θα αναλύσουμε μια απλή στήριξη για να απεικονίσουμε την έννοια που αναπτύξαμε σ αυτό το κεφάλαιο. Θα δείξουμε ότι η μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας αποτελεί μια απλή διαδικασία για την επίλυση προβλημάτων στήριξης Δυναμική ενεργειακή προσέγγιση για να καθορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις ράβδου Θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για να καθορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις ράβδου. Η συνολική δυναμική ενέργεια π p ορίζεται ως το σύνολο της εσωτερικής ενέργειας παραμόρφωσης U και της δυναμικής ενέργειας της εξωτερικής δύναμης W: π p = U + Ω. (3.154)

72 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για τον προσδιορισμό της ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου, λαμβάνουμε υπόψη μόνο το έργο που παράγεται από τις εσωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης. Επειδή έχουμε να κάνουμε με μια μονοδιάστατη ράβδο, η εσωτερική δύναμη που παράγει έργο δίνεται από το Σχήμα 3.33 ως σ x ( y)( z), που οφείλεται μόνο στην ορθή πίεση σ x. Η μετατόπιση της x όψης του στοιχείου είναι x(ε x ). Η μετατόπιση της όψης x + x είναι x(ε x + dε x ). Η αλλαγή στη μετατόπιση είναι τότε xdε x, όπου dε x η διαφορά τάσης που y y σ x ( y)( z) z x x z Σχήμα 3.33: Εσωτερική δύναμη σε μονοδιάστατη ράβδο. παρουσιάζεται κατά μήκος x. Η διαφορά εσωτερικού έργου (ή δύναμη παραμόρφωσης) du είναι το εσωτερικό έργο πολλαπλασιασμένο με τη μετατόπιση μέσω της οποίας η δύναμη κινείται, και δίνεται από du = σ x ( y)( z)( x)dε x. (3.155) Αναδιατάσσοντας και αφήνοντας τον όγκο του στοιχείου να φτάσει το μηδέν παίρνουμε από την (3.155), du = σ x dε x dv. Από ολόκληρη την ράβδο, έχουμε τότε U = V { εx 0 σ x dε x } dv. (3.156) Τώρα, για ένα γραμμικά-ελαστικό (Νόμος του Hooke) υλικό παρατηρούμε ότι σ x = Eε x. Έτσι αντικαθιστώντας τη σχέση στην (3.156) ενσωματώνοντας στο ε x, και ύστερα αντικαθιστώντας το σ x στο Eε x, έχουμε U = 1 σ x ε x dv (3.157) 2 V

73 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ131 ως έκφραση για την ενέργεια καταπόνησης για μονοδιάστατη πίεση. Η δυναμική ενέργεια των εξωτερικών δυνάμεων, αφού είναι αντίθετη απο την εξωτερική έκφραση του έργου, διότι η δυναμική ενέργεια των εξωτερικών δυνάμεων χάνεται όταν το έργο παράγεται από εξωτερικές δυνάμεις, δίνεται από M Ω = ˆX b ûdv ˆTx û s ds ˆf 1x ˆd1x, (3.158) V S 1 όπου ο πρώτος, δεύτερος και τρίτος όρος του δεξιού μέρους της (3.158) δείχνουν τη δυναμική ενέργεια (α) δυνάμεων στο σώμα ˆX b, συγκεκριμένα από το ίδιο το βάρος της ράβδου (σε μονάδες μέτρησες δύναμη ανά μονάδα όγκου) που κινείται μέσω της λειτουργίας της μετατόπισης û, (β) επιφανειακής φόρτισης ή έλξης ˆT x συγκεκριμένα από κατανεμημένη φόρτιση που δρα κατά μήκος της επιφάνειας του στοιχείου (σε μονάδες δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) που κινείται μέσω της μετατόπισης û s όπου û s είναι οι μετατοπίσεις που παρουσιάζονται στην επιφάνεια S 1 και (γ) κομβικές συγκεντρωμένες δυνάμεις ˆf ix που μεταφέρονται με κομβικές μετατοπίσεις ˆd ix. Οι δυνάμεις ˆX b, ˆTx, και f ix θεωρούνται ότι δρουν στην τοπική x κατεύθυνση της ράβδου. Στις (3.157) και (3.158), V είναι το μέγεθος του σώματος και S 1 είναι το κομμάτι της επιφάνειας S πάνω στην οποία δρα το επιφανειακό φορτίο. Για μία στοιχειώδη ράβδο με 2 κόμβους και ένα βαθμό ελευθερίας ανά κόμβο, M = 2. Είμαστε τώρα έτοιμοι να περιγράψουμε τη διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων των στοιχειωδών εξισώσεων της ράβδου χρησιμοποιώντας την αρχή ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. Η διαδικασία πεπερασμένων στοιχείων επιδιώκει να βρει ένα ελάχιστο της δυναμικής ενέργειας εντός του περιορισμού του υποθετικού μοτίβου μετατόπισης μέσα σε κάθε στοιχείο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας που συνδέεται με το στοιχείο (συνήθως σημαίνει αύξηση του αριθμού των κόμβων), τόσο περισσότερο η λύση θα προσεγγίζει την πραγματική λύση που θα εξασφαλίζει πλήρη ισορροπία (εφόσον η πραγματική μετατόπιση μπορεί, εντός ορίων, να προσεγγιστεί). Μια προσέγγιση λύσης πεπερασμένων στοιχείων που βρίσκεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δυσκαμψίας θα παρέχει πάντα μία κατά προσέγγιση τιμή της δυναμικής ενέργειας μεγαλύτερη ή ίση του ορθού. Η μέθοδος αυτή οδηγεί επίσης σε μια δομημένη συμπεριφορά που προβλέπεται να είναι φυσικά πιο άκαμπτη ή στην καλύτερη περίπτωση να έχει την ίδια ακαμψία όπως το πραγματικό. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι το δομημένο μοντέλο επιτρέπεται να αντικατασταθεί μόνο από σχήματα που καθορίζονται από τις μετατοπίσεις που έχουμε υποθέσει μέσα σε κάθε στοιχείο της δομής. Η σωστή μορφή προσεγγίζεται συ- i=1

74 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ νήθως μέσα στα υποθετικά όρια, αν και η σωστή μορφή μπορεί να είναι ίδια όπως το υποθετικό πεδίο. Το υποθετικό πεδίο περιορίζει αποτελεσματικά την δομή από το να συμπεριφερθεί με τον φυσικό του τρόπο. Αυτή η περιοριστική δράση σκληραίνει την προβλεπόμενη συμπεριφορά της δομής. Εφαρμόστε τα παρακάτω βήματα κατά τη χρήση της αρχής της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για την εξαγωγή των στοιχειωδών πεπερασμένων εξισώσεων. 1. Διατυπώστε μια έκφραση για τη συνολική δυναμική ενέργεια. 2. Υποθέστε το μοτίβο μετατόπισης να μεταβάλλεται με ένα πεπερασμένο σύνολο από απροσδιόριστες παραμέτρους (εδώ είναι οι κομβικές μετατοπίσεις d ix ) που αντικαθιστώνται από την έκφραση της συνολικής δυναμικής ενέργειας. 3. Βρείτε ένα σύνολο ταυτόχρονων εξισώσεων που ελαχιστοποιούν την ολική δυναμική ενέργεια με βάση αυτές τις κομβικές παραμέτρους. Αυτές οι εξισώσεις που προκύπτουν αντιπροσωπεύουν τις στοιχειώδεις εξισώσεις. Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά προσέγγιση (ή ενδεχομένως με ακρίβεια) οι εξισώσεις ισορροπίας των οποίων οι λύσεις των κομβικών παραμέτρων επιδιώκουν να ελαχιστοποιήσουν τη δυναμική ενέργεια όταν αντι-καθιστώνται στην έκφραση δυναμικής ενέργειας. Τα προηγούμενα τρία βήματα θα ακολουθηθούν για να προσδιορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις της ράβδου και του μητρώου δυσκαμψίας. Θεωρείστε τη στοιχειώδη ράβδο μήκους L, με σταθερό εμβαδό διατομής A, Χρησιμοποιώντας τις (3.157) και (3.158), βρίσκουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια της (3.154), γίνεται π p = A L σ x ε x dˆx 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x û s ˆTx ds û ˆX b dv. (3.159) 0 Επειδή A είναι μια σταθερά και οι μεταβλητές σ x και ε x διαφέρουν με το x. Από τις εξώσεις (3.85) και (3.86), έχουμε τη λειτουργία αξονικής μετατόπισης εκφραζόμενη σε όρους σχηματικών εξισώσεων και κομβικών μετατοπίσεων από S 1 û = [N]{ ˆd}, û s = [N s ]{ ˆd}, (3.160) V όπου [N] = [ 1 ˆx L ] ˆx, L

75 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ133 [N s ] η λειτουργία σχηματικής μήτρας που εκτιμάται πάνω στην επιφάνεια όπου η κατανεμημένη επιφανειακή έλξη δρα και { ˆd} = { ˆd1x ˆd 2x }. (3.161) Ύστερα, χρησιμοποιώντας τη σχέση τάσης/μετατόπισης ε x = dû/dˆx μπορούμε να γράψουμε την αξονική τάση ως ή όπου καθορίζουμε {ε x } = [ 1 L ] 1 { L ˆd} {ε x } = [B]{ ˆd} (3.162) [B] = [ 1 L Η αξονική πίεση/παραμόρφωση δίνεται από ] 1. (3.163) L {σ x } = [D]{ε x }, (3.164) όπου [D] = [E] για τη μονοδιάστατη σχέση πίεση/παραμόρφωση και E είναι το μέτρο ελαστικότητας. Τώρα, από την (3.162), μπορούμε να εκφράσουμε την (3.164) ως εξής {σ x } = [D][B]{ ˆd}. Χρησιμοποιώντας την (3.159) εκφραζόμενη σε μορφή σημειογραφίας μήτρας, έχουμε τη συνολική δυναμική ενέργεια που δίνεται από L π p = A {σ x } T {ε x }dˆx { 2 ˆd} T {P } {û s } T { ˆT x }ds 0 S 1 {û} T { ˆX b }dv, (3.165) V όπου {P } τα συμπυκνωμένα κομβικά φορτία και που γενικά οι σ x και ε x είναι μητρώο στήλης. Για σωστό πολλαπλασιασμό πινάκων, πρέπει να τοποθετήσουμε τη μετατόπιση στο {σ x }. Ομοίως, {û} και { ˆT x } γενικά είναι μητρώο

76 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στήλης έτσι για ορθό πολλαπλασιασμό πινάκων {û} μεταφέρεται στην (3.165). Χρησιμοποιώντας τις (3.160) και (3.162), στην (3.165) έχουμε L π p = A { 2 ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd}dˆx { ˆd}{P } 0 { ˆd} T [N s ] T { ˆT x }ds { ˆd} T [N] T { ˆX b }dv. (3.166) S 1 V Στην (3.166), π p φαίνεται να είναι μια συνάρτηση του { ˆd}; Που είναι π p = π p ( ˆd 1x, ˆd 2x ). Ωστόσο [B] και [D] και οι κομβικοί βαθμοί ελευθερίας d 1x και d 2x δεν είναι συναρτήσεις του x. Ως εκ τούτου, λύνοντας την (3.166) ως προς x έχουμε π p = AL 2 { ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd} { ˆd} T { ˆf}, (3.167) όπου { ˆf} = {P } + [N s ] T { ˆT x }ds [N] T { ˆX b }dv. (3.168) S 1 Από την (3.168), παρατηρούμε τρεις ξεχωριστούς τύπους συνεισφοράς φορτίου από τις συγκεντρωμένες κομβικές δυνάμεις, επιφανειακά τραβήγματα, και σωματικές δυνάμεις. Καθορίζουμε αυτά τα επιφανειακά τραβήγματα και τα μητρώα δυνάμεων στο σώμα παρακάτω { ˆf x } = [N S ] T { ˆT x }ds, { ˆf b } = [N] T { ˆX b }dv. (3.169) S 1 H έκφραση του { ˆf} δίνεται από την (3.169) και περιγράφει πως συγκεκριμένα φορτία μπορεί να θεωρηθούν ως προς το καλύτερο αποτέλεσμα. Φορτία που υπολογίζονται από τις (3.169) καλούνται σταθερές διότι βασίζονται στις ίδιες σχηματικές συναρτήσεις [N] που χρησιμοποιούνται για να υπολογίζουν το στοιχειώδες μητρώο ακαμψίας. Τα φορτία που υπολογίζονται από την (3.169) είναι επίσης στατιστικά όμοιες με το αρχικό φορτίο. Με προϋπόθεση ότι και οι δύο {f s } και {f b } και τα αρχικά φορτία δίνουν την ίδια δύναμη ως αποτέλεσμα και την ίδια στιγμή για ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο. Η ελαχιστοποίηση του π p με βάση την κάθε κομβική μετατόπιση προϋποθέτει ότι V V π p ˆd 1x = 0 και π p ˆd 2x = 0. (3.170)

77 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ135 Τώρα αξιολογούμε ρητά το π p που δίνεται από την (3.167) για να εφαρμοστεί η (3.170). Θεωρούμε τα παρακάτω για ευκολία: {U } = { ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd}. (3.171) Χρησιμοποιώντας τις (3.161), (3.163), και [D] = [E] στην (3.171) έχουμε U = [ ˆd 1 L [ 1x ˆd2x ] [E] 1 L Απλοποιώντας την (3.172) έχουμε Επίσης η ρητή έκφραση του { ˆd} T { ˆf} είναι 1 L ] { } 1 ˆd1x. (3.172) L ˆd 2x U = E L 2 ( ˆd 2 1x 2 ˆd 1x ˆd2x + ˆd 2 2x). (3.173) { ˆd} T { ˆf} = ˆd 1x ˆf1x + ˆd 2x ˆf2x. (3.174) Επομένως, χρησιμοποιώντας τις (3.173) και (3.174) στην (3.167) και εφαρμόζοντας τις (3.174) έχουμε π p ˆd = AE [ ] E 1x 2 L (2 ˆd 2 1x 2 ˆd 2x ) ˆf 1x = 0 (3.175) και π p ˆd 2x = AE 2 [ ] E L (2 ˆd 2 1x 2 ˆd 2x ) ˆf 2x = 0. Σε μητρωική μορφή, εκφράζουμε τις (3.175) ως εξής π p { ˆd} = AE [ ] { } { } { 1 1 ˆd1x ˆf1x 0 L 1 1 ˆd 2x ˆf 2x 0 Αλλιώς, επειδή { ˆf} = [ˆk]{ ˆd} έχουμε το μητρώο ακαμψίας της στοιχειώδους ράβδου που υπολογίζεται από την [ˆk] = AE [ ] 1 1. (3.176) L 1 1 Όπως αναμέναμε, η (3.176) είναι πανομοιότυπο με το μητρώο ακαμψίας που βρίσκουμε στο Κεφάλαιο 3.1. }.

78 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τέλος, αντί της δύσχρηστης μεθόδου του να υπολογίζουμε ρητά το π p, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορά μητρώων και να την εφαρμόσουμε στην (3.167) για να βρούμε π p { ˆd} = AL[B]T [D][B]{ ˆd} { ˆf} = 0, (3.177) όπου [D] T = [D] έχει χρησιμοποιηθεί για την (3.177). Το αποτέλεσμα της εκτίμησης του AL[B] T [D][B] είναι ίσο με το [ˆk] που δίνεται από την (3.176). 3.6 Παραδείγματα δικτυωμάτων Παράδειγμα Επίπεδο Δικτύωμα 1. Το δικτύωμα του Σχήματος 3.34, αποτελείται από έξι (6) ράβδους διατομής 0.001m 2. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = kν/m 2. Το δικτύωμα στηρίζεται στους δύο αριστερούς κόμβους με αρθρώσεις. Ζητείται να επιλυθεί το σύστημα του επίπεδου δκτυώματος για κατακόρυφη φόρτιση στον δεξιό κάτω κόμβο (2) ίση με 70Ν. Με την παραδοχή ότι κάθε ράβδος του δικτυώματος αντιστοιχεί σε ένα πεπερασμένο στοιχείο χρησιμοποιούμε γραμμικά στοιχεία για την διακριτοποίηση του φορέα (Σχ. 3.35). Στη συνέχεια επιβάλουμε το σημειακό φορτίο στον κόμβο 2 και επιλύομε το δικτύωμα στατικά. Από την επίλυση του φορέα υπολογίζουμε τις μετατοπίσεις των κόμβων όπως δίνονται στο Σχήμα 3.36 όπου έχομε τον αρχικό φορέα και την παραμόρφωση του μετά την επιβολή της φόρτισης καθώς και τις τάσεις που αναπτύσσονται στις ράβδους (Σχ. 3.37). Παράδειγμα Επίπεδο Δικτύωμα 2. Το δικτύωμα του Σχήματος 3.38, αποτελείται από δεκαεννέα (19) ράβδους (όσα και τα πεπερασμένα στοιχεία που θεωρούμε στη προσέγγισή μας) διατομής A = 0, 01. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = Το δικτύωμα στηρίζεται στο σημείο Α (στις δύο διευθύνσεις) και στα σημεία Β και Γ (μόνο στην κατακόρυφη διεύθυνση) όπως φαίνεται στο Σχήμα Ζητείται να επιλυθεί το σύστημα του επίπεδου δκτυώματος για κατακόρυφη φόρτιση στο σημείο Δ ίση με 100Ν. Με την παραδοχή ότι κάθε ράβδος του δικτυώματος αντιστοιχεί σε ένα πεπερασμένο στοιχείο χρησιμοποιούμε γραμμικά στοιχεία για τη διακριτοποίηση του φορέα (Σχ. 3.39). Στην συνέχεια επιβάλουμε το σημειακό φορτίο στον κόμβο που αντιστοιχεί στο σημείο Δ και επιλύομε το δικτύωμα στατικά. Από την επίλυση του φορέα υπολογίζουμε τις μετατοπίσεις των κόμβων (Σχ. 3.40) καθώς και τις τάσεις που αναπτύσσονται στις ράβδους (Σχ. 3.41).

79 3.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ,866m 1 2 1,5m Σχήμα 3.34: 1ο Επίπεδο δικτύωμα. Σχήμα 3.35: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων και συνοριακές συνθήκες.

80 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.36: Παραμορφωμένος φορέας τιμές κατακόρυφης μετατόπισης. Σχήμα 3.37: Τάσεις ράβδων.

81 3.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ 139 Σχήμα 3.38: 2ο Επίπεδο δικτύωμα. Σχήμα 3.39: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων και συνοριακές συνθήκες.

82 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.40: Παραμορφωμένος φορέας τιμές κατακόρυφης μετατόπισης. Σχήμα 3.41: Τάσεις ράβδων.

83 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ Ανάπτυξη εξισώσεων και πεπερασμένου στοιχείου δοκού σε κάμψη, κατά τη θεωρία Euler- Bernouli Στην παράγραφο αυτή το γραμμικό στοιχείο θα θεωρηθεί φορτισμένο και εκτός του άξονά του, έτσι ώστε να λειτουργεί σε κάμψη. Για απλότητα θα αποσυνδέσουμε τη λειτουργία ράβδου, που έχει ήδη παρουσιαστεί, με την καθαρή θεωρία κάμψεως σύμφωνα με το μοντέλο δοκού σε κάμψη κατά Euler-Bernouli, και θα αναπτύξουμε ένα πεπερασμένο στοιχείο γι αυτήν την λειτουργία. Η αποσύνδεση αυτή είναι επιτρεπτή για απλές δοκούς με συμμετρικές διατομές και υλικό, και όχι για παράδειγμα για σύνθετες δοκούς με μεταβαλλόμενη διατομή ή υλικό, όπως ένα φτερό ανεμογεννήτριας. Το πεπερασμένο στοιχείο δοκού που προκύπτει θα έχει τους βαθμούς ελευθερίας και τις φορτίσεις που φαίνονται στο Σχήμα Συγκεκριμένα σε κάθε κόμβο θα υπάρχουν δύο κινηματικοί βαθμοί ελευθερίας, η εγκάρσια μετακίνηση d και η στροφή ϕ, και θα εφαρμόζονται οι ενεργειακά ανταποκρινόμενες δυνάμεις, διατμητική δύναμη f y και ροπή m. Σχήμα 3.42: Διδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο δοκού σε κάμψη. Για την εξαγωγή της θεωρίας δοκού σε κάμψη θεωρούμε το μοντέλο και το απειροστό στοιχείο της δοκού που φαίνεται στο Σχήμα Σε κάθε θέση

84 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ x της δοκού εφαρμόζεται η κατανεμημένη δύναμη w(x), ενώ στο διαφορικό στοιχείο dx εφαρμόζονται οι διατμητικές δυνάμεις V και οι ροπές κάμψεως M, και αντιστοίχως V +dv, M +dm. Από την εξίσωση των κατακόρυφων δυνάμεων Σχήμα 3.43: Δοκός σε κάμψη και απειροστό στοιχείο της. για το απειροστό στοιχείο της δοκού προκύπτουν οι σχέσεις: Fy = 0 : V (V + dv ) w(ˆx)dx = 0. (3.178) ή με απλοποίηση της (3.178), η wdˆx dv = 0 ή w = dv dˆx. Η εξίσωση των ροπών κάμψης για το απειροστό αυτό στοιχείο γράφεται ( ) dˆx M2 = 0 : V dx + dm + w(ˆx)dˆx = 0 ή V = dm 2 dˆx. Υπενθυμίζεται εδώ ότι η καμπυλότητα της δοκού k συνδέεται με τη ροπή M μέσω της σχέσης k = 1 ρ = M EI, (3.179)

85 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ143 όπου ρ συμβολίζει την ακτίνα καμπυλότητας της παραμορφωμένης δοκού, ˆv είναι η εγκάρσια συνάρτηση μετακίνησης, E το μέτρο ελαστικότητας του υλικού και I η ροπή αδράνειας της διατομής γύρω από τον άξονα z, που είναι κάθετος στο επίπεδο x y της δοκού. Η καμπυλότητα για μικρές γωνίες ˆϕ = d 2ˆv/dˆx 2 δίδεται από τη σχέση k = d2ˆv dˆx 2, (3.180) k = d2ˆv dˆx 2 = M EI. Με χρήση των προηγούμενων εξισώσεων (3.179) και (3.180) προκύπτει η διαφορική εξίσωση της δοκού σε κάμψη ( d 2 EI d2ˆv ) = w(ˆx) dˆx 2 dˆx 2 η οποία απλοποιείται παραπέρα για την περίπτωση δοκού με σταθερή διατομή EI και μηδενική εγκάρσια φόρτιση EI d4ˆv = 0. (3.181) dˆx 4 Τα βήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην περίπτωση της ράβδου θα επαναληφθούν και για την περίπτωση της δοκού σε κάμψη, με κατάλληλες προσαρμογές λόγω των αυξημένων απαιτήσεων της διαφορικής εξίσωσης (ανώτερη τάξη παραγώγου). ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του πεπερασμένου στοιχείου. Όπως προαναφέρθηκε, θα χρησιμοποιηθεί το διδιάστατο στοιχείο δοκού σε κάμψη, Σχήμα Επι- ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής μέσα στο στοιχείο. λέγεται το πλήρες πολυώνυμο τρίτου βαθμού ως προς τη θέση x ˆv(ˆx) = a 1ˆx 3 + a 2ˆx 2 + a 3ˆx + a 4. (3.182) Η επιλογή καθοδηγείται από τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης (3.181) και οι τέσσερις σταθερές που υπεισέρχονται σε αυτό a 1 - a 4 είναι ακριβώς ίσες με τους βαθμούς ελευθερίας του στοιχείου.

86 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Με κατάλληλη χρήση της γενικής πολυωνυμικής εξίσωσης (3.182) στους κόμβους του στοιχείου x = 0, και x = L, προκύπτει ˆv(0) = ˆd 1y = a 4, dˆv(0) = dˆx ˆϕ 1 = a 3, ˆv(L) = ˆd 2y = a 1 L 3 + a 2 L 2 + a 3 L + a 4, dˆv(l) = dˆx ˆϕ 2 = 3a 1 L 2 + 2a 2 L + a 3. (3.183) Επιλύοντας τις προηγούμενες εξισώσεις (3.183) ως προς a 1 - a 4 και αντικαθιστώντας στη γενική εξίσωση (3.181) προκύπτει ˆv = [ 2 L ( ˆd 3 1y ˆd 2y ) + 1 ] L ( ˆϕ ˆϕ 2 ) ˆx 3 [ + 3 L ( ˆd 2 1y ˆd 2y ) 1 ] L (2 ˆϕ 1 + ˆϕ 2 ) ˆx 2 + ˆϕ 1ˆx + ˆd 1y Η τελευταία γράφεται σε συμπαγή μητρωική μορφή ˆv = [N] ˆd, όπου οι βαθμοί ελευθερίας και οι συναρτήσεις παρεμβολής συμβολίζονται με ˆd 1y { ˆd} ˆϕ = 1, [N] = [N 1 N 2 N 3 N 4 ]. ˆd 2y ˆϕ 2 Αναλυτικά οι συναρτήσεις παρεμβολής γράφονται N 1 = 1 L 3 (2ˆx3 3ˆx 2 L + L 3 ), N 2 = 1 L 3 (ˆx3 L 2ˆx 2 L 2 + ˆxL 3 ) N 3 = 1 L 3 ( 2ˆx3 + 3ˆx 2 L), N 4 = 1 L 3 (ˆx3 L ˆx 2 L 2 ), Οι N 1, N 2, N 3 και N 4 είναι κυβικές εξισώσεις και είναι γνωστές ως οι κυβικές εξισώσεις παρεμβολής του Hermite. Φαίνονται γραφικά στο Σχήμα 3.44.

87 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ145 N 1 N 2 N 3 L 0 N 4 Σχήμα 3.44: Συναρτήσεις παρεμβολής για το στοιχείο της δοκού. Σημειώνονται εδώ οι ιδιότητες των συναρτήσεων παρεμβολής N 1 (0) = 1 L 3 (L3 ) = 1, N 1 (L) = 1 L 3 (2L3 3L 2 L + L 3 ) = 0, dn 1 dˆx (0) = 1 L 3 (6ˆx2 6ˆxL), dn 1 (0) dˆx = 0, dn 1 dˆx (L) = 1 L 3 (6L2 6LL) = 0 και (dn 2 /dˆx) = 1. Ανάλογα ισχύουν και για τις συναρτήσεις N 3 και N 4. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμορφώσεων-μετακινήσεων και τάσεωνπαραμορφώσεων. Η σχέση μεταξύ των αξονικών παραμορφώσεων και των μετακινήσεων του κεντρικού άξονα της δοκού παίρνει τη μορφή ε x (ˆx, ŷ) = dû dˆx,