ΜΑΘΗΜΑ 4 Ο. 4.1 Ισορροπία Μονοψωνιακής Επιχείρησης που Χρησιµοποιεί Περισσότερες από µία Μεταβλητές Εισροές

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 4 Ο 4.1 Ισορροπία Μονοψωνιακής Επιχείρησης που Χρησιµοποιεί Περισσότερες από µία Μεταβλητές Εισροές Εάν οι αγορές των εισροών είναι µονοψωνιακές, οποιαδήποτε µεταβολή στις ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών θα προκαλέσει µεταβολές στις τιµές τους δεδοµένου ότι αυτές δεν είναι σταθερές. Για να µεγιστοποιήσει λοιπόν τα κέρδη του ο µονοψωνητής θα πρέπει να προσαρµόσει τις ποσότητες των εισροών που χρησιµοποιεί µέχρις ότου ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης τους να ισούται µε το λόγο της οριακής δαπάνης τους. ηλαδή να ισχύει: MP MEI MRTS, (4.1) MP MEI Όταν οι αγορές των εισροών είναι ανταγωνιστικές τότε ΜΕΙ Χ w και ΜΕΙ Υ r όποτε ο παραγωγός εξισώνει τον ΜRTS, µε τον λόγο των τιµών των εισροών. Έστω η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος της επιχείρησης σε αντίστροφη µορφή: p p g( q), < 0 q και η συνάρτηση παραγωγής q q q f ( x,y ), > 0 > 0 x y (4.) (4.3) Οι συναρτήσεις προσφοράς των παραγωγικών συντελεστών x και y είναι: ( ) h( y ) w m x και r (4.4) Η συνάρτηση κέρδους είναι: π pq wx ry (4.5) Ο µονοψωνητής επιλέγει ποσότητες x και y έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει τα κέρδη του. ηλαδή: - 1 -

2 max x,y ( π ) pq wx ry Οι συνθήκες πρώτης τάξης για µεγιστοποίηση των κερδών απαιτούν: π q p x x p + q q q x w w x x 0 (4.6) π q p y y p + q q q y r r y y 0 (4.7) Οι παραπάνω σχέσεις µπορούν να γραφούν ως εξής: q p w p + q w + x x q x MP MR MEI (4.8) q p p + q r y q r + y y MP MR MEI (4.9) δεδοµένου ότι ( p q) ( 1 ) p p + q q q TR MR. q Εάν διαιρέσουµε κατά µέλη τις (4.8) και (4.9) έχουµε: MP MEI MRTS, (4.10) MP MEI Η οποία µπορεί να γραφεί και ως εξής: MP MP (4.11) MEI MEI που σηµαίνει ότι ο λόγος του οριακού προϊόντος µιας εισροής προς την οριακή της δαπάνη είναι σταθερός µεταξύ των εισροών που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή ενός προϊόντος. 4. ιµερές Μονοπώλιο - -

3 Μία άλλη µορφή ατελούς ανταγωνισµού που µπορεί να υπάρξει στις αγορές των εισροών είναι το διµερές µονοπώλιο. ηλαδή οι προµηθευτές µιας εισροής σχηµατίζουν ένα µονοπώλιο ενώ παράλληλα και οι επιχειρήσεις που χρησιµοποιούν την εισροή αυτή στην παραγωγική τους διαδικασία συµπεριφέρονται όπως ένας µονοψωνητής. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η αγορά εργασίας. Η καµπύλη ζήτησης του µονοψωνητή (των επιχειρήσεων) για εργασία εκφράζεται από το οριακό έσοδο του προϊόντος της (MRP ). Αντίθετα η καµπύλη προσφοράς που αντιµετωπίζει ο µονοψωνητής είναι η S δεδοµένου ότι αυτός µπορεί να επηρεάζει την τιµή της. Εποµένως η µονοψωνιακή επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της στο σηµείο Β όπου η οριακή δαπάνη της εργασίας ισούται µε το οριακό έσοδο του προϊόντος της, ΜΕΙ MRP. Στο σηµείο Β αντιστοιχεί Β ποσότητα εργασίας η οποία προσφέρεται σε τιµή w. Από την πλευρά του µονοπωλητή (εργατικών ενώσεων) η καµπύλη D εκφράζει την καµπύλη του µέσου εσόδου και εποµένως την καµπύλη ζήτηση για εργασία (εκφράζει την οριακή ωφέλεια που προκύπτει για τις επιχειρήσεις από την «κατανάλωση» του αγαθού εργασία, ΤR *MRP όποτε R MRP ). Αντίστοιχα η ΜR εκφράζει το οριακό έσοδο για τις εργατικές ενώσεις. Η καµπύλη S από την πλευρά των εργατικών ενώσεων εκφράζει το οριακό κόστος του προσφερόµενου - 3 -

4 προϊόντος, της εργασίας. εδοµένου ότι οι εργατικές ενώσεις ενεργούν ως µονοπωλητές του αγαθού εργασία θα µεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους στο σηµείο όπου το οριακό τους έσοδο ισούται µε το οριακό κόστος. Αυτό συµβαίνει στο σηµείο Ε όπου προσφέρονται E µονάδες εργασίας στην τιµή w Ε. Εποµένως w είναι το κατώτατο όριο που θα µπορούσαν να επιτύχουν οι επιχειρήσεις (µονοψωνητής) εάν µπορούσε να εξαναγκάσει τις εργατικές ενώσεις (µονοπωλητή) να συµπεριφερθούν ως πωλητές εργασίας κάτω από τελείως ανταγωνιστικές συνθήκες. Αντίθετα το ηµεροµίσθιο w Ε είναι το ανώτατο όριο που θα µπορούσε να επιτύχει ο µονοπωλητής εργασίας (εργατικές ενώσεις) εάν ανάγκαζαν τις επιχειρήσεις (µονοψωνητή) να συµπεριφερθεί ως τέλειος ανταγωνιστής. Επειδή κανείς δεν µπορεί να εξαναγκάσει τον άλλο το ηµεροµίσθιο και η απασχόληση δεν µπορούν να προσδιοριστούν µε ακρίβεια στην περίπτωση που η αγορά έχει την µορφή διµερούς µονοπωλίου. Ο προσδιορισµός τους είναι αποτέλεσµα των διαπραγµατεύσεων των δύο µερών, και εποµένως της διαπραγµατευτικής τους δύναµης. Το ηµεροµίσθιο ισορροπίας θα διαµορφωθεί µεταξύ ανώτερου και κατώτερου ορίου ( w w ). w E 4.3 Ανταγωνιστική Αγορά Εργασίας και Μονοπωλιακή ύναµη της Εργατικής Ένωσης Υποθέτουµε ότι οι επιχειρήσεις δεν έχουν ούτε µονοπωλιακή ούτε µονοψωνιακή δύναµη και λειτουργούν υπό καθεστώς πλήρους ανταγωνισµού, ενώ οι εργαζόµενοι είναι οργανωµένοι σε µία εργατική ένωση που συµπεριφέρεται ως µονοπωλητής. Η καµπύλη S αποτελεί την καµπύλη προσφοράς και οριακού κόστους της εργασίας καθώς από την πλευρά των επιχειρήσεων η αγορά εργασίας είναι ανταγωνιστική. Η αγοραία ζήτηση εργασίας απεικονίζεται από την D και εκφράζει την αξία του οριακού προϊόντος (MVP ) της εργασίας. Η καµπύλη D εκφράζει επίσης την καµπύλη του µέσου εσόδου της εργατικής ένωσης (R ). Με βάση την καµπύλη του µέσου εσόδου προκύπτει και η καµπύλη του οριακού εσόδου της εργατικής ένωσης

5 Η ισορροπία στην αγορά εργασίας προσδιορίζεται από τους παρακάτω τρεις στόχους της εργατικής ένωσης. α. Μεγιστοποίηση της Απασχόλησης Η µεγιστοποίηση της απασχόλησης επιτυγχάνεται στο σηµείο Ε όπου το οριακό κόστος της εργασίας ισούται µε το µέσο έσοδο. Στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί επίπεδο απασχόλησης και ηµεροµίσθιο w. β. Μεγιστοποίηση των Εσόδων των Εργαζοµένων Η µεγιστοποίηση των εσόδων των εργαζοµένων πραγµατοποιείται στο σηµείο Ε 1 όπου το οριακό έσοδο των εργατικών ενώσεων µηδενίζεται (maxτr απαιτεί όπως MR0). Στο σηµείο αυτό το επίπεδο απασχόλησης είναι 1 και το ύψος του ηµεροµισθίου w 1. γ. Μεγιστοποίηση της Συνολικής Ωφέλειας των Ενώσεων Η µεγιστοποίηση της συνολικής ωφέλειας των ενώσεων πραγµατοποιείται στο σηµείο Ε όπου το οριακό κόστος ισούται µε το οριακό έσοδο των ενώσεων. Στο σηµείο αυτό το επίπεδο της απασχόλησης είναι και το ύψος του ηµεροµισθίου w

6 Συµπέρασµα: Στην περίπτωση που οι επιχειρήσεις δεν έχουν µονοψωνιακή δύναµη, το ηµεροµίσθιο και η απασχόληση καθορίζεται από τους ειδικότερους στόχους της εργατικής ένωσης. 4.4 Ανταγωνιστική Αγορά Εργασίας και Εργατική Ένωση Ας θεωρήσουµε µια τελείως ανταγωνιστική αγορά εργασίας στην οποία υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός µικρών επιχειρήσεων και ένα µεγάλος αριθµός εργαζοµένων. Το σηµείο ισορροπίας στην αγορά εργασίας καθορίζεται από το σηµείο Ε όπου αντιστοιχεί ηµεροµίσθιο w και επίπεδο απασχόλησης. Ας υποθέσουµε ότι οι εργαζόµενοι αποφασίζουν να οργανωθούν σε µία εργατική ένωση µε σκοπό να αυξήσουν το κατώτατο ηµεροµίσθιο από w σε w 1. Αυτό έχει σαν συνέπεια η νέα καµπύλη προσφοράς να είναι η τεθλασµένη γραµµή w 1 ΑS που τέµνει την καµπύλη ζήτησης στο σηµείο Ε

7 Στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί 1 επίπεδο απασχόλησης. Η αύξηση λοιπόν του w οδηγεί σε µείωση της απασχόλησης κατά 1 και εµφάνιση υπερβάλλουσας προσφοράς εργασίας 1 που είναι µεγαλύτερη από τη µείωση της απασχόλησης. Τα µέλη της εργατικής ένωσης που διατηρούν την εργασία τους είναι σε καλύτερη θέση αφού τα εισοδήµατα τους είναι υψηλότερα. Οι εργαζόµενοι όµως που χάνουν την εργασίας τους βρίσκονται σε δεινότερη θέση εκτός εάν τα συνολικά έσοδα που προέρχονται από τα ηµεροµίσθια αυξηθούν και η εργατική ένωση τα διανείµει µεταξύ όλων των εργαζοµένων βελτιώνοντας έτσι τη θέση όλων. Για να συµβεί όµως αυτό θα πρέπει να ισχύει Ow 1 E11 > OwE. Αυτό εξαρτάται από την ελαστικότητα ζήτησης για εργασία. Εάν είναι ανελαστική τότε ισχύει η παραπάνω ανισότητα, εάν όµως είναι ελαστική τότε ισχύει το αντίστροφο. 4.5 Μονοψωνιακή Αγορά Εργασίας και Εργατική Ένωση Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µία µόνο επιχείρηση που χρησιµοποιεί εργασία (µονοψώνιο) και µία εργατική ένωση η οποία όµως δεν αποσκοπεί όµως στην µεγιστοποίηση των κερδών της αλλά είτε στην µεγιστοποίηση της απασχόλησης των µελών της είτε στην µεγιστοποίηση του ηµεροµισθίου διατηρώντας σταθερό το επίπεδο απασχόλησης. Πριν την δηµιουργία της ενώσεως το σηµείο ισορροπίας είναι το σηµείο c όπου το οριακό έσοδο του προϊόντος της εργασίας ισούται µε την οριακή δαπάνη της - 7 -

8 εργασίας (ΜΕΙ MRP ). Στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί επίπεδο απασχόλησης και ύψος ηµεροµισθίου w. Μεγιστοποίηση της απασχόλησης Για την µεγιστοποίηση της απασχόλησης η ένωση καθορίζει κατώτατο ύψος ηµεροµισθίου w. Η νέα καµπύλη προσφοράς εργασίας είναι η w as στην οποία αντιστοιχεί καµπύλη οριακής δαπάνης που αποτελείται από δύο ασυνεχείς γραµµές, τη w a και τη bmei. Η µονοψωνιακή επιχείρηση ισορροπεί στο σηµείο a όπου η οριακή δαπάνη ισούται µε το οριακό έσοδο του προϊόντος της εργασίας. Στο σηµείο a αντιστοιχεί επίπεδο απασχόλησης m. Επειδή τα ηµεροµίσθια και η απασχόληση αυξάνουν, τα συνολικά έσοδα που προέρχονται από την εργασία αυξάνουν. Κάθε εργαζόµενος αµείβεται µε βάση το οριακό έσοδο του προϊόντος του. Εποµένως η απώλεια για το κοινωνικό σύνολο που προκύπτει από την ύπαρξη µονοψωνίου µετριάζεται χωρίς όµως να εξαλειφθεί πλήρως αφού οι εργαζόµενοι δεν αµείβονται µε βάση την αξία του οριακού τους προϊόντος (υπενθυµίζεται ότι η καµπύλη ΜVP βρίσκεται αριστερά και πάνω από την ΜRP ). Μεγιστοποίηση του ηµεροµισθίου Για την µεγιστοποίηση του ηµεροµισθίου και τη διατήρηση του επιπέδου απασχόλησης η ένωση καθορίζει ηµεροµίσθιο w m. Στην προκειµένη περίπτωση η καµπύλη προσφοράς εργασίας είναι η τεθλασµένη γραµµή w m ds και η καµπύλη της οριακής δαπάνης αποτελείται από δύο ασυνεχείς γραµµές την w m d και eμει. Η επιχείρηση είναι σε ισορροπία στο σηµείο c όπου η ασυνεχής καµπύλη της οριακής δαπάνης τέµνει την καµπύλη του οριακού προϊόντος της εργασίας. Στο σηµείο c αντιστοιχεί ηµεροµίσθιο w m και απασχόληση. ηλαδή επιτυγχάνεται αύξηση των συνολικών εσόδων της ένωσης χωρίς καµία µεταβολή στο επίπεδο απασχόλησης. Τα συνολικά έσοδα εµφανώς αυξάνονται παρόλο που δεν εξαλείφονται εντελώς οι απώλειες καθώς οι εργαζόµενοι εξακολουθούν να µην αµείβονται την αξία του οριακού τους προϊόντος. Συµπέρασµα: α) εάν οι επιχειρήσεις δεν έχουν µονοψωνιακή δύναµη, η εργατική ένωση µπορεί να πετύχει αύξηση του ηµεροµισθίου σε βάρος της απασχόλησης. Το αποτέλεσµα µπορεί να είναι ευεργετικό για τα µέλη της µόνο όταν η ζήτηση εργασίας είναι ανελαστική και τα συνολικά έσοδα διανέµονται στα µέλη της. β) εάν η επιχείρηση έχει µονοψωνιακή δύναµη η εργατική ένωση µπορεί να εξαλείψει µέρος ή το - 8 -

9 σύνολο της µονοψωνιακής εκµετάλλευσης (απώλειες) ανάλογα µε τους στόχους τους οποίους θέτει. Πάντως σε καµία περίπτωση δεν µπορεί να εξαλείψει εντελώς την µονοψωνιακή εκµετάλλευση. γ) εάν οι επιχειρήσεις δεν έχουν µονοψωνιακή δύναµη, η εργατική ένωση µπορεί να αυξήσει τα συνολικά έσοδα είτε αυξάνοντας τα ηµεροµίσθια είτε αυξάνοντας την απασχόληση είτε και τα δύο. Η µόνη περίπτωση που τα µέλη της ένωσης ζηµιώνονται είναι όταν η καµπύλη ζήτησης εργασίας είναι ελαστική και η ένωση καθορίσει ηµεροµίσθιο υψηλότερο από εκείνο που αντιστοιχεί στο µέγιστο αρχικό επίπεδο απασχόλησης

10 ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο 5.1 Αποτελεσµατική ιανοµή στην Κατανάλωση ύο Αγαθών Υποθέσεις: Υποθέτουµε δύο καταναλωτές (Α, Β) και δύο αγαθά (Χ,Υ). Η συνάρτηση χρησιµότητας καθενός από τους συναλλασσόµενους είναι συνεχής και διαφορίσιµη χαρακτηριζόµενη από φθίνοντα MRS, (κυρτές καµπύλες αδιαφορίας). Από την κατανάλωση των δύο αγαθών ποτέ δεν επέρχεται κορεσµός (αξίωµα του ακόρεστου). Αυτό σηµαίνει ότι MU >0 καθώς και ότι ισχύει η µονοτονικότητα των προτιµήσεων. Ανυπαρξία εξωτερικών επιδράσεων στην κατανάλωση. Η διαγραµµατική παρουσίαση της ισορροπίας µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας το διάγραµµα του Edgeworth. Το διάγραµµα αυτό είναι συνδυασµός των ατοµικών καµπυλών αδιαφορίας των δύο καταναλωτών. Η αρχή των αξόνων για τον καταναλωτή Α είναι το σηµείο Ο Α ενώ η αρχή των αξόνων για τον Β είναι το σηµείο Ο Β. Το µήκος του διαγράµµατος αντιπροσωπεύει όλη την διαθέσιµη ποσότητα του αγαθού Χ στην οικονοµία και αντίστοιχα το ύψος του αυτή του Υ. Ας υποθέσουµε ότι το αρχικό σηµείο κατανοµής των αγαθών µεταξύ των δύο καταναλωτών είναι το Ρ 1. Στο σηµείο αυτό ο Α καταναλώνει ΟΥ 1 ποσότητα από το Υ και ΟΧ 1 ποσότητα από το Χ, ενώ ο Β καταναλώνει ΡΥ 1 ποσότητα από το Υ και ΖΧ

11 από το Χ. εδοµένων τα των υποθέσεων ως προς την κατασκευή του διαγράµµατος θα ισχύει: + και + (5.1) Κάθε µεταβολή από το αρχικό σηµείο ισορροπίας θα σηµάνει την ανακατανοµή των καταναλισκόµενων ποσοτήτων των δύο αγαθών από τους δύο καταναλωτές. Με δεδοµένες τις υποθέσεις της κυρτότητας και µονοτονικότητας των καµπυλών αδιαφορίας των Α και Β, η ανταλλαγή θα λάβει χώρα µόνο εάν ο καθένας από τους συµβαλλόµενους δεν χειροτερεύσει τη θέση του. Το σύνολο το σηµείων που περικλείεται από τις καµπύλες αδιαφορίας Α και Β είναι καλύτερο από το σηµείο Ρ 1, ενώ το σύνολο το σηµείων εκτός αυτής της περιοχής είναι χειρότερο. Π.χ. το σηµείο Ρ είναι καλύτερο και για τους καταναλωτές καθώς και οι δύο βρίσκονται σε ανώτερη καµπύλη αδιαφορίας από τις Α και Β. Αντίθετα το σηµείο Ρ είναι χειρότερο από το Ρ 1 καθώς και οι δύο καταναλωτές βρίσκονται σε κατώτερη καµπύλη αδιαφορίας. Ας υποθέσουµε ότι το αρχικό σηµείο ισορροπίας είναι το Ρ και ο Α προτείνει στον Β το σηµείο ανακατανοµής Ρ 1 που γίνεται δεκτό καθώς ωφελεί και τους δύο. Ο Β αντιπροτείνει το σηµείο Ρ που επίσης γίνεται δεκτό από τον Α καθώς αυξάνεται η χρησιµότητα τους. Η διαδικασία αυτή θα επαναλαµβάνεται µέχρις ότου η ισορροπία φτάσει στο σηµείο Ρ 4 όπου θα παραµείνει καθώς είναι σηµείο επαφής των καµπυλών αδιαφορίας των δύο καταναλωτών. Το σηµείο Ρ 4 λέγεται σηµείο άριστης διανοµής

12 Εάν δεχθούµε την δυνατότητα οποιασδήποτε αρχικής θέσεως σε οποιοδήποτε σηµείο του διαγράµµατος τότε η διαδικασία των διαπραγµατεύσεων και της ανταλλαγής µπορεί να φέρει τα άτοµα σε οποιαδήποτε σηµείο πάνω στην καµπύλη Ο Α Ο Β. Η καµπύλη αυτή ονοµάζεται καµπύλη αρίστων σηµείων διανοµής στο υπόδειγµα της διµερούς ανταλλαγής. Κάθε σηµείο πάνω στην καµπύλη αυτή είναι αποτελεσµατικό σηµείο διανοµής των δύο αγαθών µεταξύ των δύο ατόµων. Τα σηµεία αυτά επικρατούν πάνω σε κάθε άλλο σηµείο έξω από την καµπύλη. Πάνω στην καµπύλη αρίστων σηµείων διανοµής ισχύει:, MRS MRS, (5.) Η ισότητα αυτή αποτελεί απαραίτητη συνθήκη άριστης διανοµής των αγαθών. Κάθε σηµείο πάνω στην καµπύλη αρίστων σηµείων διανοµής των δύο αγαθών είναι κατά Pareto άριστο µε την έννοια ότι κάθε αποµάκρυνση από την καµπύλη οδηγεί σε µείωση του επιπέδου χρησιµότητας ενός τουλάχιστον καταναλωτή. Αλγεβρική Ανάλυση Έστω οι συναρτήσεις χρησιµότητας των δύο καταναλωτών: U U U f (, ), > 0, > 0 U U U f (, ), > 0, > 0 (5.3) (5.4) Η συνολική ποσότητα για κάθε αγαθό δίνεται + και + (5.5) Το πρόβληµα έγκειται στην µεγιστοποίηση της χρησιµότητας του Α µε δεδοµένο το επίπεδο χρησιµότητας του Β. ηλαδή max U, (, ) f (5.6) s.t. U f (, ) - 1 -

13 Η εξίσωση του agrange έχει ως εξής: V (, ) + [ f (, ) U ] f λ (5.7) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι και V V f f f ( ) f f + λ λ 0 (5.8) f ( ) f f + λ λ 0 (5.9) ιαιρώντας κατά µέλη λαµβάνουµε: MU MU MU MRS, MRS, (5.10) MU επαληθεύοντας την σχέση (5.) παραπάνω. ηλαδή στα άριστα σηµεία ισορροπίας στην ανταλλαγή δύο αγαθών και δύο καταναλωτών θα πρέπει ο οριακός λόγος υποκατάστασης να είναι κοινός. Αυτό συµβαίνει µόνο στα σηµεία επαφής µεταξύ των καµπυλών αδιαφορίας του Α και του Β. 5. Άριστη Κατανοµή των Παραγωγικών Συντελεστών στην Παραγωγή ύο Αγαθών Υποθέσεις: Η ποσότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή είναι δεδοµένη, οµοιογενής και διαιρετή. Η συνάρτηση παραγωγής κάθε προϊόντος είναι συνεχής, διαφορίσιµη και σταθερής αποδόσεως κλίµακας (το οποίο σηµαίνει ότι η συνάρτηση µετασχηµατισµού είναι κυρτή ή ευθεία γραµµή). εν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις στην παραγωγή. Τα οριακά προϊόντα των εισροών είναι θετικά και φθίνοντα

14 Για την ανάλυση της ισορροπίας χρησιµοποιούµε το αντίστοιχο διάγραµµα του Edgeworth. Η αρχή των αξόνων για το αγαθό Χ είναι το Ο Χ, ενώ η αρχή των αξόνων για το Υ είναι η Ο Υ. Ο κάθετος άξονας δείχνει τη διαθέσιµη ποσότητα του κεφαλαίου (Κ) και ο οριζόντιος τη διαθέσιµη ποσότητα εργασίας (). Ας υποθέσουµε ότι η αρχική κατανοµή των παραγωγικών συντελεστών βρίσκεται στο σηµείο Ρ όπου Ο Χ 1 ποσότητα εργασίας και Ο Χ Κ 1 ποσότητα κεφαλαίου χρησιµοποιούνται για τη παραγωγή Χ 1 ποσότητας από το Χ και Ο Υ ποσότητα εργασίας και Ο Υ Κ ποσότητα κεφαλαίου χρησιµοποιούνται για τη παραγωγή Υ 1 ποσότητας από το Υ. Η κατανοµή όµως των παραγωγικών συντελεστών δεν είναι αποτελεσµατική καθώς µια ανακατανοµή µεταξύ της παραγωγής του Χ και του Υ µπορεί να οδηγήσει σε αύξηση την παραγωγή τουλάχιστον ενός εκ των δύο προϊόντων. Τέτοια σηµεία είναι τα Ρ 1, Ρ και Ρ 3. Στο σηµείο Ρ ο MRTS, διαφέρει µεταξύ της παραγωγής του Χ και του Υ. Ειδικότερα ισχύει MP > MP και MP < MP MP MP MRTS > MRTS MP MP Εποµένως η εργασία είναι πιο αποδοτική στην παραγωγή του Χ από ότι το κεφάλαιο ενώ αντίθετα το κεφάλαιο είναι πιο αποδοτικό στην παραγωγή του Υ. Εποµένως για να είναι αποτελεσµατική η κατανοµή των παραγωγικών συντελεστών που έχει στην διάθεση της η οικονοµία θα πρέπει να µεταφερθούν πόροι εργασίας από την παραγωγή του Υ σε αυτή του Χ και αντίστροφα πόροι κεφαλαίου από την

15 παραγωγή από την παραγωγή του Χ σε αυτήν του Υ. Οποιαδήποτε σηµείο πάνω στην Ρ 1 Ρ είναι άριστο σηµείο κατανοµής και το οποίο επιβάλει ότι MRTS MRTS (5.11) η οποία είναι και η συνθήκη αριστοποίησης στην παραγωγή των δύο αγαθών. Κάθε σηµείο πάνω στην καµπύλη αρίστων σηµείων κατανοµής των παραγωγικών συντελεστών είναι κατά Pareto άριστο µε την έννοια ότι κάθε αποµάκρυνση από την καµπύλη οδηγεί σε µείωση της παραγωγής ενός τουλάχιστον αγαθού. Αλγεβρική Ανάλυση Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών Χ και Υ: f f f (, ), > 0, > 0 f f f (, ), > 0, > 0 (5.1) (5.13) Οι συνολικές ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου δίνονται: + και + (5.14) Το πρόβληµα έγκειται στην µεγιστοποίηση του επιπέδου παραγωγής του Χ µε δεδοµένο το επίπεδο παραγωγής του Υ. ηλαδή, (, ) max f (5.15) s.t. f (, ), Η εξίσωση του agrange έχει ως εξής: M [ ] (, ) + f (, ) f λ (5.16) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι

16 M M f f f f f + λ λ 0 (5.17) f f f + λ λ 0 (5.18) ιαιρώντας την (5.18) δια της (5.17) κατά µέλη λαµβάνουµε: MP MP MP MRTS, (5.19) MP επαληθεύοντας την σχέση (5.11) παραπάνω. ηλαδή στα άριστα σηµεία ισορροπίας στην παραγωγή των δύο αγαθών θα πρέπει ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης να είναι κοινός. Αυτό συµβαίνει µόνο στα σηµεία επαφής µεταξύ των καµπυλών ισοπαραγωγής του Χ και του Υ. 5.3 Ο Λόγος Κεφαλαίου-Εργασίας στο Υπόδειγµα Η καµπύλη άριστων σηµείων κατανοµής των δύο παραγωγικών συντελεστών δείχνει όχι µόνο τα σηµεία αποτελεσµατικής τους κατανοµής στην παραγωγή των δύο αγαθών αλλά και την τεχνολογία παραγωγής. Στο σηµείο Ρ 1 πάνω στην καµπύλη άριστων σηµείων κατανοµής ο λόγος κεφαλαίου προς εργασία στην παραγωγή του Χ διαφέρει από αυτόν στην παραγωγή του Υ. Συγκεκριµένα ισχύει P1 < O P Γ O Γ 1 Εποµένως το αγαθό Χ είναι εντάσεως εργασίας και το αγαθό Υ είναι εντάσεως κεφαλαίου. Εάν µετακινηθούµε από το σηµείο Ρ 1 στο σηµείο Ρ παρόλο που ο MRTS, παραµένει κοινός και για τα δύο αγαθά, ο λόγος / µεταβάλλεται. Ειδικότερα ο λόγος Κ/ στην παραγωγή του Χ αυξάνεται αλλά εξακολουθεί να παραµένει µικρότερος από τον αντίστοιχο στην παραγωγή του Υ ο οποίος επίσης αυξάνεται. Η αύξηση (µείωση) εποµένως της παραγωγής του αγαθού η παραγωγή του οποίου είναι εντάσεως εργασίας οδηγεί σε αύξηση (µείωση) του λόγου Κ/

17 Η µείωση της παραγωγής του Υ σηµαίνει την εγκατάλειψη ποσοτήτων Κ και στην αναλογία που παράγεται. Η εγκατάλειψη όµως µίας µονάδας συνεπάγεται την εγκατάλειψη περισσότερων µονάδων Κ δεδοµένου ότι το Υ είναι αγαθό εντάσεως Κ. Η ποσότητες Κ και που ελευθερώνονται θα πρέπει να απασχοληθούν στην παραγωγή του Χ οπότε αυξάνει ο λόγος Κ/ στην παραγωγή του. Για να απορροφηθεί όµως η επιπλέον ποσότητα κεφαλαίου από την παραγωγή του Χ θα πρέπει να µειωθεί η τιµή του Κ καθώς η ένταση στην χρήση των παραγωγικών συντελεστών εξαρτάται από τις σχετικές τους τιµές. Εποµένως η αµοιβή του Κ µειώνεται περισσότερο από ότι αυτή της εργασίας καθώς αυξάνεται η προσφερόµενη ποσότητα και εποµένως ο νέος λόγος r/w θα είναι µικρότερος. Η µεταβολή του λόγου των τιµών οδηγεί στην ανακατανοµή του εισοδήµατος µεταξύ των καταναλωτών και εποµένως στην διάρθρωση της ζήτησης. Το Υ καθίσταται πιο φθηνό από το Χ σε σχετικούς όρους. Η αύξηση της παραγωγής του προϊόντος εντάσεως εργασίας µε αντίστοιχη µείωση της παραγωγής του προϊόντος εντάσεως κεφαλαίου οδηγεί στην αύξηση του λόγου Κ/ σε ολόκληρη την οικονοµία καθώς και στην αύξηση του λόγου w/r και την ανακατανοµή του εισοδήµατος προς όφελος της εργασίας. Α ριθµητικό Παράδειγµα ίνονται οι συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών Χ και Υ

18 1 1 και να βρεθεί η καµπύλη άριστης κατά Pareto κατανοµής. MP MRTS, (1) MP MP και MP () από (1) και () MRTS, (3) MP MRTS, (4) MP MP και MP (5) 4 από (4) και (5) MRTS, (6) από (3) και (6) 3 ( + ) (7) Η (7) είναι η µαθηµατική έκφραση της καµπύλης των κατά Pareto άριστων σηµείων κατανοµής των συντελεστών Κ και η οποία είναι µη-γραµµική. Η καµπύλη είναι γραµµική µόνο εάν ο λόγος / είναι σταθερός και ίσος µεταξύ των δύο αγαθών. Από τη (6) προκύπτει ότι: 1 MRTS 3,

19 και από την (3) MRTS, Εποµένως ισχύει >

20 ΜΑΘΗΜΑ 6 Ο 6.1 Καµπύλη Παραγωγικών υνατοτήτων ή Μετασχηµατισµού Κάθε σηµείο της καµπύλης άριστων κατά Pareto σηµείων κατανοµής των παραγωγικών συντελεστών δείχνει δύο πράγµατα: πρώτο, µε ποιο τρόπο έχει γίνει η κατανοµή των παραγωγικών συντελεστών µεταξύ των δύο παραγωγικών δραστηριοτήτων και δεύτερο, όλους τους άριστους δυνατούς συνδυασµούς παραγωγής των δύο αγαθών Χ και Υ. Εάν µεταφέρουµε την καµπύλη άριστων σηµείων κατανοµής από το χώρο των εισροών στον χώρο τον αγαθών προκύπτει η καµπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων ή µετασχηµατισµού (production possibilities frontier ή transformation function). Η καµπύλη αυτή δείχνει τις άριστες επιλογές της οικονοµίας ή µε άλλα λόγια όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των αγαθών Χ και Υ οι οποίοι µπορούν να παραχθούν µε δεδοµένα τα αποθέµατα εισροών και την τεχνολογία παραγωγής. Εάν υποθέσουµε λοιπόν ένα παραγωγικό συντελεστή έστω Κ µπορούµε να ορίσουµε την συνάρτηση µετασχηµατισµού σε πεπλεγµένη µορφή ως εξής: T F(,, ) Λύνοντας ως προς Κ προκύπτει: f (, ) - 0 -

21 Η συνάρτηση λοιπόν µετασχηµατισµού µας δίνει το κόστος παραγωγής σε όρους του συντελεστή Κ. Εποµένως το κόστος παραγωγής είναι συνάρτηση των ποσοτήτων των αγαθών Χ και Υ. Η επιλογή ενός σηµείου πάνω στην καµπύλη µετασχηµατισµού προκύπτει από την µεγιστοποίηση της προσόδου µε δεδοµένο το επίπεδο χρησιµοποίησης του παραγωγικού συντελεστή Κ. ηλαδή: max R p, s.t. f (, ) + p Η συνάρτηση του agrange έχει ως εξής: V p + p + λ [ f (, )] Οι συνθήκες 1 ης τάξης απαιτούν όπως: και V V p λ p λ 0 0 από τις οποίες προκύπτει ότι: p p MC MC όπου ΜC Χ και MC Υ είναι το οριακό κόστος των προϊόντων Χ και Υ αντίστοιχα σε όρους του παραγωγικού συντελεστή Κ. Εάν πάρουµε το συνολικό διαφορικό της συνάρτηση µετασχηµατισµού προκύπτει: d MC d + MC d 0 Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: d d MC MC p p - 1 -

22 Χρησιµοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση µετασχηµατισµού προκύπτουν αντίστοιχα τα οριακά προϊόντα των αγαθών Χ και Υ σε όρους του παραγωγικού συντελεστή Κ. ηλαδή, και 1 1 MC 1 1 MC ( MP ) ( MP ) Κανένας συνδυασµός που αντιπροσωπεύεται από το σηµείο S δεν µπορεί να παραχθεί αφού η παραγωγή του θα απαιτούσε µεγαλύτερες ποσότητες παραγωγικών συντελεστών τις οποίες η οικονοµία δεν έχει στην διάθεση της. Από την άλλη µεριά η επιλογή του συνδυασµού R δεν είναι επιθυµητή καθώς σηµαίνει ότι ποσότητα διαθέσιµων παραγωγικών συντελεστών παραµένει ανεκµετάλλευτη. Εποµένως αντικειµενικός σκοπός του συστήµατος είναι η παραγωγή πάνω στην καµπύλη µετασχηµατισµού και όχι εντός ή έκτός αυτής. Η θέση και η κλίση της καµπύλης µετασχηµατισµού εξαρτάται από τα επίπεδα των διαθέσιµων εισροών, από τον λόγο των συνολικών εισροών και την τεχνολογία παραγωγής. Η κλίση της καµπύλης µετασχηµατισµού δείχνει τον οριακό λόγο µετασχηµατισµού µεταξύ των δύο αγαθών Χ και Υ. ηλαδή, κάθε σηµείο πάνω στην καµπύλη δείχνει πόσες µονάδες του αγαθού Χ θα πρέπει να θυσιαστούν ώστε να απελευθερωθούν παραγωγικοί πόροι για την παραγωγή µίας επιπλέον µονάδας του αγαθού Υ. Μαθηµατικά ο MRΤ, ορίζεται ως εξής: MRT, d MP MP MC (6.1) d MP MP MC Αριθµητικό Παράδειγµα Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών Χ και Υ οι οποίες ( ) 0. 5 ( ) 0. 5 και ( ) 0. 5 ( ) 0. 5 Να βρεθεί η µαθηµατική έκφραση της καµπύλης µετασχηµατισµού όταν η άριστη κατά Pareto καµπύλη κατανοµής των εισροών είναι ίση: - -

23 ή Λύση: Αντικαθιστούµε τις παραπάνω σχέσεις στις συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών Χ και Υ και έχουµε: ( ) (1) και ( ) () Από την (1) προκύπτει: () (3) Αντικαθιστούµε την (3) στην () και θεωρώντας ότι παίρνουµε: ( ) ( ) Η παραπάνω εξίσωση είναι η µαθηµατική έκφραση της καµπύλης µετασχηµατισµού η οποία είναι γραµµικής µορφής. Ο πρώτος όρος από την δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι το σηµείο τοµής του άξονα του Υ και δείχνει την µέγιστη δυνατή παραγωγή του Υ όταν όλη η ποσότητα κεφαλαίου και εργασίας απασχοληθεί στην παραγωγή του. Ο οριακός λόγος µετασχηµατισµού είναι ίσος: - 3 -

24 MRT, d d ο οποίος δείχνει ότι όταν µειώνεται η παραγωγή του Υ κατά µονάδες απελευθερώνονται παραγωγικοί συντελεστές οι οποίοι αυξάνουν την παραγωγή του Χ κατά 1 µονάδα (διαγραµµατική απεικόνιση). 6. Άριστη Παραγωγή και ιανοµή Αγαθών Η ικανοποίηση των άριστων συνθηκών στην παραγωγή των αγαθών απαιτεί όπως ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης µεταξύ των παραγωγικών συντελεστών να είναι ίδιος στην παραγωγή και των δύο αγαθών. Αυτό οδηγεί στην καµπύλη των άριστων σηµείων παραγωγής στο χώρο των εισροών. Από το χώρο των εισροών η καµπύλη των άριστων σηµείων κατανοµής ΕΕ µπορεί να µεταφερθεί στο χώρο των αγαθών και στην καµπύλη µετασχηµατισµού ΤΤ. Έτσι το σηµείο S πάνω στη καµπύλη µετασχηµατισµού αντιστοιχεί στην παραγωγή και ποσότητες και από τα δύο αγαθά. Το σηµείο αυτό αντιστοιχεί στο σηµείο Q της καµπύλης άριστων σηµείων κατανοµής το οποίο δείχνει ότι για την παραγωγή αυτού του συνδυασµού Χ και Υ απαιτείται η συγκεκριµένη κατανοµή των δεδοµένων παραγωγικών συντελεστών µεταξύ των δύο παραγωγικών δραστηριοτήτων. Ο συγκεκριµένος συνδυασµός προϊόντων προσδιορίζει ένα συγκεκριµένο όγκο αγαθών τα οποία είναι διαθέσιµα για τους καταναλωτές Α και Β. Οι ποσότητες αυτές προσδιορίζουν τις διαστάσεις ενός διαγράµµατος του Edgeworth για την κατανάλωση. Μέσα σε αυτό το διάγραµµα τοποθετούµε των χάρτη των καµπυλών αδιαφορίας των δύο καταναλωτών. Το σηµείο Ο είναι η αρχή για τον Α και το σηµείο S είναι η αρχή για τον Β. Η καµπύλη των άριστων σηµείων διανοµής των αγαθών για τους καταναλωτές είναι η ΟS. Η επιλογή του σηµείου ισορροπίας πάνω στην ΟS θα υποδειχθεί από τις συνθήκες αριστοποίησης. Οι συνθήκες αυτές απαιτούν όπως ο οριακός λόγος µετασχηµατισµού (MRT, ) µεταξύ των δύο αγαθών να είναι ίσος µε το οριακό λόγο υποκατάστασης στην κατανάλωση (MRS, ) των δύο αγαθών. Ας δούµε γιατί πρέπει να ισχύει αυτή η ισότητα. Ας υποθέσουµε ότι η κατανάλωση του καταναλωτή Β είναι ίση µε (Χ 0, Υ 0 ) και ότι η υπόλοιπη ποσότητα από τα δύο αγαθά καταναλώνεται από τον Α. Στο παρακάτω διάγραµµα το σηµείο Ο Α είναι η αρχή των αξόνων για των Α και ξεκινά από τον συνδυασµό (Χ 0, Υ 0 ) που έχει ήδη επιλέξει ο Β. Το σηµείο Τ 0 πάνω στην καµπύλη µετασχηµατισµού δεν είναι άριστο καθώς µία ανακατανοµή των - 4 -

25 παραγωγικών συντελεστών και αναδιάρθρωση της παραγωγής µε εγκατάλειψη ποσότητας του Υ και µε παραγωγή µεγαλύτερης ποσότητας από το Χ η ικανοποίηση ενός τουλάχιστον µέλους της οικονοµίας θα αυξηθεί. Αυτό συµβαίνει στο σηµείο Τ 1 όπου όµως ισχύει ότι: MRT MRS,, (6.) Η ισότητα αυτή ικανοποιείται στο σηµείο S όπου ο MRT, ταυτίζεται µε την κλίση της εφαπτοµένης. Εποµένως η συνθήκη συνολικής αριστοποίησης ικανοποιείται στο σηµείο S στο διάγραµµα και επιτυγχάνεται η γενική ισορροπία στην παραγωγή και την κατανάλωση. Το σηµείο αυτό υποδεικνύει την κατανοµή της παραγόµενης ποσότητας των αγαθών Χ και Υ µεταξύ των δύο καταναλωτών Α και Β. Αλγεβρική Ανάλυση Έστω η συνάρτηση χρησιµότητας του Α είναι: (,,, U f ) (6.3) όπου Χ Α και Υ Α είναι η καταναλισκόµενες από τον Α ποσότητες των αγαθών Χ και Υ αντίστοιχα, Κ Α και Α είναι η διαθέσιµες από τον Α ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας. Έστω ότι η αντίστοιχη συνάρτηση χρησιµότητας του Β είναι δεδοµένη: - 5 -

26 (,,, U f ) (6.3) Επίσης ισχύουν και οι παρακάτω σχέσεις: +, + (6.4) +, + (6.5) Επίσης η συνάρτηση µετασχηµατισµού της οικονοµίας δίνεται από την σχέση: ( +, +, +, ) T F + (6.6) Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί τις συνθήκες κανονικότητας καθώς και ότι η παραγωγή και η κατανάλωση είναι απαλλαγµένες από εξωτερικότητες. Για την κατά Pareto αριστοποίηση απαιτείται η µεγιστοποίηση της χρησιµότητας του Α µε δεδοµένο το επίπεδο ικανοποιήσεως του Β, τους παραγωγικούς συντελεστές που έχει στην διάθεση της η οικονοµία και την τεχνολογία παραγωγής των προϊόντων Χ και Υ. ηλαδή, max,,, U f (,,, ) s.t. U f (,,, ) ( +, +,, ) T F + + Η εξίσωση του agrange έχει ως εξής: V + µ F [ ] (,,, ) + U f (,,, ) [ ( +, +, +, + )] f λ + (6.7) Οι συνθήκες 1 ης τάξης είναι: - 6 -

27 V V V V MU U MU U F V F µ 0 (6.8α), MU µ 0 (6.8β) F V U F µ 0 (6.8γ), µ 0 (6.8δ) F V F + µ 0 (6.8ε), MU + µ 0 (6.8ζ) F V U F + µ 0 (6.8η), + µ 0 (6.8θ) ιαιρώντας κατά µέλη την (6.8α) µε την (6.8β) και (6.8ε) µε την (6.8ζ) και θέτοντας τις ίσες προκύπτει: MU MU d MU MRS, MRT, MRS, (6.9α) d MU ηλαδή ο οριακός λόγος υποκατάστασης στην κατανάλωση των δύο αγαθών από τον Α είναι ίσος µε αυτόν του Β και ίσος µε τον οριακό λόγο µετασχηµατισµού των δύο αγαθών. Η (6.9) είναι και η συνθήκη ισορροπίας στο σηµείο S του διαγράµµατος. ιαιρώντας την (6.8γ) µε την (6.8δ) και την (6.8η) µε την (6.8θ) και θέτοντας τις ίσες προκύπτει: U U d d U U MRS, MRTS, MRS, (6.9β) ηλαδή, ο οριακός λόγος υποκατάστασης µεταξύ των δύο εισροών τις οποίες προσφέρει ο Α είναι ίσος µε αυτόν του Β και ίσος µε τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης στην παραγωγή των αγαθών Χ και Υ. ιαιρώντας την (6.8γ) µε την (6.8α) και την (6.8η) µε την (6.8ε) και θέτοντας τις ίσες προκύπτει: U U MP U U (6.9γ) ηλαδή ο οριακός λόγος υποκατάστασης µεταξύ της προσφοράς κεφαλαίου και της κατανάλωσης του αγαθού Χ είναι ο ίδιος και για τους δύο καταναλωτές και ίσος µε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου στην παραγωγή του Χ. Αντίστοιχα διαιρώντας την (6.8γ) µε την (6.8β) και την (6.8η) µε την (6.8ζ) προκύπτει ότι: - 7 -

28 U U MP U U (6.9γ) το οριακό προϊόν του κεφαλαίου στην παραγωγή του αγαθού Υ είναι ίσο µε τον οριακό λόγο υποκατάστασης µεταξύ προσφοράς κεφαλαίου και κατανάλωσης του αγαθού Υ και για τους δύο καταναλωτές. ιαιρώντας την (6.8δ) µε την (6.8α) και την (6.8θ) µε την (6.8ε) και θέτοντας τις ίσες προκύπτει: U U MP U U (6.9δ) ηλαδή το οριακό προϊόν της εργασίας στην παραγωγή του αγαθού Χ είναι ίσο µε τον οριακό λόγο υποκατάστασης προσφοράς εργασίας και κατανάλωσης αγαθού Χ και για στους δύο καταναλωτές. Τέλος, αντίστοιχα προκύπτει η σχέση: U U MP U U (6.9δ) ηλαδή το οριακό προϊόν της εργασίας στην παραγωγή του αγαθού Υ είναι ίσο µε τον οριακό λόγο υποκατάστασης προσφοράς εργασίας και κατανάλωσης αγαθού Υ και για στους δύο καταναλωτές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η παρούσα συνθήκη αποτελεί την ύπαρξη ακραίων λύσεων (corner solutions). 6.3 Γενική Ισορροπία και Πλήρης Ανταγωνισµός Ας δούµε τώρα πως ένα οικονοµικό σύστηµα το οποίο χαρακτηρίζεται από πλήρη ανταγωνισµό οδηγείται µέσα από τον µηχανισµό των τιµών στην επίτευξη γενικής ισορροπίας. Όπως γνωρίζουµε ήδη κάθε καταναλωτής ατοµικά µεγιστοποιεί την ωφέλεια του στο σηµείο όπου ο οριακός του λόγος υποκατάστασης µεταξύ των αγαθών Χ και Υ ισούται µε τον λόγο των τιµών των αγαθών. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο άτοµα ο Α και Β ο καθένας εκ των οποίων επιθυµεί την µεγιστοποίηση της ωφέλειας του. Ας υποθέσουµε επίσης ότι ο λόγος των τιµών των αγαθών είναι δεδοµένος και δίνεται από την ευθεία ΖΖ, ενώ οι παραγωγικές δυνατότητες της οικονοµία δίνονται από την συνάρτηση µετασχηµατισµού Τ Α Τ Α

29 Με βάση τα παραπάνω δεδοµένα ο Α θα επιλέξει να προσφέρει εργασία και κεφάλαιο έτσι ώστε να παραχθεί ποσότητα ΟΧ Α από το Χ και ΟΥ Α από το Υ. Με βάση όµως τις καµπύλες αδιαφορίας του µεγιστοποιεί την χρησιµότητα του στο σηµείο Α όπου επιθυµεί να καταναλώσει ΟΧ Α από το Χ και ΟΥ Α από το Υ. Εποµένως δηµιουργείται στην οικονοµία υπερβάλλουσα προσφορά από το αγαθό Χ ίση µε ΟΧ Α -ΟΧ Α Ε S >0 και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό Υ ίση µε ΟΥ Α - ΟΥ Α Ε D <0. Σε συνθήκες όµως πλήρους ανταγωνισµού οι τιµές των αγαθών είναι κοινές για όλους τους καταναλωτές. Εποµένως και ο καταναλωτής Β αντιµετωπίζει τον ίδιο λόγο τιµών. Με βάση όµως τις δικές του προτιµήσεις επιλέγει το σηµείο ως προς την παραγωγή των δύο αγαθών και το σηµείο Β ως προς την κατανάλωση τους. ηλαδή επιθυµεί να παραχθεί ΟΥ Β ποσότητα από το αγαθό Υ και ΟΧ Β ποσότητα από το αγαθό Χ. Αντίστοιχα επιθυµεί να καταναλώσει ΟΥ Β και ΟΧ Β ποσότητες από τα δύο αγαθά. ηλαδή υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά από το αγαθό Υ ίση µε ΟΥ Β - ΟΥ Β Ε S >0 και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό Χ ίση µε ΟΧ Β -ΟΧ Β Ε D <0. Αριστοποίηση: στην παραγωγή (1 η συνθήκη) στην κατανάλωση ( η συνθήκη) στην παραγωγή και στην κατανάλωση (3 η συνθήκη) Συνθήκες 1 n w MRTS k,l MRTS k, l w 1 j p MRS i,s MRTSi,s p i,s 1 i,s i s j i,s MRT MRS MRTS k l k l i s p p i s i s Όπου i,s1,,, n είναι τα παραγόµενα προϊόντα 1,,, j είναι οι καταναλωτές k,l1,,, m είναι οι διαθέσιµοι παραγωγικοί συντελεστές

30 Εάν τώρα η υπερβάλλουσα προσφορά του Υ από τον Β είναι ίση µε την υπερβάλλουσα ζήτηση για το ίδιο αγαθό από τον Α και εάν η υπερβάλλουσα προσφορά του Χ από τον Α είναι ίση µε την υπερβάλλουσα ζήτηση για το Χ από τον Β τότε το σύστηµα θα ισορροπήσει σε αυτό το σηµείο όπου ο οριακός λόγος υποκατάστασης στην κατανάλωση των δύο αγαθών είναι κοινός και για τους δύο καταναλωτές και ίσος µε τον λόγο των τιµών των δύο αγαθών. Εάν όµως δεν συµβαίνει αυτό τότε θα οι πιέσεις στην αγοραία ζήτηση και προσφορά των δύο αγαθών θα διαµορφώσουν νέες τιµές για τα αγαθά µέχρι να βρεθούν σε ισορροπία. Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν αξίζει να αναφέρουµε περιληπτικά τις συνθήκες της κατά Pareto αριστοποίησης στην παραγωγή και την κατανάλωση όταν υπάρχουν n προϊόντα, j καταναλωτές και m παραγωγικοί συντελεστές: Οι παραπάνω συνθήκες οδηγούν σε µεγιστοποίηση της παραγωγής του οικονοµικού συστήµατος καθώς και του επιπέδου χρησιµότητας των καταναλωτών εφόσον ισχύουν οι παρακάτω υποθέσεις: δεδοµένη τεχνολογία παραγωγής οι συναρτήσεις παραγωγής και χρησιµότητας ικανοποιούν τις συνθήκες κανονικότητας (δηλ. θετικά και φθίνοντα οριακά προϊόντα και χρησιµότητες) οι ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών είναι δεδοµένες, οµοιογενείς και πλήρως διαιρετές δεν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις στην παραγωγή και την κατανάλωση. Αριθµ η τικό Παράδειγµα Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών Χ και Υ οι οποίες χαρακτηρίζονται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας: ( ) 0. 5 ( ) 0. 5 και ( ) 0. 5 ( ) 0. 5 Έστω επίσης ότι η συνολικά διαθέσιµη ποσότητα των εισροών Κ και είναι 100 και 400 αντίστοιχα ενώ η συνάρτηση χρησιµότητας δίνεται από: U Επίσης η συνάρτηση µετασχηµατισµού δίνεται από την σχέση: 0. 5 ( )

31 και η καµπύλη των άριστων σηµείων κατανοµής από την σχέση: ή ή Να βρεθούν οι σχετικές τιµές των εισροών, το άριστο επίπεδο παραγωγής και η διανοµή των αγαθών Χ και Υ. Λύση: Αντικαθιστούµε τις συνολικές ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών στην συνάρτηση µετασχηµατισµού οπότε προκύπτει: 0. 5 ( 400) (1) Με δεδοµένη την συνάρτηση χρησιµότητας, το πρόβληµα µεγιστοποίησης της χρησιµότητας του καταναλωτή εκφράζεται ως: max U, s.t Σχηµατίζουµε την λαγκρανζιανή συνάρτηση ως εξής: ( ) + λ () Οι συνθήκες 1 ης τάξεως επιβάλουν: + λ 0 λ (3α) + λ 0 λ (3β) (3γ) λ

32 Από τις (3α) και (3β) έχουµε: (4) Αντικαθιστούµε την (4) στην (3γ) οπότε: * (5) αντικαθιστώντας την (5) στην (4) προκύπτει και η άριστη ποσότητα του Υ: ) ( 4) ( 5 ) * 00 (6) Προκειµένου να βρούµε τις σχετικές τιµές είναι ανάγκη να βρούµε τον οριακό λόγο µετασχηµατισµού και τον οριακό λόγο υποκατάστασης των δύο αγαθών. Από την συνάρτηση µετασχηµατισµού προκύπτει: MRT, (7) και από τις (6) και (5) προκύπτει: 00 MRS, (8) 100 Από την συνθήκη αριστοποίησης κατά Pareto προκύπτει ότι και ο λόγος των τιµών των αγαθών θα πρέπει να είναι ίσος µε. ηλαδή, P P. (9) Για να βρούµε τις σχετικές τιµές των εισροών θα πρέπει να βρούµε την άριστη κατανοµή τους στην παραγωγή των δύο αγαθών. Για τον λόγο αυτό αντικαθιστούµε τις συνολικά διαθέσιµες ποσότητες των εισροών στην καµπύλη άριστων σηµείων κατανοµής και αυτές µε την σειρά τους στην συνάρτηση παραγωγής: - 3 -

33 * (10α) * (10β) * (10γ) * (10δ) 100 Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις µπορούµε να υπολογίσουµε τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης στην παραγωγή του Χ και του Υ. d 50 1 MRTS, (11α) d 00 4 d 50 1 MRTS, (11β) d 00 4 Από τις σχέσεις (11α) και (11β) και τις συνθήκες τις κατά Pareto αριστοποίησης προκύπτει: w 1 MRTS MRTS,, (1) r 4 Εάν υποθέσουµε ότι το r1 τότε το w1/4. Επειδή γνωρίζουµε ότι w P 1 4 P MP 1 4 P P (13) Από την (13) και την (9) προκύπτει: P P ( ) 1 13 P

34 ΜΑΘΗΜΑ 7 Ο 7.1 Καµπύλη υνατοτήτων Χρησιµότητας (Utility Possibility Frontier) Το κριτήριο του Pareto για την εύρεση της γενικής ισορροπίας ενός οικονοµικού συστήµατος είναι ατελές καθώς δεν µπορούν να ληφθούν υπόψη οι διαπροσωπικές συγκρίσεις των επιπέδων χρησιµότητας και εποµένως της κατανοµής του εισοδήµατος. Εποµένως και οι βασικές οριακές συνθήκες της κατά Pareto αριστοποίησης δεν δίνουν ένα µοναδικό σηµείο ισορροπίας. Σηµεία άριστης κατανοµής των αγαθών είναι όλα τα σηµεία της καµπύλης άριστων σηµείων διανοµής. Επίσης άριστα σηµεία κατανοµής των παραγωγικών συντελεστών στην παραγωγή των επιµέρους προϊόντων είναι όλα τα σηµεία πάνω στην καµπύλη άριστων σηµείων κατανοµής. Από την τελευταία καµπύλη προκύπτει η καµπύλη µετασχηµατισµού που σε κάθε της σηµείο αντιστοιχεί ορισµένο σηµείο της καµπύλης άριστων σηµείων διανοµής των αγαθών µεταξύ των καταναλωτών µε την ικανοποίηση της τρίτης βασικής συνθήκης. Έτσι ένα επιλεγεί το σηµείο Τ 1 που σηµαίνει παραγωγή τότε η διανοµή της παραγωγής αυτής µεταξύ των καταναλωτών Α και Β θα γίνει όπως ορίζει το σηµείο Ρ 1 ώστε να ικανοποιηθεί η 3 η συνθήκη. Αλλά όµως η διανοµή αυτή δεν είναι µοναδική γιατί άριστο σηµείο παραγωγής δεν είναι µόνο το Τ 1 αλλά όλα τα σηµεία πάνω στην καµπύλη µετασχηµατισµού. Εποµένως η ικανοποίηση της 3 ης συνθήκης δεν οδηγεί σε ένα µόνο σηµείο ισορροπίας. Σε κάθε σηµείο της καµπύλης µετασχηµατισµού αντιστοιχεί ένα διαφορετικό διάγραµµα του Edgeworth µε διαφορετική καµπύλη άριστων σηµείων διανοµής. Από κάθε τέτοια καµπύλη µόνο ένα σηµείο της ικανοποιεί και την 3 η συνθήκη αριστοποιήσεως. Έτσι στο σηµείο παραγωγής Τ αντιστοιχεί το σηµείο διανοµής Ρ στο οποίο ικανοποιείται και η 3 η συνθήκη. Τα άπειρα αυτά σηµεία ισορροπίας όπως

35 το Ρ 1 και Ρ µπορούµε να τα µεταφέρουµε από τον χώρο των αγαθών στον χώρο των χρησιµοτήτων ο γεωµετρικός τόπος των οποίων µας δίνει την καµπύλη δυνατοτήτων χρησιµότητας. Εποµένως η καµπύλη δυνατοτήτων χρησιµότητας είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που δείχνουν ορισµένο επίπεδο χρησιµότητας για κάθε καταναλωτή που αντιστοιχούν σε συγκεκριµένα επίπεδα παραγωγής των δύο αγαθών πάνω στην καµπύλη µετασχηµατισµού. Όλα τα σηµεία της καµπύλης δυνατοτήτων χρησιµότητας είναι άριστα κατά Pareto αφού ικανοποιούν την 3 η βασική συνθήκη αριστοποιήσεως. Ένα οποιοδήποτε σηµείο της καµπύλης UU µας δίνει τον άριστο συνδυασµό παραγωγής των αγαθών, τον άριστο συνδυασµό των δύο συντελεστών παραγωγής και την άριστη διανοµή των αγαθών µεταξύ των καταναλωτών. Η επιλογή όµως ενός σηµείου από την καµπύλη UU απαιτεί ένα κριτήριο που να αναφέρεται στις αξιολογικές κρίσεις τις κοινωνίας οι οποίες θα πρέπει να ικανοποιηθούν πέρα από τις τρεις βασικές συνθήκες. Χρησιµοποιώντας την καµπύλη δυνατοτήτων χρησιµότητας, µπορούµε να αναδιατυπώσουµε το πρόβληµα της επιλογής του άριστου σηµείου µε την ανάπτυξη διάφορων κριτηρίων που θα µας βοηθήσουν στην επιλογή αυτή. Το Κριτήριο της Ισότητας Το πρώτο κριτήριο που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί είναι το κριτήριο της απόλυτης ισότητας, δηλαδή οι δύο καταναλωτές θα πρέπει να απολαµβάνουν το ίδιο επίπεδο ευηµερίας. Το κριτήριο αυτό θα υπαγόρευε την επιλογή του σηµείου Α στο διάγραµµα πάνω στην καµπύλη δυνατοτήτων χρησιµότητας. Αφού µόνο ένα σηµείο πάνω στην καµπύλη δυνατοτήτων χρησιµότητας ικανοποιεί το κριτήριο της ισότητας

36 µπορούµε να προσδιορίσουµε την άριστη επιλογή. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ίσα επίπεδα χρησιµότητας δεν συνεπάγονται ίδιες καταναλισκόµενες ποσότητες από τα δύο αγαθά και για τους δύο καταναλωτές. Το Κριτήριο της Μέγιστης Χρησιµότητας Ένα παρόµοιο κριτήριο που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί είναι το κριτήριο της µέγιστης χρησιµότητας. ηλαδή θα πρέπει το άθροισµα των ατοµικών χρησιµοτήτων να είναι το µέγιστο δυνατό. Ένα τέτοιο σηµείο είναι το σηµείο Β στο διάγραµµα το οποίο µεγιστοποιεί το άθροισµα (U Α +U Β ) υπό τον περιορισµό της καµπύλης δυνατοτήτων χρησιµότητας. Το Κριτήριο του John Rawls Το τελευταίο κριτήριο που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί προτάθηκε από τον φιλόσοφο John Rawls. Σύµφωνα µε τον Rawls η κοινωνία βρίσκεται σε µία αρχική θέση διαπραγµάτευσης αλλά κανείς από τα µέλη της δεν γνωρίζει την τελική του θέση και εποµένως την τελική του χρησιµότητα. Το πρόβληµα βρίσκεται εποµένως µε τι κριτήριο θα κάνει την επιλογή της η κοινωνία. Στην περίπτωση αυτή η επιλογή ενός κριτηρίου ευηµερίας είναι ένα πρόβληµα συµπεριφοράς σε συνθήκες αβεβαιότητας καθώς κανείς δεν γνωρίζει πως η επιλογή του κριτηρίου θα επηρεάσει την ατοµική του ευηµερία. Εάν τα µέλη της κοινωνίας αποστρέφονται τον κίνδυνο η επιλογή αυτή του κριτηρίου θα είναι αντίστοιχη. Ειδικότερα τα µέλη της κοινωνίας θα απέφευγαν να φύγουν από την τέλεια ισότητα µόνο µε την προϋπόθεση ότι το άτοµα µε το χαµηλότερο επίπεδο χρησιµότητας, ύστερα από µία άνιση αναδιανοµή των χρησιµοτήτων θα είναι σε πολύ καλύτερη θέση από ότι εάν ίσχυε η ισότητα. Σύµφωνα µε το παραπάνω σχήµα, οι άνισες διανοµές όπως η Β θα ήταν επιθυµητές µόνο εάν οι διανοµές ισότητας που θα µπορούσαν να επιτευχθούν θα είναι κάτω από το σηµείο D και πάνω στην διαγώνιο. Οι ίσες διανοµές µεταξύ D και Α είναι σύµφωνα µε τον Rawls επιθυµητές από το Β καθώς το άτοµο µε το χαµηλότερο επίπεδο χρησιµότητας είναι καλύτερα εκεί από ότι στο Β. εποµένως, πολλές αποτελεσµατικές κατανοµές µπορεί να είναι κοινωνικά µη επιθυµητές και οι κοινωνίες µπορεί να επιλέξουν την ισότητα ακόµα και µε σηµαντικό κόστος ευηµερίας. Αριθµητικό Παράδειγµα Ένας πατέρας θέλει να µοιράσει στα δύο του παιδιά την πατρική του περιουσία η οποία αποτελείται από 8 στρέµµατα ελαιόδενδρα. Ας υποθέσουµε επίσης ότι οι συναρτήσεις χρησιµότητας των παιδιών είναι ίσες µε U 1 και U 1,

37 αντίστοιχα. Η επιλογή που έχει ο πατέρας είναι να µοιραστεί η γη εξίσου µεταξύ των δύο παιδιών. Σε µία τέτοια περίπτωση θα έχουµε: U 1 4 και U. Εναλλακτικά µπορεί ο πατέρας γνωρίζοντας τις µεγαλύτερες ανάγκες του δεύτερου του παιδιού να επιλέξει µία κατανοµή ίσης χρησιµότητας. ηλαδή Χ 1 1,6 και Χ 6,4 οπότε U 1 U,53. Σαν τρίτη λύση µπορεί να επιδιώξει να µεγιστοποιήσει το άθροισµα των χρησιµοτήτων των δύο του παιδιών. Στην περίπτωση αυτή Χ 1 6,4 και Χ 1,6 οπότε U 1 5,06 και U 1,6 και U 1 +U 6,3. Εάν στην παραπάνω περίπτωση αφεθούν τα δύο παιδιά να αποφασίσουν µόνα τους γνωρίζοντας ο ένας την χρησιµότητα του άλλου (πλήρης πληροφόρηση) τότε είναι αδύνατον να συµφωνήσουν σε µία λύση. Εάν όµως ο πατέρας τους ενηµερώσει ότι η επιλογή ενός εκ των δύο τελευταίων εναλλακτικών προτάσεων θα γίνει µε την ρίψη ενός νοµίσµατος η αναµενόµενη µεγιστοποίηση της χρησιµότητας καθενός παιδιού ξεχωριστά θα οδηγήσει σε συµφωνία. Ειδικότερα η αναµενόµενη χρησιµότητα από την ρίψη του νοµίσµατος που παρέχει στο πρώτο παιδί είτε 1,6 είτε 6,4 στρέµµατα είναι: 1 1 E 1 1 ( U ) P( ) U ( ) + P( ) U ( ), , , Όµοια για το δεύτερο παιδί η αναµενόµενη χρησιµότητα είναι: 1 1 E ( U ) P( ) U ( ) + P( ) U ( ), , 190, Έτσι λοιπόν το κάθε παιδί θα επιλέξει την ίση κατανοµή αφού απολαµβάνει υψηλότερη αναµενόµενη χρησιµότητα από ότι θα έδινε ενδεχόµενα η ρίψη του νοµίσµατος. Εάν όµως ο πατέρας µπορούσε να υποβάλει τα παιδιά του µε ένα πέπλο άγνοιας έτσι ώστε κανένα από τα δύο να µην ξέρει την ταυτότητα του µέχρι να πραγµατοποιηθεί η διανοµή τότε το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας θα ήταν διαφορετικό. Εάν το κάθε παιδί λάβει υπόψη του το χειρότερο σενάριο και τα δύο θα προτιµήσουν την λύση της κατανοµής της ίσης χρησιµότητας αφού είναι βέβαιοι ότι η χρησιµότητα του καθένα δεν θα πέσει κάτω από το,53. Αυτό όµως σηµαίνει ότι και τα δύο παιδιά αποστρέφονται έντονα τον κίνδυνο κάτι το οποίο δεν είναι ορισµένες φορές ρεαλιστικό. Ένα όµως κάθε παιδί πιστεύει ότι αυτός έχει 50% πιθανότητα να ονοµαστεί πρώτο ή δεύτερο τότε οι αναµενόµενες χρησιµότητες είναι:

38 1 1 α) 4 E( U ) i β), 6, 6, 4 E( Ui ), 53 +, , γ), 4, 16, E( Ui ) 5, , , Εάν λοιπόν τα παιδιά ψηφίζουν αποκλειστικά µε βάση την αναµενόµενη χρησιµότητα τους τότε καθένα θα µπορούσε να επιλέξει την τρίτη λύση. 7. Συνάρτηση Κοινωνικής Ευηµερίας (Social Welfare Function) Ένα πιο γενικό κριτήριο για την επιλογή του τελικού σηµείου ισορροπίας (optimum optimorum) της οικονοµίας µας το παρέχει η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας (ως ιδιαίτερες περιπτώσει περιλαµβάνει τα τρία προαναφερθέντα κριτήρια) δηλαδή οι αξιολογικές ή υποκειµενικές κρίσεις της κοινωνίας. Όταν λέµε ότι ο καταναλωτής συµπεριφέρεται ορθολογικά για την µεγιστοποίηση της χρησιµότητας του, δεν κρίνουµε εάν αυτού του είδους η συµπεριφορά είναι καλή ή κακή για το κοινωνικό σύνολο. Εάν για παράδειγµα η κατανάλωση οινοπνεύµατος επηρεάζει θετικά ή αρνητικά τα επίπεδα χρησιµότητας αυτό εξαρτάται από τις ατοµικές προτιµήσεις των µελών του κοινωνικού συνόλου. Εάν όµως η κατανάλωση οινοπνεύµατος είναι θετικός ή αρνητικός παράγοντας για την κοινωνική ευηµερία αυτό εξαρτάται από τις αξιολογικές ή ηθικές κρίσεις της κοινωνίας. Μία συνάρτηση λοιπόν κοινωνικής ευηµερίας η οποία θα προσδιορίζεται από τις αξιολογικές κρίσεις του συστήµατος θα µπορούσε να µας οδηγήσει στην 4 η συνθήκη η οποία είναι απαραίτητη για την εύρεση του optimum optimorum σηµείου ισορροπίας. Ας δούµε όµως πρώτα πως µπορούµε να ορίσουµε µία συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας. Κριτήρια ορισµού της συνάρτησης κοινωνικής ευηµερίας: Η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας δεν µπορεί να εκφράζει τις προτιµήσεις ενός µόνο ατόµου, µίας µικρής οµάδας ατόµων ή ενός θρησκευτικού αρχηγού. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση είναι πατερναλιστικής φύσεως. Οι αποφάσεις για την κοινωνική ευηµερία λαµβάνονται µε την µέθοδο της ψηφοφορίας οπότε εκφράζει µόνο τις προτιµήσεις της πλειοψηφίας και µπορεί να οδηγήσει στο παράδοξο της ψηφοφορίας που θα συζητήσουµε παρακάτω. Η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας µπορεί να στηρίζεται στο κριτήριο του Pareto δηλαδή να αυξάνει όταν η χρησιµότητα τουλάχιστον ενός µέλους του

39 κοινωνικού συνόλου αυξάνει. Εποµένως σύµφωνα µε την Παρετιανή θεώρηση η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας εξαρτάται αποκλειστικά από τα ατοµικά επίπεδα χρησιµότητας και είναι αύξουσα αυτών. ηλαδή, W W f ( Ui ) και > 0 U i (7..1) Εάν η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας περιελάµβανε εκτός από τα επίπεδα ατοµικής χρησιµότητας και µία άλλη µεταβλητή, έστω Ζ, που όµως δεν περιλαµβάνεται στις ατοµικές συναρτήσεις χρησιµότητας τότε η µεταβολή αυτής της µεταβλητής δεν έχει καµία επίδραση στην W καθώς U i Z 0 W Z 0. Εάν όµως από την άλλη µεριά η µεταβλητή Z περιλαµβάνεται τόσο στην W αλλά και έστω σε µία ατοµική συνάρτηση χρησιµότητας τότε παραβιάζεται το κριτήριο του Pareto. Ας υποθέσουµε ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας έχει την παρακάτω µορφή: W f ( U1, Z) και, U f (,Z) 1 (7..) εάν πάρουµε το συνολικό διαφορικό της προκύπτει: W W U1 U1 dw dz + dz + d 0 (7..3) Z U Z 1 Σύµφωνα µε τα παραπάνω ενώ το επίπεδο χρησιµότητας του ατόµου έχει µεταβληθεί η κοινωνική ευηµερία παραµείνει αµετάβλητη καθώς dw0. Εποµένως η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας του Pareto περιορίζει την δυνατότητα χρησιµοποιήσεως ευρύτερων κριτηρίων κοινωνικής ευηµερίας. Η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας θα µπορούσε να περιλάβει κριτήρια διανοµής εισοδήµατος. Έτσι στη συνάρτηση του Pareto θα µπορούσαν τα ατοµικά επίπεδα χρησιµότητας να έχουν διαφορετική βαρύτητα στον καθορισµό της κοινωνικής ευηµερίας. Η διανοµή του εισοδήµατος θα γίνει µε τέτοιο τρόπο ώστε να µεγιστοποιηθεί η κοινωνική ευηµερία αφού είναι δεδοµένη η αρχή της φθίνουσας χρησιµότητας του εισοδήµατος

40 Ας δεχθούµε λοιπόν ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας είναι δεδοµένη και αποτελεί τακτικό και όχι απόλυτη δείκτη της ευηµερίας του κοινωνικού συνόλου. Εάν υποθέσουµε ότι η οικονοµία αποτελείται από καταναλωτές Α και Β η συνάρτηση αυτή θα είναι συνάρτηση των επιπέδων χρησιµότητας των δύο αυτών ατόµων. ηλαδή, ( U, U W f ) (7..4) Η συνάρτηση αυτή µπορεί να µας δώσει ένα χάρτη καµπυλών κοινωνικής ευηµερίας στο χώρο της χρησιµότητας. Κατά µήκος της καµπύλης κοινωνικής ευηµερίας το επίπεδο ευηµερίας παραµένει σταθερό. ηλαδή, ισχύει: W W dw du + du 0 (7..5) U U Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: W W U U du du (7..6) δηλαδή ότι η κλίση των καµπυλών κοινωνικής ευηµερίας είναι αρνητική. Εάν είναι δεδοµένα τα επίπεδα χρησιµότητας των ατόµων τότε είναι δεδοµένο το επίπεδο κοινωνικής ευηµερίας. Ακόµη σε δεδοµένο επίπεδο ευηµερίας και δεδοµένο το επίπεδο χρησιµότητας του ενός ατόµου αντιστοιχεί δεδοµένο επίπεδο χρησιµότητας

41 του άλλου ατόµου. Αυτό σηµαίνει ότι η καµπύλες κοινωνικής ευηµερίας δεν µπορούν να είναι κάθετες, οριζόντιες ή ανερχόµενες σε κανένα τµήµα τους και ούτε µπορούν να τέµνονται. Ας υποθέσουµε ότι η καµπύλη κοινωνικής ευηµερίας έχει τη µορφή της ευθείας γραµµής ΛΝ. Αυτό σηµαίνει ότι τα επίπεδα κοινωνικής ευηµερίας παραµένει ίδιο στα σηµεία Γ και από τον ορισµό της συνάρτησης κοινωνικής ευηµερίας. Το επίπεδο χρησιµότητας του Α παραµένει το ίδιο τόσο στο σηµείο Γ όσο και στο σηµείο, ενώ αντίθετα το επίπεδο χρησιµότητας του Β είναι µεγαλύτερο στο σηµείο από ότι το Γ. εποµένως σύµφωνα µε το κριτήριο του Pareto το σηµείο είναι κοινωνικώς προτιµότερο από το σηµείο Γ. Άρα τα σηµεία Γ και δεν µπορούν να βρίσκονται πάνω στην ίδια καµπύλη κοινωνικής ευηµερίας. Με παρόµοιο τρόπο µπορεί να αποκλειστεί η περίπτωση της κάθετης καµπύλης κοινωνικής ευηµερίας και ακόµη περισσότερο η περίπτωση της καµπύλης κοινωνικής ευηµερίας µε θετική κλίση. Έστω τώρα ότι οι καµπύλες κοινωνικής ευηµερίας τέµνονται στο σηµείο Ε. Τα σηµεία Ε και Ζ τα οποία βρίσκονται πάνω στην W 1 είναι από κοινωνικής απόψεως αδιάφορα. Οµοίως τα σηµεία Ε και Θ είναι από κοινωνικής απόψεως αδιάφορα. Από τα πιο πάνω µε βάση την υπόθεση της µεταβατικότητας των κοινωνικών προτιµήσεων θα πρέπει να συµπεράνουµε ότι τα σηµεία Θ και Ζ είναι από κοινωνικής απόψεως αδιάφορα. Το σηµείο όµως Ζ συνεπάγεται υψηλότερο επίπεδο χρησιµότητας και για τους δύο καταναλωτές από το σηµείο Θ. Αυτό όµως είναι άτοπο και κατά συνέπεια οι καµπύλες κοινωνικής αδιαφορίας δεν µπορούν να τέµνονται