Elektromagnetni talasi i optika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Elektromagnetni talasi i optika"

Transcript

1 Glava 3 Elektromagnetni talasi i optika Deo fizike koji proučava svetlosne pojave naziva se optika. Svetlost po svojoj prirodi predstavlja elektromagnetni talas čija se talasna dužina nalazi u opsegu od 380 do 760 nm i koji stvara osećaj u čulu vida 1. Opšti termin svetlost ponekad podrazumeva i one elektromagnetne talase čija je talasna dužina u blizini opsega vidljive svetlosti, npr. infracrvenu i ultraljubičastu svetlost, o kojima će biti više reči kasnije. Optika u odnosu na elektromagnetne talase ima isti odnos kao i akustika u odnosu na mehaničke talase, tj. proučava samo jedan opseg učestanosti elektromagnetnih talasa. 3.1 Elektromagnetni talasi Za razliku od mehaničkih talasa kod kojih talas prenosi mehaničku energiju izazivajući mehaničko oscilovanje čestica pogod enih talasom, kod elektromagnetnog talasa situacija je kompleksnija. Elektromagnetni talas baziran je na pojmu fizičkog polja, specifičnog vida postojanja materije u kome se u svakoj tački prostora oseća dejstvo nekih sila. Elektromagnetno polje predstavlja neraskidivo jedinstvo promenljivog električnog E( r, t) i promenljivog magnetnog polja H( r, t). Ova polja imaju osobinu da jedno polje svojom promenom stvara ono drugo polje, i obrnuto. Druga važna osobina elektromanetnog polja je ta da se ono ne može lokalizovati u prostoru, tj. da kad god postoji elektromagnetno polje, da se ono širi kroz prostor, što u stvari predstavlja elektromagnetni talas. Na taj način, elektromagnetni talas prenosi elektromagnetnu energiju. Pošto kod elektromagnetnog talasa osciluju vektori električnog i magnetnog polja za čije postojanje nisu neophodne čestice sredine kao kod mehaničkih talasa, to se on može prostirati i kroz vakuum. Brzina prostiranja elektromagnetih talasa u vakuumu je univerzalna fizička konstanta i može se izraziti preko dielektrične ɛ 0 i magnetne µ 0 propustljivosti vakuuma: 1 c = m/s. (3.1) ɛ0 µ 0 Brzina prostiranja elektromagnetnih talasa u nekoj drugoj sredini zavisi od odgovarajućih dielektričnih i magnetnih osobina date sredine i može se napisati kao 1 c v = =, (3.2) ɛ0 ɛ r µ 0 µ r ɛr µ r 1 Granice talasne dužine za vidljivu svetlost zavise od sredine kroz koju se svetlost prostire kao i od nivoa osvetljenosti. 55

2 56 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika gde su sada ɛ r i µ r relativna dielektrična, odnosno relativna magnetna propustljivost. Količnik brzine svetlosti u vakuumu i brzine svetlosti u posmatranoj sredini naziva se apsolutni indeks prelamanja te sredine: n = c v = ɛ r µ r 1. (3.3) To je neimenovani broj (tj. fizička veličina bez jedinice), koji je uvek veći od 1 (osim za vakuum gde je upravo jednak 1) zbog činjenice da je prema specijalnoj teoriji relativnosti brzina svetlosti u vakuumu c najveća moguća brzina koja može da postoji. Ukoliko u nekoj sredini brzina prostiranja talasa nije ista za talase različitih talasnih dužina (odnosno učestanosti), tada i apsolutni indeks prelamanja zavisi od talasne dužine, odnosno učestanosti, tj. n = n(λ) = n(ν). (3.4) Ovakve sredine nazivaju se disperzione sredine Dualistička priroda elektromagnetnog zračenja U istoriji fizike svetlost je opisivana pomoću dve principijelno različite teorije. Prema prvoj, koju je postavio Njutn, svetlost predstavlja snop čestica koje emituje svetlosni izvor. Ova teorija naziva se korpuskularna (čestična) teorija svetlosti. Prema drugoj, koju je definisao Hajgens, svetlost predstavlja talas koji se kreće od izvora ogromnom brzinom kroz sredinu koja je nazvana etar, pa se ova teorija naziva ondulatorna (talasna) teorija svetlosti. Etar je zamišljen kao nepokretna sredina koja ispunjava čitav prazan prostor i prožima sva tela, tako da svetlosni talasi predstavljaju oscilovanje etra. Obe teorije su uspešno objašnjavale pravolinijsko prostiranje, odbijanje i prelamanje svetlosti, ali su pojave difrakcije, interferencije i polarizacije svetlosti mogle biti objašnjene samo talasnom teorijom. Stvari su se pojednostavile kada je Maksvel postavio svoju teoriju elektromagnetnog polja, kada je postalo jasno da svetlost predstavlja elektromagnetni talas, tj. uspostavljena je elektromagnetna teorija svetlosti. 2 Med utim, razvojem kvantne fizike u dvadesetom veku, usvojeno je shvatanje da se svakom fizičkom polju pridružuju čestice (ili kvazi-čestice) koje predstavljaju kvante datog polja, preko kojih dato polje interaguje sa odgovarajućim česticama. I obrnuto, u kvantnoj teoriji se svakoj čestici može pridružiti talas koji može da opiše pojedine fenomene kvantne prirode. Razvoj kvantne teorije je zapravo i započeo radovima Planka koji je pretpostavio da tela zrače elektromagnetne talase u odred enim porcijama energije koje su nazvane kvanti. Fotoni su kvanti elektromagnetnog polja. To su kvazi-čestice, čija je masa mirovanja jednaka nuli, a čija energija predstavlja energiju elektromagnetnog talasa: E = h ν, (3.5) gde je h Plankova konstanta (h = J s). Ajnštajn je kasnije pokazao da svakom fotonu odgovara odred ena masa, što je u stvari označilo povratak na korpuskularnu 2 Pojam etra je sada mogao biti napušten jer pojam fizičkog polja dopušta postojanje materijalnosti sredine i bez postojanja supstancije.

3 3.1. Elektromagnetni talasi 57 teoriju koja je sada nazvana kvantna teorija svetlosti, i kojom su uspešno objašnjeni mnogi fenomeni, fotoelektrični i Komptonov efekat, luminiscentne pojave, linijski spektri atoma, itd., čime je ova teorija potvrd ena i eksperimentalno. Prema savremenom shvatanju koje izražava dualistička teorija svetlosti, svetlost poseduje i talasna i čestična svojstva, tj. predstavlja fenomen koji se u zavisnosti od uslova može opisati kao niz elektromagnetnih talasa ili kao povorka fotona. Naime u nekim pojavama (disperzija, interferencija, difrakcija, polarizacija) izražena su talasna svojstva svetlosti, dok su u drugim pojavama (fotoefekat, luminescencija, atomski spektri, itd.) izražena čestična svojstva svetlosti. Na ovaj način talasna (elektromagnetna) i čestična (kvantna) teorija svetlosti ne isključuju jedna drugu, već se dopunjuju, čime se izražava dualističko svojstvo svetlosti. Naravno, sve što važi za svetlost, važi i još generalnije, za sve elektromagnetne talase, bez obzira na njihovu učestanost ili talasnu dužinu. Med utim, treba imati u vidu da na osnovu tzv. de Broljeve relacije 3 možemo izvesti zaključak da će se čestična svojstva elektromagnetnog zračenja osećati utoliko više ukoliko je njihova talasna dužina manja Spektar elektromagnetnih talasa Vidljiva svetlost predstavlja samo jednu malu oblast u širokom spektru elektromagnetnih talasa. Na slici 3.1 prikazan je spektar elektromagnetnih talasa. gama X UV vidljivo IC radio 1 pm 1 nm 1 m 1 mm 1 m 1 km 3 10 km 10 km Hz Hz Hz 1 THz 1 MHz 1 Hz 1 GHz 1 khz Slika 3.1. Spektar elektromagnetih talasa. Elektromagnetni talasi se u zavisnosti od vrednosti svoje talasne dužine (ili učestanosti) dele u nekoliko grupa. Najveću talasnu dužinu imaju radio talasi - to su elektromagnetni talasi velikih talasnih dužina 4. Oni potiču od kretanja naelektrisanja u emisionim antenama, dobijaju se pomoću specijalno konstruisanih elektronskih ured aja i imaju primenu u telekomunikacijama (radio, televizija, telefonija, radari, itd.). Infracrveni, vidljivi i ultraljubičasti talasi potiču od promena energije u atomima ili molekulima usled prelaska elektrona sa viših na niže elektronske nivoe. Da bi došlo do emisije ovih talasa atomi ili molekuli se moraju naći u pobud enom stanju gde dospevaju na račun termičke energije, sudarima sa drugim česticama, i slično. 3 koja kaže da je talasna dužina talasa pridruženog čestici obrnuto proporcionalna impulsu čestice tj.: λ = h/p, gde je h Plankova konstanta. 4 Korektniji naziv bio bi telekomunikacioni talasi, no iz istorijskih razloga zadržao se naziv radio talasi jer je radio saobraćaj bio prvi realizovani vid komunikacije na daljinu. Koristi se još i naziv električni talasi jer se za njihovo stvaranje koriste električna kola. I dok su se radio talasi najpre prema vrednosti svoje talasne dužine delili na duge, kratke, srednje i ultra-kratke, sada im treba priključiti i tzv. mikrotalase koji se koriste u modernim telekomunikacijama.

4 58 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Rendgenski ili X-zraci su elektromagnetni talasi koji nastaju kada se brzi elektroni koče pri sudaru sa nekim materijalom. Osim toga, brzi elektroni mogu prodreti u atomski omotač i pri tome udaljiti elektron koji je blizak jezgru. Popunjavanjem tog praznog mesta elektronom sa nekog višeg nivoa, takod e nastaju rendgenski zraci. γ- zraci nastaju pri raspadu jezgra nekog elementa. O njima će biti više reči u poslednjem poglavlju ovog udžbenika. Vrlo je važno istaći da pojedine vrste zračenja u spektru nisu strogo odvojene jedna od druge već dolazi do njihovog preklapanja Energija elektromagnetnih talasa Svaki elektromagnetni talas nosi sa sobom odred eni kvant energije koji je direktno proporcionalan njegovoj učestanosti (E = hν). Za razliku od mehaničkog talasa koji prenosi mehaničku energiju, elektromagnetni talas prenosi elektromagnetnu energiju koja se još naziva i energija zračenja ili zračna energija 5 i označava sa W. Termini fluks zračenja (ponegde i zračni fluks, engl. radiant flux) i snaga zračenja (engl. radiant power) su sinonimi za snagu emitovanu, prenešenu ili primljenu u formi elektromagnetnog zračenja (radijacije) 6. Oznaka je Φ e a jedinica za ovu fizičku veličinu je vat (W): Φ e = dw [=] W. (3.6) dt U zavisnosti od toga da li se posmatra izvor ili prijemnik elektromagnetnog zračenja definišu se i dve veličine koje predstavjaju gustinu fluksa zračenja 7. Eksitansa (ekscitancija) zračenja (ili emitansa (emitancija) zračenja, ili zračna emitansa ili eksitansa, engl. radiant exitance) M e u tački A izvora je količnik fluksa zračenja dφ e emitovanog sa elementa površine izvora ds i koji sadrži tačku A i same površine: M e = dφ e ds i [=] W m 2. (3.7) S druge strane, ako posmatramo tačku B koja se nalazi na prijemniku elektromagnetnog zračenja, možemo definisati veličinu koja se naziva ozračenost (engl. irradiance) E e i koja predstavlja količnik fluksa zračenja dφ e koji padne na jedinicu površine prijemnika ds p koja sadrži tačku B i same površine: E e = dφ e ds p [=] W m 2. (3.8) Osim eksitanse, za svaki izvor zračenja važne su i veličine koje govore o prostornoj raspodeli izračene energije, jer neki izvori mogu imati osobinu da emituju različitu količinu 5 Termin zračenje ili radijacija koristi se ponekad kao sinonim za elektromagnetne talase ali ipak treba imati na umu da se termin zračenje ponekad koristi i za entitete koji nisu (samo) elektromagnetni talasi, npr. radioaktivno zračenje, neutronsko zračenje, i sl. 6 tačnije, promena energije elektromagnetnog polja u jedinici vremena kroz definisanu površinu upravnu na pravac prostiranja zračenja. 7 Primetimo da ove dve veličine odgovaraju gustini fluksa mehaničkih talasa koja se naziva intenzitet talasa; kod elektromagnetnog zračenja termin intenzitet se odnosi na jednu drugu veličinu koju ćemo upoznati malo kasnije.

5 3.1. Elektromagnetni talasi 59 energije u različitim pravcima. Zato se za izvore zračenja definišu još dve karakteristične veličine. Pre nego što definišemo ove veličine, podsetimo se najpre definicije prostornog ugla. Prostorni ugao sa centrom u tački O (slika 3.2) se definiše kao količnik kalote sfere (sa centrom u O) ds i kvadrata poluprečnika te sfere r: Jedinica za prostorni ugao je steradijan, u oznaci sr. Pun prostorni ugao jednak je Ω = dω = 4πr2 = 4π (3.10) r 2 S dω = ds r 2. (3.9). d ds 0 r steradijana. (Prisetimo se takod e da se ugao u ravni definiše kao količnik luka i poluprečnika, te da je vrednost punog ugla 2π radijana). Slika 3.2. Prostorni ugao Intenzitet zračenja I e definiše se kao količnik fluksa zračenja dφ e koji sa izvora (tj. iz tačke A) odlazi u elementarni prostorni ugao dω odred en pravcem ˆr i same vrednosti prostornog ugla. I e (ˆr) = dφ e dω [=] W sr. (3.11) Koncept koji podrazumeva definisanje intenziteta zračenja kao bitne karakteristike izvora podrazumeva da je izvor zračenja tačkasti 8 ili da se u aproksimaciji može tretirati kao tačkasti 9. Ako pak posmatramo izvor zračenja koji ima konačne dimenzije, onda pojedini njegovi delovi mogu imati različite zračne karakteristike. Da bi se u posmatranoj tački prijemnika sabrali uticaji svih delova izvora konačnih dimenzija potrebno je uvesti veličinu koja će opisivati doprinos pojedinih delova izvora u ukupnoj energiji koju emituje izvor. Zato se uvodi fizička veličina koja se naziva površinska gustina zračenja ili radijansa (radijancija) koja se definiše za delić površine izvora zračenja ds i definisani pravac prema tački u kojoj se nalazi prijemnik ˆr: L e (ˆr) = d 2 Φ e dω ds cos θ, (3.12) gde je d 2 Φ e elementarni fluks koji se sa površine ds emituje u elementarni prostorni ugao dω koji obuhvata tačku prijemnika. Ugao θ je ugao izmed u normale na površinu ds i pravca prema prijemiku ˆr, tj. d 2 Φ e predstavlja projekciju površine ds na ravan upravnu na ˆr. U tabeli 3.1 dat je pregled svih navedenih veličina. Sve do sada definisane veličine bile su integralne, tj. odnosile su se na celokupnu energiju elektromagnetnih talasa, ne vodeći računa o talasnim dužinama ili učestanostima 8 U tom slučaju postoji samo jedan koordinatni sistem sa početkom u izvoru, iz koga polaze svi elementarni prostorni uglovi. 9 Na velikim udaljenjima, mnogi izvori koji nisu tačkasti mogu se tretirati kao tačkasti. Takav primer je Sunce, koje se u nekim analizama posmatra kao tačkasti izvor i pored svojih ogromnih dimenzija, koje su med utim zanemarljive u odnosu na njegovu udaljenost od Zemlje. r

6 60 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Tabela 3.1. Integralne transportne veličine karakteristične za elektromagnetne talase. Opis veličine Naziv veličine Jedinica Skalarna veličina koja se transportuje Elektromagnetna energija W J Fluks Fluks zračenja Φ e W Gustina fluksa izvora Eksitansa zračenja M e W/m 2 Gustina fluksa prijemnika Ozračenost E e W/m 2 Prostorna raspodela fluksa (tačkastog) izvora Intenzitet zračenja I e W/sr Površinsko-prostorna raspodela fluksa izvora Radijansa L e W/(sr m 2 ) elementranih talasa koji čine ukupno zračenje, tj. o njegovom spektru. Med utim, za svaku od njih može se definisati i njihova spektralna koncentracija (engl. spectral concentration) ili spektralna gustina (engl. spectral density) koja govori kolika je vrednost odgovarajuće veličine u oblasti spektra širine dλ oko vrednosti talasne dužine λ. Tako se npr. integralni fluks zračenja Φ e može izraziti preko spektralne koncentracije fluksa zračenja Φ e,λ : Φ e = 0 Φ e,λ (λ) dλ, (3.13) a integralni intenzitet zračenja preko spektralne koncentracije intenziteta zračenja I e,λ : I e = 0 I e,λ (λ) dλ. (3.14) Na sličan način i sve ostale integralne transportne veličine mogu se izraziti preko svojih spektralnih koncentracija. 3.2 Svetlost Spektar vidljive svetlosti Vidljivu svetlost čine elektromagnetni talasi čija se talasna dužina nalazi u intervalu približno od 380 do 760 nm 10. Ona može biti monohromatska i polihromatska. Monohromatska (mono - jedna, hroma - boja) svetlost je svetlost jedne, tačno definisane talasne dužine. To je prosta svetlost, koja se ne može razložiti. Polihromatska (poli - mnogo, više) svetlost je složena svetlost sastavljena iz više prostih svetlosti. Najvažniji primer polihromatske svetlosti je Sunčeva (ili kako se još naziva bela ili dnevna) svetlost. Svetlost koju daju veštački izvori svetla takod e je polihromatska, ali se njen spektar ipak više ili manje razlikuje od spektra Sunčeve svetlosti. 10 Ovaj jednostavni odnos koji odgovara jednoj oktavi je uobičajen u udžbeničkoj literaturi. Strogo govoreći, opseg vidljivog dela spektra odred en je funkcijama relativne spektralne osetljivosti ljudskog oka koje se definišu u sledećem odeljku.

7 3.2. Svetlost 61 Talasni opseg vidljive svetlosti podeljen je na sedam karakterističnih zona 11. Svakoj zoni odgovara naziv jedne osnovne boje svetlosti (videti tabelu 3.2). U oblasti vidljive svetlosti, ljubičasta svetlost ima najmanju, a crvena najveću talasnu dužinu. Tabela 3.2. Spektar vidljive svetlosti. boja talasna dužina λ (nm) ljubičasta modra (indigo) plava zelena žuta narandžasta crvena Potrebno je napomenuti da talasna dužina svetlosti nije njena osnovna karakteristika jer se ona menja u zavisnosti od optičke gustine (tj. indeksa prelamanja) sredine. U optički gušćim sredinama (sredinama sa većim indeksom prelamanja) brzina svetlosti je manja (što se vidi iz izraza (3.3)), pa je na osnovu izraza (1.76) i talasna dužina manja, i obrnuto. Na prvi pogled, moglo bi se zaključiti da svetlost menja boju kada prelazi iz jedne sredine u drugu, jer tada menja talasnu dužinu. Med utim, to nije tako, jer je boja svetlosti na primer ista u vazduhu i u vodi, što znamo iz iskustva. U vezi sa tim treba ukazati da je prethodna podela vidljive svetlosti na boje, prema talasnoj dužini, uslovna i da se odnosi samo na vazduh (tj. preciznije na vakuum). Bilo bi ispravnije da se ova podela izvrši prema učestanosti, jer je ona primarna karakteristika svakog talasa, pa i svetlosti, tj. boja svetlosti odred ena je frekvencijom. Zapravo, frekvencija svetlosti je odred ena stanjem atoma koji emituju svetlost i ne može se naknadno menjati kada se proces emitovanja posmatranog talasa završi. Ovo je slično kao kod mehaničkog talasa, čija je učestanost odred ena učestanošću oscilatora. Talas na svom putu može da menja jedino brzinu prostiranja v, pa time i talasnu dužinu λ, dok frekvencija ne zavisi ni od kakvih spoljnjih faktora, niti od prirode sredine kroz koju se talas prostire, pa se za jedan emitovani talas frekvencija ne menja kada talas menja sredinu prostiranja, tj. ν je invarijanta za jedan emitovani talas. Interesantno je posmatrati talas koji sukcesivno prelazi u sredine različitih optičkih gustina, tj. indeksa prelamanja. Takav jedan primer prikazan je na slici 3.3. Kako je frekvencija talasa invarijanta, to važi ν 1 = ν 2 = ν 3 =..., (3.15) odnosno v 1 λ 1 = v 2 λ 2 = v 3 λ 3 =... (3.16) 11 Broj nijansi (tonova) praktično je beskonačan ali ljudsko oko razlikuje oko 128 različitih nijansi. Granice zona su takod e arbitrarne. Spektar vidljive svetlosti prikazan je u elektronskoj verziji udžbenika u Dodatku broj 1.

8 62 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Deljenjem ove jednačine sa c i uzimanjem recipročne vrednosti izraza uz prepoznavanje c/v i (i = 1, 2, 3,...) kao apsolutnih indeksa prelamanja dobija se λ 1 n 1 = λ 2 n 2 = λ 3 n 3 =..., (3.17) ili zapisano u opštem obliku λn = const, (3.18) odakle se vidi da je talasna dužina jednog svetlosnog talasa utoliko veća ukoliko je manji indeks prelamanja sredine kroz koju se talas prostire, što je uočljivo i sa slike 3.3. v 1 n 1 n 1 < n 2 n 1 < n 3 < n 2 v 2 n 2 v 3 n v = v = v Slika 3.3. Prostiranje talasa kroz sredine različitih indeksa prelamanja. Najveću talasnu dužinu λ 0 ima svetlosni talas koji se prostire kroz vakuum (a praktično i kroz vazduh) kada je n 0 = 1. U svakoj drugoj sredini talasna dužina svetlosti je manja i može se odrediti kao λ = λ 0 n. (3.19) Kao zaključak, ponovimo još jednom da se pri prelasku iz jedne sredine u drugu talasna dužina svetlosnog talasa menja, dok njegova učestanost ostaje ista, što znači da i boja svetlosti ostaje ista, jer je boja svetlosti odred ena frekvencom svetlosnog talasa Odbijanje svetlosti N B Neka na savršeno glatku površinu pada svetlosni A zrak AO koji se naziva upadni zrak. U tački O ove površine upadni zrak se odbija u pravcu OB i naziva se odbijeni zrak. Ako se kroz tačku O povuče normala N O na površinu onda će upadni zrak sa njom da obrazuje Slika 3.4. Odbijanje svetlosti. ugao α, koji se naziva upadni ugao, a odbijeni zrak ugao β, koji se naziva odbojni ugao (slika 3.4). Zakon odbijanja svetlosti glasi: Odbojni ugao zraka svetlosti jednak je njegovom upadnom uglu tj. α = β. Upadni zrak, normala i odbijeni zrak leže u istoj ravni.

9 3.2. Svetlost Prelamanje svetlosti Prilikom razmatranja promene sredine kretanja svetlosti u odeljku pretpostavljali smo da je pravac prostiranja svetlosti upravan na razdvojnu površinu dveju sredina. Med utim, ako to nije slučaj onda osim promene talasne dužine dolazi i do promene pravca kretanja, i ova pojava se naziva prelamanje svetlosti. Zakon prelamanja definisali su nezavisno jedan od drugog Dekart i Snelijus u XVII veku pa se po njima on naziva Dekart-Snelijusov zakon i glasi: Odnos sinusa upadnog ugla i sinusa prelomnog ugla za dve date sredine je stalna veličina koja je jednaka odnosu apsolutnog indeksa prelamanja druge i prve sredine 12 sin α sin β = n 2 ; (3.20) n 1 upadni, prelomljeni zrak i normala leže u istoj ravni (slika 3.5). n 1 n 2 Ako je jedna od sredina vazduh, onda se može Slika 3.5. Prelamanje svetlosti. usvojiti da je za nju indeks prelamanja približno jednak jedinici Razlaganje (disperzija) svetlosti Razlaganje složene (bele) svetlosti može se izvesti na više načina. Za razlaganje može poslužiti prizma na kojoj dolazi do dvostrukog prelamanja svetlosti, na svakoj bočnoj strani. Zahvaljujući osobini da je providni materijal od koga je načinjena prizma disperzivna sredina, tj. da brzina prostiranja talasa zavisi od njegove talasne dužine, različite komponente složene svetlosti imaće različite indekse prelamanja. Zbog toga će se svaki monohromatski talas prelamati pod drugim uglom, i nakon napuštanja prizme, od jednog polihromatskog talasa, nastaće niz monohromatskih talasa koji čine spektar polihromatske svetlosti (slika 3.6). Posmatrajući dobijeni spektar uočavamo da je indeks prelamanja jedne supstance (u našem slučaju materijala od koga je načinjena prizma) obrnuto proporcionalan talasnoj dužini, tj.: Za vidljivu svetlost najmanje talasne dužine (ljubičastu svetlost) indeks prelamanja stakla je najveći, što znači da se ona najviše prelama, tj. najviše skreće prilikom prolaska kroz prizmu. Za vidljivu svetlost najveće talasne dužine (crvenu svetlost) indeks prelamanja stakla je najmanji, što znači da se ona najmanje prelama, tj. najmanje skreće prilikom prolaska kroz prizmu. Duga predstavlja spektar Sunčeve svetlosti. Naime, disperzija svetlosti može se videti ne samo pri prolasku svetlosti kroz prizmu, nego i u drugim slučajevima. Tako, na primer, prelamanje Sunčeve svetlosti u vodenim kapljicama koje se obrazuju u atmosferi (za vreme 12 Ovaj odnos naziva se i relativni indeks prelamanja dve sredine, tj. n 21 = n 2 /n 1 ; sam zakon prelamanja se može napisati i u pogodnijem obliku za primenu: n 1 sin α = n 2 sin β.

10 64 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika c Slika 3.6. Disperzija svetlosti uz pomoć optičke prizme. lj kiše ili iznad vodopada) dovodi do razlaganja svetlosti, što se manifestuje kao duga na nebu. Objašnjenje nastanka ove pojave prikazano je na slici 3.7. Zrak sunčeve svetlosti pri ulasku u kapljicu u tački A se razlaže zbog nejednakog indeksa prelamanja vode za pojedine boje koje sadrži Sunčeva svetlost. Posle totalne refleksije u tački B, ova razložena svetlost se prelama u tački C, usled čega se još više širi. Ovako razložena svetlost na velikom broju kapljica vidi se kao duga, ali samo iz odred enog pravca, koji je odred en položajem Sunca. sunèeva svetlost A kapljica 40 o 42 o crvena plava C C B B sunèeva svetlost 51 o 53 o crvena plava Slika 3.7. Prelamanje svetlosti u kapljicama vode Boja tela Boja nekog tela zavisi od njegovih osobina ali i od spektra svetlosti koja na njega pada. Takod e, boja tela zavisi od toga da li se telo posmatra u odbijenoj ili propuštenoj svetlosti. Naime, svako telo, deo svetlosti koja pada na njega odbija (reflektuje), deo upija (apsorbuje) a deo propušta (transmituje). Telo ima belu boju ako potpuno odbija svetlost koja na njega pada. Ako telo propušta svu svetlost onda se naziva transparentno (bezbojno) telo, a ako potpuno apsorbuje svetlost onda je to crno telo. Dakle, bela boja je prisustvo svih boja, a crna boja odsustvo svih boja u odbijenoj svetlosti (uporediti sa definicijama u 4.2). Boje tela u propuštenoj svetlosti dolaze uglavnom od apsorpcije odred enih delova spektra. Tela koja propuštaju svetlost odred ene boje (talasne dužine), a svetlosti svih ostalih boja apsorbuju, nazivaju se optički filtri (ili tačnije transmisioni optički filtri).

11 3.3. Infracrvena i ultraljubičasta svetlost 65 Npr. ako neko telo propušta samo crvenu svetlost iz sastava bele svetlosti, dok ostale boje apsorbuje, onda će to telo posmatrano u propuštenoj svetlosti da izgleda crveno. Osim transmisionih, mogu se definisati i apsorpcioni i refleksioni filtri, mada je korišćenje ovih termina red e. Ako telo apsorbuje samo svetlost jedne boje, a ostale propušta ili reflektuje, reč je a apsorpcionom filtru, dok refleksija jedne boje predstavlja refleksioni filter. U prirodi, med utim, ima mnogo više tela koje ne propuštaju ili odbijaju svetlost samo jedne boje, već više boja. Njihova boja u propuštenoj ili odbijenoj svetlosti složena je od više boja i može se poklapati sa nijansom neke od čistih spektralnih boja (videti odeljak o teoriji boja). Posmatrajmo sada netransparentna tela, tj. ona koja vrše samo apsorpciju i refleksiju svetlosti koja pada na njih. Boje koje takva tela imaju dolaze otuda što tela ne odbijaju sve boje podjednako. Npr. telo koje odbija samo crvenu svetlost izgleda kad se osvetli belom svetlošću crveno. Ako u upadnoj svetlosti nema boja koje telo odbija, npr. kada se crveno telo obasja plavom svetlošću, ono izgleda crno. Kada se u upadnoj svetlosti nalazi samo jedan deo boja koje telo odbija, utisak boje stiče se na osnovu njih i njihovih intenziteta u odbijenoj svetlosti. Pod bojom tela mi zapravo (nedovoljno precizno) podrazumevamo njegovu boju u slučaju osvetljavanja Sunčevom svetlošću, pa nam prilikom osvetljavanja veštačkom svetlošću, čiji je spektar siromašniji u malim talasnim dužinama, telo izgleda promenjene boje. Poznato je, na primer, kako je teško odabrati obojenu tkaninu pri veštačkom osvetljenju. 3.3 Infracrvena i ultraljubičasta svetlost Vidljiva svetlost predstavlja samo jednu malu oblast u širokom spektru elektromagnetnih talasa, ograničenu sa strane većih talasnih dužina infracrvenom, a sa strane manjih talasnih dužina ultra-ljubičastom svetlošću. Infracrvena svetlost. Ako se osetljivi termometar pomera duž spektra Sunčeve svetlosti primetiće se da su njegova pokazivanja različita za pojedine delove spektra. Primećeno je, takod e, da se, stavljajući termometar iza granice vidljivog dela spektra (iza crvene svetlosti), termometar više zagreva tamo nego u oblasti vidljive svetlosti, na osnovu čega je zaključeno da iza crvene svetlosti postoji nevidljiva svetlost koja je nazvana infracrvena (IC) svetlost (ili IC zračenje). IC oblast može se podeliti na blisku, srednju i daleku. Bliska (engl. NIR Near Infra Red) IC oblast sa talasnim dužinama u opsegu od µm naslanja se na oblast vidljive svetlosti, zatim sledi srednja (engl. MIR Mid Infra Red) 5 30 µm, pa daleka (engl. FIR Far Infra Red) µm koja u stvari predstavlja termalno zračenje. Supstance koje su za vidljivu svetlost prozračne mogu da budu potpuno neprozračne za infracrvenu. Takva supstanca je npr.voda. Ona skoro potpuno apsorbuje IC svetlost, a propušta vidljivu. Zbog toga se kod projekcionih aparata koriste vodeni filtri (sud sa vodom) koji imaju ulogu da apsorbuju IC svetlost koju emituje svetlosni izvor velike jačine i time štiti film ili foto ploče od nedozvoljenog zagrevanja. Primena infracrvenih zraka je raznolika. Pomoću infracrvenih zraka se mogu praviti snimci kroz atmosferu bogatu aerozagad enjima. Naime, na aerozagad enjima dolazi da znatnog slabljenja vidljive svetlosti, ali IC svetlost prolazi kroz njih bez značajne apsorp-

12 66 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika cije. Takod e, pomoću IC svetlosti je moguće snimanje i u mraku. Živi organizmi obično poseduju višu temperaturu od okoline, pa zrače više u IC oblasti (npr. čovekovo telo zrači IC talase talasne dužine reda 10 µm). Tako ih je na snimku moguće uočiti. To je takozvana IC fotografija, ili termovizija. Ona ima i vojnu primenu kod optičkih nišana. Infracrveni zraci su našli veliku primenu i u industriji (pri sušenju obojenih metalnih, keramičkih i drugih predmeta), u poljoprivredi (u sušnicama za poljoprivredne proizvode - kukuruz, šljive, i ostalo), itd. Izvori IC svetlosti najšešće su specijalne električne sijalice, koje zrače do 90% infracrvene i oko 10% vidljive svetlosti. Ultraljubičasta svetlost. Nevidljiva svetlost čija je talasna dužina manja od talasne dužine ljubičaste svetlosti naziva se ultraljubičasta svetlost 13. Kvarcno staklo propušta deo UV svetlosti, dok je obično staklo skoro potpuno apsorbuje. Ova svetlost može imati izrazito biološko dejstvo i zbog toga je njen značaj u prirodi ogroman. Dejstvo ultraljubičaste svetlosti koristi se za sazrevanje voća i povrća, čime se stvaraju vitamini i mnoge druge korisne supstance značajne za ishranu ljudi. UV svetlost efikasno uništava bacile, pa se npr. sa uspehom koristi za sterilizaciju vode i mleka. UV zračenje nastaje na visokotemperaturnim povrinama, kao što je npr. Sunce. Sunce emituje ultraljubičasto zračenje u širokom opsegu talasnih dužina i ono se može podeliti u tri grupe: UVA odgovara opsegu talasnih dužina od nm, i ima najmanje biološko dejstvo; UVB odgovara opsegu talasnih dužina od nm, i ima umereno biloško dejstvo; UVC odgovara opsegu talasnih dužina od nm, i ima izrazito biološko dejstvo. Na sreću, Zemljina atmosfera apsorbuje u potpunosti UVC i delimično UVB zračenje, čime je omogućeno postojanje života na Zemljinoj površini. U zemaljskim uslovima električni luk je najbolji izvor UV svetlosti. Zbog toga elektrolučni varioci koriste pri radu zaštitne naočari. UV svetlosti ima takod e u sastavu živine svetlosti. Kvarcne lampe, kao izvori UV svetlosti koriste se u medicini prilikom različitih sterilizacija. Ultraljubičasta svetlost deluje blagotvorno na čovečiji organizam, ali samo ako su doze zračenja male. Posle velikih doza zračenja UV svetlošću, smanjuje se radna sposobnost, javlja se avitaminoza i rastrojstvo nervnog sistema. Može se javiti i crvenilo na koži, pa je zbog toga neophodna obazrivost pri izlaganju tela ultraljubičastom zračenju (sunčanju). 3.4 Oko i vid enje Grad a oka Oko predstavlja organ čula vida prikazan na slici 3.8. Ljudsko oko ima približno sferni oblik prečnika oko 2.5 cm, i spolja je obavijeno beonjačom, koja je u prednjem delu blago ispupčena prema napred. Taj ispupčeni deo predstavlja čvrstu i providnu membranu koja se naziva rožnjača (lat. cornea). Iza rožnjače, nalazi se komora ispunjena očnom tečnošću 13 Takod e i ultravioletna (UV) svetlost ili UV zračenje

13 3.4. Oko i vid enje 67 optièka osa osa gledanja sudovnjaèa oèna teènost beonjaèa mre njaèa oèno soèivo foveja zenica ro njaèa staklasto telo ciljarni mišiæ Slika 3.8. Grad a organa čula vida - oka. (humor aqueus). Zatim dolazi okrugli obojeni deo oka koji se naziva dužica ili iris, koji na sebi ima okrugli otvor zenicu (pupila) koji omogućava da svetlost padne na očno sočivo (lens crystallina). Zenica se može širiti i skupljati i time regulisati svetlosni fluks koji pada na očno sočivo čime se oko štiti od prekomernog nadražaja. Samo sočivo izgrad eno je od vlaknaste pihtijaste mase i preko tetiva vezano za cilijarne mišiće kojima može da se menja oblik sočiva. Prostor iza sočiva ispunjen je pihtijastom masom koja se naziva staklasto telo (corpus vitreum). Zadnja površina oka prekrivena je finim spletom (mrežom) nervnih vlakana, pa se ova oblast naziva mrežnjača (retina). Ova vlakna sačinjena su od ćelija koje se nazivaju štapići i čepići i koje plivaju u tečnosti koja se naziva vidni purpur. Na mrežnjači se nalazi malo udubljenje - žuta mrlja, u čijem je centru vrlo mala površina prečnika 0.25 mm pod latinskim nazivom forea centralis, sastavljena samo od čepića na kojim se formira najoštriji lik. Očni mišići usmeravaju oko uvek tako da lik predmeta koji se posmatra padne na ovu oblast. Iz mrežnjače polazi ka mozgu očni nerv (živac). Sam kraj očnog nerva predstavlja slepu mrlju, jer u njoj nema ni čepića ni štapića. Akomodacija oka Čitavo oko ponaša se kao jedan optički sistem koji vrši preslikavanje predmeta na mrežnjaču oka. Da bi se dobio oštar lik na mrežnjači za različita rastojanja predmeta, vrši se promena oblika očnog sočiva pomoću cilijarnih mišića. Ova pojava naziva se akomodacija, i ona se vrši bez uticaja naše volje. Tabela 3.3. Zavisnost udaljenosti bliske tačke od godina starosti. starost (godina) udaljenost bliske tačke (cm)

14 68 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Minimalno rastojanje predmeta čiji oštar lik oko može da stvori naziva se rastojanje bliske tačke, a sama tačka položaja predmeta bliska tačka. Rastojanje bliske tačke menja se sa godinama, a neke okvirne vrednosti ove daljine prikazane su u tabeli 3.3. Pored bliske tačke postoji i daljnja tačka koja predstavlja maksimalno udaljenu tačku čiji lik oko može da stvori. Prema tome rastojanja bliske i daljnje tačke odred uju oblast u kojoj se nalaze predmeti čije je jasno vid enje moguće. Postoji i odred ena daljina predmeta kada se oštar lik stvara bez ikakve aktivnosti očnih mišića, tj. kada je sočivo u opuštenom stanju. Ta daljina je različita kod različitih osoba a kod normalnog oka ovo rastojanje se kreće u intervalu od 25 do 30 cm i naziva se daljina jasnog vida. Ona takod e zavisi od uzrasta, i uvek je veća od udaljenosti bliske tačke. Nedostaci oka. Kod normalnog oka. Slika 3.9. Normalno oko. uta mrlja daljnja tačka nalazi se u beskonačnosti. To znači da oko bez problema stvara lik na mrežnjači predmeta čiji zraci padaju paralelno na sočivo (slika 3.9), tj. da se žiža očnog sočiva dejstvom očnih mišića može pomeriti upravo u mrežnjaču. Med utim, u nekim slučajevima za predmet u beskonačnosti žiža sočiva ne leži na mrežnjači već ispred ili iza nje. Prva anomalija naziva se kratkovidost, a druga dalekovidost. Kod kratkovidosti, zraci svetlosti koji potiču od udaljenog predmeta seku se ispred žute mrlje (slika 3.10). Zbog toga kratkovidi ljudi ne vide jasno predmete koji su udaljeni. Kratkovidost se otklanja naočarima sa rasipnim sočivom... uta. uta mrlja mrlja Slika Kratkovido oko i ispravljena kratkovidost uz pomoć rasipnog sočiva... U slučaju dalekovidosti (slika 3.11), zraci koji polaze sa predmeta, se seku iza žute mrlje. Ovaj nedostatak otklanja se pomoću naočara sa sabirnim sočivom. uta mrlja. uta mrlja Slika Dalekovido oko i ispravljena dalekovidost uz pomoć sabirnog sočiva. Pored dalekovidosti i kratkovidosti, šesto se javlja još jedan nedostatak oka - astigmatizam. Za razliku od dalekovidosti i kratkovidosti, koje su u mlad im godinama najčešće posledica male ili velike očne jabučice, astigmatizam je posledica toga da rožnjača nije sfernog oblika kao kod normalnog oka, već je zakrivljena u jednom pravcu više nego u drugom. Osobe koje imaju ovaj nedostatak vide horizontalne i vertikalne ivice predmeta

15 3.4. Oko i vid enje 69 pod uglovima koji se razlikuju od 90. Na slici 3.12 prikazan je dijagram koga okulist koristi za proveru oka na astigmatizam. Astigmatično oko neće videti horizontalne linije u jasnom fokusu ako su vertikalne linije jasno fokusirane i obratno. Astigmatizam se takod e može korigovati naočarima. Med utim, za razliku od dalekovidosti i kratkovidosti gde se koriste jednostavna sferna sočiva, kod astigmatizma se koriste cilindrična sočiva. Na kraju, razmotrimo istovremeno funkcionisanje Slika Dijagram za odred ivanje astigmatičnosti oka. oba oka. Kada se predmet posmatra sa oba oka, svako oko stvara poseban lik predmeta. Ovi likovi se ne vide udvojeno, već se slivaju u jedinstvenu sliku. Kada se posmatraju udaljeni predmeti, optičke ose oba oka su približno paralelne. Ako je predmet blizak, očne jabučice se tako podese da ose konvergiraju ka predmetu koji se posmatra. Ugao koji one zaklapaju je utoliko veći, ukoliko je predmet bliži. Po veličini toga ugla mozak refleksno procenjuje udaljenost i veličinu posmatranog predmeta. Osobe sa jednim okom to veoma teško mogu da učine. Posmatranje sa oba oka omogućava da se predmeti vide kao tela u prostoru, a ne kao slike u ravni Proces vid enja Glavnu ulogu - ulogu detektora u procesu vid enja igraju ćelije nervnih završetaka očnog nerva - štapići i čepići. U oku ima oko 120 milona štapića, dok je čepića oko 7 miliona. Periferni delovi mrežnjače prekriveni su pretežno štapićima, dok broj čepića raste prema sredini oka. Štapići i čepići igraju bitno različite uloge. Osetljivost štapića na jačinu svetlosti je oko 1000 puta veća od osetljivosti čepića, tako da oni stvaraju osećaj svetlosti već kada desetak fotona u sekundi pogad a mrežnjaču. Med utim, štapići ne razaznaju boje, tj. nisu osetljivi na boje. Tako, pri slabom osvetljenju oko ne razaznaje boje (efekat sumraka), vidi sva tela kao (različito) siva, ali može da razazna njihove oblike. Za vid enje boja, koje oko počinje da razlikuje kod većih svetlosnih intenziteta, odgovorni su čepići koji su manje osetljivi od štapića. Postoje dve teorije o vid enju boja 14. Najstarija teorija Junga i Helmholca pretpostavlja da su čepići specijalizovani, tj. da se mogu podeliti u tri grupe prema osnovnoj boji na koju su osetljivi: Tako jednu čine oni koji su osetljivi na crvenu, drugu oni koji su osetljivi na zelenu, a treću oni koji su osetljivi na plavu osnovnu boju. Svaka vrsta čepića maksimalno reaguje samo na jednu odgovarajuću osnovnu boju, a u smanjenoj meri na okolne oblasti tako da mešavine i različiti odnosi tih boja u mešavinama omogućuju oku da vidi druge boje i nijanse, kao i belu boju. Prema Heringovoj teoriji osećanje boja zasniva se na procesima metabolizma u čulu vida, koji prouzrokuju šest osnovnih osećaja. U čepićima se nalaze tri supstance: jedna za belo-crno, koja omogućuje osećaje svetloga i tamnoga, druga za crveno-zeleno, sa oprečnim osećajima crvenog i zelenog, i treća za žuto-plavo, sa osećajima žutog i plavog. 14 koje, iako na prvi pogled sasvim suprotne, izgleda da nisu nepomirljive (npr. pogledati e-knjigu na

16 70 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Osećaji belog, crvenog i žutog nastaju kada se odgovarajuća supstanca usled svetlosti troši, dok se suprotni osećaji crnog, zelenog i plavog javljaju kada se odgovarajuća supstanca regeneriše. Kada nema nadražaja, supstance su u ravnoteži, nema osećaja boja, a supstanca odgovorna za kontrast belo-crno daje osećaj sivoga. Potpuno slepilo za boje javlja se retko. Ljudi sa ovim nedostatkom ne vide spektar kao neprekidan niz boja, već otprilike kao što zdrave oči vide niz boja koje postaju pri mešavini dve komplementarne boje, žute i plave. Kraj spektra s jedne strane izgleda žut, a sa druge plav, dok u srednjem delu na oko λ = 500 nm izgleda beo. Mnogo je češće slepilo za pojedine boje. Na primer slepilo za crveno-zeleno se javlja kod oko 4% muške populacije. Razlikujemo one koji ne vide crveno i one koji ne vide zeleno. Obe grupe mešaju crveno i zeleno, doživljavaju dakle jednu boju kao drugu. Kod onih koji ne vide zelenu boju, česta je pojava da pojedine purpurne boje doživljavaju kao bele. Postoje sem toga i slepi za ljubičastu ili plavu boju, ali se to slepilo javlja kao posledica izvesnih oboljenja i njega prate i druge pojave. Slepilo za boje (Daltonizam) se objašnjava po Helmholcovoj teoriji zakržljalošću čepića, a po Heringovoj nedostatkom odgovarajuće supstance Spektralna osetljivost oka Čovečje oko nije podjednako osetljivo na svetlost svih boja. Med utim, kriva spektralne osetljivosti oka zavisi od vrste vid enja, tj. od sjajnosti vidnog polja (Definicija sjajnosti sledi kasnije). Možemo reći da za normalno oko postoje tri vrste vid enja: fotopsko vid enje (vid enje po danu), kada je oko adaptirano na jače nivoe sjajnosti (aktivni su čepići), skotopsko vid enje (vid enje po noći), kada je oko adaptirano na niže nivoe sjajnosti (aktivni su štapići), mezopsko vid enje (vid enje u sumrak), kada je oko adaptirano na srednje nivoe sjajnosti i kada i čepići i štapići mogu biti aktivni. 1 relativna spektralna osetljivost V ( ) V( ) talasna du ina (nm) Slika Osetljivost oka pri različitim osvetljenjima.

17 3.5. Svetlosni izvori 71 Za fotopsko i skotopsko vid enje se definišu krive relativne spektralne osetljivosti (svetlosne efikasnosti) ljudskog oka V (λ) i V (λ), respektivno. Ove funkcije su prikazane na slici Funkcija osetljivosti za fotopsko vid enje ima vrednosti u intervalu od 360 do 830 nm, a maksimum se nalazi na talasnoj dužini od 555 nm (u vakuumu), što odgovara zelenoj boji. To znači da je broj fotona potrebnih da izazovu osećaj svetlosti u uslovima dnevne svetlosti najmanji za ovu talasnu dužinu. Za veće i manje talasne dužine osetljivost sve više opada. Funkcija za skotopsko vid enje V (λ) definisana je u nešto užem intervalu, od 380 do 780 nm, a svoj maksimum ima na 507 nm, što odgovara plavoj svetlosti. Tačnije, oblik čitave krive V (λ) pokazuje da je ona pomerena prema plavoj svetlosti u odnosu na V (λ). Tako, u uslovima skotopskog vid enja, oko postaje više osetljivo na plavu nego na crvenu svetlost. To je razlog zbog čega nam na mesečini sve izgleda plavičasto, dok u pozorištu jarko crvena boja zavese gubi od svog intenziteta kada se ugasi svetlost. 3.5 Svetlosni izvori Pod svetlosnim izvorom podrazumeva se svako telo koje može da emituje elektromagnetne talase u vidljivom delu spektra. Treba napomenuti da većina njih emituje i talase koji zalaze u susedne oblasti spektra (tj. ultraljubičastu i/ili infracrvenu svetlost). Podela svetlosnih izvora može se izvršiti na osnovu nekoliko kriterijuma. Prema karakteru emitovane svetlosti izvori se dele na spontane i indukovane (stimulisane). U indukovane izvore svetlosti spadaju laseri i oni daju strogo koherentnu svetlost 15 za razliku od spontanih svetlosnih izvora koji emituju nekoherentnu svetlost, koja je više ili manje polihromatska. Svetlosni izvori se prema svom poreklu mogu podeliti na prirodne, koji postoje u prirodi i veštačke (tehničke), koje je stvorio čovek. Najvažniji prirodni svetlosni izvor je Sunce. Sunce je zvezda u kojoj se stalno odigravaju fuzioni procesi koji oslobad aju veliku količinu energije. Temperatura na površini Sunca je oko 6000 K i ono u prostor oko sebe zrači snagu od W u vidu elektromagnetnih talasa širokog spektra. Spektar Sunčeve svetlosti koji stiže na Zemlju obuhvata osim vidljive svetlosti i ultraljubičasto i infracrveno zračenje. Vrlo mali deo Sunčeve svetlosti može doći do Zemlje čak i noću, indirektno, nakon refleksije od Meseca. Od ostalih prirodnih izvora svetlosti pomenimo zvezde, munju (elektrostatičko pražnjenje u atmosferi), vatru, polarnu svetlost (procesi u jonosferi), luminiscentne pojave i užarenu lavu vulkana. Prema načinu nastanka svetlosti svetlosni izvori se mogu podeliti na termičke i luminiscentne. Termički izvori svetla predstavljaju užarena tela koja emituju energiju prema zakonima zračenja, a deo ove energije nalazi se i u oblasti vidljivog spektra svetlosti. Kod užarenih tela, emitovana energija je posledica ogromne kinetičke energije molekula koju oni imaju zbog visoke temperature tela. To su Sunce, električne sijalice sa užarenim vlaknom, Voltin luk, plamen sveće, vatra i drugi. Kod luminiscentnih pojava (tj. luminiscencije), energija koju telo izrači u vidu svetlosti nadoknad uje se na različite načine, pri čemu ti procesi mogu biti i prirodni i veštački. Razlikujemo četiri vrste luminiscencije: Supstanca (najčešće čvrsta) svetli kao rezultat odred enih hemijskih procesa u njoj. 15 Pojam koherentne svetlosti razmatraće se u temi posvećenoj interferenciji svetlosti.

18 72 Glava 3. Elektromagnetni talasi i optika Ova pojava naziva se hemijska luminiscencija, ali često i fosforescencija. Gasovita supstanca svetli kao rezultat nekog oblika samostalnog električnog pražnjenja. Ova pojava naziva se elektroluminiscencija. Čvrsta supstanca svetli kao rezultat njenog bombardovanja brzim elektronima (tzv. katodnim zracima). Ova pojava naziva se katodoluminiscencija i iskorišćena je kod katodnih cevi televizora i monitora. Kada se odred ene supstance osvetle svetlošću talasne dužine λ 1, one emituju svetlost druge, veće talasne dužine λ 2. Ove supstance, koje u stvari vrše transformaciju svetlosti jedne talasne dužine (ili više njih) u svetlost druge talasne dužine nazivaju se fotoluminiscentne supstance, a sama pojava fotoluminiscencija, ali i fluorescencija. Kod tehničkih izvora svetla razlikujemo izvore za osvetljavanje životnih i radnih prostora i izvore za specijalne namene. Pošto su izvori svetla tipa petrolejskih lampi, baklji i sveća uglavnom napušteni možemo reći da su svi tehnički izvori svetla u stvari električni izvori svetlosti, jer rade na pretvaranju električne energije u svetlost. Električni izvori svetla mogu se podeliti na svetlosne izvore (sijalice) sa užarenim vlaknom i svetlosne izvore sa električnim pražnjenjem. Za osvetljavanje životnih i radnih prostora najčešće se koriste sijalice sa užarenim vlaknom i gasne cevi. Sijalice sa užarenim vlaknom su termički emiteri kod kojih je vlakno najčešće načinjeno od volframa. Temperatura vlakna je obično od C, a ukoliko je ona viša, utoliko je veće svetlosna iskorišćenost izvora (koji se definiše kao odnos svetlosnog fluksa sijalice i električne snage koja ga stvara). Ako je sijalica predvid ena za male snage iz njenog balona je evakusisan vazduh. Kod sijalica za veće snage u balon se uvode pojedini gasovi (argon, kripton, i dr.) kako bi se smanjilo isparavanje vlakna. Med utim, dodavanjem ovih gasova povećava se odvod enje toplote i time smanjuje stepen iskorišćenja. Zato se često kod većih snaga sijalice volframsko vlakno izrad uje u obliku višestruke spirale i na taj način smanjuje njegova efektivna površina, pa je gubitak toplote manji, a time stepen iskorišćenja veći. Sijalice sa užarenim vlaknom zrače energiju u širokoj oblasti UV, IC i vidljivog dela spektra. Pri tome se manje od 15% dovedene električne energije pretvara u svetlost, dok se ostali deo pretvara u toplotu. Spektar vidljivog dela zračenja ovih sijalica je kontinualan i ima svoj maksimum u infra-crvenoj oblasti. Svetlosni izvori na principu električnog pražnjenja emituju svetlost usled električnog pražnjenja kroz gas, matalne pare (natrijum, živa) ili smešu gasova i para. U zavisnosti od pritiska u cevi, izvori na principu pražnjenja se dele na izvore na niskom (0.1-1 Pa) i izvore na visokom ( Pa) pritisku koji se uglavnom koriste za izvore specijalnih namena. U gasnim sijalicama nalazi se gas na sniženom pritisku. Uspostavljanje pražnjenja u gasu postiže se pri naponima reda nekoliko stotina volti, a pojavu varnice sledi emitovanje svetlosti. Boja svetlosti predstavlja karakteristiku gasa koji se nalazi u cevi. Tako neon daje jarkonarandžastu svetlost, živina para ljubičastu, natrijumova para žutu, vodonik crvenu, azot takod e ljubičastu, a helijum zlatno-žutu. Jedna od najvažnijih karakteristika gasnih sijalica je da one imaju znatno veći koeficijent korisnog dejstva od konvencionalnih sijalica sa užarenim vlaknom: za isti intenzitet

19 3.6. Fotometrija i osvetljenje 73 svetlosti one zahtevaju prosečno četiri puta manju snagu. Glavni nedostatak gasnih sijalica je izrazita obojenost svetlosti koje one stvaraju. Ovaj problem se rešava upotrebom fluorescentnih zastora. Unutrašnja površina cevi u kojoj se vrši pražnjenje obložena je slojem smeše koja ima osobinu da fluorescira. Svaka komponenta smeše apsorbuje svetlost koja dolazi iz pražnjenja, a zatim emituje svetlost neke druge, veće talasne dužine. Pogodnom kombinacijom sastojaka smeše, dobija se da je spektar izlazne svetlosti što više nalik spektru Sunčeve svetlosti, ali, ipak, po svom spektru, gasne sijalice sa fluorescentnim zastorom su dalje od spektra Sunčeve svetlosti u odnosu na sijalice sa užarenim vlaknom. Takod e, u gasnom pražnjenju postoji značajan deo energije koja se oslobad a u vidu nevidljive UV svetlosti (ovo j naročito izraženo kod cevi sa živinom parom). Ovi zraci su u slučaju nepostojanja fluorescentnog zastora neupotrbljivi ali kada njega ima, onda se i oni apsorbuju a zatim se fluorescencijom i njihova energija emituje, ali sada u vidljivom delu spektra, čime se znatno povećava koeficijent korisnog dejstva. Izvori svetla za specijalne namene su najčešće različite vrste reflektora i lampi, kod kojih je potrebno obezbediti veliku svetlosnu jačinu. Najčešće se koriste gasne sijalice pod visokim pritiskom, a za neke primene i Voltin luk. 3.6 Fotometrija i osvetljenje Fotometrija je deo optike u kome se izučavaju kvantitativne osobine svetlosnih pojava i odgovarajuće metode merenja. Dakle, primarni cilj fotometrije je merenje vidljivog zračenja ili svetlosti, na takav način da rezultati merenja odgovaraju što je moguće više relevantnoj vizuelnoj senzaciji koju doživljava normalni ljudski posmatrač izložen datom zračenju. Radi postizanja ovog cilja mora se uzeti u obzir i svetlosna pobuda, tj. zračenje koje upada u oko, ali i karakteristike organa vida koji stvara odgovarajući osećaj svetlosti. Svetlosna pobuda se može opisati na čisto fizički način, koristeći fizičke veličine i jedinice sa kojima smo se mi sreli u odeljku i koje se nazivaju radiometrijske, a sama oblast merenja radijacije (zračenja) u ovom smislu čini oblast poznatu kao radiometrija. Iako radiometrija može uključivati merenja zračenja iz bilo kog dela elektromagnetnog spektra, zbog pored enja sa fotometrijom od posebnog interesa je oblast vidljive svetlosti. I dok se termin fotometrija odnosi na deo fizike, tj. optike, u primenjenim disciplinama koriste se termini osvetljenje (engl. lightining; franc. l Éclairage), karakterističan za grad evinsko-arhitektonsku struku, ali i svetlotehnika, karakterističan za elektrotehničku struku Fotometrijske veličine Naše proučavanje veličina i jedinica kojima se opisuju kvantitativna svojstva svetlosti započećemo sa definisanjem fotometrijskih veličina i njihovim upored ivanjem sa odgovarajućim radiometrijskim veličinama koje smo već upoznali. Kao što smo videli, sve radiometrijske veličine nose indeks e (od engl. energetic), a odgovarajuće fotometrijske veličine nosiće indeks v (od engl. visual). Veza izmed u odgovarajućih fotometrijskih (vizuelnih) i radiometrijskih (energetskih) veličina uspostavlja se na indentičan način preko spektralne koncentracije odgovarajuće radiometrijske veličine i funkcije spektralne

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

7. POJAVE PRI PROSTIRANJU ZVUKA U VAZDUHU

7. POJAVE PRI PROSTIRANJU ZVUKA U VAZDUHU AKUSTIKA - TEMA 7: Pojave pri prostiranju zvuka u vazduhu 105 7. POJAVE PRI PROSTIRANJU ZVUKA U VAZDUHU 7.1 Uvod Na sudbinu zvučnog talasa kada krene od izvora, a time i na strukturu zvučnog polja, utiču

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Elektro-magnetno zračenje nebeskih tela

Elektro-magnetno zračenje nebeskih tela Glava 1 Elektro-magnetno zračenje nebeskih tela Osnovni izvor informacija o nebeskim telima je njihovo elektromagnetno zračenje. Na analizi ovog zračenja zasnivaju se skoro sva naša znanja o raznim tipovima

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

DISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI

DISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI DISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI Najpoznatiji primer nedisperzionog talasa je eketromagnetni talas u vakuumu. Nedisperzivni talasi imaju disperzivnu realciju o obliku, gde je c konstanta, tako da je

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam (AP301-302) Magnetno polje dva pravolinijska provodnika (AP312-314) Magnetna indukcija (AP329-331) i samoindukcija (AP331-337) Prvi zapisi o magentizmu se nalaze još u starom veku: pronalazak rude gvožđa

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Regulacioni termostati

Regulacioni termostati Regulacioni termostati model: KT - 165, 90/15 opseg regulacije temperature: 0 90, T85 dužina osovine: 15 mm, opciono 18 i 23 mm dužina kapilare: L= 650 mm 16(4)A 250V - 6(1)A400V promena opsega regulacije

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

TEST PITANJA ZA PRIJEMNI ISPIT IZ FIZIKE

TEST PITANJA ZA PRIJEMNI ISPIT IZ FIZIKE TEST PITANJA ZA PRIJEMNI ISPIT IZ FIZIKE na Departmanu za fiziku Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu za smerove a) profesor fizike b) diplomirani fizičar c) diplomirani fizičar-meteorolog d) diplomirani

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca.

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Način ocenjivanja- Opšti kurs fizičke hemije 2 Posećivanje predavanja 4 boda: 60-70%-1, , 80-90%-3 i %-4 Interakt. nastava i domaći: 1

Način ocenjivanja- Opšti kurs fizičke hemije 2 Posećivanje predavanja 4 boda: 60-70%-1, , 80-90%-3 i %-4 Interakt. nastava i domaći: 1 Način ocenjivanja- Opšti kurs fizičke hemije Posećivanje predavanja 4 boda: 60-70%-1, 70-80-, 80-90%-3 i 90-100%-4 Interakt. nastava i domaći: 1 bod Kolokvijumi vežbe: 15, svaki po 5 (1 bod-6, b.-7, 3b.-8,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα