ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ: Επεξεργάζεται στατιστικά δεδομέα, αριθμητικές μετρήσεις. Ατικείμεό της είαι η συγκέτρωση στατιστικώ δεδομέω κατ αρχή. ) Μέτρηση του συόλου του πληθυσμού ΑΠΟΓΡΑΦΗ ) Δείγμα το οποίο γεικεύεται ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ(δείγμα πιθαοθεωρητικό) Ότα τα ούμερα μεγαλώου τότε όλα τα πράγματα που μελετάμε τείου α παρουσιάσου ομοιομορφία.

2 ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΙΑ: Βλέπουμε ότι ο πληθυσμός παρουσιάζει ομοιομορφία και μπορούμε α το μελετήσουμε δειγματικά. ) Ο όμος τω μεγάλω αριθμώ εξασφαλίζει ομοιομορφία. ) Σε κάθε πληθυσμό α υπάρχει μεταξύ τω μοάδω η μεγαλύτερη δυατή ομοιομορφία. Μια συγκεκριμέη ασθέεια προσβάλλει παιδιά στα πρώτα έτη της ζωής τους και ορισμέες φορές προξεεί θάατο. Ότα έχουμε κλάσεις άισου πλάτους τότε το ύψος U του κάθε ορθογωίου της f κλάσης δίεται από τη σχέση U c. f : η συχότητα της κλάσης c : το πλάτος ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 0 fs c s Το εμβαδό του ιστογράμματος δείχει το σύολο του δείγματος U s 5 Ότα έχουμε μία κλάση όπως η τελευταία που το πλάτος διαφοροποιείται τότε πρέπει α ρυθμίσουμε το κατάλληλο ύψος ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α δείχει τη συχότητα της τελευταίας. κ: το πλήθος τω κλάσεω, κ,(log n ) n: αριθμός παρατηρήσεω κ,log 50 R c k Εύρος Rμεγαλύτερη μικρότερη τιμή Παράδειγμα () Δίεται η καταομή. Να βρεθεί η μέση τιμή και α κατασκευαστεί ιστόγραμμα και πολύγωο σχετικώ και αθροιστικώ συχοτήτω. Σ f , n 50 Φτιάχοτας το πολύγωο τω συχοτήτω α αυτό προσεγγίζει τη καοική καταομή τότε τα πάτα ταυτίζοται:(μέση τιμή, διάμεσος, επικρατούσα τιμή, κτλ.) ) Α η καταομή έχει ουρά αριστερά λέμε ότι είαι ασυμετρική αριστερά ) Α η καταομή έχει ουρά δεξιά λέμε ότι είαι ασυμμετρική δεξιά ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ(τ): Ορίζουμε τη τιμή με τη μέγιστη συχότητα. ) ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ) ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Βήμα ο : Για α βρούμε τη επικρατούσα τιμή θεωρούμε τη κλάση που έχει τις περισσότερες παρατηρήσεις(επικρατούσα κλάση) Βήμα ο : Θεωρούμε τα τρίγωα ΓΕΘ και ΗΕΔ. Γ Θ Η 0 0 άρα τα708,778,7 75 8,7 9,5

3 ο τεταρτημόριο Q :είαι ο αριθμός που το 5% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από το συγκεκριμέο αριθμό και το 75% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες. Q : δεύτερο τεταρτημόριο: η διάμεσος (50%) Q : τρίτο τεταρτημόριο (75% μικρότερες και 5% μεγαλύτερες) Η διαφορά Q Q λέγεται εδοτεταρτημοριακό εύρος *τα άω όρια τω τάξεω δε περιλαμβάοται σε αυτές. ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: μπορεί α εκφρασθεί σε μοάδα μετρήσεως ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: δε μπορεί α εκφραστεί σε μοάδα μετρήσεως f f... f f k k f : Στατιστικός πληθυσμός: σύολο παρατηρήσεω σ : διακύμαση σ : μέσος όρος τω τετραγώω τω διαφορώ τω τιμώ της μεταβλητής από το μέσο αριθμητικό αυτής. ( ) σ... σ: θετική τετραγωική ρίζα > τυπική απόκλιση σ Συτελεστής μεταβλητότητας: 00 ( X ) y α β, y σ y? Σ y ( α β ) α β y α β ) Εά στις τιμές της αρχικής μεταβλητής χ προσθέσουμε με τη αλγεβρική έοια τη σταθερά α τότε ο μέσος αριθμητικός της αρχικής μεταβλητής χ αυξάει ή μειώεται κατά τη σταθερά αυτή. ) Εά στις τιμές της αρχικής μεταβλητής χ τις πολλαπλασιάσουμε με τη σταθερά β τότε ο μέσος αριθμητικός αυτής πολλαπλασιάζεται με τη σταθερά αυτή. Για τη απόδειξη τω ιδιοτήτω χρησιμοποιούται πάτοτε οι τύποι ορισμού τω ( y ) y παραμέτρω: [ α β ( α β ) ] β ( ) σ y Ν ή σ β σ ) Εά στις τιμές της μεταβλητής χ προσθέσουμε τη ίδια σταθερά α τότε η διακύμαση αυτής δε μεταβάλλεται. ) Εά στις τιμές της μεταβλητής χ της πολλαπλασιάσουμε με τη αυτή σταθερά β τότε η διακύμαση αυτής πολλαπλασιάζεται με το τετράγωο της σταθεράς αυτής(β). Τεταρτημόρια X

4 δ Πρώτο: Q α [ F ] f δ k Τρίτο: Q α [ F f 00 Τεταρτημόρια:k5, 50, 75 Δεκατημόρια:k0, 0,, 0 δ Δηλαδή ο δεκατημόριο: α [ F ] f 0 δ ο : α ι [ F ] f 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ(μέση τιμή, διάμεσος, τεταρτημόρια). Ο αριθμός τω καλαθιώ εός παίκτη μπάσκετ σε 8 συεχή παιχίδια 0 0 α) Να υπολογισθεί η μέση τιμή β) Να υπολογισθεί η διάμεσος γ) Ποια είαι η επικρατούσα τιμή 0 0 α) n 8 β)0, 0,,,,,, Ν8 άρα άρα Μ γ) Η επικρατούσα τιμή είαι γιατί έχει τη μεγαλύτερη συχότητα. Η καταομή τω κατοικιώ κάποιας πόλεως ως προς το μέγεθός τους(χ αριθμός δωματίω). Να υπολογισθεί η διάμεσος Μετατρέπουμε τη καταομή σε δεξιόστροφη αθροιστική σειρά. Θέση διαμέσου: 50 (σε ασυεχείς α f < < f τότε Μ άρα Μ Θέση ου τεταρτημορίου: 5 Άρα Q Θέση ου τεταρτημορίου: 75 άρα Q Α f < < f τότε η διάμεσος είαι το Βήμα ο : Βρίσκουμε το F F F F Βήμα ο : Βρίσκουμε τη θέση της διαμέσου: <50<7, άρα Μ. Δίεται η ποσοστιαία καταομή 00 μαθητώ ως προς το αάστημα χ αυτώ(σε εκατοστά). Υπολογίστε το ημιεδοτεταρτημοριακό εύρος.

5 Q ( Q Q ) 5 f δ 5 δ ι Q α [ FI ] a 60 f f 5 Q 60 (5 ) 60,90 Άρα οπότε: 5 Q 65 (75 ) 69,8 Q ( Q Q ) (69,8 60,90),7 Βήμα ο : Βρίσκω το 5. Κοιτάμε το 5 που βρίσκεται. Κρατάμε το προηγούμεο δ πλάτος της κλάσης f : συχότητα επόμεης κλάσης και το a ι είαι το κάτω άκρο της κλάσης που ατιστοιχεί στο f. Ο προϊστάμεος εός γραφείου παρατήρησε ότι οι υπάλληλοί του περού περισσότερο χρόο πίοτας καφέ παρά δουλεύοτας. Έτσι μέτρησε το αριθμό τω διαλειμμάτω κάθε υπαλλήλου κατά τη διάρκεια της ημέρας,,,,, 5, 7. Να βρεθεί η μέση τιμή, η διακύμαση και η τυπική απόκλιση. n 7 Ν σ ( ) 0,9 Ν 7 σ ι,9,07 Ποια είαι τα πλεοεκτήματα και ποια τα μειοεκτήματα της διαμέσου? ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ) Δε επηρεάζεται από τις πιθαές ακραίες τιμές ) Υπολογίζεται και για ομαδοποιημέες παρατηρήσεις ) Είαι μοαδική για κάθε σύολο παρατηρήσεω ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ) Για το υπολογισμό δε λαμβάοται υπόψη όλες οι παρατηρήσεις ) Δε είαι εύκολη η στατιστική αάλυση ) Δε υπολογίζεται σε ποιοτικές μεταβλητές Εξετάζουμε το αριθμό τω αδερφώ που έχει ο καθέας. X μεταβλητή: αριθμός τω αδερφώ που έχει κάθε φοιτητής Να υπολογισθεί η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη ροπή περί τη αρχή.

6 ) ( , U U U f U f U K K σ Ατί για τη μεταβλητή θεωρούμε: y -μ απόσταση μεταβλητής από τη μέση τιμή k f Ν ) ( 0 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ ΠΕΡΙ ΤΗΝ ΑΔΧΗ: μ κ (-μ) κ όπου στο αάπτυγμα του ου μέλους οι εκθέτες του θα γράφοται ως δείκτες δηλαδή U λ ατί U λ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για κ, ) (, Άρα που είαι ο τύπος υπολογισμού της διακύμασης: ) ( f f Ν σ Για κ ) ( Για κ 6 ) ( 6 Συτελεστής ασυμμετρίας: s β ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ: s β Α β > τότε είαι λεπτόκυρτη β τότε είαι μεσόκυρτη β < τότε είαι πλατύκυρτη S.O.S: Ότα η καταομή είαι συμμετρική τότε β 0 μ 0 μμ και Μ Q Q Η μεταβλητή έχει μέση τιμή μ 0, U () 0. Συτελεστή μεταβλητότητας U () 0,5 και συτελεστή ασυμμετρίας. Να υπολογισθού η πρώτη, δεύτερη, τρίτη ροπή περί τη αρχή της μεταβλητής z.

7 σ ( ) CV( ) 0,5 σ ( ) 0,5 0 ( ) 0 άρα σ 00 ( ) Επειδή β ( ) 000 σ μ ()- () () () 000 () αλλά σ χ ( χ ) ( χ ) 00 ( χ ) 0 ( χ ) () άρα: v 00 v ( z) ( z) ( z0 z ( χ ) ( χ ) () z () , σ σ Ω: δειγματικός χώρος: το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω εός πειράματος τύχης. Εά ρίξουμε έα όμισμα δύο φορές ο δειγματικός χώρος θα είαι Ω: {ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ}. n ρίψεις: n )Ρίχουμε δύο κύβους και ζάρια. Ο δειγματικός χώρος του εός ζαριού θα είαι Ω{,,,,56} Από δύο ζάρια θα είαι Ω:{(,j)},,,,6, j,,,,6 Ο δειγματικός χώρος είαι ασυεχής. )Διάστημα αριθμώ [0,]. Κάουμε το πείραμα επιλογής σημείου μέσα σε αυτό το διάστημα Ω:{0 } Τα εδεχόμεα μετριούται σε μια συεχή κλίμακα. Κάθε αποτέλεσμα πειράματος τύχης λέγεται εδεχόμεο. εδεχόμεο Α: η πιθαότητα του Α θα είαι Ρ(Α) 0 Ρ ( Α ) Το σύολο τω πιθαοτήτω τω εδεχομέω τω στοιχείω είαι Ρ(Ω) Σε κάποιο τυχερό παιχίδι ο παίχτης κερδίζει 5, 0, 5 ή 5 ομισματικές μοάδες με ατίστοιχες πιθαότητες /6, 5/6, 75/6, 5/6. Να βρείτε τη ααμεόμεη τιμή του κέρδους του παίχτη:. για συμμετοχή μια φορά στο παιχίδι,

8 . για συμμετοχή 00 φορές στο παιχίδι. X P X P X P X P X P ) Ααμεόμεη μέση τιμή Ε Ε(χ)Σ χρ5 /6 (-5) 5/6. ) Υ00χαχ ααμεόμεη μέση τιμή Ε(Υ)Ε(αχ)αΕ(χ) Άρα Ε(Υ) 00Ε(χ),00 Η τυχαία μεταβλητή χ είαι ασυεχής με τιμές,,,. Να υπολογίσετε τη καταομή της χ εά : Ρ(χ-)Ρ(χ)Ρ(χ)Ρ(χ) Έστω Ρ(χ -)Κ τότε θα ισχύει Ρ(χ -)Ρ(χ)Ρ(χ)Ρ(χ) ΚΚΚ/Κ/ ΚΚ/Κ/ ΚΚΚ6 7Κ6 Κ6/7 οπότε Ρ(χ -)Ρ(χ)6/7 Ρ(χ)6/7 /6/7 Ρ(χ)6/7 /6/7 Η τυχαία μεταβλητή χ παίρει τιμές 0,, ατίστοιχες πιθαότητες /, /6, /. Να βρεθεί η συάρτηση καταομής και α δώσετε και τη γραφική παράσταση αυτής. F()P(X<) Συάρτηση καταομής είαι η έα συάρτηση η οποία δίει τις πιθαότητες η τυχαία μεταβλητή χ α πάρει τιμές μέχρι συγκεκριμέη τιμή αυτής. P(X) 0 / /6 / Σύολο,00

9 0, <0, για 0<< λόγω της F() ασυέχειας που αλλάζει στο //6 για <<, για < Δίεται η καταομή πιθαότητας P 0 α0, β0, γ0, δ0, Σύολο,00 Επειδή αβγδ α0,0,0, α0, Να βρείτε τις πιθαότητες α, β, γ, δ α Ε(),5, Ε( ),9, E( )6, Ε(),5 Σ P,5 0αβγδ,5 βγδ,5 () Ε( ),9 Σ P,9 0 α β γ δ,9 βγ9δ,9 () Ε( )6, 0 α β γ δ6, β8γ7δ6, () Από (), (), () βγδ,5 β,5-γ-δ () βγ9δ,9 λόγω () β8γ7δ6,,5-γ-δγ9δ,9,5-γ-δ8γ7δ6, γ6δ, 6γ8δ, 6γδ,8 6γδ,8 Διαιρώτας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις 6δ0,6 δ0, άρα γ6 0,, γ0,8 γ0, β,5-0,8-0, β0, Όμως αβγδ άρα α0,0,0, α0, Έστω χ τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί τη καοική καταομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ. Θεωρούμε τη τυποποίηση αυτής zχ-μ/σ, τότε η z ακολουθεί τη καοική καταομή με μέση τιμή 0 και διασπορά. Εφαρμογή Υποθέτομε η διάρκεια της κύησης Χ μιας γυαίκας ακολουθεί τη καοική καταομή με μέση τιμή μ70 μέρες και τυπική απόκλιση σ0 μέρες. α) Ποια η πιθαότητα α γεηθεί έα παιδί πρι τη συμπλήρωση του 7 ου μήα; β) Ποια η πιθαότητα α γεηθεί έα παιδί κατά τη διάρκεια του 8 ου μήα;

10 α) Ρ(χ<0) Ν(μ,σ ) χ~ν(70,0 ) Βήμα ο τυποποιώ τη καοική καταομή θεωρώτας μια καιούρια μεταβλητή z που είαι z χ-μ/σχ-70/0 Βήμα ο Η z~ν(0,) Ρ(χ,0) Ρ(χ-70/0<0-70/0) Βήμα ο Έχω α βρω τη πιθαότητα Ρ(z<) όπου z η τυποποιημέη Ρ(z<-)Ρ() Βήμα ο Ότα έχω α βρω τη αρητική τιμή τη βρίσκω ως εξής Φ(-)-Φ() Γεικά ισχύει η ιδιότητα Φ(z 0 )-Φ(z 0 ) Φ(-)-Φ()-0,9770,8 β) Ρ(0<χ<70)Ρ(0-70/0<χ-70/0,70-70/0) Ρ(-<z<0)Φ(0)-Φ()Φ(0)-[-Φ()]Φ(0)-Φ() 0,5-0,80, Α κάποιες παρατηρήσεις προέρχοται από τη καοική καταομή, τότε το ποσοστό τω παρατηρήσεω που απέχει από το μέσο μ λιγότερο από κ τυπικές αποκλίσεις δηλαδή η πιθαότητα Ρ(χ-μ<κσ)Ρ(z<κ) Αυτό προκύπτει διαιρώτας και τα δύο μέλη με σ. Από μια ιδιότητα απόλυτω τιμώ Ρ(-κ<z<κ)Φ(κ)-Φ(-κ) Π.χ. Ρ(χ-μ<σ)Φ()-Φ(-)Φ()-[-Φ()] Φ()- 0,8-,686-0,686 Δηλαδή το 68,% τω παρατηρήσεω βρίσκεται μεταξύ του χ-σ και χσ. Α Ρ(χ-μ<6)Ρ(μ-6<χ<μ6) Ρ(-<z<)Φ()-Φ(-)Φ(z)-Φ(-)Φ()- 0,977-~0,95 Έστω ότι έχουμε μια καοική καταομή z~ν(0,) Να βρεθεί z ώστε Ρ(Ζ>z)α όπου 0<α< Ότα έχω Ρ(Ζ<z)α -Ρ(Ζ<z)α -Φ(z)α Φ(z)-α Έστω ότι α0,0 Φ(z)-0,00,99 zφ - (0,99) Έστω ότι α0,0 Ρ(Ζ>z)α0, -Ρ(Ζ<z α )α Ρ(Ζ<z α )-α0,90 Φ(Zα)0,90 Αρχίζει από το,9 άρα z,9 Υπεργεωμετρική Καταομή

11 Υποθέτουμε ότι τα άτομα εός πληθυσμού ταξιομούται σε δυο κατηγορίες αάλογα με τις τιμές εός χαρακτηρισικού που μας εδιαφέρει. Για παράδειγμα: Α πάρω σα χαρακτηριστικό το φύλο:αγόρια-κορίτσια Α καπίζει κάποιος ή δε καπίζει Αάλογα με το βάρος: υπέρβαρος-καοικός Στη περίπτωση αυτή η τυχαία μεταβλητή, ότα η επιλογή γίεται χωρίς επαάθεση, ακολουθεί τη υπεργεωμετρική καταομή. Έχουμε μια κάλπη και μέσα σ αυτή έχουμε α λευκές σφαίρες και β μαύρες. Έστω χ τυχαία μεταβλητή που δείχει το αριθμό τω λευκώ σφαιρώ Ρ(Χχ) Εφαρμογή Έστω 0 λευκές 8 μαύρες σφαίρες μάσα σε μια κάλπη και τραβάω σφαίρες χωρίς επαάθεση (δε τις ξααβάζω μέσα). Ποια η πιθαότητα α έχω μια λευκή; Στη περίπτωση που έχουμε και επαάθεση, τότε δε έχουμε υπεργεωμετρική καταομή για το αριθμό τω λευκώ σφαιρώ αλλά διωυμική με παραμέτρους υ,, ρ0/8 χ~b(, ρα/αb) χ~b(, r0/8) Ρ( λευκή σε τραβήγματα) Α ο αριθμός τω σφαιριδίω είαι μεγάλος, τότε η υπεργεωμετρική προσεγγίζεται από τη διωυμική με παραμέτρους Ρα/αb Π.χ. 7, α0, β8 Ρ0/8 Ρ(7,6) Το 0% τω μελώ εός αγροτικού συεταιρισμού συμφωού με τη αγροτική πολιτική που εφαρμόζει η κυβέρηση. Μια ατιπροσωπευτική ομάδα 0 μελώ επισκέπτεται το υπουργείο γεωργίας. Τη τελευταία στιγμή μαθαίου ότι ο υπουργός θα δεχθεί για ακρόαση μια ολιγομελή επιτροπή 6 ατόμω και έτσι αποφασίζου α κάου κλήρωση για α επιλεγού τα άτομα που θα συομιλήσου με το υπουργό. α)ποια η πιθαότητα τουλάχιστο τα μισά μέλη της εξαμελούς επιτροπής α συμφωού με τη αγροτική πολιτική. β)ποιος είαι ο ααμεόμεος αριθμός(μέση τιμή) τω μελώ που συμφωού με τη αγροτική πολιτική της κυβέρησης και ποιος ο ααμεόμεος αριθμός μελώ που δε συμφωού με τη αγροτική πολιτική. α)αφού συμφωεί το 0% από τα 0 μέλη, άρα συμφωού 8 μέλη και δε συμφωού. Συμβολίζουμε με Χ το αριθμό τω μελώ που συμφωού με τη πολιτική της κυβέρησης. Τότε η καταομή του αριθμού τω μελώ που συμφωού με τη

12 αγροτική πολιτική της κυβέρησης είαι μια υπεργεωμετρική καταομή που η πιθαότητα από τα 6 μέλη α συμφωού τα Χ μέλη δίεται από το τύπο Ρ(X) δείχει τη πιθαότητα χ μέλη από τα 6 μέλη που πήγα α συμφωού με τη αγροτική παραγωγή της κυβέρησης Ρ(Χ>)Ρ(Χ)Ρ(Χ)Ρ(Χ5)Ρ(Χ6) β) Σε αυτή τη καταομή ισχύει Ε()68/88/0, Ε(y)Ε(6-)6-Ε()6-,,6 Δε συμφωού Να βρεθεί το εδοτεταρτημοριακό εύρος της τυποποιημέης Ζ~Ν(0,) Η τυποποιημέη έχει μέση τιμή μ-0 και διασπορά σ Ρ(Ζ<Q )0,75 Q 0,67 Ρ(Ζ<Q )0,5 D 0,67 Q -Q 0,67-(-0,67) 0,67,7 Δίεται η καοική καταομή με μέση τιμή 0 και διακύμαση Χ~Ν(μ/σ )0, ) Να βρεθεί η πιθαότητα το Χ α είαι από 0 μέχρι Χ: ο αριθμός τω ωρώ που δουλεύει έας εργάτης. Ρ(0<χ<) Ρ(0<Χ<) Z-μ/σ Ρ(0-0/<-μ/σ<-0/)Ρ(0<z<) Φ()-Φ(0)0,8-0,50, Η πιθαότητα επιτυχίας μιας δύσκολης εγχείρισης είαι 80%. α) Ποια η πιθαότητα τουλάχιστο 9 στις 0 παρόμοιες εγχειρήσεις α είαι επιτυχείς; β) Ποια είαι η ααμεόμεη τιμή (μ) του αριθμού τω επιτυχιώ στις επόμεες 0 εγχειρήσεις;

13 Έστω Χ ο αριθμός τω επιτυχημέω εγχειρήσεω. Το Χ ακολουθεί τη διωυμική καταομή Χ~Ν(η0,ρ0,80) Ρ: η πιθαότητα α έχει πετυχημέη εγχείρηση) Χ~Β(η0,Ρ0,80) α)ρ(χ>9)ρ(χ9) Ρ(Χ0) 0,80 9 0,0 0,80 0 0,680,07 Δίοται δύο καοικές καταομές Χ ~Ν(,) Χ ~Ν(,) Τι καταομή είαι η Χ και Χ Χ Χ ~Ν(, )~Ν(,5) Χ,Χ αεξάρτητες Χ -Χ ; Χ -Χ ~Ν(-, ) Δίεται η καοική τυπική καταομή Χ~Ν(0,) Χ είαι καοική; σ Ε(χ )-[Ε(χ)] Ε(χ )-0 Ε(Χ ) Διασπορά του χ Δ(χ )Ε(χ )-[Ε(χ)] Ε(χ ) Ε[g(χ)] Π.χ. f()- Ε( ) Χ 0 Ρ / / / Ε(χ)0//// E( )0 / / //5/ σ Δ(χ)Ε(Χ )-[Ε(χ)] 5/-(/) 5/-9/6/6 Πυκότητα Πιθαότητας ΟΡΙΣΜΟΣ: Υποθέτουμε ότι Χ μια συεχής τυχαία μεταβλητή. (τ.μ.) ώστε: )

14 ) Το συολικό εμβαδό της επιφάειας που περικλείεται από τη καμπύλη f και το άξοα τω Χ είαι ίσο με. Η συάρτηση f() καλείται καταομή πιθαότητας (probablty densty functon) ΟΡΙΣΜΟΣ Αθροιστική συάρτηση F() καταομής μιας συεχούς τυχαίας μεταβλητής είαι η πιθαότητα η μεταβλητή Χ α πάρει τιμές μικρότερες της Χ. Ισχύει: Γιατί η πιθαότητα στα άκρα είαι 0. Παράδειγμα: Α Χ τυχαία μεταβλητή ) Να βρεθεί η σταθερά c, ώστε f() α είαι συάρτηση πυκότηταςπιθαότητας. ) Να υπολογιστεί η πιθαότητα Ρ τ.μ. α παίρει τιμές μικρότερες του. ) Ποια η πιθαότητα του Χ ) F(); (αθροιστική συάρτηση καταομής) ) Πρέπει ) ) P()0

15 ) F[], α ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Έστω Χ μια συεχής τυχαία μεταβλητή όπου Χ ο χρόος σε δευτερόλεπτα που χρειάζεται για α ολοκληρωθεί έα πρόγραμμα υπολογιστή. )Ποια είαι η πιθαότητα το πρόγραμμα α χρειαστεί το πολύ δευτερόλεπτα ότα η καμπύλη είαι συμμετρική περί το. ) Α η πιθαότητα α υπολογιστεί η πιθαότητα

16 ) Ποια είαι η πιθαότητα το ; (η πιθαότητα το πρόγραμμα του υπολογιστή α διαρκέσει τουλάχιστο δευτερόλεπτο) ) Ποια είαι η πιθαότητα του Χ α είαι αάμεσα στο και στο ; ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με δυατές τιμές Χ Χ Χ κ και ατίστοιχες πιθαότητες, Ορίζουμε μέση τιμή ή ααμεόμεη τιμή ή μαθηματική ελπίδα (mean value) της τυχαίας μεταβλητής ΔΙΑΣΠΟΡΑ Ή ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Άρα Το πέρασμα από τις διακριτές στις συεχείς γίεται ατικαθιστώτας το άθροισμα με ολοκλήρωμα. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: )Ε(α)α ) Ε(αΧb)αΕ(Χ)b ) E(αΧbψ) αε(χ)bε(ψ) ) 5) Var(α)0 6) Var(αβ) VarcX 7) Var(αΧbψ) α Χ, ψ αεξάρτητες

17 Μέθοδος: Ότα έχουμε έα πείραμα που επααλαμβάεται (επααλαμβαόμεες δοκιμές) που έχου δυο μοάχα δυατά αποτελέσματα, εφαρμόζουμε διωυμική καταομή. Το έα το λέμε επιτυχία και το άλλο αποτυχία. Παραδείγματα )Το φύλο τω ατόμω εός δείγματος μπορεί α είαι γυαίκα ή άδρας ) Ο αριθμός τω ατόμω που παρακολουθού μια συγκεκριμέη εκπομπή ) Ο αριθμός τω ατόμω που ψηφίζου ή δε ψηφίζου έα συγκεκριμέο πολιτικό υποψήφιο. ) Ο αριθμός τω ατόμω που διαβάζου ή δε διαβάζου μια εφημερίδα 5)Η επιτυχία ή η αποτυχία σε εξετάσεις οδήγησης ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ) Έα διωυμικό πείραμα που λέγεται και δοκιμή Bernoull χαρακτηρίζεται από έα σταθερό αριθμό δοκιμώ που είαι γωστός ) Κάθε δοκιμή μπορεί α έχει δύο δυατά αποτελέσματα. Το έα το συμβολίζουμε με Ε (επιτυχία) και το άλλο το συμβολίζουμε με Α (αποτυχία) ) Οι δοκιμές γίοται κάτω από τις ίδιες συθήκες ) Οι δοκιμές είαι αεξάρτητες δηλαδή το αποτέλεσμα της μιας δε επηρεάζει το αποτέλεσμα της άλλης 5) Η πιθαότητα επιτυχίας Ρ(Ε) είαι apror (καθορίζεται εκ τω προτέρω) πιθαότητα Ρ(Ε)π Η πιθαότητα αποτυχίας είαι Ρ(Α)-Ρ(Ε)-π Άρα τα εδεχόμεα Ε και Α είαι συμπληρωματικά Για μια διωυμική καταομή έχουμε συάρτηση πιθαότητας, 0,,,. Καοική Καταομή Η καοική καταομή είαι η σηματικότερη καταομή και αυτό οφείλεται στο γεγοός ότι πολλά φυσικά και μη φυσικά φαιόμεα ακολουθού τη καοική καταομή ή μπορού α ααλυθού με βάση τη καοική καταομή Η συάρτηση πυκότητας πιθαότητας είαι μια συεχής μεταβλητή που δίεται από το τύπο: ( ) σ f ( ) e σ π

18 - < < - < μ < - < σ < (μ-σ, μσ ) 95% (μ-σ, μσ) 89,8% ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (SOS) ) Είαι συμμετρική ως προς το κατακόρυφο άξοα. ) Η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή ταυτίζοται. ) Η καμπύλη καθώς απομακρύεται αριστερά και δεξιά πλησιάζει ασυμπτωτικά το οριζότιο άξοα. ) Το εμβαδό αάμεσα στη f() και στο οριζότιο άξοα είαι