BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ

Transcript

1 BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04

2 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00 γραπτώ εός µαθήµατος Ποια είαι η µέση βαθµολογία? Τι ποσοστό τω γραπτώ βαθµολογήθηκε κάτω από τη βάση? Το σύολο τω γραπτώ αποτελεί µία οµοιογεή οµάδα? Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική

3 Βασικά εργαλεία (i) Μέτρα θέσης ή κετρικής τάσης (ii) Μέτρα διασποράς (iii) Μέτρα ασυµµετρίας (iv) Μέτρα κύρτωσης (v) Γραφήµατα Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 3

4 Βασικές εότητες (Α) Μελέτη µεµοωµέω παρατηρήσεω Παράδειγµα. Έστω ότι καταγράφουµε τα κέρδη 0 τουριστικώ επιχειρήσεω κατά τη θεριή περίοδο (σε χιλιάδες Ευρώ): 5,, 0, 0, 7, 9, 3, 8,, (Β) Μελέτη οµαδοποιηµέω παρατηρήσεω Παράδειγµα. Έστω ότι καταγράφουµε τα κέρδη 0 τουριστικώ επιχειρήσεω κατά τη θεριή περίοδο (σε χιλιάδες Ευρώ): Έσοδα [0-8) Αριθµός επιχειρήσεω [8-6) 6 [6-4) Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 3 4

5 Πληθυσµός: περιλαµβάει µεγάλο αριθµό παρατηρήσεω είγµα: περιλαµβάει µικρό αριθµό παρατηρήσεω ατιπροσωπεύοτας ολόκληρο το πληθυσµό (Α) Μελέτη µεµοωµέω παρατηρήσεω (i) Μέτρα θέσης (α) Μέση τιµή (ή µέσος όρος) X, X,..., X x = x + x ίει τη κετρική τάση του δείγµατος ατιπροσωπευτικός αριθµός του δείγµατος) x Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) (είαι ο «πιο 5

6 (β) Σταθµική µέση τιµή (ή σταθµικός µέσος όρος) wx + wx wx x, w + w w = wi R Ερµηεία: ίει τη κετρική τάση του δείγµατος µεγαλύτερη σηµασία σε κάποιες εκ τω παρατηρήσεω (γ) ιάµεσος η περίπτωση: το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι µοό (περιττό) δ = x(( +) / Παράδειγµα: :, 4, 6,, 8 (( = 5) ) δίοτας Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 6

7 (γ) ιάµεσος η περίπτωση: το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι ζυγό (άρτιο) δ = x + ( / ) ( / + ) Παράδειγµα: :, 4, 6, 8,, 8,, 30, 44, 55 (( = 0) x δ = x (5) + x (6) + 8 = = 5 Ερµηεία: Το 50% τω παρατηρήσεω του δείγµατος (δηλαδή οι µισές παρατηρήσεις) είαι µικρότερες ή ίσες από τη διάµεσο Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 7

8 (δ) Επικρατούσα τιµή M 0 (ή κορυφή) Είαι η παρατήρηση µε τη µεγαλύτερη συχότητα (ii) Μέτρα διασποράς (α) ιακύµαση Βασίζεται στις αποστάσεις τω παρατηρήσεω του δείγµατος από τη µέση τιµή του s = ( x x) + ( x x) ( x x) Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 8

9 (β) Τυπική απόκλιση s = s = ( x x) + ( x x) ( x x) Εκφράζει τη κατά µέσο όρο απόσταση τω παρατηρήσεω του δείγµατος από τη µέση τιµή τους (γ) Εύρος R = xmax xmin = x( ) x () Εκφράζει τη µέγιστη απόσταση µεταξύ δύο οποιοδήποτε παρατηρήσεω του δείγµατος Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 9

10 Παρατήρηση. Ο συτελεστής µεταβλητότητας ορίζεται ως εξής: CV = s x Α CV 0., τότε το δείγµα χαρακτηρίζεται ως οµοιογεές ΑCV > 0., τότε το δείγµα χαρακτηρίζεται ως αοµοιογεές (iii) Μέτρα ασυµµετρίας Συτελεστής ασυµµετρίας κατά Pearson γ = i= i= ( x x) i 3 ( x x) Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) i S. ES. = 3 6 ( ) ( )( + )( + 3) 0

11 Εκφράζει το βαθµό συµµετρίας τω παρατηρήσεω του δείγµατος γύρω από τη µέση τιµή τους η περίπτωση: Α ο συτελεστής γ > 0, τότε λέµε ότι το δείγµα παρουσιάζει θετική ασυµµετρία. Πρακτικά: Οι περισσότερες παρατηρήσεις του δείγµατος είαι µικρότερες από τη µέση τιµή του ( M 0<δ < x) η περίπτωση: Α ο συτελεστής γ < 0, τότε λέµε ότι το δείγµα παρουσιάζει αρητική ασυµµετρία. ( x <δ <M ) 0 Πρακτικά: Οι περισσότερες παρατηρήσεις του δείγµατος είαι µεγαλύτερες από τη µέση τιµή του Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03)

12 (iv) Μέτρα κύρτωσης Εκφράζει το βαθµό συγκέτρωσης τω παρατηρήσεω του δείγµατος γύρω από τη κορυφή τους Συτελεστής κύρτωσης κατά Pearson a = i= i= ( x x) i 4 ( x x) η περίπτωση: Α ο συτελεστήςα > 3 (ή( ισοδύαµα a > 0 ), τότε λέµε ότι το δείγµα παρουσιάζει θετική κύρτωση. Πρακτικά: Υπάρχει µικρό πλήθος παρατηρήσεω κοτά στη κορυφή του δείγµατος Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) i 4 S. EK. = a = a ( 3)( + 5) 3

13 η περίπτωση: Α ο συτελεστήςα < 3 (ή( ισοδύαµα a < 0 ), τότε λέµε ότι το δείγµα παρουσιάζει αρητική κύρτωση. Πρακτικά: Υπάρχει µεγάλο πλήθος παρατηρήσεω κοτά στη κορυφή του δείγµατος Παράδειγµα. Εταιρία στατιστικώ µελετώ διεξήγαγε έρευα για το µισθολογικό (µηιαίο) καθεστώς τω εργαζοµέω σε λογιστικά γραφεία. Τα αποτελέσµατα της έρευας για εργαζοµέους δίοται ακολούθως: 750, 500, 750, 750, 850, 000, 600, 500, 800, 500, 700, 700. Να περιγραφεί το δείγµα ως προς τη κετρική τάση, τη διασπορά, τη ασυµµετρία και τη κύρτωση που παρουσιάζει. Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 3

14 Παράδειγµα. Έστω δείγµα παρατηρήσεω µε µέση τιµή και τυπική απόκλισηs. (α) Α υποθέσουµε ότι όλες οι παρατηρήσεις του δείγµατος αυξάοται κατά c µοάδες, α υπολογιστεί η µέση τιµή, η τυπική απόκλιση και ο συτελεστής µεταβλητότητας του έου δείγµατος. (β) Α υποθέσουµε ότι όλες οι παρατηρήσεις του δείγµατος τριπλασιάζοται, α υπολογιστεί η µέση τιµή, η τυπική απόκλιση και ο συτελεστής µεταβλητότητας του έου δείγµατος. x Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 4

15 Παράδειγµα 3. Έστω δείγµα X, X,..., X0 που εκφράζει το πλήθος τω ωρώ που εργάζοται 0 υπάλληλοι µίας εταιρίας. Α 0 0 γωρίζουµε ότι X i = 94, X i i= i= α υπολογιστεί η µέση τιµή και Παράδειγµα 4. Σε µία απασχολούται 3 αώτερα µηιαίο µισθό = 3000 Ευρώ Τριτοβάθµιας Εκπαίδευσης µε και 8 υπάλληλοι βασικής µισθό x = (α) Να υπολογιστεί ο µέσος µηιαίος = 900 και η διακύµαση του δείγµατος. επιχείρηση, γωρίζουµε ότι διοικητικά στελέχη µε µέσο Ευρώ, 6 υπάλληλοι µε πτυχίο µε µέσο µηιαίο µισθό x = βασικής Εκπαίδευσης µε µέσο µηιαίο x 500 µηιαίος µισθός τω 7 υπαλλήλω. (β) Α ο µισθός τω 3 αωτέρω στελεχώ µειωθεί κατά 00 Ευρώ, α υπολογιστεί ο µέσος µηιαίος µισθός τω 7 5 υπαλλήλω. Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03)

16 (Β) Μελέτη οµαδοποιηµέω παρατηρήσεω Οµάδα Συχότητα η η M κ-οστή M k Κέτρο οµάδας x x M x k (α) Μέση τιµή (ή µέσος όρος) x x+ x kxk =, i Z k + Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 6

17 (β) ιακύµαση s (γ) ιάµεσος Περιγραφική Στατιστική = (δ) Επικρατούσα τιµή (ή κορυφή) M ( x x) + ( x x) ( x x) δ c L + N = i i i 0 = L i + c, = i i, = i i+ + k k Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 7

18 (ε) Ποσοστηµόριαα% Περιγραφική Στατιστική P a c a + 00 = Li Ni i Παράδειγµα 5. Κατά τη θεριή περίοδο, ο αριθµός τω πελατώ που είχα 0 ξεοδοχεία (αά ηµέρα) δίοται ως εξής: Οµάδα [0,0) [0,0] [0,30) [30,40) Συχότητα Να υπολογισθού µέτρα θέσης και διασποράς του δείγµατος Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 8

19 Παράδειγµα 6. Κατά τη θεριή περίοδο, ο αριθµός τω πελατώ που είχα 0 ξεοδοχεία (αά ηµέρα) δίοται ως εξής: 7,5,,3,7,,3,9,30,36,3,0,3,4,7,35,,6,9,5 (α) Να οµαδοποιηθού τα δεδοµέα σε κατάλληλο αριθµό οµάδω. q= + 3,3log 0 (β) Να υπολογισθού µέτρα θέσης και διασποράς του δείγµατος (πρι και µετά τη οµαδοποίηση). Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 9

20 (v) Γραφήµατα Περιγραφική Στατιστική (α) Ιστόγραµµα συχοτήτω (απλώ, σχετικώ και αθροιστικώ) (β) Κυκλικό διάγραµµα (ή διάγραµµα-πίτα πίτα) (γ) Θηκόγραµµα Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 0

21 Πίακας συχοτήτω (απλώ, σχετικώ και αθροιστικώ) Βαθµολογία Συχότητα Σχετική Συχότητα Αθροιστική συχότητα Αθροιστική σχετική συχότητα [0,3) 9 [3,5) 34% [5,7) [8,0] 3 Σύολο 50 Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03)

22 (α) Ιστόγραµµα συχοτήτω Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03)

23 (β) Κυκλικό διάγραµµα (ή διάγραµµα-πίτα πίτα) Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 3

24 (γ) Θηκόγραµµα Περιγραφική Στατιστική Ι. Τριαταφύλλου - Στατιστική (03) 4