) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ") είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)"

Transcript

1 taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη προς στο άξοα τότε: α Να βρείτε τη f ( ) β Να δείξετε ότι το δείγμα είαι ομοιογεές γ Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο δ Α η ελάχιστη τιμή της f είαι ίση με τότε: ι) α βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω του δείγματος ιι) α βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f στο σημείο Α αυτής α αραγωγίζουμε τη συάρτηση ως προς R Είαι f ( ) S + β Αφού η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη προς το άξοα έχουμε f ( ) S ( ) + S > () οπότε ο S S συτελεστής μεταβολής είαι CV % % % άρα το δείγμα είαι S ομοιογεές () γ f ( ) S + S ( + ) θέση πιθαού ακρότατου Μελετάμε το πρόσημο της f ( ) Έχουμε f ( ) < < και f ( ) > > Άρα η f γησίως φθίουσα στο (, -] και η f γησίως αύξουσα στο [, + ) άρα στο παρουσιάζει ελάχιστο το f ( ) S( ) + ( ) S + S + + f άρα η εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f δ Αφού η ελάχιστη τιμή της f είαι ίση με ( ) και τότε από τη () S S ε Είαι A(, ) και λ f ( ) είαι y Άσκηση η + 7 Δίεται η συάρτηση f( ) και ο δειγματικός χώρος Ω που αποτελείται από απλά ισοπίθαα εδεχόμεα Θεωρούμε Α και Β δυο εδεχόμεα του Ω για τα οποία ισχύει P [( Α Β) '], P( A) lm f( ) και P ( B) κ 6 α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f β Να αποδείξετε ότι P ( A) γ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P ( Α Β) δ Να βρείτε τη τιμή του κ έτσι ώστε τα εδεχόμεα Α και Β α είαι ασυμβίβαστα μεταξύ τους ααίρουμε τους περιορισμούς: ± και άρα το πεδίο ορισμού είαι το διάστημα A [ 7, ) (,) (, + ) + 7 β Έχουμε: ( ) ( ) ( + 7 )( ) P A lm f lm lm ( )( )

2 taeeolablogspotcom lm ( + 7 ) lm lm ( )( ) ( )( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) P Α 6 6 δγια α είαι ασυμβίβαστα πρέπει P Α Β P Α + P Β + κ κ 6 6 γ Είαι ( Β) P[ ( Α Β) '] ( ) ( ) ( ) κ 8 Άσκηση η α Δίεται η συάρτηση f( ) e + 7 α Να βρεθού οι τιμές του α για τις οποίες f ( ) f ( ), για κάθε πραγματικό αριθμό β Να βρεθεί συαρτήσει του α, η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημέη γ Για α > α βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της εφαπτομέης ευθείας με το άξοα y y και το άξοα ατίστοιχα δ Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώου ΑΟΒ που σχηματίζει η εφαπτομέη με τους άξοες για α α α α α Είαι f ( ) ( e + 7) ( e ) ( α) e 6αe και α α α f ( ) ( 6αe ) 6α( α) e α e α f α α α ( ) f ( ) 6αe α e 6e ( α + α ) α 6e a( + a) α ή α β Έστω y λ + β η εξίσωση της εφαπτομέης Είαι λ f ( ) 6αe 6α 6α α Είαι f( ) e Επειδή η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης διέρχεται από το σημείο (,) θα έχουμε 6α + β β Έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης είαι y 6α + γ Θα βρούμε τα σημεία τομής της εφαπτομέης ευθείας με τους άξοες y y και Για έχουμε y 6α + y δηλαδή τέμει το y y στο σημείο Α (, ) Για y έχουμε 6α + δηλαδή τέμει το στο σημείο B, α α δ Είαι ( ΑΟΒ ) ( ΟΑ)( ΟΒ) τμ δηλαδή ( ΑΟΒ ) Ε( α ) και α α α Ε ( α) οπότε E 6 τμ α 9α 9 9 9

3 taeeolablogspotcom Άσκηση η Στο γραφείο τω καθηγητώ εός λυκείου υπάρχου συολικά στυλό από τα οποία τα έχου μπλε μελάι, τα μαύρο και τα υπόλοιπα κόκκιο ή πράσιο Επιλέγουμε έα στυλό στη τύχη Η πιθαότητα α έχει κόκκιο μελάι είαι P( Κ ), εώ η + πιθαότητα το στυλό α έχει πράσιο μελάι είαι P( ) με N 9 + α Να δείξετε ότι β Για α υπολογίσετε τις πιθαότητες P ( K) και P ( ) γ Να βρείτε το πλήθος τω στυλό με κόκκιο και πράσιο μελάι που υπάρχου στο γραφείο τω καθηγητώ Θεωρούμε αρχικά τα εδεχόμεα: Μ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι μπλε χρώματος} Μ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι μαύρου χρώματος} Κ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι κόκκιου χρώματος} {το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι πράσιου χρώματος} Είαι P ( Μ ), P ( Μ ), P( Κ ), P( ) α Επειδή το άθροισμα τω πιθαοτήτω όλω τω στοιχειωδώ εδεχομέω εός δειγματικού χώρου είαι ίσο με έχουμε: P ( Μ) + P( Μ) + P( Κ) + P( ) ( 9 + ) + ( )( + ) ( + )( 9 + ) Η τιμή απορρίπτεται γιατί N άρα 7 β Για έχουμε P ( Κ ), P ( ) Ν( Κ) Ν( ) γ Είαι P ( Κ ) Ν( Κ) 8 και P ( ) Ν( ) Άσκηση η Οι χρόοι που χρειάστηκα 7 μαθητές για α λύσου έα πρόβλημα στατιστικής ήτα: 6,,,,,, σε λεπτά, θετικός πραγματικός αριθμός α Να αποδείξετε ότι η διακύμαση τω παρατηρήσεω δίεται από τη συάρτηση S ( ) 9 β Να βρείτε τη τιμή του, ώστε οι παρατηρήσεις α έχου όσο γίεται μικρότερη διασπορά γ Α το παίρει τιμές από το σύολο Ω {,,, } α υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου Α{ Η τυπική απόκλιση είαι μικρότερη από 66 } 7 α Γωρίζουμε ότι S { ( t ) t } S t t ()

4 taeeolablogspotcom Με εφαρμογή της () έχουμε: S 7 S S S S δηλαδή S S ( ) β Θεωρούμε τη συάρτηση f( ) S ( ) Θα ααζητήσουμε τη τιμή 9 6 του για τη οποία η συάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο Έχουμε f ( ) 9 Βρίσκουμε αρχικά τις θέσεις τω πιθαώ ακρότατω λύοτας τη εξίσωση f ( ) 6 Έχουμε: f ( ) 6 Εξετάζουμε το πρόσημο της f ( ) f ( ) > > > εώ f ( ) < < < Έτσι η f είαι 9 9 γησίως φθίουσα στο διάστημα, ],+ και για η f παρουσιάζει ελάχιστο Τα συμπεράσματα συοψίζοται στο διπλαό πίακα μοοτοίας-ακροτάτω γ Έχουμε: S < S < < > < 6 6 < (,6) ( και γησίως αύξουσα στο [ ) Το πλήθος τω στοιχείω του εδεχομέου Α είαι ( Α) πλήθος τω στοιχείω του δειγματικού χώρου Ω είαι N ( ) Ν( Α) P ( Α ) Ν( Ω) Άσκηση 6 η 9 Δίοται οι συαρτήσεις f( ) και ( ) Ν γιατί Α{,,,,} εώ το Ω Έτσι και τα εδεχόμεα Α και Β P(A) lm f P B lmg g του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία υποθέτουμε ότι: ( ) και ( ) ( ) 9 και P ( A B) g ( ) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού τω συαρτήσεω f, g και α απλοποιήσετε το τύπο της συάρτησης g β Να υπολογίσετε τις πιθαότητες P ( A), P ( B) και P( A B) γ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P( A B) δ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου: «πραγματοποιείται έα μόο από τα Α και Β» + f ( ) - + f mιn ( )

5 taeeolablogspotcom α Για τη συάρτηση f πρέπει 9 9 εώ για τη συάρτηση g πρέπει και Έτσι Α R {9} και Α R {, } Ο τύπος της συάρτησης g γράφεται: g( ) β Είαι f ( + )( + ) + ( + )( + ) + ( )( + ) 9 ( ) lm lm lm lm ( 9)( + ) 9 ( 9)( + ) P A P( B) lm lm Για το υπολογισμό της P( A B) βρίσκουμε αρχικά τη παράγωγο της συάρτησης g ( ) ( + + 6) ( ) ( + + 6)( ) g ( ) ( + )( ) ( + + 6)( + 7) ( ) + ( ) άρα ( Β) g ( ) + + ( ) Α P ( ) 8 8 γ Από το προσθετικό όμο έχουμε : 8 P ( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) δ Η πιθαότητα του ζητούμεου εδεχομέου είαι: P [( Α Β) ( Β Α) ] και επειδή τα εδεχόμεα Α Β και Β Α είαι ασυμβίβαστα από το απλό προσθετικό όμο θα έχουμε : P Α Β Β Α P Α P Α Β + P Β P Α Β P Α + P Β P Α Β [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 7 η Δίεται η συάρτηση f( ) ln α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης β Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο K ( e,f( e) ) γ Να μελετήσετε τη συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα δ Για τα εδεχόμεα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω υποθέτουμε ότι Α Β και το Α δε είαι το αδύατο εδεχόμεο P A lnp A + P B P B lnp B + P A Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α Είαι Α (, + ) β Έστω y λ + β () η εξίσωση της ζητούμεης εφαπτομέης Επειδή λ f ( e) αρχικά α βρούμε τη παράγωγο της συάρτησης f Έχουμε : g πρέπει

6 taeeolablogspotcom f ( ) ( ln ) ( ) ( ) ln + ( ln ) ln + ln + ln άρα λ f ( e) lne έτσι από τη () έχουμε: y + β () Είαι f ( e) elne e e e όποτε K ( e, ) και καθώς το Κ είαι σημείο της εφαπτομέης ευθείας από τη () έχουμε : e + β β e Επομέως η εξίσωση της εφαπτομέης ευθείας στο K ( e, ) είαι y e γ Βρίσκουμε για ποια Α η f ( ) μηδείζεται f ( ) ln e Εξετάζουμε το πρόσημο της f ( ) Έχουμε : f ( ) > ln > ln > ln > και f ( ) < ln < ln < ln < Από το πίακα μεταβολώ της συάρτησης συμπεραίουμε ότι η f είαι γησίως φθίουσα στο (,], γησίως αύξουσα στο [,+ ) και για παρουσιάζει ελάχιστο, το f( ) ln + f ( ) - + f ( ) mn δ Επειδή το Α δε είαι το αδύατο εδεχόμεο είαι < P( Α) Α είαι P ( Α) P( Β) Από τα προηγούμεα προκύπτει ότι P( Α) P( Β) συάρτηση f είαι γησίως φθίουσα στο (,] έχουμε : P ( Α) P( Β) f( P( Α) ) f( P( Β) ) P ( Α) lnp( Α) P( Α) P( Β) lnp( Β) P( Β) P( Α) lnp( Α) + P( Β) P( Β) lnp( Β) + P( A) Επίσης, επειδή Β < Επειδή η Άσκηση 8 η Δίεται η συάρτηση f,δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, για τη οποία ισχύου: f (), f () και f () Δίεται ακόμα η συάρτηση g( ) f( ) + f( ), R α Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C f στο σημείο της A (, f () ) β Να βρείτε τη παράγωγο της συάρτησης g γ Να δείξετε ότι g ( ) 9 και g ( ) 9 B,g δ Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της g στο σημείο της ( ( )) ε Να βρείτε το αριθμό R α Έστω y λ + β + λ ώστε α ισχύει: ( λ ) g ( ) + g ( ) λ + η εξίσωση της εφαπτομέης της συάρτησης f στο σημείο Α (,f ( ) ) και επειδή από τη υπόθεση f () είαι Α (, ) Έχουμε λ f ( ) οπότε y + β και καθώς το σημείο Α (, ) είαι και σημείο της εφαπτομέης ευθείας για και y έχουμε + β β Έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης είαι y + β Επειδή g( ) f( ) + f( ) () για α βρούμε τη παράγωγο της g εφαρμόζουμε καόα παραγώγισης σύθεσης συαρτήσεω Για R έχουμε g ( ) ( f( ) ) + ( f( ) ) ( ) f( ) + ( f( ) ) + f ( )( ) f( ) + f ( )( ) + f ( )( ) f( ) + f ( ) f ( ) Άρα g ( ) f( ) + f ( ) f ( ) () γ Για από τη () προκύπτει: g ( ) f( ) + f( ) f( ) + f( ) f( ) 9 Για από τη () προκύπτει : g f + f f f + f f f + f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

7 taeeolablogspotcom δ Έστω τώρα y λ + β η εξίσωση της εφαπτομέης της συάρτησης g στο σημείο Β (,g( ) ) δηλαδή στο B (,9 ) λόγω του ερωτήματος γ Είαι λ g ( ) 9 έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης γίεται y 9 + β και καθώς το σημείο Β (,9 ) είαι και σημείο της εφαπτομέης ευθείας για και y 9 έχουμε β β 9 Άρα y 9 9 η η εξίσωση της ζητούμεης ευθείας ε Βρίσκουμε τη g ( ) Για R έχουμε : g ( ) ( f( ) ) + ( f ( ) ) ( f ( ) ) f ( )( ) + ( ) f ( ) + ( f ( ) ) ) f ( )( ) f ( ) + ( f ( ) + f ( ) ) + f ( ) Για g ( ) f () + ( f () + f ( ) ) + f ( ) f ( ) + 9f ( ) + 9( ) λ ή Έτσι ( λ + ) g ( ) + g ( ) λ + ( λ + )( ) + 9 λ + λ + λ λ Άσκηση 9 η Μια αυτοκιητοβιομηχαία στο εξοπλισμό κάθε αυτοκιήτου της περιλαμβάει προαιρετικά δερμάτια καθίσματα και ράδιοσιτι Στις παραγγελίες που έγια για το έτος το % τω αυτοκιήτω που κατασκευάστηκα είχα δερμάτια καθίσματα, % ράδιοσιτι εώ έα % είχα ραδιοσιτι αλλά όχι δερμάτια καθίσματα Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω: α Το αυτοκίητο α μη έχει ράδιοσιτι β Το αυτοκίητο α μη έχει δερμάτια καθίσματα γ Το αυτοκίητο α έχει δερμάτια καθίσματα και ράδιοσιτι δ Το αυτοκίητο α έχει δερμάτια καθίσματα ή ραδιοσιτι ε Το αυτοκίητο α μη έχει ούτε δερμάτια καθίσματα ούτε ραδιοσιτί Θεωρούμε τα εδεχόμεα : Ρ: «το αυτοκίητο έχει ράδιοσιτι» και Δ: «το αυτοκίητο έχει δερμάτια καθίσματα» με P ( Ρ ) και P ( Δ) ατίστοιχα Εργαζόμαστε με καόες λογισμού πιθαοτήτω α P ( Ρ ) P( Ρ) 6 β P ( Δ ) P( Δ) γ P( Ρ Δ) P( Ρ) P( P Δ) P( Ρ Δ) P( P) P( P Δ) P( Ρ Δ) δ P( Ρ Δ) P( Ρ) + P( Δ) P( Ρ Δ) P( Ρ Δ) + P( Ρ Δ) ε P ( ) ( Δ) % P Δ P P

8 taeeolablogspotcom Άσκηση η Το πλήθος σε δεκάδες χιλιάδες κομμάτια τω πωλήσεω μιας εταιρίας που παράγει t ηλεκτροικούς υπολογιστές, δίεται από τη συάρτηση P() t, t, εκφράζει σε t + μήες το χρόο κυκλοφορίας του μοτέλου από τη κυκλοφορία του στη αγορά α Να βρείτε τις πωλήσεις του μοτέλου το μήα κυκλοφορίας του στη αγορά β Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής τω πωλήσεω της εταιρείας μετά από έα μήα από τη κυκλοφορία στη αγορά εός έου μοτέλου γ Να βρεθεί η χροική στιγμή κατά τη οποία οι πωλήσεις παίρου τη μέγιστη τιμή δ Να βρεθεί η μέγιστη ποσότητα σε δεκάδες χιλιάδες κομμάτια που πουλά η εταιρία το μήα που βρέθηκε στο β ερώτημα α Για t έχουμε P( ) δεκάδες χιλιάδες κομμάτια ή + κομμάτια ()( t t + ) t( t + ) β αραγωγίζουμε τη συάρτηση P Έχουμε: P () t ( t + ) t + 8t t Ο ρυθμός μεταβολής τω πωλήσεω το ( t + ) ( t + ) ο 96 μήα κυκλοφορίας του μοτέλου είαι P (), δεκάδες ( + ) 676 χιλιάδες κομμάτια ή κομμάτια γ Κάουμε μελέτη μοοτοίας και ακροτάτω της συάρτησης τω πωλήσεω Έχουμε : P P P () t () t () t t t t ( ) t + t > ( t + ) t < ( t + ) > t < t μεταβολώ της f φαίεται στο διπλαό σχήμα Η συάρτηση τω πωλήσεω παίρει τη μέγιστη τιμή για t δ Για t έχουμε: P( ) > t < t απορ γιατί t t ή t < < t < και t > t > Ο πίακας t + P ( t) + - P(t) ma δεκάδες χιλιάδες κομμάτια +

9 taeeolablogspotcom Άσκηση η Οι 7 δημόσιοι υπάλληλοι δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης μιας ομαρχίας έχου μέσο μηιαίο μισθό 8 Ευρώ, εώ οι υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης έχου μέσο μισθό Ευρώ Ο μέσος μισθός όλω τω υπαλλήλω στη ομαρχία είαι 89 ευρω Α α Να βρείτε πόσοι είαι οι υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης β οιο είαι το μηιαίο οικοομικό κοδύλι που απαιτείται για τη αποπληρωμή όλω τω εργαζομέω στη ομαρχία; Β Τη η Ιαουαρίου του έτους δόθηκε αύξηση Ευρώ μηιαία σε κάθε υπάλληλο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και % σε κάθε υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης Να υπολογίσετε: α Το μέσο μισθό τω υπαλλήλω δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και το μέσο μισθό τω υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης όπως θα διαμορφωθεί μετά τη αύξηση β Το έο μισθό τω εργαζομέω στη ομαρχία Θεωρούμε Δ και το αριθμό τω υπαλλήλω της δευτεροβάθμιας και παεπιστημιακής εκπαίδευσης ατίστοιχα που εργάζοται στη ομαρχία Επίσης θεωρούμε Δ και τους μέσους μηιαίους μισθούς τω υπαλλήλω της δευτεροβάθμιας και παεπιστημιακής εκπαίδευσης ατίστοιχα και ο μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω Α α Θα έχουμε: Δ Δ Δ Άρα έχουμε υπαλλήλους παεπιστημιακής εκπαίδευσης β Αφού οι υπάλληλοι είαι συολικά 7 + και ο μέσος μηιαίος μισθός 89Ε το συολικό ποσό που απαιτείται για τη αποπληρωμή τους είαι 89Ε κάθε μήα Β α Μετά τη η Ιαουαρίου οι έοι μέσοι μηιαίοι μισθοί διαμορφώοται ως εξής : για τους υπαλλήλους της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Δ Δ Ε εώ για τους υπαλλήλους της παεπιστημιακής εκπαίδευσης +,, Ε β Ο έος μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω μετά τη η Ιαουαρίου είαι Δ Δ , Ε Δ

10 taeeolablogspotcom Άσκηση η Το μέσο ύψος 7 μαθητώ της Γ λυκείου είαι 7cm και η τυπική απόκλιση είαι s 7cm Η καταομή τω μαθητώ ως προς το ύψος είαι περίπου καοική α Να αποδείξετε ότι το δείγμα τω μαθητώ της Γ λυκείου έχει ομοιογέεια ως προς το ύψος β Να εκτιμήσετε πόσοι μαθητές της Γ λυκείου έχου ύψος μεταξύ 6 cm και 79 cm γ Επιλέγοτας τυχαία έα μαθητή της Γ λυκείου α βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου Α{ το ύψος του μαθητή είαι μεταξύ 6 cm και 9 cm } δ Α κατά τη μέτρηση του ύψους όλω τω μαθητώ είχε από λάθος μετρηθεί cm περισσότερο από το πραγματικό α βρείτε πόσο είαι το «πραγματικό» μέσο ύψος ε Λαμβάοτας υπόψη τα «πραγματικά» στοιχεία του ύψους τω μαθητώ, το δείγμα σε αυτή τη περίπτωση είαι περισσότερο ή λιγότερο ομοιογεές από το δείγμα για το οποίο είχαμε λάβει υπόψη τα «πλασματικά» στοιχεία του ύψους; α Υπολογίζουμε το συτελεστή μεταβολής για το δείγμα Είαι S 7 CV,6% < % άρα πράγματι έχει ομοιογέεια ως προς το ύψος 7 το δείγμα τω μαθητώ β Επειδή η καταομή του ύψους είαι καοική στο διάστημα ( S, + S) δηλαδή από 68 6 cm ως 79 cm βρίσκουμε το 68% του δείγματος δηλαδή μαθητές γ Επειδή η καταομή είαι καοική τα ύψη από 6 cm ως 9 cm ατιστοιχού στο 99,7 68 διάστημα ( S, + S) στο οποίο βρίσκουμε το ,8 8,8% τω παρατηρήσεω του δείγματος Έτσι η πιθαότητα επιλέγοτας τυχαία έα μαθητή η πιθαότητα του εδεχομέου Α είαι P ( Α ), 88 δ Το «πραγματικό» μέσο ύψος θα είαι y 7 7cm ε Η τυπική απόκλιση λαμβάοτας υπόψη τα «πραγματικά στοιχεία» του ύψους τω μαθητώ δε μεταβάλλεται έτσι S y S 7cm Ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος έχοτας τη «πραγματική» μέση τιμή του ύψους είαι S y 7 CVy,% > CV y 7 αρατηρούμε ότι λαμβάοτας τα πραγματικά στοιχεία του ύψους τω μαθητώ ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος αυξάει σε σχέση με το συτελεστή μεταβολής του δείγματος που υπολογίσαμε λαμβάοτας τα «πλασματικά» στοιχεία του ύψους, δηλαδή το δείγμα με τα «πραγματικά» στοιχεία του ύψους είαι λιγότερο ομοιογεές συγκριτικά με αυτό που είχαμε αρχικά

11 taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίοται τα εδεχόμεα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύου: P( Α '), P( Β '), και P( Α Β) με (,) + + α Για α εξετάσετε α τα εδεχόμεα Α και Β είαι ασυμβίβαστα β Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P ( Α Β) γ Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή της P ( Α Β) δ Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω εδεχομέω Α Β, Β Α ε α βρείτε το ρυθμό μεταβολής της P [( Α Β) ( Β Α) ], ότα Έχουμε: + P ( A) P( A ) ( ) και P( Β ) P( Β ) (, ) α Για έχουμε P ( A) και P ( Β ) + 7 P ( Α Β) P( Α) + P( Β) + > αδύατο γιατί P( Α Β) άρα τα εδεχόμεα 6 Α και Β δε είαι ασυμβίβαστα β ( + ) P( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) δηλαδή P( Α Β) με (, ) + + γ Θεωρούμε τη συάρτηση f με f( ) P( Α Β) με (, ) + ( ) ( ) ( )( ) ( + ) ( + ) + Έχουμε f ( ) (, ) ( + ) f ( ) + ( ) + ( + ) ή + Επειδή ( + ) > για κάθε (, ) το πρόσημο της ( ) του τριωύμου + στο διάστημα (, ) της f ( ) ( ) f εξαρτάται από το πρόσημο Συμπληρώουμε το πίακα μεταβολώ + ( ) f - + f ( ) mn

12 taeeolablogspotcom Για + η f παρουσιάζει ελάχιστο η τιμή του οποίου είαι ( ) ( + ) f + + P είαι Έτσι η ελάχιστη τιμή της ( Α Β) P( Β Α) P( B) P( Α Β) (, ) ε P[ ( Α Β) ( Β Α) ] P( Α Β) + P( Β Α) (, ) Θεωρούμε τη συάρτηση g( ) P[ ( Α Β) ( Β Α) ] (, ) + ( ) ( ) ( )( ) ( + )( + ) ( + ) g ( ) + + δ P( Α Β) P( Α) P( Α Β) (, ) ( ) και για ( + ) ( + ) g ( ) έχουμε Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f( ) + α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f β Να βρείτε τη παράγωγο της συάρτησης f γ Να βρείτε τα ακρότατα της συάρτησης f δ Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f που είαι παράλληλη προς τη ευθεία με εξίσωση y α ρέπει + που ισχύει για κάθε πραγματικό Άρα πεδίο ορισμού είαι το A R ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + β f ( ) ( + ) ( + ) ( + ) γ Βρίσκουμε που μηδείζεται η f ( ) Έχουμε: + f ( ) + ±, θέσεις πιθαώ ακροτάτω ( + ) Κάουμε μελέτη του προσήμου της f ( ) + f ( ) > > + > < < + > + ( ) ( ) ( ) + f < < + > + < < ή > ( + ) Κατασκευάζουμε το πίακα μεταβολώ της συάρτησης f

13 taeeolablogspotcom f - + f ( ) f ( ) ΤΕ ΤΜ Η συάρτηση f παρουσιάζει για τοπικό ελάχιστο εώ για τοπικό μέγιστο δ Αφού η εφαπτομέη ευθεία είαι παράλληλη προς τη ευθεία y θα έχει συτελεστή διεύθυσης λ Είαι όμως: λ f ( ) ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + ) + + Για + και έχει συτελεστή διεύθυσης λ, άρα έχει εξίσωση y + + είαι f( ) Επομέως η εφαπτομέη διέρχεται από το σημείο (,) Άσκηση η Δίεται μια καταομή με τα δεδομέα της ομαδοποιημέα σε τέσσερις κλάσεις Α Να βρεθού οι συχότητες,,, τω κλάσεω ότα : ι) το lm + ιι) το ισούται με τη κλίση της γραφικής παράστασης της συάρτησης f 6ln + A,f ( ) στο σημείο ( ( )) ιιι) το είαι η τιμή για τη οποία συάρτηση g με g( ) συεχής στο σημείο + + ιv) το + + α α Βα Να συμπληρώσετε το πίακα της καταομής που ακολουθεί λαμβάοτας υπόψη τα δεδομέα του ερωτήματος Α: Κλάσεις[ - ) Συχότητα Κέτρο Σχετική Αθροιστική Αθροιστική Γιόμεα Συχότητα Συχότητα Συχότητα f % Ν F % Άθροισμα β Να βρεθεί η μέση τιμή τω παραπάω δεδομέω γ Α οι παραπάω κλάσεις ααφέροται στις απουσίες μαθητώ της γ τάξης εός λυκείου για το μήα Μάιο και οι κλάσεις είαι ομοιόμορφα καταεμημέες α βρεθεί ο αριθμός τω μαθητώ που έχου απουσίες από 6 ως και το ποσοστό τω μαθητώ που έχου τουλάχιστο απουσίες για το μήα αυτό είαι

14 taeeolablogspotcom Α ι) ( )( + + ) ( )( + + ) lm lm lm + ( + )( + + ) + ( )( + + ) lm( + + ) lm Άρα ιι) 6 Είαι f ( ) 6 και επειδή η κλίση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης, δηλαδή ο συτελεστής διεύθυσης, στο A (,f ( ) ) είαι ίση με 6 f ( ) θα έχουμε f ( ) Άρα 7 ιιι) Για α είαι η συάρτηση g συεχής στο σημείο πρέπει lm f( ) f( ) ( + ) lm ιv) Bα Από το ορισμό της σχετικής συχότητας δηλαδή από τη ισότητα f% για,,, έχουμε διαδοχικά f %, f % 7,, f % 7,%, f % Με τη χρήση του ορισμού τω αθροιστικώ συχοτήτω, απόλυτω και σχετικώ, όπως και του κέτρου κλάσης συμπληρώουμε το παρακάτω πίακα Συχότητα Κέτρο Σχετική Αθροιστική Αθροιστική Κλάσεις[ - ) Συχότητα Συχότητα Ν Συχότητα F % f % , 7, , Άθροισμα 778 β Από το παραπάω πίακα βρίσκουμε 778 Έτσι 778 9, γ Επειδή οι κλάσεις είαι ομοιόμορφα καταεμημέες το σύολο τω μαθητώ που έχου από 6 ως απουσίες για το μήα Μάιο είαι το άθροισμα + δηλαδή όλοι οι μαθητές της ης κλάσης και οι μισοί της ης κλάσης Είαι μαθητές Το ποσοστό τω μαθητώ που έχου τουλάχιστο απουσίες το Μάιο είαι F 9% Γιόμεα

15 taeeolablogspotcom Άσκηση 6 η Η βαθμολογία τω γραπτώ μαθητώ κυμάθηκε από έως Οι βαθμοί χωρίστηκα σε κλάσεις ίσους πλάτους για τις οποίες κατασκευάζοτας τα ιστογράμματα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω καθώς και το κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω παρατηρήθηκε ότι: ι) Στο ιστόγραμμα συχοτήτω το εμβαδό του ορθογωίου της κλάσης - ισούται με ιι) Στο ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, το ύψος του ορθογωίου της κλάσης 6-8 είαι % ιιι) Στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, το τόξο που ατιστοιχεί στη κλάση -6 είαι Είαι επίσης γωστό ότι οι μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από έως είαι τετραπλάσιοι από τους μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από 8 έως, α δείξετε ότι: α Το πλάτος της κάθε κλάσης είαι β Οι μαθητές με βαθμό από 8 έως είαι γ Να γίει πίακας καταομής συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και α βρεθεί η μέση τιμή και η διάμεσος δ Να υπολογιστεί, επιλέγοτας τυχαία έα από τους παραπάω μαθητές, η πιθαότητα το γραπτό του α έχει βαθμολογηθεί με βαθμό μεγαλύτερο από α Το εύρος είαι R και επειδή οι κλάσεις είαι ισοπλατείς το πλάτος c R είαι c κ β Για τη κλάση [,) είαι E γιατί στο ιστόγραμμα συχοτήτω το εμβαδό κάθε ορθογωίου είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης Για τη κλάση [ 6,8) είαι f %, Για τη κλάση [,6) είαι α 6 6 Α η συχότητα της κλάσης [ 8,) και η συχότητα της κλάσης [,) τότε αφού οι μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από έως είαι τετραπλάσιοι από τους μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από 8 έως Επειδή και άρα γ Κατασκευάζουμε το πίακα συχοτήτω Κλάσεις f % F % [,) [,) 6 [,6) 7 [ 6,8) [ 8,) Άθροισμα 78 Είαι f% οπότε διαδοχικά για,,, βρίσκουμε: f%, f%, f% f %, f %6 Είαι 78 άρα 78, 76 Για α βρούμε τη διάμεσο κατασκευάζουμε το πολύγωο τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω

16 taeeolablogspotcom Από τα όμοια τρίγωα ΑΒΓ και ΚΔΓ έχουμε: ΚΔ ΑΒ,8 ΚΓ ΑΓ 7 6 Άρα δ +,8, 8 δ Οι μαθητές με βαθμό μεγαλύτερο του είαι έτσι η πιθαότητα α επιλέξουμε μαθητή με βαθμό μεγαλύτερο του είαι Άσκηση 7 η Δίεται ο παρακάτω πίακας συχοτήτω : Κλάσεις Κέτρα Συχότητα f N F [-9) 6 [9-6) [6-7) [7-77) [77-8) 9 [8-89) 8 [89-9) 9 Σύολο α Να συμπληρώσετε το παραπάω πίακα β Να σχεδιάσετε το πολύγωο συχοτητω και Αθροιστικώ συχοτητω γ Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο α Το κέτρο κάθε κλάσης ισούται με το ημιάθροισμα τω άκρω της κλάσης Έχουμε: , 68, 7, η γραμμή του πίακα: Είαι N Επίσης Ν 7 v +v + +v 7, άρα v f, και F f, v η γραμμή: f F -f,-,, Επίσης v f v και Ν + η γραμμή: Eίαι f F -F,-,,6 και v f v 6 Επίσης Ν + +

17 taeeolablogspotcom η γραμμή: v f, και F F +f,6 Επίσης Ν v η γραμμή: v f v f v 9 και F F +f,6+,9,7 v Επίσης Ν Ν η γραμμή: v f v και Ν 6 Ν η γραμμή: v7 8 Είαι Ν 7 -Ν 6 7 άρα 7-88 και f 7, 8 v Επίσης F 7 F 6 +f 7,8+,8 Οπότε ο πίακας συμπληρωμέος έχει τη παρακάτω μορφή : Κλάσεις Κέτρα Συχότητα f N F [-9) 6,, [9-6) 6,, [6-7) 68 6,6, [7-77) 7, 6,6 [77-8) 8 9,9 7,7 [8-89) 86, 8,8 [89-9) 9 8,8 Σύολο β κλάσεις Ν κλάσεις

18 taeeolablogspotcom v + v + + 7v7 76 γ Είαι 7, 6 v Από το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω βρίσκουμε τη διάμεσο δ 7 Άσκηση 8 η Το μέσο βάρος ατόμω σε έα αελκυστήρα είαι 7 κιλά Σε κάποιο όροφο μπαίει έας επιπλέο που ζυγίζει 98 κιλά α όσο είαι το έο μέσο βάρος όλω μαζί ; β Α ο αελκυστήρας μπορεί α ατέξει μέσο βάρος 8 κιλά και το πολύ 6 άτομα, μέχρι πόσα κιλά πρέπει α ζυγίζει ο έκτος επιβάτης ; α Α,,, τα βάρη τω τεσσάρω ατόμω, έχουμε συμβολίζουμε το βάρος του επιπλέο ατόμου που μπαίει στο αελκυστήρα, άρα 98 Το έο μέσο βάρος όλω μαζί θα είαι ' 77, κιλά β Α 6 το βάρος του έκτου επιβάτη, και '' το μέσο βάρος όλω μαζί, θα πρέπει '' άρα ο έκτος επιβάτης μπορεί α ζυγίζει μέχρι 9 κιλά Άσκηση 9 η Σε μια καοική καταομή, το 9,8% τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστημα (,6) Να εξετασθεί α το δείγμα είαι ομοιογεές Στη καοική καταομή γωρίζουμε πως στο διάστημα ( S, + S ) 99,7 τω τιμώ της μεταβλητής Άρα το 9,8 θα βρίσκεται στο διάστημα ( S, ) στο (, + S ) Οπότε ( S, ) (,6) () ή (, + S) (,6) () S Από τη () έχουμε 6 και S, άρα CV,,% > % 6 βρίσκεται το 9% ή, άρα το δέιγμα είαι αομοιογεές S Από τη () έχουμε και S, άρα CV, % > %, άρα το δείγμα είαι αομοιογεές Άσκηση η έτε διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί έχου μέση τιμή 8 Να υπολογιστεί ο συτελεστής μεταβολής Θέτουμε, +, +, +, + τους ζητούμεους διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς Αφού έχου μέση τιμή 8, έχουμε:

19 taeeolablogspotcom + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) Άρα οι ζητούμεοι αριθμοί θα είαι οι 6,7,8,9, Άσκηση η Εξετάσαμε έα δείγμα μαθητώ μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυμαίεται από εως 7 κιλά, εώ η καταομή τω βαρώ είαι καοική α Να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος β Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές γ Α το άθροισμα τω βαρώ είαι 8 κιλά, α βρεθεί το μέγεθος του δέιγματος δ Τι ποσοστό τω μαθητώ έχει βάρος το οποίο κυμαίεται μεταξύ και 6 κιλώ; α Εφόσο η καταομή τω βαρώ τω μαθητώ είαι καοική, έχουμε ( S, + S ) (,7) άρα S () και + S 7 () ροσθέτοτας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε 6 κιλά Ατικαθιστώτας στη σχέση () ή () τη μέση τιμή που βρήκαμε, έχουμε S S 6 S κιλά Το εύρος R στη καοική καταομή ισούται R 6S άρα R 6 κιλά S β Είαι CV,8 8,% <% άρα το δείγμα είαι ομοιογεές 6 Σ 8 γ Έχουμε Σ 8, οπότε 6 v μαθητές v v δ Το ποσοστό τω μαθητώ τω οποίω το βάρος βρίσκεται μεταξύ ( S, + S) (,7) είαι 9%, άρα στο διάστημα ( S, ) (,6) θα βρίσκεται το 7,% τω μαθητώ Άσκηση η Δίεται συάρτηση f με f ()(-)( -9+), єr Α Να βρεθού τα ακρότατα της συάρτησης f Β Έστω,,, 6 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, με k κ, όπου κ,,,,,6 και ατίστοιχες συχότητες,,, 6 με < < και, +, 6 + όπου,, οι τετμημέες τω σημείω στα οποία η f παρουσιάζει ακρότατα : α Να βρεθεί η μέση τιμή β Να βρεθεί η διάμεσος Α Για κάθε R έχουμε: f '( ) ( )( )( ) + f () f ΤΕ ΤΜ ΤΕ H f παρουσιάζει: - τοπικό ελάχιστο στο - τοπικό μέγιστο στο - τοπικό ελάχιστο στο

20 taeeolablogspotcom Β Οι τιμές της μεταβλητής θα είαι:,, 6, 8,, 6 α Αφού < <, θα είαι,, Επίσης 6, + 8 και 6 + To μέγεθος του δέιγματος θα είαι: Σv Άρα η μέση τιμή θα είαι 8, v 8 β Το μέγεθος του δείγματος είαι 8 άρτιος, οπότε τοποθετώτας τις τιμές σε αύξουσα σειρά, η διάμεσος θα ισούται με το ημιάθροισμα της 9 ης και ης τιμής, άρα δ + Άσκηση η Έστω Χ μια ποσοτική μεταβλητή ως προς τη οποία εξετάσαμε έα δείγμα μεγέθους και,,, οι παρατηρήσεις με μέση τιμή > και τυπική απόκλιση S Θεωρούμε και τη συάρτηση f() -( ) +S A η f() παρουσιάζει για, ελάχιστο ίσο με f() -, τότε: α Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση β Να μελετηθεί το παραπάω δείγμα ως προς τη ομοιoγέεια γ Α θεωρήσουμε ότι η καταομή τω παρατηρήσεω είαι καοική, α επιλέξουμε τυχαία μια τιμή, τι ποσοστό τω τιμώ είαι μεταξύ, και,; α Αφού η f παρουσιάζει ακρότατο στο ακρότατο (ελάχιστο) πρέπει f () Έχουμε f '( ) 9 Αφού f '() 9 ( > ) Άρα η συάρτηση f γίεται: f() -9+S Αφού δίεται ότι f() - έχουμε 9 + S S S β Είαι CV,6 6% > % άρα το δείγμα είαι αομοιογεές 6 γ Αφού η καταομή τω παρατηρήσεω είαι καοική, το ποσοστό τω τιμώ που S, + S, θα είαι 68% βρίσκοται στο διάστημα ( ) ( ) Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f ( ) + + ( μ μ + ) Να βρεθεί το μ> εά γωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή της f είαι το Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) + ( ) Είαι: f ()> για < και f ()< για > Άρα στο, η f παρουσιάζει μέγιστο Είαι f () ( μ μ + ) μ μ + μ (αφού μ>)

21 taeeolablogspotcom Άσκηση η Έστω Α, Β εδεχόμεα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A) < P(B) και η συάρτηση f ( ) + 6 με R Α P(A), P(B) είαι οι τιμές τω τοπικώ ακρότατω της f α βρείτε τα P(A), P(B) και α εξετάσετε α τα Α και Β είαι ασυμβίβαστα Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) + 6 f '( ) ( )( ) + f () f Στο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, ίσο με f() Στο η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, ίσο με f() Αφού Ρ(Α)<Ρ(Β), έχουμε Ρ(Α) και Ρ(Β) Α τα εδεχόμεα Α και Β είαι ασυμβίβαστα, τότε Ρ(ΑUΒ)Ρ(Α)+Ρ(Β) + > το οποίο είαι αδύατο, άρα τα Α και Β δε είαι ασυμβίβαστα Άσκηση 6 η Η καταομή τω σχετικώ συχοτήτω τω βαθμώ φοιτητω μιας αεπιστημιακής Σχολής οι οποίοι εξεταστηκα επιτυχώς σε έα μάθημα, δίεται από το παρακάτω πίακα: Βαθμοί Σχετική Συχότητα f,,,,8,,8 Α Να υπολογίσετε πόσοι φοιτητές: α πήρα βαθμό ίσο με 6 β πήρα βαθμό μικρότερο του 8 γ ήρα βαθμό τουλάχιστο 7 Β Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω Γ Να βρείτε τη μέση τιμή τω βαθμώ v Αφού f έχουμε v f v Οπότε: v,,,,,,,86,,, 6,86

22 taeeolablogspotcom Βαθμοί v f N, 6, 8 7, 8 6,8 6 9, 8 6,8 Σύολο - Α α βαθμό ίσο με 6 πήρα φοιτητές β βαθμό μικρότερο του 8 πήρα + + φοιτητές γ βαθμό τουλάχιστο 7 πήρα φοιτητές Β N Σv Γ 7, v Άσκηση 7 η Δίεται η συάρτηση f ( ) ( ) Να βρείτε σε ποιό σημείο της f, ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης ευθείας είαι ίσος με Στη συέχεια α βρείτε τη τιμή του γ ώστε η ευθεία y+γ α εφάπτεται στη f, στο σημείο που βρήκατε πρι Έστω Μ(,f( )) το ζητούμεο σημείο Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της f στο σημείο Μ είαι λf ( ) και αφού ισούται με, f ( ) Επειδή f ()(-) έχουμε f ( ) ή -6 ή H τεταγμέη του σημείου Μ θα είαι: f() Άρα το ζητούμεο σημείο είαι το Μ(,) Για α εφάπτεται η ευθεία y+γ στη f στο σημείο Μ(,) πρέπει οι συτεταγμέες του σημείου α επαληθεύου τη εξίσωσή της, δηλαδή +γ άρα γ-8

23 taeeolablogspotcom Άσκηση 8 η Δίεται η συάρτηση f()(+) + α Να μελετήσετε τη παραπάω συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα β Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της f, στο σημείο Α(-,f(-)) γ Να βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται από τη παραπάω εφαπτομέη και τους άξοες και yy α Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) ( + ) - + f (χ) - + f H f είαι γησίως φθίουσα στο (,-] γησίως αύξουσα στο [-, + ) παρουσιάζει ελάχιστο στο - β Έστω yλ+β η εξίσωση της ζητούμεης ευθείας Είαι λf ( )f (-) Οπότε η εξίσωση γίεται y+β H τεταγμέη του σημείου επαφής είαι f(-) Επομέως Α(-,) Οι συτεταγμέες του σημείου Α επαληθεύου τη εξίσωση της εφαπτομέης, άρα: (-)+β ή β Η εφαπτομέη της f στο σημείο Α(-,) θα έχει εξίσωση y+ γ Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας y+ με τους άξοες και yy Για το θέτουμε y και έχουμε: + ή - Άρα το σημείο είαι το Β(-,) Για το yy θέτουμε και έχουμε: y Άρα το σημείο είαι το Γ(,) Το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται από τη παραπάω εφαπτομέη και τους OB OΓ άξοες και yy θα είαι E τμ Άσκηση 9 η Δίεται η συάρτηση f()α -β +- Nα βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε η συάρτηση f α έχει ακρότατα στα σημεία και Στη συέχεια α μελετήσετε τη f ως προς τη μοοτοία ακρότατα Εφόσο η συάρτηση f έχει ακρότατα στα σημεία και, θα πρέπει f () και f () Eίαι f ()α -6β+ f '() a 6β + α β + α β () f '() α 6β + 8α β + α β () Αφαιρώτας κατα μέλη τις () και () έχουμε: α και ατικαθιστώτας στη () ή τη () προκύπτει β Άρα η συάρτηση γράφεται: f() Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f () -8+(-)(-)

24 taeeolablogspotcom + f () f TM TE H f είαι: Γησίως αύξουσα στο (,] και στο [, + ) Γησίως φθίσουσα στο [,] Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ίσο με f()8, και τοπικό ελάχιστο στο, ίσο με f() Άσκηση η Δύο φίλοι Α και Β λύου έα πρόβλημα μαθηματικώ Η πιθαότητα α το λύσει τουλάχιστο έας από τους δύο είαι, εώ η πιθαότητα α το λύσου και οι δύο είαι Α η πιθαότητα α μη λύσει το πρόβλημα ο Α είαι / α υπολογιστεί: α Η πιθαότητα α μη λύσει το πρόβλημα ο Β β Η πιθαότητα α λύσει το πρόβλημα μόο ο Β γ η πιθαότητα α λύσει το πρόβλημα μόο ο Α ή μόο ο Β Θεωρούμε τα εδεχόμεα: Α{ο Α λύει το πρόβλημα τω μαθηματικώ} και Β{ο Β λύει το πρόβλημα τω μαθηματικώ} Είαι Ρ(ΑUΒ) και Ρ(Α Β) Επίσης Ρ(Α ) α Ζητείται η πιθαότητα Ρ(Β ) Αφού Ρ(Α ) τότε Ρ(Α)- Είαι Ρ(ΑUΒ)Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) άρα Ρ(Β) Ρ(ΑUΒ)-Ρ(Α)+ Ρ(Α Β) ή Ρ(Β) - + β Ρ(Β-Α)Ρ(Β)-Ρ(Α Β) - γ Είαι Ρ(Α-Β)Ρ(Α)-Ρ(Α Β) - 6 Ζητείται η Ρ[(Α-Β)U(B-A)] Ρ(Α-Β)+ Ρ(Β-Α) + Άσκηση η Θεωρούμε τη συάρτηση f()α +β -+ α Να βρείτε τους αριθμούς α, β για του οποίους ισχύει f (-) f () β Α α και β, τότε α βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f α Η παράγωγος f () της f, είαι f ()α +β- f (-) οπότε α-β- () και f () δηλαδή α+β- ()

25 taeeolablogspotcom ροσθέτωτας τις () και () κατά μέλη έχουμε 6α-6 δηλαδή α Και ατικαθιστώτας α σε μία από τις () και () έχουμε β β Η f() - είαι παραγωγίσιμη στο R με f ()6 + f () - + f Στο (,] η f είαι γησίως φθίουσα και στο [, + ) η f είαι γησίως αύξουσα Στο σημείο η f παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με f()-

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 7-05-00 ΘΕΜΑ Α Α. ος τρόπος Οι παρατηρήσεις t, t,..., t έχου μέση τιμή. Οι έες παρατηρήσεις είαι της μορφής: yi = ti, όπου i =,,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτω πευματικής ιδιοκτησίας, εφόσο η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης. Ποιους ορισμούς πρέπει α ξέρω; Τι οομάζουμε αι πώς συμβολίζεται: η επιρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ; Οομάζεται η τιμή της μεταβλητής, που παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2)

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Ο 1Α. α). Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f ()=, για κάθε R Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα