ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

Transcript

1 Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται επίσης ααφορά στα μέτρα ασυμμετρίας. Προσδοώμεα αποτελέσματα: Ότα μελετήσετε αυτή τη εότητα, θα πρέπει: Να διατυπώετε τους ορισμούς τω μέτρω θέσης αι διασποράς που μας εδιαφέρου στη συγεριμέη μελέτη. Να βρίσετε ( υπολογίζετε ) τα μέτρα θέσης αι διασποράς που σας ζητούται. Να βρίσετε το συτελεστή μεταβολής αι α εξετάζετε α έα δείγμα είαι ομοιογεές. Να συγρίετε δυο διαφορετιά δείγματα ως προς τη ομοιογέεια. Να βρίσετε τα μέτρα θέσης αι διασποράς μιας μεταβλητής μετά από γραμμιό μετασχηματισμό. Συμβολισμοί: Το άθροισμα: x+ x x μπορεί α γραφεί ε συτομία: = x ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 83

2 Παγόσμιο χωριό γώσης Παράδειγμα: 0 x + x x = x 2 0 = Έτσι μπορούμε α γράφουμε συοπτιά αι άλλες μορφές αθροισμάτω, όπως: x x... x x = = = ( x x) + ( x x ) ( x x) = ( x x) x x... x x x λ +λ 2 + +λ = λ =λ = = x + y + x + y x + y = x + y = x + y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = = = λ x +μ y + λ x +μ y λ x +μ y = λ x +μ y = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = =λ x +μ = = y Πως ορίζεται η μέση τιμή παρατηρήσεω; Απάτηση: Η μέση τιμή τω παρατηρήσεω x, x 2,..., x είαι ο αριθμός: ή x+ x x x = x = x = = = x ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 84

3 Παγόσμιο χωριό γώσης Πως ορίζεται ο σταθμιός μέσος τω παρατηρήσεω x, x 2,..., x με συτελεστές βαρύτητας w, w 2,..., w ατίστοιχα; Απάτηση: Ο σταθμιός μέσος τω παρατηρήσεω είαι ο αριθμός: ή x w+ x2 w x w x = w + w w x = 2 = x = w w Παρατηρήσεις:. Ότα υπάρχει αταομή συχοτήτω: x,, =, 2,..., ( ) ή αταομή σχετιώ συχοτήτω: x,f, =, 2,..., ( ) η μέση τιμή βρίσεται με τη χρήση τω τύπω: αι x = x = = x () = (2) = x = x f 2. Στη περίπτωση που η μεταβλητή είαι διαριτή, οι τύποι () αι (2) δίου τη μέση τιμή όπως αυτή θα προέυπτε με βάση το ορισμό της. Στη περίπτωση όμως που τα δεδομέα έχου ομαδοποιηθεί η μέση τιμή όπως υπολογίζεται από τους τύπους () αι (2) συήθως δε είαι ίση με τη τιμή που θα παίραμε από τη εφαρμογή του τύπου του ορισμού. Αυτό οφείλεται στο ότι το x στους τύπους () αι (2) είαι η ετριή τιμή της ατίστοιχης λάσης η οποία μπορεί αι α μη είαι τιμή του δείγματος. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 85

4 Παγόσμιο χωριό γώσης 3. Ο σταθμιός μέσος μπορεί α χρησιμοποιηθεί για το προσδιορισμό της μέσης τιμής περισσοτέρω ομάδω ομοειδώ δεδομέω με διαφορετιό μέγεθος τω οποίω γωρίζουμε τις μέσες τιμές. Παράδειγμα: Σε έα λύειο η Α λυείου έχει τρία τμήματα με 25, 20 αι 30 παιδιά. Α η μέση βαθμολογία στο μάθημα της Ιστορίας είαι 7, 6 αι 5 αά τμήμα ατίστοιχα, τότε η μέση βαθμολογία στο μάθημα της ιστορίας για όλη τη Α λυείου, είαι: x = = άρα: 95 x = 5,93 75 Να διαιολογήσετε το τύπο: x = x f = Είαι ο τύπος (2) της προηγούμεης παρατήρησης. Απάτηση: Στη αταομή συχοτήτω: ισχύει: Άρα: ( ) x,, =, 2,... x = x = x + x x x x2 2 x x = = = = x + x x = x f + x f x f Επειδή είαι: f =, =,2,..., έχουμε: x = x f = ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 86

5 Παγόσμιο χωριό γώσης Πως ορίζεται η διάμεσος εός δείγματος παρατηρήσεω; Απάτηση: Κατ αρχάς πρέπει α διατάξουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Από τις διατεταγμέες παρατηρήσεις, διάμεσος (δ) είαι η μεσαία παρατήρηση α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττός αριθμός ή το ημιάθροισμα τω δυο μεσαίω παρατηρήσεω α το πλήθος είαι άρτιος αριθμός. Παρατηρήσεις:. Η διάμεσος χωρίζει έα διατεταγμέο δείγμα παρατηρήσεω σε δυο ίσες ομάδες. Η πρώτη ομάδα περιέχει τις παρατηρήσεις που είαι μιρότερες από τη διάμεσο αι το πλήθος δε υπερβαίει το του συόλου τω παρατηρήσεω. Το ίδιο συμβαίει αι με τη άλλη ομάδα, που περιέχει τις παρατηρήσεις που είαι μεγαλύτερες από τη διάμεσο. 2. Σε ομαδοποιημέα δεδομέα η διάμεσος βρίσεται με τη βοήθεια τω πολυγώω αθροιστιώ συχοτήτω ή αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Πιο συγεριμέα στο διάγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ( F 0 0) η διάμεσος είαι η τετμημέη, σημείο του οριζότιου άξοα, η οποία ατιστοιχεί στο σημείο του αταόρυφου άξοα με τιμή Α το σημείο του οριζότιου άξοα που δίει τη διάμεσο δε φαίεται αθαρά αι οι παρατηρήσεις σε άθε λάση είαι αταεμημέες ομοιόμορφα η διάμεσος δίεται από το τύπο: Ν δ = L 2 + c Όπου: L: Είαι το άτω όριο της λάσης που περιέχει τη διάμεσο. : Είαι το μέγεθος του δείγματος. Ν : Είαι η αθροιστιή συχότητα της προηγούμεης λάσης (από αυτή που περιέχει τη διάμεσο) : Είαι η συχότητα της λάσης που περιέχει τη διάμεσο. c : Είαι το πλάτος τω λάσεω. Ο πιο πάω τύπος προύπτει από τις ααλογίες που περιγράψαμε στη προηγούμεη παράγραφο. Πιο απλά: Έστω ότι το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω είαι το παραάτω: ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 87

6 Παγόσμιο χωριό γώσης Η διάμεσος δ προύπτει από τη ααλογιή σχέση: δ α = β α 50 F F F όπου F α αι F β οι αθροιστιές σχετιές συχότητες, στο άξοα F 0 0, που ατιστοιχού στα α, β που είαι τα όρια της λάσης στη οποία αήει η διάμεσος. 3. Σύγριση μέσης τιμής αι διαμέσου β Μέση τιμή α α Πλεοετήματα Για το υπολογισμό της χρησιμοποιούται όλες οι τιμές Είαι μοαδιή για άθε σύολο δεδομέω. Είαι εύολα αταοητή. Υπολογίζεται εύολα. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Μειοετήματα Επηρεάζεται πολύ από αραίες τιμές Μπορεί α μη ατιστοιχεί σε δυατή τιμή της μεταβλητής. Ότα η μεταβλητή x παίρει αέραιες τιμές η μέση τιμή μπορεί α μη είαι αέραιος αριθμός. Δε υπολογίζεται σε ποιοτιά δεδομέα Υπολογίζεται δύσολα σε ομαδοποιημέα δεδομέα με αοιτές τις αραίες λάσεις. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 88

7 Παγόσμιο χωριό γώσης Διάμεσος Πλεοετήματα Είαι εύολα αταοητή. Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές Υπολογίζεται αι στη περίπτωση που οι αραίες λάσεις είαι αοιτές. Ο υπολογισμός της είαι απλός. Είαι μοαδιή για άθε σύολο δεδομέω. Μειοετήματα Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για το υπολογισμό της. Είαι δύσολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστιή αάλυση Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα. Για το υπολογισμό της μπορεί α χρειαστεί παρεμβολή. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ e-mal : nfo@arnos.gr 89