2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε"

Transcript

1 .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = t t... t = x + x x x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w x w w + w w = x w w όπου w ο συτελεστής στάθµισης (βαρύτητας) της τιµής x 3. ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω, οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθµός, ή το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός. Σηµείωση. Η διάµεσος έχει αθροιστική συχότητα F = 50% 4. Μέτρα θέσης λέγοται η µέση τιµή ή ο σταθµικός µέσος και η διάµεσος. 5. Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση Μικρότερη παρατήρηση Σηµείωση. Το εύρος δε είαι αξιόπιστο µέτρο διασποράς.

2 6. ιακύµαση ή διασπορά s = (t x ) s = t t s = k (x x) 7. Τυπική απόκλιση s = s Για κάθε καοική ή περίπου καοική καταοµή: Στο παρακάτω σχήµα φαίοται τα ποσοστά τω παρατηρήσεω που αήκου στα ατίστοιχα διαστήµατα. 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 % 8. Συτελεστής µεταβολής ή συτελεστής µεταβλητότητας CV = s x, x 0 Σηµείωση. Α x < 0 τότε CV = s x Το CV το εκφράζουµε σε ποσοστό % Μικρότερος CV σηµαίει µεγαλύτερη οµοιογέεια Οµοιογεές δείγµα τιµώ, ότα CV 0%

3 3 9. Από τις µεταβλητές στις µέσες τιµές και στις τυπικές αποκλίσεις Y = Χ + c y = x + c και S y = S x Y = c Χ y = c x και S y = c S x Y = c Χ + c y = c x + c και S y = c S x 0. Για καοική ή περίπου καοική καταοµή: R 6S δ = x ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. ιάκριση παρατηρήσεω t τιµώ Κάθε τιµή x είαι το σύολο τω ίσω µεταξύ τους παρατηρήσεω t. Το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι = µε το µέγεθος του δείγµατος. Το πλήθος τω τιµώ συήθως το συµβολίζουµε µε k. Είαι βέβαια k < x. Συτοµογραφία αθροίσµατος α + α + α 3 = 3 α, α + α + + α = α 3. Εύρεση της διαµέσου σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα Σχεδιάζουµε το πολύγωο που ατιστοιχεί στο ιστόγραµµα τω σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω F % και βλέπουµε ποια τιµή ατιστοιχεί στο 50% τω παρατηρήσεω. 4. Εύρεση της διαµέσου σε µεγάλο πλήθος τιµώ Από το πίακα συχοτήτω προσδιορίζουµε τη παρατήρηση ή τις παρατηρήσεις που καθορίζου τη διάµεσο.

4 4 5. Προτιµότερη η τυπική απόκλιση από τη διακύµαση Στις διάφορες έρευες, τις ποιο πολλές φορές, ατί της διακύµασης χρησιµοποιούµε τη τυπική απόκλιση, διότι εκφράζεται µε τις ίδιες µοάδες που εκφράζοται οι παρατηρήσεις. 6. Τρεις ακόµα τύποι για τη διακύµαση s = t x, s = k x x, s = k (x x ) f

5 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, y, z είαι 30, τω x, y είαι 4 και τω y, z είαι 8. Να βρείτε: ) τους x, y, z ) τη διάµεσο ) τη τυπική απόκλιση Προτειόµεη λύση ) x+ y+ z = 30 3 x+ y = 4 y+ z = 8 x+ y+ z= 90 x + y = 8 y+ z= z= 90 x + y = 8 y+ z= 36 z = 6 x + y = 8 y+ z= 36 z = 6 x + y = 8 y+ 6= 36 z = 6 x + y = 8 y = 6 z = 6 x 6 = 8 y = 6 z = 6 x = 54 y = 6 ) Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είαι 6, 54, 6, άρα δ = 54 ) ( 6 30) + (54 30) + (6 30) S = = 3 Οπότε S= 578,6 =39, = 578, 6. Η µέση τιµή παρατηρήσεω είαι 5. Α η µικρότερη παρατήρηση είαι 0, πόσο πρέπει α τη αυξήσουµε, ώστε η µέση τιµή α γίει 8; Προτειόµεη λύση Γωρίζουµε ότι 0+ x + x x 5= Έστω ότι η τιµή 0 αυξάεται κατά λ, τότε 0+λ+ x + x x 8= x + x + + x - = 5 0 (). ( ) 0+λ = 8 = λ + 5 λ = 3

6 6 3. Σε µία επιχείρηση εργάζοται συολικά 0 υπάλληλοι µε µέσο µηιαίο µισθό 400. Ο µέσος µηιαίος µισθός τω 0 κατώτερω υπαλλήλω είαι 800. εώ τω αώτερω είαι Να βρείτε το µέσο µηιαίο µισθό τω µεσαίω υπαλλήλω. Προτειόµεη λύση Έστω ότι x, x,, x 0 είαι οι µισθοί τω κατώτερω υπαλλήλω y, y οι µισθοί τω δύο αώτερω και z, z,, z 8 οι µισθοί τω υπόλοιπω 8 µεσαίω υπαλλήλω. Αφού ο συολικός µέσος µισθός είαι 400, θα έχουµε (x+ x x 0) + (z+ z z 8) + (y+ y ) 400= () 0 x + x x0 Αλλά 800= x + x + + x 0 = 8000 () 0 y+ y και 6000= y + y = 000 (3) z+ z z8 Εµείς θέλουµε α βρούµε τη z= 8 ( ),( 3 ) (z+ z z 8) () 400= = z+ z z8 z+ z z8 = 8000 z+ z z8 Άρα z= = 8000 = Η µέση τιµή 0 διαφορετικώ παρατηρήσεω βρέθηκε ότι είαι 0. Αργότερα διαπιστώθηκε πως η παρατήρηση που ήτα ίση µε 8, γράφτηκε κατά λάθος 38. Να βρείτε τη πραγµατική µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Η λαθασµέη µέση τιµή προέκυψε από το τύπο x + x x x + x + + x = 00 9 = x + x + + x 9 = 6 () Η πραγµατική µέση τιµή είαι x + x x9 + 8 x = x = = 9. 0 ( )

7 7 5. Μία µεταβλητή Χ, εός δείγµατος µεγέθους, έχει τιµές,, 3, 4, 5 µε συχότητες,, 3, 4, 5 ατίστοιχα, και µέση τιµή 0. Κάθε συχότητα αυξάεται και γίεται ίση µε +. Να βρείτε τη έα µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Έχουµε ότι = Μετά τη µεταβολή οι έες συχότητες θα είαι () µε = = +, = +, 3 = 3 +, 4 = 4 +, 5 = 5 + Το έο µέγεθος θα είαι = = = + 5 = 6 ( + ) + ( + ) + 3( 3+ ) + 4( 4+ ) + 5( 5+) Νέα µέση τιµή : x = = = = = ( ) = = 5,83 6 6

8 8 6. Σε 5 παρατηρήσεις βρέθηκε µέση τιµή 50. Αργότερα διαπιστώθηκε ότι : 0 παρατηρήσεις είχα υπερεκτιµηθεί κατά 4 µοάδες η κάθε µια, 3 υποεκτιµήθηκα κατά µοάδες η κάθε µία, εώ οι άλλες είχα τη σωστή τιµή. Να βρείτε τη πραγµατική µέση τιµή Προτειόµεη λύση Έστω ότι x, x, x 3,, x 0, x, x, x 3, x 4, x 5 είαι οι πραγµατικές τιµές. Υποθέτοτας ότι υπερεκτιµήθηκα οι 0 πρώτες και υποεκτιµήθηκα οι τρεις επόµεες η µέση τιµή 50 προέκυψε από το κλάσµα (x + 4) + (x + 4) (x + 4) + (x ) + (x ) + (x ) + x + x 50= 5 x + x x = 5 x + x x = 5 5 x + x x = x + x x5 50 = ,73 = x + x x 5 5 Άρα x = 47,73

9 9 7. Οι ηµερήσιες αποδοχές σε 5 εργατώ είαι οι εξής: 7, 8, 30, 9, 9, 6, 7, 6, 5, 3, 3, 4, 7, 3, 9. ) Να βρείτε τη µέση τιµή ) Οι αποδοχές τω εργατώ που παίρου λιγότερα από τη µέση τιµή αυξάοται και γίοται ίσες µε τη µέση τιµή. Ποια θα είαι τότε η έα µέση τιµή; Προτειόµεη λύση ) x = = 40 = ) Μετά τις µεταβολές έχουµε (4+ 4) + (5+ 3) + (6+ ) + 3 (7+ ) x = = = 8, είξτε ότι για κάθε ποσοτική µεταβλητή Χ εός δείγµατος µεγέθους ισχύει x ε x x µ, όπου x ε είαι η µικρότερη παρατήρηση, x µ είαι η µεγαλύτερη παρατήρηση και x είαι η µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Έστω x ε η µικρότερη παρατήρηση και x µ η µεγαλύτερη τότε για κάθε τιµή x θα έχουµε x ε x x µ x ε x x µ x ε x 3 x µ... x ε x x µ προσθέτοτας κατά µέλη x + x + x x x ε x + x + x x x µ x ε x ε x x µ x µ

10 0 9. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της µεταβλητής του διπλαού πίακα. Προτειόµεη λύση Συµπληρώοτας το παραπάω πίακα έχουµε Βάρος σε Συχότ Κετρ. x x κιλά τιµή x [54,60) [60,66) [66,7) [7,78) [78,84) [84,90) Σύολο Βάρος σε Συχότ. κιλά [54,60) 8 [60,66) 46 [66,7) 70 [7,78) 35 [78,84) [84,90) 0 Σύολο 00 x = κ x = 3950= 69, 75 κιλά 00 κ x S Άρα S = 58,3 7,63 κ = x = ,3 0. Στο διπλαό πίακα α συµπληρώσετε τις σχετικές συχότητες που λείπου, α γωρίζεται ότι η µέση τιµή είαι x =, Προτειόµεη λύση Έστω x, y οι ζητούµεες σχετικές συχότητες. Τότε κ x = f x,= 0,6 + x + 3 0,3 + 4y x + 4y =,5 () Από το πίακα έχουµε 0,6 + x + 0,3 + y = x + y = 0,5 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε x = 0,445 και y = 0,065. x f 0,6 3 0,3 4 Σύολο

11 . Η µέση τιµή και η διακύµαση τω βαθµώ 6 µαθητώ είαι x = και S = 0. Για τους βαθµούς τω πέτε εξ αυτώ ισχύει 5 (x x) = βαθµό του έκτου µαθητή α ξέρετε ότι έγραψε πάω από τη βάση. Προτειόµεη λύση Α x 6 είαι ο βαθµός του 6 ου µαθητή τότε. Να βρείτε το S (x x) + (x x) + (x3 x) + (x4 x) + (x5 x) + (x6 x) = 6 5 (x x) + (x6 ) 0 = 6 + x6 4x = 6 x6 4x = 0 x 6 = 9 ή x 6 = 5 εκτή η τιµή x 6 = 9, αφού έγραψε πάω από τη βάση.

12 . Ο διπλαός πίακας δίει τη βαθµολογία υποψηφίω της Γ Λυκείου στο µάθηµα της έκθεσης. ) Να συµπληρωθεί ο πίακας ) Να βρεθεί το πλήθος τω ατόµω του δείγµατος που έχου βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο από 37,5. ) Να βρεθεί η µέση τιµή της καταοµής. Βαθµοί f % F % [0, 5) 5 [5, 50) 0 [50, 75) 49 [75,00) 40 Σύολο Προτειόµεη λύση ) F =5% f % = 5 f + f + f 3 + f 4 + f 5 = f =00 f 3 % = = = = 40 3 f 3 0,35 Οπότε ο πίακας γίεται Βαθµοί f % F % Κε. τιµή x Θυµήσου τις ιδιότητες τω F, f x [0,5) 7 5 5,5 87,5 [5,50) ,5 050 [50,75) ,5 306,5 [75,00) , Σύολο ) = = 9 ) x = x = = Ισοκαταοµή τω παρατηρήσεω σε Κάθε κλάση

13 3 3. Οι τιµές της απώλειας βάρους σε κιλά Απώλεια Κ. Κλάσης Συχ. 60 ατόµω τα οποία ακολούθησα Βάρους x έα πρόγραµµα αδυατίσµατος, [0 - ) 0 έχου οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου [ - ) 6 40 πλάτους, όπως εµφαίζοται στο [ - ) 45 διπλαό πίακα. [ - ) 30 ) Να αποδείξετε ότι το πλάτος κάθε [ - ) 5 κλάσης είαι 4 Σύολο 60 ) Να συµπληρώσετε το πίακα α βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Nα εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές ) Να βρείτε το ποσοστό τω ατόµω µε βάρος από 7 µέχρι και 4 κιλά. Προτειόµεη λύση ) Έστω c το πλάτος κάθε κλάσης. Η πρώτη κλάση θα είαι η [0, c) ) Καόες οµαδοποίησης Η δεύτερη θα είαι η [c, c) µε κέτρο x = 6 Συµπληρωµέος ο πίακας και µε στήλες x και c+ c = 6 3c = c = 4 x είαι Απώλεια Κέτρο Συχότητα x x Βάρους x [0-4) [4-8) [8 - ) [ -6) [6-0) Σύολο x = = S κ x = 0 κιλά κ = x = ) κ x 600 (0000 ) = 5, οπότε S = 5 = CV= S = 5 = 0,5 δηλαδή CV = 0,5 00= 50 % > 0 % δείγµα µη οµοιογεές x 0

14 4 ) Το πλήθος τω ατόµω µε απώλεια βάρους από 7 µέχρι και 4 κιλά είαι : = = 70 4 Θυµήσου τη ισοκαταοµή τω παρατηρήσεω στις κλάσεις Το ζητούµεο ποσοστό είαι : = 43,75%

15 5 4. Στο παρακάτω ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω παρουσιάζεται το ποσοστό τω αυτοκιήτω που παράγει µία βιοµηχαία σ έα µήα σε σχέση µε το κυβισµό του κιητήρα. Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 700 και µικρότερο από 900 cm 3 είαι 500. Να βρείτε : ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω που παράγει η βιοµηχαία σ έα µήα. ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 600 cm 3 ) Τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της καταοµής. ι) Τη διάµεσο της καταοµής Προτειόµεη λύση ) F 4 = 90% και F 3 = 50% F 4 = F 3 + f 4 f 4 = F 4 F 3 = 40%. Από τη υπόθεση του προβλήµατος αυτό το ποσοστό ατιστοιχεί σε 500 αυτοκίητα Α λοιπό η βιοµηχαία παράγει αυτοκίητα σ έα µήα έχουµε ότι 40 = 500 = ) f = F = 0% f = F F = 300 =0% f 3 = F 3 F = = 0% f 4 = F 4 F 3 = = 40% f 5 = F 5 F 4 =00 90 = 0% Το ζητούµεο πλήθος έχει ποσοστό ίσο µε f 3 + f 4 + f 5 = = 60% 60 Άρα το ζητούµεο πλήθος είαι : 650= 3750 αυτοκίητα. 00

16 6 ) Από τα παραπάω έχουµε το πίακα Κλάσεις Κ.τιµή x f % f f x fx [00, 300) , [300, 500) , [500, 700) , [700, 900) , [900, 00) , Σύολο 00, κ x = fx = 60 cm 3 κ κ S = fx fx Άρα S= = 60 cm 3 = = ) Για τη διάµεσο της καταοµής σχεδιάζουµε το πολύγωο που ατιστοιχεί στο ιστόγραµµα τω F% Όπως βλέπουµε στο 50% τω παρατηρήσεω ατιστοιχεί η τιµή 700. Άρα δ=700 Σχόλιο 3

17 7 5. Για τα δεδοµέα του διπλαού πίακα δίεται ότι x =,6 ) Να δείξετε ότι α = 33 και β =0 ) Να βρείτε τη διάµεσο της καταοµής ) Να χαρακτηρίσετε τη καταοµή ως προς τη οµοιογέεια. Προτειόµεη λύση ) x =,6 + α+ 3β+ 00 =, α+ β= 96 () = + α + β + 5 = 80 α + β = 43 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε ότι α = 33 και β = 0 ) Στο δοσµέο πίακα συµπληρώουµε τη στήλη τω συχοτήτω. η η 40 παρ + 4 παρ δ= Όπως εύκολα προκύπτει από τη στήλη τω συχοτήτω οι πρώτες παρατηρήσεις έχου τιµή και οι 33 επόµεες έχου τιµή. Εποµέως η 40 η και η 4 η παρατηρήσεις έχου τιµή Άρα δ = + = ) κ S = (, 6) + 33(, 6) + 0(3, 6) + 5(4, 6) (x x) = 80, , ,6+ 5,96 = = 80 = 93, 80 =,65 Οπότε S=,65,08 x α 3 β 4 5 Σύολο 80 x ι Σύολο 80 = CV = S =,08 0,4 x,6 CV = 4% > 0% οπότε η καταοµή δε είαι οµοιογεής

18 8 6. Έα κατάστηµα πουλάει 4 είδη υφασµάτω Α, Β, Γ, µε τιµή αά µέτρο 0, 40, 50, 80, ατίστοιχα. Οι ηµερήσιες πωλήσεις για κάθε είδος υφάσµατος ήτα 0%, 0%, 30%, 40% ατίστοιχα. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της τιµής πώλησης του µέτρου τω υφασµάτω α γωρίζουµε ότι : ) σε µία µέρα πουλήθηκα συολικά 60 µέτρα υφάσµατος ) δε γωρίζουµε πόσα µέτρα υφάσµατος πουλήθηκα Προτειόµεη λύση ) Αφού πουλήθηκα συολικά 60 µέτρα υφάσµατος, µε βάση τα ατίστοιχα ποσοστά, από κάθε είδος υφάσµατος πουλήθηκε : 0 0 Α είδος 60 = 6 µέτρα, Β είδος 60 = µέτρα Γ είδος 60 =8 µέτρα, είδος 60 = 4 µέτρα Ο πίακας καταοµής συχοτήτω είαι Τιµή x Συχ Σύολο 60 Εποµέως x = = η η 30 παρ+ 3 παρ και δ = = = 50 ) f A = 0,, f B = 0,, f Γ = 0,3, f = 0,4 κ άρα x = xf = 0 0, , , ,4 = = 57 Για τη διάµεσο παρατηρούµε ότι : Το πρώτο 0% τω παρατηρήσεω έχει τιµή 0, το αµέσως επόµεο 0% έχει τιµή 40, και το µεθεπόµεο 30% έχει τιµή 50. Προφαώς στο 50% τω παρατηρήσεω ατιστοιχεί η τιµή 50. Άρα δ = 50.

19 9 7. Εξετάσαµε τη διάρκεια ζωής εός δείγµατος µεγέθους 5 τω µηχαηµάτω που παράγου δύο εταιρείες Α και Β. Τα δεδοµέα φαίοται στο διπλαό πίακα. ) Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής τω µηχαηµάτω κάθε εταιρείας. ) Α τα µηχαήµατα της Α εταιρείας κοστίζου 90 και της Β 850, ποιας εταιρείας τα µηχαήµατα θα προτιµούσατε α αγοράσετε; ιάρκεια ζωής σε µήες Α Β Προτειόµεη λύση ) xa = = 30 = 46 µήες xb = = 90 = 38 µήες 5 5 ) Το κόστος τω µηχαηµάτω της Α εταιρείας είαι 90 και της Β 850. Εκ πρώτης όψεως τα µηχαήµατα της πρώτης εταιρείας είαι ακριβότερα. Όµως το αά µήα κόστος τω µηχαηµάτω της Α εταιρείας είαι = 0 και της Β είαι =, άρα µας συµφέρει α αγοράσουµε τα µηχαήµατα της Α εταιρείας. 8. Στις τιµές,, 3, α ατιστοιχού συτελεστές βαρύτητας α, 3,, α ατίστοιχα. Α ο σταθµικός µέσος είαι ίσος µε, α βρείτε τη τιµή α. Προτειόµεη λύση Έχουµε ότι α α α α +α+ = = α 3α α α +α+ = 3 α+ 0 α 4α + 4 = 0 α =.

20 0 9. ίοται πέτε διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί µε άθροισµα 40. Να βρείτε ) Τους αριθµούς ) Τη διάµεσο ) Να εξετάσετε α οι αριθµοί αποτελού οµοιογεές δείγµα Προτειόµεη λύση ) Έστω x ο µικρότερος αριθµός, Τότε οι ζητούµεοι αριθµοί είαι x, x +, x + 4, x + 6, x + 8 x + x + + x x + 6+ x + 8 = 40 5x = 0 x = 4 Άρα οι αριθµοί είαι : 4, 6, 8, 0, ) δ = 8 ) 40 x = = 8 5 (4 8) + (6 8) + (8 8) + (0 8) + ( 8) S = = = 8 5 Άρα S= 8,8 και CV = S,8 x = 8 = 0,353 ηλαδή CV = 35,3% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές 0. Μία µεταβλητή Χ εός δείγµατος µεγέθους έχει τιµές,, 3, 4 µε σχετικές συχότητες 0,3, 0,, 0,4 και 0, ατίστοιχα. Να εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές. Προτειόµεη λύση x = 0,3 + 0, + 3 0, ,=,3 και 4 S = f (x x) = = 0,3(,3) + 0,(,3) + 0,4(3,3) + 0,(4,3) =,0 άρα S οπότε CV = S x = =,3 0, 43 δηλαδή CV = 43% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές.

21 . Σ έα δείγµα 0 παρατηρήσεω η διάµεσος είαι δ = 3,5 και είαι γωστές µόο οι παρατηρήσεις 5, 3,, 6, 7,, 3, 9, 3. Να βρείτε τη παρατήρηση που λείπει. Προτειόµεη λύση Τοποθετούµε τις γωστές παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά.,, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 9 Η διάµεσος ισούται µε το ηµιάθροισµα της 5 ης και 6 ης παρατήρησης. Η ζητούµεη παρατήρηση δε µπορεί α είαι ούτε µικρότερη του ούτε µεγαλύτερη του 9, διότι τότε το ηµιάθροισµα της 5 ης και 6 ης παρατήρησης δε είαι ίσο µε 3,5. Με το ίδιο σκεπτικό η διάµεσος δε µπορεί α είαι ούτε το ούτε το 3 ούτε τα 5, 6, 7, 8, 9 Άρα η παρατήρηση που λείπει είαι ο αριθµός 4. Τότε πράγµατι είαι δ = = 3,5

22 . Έα δείγµα µεγέθους έχει παρατηρήσεις x : 7, 5, α,, 5, β, 8, 6, γ, 5, 3 όπου α, β, γ φυσικοί αριθµοί µε α < β < γ. ίεται ότι x = 6, δ = 6, R = 8. ) Να βρεθού οι τιµές τω α, β, γ έτσι ώστε α ισχύει α + β + γ = 7 ) Για τις τιµές τω α, β, γ που θα βρείτε, α δείξτε ότι Sx εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές 58 = και α ) Α y είαι οι παρατηρήσεις που θα προκύψου πολλαπλασιάζοτας τις x επί µία θετική σταθερά c και στη συέχεια προσθέτοτας µία σταθερά c και γωρίζετε ότι y= 9 και S y = S x, α βρείτε τις σταθερές c, c. Προτειόµεη λύση ) Τοποθετούµε τις γωστές παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8 Επειδή το σύολο τω παρατηρήσεω είαι η διάµεσος θα είαι η 6 η παρατήρηση και επειδή δ = 6, η 6 η παρατήρηση θα είαι ίση µε 6. Η µικρότερη από τις άγωστες παρατηρήσεις είαι η α Α ήτα α 5, τότε οι 6 πρώτες παρατηρήσεις θα είχα τιµή 5 και εποµέως η διάµεσος δε θα ήτα ίση µε 6. Άρα α 6 Η µικρότερη παρατήρηση είαι η x ε =. Α x µ είαι η µεγαλύτερη παρατήρηση, επειδή το εύρος R είαι ίσο µε 8 θα ισχύει 8 = x µ x ε 8 = x µ x µ = 0 Οπότε γ = x = α+β 6 = 5 +α+β α + β = 5 () α +β +γ = 7 α +β +00 =7 α + β =7 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () και λαµβάοτας υπόψη ότι α < β βρίσκουµε α = 6 και β = 9 ) S = (x x) = κ = ( 6) + (3 6) + 3 (5 6) + (6 6) + (7 6) + (8 6) + (9 6) + (0 6) = Άρα S= και Έστω ότι CV 0% 58 S 58 CV = x = 6 = 6 CV 0, , 58 0, 6

23 3 58 0, ,96 πράγµα που δε ισχύει Άρα CV > 0% εποµέως το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) y = c x + c Τότε y cx c Και Η (3) 9 = + c c = 3 = + 9 = 6c + c (3) S y = c S x S x = c S x c = 3. Από τη εξέταση εός δείγµατος προέκυψε ο διπλαός πίακας, όπου α > 0. Α η µέση τιµή και η διάµεσος διαφέρου κατά 0,46, α βρείτε τη διάµεσο και τη µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Ν 4 =00 =00 4 = Ν 4 Ν 3 = = 50 3 = Ν 3 Ν = = 0 = Ν Ν = 30 α. = α Η διάµεσος ισούται µε το ηµιάθροισµα της 50 ης και 5 ης παρατηρήσεω, οι οποίες όπως φαίεται από τις συχότητες, είαι ίσες µε 3 και 4 ατίστοιχα. Άρα δ = = 3,5. α+ (30 α ) α x = = () Όµως η µέση τιµή και η διάµεσος διαφέρου κατά 0,46 άρα δ x = 0,46 ή x δ= 0, α 3,5 = 0, 46 ή α 3,5 = 0, α = 6 ή α = 76 απορρίπτεται αφού α > 0 Η () 30 6 x = = 3,04 00 x N α

24 4 4. Μια µεταβλητή Χ έχει τιµές :,,, 3, 3, 5,,,,. ) Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Α οι τιµές της µεταβλητής αυξηθού κατά 0% ποια θα είαι η έα µέση τιµή και ποια η τυπική απόκλιση; Προτειόµεη λύση ) κ = x = x S (x x) κ = = = 0 0 = 5( ) + ( ) + (3 ) + (5 ) = =,6 οπότε S=,6,6. 0 ) Α ψ είαι οι έες τιµές τότε y = x x Θυµήσου ατίστοιχες εφαρµογές y = x + 0,x =,x Άρα y=, x =,. =, Και S y =, S x =,,6 =, Α η τυπική απόκλιση µίας µεταβλητής είαι ίση µε το µηδέ δείξτε ότι οι τιµές αυτής είαι ίσες µε τη µέση τιµή. Λύση (x x) + (x x) (x x) S = επειδή S = 0 θα είαι και S = 0 ( x x) + (x x) (x x) = 0 x x = 0 και x x = 0 και x x = 0 x = x = = x = x.

25 5 6. Οι τιµές σε, 0 προϊότω σ έα κατάστηµα είαι,, 3, 4, 3, 3, 4,, 5, 4 ) Να βρείτε: τη διάµεσο, τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Λόγω αύξησης του φόρου, ο καταστηµατάρχης κάει αύξηση σ όλες τις τιµές 5%. Να βρείτε πως διαµορφώοται όλα τα µέτρα του ( ) ερωτήµατος και α εξετάσετε α µεταβάλλεται ο συτελεστής µεταβολής. Προτειόµεη λύση ) Τοποθετούµε τις τιµές σε αύξουσα σειρά,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5 η η 5 παρ + 6 παρ 3+ 3 δ= = = x = = 3 0 ( 3) + ( 3) + 3(3 3) + 3(4 3) + (5 3) S = =,6 0 Συεπώς S=, 6,6. ) Α x είαι µια οποιαδήποτε τιµή πρι τη αύξηση, µετά τη αύξηση κατά 5%, θα γίει y = x + 0,5x =,5x. Τότε y=,5 x=,5 3 = 3,45 S y =,5 S x =,5,6 =,449 Η έα διάµεσος είαι πάλι το ηµιάθροισµα τω 5 ης και 6 ης παρατηρήσεω, κάθε µια,5 3+,5 3 τω οποίω είαι ίση µε,5 3 άρα δ y = =,5 3=3,45. Sy,5 S x Sx CV y = = = = CVx y,5 x x δηλαδή δε θα µεταβληθεί ο συτελεστής µεταβολής.

26 6 7. είξτε ότι, α από κάθε τιµή µιας µεταβλητής Χ αφαιρέσουµε τη µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε τη τυπική απόκλιση, τότε οι έες τιµές θα έχου µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση. Προτειόµεη λύση Έστω x οι τιµές της µεταβλητής Χ. Μετά τις µεταβολές θα προκύψου οι τιµές y = x x x x x = x οπότε S S S x x x x y = x 0 S S = και S = S S y S = x S =, αφού S x x > 0. x x 8. Μία µεταβλητή Χ µε τιµές x, x,, x ακολουθεί τη καοική καταοµή, µε εύρος. Η µέση τιµή της µεταβλητής είαι 3. Να βρείτε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, x,, x. Προτειόµεη λύση Ζητάµε α υπολογίσουµε τη ποσότητα x + x x x = = x. Α θυµηθούµε τους τύπους της τυπικής απόκλισης τότε η ζητούµεη ποσότητα διαπιστώουµε ότι είαι µέσα στο τύπο x S = x (). ι= Μέσα στο τύπο όµως αυτό υπάρχου τα S και Πρέπει λοιπό α τα υπολογίσουµε. Επειδή η καταοµή είαι καοική, θα έχουµε x Η = = 3 = x 3 x x () 9 4 = x οπότε η ζητούµεη µέση τιµή είαι 3. x τα οποία δε γωρίζουµε. R 6S = 6S S = 4 = x 9 x = 3

27 7 9. Σε µία καοική καταοµή η διάµεσος είαι ίση µε 8 και το,5% τω παρατηρήσεω έχου τιµές µεγαλύτερες από. ) Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της καταοµής ) Α οι παρατηρήσεις αυξηθού όλες κατά 3 µοάδες, α βρείτε τη µεταβολή του CV. ) Kατά πόσο τουλάχιστο θα πρέπει α αυξηθού οι παρατηρήσεις ώστε το δείγµα α γίει οµοιογεές; v) Α το πλήθος τω παρατηρήσεω που έχου τιµή µικρότερη του 6 είαι 000 α βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Προτειόµεη λύση Στο σχήµα παρουσιάζεται η καµπύλη της καοικής καταοµής Σχόλιο 7 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 % ) Είαι x = δ = 8 Το,5% τω παρατηρήσεω έχει τιµές µεγαλύτερες από x+ S. Άρα x+ S= = S+8 S = CV = S = = 0, 5 x 8 δηλαδή CV=5%. ) Μετά τη αύξηση οι έες παρατηρήσεις y θα δίοται από τη σχέση y = x + 3 άρα y= x+ 3 = και S y = S x = S οπότε CV y = y y = δηλαδή CV y = 8% Εποµέως µετά τη αύξηση ο συτελεστής µεταβολής ελαττώθηκε κατά 7%. ) CV y = 8% > 0% το δείγµα δε είαι οµοιογεές. Για α γίει οµοιογεές θα πρέπει CV y 0% 0, y Έστω λοιπό ότι όλες οι παρατηρήσεις πρέπει α αυξηθού κατά c τότε πρέπει α ισχύει S y

28 8 Sy 0, y 8+ c 0, 0,8+ 0,c, 0,c c που σηµαίει ότι α οι παρατηρήσεις αυξηθού κατά τουλάχιστο µοάδες το δείγµα θα γίει οµοιογεές. ) Η τιµή 6 είαι ίση µε x S Από τη καµπύλη της καταοµής τιµή µικρότερη από 6 έχει το 6% τω παρατηρήσεω εποµέως α είαι το µέγεθος του δείγµατος τότε 6 = = Σε µία καοική ή περίπου καοική καταοµή το 50% τω παρατηρήσεω έχου τιµή µεγαλύτερη του 0, το 8,5% τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστηµα (6, ) του οποίου τα άκρα είαι κάποιες από τις τιµές x± 3S, x± S, x± S. ) είξτε ότι η µέση τιµή του δείγµατος είαι 0 και η τυπική απόκλιση ) Να βρείτε το α N *, α είαι γωστό ότι στο διάστηµα (x α S, x+α S) αήκει το 95% περίπου τω παρατηρήσεω. ) Α R είαι το εύρος της καταοµής, α βρείτε τη ελάχιστη τιµή της συάρτησης R = + +. f (x) x (x 4)x 9S Προτειόµεη λύση ) Από τη καµπύλη της καοικής καταοµής και τα σχετικά ποσοστά, όπως φαίεται και στο σχήµα, το 50% τω παρατηρήσεω έχει τιµή µεγαλύτερη από τη x. 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 %

29 9 Εποµέως από τη υπόθεση θα είαι x = 0. Το 8,5% τω παρατηρήσεω βρίσκεται στα διαστήµατα (x S, x+ S) ή (x S, x+ S) άρα ( x S= 6 και x+ S= ) ή ( x S= 6 και x+ S= ) (0 S= 6 και 0+ S= ) ή ( 0 S= 6 και 0+ S= ) To πρώτο σύστηµα είαι αδύατο, εώ το δεύτερο δίει S = ) Το 95% τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα (x S, x S) + άρα x S = x α S α = ) Το εύρος R= 6S R= Οπότε f(x) = 6x 4x+8 f (x) = x 4 Το πρόσηµο της f και η µοοτοία της f φαίοται στο πίακα Από το άξοα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x =, το f() = 6 x + f 0 + f

30 30 3. Έστω η συάρτηση f (x) = x +κ x+ 4 x + 0, x 0. α) Α η εφαπτοµέη στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο Α(, f()) είαι παράλληλη στο άξοα x x, α δείξετε ότι κ = και α βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης β) Μία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή x = f () f (4) και τυπική απόκλιση S=. Α τρεις ακριβώς παρατηρήσεις, 3 ατιπροσωπευτικού δείγµατος µεγέθους, είαι µικρότερες ή ίσες του 8, ) α βρείτε τω αριθµό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται στο διάστηµα (0, 6). ) α δείξετε ότι το δείγµα δε είαι οµοιογεές. ) α βρείτε τη µικρότερη τιµή του α > 0 που πρέπει α προστεθεί σε κάθε παρατήρηση ώστε το δείγµα α γίει οµοιογεές. Προτειόµεη λύση α) Πρέπει f () = 0. Όµως f (x) = 4x+κ+ 4 x f () = κ + = 0 κ = Η εξίσωση της εφαπτοµέης είαι : y f () = f () (x ) και επειδή f () = +κ = = 4, η εξίσωση της εφαπτοµέης γίεται y 4 = 0 y = 4 β) x = f() =4 f (x) = 4x+κ+ 4 x f (4) ( 3) S= = = 3 3 f (4) = = = 3 4 ) 8 = x 3S Από τη καµπύλη της καοικής καταοµής το πολύ x 3S τιµή έχει το 0,5% τω παρατηρήσεω 0,5 Το πλήθος αυτώ τω παρατηρήσεω είαι 3 = 3 = Είαι (0, 6) = ( x S, x + S). Στο διάστηµα αυτό βρίσκεται το 8,5% τω 8,5 παρατηρήσεω, οπότε το πλήθος τους είαι = 630 S ) CV = x = 4 0,4 δηλαδή CV = 4% > 0% το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) Α σε κάθε παρατήρηση προσθέσουµε τη σταθερά α > 0, τότε κάθε έα παρατήρηση θα δίεται από τη σχέση

31 3 y = x + α, οπότε y= x+α= 4+α και S y = S x =. Άρα CVy = 4 +α Για α είαι το δείγµα οµοιογεές πρέπει CV y 0, 0, 4+α Η µικρότερη τιµή του α είαι η α = α α 6 3. Μία έρευα έδειξε ότι το 50% περίπου τω µαθητώ, για α πάε από το σπίτι στο σχολείο, χρειάζοται περισσότερο από λεπτά, εώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η καταοµή του χρόου διαδροµής είαι καοική ) Να βρείτε το µέσο χρόο διαδροµής τω µαθητώ και τη τυπική απόκλιση του χρόου διαδροµής ) Να εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές ) Α οι µαθητές της πόλης είαι 4000 α βρείτε πόσοι µαθητές θα κάου χρόο διαδροµής από 4 έως 6 λεπτά ) Μία ηµέρα λόγω έργω κάθε µαθητής καθυστέρησε α πάει στο σχολείο 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συτελεστής µεταβολής. Προτειόµεη λύση ) Είαι x = λεπτά Το 6% τω παρατηρήσεω έχει τιµές µικρότερες από τη x S. Άρα x S = 0 S = 0 S = λεπτά ) S CV = x = 0,66 = 6,6% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) (4, 6) = ( x +S, x +S) στο διάστηµα αυτό βρίσκεται το 3,5% τω 3,5 παρατηρήσεω, άρα 4000 = 540 µαθητές 00 ) Α y είαι ο οποιοσδήποτε έος χρόος, τότε y = x + 5, Άρα y= x+ 5 = +5 = 7 λεπτά και Sy S y = S x =, οπότε CV y y 7 Ο συτελεστής µεταβολής ελαττώθηκε κατά 6,6,7 = 4,9% Σχόλιο 7

32 3 33. Έστω η συάρτηση f (x) =, x (0, + ) x ) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της C f στο σηµείο Λ(, ). ) Από τυχαίο σηµείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξοες x x και y y, οι οποίες σχηµατίζου µε τους ηµιάξοες Οx και Οy ορθογώιο παραλληλόγραµµο. Να βρεθού οι συτεταγµέες του Μ ώστε η περίµετρος του ορθογωίου α είαι ελάχιστη. ) Α οι τετµηµέες πέτε διαφορετικώ σηµείω της εφαπτοµέης του ) ερωτήµατος έχου µέση τιµή 5 και τυπική απόκλιση, α βρεθεί η µέση τιµή y και η τυπική απόκλιση τω τεταγµέω τω σηµείω αυτώ. Προτειόµεη λύση ) Είαι f (x) = και f() =, f () = x Η εξίσωση της εφαπτοµέης στο Λ(, ) είαι y f() = f ()(x ) ) Η περίµετρος του ορθογωίου ΜΑΟΒ είαι Π = x + y. Επειδή το Μ αήκει στη Οπότε η περίµετρος γίεται Π(x) = x + x, x > 0 x Π (x) = = x x Π (x) = 0 x = C f, θα είαι y = x Το πρόσηµο της Π και η µοοτοία της Π(x) φαίοται στο διπλαό πίακα, από όπου συµπεραίουµε ότι η Π(x) παρουσιάζει ελάχιστο για x = Εποµέως το ζητούµεο σηµείο είαι το (, ), δηλαδή το Λ y = (x ) y = x + Α Ο y Λ(, ) Β Μ(x, ψ) x 0 + Π 0 + ) Είαι x = 5 και S x = Η σχέση που συδέει τη τετµηµέη µε τη τεταγµέη εός εκάστου τω 5 σηµείω είαι η y = x + Άρα y = x+ = 5 + = 3 και S y = S x = S x = Π x

33 Έστω t, t,, t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους, µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση S. Έστω επίσης η συάρτηση f (t) = ( t x) 3, t R και S S ) Να αποδείξετε ότι η f είαι γησίως αύξουσα ) Να αποδείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής γίεται ελάχιστος ότα t = x και α βρείτε τη ελάχιστη τιµή του. ) Α f (0) =, α υπολογίσετε το συτελεστή µεταβολής CV τω παραπάω παρατηρήσεω και α εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές. ) Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω αριθµώ f (t ), f (t ),, f (t ) είαι ίση µε 00 Προτειόµεη λύση 3 ) f (t) = ( t x ) (t x)' 300S ) = ( ) Η συάρτηση f (t) = ( t x) f (t) = ( t x) = ( ) 00S f (t) = 0 ( t x) t x > 0 για κάθε t x 00S άρα η f είαι γησίως αύξουσα στο R 00S ορίζει το ρυθµό µεταβολής της f. 50S t x = 0 t = x 50S το πρόσηµο της f και η µοοτοία της f φαίοται στο άξοα t x + f 0 + f γ. φθί. γ. αύξ. Από το άξοα φαίεται ότι ο ρυθµός µεταβολής γίεται ελάχιστος ότα t = x Η ελάχιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής είαι f ( x ) = ( x x) = 0 00S 00S ) f (0) = ( 0 x) = x 00S = S x = S 00 x = 0 CV = 0 0, = 0%

34 34 ) x f = = = = f (t ) + f (t ) f (t ) (t x) + (t x) (t x) 00S 00S 00S (t x) + (t x) (t x) 00S 00S S = 00.

35 Από δύο τύπους µπαταριώ Α και Β επιλέχθηκα δύο δείγµατα µεγέθους 5 το κάθε έα. Οι χρόοι ζωής τω µπαταριώ για το κάθε δείγµα, σε χιλιάδες ώρες δίοται στο πίακα. ) Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής µιας µπαταρίας τύπου Α και µιας τύπου Β ) Α κάθε µπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και κάθε τύπου Β 40 ευρώ, ποιό τύπο µπαταρίας συµφέρει α αγοράσουµε και γιατί. ) Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις της διάρκειας ζωής τω δύο τύπω µπαταριώ. ) Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους παρουσιάζει τη µεγαλύτερη οµοιογέεια ως προς τη διάρκεια ζωής. Προτειόµεη λύση ) xa = = χιλιάδες ώρες xβ = = 4 χιλιάδες ώρες 5 ) 38 To αά χιλιάδα ώρες κόστος κάθε µπαταρίας τύπου Α είαι,7 40 και του τύπου Β είαι 4,66 Άρα µας συµφέρει α αγοράσουµε µπαταρίες τύπου Β ) (0 ) + (6 ) + (4 ) + ( ) + (8 ) S A = = 8 5 άρα S A = 8χιλιάδες ώρες (6 4) + (3 4) + (9 4) + (0 4) + (3 4) S B = = 5 άρα S Β = χιλιάδες ώρες ) SA 8 CV = A x = A, SB CVB = = xb 4 8 Έστω ότι CV A < CV B < < Άρα το δείγµα Α παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογέεια Α Β < 484 πράγµα που ισχύει

36 Έστω x, x, x 3, x 4 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους 7. ίεται ότι 4 = 3 3, και ότι τα τόξα α που ατιστοιχού στις τιµές x και x είαι ατίστοιχα 50 ο και 30 ο. ) Να συµπληρωθεί ο πίακας x α ) Α x < 7, x = 7, x 3 = 3 και x 4 > 3, x 50 ο x α δείξετε ότι 0R + 7 x = 5δ, 30 ο x 3 3 όπου R = εύρος, x = µέση τιµή και x δ = διάµεσος Σύολο Προτειόµεη λύση ) α = 360 ο f 50 o = 360 o 50 o = 360 o 7 = 0 α = 360 ο f 30 o =360 o 30 o = 360 o 7 = = = 7 3 = 4 Οπότε 4 = 3 4 = 4 α 3 = ο 4 = 360 ο 7 =70ο και Ο πίακας συµπληρωµέος α 4 = 360 ο 50 ο 30 ο 70 ο = 0 ο ) Μικρότερη τιµή είαι η x και µεγαλύτερη η x 4, οπότε το εύρος R = x 4 x 0x + 6 ( 7) x4 x = 7 5x + x 4 x = 36 η η 36 παρ+ 37 παρ x δ = = 4 + x4 = x4 5x + x 4 οπότε 0R+7 x = 0(x 4 x ) = 0x 4 0x + (5x + x 4 ) = 0x 4 0x + 0x + 4x 4 = 5x 4 = 5δ. x α x 0 50 ο x 6 30 ο x 3 3 =4 70 ο x = 4 0 ο Σύολο ο

37 Έστω x > 0 και S x > 0,0 παρατηρήσεω x, x, x 3,, x 0. 0 x = 00Sx τότε : ) Να δείξετε ότι το δείγµα είαι οµοιογεές ) Έστω y οι παρατηρήσεις που προκύπτου από τις Α ισχύει x µε y = x 0 και CV y = 0%. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή x και τη τυπική απόκλιση S x τω παρατηρήσεω x. Προτειόµεη λύση ) 0 x = 00Sx 0 0 x = 0 Sx x + = x S x 0S 00S x = x Sx = x 00 Sx 0 x = () CV x = = 0, = 0% 0 άρα δείγµα οµοιογεές ) Θα είαι y= x 0 και S y = S x CV y = 0% S y 0, y = Sx x 0 = 0, Σχόλιο 6 δεύτερος τύπος Sx = 0, x 4 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε S x = 4 και x = 40

38 Έα δείγµα φίλω εξετάστηκε ως προς τη ηλικία του. Βρέθηκε ότι (x x) = 5+ x και CV = 5% ) Να βρείτε τα x και S ) Μετά από πόσα χρόια το δείγµα θα είαι για πρώτη φορά οµοιογεές; ) Να υπολογιστεί η µέση τιµή τω παρατηρήσεω: x, x,...,x ) Α οι φίλοι είαι 4, δείξτε ότι καεός η ηλικία δε είαι µεγαλύτερη από 30 χρόια Προτειόµεη λύση ) (x x) = 5+ x (x x) = 5+ x S = 5 + x () S CV = 5% 0, 5 x = S= 0,5x () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε x = 0 και S = 5 Άρα CV = S x = 5 = 0,5 = 5% δείγµα όχι οµοιογεές 0 ) Έστω ότι µετά από c χρόια το δείγµα θα γίει για πρώτη φορά οµοιογεές. Τότε οι ηλικίες ψ τω ατόµω θα δίοται από τη σχέση y = x +c οπότε y= x+ c = 0 + c και S y = S x = 5. Sy 5 Τότε CV y = = 0, c c 30 y 0+ c ηλαδή µετά από τριάτα χρόια το δείγµα θα γίει για πρώτη φορά οµοιογεές. ) S = x x 5 = x 400 ) Σχόλιο 6, πρώτος τύπος Α οι φίλοι είαι 4 τότε S x = 45 ηλαδή η µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, x,...,x είαι ίση µε 45 (x x) + (x x) + (x x) + (x x) = = 00 = (x 0) + (x 0) + (x 0) + (x 0) (x 0) + (x 0) + (x 0) + (x 0) 3 4 Σχέση η οποία είαι αδύατη α κάποιο x είαι > 30

39 Σε έα τεστ µαθητές απάτησα σε χρόους t, t,, t. ίεται ότι η συάρτηση f(x) = (t x) + (t x) + + (t x), x R παρουσιάζει ελάχιστο, το f() = 8. ) Να βρείτε τη µέση τιµή τω t, t,, t. ) είξτε ότι f (0) = 4 ) Να βρείτε το µικρότερο πλήθος ώστε το δείγµα α είαι οµοιογεές. ) Α t = 48, α βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Προτειόµεη λύση ) f (x) = (t x)(t x) +(t x)(t x) + +(t x)(t x) = = (t x) (t x) (t x) = = t + x t + x t +x) = = (t + t + + t ) + x Αφού η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = θα είαι f () = 0 ) f (0) = (t + t + + t ) + 0 = (t +t + +t ) ) S (t x) (t ) + (t ) (t ) = = (t + t + + t ) + 4 = 0 t + t + + t = () t + t t ηλαδή x = () Αλλά f() = 8 (t ) + (t ) + + (t ) = 8 Η () 8 S = S= S CV = x = = Για α είαι το δείγµα οµοιογεές πρέπει CV 0, 0, = ( ) = = 4 0, 0,0 00 δηλαδή το ελάχιστο πλήθος είαι το 00

40 40 ) S = t x 8 = Σχόλιο 6, πρώτος τύπος 48 4 = Σ έα τεστ µαθηµατικώ, κ µαθητές απάτησα σε χρόο t [8, ) και λ µαθητές σε χρόο t [, 6) λεπτά. ) Να βρείτε τη µέση τιµή του χρόου απάτησης ) Α S είαι η τυπική απόκλιση δείξτε ότι S Προτειόµεη λύση ) 0κ+ 4λ x = κ+λ ) S S 4 0κ+ 4λ 0κ+ 4λ κ 0 +λ 4 κ+λ κ+λ κ+λ 4 4λ 4κ κ +λ κ+λ κ+λ κ+λ ( κ+λ)( κ+λ) κλ + λκ 4 4κλ ( κ+λ) (κ λ) 0 που ισχύει.

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 7-05-00 ΘΕΜΑ Α Α. ος τρόπος Οι παρατηρήσεις t, t,..., t έχου μέση τιμή. Οι έες παρατηρήσεις είαι της μορφής: yi = ti, όπου i =,,...,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης. Ποιους ορισμούς πρέπει α ξέρω; Τι οομάζουμε αι πώς συμβολίζεται: η επιρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ; Οομάζεται η τιμή της μεταβλητής, που παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, ) Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ Κεφάλαιο 3ο: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α + ( - ) ω. Σ Λ (α + α ). * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα 4 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Μέτρα θέσης. Εισαγωγή. Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα