4. Χρονική και συχνοτική ανάλυση της λειτουργίας κυκλωμάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Χρονική και συχνοτική ανάλυση της λειτουργίας κυκλωμάτων"

Transcript

1 4. Χρονική και συχνοτική ανάλυση της λειτουργίας κυκλωμάτων 4. Εισαγωγή Στο προηγούμενο Κεφάλαιο παρουσιάστηκαν οι βασικές τεχνικές ανάλυσης και επίλυσης κυκλωμάτων με την εφαρμογή των κανόνων του Kirchhoff και των σχέσεων ορισμού των διαφόρων στοιχείων, καθώς και εκείνων των αρχών και θεωρημάτων που διέπουν τη λειτουργία των κυκλωμάτων και επιτρέπουν την ισοδύναμη αντικατάστασή τους. Εντούτοις και παρά το γενικό τους χαρακτήρα η εφαρμογή των τεχνικών αυτών περιορίστηκε στη λεγόμενη μόνιμη κατάσταση της λειτουργίας ωμικών κυκλωμάτων, στα οποία η μορφή των σημάτων απόκρισης εξαρτάται μόνον από τη μορφή των σημάτων διέγερσης και όχι το ρυθμό μεταβολής τους, αποσκοπώντας, με τον τρόπο αυτό, στην κατανόηση της ακολουθούμενης μεθοδολογίας. Στο Κεφάλαιο αυτό, μελετώνται κυκλώματα, τα οποία εκτός από ωμικά στοιχεία, δηλ. στοιχεία κατανάλωσης ενέργειας, περιέχουν και στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας, όπως πυκνωτές και πηνία. Τα στοιχεία αυτά χαρακτηρίζονται από την εξάρτηση του μέτρου της φυσικής παραμέτρου τους από το ρυθμό των μεταβολών τάσεων και ρευμάτων σ αυτά. Έτσι, η λειτουργία κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία εξαρτάται τόσο από το συγκεκριμένο κάθε φορά σήμα διέγερσης, όσο και από τις αρχικές συνθήκες και τη χρονική εξέλιξη της λειτουργίας των στοιχείων αυτών. Στο πλαίσιο αυτό, αρχικώς εξετάζεται η συμπεριφορά μεμονωμένων πυκνωτών και πηνίων κατά την διέγερσή τους με χαρακτηριστικά σήματα και εισάγονται οι έννοιες της μεταβατικής και μόνιμης απόκρισής τους. Ακολούθως, γίνεται ανάλυση της λειτουργίας στο πεδίο του χρόνου ενός απλού κυκλώματος αντίστασης-πυκνωτή αναδεικνύοντας ετσι και την εξάρτησή της από τη συχνότητα των εφαρμοζόμενων σημάτων. Στη συνέχεια, η λειτουργία του ίδιου κυκλώματος μελετάται στο μιγαδικό επίπεδο ειδικότερα καταλήγοντας στην εισαγωγή της συνάρτησης μεταφοράς ως εργαλείου ανάλυσης της μόνιμης λειτουργίας των κυκλωμάτων στο πεδίο της συχνότητας. Στο πλαίσιο αυτό περιγράφονται τα συχνοτικά διαγράμματα Bode και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις για το πλάτος και τη φάση της μόνιμης απόκρισής τους. Τέλος, εξετάζονται οι συναρτήσεις μεταφοράς σύνθετων κυκλωμάτων ανοικτού και κλειστού βρόχου, καθώς και η λειτουργία των βασικών μορφών κυκλωμάτων συντονισμού. 4. Διέγερση και απόκριση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Η ανάλυση της λειτουργίας και ο προσδιορισμός των επιδόσεων και χαρακτηριστικών κάθε κυκλώματος αποτελεί μέρος της διαδικασίας διερεύνησης της μορφής και των αποτελεσμάτων της επεξεργασίας που υφίστανται τα διάφορα σήματα που εφαρμόζονται στην είσοδό του. Πράγματι, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο, τα σήματα είναι φορείς πληροφορίας για τα χαρακτηριστικά, την κατάσταση και τη χρονική εξέλιξη των συστημάτων από όπου προέρχονται, η πληροφορία δε αυτή εμπεριέχεται στη μαθηματική σχέση μεταξύ των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών του αντίστοιχου σήματος. Επομένως, η ποιοτική και ποσοτική αξιολόγηση της πληροφορίας του σήματος εξόδου ενός κυκλώματος ερμηνεύει την επεξεργασία της πληροφορίας του αντίστοιχου σήματος εισόδου, δηλ. την ίδια τη λειτουργία του κυκλώματος. Τελικά, η αξιολόγηση αυτή θα είναι πλήρης μόνον εφόσον αναφέρεται σε όλη τη χρονική εξέλιξη της απόκρισης του κυκλώματος, δηλ. πριν, κατά και μετά τη διέγερσή του, και, βεβαίως, μόνον εφόσον είναι δυνατή η ακριβής μαθηματική σύγκριση των σημάτων εισόδου και εξόδου του. Στα παραδείγματα του προηγούμενου κεφαλαίου, η χρήση ωμικών κυκλωμάτων επέτρεψε την παρουσίαση των διαφόρων νόμων και τεχνικών ανάλυσής τους χωρίς προβλήματα μαθηματικής συμβατότητας ή ακρίβειας σε ότι αφορούσε την παράσταση των διαφόρων σημάτων και των πράξεων με αυτά. Όταν όμως υπάρχουν στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια, όπως π.χ. πυκνωτές, πηνία, κ.λπ., τότε η μαθηματική περιγραφή της λειτουργίας των αντίστοιχων κυκλωμάτων εξαρτάται τόσο από την γενική ηλεκτρική συμπεριφορά των στοιχείων αυτών και τις σχέσεις ορισμού των φυσικών παραμέτρων τους, όσο και από τις αρχικές συνθήκες, καθώς και τον τρόπο μεταβολής των τάσεων ή των ρευμάτων σ αυτά. Στις παραγράφους που ακολουθούν, χρησιμοποιείται η κλασική μέθοδος περιγραφής των πράξεων μεταξύ συνεχών και μεταβαλλόμενων σημάτων, η οποία σε συνδυασμό με τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα των σχέσεων ορισμού των μη ωμικών στοιχείων ενός κυκλώματος οδηγεί τελικά στην χρήση διαφορικών εξισώσεων. Όπως θα δούμε, η τάξη και το είδος των εξισώσεων αυτών εξαρτάται από τον αριθμό και το είδος των μη ωμικών στοιχείων, ενώ η λύση τους εξαρτάται από τις συγκεκριμένες κάθε φορά συνθήκες λειτουργίας του κυκλώματος και, βεβαίως, πάντοτε με την απαίτηση να ισχύουν οι δύο κανόνες του Kirchhoff.

2 4.. Διέγερση και απόκριση κυκλώματος με ένα στοιχείο R, C ή L Παρακάτω εξετάζεται η απόκριση τάσης και ρεύματος ωμικών αντιστάσεων, πυκνωτών και πηνίων όταν με κατάλληλη χρήση ενός διακόπτη Δ εφαρμόζεται σε καθένα απ αυτά και σε μια ορισμένη χρονική στιγμή ένα δεδομένο σήμα τάσης ή ρεύματος Κύκλωμα με ιδανική ωμική αντίσταση R Στο κύκλωμα του σχήματος 4.(α), ο διακόπτης Δ μετακινείται τη στιγμή t=0 από τη θέση στη θέση, έτσι ώστε η τάση υ R (t) στα άκρα της αντίστασης R να γίνει ίση με την τάση υ(t) της πηγής. Στην περίπτωση αυτή, το ρεύμα i R (t) που θα διαρρέει την αντίσταση R, δίνεται από τη σχέση: υr (t) ir (t) = (4.) R που δείχνει ότι η τιμή του i R (t) σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t=t >0 είναι ανεξάρτητη από την τιμή οποιουδήποτε ρεύματος i (t) μπορεί να διέρρεε την ίδια αντίσταση R πριν το κλείσιμο του διακόπτη Δ, δηλ. για t<0, κι αυτό διότι στις ωμικές αντιστάσεις δεν υπάρχει αποθήκευση ενέργειας και, συνεπώς, δεν παρατηρούνται φαινόμενα "μνήμης". Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.(β), αν μια αντίσταση R έχει σταθερή τιμή και ανεξάρτητη του χρόνου, η κυματομορφή του ρεύματος i R (t) που τη διαρρέει θα είναι ίδια με την κυματομορφή της τάσης υ R (t) στα άκρα της και μάλιστα χωρίς χρονική μετατόπιση ή, αλλιώς, στις ωμικές αντιστάσεις οι κυματομορφές των σημάτων διέγερσης και απόκρισης είναι ίδιες και χωρίς χρονική διαφορά μεταξύ τους. υ R (t) t<0 t>0 i(t) 0 t Δ (t=0) υ(t) i (t) R i R (t) (α) 0 t t (β) Σχήμα 4.. (α) Σύνδεση της πηγής τάσης υ(t) στην αντίσταση R μέσω του διακόπτη Δ τη στιγμή t=0 και (β) απεικόνιση των κυματομορφών τάσης και ρεύματος στην αντίσταση R Κύκλωμα με ιδανικό πυκνωτή C Έστω τώρα ότι στη θέση της αντίστασης στο κύκλωμα του σχήματος 4.(α) υπάρχει ένας ιδανικός πυκνωτής με χωρητικότητα C. Εφόσον αυτός δεν εμφανίζει παρασιτική ωμική ή επαγωγική συμπεριφορά, τότε, όπως φαίνεται στο σχήμα 4., η μετακίνηση του διακόπτη Δ από τη θέση στη θέση τη χρονική στιγμή t=0, θα έχει ως αποτέλεσμα η τάση υ C (t) στα άκρα του να γίνει ίση με την τάση της πηγής υ(t). Έτσι, για t>0, η τιμή του ρεύματος i C (t) θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: dυc (t) ic (t) = C (4.) dt απ όπου φαίνεται αμέσως ότι εξαρτάται από τις συνθήκες που επικρατούσαν στον πυκνωτή ακριβώς πριν τη μετακίνηση του διακόπτη τη στιγμή t=0, δηλ. από τις τιμές υ C (0 ) της τάσης και i (0 ) του όποιου ρεύματος σ αυτόν τη στιγμή t=0. Βεβαίως, για όσο χρόνο ο διακόπτης παραμένει στη θέση το ρεύμα i (t) στο συγκεκριμένο κύκλωμα θα είναι μηδενικό, δηλ. για t<0 i (t)=0.

3 Εξετάζοντας τώρα λεπτομερέστερα τις σχέσεις (4.3) και (4.4), αλλά και ολόκληρη τη διαδικασία που οδηγεί στη διατύπωσή τους, μπορούν να σημειωθούν τα εξής: Πρώτον, στην περίπτωση φόρτισης και εκφόρτισης του πυκνωτή C του σχήματος 4.3, είναι φανερό ότι τα ρεύματα φόρτισης i 0 και εκφόρτισης i τ κατά τις αντίστοιχες στιγμές αλλαγής θέσης του διακόπτη Δ θα έχουν τη μορφή ισοδύναμων αλλά αντίθετης φοράς κρουστικών παλμών. Δεύτερον, κάθε ένας από αυτούς τους παλμούς ρεύματος αποτελεί την απόκριση του πυκνωτή άρα και του κυκλώματος - στη διέγερση που δέχεται με την αλλαγή της τάσης στα άκρα του κατά την αντίi(t>0) Δ(t=0) υ(t) i (t<0) C Σχήμα 4.. Σύνδεση της πηγής τάσης υ(t) στον πυκνωτή C μέσω του διακόπτη Δ τη στιγμή t=0. Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι πριν από τη μετακίνηση του διακόπτη ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος δηλ. ότι η τάση στα άκρα του είναι μηδέν και ότι η μετακίνηση αυτή γίνεται "ακαριαία", τότε κατά τη στιγμή αυτή, δηλ. από t=0 μέχρι t=0 +, θα υπάρξει ένα άπειρης έντασης και μηδενικής διάρκειας (θετικό) ρεύμα i 0, αποτέλεσμα του οποίου είναι η φόρτιση του πυκνωτή έτσι ώστε η τάση στα άκρα του από 0 να γίνει ίση με την τάση της πηγής. Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3(α), αν η τιμή της πηγής τάσης είναι σταθερή και ίση προς, θα ισχύουν οι σχέσεις: για t<0 : i C (t)=0 και υ C (t)=0 0 + για 0 t 0 + : = i dt = C [ υ (0 ) υ (0 )] = C [ 0] q 0 C C C = C (4.3) 0 + για t>0 + : i C (t)=0 και υ C (t)= όπου Δq 0 είναι η μεταβολή του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή λόγω της φόρτισής του στην τάση. Με τον ίδιο τρόπο, αν τη χρονική στιγμή t=τ ο διακόπτης επανέλθει στη θέση, τότε η τάση στα ά- κρα του πυκνωτή θα γίνει και πάλι μηδέν, δηλ. θα εκφορτιστεί, και οι αντίστοιχες σχέσεις θα είναι: για t<τ : i C (t)=0 και υ C (t)= τ + για τ t τ + : q = i dτ = C [ υ (τ ) υ ( τ )] = C [ 0 ] τ τ C C + C = C (4.4) για t>τ + : i C (t)=0 και υ C (t)=0 όπου, εδώ, με Δq τ παριστάνεται η μεταβολή του φορτίου του πυκνωτή κατά την εκφόρτισή του τη στιγμή t=τ. Η μεταβολή αυτή, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3(β), προκαλείται από ένα ρεύμα εκφόρτισης, i τ, η τιμή του οποίου εξαρτάται προφανώς από το ρεύμα i (t<τ ) που διέρρεε το κύκλωμα πριν την επαναφορά του διακόπτη στη θέση. i (t<τ) i 0 i τ Δ(t=0) Δ(t=τ) i (t<0) υ C (0 + )= υ C (τ + )=0 C C (α) (β) Σχήμα 4.3. (α) Μετακίνηση του διακόπτη Δ ( ) τη στιγμή t=0 και φόρτιση του πυκνωτή C στην τάση υ(t)= της πηγής τάσης και (β) εκφόρτισή του με την επαναφορά του διακόπτη στην αρχική του θέση ( ) τη στιγμή t=τ. 3

4 στοιχη μετακίνηση του διακόπτη, το πλάτος τους δε εξαρτάται και από τις αρχικές συνθήκες τάσης και ρεύματος στον πυκνωτή. Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.4, οι κυματομορφές της τάσης στα άκρα του πυκνωτή και του ρεύματος κατά τη φόρτιση (t=0) και εκφόρτισή του (t=τ), δηλ. οι κρουστικοί παλμοί i 0 και i τ που συμβολίζονται αντίστοιχα ως (C) και ( C), δείχνουν ότι η απόκριση του πυκνωτή αποτελείται από δύο τμήματα: το πρώτο, ονομάζεται μεταβατική απόκριση και σχετίζεται με την αλλαγή της κατάστασης στα άκρα του πυκνωτή και τη διάρκειά της, δηλ. το διάστημα φόρτισης ή εκφόρτισής του, ενώ το δεύτερο, ονομάζεται μόνιμη απόκριση και αναφέρεται στην κατάσταση τάσης ή ρεύματος του πυκνωτή όταν η όποια αλλαγή της έχει πλέον ολοκληρωθεί. υ C (t) t<0 0 + t<τ τ τ + 0 t i C (t) (C) μεταβατική απόκριση 0 τ t ( C) μόνιμη απόκριση Σχήμα 4.4. Κυματομορφές τάσης και ρεύματος κατά τη φόρτιση και εκφόρτιση του πυκνωτή C στο σχήμα 4.3. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι αν και κατά τη φόρτιση του πυκνωτή C η παρεχόμενη από την πηγή τάσης ενέργεια, W παρ, είναι ίση προς : W παρ = Δq 0 = C (4.5) εντούτοις, είναι γνωστό ότι η ενέργεια που βρίσκεται αποθηκευμένη στον πυκνωτή μετά τη φόρτισή του είναι ίση προς, [σχέση (.6)] : W αποθ = C (4.6) Υπάρχει, δηλαδή, μια διαφορά ενέργειας ίση προς το μισό της ενέργειας που παρέχεται από την πηγή για τη φόρτιση, καθώς η ενέργεια W αποδ, που αποδίδεται πλέον κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή, θα είναι ίση προς την αποθηκευμένη W αποθ. Η διαφορά αυτή θα εξηγηθεί σε επόμενη παράγραφο. Τέλος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία, αναφερόμενοι στο κύκλωμα του σχήματος 4., ο πυκνωτής C είναι αρχικά αφόρτιστος και η τάση της πηγής έχει ημιτονική μορφή, δηλ. υ(t)=sin(ωt+θ). Πράγματι, αν θεωρήσουμε ότι ο πυκνωτής συνδέεται στην πηγή αυτή μέσω του διακόπτη Δ κατά τη χρονική στιγμή t=t 0, τότε, παραβλέποντας τη μεταβατική κατάσταση και μετά την πάροδο ενός ικανού χρονικού διαστήματος (t -t 0 ), το ρεύμα στο κύκλωμα και συνεπώς στον πυκνωτή θα είναι, σύμφωνα με τη σχέση (4.): dυc(t) ic(t) = C = C cos( ωt + θ) (4.7) dt Σημειώνεται ότι σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην παράγραφο.3.6. οι τιμές (C) και ( C) για τις μεταβολές φορτίου Δq 0 και Δq τ, όπως προκύπτουν από τις σχέσεις (4.3) και (4.4), αποτελούν τιμές "εμβαδού" των αντίστοιχων κρουστικών παλμών ρεύματος i 0 και i τ. 4

5 Η σχέση (4.7) είναι η έκφραση της μόνιμης απόκρισης ρεύματος του πυκνωτή στη διέγερσή του από το ημιτονικό σήμα τάσης υ C (t)=υ(t) και δείχνει ότι η κυματομορφή του ρεύματος παραμένει ημιτονική, δηλ. ίδια με αυτήν της τάσης, ενώ εμφανίζεται μια χρονική διαφορά που καταγράφεται ως διαφορά φάσης ίση προς π/ (90 ) με την οποία το σήμα ρεύματος προηγείται του αντίστοιχου σήματος τάσης. Αυτό φαίνεται καθαρά στο σχήμα 4.5, όπου μετά την αλλαγή της κατάστασης στον πυκνωτή τη στιγμή t=t 0, η μόνιμη απόκριση ως προς το ρεύμα που τον διαρρέει [σχέση (4.7)] είναι ένα συνημιτονικό σήμα με πλάτος C, δηλ. προηγείται του αντίστοιχου σήματος τάσης κατά 90, ενώ σε ότι αφορά τη μεταβατική απόκρισή του, δηλ. το διάστημα από t 0 έως π.χ. t, η κυματομορφή του ρεύματος εμφανίζεται παραμορφωμένη, γεγονός που οφείλεται στις αρχικές συνθήκες καθώς αυτή θα αποτελεί την "περιβάλλουσα" μια σειράς κρουστικών παλμών ρεύματος i τ με "πλάτος" ίσο προς [C υ(τ)] όπου τ [t 0, t ]. υ C (t) t 0 t i C (t) C C t t Σχήμα 4.5. Κυματομορφές τάσης και ρεύματος κατά την ημιτονική διέγερση ενός πυκνωτή C Κύκλωμα με ιδανικό πηνίο L Στο κύκλωμα του σχήματος 4.6, ο διακόπτης Δ μετακινείται "ακαριαία" τη στιγμή t=0 από τη θέση στη θέση, οπότε το ιδανικό πηνίο με αυτεπαγωγή L θα διαρρέεται πλέον από ένα ρεύμα i L (t) ίσο προς το ρεύμα της πηγής i(t), ενώ στα άκρα του θα αναπτυχθεί τάση υ L (t), με τιμή που για t>0 θα δίνεται από τη σχέση: dil(t) υl (t) = L (4.8) dt Όπως είναι φανερό, η τιμή αυτής της τάσης εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες στο πηνίο, δηλ. από τις τιμές τάσης και έντασης στο πηνίο τη στιγμή t=0. Έτσι, αν υποθέσουμε όπως και στην περίπτωση του πυκνωτή - ότι πριν από τη μετακίνηση του διακόπτη το ρεύμα i (t) που διέρρεε το πηνίο ήταν μηδέν, τότε κατά τη στιγμή της αλλαγής θέσης του διακόπτη, δηλ. από t=0 μέχρι t=0 +, θα υπάρξει ένας κρουστικός παλμός τάσης υ 0, αποτέλεσμα του οποίου θα είναι η εμφάνιση του νέου ρεύματος i L (t). i L (t>0) Δ(t=0) i(t) i (t<0) L Σχήμα 4.6. Σύνδεση της πηγής ρεύματος i(t) στο πηνίο L μέσω του διακόπτη Δ τη στιγμή t=0. Επομένως, στην περίπτωση που η πηγή ρεύματος δίνει σταθερό ρεύμα i(t)=i, θα ισχύουν οι σχέσεις: Εδώ ενδιαφέρει μόνο η επισήμανση του φαινομένου και όχι η μαθηματική περιγραφή του. 5

6 για t<0 : i L (t)=0 και υ L (t)= για 0 t 0 + : dt L [ i (0 ) i (0 )] = L [ I 0] υ 0 = L I (4.9) = L + L για t>0 + : i L (t)=i και υ L (t)=0 Αντιστοίχως, τη χρονική στιγμή t=τ κατά την οποία ο διακόπτης επανέρχεται στη θέση, το ρεύμα στο πηνίο θα μηδενίζεται και, ταυτόχρονα, εμφανίζεται ένας ίδιος κρουστικός παλμός τάσης υ τ με αντίθετη φορά, σύμφωνα με τις σχέσεις: για t<τ : i L (t)=i και υ L (t)=0 τ + τ για τ t τ + : υ dτ L [ i ( τ ) i ( τ )] = L [ 0 I] τ = L L = L I (4.0) + για t>τ + : i L (t)=0 και υ L (t)=0 Στο σχήμα 4.7 δίνονται οι κυματομορφές τάσης και ρεύματος στο πηνίο κατά τη διπλή μετακίνηση του διακόπτη τις στιγμές t=0 και t=τ, οι οποίες αναδεικνύουν τον δυϊσμό τάσης ρεύματος που ισχύει μεταξύ πυκνωτών και πηνίων, ενώ είναι ευνόητο ότι εμφανίζεται και πάλι η διαφορά μεταξύ της παρεχόμενης από την πηγή ρεύματος ενέργειας, που είναι W παρ =L Ι, και της αποθηκευόμενης στο πηνίο ενέργειας [σχέση (.3)] που είναι W αποθ =(/) L Ι. i L (t) t<0 I 0 + t<τ τ τ + 0 t υ L (t) μεταβατική απόκριση (LI) μόνιμη απόκριση 0 τ t Σχήμα 4.7. Κυματομορφές τάσης και ρεύματος στο πηνίο L του σχήματος 4.6 τις στιγμές t=0 και t=τ όταν i(t)=i. Με παρόμοια διαδικασία όπως και για τον ιδανικό πυκνωτή C, προκύπτει ότι όταν η πηγή παρέχει η- μιτονικό ρεύμα i(t)=isin(ωt+θ), η μόνιμη απόκριση τάσης στο πηνίο L θα έχει την μορφή υ L (t)=l Icos(ωt+θ), δηλ. όπως φαίνεται στο σχήμα 4.8, θα είναι ημιτονική και θα προηγείται του ρεύματος κατά 90, ενώ αντίστοιχη θα είναι και η παραμόρφωση που παρατηρείται στο διάστημα (t 0, t ) της μεταβατικής απόκρισης. i L (t) I ( LI) t 0 t LI υ L (t) t LI Σχήμα 4.8. Κυματομορφές τάσης και ρεύματος κατά την ημιτονική διέγερση ρεύματος ενός ιδανικού πηνίου L. 6 t

7 Συμπληρώνοντας τη μελέτη της συμπεριφοράς ενός ιδανικού πηνίου, ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία στο κύκλωμα του σχήματος 4.6 η διέγερση προέρχεται από μια πηγή τάσης υ(t) και όχι από την πηγή ρεύματος i(t). Πράγματι, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.9, το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο L μετά τη μετακίνηση του διακόπτη Δ τη στιγμή t=0, δηλ. για t>0, βρίσκεται από τη σχέση (4.8) και είναι: i L (t) = υ(t)dt + k L (4.) όπου η σταθερά k έχει διαστάσεις ρεύματος και ο προσδιορισμός της ολοκληρώνει την εύρεση της απόκρισης του πηνίου άρα και του κυκλώματος καθώς εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες σ αυτό. i L (t>0) Δ(t=0) υ(t) i (t<0) L Σχήμα 4.9. Σύνδεση της πηγής τάσης υ(t) στο πηνίο L μέσω του διακόπτη Δ τη στιγμή t=0. Έτσι, αν η πηγή παρέχει σταθερή τάση υ(t)= και θεωρήσουμε ότι i L (0)=0 και υ L (0)=0, η τιμή του ρεύματος, που προκύπτει από τη σχέση (4.) για t>0, θα είναι: i L (t) = t (4.) L στην οποία θεωρειται ότι k=0 λόγω των συγκεκριμένων αρχικών συνθηκών, ενώ αν υποτεθεί ότι i L (0)=Ι 0, τότε k=i 0 και η σχέση (4.) παίρνει τη μορφή: il(t) = I0 + t (4.3) L Επομένως, με την αρχική υπόθεση ότι το πηνίο είναι ιδανικό (δηλ. με μηδενική ωμική ή χωρητική συμπεριφορά), η τάση στα άκρα του θα εμφανίζεται ίση προς την σταθερή τιμή της τάσης της πηγής υπό τον όρο ότι το ρεύμα i L (t) θα αυξάνει συνεχώς με το χρόνο, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.0. υ L (t) t<0 t>0 i L (t) 0 t I 0 0 t Σχήμα 4.0. Μεταβολή του ρεύματος σε ιδανικό πηνίο L, στα άκρα του οποίου τη στιγμή t=0 εφαρμόζεται σταθερή τιμή τάσης υ L (t)=, για i L (0)=0 και i L (0)=Ι 0. Αν τώρα υποτεθεί ότι η τάση της πηγής είναι ημιτονική, δηλ. υ(t)=sin(ωt+θ), και ακόμα ότι i L (0)=0 και υ L (0)=0, η τιμή του ρεύματος, που προκύπτει από τη σχέση (4.) για t>0, θα είναι: i L (t) = cos( ωt + θ) + k (4.4) ωl όπου, επειδή i L (0)=0, η σταθερά k θα είναι ίση προς: Η περίπτωση αυτή αποτελεί το ακριβές ανάλογο της τάσης στα άκρα ιδανικού πυκνωτή ο οποίος φορτίζεται από πηγή ρεύματος σταθερής τιμής. 7

8 k = cosθ (4.5) ωl Αντιστοίχως, αν i L (0)=Ι 0, η σταθερά k θα είναι ίση προς: k = I0 + cosθ ωl ενώ, αν η μετακίνηση του διακόπτη γίνει τη στιγμή t=t 0 και i(t 0 )=I 0, παίρνει τη μορφή: k t 0 = I0 + cos( ωt0 + θ) (4.6) ωl σχέση που δείχνει ότι η σταθερά k εκφράζει το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο L τη στιγμή της μετακίνησης του διακόπτη και, μάλιστα, αν η τάση της πηγής εξαρτάται από τη στιγμή αυτή, τότε και η τιμή της k θα εξαρτάται από την τάση αυτή Παρατηρήσεις Αξιολογώντας τα όσα αναφέρθηκαν μέχρις εδώ, προκύπτει αμέσως ότι η διέγερση ενός κυκλώματος ισοδυναμεί με αλλαγή της κατάστασης κάθε στοιχείου του. Προφανώς, κάθε τέτοια αλλαγή οδηγεί στη διαμόρφωση νέων συνθηκών στο κύκλωμα και τα στοιχεία του για την αποκατάσταση των οποίων, επειδή, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο, δεν μπορούν να υπάρξουν ακαριαίες μεταβολές της τάσης ή του ρεύματος στα μη ωμικά στοιχεία του, απαιτείται η παρέλευση ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος που λέγεται χρόνος αποκατάστασης t s (βλέπε και.3.). Πράγματι, σε αντίθεση με τις αντιστάσεις στις οποίες κάθε αλλαγή της τάσης ή του ρεύματος συνοδεύεται ταυτόχρονα από αντίστοιχη αλλαγή του ρεύματος ή της τάσης [σχέση (4.)], στους μεν πυκνωτές δεν μπορεί να υπάρξει ακαριαία μεταβολή της τάσης στα άκρα τους, στα δε πηνία δεν μπορεί να υπάρξει ακαριαία μεταβολή στο ρεύμα που τα διαρρέει. Επομένως, ο χρόνος αποκατάστασης ενός κυκλώματος σε μια διέγερσή του εξαρτάται τόσο από το είδος των στοιχείων του, όσο και από τις αρχικές συνθήκες τάσης ή ρεύματος σ αυτά πριν την διέγερση, οπότε και ο προσδιορισμός τάσεων ή ρευμάτων στο διάστημα αυτό οδηγεί στην εύρεση της μεταβατικής απόκρισης του κυκλώματος στη συγκεκριμένη διέγερση. Με την παρέλευση του μεταβατικού αυτού χρονικού διαστήματος, το κύκλωμα βρίσκεται πλέον σε μια νέα κατάσταση "ισορροπίας", που χαρακτηρίζεται ως μόνιμη (μέχρι την επόμενη αλλαγή της) και εξαρτάται από τις τελικές συνθήκες, που διαμορφώθηκαν στα στοιχεία του. Στην κατάσταση αυτή, οι τάσεις ή τα ρεύματα, που προσδιορίζονται, αποτελούν τη μόνιμη απόκριση του συγκεκριμένου κυκλώματος. Συνεπώς και ανάλογα με τις θεωρούμενες συνθήκες, οι σχέσεις (4.) και (4.8) ορίζουν αντιστοίχως την αλληλεξάρτηση τάσης-ρεύματος στους πυκνωτές και τα πηνία τόσο κατά τη μεταβατική, όσο και κατά τη μόνιμη κατάστασή τους. Εξετάζοντας, τώρα, την περίπτωση του σχήματος 4.3(α) όπου ο αφόρτιστος πυκνωτής C συνδέεται μέσω του διακόπτη Δ στα άκρα της πηγής τάσης υ(t)=, οι σχέσεις (4.3) περιγράφουν προφανώς μια "ανώμαλη" κατάσταση. Πράγματι, ο κανόνας των τάσεων του Kirchhoff απαιτεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή C τη στιγμή t=0 να γίνει ίση με την τάση της πηγής, παρότι αυτός είναι ακόμα αφόρτιστος και η τάση στα άκρα του είναι μηδέν, δηλ. αποτελεί βραχυκύκλωμα. Το αντίστοιχο ισχύει και για το ρεύμα i L (0) στο πηνίο L του σχήματος 4.6, το οποίο τη στιγμή t=0 της σύνδεσής του στην πηγή ρεύματος i(t)=i, συμπεριφέρεται ως ανοικτό κύκλωμα, δηλ. i L (0)=0. Με την ίδια λογική, τη στιγμή t=τ, ο μεν φορτισμένος πυκνωτής του σχήματος 4.3(β) θα συμπεριφέρεται ως πηγή τάσης, το δε πηνίο του σχήματος 4.6, ως πηγή ρεύματος Ι. Άρα, η διατύπωση σύμφωνα με τους κανόνες του Kirchhoff των σχέσεων (4.3), (4.4) για τον πυκνωτή και (4.9), (4.0) για το πηνίο δείχνει ότι, κατ εξαίρεση και θεωρητικώς, είναι δυνατή η ακαριαία μεταβολή της τάσης στους πυκνωτές και, αντιστοίχως, του ρεύματος στα πηνία, αρκεί γι αυτό να υπάρξει ένας κατάλληλης πολικότητας κρουστικός παλμός ρεύματος ή τάσης. Όπως είδαμε, το αποτέλεσμα τέτοιων παλμών είναι η μεταβολή κατά Δq του φορτίου του πυκνωτή και η μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά Δφ στο πηνίο. Βεβαίως, στην πράξη η παρουσία στα αντίστοιχα κυκλώματα είτε της έστω και μικρής ωμικής αντίστασης των αγωγών και της παρασιτικής ωμικής συμπεριφοράς πυκνωτών και πηνίων, είτε μιας πραγματικής αντίστασης R, θα έχει ως αποτέλεσμα την εξομάλυνση της κατάστασης καθώς, όπως θα δούμε παρακάτω, το "μεταβατικό" ρεύμα ή η "μεταβατική" τάση θα έχουν πλέον πεπερασμένη τιμή που καθορίζεται από την τιμή της αντίστασης αυτής. Βλέπε σχέσεις (.8) και (.30) στην παράγραφο

9 Συνοψίζοντας λοιπόν τα παραπάνω, συμπεραίνεται ότι τόσο η μεταβατική, όσο και η μόνιμη απόκριση ενός κυκλώματος (ή των στοιχείων στα αντίστοιχα άκρα του) σε μια οποιαδήποτε διέγερσή του, αποτελούν μέρος της συνολικής απόκρισής του στο πεδίο του χρόνου, και μάλιστα: η μεν μεταβατική απόκρισή του θα εξαρτάται, κατ αρχήν, από τις αρχικές συνθήκες τάσης και ρεύματος σ αυτό αλλά και από τα ιδιαίτερα μεταβατικά χαρακτηριστικά του σήματος διέγερσης, η δε μόνιμη απόκριση εξαρτάται, αντίστοιχα, από τις τελικές συνθήκες στα στοιχεία του καθώς και τα μόνιμα χαρακτηριστικά του σήματος διέγερσης Ακριβώς για το λόγο αυτό, η μελέτη της μεταβατικής αλλά και της μόνιμης απόκρισης στοιχείων και κυκλωμάτων διευκολύνεται και πάλι με τη χρήση των ισοδύναμων μορφών των διαφόρων ηλεκτρικών στοιχείων για συγκεκριμένες αρχικές και τελικές συνθήκες, όπως φαίνονται στους Πίνακες 4. και 4.. Τέλος, σε ότι αφορά τη φυσική των φαινομένων πρέπει να σημειωθεί ότι, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην παράγραφο.3.3, το ρεύμα που διαρρέει ένα πυκνωτή και προσδιορίζεται από τη σχέση (4.), δεν μπορεί να είναι, ρεύμα αγωγιμότητας. Πράγματι, τα φορτία που συσσωρευονται στους οπλισμούς ενός πυκνωτή αντισταθμίζονται από επιφανειακά φορτία στο διηλεκτρικό μεταξύ των οπλισμών του, τα οποία είναι δέσμια φορτία. Επομένως, το ρεύμα που όντως διαρρέει εσωτερικά ένα πυκνωτή είτε κατά τη φόρτιση ή εκφόρτισή του, είτε όταν στα άκρα του εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση, είναι ουσιαστικά ρεύμα μετατόπισης 3,4. Έτσι, με την απουσία των συνθηκών δημιουργίας ρεύματος μετατόπισης εξηγείται το γιατί ένας πυκνωτής με ανοικτά τα άκρα του παραμένει φορτισμένος, καθώς και γιατί δεν μπορεί να υπάρξει ροή συνεχούς και σταθερής τιμής ρεύματος σ ένα πυκνωτή στα άκρα του οποίου η τάση διατηρείται σταθερή 5. Αντιστοίχως, η αλληλεξάρτηση μεταξύ μεταβαλλόμενων ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, που διασφαλίζεται με τη θεώρηση των ρευμάτων μετατόπισης, ερμηνεύει και το φαινόμενο της εμφάνισης διαφοράς δυναμικού μεταξύ των άκρων ενός πηνίου μόνον όταν αυτό διαρρέεται από ρεύμα μεταβαλλόμενης τιμής. 4.. Μελέτη απλού κυκλώματος αντίστασης πυκνωτή σε σειρά Όπως είδαμε στις προηγούμενες παραγράφους, ο προσδιορισμός της μεταβατικής απόκρισης πυκνωτών και πηνίων υπό την προϋπόθεση της ισχύος των δύο κανόνων του Kirchhoff έδειξε ότι με τη θεώρηση των αντίστοιχων κρουστικών παλμών ρεύματος και τάσης είναι δυνατή η ακαριαία μεταβολή είτε της τάσης στα άκρα ενός ιδανικού πυκνωτή, είτε του ρεύματος που διαρρέει ένα ιδανικό πηνίο. Διαπιστώθηκε, επίσης, η εξάρτηση της μεταβατικής απόκρισης πυκνωτών και πηνίων από τις αρχικές συνθήκες τάσης-ρεύματος σ αυτά, καθώς και ότι η μόνιμη απόκρισή τους στην περίπτωση ημιτονικών διεγέρσεων - ακριβώς λόγω της βασικής τους ιδιότητας να αποθηκεύουν ενέργεια και, βεβαίως, της ίδιας της διαδικασίας μεταφοράς και αποθήκευσής της έχει την ίδια μορφή, δηλ. ημιτονική, αλλά χρονικώς μετατοπισμένη. Ως εφαρμογή των παραπάνω, στην παράγραφο αυτή μελετάται η απόκριση ενός απλού κυκλώματος αντίστασης-πυκνωτή (RC) σε σειρά, όπως αυτό του σχήματος 4., στην είσοδο του οποίου εφαρμόζονται χαρακτηριστικά σήματα τάσης. Η απόκριση αυτή αναφέρεται, κατ αρχήν, στις κυματομορφές τάσης στα ά- κρα τόσο του πυκνωτή, όσο και της αντίστασης, όταν το σήμα τάσης υ S (t), που εφαρμόζεται σε μια συγκεκριμένη στιγμή, είναι είτε μια DC τάση, είτε μια AC τάση ημιτονικής μορφής. Σημειώνεται ότι, με παρόμοιο τρόπο μπορούν να προσδιοριστούν και οι αντίστοιχες κυματομορφές ρεύματος όταν εφαρμόζονται σήματα έντασης ρεύματος, καθώς επίσης και ότι, με βάση τα όσα αναφέρθηκαν Θεωρητικώς, η μελέτη της μόνιμης απόκρισης ενός κυκλώματος ή στοιχείου καθώς και των μόνιμων χαρακτηριστικών ενός σήματος μπορεί να γίνει μόνο μετά την πάροδο χρόνου t. Όπως και στις περιπτώσεις που είδαμε στο Κεφάλαιο 3 και, ειδικότερα, στον Πίνακα Η εισαγωγή της έννοιας του ρεύματος μετατόπισης αποτελεί συνέπεια της ενοποίησης των ηλεκτρικών και μαγνητικών φαινομένων και, ειδικότερα, της επέκτασης των νόμων των στατικών πεδίων και για περιπτώσεις χρονικώς μεταβαλλόμενων πεδίων, οπότε και επιτυγχάνεται η συσχέτιση φαινομένων που οφείλονται στην ύπαρξη και κίνηση ηλεκτρικών φορτίων χωρίς να παραβιάζεται η αρχή της συνέχειας και διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. 4 Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσει κανείς ότι το συνολικό ρεύμα μετατόπισης που εμφανίζεται μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή στα άκρα του οποίου εφαρμόζεται μια τάση της μορφής υ C (t)=sin(ωt+θ) και ο οποίος αποτελείται π.χ. από δύο παράλληλες επιφάνειες εμβαδού S σε απόσταση d η μια από την άλλη, υπολογίζεται από τη σχέση i μ (t)=ε 0 S( Ε/ t) όπου E=υ C /d είναι η ένταση του πεδίου εντός του πυκνωτή. Έτσι ισχύει ότι : i μ (t)=ω(ε 0 S/d)cos(ωt+θ) ή, αλλιώς: i μ (t)=ωccos(ωt+θ), σχέση που δείχνει ότι η τιμή του ρεύματος μετατόπισης ταυτίζεται με την τιμή του ρεύματος που προσδιορίζεται από τη σχέση (4.) και αποτελεί το ρεύμα αγωγιμότητας στο κύκλωμα του πυκνωτή. 5 Βλέπε Πίνακα 3.. περί DC και AC ισοδύναμης συμπεριφοράς πυκνωτών και πηνίων. 9

10 προηγουμένως και, κυρίως, με τον δυϊσμό τάσης/πυκνωτή και ρεύματος/πηνίου, με ανάλογο τρόπο μελετάται και η απόκριση ενός κυκλώματος αντίστασης-πηνίου (RL) σε σειρά, με αντίστοιχα αποτελέσματα. Τέλος, κυκλώματα αντίστασης σε παράλληλη σύνδεση με πυκνωτή ή πηνίο αποτελούν περιπτώσεις που επιλύονται με απλή χρήση των γνωστών πλέον σχέσεων και νόμων. υ S (t) (t=0) Δ i S (t) R C υ R (t) υ C (t) Σχήμα 4.. Απλό κύκλωμα αντίστασης πυκνωτή σε σειρά για τη μελέτη της μεταβατικής και μόνιμης απόκρισής του στα άκρα είτε της αντίστασης, είτε του πυκνωτή Προσδιορισμός σχέσεων μεταξύ των τάσεων και των ρευμάτων Για την εύρεση της τάσης στα άκρα είτε της αντίστασης R, είτε του πυκνωτή C στο κύκλωμα του σχήματος 4., είναι απαραίτητο να προσδιορισθούν οι γενικές εκφράσεις για τις τάσεις και τα ρεύματα στα στοιχεία του κυκλώματος σύμφωνα με τους νόμους του Kirchhoff. Πράγματι, θεωρώντας αρχικά τον πυκνωτή C αφόρτιστο, η τάση και το ρεύμα στον πυκνωτή και την αντίσταση θα είναι μηδέν για όσο χρόνο ο διακόπτης Δ βρίσκεται στη θέση, καθώς η πηγή τάσης υ S (t) θα είναι ουσιαστικά εκτός κυκλώματος, δηλ., υ R (t)+υ C (t)=0 (4.7) οπότε, εφόσον υ C (t)=0, θα είναι και υ R (t)=0. Όταν ο διακόπτης βρεθεί στη θέση, η πηγή τάσης υ S (t) συνδέεται στο κύκλωμα οπότε η συνολική τάση στα άκρα των συνδεδεμένων σε σειρά στοιχείων, δηλ. της αντίστασης και του πυκνωτή, θα είναι ίση προς την τάση της πηγής, ενώ τα στοιχεία αυτά θα διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα i S (t). Επομένως, στην περίπτωση αυτή, θα ισχύουν οι σχέσεις: υr (t) + υc(t) = υs(t) (4.8) και ir (t) = ic(t) = is(t) (4.9) οπότε, με εφαρμογή του κανόνα των τάσεων του Kirchhoff και χρησιμοποιώντας τις γενικές σχέσεις (4.) και (4.), προκύπτει εύκολα ότι οι τάσεις υ R (t) και υ C (t) στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή, αντίστοιχα, θα δίνονται από τις εξισώσεις: dυr (t) dυs(t) RC + υr(t) = RC (4.0) dt dt dυc (t) και RC + υc(t) = υs(t) (4.) dt η διαφορική μορφή των οποίων είναι το προφανές αποτέλεσμα της παρουσίας του πυκνωτή C στο κύκλωμα. Συνεπώς, με δεδομένη τη μορφή των γενικών σχέσεων τάσης-ρεύματος στους πυκνωτές και τα πηνία, και λαμβάνοντας υπόψη την ισοδύναμη μορφή τους κατά τη στατική (DC) λειτουργία τους (βλ. Πίνακα 4.), ο προσδιορισμός των τάσεων ή ρευμάτων κατά τη δυναμική (ΑC) λειτουργία κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία θα γίνεται με τη βοήθεια διαφορικών εξισώσεων, η τάξη και το είδος των οποίων εξαρτάται από τα συγκεκριμένα κάθε φορά χαρακτηριστικά τους. Για παράδειγμα, η λειτουργία γραμμικών κυκλωμάτων θα περιγράφεται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ αν σ ένα βρόχο κυκλώματος εκτός ωμικών αντιστάσεων υπάρχουν μόνο πυκνωτές ή μόνο πηνία, οι αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις θα είναι ης τάξης. Έτσι, οι εξισώσεις (4.0) και (4.), που περιγράφουν γενικώς τη λειτουργία του κυκλώματος του σχήματος 4., είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης, η γενική λύση των οποίων είναι, κατά τα Αναφερόμαστε ουσιαστικά στην πρώτη υποσημείωση της παραγράφου κατά την οποία η παρουσία ωμικής α- ντίστασης οδηγεί στην εξομάλυνση των μεταβατικών ρευμάτων και τάσεων σε πυκνωτές και πηνία, αντιστοίχως. 0

11 γνωστά, το άθροισμα δηλ. η υπέρθεση ή η επαλληλία μιας μερικής τους λύσης και της λύσης της αντίστοιχης ομογενούς διαφορικής για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, αυτές οι αρχικές συνθήκες αναφέρονται κατ αρχήν στην αρχική θέση του διακόπτη Δ (θέση ), δηλ. υ S (t)=0, και, στη συνέχεια, ανάλογα με τη χρονική στιγμή ως προς την οποία ζητείται να προσδιοριστεί η τάση στα άκρα της αντίστασης ή του πυκνωτή λαμβάνονται υπόψη και οι αρχικές συνθήκες των στοιχείων αυτών. Συνεπώς, για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (4.0) και (4.), η μορφή των αντίστοιχων ομογενών θα είναι: dυr (t) RC + υr (t) = 0 (4.) dt dυc (t) και RC + υc(t) = 0 (4.3) dt ενώ, λαμβάνοντας ανάλογα υπόψη τις σχέσεις (4.7) ή (4.8), είναι φανερό ότι αρκεί η επίλυση μιας εξ αυτών, καθώς βρίσκοντας για παράδειγμα την τάση υ R (t) για t>0, η τάση υ C (t) βρίσκεται αμέσως από την αντίστοιχη σχέση (4.8). Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης ενός κυκλώματος περιγράφει τη συνολική απόκριση του αντίστοιχου στοιχείου ή, αλλιώς, του κυκλώματος στα αντίστοιχα άκρα του, στην εφαρμοζόμενη διέγερση και μάλιστα κάθε όρος της αντιστοιχεί σε μια από τις δύο συνιστώσες αυτής της απόκρισης. Έτσι, η μερική λύση της συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης περιγράφει την αναγκαστική ή εξαναγκασμένη απόκριση του κυκλώματος λόγω της ύπαρξης εξωτερικής διέγερσης, ενώ η λύση της αντίστοιχης ομογενούς περιγράφει την ελεύθερη ή φυσική απόκριση του κυκλώματος ακριβώς λόγω της παρουσίας σ αυτό στοιχείων που αποθηκεύουν ενέργεια. Βεβαίως, όπως θα δούμε αναλυτικά στις αμέσως παρακάτω παραγράφους, αυτό ισχύει μόνο κατά το διάστημα του χρόνου αποκατάστασης, κατά το οποίο η συνολική απόκριση του κυκλώματος είναι ουσιαστικά η μεταβατική του απόκριση. Μετά το χρόνο αυτό και εφόσον η εφαρμοζόμενη διέγερση έχει σταθερά χαρακτηριστικά, (δηλ. σταθερό πλάτος, συχνότητα και φάση) η συνολική απόκριση του κυκλώματος θα ταυτίζεται πλέον με τη μόνιμη απόκρισή του δηλ. την εξαναγκασμένη απόκριση λόγω της συγκεκριμένης εξωτερικής διέγερσης. Τέλος, επιστρέφοντας στο κύκλωμα του σχήματος 4. και στις εξισώσεις (4.0) και (4.), θα πρέπει να παρατηρηθεί ότι γράφοντας τις εξισώσεις αυτές με τη μορφή: d υr(t) = RC [ υs(t) υr(t) ] (4.4) dt και υc(t) = [ υs(t) υc(t) ] dt RC (4.5) φαίνεται αμέσως ότι η μεν τάση υ R (t) στα άκρα της αντίστασης εκφράζεται ουσιαστικά συναρτήσει της χρονικής παραγώγου της τάσης εισόδου υ S (t), η δε τάση υ C (t) στα άκρα του πυκνωτή συναρτήσει του χρονικού ολοκληρώματος της υ S (t). Επί πλέον η αναδρομικότητα των σχέσεων αυτών ως προς τα ζητούμενα μεγέθη υποδηλώνει λειτουργία με χαρακτηριστικά μνήμης όπως προκύπτει και από την εξάρτηση των μεγεθών αυτών από τις αρχικές συνθήκες στα αντίστοιχα στοιχεία. Για το λόγο αυτό, ένα κύκλωμα RC σε σειρά, με έξοδο στα άκρα της αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.(α), χαρακτηρίζεται και ως κύκλωμα διαφόρισης, ενώ με έξοδο στα άκρα του πυκνωτή, όπως αυτό του σχήματος 4.(β), χαρακτηρίζεται και ως κύκλωμα ολοκλήρωσης, (βλ. και παράγραφο.8.4). C υ S (t) R υ R (t) υ S (t) C υ C (t) R (α) (β) Σχήμα 4.. (α) Κύκλωμα διαφόρισης και (β) κύκλωμα ολοκλήρωσης.

12 4... Διέγερση με σήμα DC τάσης Φόρτιση και εκφόρτιση πυκνωτή Στο σχήμα 4.3 φαίνεται το κύκλωμα του σχήματος 4., στο οποίο υπάρχει μια πηγή DC τάσης, ενώ ο διακόπτης Δ βρίσκεται στη θέση και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Μετακινώντας τη χρονική στιγμή t=0 το διακόπτη στη θέση, η πηγή τάσης συνδέεται στο κύκλωμα με αποτέλεσμα να υπάρχει ροή ρεύματος. Έτσι, ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται μέσω της αντίστασης R έως ότου η τάση στα άκρα του γίνει ίση προς την τάση της πηγής, οπότε και το ρεύμα στο κύκλωμα μηδενίζεται. υ S (t)= i S (t) (t=0) Δ R C υ R (t) υ C (t) Σχήμα 4.3. Εφαρμογή DC σήματος τάσης σε κύκλωμα RC τη στιγμή t=0. Πράγματι, όπως δείχνουν οι σχέσεις (4.7) και (4.8) με τη μορφή που παίρνουν πριν και μετά τη μετακίνηση του διακόπτη, θα είναι: για t<0 : υ C (t)=0, υ R (t)=0 και i S (t)=0 ενώ, για t 0 : υr (t) + υc(t) = και is (t) = ir (t) = ic(t) οπότε οι εξισώσεις (4.0) και (4.) που δίνουν τις τάσεις στην αντίσταση και τον πυκνωτή για t 0 γίνονται: dυr (t) RC + υr (t) = 0 (4.6) dt dυc (t) και RC + υc(t) = (4.7) dt ενώ, όπως αναφέρθηκε, αρκεί ο προσδιορισμός μιας εκ των δύο αυτών τάσεων για την εύρεση και της άλλης, καθώς για t 0 ισχύει η σχέση: υ R (t)+υ C (t)=. Έτσι, παίρνοντας την εξίσωση (4.6), αυτή ως ομογενής ης τάξης θα έχει μια λύση της μορφής: υ R (t)=a e λt (4.8) οπότε, αντικαθιστώντας στην (4.6), προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση RCλ+=0 από την οποία λ= /RC, και τελικά: υr (t) = A e (4.9) όπου προφανώς η σταθερά Α θα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του κυκλώματος κατά τη στιγμή t=0 +, ακριβώς μετά τη μετακίνηση του διακόπτη Δ στη θέση. Επομένως, εφόσον για t 0 ισχύει υ R (t)+υ C (t)= και ο πυκνωτής μέχρι τη στιγμή της μετακίνησης του διακόπτη θεωρείται αφόρτιστος, δηλ. υ C (0 + )=0, οπότε υ R (0 + )=. Ταυτόχρονα όμως, τη στιγμή t=0 + η σχέση (4.9) που είναι λύση της εξίσωσης (4.6) θα έχει τη μορφή υ R (0 + )=Α, οπότε Α=, δηλ.: υr (t) = e (4.30) Η σχέση (4.30) είναι η ζητούμενη λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.6) για t 0 και παρέχει την τάση στα άκρα της αντίστασης R λόγω του ρεύματος i R (t)=i C (t) που τη διαρρέει φορτίζοντας τον πυκνωτή C, δηλ.: t i RC R (t) = ic(t) = e (4.3) R ενώ, η αντίστοιχη τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι: υc(t) = υr (t) = e = ( e ) (4.3) Στο σχήμα 4.4 δίνονται οι κυματομορφές των τάσεων υ R (t) και υ C (t). Όπως φαίνεται, με τη μετακίνηση του διακόπτη στη θέση, ολόκληρη η τάση της πηγής αναπτύσσεται στα άκρα της αντίστασης λόγω της ροής ρεύματος για τη φόρτιση του πυκνωτή και στη συνέχεια, φορτιζόμενος ο πυκνωτής, η τιμή του ρεύ- t RC t RC t RC t RC

13 ματος αυτού (και, συνεπώς, και η τάση στα άκρα της αντίστασης) μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, τείνοντας ασυμπτωτικά προς το μηδέν. υ S (t) t<0 t=0 t υ R (t) t υ C (t) Τ=RC t Σχήμα 4.4. Κυματομορφές των τάσεων υ R (t) και υ C (t) στο κύκλωμα του σχήματος 4. πριν και μετά τη στιγμή t=0. Προφανώς, η συνάρτηση του σήματος διέγερσης του κυκλώματος στο σχήμα 4.3 είναι ουσιαστικά μια βηματική συνάρτηση τάσης με πλάτος [σχέσεις (.9) και (.0)]. Άρα, η συνάρτηση για την απόκριση τάσης στα άκρα της αντίστασης θα αποτελεί τη λεγόμενη βηματική απόκριση του κυκλώματος στα άκρα της αντίστασης, η οποία είναι μια πραγματική και φθίνουσα εκθετική συνάρτηση [σχέση (.3)], ενώ η βηματική απόκριση τάσης στα άκρα του πυκνωτή θα είναι η γνωστή καμπύλη φόρτισής του στην τάση. Συγκρίνοντας τώρα τις σχέσεις (.3) και (4.8) βλέπουμε ότι το γινόμενο RC στον εκθέτη της (4.30), έχει διαστάσεις χρόνου [RC=(/I)(Q/)=t] και αποτελεί τη σταθερά χρόνου Τ=RC του συγκεκριμένου κυκλώματος. Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.4, η τιμή της σταθεράς αυτής καθορίζει το ρυθμό εκθετικής αύξησης ή μείωσης της τάσης στα άκρα του πυκνωτή ή της αντίστασης, αντιστοίχως, καθώς για t=t οι σχέσεις (4.30) και (4.3) δείχνουν ότι: υ R (T)=0.37 και υ C (T)=0.63, ενώ ως χρόνος αποκατάστασης μπορεί πλέον να θεωρηθεί ένα διάστημα t s >0Τ για το οποίο η τάση στα άκρα τόσο της αντίστασης, όσο και του πυκνωτή, θα έχει περισσότερο από το 90% της τελικής της τιμής. Έτσι, ανάλογα με το αν η σταθερά T ενός κυκλώματος RC έχει μικρή ή μεγάλη τιμή θα μεταβάλλεται και η μορφή των αντίστοιχων κυματομορφών τάσης στην αντίσταση ή τον πυκνωτή. Για παράδειγμα, οι κυματομορφές του σχήματος 4.5(α) αντιστοιχούν σε μικρή τιμή της σταθερά χρόνου T, ενώ αυτές του σχήματος 4.5(β) σε μεγάλη τιμή του T υ S (t) υ S (t) υ R (t) t t υ R (t) μικρή τιμή Τ=RC μεγάλη τιμή Τ=RC t υ C (t) υ C (t) T t 0 t 0 τ t (α) (β) Σχήμα 4.5. Κυματομορφές των τάσεων υ R (t) και υ C (t) στο κύκλωμα του σχήματος 4. για (α) μικρή και (β) για μεγάλη τιμή της αντίστοιχης σταθεράς χρόνου T=RC. 3

14 Στην πρώτη αυτή περίπτωση, η κυματομορφή τάσης στα άκρα της αντίστασης προσεγγίζει τη χρονική παράγωγο της τάσης εισόδου υ S (t) ενώ, στη δεύτερη, η τάση στα άκρα του πυκνωτή στο διάστημα από 0 έως τ, όπου τ<<rc, θα προσεγγίζει το ολοκλήρωμα της υ S (t) για το διάστημα αυτό. Αν, τέλος, τη χρονική στιγμή t=τ με τ>>t s, ο διακόπτης Δ επανέλθει στη θέση, ο φορτισμένος πλέον πυκνωτής, υ C (τ)=, θα βρεθεί συνδεδεμένος παράλληλα προς την αντίσταση και θα αρχίσει να εκφορτίζεται. Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.6, θα είναι υ C (t τ)=υ' R (t τ), όπου υ' R (t τ)= υ R (t τ) διότι υ R (t)+υ C (t)=0, ενώ το ρεύμα i'(t τ) που διαρρέει την αντίσταση θα είναι το ρεύμα εκφόρτισης του πυκνωτή, δηλ. dυc(t t) i'(t t) = C (4.33) dt υ S (t) (t=τ) Δ i'(t τ) R C υ R (t τ)= υ C (t τ) υ C (t τ) Σχήμα 4.6. Επαναφορά του διακόπτη Δ στη θέση τη στιγμή t=τ και εκφόρτιση του πυκνωτή C. Άρα, η εκφόρτιση του πυκνωτή θα περιγράφεται από την εξίσωση: dυc (t) RC + υc(t) = 0, t τ (4.34) dt η οποία είναι της ίδιας μορφής με την (4.6) και, συνεπώς, εφόσον τη στιγμή t=τ + η τάση στον πυκνωτή είναι υ C (τ + )=, η λύση της θα είναι : υc(t t) = e (4.35) όπου ο αριθμητής (t-τ) στον εκθέτη υποδηλώνει το γεγονός ότι η εκφόρτιση του πυκνωτή αρχίζει τη στιγμή t=τ, όπως φαίνεται και με τις κυματομορφές του σχήματος 4.7. υ S (t) t t RC υ C (t) t=τ t>τ t t Σχήμα 4.7. Κυματομορφές της τάσης υ C (t)=υ' R (t) στο κύκλωμα σχήματος 4.6 πριν και μετά τη χρονική στιγμή t=τ (υποτίθεται ότι η φόρτιση του πυκνωτή έχει ολοκληρωθεί πολύ πριν τη στιγμή t=τ). Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ροή ρεύματος μέσω της αντίστασης R τόσο κατά τη φόρτιση, όσο και κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή C στο κύκλωμα του σχήματος 4.3, έχει ως αποτέλεσμα την κατανάλωση ενέργειας, η οποία όμως είναι ανεξάρτητη από την τιμή της αντίστασης. Πράγματι κατά τη φόρτιση, λόγω της (4.30), θα είναι: = prdt = υr (t)dt = R R W R, φορt e dt = C (4.36) και κατά την εκφόρτιση, όπου υ' R (t τ)=υ C (t τ), λόγω της (4.35): Προφανώς, οι κυματομορφές τάσης και ρεύματος στην αντίσταση θα δίνονται από εκφράσεις της ίδιας μορφής. 4 t RC

15 = prdt = R 0 0 (t t) RC W R, eκφ e d(t t) = C (4.37) Έτσι, από τις σχέσεις αυτές επαληθεύεται κατ αρχήν η σχέση (4.5) για τη συνολική ενέργεια που παρέχει η πηγή τάσης και, ταυτόχρονα, φαίνεται ότι η διαφορά που επισημάνθηκε μεταξύ αυτής της ενέργειας και της ενέργειας που αποθηκεύεται στον πυκνωτή [σχέση (4.6)], όντας ανεξάρτητη τελικά από την παρουσία της R, θα καταναλωθεί ούτως ή άλλως με τη μορφή σπινθήρα και ακτινοβολίας Απόκριση σε σήμα περιοδικών ορθογώνιων παλμών τάσης Ως εφαρμογή των όσων αναφέρθηκαν για τη βηματική απόκριση του κυκλώματος του σχήματος 4., αφήνεται στον αναγνώστη να ερμηνεύσει τις κυματομορφές τάσης στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή όταν η πηγή παρέχει περιοδικού σήματος τάσης με μορφή θετικών ορθογώνιων παλμών πλάτους p. Οι κυματομορφές αυτές, που δίνονται στο σχήμα 4.8, αποτελούν την παλμική, όπως λέγεται, απόκριση του κυκλώματος στα αντίστοιχα άκρα του. p υ R (t) υ C (t) t Σχήμα 4.8. Κυματομορφές των τάσεων υ R (t) και υ C (t) στην αντίσταση και τον πυκνωτή κυκλώματος RC σε σειρά όταν στην είσοδο εφαρμόζεται σειρά ορθογώνιων παλμών τάσης Διέγερση με σήμα τάσης ημιτονικής μορφής Εξετάζουμε τώρα την απόκριση του κυκλώματος του σχήματος 4. όταν η πηγή παρέχει τάση ημιτονικής μορφής. Βεβαίως, επειδή στο κύκλωμα αυτό εμπλέκεται το κλείσιμο του διακόπτη Δ σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, αν αυτή η στιγμή δεν συσχετίζεται με κάποια από τις χαρακτηριστικές τιμές πλάτους του σήματος εισόδου, τότε αυτό θεωρείται ότι έχει τη μορφή υ S (t)= s sin(ωt+θ 0 ). Έτσι, θεωρώντας τον πυκνωτή αφόρτιστο και το διακόπτη να μετακινείται από τη θέση στη θέση τη στιγμή t=0, κατά την οποία είτε θ 0 0, είτε θ 0 π/, θα ισχύουν οι γενικές σχέσεις: για t<0 : υ C (t)=0, υ R (t)=0 και i S (t)=0, και για t 0 : υ R (t)+υ C (t)= s sin(ωt+θ 0 ) και i S (t)=i R (t)=i C (t) (4.38) και, συνεπώς, για t>0, οι αντίστοιχες τάσεις στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή θα είναι: dυr(t) RC + υr (t) = ωrcs cos( ωt + θ0) (4.39) dt dυc(t) και RC + υc(t) = s sin( ωt + θ0) (4.40) dt Για τις λύσεις των διαφορικών αυτών εξισώσεων αναφέρουμε μόνον ότι η λύση κάθε μιας απ αυτές θα είναι το άθροισμα μιας μερικής λύσης και της λύσης της αντίστοιχης ομογενούς. Έτσι, η πλήρης λύση της εξίσωσης (4.39) θα έχει τη μορφή: υ R (t)=υ Ro (t)+υ Rμ (t) (4.4) όπου η λύση της αντίστοιχης ομογενούς θα έχει τη μορφή: υ Ro R t RC (t) = A e (4.4) 5

16 και η μερική λύση, τη μορφή: υ Rμ (t)= R sin(ωt+θ ) (4.43) Ομοίως, η πλήρης λύση της εξίσωσης (4.40), θα είναι: υ C (t)=υ Co (t)+υ Cμ (t) (4.44) όπου υ Co C t RC (t) = A e (4.45) και υ Cμ (t)= C sin(ωt+θ ) (4.46) Στις εκφράσεις αυτές, οι τιμές πλάτους τόσο της φυσικής απόκρισης, δηλ. τα Α R και Α C, όσο και της αναγκαστικής απόκρισης, R και C, καθώς και οι γωνίες θ και θ, εξαρτώνται και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και τα χαρακτηριστικά του συγκεκριμένου κάθε φορά κύκλωματος. Έτσι, για παράδειγμα, αν στο κύκλωμα του σχήματος 4.9 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και τη στιγμή t=0 εφαρμόζεται ένα σήμα τάσης υ S (t 0)= s cosωt, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.0, τότε οι διαφορικές εξισώσεις, από τις οποίες προσδιορίζονται οι τάσεις υ R (t) και υ C (t) για t 0, θα έχουν τη μορφή dυr(t) RC + υr (t) = ωrcs sin ωt (4.47) dt dυc(t) και RC + υc(t) = s cosωt (4.48) dt με πλήρεις λύσεις της μορφής των σχέσεων (4.4) και (4.44). υ S (t 0)= s cosωt i S (t 0) R C υ R (t) υ C (t) Σχήμα 4.9. Εφαρμογή ημιτονικού σήματος τάσης σε κύκλωμα RC. Πράγματι, η τάση υ R (t) στα άκρα της αντίστασης θα έχει τη μορφή: και η τάση υ C (t) στον πυκνωτή: υ R (t) = A R e t RC t RC + R sin( ωt + ϕ R ) (4.49) υc(t) = AC e + C sin( ωt + ϕc) (4.50) όπου, προφανώς, ο πρώτος όρος των αθροισμάτων αποτελεί την φυσική απόκριση στα αντίστοιχα άκρα του κυκλώματος στη διέγερση του σήματος υ S (t)= s cosωt, ενώ ο δεύτερος, την αναγκαστική απόκριση του κυκλώματος στα άκρα αυτά, η οποία, για t 0RC, θα αποτελεί πλέον την μόνιμη απόκρισή του. Για τον προσδιορισμό των πλατών Α R και A C της φυσική απόκρισης τόσο στην αντίσταση, όσο και στον πυκνωτή, αρκούν οι αρχικές συνθήκες. Θεωρώντας λοιπόν ότι t=0, προκύπτουν οι εκφράσεις: AR = s R cosϕr (4.5) AC = C cosϕc (4.5) στις οποίες υπάρχουν ως άγνωστα μεγέθη τα πλάτη της τάσης R και C και των διαφορών φάσης φ R και φ C της μόνιμης απόκρισης στην αντίσταση και τον πυκνωτή, αντιστοίχως. Αυτά τα μεγέθη προσδιορίζονται με τη βοήθεια των συνθηκών που αντιστοιχούν στη μηδενική και μέγιστη τιμή πλάτους του σήματος εισόδου. Έτσι, θέτοντας τη μερική λύση [σχέση (4.43)] στην εξίσωση (4.39), η μηδενική τιμή του πλάτους, μετά από πράξεις, οδηγεί στη σχέση: tan ϕ R = ϕ tan R = ( ), 0 ϕ R <π/ (4.53) ωrc ωrc και η μέγιστη τιμή, στη σχέση: R, R = s (4.54) R + ( ) ωc 6

17 και Αντιστοίχως, θέτοντας τη σχέση (4.46) στην εξίσωση (4.40), προκύπτουν οι σχέσεις: tan ϕ C = ωrc ϕ tan C = ωrc, π/<ϕ C 0 (4.55) C = ωc s (4.56) R + ( ) ωc Επομένως, η πλήρης μορφή των σχέσεων (4.49) και (4.50), θα είναι: t R υ (t) e RC R = s + s cos( ωt + ϕr ) (4.57) ( ωrc) + R + ( ) ωc t και υ (t) e RC C C = s + ω s cos( ωt + ϕc) (4.58) ( ωrc) + R + ( ) ωc όπου η μεν (θετική) γωνία φάσης ϕ R, που δίνεται από τη σχέση (4.53), υποδηλώνει ότι: η συνιστώσα της αναγκαστικής απόκρισης στην κυματομορφή της τάσης υ R (t) στην αντίσταση R προηγείται της κυματομορφής της τάσης εισόδου υ S (t) κατά ϕ R, η δε (αρνητική) γωνία ϕ C, που δίνεται από τη σχέση (4.55), δείχνει ότι: στον πυκνωτή υπάρχει καθυστέρηση κατά ϕ C της κυματομορφής τάσης, υ C (t) ως προς την υ S (t), ενώ, όπως φαίνεται από τις σχέσεις (4.53) και (4.55), μεταξύ των γωνιών ϕ R και ϕ C ισχύει πάντοτε ότι: ϕ R + ϕ C = π/ ή ϕ R ϕ C = π/ (4.59) Τέλος, στο σχήμα 4.0, δίνονται οι κυματομορφές που περιγράφονται από τις σχέσεις (4.57) και (4.58) και αποτελούν την αντίστοιχη απόκριση (μεταβατική και μόνιμη) στα στοιχεία ενός απλού κυκλώματος RC σε σειρά όταν στην είσοδό του εφαρμόζεται τη στιγμή t=0 το ημιτονικό σήμα υ S (t)= s cosωt. υ S (t) s 0 t υ R (t) t υ C (t) 0 τ t μεταβατική απόκριση μόνιμη απόκριση Σχήμα 4.0. Απεικόνιση των κυματομορφών για τις τάσεις υ R (t) και υ C (t) στο κύκλωμα του σχήματος

18 Έτσι, όπως φαίνεται, οι κυματομορφές τάσης της μόνιμης απόκρισης στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή είναι ημιτονικά σήματα της ίδιας συχνότητας με το σήμα εισόδου αλλά με διαφορετικό πλάτος και φάση, ενώ είναι φανερό ότι σε κάθε χρονική στιγμή t=τ>0 θα ισχύει : υ S (τ) = υ R (τ) + υ C (τ) (4.60) ενώ θα πρέπει επίσης να παρατηρηθεί ότι: η κυματομορφή τάσης υ R (t) και της μεταβατικής και της μόνιμης απόκρισης στην αντίσταση έχει ακριβώς την ίδια μορφή με την κυματομορφή του ρεύματος i S (t) που διαρρέει το βρόχο του κυκλώματος, δηλ. και την αντίσταση και τον πυκνωτή, καθώς για t>0 ισχύει i S (t)=i R (t)=i C (t)=υ R (t)/r, οι τιμές των συνιστωσών πλάτους A R, R, Α C και C, αλλά και των γωνιών ϕ R και ϕ C, προσδιορίζονται, βεβαίως, σε σχέση προς τις αρχικές συνθήκες του συγκεκριμένου κυκλώματος, εξαρτώνται όμως πλήρως τόσο από τις τιμές των στοιχείων του, μέσω της σταθεράς χρόνου Τ=RC, όσο και από την κυκλική συχνότητα ω του σήματος διέγερσης. δηλαδή, το πλάτος του σήματος τάσης τόσο της μεταβατικής, όσο και της μόνιμης απόκρισης, στα άκρα είτε της αντίστασης, είτε του πυκνωτή, εξαρτάται τελικά από τη σχέση μεταξύ ω και RC=T Εξάρτηση της απόκρισης από τη συχνότητα του σήματος διέγερσης Όπως με τη βηματικής απόκριση του κυκλώματος RC στο σχήμα 4.3, έτσι και με την ημιτονική διέγερση, το πλάτος και η φάση των κυματομορφών τάσης κατά τη μόνιμη απόκριση θα εξαρτώνται από τη σχέση της συχνότητας ω του σήματος εισόδου και της σταθεράς χρόνου T του κυκλώματος, ενώ η συχνότητα των κυματομορφών αυτών παραμένει ίση προς ω. Αυτή είναι μια σημαντική ιδιότητα των κυκλωμάτων RC, και γενικότερα κάθε κυκλώματος με πυκνωτές ή/και πηνία, καθώς η λειτουργία τους, εκτός από τα χαρακτηριστικά μνήμης, που εμφανίζει στις μεταβατικές καταστάσεις, χαρακτηρίζεται, όπως δείχνουν οι σχέσεις (4.53), (4.54), (4.55) και (4.56), από την "εξάρτηση" του πλάτους και της φάσης του σήματος εξόδου από τη συχνότητα ω του σήματος εισόδου του. Για παράδειγμα, θεωρώντας ένα κύκλωμα RC είτε ως κύκλωμα διαφόρισης, είτε ως κύκλωμα ολοκλήρωσης [(σχήμα 4.)], οι σχέσεις (4.54) και (4.56) δείχνουν αμέσως ότι, στην περίπτωση διέγερσης με ένα ημιτονικό σήμα με κυκλική συχνότητα που μειώνεται, το μεν πλάτος του ημιτονικού σήματος στην αντίσταση θα μειώνεται αντιστοίχως, το δε πλάτος του σήματος στα άκρα του πυκνωτή θα αυξάνεται. Επομένως, σύμφωνα και με όσα αναφέρθηκαν στην παράγραφο.8.5: ένα κύκλωμα RC διαφόρισης εμφανίζει χαρακτηριστικά υψηπερατού φίλτρου δηλ. φίλτρου διέλευσης υψηλών ή απόρριψης χαμηλών συχνοτήτων, ενώ ένα κύκλωμα ολοκλήρωσης εμφανίζει χαρακτηριστικά χαμηλοπερατού ή βαθυπερατού φίλτρου, δηλ. διέλευσης χαμηλών ή απόρριψης υψηλών συχνοτήτων το κύκλωμα διαφόρισης προκύπτει ότι είναι ένα κύκλωμα προήγησης φάσης, ενώ το κύκλωμα ολοκλήρωσης είναι κύκλωμα καθυστέρησης φάσης. Όπως θα δούμε παρακάτω, η λειτουργία αυτή προσδιορίζεται κάθε φορά ως προς μια χαρακτηριστική συχνότητα με τιμή που εξαρτάται από τις τιμές των στοιχείων R και C, δηλ. τη σταθερά χρόνου Τ=RC του κυκλώματος. Η συχνότητα αυτή λέγεται συχνότητα αποκοπής ή θλάσης, ω c =πf c, και ορίζεται ως η συχνότητα εκείνη για την οποία η ισχύς του (ημιτονικού) σήματος εξόδου είναι ίση προς το μισό της ισχύος του αντίστοιχου σήματος εισόδου. Στην περίπτωση αυτή, αποδεικνύεται εύκολα είτε με τη σχέση (4.53), είτε με τη σχέση (4.56) ότι: ωc = ( RC) = fc = (4.6) T πrc οπότε, μέσω των σχέσεων (4.54) και (4.55), προκύπτει ότι: ϕ R ωc =π/4 και ϕ C ωc = π/4 (4.6) 4.3 Λειτουργία παθητικών στοιχείων στο μιγαδικό επίπεδο - Μιγαδική αντίσταση Είδαμε ότι η λειτουργία κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις που γράφονται βάσει των κανόνων του Kirchhoff. Βεβαίως, η επίλυση τέτοιων εξισώσεων δεν είναι πάντοτε α- πλή, καθώς, εκτός από την εύρεση των ζητούμενων λύσεων, οι πράξεις μεταξύ DC και AC σημάτων, σε συνδυασμό με τις χρονικές παραγώγους και τα ολοκληρώματα των σχέσεων ορισμού κάθε στοιχείου, θέτουν ζη- 8

19 τήματα μαθηματικού φορμαλισμού για τη μορφή των σχέσεων τάσης ρεύματος αλλά και για τον τρόπο παράστασης και εκτέλεσης πράξεων μεταξύ των, στιγμιαίων και μη, τιμών των αντίστοιχων σημάτων. Πράγματι, έχοντας υπόψη, πρώτον, την απλή μορφή της έκφρασης των εκθετικών σημάτων, καθώς και των παραγώγων και ολοκληρωμάτων τους και, δεύτερον, τη δυνατότητα εκθετικής-μιγαδικής παράστασης των ημιτονικών σημάτων μέσω του τύπου των Euler-de Moivre συμπεραίνεται ότι, εφόσον κάθε μεταβαλλόμενο σήμα μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ημιτονικών συνιστωσών, ο κατάλληλος φορμαλισμός οδηγεί σ έναν απλό τρόπο περιγραφής των ημιτονικών και μη σημάτων στο μιγαδικό επίπεδο. Άρα, εφόσον η λειτουργία οποιουδήποτε ηλεκτρικού στοιχείου ορίζεται από τη σχέση τάσηςρεύματος στα άκρα του, η περιγραφή της λειτουργίας των βασικών παθητικών στοιχείων αλλά και, γενικότερα, ενός κυκλώματος στο μιγαδικό επίπεδο θα γίνεται με την αντίστοιχη σχέση των μιγαδικών διανυσμάτων τάσης και ρεύματος στα άκρα τους. Με την ίδια λογική, η μιγαδική παράσταση των τάσεων και ρευμάτων ενός κυκλώματος έχει ως αποτέλεσμα κάθε νόμος, θεώρημα ή μεθοδολογία ανάλυσης, που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 3, να ισχύει και να εφαρμόζεται αναλόγως και στην περίπτωση χρήσης μιγαδικών εκφράσεων. Για παράδειγμα, εφόσον τα σήματα τάσης και ρεύματος σ ένα στοιχείο συνδέονται, σύμφωνα με τον νόμο του Ohm, με την φυσική παράμετρο αντίσταση, τότε όταν γι αυτά χρησιμοποιούνται μιγαδικές εκφράσεις, η μιγαδική έκφραση του νόμου του Ohm θα οδηγει στη μιγαδική έκφραση της αντίστασης. Γενικότερα, λοιπόν, συμβολίζοντας με το μιγαδικό διάνυσμα ενός σήματος τάσης υ(t) και με I το αντίστοιχο διάνυσμα του ρεύματος i(t), η μιγαδική ή σύνθετη 3 αντίσταση Ζ θα είναι το (μιγαδικό) μέγεθος: Z = R + jx (4.63) για το οποίο θα ισχύει: Z = (4.64) I Ο όρος R αποτελεί το πραγματικό, δηλ. ωμικό, μέρος της Ζ, ενώ ο όρος Χ αποτελεί το φανταστικό μέρος της Ζ, ονομάζεται αντίδραση (reactance) και σχετίζεται με τη διαφορά φάσης θ που μπορεί να υπάρχει μεταξύ των διανυσμάτων της τάσης και του ρεύματος I της σχέσης (4.64). Προφανώς, τα δύο αυτά μέρη προσδιορίζονται συναρτήσει των αντίστοιχων πραγματικών και φανταστικών μερών του λόγου [/I], δηλ.: R = Re και X = Im I (4.65α) I ενώ, η σχέση (4.63) σύμφωνα με την ταυτότητα των Euler-de Moivre, μπορεί να έχει και τη μορφή: θ Ζ = Ζ e j = Ζ(cosθ + jsin θ) = Ζ θ (4.65β) όπου Z = R + X είναι το μέτρο του μιγαδικού μεγέθους Ζ και θ η γωνία ή όρισμα του Ζ. Με παρόμοιο τρόπο ορίζεται και η μιγαδική ή σύνθετη αγωγιμότητα Υ (admittance) με πραγματικό (ωμικό) μέρος G και, φανταστικό μέρος B, την αποδεκτότητα (susceptance), δηλ.: I Y = = G + jb (4.66) R X οπότε: Y = G + jb = = j (4.67) Z R + jx R + X R + X G B ή Z = R + jx = = j (4.68) Y G + jb G + B G + B Συνεπώς, για την περιγραφή και κατανόηση της φυσικής της λειτουργίας των βασικών παθητικών στοιχείων στο μιγαδικό επίπεδο είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός της μιγαδικής (ή σύνθετης) αντίστασης ή αγωγιμότητάς τους και η ερμηνεία του αντίστοιχου πραγματικού και φανταστικού μέρους τους. Τονίζεται επίσης ότι η μιγαδική αντίσταση Ζ και αγωγιμότητα Υ, αν και ορίζονται ως λόγοι μιγαδικών διανυσμάτων, εντούτοις οι ίδιες δεν είναι μιγαδικά διανύσματα, αλλά απλά μιγαδικά μεγέθη, το μέτρο των οποίων, όπως θα δούμε, είναι συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω των αντίστοιχων σημάτων τάσης και ρεύματος, μετριέται δε, σε μονάδες Ohm και Mho (ή Siemen), αντιστοίχως. Τα μιγαδικά διανύσματα τάσης ή ρεύματος λέγονται και παραστατικοί μιγάδες ή φάσορες (φάσορας= phasor). Για το συμβολισμό μιγαδικών μεγεθών χρησιμοποιείται έντονη γραφή. 3 Η μιγαδική αντίσταση λέγεται και εμπέδηση (impedance) ή σύνθετη αντίσταση λόγω του πραγματικού και του φανταστικού μέρους που παρουσιάζει ως μιγαδικό μέγεθος. 9

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

3. Στοιχεία ανάλυσης κυκλωμάτων

3. Στοιχεία ανάλυσης κυκλωμάτων 3.1 Εισαγωγή 3. Στοιχεία ανάλυσης κυκλωμάτων Επανερχόμαστε στην έννοια των κυκλωμάτων, όπως παρουσιάστηκε στο πρώτο κεφάλαιο, με σκοπό την α- νάλυση της λειτουργίας τους με όρους τάσης και έντασης ρεύματος.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 3: Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 3: Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 3: Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Αραπογιάννη Αγγελική Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Σκοποί ενότητας... 3 2. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 1 ο Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό/ηλεκτρονικό σύστημα μπορεί εν γένει να παρασταθεί από ένα κυκλωματικό διάγραμμα ή δικτύωμα, το οποίο αποτελείται από στοιχεία δύο ακροδεκτών συνδεδεμένα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να αποδείξετε ότι η στιγμιαία τιμή i της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται σε συνάρτηση με το στιγμιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ισχύς και Ενέργεια Ενεργός τιµή περιοδικών µη ηµιτονικών κυµατοµορφών 1. Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Οταν οι νόµοι του Kirchoff εφαρµόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΗΓΗ. Στο διπλανό κύκλωμα η πηγή έχει ΗΕΔ = V και ο διακόπτης είναι αρχικά στη θέση. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση στη θέση και αρχίζουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6 Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Gree Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι Από το πραγματικό κύκλωμα στο μοντέλο Μαθηματική μοντελοποίηση Η θεωρία κυκλωμάτων είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου Τα στοιχεία του Πυκνωτή και του Πηνίου

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου Τα στοιχεία του Πυκνωτή και του Πηνίου Το στοιχείο του πυκνωτή (1/2) Αποτελείται από δύο αγώγιμα σώματα (οπλισμοί)ηλεκτρικά μονωμένα μεταξύ τους μέσω κατάλληλου μονωτικού υλικού (διηλεκτρικό υλικό) Η ικανότητα του πυκνωτή να αποθηκεύει ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 5: Εναλλασσόμενα κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή

1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή Εισαγωγικές ασκήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις 1. Ιδανικό κύκλωμα L εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση q = 10 6 συν(10 ) (S.I.). Ο συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑ LC ΣΤΟ ΑΛΛΟ. ΔΥΟ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΗΝΙΟ. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = (A) (B) mh, ο πυκνωτής () έχει χωρητικότητα C = μf, ενώ ο πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19-10-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας.

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας. Αυτεπαγωγή Αυτεπαγωγή Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα που διαρρέει ένα κύκλωμα επάγει ΗΕΔ αντίθετη προς την ΗΕΔ από την οποία προκλήθηκε το χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα.στην αυτεπαγωγή στηρίζεται η λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ Ο νόμος του Ohm σε κυκλώματα με στοιχεία R, L και C στο εναλλασσόμενο συνοψίζεται στον πιο κάτω πίνακα: Στοιχείο Νόμος του Ohm Παρατηρήσεις Ωμική αντίσταση (R) Επαγωγική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

Τελεστικοί Ενισχυτές. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής Τελεστικοί Ενισχυτές Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής Ο ιδανικός τελεστικός ενισχυτής Είσοδος αντιστροφής Ισοδύναμα Είσοδος μη αντιστροφής A( ) A d 2 1 2 1

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ)

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1/5 Τι περιλαμβάνει Εκθετική διέγερση Φάσορας Επίλυση κυκλώματος μετασχηματισμός των στοιχείων Εμπέδηση Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ Ένα ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν το πλάτος του χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση του χρόνου, η οποία εµφανίζει κάποια περιοδικότητα. Το συνολικό ρεύµα που διέρχεται από µια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Φώτης Πλέσσας fplessas@e-ce.uth.gr Εισαγωγή Πολλά πραγματικά συστήματα, όπως οι μονάδες παραγωγής και τα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, οι τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ο ΘΕΜΑ Α Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα (RL και RC)

HMY 102 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα (RL και RC) Ths mag canno currnly b dsplayd. Τρία είναι τα βασικά παθητικά στοιχεία στη θεωρία γραμμικών κυκλωμάτων:, και HMY 12 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα ( και ) απορροφά ενέργεια και

Διαβάστε περισσότερα

( ) Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Ψ = N Φ. διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο. μαγνητικό πεδίο. του πηνίου (κάθε. ένα πηνίο Ν σπειρών:

( ) Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Ψ = N Φ. διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο. μαγνητικό πεδίο. του πηνίου (κάθε. ένα πηνίο Ν σπειρών: Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Λέγονται επίσης και δυναμικά στοιχεία Οι v- χαρακτηριστικές τους δεν είναι αλγεβρικές, αλλά ολοκληρο- διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο: Ουσιαστικά πρόκειται για έναν περιεστραμμένο

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η δίοδος στο κύκλωμα. Στατική και δυναμική χαρακτηριστική

3.1 Η δίοδος στο κύκλωμα. Στατική και δυναμική χαρακτηριστική 1 3. Κυκλώματα διόδων 3.1 Η δίοδος στο κύκλωμα. Στατική και δυναμική χαρακτηριστική Στην πράξη η δίοδος προσεγγίζεται με τμηματική γραμμικοποίηση, όπως στο σχήμα 3-1, όπου η δυναμική αντίσταση της διόδου

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ)

Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ) Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ) Οι ηλεκτρικές συσκευές των κατοικιών χρησιμοποιούν κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ). Κάθε κύκλωμα ΕΡ αποτελείται από επιμέρους ηλεκτρικά στοιχεία (αντιστάτες,

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt)

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt) Θέμα 1 ο Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014 Για το κύκλωμα ΕΡ του διπλανού σχήματος δίνονται τα εξής: v ( ωt 2 230 sin (

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ 1 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM (ΩΜ) Για πολλά υλικά ο λόγος της πυκνότητας του ρεύματος προς το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Στοιχεία Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγή Αντιστάτης Πηγές τάσης και ρεύματος Πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΟΔΟΣ (Μάθημα 4 ο 5 ο 6 ο 7 ο ) 1/12 4 o εργαστήριο Ιδανική δίοδος n Συμβολισμός της διόδου n 2/12 4 o εργαστήριο Στατική χαρακτηριστική διόδου Άνοδος (+) Κάθοδος () Αν στην ιδανική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η συμπεριφορά ενός κυκλώματος RLC σε σειρά κατά την εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος. Συγκεκριμένα μελετάται η μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Το κύριο χαρακτηριστικό των κυκλωµάτων αυτών είναι ότι ο χρόνος στον οποίο η τάση, ή η ένταση παίρνει ορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,,

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,, 1. Ο πυκνωτής του σχήματος έχει χωρητικότητα C=5μF και φορτίο Q=1μC, ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mh. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση.

Διαβάστε περισσότερα

Το χρονικό διάστημα μέσα σε μια περίοδο που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται ισούται με:

Το χρονικό διάστημα μέσα σε μια περίοδο που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται ισούται με: Κυκλώματα, Επαναληπτικό ΤΕΣΤ. ΘΕΜΑ Α. Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής το χρονική στιγμή =0 που κλείνουμε το διακόπτη φέρει φορτίο q=q. Α. H ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι ίσος με

Διαβάστε περισσότερα

C (3) (4) R 3 R 4 (2)

C (3) (4) R 3 R 4 (2) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 29/03/2016 Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Συντελεστής Βαρύτητας: 40%/ Χρόνος Εξέτασης: 3 Ώρες Γραπτή Ενδιάμεση Εξέταση στο Μάθημα: «ΜΜ604, Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές»

Διαβάστε περισσότερα

m e j ω t } ja m sinωt A m cosωt

m e j ω t } ja m sinωt A m cosωt ΕΝΟΤΗΤΑ IV ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 26 Στρεόµενα διανύσµατα Σε κυκλώµατα όπου η διέγερση είναι περιοδική και ηµιτονοειδής οι τάσεις και τα ρεύµατα αναπαρίστανται µε µιγαδικούς αριθµούς, ή όπως συνήθως λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 1 ΠΥΚΝΩΤΗ :

ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 1 ΠΥΚΝΩΤΗ : ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 5 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΜΕΣΕΣ ΚΑΙ ΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Θεωρητική Ανάλυση Πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

α) = β) Α 1 = γ) δ) Μονάδες 5

α) = β) Α 1 = γ) δ) Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19-10-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-ΚΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο ρεύμα και ταλάντωση.

Εναλλασσόμενο ρεύμα και ταλάντωση. Εναλλασσόμο ρεύμα και ταλάντωση. Δίνεται το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, όπου το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής 8mΗ, ο πυκνωτής χωρητικότητα 0μF, η αντίσταση R του αντιστάτη R30Ω, ώ η τάση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία R, L, C στο AC

Στοιχεία R, L, C στο AC Στοιχεία R, L, C στο AC Εμπέδηση (περιγραφή, υπολογισμός για κάθε στοιχείο) Νόμος OHM στο AC Στόχοι μαθήματος Προηγούμενο Εύρεση phasors αρμονικών συναρτήσεων Πράξεις (Πρόσθεση/αφαίρεση κλπ) ημιτονοειδών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά: Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά. 1. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

v(t) = Ri(t). (1) website:

v(t) = Ri(t). (1) website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 3: Τα στοιχεία του Πυκνωτή και του Πηνίου Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: η (ΘΕΡΙΝ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: /0/ ΘΕΜ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα C Το κύκλωμα του Σχήματος. είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης V, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3-0-0 ΘΕΡΙΝ ΣΕΙΡ ΘΕΜ ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα