1.1 Neodre deni integral

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 Neodre deni integral"

Transcript

1 . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn od velikih problem više mtemtike je: Definicij.. Ako je dt reln funkcij f koj je neprekidn i nenegtivn n intervlu [, b], ndjite površinu koj se nlzi izme du grf funkcije f i intervl [, b] n x-osi. Uvod u površinski problem Uvod u površinski problem Površinske formule z osnovne geometrijske figure, ko što su prvougonici, poligoni i krugovi idu nzd do njrnijih mtemtičkih zpis. Prvi prvi npredk od njprimitivnih pokušj je nprvio strogrčki mtemtičr Arhimed ( Aρχιµηδης), koji je rzvio genijlnu, li npornu tehniku, koj se zove tehnik iscrpljenj, kko bi nšo površine regij koje su ogrničene prbolm, spirlm i rznim drugim krivim. Do 7-og stoljeć mnogi su mtemtičri otkrili nčine kko izrčunti ove površine koristeći limese. Me dutim, svim ovim metodm je nedostjl generlnost.

2 Uvod u površinski problem Veliki npredk su nprvili nezvisno jedn od drugog Newton i Leibnitz, koji su otkrili d se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijcije. Newtonov rd De Anlysi per Aequtiones Numero Terminorum Infinits izdt 7 se smtr početkom više mtemtike. Sir Isc Newton FRS Gottfried Wilhelm Leibniz Početk moderne mtemtike 2

3 Posmtrjmo funkciju y = cos 2 x. Ond znmo d je izvod ove funkcije y = 2 cos x sin x = sin 2x. No št ko mormo rditi untrg, odnosno d nm je dt funkcij y = 2 sin 2x i iz nje trebmo pronći originlnu funkciju? Očito, u ovom slučju je y = cos 2 x, li smo to već unprijed znli. U općem slučju, to nije tko jednostvno i zhtjev posebn pristup. Neodre deni integrl Definicij.2. Funkciju F definisnu n intervlu I, nzivmo primitivom ili primitivnom funkcijom ili prim funkcijom ili nti-izvodom ili integrlom funkcije f(x), ko je n tom intervlu f(x) izvod funkcije F (x), tj. ko vrijedi relcij F (x) = f(x), x I. () Definicij.2 se može formulisti tko d umjesto termin izvod koristimo termin diferencijl i td vrijedi d F (x) = F (x)dx = f(x)dx, x I. (2) Primitiv Funkcij 3 x3 je primitiv funkcije f(x) = x 2 n intervlu (, ), zto što je z svko x (, ) F (x) = d [ ] dx 3 x3 = x 2 = f(x). 3

4 Primjetite d ovo nije jedini primitiv funkcije f n ovom intervlu. Ako dodmo bilo koju konstntu C n 3 x3, ond je funkcij F (x) = 3 x3 + C tko der primitiv funkcije f(x) = x 2, jer je x (, ) F (x) = ( 3 x3 + C) = 3 (x3 ) + C = x 2. Primitiv Teorem.. Nek je F (x), n intervlu I, primitiv funkcije f(x). Td je i funkcij F (x) + C, gdje je C proizvoljn konstnt, tko der primitiv funkcije f(x). Teorem.2. Nek su F (x) i Φ(x) rzličiti primitivi funkcije f(x) n intervlu I. Td je Φ(x) = F (x) + C, C R. (3) Primitiv Dokz. N osnovu pretpostvke teoreme je F (x) = f(x), Φ (x) = f(x), odkle slijedi d je Φ (x) F (x) = [Φ(x) F [x]] = 0, odnosno, vrijedi Φ(x) F (x) = C Φ(x) = F (x) + C. Proces nlženj primitiv nzivmo nti-izvo denjem ili, pozntije, integrcijom. Funkciju F (x) + C nzivmo neodre deni integrl funkcije f(x) i oznčvmo je s f(x)dx = F (x) + C, gdje je C proizvoljn konstnt. Produženo S koje se pojvljuje s lijeve strne definicije neodre denog integrl se zove znk integrcije, što je notcij koju je izumio Leibnitz 675 godine. Funkcij f(x) se zove integrnd ili podintegrlni izrz. C se nziv konstnt integrcije. Pridjev neodre den se odnosi n činjenicu d integrcij ne dje jednu, odre denu funkciju, već čitv snop funkcij (zbog konstnte integrcije). Provjeriti d je ln x x dx = ln2 x 2 + C. Kko je ( d ln 2 ) x + C = 2 ln x dx 2 2 x = ln x x, to je prem definicije neodre denog integrl funkcij ln2 x 2 + C neodre deni integrl funkcije ln x x. 4

5 Neke osobine neodre denog integrl Iz definicije neodre denog integrl direktno slijedi [ f(x)dx] = [F (x) + C] = F (x) = f(x), (4) d f(x)dx = d[f (x) + C] = F (x)dx = f(x)dx, (5) df (x) = F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C, (6) F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C. (7) Jednostvnij prvil integrcije Prvilo. Nek je R konstnt. Td vrijedi f(x)dx = f(x)dx (8) Prvilo 2. Ako postoje f i (x)dx, i =, 2,..., n, td vrijedi (f + f f n )(x)dx = f (x)dx + f 2 (x)dx +... f n (x)dx. (9) Jednostvnij prvil integrcije Prvilo 3. Nek je f(t)dt = F (t) + C. Td je f(x + b)dx = F (x + b) + C. (0) Dokz. Kko je immo d je d dt df (t) = F (t) = f(t), dt d dt F (x + b) = F (x + b) = f(x + b), [ ] F (x + b) = F (x + b) = F (x + b) = f(x + b). 5

6 ..2 Tblic osnovnih integrl Tblic osnovnih integrl Integrcij je u osnovi čisto pog dnje - no obrzovno pog dnje! Mi u osnovi pokušvmo d pogodimo št je funkcij iz njenog izvod. Veliki broj integrl možemo riješiti koristeći se nekim, osnovnim integrlim stndrdnih funkcij. Ovdje ćemo nvesti neke od njih. Tblic osnovnih integrl. 0 dx = C; dx = x + C, 2. x dx = + x+ + C, 0,, R, 3. dx = ln x + C, x Tblic osnovnih integrl dx = rc tg x + C; + x2 dx = rcsin x + C; x 2 dx = rc ctg x + C, + x2 dx = rccos x + C, x 2 6. x dx = x ln + C, e x dx = e x + C, Tblic osnovnih integrl 7. sin xdx = cos x + C; cos xdx = sin x + C, cos 2 dx = tg x + C; x sin 2 dx = ctg x + C, x x2 ± 2 dx ln x + x2 ± 2 + C. 6

7 Tblic osnovnih integrl 0. sec x tn xdx = sec x + C; csc x ctg xdx = csc x + C, Primjeri (x 3 + 2x 5)dx. xdx. sin(mx)dx. Primjeri x + 3 dx. 2x + 5 x 2 + 5x + dx. tg 2 xdx. Primjeri x e x2 + dx. dx x ln x dx. 2dx sin 2x dx. 7

8 Primjeri cos x sin 2 x dx = cos x sin x sin x dx = t 2 2t 4 ( ) t 4 dt = t 2 2 = = t 2t + C = 2t + C. t csc x ctg xdx = csc x + C t 2 dt + ( 2)dt..3 Integrcij metodom smjene Integrcij smjenom U dosdšnjim primjerim smo se smo koristili osnovnim prvilim i tblicm integrl. Tkvi slučjevi su rijetki i u nekim slučjevim uvo denjem smjene nezvisne promjenljive podintegrlne funkcije možemo svesti integrl n tblični slučj. Nek trebmo izrčunti f(x)dx. () Umjesto nezvisne promjenljive x uvedimo novu promjenljivu t, i nek je x = g(t), dx = g (t)dt. (2) Integrcij smjenom Td integrl () glsi f[g(t)]g (t)dt. (3) Teorem.3. Nek su J i J 2 otvoreni integrli u skupu R. Nek je f : J 2 R, x J 2, neprekidn funkcij n J 2 i nek funkcij g : J J 2 im neprekidne izvode n J. Td z svko t J i svko x = g(t) J 2 vrijedi f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt. (4) Integrcij smjenom Tčnost tvrdnje prti n osnovu definicije izvod posredne funkcije i definicije neodre denog integrl. 8

9 sin 3 x cos xdx. Uvodimo smjenu sin x = t, cos xdx = dt. Td posmtrni integrl glsi sin 3 x cos xdx = t 3 dt = 4 t4 + C = 4 sin4 x + C. Integrcij smjenom xe x2 dx. dx + 4x dx. Integrcij smjenom dx + x dx. cos x + sin 2 x dx. sin 3 xdx...4 Metod prcijlne integrcije Prcijln integrcij Nek su u = f(x) i v = g(x) funkcije promjenljive x i nek imju izvode u = f (x) i v = g (x). Td je po prvilu diferencirnj proizvod d(u v) = u dv + v du, odkle slijedi odnosno u dv = d(u v) v du v du = d(u v) u dv. Iz prethodnih jednkosti integrcijom dobivmo 9

10 Prcijln integrcij u dv = u v v du (5) odnosno v du = u v u dv. (6) Gornje relcije dju prvil prcijlne integrcije. Primjeri Nek treb nći xe 2x dx. Uzmimo d je u = x, du = dx, dv = e 2x v = e 2x dx = 2 e2x. Td je prem relciji (5) xe 2x dx = x 2 e2x 2 e 2x dx = x 2 e2x 4 e2x + C. Primjeri = x3 ln x 3 x 2 ln x = 3 u = ln x du = dx x dv = x 2 dx v = 3 x3 x 3 dx x = x3 ln x 3 3 x 2 dx = x3 ln x 3 x9 9 + C. Primjeri Izrčunti e x cos(bx)dx. Oznčimo dti integrl s J i nek je Td je prem relciji (5) J = e x cos(bx)dx = u = e x, dv = cos(bx)dx. u = e x du = e x dx dv = cos(bx)dx v = b sin(bx) 0

11 Primjeri = b ex sin(bx) b e x sin(bx)dx. Ako se z izrčunvnje e x sin(bx)dx uzme u = e x (du = e x dx), dv = sin(bx)dx (v = b cos(bx) ), td slijedi J = b ex sin(bx) b [ b ex cos(bx) + b ] e x cos(bx)dx, Primjeri J = b ex sin(bx) + b 2 ex cos(bx) 2 b 2 J. Rješvnjem prethodne jednčine po J dobijmo ili J = e x cos(bx)dx = b sin(bx) + cos(bx) 2 + b 2 e x, b sin(bx) + cos(bx) 2 + b 2 e x + C. Primjeri Izrčunti dx (x ) n, n N. J = x2 + 2 dx...5 Integrcij rcionlnih funkcij Integrcij rcionlnih funkcij Rcionln funkcij je funkcij oblik: R(x) = P n(x) Q n (x) = nx n + n x n x + 0 b m x m + b m x m b x + b 0

12 Ako je. n m td je funkcij R(x) neprv rcionln funkcij; 2. n < m td je funkcij R(x) prv rcionln funkcij. U prvom slučju, prvo polinome P n (x) i Q m (x) podijelimo, tj. R(x) = P n(x) Q n (x) = Λ n m(x) + R (x) Q m (x). Drugi dio desne strne ove jednkosti je ond prv rcionln funkcij. 2x 3 x 2 + x + 5 x 2 4x + = 2x x 2 x 2 4x +. Izrčunvnje integrl rcionlne funkcije svodi se n izrčunvnje prve rcionlne funkcije. No, prije tog mormo prvu rcionlnu funkciju rzložiti n prostije rcionlne funkcije, tzv. prcijlne rzlomke, ztim rčunti integrle z svki od tih prcijlnih rzlomk. Rstvljnje prve rcionlne funkcije Prostim rcionlnim funkcijm zovemo rcionlne funkcije oblik gdje su A i relni brojevi, odnosno A (x α) k (k N ) (7) Mx + N (x 2 + px + q) k ( k N ; p 2 4 q < 0 ), (2.26 ) gdje su M, N, p i q relni brojevi. Svku prvu rcionlnu funkciju možemo predstviti u obliku (prem fundmentlnoj teoremi lgebre): P n (x) Q m (x) = P n (x) (x ) k (x M ) k M (x2 + p x + q ) l (x 2 + p N x + q N ) l, k i, l N i N, M+N = m Pri tome je p 2 4q < 0, tj. x 2 + px + q se ne može dlje rstviti n proste relne fktore (nem nul u R). Td rcionlnu funkciju možemo izrziti ko: P n (x) (x ) k (x 2 + px + q) l = A x + A 2 (x ) A k (x ) k + + M x + N x 2 + px + q + M 2x + N 2 (x 2 + px + q) M lx + N l (x 2 + px + q) l. 2

13 A, A 2,..., A n, M, M 2,..., M l, N, N 2,..., N l su nepoznti koeficijenti koje treb odrediti. Ond integrl Pn (x) Q n (x) se u stvri pretvr u k + l integrl koje već možemo riješiti stndrdnim putem! = 2 (x ) 2 dx + 2 3x 2 x + 2 (x ) 2 (x 2 + ) x dx + 2 x + x 2 dx = 2 x + 2 ln(x ) + 2 rctn x 4 ln(x2 + ) + C. Npomen: U opštem slučju, integrl oblik Mx + N x 2 + px + q dx = Mx + N (x + p/2) rješvmo pomoću smjene x + p 2 = t..2 Odre deni inetgrl.2. Odre deni integrl Odredjeni integrl Nek je funkcij nm je dt funkcij f(x) i nek procesom izrčunvnj neodre- denog integrl možemo nći njen primitiv F (x). U ovoj sekciji ćemo se bviti pojmom tzv. odre denog integrl, li ne teoretskim, već smo primjenjenim putem. Dkle, nećemo formlno definisti odre deni integrl, već smo pomoću njegove veze s neodre denim integrlom. Odre deni integrl funkcije f integrbilne n segmentu [, b] oznčvmo s Ispostvlj se d je b b Ov formul se po dogovoru zpisuje ko f(x)dx f(x)dx = F (b) F ()! b f(x)dx = F (x) b. 3

14 Ov formul se nziv Newton-Leibnitzov formul! Vidimo d nm odre deni integrl vrć konkretnu vrijednost, p stog i njegovo ime! Osobinu d postoji odre deni integrl funkije n segmentu [, b] ćemo oznčvti s f I[, b]. Osobine odre denog integrl Nek je f I [,b]. Td je, po definiciji, f(x)dx = b b f(x)dxi λ f(x)dx =0, λ [, b]. Lem.. Ako je f I [,b] i α < β b, td je f integrbiln n segmentu [α, β]. Lem.2. Nek je < c < b i nek je funkcij f integrbiln n [, b]. Td vrijedi b f(x)dx = c λ b f(x)dx+ c f(x)dx. (8) Teorem.4. Nek f, g I [,b]. Td su funkcije f + g, f g, λ g integrbilne n segmentu [, b], gdje je λ R ; pri tome vrijedi () (b) b b (f(x) ± g(x))dx = (λf(x)) dx = λ b b f(x)dx. f(x)dx ± b g(x)dx, Teorem.5. Nek su f, g I [,b] tkve d je f(x) g(x) z svko x [, b], td vrijedi b f(x)dx b g(x)dx. (9) Teorem.6. Ako je f integrbiln funkcij n segmentu [, b], td su integrbilne i funkcije f + i f ; osim tog, vrijedi nejednkost b b f(x)dx f(x) dx. (20) Teorem.7. Ako je f C [,b], td je f I [,b]. Izrčunti integrl 3 3 dx +x. 2 dx +x = rctgx 3 = rctg( 3) rctg( ) = π 2 3 ( π 4 ) = 7π 2. 4

15 Glvni metodi izrčunvnj neodre denog integrl, metod smjene promjenljive i metod prcijlne integrcije, mogu se primijeniti i kod izrčunvnj odre denog integrl. Teorem.8. Nek su funkcije u(x) i v(x) gltke n segmentu [, b]. Td vrijedi jednkost b u(x)dv(x) = u(x)v(x) b b v(x)du(x). (2) Izrčunti odre deni integrl e x 2 ln xdx. Teorem.9. Nek je f : [A, B] R neprekidn, funkcij im neprekidnu derivciju φ (t). Ako je td vrijedi jednkost Izrčunti φ : [α 0, β 0 ] [A, B] α, β [α 0, β 0 ], = φ(α), b = φ(β), b f(x)dx = 0 β α x2 dx. Ako se u izrčunvnju integrl polzni integrl trnsformir u f (φ(t)) φ (t)dt. (22) 2π 0 ( = π ) 4 2π 0 dx 4 3 cos x = +t 2 ( 2dt 4 3 t2 0 0 dx 4 3 cos x, uvede smjen t = tg x 2 +t 2 ) = 0., td se S druge strne, f(x) = 4 3 cos x je pozitivn i neprekidn funkcij n [0, 2π], zto njen integrl mor biti pozitivn (v. teorem 0). Dkle, negdje je nstl grešk. (Smjen t = tg x 2 nije korektn, jer z x = π [0, 2π], nije ni definirn.).2.2 Primjen odre denog integrl Primjen odre denog integrl 5

16 Teorem.0. Nek je z y = f(x), x [, b] prv derivcij f (x) neprekidn funkcij n [, b] i Γ = (x, f(x)), x [, b]. Td se otvoren kriv y = f(x), x [, b] može rektificirti i dužin krive Γ L(f;, b), izržv formulom L(f;, b) = b + (f (x)) 2 dx. (23) Teorem.. Nek su ϕ(t)iψ(t), α t β, funkcije čije su prve derivcije neprekidne funkcije n [α, β]. Td se kriv Γ, odre den jednčinm x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β može rektificirti. Još više, ko je ϕ(α) = i ϕ(β) = b, tj. ϕ ([α, β]) = [, b] R + {0}, njen dužin s(γ) iznosi s(γ) = β α ϕ 2 (t) + ψ 2 (t)dt. Nći obim jediničnog krug centrirnog u nuli. Površinski problem Sd se končno možemo vrtiti i nšem ntičkom problemu površine ispod krive! Nime površin ispod neke nenegtivne krive (do x-ose) n intervlu [, b] je jednk odre denom integrlu : P = b f(x)dx! Ukoliko se kriv nlzi ispod x ose, ond je površin iznd te krive n intervlu [, b] jednk P = b f(x)dx. Površinski problem Izrčunti površinu lik ome denog krivim y = x 2 + 4x + 5 i y = x Nesvojstveni integrl Nesvojstveni integrl Nesvojstveni (ili neprvi) integrl je grničn vrijednost odre denog integrl, kd se jedn grničn tčk (ili obje grnične tčke) intervl integrcije približv/ju bilo nekom odre denom relnom broju ili + ili. 6

17 7

18 Slik : Nesvjostveni integrl u beskončnosti Prvi slučj je kd je desni krj intervl integrcije jednk + (slično i kd je lijevi krj intervl jednk : + f(x)dx = f(x)dx = b lim b + lim b b f(x)dx = f(x)dx = lim [F (b) F ()] b + lim [F () F (b)] b Drug mogućnost je kd funkcij im prekid u tčki x = c. Td posmtrmo b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. No kko posmtrti te individulne integrle? U slučju prvog integrl: u slučju drugog b c c b = lim f(x)dx, ε 0 c+ε = lim ε 0 c ε dx x 2 f(x)dx 8

19 Slik 2: Nesvjostveni integrl s prekidom.3 Primjen integrl u ekonomiji Primjen integrl u ekonomiji Sjetimo se grničnih funkcij (prihod, troškov, dobiti, itd). One su bile definisne ko izvodi originlnih funkcij. Koristeći se integrlim, možemo nći ukupnu funkciju iz grnične funkcije! ukupn funkcij = grničn funkcij Zdn je funkcij grničnih troškov GT (Q) = Q(2 Q)e Q+0 i fiksni ukupni troškovi su nul F T = 0. ODrediti funkciju prosječnih troškov. Zdn je funkcij grničnih troškov GT (Q) = 8(Q 2), fiksni troškovi su 0, dok je funkcij potržnje dt ko funkcij cijene Q = p + 2. Izvesti funkciju ukupne dobiti. 9

1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem

1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem Integrali. Pojam neodre denog integrala Uvod u površinski problem Iako većina razmišlja o integralu isključivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog računa sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Integracija funkcija više promenljivih

Integracija funkcija više promenljivih Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Izvodi i integrali necelog reda

Izvodi i integrali necelog reda UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

Mera, integral i izvod

Mera, integral i izvod Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

B I O M A T E M A T I K A

B I O M A T E M A T I K A Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1

Zadatak 1 PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64

3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64 Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA INTEGRALA

PRIMENA INTEGRALA www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( ) ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Interaktivni nastavni materijali o integralima kreirani korixeem programskog paketa

Interaktivni nastavni materijali o integralima kreirani korixeem programskog paketa Mtemtiqki fkultet Univerzitet u Beogrdu Interktivni nstvni mterijli o integrlim kreirni korixeem progrmskog pket mster rd GeoGebr Mentor: doc. dr Miroslv Mri Student: Drgn Nikoli 3/ Beogrd, 4. MENTOR:

Διαβάστε περισσότερα