LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Transcript

1 Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211.

2 iii

3 Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij Egzistencij Lplce-ove trnsformcije Osobine Lplce-ove trnsformcije Lplce-ov trnsformcij periodičnih funkcij Suštin Lplce-ove trnsformcije Inverzn Lplce-ov trnsformcij Gm funkcije Konvolucij Lplce-ove trnsformcije Bet funkcije Bessel-ov funkcij Integrlne jednčine Lplce-ov trnsformcij distribucij Riemnn-Stieltjes-ov integrl Primjen Lplce-ove trnsformcije n obične diferencijlne jednčine Primjen Lplce-ove trnsformcije n prcijlne diferencijlne jednčine Uopštenje Lplce-ove trnsformcije Bochner-ov integrl Rdon-Nikodym-ov teorem Konvolucije Egzistencij Lplce-ovog integrl Osobine Lplce-ovog integrl iv

4 2.6. Teoreme jedinstvenosti, proksimcije i inverzije Riemnn-Stieltjesov integrl Lplce-Stiltjes-ov integrl Riesz-Stieltjes-ov opertor Lplce-Stieltjes-ov trnsformcij A. Tblice 65 Biogrfij 72 Litertur 73 v

5 Predgovor Lplce-ov trnsformcij predstvlj jko dobr "lt" z rješvnje običnih i prcijlnih diferencijlnih jednćin. Integrlne trnsformcije pojvljuju se u rdu Leonrd Euler-, koji ih je prilikom rješvnj običnih diferencijlnih jednčin drugog red, predstvljo u obliku inverzne Lplce-ove trnsformcije. Lplce u svom velikom djelu Théorie nlytique des probbilités (1812), pominje Euler- ko zčetnik integrlnih trnsformcij. Krjem devetnestog vijek, Lplce-ov trnsformcij je proširen do njenog kompleksnog oblik zslugm Poincré- nd Pincherle-, i proširen n dvije promjenjive zslugom Picrd. Jedn od njljepših formul iz teorije Lplce-ove trnsformcije je svkko formul kompleksne inverzije. Prv primjen svremene Lplce-ove trnsformcije pojvljuje se u rdu Btemn- (191). Berstein je 192-te u svom rdu o tet funkcijm izrz f(s) = e st φ(t)dt nzvo Lplce-ovom trnsformcijom. Određeni podsticj i doprinos ovome do je Deutch 192-ih i 193-ih godin koji primjenjuje Lplce-ovu trnsformciju z rješvnje diferencijlnih, integrlnih i integrodiferencijlni jednčin. Rezultte tog rd je izložio u djelu Theorie und Anwendungen der Lplce Trnsformtion (1937). Vžnu ulogu u primjeni Lplce-ove trnsformcije u Elektrotehnici odigro je Oliver Heviside. On je izumio Heviside-ovu stepenstu funkciju i primjenio je n modelu stuje u elektičnom kolu. Pronšo je i metodu z rješvnje linernih diferencijlnih jednčin, z koju je ksnije utvrđeno d odgovr Lplce-ovoj trnsformciji. Mnogi nučnici su pokušli d Heviside-ov rčun učine složenijim i povežu g s Lplce-ovom trnsformcijom. Jedn od njih bio je i Bromwich, koji je otkrio inverznu Lplce-ovu trnsformciju. Lplce-ov trnsformcij primjenjuje se u fizici (n primjer, provođenje toplote) ko i u nlizi prenos signl u rzličitim sistemim (elektične mreže, komunikcioni sistemi,...). Optički sistemi, ko i kompjuterski progrmi z obrdu digitlizovne slike i zvukov se tkođe mogu smtrti sistemim n koje se može primjeniti Lplce-ov trnsformcij. U ovom mster rdu sm pokušl d n njbolji nčin približim čitocu Lplceovu trnsformciju, njene osnovne osobine i primjene. Rd se sstoji od dve glv. Prv glv predviđen je z čitoce koji se prvi put upoznju s pojmom Lplceove trnsformcije i koji nisu upoznti s Bnhovim prostorim, dok je drug glv npredniji nivo i on je nmjenjen čitocim koji su upoznti s ovim vi

6 pojmovim, ko i s teorijom opertor. Prv glv se sstoji četrnest poglvlj. Tu su izložene neke osnovne osobine Lplce-ovog integrl. U prv četiri poglvlj su dte osobine Lplce-ove trnsformcije. U petom poglvlju je definisn inverzn Lplce-ov trnsformcij i dokzn je formul kompleksne inverzije. U nrednih šest poglvlj su definisne Gm, Bet i Beselov funkcij, definisn je pojm konvolucije funkcij i dokzn je teorem z konvoluciju Lplce-ove trnsformcije. Tkođe je definisn pojm distribucij i dokzn teorem z konvoluciju distibucij. Jednesto poglvlje je posvećeno Riemnn-Stieltjes-ovom integrlu. Tu su dte osnovne definicije Riemnn-Stieltjes-ovog integrl, funkcij ogrničene vrijcije i Lplce-Stieltjes-ove trnsformcije, sve to n prostorim R i C. Posljednj dv poglvlj su posvećen primjenm Lplce-ove trnsformcije. Drug glv se sstoji od deset poglvlj. To je uopštenje prethodne glve n Bnhovim prostorim. Ovde su još uvedeni dodtni pojmovi ko što su funkcije ogrničene semivrijcije, slbe ogrničene vrijcije, pscise konvergencije, Riesz-ovog opertor, Riesz-Stieltjes-ove trnsformcije i drugih. Lplce-ov i Lplce-Stieltjes-ov trnsformcije su predstvljene ko opertori koji djeluju n određenim prostorim. vii

7 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije Definicij Pretpostvimo d je t f(t) reln ili kompleksn funkcij (t > ) i s reln ili kompleksn prmetr. Definišimo Lplce-ovu trnsformciju funkcije f s F (s) = L(f(t)) = pod uslovom d ovj limes postoji. τ e st f(t)dt = lim τ e st f(t)dt (1.1) Ako ovj limes postoji, ond kžemo d integrl (1.1) konvergir. U suprotnom slučju integrl divergir i ne možemo definisti Lplce-ovu trnsformciju z f. U nstvku ćemo se bviti konvergencijom integrl (1.1). Definicij Integrl (1.1) je psolutno konvergentn ko postoji τ lim e st f(t) dt. τ Ako L(f(t)) konvergir psolutno, ond vrijedi z sve τ > τ. τ τ e st f(t)dt e st f(t) dt, kd τ τ τ Definicij Funkcij f je dio po dio neprekidn n intervlu [, ) ko: i) lim t + f(t) = f( + ) postoji ii) f je neprekidn n svkom končnom intervlu (, b) osim u eventulno končno mnogo tčk r 1, r 2,..., r n (, b) u kojim funkcij f im prekide. 1

8 Definicij Funkcij f je eksponencijnlo ogrničen ko postoje konstnte M > i α R tkve d z neko t vrijedi f(t) Me αt, t t Teorem Ako je f dio po dio neprekidn n [, ) i eksponencijlno ogrničen, td Lplce-ov trnsformcij postoji ko je Re(s) > α i konvergir psolutno. Dokz. Kko je funkcij f eksponencijlno ogrničen (eksponencijlnog red α), td postoji konstnt M 1 > tko d vrijedi f(t) M 1 e αt, t t, z neko relno α. Funkcij f je dio po dio neprekidn n [, t ] i odtle immo ogrničenost tj. Kko funkcij e αt izbrti dovoljno veliku, p immo Dkle, τ e st f(t) dt M f(t) M 2, < t < t im pozitivn minimum n [, t ], konstntu M možemo τ f(t) Me αt, t > e (x α)t dt = Me (x α)t (x α) τ = Kd pustimo τ i Re(s) = x > α dje M x α Me (x α)τ x α. e st f(t) dt M x α. (1.2) 1.2. Osobine Lplce-ove trnsformcije Nek je L := {f : (, ) R (C) F (s) postoji z neko s}. Teorem (Teorem linernosti) Ako f 1 L z Re(s) > α, f 2 L z Re(s) > β, td f 1 + f 2 L z Re(s) > mx{α, β} i L(c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 L(f 1 ) + c 2 L(f 2 ) z proizvoljne konstnte c 1 i c 2. 2

9 Dokz. Iz (1.1) i linernosti integrl dobijmo e st (c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t))dt = c 1 e st f 1 (t)dt + c 2 e st f 2 (t)dt. Teorem (Teorem sličnosti) Ako je f L, Re(s) > α i >, ond je i Re(s) > α i vrijedi L(f(t)) = 1 F ( s ). Dokz. Po definiciji Lplce-ove trnsformcije immo L(f(t)) = e st f(t)dt. Smjenom t = u, dt = du gornji integrl postje L(f(u)) = 1 e s u f(u)du. Teorem (Prv teorem pomjernj) Ako je F (s) = L(f(t)), Re(s) >, td je F (s ) = L(e t f(t)), Re(s) >, R. Dokz. Z Re(s) >, vži F (s ) = e (s )t f(t)dt = e st e t f(t)dt = L(e t f(t)). Teorem (Drug teorem pomjernj) Ako je F (s) = L(f(t)), td je L(u (t)f(t )) = e s F (s), ( ) gdje je Dokz. 1, t > u (t) =, t <. L(u (t)f(t )) = e st u (t)f(t )dt = Uvodeći smjenu τ = t, dobijmo e s(τ+) f(τ)dτ = e s e st f(t )dt. e sτ f(τ)dτ = e s F (s). 3

10 Npomen Z, funkcij u (t) se nziv Heviside-ov stepenst funkcij. Teorem Ako konvergir z t uz uslov d je f(t) = n t n n= n Kαn n! z sve dovoljno velike n i α >, K >, td je L(f(t)) = n L(t n n n! ) = (Re(s) > α). n= n= s n+1 Dokz. Kko je funkcij f(t) predstvljen pomoću stepenog red, on je neprekidn n [, ). Želimo d pokžemo d rzlik N N N L(f(t)) n L(t n ) = L(f(t) n t n ) L x ( f(t) n t n ) n= n= n= konvergir nuli kd N, gdje je L x (h(t)) = e xt h(t)dt, z neku funkciju h gdje je x = Re(s). Prem tome je N f(t) n t n = n t n K n= n=n+1 n=n+1 (αt) n n! N = K(e αt (αt) n ). n! n= Kko z proizvoljne Lplce trnsformbilne funkcije h i g tkve d je h g vrijedi L x (h) L x (g), ond vrijedi N N L x ( f(t) n t n ) KL x (e αt (αt) n 1 N ) = K( n= n= n! x α α n n= x ) = n+1 1 = K( x α 1 x Ovdje smo iskoristi činjenicu d je Prem tome je N ( α n= x )n ) kd N, (Re(s) = x > α). n= z n = 1, z < 1. 1 z N L(f(t)) = lim n L(t n n n! ) =, (Re(s) > α). N n= n= sn+1 4

11 Teorem Ako je f dio po dio neprekidn n [, ) i eksponencijlno ogrničen, td F (s) = L(f(t)) kd Re(s). Dokz. Iz (1.2) slijedi d z proizvoljnu konstntu M > vži e st f(t)dt M x α, (Re(s) = x > α). Puštjući u prethodnoj nejednkosti x dobijmo tvrdnju. Teorem Nek je f neprekidn n (, ) eksponencijlnog red α i f dio po dio neprekidn n [, ). Td L(f (t)) = sl(f(t)) f( + ) (Re(s) > α). Dokz. Prcijlnom integrcijom dobijmo τ τ e st f (t)dt = lim e st f (t)dt = lim τ, δ δ τ, δ [e st f(t) τ δ +s e st f(t)dt] = δ τ = lim τ, δ [e sτ f(τ) e sδ f(δ) + s e st f(t)dt] = Prem tome je = f( + ) + s e st f(t)dt (Re(s) > α). L(f (t)) = sl(f(t)) f( + ). Ovdje smo koristi činjenicu d z Re(s) = x > α vži e sτ f(τ) e xτ Me ατ = δ = Me (x α)τ kd τ. Primjetimo d f( + ) postoji jer f ( + ) = lim t + f (t) postoji. Jsno, ko je f neprekidn u nuli, ond je f( + ) = f() i nš formul postje L(f (t)) = sl(f(t)) f(). Teorem Pretpostvimo d je f neprekidn n [, ) osim u tčki t 1 > u kojoj im prekid i nek je f eksponencijlno ogrničen, f dio po dio neprekidn n [, ). Td L(f (t)) = sl(f(t)) f() e t1s (f(t + 1 ) f(t 1 )) (Re(s) > α). 5

12 Dokz. τ e st f (t)dt = τ lim e st f (t)dt = lim [e st f(t) t 1 τ +e st f(t) τ t + 1 τ +s e st f(t)dt] = Odtle je τ = lim [e st f(t τ 1 ) f() + e sτ f(τ) e st f(t + 1 ) + s e st f(t)dt]. L(f (t)) = sl(f(t)) f() e t 1s (f(t + 1 ) f(t 1 )). Ako su < t 1 < t 2 <... < t n prekidi funkcije f, n je končn broj, td prethodn formul postje n L(f (t)) = sl(f(t)) f() e tks (f(t + k ) f(t k )). k=1 Npomen Primjetimo d ko je f neprekidn n [, ) eksponencijlnog red α, td isto vrijedi i z funkciju f. Slijedeć teorem je uopštenje Teoreme i glsi: Teorem Pretpostvimo d su f(t), f (t),...f (n 1) (t) neprekidne n (, ) eksponencijlnog red α, f (n) (t) dio po dio neprekidn n [, ). Td je L(f (n) (t)) = s n L(f(t)) s n 1 f( + ) s n 2 f ( + )... f (n 1) ( + ). Teorem (Teorem o diferencirnju slike) Nek je f(t) dio po dio neprekidn n [, ), eksponencijlnog red α i L(f(t)) = F (s). Td d n ds n F (s) = L(( 1)n t n f(t)) n = 1, 2, 3,... (Re(s) > α). Dokz. Poći ćemo od sme definicije Lplce-ove trnsformcije funkcije f F (s) = e st f(t)dt. Diferencirnjem lijeve i desne strne prethodne nejednkosti po s dobijmo d ds F (s) = d ds = e st f(t)dt = te st f(t)dt = L( tf(t)) s e st f(t)dt Ovdje smo koristili teoremu o zmjeni mjest izvod i integrl. Nstvljjući postupk dobijmo tvrdnju. 6

13 Teorem (Teorem o početnoj vrijednosti) Pretpostvimo d f i f zdovoljvju uslove Teoreme i F (s) = L(f(t)). Td f( + ) = lim f(t) = lim sf (s) t + s (s je relno). Dokz. N osnovu Teoreme je L(f (t)) = G(s) kd s. N osnovu Teoreme je G(s) = sf (s) f( + ), s > α. Puštjući limes u prethodnoj jednkosti dobijmo Prem tome je = lim s G(s) = lim s sf (s) f( + ). f( + ) = lim s sf (s). Teorem Pretpostvimo d funkcij f zdovoljv uslove Teoreme 1.2.7, L(f (t)) = G(s) postoji z sve s > i lim t f(t) postoji. Td Dokz. Vidjeti u [1]. lim s + e st f (t)dt = f (t)dt. Teorem (Teorem o krjnjoj vrijednosti) Pretpostvimo d f zdovoljv uslove Teoreme i lim t f(t) postoji. Td je lim t f(t) = lim sf (s) s (s je relno). Dokz. N osnovu pretpostvke funkcij f je ogrničen, p primjetimo d je eksponencijlni red ove funkcije α =. N osnovu Teoreme je G(s) = L(f (t)) = sf (s) f( + ) (s > ). Puštjući limes kd s u prethodnoj jednčini dobijmo lim G(s) = lim sf (s) s s f(+ ). (1.3) N osnovu Teoreme limes može ući ispod znk integrl, p dobijmo lim s G(s) = lim s Integrl f (t)dt postoji, jer f (t)dt = lim τ τ e st f (t)dt = Iz jednčin (1.3), (1.4) i (1.5) dobijmo tvrdnju. f (t)dt. (1.4) f (t)dt = lim τ (f(τ) f( + )). (1.5) 7

14 Definicij Ako je kompleksn funkcij f(z) diferencijbiln u svim tčkm u nekoj okolini z z < r, td je f(z) nlitičk (holomorfn) u tčki z. Ako je f(z) nlitičk u svkoj tčki u oblsti D, ond je f(z) nlitičk (holomorfn) n D. Teorem Ako je funkcij f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definisn u oblsti D i njeni prcijlni izvodi u x, u y, v x, v y su neprekidni i zdovoljvju Cuchy- Riemnn-ove (C-R) 1 uslove. Td je f(z) nlitičk (holomorfn) n D. Dokz. Vidjeti u [5]. Teorem Ako je f dio po dio neprekidn funkcij i integrl F (s) = e st f(t)dt uniformno konvergir z sve s E C, ond je F (s) neprekidn n E, tj. z s s E je Dokz. Vidjeti u [1]. lim e st f(t)dt = lim e st f(t)dt = F (s ). s s s s Teorem Pretpostvimo d su f(x, y) i f(x, y) neprekidne u prvougoniku x b, y T, T >, osim u možd končno mnogo tčk x u kojim im prekide duž prvih y = y i, i = 1, 2,..., n i nek f(x, y)dy konvergir, f(x, y)dy konvergir uniformno. Td je x Dokz. Vidjeti u [1]. f(x, y)dy = f(x, y)dy x x ( < x < b). Teorem Nek je f(t) dio po dio neprekidn n [, ) eksponencijlnog red α, ond je F (s) = L(f(t)) nlitičk funkcij u domenu Re(s) > α. Dokz. Nek je s = x + iy. F (s) = = e st f(t)dt = (e xt cos(yt))f(t)dt + e (x+iy)t f(t)dt = e xt (cos(yt) i sin(yt))f(t)dt = ( e xt sin(yt))f(t)dt = u(x, y) + iv(x, y) 1 Ovi uslovi se dost često koriste u kompleksnoj nlizi u dti su u [5] 8

15 Uzmimo u obzir t x (e xt cos(yt))f(t)dt = ( te xt cos(yt))f(t)dt te xt f(t) dt t t M e (x α δ)t M dt t x α δ e (x α δ)t gdje je δ > izbrno proizvoljno mlo. Td z x x > α (x x > α + δ), desn strn prethodne nejednkosti može biti dovoljno ml birjući t dovoljno veliko. Iz tog slijedi d integrl x (e xt cos(yt))f(t)dt uniformno konvergir z Re(s) x > α. N isti nčin zključujemo d integrl y ( e xt sin(yt))f(t)dt konvergir uniformno z Re(s) x > α. N osnovu ove uniformne konvergencije i psolutne konvergencije L(f(t)) po Teoremi zključujemo d možemo diferencirti ispod znk integrl. Iz tog je u x = x (e xt cos(yt))f(t)dt = ( te xt cos(yt))f(t)dt v y = y ( e xt sin(yt))f(t)dt = ( te xt cos(yt))f(t)dt tj. u x = v y. N sličn nčin pokžemo d je u y = v x. Neprekidnost prcijlnih izvod u x, u y, v x, v y slijedi iz Teoreme primjenjene n funkciju g(t) = tf(t). N osnovu Teoreme slijedi tvrdnj. Teorem Ako je f dio po dio neprekidn n [, ) eksponencijlnog red α i ond je g(t) = L(g(t)) = 1 s L(f(t)) f(u)du, (Re(s) > α). Dokz. Kko je g (t) = f(t), osim u tčkm prekid funkcije f, p prcijlnom integrcijom dobijmo e st g(t)dt = lim τ [ g(t)e st s Kko je g() =, trebmo odrediti τ + 1 s τ e st f(t)dt]. U tom cilju je, g(τ)e sτ lim. τ s τ g(τ)e sτ e xτ f(u) du τ Me xτ e αu du 9

16 = M α (e (x α)τ e xτ ) kd τ gdje je x = Re(s) > α >. Ovo vrijedi i z α =. Otud je L(g(t)) = 1 s L(f(t)) (Re(s) > α). Teorem Ako je f dio po dio neprekidn n [, ) eksponencijlnog red α i ko postoji F (u)du, td je Dokz. s F (u)du = L( f(t) ) = t s s f(t) e ut F (u)du (Re(s) > α). du e ut f(t)dt = f(t)dt e ut du = s = s dt = f(t) e st dt = L( f(t) ). t t t Ovdje smo koristili Fubini 2 -jevu teoremu o zmjeni mjest integrl Lplce-ov trnsformcij periodičnih funkcij Nek je dt funkcij t f(t) tkv d je f(t) = z svko t < koj je periodičn n intervlu [, ) s periodom T. Td vrijedi jednkost f(t+kt ) = f(t) gdje je k prirodn broj. Teorem Ako je F (s) = L(f(t)) i ko je f periodičn s periodom T n intervlu [, ), ond vrijedi F (s) = 1 1 e st T e st f(t)dt. Dokz. N osnovu definicije Lplce-ove trnsformcije, immo F (s) = e st f(t)dt = Uvodeći smjenu τ = t T, dobijmo T Prem tome je e st f(t)dt = F (s) = T e st f(t)dt + T e st f(t)dt. e s(τ+t ) f(τ + T )dτ = e st e sτ f(τ)dτ. T p n osnovu ovog dobijmo tvrdnju. e st f(t)dt + e st F (s), 2 Formulcij i dokz Fubini-jeve teoreme se nlzi u [3] 1

17 1.4. Suštin Lplce-ove trnsformcije Definicij Orginlom se nziv svk kompleksn funkcij relne promjenjive t f(t) koj ispunjv slijedeće uslove: i) Z svko t < je f(t) =. Funkcij koj ispunjv ovj uslov se nziv kuzln funkcij. ii) Funkcij f je integrbiln n svkom končnom intervlu koji pripd oblsti [, ], gdje je <. iii) Funkcij f je eksponencijlno ogrničen. Definicij Nek je funkcij t f(t) psolutno integrbiln n intervlu (, + ). Fourier-ov trnsformcij ove funkcije je (Ff)(y) = + Njen inverzn Fourier-ov trnsformcij glsi: f(t) = 1 + e ity (Ff)(y)dy. 2π e ity f(t)dt. (1.6) Ako je f kuzln funkcij, td je donj grnic integrl (1.6) umjesto jednk. Pomnožimo podintegrlnu funkciju jednkosti (1.6) s funkcijom e xt, gdje je x relni prmetr izbrn tko d integrl (1.1) konvergir z svki originl f(t). N tj nčin Fourier-ov trnsformcij od e xt f(t), gdje je f(t) originl, jednk je + e ity e xt f(t)dt = + e (x+iy)t f(t)dt = + e st f(t)dt = F (s) gdje je s = x + iy. Do inverzne Lplce-ove trnsformcije dolzimo pomoću inverzne Fourier-ove trnsformcije. Immo d je e xt f(t) = 1 + e ity F (s)dy. 2π Odvde je f(t) = 1 + e xt e ity F (s)dy = 1 + e st F (s)dy. 2π 2π Ako uvedemo smjenu s = x + iy, z koju je ds = idy, dobijmo f(t) = 1 x+i e st F (s)ds. (1.7) 2πi x i Ovo je inverzn Lplce-ove trnsformcij i integrl n desnoj strni jednkosti (1.7) nziv se Bromwich ov integrl. 11

18 1.5. Inverzn Lplce-ov trnsformcij Definicij Vrijednost lim A A A f(t)dt se nziv Cuchy-jev glvn vrijednost integrl + f(t)dt, pod uslovom d ovj integrl postoji. Teorem (Fundmentln teorem Fourier-ovih integrl) Nek je f psolutno neprekidn i dio po dio gltk funkcij n R i nek je (Ff)(y) Fourier-ov trnsformcij od f. Td integrl (1.6) konvergir z svko t R ko Cuchyjev glvn vrijednost i vrijedi 1 + e ity (Ff)(y)dy = 1 2π 2 (f(t+ ) + f(t )), (1.8) gdje je f(t + ) = lim h f(t + h) i f(t ) = lim h f(t h). Dokz. Vidjeti u [2]. Teorem Nek je f(t) dio po dio gltk (i kuzln) funkcij eksponencijlnog red α R i nek je F (s) Lplce-ov trnsformcij od f(t). Ond z t i s = x + iy tkvo d je Re(s) > α vrijedi lim A 1 A F (s)e st dy = 1 2π A 2 (f(t+ ) + f(t )). Dokz. Definišimo funkciju g(t) = u (t)f(t)e xt ( ). Primjetimo d je funkcij g(t) psolutno integrbiln, jer je f(t) eksponencijlnog red α. zključujemo d Fourier-ov trnsformcij od g(t) postoji z Re(s) > α i (Fg)(y) = + e ity u (t)f(t)e xt dt = + e (x+iy)t f(t)dt = F (s). Odtle Kko je f dio po dio gltk, ond je i g dio po dio gltk i psolutno integrbiln. Prem tome, Teoremu možemo primjeniti n funkciju g. Kko je (Fg)(y) = F (s) iz (1.8) dobijmo 1 F (x + iy)e ity dy = 1 2π 2 (g(t+ ) + g(t )). Z t immo g(t + ) = u (t + )f(t + )e xt = f(t + )e xt i g(t ) = f(t )e xt, što nm dje lim A 1 A F (s)e ity dy = 1 2π A 2 (f(t+ ) + f(t ))e xt. Ako pomnožimo lijevu i desnu strnu prethodne nejednkosti s e xt, dobijmo tvrdnju koj vži z Re(s) > α i t. 12

19 Teorem (Lplce-ov trnsformcij je 1-1) Nek su f(t) i g(t) dio po dio neprekidne funkcije eksponencijlnog red α i nek su F (s) i G(s) Lplce-ove trnsformcije od f(t) i g(t) respektivno. Td, ko je F (s) = G(s) u polurvni Re(s) > α, ond je f(t) = g(t) u svim tčkm u kojim su f(t) i g(t) neprekidne. Dokz. Nek je t R tčk u kojoj su f(t) i g(t) neprekidne. Kko je F (s) = G(s) z Re(s) > α, iz Teoreme dobijmo d je f(t) = lim A 1 A F (s)e st dy = lim 2π A A 1 A G(s)e st dy = g(t). 2π A Definicij Nek je funkcij f(z) regulrn u prstenu < z z < r i nije definisn u tčki z =, ( ). Td se nziv izolovnim singulritetom funkcije f. Definicij Izolovni singulritet funkcije f se nziv: i) otklonjivim, ko lim z f(z) postoji i končn je. ii) polom, ko lim z f(z) =. iii) esencijlnim singulritetom, ko lim z f(z) ne postoji. Definicij Ako nlitičku funkciju z f(z) rzvijemo u Lurent ov red u okolini njenog pol ili esencijlnog singulritet, tj. f(z) = A n (z ) n B n + n= n=1 (z ) n 1 ond se koeficijent B 1 uz nziv osttkom funkcije f u tčki z =. Osttk z se oznčv s res z= f(z) ili res(f(z), z = ). Teorem (Cuchy-jev teorem o ostcim) Ako je L kontur koj obuhvt polove ili esencijlne singulritete z k, (k = 1, 2,..., n) uniformne funkcije z f(z), td je Dokz. Vidjeti u [5]. n f(z)dz = 2πi res(f(z), z = z k ). L k=1 Osnovn osobin inverzne Lplce-ove trnsformcije je linernost koju možemo dokzti po definiciji. U nstvku ćemo se bviti nekim osobinm inverzne Lplce-ove trnsformcije. 13

20 Teorem Ako se funkcij s F (s) može rzložiti u Lurent-ov red td je F (s) = k= f(t) = L 1 (F (s)) = k, (1.9) sk+1 gdje je L 1 (F (s)) inverzn Lplce-ov trnsformcij od F (s). k= k t k k!, (1.1) Dokz. Primjenimo jednkost L(t n ) = n! s n+1, odnosno L 1 ( 1 s n+1 ) = tn n! n (1.9). Zmjenom mjest sume i inverzne Lplce-ove trnsformcije dolzimo do jednkosti (1.1). Teorem Ako je F (s) = Qm(s) P n(s), gdje su Q m(s) i P n (s) polinomi (m < n) i ko P n (s) im proste nule s 1, s 2,..., s n, td je f(t) = L 1 (F (s)) = n k=1 Formul (1.11) poznt je ko Heviside-ov formul. Q m (s k ) P n(s k ) es kt. (1.11) Dokz. Primjenom Bromwich-ovog integrl i Cuchy-jeve teoreme o ostcim immo Kko je f(t) = n k=1 res( Q m(s) P n (s) est, s = s k ). res( Q m(s) P n (s) est, s = s k ) = lim s sk (s s k ) Q m(s) P n (s) est = = Q m (s k )e s kt lim s sk s s k P n (s) = = Q m(s k )e s kt P n(s k ) gdje je n posljednji limes primjenjeno L Hospitl-ovo prvilo. Postoji i opštij formul od ove. Pretpostvimo d je s 1 = s 2 =... = s ϑ =, tj. s = je nul polinom P n (s) red ϑ. Nek su ostle nule s ϑ+1,..., s n proste. Td se rcionln funkcij Qm(s) P n(s) može prikzti u obliku Q m (s) P n (s) = c 1 s c k (s ) c ϑ 1 k (s ) + c ϑ ϑ 1 (s ) + n ϑ k=ϑ+1 Q m (s k ) P n(s k ) 1 (s s k ). 14

21 Prethodnu jednkost pomnožimo s (s ) ϑ, ztim diferencirjmo ϑ k put i pustimo d s. Td dobijmo c k = 1 (ϑ k)! lim s d ϑ k d ϑ k s Inverzn trnsformcij rcionlne funkcije Qm(s) P n(s) L 1 ( Q m(s) ϑ P n (s) ) = c k (k 1)! tk 1 e t + k=1 ((s ) ϑ Q m(s) P n (s) ). dje n k=ϑ+1 Q m (s k ) P n(s k ) es kt. Lem Pretpostvimo d z s n konturi krug C R (Slik 1.1), funkcij F (s) zdovoljv Td je F (s) M s p, z neko p > i sve R > R. lim R e ts F (s)ds = C R (t > ). Dokz. U tčkm s = Re iθ n C R je e ts = e tr cos θ. Prem tome, z dovoljno Slik 1.1: Figur 1 veliko R tkvo d su svi polovi funkcije F (s) u unutršnjosti konture Γ R = ABCDEA, funkcij F (s) će biti neprekidn n C R i F (s) M R p veliko R. Otud dobijmo d n kružnom luku BCD vrijedi e st F (s)ds e ts F (s) ds M BCD BCD R p 1 3π 2 π 2 e tr cos θ dθ., z dovoljno 15

22 Uvodeći smjenu θ = ϕ + π 2, dobijmo e st F (s)ds BCD M π e tr sin ϕ dϕ = 2M R p 1 R p 1 π 2 e tr sin ϕ dϕ. (1.12) Posljednj jednkost je posljedic tog d je funkcij sin ϕ simetričn oko ϕ = π 2, z ϕ π. D bismo odredili grnicu z integrl (1.12), posmtrjmo grfik funkcije y = sin ϕ, ϕ π. Kriv od tčke (, ) do tčke ( π, 1) im ngib 2 2 Slik 1.2: Figur 2 β = 2 < 1, p n osnovu tog zključujemo d prv 2 ϕ leži ispod krive y = sin ϕ, π π tj. Zbog tog jednčin (1.12) dje, e st F (s)ds 2M BCD R p 1 sin ϕ 2 π ϕ, ϕ π 2. π 2 e 2Rtϕ π 2M π 2Rtϕ dϕ = ( Rp 1 2Rt e π π 2 ) = = Mπ R p t (1 e Rt ) kd R. Iznd luk AB immo d je e ts e tx = c, z fikcno t > i dužin luk AB, u oznci l(ab), ostje ogrničen kd R. Prem tome je N sličn nčin pokzuje se d Iz ovog zključujemo d je e st F (s)ds cml(ab) kd R. AB R p e st F (s)ds kd R. DE lim e st F (s)ds =. R C R 16

23 Teorem Pretpostvimo d je f neprekidn i eksponencijlno ogrničen n [, ), f dio po dio neprekidn n [, ). Ako je F (s) = L(f(t)), z Re(s) = x > α i zdovoljv F (s) M s p, p > z sve s dovoljno velike i neko p i ko je F (s) nlitičk n C osim u končno mnogo polov z 1, z 2,..., z n, td je f(t) = 1 x+i e st F (s)ds = 2πi x i n res(e st F (s), s = z k ). (1.13) k=1 Dokz. Po Teoremi 1.1.1, F (s) konvergir psolutno z Re(s) = x > α, tj. e st f(t) dt = e xt f(t) dt <, x > α. Iz tog zključujemo d je funkcij g(t) = e xt f(t) psolutno integrbiln, p n osnovu Teoreme je g(t) = 1 + e ity (Fg)(y)dy, t >. 2π Ako pomnožimo lijevu i desnu strnu prethodne jednkosti s e xt dobijmo f(t) = 1 + e st (Fg)(y)dy, t >. 2π Ako uvedemo smjenu s = x + iy, x > α, prethodn jednčin postje f(t) = 1 x+i e st 1 x+iy F (s)ds = lim e st F (s)ds. 2πi x i y 2πi x iy D bismo dokzli tvrdnju, uzmimo C R rdijus R i centr u koordintnom početku. Td z neko s koje se nlzi n konturi Γ R = ABCDEA vrijedi 1 e st F (s)ds = 1 e st F (s)ds + 1 e st F (s)ds. (1.14) 2πi Γ R 2πi C R 2πi EA Kko je F (s) nlitičk, z Re(s) = x > α, td svi singulriteti funkcije F (s) morju ležti lijevo od prve Re(s) = α (Bromwich-ov linij). Ako je F (s) nlitičk z Re(s) < α osim u končno mnogo polov z 1, z 2,..., z n, ond je F (s) oblik F (s) = Q(s), gdje su Q(s) i P (s) polinomi. Uzimjući R dovoljno veliko, P (s) svi polovi funkcije F (s) će ležti unutr konture Γ R. N osnovu Cuchy-jeve teoreme o ostcim dobijmo 1 e st F (s)ds = 2πi Γ R n res(e st F (s), s = z k ). (1.15) k=1 17

24 Iz (1.14) i (1.15) dobijmo n k=1 res(e st F (s), s = z k ) = 1 e st F (s)ds + 1 x+iy e st F (s)ds. 2πi C R 2πi x iy Iz Leme i puštjuči R dobijmo tvrdnju. Npomen Ako funkcij F (s) iz prethodne teoreme im beskončno mnogo polov {z k } k=1 koji se nlze lijevo od linije Re(s) = x > i z 1 z 2..., z k kd k. Td vrijedi f(t) = 1 x +i e st F (s)ds = 2πi x i 1.6. Gm funkcije res(e st F (s), s = z k ). k=1 Definicij Funkcij p Γ(p), definisn pomoću integrl Γ(p) = nziv se (Euler-ov) gm funkcij. i glsi x p 1 e x dx, (p > ) Posmtrjmo Lplce-ovu trnsformciju funkcije t ϑ koj postoji z ϑ > 1 L(t ϑ ) = e st t ϑ dt. Uvodeći smjenu x = st, (s > ), dobijmo L(t ϑ ) = e x ( x 1 s )ϑ s dx = 1 e x x ϑ dx. s ϑ+1 Koristeći Gm funkcije, prethodn jednkost postje L(t ϑ ) = Γ(ϑ + 1) s ϑ+1, ϑ > 1, s >. Koristeći jednkost L(t ϑ ) = ϑ! s ϑ+1 (pogledti Teoremu 1.2.5) i stvljjući ϑ = n =, 1, 2,..., dobijmo Γ(n + 1) = n!. Teorem Ako f(t) = n t n+ϑ (ϑ > 1) (1.16) n= konvergir z sve t i n K αn, pri čemu su K, α > i jednkost (1.16) n! vži z sve dovoljno velike n. Td L(f(t)) = n= n Γ(n + ϑ + 1) s n+ϑ+1 (Re(s) > α). 18

25 Dokz. Vidjeti u [7]. Teorem Ako konvergir z s > R, td je F (s) = n= n s n+1 (1.17) f(t) = L 1 (F (s)) = n= n t n, (t ). (1.18) n! Dokz. Primjetimo d ko red (1.17) konvergir z s > R, ond je n s n K, z neku konstntu K > i sve n. Td z s = r > R vrijedi Vrijedi i n Kr n. (1.19) r n < 2n n rn = αn n, (1.2) gdje je α = 2r. Kko je Γ(n + ϑ + 1) Γ(n) z ϑ > 1 i n > 1, p (1.19) i (1.2) dju n Γ(n + ϑ + 1) Kαn nγ(n) = Kαn. n! Množeći lijevu i desnu strnu prethodne jednkosti s t n, t, dobijmo Kko red e αt = n= (αt) n n Γ(n + ϑ + 1) tn K(αt)n. n! n! konvergir, ond red f(t) = n= n Γ(n + ϑ + 1) tn+ϑ (1.21) konvergir psolutno. Iz ovog vidimo d je funkcij f eksponencijlno ogrničen i svljjući ϑ = u (1.21) dobijmo (1.18). 19

26 1.7. Konvolucij Lplce-ove trnsformcije Nek su funkcije f(t) i g(t) definisne z t >. Definicij Konvolucij funkcij f i g je dt pomoću integrl (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ koji postoji ko su f i g dio po dio neprekidne. Konvolucij se u opštem slučju definiše pomoću integrl (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ. Ako su f i g originli, z τ < je f(τ) =, z τ > t je g(t τ) =, tko d grnice integrl ostju i t. Osnovne osobine konvolucije su: i) f g = g f (komuttivnost) ii) c(f g) = f cg = cf g, c je konstnt iii) f (g h) = (f g) h (socijtivnost) iv) f (g + h) = f g + f h (distributivnost). Osobine (i), (ii) i (iv) lko se provjervju. Provjerimo osobinu (iii). [f (g h)](t) = = ( τ f(τ)(g h)(t τ)dτ = f(τ)g(u τ)h(t u)du)dτ = ( u U prethodnu jednkost uveli smo smjenu x = u τ. τ f(τ)( g(x)h(t τ x)dx)dτ = f(τ)g(u τ)dτ)h(t u)du = [(f g) h](t). Teorem (Konvolucion teorem) Ako su f i g dio po dio neprekidne n [, ) i eksponencijlno ogrničene, ond je L[(f g)(t)] = L(f(t)) L(g(t)) (Re(s) > α). Dokz. L(f(t)) L(g(t)) = ( e sτ f(τ)dτ) ( e su g(u)du) = = ( e s(τ+u) f(τ)g(u)du)dτ. 2

27 Uvedimo smjenu t = τ + u i primjetimo d je τ fiksno u unutršnjosti integrl. N osnovu tog immo L(f(t)) L(g(t)) = ( τ e st f(τ)g(t τ)dt)dτ. Ako definišemo g(t) = z t <, ond je g(t τ) = z t < τ, p dobijmo L(f(t)) L(g(t)) = e st f(τ)g(t τ)dtdτ. N osnovu pretpostvke, Lplce-ovi integrli funkcij f i g konvergirju psolutno i odtle dobijmo d integrl e st f(τ)g(t τ) dtdτ konvergir. Ovo nm omogućv d zmjenimo redoslijed integrcije, p je L(f(t)) L(g(t)) = = e st ( e st f(τ)g(t τ)dtdτ = ( f(τ)g(t τ)dτ)dt = L((f g)(t)). e st f(τ)g(t τ)dτ)dt = 1.8. Bet funkcije Definicij Funkcij (p, q) B(p, q) definisn pomoću B(p, q) = nziv se bet funkcij. 1 u p 1 (1 u) q 1 du (p, q > ), Ako je f(t) = t p 1, g(t) = t q 1, p, q >, ond je (f g)(t) = Uvodeći smjenu τ = ut, dobijmo τ p 1 (t τ) q 1 dτ. 1 (f g)(t) = t p+q 1 u p 1 (1 u) q 1 du. Td n osnovu Teoreme o konvoluciji, dobijmo Dkle, L(t p+q 1 B(p, q)) = L(t p 1 )L(t q 1 ) = Γ(p)Γ(q) s p+q. t p+q 1 B(p, q) = L 1 ( Γ(p)Γ(q) ) = Γ(p)Γ(q)tp+q 1, s p+q Γ(p + q) p n osnovu tog dobijmo Euler-ovu formulu z bet funkciju B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q). 21

28 1.9. Bessel-ov funkcij Definicij Bessel-ov funkcij je rješenje Bessel-ove jednčine red ϑ i definisn je pomoću red t 2 d2 y dt 2 + tdy dt + (t2 ϑ 2 )y = J ϑ (t) = n= Z ϑ = jednčin (1.22) postje J (t) = J (t) je ogrničen funkcij i n= ( 1) n (t) 2n+ϑ 2 2n+ϑ n!(n + ϑ)!. (1.22) ( 1) n (t) 2n 2 2n (n!) 2 = 2n t 2n. n= 2n = 2n 2 2n (n!) 2 2n (2n)!. Uzimjući α =, prem Teoremi dobijmo L(J (t)) = n= = 1 s ( 1) n () 2n 2 2n (n!) 2 L(t 2n ) = n= = n= ( 1) n () 2n (2n)! 2 2n (n!) 2 s 2n+1 = ( 1) n (2n)! ( 2 2 2n (n!) 2 s 2 )n = 1 s s s2 + = 2 1 s2 + 2 (Re(s) > ) Integrlne jednčine Definicij Jednkosti oblik f(t) = g(t) + i g(t) = k(t, τ)f(τ)dτ k(t, τ)f(τ)dτ nzivju se integrlne jednčine, gdje je f(t) nepoznt funkcij. Kd je jezgro k(t, τ) oblik k(t, τ) = k(t τ), 22

29 gornji integrli predstvljju konvolucije. Ako su g i k poznte funkcije, ond je po konvolucionoj teoremi odnosno L(f) = L(g) + L(f) L(k), L(f) = L(g) 1 L(k). Posmtrjmo sd konvoluciju funkcij f (t) i g(t). Lplce-ov trnsformcij konvolucije glsi L( f (τ)g(t τ)dτ) = L(f (t))l(g(t)) = (sf (s) f())g(s) = = sf (s)g(s) f()g(s). Ako čln f()g(s) prebcimo n lijevu strnu jednčine, dobijemo jedn od DuHmel-ovih integrl L(f()g(t) + f (τ)g(t τ)dτ) = sf (s)g(s) Lplce-ov trnsformcij distribucij Nek je C (R) = {f : R C f je beskončno diferencijbiln}. Definicij Funkcij f C (R) se nziv brzo opdjuć funkcij, ko je z svko m i n N funkcij t n f (m) ogrničen n R, tj. postoji konstnt M > tkv d je t n f (m) < M, z sve t R. Prostor brzo opdjućih funkcij, oznčićemo s S. pojm brzo opdjućih funkcij, možemo uvesti i pojm distribucij. Sd kd smo uveli Definicij Distribucij T je linerno preslikvnje koje svkoj brzo opdjućoj funkciji φ dodjeljuje kompleksn broj. brzo opdjuću funkciju φ oznčićemo s T, φ. Dkle, distibucij je preslikvnje T : S C koje zdovoljv: i) T, cφ = c T, φ ii) T, φ 1 + φ 2 = t, φ 1 + T, φ 2 gdje su φ 1, φ 2 S i c C. Djelovnje distibucije T n 23

30 Definicij Nek su S i T distribucije i z r R definišimo funkciju ψ(r) s ψ(r) = T (t), φ(t + r). Ako z svko φ S, funkcij ψ(r) S, td je konvoluvij distribucij S i T definisn s S T, φ = S(r), ψ(r) = S(r), T (t), φ(t + r). Iz ove definicije zključujemo d vrijedi slijedeć lem. Lem Ako su distribucije T i S definisne n S, td su S T i T S definisne n prostoru S. Slijedeć definicij nm omogućv d predstvimo distribuciju pomoću integrl. Definicij Ako je funkcij f(t) psolutno neprekidn n (, ), ond definišimo distribuciju T f s z sve φ S. T f, φ = f(t)φ(t)dt (1.23) Ako je funkcij f u (1.23) kuzln, izberimo φ S tkvo d je φ(t) =, z sve t. Td (1.23) postje T f, φ = f(t)φ(t)dt = f(t)φ(t)dt =. Definicij Nek je T distibucij. Kžemo d je T = n (, ), kd je T, φ = z sve φ S tkve d je φ(t) = z sve t. Ovkvu distibuciju nzivmo kuzln distibucij. D bismo definisli Lplce-ovu trnsformciju distibucij, funkcij e st treb pripdti prostoru S, što nije tčno. Dkle u nstvku ćemo posmtrti distibucije n prostoru C (R). Definicij Nek je T kuzln distribucij n prostoru C (R). Td je Lplce-ov trnsformcij distribucije T definisn ko kompleksn funkcij U(s) = T (t), e st. Teorem (Konvolucij distibucij) Nek su S i T kuzlne distibucije definisne n prostoru C (R). Td je i S T kuzln distibucij definisn n prostoru C (R) i vrijedi L(S T ) = L(S) L(T ). (1.24) 24

31 Dokz. Kko su S i T kuzlne distibucije, ond je i S T kuzln distribucij. N osnovu Leme (1.11.1), zključujemo d S T C (R). Dokžimo još d vrijedi (1.24). Z s C, po definiciji je (L(S T ))(s) = (S T )(t), e st = S(τ), T (t), e s(t+τ). Z fiksno τ, kompleksn broj e sτ, ne zvisi od t, p vrijedi L(S T )(s) = S(τ), T (t), e st e sτ. Dlje, T (t), e st, z fiksno t, je kompleksn broj koji ne zvisi od τ, p vrijedi (L(S T ))(s) = S(τ), e sτ T (t), e st Riemnn-Stieltjes-ov integrl Definicij Nek je dt funkcij f : R R i nek je I intervl n relnoj prvoj. Veličinu N V (f, I) = sup f(x j ) f(x j 1 ) j=1 s supremumom uzetim po svim izborim tčk x < x 1 <... < x N unutr intervl I, zovemo vrijcijom funkcije f n intervlu I. Formul V f (x) = V (f, (, x]) z proizvoljno x R definiše tzv. funkciju vrijcije V f funkcije f. Postoji lim x V f (x) u R 3 koju nzivmo totlnom vrijcijom funkcije f i oznčvmo s V (f). Ukoliko je V (f) < +, ond kžemo d je f funkcij ogrničene vrijcije. Skup svih funkcij ogrničene vrijcije oznčvmo s BV. Nek je ϕ funkcij ogrničene vrijcije n [, b] i f kompleksn funkcij n [, b]. Definicij Z dtu podjelu P : = x < x 1 <... < x n = b intervl [, b] i z izbor tčk t = (t 1,..., t n ) tkv d t j [x j 1, x j ] = j z 1 j n definišimo Riemnn-Stieltjes-ovu sumu σ(p, t, ϕ, f) = 3 R = R (, ) n f(t j )[ϕ(x j ) ϕ(x j 1 )]. j=1 25

32 Ukoliko postoji kompleksn broj I tkv d z svko ε > postoji δ > tkv d je σ(p, t, ϕ, f) I < ε kd god je dijmetr podjele P u oznci d(p ) = mx 1 j n (x j x j 1 ) < δ, kžemo d je funkcij f Riemnn Stieltjes integrbiln po funkciji ϕ. Jsno je d je u tom slučju kompleksn broj I jedinstveno određen. Njeg zovemo Riemnn-Stieltjes-ovim integrlom funkcije f po funkciji ogrničene vrijcije ϕ i oznčvmo g s b fdϕ(x) ili s b fdϕ. Npomen U slučju ϕ(x) = x, Riemnn-Stieltjes-ov integrl se svodi n Riemnn-ov integrl. Teorem (Osobine Riemnn-Stieltjes-ovog integrl) i) Ako b fdϕ 1 i b fdϕ 2 postoje i ϕ = ϕ 1 + ϕ 2, ond je f Rimenn-Stieltjes integrbiln u odnosu n ϕ i vrijedi b fdϕ = b fdϕ 1 + b fdϕ 2. ii) Ako b f 1dϕ i b f 2dϕ postoje i f = f 1 + f 2, ond je f Rimenn-Stieltjes integrbiln u odnosu n ϕ i b fdϕ = b f 1 dϕ + b f 2 dϕ. iii) Ako b fdϕ postoji, ond z neku konstntu c vrijedi b (cf)dϕ = c b fdϕ. iv) Ako c fdϕ i b c fdϕ postoje, < c < b, ond b b fdϕ = c fdϕ + b c fdϕ postoji i vrijedi fdϕ. Teorem Ako su f, ϕ, ϕ neprekidne n [, b], td b fdϕ postoji i vrijedi b f(t)dϕ(t) = b f(t)ϕ (t)dt. Dokz. Uzmimo proizvoljno ε > i pokžimo d z mx 1 j n (t j t j 1 ) dovoljno mlo vrijedi n b f(x j )[ϕ(t j ) ϕ(t j 1 )] f(t)ϕ (t)dt < ε. j=1 26

33 N osnovu teoreme o srednjoj vrijednosti, sumu n lijevoj strni prethodne nejednkosti izrzićemo u obliku n n f(x j )[ϕ(t j ) ϕ(t j 1 )] = f(x j )ϕ (ξ j )(t j t j 1 ), j=1 j=1 z neko ξ j [t j 1, t j ]. Funkcij f je neprekidn funkcij n [, b], p vrijedi f(t) M, t [, b]. Funkcij ϕ je neprekidn n [, b], p je i uniformno neprekidn n [, b]. Zbog tog postoji δ > tkvo d z ξ j x j < δ vrijedi ϕ (ξ j ) ϕ (x j ) < ε 2M(b ). (1.25) Kko je fϕ Riemnn integrbiln z svki odgovrjući podintervl od [, b] tkv d je mx 1 j n (t j t j 1 ) < δ dobijmo Iz (1.25) dobijmo n b f(x j )ϕ (x j )(t j t j 1 ) f(t)ϕ (t)dt < ε j=1 2. (1.26) n n f(x j )[ϕ (ξ j ) ϕ ε (x j )](t j t j 1 ) < M j=1 j=1 2M(b ) (t j t j 1 ) = ε 2. (1.27) Iz (1.26), (1.27), ξ j, x j [t j 1, t j ] i nejednkosti trougl dobijmo n b f(x j )ϕ (ξ j )(t j t j 1 ) f(t)ϕ (t)dt < ε. j=1 Definicij Lplce-ov trnsformcij Riemn-Stieltjes-ovog integrl u odnosu n funkciju ϕ definisnu n [, ) je dt s F (s) = L R S (dϕ) = pod uslovom d ovj limes postoji. b e st dϕ(t) = lim e st dϕ(t), b b Teorem Pretpostvim d je ϕ neprekidn i eksponencijlno ogrničen n [, ). Td je L R S (ϕ) = L(ϕ). Dokz. Nek je ψ(t) = ϕ(τ)dτ, 27

34 i stvimo d je ϕ(t) = ψ(t) = z t <. Td je ψ (t) = ϕ(t) osim možd u tčki t =. N osnovu Teoreme i prethodne definicije dobijmo L(ϕ) = e st ϕ(t)dt = e st ψ (t)dt = e st dψ(t) = = L R S (dψ) = L R S (ψ ) = L R S (ϕ). Iz prethodne teoreme zključujemo d pri rješvnju diferencijlnih jednčin, umjesto Lplce-Stieltjes-ove trnsformcije L R S, možemo uzeti stndrdnu Lplceovu trnsformciju L Primjen Lplce-ove trnsformcije n obične diferencijlne jednčine Lplce-ov trnsformcij se može koristiti z rješvnje običnih diferencijlnih jednčin. On se primjenjuje n sisteme linernih diferencijlnih, integrlnih i integrodiferencijlnih jednčin. Posmtrjmo nekoliko krkterističnih primjer. 1 Riješiti nehomogenu linernu diferencijlnu jednčinu s konstntnim koeficijentim y (n) (t) + 1 y (n 1) (t) n 1 y (t) + n y(t) = f(t), (1.28) pri čemu se podrzumijev d je f(t) originl. Rješenje: Nek je Y = Y (s) = L(y(t)), F (s) = L(f(t)). Pretpostvimo d su dti početni uslovi y(), y (),..., y (n 1) (). Ako n jednčinu (1.28) primjenimo Lplce-ovu trnsformciju, dobijmo (s n Y s n 1 y()... y (n 1) ()) + 1 (s n 1 Y s n 2 y()... y (n 2) ()) n 1 (sy y()) + n Y = F (s). Uvodeći polinome P n (s) = s n + 1 s n n 1 s + n Q n 1 (s) = (s n 1 y()+...+y (n 1) ())+ 1 (s n 2 y()+...+y (n 2) ())+...+ n 1 y() 28

35 iz prethodne jednčine dobijmo Y (s) = Q n 1(s) P n (s) + F (s) P n (s). Primjenom inverzne Lplce-ove trnsformcije, dobijmo rješenje y(t) = L 1 ( Q n 1(s) P n (s) ) + L 1 ( F (s) P n (s) ) = y h(t) + y p (t) gdje je y h (t) rješenje homogene jednčine, y p (t) prtikulrno rješenje homogene jednčine. 2 Riješiti sistem diferencijlnih jednčin dx 1 dt = 11x n x n + f 1 (t)... (1.29) dx n = n1 x nn x n + f n (t) dt gdje su f i (t), i = 1, 2,..., n originli, pod uslovim x 1 () = x 1,..., x n () = x n. Rješenje: Nek je X i = X i (s) = L(x i (t)), F i (s) = L(f i (t)), i = 1, 2,..., n. Ako n sve jednčine (1.29) primjenimo Lplce-ovu trnsformciju, dobijmo sx 1 (s) x 1 = 11 X 1 (s) n X n (s) + F 1 (s)... sx n (s) x n = n1 X 1 (s) +... nn X n (s) + F n (s) tj. ( 11 s)x 1 (s) n X n (s) = x 1 F 1 (s)... n1 X 1 (s) ( nn s)x n (s) = x n F n (s). Determinnt ovog sistem je D = det 11 s... 1n n1... nn s, to je krkteristični polinom mtrice sistem n A = n1... nn, 29

36 tj. D = det(a si), gdje je I jediničn mtric. U dljem toku rješvnj treb odrediti slike X 1 (s),..., X n (s), ztim odrediti rješenj x 1 (t),..., x n (t). 3 Riješiti integrodiferencijlnu jednčinu drugog red dy(t) dt gdje su, b, c konstnte, f(t) je dti originl. + by(t) + c y(τ)dτ = f(t) (1.3) Rješenje: Uzimjući L(y(t)) = Y (s), Lplce-ov trnsformcij pretvr jednčinu (1.3) u Iz ove jednčine dobijmo (sy (s) y()) + by (s) + c Y (s) = F (s). s Y (s) = iz koje nlzimo originl y(t). s (F (s) + y()) s 2 + bs + c Primjen Lplce-ove trnsformcije n prcijlne diferencijlne jednčine Lplce-ov trnsformcij se može koristiti z rješvnje prcijlnih diferencijlnih jednčin. Definicij Jednčin oblik F (x 1,..., x n, u; u,..., u ; 2 u,...) = x 1 x n nziv se prcijln diferencijln jednčin. Njveći red izvod je red prcijlne diferencijlne jednčine. Posmtrćemo PDJ z funkciju u(x, t) od dve promjenjive i tržićemo njenu Lplce-ovu trnsformciju. Ako u funkciji u(x, t) izberemo t = (npr. u(x, ), u t (x, )) dobijmo uslove koji se nzivju početni uslovi. Birjući u funkciji u(x, t) x 2 1, x = dobijmo grnične uslove (npr. u(, t), u x (, t)). Lplce-ov trnsformcij od u(x, t) glsi U(x, s) = L(u(x, t))(s) = u(x, t)e st dt. (1.31) Lplce-ov trnsformcij od u t slijedi direktno prcijlnom integrcijom L(u t (x, t))(s) = u t (x, t)e st dt = su(x, s) u(x, ). 3

37 S druge strne, Lplce-ove trnsformcije od u x i u xx su L(u x (x, t)) = d du(x, s) (L(u(x, t))) = dx dx i L(u xx (x, t)) = d2 dx 2 (L(u(x, t))) = d2 U(x, s) dx 2. Nekom trnsformcijom se eliminiše vrijbl t, p smo U(x, s) i njeni izvodi ostju u jednčini. Rješvnje PDJ pomoću Lplce-ove trnsformcije odvij se u nekoliko kork: 1 Svki izrz u PDJ z u(x, t) se trnsformiše pomoću Lplce-ove trnsformcije u odnosu n promjenjive x i t. Lplce-ovom trnsformcijom dobijmo običnu diferencijlnu jednčinu koj sdrži jedino prcijlne izvode po x. Ov jednčin sdrži sve početne uslove. 2 Riješimo običnu diferencijlnu jednčinu korištenjem već pozntih metod. D bismo je riješili mormo odrediti grnične uslove z U(x, s) koje nlzimo Lplce-ovom trnsformcijom grničnih uslov z u(x, t). 3 Rješenje od U(x, s) se inverznom trnsformcijom trnsformiše u u(x, t). Nvešćemo nekoliko krkterističnih primjer primjene Lplce-ove trnsformcije n PDJ. 1 Riješiti jednodimenzionu jednčinu provođenj toplote u t = u xx x l (1.32) u(x, ) = u(, t) = f 1 (t) u(l, t) = f 2 (t). (1.33) Rješenje. Lplce-ov trnsformcij od u(x, t) je U(x, s) = e st u(x, t)dt. (1.34) Primjenimo Lplce-ovu trnsformciju n obe strne (1.32) i pretpostvimo d možemo diferencirti po x ispod znk integrl jednčine (1.34). Td dobijmo d 2 U(x, s) dx 2 = su(x, s). Primjenjujući Lplce-ovu trnsformciju n (1.33), dobijmo U(, s) = F 1 (s), U(l, s) = F 2 (s), 31

38 gdje su Odvde dobijmo d je gdje su F k (s) = e st f k (t)dt, k = 1, 2. U(x, s) = F 1 (s)ω 1 (x, s) + F 2 (s)ω 2 (x, s), (1.35) Ω 1 (x, s) = sinh(l x) s sinh l s i Ω 2 (x, s) = sinh x s sinh l s. Funkcije Ω 1 (x, s) i Ω 2 (x, s) su Lplce-ove trnsformcije funkcij respektivno i 1 l θ x[ x 2 l, t l 2 ] i 1 l θ x[ l x 2 l, t l 2 ] θ(x, t) = + e 2niπx n2 π 2 t n= je tet fukcij. D bismo odredili u(x, t) iz (1.35) koristićemo konvolucionu teoremu. Odtle nlzimo u(x, t) = 1 l θ x [ x 2 l, t τ l 2 ]f 1 (τ)dτ + 1 l θ x [ l x, t τ ]f 2 l l 2 2 (τ)dτ. 2 Riješiti jednčinu oblik pod uslovim u t = 2 u (1.36) x 2 u(x, ) =, x > u(, t) = f(t). (1.37) Rješenje. Ako primjenimo Lplce-ovu trnsformciju n (1.36), dobijmo d 2 U(x, s) dx 2 = su(x, s). Iz (1.37) dobijmo U(, s) = F (s). dobijmo Rješvnjem ove diferencijlne jednčine U(x, s) = c 1 e x s + c 2 e x s. Kko je U(x, s) ogrničen kd x, dobijmo s U(x, s) = F (s)e x s = sf (s) e x. s 32

39 Uz pomoć konvolucione teoreme nlzimo d je Jsno se vidi d je u(x, t) = x 2 π = 2 π x 2 t f(τ) (t τ) 3 2 e x2 4(t τ) dτ = f(t x 4ξ 2 )e ξ2 dξ. 2 u(x, ) =, u(, t) = f(t) e ξ2 dξ = f(t). π 3 Riješiti jednčinu (1.36) pod uslovim u(x, ) = u, < x < u (, t) = hu(, t) (h = const). (1.38) Rješenje. Primjenjujući Lplce-ovu trnsformciju n (1.36), dobijmo d 2 U dx 2 (x, s) = su(x, s) u. Iz (1.38) dobijmo du dx (x, s) x== hu(, s). Koristeći činjenicu d je U(x, s) ogrničen kd x, dobijmo Odvde je Kko je U(x, s) = u s (1 U(x, s) = u s + s ce x, du dx (x, s) x== c s = h( u + c) = hu(, s). s h h + s s e x ) = u (1 s e x ) + s L(u erf( x 2 t )) = u (1 s e x ), s L(e h(t x) ) = 1 s + h e sx = F (s), u s( s + h) e x s. gdje je erf(x) = 1 2 π x e ξ2 dξ i integrcij je uzet od x do. Koristeći F ( s) s = 1 e x s = L( 1 s( s + h) πt x τ2 h(τ x) e 4t dτ) 33

40 dobijmo u(x, t) = u erf( x 2 t ) + u πt x 4 Riješiti tlsnu jednčinu pod uslovim τ2 h(τ x) e 4t dτ. u t = 2 u 2, βt < x <, t > (1.39) x2 u(x, t) x=βt = f(t), u(x, ) =, < x < (1.4) Rješenje. Uvedimo smjenu η = xβt. Td (1.39) postje (1.4) i (1.41) postju lim u(x, t) <, t >. (1.41) x u t β u η = 2 u 2, < η <, t >, (1.42) η2 u(, t) = f(t), η lim u(η, t) <, t > (1.43) u(η, ) =, < η <. Primjenjujući Lplce-ovu trnsformciju n jednčine (1.42) i (1.43), dobijmo i d 2 U(η, s) + β du(η, s) s U(η, s) = (1.44) dη 2 2 dη 2 U(, s) = F (s) i Rješenje jednčin (1.44) i (1.45) je U(η, s) = F (s)e βη 2 2 η s+ β lim U(η, s) <. (1.45) η Kko je L(Φ(η, t)) = e η s+ β2 4 2 gdje je Φ(η, t) = 1 βη η [e erf( 2 t β t 2 ) + e βη η 2 2 erf( 2 t + β t 2 )], n osnovu konvolucione teoreme je odnosno u(η, t) = e βη u(x, t) = e β(x βt) f(t τ)φ(η, τ)dτ, f(t τ)φ(x βτ, τ)dτ. 34

41 2. Uopštenje Lplce-ove trnsformcije 2.1. Bochner-ov integrl Definicij Nek je X vektorski prostor nd R ili C. Funkcij : X [, ) koj im osobine: i) x = x =, ii) λx = λ x z svki sklr λ R(C) i z svki vektor x X i iii) x + y x + y z svk dv vektor x i y iz X nziv se normom n X, prostor X zjedno s normom nziv se normirni prostor. Definicij Vektorski prostor X nziv se kompletnim ko svki Košijev niz u tom prostoru konvergir. Definicij Kompletn normirn prostor nziv se Bnch ovim prostorom. Nek je X kompleksn Bnch-ov prostor i nek je I intervl n R. Definicij Funkcij f : I X oblik f(t) = n i=1 x i χ Ωi (t) z neko n N, x i X i Lebesgue mjerljive skupove Ω i I s končnom Lebesgue-ovom mjerom m(ω i ) nziv se prostom funkcijom. Funkcij f : I X nziv se mjerljivom ko postoji niz prostih funkcij g n tkvih d je f(t) = lim n g n (t) z skoro sve t I. Definicij Funkcij f : I X se nziv Bochner integrbilnom ko postoji niz prostih funkcij g n tkvih d g n f tčku po tčku i lim n I f(t) g n (t) dt =. Ako je f : I X Bochner integrbiln, ond je Bochner-ov integrl od f n I dt s I f(t)dt = n lim g n (t)dt. I 35

42 Teorem (Bochner) Funkcij f : I X je Bochner integrbiln ko i smo ko je f mjerljiv i f integrbiln. Ako je f Bochner integrbiln, ond je f(t)dt f(t) dt. (2.1) I I Dokz. Ako je f Bochner integrbiln, td postoji niz prostih funkcij tkvih d g n f tčku po tčku i lim n I f(t) g n(t) dt =. Odtle zključujemo d su f i f mjerljive. Integrbilnost od f slijedi iz Št više je, I f(t) dt I g n (t) dt + I f(t) g n (t) dt. f(t)dt = lim I n g n (t)dt lim I n g n (t) dt = f(t) dt. I I Dokžimo obrnuto tvrđenje. Nek je h n niz prostih funkcij koji proksimir f tčku po tčku n I\Ω, gdje je m(ω ) =. Definišimo niz prostih funkcij h n (t) ko h n (t) f(t) (1 + n 1 ) g n (t) = u suprotnom slučju Td g n (t) f(t) (1+n 1 ) i lim n g n (t) f(t) = z sve t I\Ω. Kko su funkcije f i g n f integrbilne i g n (t) f(t) 3 f(t), prem Lesbegue 1 - ovoj teoremi o dominntnoj konvergenciji je lim n I g n(t) f(t) dt =. Definicij Nek je X kompleksn Bnhov prostor. Opertor n X je linerno preslikvnje A : D(A) X, gdje je D(A) linern potprostor od X. Stv Nek su X i Y Bnhovi prostori, T : X Y ogrničen linern opertor i f : I X Bochner integrbiln. Td je T f : t T (f(t)) Bochner integrbiln i vrijedi T I f(t)dt = I T (f(t))dt. Definicij Opertor A : D(A) X je ztvoren ko z sve x, y X i z svki niz x n D(A) tkve d je x n x i Ax n y vrijedi x D(A) i Ax = y. Definicij Nek su X i Y Bnhovi prostori i A B(X, Y ), gdje je B(X, Y ) = {A : X Y A je linern i ogrničen}. Skup G A = {(x, Ax) : x X} X Y nziv se grfikom opertor A. 1 Formulciju i dokz možete vidjeti u [3]. 36

43 Stv Nek je A ztvoren linern opertor n X i nek je f : I X Bochner integrbiln. Pretpostvimo još d je f(t) D(A) z sve t I i d je A f : I X Bochner integrbiln. Td je I f(t)dt D(A) i A( f(t)dt) = A(f(t))dt. I Dokz. Posmtrćemo Bnhov prostor X X i n njemu normu zdtu s (x, y) = x + y. Grf opertor A u oznci G A je ztvoren potprostor od X X. Definišimo g : I G A X X s g(t) = (f(t), A(f(t))). Jsno je d je g mjerljiv i vrijedi g(t) dt = I I I f(t) dt + I A(f(t)) dt <, p po Teoremi zključujemo d je Bochner integrbiln. Št više, I g(t)dt G A. N osnovu Stv 2.1.1, dobijmo g(t)dt = ( f(t)dt, I I I A(f(t))dt). Lem Nek je f : I X. Ako je f n : I X mjerljiv funkcij i f n f tčku po tčku skoro svud, ond je funkcij f mjerljiv. Teorem (O dominntnoj konvergenciji) Nek je f n : I X (n N) Bochner integrbiln funkcij. Ako postoji lim n f n (t) = f(t) skoro svud i ko postoji integrbiln funkcij g : I R tkv d je z sve (n N) f n (t) g(t) skoro svud, ond je f Bochner integrbiln i I f(t)dt = lim n I f n(t)dt. Tkođe vrijedi i I f(t) f n(t) dt kd n. Dokz. N osnovu Leme funkcij f je mjerljiv. Iz uslov f n (t) g(t) skoro svud, zključujemo d je f integrbiln. Iz ovog vidimo d je f Bochner integrbiln. Definišimo funkciju h n (t) = f(t) f n (t) z t I. Kko je h n (t) 2g(t) i h n (t) skoro svud, n osnovu Lebesgue-ove teoreme o dominntnoj konvergenciji zključujemo d I f(t) f n(t) kd n. N osnovu (2.1) je f(t)dt f n (t)dt. I I Teorem (Fubini-jev teorem) Nek je I = I 1 I 2 prvougonik u R 2, f : I X mjerljiv i pretpostvimo d je f(s, t) dtds <. I 2 I 1 37

44 Td je f Bochner integrbiln i integrli postoje i jednki su. Dokz. Vidjeti u [8]. I 1 I 2 f(s, t)dtds i I 2 I 1 f(s, t)dsdt S L p (I, X) oznčimo skup svih Bochner integrbilnih funkcij f : I X i nek je f p := ( f(t) p dt) 1 p I Teorem Prostor L 1 (I, X) je Bnhov. (1 p < ). Dokz. Nek je {f n } niz u L 1 (I, X) tkv d je n f n 1 <. N osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji 2 je n f n (t) < skoro svud, n=1 f n (t) je integrbiln i f n (t) dt = f n (t) dt. I n=1 n=1 I Odtle n=1 f n (t) konvergir skoro svud k g(t) u Bnhovom prostoru X. N osnovu Leme funkcij g je mjerljiv, kko je g(t) n=1 f n (t), g je integrbiln, p n osnovu Teoreme zključujemo d je g Bochner integrbiln. Končno je k k g f n 1 g(t) f n (t) dt f n (t) dt n=1 I n=1 I n=k+1 kd k. Odtle zključujemo d je L 1 (I, X) Bnhov Rdon-Nikodym-ov teorem U prethodnoj glvi smo se upoznli s pojmom funkcij ogrničene vrijcije, ko i s Riemnn-Stieltjes-ovim integrlom. U ovoj glvi će se ovi pojmovi definisti n Bnhovim prostorim. Nek je X kompleksn Bnhov prostor. Definicij Ako je funcij f : [, b] X Bochner integrbiln, ond kžemo d je funkcij F : [, b] X primitivn funkcij od f ko vrijedi F (t) = F () + 2 Formulciju i dokz teoreme o monotonoj konvergenciji možete vidjeti u [3] f(s)ds (t [, b]). 38

45 Definicij Kžemo d je funkcij F psolutno neprekidn n [, b] ko z svko ε > postoji δ > tkvo d je i F (b i ) F ( i ) < ε z svku končnu kolekciju disjunktnih podintervl {( i, b i )} od [, b] tkvih d je i(b i i ) < δ. Definicij Funkcij F je Lipschitz neprekidn n [, b] ko postoji konstnt M > tkv d je F (t) F (s) M t s z sve s, t [, b]. Jsno je d je svk Lipschitz neprekidn funkcij i psolutno neprekidn. Definicij Funkcij F je uniformno neprekidn n [, b] ko z svko ε > postoji δ > tko d z sve x, x [, b] vrijedi F (x) F (x ) < ε kd god je x x < δ. Stv Nek je F : [, b] X psolutno neprekidn. Td je F ogrničene vrijcije. Ako je G(t) = V [,t] (F ), td je G psolutno neprekidn n [, b]. Dokz. Uzmimo ε > proizvoljno i nek je δ izbrno ko u definiciji psolutne neprekidnosti funkcije F. Td, ko je končn kolekcij disjunktnih podintervl {( i, b i )} od [, b] tkv d je i(b i i ) < δ, ond je i V [i,b i ](F ) < ε. Iz ovog vidimo d je F ogrničene vrijcije n svkom podintervlu dužine mnje od δ. Kko je [, b] končn unij tkvih intervl, td je F ogrničene vrijcije n [, b]. Tkođe vrijedi G(b i ) G( i ) = i i V [i,b i ](F ) < ε. Odvde zključujemo d je G psolutno neprekidn. Definicij Z svki normirn prostor, konjugovnim ili dulnim prostorom X nziv se prostor B(X, R) ili prostor B(X, C). Elementi ovog prostor nzivju se linerni funkcionli. Prostor X se nziv drugi dul prostor X. Nek je Φ preslikvnje koje X preslikv u X definisno s Φ(x) = x. Definicij Prostor X je refleksivn ko je X = Φ(X). U suprotnom slučju nziv se irefleksivn. Teorem (Hhn-Bnch) Nek je X normirn prostor, Y njegov potprostor i f Y. Td postoji g X tkv d je g Y = f i f = g. Stv Nek je F : [, b] X psolutno neprekidn i pretpostvimo d postoji f(t) = F (t) skoro svud. Td je f Bochner integrbiln i vrijedi F (t) = F () + f(s)ds z sve t [, b]. 39