Integralni raqun. F (x) = f(x)
|
|
- Εὐνίκη Δημαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek je funkcij f definisn n proizvoʃnom intervlu I (ztvoren, otvoren, polutvoren ko postoji funkcij F tkv d z svko I F ( = f( kжe se d je F( primitivn funkcij funkcije f( n I. Ako je F( primitivn funkcij funkcije f( ond je to i F(+C, (C R, proizvoʃn konstnt. Kls primitivnih funkcij F( + C bi e oznqen s F( + C = f( F( = f( = F ( = df( d f( = df( = f( d Opte metode integrcije Tblic osnovnih integrl: f( = f( α = α+ + C, α sin = cos + C α + = ln + C, 0 cos = sin + C e = e + C 4 cos = tg + C 4 = + C, > 0, 5 ln sin = ctg + C 5 + = rctg + C 6 sh = ch 6 + = rcctg + C 7 ch = sh 7 = rcsin + C, < 8 8 ch = th = rccos + C, < 9 sh = cth 9 + = ln C = rsh + C 0 = ln + + C = rch + C, > = { ln + rth, < + C = rcth, >
2 Teorem. Ako funkcije f i g imju primitivnu funkciju n I td funkcij αf( + βg( im primitivnu funkciju n I i vжi (αf( + βg( = α f( + β g(. [ Dokz. d α f( + β ] g( = αd f( + βd g( = (αf( + βg( Teorem. Ako su n I funkcije f, ϕ i ϕ neprekidne i ko funkcij = ϕ(t im inverznu funkciju t = ϕ ( i pritom vжi ϕ(t 0 n I, td je f( = f(ϕ(t ϕ (t, t = ϕ ( Dokz. d f(ϕ(t ϕ (t = d f(ϕ(t ϕ (t = d ϕ (t f(ϕ(t ϕ (t = d f(ϕ(t = f( Prcijln integrcij d(uv = u dv + v du uv = u dv + v du u dv = uv v du Integrcij pomo u rekurentnih formul Primer. I n = I n = ( + n +n I(n = F(I(n n ( + n u = ( +, du = n ( +, dv =, v = u n+ ( + n+ = + ( + n +n ( + n+ = ( + n +n(i n I n+ I n+ = ( n I = + = rctg + C I = ( + + I = I = ( I = ( + n + (n I n ( + + rctg + C 4( + + 8( rctg + C, n N
3 Integrcij rcionlnih funkcij f( = P( P i Q polinomi, dg P dg Q (neprv rcionln funkcij Q( P( R( = S( + Q( Q(. Posmtrjmo sluqj f( = P( dg P < dg Q (prv rcionln funkcij Q( Funkcij f se rzlжe n prcijlne rzlomke: A = Aln + C A ( k = A + C k =,,4,... k ( k I n = ( + b + c n, b 4c < 0 Integrl I se rev n slede i nqin, npiimo njpre imenilc og rzlomk u knonskom obliku: ( + b + c = + b + c b 4 = + b α + α gde je α = c b + b 4. UvođeƬem smene t =, dobijmo d je α I = α t + = α rctg t + C Pomo u iste smene, integrl I n se, z proizvoʃno n N, izrqunv u obliku I n = α (t + n. Z n >, primenom prcijlne integrcije moжe se dobiti vez između I n i I i sniжvti red sve dok se ne dođe do integrl I n, z koji smo izveli reeƭe. I = α (t + = ( t t α (t + (n + (t + n = = ( t α (t + + (n (I I n 4 Integrl J n = ( jednostvnim trnsformcijm se svodi n in- + b + c n tegrl I n : J n = gde je u = + b + c. ( + b + c n = + b b + b + c n = du u n b I n,
4 Integrcij ircionlnih funkcij Ako je R( p/q, p/q,..., pn/qn gde je R rcionln funkcij, p i i q i celi brojevi, uvodi se smen = t q gde je q = NZS (q,q,...,q n. UopteƬe: ko se umesto pojvi + b ili + b isto se uvodi smen + b = tq c + d ili + b c + d = tq. Primer. { = t + = 6 t = 6 } = 6t 5 = ( t = 6 t t 5 t ( t + t = 6 t + = 6 (t t + + t ln t + + C = t t + 6t 6ln t + + C = t = t + = ln C Ojlerove smene: Ako je R(, + b + c, gde je R rcionln funkcij, svodi se n rcionlnu funkcijun slede i nqin: z > 0 : + b + c = ± + t z c 0 : + b + c = t ± c Ako su nule kvdrtnog trinom i relne i rzliqite + b + c = ( ( = t(. Z < 0 i ko nem relne rzliqite nule ond je koren nedefinisn. U prve dve formule proizvoʃno se moжe stviti ili znk + ili znk. Primer = + t, = t ( t, = t + t ( t, + t = t + t ( t + + = A + B = 0 A B = t + t ( t t ( t t + t ( t t = A t + B t + (A + Bt + (A B = A = = B = t + + = ( t t + = t t + = C + C = 4
5 Integrl binomnog diferencijl m ( + b n p, m,n,p Q ր ko je p N, svodi se n integrl stepenih funkcij p Z ց p < 0, svodi se n integrl ircionlnih funkcij p /Z q = m + n q Z, uvodi se smen + b n = t r gde je r imenilc rzlomk p b q /Z, p + q Z, uvodi se smen n + b = tr gde je r imenilc rzlomk p U ostlim sluqjevim integrl je nereiv Primer 4. m = 4, n = 6, p = { = t 4 ( 6 = t = } = t = = (t + + t t ( t = t (t (t + t 8 ( t = t (t (t + = A t + B t + + C (t + D (t + t = t (A + B + t (A B + C + D + t( A B + C D + ( A + B + C + D A + B = 0 A B + C + D = A = 5 B = 5 C = D = A B + C D = A + B + C + D = ( 5 (t t 5 4 t + + 4(t + = 4t + 4t + 5ln t 5ln t + t t + + C 4(t + = Primer 5. 5, m = 5, n =, p =, q = 6 = Z = t, t =, = t 5 ( t = t = (t 4 t + = t = t5 5 + t t + C 5
6 Primer 6., m = 0, n =, p = +, q =, p + q = 0 Z + = t, = + 4 = t, t = t t(t = + t (t (t + t + t (t (t + t + A t + Bt + C t + t + t = t (A + B + t(a B + C + A C A + B = 0 A B + C = A = B = C = A C = 0 = ln t t (t (t + t + = (t t (t + t + ( t (t (t + t + = = ( ln t d(t + t + t + t + t + t t + t + t + + = ( ln t ln t + t + + t t + t + = t + C = + t + ( t + ( + C = {u = t + } = + + C = du u + = ( ln t ln t + t + + rctg t + + C = = ln t (t + t + / rctg t + + C Integrcij trigonometrijskih funkcij R(sin,cos gde je R rcionln funkcij, td se uvodi smen t = tg : sin = t t, cos =, = + t + t + t Ako je R(sin,cos moжe se uvesti smen t = tg, sin = t + t, cos =, = + t + t 6
7 R(tg, smen tg = t 4 Ako je R( sin,cos = R(sin,cos tj. neprn po sin uvodi se smen cos = t, sin = t, = t 5 Ako je R(sin, cos = R(sin,cos tj. neprn po cos uvodi se smen sin = t, cos = t, = t 6 Ako je R( sin, cos = R(sin,cos uvodi se smen tg = t, sin = t, cos =, = + t + t + t Primer 7. Primer 8. + sin + cos + sin + cos = t = tg t, sin = + t + t + t + t + = t + t sin, smen t = tg. + 5cos t, cos =, = + t + t + t = ln + tg + C sin + 5cos = + t t + t t = t + 5 = 5 ( = t t rctg +C Primer 9. sin cos, smen t = sin. sin cos = t ( t d(sin = t ( t = t t5 5 + C Primer 0. sin 5 cos 4, smen t = cos. sin 5 cos 4 ( t = ( t 4 = t 4 t + = t t t + C Integrli koji nisu elementrne funkcije Primer: e n, sin, n n ln 7
8 Određen (Rimnov integrl Definicij. Podel d odseqk [,b] oznqv se s d = ( 0,,..., n ; ξ 0,ξ,...,ξ, = 0 < < <... < < n = b, i ξ i i+, i = 0,,,...,n. Definicij. Integrln (Rimnov sum funkcije f n odseqku [,b] je: S(f,d,,b = f(ξ i ( i+ i. Definicij 4. Norm e podele d je d = m ( i+i i 0 i n Oqigledno, kd d 0 ( i i+ i 0 n Definicij 5. Nek je funkcij f definisn n [,b]. Ako ( I R( ǫ > 0( δ(ǫ > 0( d( d < δ S(f,d,,b I < ǫ td se I nziv određen (Rimnov integrl funkcije f n [,b], I = b to ustvri znqi lim S(f,d,,b = I = d 0 b f(, f(. Definicij 6. Z funkciju f koj im Rimnov integrl n odseqku [,b] kжe se d je integrbiln n [,b]. Npomen, ko je f( 0 n [,b] I dobij smiso povrine. Teorem. Svk funkcij f integrbiln n odseqku [,b] ogrniqen je n [,b]. Definicij 7. Nek je funkcij f integrbiln n [,b]. Ako odseqk [,b] podelimo n 0,,..., n (podel d i formirmo sume: S(f,d,,b = m i ( i+ i S(f,d,,b = M i ( i+ i gde su m i i M i infinum tj. supremum funkcije f n [ i, i+ ], S i S su doƭ i gorƭ Drbuov sum dunkcije f n [,b]. 8
9 Teorem 4. Ogrniqen funkcij f je integrbiln n [,b], ko i smo ko je lim (S(f,d,,b S(f,d,,b = lim (M i m i ( i+ i = 0 d 0 d 0 M i > m i, sup[ i+ i ] > inf[ i+ i ], i+ > i. Teorem 5. Ako je funkcij f definisn i ogrniqen n [,b] i n Ƭemu im: konqno mnogo prekid, ili prebrojivo mnogo prekid, funkcij f je integrbiln n [,b]. Teorem 6. Ako je funkcij f definisn i monoton n [,b] on je i integrbiln n [,b]. Osobine Rimnovog integrl Teorem 7. f( = 0 Teorem 8. b Dokz. Z podelu f( = b f( u drugom integrlu on bi postl = 0 < <... < n = b b = 0 < <... < n = p je i i+ < 0, i znk u Rimnovoj sumi se meƭ. Teorem 9. Ako su funkcije f i g integrbilne n [,b], integrbiln je i funkcij h( = αf( + βg(, α,β R i vжi b b (αf( + βg( = α b f( + β g(. Dokz. Zsniv se n linernosti sume (αf(ξ i + βg(ξ i ( i+ i = α f(ξ i ( i+ i + β g(ξ i ( i+ i. Ako sd uzmemo lim leve i desne strne, dobijmo jednkost integrl. d 0 Teorem 0. Ako je funkcij f integrbiln n [,b] td je n [,b] integrbiln i funkcij g( = f( i vжi b f( b f(. 9
10 Dokz. Ovo je posledic osobine sume i i. Teorem. Ako je odseqk [α,β] sdrжn u [,b] i ko je funkcij f integrbiln n [,b], integrbiln je i n [α,β]. Dokz. Ako je limes lim d 0 (M i m i ( i+ i = 0 n [,b], pritom su α i β deone tqke, ond se u sumi primeƭenoj n [α,β] pojvʃuje deo sbirk, sledi d je limes opet nul. Teorem. b postoje. Strn 7. f( = c f( + b c f( z svku tqku c z koju i integrli Teorem. Ako je f( = g( z svko [,b] osim u konqno mnogo tqk i ko je jedn od ovih funkcij integrbiln n [,b], integrbiln je i drug i vжi b f( = b g(. Teorem 4. Nek je funkcij f integrbiln n odseqku [,b] td je ( [,b](f( 0 ( [,b](f( > 0 b b f( 0 f( > 0 Posledic: Nek su funkcije f i g integrbilne n [,b], td: ( [,b](f( g( ( [,b](f( < g( b b f( f( < b b g( g( Teorem 5. (Stv o sredƭoj vrednosti integrbilne funkcije Nek je funkcij integrbiln n [,b] i nek je ( [,b] m f( M m = inf f( M = supf( td postoji µ [m, M] tko d je b f( = µ(b. Npomen: Ako je f( jo i neprekidn n [,b] td je Dokz. b b m b m(b b f( M f( M(b b f( = f(c(b. 0
11 m b f( M b µ(b = b f( Ako je funkcij f( neprekidn td z ( µ [m,m]( c [,b] µ = f(c. Definicij 8. SredƬ vrednost funkcije f n odseqku [,b] je f s = b f(, b pod pretpostvkom d je funkcij f integrbiln n [, b], µ je proseqn vrednost funkcije f n [,b]. Vez određenog i neodređenog integrl Teorem 6. Nek je funkcij f integrbiln n [,b] i nek je z [,b] : F( = f(t funkcij F( je neprekidn n [,b] ko je i funkcij f neprekidn n [,b] td je funkcij F primitivn funkcij funkcije f n [,b]. Dokz. [,b], dovoʃno mlo, tko d je + [,b] F( + F( = + f(t f(t = + f(t Nek je m f( M n [,b]. N osnovu teoreme (sredƭe vrednosti F( + F( = µ m µ M je neprekidn n [,b]. lim (F( + F( = µ 0 F 0 Ako je i f neprekidn, td je µ = f(c, c (, + tj. c = + θ, 0 < θ < F( + F( = f( + θ F( + F( lim = F ( = lim f( + θ = f( lim ( + θ = f( F( = f(t + C opti oblik primitivne funkcije F( = C, F(b = b f(t + C b f(t = F(b F( Ov jednkost poznt je pod nzivom ƫutn-Ljbnicov formul.
12 Geometrijske primene Rimnovog integrl Zpremin rotcionog tel Duжin luk krive b V = lim πf(ξ i ( i+ i = π f( d 0 b V = π f( c i = ( i+ i + (f( i+ f( i Nek su f i f neprekidne n [,b], po Lgrnжovoj f( i+ f( i = f (ξ i ( i+ i i+ ξ i i c i = ( i+ i + (f( i+ f( i = ( i+ i + (f (ξ i l = lim c i = lim + (f (ξ i ( i+ i = d 0 d 0 l = b Povrin rotcionog tel t b + (f ( b ( b + (f dy ( = + = ( + (dy } = (t t ( ( dy l = + y = y(t l = b b P = π + (f ( f( + (f (
13 Nesvojstveni integrl Definicij 9. Nek je integrl + b f( = lim b b + f( = lim b f( f(, ko limes n desnoj strni postoji odgovrju i integrl z svko b, odnosno, integrl n levoj strni nziv se nesvojstveni integrl funkcije f s beskonqnim grnicm. Ako je odgovrju i limes konqn, nesvojstveni integrl je konvergentn. U protivnom je divergentn. Definicij 0. Ako je funkcij f integrbiln n svkom odseqku od [,b ǫ], ǫ > 0 i neogrniqen u okolini tqke b, td je b f( = lim ǫ 0 b ǫ f( i tkođe se nziv nesvojstveni integrl, li integrl beskonqne funkcije u konqnim grnicm (nlogno z doƭu grnicu. Ako je limes konqn integrl je konvergentn, u suprotnom je divergentn. Primer. 0 = lim ǫ 0 ǫ = lim ǫ 0 ǫ = 0 =
14 Primer. Izrqunti povrinu ogrniqenu linijm y = +, -osom. y = i y 4 Izrqunjmo prvo koordintu tqke A, + =, =. Trжen povrin je A y = + y = = P = ( + / + ( = ( = 6 = Litertur [] M. Merkle: Mtemtiqk nliz, teorij i hiʃdu zk,,akdemsk miso, Beogrd 005. [] Z. Kdelburg, V. Mi i, S. OgƬnovi : Anliz s lgebrom 4, tre e dopuƭeno izdƭe,,krug, Beogrd 00. [] Elektronski mterijl: God loves you s He loved Jcob. 4
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραInteraktivni nastavni materijali o integralima kreirani korixeem programskog paketa
Mtemtiqki fkultet Univerzitet u Beogrdu Interktivni nstvni mterijli o integrlim kreirni korixeem progrmskog pket mster rd GeoGebr Mentor: doc. dr Miroslv Mri Student: Drgn Nikoli 3/ Beogrd, 4. MENTOR:
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je
6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα1. NEODREÐENI INTEGRAL
. NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραNeodred eni integrali
Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]
ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRazliqiti metodi rexavanja geometrijskog problema
Rzliqiti metodi rexvnj geometrijskog problem Vldimir lti bltic@gleb.etf.bg.c.yu Lepot mtemtike se ogled u rzliqitim putevim z rexvnje problem. Nstvnici i profesori bi treblo veliki broj zdtk d rexvju n nekoliko
Διαβάστε περισσότεραR A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραKrivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.
Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότερα