Krivolinijski integral

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Krivolinijski integral"

Transcript

1 Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m, koje zovemo i vektorsko polje. Sklrne funkcije F i : R n R, i = 1,...,m, zovemo sklrno polje. bismo rzlikovli vektorske od sklrnih funkcij, koristimo oznku F z vektorsko polje (strelicu ne stvljmo kod sklrnih funkcij). Primer 28 Ako F : R 2 R 2, ond njčešće pišemo F = (P,Q) = P i + Q j, odnosno F(x,y) = ( P(x,y),Q(x,y) ) = P(x,y) i + Q(x,y) j. Grfički, polje F možemo prikzti u rvni tko što vektor F(x,y) crtmo iz tčke (x,y). N primer, ko je F(1,2) = (1,1/2), to ćemo prikzti tko što ncrtmo vektor (1, 1/2) trnslirn u tčku (1, 2). (1,2) (2,5/2)=(1,2)+(1,1/2) Ako je F(x,y) = y i+x j, ovo vektorsko polje možemo prikzti ko n sledećoj slici: 27

2 28 Primetimo d ovo polje zdovoljv jednkost (x,y) F(x,y) = 0, što znči d je vektor F(x,y) normln n vektor tčke (x,y). T jednkost, nrvno, ne vži z svko vektorsko polje. Znčjn primer vektorskog polj je tzv. polje grdijent sklrne funkcije f = f(x, y), F = f = (f x,f y ). Bitno je primetiti d je polje grdijent sklrne funkcije ortogonlno n linije nivo iste funkcije. Primer 29 Jedn vžn primer trodimenzionlnog vektorskog polj je grvitciono polje. Nime, ko immo dv tel ms M i m, pri čemu je M > m, td grvitcion sil izmed u t dv tel deluje u smeru od tel mse m k telu mse M. Intenzitet grvitcione sile je proporcionln m (x,y,z) msm M i m, obrnuto proporcionln kvdrtu rstojnj izmed u t dv tel, dkle G = mm G, gde je G univerzln grvitcion r2 konstnt. M (0,0,0) Ako u centr tel mse M stvimo koordinntni početk, centr tel mse m im koordinte (x,y,z), ond je G = mm r 2 G (x,y,z) (x,y,z) = mmg x2 +y 2 +z2 (x,y,z) 3. Primetimo d z grvitciono polje G vži G = g, gde je sklrn funkcij g(x,y,z) = mmg Zbog ove osobine kžemo d je grvitciono polje konzervtivno u skldu s x2 +y 2 +z2. sledećom definicijom.

3 29 efinicij 30 Z vektorsko polje F kžemo d je konzervtivno, ko postoji sklrn funkcij f tkv d je F = f. Sklrn funkcij f se u tom slučju zove funkcij potencijl, ili potencijl polj F. 4.2 Krivolinijski integrl sklrne funkcije Prmetrizcij krive Već smo pričli o prmetrskom obliku krive. Rekli smo d krivu u rvni predstvljmo vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 2, r(t) = x(t) i+y(t) j, t [,b], gde su jedinični vektori i = (1,0) i j = (0,1). Slično, kriv u prostoru se može predstviti vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 3, z(t) P(x(t),y(t),z(t)) r(t) = x(t) i+y(t) j +z(t) k, t [,b], B pr_kr pri čemu su jedinični vektori u R 3, i = (1,0,0), j = (0,1,0) i k = (0,0,1). Vektorsku funkciju r zovemoprmetrizcij A y(t) krive, promeljivu t prmetr. x(t) P'(x(t),y(t),0) efinicij 31 Z prmetrizciju r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) kžemo d je regulrn, ko je preslikvnje r : [,b], R 3, 1 -bijekcij. Ako kriv im regulrnu prmetrizciju, kžemo d je kriv gltk. Ako prmetr t [, b], ond r() dje koordinte početne tčke krive, A(x(), y(), z()). Anlogno, r(b) dje koordinte krjnje tčke krive, B(x(b), y(b), z(b)). Kd odredimo početnu, odnosno krjnju tčku krive, odredili smo i njenu orijentciju. Kžemo d je kriv orijentisn od tčke A k tčki B. N grfiku krive orijenciju prikzujemo strelicom ko n prethodnoj slici. Ako se početn i krjnj tčk krive poklpju, td kžemo d je kriv ztvoren. U tom slučju koristimo pojmove pozitivno i negtivno orijentisn kriv. Ztvoren kriv je pozitivno orijentisn, ko je orijentisn suprotno od kretnj kzljke n stu (gledno iz koordinntnog početk). Inče je

4 30 negtivno orijentisn. Akosekrivsmopresecunekojtčki(α,β,γ), toznčidpostojedverzličitevrednosti prmetr t, c < d b, tkve d je r(c) = r(d) = (α,β,γ). Tčk se u tom slučju zove smopresečn tčk. Ako ztvoren kriv nem smopresečnih tčk, kžemo d je on kontur. Krivu koj nem smopresečnih tčk zovemo prost kriv. Prvi crtež slev predstvlj neztvorenu krivu s jednom smopresečnom tčkom, drugi ztvorenu krivu koj nije kontur, jer nije prost, n trećoj slici je skicirn jedn kontur, tj. ztvoren prost kriv. Primetimo d ko je prmetrizcij r regulrn, td je i r (t) 0 z sve t (,b). Nime, ko je preslikvnje r 1 ([,b]) to znči d im prvi izvod i d je r = (x,y,z ) neprekidn vektorsk funkcij. Ako je r (t 0 ) = 0, z neko t 0 (,b), to znči d su i x (t 0 ) = 0, y (t 0 ) = 0 i z (t 0 ) = 0, p je uslov injektivnosti nrušen. Injektivnost preslikvnj r nm grntuje d kriv nem smopresečnih tčk. Md utim, ko kriv im, n primer, jednu smopresečnu tčku, po njoj se može integrliti. Stog u definiciji krivolinijskog integrl možemo oslbiti uslov regulrnosti krive. N primer, ko je z c < d b, r(c) = r(d), ond krivu možemo podeliti n uniju dve krive = 1 2, gde tčkekrive 1 dobijmozvrednostiprmetrt [,d), tčkekrive 2 zvrednostiprmetr t [d,b]. Ako je to jedin smopresečn tčk krive, ond 1 i 2 nemju smopresečnih tčk. Ako su 1 i 2 gltke krive, je po delovim gltk. Anlogno problem možemo rešiti i ko kriv im končno mnogo smopresečnih tčk, što znči d je uslov injektivnosti nrušen z končno mnogo vrednosti prmetr t. Td kžemo d je preslikvnje r : [,b] skoro svud injektivno. kle, kriv po kojoj integrlimo treb d bude: po delovim gltk, u končno mnogo tčk može d se nruši uslov 1-1, i u končno mnogo tčk može d vži r (t) = Integrl po gltkoj krivoj Podelom intervl prmetr = t 0 < t 1 <... < t n = b, ko kod odred enog integrl, gltku krivu s prmetrizcijom r(t), t [,b], delimo n n lukov l i, i = 1,...,n. Tčke i-tog luk l i, odvovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i. Ako

5 31 je sklrn funkcij f definisn u tčkm krive, ond je kompozicij f( r(t)) = (f r)(t) sklrn funkcij jedne promenljive definisn n intervlu [, b]. Krivolinijski integrl sklrne funkcije f duž krive definišemo preko Rimnovih sum n sledeći nčin: f(x,y)dl := lim n n f( r(t i )) l i, i=1 (4.1) def_ki gde su t i proizvoljno birne tčke intervl [t i 1,t i ]. Ako je kriv rvnsk, iz prethodnog kurs nlize znmo d se dužin luk krive rčun po formuli, l = b x (t) 2 +y (t) 2 dt =: dl, što možemo interpretirti ko krivolinijski integrl jedinice (konstntne funkcije f(x, y) = 1) po krivoj. Preciznije to bi bil površin površi dobijene prevlčenjem krive u (x, y)-rvni n visinu 1 prlelno s z-osom, ko n sledećoj slici: 1 1 Površin ove površi je numerički jednk dužini krive. U skldu s pomenutom interpretcijom, krivolinijski integrl nenegtivne sklrne funkcije

6 32 f bi se mogo interpretirti ko površin sledeće površi: (x(),y(),f(x(),y())) (x(b),y(b),f(x(b),y(b))) (x(),y(),0) (x(b),y(b),0) Prirodn prmetrizcij krive (po dužini luk) Krivolinijski integrl iz definicije (4.1) zovemo još i integrl po dužini luk krive. Sm oznk dl upućuje n tkv nziv (od engleske reči length ). efinišimo sd funkciju dužine luk krive. Nek je početn tčk krive r() fiksirn. užinu luk krive od tčke r() do tčke r(t), t [,b] rčunmo ko l(t) := t x (s) 2 +y (s) 2 ds, t [,b]. N tj nčin smo dobili funkciju koj zvisi od t [,b]. Ako je kriv gltk, definisnu funkciju možemo diferencirti, p dobijemo d je dl dt = l (t) = d dt t x (s) 2 +y (s) 2 ds = x (t) 2 +y (t) 2, odnosno d je dl = x (t) 2 +y (t) 2 dt, što zovemo diferencijl luk krive. Kd to povežemo s definicijom (4.1) dobijemo d je f(x,y)dl := b f ( x(t),y(t) ) x (t) 2 +y (t) 2 dt = b f( r(t)) r (t) dt. Precizno, ovu formulu izvodimo ko što smo izveli formulu z dužinu luk n prethodnom kursu iz nlize.

7 33 Primer 32 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y) = 2 + x 2 y duž gornje polukružnice jedinične kružnice u rvni. Gornj polukružnic jedinične kružnice im prmetrizciju r(ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ), ϕ [0,π], stog je (2+x 2 y)dl = π 0 (2+cos 2 ϕsinϕ) cos 2 ϕ+sin 2 ϕdϕ = 2π Primetimo d, ko immo krivu = 1 2, gde su 1 i 2 gltke krive dte prmetrizcijom r 1, odnosno r 2, tkve d je dužin = 1 2 nul, ond se integrl po može rčunti ko zbir integrl po 1 i 2. Krivolinijski integrl po jednoj promenljivoj Ponekd je potrebno integrliti smo po jednoj promenljivoj, n primer, x. Tkv prcijlni krivolinijski integrl dobijmo tko što u definiciji (4.1) l i zmenimo s x i = x i x i 1. Pri tom vodimo rčun d je x = x(t) i dx/dt = x (t), p dobijemo d je krivoliniski integrl po x definisn n sledeći nčin, f(x,y)dx := lim n n f( r(t i )) x i = i=1 Anlogno, krivoliniski integrl po y je definisn ko f(x,y)dy := lim n i=1 n f( r(t i )) y i = Ov dv integrl često se pojvljuju zjedno i td formlno pišemo Krivolinijski integrl po krivoj u prostoru b b f ( x(t),y(t) ) x (t)dt. f ( x(t),y(t) ) y (t)dt. f(x,y)dx+ g(x,y)dy =: f dx+gdy. Ako je kriv prostorn, njen prmetrizcij je funkcij r : [,b] R 3, r(t) = x(t) i+y(t) j+ z(t) k. Ako je prmetrizcij regulrn, vži ist formul ko i z rvnsku krivu, tj. f(x,y,z)dl = b f( r(t)) r (t) dt, pri čemuje sd r (t) = x (t) 2 +y (t) 2 +z (t). Anlognose definišui(prcijlni) krivolinijski integrli po x, y, odnosno z. Primer 33 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y,z) = ysinz duž jednog luk heliks x = cost,

8 34 y = sint, z = t, t [0,2π], ysinzdl = 2π 0 sintsint sin 2 t+cos 2 t+1dt = 2π. Možemo d zključimo sledeće: Ako je gltk kriv s regulrnom prmetrizcijom r(t) = x(t) i+y(t) j+z(t) k, t [,b] i f sklrn funkcij tri promenljive neprekidn n, ond je f dl = b f(x(t),y(t),z(t)) x (t) 2 +y (t) 2 +z (t)dt = b (f r)(t)) r (t) dt. Ako je po delovim gltk kriv, odnosno ko je = i, i = 1,...,k, gde su i gltke krive tkve d je z i j, i j dužine nul, ond je k f dl = f dl. i=1 i Ovkv integrl im više nziv: krivolinijski integrl sklrne funkcije, krivolinijski integrl po dužini luk krive ili krivolinijski integrl prve vrste. 4.3 Krivolinijski integrl vektorskog polj Ako immo vektorsku funkciju F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k i gltku prostornu krivu, pitmo se št bi bio integrl funkcije F po. Odgovor tržimo u fizici. Znmo d ko konstntn sil F deluje n prvolinijskom putu od tčke P do tčke Q, njen rd rčunmo ko sklrni proizvod (vektor) sile i vektor pomernj, PQ, W = F PQ. Sd, nek vektor sile neprekidno zvisi od tčke u prostoru n koju sil deluje, tj. nek je F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k neprekidno polje (funkcij) sile, nek deluje n česticu koj vrši krivolinijsko kretnje po gltkoj krivoj s prmetrizcijom r(t), t [, b]. Podelimo krivu n n lukov l i, i = 1,...,n, tko što ćemo podeliti intervl [,b], = t 0 < t 1 <... < t n = b (kko je prmetrizcij bijekcij, svkoj tčki krive odgovr jedn tčk intervl i

9 35 obrtno). Oznčimo s P i tčke n krivoj koje odgovrju vrednosti prmetr t i, i = 0,...,n. Pi-1 F P1 Pi* T Pi P0 Pn-1 Pn kle, tčke i-tog luk l i, odgovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i, P i = r(t i ), t i [t i 1,t i ], će biti proizvoljn tčk luk l i, P i l i. Nek je T = T(t i ) jedinični vektor tngente u tčki r(t i ), odnosno u tčki P i, F = F(r(t i )). Rd sile F duž putnje l i, u oznci W i, proksimirćemo n sledeći nčin W i F T l i, tj. rdom konstntne sile F i = F(r(t i )) po prvolinijskoj putnji u smeru tngentnog vektor T i, dužine l i. Jsno je d što je dužin luk l i mnj to je ov proksimcij bolj odnosno približnij. kle, umesto luk od tčke P i 1 do tčke P i uzećemo duž iste dužine (l i T l i ), i pretpostvićemo d je sil u svkoj tčki luk l i jednk onoj u tčki P i ( F( r(t)) F( r(t i )), t [t i 1,t i ]). Kd sberemo sve W i dobijmo ukupni rd n celoj putnji, dkle W = n W i i=1 n i=1 F(P i ) T(t i ) l i = n i=1 ( ( F r) T ) (t i ) l i. Primetimo d je ( F r) T sklrn funkcij, i d kd n ond i l i 0, p koristeći definiciju krivolinijskog integrl sklrne funkcije zključujemo d je W = lim n n i=1 ( ( F r) T ) ( (t i ) l i = ( F r) T ) (t) dl. lje, kko je T(t) = r (t) r (t) i dl = r (t) dt, dobijmo d je W = b F( r(t)) r (t)dt =: F d r.

10 36 Ovim smo definisli krivolinijski integrl vektorske funkcije F po krivoj s regulrnom prmetrizcijom r(t), t [, b]. Ako je F = (P,Q,R), r(t) = (x(t),y(t),z(t)), dobijmo još jedn zpis krivolinijskog integrl vektorske funkcije, F d r = b ( P x +Qy +Rz ) dt = P dx+qdy+rdz. Primer 34 Izrčunjmo krivolinijski integrl funkcije F = (xy,y,z) duž krive koj je deo grfik funkcije y = x 2 u (x,y)-rvni od tčke (0,0) do tčke (1,1). Kriv im prmetrizciju r(t) = (t,t 2,0), t [0,1], p je r (t) = (1,2t,0), te je F d r = 1 (t 3,t 2,0) (1,2t,0)dt = (t 3 +2t 3 +0)dt = Osnovn teorem z krivolinijski integrl Podsetimo se Njutn-Ljbnicove formule z odred eni integrl. Nime, ko je F 1 ([,b]), ond je b F (x)dx = F(b) F(). Sd, kd F posmtrmo ko izvod sklrne funkcije F 1 (), gde je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], očekujemo d sličn formul vži i z krivolinijski integrl vektorske funkcije F, F d r = F( r(b)) F( r()). Ovkv formul bi nm omogućil d rčunmo krivolonijski integrl konzervtivnog polj smo poznvjući vrednosti funkcije potencijl u krjnjoj i početnoj tčki krive. Ako je kriv ztvoren, integrl konzervtivnog polj po bi bio 0. T9 Teorem 35 Nek je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], f diferencijbiln sklrn fukcij tkv d je i f neprekidn vektorsk funkcij. Td vži, f d r = f( r(b)) f( r()).

11 37 okz: Iz definicije krivolinijskog integrl vektorske funkcije immo d je f d r = = = b b b [f x ( r(t)),f y ( r(t)),f z ( r(t))] r (t)dt = [ fx (x(t),y(t),z(t))x (t)+f y (x(t),y(t),z(t))y (t)+f z (x(t),y(t),z(t))z (t) ] dt = d dt ( ) b ( ) (t)dt. f (x,y,z) (t)dt = f r Funkcij (f r ) je neprekidn, te možemo primeniti Njutn-Ljbnicovu formulu i zključiti d je f d r = (f r)() (f r)(b) = f( r()) f( r(b)). Primer 36 Nći rd grvitcione sile F( x) = mmg x prilikom kretnj čestice mse m < M x 3 iz tčke (3,4,12) u tčku (2,2,0) po po delovim gltkoj krivoj. Videli smo d je funkcij potencijl grvitcione sile g = W = g d r = g(2,2,0) g(3,4,12) = mmg( 1 mmg x2 +y 2 +z2, p je stog ). Primetimo d putnj po kojoj se čestic kreće nije bitn, odnosno d rd zvisi smo od početne i krjnje tčke kretnj. Ovo je osobin konzervtivnog polj koj se zove nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije. 4.5 Nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije Nek su 1 i 2 po delovim gltke krive koje spjju tčku A i tčku B, dte prmetrizcijom r 1 (t), odnosno r 2 (t), t [,b], r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Videli smo d ko je vektorsko polje konzervtivno, ond su njegovi krivolinijski integrli duž ovih krivih jednki. Med utim, z proizvoljno polje to ne vži, tj. uopštem slučju vži 1 B F d r F d r. 1 2 (4.2) odr A 2 Ukoliko u (4.2) immo jednkost z sve po delovim gltke krive koje spjju tčke A i B,

12 38 kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Ako t osobin vži s svke dve proizvoljne tčke nekog skup, kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u. def_nez efinicij 37 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, ko s svke dve proizvoljne tčke A,B, i s svke dve proizvoljne po delovim gltke krive 1, 2, koje spjju tčke A i B, vži F d r = F d r. 1 2 (4.3) odr_bs Pretpostvimo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Izberimo neke dve po delovim gltke krive 1 i 2, tkve d je r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Iz (4.2) vidimo d je F d r = F d r F d r = 0, ( 2) gde smo s 2 obeležili krivu 2 s promenjenom orijentcijom od tčke B do tčke A. 1 B Kriv 1 ( 2 ) je očigledno ztvoren, po delovim gltk kriv. On može biti kontur (ko n slici desno), ili može imti smopresečne tčke. A -2 Ako se 1 i 2 seku, n primer u dve tčke, dobićemo krivu koj se sstoji od tri konture (slik levo). 1-2 No, krive 1 i 2 mogu imti i neprebrojivo mnogo zjedničkih tčk, n primer ceo jedn segment (slik desno), li ni to neće uticti n zključk d je integrl po 1 ( 2 ) jednk

13 39 nuli. Posledic definicije 37 i teoreme 35 je sledeće tvrd enje. Posledic 38 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, kko je po svkoj ztvorenoj krivoj. F d r = 0 okz: Nek je krivolinijski integrl funkcije F nezvisn od putnje intgrcije i nek je ztvoren kriv u. Izberimo dve proizvoljne rzličite tčke A,B. Tko smo krivu podelili n dve krive 1 i 2 koje spjju tčke A i B i od kojih je jedn, n primer, 1, orijentisn isto ko i, drug suprotno. Immo d je = 1 ( 2 ), p je i F d r = 1 F d r 2 F d r = 0, jer krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije. Nek je sd F d r = 0 po svkoj ztvorenoj krivoj i nek su A i B dve proizvoljne tčke skup, spojene po delovim gltkim proizvoljnim krivm 1 i 2 koje leže u. Td je 1 ( 2 ) ztvoren kriv koj leži u, te je integrl po 1 ( 2 ) jednk nuli, odkle je jsno d je 1 F d r = 2 F d r Krivolinijski integrl konzervtivnog polj Videli smo d svko konzervtivno vektorsko polje po ztvorenoj krivoj im integrl (rd) nul. Vži i obrtno. p2 Posledic 39 Nek je vektorsko polje F neprekidno n otvorenoj, poveznoj oblsti. Ako je krivolinijski integrl funkcije F nezvistn od putnje intgrcije u skupu R 3, td je F konzervtivno u. Pre dokz pojsnimo pojmove iz Posledice 39. je skup R 3 otvoren znči d je okolin svke svojetčke,odnosnodzsvkutčku x postoji lopt s centrom u x koj leži u. Povezn skup znži d se svke dve tčke tog skup mogu spojiti (povezti) po delovim gltkom krivom koj leži cel u. Td kžemo d su svke dve tčke povezne putnjom u

14 40. U engleskoj literturi se z otvoren povezn skup koristi pojm domin, neki nši utori koriste pojm oblst. okz posledice 39: Trebmo pokzti d je F konzervtivno u, odnosno trebmo konstruisti funkciju potencijl vektorskog polj F. Fiksirjmo proizvoljnu tčku A(,b,c) i posmtrjmo proizvoljnu tčku P(x,y,z). Kko je skup povezn, postoji po delovim gltk kriv ÂP koj spj tčke A i P i cel leži u. efinišimo sledeću funkciju, f(x,y,z) = F d r. ÂP Funkcij f je dobro definisn jer integrl ne zvisi od putnje. Kko je otvoren, postoji lopt L L(P,δ). Izberimo tčku Q(x 1,y,z) L, tkvu d je x 1 < x. Ztim, izberimo po delovim gltku krivu 1 = ÂQ koj spj tčke A i Q i leži u, te obeležimo s = 1 2 = ÂQ QP. Td je f(x,y,z) = F d r + F d r, gde prvi integrl u sumi ne zvisi od x, drugi zvisi. 1 2 Stog diferencirjmo po x i dobićemo f x (x,y,z) = x F d r. 2 Kko je 2 duž koj spj tčke P(x,y,z) i Q(x 1,y,z), im prmetrizciju r(t) = (t,y,z), t [x 1,x], d r = (dt,0,0). Ako je F = (F 1,F 2,F 3 ), immo d je f x (x,y,z) = x 2 (F 1,F 2,F 3 ) (dt,0,0) = x x x 1 F 1 (t,y,z)dt = F 1 (x,y,z). Slično, birjući z tčku Q(x,y 1,z) L, odnosno Q(x,y,z 1 ) L, dobijmo d je f y (x,y,z) = F 2 (x,y,z),odnosnof z (x,y,z) = F 3 (x,y,z). I dlje tržimo odgovor n pitnje kd je vektorsko polje konzervtivno kd ne. Videli smo ko je dvodimenzionlno vektorsko polje F = P i + Q j konzervtivno, to znči d postoji

15 41 sklrn funkcij f tkv d je f x = P i f y = Q. Ako su P,Q 1, možemo diferencirti ove jednkosti p dobijemo, ko posledicu Kleroove teoreme, d je P y = f xy = f yx = Q x. kle, ko je F = P i+q j konzervtivno i P,Q 1, ond je P y = Q x. Obrtno tvrd enje vži smo n posebnim oblstim. efinicij 40 Z skup u kžemo d je prosto povezn ko je povezn i svk kontur u ogrničv skup koji ceo leži u. N primer, kružni prsten jeste povezn skup li nije prosto-povezn. v krug koj nemju presek čine nepoveznu oblst koj se sstoji iz dve prosto-povezne oblsti. Jednostvnim rečim možemo reći d skup nije prosto povezn ko im rupe ili ko se sstoji od disjunktnih skupov. Teorem 41 Nek je F = P i + Q j vektorsko polje definisno n otvorenoj, prosto-poveznoj oblsti i nek su P,Q 1 (). Td vži P y = Q x, n je F konzervtivno. okz ove teoreme je posledic Grinove teoreme koj sledi. 4.6 Grinov teorem Grinov teorem je jedn od osnovnih teorem integrlnog rčun i povezuje krivolinijski integrl duž pozitivno orijentisne rvnske konture i dvostruki integrl po oblsti R 2 ogrničene konturom. Primetimo d ko je rub oblsti u rvni kontur, ond je t oblst ogrničen, \ je otvoren, = ztvoren skup u R 2. Teorem 42 Nek je pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur u rvni, oblst u rvni ogrničen konturom, =, F = (P,Q) 1 (n proizvoljnoj otvorenoj oblsti koj sdrži ).

16 42 Td vži, P dx+qdy = (Q x P y )da (4.4) greenn okz ove teoreme u opštem slučju je prilično težk. Mi ćemo je pokzti z oblst tip 1, vidi sliku 3.1. Kd pokžemo d Grinov formul vži n skupovim tip 1, lko zključujemo d vži i skupu u R 2 ogrničenom konturom koji se može prikzti ko unij tkv dv skup, ko n sledećoj slici N slici immo dve oblsti tip 1, 1 i 2. Obeležimo uniju t dv skup s = 1 2. Oblst 1 ogrničenje podelovimgltkompozitivnoorijentisnomkonturom , oblst 2 konturom , oblst konturom vostruki integrl po jednk je zbiru dvostrukih integrl po 1 i 2, p možemo primeniti Grinovu teoremu i dobiti (Q x P y )da = = = (Q x P y )da+ (Q x P y )da 1 2 P dx+qdy + P dx+qdy P dx+qdy = P dx+qdy Nime, postoji tvrd enje koje kže d se svk oblst u rvni ogrničen konturom može prikzti ko do n grnicu disjunktn unij oblsti tip 1 i tip 2. o n grnicu disjunktn unij znči d u preseku bilo koj dv del može d bude njviše rub nekog od tih skupov. Ovo tvrd enje ćemo smo prihvtiti bez dokz, jer je intuitivno jsno, dokz prevzilzi grdivo nšeg kurs. Zjedno s dokzom Grinove formule n skupu tip 1 i 2, ovo tvrd enje nm dje d Grinov teorem vži n svkoj oblsti u R 2 ogrničenoj po delovim gltkom konturom. Pre dokz Grinove formule, pokzćemo d vži još jedn formul koj nm je potrebn z dokz. Formulisćemo je u obliku leme. Pre tog, podsetimo se Osnovne teoreme klkulus z

17 43 funkcije jedne promenljive. kle, ko je funkcij f = f(y) integrbiln n intervlu [, b], njen primitivn funkcij F(x) = Funkcij G(x) = i vži b(x) (x) d dx x f(y)dy, x [,b], je diferencijbiln n [,b] i vži d dx x f(y)dy = f(x), x [,b]. f(y) dy je diferencijbiln ukoliko su diferencijbilne funkcije (x) i b(x), b(x) (x) f(y)dy = f(b(x))b (x) f((x)) (x), x [,b]. Sličnu formulu možemo izvesti z funkciju definisnu pomoću iterirnog integrl funkcije f = f(x,y) koj je integrbiln po drugoj promenljivoj. lem Lem 43 (Izvod funkcije definisne preko integrl) Nek su funkcije f 1 (R 2 ) i,b 1 (R). Td vži d dx b(x) (x) f(x,y)dy = b(x) (x) f x (x,y)dy +f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x). okz: Kko je f 1 (R 2 ), on je i neprekidn (p i integrbiln) po drugoj promenljivoj, odnosno postoji njen primitivn funkcij po y, tj. postoji F(x,y) tkv d je y F(x,y) 2 F(x,y) = f(x,y). Td je d dx b(x) (x) f(x,y)dy = d dx [F(x,b(x)) F(x,(x))] = 1 F(x,b(x))+ 2 F(x,b(x))b (x) 1 F(x,(x)) 2 F(x,(x)) (x) = f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x)+ 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)). lje iz f 1 (R 2 ) immo d je g(x,y) := 1 ( 2 F(x,y)) = 1 f(x,y) = f x (x,y) (R 2 ), p je 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)) = b(x) g(x,y)dy = b(x) (x) (x) f x (x,y)dy. okz Grinove teoreme z oblst tip 1: Nek je = {(x,y) : x b i u(x) y v(x)}, gde su u,v 1 ([,b]). Td je = = po delovim gltk kriv, čiji su delovi dti sledećim prmetrizcijm:

18 44 1 : x = t [,b], y = u(t), dx = dt, dy = u (t)dt 2 : x = b, y = t [u(),u(b)], dx = 0, dy = dt 3 : x = t [b,], y = v(t), dx = dt, dy = v (t)dt 4 : x =, y = t [v(b),v()], dx = 0, dy = dt Izrčunjmo sd integrle iz Grinove formule (4.4). Prvo izrčunjmo dvostruki integrl P y (x,y)dxdy = b ( ) v(x) P y (x,y)dy dx = u(x) b [P(x,u(x)) P(x,v(x))] dx. Ztim rčunmo krivolinijski integrl po = Kko je dx = 0 n 2 i 4, immo d je P(x,y)dx = P(x,y)dx+ P(x,y)dx = 1 3 b P(t,u(t))dt+ b P(t,v(t))dt. Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je P y (x,y)dxdy = P(x,y)dx. rugi krivolinijski integrl koji rčunmo je Q(x,y)dy = b Q(t,u(t))u (t)dt+ v(b) Q(b,t)dt+ Q(t,v(t))v (t)dt+ u() u(b) b v() Q(,t)dt. N krju rčunmo preostli dvostruki integrl u kome ćemo primeniti lemu 43, Q x (x,y)dxdy = = = b b [ d dx v(x) u(x) b ( ) v(x) Q x (x,y)dy dx u(x) Q(x,y)dy Q(x,v(x))v (x)+q(x,u(x))u (x) [Q(x,u(x))u (x) Q(x,v(x))v (x)] dx+ v(b) u(b) ] Q(b,y)dy dx v() u() Q(,y)dy

19 45 Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je Q x (x,y)dxdy = Q(x,y)dx Vektorski oblik Grinove teoreme Z vektorski oblik Grinove teoreme potrebn su nm dv poznt diferencijln opertor, rotor i divergencij. Rotor je prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R) n sledeći nčin rotf curlf := i j k x y z P Q R = F. OvjopertorslikvektorskufunkcijuF = (P,Q,R)uvektorskufunkciju(R y Q z,r z R x,q x P y ), dkle funkcij n koju deluje mor imti prcijlne izvode. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je rotf (R 3 ;R 3 ), odnosno rot : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R 3 ). rotf zovemo rotor vektorskog polj F = (P,Q,R). ivergencij je tkod e prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R), divf := P x +Q y +R z = F. Med utim, divergencij slik vektorsku funkciju F = (P,Q,R) u sklrnu funkciju P x +Q y +R z. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je divf (R 3 ;R), odnosno div : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R). divf zovemo divergencij vektorskog polj F = (P,Q,R). Posmtrjmo vektorske funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) definisnu u formulciji Grinove teoreme. Funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) su rvnske, li ih možemo dodefinisti nulom kko bi postle prostorne, r = (x,y,0) i F = (P,Q,0), odnosno d rvnsku krivu s prmetrizcijom r posmtrmo ko prostornu krivu koj leži u rvni (x, y). Td tvrd enje Grinove teoreme možemo npisti u obliku F d r = P dx+qdy = (Q x P y )da. Kko je curl F = curl(p,q,0) = (Q x P y ) k, immo d je curl F k = Q x P y, dobijmo vektorski

20 46 oblik Grinove teoreme F d r = (curl F k)da. U fizici, z rčunnje fluks, integrli se sklrni proizvod funkcije F i normle n krivu, nime F n. Kko je F n sklrn funkcij, to je F ndl krivolinijski integrl prve vrste. Nek je r(t) = (x(t),y(t)), t [α,β], prmetrizcij gltke konture. Td je T = x r i + y r j jedinični tngentni vektor, n = y r i x r j jedinični vektor normle. Stog je F ndl = = β α 1 r (t) (Py Qx ) r (t) dt = (P x ( Q y ))dxdy = divf da, Qdx+P dy = ( y što je drugi vektorski oblik Grinove teoreme. Kko je ndl = dx j, to se F ndl zove još i krivolinijski integrl po normli. r i x r j ) r (t) dt = dy i

21 Poglvlje 5 Površinski integrl 5.1 Prmetrizcij i površin površi Prmetrizovn površ S dt je prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Npomenimo d postoje površi koje se ne mogu prmetrizovti, li mi nećemo rditi s tkvim površim. Ako u svkoj tčki površ im jedinstvenu tngentnu rvn, kžemo d je površ gltk. Tngentnu rvn dobijmo n sledeći nčin. Fiksirjmo t 0 [,b] i posmtrjmo krivu 1 S prmetrizovnu n sledeći nčin, r 1 (s) = r(t 0,s), s [c,d]. Kriv 1 u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 1 (s 0 ) = s r(t 0,s 0 ) 0. Anlogno, z fiksirno s 0 [c,d] dobijmo krivu 2 S prmetrizovnu s, r 2 (t) = r(t,s 0 ), t [,b], 47

22 48 koj u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 2 (t 0 ) = t r(t 0,s 0 ) 0. Ako su vektori r 2 (t 0 ) i r 1 (s 0 ) linerno nezvisni (tj. nisu prlelni), oni odred uju jedinstvenu rvn koj se zove tngentn rvn n površ S u tčki r(t 0,s 0 ). kle, možemo reći d je površ gltk ko i smo ko su vektori t r(t,s) i s r(t,s) linerno nezvisni, što možemo zpisti u obliku vektorskog proizvod, t r(t,s) s r(t,s) 0. Površ je po delovim gltk ko je unij nekoloko gltkih površi. Površin del površi Znmo d pomoću formule l = b b (x (t)) 2 +(y (t)) 2 +(z (t)) 2 dt = r (t) dt = dl rčunmo dužinu del gltke krive dte prmetrizcijom r (t) = (x(t),y(t),z (t)), t [,b]. Želimo sličnu formulu z rčunnje površine del gltke površi dtog prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Površ S podelićemo n uniju mlih površi S ij, i = 1,...,n, j = 1,...,m, tko što intervl [,b] podeliti n n mlih jednkih intervl dužine t = t i = b n, intervl [c,d] n m intervl dužine s = s j = d c m. kle, S ij = r(r ij ) = r([t i 1,t i ] [s j 1,s j ]) Orijentcij dvostrne površi Rekli smo d u svkoj tčki gltk površ im normlu. Norml je odred en jediničnim vektorom normle, tj. vektorom intenzitet jedn koji je prleln normli. Tkvih vektor immo dv, koji su suprotnih smerov. Zbog tog uvodimo pojm strne površi, p svkom jediničnom vektoru normle dodeljujemo po jednu strnu površi. Ako je to moguće u svkoj tčki površi

23 49 kžemo d je površ dvostrn. bismo bili sigurni d je površ dvostrn, tu osobinu testirmo n sledeći nčin. Posmtrmo proizvoljnu tčku P površi S i ztvorenu krivu koj prolzi kroz tčku P i leži n izbrnoj strni površi S. Ztim posmtrmo normlu n izbrnu strnu površi S u tčki P. Krećemo se po krivoj i posmtrmo normle n istu strnu u tčkm krive. Kd se vrtimo u tčku P ko smo i dlje n istoj strni površi S možemo zključiti d je površ S dvostrn (nrvno, ov osobin treb d vži z sve tčke i ztvorene krive). Postoje površi koje nisu dvostrne. Tkv je, n primer, Mebijusov trk. Z neke dvostrne površi uvodimo pojm spoljšnje i unutršnje strne. Z strnu kžemo d je unutršnj ko je u svkoj tčki površi površ izmed u normle i tngentne rvni, spoljšnj ko je tngentn rvn izmed u površi i normle. Z neke površi te pojmove ne možemo definisti. 5.2 Površinski integrl sklrne funkcije 5.3 Površinski integrl vektorske funkcije U svkoj tčki dvostrne gltke površi S immo dv jediničn vektor normle n površ, odnosno n tngentnu rvn u toj tčki. Oznčimo ih s n = (,b,c) i n = (, b, c). One su definisne u svkoj tčki gltke površi, p n S definišemo funkcije n = n(x,y,z) i n = n(x,y,z). Nek je F neprekidno vektorsko polje definisno n S. Sklrni proizvod F n (ili F ( n)) je sklrn funkcij koju možemo d integrlimo po S, p ćemo površinski integrl vektorske funkcije F definisti ko površinski integrl sklrne funkcije F n n sledeći nčin, F d S := F (± n)ds. S S U zvisnosti od tog po kojoj strni površi S integrlimo, uzimmo dekvtnu normlu n ili n. Površinski integrl vektorske funkcije zove se još i površinski integrl druge vrste.

24 50 Motivcij z definisnje površinskog integrl vektorskog polj dolzi iz fizike, ko rešenje problem rčunnj fluks vektorskog polj F kroz površ S. o dte definicije dolzi se n isti nčin ko kod krivolinijskog integrl druge vrste, dkle podelom površi S n mle S ij, itd. Ako je r(u,v), (u,v) R 2, prmetrizcij površi S, i n vektor normle n željenu strnu površi S, immo d je F d S = F nds = F ( r u r v )da, S S jer je n = r u r v r u r v i ds = r u r v da. Ako preciznije zpišemo r(u,v) = x(u,v) i+y(u,v) j + z(u,v) k, (u,v), i r u r v = (y u z v z u y v ) i+(z u x v x u z v ) j +(x u y v y u x v ) k, možemo uvesti oznku dx dy := (x u y v y u x v )dudv, i pomoću ovih oznk dobijemo još jedn oblik (zpis) površinskog integrl druge vrste, F d S = F ( r u r v )dudv = P dy dz +Qdz dx+rdx dy, S z F = (P,Q,R). Primer 44 Nćifluksvektorskogpolj F = (x,1,yz)krozpovršs : r(s,t) = (cost,sint,s), t [0,2π], s [0,1]. Površ S je omotč vljk visine 1, čij je bz krug s centrom u koordinntnom početku poluprečnik 1 koji leži u (x, y)-rvni. Normlu dobijmo iz r s r t = cost i sint j. Ovj vektor je dužine 1, p ko integrlimo po spoljnoj strni površi S, z jediničnu normlu ćemo uzeti n = cost i+sint j. kle, Φ = S (x,1,yz) d S = 2π (cost,1,ssint) (cost,sint,0)dsdt = π. Ako je S deo grfik neke funkcije z = f(x,y), orijentciju normle je lkše odrediti,

25 51 jer joj je treć komponent uvek konstntn. N primer, ko je S deo grfik funkcije z = 1 x 2 y 2 iznd (x,y) rvni, prmetrizcij joj je (kd z prmetre uzmemo bš x i y) r(x,y) = x i+y j +(1 x 2 y 2 ) k, (x,y) K, gde je K R 2 krug s centrom u (0,0) poluprečnik 1. Td je n = ±(2x,2y,1), odnosno n 1 = (2x,2y,1) norml n spoljšnju strnu površi S, n 2 = ( 2x, 2y, 1) norml n unutršnju strnu površi S. Td je S + F d S = S F n 1 ds = K (4xy +1 x 2 y 2 )da = π 2. Oznku S + koristimo kd hoćemo d istknemo d integrlimo po spoljšnjoj strni površi S Stoksov teorem Znmo d je Grinov teorem, u R 2, povezivl dvostruki integrl po oblsti i krivolinijski integrl po konturi. Sledeć teorem će povezivti krivolinijski integrl po konturi S u R 3, s površinskim integrlom po površi S ogrničenoj tom konturom. Orijentcij ovkve površi i orijentcij konture koj je ogrničv su povezne prvilom desne ške. Nime, ko prsti desne ške pokzuju smer orijentcije konture, td plc pokzuje smer normle n površ. Teorem 45 Nek je: = S po delovim gltk kontur; S dvostn po delovim gltk površ ogrničen konturom, čij je orijentcij indukovn orijentcijom krive ; F = (P,Q,R) vektorsk funkcij klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži S. Td je F d r = curl F d S. S S okz: okz ćemo izvesti u specijlnom slučju kd je S deo grfik funkcije z = g(x,y), (x,y), g 2 (), je gltk kontur. Td je S dt prmetrizcijom r(x,y) = (x,y,g(x,y)), (x,y) i r x r y = ( g x (x,y), g y (x,y),1).

26 52 n Izberimo pozitivnu orijentciju konture 1 =, koj indukuje pozitivnu orijentciju konture = S, što opet indukuje izbor normle k gore, n = ( g x (x,y), g y (x,y),1). S Nek je 1 I 1 = curl F d S = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. S lje, nek je prmetrizcij krive 1 dt s r 1 (t) = x(t) i + y(t) j, t [,b]. Td je prmetrizcij krive, pošto leži n površi S, dt s r(t) = x(t) i + y(t) j + g(x(t),y(t)) k, t [,b], p je d r(t) = ( ) x (t), y (t),g x (x(t), y(t))x (t)+g y (x(t),y(t))y (t) dt, t [,b]. Sd rčunmo, I 2 := F d r = b (P x +Qy +Rz x x +Rz y y )dt = 1 (P +Rz x )dx+(q+rz y )dy, jer je z = g(x,y). Sd primenimo Grinovu formulu, jer je 1 rvnsk kriv, i dobijemo d je I 2 = ( x (Q+Rz y ) y (P+Rz x ) ) dxdy = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. Ko posledic Stoksoveteoreme vidimo d ko je rotorvektorskogpolj F jednk nuli, njegov krivolinijski integrl po svkoj konturi je nul, što znči d krivolinijski integrl vektorskog polj F ne zvisi od putnje integrcije, odnosno d je F konzervtivno polje. Od rnije znmo d vži i obrtno tvrd enje, tko d možemo zključiti d vži sledeć posledic. Posledic 46 Vektorsko polje F 2 (R 3 ) je konzervtivno ko i smo ko je curl F = 0. Primer 47 Krivolinijski integrl vektorskog polj F = y 2 i + x j + z 2 k po krivoj koj leži u preseku rvni y + z = 2 i cilindr x 2 + y 2 = 1, lko možemo izrčunti primenom Stoksove

27 53 teoreme. Kko je curl F = (1+2y) k, to je I = (0,0,1 2y) d S = (1 2y)dx dy S S gde je S deo rvni z = f(x,y) = 2 y unutr cilindr x 2 +y 2 = 1, odnosno onj deo rvni koji se projektuje n krug K : x 2 +y 2 1 u (x,y)-rvni. lje je I = K (1 2y)dxdy = 2π (1+2ρsinφ)ρdρdφ = π Teorem divergencije Treć teorem koj povezuje dv tip integrl zove se Teorem divergencije ili Teorem Gus- Ostrogrdskog. Pre formulcije podsetimo se drugog vektorskog oblik Grinove teoreme, odnosno integrl po normli vektorskog polj po rvnskoj konturi, F ndl = div F(x,y)dA, gde je = R 2 rvnsk pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur koj ogrničv oblst, F 1 (U), gde je U otvoren skup koji sdrži. Proširenje ove formule n R 3 dje sledeć teorem, koju ovde nvodimo bez dokz. On povezuje površinski integrl vektorskog polj po ztvorenoj površi S = V, s trostrukim integtlom po telu V divergencije dtog vektorskog polj. Teorem 48 Nek je: S po delovim gltk, ztvoren površ, orijentisn k spolj, koj ogrničv telo V R 3 ; F = P i+q j+r k, vektorsko polje klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži V S. Td je F d S = div F dv. S V Primer 49 Potržimo fluks vektorskog polj F = z i + y j + k k kroz jediničnu sferu x 2 +y 2 +z 2 = 1, primenom teoreme divergencije, φ = S 2 F d S = L 3 div F dv = L 3 (0+1+0)dV = 4 3 π.

28 54 Izrčunjmopovršinskiintegrl funkcije F(x,y,z) = ( xy,y 2 +e xz2,sin(xy) ), po spoljšnjoj strni tel T ogrničenog prboličnim cilindrom z = 1 x 2 i rvnim z = 0, y = 0 i y +z = 2. n 4 Površ po kojoj integrlimo je po delovim n 1 n 3 gltk, tčnije, sstoji se od četiri gltke površi, p bismo direktnim rčunnjem inte- x n 2 y grl rčunli ko zbir četiri površinsk integrl. Med utim površ je ztvoren, funkcij gltk, p možemo primeniti teoremu divergencije. kle, S F d S = T (y +2y+0)dV =

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13. Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje elastične linije

Savijanje elastične linije //00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα