Matematička analiza 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematička analiza 4"

Transcript

1 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević

2 2

3 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij Žordnov mer u R n Mer prvougonik u R Mer n-intervl u R n Unutršnj i spoljn mer Rimnov integrl Rimnov sum Drbuove sume Oznke i terminologij Klse integrbilnih funkcij Svojstv Rimnovog integrl eometrijski i fizički smiso integrl Interpretcij dvostrukog integrl Interpretcij trostrukog integrl Specifičnosti integrl u R n z n Izrčunvnje integrl Slučj prostor R Slučj prostor R n, n Smen promenljivih Polrn smen u rvni Uopšten polrn smen Cilindričn smen u trostrukom integrlu Sfern smen u trostrukom integrlu Nesvojstveni integrli Pojmovi u mehnici Moment inercije mterijlne rvne figure

4 4 SADRŽAJ Elips inercije Moment inercije mterijlne figure Težište mterijlne rvne figure Težište mterijlne figure u prostoru Krivolinijski integrli Krive u R n Krivolinijski integrl prvog red Rimnov sum i geometrijsk interpretcij krivolinijskog integrl prvog red Krivolinijski integrl drugog red rinov formul u rvni Slučj višestruko poveznih oblsti Primen krivolinijskog integrl drugog red n izrčunvne površine skup u rvni Nezvisnost integrl od putnje integrcije Mehnički smiso krivolinijskog integrl Površinski integrli Površi u R Prv kvdrtn form površi i površin površi Površinski integrli prvog red Površinski integrli drugog red Teorij polj Formul us Ostrogrdskog Formul Stoks Prmetrski integrli Funkcij gornje grnice Svojstveni prmetrski integrli Nesvojstveni prmetrski integrli m funkcij (Ojlerov integrl drugog red) Bet funkcij (Ojlerov integrl prvog red) Litertur 153

5 Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk nliz 4. Tekst nije kompletn, i konstntno se rdi n poboljšnju mterijl nmenjenog studentim (obrtiti pžnju n dtum upisn n prvoj strni). Studenti su u obvezi d konsultuju dodtnu literturu, koj je nveden u spisku referenci. Obvezno posetiti bilioteku Fkultet. Celine koje nije neophodno nučiti, počinju simbolom, zvršvju simbolom. 5

6 6 SADRZ AJ

7 lv 1 Integrcij 1.1 Žordnov mer u R n U definiciji Rimnovog 1 integrl funkcije jedne relne promenljive n segmentu suštinski je iskorišćen pojm dužine (mere) intervl. U skupu R 2 pojmu mere odgovr pojm površine, u skupu R 3 pojmu mere odgovr pojm zpremine nekog skup. Izučvmo smo Žordnovu2 meru, te stog umesto termin Žordnov mer koristićemo izrz mer. Nek je, b R, < b. Dužin intervl I = (, b) (ili bilo kog intervl [, b), (, b], [, b]) jeste b. Dkle, jednodimenzionln mer intervl I je m 1 (I) = b. Nebitno je d li krjnje tčke tčke i b intervl I pripdju tom intervlu, ili ne. Time se prihvt činjenic d je dužin tčke jednk nuli (tj. mer jednoelemetnog skup jednk je nuli) Mer prvougonik u R 2 Nek su, b, c, d R, tko d vži < b i c < d. Td je ovim brojevim odre den prvougonik P u R 2 s koordintm temen: A = (, c), B = (b, c), C = (b, d) i D = (, d) (Slik 1). Prvougonik P izržen preko Dekrtovog 3 proizvod jeste P = (, b) (c, d). Mer ovog prvougonik 1 eorg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ), nemčki mtemtičr 2 Mrie Ennemond Cmille Jordn ( ), frncuski mtemtičr 3 René Descrtes (ltinski: Rentus Crtesius; ), frncuski mtemtičr i filozof 7

8 8 LAVA 1. INTERACIJA (površin, preciznije dvodimenzionln mer) izrčunv se n sledeći nčin m 2 (P ) = (b )(d c). Broj 2 u simbolu m 2 oznčv dimenzuju prostor, odnosno nglšv d se rdi o prostoru R 2. Nije vžno d li rubne strnice tog prvougonik pripdju prvougoniku, ili ne. Ovim se usvj činjenic d je dvodimenzionln mer duži jednk nuli. Specijlno, dvodimenzionln mer tčke jednk je nuli. Slik 1. Nek su sd P 1,..., P n prvougonici u R 2, s svojstvom d je P i P j (i j) ili przn skup, ili neki deo rubov ovih prvougonik. Drugim rečim, P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Prirodno je sd definisti meru unije ovih prvougonik ko zbir njihovih mer, odnosno ( n ) m 2 P i = i=1 n m 2 (P i ). i=1 Skupovi oblik E = n P i jesu elementrni skupovi (podrzumev se d rzličiti skupovi P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk). Ako su P, Q prvougonici koji imju zjedničkih unutršnjih tčk, td je jednostvno proveriti d se skup P Q može prikzti ko unij i=1

9 1.1. ŽORDANOVA MERA U R N 9 končno mnogo prvougonik koji uzjmno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Potpuno nlogno, ko su A i B dv elementrn skup, td je A B = P 1 P k, pri čemu su P 1,... P k prvougonici koji u provim nemju zjedničkih unutršnjih tčk (Slik 2). Sledi d je A B elementrn skup. Slično, A B i A \ B tko de jesu elementrni skupovi. Slik 2. Ako su A, B uzjmno disjunktni elementrni skupovi, ond je m 2 (A B) = m 2 (A) m 2 (B). Ako su A i B elementrni skupovi i A B, ond n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi d je m 2 (B) = m 2 (A) + m 2 (B \ A). Dkle, m 2 (A) m 2 (B) Mer n-intervl u R n Anlogn je situcij u prostoru R n. Nek je 1,..., n R i b 1,..., b n R n, tko d je i < b i z svko i = 1,..., n. Skup

10 1 LAVA 1. INTERACIJA I = n ( i, b i )(b 1 1 ) (b n n ) i=1 je n-intervl u R n. Ako je n = 2, ond je I prvougonik. Ako je n = 3, ond je I kvdr. Primetimo d su strnice n-intervl uvek prlelne koordintnim osm. n-dimenzionln mer n-intervl I odre den je s m n (I) = n (b i i ) = (b 1 1 )... (b n n ). i=1 Nije vžno d li delovi hiper-rvni koje ogrničvju prvougonik, pripdju smom prvougoniku, ili ne: veličin m n (I) se ne menj. Ako je J neki (n 1)-intervl koji ogrničv n-intervl I, (dkle, J pripd hiper-rvni dimenzije n 1), td je m n (J) =. Specijlno, n-dimenzionln mer jednoelementnog skup jedk je. Primetimo d ko je J bilo koji (n 1)-intervl, ond J može biti posmtrn ko degenerisni n-intervl, odnosno j = b j z neko j. Ako su I 1,..., I k n-intervli, koji nemju zjedničkih unutršnjih tčk, ond je k E = elementrn skup u R n. Mer ovog elementrnog skup E odre den je s j=1 I j m n (E) = n m n (I j ). j=1 Ako su E, F elementrni skupovi, td su E F, E F i E \ F tko de elementrni skupovi. Nime, svki od ovih skupov može biti prikzn ko unij n-intervl, koji me dusobno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Ako su E, F elementrni skupovi i E F =, jednostvno je proveriti d vži m n (E F ) = m n (E) m n (F ). Ov osobin se nziv končn ditivnost mere m n n fmiliji elementrnih skupov. Ako su A, B elementrni skupovi i A B, n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi m n (B) = m n (A) + m n (B \ A) m n (A). Ov osobin se nziv monotonost mere n fmiliji elementrnih skupov.

11 1.1. ŽORDANOVA MERA U R N Unutršnj i spoljn mer Potrebno je meru definisnu u prethodnoj sekciji, proširiti n opštiju fmiliju podskupv od R n. Nek je skup R 2 ogrničen. Td postoje elementrni skupovi koje su sdržni u, i postoje elementrni skupovi koji sdrže. Nek je m i n() = sup{m(a) : A i A je elementrn skup} m e n() = inf{m(b) : B i B je elementrn skup}. Obzirom d je ogrničen skup, sledi d su m i n() i m e n() relni nenegtivni brojevi. Broj m i n() jeste unutršnj mer, broj m e n() jeste spoljn mer skup. Očigledno, uvek vži m i n() m e n(). Definicij Ogrničen skup R n je merljiv ko i smo ko je m i n() = m e n(). U tom slučju broj m n () (= m i n() = m e n()) jeste (n-dimenzionln Žordnov) mer skup. Koristićemo smo Žordnovu meru, te ubuduće umesto Žordnov mer pišemo mer. Z svki merljiv skup vži m n (). Dokzujemo nekoliko osnovnih tvr denj o merljivim skupovim i meri. Teorem Nek su A i B merljivi skupovi. Td vži: (1) Ako je A B, ond je m n (A) m n (B) (monotonost mere); (2) Ako je A R n otvoren skup, td je m n (A) > ; (3) m n (A) = ko i smo ko z svko ϵ > postoji elementrn skup F, tko d je A F i m n (F ) < ϵ (krkterizcij skup mere nul); (4) Unij dv skup mere nul jeste skup mere nul; (5) Ogrničen skup H R n je merljiv ko i smo ko je m n ( H) = ; (6) Skupovi A B, A B i A \ B su merljivi; (7) Ako je A B A B, ond je m n (A B) = m n (A) + m n (B) (ditivnost mere); (8) Ako je A B, td je m n (B \ A) = m n (B) m n (A). Dokz. Sve nvedene osobine očigledno vže z n-intervle i elementrne skupove. Dokzujemo ove osobine z proizvoljne merljive skupove. (1) Sledi n osnovu skupovne inkluzije elementrnih figur skupov upisnih u A, smim tim i u B.

12 12 LAVA 1. INTERACIJA (2) Ako je A otvoren i merljiv, ond z svko x A postoji neki otvoren n-intervl I, tko d je x I A, te je m n (A) >. (3) Sledi iz definicije infimum. (4) Sledi n osnovu svojstv (3). (5)Nek je F proizvoljn otvoren elementrn skup, sdržn u H i nek je proizvoljn ztvoren elementrn skup koji sdrži H. Očigledno vži H \F, odnosno \F je elementrn skup koji sdrži H. S druge strne, ko je K proizvoljn elementrn skup koji sdrži H, ond postoje elementrni skupovi F i, koji zdovoljvju F H i \ F = K. Pretpostvimo d je H merljiv skup i nek je ϵ > proizvoljno. Postoji elementrn skup F H tko d je m(h) m(f ) > m(h) ϵ/2. Tko de postoji elementrn skup H, tko d vži m n (H) m n () < m n (H) + ϵ/2. Prem tome, m e n( H) m n () m n (F ) < ϵ. N osnovu svojstv (3) sledi d je H merljiv i njegov mer je jednk nuli. Sd pretpostvimo d je m n ( H) =. Z ϵ > postoje elementrni skupovi F i d vži F H, H \F i m n () m n (F ) < ϵ. Td je, n osnovu m e n(h) m n () i m i n(h) m(f ), ispunjeno m e n(h) m i n(h) < ϵ. Kko je ϵ > proizvoljno, sledi d je H merljiv skup. (6) Sledi n osnovu svojstv (4), (5) i jednostvnih skupovnih inkluzij (A B) A B, (A B) A B i (A \ B) A B. (7) Sledi n osnovu svojstv (5) i (6). (8) Sledi n osnovu (7). Nvodimo primer ogrničenog skup koji nije merljiv. Primer Nek je Q 1 skup svih tčk skup [, 1] [, 1], čije su koordinte rcionlni brojevi. Skup Q 1 ne sdrži ni jedn netrivijln 2-intervl, već sdrži smo degenerisne intervle koji se svode n jednoelementne skupove. Stog je m i 2(Q 1 ) =. Skup Q 1 je gust u [, 1] [, 1]. Stog ne postoji mnj elementrn figur od [, 1] [, 1] koj sdrži Q 1. Stog je m e 2(Q 1 ) = 1. Dkle, skup Q 1 nije merljiv.

13 1.2. RIMANOV INTERAL Rimnov integrl Rimnov sum Nek je Euklidov 4 norm u prostoru R n, odnosno ko je x = (x 1,..., x n ) ( n ) 1/2 R n, ond je x = x i 2. Ako je x, y R n i y = (y 1,..., y n ), ond je i=1 ( n ) 1 2 d(x, y) = x y = (x i y i ) 2 Euklidovo rstojnje izme du tčk x i y. Nek je merljiv (prem tome i ogrničen) skup u R n. Nek su 1,..., k merljivi i uzjmno disjunktni skupovi, z koje vži = i=1 k i=1 i. Td se fmilij skupov T = { 1,..., k } nziv rzbijnje skup. Nek je d( i ) dijmetr skup i, odnosno d( i ) = sup{d(u, v) : u, v i }, i = 1,..., k. Njveći od tih dijmetr nziv se dijmetr rzbijnj T skup, odnosno d(t ) = mx{d( 1 ),..., d( k )}. Nije teško uočiti d z svki merljiv skup postoji neko rzbijnje T. Nek je f : R reln funkcij, i nek je ξ i i proizvoljn tčk z svko i = 1, 2,..., k. Koristimo oznku ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Sum σ T (f,, ξ) = k f(ξ i ) m n ( i ) (1.1) i=1 je Rimnov integrln sum funkcije f n skupu, koj odgovr podeli T i izboru tčk ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Nek su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup R n. Rzbijnje T je finije od rzbijnj T, u oznci T T, ko z svko E j T postoji s T, tko d je E j s. Ako su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup, td postoji rzbijnje T T, koje je finije i od T i od T. Rzbijnje T T je definisno ko T T = { s E j : s = 1,..., k, j = 1,..., l}. 4 Euklid iz Aleksndrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e p.n.e.), grčki mtemtičr

14 14 LAVA 1. INTERACIJA Ako je T proizvoljno rzbijnje merljivog skup R n, uvek postoji finije rzbijnje T istog skup. Ako je, recimo, T = { 1,..., k }, ond se može posmtrti rzbijnje T j = { j 1,..., j k } svkog skup j, te je T = { i j} i,j rzbijnje skup, s osobinom T T. Ako je T = { 1,..., k } rzbijnje merljivog skup, i ko je T = {E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E, td je T T = { 1,..., k, E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E. Činjenic d se svk podel T merljivog skup može učiniti finijom, omogućv uvo denje sledeće definicije. Definicij (Rimnov integrl funkcije n skupu) Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij. Broj I je Rimnov integrl funkcije f n skupu, u oznci f, ko z svko ϵ > postoji δ ϵ >, tko d z svko rzbijnje T = { 1,..., k } skup, koje im svojstvo d(t ) < δ, i z svki izbor tčk ξ 1 1,..., ξ k k vži I σ T (f, ξ, ) < ϵ. Ako postoji integrl f, ond je funkcij f integrbiln n skupu (u Ri- mnovom smislu). Rzmtrćemo smo Rimnov integrl funkcij, te pišemo integrl umesto Rimnov integrl. Formulišemo očigledn ekvivlent uslov integrbilnosti funkcije n merljivom skupu. Teorem Nek je merljiv skup u R n i nek je f : R funkcij. Rimnov integrl I funkcije f n skupu je grničn vrednost I = f = lim σ T (f,, ξ), d(t ) ukoliko ov grničn vrednost postoji nezvisno od rzbijnj T skup i nezvisno od izbor tčk ξ. Skup svih relnih funkcij, koje su integrbilne n merljivom skupu R n, oznčv se s R().

15 1.2. RIMANOV INTERAL Drbuove sume Nek je merljiv skup u R n, i nek je T = { 1,..., k } rzbijnje skup. Nek je f : R ogrničen funkcij. Posmtrjmo infimum i supremum funkcije f n svkom skupu i : m i = inf x i f(x) i M i = sup x i f(x), z svko i = 1, 2,..., k. Funkcij f je ogrničen, te je m i R i M i R z svko i. Donj i gornj Drbuov 5 sum definisne su, redom: s T (f, ) = k m i m n ( i ) i S T (f, ) = i=1 k M i m n ( i ). i=1 Nek je σ T (f,, ξ) jedn Rimnov sum funkcije f n skupu u odnosu n istu podelu T. Td očigledno vže nejednkosti: s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). (1.2) Nek je T = { 1,..., l } rzbijnje skup s svojstvom d z svko j {1,..., l} postoji neko i {1,..., k} tko d je j i, odnosno nek je podel T finij od podele T. N osnovu j i sledi d vži m i m j M j M i. Nek je, jednostvnosti rdi, i = 1 s, s l. Td je s T (f, i ) = s m t m n ( j), t=1 s T (f, ) = l m t m n ( j) = t=1 k s T (f, i ). Iz t i z svko t {1,..., s}, sledi d je m t m i z svko t {1,..., s}. Stog je i=1 s T (f, i ) = s m t m n ( j) m i t=1 s m n ( j) = m i m n ( i ). t=1 5 Jen-ston Drboux ( ), frncuski mtemtičr

16 16 LAVA 1. INTERACIJA Sledi s T (f, ) = n s T (f, i ) i=1 n m i m n ( i ) = s T (f, ). Z gornje Drubove sume može se nlogno pokzti suprotn nejednkost. Dkle, dokzli smo sledeći rezultt. Teorem Nek je merljiv podskup od R n, nek je f : R ogrničen funkcij, i nek su T i T dv rzbijnj skup, tko d je T T. Td z svki izbor tčk ξ (svk tčk ξ i pripd odgovrjućim elementu rzbijnj T ) td vži i=1 s T (f, ) s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ) S T (f, ). (1.3) Definicij Broj I f = sup s T (f, ), gde je supremum uzet po svim T rzbijnjim T skup, nziv se donji integrl funkcije f n skupu. Broj I f = inf S T (f, ), gde je infimum uzet po svim rzbijnjim skup T T, nziv se gornji integrl funkcije f n skupu. N osnovu nejednkosti (1.2), sledi d vži I f I f. Dokzćemo osnovnu teoremu, kojom je odre den ekvivlentn uslov integrbilnosti funkcije n nekom merljivom skupu. Teorem Nek je funkcij f ogrničen n merljivom skupu R n. Td su sledeć tvr denj ekvivlentn: (1) I f = I f ; (2) Z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (3) Z svko ϵ > postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ, vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (4) Postoji integrl f = I. Ako vži bilo koje od prethodnih tvr denj, ond je I = I f = I f. Dokz. (1) = (2): Nek je ϵ >. Donji integrl I f je supremum donjih Drbuovih sum. Stog z ϵ > postoji nek podel T 1, tko d z odgovrjuću donju Drbuovu sumu vži s T1 (f, ) > I f ϵ. ornji integrl 2 If je

17 1.2. RIMANOV INTERAL 17 infimum gornjih Drbuovih sum. Prem tome, z ϵ > postoji podel T 2 s svojstvom S T2 (f, ) < I f + ϵ. Postoji podel T, koj je finij od podel 2 T 1 i T 2 (n primer, T = T 1 T 2 ). Td je I f ϵ 2 < s T 1 (f, ) s T (f, ) I f I f S T (f, ) S T2 (f, ) < I f + ϵ 2. N osnovu pretpostvke I f = I f, sledi d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (2) = (1): Tvr denje sledi n osnovu očiglednih nejednkosti s T (f, ) I f I f S T (f, ). (4) = (3): Pretpostvimo d postoji integrl I = f. Nek je ϵ >. Td postoji broj δ >, tko d z svku podelu T skup dijmetr mnjeg od δ, vži I ϵ 2 σ T (f,, ξ) < I + ϵ 2, nezvisno od izbor tčk ξ i i. U prethodnim nejednkostim se može uzeti, jedn z drugim, supremum ili infimum sume σ T (f,, ξ) po svim ξ i i. Odtle neposredno sledi I ϵ 2 s T (f, ) S T (f, ) I + ϵ 2, smim tim i S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (3) = (2): Ov implikcij je trivijln. (3) = (4): Iz pretpostvke d vži tvr denje (3) sledi d vže tvr denj (1) i (2). Nek je ϵ >. Td postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Z proizvoljn izbor tčk ξ i i vži s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). Tko de vži i s T (f, ) I f = I f S T (f, ). Prem tome, sledi d vži I f σ T (f,, ξ) < ϵ, z svku podelu T s osobinom d je dijmetr podele T mnji od δ i z proizvoljn izbor tčk ξ i i. Sledi d je I f jednk integrlu funkcije f n skupu, odnosno I f = f. (2) = (3): Ov implikcij je njinteresntnij. Nek je funkcij f ogrničen konstntom M n skupu, odnosno z svko x nek je f(x) M. Nek je ϵ >. Iz činjenice d vži tvr denje (2) sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup s svojstvom S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Nek je n i = inf f(x) i N i = sup f(x), i = 1,..., k. N osnovu merljivosti x i x i skupov i sledi d je mer njihovog rub jednk nuli, odnsono m n ( i ) = z svko i = 1,..., k. Nek je Γ = k i=1 i. Td je m n (Γ) =. Postoji

18 18 LAVA 1. INTERACIJA elementrn skup σ, s svojstvim Γ σ i m n (σ) < ϵ. Ne gubeći od 2M opštosti može se pretpostviti d je σ otvoren skup. Postoji otvoren skup σ s svojstvim: Γ σ σ i σ σ =. Td je m n (σ ) < ϵ i 2M δ = inf{d(x, y) : x σ, y σ} >. Nek je T 1 = {F 1,..., F l } proizvoljno rzbijnje skup dijmetr d s svojstvom d < δ. Td je S T1 (f, ) s T1 (f, ) = l (M i m i ) m(f i ), pri čemu je m i = inf f(x) i M i = sup f(x), z svko i = 1,..., l. Nek su I x F i x F i i J podskupovi skup {1,..., l} s svojstvim: i I ko i smo ko F i im neprzn presek s Γ, j J ko i smo ko F j Γ =. Ako je i I, td vži F i σ. Stog je (M i m i ) m(f i ) 2M m(f i ) < ϵ. i I i I Ako je j J, td F j Γ = i po konstrukciji skup Γ sledi d mor biti F j i z neko i. Sve tkve skupove obeležimo s 1,..., t. Tko de nek je F 1,..., F s1 1,...,F st 1,..., F st s. Td vži N krju, s s i (M j m j ) m(f j ) = (M j m j ) m(f j ) j J i=1 j=s i 1 s s i s (N i n i ) m(f j ) (N i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 j=s i 1 i=1 S T1 (f, ) s T1 (f, )= i I i=1 (M i m i ) m(f i ) + j J (M j m j ) m(f j )<2ϵ. Time je dokzno tvr denje (3) Oznke i terminologij Ako je merljiv skup u R 2 i f R(), ond je čest oznk f = f = f(x, y) dx dy.

19 1.3. KLASE INTERABILNIH FUNKCIJA 19 Integrl f nziv se dvostruki integrl funkcije f n skupu. Ako je merljiv skup u R 3 i f R(), ond je f = f = f(x, y, z) dx dy dz. Integrl f je trostruki integrl funkcije f n skupu. Končno, ko je merljiv skup u R n i f R(), ond je f = f = f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n. }{{} n put }{{} n put Integrl f je n-integrl funkcije f n skupu. 1.3 Klse integrbilnih funkcij Nek je R n proizvoljn merljiv skup. Nisu sve funkcije, koje su definisne n skupu, obvezno integrbilne n skupu. S druge strne, ko je R n proizvoljn merljiv skup i ko je g(x) = z svko x, td je g(ξ i ) = z svku tčku ξ i i. Stog vži g(x) dx =. Sledi d je nul-funkcij integrbiln n svkom merljivom skupu i njen integrl n tom skupu je jednk nuli. Skup intergbilnih funkcij, pod odre denim uslovim, sdrži sve neprekidne funkcije. Preciznije, vži sledeć teorem. Teorem Ako je reln funkcij f definisn i neprekidn n ztvorenom i merljivom skupu u R n, td je funkcij f integrbiln n. Dokz. Skup je merljiv i stog je ogrničen. Sledi d je kompktn skup. Prem Kntorovoj 6 teoremi, funkcij f je rvnomerno neprekidn n skupu. Nek je ϵ >. N osnovu rvnomerne neprekidnosti funkcije f sledi d postoji broj δ >, tko d z svke dve tčke x 1, x 2 s svojstvom d(x 1, x 2 ) < δ vži f(x 1 ) f(x 2 ) < ϵ. Nek je T = { m n () 1,..., k } 6 eorg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor ( ), nemčki mtemtičr

20 2 LAVA 1. INTERACIJA proizvoljno rzbijnje skup dijmetr mnjeg od δ. Imjuću u vidu stndrdne oznke m i i m i, sledi d vži M i m i = sup x i f(x) inf x i f(x) = sup x i f(x) + sup x i ( f(x)) = sup x 1,x 2 i (f(x 1 ) f(x 2 )) sup f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 i ϵ m n (). Z odgovrjuće Drbuove sume funkcije f n skupu, ispunjeno je S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Prem Teoremi 1.2.3, postoji integrl f. Ako je R n, td je skup relnih i neprekidnih funkcij n oznčen s C(). N osnovu prethodne teoreme, ko je merljiv i ztvoren (tj. je merljiv kompkt), ond je C() R(). Teorem Nek je reln funkcij f definisn i ogrničen n merljivom i ztvorenom skupu R n, tkv d je mer skup tčk prekid funkcije f jednk nuli. Td je funkcij f integrbiln n skupu. Dokz. Nek je M = sup f(x) <, nek je E skup tčk prekid funkcije x f u skupu, i nek je ϵ >. N osnovu m(e) =, sledi d postoji otvoren elementrn skup F, tko d je E F i m(f ) < ϵ. Skup \F je ztvoren 4M i merljiv. N osnovu Teoreme funkcij f je integrbiln n skupu \F. Prem tome, postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup \ F, z koje vži S T (f, \ F ) s T (f, \ F ) < ϵ 2. Nek je k+1 = F. Td je T 1 = T { k+1 } rzbijnje skup i vži m( k+1 ) m(f ) < ϵ. Stog, uz prirodne oznke M 4M i i m i, vži S T1 (f, ) s T1 (f, ) (M k+1 m k+1 ) m( k+1 ) + 2M ϵ 4M + ϵ 2 = ϵ. k (M i m i ) m( i ) i=1 N osnovu Teoreme (2) sledi d je funkcij f integrbiln n skupu.

21 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA Svojstv Rimnovog integrl Dokzujemo osnovn svojstv Rimnovog integrl. Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij definisn n. (1) Ako je m n () =, ond je f =. Dokz. N osnovu m n () = sledi σ T (f,, ξ) =, te je i f =. (2) 1 = m n (), pri čemu je 1 konstnt funkcij x 1 z svko x. Dokz. Z proizvoljno rzbijnje T merljivog skup vži σ T (f,, ξ) = ( m m ) 1 m n ( i ) = m n i = m n (). i=1 Posledic Ako je merljiv skup u R 2, ond je Ako je V merljiv skup u R 3, ond je V i=1 dx dy dz = m 3 (V ). dx dy = m 2 (). (3) Ako je f(x) z svko x, i ko je f integrbiln funkcij n, ond je f. Dokz sledi n osnovu nejednkosti σ T (f,, ξ) = n f(ξ i ) m( i ) i=1 i definicije Rimnovog integrl. (4) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko je α, β R, ond je funkcij αf + βg integrbiln n i vži (αf + βg) = α f + β g. Dokz ovog tvr denj sledi n osnovu jednkosti σ T (αf + βg,, ξ) = α σ T (f,, ξ) + β σ T (f,, ξ). (5) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko z svko x vži f(x) g(x), td je f g.

22 22 LAVA 1. INTERACIJA Dokz sledi neposredno n osnovu (3) i (4), imjući u vidu d je g f n. (6) Nek su A i B merljivi skupovi u R n, A B, i nek je f ogrničen i integrbiln funkcij n B. Td je f integrbiln funkcij n A. Dokz. Skup C = B \ A je merljiv. Svko rzbijnje skupov A i C indukuje jedno rzbijnje skup B. Obrnuto, svko rzbijnje skup B može se učiniti finijijm, tko d je to rzbijnje unij rzbijnj skup A i rzbijnj skup C. Stog, nek je T rzbijnje skup B, koje se sstoji od rzbijnj T 1 skup A i rzbijnj T 2 skup C. Vži očigledn nejednkost: S T1 (f, A) s T1 (f, A) S T (f, B) s T (f, B). Nek je ϵ >. Kko je f R(B), sledi d postoji rzbijnje T skup B tko d je S T (f, B) s T (f, B) < ϵ. Prem prethodnom, T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup A, dok je T 2 rzbijnje skup B \ A. Sledi d je S T1 (f, A) s T1 (f, A) < ϵ, te je f R(A). (7) Nek je i m n ( ) =. Funkcij f je integrbiln n ko i smo ko je f integrbiln n \ ; u tom slučju je f = f. \ Dokz. Svko rzbijnje skupov i \ dovodi do rzbijnj skup. Obrnuto, ko je T rzbijnje skup, ond postoje rzbijnj: T 1 skup \ i T 2 skup 1, tko d T 1 T 2 jeste finije rzbijnje of T. Dkle, bez gubljenj opštosti, posmtrmo rzbijnje T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup \, T 2 je rzbijnje skup. Kko je σ T (f,, ξ) = z svki izbor tčk ξ, sledi d je σ T (f,, ξ) = σ T (f, \, ξ). Odvde sledi rezultt, prelskom n grničnu vrednost kd d(t ). (8) Nek su A i B merljivi skupovi u R n s svojstvim: m n (A B) =, A B =, i nek je funkcij f ogrničen n skupu. Td je funkcij f integrbiln n skupu, ko i smo ko je f integrbiln n skupovim A i B. U tom slučju vži jednkost f = f + f. (1.4) A B Dokz. Svko rzbijnje skupov A i B proizvodi rzbijnje skup. S druge strne, svko rzbijnje skup može se učiniti finijim tko, d su skupovi novog rzbijnj sdržni i u polznom rzbijnju skup A i u polznom rzbijnju skup skup B. Činjenic m n (A B) = grntuje

23 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 23 d je integrl n skupu bilo koje integrbilne funkcije jednk integrlu te iste funkcije n skupu \ (A B). Prem tome, posmtrmo rzbijnje T skup koje indukuje rzbijnje T 1 skup A i rzbijnje T 2 skup B, pri čemu znemrujemo skup A B. Sledi očigledn jednkost σ T (f, ) = σ T1 (f, A) + σ T2 (f, B). (1.5) Ukoliko postoje integrli f i f, td postoji i integrl f, te sledi A B A B tržen jednkost integrl (1.4). Obrnuto, iz ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, sledi integrbilnost funkcije f n skupovim A i B. (9) Ako su f i g ogrničene i integrbilne funkcije n merljivom skupu R n, td je i fg integrbiln n skupu. Dokz. Obzirom d su funkcije f i g ogrničene n skupu, postoji neki broj L >, tko d z svko x vži f(x) L i g(x) L. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcij f i g n skupu, sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., l } skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) = S T (g, ) s T (g, ) = Pri tome koristimo oznke: l i=1 l i=1 (M i m i ) m( i ) < ϵ 2L (N i n i ) m( i ) < ϵ 2L. i M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup g(x), n i = inf g(x), x i x i K i = sup f(x)g(x), k i = inf f(x)g(x). x i x i N osnovu osobin supremum i infimum, vži sledeć procen:

24 24 LAVA 1. INTERACIJA K i k i = sup fg inf i i fg sup i f sup g inf f inf g i i i = M i N i m i n i = M i N i m i N i + m i N i m i n i = N i (M i m i ) + m i (N i n i ) L[(M i m i ) + (N i n i )]. N osnovu poslednje nejednkosti, sledi d vži: S T (fg, ) s T (fg, ) = l (K i k i ) m( i ) i=1 L [(S T (f, ) s T (f, )) + S T (g, ) s T (g, ))] < ϵ. Prem tome, funkcij fg je integrbiln n skupu. (1) Ako je funkcij f ogrničen i integrbiln n, ond je funkcij f tko de integrbiln n i vži f f. Dokz. Nek je ϵ >. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, postoji podel T = { 1,..., l } skup, tko d vži nejednkost Koristimo oznke S T (f, ) s T (f, ) = l (M i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup f(x), n i = inf f(x). x i x i N osnovu nejednkosti f(x) f(y) f(x) f(y), sledi nejednkost N i n i M i m i, z svko i = 1,..., l. N osnovu ove nejednkosti proizilzi procen S T ( f, ) s T ( f, ) S T (f, ) s T (f, ) < ϵ.

25 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 25 Prem tome, funkcij f je integrbiln n skupu. Nek su sd σt 1 (f,, ξ) = t f(ξ i ) m n ( i ) i σt 2 (f,, ξ) = t i=1 f(ξ i ) m( i ) Rimnove sume z integrle f i f redom. N osnovu očigledne nejednkosti σt 1 (f,, ξ) σ2 T ( f,, ξ), sledi odgovrjuć nejednkost integrl. (11) (Teorem o srednjoj vrednosti interl) Nek je merljiv skup u R n, f, g : R integrbilne funkcije, m f(x) M z svko x, i g(x) z svko x. Td postoji tčk λ [m, M], tko d je fg = λ g. i=1 Ako je uz to povezn i kompktn skup, i ko je f neprekidn funkcij n, td postoje tčke ν, ξ tko d je 1 fg = f(ν) g i f(ξ) = f. m n () Dokz. N osnovu g i m f M, sledi mg f g M g, te je m g fg M g. Ako je g =, ond λ može biti bilo koji reln broj. Ako je g >, td n osnovu prethodne procene vži λ = fg g [m, M]. Ako je povezn i kompktn skup i f neprekidn funkcij n, td f dostiže svoj minimum i mksimum n. Stog se može uzeti m = min x f(x), M = mx x f(x). N osnovu poveznosti skup sledi d postoji ν s svojstvom f(ν) = λ [m, M]. Poslednj jednkost sledi ko se posmtr funkcij g(x) = x z svko x.

26 26 LAVA 1. INTERACIJA 1.5 eometrijski i fizički smiso integrl Dokzujemo sledeće tvr denje, koje je relevntno z geometrijsko shvtnje integrl. Teorem Nek je R n merljiv skup, i nek je funkcij f ogrničen i integrbiln n skupu. Td grfik funkcije f, odnosno skup Γ r (f) = {(x, f(x)) : x } R n+1, jeste merljiv u R n+1 i njegov mer jeste nul, odnosno m n+1 (Γ r (f)) =. Dokz. Nek je k N. U prostoru R n (koji sdrži ) posmtrmo hiper-rvni koje su normlne n svku koordintnu osu (dkle, prlelne 1 svim preostlim koordintnim osm) i tu osu seku u tčki l, pri čemu je 2 k l Z. N tj nčin se dobij 1 -mrež prostor R n. 2 k Dkle, ko je k = 1, ond postoji fmilij hiper-rvni, tko d je odre den potfmilij tih rvni normln n jednu koordintnu osu i tu osu pomenut potfmilih hiper-rvni seče u tčkm:, 1, 1, 2, 2,.... Ako je k = 2, ond hiper-rvni seku koordintnu osu (onu osu kojoj su hiper-rvni normlne) u tčkm, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, Dkle, 1-mrež je finij od 1-mreže, 1-mrež je finij od 1 -mreže, i tko redom. Z svko k N posmtrmo n-intervle odre dene 1 -mrežnom, koji su 2 k sdržni u. Nek su to skupovi {E1 k, E2 k,..., El k k }. Td je te je i Skup je merljiv, te je m n (F k ) = F k = l k i=1 l k i=1 E k i, m n (E k i ) m n (). lim m n(f k ) = m i n() = m n (). k Nek je ϵ >. Postoji k N, tko d je m n () ϵ < m n (F k ) m n ().

27 1.5. EOMETRIJSKI I FIZIČKI SMISAO INTERALA 27 Posmtrjmo sd skup ko podskup prostor R n+1. Svki skup Ei k je n-intervl, li je to istovremeno degenerisni n + 1-intervl, koji im 2 k temen, i temen su oznčen s T 1,..., T 2 k. Nek je ξ i Ei k. Kroz svko teme posmtrmo prvu prlelnu dodtoj osi, koj je n + 1 po redu (tj. prv je prleln koordintnoj osi koj ne pripd polznom prostoru R n ). Posmtrmo duži n toj prvoj, koje polz od temen T j, zvršvju, redom, u tčkm s vrednostim m j, f(ξ j ), M j. Ako je k dovoljno veliki broj, ond su m j, f(ξ j ), M j istog znk (osim ko je f(ξ j ) =, li ovj specijln slučj ne predstvlj suštinksu prepreku u rzmtrnju). Nek je, n primer m j, f(ξ j ), M j >. Posmtrjmo (n + 1)-intervle Td je K j = E k j (, m j ), L j = E k j [, M j ]. m n+1 (K j ) = m n (E k j ) m j, m n+1 (L j ) = m n (E k j ) M j. rfik funkcije f n skupu E j je sdržn u skupu L j \ K j. Stog je grfik funkcije f n skupu F k sdržn u skupu l k (K j \ L j ). Vži j=1 ( lk ) k l m n+1 (K j \ L j ) = (M j m j )m n (Ej k ). j=1 Poslednj sum je rzlik gornje i donje Drbuove sume funkcije f n skupu F k. Funkcij f je integrbiln n, p je integrbiln i n F k. Stog postoji novi broj k N (veći od prethodnog k), tko d je j=1 Sd je k l j=1 (M j m j )m n (E k j ) < ϵ. S(f, ) s(f, ) = S(f, F k ) s(f, F k ) + S(f, \ F k ) s(f, \ F k ). Funkcij f je ogrničen, te je f N n skupu. Dkle, z unpred zdni broj ϵ > postoji broj k N (odnosno, postoji mrež 1 koj indukuje 2 k rzbijnje skup ), tko d je S(f, ) s(f, ) ϵ + Nϵ.

28 28 LAVA 1. INTERACIJA Immo u vidu d je grfik funkcije f sdržn u (n + 1)-intervlim čij je (n + 1)-mer mnj od ϵ + 2Mϵ. Sledi d je m n+1 (Γ r (f)) = Interpretcij dvostrukog integrl Rzmotrimo dvostruki integrl. Nek je merljiv skup u R 2, i nek je f : R nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij. Unutršnjost skup oznčimo s, rub skup oznčimo s. Iz merljivosti skup sledi d je m 2 ( ) =. Stog je f = f. rfik Γ r (f) = {(x, y, z) : (x, y), z = f(x, y)} je grfik površi u R 3. Posmtrjmo cilindr V odre den skupom, skupom Γ r (f), čije su izvodnice prlelne z-osi, i sve izvodnice prolze kroz. N ovj nčin je ogrničen skup u prostoru R 3. N osnovu prethodne teoreme, m 3 (Γ r (f)) =. Tko de je m 3 () =, jer je ogrničen i degenerisn skup u R 3. Procenimo meru cilindrske površi, oznčene s K. Kko je m 2 ( ) =, skup je pokriven elementrnim 2-intervlim čij je ukupn mer proizvoljno ml (tj. može se učiniti mnjom od bilo kog unpred zdnog broj ϵ > ). Stog je cilindrsk površ K sdržn u uniji končno mnogo 3-intervl, čij se ukupn trodimenzionln mer može učiniti proizvoljno mlom. Stog je m 3 (K) =. Dkle, m 3 (V ) ne zvisi od trodimenzionlnih mer skupov, Γ r (f), K. Posmtrjmo proizvoljnu 1 -mrežu prostor R 2, koj indukuje rzbijnje 2 k T skup. Donje i gornje Drbuove sume funkcije f n skupu, indukovne rzbijnjem T, sd čine trodimenzionlne mere cilindr upisnih u V, i cilindr opisnih oko V. Funkcij f je integrbiln n, te je f = m 3 (V ). Ukoliko bi funkcij f bil negtivn n, ond bi bilo f = m 3 (V ).

29 1.6. SPECIFIČNOSTI INTERALA U RN ZA N Interpretcij trostrukog integrl Trostruki integrl im jednostvnu fizičku interpretciju. Nek je merljiv skup u R 3, koji je model nekog tel u prostoru. Pretpostvimo d je f nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij n, koju smtrmo funkcijom rspodele gustine tel. Posmtrmo rzbijnje T = { 1,..., m } skup, koje je dovoljno fino, odnosno dovoljno mlog dijmetr, d se funkcij rspodele gustine f u skupu (telu) i nezntno rzlikuje od konstnte. Td je z svko ξ i i veličin f(ξ i ) m( i ) približno jednk msi tel i. Prem tome, Rimnov sum σ T (f, ) približno je jednk msi tel. Očigledno, grešk u rčunu se smnjuje ukoliko se smnjuje i dijmetr podele T. Dkle, pod pretpostvkom d je funkcij f rspodel gustine tel, sledi d je f ms tel. 1.6 Specifičnosti integrl u R n z n 2 Rimnov integrl funkcije f n skupu je prirodno uopštenje integrl n [, b]. Definicij integrl, kko smo do sd pokzli, zhtev uvo denje pojm mere u R n. Bogtij geometrijsk struktur prostor R n u odnosu n R donosi izvesne specifične osobine integrl, koje se ne zsnivju smo n rzličitoj interpretciji mere. U slučju integrl b f(x) dx funkcije jedne promenljive, u smoj definiciji je sdržn uslov ogrničenosti funkcije f. U suprotnom rdi se o nesvojstvenom integrlu, koji se posebno rzmtr. Me dutim, ko je merljiv skup u R n, n 2, i f R(), ond funkcij f ne mor biti obvezno ogrničen. Primer Nek je = [, 1] {} segment u R 2. Očigledno, m 2 () =. Bilo koj reln funkcij f s domenom, mor biti integrbiln n. N primer, nek je z svko y R: { 1, x (, 1], x f(x, y) =, x =. Funkcij f očigledno nije ogrničen, li je f = (Slik 3).

30 3 LAVA 1. INTERACIJA O Slik 3. 1 Definicij Merljiv skup R n je jednostvn, ko z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d je d(t ) < ϵ i d je svki skup iz T pozitivne n-dimenzionlne mere. Skup u Primeru nije jednostvn, jer z bilo koju podelu T skup, svki element iz im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. S druge strne, mnogi skupovi zist jesu jednostvni. Teorem Ako je otvoren i merljiv skup u R n, ond je jednostvn skup. Dokz. Nek je otvoren merljiv skup, i nek je ϵ >. Posmtrjmo 1 -mrežu prostor R n. Ako je E k 2 k j jedn n-intervl odre den ovom mrežom, ond je njegov dijmetr d(ej k ) = n. Postoji k N tko d je d(e k 2 2k j ) < ϵ. Z ovko odbrno k, posmtrjmo rzbijnje T = {Ej k : j} skup, pri čemu posmtrmo smo neprzne skupove Ej k. Pretpostvimo d postoji neki Ej k, tko d je m n (Ej k ) =. Td skup Ej k ne sdrži ni jedn otvoreni n-intervl. Stog im przn presek s (Ej k ). Prem tome, seče smo rub skup Ej k u nekoj tčki x. Ako bi x bil unutršnj tčk skup, ond bi skup seko unutršnost skup Ej k, što je nemoguće. Dkle, x. Poslednj činjenic je nemoguć, jer je otvoren, p ne sdrži ni jednu svoju rubnu tčku. Sledi d je m n (Ej k ) > z svki skup Ej k. Ako je merljiv podskup od R n, i ko je skup jednostvn, ond je i skup jednostvn. Stog su i ztvorenj otvorenih merljivih skupov tko de jednostvni skupovi. Teorem Ako je merljiv i jednostvn skup u R n, i ko je f R(), ond je f ogrničen n.

31 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 31 Dokz. Pretpostvimo d je f neogrničen n. Z proizvoljno δ > postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup, tko d je d(t ) < δ i m( j ) > z svko j = 1,..., k. Funkcij f nije ogrničen n br jednom elementu iz T, recimo f nije ogrničen n 1. Posmtrjmo proizvoljne tčke ξ j j z j = 1,..., k, i odgovrjuću Rimnovu sumu σ T (f,, ξ) = f(ξ 1 )m n ( 1 ) + k f(ξ j )m n ( j ). Fiksirjmo vrednosti ξ 2,..., ξ k. Td z svko M > možemo odbrti tčku ξ 1 1, tko d je σ T (f,, ξ) M. Ovo je u suprotnosti s pretpostvkom f R(). Sledi d je f ogrničen n. j=2 1.7 Izrčunvnje integrl Integrle funkcij n merljivivm skupovim iz R n izrčunvmo njčešće njihovim svodjenjem n ponovljene integrle Slučj prostor R 2 Dokzćemo njpre osnovne rezultte u prostoru R 2. Teorem Pretpostvimo d vži: (1) Funkcij (x, y) f(x, y) je integrbiln u prvougoniku Π = {(x, y) : x b, c y d}; (2) Z svko x [, b] postoji integrl Td integrl x f(x, y) dy definiše integrbilnu funkciju po x n segmentu [, b] i vži d f(x, y) dx dx = c d c f(x, y) dy. b d f(x, y) dy dx b d dx f(x, y) dy. Π c c

32 32 LAVA 1. INTERACIJA Dokz. Odberimo tčke c = y < y 1 < y 2 < < y n = d i = x < x 1 < x 2 < < x m = b s svojstvom y i y i 1 = h z svko i i x j x j 1 h z svko j. Odberimo proizvoljne tčke α j [x j 1, x j ] i β i [y i 1, y i ]. N ovj nčin postigli smo rzbijnje segment [c, d] i [, b], ko i rzbijnje prvougonik Π mnjim prvougonicim s temenim u tčkm (x j, y i ). Z proizvoljno x [, b] vži d je s h (x) = n f(x, β i )(y i y i 1 ) = i=1 n f(x, β i )h i=1 Rimnov sum integrl σ h = = n i=1 n i=1 d c f(x, y) dy. Tko de, m f(α j, β i )(x i x i 1 )(y j y j 1 ) j=1 m f(α j, β i )(x i x i 1 )h j=1 je Rimnov sum koj odgovr integrlu f(x, y) dx dy. Posmtrjmo Rimnovu sumu integrl S h = b Π s h (x) dx, koj je jednk m s h (α j )(x j x j 1 ) = σ h. j=1 Zbog uslov x j x j 1 h z svko j, sledi d ko dijmetr podele skup Π teži nuli, ond teže nuli i dijmetri podele segment [c, d] i [, b], ov činjenic se jednostvno opisuje ko h. N osnovu jednkosti dvojne i ponovljene grnične vrednosti funkcij dve promenljive, proizilzi i jednkost integrl: b d f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. Time je teorem dokzn. Primer Izrčunti Π Π c xy dx dy, gde je Π = [, 1] [2, 3].

33 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 33 Rešenje. Funkcij (x, y) f(x, y) = xy je neprekidn, te stog i integrbiln n skupu Π. N osnovu Teoreme 1.7.1, sledi xy dx dy = 1 3 x dx y dy = 5 4. Π 2 Definicij Nek su φ i ψ neprekidne funkcije n segmentu [, b] i z svko x [, b] nek vži φ(x) ψ(x). Skup Ω = {(x, y) : φ(x) y ψ(x), x b} jeste elementrn skup u odnosu n y-osu (Slik 4). Slik 4. Teorem Skup Ω u prethodnoj Definiciji je merljiv u R 2. Dokz. Nek je I duž u rvni koj spj tčke (, φ()) i (, ψ()). Nek je J duž koj spj tčke (b, φ(b)) i (b, ψ(b)). Td je rub skup Ω Ω = I J Γ r (φ) Γ r (ψ), gde je Γ r (φ) grfik funkcije φ, Γ r (ψ) grfk funkcije ψ. rfik integrbilne funkcije, smim tim i neprekidne funkcije, im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. Dkle, m 2 ( Ω) =, odkle proizilzi d je skup Ω merljiv u R 2. Teorem Nek je Ω elementrn skup u odnosu n y-osu, odre den Definicijom Nek je (x, y) f(x, y) integrbiln funkcij n skupu Ω,

34 34 LAVA 1. INTERACIJA pri čemu z svko x [, b] postoji integrl formul Ω f(x, y) dx dy = b dx ψ(x) φ(x) ψ(x) φ(x) f(x, y) dy. Td vži sledeć f(x, y) dy. Dokz. Funkcije φ i ψ su neprekidne n segmentu [, b] i dostižu, redom, svoj minimum i mksimum n ovom segmentu. Nek je c = min φ(x), x [,b] d = mx ψ(x). x [,b] Očigledno je Ω Π = [, b] [c, d]. Skup Ω je merljiv, p je i skup Π \ Ω tko de merljiv. Nek je funkcij F definisn n skupu Π sledeći nčin: { f(x, y), (x, y) Ω, F (x, y) =, (x, y) Π \ Ω. Sledi F (x, y) dx dy = F (x, y) dx dy + F (x, y) dx dy Π Ω = f(x, y) dx dy. Π\Ω Prem Teoremi 1.7.1, proizilzi d vži f(x, y) dx dy = b Ω d dx F (x, y) dy Ω = = b b c dx φ(x) ψ(x) dy + f(x, y) dy + d c φ(x) ψ(x) ψ(x) dx f(x, y) dy. dy Time je teorem dokzn. φ(x)

35 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 35 Primer Izrčunti integrl x 2 dx dy n skupu = {(x, y) : 1 x 1, x 2 y 1} (Slik 5). Slik 5. Rešenje. N osnovu Teoreme 1.7.3, vži: x 2 dx dy = dx x 2 dy = x 2 (1 x 2 ) dx = x 2 1 Primer Nek je skup ogrničen kružnicm x 2 + y 2 = 4 i x 2 2x + y 2 =. Prikzti dvostruki integrl f(x, y) dx dy ko dv uzstopn integrl (Slik 6). Slik 6. Rešenje. Skup je unij tri elemtrn skup u odnosu n y-osu: Ω 1 = {(x, y) : 2 x, 4 x 2 y 4 x 2 } Ω 2 = {(x, y) : x 2, 4 x 2 y 2x x 2 }, Ω 3 = {(x, y) : x 2, 2x x 2 y 4 x 2 }.

36 36 LAVA 1. INTERACIJA Prem Teoremi sledi f(x, y) dx dy = dx dx 4 x 2 4 x 2 f(x, y) dy + 4 x 2 f(x, y) dy. 2 2x x 2 dx f(x, y) dy 4 x 2 2x x 2 Slik 7. Primer Izrčunti integrl (Slik 7) I = π/2 dy π/2 y sin x x dx. Rešenje. Poznto je d neodre deni integrl sin x x sin x u končnom obliku. Vži lim x sin x x = ogrničen i neprekidn n posmtrnom skupu x dx ne može biti izrčunt = 1, odkle sledi d je funkcij (x, y) { (x, y) : y π 2, y x π } = {(x, y) : x π } 2 2, y x.

37 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 37 Prem Teoremi 1.7.3, vži: I = = π/2 π/2 dy π/2 y sin x x sin x x dx = x dy dx = sin x x π/2 dx dy = π/2 sin x dx = 1. x dx sin x x dy Slučj prostor R n, n 3 Nije teško dokzti rezultt nlogn Teoremi u prostoru veće dimenzije. Teorem Nek su = k (b i i ) i K = m (d i c i ) prvougonici, i=1 redom, u R k i R m. Nek je funkcij f integrbiln n prvougoniku K. Ako z svko x postoji integrl f(x, y) dy, td vži formul K j=1 f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy. K K Definicij Nek je merljiv skup u R n i nek su φ, ψ : R neprekidne funkcije s svojstvom φ(x) ψ(x) z svko x = (x 1,..., x n ). Skup Ω = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : x, φ(x) x n+1 ψ(x)} R n+1 jeste elementrn skup u odnosu n osu x n+1. Teorem Elementrn skup Ω, odre den Definicijom je merljiv u prostoru R n+1. Teorem Nek je Ω merljiv i elementrn skup u odnosu n osu x n+1, opisn u 2.21 Definiciji. Nek je (x, x n+1 ) f(x, x n+1 ) integrbiln funkcij

38 38 LAVA 1. INTERACIJA n Ω i nek z svko x postoji interl formul ψ(x) φ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Td vži f(x, x n+1 ) dx dx n+1 = dx ψ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Ω φ(x) Primer Izrčunti trostruki integrl I = skup = [, 1] [2, 3] [4, 5]. xyz dx dy dz ko je Rešenje. Prem Teoremi vži I = 1 3 x dx 5 y dy z dz = Primer Izrčunti trostruki integrl I = z dx dy dz n skupu Ω ogrničenom rvnim x + y + z = 1, x =, y =, z = (Slik 1.7.2). Ω Rešenje. Skup Ω prikzn je n sledeći nčin: Ω = {(x, y, z) : x 1, y 1 x, z 1 x y}. Ω je elementrn u odnosu n z-osu. Nek je skup u rvni ogrničen prvm x+y = 1, x = i y =. Skup je elementrn u odnosu n y-osu.

39 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 39 Prem Teoremi vži z dx dy dz = dx dy 1 x y (1 x y) 2 dx dy Ω 1 1 x dx z dz = 1 2 (1 x y) 2 dy = dx 1 x t 2 dt = 1 2 = Smen promenljivih U opštem slučju, potrebno je integrl neke funkcije izrčunti n skupu koji nije elementrn u odnosu n neku koordintnu osu. Stog se uvodi smen promenljivih. Skup ( R n ) je povezn ko z svke dve tčke A, B, postoji neprekidno preslikvnje γ : [, b] s svojstvom d je γ() = A i γ(b) = B. Otvoren i povezn skup jeste oblst. Ako je oblst, ond je ztvorenje oblsti. Posmtrmo preslikvnj definisn n oblstim u R n. Nek je R n oblst i nek su definisne funkcije (ξ 1,..., ξ n ) φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n ) z ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Td je φ(ξ) = (φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n )) D, gde je D neki novi skup u R n. Preciznije, D je slik skup koordintnim preslikvnjim φ 1,..., φ n. Zhtev se d svi prcijlni izvodi prvog red φ i ξ j (i, j = 1,..., n) budu neprekidne funkcije n. Tko de, pretpostvlj se d je jkobijn 7 ovog koordintnog preslikvnj rzličit od nule, odnosno J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ) = φ 1 ξ 1. φ n ξ 1 φ 1 φ n. φ n ξ n 7 Crl ustv Jcob Jcobi ( ), nemčki mtemtičr

40 4 LAVA 1. INTERACIJA z svko (ξ 1,..., ξ n ). Td je preslikvnje φ = (φ 1,..., φ n ) : R n regulrno (ili dopustiv trnsformcij odnosno smen). Preslikvnje φ je bijektivno iz n D. Osim tog, φ je otvoreno preslikvnje, odnosno φ() = D, pri čemu je D oblst (videti dogovrjuće rezultte iz predmet Mtemtičk nliz 3). Formulišemo bez dokz tvr denje, koje ilustruje ulogu jkobijn preslikvnj. Teorem Nek je φ : R n regulrno preslikvnje, pri čemu je oblst u R n. Nek je Π n-dimenzionln kock u strnice h, kojoj pripd tčk M i nek je Π = φ(π). Td je Π merljiv skup u R n i m n (Π ) lim h m n (Π) = lim m n (Π ) h h n = J(M) i ov konverencij je rvnomern po M. Ovde je s J(M) oznčen vrednost jkobijn preslikvnj φ u tčki M. Sd dokzujemo vžnu teoremu o smeni promenljivih u višestrukom integrlu. Teorem Nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih ξ 1,..., ξ n, D nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih x 1,..., x n. Nek je φ = (φ 1,..., φ n ) : D regulrno preslikvnje, odnosno x 1 = φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n = φ n (ξ 1,..., ξ n ), J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ), (ξ 1,..., ξ n ). Ako je (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) neprekidn funkcij n skupu D, ond vži jednkost f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n = (1.6) D = f(x 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n (ξ 1,..., ξ n )) J (1.7) dξ 1 dξ n. (1.8)

41 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 41 Dokz. Poznto je d je kompozicij neprekidnih funkcij tko de neprekidn funkcij. Oblsti D i su merljive, prem tome i ogrničene. Skupovi i D su kompktni. Neprekidne funkcije n kompktnim skupovim jesu integrbilne. Stog ob integrl u (1.6) postoje. Dokzujemo njihovu jednkost. Funkcij f je neprekidn n kompktnom skupu D, te je stog ogrničen n D. Postoji broj L >, tko d z svko x D vži f(x) L. Jkobijn J je neprekidno preslikvnje n kompktu. Stog postoji broj K, tko d z svko ξ vži J(ξ) K. Posmtr se podel prostor R n promenljivih ξ 1,..., ξ n prvm prlelnim koordintnim osm, pri čemu su susedne prlelne prve uvek n rstojnju h. Sve kocke koje imju neprzn presek s oznčimo s 1,..., l. Skup {1,..., l} podelimo n dv disjunktn skup I i J n sledeći nčin: i I ko i smo ko i = ; j J ko i smo ko j. Sd je j. j J Nek je D i = φ( i ), pri čemu je φ = (φ 1,..., φ n ). N osnovu Teoreme postoje tčke M i i, i I, tko d vži m n (D i ) = J(M i ) m n ( i ) + ϵ(h)m n ( i ), pri čemu je lim ϵ(h) = rvnomerno po M i i. Nek je N i = φ(m i ) D i, h i I. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu činjenice ( m) n ( ) = sledi d se h može odbrti dovoljno mlo, tko d je m n j < ϵ. Td je 4LK j J f(n i ) J(M i ) m n ( i ) < ϵ 4. (1.9) j J Očigledno vži f(n i )m n (D i ) = f(n i ) J(M i ) m n ( i )+ f(n i )ϵ(h)m n ( i ), (1.1) i I i I i I Obzirom d je konvergencij ϵ(h) kd h rvnomern po M i, sledi ϵ d postoji dovoljno mlo h, tko d je ispunjeno ϵ(h) <. Prem 4L m() tome, f(n i )ϵ(h)m n ( i ) L ϵ 4L m n () m n() = ϵ 4. (1.11) i I

42 42 LAVA 1. INTERACIJA N osnovu integrbilnosti funkcije f n skupu D sledi d postoji dovoljno mli broj h, s svojstvom D f(x) dx l f(n i ) m n (D i ) < ϵ 4. (1.12) i=1 Sum l f(n i ) J(M i ) m n ( i ) je Rimnov sum koj odgovr integrlu i=1 f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. (1.13) Preslikvnje φ : D je regulrno, specijlno i neprekidno, te je ogrničeno. Postoji broj S >, tko d z svko ξ vži φ(ξ) S. Skupovi { 1,..., l } čine rzbijnje skup dijmetr h n (u n- dimenzionlnom prostoru). Prem tome, dijmetr rzbijnj { i } teži nuli ko i smo ko h. I fmilij {D 1,..., D l } čini rbijnje skup D dijmetr ne većeg od Sh n. Prem tome, ko h, ond i dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli. Inverzno preslikvnje φ 1 : D je tkodje regulrno (i neprekidno). Prem tome, ko dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli, ond i h. Regulrno preslikvnje φ : D je otvoreno, odnosno slik tčke skup u tčke skup D. Obzirom d je i inverzno preslikvnje regulrno (smim tim i otvoreno), sledi d φ preslikv rub skup n rub skup D. Prem tome, skup E = D j sdrži rub skup D i m(e) M n h n ( n) n. j J Z dto ϵ > postoji dovoljno mlo h, tko d vži m(e) ϵ. Sd je 4L f(n j ) m(d j ) < ϵ 4. (1.14) j J

43 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 43 Sd dolzimo do procene: l f dx f(n i ) J(M i ) m n ( i ) D i=1 l f dx f(n i )m n (D i ) D i=1 + l l + f(n i )m n (D i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i=1 i=1 l f dx f(m i )m(d i ) D i=1 + + f(n i )m(d i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i I i I + f(n j )m n (D j ) + f(n j ) J(M j ) m n ( j ) j J ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 = ϵ j J Pri tome, prv psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu (1.12), drug 4 psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu formule (1.1) i nejednkosti 4 (1.11). Treć psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.14). Četvrt psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.9). Sd, imjući u vidu Rimnovu sumu integrl u (1.13), sledi tržen jednkost integrl D f dx = f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. Prethodn teorem im primene u mnogim konkretnim slučjevim.

44 44 LAVA 1. INTERACIJA Polrn smen u rvni Dobro je poznto d svk tčk P = (x, y) (, ) u rvni n jedinstven nčin može biti prikzn korišćenjem polrnog rdijus i polrnog ugl. Polrni rdijus je intenzitet vektor OP, polrni ugo je ugo koji pozitivni deo x-ose zklp s vektorom OP, počev od pozitivnog del x-ose suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 8). Slik 8. U ovom slučju z svku tčku (x, y) (, ) postoje jedinstveni brojevi r > i φ < 2π, tko d vži x = r cos φ, y = r sin φ. Nrvno, ko je x = y =, ond je r =, φ može biti bilo koji ugo. Inverzne trnsformcije jesu r = x 2 + y 2, φ = rctg y x. Jkobijn uvedenog preslikvnj jeste J = cos φ sin φ Očigledno je J zbog uslov r >. r sin φ r cos φ = r.

45 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 45 Slik 9. Ako je skup cel rvn s izuzetkom koordintnog početk, nlizirmo št je skup D, odnosno domen promenljivih r i φ. Očigledno, r-os pripd skupu, li ne i ostli deo rub (Slik 9). Ovj nedosttk neće biti presudn prilikom izrčunvnj višestrukih integrl. Rzlog leži u činjenici d je površin tčke ili duži jednk nuli. Primer Ispitti koju oblst u prostoru promenljivih r i φ polrn smen preslikv n krug : x 2 + y 2 R 2. Koristeći ovu smenu, izrčunti integrl I = (x 2 + y 2 ) dx dy. Rešenje. U nejednkosti x 2 + y 2 R, kojom je odre den unutršnost krug zmenimo promenljive x i y preko r i φ. Proizilzi r 2 R 2. Pri tome z promenljivu φ nem nikkvih ogrničenj, odnosno uslovi koji opisuju skup u ovom primeru jesu < r R i φ < 2π. Drugim rečim, vži D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π}. Sd, koristeći Teoremu o smeni promenljivih, proizilzi d vži I = 2π R (r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ)r dr dφ = dφ r 2 r dr = 1 2 R4 π. D

46 46 LAVA 1. INTERACIJA U ovom primeru ignorisn je centr krug, u koju se ne slik ni jedn tčk skup D, zbog uslov r >. Me dutim, to u ovom slučju nije od presudnog znčj z rčunnje integrl. Nime, integrl posmtrne funkcije (x, y) f(x, y) = x 2 + y 2 n skupu može se izrčunti ko zbir integrl n skupu 1 i n skupu 2. Pri tome 1 nek sdrži smo centr krug, odnosno 1 = {(, )}, 2 = \ 1. Kko je mer skup 1 jednk nuli, to će i integrl funkcije po tom skupu biti jednk nuli, i dovoljno je posmtrti integrl funkcije f n skupu 2. Sd je slik skup D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π} polrnom smenom jednk skupu 2. Ko što se vidi, izuzeće skup 1 ne utiče n vrednost integrl. Ov nedorečenost koristi se u svim nrednim primerim bez posebnog obrzloženj Uopšten polrn smen Uopštene polrne koordinte se koriste kd je polzni domen integrcije elips, ne krug. Posmtr se preslikvnje x = r cos φ, y = br sin φ, φ < 2π, r >, gde su, b neke konstnte rzličite od nule. Td je jkobijn preslikvnj J = cos φ r sin φ b sin φ br cos φ = br. eometrijsk interpretcij ove trnsformcije sličn je interpretciji polrne smene. Nime, ko su dte vrednosti z x i y, pri čemu je (x, y) (, ), ond su jedinstveni r i φ odre deni n sledeći nčin: r = x y2 b 2 >, y φ = rctg xb [, 2π). Obrnuto, ko su poznte vrednosti r > i φ [, 2π), ond je formulm x = r cos φ, y = br sin φ odre den jedinstven tčk rvni s izuzetkom koordintnog početk. Ko i u slučju polrnih koordint, izuzeće koordintnog početk neće predstvljti poteškoće u izrčunvnju integrl. U izvesnim specijlnim slučjevim koristi se uopšten polrn smen x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, φ [, 2π), r > (, b, α, β ).

47 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 47 Primer Izrčunti integrl I = x 2 + y2 2 b 2 x unutršnjost elipse, odnosno : 2 + y2 1,, b >. 2 b 2 Rešenje. Uvodimo uopštene polrne koordinte dx dy, gde je skup x = r cos φ, y = br sin φ, r >, φ [, 2π). Zmenom promenljvih r i φ u nejednkost koj odre duje unutršnjost elipse, sledi r 2 1. Obzirom d ne postoje ogrničenj z promenljvu φ, domen D promenljivih r i φ dt je n sledeći nčin: Sd je trženi integrl D = {(r, φ) : φ < 2π, < r 1}. I = 2π 1 dφ r brdr = 2 3 bπ. Primer Izrčunti površinu figure u rvni, koj je ogrničen krivom 4 x y + 4 = 1 i prvm x =, y =, pri čemu je, b > (Slik 1). b Slik 1. Rešenje. Uvodimo uopštenu polrnu smenu x = r 4 cos 8 φ, y = br 4 sin 8 φ, φ [, 2π), r >.

48 48 LAVA 1. INTERACIJA Jkobijn uvedene smene je J = 32br 7 cos 7 φ sin 7 φ. Iz činjenice, b > sledi d mor biti x > i y >, te se nmeće uslov φ (, π/2). Zmenom uopštenih polrnih koordint u jednčinu krive koj odre duje rub skup, dobij se jednčin r = 1. Prem tome, domen promenljive r je intervl (, 1). U ovom domenu promenljivih r i φ jkobijn preslikvnj je pozitivn. Prem tome, tržen površin jednk je sledećem integrlu: I = 32b π/2 cos 7 φ sin 7 φ dφ 1 r 7 dr = b Cilindričn smen u trostrukom integrlu Cilindrične koordinte u prostoru R 3 predstvljju neposredno uopštenje polrnih koordint. Preciznije, u rvni promenljivih x, y uvodi se polrn smen, promenljiv z ostje nepromenjen: x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je φ < 2π, r >, ξ R. Lko utvr dujemo d je z ovko uzet domen promenljive (r, φ, ξ) jkobijn preslikvnj dt n sledeći nčin: cos φ r sin φ J = sin φ r cos φ 1 = r >. eometrijsk interpretcij ovih smen je sledeć. Nek je P tčk u trodimenzionlnom prostoru s koordintm (x, y, z), nek je P ortogonln projekcij tčke P n rvn xoy. Td je ξ jednko z koordinti tčke P, r je rstojnje tčke P od koordintnog početk, φ je ugo meren od pozitivnog del x-ose do vektor OP, suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 11).

49 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 49 Slik 11. Moguće je uvesti uopštenu cilindričnu smenu x = r cos φ, y = br sin φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R, z proizvoljne, b. Td je jkobijn preslikvnj J = br. U izvesnim slučjevim uvodi se smen oblik x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R (, b, α, β ). Primer Nći zpreminu tel, čij je grnic dt jednčinom (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 + y 2 (Slik 12).

50 5 LAVA 1. INTERACIJA Slik 12. Rešenje. Uvodimo cilindrične koordinte. Koristeći činjenicu r >, proizilzi d vži r 2 + ξ 2 = r, odnosno ξ = ± r(1 r). Veličin r(1 r) mor biti nenegtivn, odkle sledi < r 1. Z φ nem nikkvih ogrničenj, te je φ < 2π. Sd je očigledno d skup čij je grnic dt nvedenom jednčinom, dobijmo z ξ r(1 r). Stog vži m 3 () = 2π 1 dφ dr r(1 r) r dξ 1 = 4π r(1 r) r r 2 + r dr = π2 4. Poslednji integrl se može rešiti, n primer, Ojlerovom smenom r 2 + r = tr, odkle sledi r = 1 1+t 2 i t [, + ). Primer Odrediti zpreminu tel ogrničenog površim z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x i z = (Slik 13).

51 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 51 Slik 13. Rešenje. Uvodimo cilindričnu smenu x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je r >, ξ R i φ ( π/2, π/2). Zmenom cilindričnih koordint u jednčine površi, dolzimo do sledećih jednčin u polrnom obliku: ξ = r 2, r = cos φ, r = 2 cos φ, ξ =. Iz prve i poslednje jednčine proizilze grnice promenljive ξ: ξ (, r 2 ). Iz druge (ko i treće) jednčine, iz uslov r > sledi uslov φ ( π/2, π/2). N krju, iz druge i treće jednčine proizilzi uslov z promenljivu r: r (cos φ, 2 cos φ). Prem tome, tržen zpremin jednk je integrlu I = π/2 π/2 dφ 2 cos φ cos φ r dr r2 dξ = 45π 32. Primer Izrčunti zpreminu tel koje je ogrničeno površim x2 + 2 y 2 b + z2 2 c = 1 i x2 2 + y2 2 b = z, pri tome se im u vidu deo u unutršnjosti 2 c prboloid (, b, c > ) (Slik 14).

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13. Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje elastične linije

Savijanje elastične linije //00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα