Matematička analiza 4

Transcript

1 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević

2 2

3 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij Žordnov mer u R n Mer prvougonik u R Mer n-intervl u R n Unutršnj i spoljn mer Rimnov integrl Rimnov sum Drbuove sume Oznke i terminologij Klse integrbilnih funkcij Svojstv Rimnovog integrl eometrijski i fizički smiso integrl Interpretcij dvostrukog integrl Interpretcij trostrukog integrl Specifičnosti integrl u R n z n Izrčunvnje integrl Slučj prostor R Slučj prostor R n, n Smen promenljivih Polrn smen u rvni Uopšten polrn smen Cilindričn smen u trostrukom integrlu Sfern smen u trostrukom integrlu Nesvojstveni integrli Pojmovi u mehnici Moment inercije mterijlne rvne figure

4 4 SADRŽAJ Elips inercije Moment inercije mterijlne figure Težište mterijlne rvne figure Težište mterijlne figure u prostoru Krivolinijski integrli Krive u R n Krivolinijski integrl prvog red Rimnov sum i geometrijsk interpretcij krivolinijskog integrl prvog red Krivolinijski integrl drugog red rinov formul u rvni Slučj višestruko poveznih oblsti Primen krivolinijskog integrl drugog red n izrčunvne površine skup u rvni Nezvisnost integrl od putnje integrcije Mehnički smiso krivolinijskog integrl Površinski integrli Površi u R Prv kvdrtn form površi i površin površi Površinski integrli prvog red Površinski integrli drugog red Teorij polj Formul us Ostrogrdskog Formul Stoks Prmetrski integrli Funkcij gornje grnice Svojstveni prmetrski integrli Nesvojstveni prmetrski integrli m funkcij (Ojlerov integrl drugog red) Bet funkcij (Ojlerov integrl prvog red) Litertur 153

5 Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk nliz 4. Tekst nije kompletn, i konstntno se rdi n poboljšnju mterijl nmenjenog studentim (obrtiti pžnju n dtum upisn n prvoj strni). Studenti su u obvezi d konsultuju dodtnu literturu, koj je nveden u spisku referenci. Obvezno posetiti bilioteku Fkultet. Celine koje nije neophodno nučiti, počinju simbolom, zvršvju simbolom. 5

6 6 SADRZ AJ

7 lv 1 Integrcij 1.1 Žordnov mer u R n U definiciji Rimnovog 1 integrl funkcije jedne relne promenljive n segmentu suštinski je iskorišćen pojm dužine (mere) intervl. U skupu R 2 pojmu mere odgovr pojm površine, u skupu R 3 pojmu mere odgovr pojm zpremine nekog skup. Izučvmo smo Žordnovu2 meru, te stog umesto termin Žordnov mer koristićemo izrz mer. Nek je, b R, < b. Dužin intervl I = (, b) (ili bilo kog intervl [, b), (, b], [, b]) jeste b. Dkle, jednodimenzionln mer intervl I je m 1 (I) = b. Nebitno je d li krjnje tčke tčke i b intervl I pripdju tom intervlu, ili ne. Time se prihvt činjenic d je dužin tčke jednk nuli (tj. mer jednoelemetnog skup jednk je nuli) Mer prvougonik u R 2 Nek su, b, c, d R, tko d vži < b i c < d. Td je ovim brojevim odre den prvougonik P u R 2 s koordintm temen: A = (, c), B = (b, c), C = (b, d) i D = (, d) (Slik 1). Prvougonik P izržen preko Dekrtovog 3 proizvod jeste P = (, b) (c, d). Mer ovog prvougonik 1 eorg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ), nemčki mtemtičr 2 Mrie Ennemond Cmille Jordn ( ), frncuski mtemtičr 3 René Descrtes (ltinski: Rentus Crtesius; ), frncuski mtemtičr i filozof 7

8 8 LAVA 1. INTERACIJA (površin, preciznije dvodimenzionln mer) izrčunv se n sledeći nčin m 2 (P ) = (b )(d c). Broj 2 u simbolu m 2 oznčv dimenzuju prostor, odnosno nglšv d se rdi o prostoru R 2. Nije vžno d li rubne strnice tog prvougonik pripdju prvougoniku, ili ne. Ovim se usvj činjenic d je dvodimenzionln mer duži jednk nuli. Specijlno, dvodimenzionln mer tčke jednk je nuli. Slik 1. Nek su sd P 1,..., P n prvougonici u R 2, s svojstvom d je P i P j (i j) ili przn skup, ili neki deo rubov ovih prvougonik. Drugim rečim, P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Prirodno je sd definisti meru unije ovih prvougonik ko zbir njihovih mer, odnosno ( n ) m 2 P i = i=1 n m 2 (P i ). i=1 Skupovi oblik E = n P i jesu elementrni skupovi (podrzumev se d rzličiti skupovi P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk). Ako su P, Q prvougonici koji imju zjedničkih unutršnjih tčk, td je jednostvno proveriti d se skup P Q može prikzti ko unij i=1

9 1.1. ŽORDANOVA MERA U R N 9 končno mnogo prvougonik koji uzjmno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Potpuno nlogno, ko su A i B dv elementrn skup, td je A B = P 1 P k, pri čemu su P 1,... P k prvougonici koji u provim nemju zjedničkih unutršnjih tčk (Slik 2). Sledi d je A B elementrn skup. Slično, A B i A \ B tko de jesu elementrni skupovi. Slik 2. Ako su A, B uzjmno disjunktni elementrni skupovi, ond je m 2 (A B) = m 2 (A) m 2 (B). Ako su A i B elementrni skupovi i A B, ond n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi d je m 2 (B) = m 2 (A) + m 2 (B \ A). Dkle, m 2 (A) m 2 (B) Mer n-intervl u R n Anlogn je situcij u prostoru R n. Nek je 1,..., n R i b 1,..., b n R n, tko d je i < b i z svko i = 1,..., n. Skup

10 1 LAVA 1. INTERACIJA I = n ( i, b i )(b 1 1 ) (b n n ) i=1 je n-intervl u R n. Ako je n = 2, ond je I prvougonik. Ako je n = 3, ond je I kvdr. Primetimo d su strnice n-intervl uvek prlelne koordintnim osm. n-dimenzionln mer n-intervl I odre den je s m n (I) = n (b i i ) = (b 1 1 )... (b n n ). i=1 Nije vžno d li delovi hiper-rvni koje ogrničvju prvougonik, pripdju smom prvougoniku, ili ne: veličin m n (I) se ne menj. Ako je J neki (n 1)-intervl koji ogrničv n-intervl I, (dkle, J pripd hiper-rvni dimenzije n 1), td je m n (J) =. Specijlno, n-dimenzionln mer jednoelementnog skup jedk je. Primetimo d ko je J bilo koji (n 1)-intervl, ond J može biti posmtrn ko degenerisni n-intervl, odnosno j = b j z neko j. Ako su I 1,..., I k n-intervli, koji nemju zjedničkih unutršnjih tčk, ond je k E = elementrn skup u R n. Mer ovog elementrnog skup E odre den je s j=1 I j m n (E) = n m n (I j ). j=1 Ako su E, F elementrni skupovi, td su E F, E F i E \ F tko de elementrni skupovi. Nime, svki od ovih skupov može biti prikzn ko unij n-intervl, koji me dusobno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Ako su E, F elementrni skupovi i E F =, jednostvno je proveriti d vži m n (E F ) = m n (E) m n (F ). Ov osobin se nziv končn ditivnost mere m n n fmiliji elementrnih skupov. Ako su A, B elementrni skupovi i A B, n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi m n (B) = m n (A) + m n (B \ A) m n (A). Ov osobin se nziv monotonost mere n fmiliji elementrnih skupov.

11 1.1. ŽORDANOVA MERA U R N Unutršnj i spoljn mer Potrebno je meru definisnu u prethodnoj sekciji, proširiti n opštiju fmiliju podskupv od R n. Nek je skup R 2 ogrničen. Td postoje elementrni skupovi koje su sdržni u, i postoje elementrni skupovi koji sdrže. Nek je m i n() = sup{m(a) : A i A je elementrn skup} m e n() = inf{m(b) : B i B je elementrn skup}. Obzirom d je ogrničen skup, sledi d su m i n() i m e n() relni nenegtivni brojevi. Broj m i n() jeste unutršnj mer, broj m e n() jeste spoljn mer skup. Očigledno, uvek vži m i n() m e n(). Definicij Ogrničen skup R n je merljiv ko i smo ko je m i n() = m e n(). U tom slučju broj m n () (= m i n() = m e n()) jeste (n-dimenzionln Žordnov) mer skup. Koristićemo smo Žordnovu meru, te ubuduće umesto Žordnov mer pišemo mer. Z svki merljiv skup vži m n (). Dokzujemo nekoliko osnovnih tvr denj o merljivim skupovim i meri. Teorem Nek su A i B merljivi skupovi. Td vži: (1) Ako je A B, ond je m n (A) m n (B) (monotonost mere); (2) Ako je A R n otvoren skup, td je m n (A) > ; (3) m n (A) = ko i smo ko z svko ϵ > postoji elementrn skup F, tko d je A F i m n (F ) < ϵ (krkterizcij skup mere nul); (4) Unij dv skup mere nul jeste skup mere nul; (5) Ogrničen skup H R n je merljiv ko i smo ko je m n ( H) = ; (6) Skupovi A B, A B i A \ B su merljivi; (7) Ako je A B A B, ond je m n (A B) = m n (A) + m n (B) (ditivnost mere); (8) Ako je A B, td je m n (B \ A) = m n (B) m n (A). Dokz. Sve nvedene osobine očigledno vže z n-intervle i elementrne skupove. Dokzujemo ove osobine z proizvoljne merljive skupove. (1) Sledi n osnovu skupovne inkluzije elementrnih figur skupov upisnih u A, smim tim i u B.

12 12 LAVA 1. INTERACIJA (2) Ako je A otvoren i merljiv, ond z svko x A postoji neki otvoren n-intervl I, tko d je x I A, te je m n (A) >. (3) Sledi iz definicije infimum. (4) Sledi n osnovu svojstv (3). (5)Nek je F proizvoljn otvoren elementrn skup, sdržn u H i nek je proizvoljn ztvoren elementrn skup koji sdrži H. Očigledno vži H \F, odnosno \F je elementrn skup koji sdrži H. S druge strne, ko je K proizvoljn elementrn skup koji sdrži H, ond postoje elementrni skupovi F i, koji zdovoljvju F H i \ F = K. Pretpostvimo d je H merljiv skup i nek je ϵ > proizvoljno. Postoji elementrn skup F H tko d je m(h) m(f ) > m(h) ϵ/2. Tko de postoji elementrn skup H, tko d vži m n (H) m n () < m n (H) + ϵ/2. Prem tome, m e n( H) m n () m n (F ) < ϵ. N osnovu svojstv (3) sledi d je H merljiv i njegov mer je jednk nuli. Sd pretpostvimo d je m n ( H) =. Z ϵ > postoje elementrni skupovi F i d vži F H, H \F i m n () m n (F ) < ϵ. Td je, n osnovu m e n(h) m n () i m i n(h) m(f ), ispunjeno m e n(h) m i n(h) < ϵ. Kko je ϵ > proizvoljno, sledi d je H merljiv skup. (6) Sledi n osnovu svojstv (4), (5) i jednostvnih skupovnih inkluzij (A B) A B, (A B) A B i (A \ B) A B. (7) Sledi n osnovu svojstv (5) i (6). (8) Sledi n osnovu (7). Nvodimo primer ogrničenog skup koji nije merljiv. Primer Nek je Q 1 skup svih tčk skup [, 1] [, 1], čije su koordinte rcionlni brojevi. Skup Q 1 ne sdrži ni jedn netrivijln 2-intervl, već sdrži smo degenerisne intervle koji se svode n jednoelementne skupove. Stog je m i 2(Q 1 ) =. Skup Q 1 je gust u [, 1] [, 1]. Stog ne postoji mnj elementrn figur od [, 1] [, 1] koj sdrži Q 1. Stog je m e 2(Q 1 ) = 1. Dkle, skup Q 1 nije merljiv.

13 1.2. RIMANOV INTERAL Rimnov integrl Rimnov sum Nek je Euklidov 4 norm u prostoru R n, odnosno ko je x = (x 1,..., x n ) ( n ) 1/2 R n, ond je x = x i 2. Ako je x, y R n i y = (y 1,..., y n ), ond je i=1 ( n ) 1 2 d(x, y) = x y = (x i y i ) 2 Euklidovo rstojnje izme du tčk x i y. Nek je merljiv (prem tome i ogrničen) skup u R n. Nek su 1,..., k merljivi i uzjmno disjunktni skupovi, z koje vži = i=1 k i=1 i. Td se fmilij skupov T = { 1,..., k } nziv rzbijnje skup. Nek je d( i ) dijmetr skup i, odnosno d( i ) = sup{d(u, v) : u, v i }, i = 1,..., k. Njveći od tih dijmetr nziv se dijmetr rzbijnj T skup, odnosno d(t ) = mx{d( 1 ),..., d( k )}. Nije teško uočiti d z svki merljiv skup postoji neko rzbijnje T. Nek je f : R reln funkcij, i nek je ξ i i proizvoljn tčk z svko i = 1, 2,..., k. Koristimo oznku ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Sum σ T (f,, ξ) = k f(ξ i ) m n ( i ) (1.1) i=1 je Rimnov integrln sum funkcije f n skupu, koj odgovr podeli T i izboru tčk ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Nek su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup R n. Rzbijnje T je finije od rzbijnj T, u oznci T T, ko z svko E j T postoji s T, tko d je E j s. Ako su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup, td postoji rzbijnje T T, koje je finije i od T i od T. Rzbijnje T T je definisno ko T T = { s E j : s = 1,..., k, j = 1,..., l}. 4 Euklid iz Aleksndrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e p.n.e.), grčki mtemtičr

14 14 LAVA 1. INTERACIJA Ako je T proizvoljno rzbijnje merljivog skup R n, uvek postoji finije rzbijnje T istog skup. Ako je, recimo, T = { 1,..., k }, ond se može posmtrti rzbijnje T j = { j 1,..., j k } svkog skup j, te je T = { i j} i,j rzbijnje skup, s osobinom T T. Ako je T = { 1,..., k } rzbijnje merljivog skup, i ko je T = {E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E, td je T T = { 1,..., k, E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E. Činjenic d se svk podel T merljivog skup može učiniti finijom, omogućv uvo denje sledeće definicije. Definicij (Rimnov integrl funkcije n skupu) Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij. Broj I je Rimnov integrl funkcije f n skupu, u oznci f, ko z svko ϵ > postoji δ ϵ >, tko d z svko rzbijnje T = { 1,..., k } skup, koje im svojstvo d(t ) < δ, i z svki izbor tčk ξ 1 1,..., ξ k k vži I σ T (f, ξ, ) < ϵ. Ako postoji integrl f, ond je funkcij f integrbiln n skupu (u Ri- mnovom smislu). Rzmtrćemo smo Rimnov integrl funkcij, te pišemo integrl umesto Rimnov integrl. Formulišemo očigledn ekvivlent uslov integrbilnosti funkcije n merljivom skupu. Teorem Nek je merljiv skup u R n i nek je f : R funkcij. Rimnov integrl I funkcije f n skupu je grničn vrednost I = f = lim σ T (f,, ξ), d(t ) ukoliko ov grničn vrednost postoji nezvisno od rzbijnj T skup i nezvisno od izbor tčk ξ. Skup svih relnih funkcij, koje su integrbilne n merljivom skupu R n, oznčv se s R().

15 1.2. RIMANOV INTERAL Drbuove sume Nek je merljiv skup u R n, i nek je T = { 1,..., k } rzbijnje skup. Nek je f : R ogrničen funkcij. Posmtrjmo infimum i supremum funkcije f n svkom skupu i : m i = inf x i f(x) i M i = sup x i f(x), z svko i = 1, 2,..., k. Funkcij f je ogrničen, te je m i R i M i R z svko i. Donj i gornj Drbuov 5 sum definisne su, redom: s T (f, ) = k m i m n ( i ) i S T (f, ) = i=1 k M i m n ( i ). i=1 Nek je σ T (f,, ξ) jedn Rimnov sum funkcije f n skupu u odnosu n istu podelu T. Td očigledno vže nejednkosti: s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). (1.2) Nek je T = { 1,..., l } rzbijnje skup s svojstvom d z svko j {1,..., l} postoji neko i {1,..., k} tko d je j i, odnosno nek je podel T finij od podele T. N osnovu j i sledi d vži m i m j M j M i. Nek je, jednostvnosti rdi, i = 1 s, s l. Td je s T (f, i ) = s m t m n ( j), t=1 s T (f, ) = l m t m n ( j) = t=1 k s T (f, i ). Iz t i z svko t {1,..., s}, sledi d je m t m i z svko t {1,..., s}. Stog je i=1 s T (f, i ) = s m t m n ( j) m i t=1 s m n ( j) = m i m n ( i ). t=1 5 Jen-ston Drboux ( ), frncuski mtemtičr

16 16 LAVA 1. INTERACIJA Sledi s T (f, ) = n s T (f, i ) i=1 n m i m n ( i ) = s T (f, ). Z gornje Drubove sume može se nlogno pokzti suprotn nejednkost. Dkle, dokzli smo sledeći rezultt. Teorem Nek je merljiv podskup od R n, nek je f : R ogrničen funkcij, i nek su T i T dv rzbijnj skup, tko d je T T. Td z svki izbor tčk ξ (svk tčk ξ i pripd odgovrjućim elementu rzbijnj T ) td vži i=1 s T (f, ) s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ) S T (f, ). (1.3) Definicij Broj I f = sup s T (f, ), gde je supremum uzet po svim T rzbijnjim T skup, nziv se donji integrl funkcije f n skupu. Broj I f = inf S T (f, ), gde je infimum uzet po svim rzbijnjim skup T T, nziv se gornji integrl funkcije f n skupu. N osnovu nejednkosti (1.2), sledi d vži I f I f. Dokzćemo osnovnu teoremu, kojom je odre den ekvivlentn uslov integrbilnosti funkcije n nekom merljivom skupu. Teorem Nek je funkcij f ogrničen n merljivom skupu R n. Td su sledeć tvr denj ekvivlentn: (1) I f = I f ; (2) Z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (3) Z svko ϵ > postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ, vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (4) Postoji integrl f = I. Ako vži bilo koje od prethodnih tvr denj, ond je I = I f = I f. Dokz. (1) = (2): Nek je ϵ >. Donji integrl I f je supremum donjih Drbuovih sum. Stog z ϵ > postoji nek podel T 1, tko d z odgovrjuću donju Drbuovu sumu vži s T1 (f, ) > I f ϵ. ornji integrl 2 If je

17 1.2. RIMANOV INTERAL 17 infimum gornjih Drbuovih sum. Prem tome, z ϵ > postoji podel T 2 s svojstvom S T2 (f, ) < I f + ϵ. Postoji podel T, koj je finij od podel 2 T 1 i T 2 (n primer, T = T 1 T 2 ). Td je I f ϵ 2 < s T 1 (f, ) s T (f, ) I f I f S T (f, ) S T2 (f, ) < I f + ϵ 2. N osnovu pretpostvke I f = I f, sledi d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (2) = (1): Tvr denje sledi n osnovu očiglednih nejednkosti s T (f, ) I f I f S T (f, ). (4) = (3): Pretpostvimo d postoji integrl I = f. Nek je ϵ >. Td postoji broj δ >, tko d z svku podelu T skup dijmetr mnjeg od δ, vži I ϵ 2 σ T (f,, ξ) < I + ϵ 2, nezvisno od izbor tčk ξ i i. U prethodnim nejednkostim se može uzeti, jedn z drugim, supremum ili infimum sume σ T (f,, ξ) po svim ξ i i. Odtle neposredno sledi I ϵ 2 s T (f, ) S T (f, ) I + ϵ 2, smim tim i S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (3) = (2): Ov implikcij je trivijln. (3) = (4): Iz pretpostvke d vži tvr denje (3) sledi d vže tvr denj (1) i (2). Nek je ϵ >. Td postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Z proizvoljn izbor tčk ξ i i vži s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). Tko de vži i s T (f, ) I f = I f S T (f, ). Prem tome, sledi d vži I f σ T (f,, ξ) < ϵ, z svku podelu T s osobinom d je dijmetr podele T mnji od δ i z proizvoljn izbor tčk ξ i i. Sledi d je I f jednk integrlu funkcije f n skupu, odnosno I f = f. (2) = (3): Ov implikcij je njinteresntnij. Nek je funkcij f ogrničen konstntom M n skupu, odnosno z svko x nek je f(x) M. Nek je ϵ >. Iz činjenice d vži tvr denje (2) sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup s svojstvom S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Nek je n i = inf f(x) i N i = sup f(x), i = 1,..., k. N osnovu merljivosti x i x i skupov i sledi d je mer njihovog rub jednk nuli, odnsono m n ( i ) = z svko i = 1,..., k. Nek je Γ = k i=1 i. Td je m n (Γ) =. Postoji

18 18 LAVA 1. INTERACIJA elementrn skup σ, s svojstvim Γ σ i m n (σ) < ϵ. Ne gubeći od 2M opštosti može se pretpostviti d je σ otvoren skup. Postoji otvoren skup σ s svojstvim: Γ σ σ i σ σ =. Td je m n (σ ) < ϵ i 2M δ = inf{d(x, y) : x σ, y σ} >. Nek je T 1 = {F 1,..., F l } proizvoljno rzbijnje skup dijmetr d s svojstvom d < δ. Td je S T1 (f, ) s T1 (f, ) = l (M i m i ) m(f i ), pri čemu je m i = inf f(x) i M i = sup f(x), z svko i = 1,..., l. Nek su I x F i x F i i J podskupovi skup {1,..., l} s svojstvim: i I ko i smo ko F i im neprzn presek s Γ, j J ko i smo ko F j Γ =. Ako je i I, td vži F i σ. Stog je (M i m i ) m(f i ) 2M m(f i ) < ϵ. i I i I Ako je j J, td F j Γ = i po konstrukciji skup Γ sledi d mor biti F j i z neko i. Sve tkve skupove obeležimo s 1,..., t. Tko de nek je F 1,..., F s1 1,...,F st 1,..., F st s. Td vži N krju, s s i (M j m j ) m(f j ) = (M j m j ) m(f j ) j J i=1 j=s i 1 s s i s (N i n i ) m(f j ) (N i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 j=s i 1 i=1 S T1 (f, ) s T1 (f, )= i I i=1 (M i m i ) m(f i ) + j J (M j m j ) m(f j )<2ϵ. Time je dokzno tvr denje (3) Oznke i terminologij Ako je merljiv skup u R 2 i f R(), ond je čest oznk f = f = f(x, y) dx dy.

19 1.3. KLASE INTERABILNIH FUNKCIJA 19 Integrl f nziv se dvostruki integrl funkcije f n skupu. Ako je merljiv skup u R 3 i f R(), ond je f = f = f(x, y, z) dx dy dz. Integrl f je trostruki integrl funkcije f n skupu. Končno, ko je merljiv skup u R n i f R(), ond je f = f = f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n. }{{} n put }{{} n put Integrl f je n-integrl funkcije f n skupu. 1.3 Klse integrbilnih funkcij Nek je R n proizvoljn merljiv skup. Nisu sve funkcije, koje su definisne n skupu, obvezno integrbilne n skupu. S druge strne, ko je R n proizvoljn merljiv skup i ko je g(x) = z svko x, td je g(ξ i ) = z svku tčku ξ i i. Stog vži g(x) dx =. Sledi d je nul-funkcij integrbiln n svkom merljivom skupu i njen integrl n tom skupu je jednk nuli. Skup intergbilnih funkcij, pod odre denim uslovim, sdrži sve neprekidne funkcije. Preciznije, vži sledeć teorem. Teorem Ako je reln funkcij f definisn i neprekidn n ztvorenom i merljivom skupu u R n, td je funkcij f integrbiln n. Dokz. Skup je merljiv i stog je ogrničen. Sledi d je kompktn skup. Prem Kntorovoj 6 teoremi, funkcij f je rvnomerno neprekidn n skupu. Nek je ϵ >. N osnovu rvnomerne neprekidnosti funkcije f sledi d postoji broj δ >, tko d z svke dve tčke x 1, x 2 s svojstvom d(x 1, x 2 ) < δ vži f(x 1 ) f(x 2 ) < ϵ. Nek je T = { m n () 1,..., k } 6 eorg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor ( ), nemčki mtemtičr

20 2 LAVA 1. INTERACIJA proizvoljno rzbijnje skup dijmetr mnjeg od δ. Imjuću u vidu stndrdne oznke m i i m i, sledi d vži M i m i = sup x i f(x) inf x i f(x) = sup x i f(x) + sup x i ( f(x)) = sup x 1,x 2 i (f(x 1 ) f(x 2 )) sup f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 i ϵ m n (). Z odgovrjuće Drbuove sume funkcije f n skupu, ispunjeno je S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Prem Teoremi 1.2.3, postoji integrl f. Ako je R n, td je skup relnih i neprekidnih funkcij n oznčen s C(). N osnovu prethodne teoreme, ko je merljiv i ztvoren (tj. je merljiv kompkt), ond je C() R(). Teorem Nek je reln funkcij f definisn i ogrničen n merljivom i ztvorenom skupu R n, tkv d je mer skup tčk prekid funkcije f jednk nuli. Td je funkcij f integrbiln n skupu. Dokz. Nek je M = sup f(x) <, nek je E skup tčk prekid funkcije x f u skupu, i nek je ϵ >. N osnovu m(e) =, sledi d postoji otvoren elementrn skup F, tko d je E F i m(f ) < ϵ. Skup \F je ztvoren 4M i merljiv. N osnovu Teoreme funkcij f je integrbiln n skupu \F. Prem tome, postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup \ F, z koje vži S T (f, \ F ) s T (f, \ F ) < ϵ 2. Nek je k+1 = F. Td je T 1 = T { k+1 } rzbijnje skup i vži m( k+1 ) m(f ) < ϵ. Stog, uz prirodne oznke M 4M i i m i, vži S T1 (f, ) s T1 (f, ) (M k+1 m k+1 ) m( k+1 ) + 2M ϵ 4M + ϵ 2 = ϵ. k (M i m i ) m( i ) i=1 N osnovu Teoreme (2) sledi d je funkcij f integrbiln n skupu.

21 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA Svojstv Rimnovog integrl Dokzujemo osnovn svojstv Rimnovog integrl. Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij definisn n. (1) Ako je m n () =, ond je f =. Dokz. N osnovu m n () = sledi σ T (f,, ξ) =, te je i f =. (2) 1 = m n (), pri čemu je 1 konstnt funkcij x 1 z svko x. Dokz. Z proizvoljno rzbijnje T merljivog skup vži σ T (f,, ξ) = ( m m ) 1 m n ( i ) = m n i = m n (). i=1 Posledic Ako je merljiv skup u R 2, ond je Ako je V merljiv skup u R 3, ond je V i=1 dx dy dz = m 3 (V ). dx dy = m 2 (). (3) Ako je f(x) z svko x, i ko je f integrbiln funkcij n, ond je f. Dokz sledi n osnovu nejednkosti σ T (f,, ξ) = n f(ξ i ) m( i ) i=1 i definicije Rimnovog integrl. (4) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko je α, β R, ond je funkcij αf + βg integrbiln n i vži (αf + βg) = α f + β g. Dokz ovog tvr denj sledi n osnovu jednkosti σ T (αf + βg,, ξ) = α σ T (f,, ξ) + β σ T (f,, ξ). (5) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko z svko x vži f(x) g(x), td je f g.

22 22 LAVA 1. INTERACIJA Dokz sledi neposredno n osnovu (3) i (4), imjući u vidu d je g f n. (6) Nek su A i B merljivi skupovi u R n, A B, i nek je f ogrničen i integrbiln funkcij n B. Td je f integrbiln funkcij n A. Dokz. Skup C = B \ A je merljiv. Svko rzbijnje skupov A i C indukuje jedno rzbijnje skup B. Obrnuto, svko rzbijnje skup B može se učiniti finijijm, tko d je to rzbijnje unij rzbijnj skup A i rzbijnj skup C. Stog, nek je T rzbijnje skup B, koje se sstoji od rzbijnj T 1 skup A i rzbijnj T 2 skup C. Vži očigledn nejednkost: S T1 (f, A) s T1 (f, A) S T (f, B) s T (f, B). Nek je ϵ >. Kko je f R(B), sledi d postoji rzbijnje T skup B tko d je S T (f, B) s T (f, B) < ϵ. Prem prethodnom, T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup A, dok je T 2 rzbijnje skup B \ A. Sledi d je S T1 (f, A) s T1 (f, A) < ϵ, te je f R(A). (7) Nek je i m n ( ) =. Funkcij f je integrbiln n ko i smo ko je f integrbiln n \ ; u tom slučju je f = f. \ Dokz. Svko rzbijnje skupov i \ dovodi do rzbijnj skup. Obrnuto, ko je T rzbijnje skup, ond postoje rzbijnj: T 1 skup \ i T 2 skup 1, tko d T 1 T 2 jeste finije rzbijnje of T. Dkle, bez gubljenj opštosti, posmtrmo rzbijnje T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup \, T 2 je rzbijnje skup. Kko je σ T (f,, ξ) = z svki izbor tčk ξ, sledi d je σ T (f,, ξ) = σ T (f, \, ξ). Odvde sledi rezultt, prelskom n grničnu vrednost kd d(t ). (8) Nek su A i B merljivi skupovi u R n s svojstvim: m n (A B) =, A B =, i nek je funkcij f ogrničen n skupu. Td je funkcij f integrbiln n skupu, ko i smo ko je f integrbiln n skupovim A i B. U tom slučju vži jednkost f = f + f. (1.4) A B Dokz. Svko rzbijnje skupov A i B proizvodi rzbijnje skup. S druge strne, svko rzbijnje skup može se učiniti finijim tko, d su skupovi novog rzbijnj sdržni i u polznom rzbijnju skup A i u polznom rzbijnju skup skup B. Činjenic m n (A B) = grntuje

23 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 23 d je integrl n skupu bilo koje integrbilne funkcije jednk integrlu te iste funkcije n skupu \ (A B). Prem tome, posmtrmo rzbijnje T skup koje indukuje rzbijnje T 1 skup A i rzbijnje T 2 skup B, pri čemu znemrujemo skup A B. Sledi očigledn jednkost σ T (f, ) = σ T1 (f, A) + σ T2 (f, B). (1.5) Ukoliko postoje integrli f i f, td postoji i integrl f, te sledi A B A B tržen jednkost integrl (1.4). Obrnuto, iz ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, sledi integrbilnost funkcije f n skupovim A i B. (9) Ako su f i g ogrničene i integrbilne funkcije n merljivom skupu R n, td je i fg integrbiln n skupu. Dokz. Obzirom d su funkcije f i g ogrničene n skupu, postoji neki broj L >, tko d z svko x vži f(x) L i g(x) L. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcij f i g n skupu, sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., l } skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) = S T (g, ) s T (g, ) = Pri tome koristimo oznke: l i=1 l i=1 (M i m i ) m( i ) < ϵ 2L (N i n i ) m( i ) < ϵ 2L. i M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup g(x), n i = inf g(x), x i x i K i = sup f(x)g(x), k i = inf f(x)g(x). x i x i N osnovu osobin supremum i infimum, vži sledeć procen:

24 24 LAVA 1. INTERACIJA K i k i = sup fg inf i i fg sup i f sup g inf f inf g i i i = M i N i m i n i = M i N i m i N i + m i N i m i n i = N i (M i m i ) + m i (N i n i ) L[(M i m i ) + (N i n i )]. N osnovu poslednje nejednkosti, sledi d vži: S T (fg, ) s T (fg, ) = l (K i k i ) m( i ) i=1 L [(S T (f, ) s T (f, )) + S T (g, ) s T (g, ))] < ϵ. Prem tome, funkcij fg je integrbiln n skupu. (1) Ako je funkcij f ogrničen i integrbiln n, ond je funkcij f tko de integrbiln n i vži f f. Dokz. Nek je ϵ >. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, postoji podel T = { 1,..., l } skup, tko d vži nejednkost Koristimo oznke S T (f, ) s T (f, ) = l (M i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup f(x), n i = inf f(x). x i x i N osnovu nejednkosti f(x) f(y) f(x) f(y), sledi nejednkost N i n i M i m i, z svko i = 1,..., l. N osnovu ove nejednkosti proizilzi procen S T ( f, ) s T ( f, ) S T (f, ) s T (f, ) < ϵ.

25 1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 25 Prem tome, funkcij f je integrbiln n skupu. Nek su sd σt 1 (f,, ξ) = t f(ξ i ) m n ( i ) i σt 2 (f,, ξ) = t i=1 f(ξ i ) m( i ) Rimnove sume z integrle f i f redom. N osnovu očigledne nejednkosti σt 1 (f,, ξ) σ2 T ( f,, ξ), sledi odgovrjuć nejednkost integrl. (11) (Teorem o srednjoj vrednosti interl) Nek je merljiv skup u R n, f, g : R integrbilne funkcije, m f(x) M z svko x, i g(x) z svko x. Td postoji tčk λ [m, M], tko d je fg = λ g. i=1 Ako je uz to povezn i kompktn skup, i ko je f neprekidn funkcij n, td postoje tčke ν, ξ tko d je 1 fg = f(ν) g i f(ξ) = f. m n () Dokz. N osnovu g i m f M, sledi mg f g M g, te je m g fg M g. Ako je g =, ond λ može biti bilo koji reln broj. Ako je g >, td n osnovu prethodne procene vži λ = fg g [m, M]. Ako je povezn i kompktn skup i f neprekidn funkcij n, td f dostiže svoj minimum i mksimum n. Stog se može uzeti m = min x f(x), M = mx x f(x). N osnovu poveznosti skup sledi d postoji ν s svojstvom f(ν) = λ [m, M]. Poslednj jednkost sledi ko se posmtr funkcij g(x) = x z svko x.

26 26 LAVA 1. INTERACIJA 1.5 eometrijski i fizički smiso integrl Dokzujemo sledeće tvr denje, koje je relevntno z geometrijsko shvtnje integrl. Teorem Nek je R n merljiv skup, i nek je funkcij f ogrničen i integrbiln n skupu. Td grfik funkcije f, odnosno skup Γ r (f) = {(x, f(x)) : x } R n+1, jeste merljiv u R n+1 i njegov mer jeste nul, odnosno m n+1 (Γ r (f)) =. Dokz. Nek je k N. U prostoru R n (koji sdrži ) posmtrmo hiper-rvni koje su normlne n svku koordintnu osu (dkle, prlelne 1 svim preostlim koordintnim osm) i tu osu seku u tčki l, pri čemu je 2 k l Z. N tj nčin se dobij 1 -mrež prostor R n. 2 k Dkle, ko je k = 1, ond postoji fmilij hiper-rvni, tko d je odre den potfmilij tih rvni normln n jednu koordintnu osu i tu osu pomenut potfmilih hiper-rvni seče u tčkm:, 1, 1, 2, 2,.... Ako je k = 2, ond hiper-rvni seku koordintnu osu (onu osu kojoj su hiper-rvni normlne) u tčkm, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, Dkle, 1-mrež je finij od 1-mreže, 1-mrež je finij od 1 -mreže, i tko redom. Z svko k N posmtrmo n-intervle odre dene 1 -mrežnom, koji su 2 k sdržni u. Nek su to skupovi {E1 k, E2 k,..., El k k }. Td je te je i Skup je merljiv, te je m n (F k ) = F k = l k i=1 l k i=1 E k i, m n (E k i ) m n (). lim m n(f k ) = m i n() = m n (). k Nek je ϵ >. Postoji k N, tko d je m n () ϵ < m n (F k ) m n ().

27 1.5. EOMETRIJSKI I FIZIČKI SMISAO INTERALA 27 Posmtrjmo sd skup ko podskup prostor R n+1. Svki skup Ei k je n-intervl, li je to istovremeno degenerisni n + 1-intervl, koji im 2 k temen, i temen su oznčen s T 1,..., T 2 k. Nek je ξ i Ei k. Kroz svko teme posmtrmo prvu prlelnu dodtoj osi, koj je n + 1 po redu (tj. prv je prleln koordintnoj osi koj ne pripd polznom prostoru R n ). Posmtrmo duži n toj prvoj, koje polz od temen T j, zvršvju, redom, u tčkm s vrednostim m j, f(ξ j ), M j. Ako je k dovoljno veliki broj, ond su m j, f(ξ j ), M j istog znk (osim ko je f(ξ j ) =, li ovj specijln slučj ne predstvlj suštinksu prepreku u rzmtrnju). Nek je, n primer m j, f(ξ j ), M j >. Posmtrjmo (n + 1)-intervle Td je K j = E k j (, m j ), L j = E k j [, M j ]. m n+1 (K j ) = m n (E k j ) m j, m n+1 (L j ) = m n (E k j ) M j. rfik funkcije f n skupu E j je sdržn u skupu L j \ K j. Stog je grfik funkcije f n skupu F k sdržn u skupu l k (K j \ L j ). Vži j=1 ( lk ) k l m n+1 (K j \ L j ) = (M j m j )m n (Ej k ). j=1 Poslednj sum je rzlik gornje i donje Drbuove sume funkcije f n skupu F k. Funkcij f je integrbiln n, p je integrbiln i n F k. Stog postoji novi broj k N (veći od prethodnog k), tko d je j=1 Sd je k l j=1 (M j m j )m n (E k j ) < ϵ. S(f, ) s(f, ) = S(f, F k ) s(f, F k ) + S(f, \ F k ) s(f, \ F k ). Funkcij f je ogrničen, te je f N n skupu. Dkle, z unpred zdni broj ϵ > postoji broj k N (odnosno, postoji mrež 1 koj indukuje 2 k rzbijnje skup ), tko d je S(f, ) s(f, ) ϵ + Nϵ.

28 28 LAVA 1. INTERACIJA Immo u vidu d je grfik funkcije f sdržn u (n + 1)-intervlim čij je (n + 1)-mer mnj od ϵ + 2Mϵ. Sledi d je m n+1 (Γ r (f)) = Interpretcij dvostrukog integrl Rzmotrimo dvostruki integrl. Nek je merljiv skup u R 2, i nek je f : R nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij. Unutršnjost skup oznčimo s, rub skup oznčimo s. Iz merljivosti skup sledi d je m 2 ( ) =. Stog je f = f. rfik Γ r (f) = {(x, y, z) : (x, y), z = f(x, y)} je grfik površi u R 3. Posmtrjmo cilindr V odre den skupom, skupom Γ r (f), čije su izvodnice prlelne z-osi, i sve izvodnice prolze kroz. N ovj nčin je ogrničen skup u prostoru R 3. N osnovu prethodne teoreme, m 3 (Γ r (f)) =. Tko de je m 3 () =, jer je ogrničen i degenerisn skup u R 3. Procenimo meru cilindrske površi, oznčene s K. Kko je m 2 ( ) =, skup je pokriven elementrnim 2-intervlim čij je ukupn mer proizvoljno ml (tj. može se učiniti mnjom od bilo kog unpred zdnog broj ϵ > ). Stog je cilindrsk površ K sdržn u uniji končno mnogo 3-intervl, čij se ukupn trodimenzionln mer može učiniti proizvoljno mlom. Stog je m 3 (K) =. Dkle, m 3 (V ) ne zvisi od trodimenzionlnih mer skupov, Γ r (f), K. Posmtrjmo proizvoljnu 1 -mrežu prostor R 2, koj indukuje rzbijnje 2 k T skup. Donje i gornje Drbuove sume funkcije f n skupu, indukovne rzbijnjem T, sd čine trodimenzionlne mere cilindr upisnih u V, i cilindr opisnih oko V. Funkcij f je integrbiln n, te je f = m 3 (V ). Ukoliko bi funkcij f bil negtivn n, ond bi bilo f = m 3 (V ).

29 1.6. SPECIFIČNOSTI INTERALA U RN ZA N Interpretcij trostrukog integrl Trostruki integrl im jednostvnu fizičku interpretciju. Nek je merljiv skup u R 3, koji je model nekog tel u prostoru. Pretpostvimo d je f nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij n, koju smtrmo funkcijom rspodele gustine tel. Posmtrmo rzbijnje T = { 1,..., m } skup, koje je dovoljno fino, odnosno dovoljno mlog dijmetr, d se funkcij rspodele gustine f u skupu (telu) i nezntno rzlikuje od konstnte. Td je z svko ξ i i veličin f(ξ i ) m( i ) približno jednk msi tel i. Prem tome, Rimnov sum σ T (f, ) približno je jednk msi tel. Očigledno, grešk u rčunu se smnjuje ukoliko se smnjuje i dijmetr podele T. Dkle, pod pretpostvkom d je funkcij f rspodel gustine tel, sledi d je f ms tel. 1.6 Specifičnosti integrl u R n z n 2 Rimnov integrl funkcije f n skupu je prirodno uopštenje integrl n [, b]. Definicij integrl, kko smo do sd pokzli, zhtev uvo denje pojm mere u R n. Bogtij geometrijsk struktur prostor R n u odnosu n R donosi izvesne specifične osobine integrl, koje se ne zsnivju smo n rzličitoj interpretciji mere. U slučju integrl b f(x) dx funkcije jedne promenljive, u smoj definiciji je sdržn uslov ogrničenosti funkcije f. U suprotnom rdi se o nesvojstvenom integrlu, koji se posebno rzmtr. Me dutim, ko je merljiv skup u R n, n 2, i f R(), ond funkcij f ne mor biti obvezno ogrničen. Primer Nek je = [, 1] {} segment u R 2. Očigledno, m 2 () =. Bilo koj reln funkcij f s domenom, mor biti integrbiln n. N primer, nek je z svko y R: { 1, x (, 1], x f(x, y) =, x =. Funkcij f očigledno nije ogrničen, li je f = (Slik 3).

30 3 LAVA 1. INTERACIJA O Slik 3. 1 Definicij Merljiv skup R n je jednostvn, ko z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d je d(t ) < ϵ i d je svki skup iz T pozitivne n-dimenzionlne mere. Skup u Primeru nije jednostvn, jer z bilo koju podelu T skup, svki element iz im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. S druge strne, mnogi skupovi zist jesu jednostvni. Teorem Ako je otvoren i merljiv skup u R n, ond je jednostvn skup. Dokz. Nek je otvoren merljiv skup, i nek je ϵ >. Posmtrjmo 1 -mrežu prostor R n. Ako je E k 2 k j jedn n-intervl odre den ovom mrežom, ond je njegov dijmetr d(ej k ) = n. Postoji k N tko d je d(e k 2 2k j ) < ϵ. Z ovko odbrno k, posmtrjmo rzbijnje T = {Ej k : j} skup, pri čemu posmtrmo smo neprzne skupove Ej k. Pretpostvimo d postoji neki Ej k, tko d je m n (Ej k ) =. Td skup Ej k ne sdrži ni jedn otvoreni n-intervl. Stog im przn presek s (Ej k ). Prem tome, seče smo rub skup Ej k u nekoj tčki x. Ako bi x bil unutršnj tčk skup, ond bi skup seko unutršnost skup Ej k, što je nemoguće. Dkle, x. Poslednj činjenic je nemoguć, jer je otvoren, p ne sdrži ni jednu svoju rubnu tčku. Sledi d je m n (Ej k ) > z svki skup Ej k. Ako je merljiv podskup od R n, i ko je skup jednostvn, ond je i skup jednostvn. Stog su i ztvorenj otvorenih merljivih skupov tko de jednostvni skupovi. Teorem Ako je merljiv i jednostvn skup u R n, i ko je f R(), ond je f ogrničen n.

31 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 31 Dokz. Pretpostvimo d je f neogrničen n. Z proizvoljno δ > postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup, tko d je d(t ) < δ i m( j ) > z svko j = 1,..., k. Funkcij f nije ogrničen n br jednom elementu iz T, recimo f nije ogrničen n 1. Posmtrjmo proizvoljne tčke ξ j j z j = 1,..., k, i odgovrjuću Rimnovu sumu σ T (f,, ξ) = f(ξ 1 )m n ( 1 ) + k f(ξ j )m n ( j ). Fiksirjmo vrednosti ξ 2,..., ξ k. Td z svko M > možemo odbrti tčku ξ 1 1, tko d je σ T (f,, ξ) M. Ovo je u suprotnosti s pretpostvkom f R(). Sledi d je f ogrničen n. j=2 1.7 Izrčunvnje integrl Integrle funkcij n merljivivm skupovim iz R n izrčunvmo njčešće njihovim svodjenjem n ponovljene integrle Slučj prostor R 2 Dokzćemo njpre osnovne rezultte u prostoru R 2. Teorem Pretpostvimo d vži: (1) Funkcij (x, y) f(x, y) je integrbiln u prvougoniku Π = {(x, y) : x b, c y d}; (2) Z svko x [, b] postoji integrl Td integrl x f(x, y) dy definiše integrbilnu funkciju po x n segmentu [, b] i vži d f(x, y) dx dx = c d c f(x, y) dy. b d f(x, y) dy dx b d dx f(x, y) dy. Π c c

32 32 LAVA 1. INTERACIJA Dokz. Odberimo tčke c = y < y 1 < y 2 < < y n = d i = x < x 1 < x 2 < < x m = b s svojstvom y i y i 1 = h z svko i i x j x j 1 h z svko j. Odberimo proizvoljne tčke α j [x j 1, x j ] i β i [y i 1, y i ]. N ovj nčin postigli smo rzbijnje segment [c, d] i [, b], ko i rzbijnje prvougonik Π mnjim prvougonicim s temenim u tčkm (x j, y i ). Z proizvoljno x [, b] vži d je s h (x) = n f(x, β i )(y i y i 1 ) = i=1 n f(x, β i )h i=1 Rimnov sum integrl σ h = = n i=1 n i=1 d c f(x, y) dy. Tko de, m f(α j, β i )(x i x i 1 )(y j y j 1 ) j=1 m f(α j, β i )(x i x i 1 )h j=1 je Rimnov sum koj odgovr integrlu f(x, y) dx dy. Posmtrjmo Rimnovu sumu integrl S h = b Π s h (x) dx, koj je jednk m s h (α j )(x j x j 1 ) = σ h. j=1 Zbog uslov x j x j 1 h z svko j, sledi d ko dijmetr podele skup Π teži nuli, ond teže nuli i dijmetri podele segment [c, d] i [, b], ov činjenic se jednostvno opisuje ko h. N osnovu jednkosti dvojne i ponovljene grnične vrednosti funkcij dve promenljive, proizilzi i jednkost integrl: b d f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. Time je teorem dokzn. Primer Izrčunti Π Π c xy dx dy, gde je Π = [, 1] [2, 3].

33 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 33 Rešenje. Funkcij (x, y) f(x, y) = xy je neprekidn, te stog i integrbiln n skupu Π. N osnovu Teoreme 1.7.1, sledi xy dx dy = 1 3 x dx y dy = 5 4. Π 2 Definicij Nek su φ i ψ neprekidne funkcije n segmentu [, b] i z svko x [, b] nek vži φ(x) ψ(x). Skup Ω = {(x, y) : φ(x) y ψ(x), x b} jeste elementrn skup u odnosu n y-osu (Slik 4). Slik 4. Teorem Skup Ω u prethodnoj Definiciji je merljiv u R 2. Dokz. Nek je I duž u rvni koj spj tčke (, φ()) i (, ψ()). Nek je J duž koj spj tčke (b, φ(b)) i (b, ψ(b)). Td je rub skup Ω Ω = I J Γ r (φ) Γ r (ψ), gde je Γ r (φ) grfik funkcije φ, Γ r (ψ) grfk funkcije ψ. rfik integrbilne funkcije, smim tim i neprekidne funkcije, im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. Dkle, m 2 ( Ω) =, odkle proizilzi d je skup Ω merljiv u R 2. Teorem Nek je Ω elementrn skup u odnosu n y-osu, odre den Definicijom Nek je (x, y) f(x, y) integrbiln funkcij n skupu Ω,

34 34 LAVA 1. INTERACIJA pri čemu z svko x [, b] postoji integrl formul Ω f(x, y) dx dy = b dx ψ(x) φ(x) ψ(x) φ(x) f(x, y) dy. Td vži sledeć f(x, y) dy. Dokz. Funkcije φ i ψ su neprekidne n segmentu [, b] i dostižu, redom, svoj minimum i mksimum n ovom segmentu. Nek je c = min φ(x), x [,b] d = mx ψ(x). x [,b] Očigledno je Ω Π = [, b] [c, d]. Skup Ω je merljiv, p je i skup Π \ Ω tko de merljiv. Nek je funkcij F definisn n skupu Π sledeći nčin: { f(x, y), (x, y) Ω, F (x, y) =, (x, y) Π \ Ω. Sledi F (x, y) dx dy = F (x, y) dx dy + F (x, y) dx dy Π Ω = f(x, y) dx dy. Π\Ω Prem Teoremi 1.7.1, proizilzi d vži f(x, y) dx dy = b Ω d dx F (x, y) dy Ω = = b b c dx φ(x) ψ(x) dy + f(x, y) dy + d c φ(x) ψ(x) ψ(x) dx f(x, y) dy. dy Time je teorem dokzn. φ(x)

35 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 35 Primer Izrčunti integrl x 2 dx dy n skupu = {(x, y) : 1 x 1, x 2 y 1} (Slik 5). Slik 5. Rešenje. N osnovu Teoreme 1.7.3, vži: x 2 dx dy = dx x 2 dy = x 2 (1 x 2 ) dx = x 2 1 Primer Nek je skup ogrničen kružnicm x 2 + y 2 = 4 i x 2 2x + y 2 =. Prikzti dvostruki integrl f(x, y) dx dy ko dv uzstopn integrl (Slik 6). Slik 6. Rešenje. Skup je unij tri elemtrn skup u odnosu n y-osu: Ω 1 = {(x, y) : 2 x, 4 x 2 y 4 x 2 } Ω 2 = {(x, y) : x 2, 4 x 2 y 2x x 2 }, Ω 3 = {(x, y) : x 2, 2x x 2 y 4 x 2 }.

36 36 LAVA 1. INTERACIJA Prem Teoremi sledi f(x, y) dx dy = dx dx 4 x 2 4 x 2 f(x, y) dy + 4 x 2 f(x, y) dy. 2 2x x 2 dx f(x, y) dy 4 x 2 2x x 2 Slik 7. Primer Izrčunti integrl (Slik 7) I = π/2 dy π/2 y sin x x dx. Rešenje. Poznto je d neodre deni integrl sin x x sin x u končnom obliku. Vži lim x sin x x = ogrničen i neprekidn n posmtrnom skupu x dx ne može biti izrčunt = 1, odkle sledi d je funkcij (x, y) { (x, y) : y π 2, y x π } = {(x, y) : x π } 2 2, y x.

37 1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 37 Prem Teoremi 1.7.3, vži: I = = π/2 π/2 dy π/2 y sin x x sin x x dx = x dy dx = sin x x π/2 dx dy = π/2 sin x dx = 1. x dx sin x x dy Slučj prostor R n, n 3 Nije teško dokzti rezultt nlogn Teoremi u prostoru veće dimenzije. Teorem Nek su = k (b i i ) i K = m (d i c i ) prvougonici, i=1 redom, u R k i R m. Nek je funkcij f integrbiln n prvougoniku K. Ako z svko x postoji integrl f(x, y) dy, td vži formul K j=1 f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy. K K Definicij Nek je merljiv skup u R n i nek su φ, ψ : R neprekidne funkcije s svojstvom φ(x) ψ(x) z svko x = (x 1,..., x n ). Skup Ω = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : x, φ(x) x n+1 ψ(x)} R n+1 jeste elementrn skup u odnosu n osu x n+1. Teorem Elementrn skup Ω, odre den Definicijom je merljiv u prostoru R n+1. Teorem Nek je Ω merljiv i elementrn skup u odnosu n osu x n+1, opisn u 2.21 Definiciji. Nek je (x, x n+1 ) f(x, x n+1 ) integrbiln funkcij

38 38 LAVA 1. INTERACIJA n Ω i nek z svko x postoji interl formul ψ(x) φ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Td vži f(x, x n+1 ) dx dx n+1 = dx ψ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Ω φ(x) Primer Izrčunti trostruki integrl I = skup = [, 1] [2, 3] [4, 5]. xyz dx dy dz ko je Rešenje. Prem Teoremi vži I = 1 3 x dx 5 y dy z dz = Primer Izrčunti trostruki integrl I = z dx dy dz n skupu Ω ogrničenom rvnim x + y + z = 1, x =, y =, z = (Slik 1.7.2). Ω Rešenje. Skup Ω prikzn je n sledeći nčin: Ω = {(x, y, z) : x 1, y 1 x, z 1 x y}. Ω je elementrn u odnosu n z-osu. Nek je skup u rvni ogrničen prvm x+y = 1, x = i y =. Skup je elementrn u odnosu n y-osu.

39 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 39 Prem Teoremi vži z dx dy dz = dx dy 1 x y (1 x y) 2 dx dy Ω 1 1 x dx z dz = 1 2 (1 x y) 2 dy = dx 1 x t 2 dt = 1 2 = Smen promenljivih U opštem slučju, potrebno je integrl neke funkcije izrčunti n skupu koji nije elementrn u odnosu n neku koordintnu osu. Stog se uvodi smen promenljivih. Skup ( R n ) je povezn ko z svke dve tčke A, B, postoji neprekidno preslikvnje γ : [, b] s svojstvom d je γ() = A i γ(b) = B. Otvoren i povezn skup jeste oblst. Ako je oblst, ond je ztvorenje oblsti. Posmtrmo preslikvnj definisn n oblstim u R n. Nek je R n oblst i nek su definisne funkcije (ξ 1,..., ξ n ) φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n ) z ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Td je φ(ξ) = (φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n )) D, gde je D neki novi skup u R n. Preciznije, D je slik skup koordintnim preslikvnjim φ 1,..., φ n. Zhtev se d svi prcijlni izvodi prvog red φ i ξ j (i, j = 1,..., n) budu neprekidne funkcije n. Tko de, pretpostvlj se d je jkobijn 7 ovog koordintnog preslikvnj rzličit od nule, odnosno J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ) = φ 1 ξ 1. φ n ξ 1 φ 1 φ n. φ n ξ n 7 Crl ustv Jcob Jcobi ( ), nemčki mtemtičr

40 4 LAVA 1. INTERACIJA z svko (ξ 1,..., ξ n ). Td je preslikvnje φ = (φ 1,..., φ n ) : R n regulrno (ili dopustiv trnsformcij odnosno smen). Preslikvnje φ je bijektivno iz n D. Osim tog, φ je otvoreno preslikvnje, odnosno φ() = D, pri čemu je D oblst (videti dogovrjuće rezultte iz predmet Mtemtičk nliz 3). Formulišemo bez dokz tvr denje, koje ilustruje ulogu jkobijn preslikvnj. Teorem Nek je φ : R n regulrno preslikvnje, pri čemu je oblst u R n. Nek je Π n-dimenzionln kock u strnice h, kojoj pripd tčk M i nek je Π = φ(π). Td je Π merljiv skup u R n i m n (Π ) lim h m n (Π) = lim m n (Π ) h h n = J(M) i ov konverencij je rvnomern po M. Ovde je s J(M) oznčen vrednost jkobijn preslikvnj φ u tčki M. Sd dokzujemo vžnu teoremu o smeni promenljivih u višestrukom integrlu. Teorem Nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih ξ 1,..., ξ n, D nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih x 1,..., x n. Nek je φ = (φ 1,..., φ n ) : D regulrno preslikvnje, odnosno x 1 = φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n = φ n (ξ 1,..., ξ n ), J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ), (ξ 1,..., ξ n ). Ako je (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) neprekidn funkcij n skupu D, ond vži jednkost f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n = (1.6) D = f(x 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n (ξ 1,..., ξ n )) J (1.7) dξ 1 dξ n. (1.8)

41 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 41 Dokz. Poznto je d je kompozicij neprekidnih funkcij tko de neprekidn funkcij. Oblsti D i su merljive, prem tome i ogrničene. Skupovi i D su kompktni. Neprekidne funkcije n kompktnim skupovim jesu integrbilne. Stog ob integrl u (1.6) postoje. Dokzujemo njihovu jednkost. Funkcij f je neprekidn n kompktnom skupu D, te je stog ogrničen n D. Postoji broj L >, tko d z svko x D vži f(x) L. Jkobijn J je neprekidno preslikvnje n kompktu. Stog postoji broj K, tko d z svko ξ vži J(ξ) K. Posmtr se podel prostor R n promenljivih ξ 1,..., ξ n prvm prlelnim koordintnim osm, pri čemu su susedne prlelne prve uvek n rstojnju h. Sve kocke koje imju neprzn presek s oznčimo s 1,..., l. Skup {1,..., l} podelimo n dv disjunktn skup I i J n sledeći nčin: i I ko i smo ko i = ; j J ko i smo ko j. Sd je j. j J Nek je D i = φ( i ), pri čemu je φ = (φ 1,..., φ n ). N osnovu Teoreme postoje tčke M i i, i I, tko d vži m n (D i ) = J(M i ) m n ( i ) + ϵ(h)m n ( i ), pri čemu je lim ϵ(h) = rvnomerno po M i i. Nek je N i = φ(m i ) D i, h i I. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu činjenice ( m) n ( ) = sledi d se h može odbrti dovoljno mlo, tko d je m n j < ϵ. Td je 4LK j J f(n i ) J(M i ) m n ( i ) < ϵ 4. (1.9) j J Očigledno vži f(n i )m n (D i ) = f(n i ) J(M i ) m n ( i )+ f(n i )ϵ(h)m n ( i ), (1.1) i I i I i I Obzirom d je konvergencij ϵ(h) kd h rvnomern po M i, sledi ϵ d postoji dovoljno mlo h, tko d je ispunjeno ϵ(h) <. Prem 4L m() tome, f(n i )ϵ(h)m n ( i ) L ϵ 4L m n () m n() = ϵ 4. (1.11) i I

42 42 LAVA 1. INTERACIJA N osnovu integrbilnosti funkcije f n skupu D sledi d postoji dovoljno mli broj h, s svojstvom D f(x) dx l f(n i ) m n (D i ) < ϵ 4. (1.12) i=1 Sum l f(n i ) J(M i ) m n ( i ) je Rimnov sum koj odgovr integrlu i=1 f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. (1.13) Preslikvnje φ : D je regulrno, specijlno i neprekidno, te je ogrničeno. Postoji broj S >, tko d z svko ξ vži φ(ξ) S. Skupovi { 1,..., l } čine rzbijnje skup dijmetr h n (u n- dimenzionlnom prostoru). Prem tome, dijmetr rzbijnj { i } teži nuli ko i smo ko h. I fmilij {D 1,..., D l } čini rbijnje skup D dijmetr ne većeg od Sh n. Prem tome, ko h, ond i dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli. Inverzno preslikvnje φ 1 : D je tkodje regulrno (i neprekidno). Prem tome, ko dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli, ond i h. Regulrno preslikvnje φ : D je otvoreno, odnosno slik tčke skup u tčke skup D. Obzirom d je i inverzno preslikvnje regulrno (smim tim i otvoreno), sledi d φ preslikv rub skup n rub skup D. Prem tome, skup E = D j sdrži rub skup D i m(e) M n h n ( n) n. j J Z dto ϵ > postoji dovoljno mlo h, tko d vži m(e) ϵ. Sd je 4L f(n j ) m(d j ) < ϵ 4. (1.14) j J

43 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 43 Sd dolzimo do procene: l f dx f(n i ) J(M i ) m n ( i ) D i=1 l f dx f(n i )m n (D i ) D i=1 + l l + f(n i )m n (D i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i=1 i=1 l f dx f(m i )m(d i ) D i=1 + + f(n i )m(d i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i I i I + f(n j )m n (D j ) + f(n j ) J(M j ) m n ( j ) j J ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 = ϵ j J Pri tome, prv psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu (1.12), drug 4 psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu formule (1.1) i nejednkosti 4 (1.11). Treć psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.14). Četvrt psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.9). Sd, imjući u vidu Rimnovu sumu integrl u (1.13), sledi tržen jednkost integrl D f dx = f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. Prethodn teorem im primene u mnogim konkretnim slučjevim.

44 44 LAVA 1. INTERACIJA Polrn smen u rvni Dobro je poznto d svk tčk P = (x, y) (, ) u rvni n jedinstven nčin može biti prikzn korišćenjem polrnog rdijus i polrnog ugl. Polrni rdijus je intenzitet vektor OP, polrni ugo je ugo koji pozitivni deo x-ose zklp s vektorom OP, počev od pozitivnog del x-ose suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 8). Slik 8. U ovom slučju z svku tčku (x, y) (, ) postoje jedinstveni brojevi r > i φ < 2π, tko d vži x = r cos φ, y = r sin φ. Nrvno, ko je x = y =, ond je r =, φ može biti bilo koji ugo. Inverzne trnsformcije jesu r = x 2 + y 2, φ = rctg y x. Jkobijn uvedenog preslikvnj jeste J = cos φ sin φ Očigledno je J zbog uslov r >. r sin φ r cos φ = r.

45 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 45 Slik 9. Ako je skup cel rvn s izuzetkom koordintnog početk, nlizirmo št je skup D, odnosno domen promenljivih r i φ. Očigledno, r-os pripd skupu, li ne i ostli deo rub (Slik 9). Ovj nedosttk neće biti presudn prilikom izrčunvnj višestrukih integrl. Rzlog leži u činjenici d je površin tčke ili duži jednk nuli. Primer Ispitti koju oblst u prostoru promenljivih r i φ polrn smen preslikv n krug : x 2 + y 2 R 2. Koristeći ovu smenu, izrčunti integrl I = (x 2 + y 2 ) dx dy. Rešenje. U nejednkosti x 2 + y 2 R, kojom je odre den unutršnost krug zmenimo promenljive x i y preko r i φ. Proizilzi r 2 R 2. Pri tome z promenljivu φ nem nikkvih ogrničenj, odnosno uslovi koji opisuju skup u ovom primeru jesu < r R i φ < 2π. Drugim rečim, vži D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π}. Sd, koristeći Teoremu o smeni promenljivih, proizilzi d vži I = 2π R (r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ)r dr dφ = dφ r 2 r dr = 1 2 R4 π. D

46 46 LAVA 1. INTERACIJA U ovom primeru ignorisn je centr krug, u koju se ne slik ni jedn tčk skup D, zbog uslov r >. Me dutim, to u ovom slučju nije od presudnog znčj z rčunnje integrl. Nime, integrl posmtrne funkcije (x, y) f(x, y) = x 2 + y 2 n skupu može se izrčunti ko zbir integrl n skupu 1 i n skupu 2. Pri tome 1 nek sdrži smo centr krug, odnosno 1 = {(, )}, 2 = \ 1. Kko je mer skup 1 jednk nuli, to će i integrl funkcije po tom skupu biti jednk nuli, i dovoljno je posmtrti integrl funkcije f n skupu 2. Sd je slik skup D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π} polrnom smenom jednk skupu 2. Ko što se vidi, izuzeće skup 1 ne utiče n vrednost integrl. Ov nedorečenost koristi se u svim nrednim primerim bez posebnog obrzloženj Uopšten polrn smen Uopštene polrne koordinte se koriste kd je polzni domen integrcije elips, ne krug. Posmtr se preslikvnje x = r cos φ, y = br sin φ, φ < 2π, r >, gde su, b neke konstnte rzličite od nule. Td je jkobijn preslikvnj J = cos φ r sin φ b sin φ br cos φ = br. eometrijsk interpretcij ove trnsformcije sličn je interpretciji polrne smene. Nime, ko su dte vrednosti z x i y, pri čemu je (x, y) (, ), ond su jedinstveni r i φ odre deni n sledeći nčin: r = x y2 b 2 >, y φ = rctg xb [, 2π). Obrnuto, ko su poznte vrednosti r > i φ [, 2π), ond je formulm x = r cos φ, y = br sin φ odre den jedinstven tčk rvni s izuzetkom koordintnog početk. Ko i u slučju polrnih koordint, izuzeće koordintnog početk neće predstvljti poteškoće u izrčunvnju integrl. U izvesnim specijlnim slučjevim koristi se uopšten polrn smen x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, φ [, 2π), r > (, b, α, β ).

47 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 47 Primer Izrčunti integrl I = x 2 + y2 2 b 2 x unutršnjost elipse, odnosno : 2 + y2 1,, b >. 2 b 2 Rešenje. Uvodimo uopštene polrne koordinte dx dy, gde je skup x = r cos φ, y = br sin φ, r >, φ [, 2π). Zmenom promenljvih r i φ u nejednkost koj odre duje unutršnjost elipse, sledi r 2 1. Obzirom d ne postoje ogrničenj z promenljvu φ, domen D promenljivih r i φ dt je n sledeći nčin: Sd je trženi integrl D = {(r, φ) : φ < 2π, < r 1}. I = 2π 1 dφ r brdr = 2 3 bπ. Primer Izrčunti površinu figure u rvni, koj je ogrničen krivom 4 x y + 4 = 1 i prvm x =, y =, pri čemu je, b > (Slik 1). b Slik 1. Rešenje. Uvodimo uopštenu polrnu smenu x = r 4 cos 8 φ, y = br 4 sin 8 φ, φ [, 2π), r >.

48 48 LAVA 1. INTERACIJA Jkobijn uvedene smene je J = 32br 7 cos 7 φ sin 7 φ. Iz činjenice, b > sledi d mor biti x > i y >, te se nmeće uslov φ (, π/2). Zmenom uopštenih polrnih koordint u jednčinu krive koj odre duje rub skup, dobij se jednčin r = 1. Prem tome, domen promenljive r je intervl (, 1). U ovom domenu promenljivih r i φ jkobijn preslikvnj je pozitivn. Prem tome, tržen površin jednk je sledećem integrlu: I = 32b π/2 cos 7 φ sin 7 φ dφ 1 r 7 dr = b Cilindričn smen u trostrukom integrlu Cilindrične koordinte u prostoru R 3 predstvljju neposredno uopštenje polrnih koordint. Preciznije, u rvni promenljivih x, y uvodi se polrn smen, promenljiv z ostje nepromenjen: x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je φ < 2π, r >, ξ R. Lko utvr dujemo d je z ovko uzet domen promenljive (r, φ, ξ) jkobijn preslikvnj dt n sledeći nčin: cos φ r sin φ J = sin φ r cos φ 1 = r >. eometrijsk interpretcij ovih smen je sledeć. Nek je P tčk u trodimenzionlnom prostoru s koordintm (x, y, z), nek je P ortogonln projekcij tčke P n rvn xoy. Td je ξ jednko z koordinti tčke P, r je rstojnje tčke P od koordintnog početk, φ je ugo meren od pozitivnog del x-ose do vektor OP, suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 11).

49 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 49 Slik 11. Moguće je uvesti uopštenu cilindričnu smenu x = r cos φ, y = br sin φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R, z proizvoljne, b. Td je jkobijn preslikvnj J = br. U izvesnim slučjevim uvodi se smen oblik x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R (, b, α, β ). Primer Nći zpreminu tel, čij je grnic dt jednčinom (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 + y 2 (Slik 12).

50 5 LAVA 1. INTERACIJA Slik 12. Rešenje. Uvodimo cilindrične koordinte. Koristeći činjenicu r >, proizilzi d vži r 2 + ξ 2 = r, odnosno ξ = ± r(1 r). Veličin r(1 r) mor biti nenegtivn, odkle sledi < r 1. Z φ nem nikkvih ogrničenj, te je φ < 2π. Sd je očigledno d skup čij je grnic dt nvedenom jednčinom, dobijmo z ξ r(1 r). Stog vži m 3 () = 2π 1 dφ dr r(1 r) r dξ 1 = 4π r(1 r) r r 2 + r dr = π2 4. Poslednji integrl se može rešiti, n primer, Ojlerovom smenom r 2 + r = tr, odkle sledi r = 1 1+t 2 i t [, + ). Primer Odrediti zpreminu tel ogrničenog površim z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x i z = (Slik 13).

51 1.8. SMENA PROMENLJIVIH 51 Slik 13. Rešenje. Uvodimo cilindričnu smenu x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je r >, ξ R i φ ( π/2, π/2). Zmenom cilindričnih koordint u jednčine površi, dolzimo do sledećih jednčin u polrnom obliku: ξ = r 2, r = cos φ, r = 2 cos φ, ξ =. Iz prve i poslednje jednčine proizilze grnice promenljive ξ: ξ (, r 2 ). Iz druge (ko i treće) jednčine, iz uslov r > sledi uslov φ ( π/2, π/2). N krju, iz druge i treće jednčine proizilzi uslov z promenljivu r: r (cos φ, 2 cos φ). Prem tome, tržen zpremin jednk je integrlu I = π/2 π/2 dφ 2 cos φ cos φ r dr r2 dξ = 45π 32. Primer Izrčunti zpreminu tel koje je ogrničeno površim x2 + 2 y 2 b + z2 2 c = 1 i x2 2 + y2 2 b = z, pri tome se im u vidu deo u unutršnjosti 2 c prboloid (, b, c > ) (Slik 14).