1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije"

Transcript

1 Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki končn skup tčk iz [,b] koji sdrži skup {,b}. Tčke skup P su podione tčke segment [,b]. Ako pretpostvimo d podjel P sdržin+ u tčku, td se često (po dogovoru), piše ( ) P = { = x 0 < x < x 2 < < x n = b} Jsno je d se podionim tčkm segment[,b] dijeli n podrzmke mnje dužine. Svki od njih je oblik(x i,x i ), odnosno [x i,x i ] (ili, pk (x i,x i ], [x i,x i )) i predstvljju rzmke podjele P. Dužin rzmk je x i = x i x i (i =,2,...,n), d(p) = mx i n (x i x i ) = mx i n x i nzivmo dijmetrom podjele P. N svkome rzmku podjele[x i,x i ],(i =,2,...,n) izberimo po jednu proizvoljnu tčkuξ i. Skup tko odbrnih tčk nzivmo skupom odbrnih tčk i oznčvmo s Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }. N ovj smo nčin dobili pr (P, Ξ), podjelu zdtog segment [, b] s skupom odbrnih tčk, koji iz prktičnih rzlog zovemo podjelom segment [, b], kd ns to ne dovodi do konfuzije. Definicij 3. Nek je f : [,b] R i (P,Ξ) podjel s odbrnim tčkm segment [,b]. Sumu σ(f; P,Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) = i= n f(ξ i ) x i, () gdje je P = { = x 0 < x < < x n = b} ; Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } nzivmo integrlnom sumom funkcije f z dtu podjelu(p, Ξ). Primjer prvi. Pretpostvimo, z tren, d je f C [,b] ko i d je z svko x [,b]f(x) 0. Krivolinijski trpez ABb je rvn figur ogrničen dijelom Ox ose, prvim x = ix = b i grfikom funkcijey = f(x) ; slik (6.). Uočimo podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} s skupom odbrnih tčk Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }, te odgovrjuće prvougonike osnovic [x k,x k ] i visin f(ξ k ),k =,2,...,n ; ko n slici (6.). Intuitivno možemo ustvrditi d je površin krivolinijskog trpez ABb, približno, jednk integrlnoj sumi dtoj relcijom (). i= Definicij 4. Z funkciju f : [,b] R, kžemo d je Riemnn - integrbiln n segmentu[, b] ko postoji reln broj L tkv d ( ε > 0)( δ > 0)( σ(f; P,Ξ) L < ε) (2)

2 z svku podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} i svki skup odbrnih tčk Ξ = {ξ i (x i,x i ),i =,2,...,n} z koje jed(p) < δ. BrojL se nziv Riemnnov integrl funkcijef n segmentu[,b] i oznčv b f(x)dx, čit: odredeni integrl funkcije f od do b. Segment predstvlj područje integrcije, funkcij f je integrnd. Dkle, funkcij f je R integrbiln ili f I [,b], ko im končn Riemnnov integrl. Ovj se integrl zove i odredeni integrl od f, n segmentu [,b], z rzliku od skup svih primitivnih funkcij funkcije f, koji smo nzvli neodredenim integrlom funkcije f. Broj L iz relcije (2), jeste grničn vrijednost integrlnih sum, kd dijmetr d(p) 0, p tj es je L = ( n ) f(x)dx = d(p) 0 f(ξ i )(x i x i ), (3) gdje su ξ i [x i,x i ] odbrne tčke u podjeli P. Već sd možemo pokzti d početn pretpostvk o ogrničenosti funkcije f n [, b], nije dovoljn uslov z njenu integrbilnost. Rzmotrićemo, ko primjer, Dirichlet i= χ(x) = {, x Q 0, x J. (4) Nek su,b R i < b. Uzmimo d je P = { = x 0 < x < < x n = b} proizvoljn podjel segment[,b]. Nek suξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } iξ 2 = {ξ,ξ 2,...,ξ n} dv skup odbrnih tčk segment [,b] tkvi d su ξ i [x i,x i ] Q, ξ i [x i,x i ] J (i =,2,...,n). Td jeσ(χ; P,Ξ ) = n x i = b,σ(χ; P,Ξ 2 ) = n 0 x i = 0, odkle slijedi d σ(χ; P,Ξ) ne postoji. Prem tome, Dirichled(P) 0 i= 2 i=

3 tov funkcij, koj je očito ogrničen n bilokojem segmentu [, b], nije integrbiln n[,b]. U vezi s ovim, može se tkode, dokzti još jedn vžn rezultt. Nime, uprvo smo pokzli d izf B[,b] ne slijedif I[,b]. Pokzuje se d obrt uvijek vrijedi, tj. ko je funkcij integrbiln n [, b], ond je on ogrničen n tome segmentu. Drugim riječim, potrebn uslov integrbilnosti funkcije jeste njen ogrničenost, nime tčn je Lem 0. Ako je f I [,b] td je f B [,b]. Drbouxove sume. Vžnu ulogu u definiciji integrl, igrju Drbouxove sume koje su u bliskoj vezi s, već definirnom, integrlnom sumom. Pretpostvimo d jef definirn n[,b] i d je ogrničen d je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel tog segment. Uvedimo oznke m i = inf f(x),m = inf f(x),m i = sup f(x),m = sup f(x) x [x i,x i] x [,b] x [x i,x i] x [,b] i= Sume s P = s(f, P) = n m i x i,s P = S(f, P) = n M i x i nzivmo, redom, donjom i gornjom Drbouxovom sumom funkcijef n segmentu[,b], koje odgovrju podjeli P. Iz definicije integrlne sume i Drbouxovih sum, slijedi i= s P = s(f, P) σ(f; P,Ξ) S(f, P) = S P (5) z svku podjelu P segment[, b] i bilokoje odbrne tčke ξ i [x i,x i ],(i =,2,...,n), gdje Drbouxove sume svkko i ne ovise od skup odbrnih tčk. Lem. Z bilo koju podjelu P segment[,b], vrijedi m(b ) s P S P M(b ), (6) gdje je m = inf {f(x)}m = sup {f(x)}. x [,b] x [,b] Lem 2. Ako je P finij podjel od podjele P, tj. ko je P P, td vrijedi s P s P S P S P. (7) Lem 3. Nek su P i P dvije proizvoljne podjele segment [,b], td je s P S P. Dokz. Nek je P = P P. Jsno d je podjel P finije od obije dte podjele, tj. P, P P. N osnovu leme 2, imćemo s P s P S P S P, što je treblo i pokzti. Definicij 5. Broj s = sup {s P } zove se donji Drbouxov integrl P [,b] 3

4 funkcije f n segmentu [, b], S = inf P [,b] {S P} gornji Drbouxov integrl funkcijef n segmentu[, b]. Negdje se ovi integrli nzivju i donji Riemnnov, odnosno gornji Riemnnov integrl, svejedno, z njih vrijedi Lem 4. s S. Teorem 6. Nek je f ogrničen funkcij n segmentu [,b]. Td f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0, postoji δ > 0 tkv d z svku podjelu P segment[,b] dijmetr d(p) < δ, vrijedi S P s P < ε. Z prktično utvrdivnje d li je nek funkcijf integrbiln n segmentu[,b], od koristi je sljedeći Teorem 7. Funkcij f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0 postoji podjel P segment[, b], tko d vrijedi ( ) S P s P < ε. Teorem 8. Funkcijf je integrbiln ko i smo ko je S = s, u slučju integrbilnosti n[,b],s = s = b f(x)dx. Primjer 5. Nek je Pokzti d je f(t)dt = 2. 0 f(t) =. Osobine integrbilnih funkcij { 0, 0 t < 2, 2 t. Definicij 6. Nek je f I [,b]. Td je, po definiciji, b f(x)dx = b f(x)dxi λ f(x)dx =0,λ [,b]. λ Lem 5. Ako jef I [,b] i α < β b, td jef integrbiln n segmentu[α,β]. Lem 6. Nek je < c < b i nek je funkcij f integrbiln n[, b]. Td vrijedi f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. (8) Teorem 9. Nek f,g I [,b]. Td su funkcije f + g,f g,λ g integrbilne n segmentu[,b], gdje jeλ R ; pri tome vrijedi 4

5 () b (b) b (f(x)±g(x))dx = b (λf(x))dx = λ b f(x)dx. f(x)dx± b g(x)dx, Teorem 0. Nek su f,g I [,b] tkve d je f(x) g(x) z svko x [,b], td vrijedi f(x)dx g(x)dx. (9) Teorem. Ako je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td su integrbilne i funkcijef + i f ; osim tog, vrijedi nejednkost f(x)dx f(x) dx. (0) Primijetimo d iz integrbilnosti funkcije f n [,b] ne slijedi d f I [,b]. Zist, funkcij {, x [,b] Q f(x) =,, x [,b] J očigledno nije integrbiln n[, b]. Medutim f(x) =,x [,b], jeste integrbiln n istome segmentu; v. primjer 4. Teorem 2. Ako jef C [,b], td jef I [,b]. Primjer 6. Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b] i c (, b) ; definirjmo funkcijug n[,b], pomoću g(x) = { f(x), x [,b]\{c} α, x = c, () gdje je α f(c). Nije teško uočiti d je g prekidn funkcij u tčki c (,b). Pokzćemo d je g integrbiln funkcij n [, b]. Još više, ko ogrničen funkcij g, im bilo koji končn broj otklonljivih prekidnih tčk n segmentu [, b], svejedno, on je integrbiln i vrijedi g(x)dx = f(x)dx. N tj nčin se pokzuje d je neprekidnost funkcije smo dovoljn uslov z njenu integrbilnost. 5

6 Teorem 3. Svk monoton funkcij n [, b] je integrbiln n[, b]. Teorem 4. (Teorem o srednjoj vrijednosti) Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b], td postoji λ [, b] tkvo d vrijedi f(λ) = b f(x)dx. (2).2 Vez odredenog i neodredenog integrl Vez odredenog i neodredenog integrl Nek je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td je f I [,x] z bilokoje x x [, b]. Dkle, postoji integrl f(t)dt, koji je, očito, funkcij svoje gornje grnice x. Oznčimo tu funkcionlnu zvisnost s F(x), tj. F(x) = x f(t)dt. (3) Ovko definirn funkcij F, ko što ćemo pokzti, im bolj svojstv od podintegrlne funkcije f. Teorem 5. Nek jef integrbiln funkcij n[,b], td je funkcijf(x) = x f(t)dt neprekidn n [,b]. Dokz. Iz f I [,b] slijedi d postoji K > 0 tkv d je f(x) K z svkox [,b] (lem 0). Zh > 0, immo F(x+h) F(x) = odkle je F(x+h) F(x) = h 0+ x+h x+h x f(t)dt x f(t)dt = x+h x f(t)dt, f(t)dt x+h f(t) dt K h. x Dkle, F(x+h) = F(x). Poslednj relcij pokzuje d je funkcij F(x) neprekidn s desne strne u tčkix [,b]. Teorem 6. Ako je f neprekidn funkcij n[, b], td je F(x) = x f(t)dt 6

7 diferencijbiln funkcij i z svko x (, b), vrijedi F (x) = f(x). Dokz. Nek jex 0 bilo koj tčk iz(,b), F(x 0 ) = F(x 0 +h) = x 0+h x 0 f(t)dt. Količnik prirst funkcije F i prirst rgument x je Budući d je f(x 0 ) = h F(x 0 +h) F(x 0 ) h x 0+h x 0 F(x 0 +h) F(x 0 ) h = h x 0+h x 0 f(t)dt i f(t)dt. f(x 0 )dt, iz poslednje relcije slijedi f(x 0 ) = h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt. (4) S druge strne, f C [,b] p je z zdto ε > 0 moguće nći δ > 0, tkv d je f(t) f(x 0 ) < ε kdgod t im svojstvo d je t x 0 < δ. Osim tog, ko se izbereh, tko d je0 < h < δ, ond ćemo imti h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt h x 0+h f(t) f(x 0 ) dt < ε h h = ε. x 0 Ako poslednju nejednkost primijenimo n (4), dobijmo d postoji desn derivcij funkcijef(x) u x 0 i jednk je f(x 0 ). Isto tko se tretir slučj h < 0 i δ < h < 0, tj. isto vrijedi i z lijevu derivciju funkcijef(x) u tčkix 0. Budući d je x 0 (,b) proizvoljno uzeto, teorem je dokzn. Iskoristićemo poslednju tvrdnju d izvedemo jednu od njvžnijih formul integrlnog rčun, to je Newton-Leibnizov formul. Dkle iz teorem 6 slijedi d je funkcij F(x) = x f(t)dt primitivn funkcij funkcije f(x). Pokzli smo u d rzlik bilo koje dvije primitivne funkcije iste funkcije f predstvlj konstntu. To znči, ko je Φ(x) bilokoj primitivn funkcij funkcije f(x), ond je Φ(x) F(x) = C, jer je F(x), tkode, primitivn funkcij funkcije f. Budući d je opšti oblik primitivne funkcije z f(x), njen neodredeni integrlφ(x) = f(x)dx, to slijedi d je x f(x)dx = f(t)dt+c, 7

8 x odnosno Φ(x) f(t)dt = C. Ako u posljednjoj relciji stvimo x =, ztim i x = b, dobićemo sljedeće relcije Φ() = C i Φ(b) f(t)dt = C. Prem tome slijedi d je Ov formul se, po dogovoru, zpisuje i koristi u obliku f(t)dt = Φ(x) b f(t)dt = Φ(b) Φ(). i predstvlj Newton-Leibnizovu formulu. 3 dx Primjer 20. Izrčunti integrl +x. Glvni metodi izrčunvnj neodredenog 2 integrl, metod smjene promjenljive i metod prcijlne integrcije, mogu se primijeniti i kod izrčunvnj odredenog integrl. Prije nego pokžemo kko ovi metodi ovdje funkcionirju, uvešćemo pojm gltke funkcije. { x Rzmotrimo, njprije, primjer funkcije y(x) = 2, x 0, koju ćemo predstviti i n sinx, x > 0 slici. (5) Nije teško vidjeti d je njen prv derivcij prekidn funkcij u nuli. Nime,y (x) = { 2x, x 0 cosx, x > 0, p je y ( 0) = 0,y (+0) =. N grfiku se to prepoznje po tome d funkcij y(x) u nuli im špic, dkle, nije gltk ko u ost tčkm njenog domen. Definicij 7. Funkcij f : [, b] R je gltk n [, b], ko im neprekidnu prvu derivciju n skupu[, b] ; podrzumijev se desn (lijev) derivcij u tčki (odnosno b). Klsu svih gltkih funkcij n[,b] oznčvmo s C () [,b]. Z funkcije koje su gltke po dijelovim svog domen (koji sdrži končno mnogo tkvih dijelov), kžemo d su dio po dio gltke funkcije. 8

9 Teorem 7. Nek su funkcije u(x) i v(x) gltke n segmentu [, b]. Td vrijedi jednkost u(x)dv(x) = u(x)v(x) b v(x)du(x). (6) Dokz. Ako primijenimo Newton-Leibniz formulu n derivciju proizvod dobićemo (u(x)v(x)) = u (x)v(x) +v (x)u(x), (u (x)v(x)+v (x)u(x))dx = u(x)v(x) b, odnosno b u (x)v(x)dx + b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b, odkle slijedi formul (6), što smo i tvrdili ovim teoremom. Iskoristićemo sd formulu z prcijlnu integrciju d pokžemo još neke osobine odredenog integrl. Medu njim je i poopštenje teorem o srednjoj vrijednosti. Teorem 8. Nek je f neprekidn, g rstuć nenegtivn gltk funkcij n segmentu [, b]. Td postoji ξ [, b] tko d vrjedi f(x)g(x)dx = g(b) ξ f(x)dx. (7) Teorem 9. (Drugi teorem o srednjoj vrijednosti) Ako je f neprekidn, g monoton i gltk funkcij n segmentu[, b], td postoji ξ [, b] tko d vrijedi ξ f(x)g(x)dx = g() f(x)dx+g(b) ξ f(x)dx. (8) Dokz. Ako pretpostvimo d jeg rstuć n[,b] i uvedemo funkcijuφ(x) = g(x) g(), ond je jsno Φ nenegtivn i gltk funkcij. Još više, primjenom formule (7) n funkcije f i Φ, slijedi jednkost (8), što je treblo i pokzti. Nvedimo sd formulu z smjenu promjenljive u odredenom integrlu, čime ćemo dobiti još jednu moćnu metodu z izrčunvnje odredenog integrl. Teorem 20. Nek je f : [A, B] R neprekidn, funkcij im neprekidnu derivcijuφ (t). Ako je φ : [α 0,β 0 ] [A,B] α,β [α 0,β 0 ], = φ(α),b = φ(β), 9

10 td vrijedi jednkost f(x)dx = β α f (φ(t))φ (t)dt. (9) Teorem 2. (Jensen) Nek je f C [,b], φ konveksn i neprekidn funkcij n [ ] min {f(x)}, mx {f(x)}. Td vrijedi nejednkost x [,b] x [,b] ( ) φ b f(x)dx b φ(f(x))dx. (J i ) Primjer 24. IzrčuntiI = π 0 xsinx +cos 2 x dx. Primjer 29. Nek suf ig neprekidne funkcije n[,b]. Pokzti d vrijedi nejednkost (Bunjkovski-Schwrz) f(x)g(x)dx ( ) ( 2 f 2 b (x)dx g 2 (x)dx ) 2, (BS) pri čemu u (BS) vži znk jednkosti ko i smo ko je f = αg, z nekoα R. Podimo od očigledne relcije T = λ 2 b = Možemo, odmh, uzeti d je b f 2 (x)dx+2λ b (λf(x)+g(x)) 2 dx 0. f 2 (x)dx > 0. f(x)g(x)dx+ b g 2 (x)dx = S druge strne, polzni kvdrtni trinom T je nenegtivn ko i smo ko (z njegovu diskriminntu) vrijedi f(x)g(x)dx 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx 0, što predstvlj nejednkost (BS). Osim tog, jednkost u (BS), vrijedi ko i smo ko jeλf(x)+g(x) = 0 z svkox [,b], tj. g(x) = αf(x), (α = λ). 0

11 2 Nesvojstveni integrl i njegove osobine Rimnnov integrl relne funkcije f, koj je definirn n segmentu integrcije [, b], uveden je uz bitnu pretpostvku d je funkcij f ogrničen (f B[, b]). Osim tog, uslov d se integrcij vrši n končnom segmentu, tkode je ogrničenje koje se, sve vrijeme dok pričmo o odredenom integrlu, ističe. Drugim riječim, integrl neogrničene funkcije nije definirn. Jednko tko, ni integrl funkcije definirne n rzmku[, ), nije definirn. Medutim, pojm integrl se može poopćiti tko d obuhvti i neke ovkve slučjeve. Definicij 8. Nek je funkcijf definirn n rzmku[,b) i integrbiln n svkom segmentu[, β] [, b). Ako postoji končn es β β b 0 f(x)dx, (20) on predstvlj nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku[,b) i oznčv s b f(x)dx. Često se (20) nziv i nesvojstvenim integrlom s singulritetom u tčki b i ko postoji β končn es f(x)dx kže se d nesvojstveni integrl b f(x)dx konvergir; β b 0 u suprotnom slučju kžemo d integrl b f(x)dx divergir. Slično se definir nesvojstveni integrl Primjer 30. Nesvojstveni integrl 0 konvergencij, očito, zvisi od prmetr α > 0. f(x)dx s singulritetom u tčki. x α dx, zα > 0 im singulritet u tčki0. Njegov Definicij 9. Pretpostvimo d je funkcij f : [, + ) R integrbiln n svkome segmentu[, β] [, + ). Ako postoji es β β + f(x)dx, ond kžemo d je to nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku [,+ ) ; u oznci β + f(x)dx = f(x)dx. β + Često se simbol + f(x)dx nziv i nesvojstveni integrl s singulritetom. Ako postoji končn β + β f(x)dx, ond nesvojstveni integrl konvergir, u suprotnom

12 on divergir. N potpuno nlogn nčin se definir i nesvojstveni integrl f(x)dx. Primjer 3. Ispitjmo konvergenciju integrl β Nek je α. Td je x α dx = β β x dx = α β β Ako jeα =, td immo x α dx,α R. x α dx = α x α β = α ( β α ), tj. ( α β α ) { = α, α >, α <. xdx = lnβ ; dkle β β xdx = lnβ =, β što zjedno s (*), pokzuje d je integrl konvergentn z α >, divergentn z α. Reći ćemo d integrl im singulritet u tčki b ko je funkcij neogrničen n intervlu (β,b), (β < b), ili pk, b predstvlj simbol. Drugim riječim, ko je funkcij f definirn n končnom ili beskončnom rzmku [, b)(b je končn broj ili ), i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b), ond nesvojstveni integrl β f(x)dx konvergir u slučju d postoji končn f(x)dx ; u suprotnom nesvojstveni integrl divergir. Dkle, umjesto odnosno β β b 0 β b (*) β f(x)dx (ko je b končn broj), β β f(x)dx (ko jeb = ), pisćemo isto f(x)dx. Ako β b im singulritete uiub, ond ćemo stviti po definiciji d je f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx f(x)dx; (2) pri čemu pretpostvljmo integrbilnost funkcije f n svkom segmentu[α, β] (, b) i < c < b. Dkle, po definiciji integrl n desnoj strni u (2) konvergir. Teorem 22. Nek su f(x)dx i f(x)dx konvergir ko svki od dv nesvojstven g(x)dx nesvojstveni integrli s singulritetom u tčkib. Td: () ko ob integrl konvergirju, konvergir i b (λf(x)+µg(x))dx i vrijedi 2

13 (λf(x)+µg(x))dx = λ b f(x)dx+µ b g(x)dx,(λ,µ R) ; (2) ko je < c < b, b f(x)dx konvergir ko i smo ko konvergir c f(x)dx i vrijedi b f(x)dx = c f(x)dx+ b i postoji končn f(x)g(x), integrl x b konvergir U tome slučju vrijedi jednkost c f (x)g(x)dx. f(x)dx ; (3) ko suf ig gltke funkcije f(x)g (x)dx konvergir ko i smo ko f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx, gdje je f(x)g(x) b = f(x)g(x) f()g(). x b Primjer 32. Nesvojstveni integrl e x dx konvergir, jer je e x dx = 0 e x dx+ e x dx = ( 0 = α ( eα )+ ) e β = 2. β α α 0 e x dx+ β 0 β e x dx = Definicij 0. Ako je f integrbiln funkcij n svkom segmentu [, α] [, c) i svkom segmentu[β,b] (c,b], < c < b, definirmo ukoliko integrli c f(x)dx i f(x)dx = c c f(x)dx+ f(x)dx konvergirju. c f(x)dx, Teorem 23. Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl s singulritetom u tčkib, jeste ( ε > 0)( β 0, < β 0 < b) : ( β,β β (β 0,b)), vrijedi f(x)dx β < ε. f(x)dx, 3

14 Teorem 24. Nek je z svko x [, b) f(x) g(x). Ako integrl konvergir, td konvergir i integrl b f(x) dx. g(x)dx Dokz. Nek je, ko što smo rekli f(x) g(x),x [,b) i ε R +. Kko integrl g(x)dx konvergir, to postoji β 0, tko d z svko β,β (β 0,b) vrijedi β g(x)dx < ε. Iz polzne pretpostvke tvrdnje slijedi β p je tvrdnj dokzn. Definicij. Nesvojstveni integrl integrl b f(x) dx. β β β f(x)dx f(x) dx g(x)dx < ε, β β β f(x)dx psolutno konvergir ko konvergir Iz teorem 24, neposredno slijedi d ko nesvojstveni integrl b f(x)dx psolutno konvergir ond on i konvergir. Pretpostvimo, d integrl f(x)dx im singulritet u tčkic (,b) ; td je konvergentn ko i smo ko postoje i končni su esi α c 0 gdjeα iβ, nezvisno jedn od drugog teže kc. Ako postoji c ε L = f(x)dx+ f(x)dx, ε 0 c+ε ond se on nziv glvn vrijednost integrl i koristi se oznk Slično je i b + L = v.p. ( ) b f(x)dx = v.p. b + v.p. = vleur principl (frncuski) - glvn vrijednost f(x)dx. f(x)dx. α f(x)dx i β c+0 β f(x)dx f(x)dx, 4

15 Primjer 34. Pokzti d integrl cosx x 2 dx konvergir. Koristeći teorem 24 i očiglednu procjenu cosx x 2 tj. dti integrl konvergir, jer cosx x 2 dx dx x 2, x 2, dobijmo dx x 2 konvergir. Teorem 26. Nek je f(x) 0,x [, b). Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl β d postoji broj M, tkv d je f(x)dx M, β b. Dokz. Iz nenegtivnosti funkcijef(x) n[,b), slijedi d je funkcijeφ(β) = f(x)dx, je β f(x)dx rstuć. Limes β b φ(β) je končn ko i smo ko je funkcij φ ogrničen, što je i treblo dokzti. Posljedic: Nek je 0 f(x) g(x),x [,b) i nek su () f(x)dx ; (2) g(x)dx, nesvojstveni integrli s singulritetom u tčki b. Iz konvergencije integrl (2) slijedi konvergencij integrl (), iz divergencije integrl () slijedi i divergencij integrl (2). β β Dokz posljedice. Nek je φ(β) = f(x)dx i Ψ(β) = g(x)dx, gdje je β [,b). Ako konvergir integrl (2), td postoji broj M, tkv d je φ(β) Ψ(β) M ; dkle, integrl () konvergir. Drugi dio tvrdnje je kontrpozicij prvog dijel, koji smo uprvo dokzli. 3 Primjene odredenog integrl Kriv linij. Dužin luk krive. Nek je I = [α,β] i pretpostvimo d su funkcijeϕ : I R i ψ : I R neprekidne n domenu. Preslikvnje Γ : I R R, zdto pomoću t (ϕ(t),ψ(t)),t [α,β], nzivmo putnjom. Tčk P (ϕ(α), ψ(α)) je početk putnje, tčk K(ϕ(β), ψ(β)) je krj putnje. Putnj je ztvoren ko jep K. 5

16 Ako je Γ : I R R injektivno preslikvnje, ond putnju Γ zovemo prostom putnjom. PutnjΓje ztvoren prost putnj ko je ztvoren restrikcijγ [α,β) injekcij. Grfik G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]} nzivmo krivom putnje, bez obzir kkv je putnj, ko je bitno ond ćemo nglsiti i kkve putnje. Z prostu krivu, definirnu prostom putnjomγ : I R R,G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]}, kže se, tkode, d je prmetrizirn prmetrom t. U tkvim slučjevim, kžemo d je krivg Γ zdt prmetrskim jednčinm Nek je dt skup tčk x = ϕ(t),y = ψ(t), α t β. (22) {(ϕ(t),ψ(t)) t }, (*) gdje je R neki rzmk. Ovj skup tčk nije obvezno prost kriv. S druge strne, često je moguće rzmk podijeliti n podsegmente[α i,α i ], tko d su Γ i : [α i,α i ] R 2,Γ i = Γ [αi,α i], proste putnje. Još više, podjel rzmk je tkv d je = [α i,α i ], presjek i podsegment može sdržvti smo krjnju tčku, p se pomenuti skup tčk (*) svodi n krivu, koj je po djelovim prost kriv. Nek je dt krivγ u rvnir 2, koj predstvlj grfik neprekidne funkcije y = f(x), x [, b], čiji je početk A(, f()), krj u tčki B(b,f(b)). Nek je, dlje, P = { = x 0 < x < < x i < x i < < x n = b} podjel segment[, b]. Uočimo redom tčke, n grfikuγfunkcijey = f(x) A = X 0,X,...,X i,x i,...,x n = B; X k (x k,f(x k )),k = 0,,2,...,n, 6

17 Oznčimo s σ P sumu dušin d(x i,x i ),i =,2,...,n, svih duži X i X i,i =, 2,..., n, koje čine izlomljenu liniju (koj, očito, proksimir krivu Γ), tj. σ P = n d(x i,x i ). (23) i= Ako d(p) = mxd(x i,x i ) 0 i postoji končn σ P, kžemo d se krivγ i d(p) 0 može rektificirti, L(f;,b) = σ P nzivmo dužinom dte krive. d(p) 0 Teorem 27. Nek je zy = f(x),x [,b] prv derivcijf (x) neprekidn funkcij n[,b] i Γ = (x,f(x)),x [,b]. Td se otvoren kriv y = f(x),x [,b] može rektificirti i dužin kriveγ L(f;,b), izržv formulom L(f;,b) = Pretpostvimo d je krivγ zdt prmetrski. +(f (x)) 2 dx. (24) Teorem 28. Nek su ϕ(t)iψ(t), α t β, funkcije čije su prve derivcije neprekidne funkcije n [α,β]. Td se kriv Γ, odreden jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β može rektificirti. Još više, ko je ϕ(α) = iϕ(β) = b, tj. ϕ([α,β]) = [,b] R + {0}, njen dužin s(γ) iznosi s(γ) = β α ϕ 2 (t)+ψ 2 (t)dt. Nek funkcijy = f(x),x [,b] zdje krivug f, pri čemu suf if neprekidne n [, b]. Uočimo dvije tčke M(x,f(x)),M (x+h,f(x+h)) G f i povučene tngente u tim tčkm n G f, čiji su uglovi s osom Ox, redom α i α ; oznčimo s α = α(x) α (x 0 ),x 0 = x+h. Nek je, još oznčeno s s dužin luk kriveg f koji spj tčkem im ; slik (6.4). Definicij 2. Količnik α / s nzivmo srednjom krivinom krive G f, n luku. Ako postoji končn es α K = M M s = α s 0 s, on se nziv krivinom kriveg f u njenoj tčkim. Recipročnu vrijednost modul krivine K krive G f zovemo poluprečnikom krive G f u zdtoj tčki. 7

18 Ako kriv im K = 0, ond je poluprečnik krive, po definiciji+. Pokzuje se d krivinu kriveg f, pri već ustnovljenim pretpostvkm z funkcijuf, u zdtoj tčkim 0 (x 0,f(x 0 )) možemo izrziti formulom K(x 0 ) = D bismo to pokzli, njprije primijetimo d je f (x 0 ) (+f 2 (x 0 )) 3 /2. (25) α = α(x) α(x 0 ) = α (ξ)(x x 0 ),ξ (x 0,x); gdje egzistencij tkve tčke ξ (x 0,x) (ili ξ (x,x 0 ), svejedno), slijedi iz teorem o srednjoj vrijednosti u diferencijlnome rčunu. S druge strne, iz tg(α(x)) = f (x), slijedi d je Derivcijom iz (26) slijedi Prem tome, α(x) = rctg(f (x)). (26) α (x) = f (x) +f 2 (x). α = α (ξ)(x x 0 ) = f (ξ) +f 2 (ξ) (x x 0),ξ (x 0,x). (27) Dužin luk= s može se izrziti pomoću s = x x 0 +(f (t)) 2 dt. Osim tog funkcij +f 2 (t) je očigledno neprekidn, p primjenom teorem 3 možemo obezbijeditiτ (x 0,x), tkv d je Iz (27) i (28), slijedi d je α s = f (ξ) +f 2 (ξ) s = (x x 0 ) +f 2 (τ). (28) +f 2 (τ), ξ,τ (x 0,x). (29) Nije teško uočiti d čitv lnc grničnih proces nstje, kd dozvoo d tčk M M 0, duž krive Γ. Nime td s 0, drugim riječim: ko x x 0, ond ξ,τ x 0 (s lijeve ili desne strne, svejedno). Ako sd u (29) predemo n es dobićemo α s 0 s = f (ξ) ξ x +f 2 (ξ) 0 τ x 0 dkle, formulu (25). (+f 2 (τ)) 2 = f (x 0) (+f 2 (x 0)) 3 /2 = K(x 0), 8

19 Površine rvnih likov. Pretpostvimo d y = f(x),x [,b], gdje je f nenegtivn i neprekidn funkcij, im grfik ko n slici (6.5). Figur D ABb u rvni Oxy, ogrničen dijelovim prvih x =, x = b, y = 0 i zdtom krivomg f, zove se krivolinijski trpez. Izvedimo formulu z izrčunvnje površine ove rvne figure. Nek je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel segment [,b]; oznčimo dlje m i = inf f(x) i M i = sup f(x). x [x i,x i] x [x i,x i] Td će donj Drbouxov sum s(f, P) biti jednk zbiru svih površin upisnih prvougonik u figuru D ABb, čije su visine m i, ko n slici 6.5. S druge strne, gornj Drbouxov sum S(f, P) biće jednk sumi površin opisnih prvougonik, čije su visine M i, ko n slici (6.6). Budući d je f integrbiln funkcij n [,b], jer je neprekidn, to z zdto ε > 0 postoji podjel P segment [,b], tko d je S(f, P) s(f, P) < ε, odnosno krivolinijski trpez je mjerljiv figur, njegov površin je P (D ABb ) = 9 f(x)dx. (30)

20 Isto tko, ko je f(x) 0, n segmentu [,b], gdje je i neprekidn, lko dobijmo d je P (D ABb ) = b f(x)dx (primjenom formule (30) n nenegtivnu funkciju g(x) = f(x)). Jednko tko, treb primijetiti d se formul (30) može primijeniti n sve funkcije koje su integrbilne n [, b], što ostvljmo d čitlc pokže z vježbu. Primjer 37. Izrčunti površinu lik omedjenog krivimy = x 2 3x+2 i y = 2x 2 +2x+4. Zpremin rotcionih tijel. Nek jef : [,b] R + neprekidn funkcij. Ako se krivolinijski trpez, omeden segmentom [,b] prvim x = ix = b i krivom y = f(x), okreće okoox ose, dobij se obrtno tijelot [,b],ox, ko n slici. Zpreminu dtog rotcionog tijel T [,b],ox rčunmo pomoću V(T) = π f 2 (x)dx. (X) Pored tog, može se pokzti d ko se krivolinijski trpez omeden segmentom [, b], prvimx = i x = b i krivomy = f(x), gltke monotone (n[,b]) funkcijef rotir okooy ose (v. sliku 6.8,b), formul z rčunnje zpremine dobijenog tijel je V(T,Oy) = 2π b xf(x)dx. (Y) Nek sd, kriv zdt jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),t [α,β], 20

21 rotir oko x ose. Zpremin V(T) obrtnog tijel dobij se po formuli (vidi teorem 6, formul (24)) β V(T) = π ψ 2 (t)ϕ (t)dt. α Površin rotcionih površi. Ako bismo trebli izrčunti površinu rotcione površi T [,b],ox, koj nstje rotcijom krive y = f(x), x [, b] (vidi sliku (6.8)), nužno je, ustvri, odrediti formulu z izrčunvnje površine omotč obrtnog tijel koje smo već rzmtrli kod rčunnj zpremine. Osnove rotcionog tijel, dv krug (jedn poluprečnik f(), drugi poluprečnikf(b)), koji nstju rotcijom dvije duži (jedn spj tčke(,0) i (,f()) ; drug tčku(b,0) s(b,f(b))) ne smtrju se sstvnim dijelom rotcione površi čiju površinu žeo odrediti. Površin omotč rotcionog tijel se izrčunv pomoću formule S(f;[,b]) = 2π f(x) +(f (x)) 2 dx. Ako je kriv, koj rotir oko ose, zdt prmetrski u formi obrzc z površinu S je S(ϕ,ψ;[α,β]) = 2π x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β, β α ψ(t) (ϕ (t)) 2 +(ψ (t)) 2 dt. (3) 2

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute slu cajne varijable

Neprekinute slu cajne varijable 5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

povratnog napona 6 prekidača na slici 1.

povratnog napona 6 prekidača na slici 1. Prktikum iz elektroenergetike Lortorij Elektro Mgneti Trnzient Progrm (EMTP) Zdtk Primjer prorčun prelznog povrtnog npon (prekidnje liskog krtkog spoj) Potreno je prorčunti prijelzni povrtni npon n kontktim

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα