1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
|
|
- Πρόκρις Θεοδωρίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki končn skup tčk iz [,b] koji sdrži skup {,b}. Tčke skup P su podione tčke segment [,b]. Ako pretpostvimo d podjel P sdržin+ u tčku, td se često (po dogovoru), piše ( ) P = { = x 0 < x < x 2 < < x n = b} Jsno je d se podionim tčkm segment[,b] dijeli n podrzmke mnje dužine. Svki od njih je oblik(x i,x i ), odnosno [x i,x i ] (ili, pk (x i,x i ], [x i,x i )) i predstvljju rzmke podjele P. Dužin rzmk je x i = x i x i (i =,2,...,n), d(p) = mx i n (x i x i ) = mx i n x i nzivmo dijmetrom podjele P. N svkome rzmku podjele[x i,x i ],(i =,2,...,n) izberimo po jednu proizvoljnu tčkuξ i. Skup tko odbrnih tčk nzivmo skupom odbrnih tčk i oznčvmo s Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }. N ovj smo nčin dobili pr (P, Ξ), podjelu zdtog segment [, b] s skupom odbrnih tčk, koji iz prktičnih rzlog zovemo podjelom segment [, b], kd ns to ne dovodi do konfuzije. Definicij 3. Nek je f : [,b] R i (P,Ξ) podjel s odbrnim tčkm segment [,b]. Sumu σ(f; P,Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) = i= n f(ξ i ) x i, () gdje je P = { = x 0 < x < < x n = b} ; Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } nzivmo integrlnom sumom funkcije f z dtu podjelu(p, Ξ). Primjer prvi. Pretpostvimo, z tren, d je f C [,b] ko i d je z svko x [,b]f(x) 0. Krivolinijski trpez ABb je rvn figur ogrničen dijelom Ox ose, prvim x = ix = b i grfikom funkcijey = f(x) ; slik (6.). Uočimo podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} s skupom odbrnih tčk Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }, te odgovrjuće prvougonike osnovic [x k,x k ] i visin f(ξ k ),k =,2,...,n ; ko n slici (6.). Intuitivno možemo ustvrditi d je površin krivolinijskog trpez ABb, približno, jednk integrlnoj sumi dtoj relcijom (). i= Definicij 4. Z funkciju f : [,b] R, kžemo d je Riemnn - integrbiln n segmentu[, b] ko postoji reln broj L tkv d ( ε > 0)( δ > 0)( σ(f; P,Ξ) L < ε) (2)
2 z svku podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} i svki skup odbrnih tčk Ξ = {ξ i (x i,x i ),i =,2,...,n} z koje jed(p) < δ. BrojL se nziv Riemnnov integrl funkcijef n segmentu[,b] i oznčv b f(x)dx, čit: odredeni integrl funkcije f od do b. Segment predstvlj područje integrcije, funkcij f je integrnd. Dkle, funkcij f je R integrbiln ili f I [,b], ko im končn Riemnnov integrl. Ovj se integrl zove i odredeni integrl od f, n segmentu [,b], z rzliku od skup svih primitivnih funkcij funkcije f, koji smo nzvli neodredenim integrlom funkcije f. Broj L iz relcije (2), jeste grničn vrijednost integrlnih sum, kd dijmetr d(p) 0, p tj es je L = ( n ) f(x)dx = d(p) 0 f(ξ i )(x i x i ), (3) gdje su ξ i [x i,x i ] odbrne tčke u podjeli P. Već sd možemo pokzti d početn pretpostvk o ogrničenosti funkcije f n [, b], nije dovoljn uslov z njenu integrbilnost. Rzmotrićemo, ko primjer, Dirichlet i= χ(x) = {, x Q 0, x J. (4) Nek su,b R i < b. Uzmimo d je P = { = x 0 < x < < x n = b} proizvoljn podjel segment[,b]. Nek suξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } iξ 2 = {ξ,ξ 2,...,ξ n} dv skup odbrnih tčk segment [,b] tkvi d su ξ i [x i,x i ] Q, ξ i [x i,x i ] J (i =,2,...,n). Td jeσ(χ; P,Ξ ) = n x i = b,σ(χ; P,Ξ 2 ) = n 0 x i = 0, odkle slijedi d σ(χ; P,Ξ) ne postoji. Prem tome, Dirichled(P) 0 i= 2 i=
3 tov funkcij, koj je očito ogrničen n bilokojem segmentu [, b], nije integrbiln n[,b]. U vezi s ovim, može se tkode, dokzti još jedn vžn rezultt. Nime, uprvo smo pokzli d izf B[,b] ne slijedif I[,b]. Pokzuje se d obrt uvijek vrijedi, tj. ko je funkcij integrbiln n [, b], ond je on ogrničen n tome segmentu. Drugim riječim, potrebn uslov integrbilnosti funkcije jeste njen ogrničenost, nime tčn je Lem 0. Ako je f I [,b] td je f B [,b]. Drbouxove sume. Vžnu ulogu u definiciji integrl, igrju Drbouxove sume koje su u bliskoj vezi s, već definirnom, integrlnom sumom. Pretpostvimo d jef definirn n[,b] i d je ogrničen d je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel tog segment. Uvedimo oznke m i = inf f(x),m = inf f(x),m i = sup f(x),m = sup f(x) x [x i,x i] x [,b] x [x i,x i] x [,b] i= Sume s P = s(f, P) = n m i x i,s P = S(f, P) = n M i x i nzivmo, redom, donjom i gornjom Drbouxovom sumom funkcijef n segmentu[,b], koje odgovrju podjeli P. Iz definicije integrlne sume i Drbouxovih sum, slijedi i= s P = s(f, P) σ(f; P,Ξ) S(f, P) = S P (5) z svku podjelu P segment[, b] i bilokoje odbrne tčke ξ i [x i,x i ],(i =,2,...,n), gdje Drbouxove sume svkko i ne ovise od skup odbrnih tčk. Lem. Z bilo koju podjelu P segment[,b], vrijedi m(b ) s P S P M(b ), (6) gdje je m = inf {f(x)}m = sup {f(x)}. x [,b] x [,b] Lem 2. Ako je P finij podjel od podjele P, tj. ko je P P, td vrijedi s P s P S P S P. (7) Lem 3. Nek su P i P dvije proizvoljne podjele segment [,b], td je s P S P. Dokz. Nek je P = P P. Jsno d je podjel P finije od obije dte podjele, tj. P, P P. N osnovu leme 2, imćemo s P s P S P S P, što je treblo i pokzti. Definicij 5. Broj s = sup {s P } zove se donji Drbouxov integrl P [,b] 3
4 funkcije f n segmentu [, b], S = inf P [,b] {S P} gornji Drbouxov integrl funkcijef n segmentu[, b]. Negdje se ovi integrli nzivju i donji Riemnnov, odnosno gornji Riemnnov integrl, svejedno, z njih vrijedi Lem 4. s S. Teorem 6. Nek je f ogrničen funkcij n segmentu [,b]. Td f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0, postoji δ > 0 tkv d z svku podjelu P segment[,b] dijmetr d(p) < δ, vrijedi S P s P < ε. Z prktično utvrdivnje d li je nek funkcijf integrbiln n segmentu[,b], od koristi je sljedeći Teorem 7. Funkcij f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0 postoji podjel P segment[, b], tko d vrijedi ( ) S P s P < ε. Teorem 8. Funkcijf je integrbiln ko i smo ko je S = s, u slučju integrbilnosti n[,b],s = s = b f(x)dx. Primjer 5. Nek je Pokzti d je f(t)dt = 2. 0 f(t) =. Osobine integrbilnih funkcij { 0, 0 t < 2, 2 t. Definicij 6. Nek je f I [,b]. Td je, po definiciji, b f(x)dx = b f(x)dxi λ f(x)dx =0,λ [,b]. λ Lem 5. Ako jef I [,b] i α < β b, td jef integrbiln n segmentu[α,β]. Lem 6. Nek je < c < b i nek je funkcij f integrbiln n[, b]. Td vrijedi f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. (8) Teorem 9. Nek f,g I [,b]. Td su funkcije f + g,f g,λ g integrbilne n segmentu[,b], gdje jeλ R ; pri tome vrijedi 4
5 () b (b) b (f(x)±g(x))dx = b (λf(x))dx = λ b f(x)dx. f(x)dx± b g(x)dx, Teorem 0. Nek su f,g I [,b] tkve d je f(x) g(x) z svko x [,b], td vrijedi f(x)dx g(x)dx. (9) Teorem. Ako je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td su integrbilne i funkcijef + i f ; osim tog, vrijedi nejednkost f(x)dx f(x) dx. (0) Primijetimo d iz integrbilnosti funkcije f n [,b] ne slijedi d f I [,b]. Zist, funkcij {, x [,b] Q f(x) =,, x [,b] J očigledno nije integrbiln n[, b]. Medutim f(x) =,x [,b], jeste integrbiln n istome segmentu; v. primjer 4. Teorem 2. Ako jef C [,b], td jef I [,b]. Primjer 6. Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b] i c (, b) ; definirjmo funkcijug n[,b], pomoću g(x) = { f(x), x [,b]\{c} α, x = c, () gdje je α f(c). Nije teško uočiti d je g prekidn funkcij u tčki c (,b). Pokzćemo d je g integrbiln funkcij n [, b]. Još više, ko ogrničen funkcij g, im bilo koji končn broj otklonljivih prekidnih tčk n segmentu [, b], svejedno, on je integrbiln i vrijedi g(x)dx = f(x)dx. N tj nčin se pokzuje d je neprekidnost funkcije smo dovoljn uslov z njenu integrbilnost. 5
6 Teorem 3. Svk monoton funkcij n [, b] je integrbiln n[, b]. Teorem 4. (Teorem o srednjoj vrijednosti) Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b], td postoji λ [, b] tkvo d vrijedi f(λ) = b f(x)dx. (2).2 Vez odredenog i neodredenog integrl Vez odredenog i neodredenog integrl Nek je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td je f I [,x] z bilokoje x x [, b]. Dkle, postoji integrl f(t)dt, koji je, očito, funkcij svoje gornje grnice x. Oznčimo tu funkcionlnu zvisnost s F(x), tj. F(x) = x f(t)dt. (3) Ovko definirn funkcij F, ko što ćemo pokzti, im bolj svojstv od podintegrlne funkcije f. Teorem 5. Nek jef integrbiln funkcij n[,b], td je funkcijf(x) = x f(t)dt neprekidn n [,b]. Dokz. Iz f I [,b] slijedi d postoji K > 0 tkv d je f(x) K z svkox [,b] (lem 0). Zh > 0, immo F(x+h) F(x) = odkle je F(x+h) F(x) = h 0+ x+h x+h x f(t)dt x f(t)dt = x+h x f(t)dt, f(t)dt x+h f(t) dt K h. x Dkle, F(x+h) = F(x). Poslednj relcij pokzuje d je funkcij F(x) neprekidn s desne strne u tčkix [,b]. Teorem 6. Ako je f neprekidn funkcij n[, b], td je F(x) = x f(t)dt 6
7 diferencijbiln funkcij i z svko x (, b), vrijedi F (x) = f(x). Dokz. Nek jex 0 bilo koj tčk iz(,b), F(x 0 ) = F(x 0 +h) = x 0+h x 0 f(t)dt. Količnik prirst funkcije F i prirst rgument x je Budući d je f(x 0 ) = h F(x 0 +h) F(x 0 ) h x 0+h x 0 F(x 0 +h) F(x 0 ) h = h x 0+h x 0 f(t)dt i f(t)dt. f(x 0 )dt, iz poslednje relcije slijedi f(x 0 ) = h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt. (4) S druge strne, f C [,b] p je z zdto ε > 0 moguće nći δ > 0, tkv d je f(t) f(x 0 ) < ε kdgod t im svojstvo d je t x 0 < δ. Osim tog, ko se izbereh, tko d je0 < h < δ, ond ćemo imti h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt h x 0+h f(t) f(x 0 ) dt < ε h h = ε. x 0 Ako poslednju nejednkost primijenimo n (4), dobijmo d postoji desn derivcij funkcijef(x) u x 0 i jednk je f(x 0 ). Isto tko se tretir slučj h < 0 i δ < h < 0, tj. isto vrijedi i z lijevu derivciju funkcijef(x) u tčkix 0. Budući d je x 0 (,b) proizvoljno uzeto, teorem je dokzn. Iskoristićemo poslednju tvrdnju d izvedemo jednu od njvžnijih formul integrlnog rčun, to je Newton-Leibnizov formul. Dkle iz teorem 6 slijedi d je funkcij F(x) = x f(t)dt primitivn funkcij funkcije f(x). Pokzli smo u d rzlik bilo koje dvije primitivne funkcije iste funkcije f predstvlj konstntu. To znči, ko je Φ(x) bilokoj primitivn funkcij funkcije f(x), ond je Φ(x) F(x) = C, jer je F(x), tkode, primitivn funkcij funkcije f. Budući d je opšti oblik primitivne funkcije z f(x), njen neodredeni integrlφ(x) = f(x)dx, to slijedi d je x f(x)dx = f(t)dt+c, 7
8 x odnosno Φ(x) f(t)dt = C. Ako u posljednjoj relciji stvimo x =, ztim i x = b, dobićemo sljedeće relcije Φ() = C i Φ(b) f(t)dt = C. Prem tome slijedi d je Ov formul se, po dogovoru, zpisuje i koristi u obliku f(t)dt = Φ(x) b f(t)dt = Φ(b) Φ(). i predstvlj Newton-Leibnizovu formulu. 3 dx Primjer 20. Izrčunti integrl +x. Glvni metodi izrčunvnj neodredenog 2 integrl, metod smjene promjenljive i metod prcijlne integrcije, mogu se primijeniti i kod izrčunvnj odredenog integrl. Prije nego pokžemo kko ovi metodi ovdje funkcionirju, uvešćemo pojm gltke funkcije. { x Rzmotrimo, njprije, primjer funkcije y(x) = 2, x 0, koju ćemo predstviti i n sinx, x > 0 slici. (5) Nije teško vidjeti d je njen prv derivcij prekidn funkcij u nuli. Nime,y (x) = { 2x, x 0 cosx, x > 0, p je y ( 0) = 0,y (+0) =. N grfiku se to prepoznje po tome d funkcij y(x) u nuli im špic, dkle, nije gltk ko u ost tčkm njenog domen. Definicij 7. Funkcij f : [, b] R je gltk n [, b], ko im neprekidnu prvu derivciju n skupu[, b] ; podrzumijev se desn (lijev) derivcij u tčki (odnosno b). Klsu svih gltkih funkcij n[,b] oznčvmo s C () [,b]. Z funkcije koje su gltke po dijelovim svog domen (koji sdrži končno mnogo tkvih dijelov), kžemo d su dio po dio gltke funkcije. 8
9 Teorem 7. Nek su funkcije u(x) i v(x) gltke n segmentu [, b]. Td vrijedi jednkost u(x)dv(x) = u(x)v(x) b v(x)du(x). (6) Dokz. Ako primijenimo Newton-Leibniz formulu n derivciju proizvod dobićemo (u(x)v(x)) = u (x)v(x) +v (x)u(x), (u (x)v(x)+v (x)u(x))dx = u(x)v(x) b, odnosno b u (x)v(x)dx + b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b, odkle slijedi formul (6), što smo i tvrdili ovim teoremom. Iskoristićemo sd formulu z prcijlnu integrciju d pokžemo još neke osobine odredenog integrl. Medu njim je i poopštenje teorem o srednjoj vrijednosti. Teorem 8. Nek je f neprekidn, g rstuć nenegtivn gltk funkcij n segmentu [, b]. Td postoji ξ [, b] tko d vrjedi f(x)g(x)dx = g(b) ξ f(x)dx. (7) Teorem 9. (Drugi teorem o srednjoj vrijednosti) Ako je f neprekidn, g monoton i gltk funkcij n segmentu[, b], td postoji ξ [, b] tko d vrijedi ξ f(x)g(x)dx = g() f(x)dx+g(b) ξ f(x)dx. (8) Dokz. Ako pretpostvimo d jeg rstuć n[,b] i uvedemo funkcijuφ(x) = g(x) g(), ond je jsno Φ nenegtivn i gltk funkcij. Još više, primjenom formule (7) n funkcije f i Φ, slijedi jednkost (8), što je treblo i pokzti. Nvedimo sd formulu z smjenu promjenljive u odredenom integrlu, čime ćemo dobiti još jednu moćnu metodu z izrčunvnje odredenog integrl. Teorem 20. Nek je f : [A, B] R neprekidn, funkcij im neprekidnu derivcijuφ (t). Ako je φ : [α 0,β 0 ] [A,B] α,β [α 0,β 0 ], = φ(α),b = φ(β), 9
10 td vrijedi jednkost f(x)dx = β α f (φ(t))φ (t)dt. (9) Teorem 2. (Jensen) Nek je f C [,b], φ konveksn i neprekidn funkcij n [ ] min {f(x)}, mx {f(x)}. Td vrijedi nejednkost x [,b] x [,b] ( ) φ b f(x)dx b φ(f(x))dx. (J i ) Primjer 24. IzrčuntiI = π 0 xsinx +cos 2 x dx. Primjer 29. Nek suf ig neprekidne funkcije n[,b]. Pokzti d vrijedi nejednkost (Bunjkovski-Schwrz) f(x)g(x)dx ( ) ( 2 f 2 b (x)dx g 2 (x)dx ) 2, (BS) pri čemu u (BS) vži znk jednkosti ko i smo ko je f = αg, z nekoα R. Podimo od očigledne relcije T = λ 2 b = Možemo, odmh, uzeti d je b f 2 (x)dx+2λ b (λf(x)+g(x)) 2 dx 0. f 2 (x)dx > 0. f(x)g(x)dx+ b g 2 (x)dx = S druge strne, polzni kvdrtni trinom T je nenegtivn ko i smo ko (z njegovu diskriminntu) vrijedi f(x)g(x)dx 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx 0, što predstvlj nejednkost (BS). Osim tog, jednkost u (BS), vrijedi ko i smo ko jeλf(x)+g(x) = 0 z svkox [,b], tj. g(x) = αf(x), (α = λ). 0
11 2 Nesvojstveni integrl i njegove osobine Rimnnov integrl relne funkcije f, koj je definirn n segmentu integrcije [, b], uveden je uz bitnu pretpostvku d je funkcij f ogrničen (f B[, b]). Osim tog, uslov d se integrcij vrši n končnom segmentu, tkode je ogrničenje koje se, sve vrijeme dok pričmo o odredenom integrlu, ističe. Drugim riječim, integrl neogrničene funkcije nije definirn. Jednko tko, ni integrl funkcije definirne n rzmku[, ), nije definirn. Medutim, pojm integrl se može poopćiti tko d obuhvti i neke ovkve slučjeve. Definicij 8. Nek je funkcijf definirn n rzmku[,b) i integrbiln n svkom segmentu[, β] [, b). Ako postoji končn es β β b 0 f(x)dx, (20) on predstvlj nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku[,b) i oznčv s b f(x)dx. Često se (20) nziv i nesvojstvenim integrlom s singulritetom u tčki b i ko postoji β končn es f(x)dx kže se d nesvojstveni integrl b f(x)dx konvergir; β b 0 u suprotnom slučju kžemo d integrl b f(x)dx divergir. Slično se definir nesvojstveni integrl Primjer 30. Nesvojstveni integrl 0 konvergencij, očito, zvisi od prmetr α > 0. f(x)dx s singulritetom u tčki. x α dx, zα > 0 im singulritet u tčki0. Njegov Definicij 9. Pretpostvimo d je funkcij f : [, + ) R integrbiln n svkome segmentu[, β] [, + ). Ako postoji es β β + f(x)dx, ond kžemo d je to nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku [,+ ) ; u oznci β + f(x)dx = f(x)dx. β + Često se simbol + f(x)dx nziv i nesvojstveni integrl s singulritetom. Ako postoji končn β + β f(x)dx, ond nesvojstveni integrl konvergir, u suprotnom
12 on divergir. N potpuno nlogn nčin se definir i nesvojstveni integrl f(x)dx. Primjer 3. Ispitjmo konvergenciju integrl β Nek je α. Td je x α dx = β β x dx = α β β Ako jeα =, td immo x α dx,α R. x α dx = α x α β = α ( β α ), tj. ( α β α ) { = α, α >, α <. xdx = lnβ ; dkle β β xdx = lnβ =, β što zjedno s (*), pokzuje d je integrl konvergentn z α >, divergentn z α. Reći ćemo d integrl im singulritet u tčki b ko je funkcij neogrničen n intervlu (β,b), (β < b), ili pk, b predstvlj simbol. Drugim riječim, ko je funkcij f definirn n končnom ili beskončnom rzmku [, b)(b je končn broj ili ), i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b), ond nesvojstveni integrl β f(x)dx konvergir u slučju d postoji končn f(x)dx ; u suprotnom nesvojstveni integrl divergir. Dkle, umjesto odnosno β β b 0 β b (*) β f(x)dx (ko je b končn broj), β β f(x)dx (ko jeb = ), pisćemo isto f(x)dx. Ako β b im singulritete uiub, ond ćemo stviti po definiciji d je f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx f(x)dx; (2) pri čemu pretpostvljmo integrbilnost funkcije f n svkom segmentu[α, β] (, b) i < c < b. Dkle, po definiciji integrl n desnoj strni u (2) konvergir. Teorem 22. Nek su f(x)dx i f(x)dx konvergir ko svki od dv nesvojstven g(x)dx nesvojstveni integrli s singulritetom u tčkib. Td: () ko ob integrl konvergirju, konvergir i b (λf(x)+µg(x))dx i vrijedi 2
13 (λf(x)+µg(x))dx = λ b f(x)dx+µ b g(x)dx,(λ,µ R) ; (2) ko je < c < b, b f(x)dx konvergir ko i smo ko konvergir c f(x)dx i vrijedi b f(x)dx = c f(x)dx+ b i postoji končn f(x)g(x), integrl x b konvergir U tome slučju vrijedi jednkost c f (x)g(x)dx. f(x)dx ; (3) ko suf ig gltke funkcije f(x)g (x)dx konvergir ko i smo ko f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx, gdje je f(x)g(x) b = f(x)g(x) f()g(). x b Primjer 32. Nesvojstveni integrl e x dx konvergir, jer je e x dx = 0 e x dx+ e x dx = ( 0 = α ( eα )+ ) e β = 2. β α α 0 e x dx+ β 0 β e x dx = Definicij 0. Ako je f integrbiln funkcij n svkom segmentu [, α] [, c) i svkom segmentu[β,b] (c,b], < c < b, definirmo ukoliko integrli c f(x)dx i f(x)dx = c c f(x)dx+ f(x)dx konvergirju. c f(x)dx, Teorem 23. Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl s singulritetom u tčkib, jeste ( ε > 0)( β 0, < β 0 < b) : ( β,β β (β 0,b)), vrijedi f(x)dx β < ε. f(x)dx, 3
14 Teorem 24. Nek je z svko x [, b) f(x) g(x). Ako integrl konvergir, td konvergir i integrl b f(x) dx. g(x)dx Dokz. Nek je, ko što smo rekli f(x) g(x),x [,b) i ε R +. Kko integrl g(x)dx konvergir, to postoji β 0, tko d z svko β,β (β 0,b) vrijedi β g(x)dx < ε. Iz polzne pretpostvke tvrdnje slijedi β p je tvrdnj dokzn. Definicij. Nesvojstveni integrl integrl b f(x) dx. β β β f(x)dx f(x) dx g(x)dx < ε, β β β f(x)dx psolutno konvergir ko konvergir Iz teorem 24, neposredno slijedi d ko nesvojstveni integrl b f(x)dx psolutno konvergir ond on i konvergir. Pretpostvimo, d integrl f(x)dx im singulritet u tčkic (,b) ; td je konvergentn ko i smo ko postoje i končni su esi α c 0 gdjeα iβ, nezvisno jedn od drugog teže kc. Ako postoji c ε L = f(x)dx+ f(x)dx, ε 0 c+ε ond se on nziv glvn vrijednost integrl i koristi se oznk Slično je i b + L = v.p. ( ) b f(x)dx = v.p. b + v.p. = vleur principl (frncuski) - glvn vrijednost f(x)dx. f(x)dx. α f(x)dx i β c+0 β f(x)dx f(x)dx, 4
15 Primjer 34. Pokzti d integrl cosx x 2 dx konvergir. Koristeći teorem 24 i očiglednu procjenu cosx x 2 tj. dti integrl konvergir, jer cosx x 2 dx dx x 2, x 2, dobijmo dx x 2 konvergir. Teorem 26. Nek je f(x) 0,x [, b). Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl β d postoji broj M, tkv d je f(x)dx M, β b. Dokz. Iz nenegtivnosti funkcijef(x) n[,b), slijedi d je funkcijeφ(β) = f(x)dx, je β f(x)dx rstuć. Limes β b φ(β) je končn ko i smo ko je funkcij φ ogrničen, što je i treblo dokzti. Posljedic: Nek je 0 f(x) g(x),x [,b) i nek su () f(x)dx ; (2) g(x)dx, nesvojstveni integrli s singulritetom u tčki b. Iz konvergencije integrl (2) slijedi konvergencij integrl (), iz divergencije integrl () slijedi i divergencij integrl (2). β β Dokz posljedice. Nek je φ(β) = f(x)dx i Ψ(β) = g(x)dx, gdje je β [,b). Ako konvergir integrl (2), td postoji broj M, tkv d je φ(β) Ψ(β) M ; dkle, integrl () konvergir. Drugi dio tvrdnje je kontrpozicij prvog dijel, koji smo uprvo dokzli. 3 Primjene odredenog integrl Kriv linij. Dužin luk krive. Nek je I = [α,β] i pretpostvimo d su funkcijeϕ : I R i ψ : I R neprekidne n domenu. Preslikvnje Γ : I R R, zdto pomoću t (ϕ(t),ψ(t)),t [α,β], nzivmo putnjom. Tčk P (ϕ(α), ψ(α)) je početk putnje, tčk K(ϕ(β), ψ(β)) je krj putnje. Putnj je ztvoren ko jep K. 5
16 Ako je Γ : I R R injektivno preslikvnje, ond putnju Γ zovemo prostom putnjom. PutnjΓje ztvoren prost putnj ko je ztvoren restrikcijγ [α,β) injekcij. Grfik G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]} nzivmo krivom putnje, bez obzir kkv je putnj, ko je bitno ond ćemo nglsiti i kkve putnje. Z prostu krivu, definirnu prostom putnjomγ : I R R,G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]}, kže se, tkode, d je prmetrizirn prmetrom t. U tkvim slučjevim, kžemo d je krivg Γ zdt prmetrskim jednčinm Nek je dt skup tčk x = ϕ(t),y = ψ(t), α t β. (22) {(ϕ(t),ψ(t)) t }, (*) gdje je R neki rzmk. Ovj skup tčk nije obvezno prost kriv. S druge strne, često je moguće rzmk podijeliti n podsegmente[α i,α i ], tko d su Γ i : [α i,α i ] R 2,Γ i = Γ [αi,α i], proste putnje. Još više, podjel rzmk je tkv d je = [α i,α i ], presjek i podsegment može sdržvti smo krjnju tčku, p se pomenuti skup tčk (*) svodi n krivu, koj je po djelovim prost kriv. Nek je dt krivγ u rvnir 2, koj predstvlj grfik neprekidne funkcije y = f(x), x [, b], čiji je početk A(, f()), krj u tčki B(b,f(b)). Nek je, dlje, P = { = x 0 < x < < x i < x i < < x n = b} podjel segment[, b]. Uočimo redom tčke, n grfikuγfunkcijey = f(x) A = X 0,X,...,X i,x i,...,x n = B; X k (x k,f(x k )),k = 0,,2,...,n, 6
17 Oznčimo s σ P sumu dušin d(x i,x i ),i =,2,...,n, svih duži X i X i,i =, 2,..., n, koje čine izlomljenu liniju (koj, očito, proksimir krivu Γ), tj. σ P = n d(x i,x i ). (23) i= Ako d(p) = mxd(x i,x i ) 0 i postoji končn σ P, kžemo d se krivγ i d(p) 0 može rektificirti, L(f;,b) = σ P nzivmo dužinom dte krive. d(p) 0 Teorem 27. Nek je zy = f(x),x [,b] prv derivcijf (x) neprekidn funkcij n[,b] i Γ = (x,f(x)),x [,b]. Td se otvoren kriv y = f(x),x [,b] može rektificirti i dužin kriveγ L(f;,b), izržv formulom L(f;,b) = Pretpostvimo d je krivγ zdt prmetrski. +(f (x)) 2 dx. (24) Teorem 28. Nek su ϕ(t)iψ(t), α t β, funkcije čije su prve derivcije neprekidne funkcije n [α,β]. Td se kriv Γ, odreden jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β može rektificirti. Još više, ko je ϕ(α) = iϕ(β) = b, tj. ϕ([α,β]) = [,b] R + {0}, njen dužin s(γ) iznosi s(γ) = β α ϕ 2 (t)+ψ 2 (t)dt. Nek funkcijy = f(x),x [,b] zdje krivug f, pri čemu suf if neprekidne n [, b]. Uočimo dvije tčke M(x,f(x)),M (x+h,f(x+h)) G f i povučene tngente u tim tčkm n G f, čiji su uglovi s osom Ox, redom α i α ; oznčimo s α = α(x) α (x 0 ),x 0 = x+h. Nek je, još oznčeno s s dužin luk kriveg f koji spj tčkem im ; slik (6.4). Definicij 2. Količnik α / s nzivmo srednjom krivinom krive G f, n luku. Ako postoji končn es α K = M M s = α s 0 s, on se nziv krivinom kriveg f u njenoj tčkim. Recipročnu vrijednost modul krivine K krive G f zovemo poluprečnikom krive G f u zdtoj tčki. 7
18 Ako kriv im K = 0, ond je poluprečnik krive, po definiciji+. Pokzuje se d krivinu kriveg f, pri već ustnovljenim pretpostvkm z funkcijuf, u zdtoj tčkim 0 (x 0,f(x 0 )) možemo izrziti formulom K(x 0 ) = D bismo to pokzli, njprije primijetimo d je f (x 0 ) (+f 2 (x 0 )) 3 /2. (25) α = α(x) α(x 0 ) = α (ξ)(x x 0 ),ξ (x 0,x); gdje egzistencij tkve tčke ξ (x 0,x) (ili ξ (x,x 0 ), svejedno), slijedi iz teorem o srednjoj vrijednosti u diferencijlnome rčunu. S druge strne, iz tg(α(x)) = f (x), slijedi d je Derivcijom iz (26) slijedi Prem tome, α(x) = rctg(f (x)). (26) α (x) = f (x) +f 2 (x). α = α (ξ)(x x 0 ) = f (ξ) +f 2 (ξ) (x x 0),ξ (x 0,x). (27) Dužin luk= s može se izrziti pomoću s = x x 0 +(f (t)) 2 dt. Osim tog funkcij +f 2 (t) je očigledno neprekidn, p primjenom teorem 3 možemo obezbijeditiτ (x 0,x), tkv d je Iz (27) i (28), slijedi d je α s = f (ξ) +f 2 (ξ) s = (x x 0 ) +f 2 (τ). (28) +f 2 (τ), ξ,τ (x 0,x). (29) Nije teško uočiti d čitv lnc grničnih proces nstje, kd dozvoo d tčk M M 0, duž krive Γ. Nime td s 0, drugim riječim: ko x x 0, ond ξ,τ x 0 (s lijeve ili desne strne, svejedno). Ako sd u (29) predemo n es dobićemo α s 0 s = f (ξ) ξ x +f 2 (ξ) 0 τ x 0 dkle, formulu (25). (+f 2 (τ)) 2 = f (x 0) (+f 2 (x 0)) 3 /2 = K(x 0), 8
19 Površine rvnih likov. Pretpostvimo d y = f(x),x [,b], gdje je f nenegtivn i neprekidn funkcij, im grfik ko n slici (6.5). Figur D ABb u rvni Oxy, ogrničen dijelovim prvih x =, x = b, y = 0 i zdtom krivomg f, zove se krivolinijski trpez. Izvedimo formulu z izrčunvnje površine ove rvne figure. Nek je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel segment [,b]; oznčimo dlje m i = inf f(x) i M i = sup f(x). x [x i,x i] x [x i,x i] Td će donj Drbouxov sum s(f, P) biti jednk zbiru svih površin upisnih prvougonik u figuru D ABb, čije su visine m i, ko n slici 6.5. S druge strne, gornj Drbouxov sum S(f, P) biće jednk sumi površin opisnih prvougonik, čije su visine M i, ko n slici (6.6). Budući d je f integrbiln funkcij n [,b], jer je neprekidn, to z zdto ε > 0 postoji podjel P segment [,b], tko d je S(f, P) s(f, P) < ε, odnosno krivolinijski trpez je mjerljiv figur, njegov površin je P (D ABb ) = 9 f(x)dx. (30)
20 Isto tko, ko je f(x) 0, n segmentu [,b], gdje je i neprekidn, lko dobijmo d je P (D ABb ) = b f(x)dx (primjenom formule (30) n nenegtivnu funkciju g(x) = f(x)). Jednko tko, treb primijetiti d se formul (30) može primijeniti n sve funkcije koje su integrbilne n [, b], što ostvljmo d čitlc pokže z vježbu. Primjer 37. Izrčunti površinu lik omedjenog krivimy = x 2 3x+2 i y = 2x 2 +2x+4. Zpremin rotcionih tijel. Nek jef : [,b] R + neprekidn funkcij. Ako se krivolinijski trpez, omeden segmentom [,b] prvim x = ix = b i krivom y = f(x), okreće okoox ose, dobij se obrtno tijelot [,b],ox, ko n slici. Zpreminu dtog rotcionog tijel T [,b],ox rčunmo pomoću V(T) = π f 2 (x)dx. (X) Pored tog, može se pokzti d ko se krivolinijski trpez omeden segmentom [, b], prvimx = i x = b i krivomy = f(x), gltke monotone (n[,b]) funkcijef rotir okooy ose (v. sliku 6.8,b), formul z rčunnje zpremine dobijenog tijel je V(T,Oy) = 2π b xf(x)dx. (Y) Nek sd, kriv zdt jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),t [α,β], 20
21 rotir oko x ose. Zpremin V(T) obrtnog tijel dobij se po formuli (vidi teorem 6, formul (24)) β V(T) = π ψ 2 (t)ϕ (t)dt. α Površin rotcionih površi. Ako bismo trebli izrčunti površinu rotcione površi T [,b],ox, koj nstje rotcijom krive y = f(x), x [, b] (vidi sliku (6.8)), nužno je, ustvri, odrediti formulu z izrčunvnje površine omotč obrtnog tijel koje smo već rzmtrli kod rčunnj zpremine. Osnove rotcionog tijel, dv krug (jedn poluprečnik f(), drugi poluprečnikf(b)), koji nstju rotcijom dvije duži (jedn spj tčke(,0) i (,f()) ; drug tčku(b,0) s(b,f(b))) ne smtrju se sstvnim dijelom rotcione površi čiju površinu žeo odrediti. Površin omotč rotcionog tijel se izrčunv pomoću formule S(f;[,b]) = 2π f(x) +(f (x)) 2 dx. Ako je kriv, koj rotir oko ose, zdt prmetrski u formi obrzc z površinu S je S(ϕ,ψ;[α,β]) = 2π x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β, β α ψ(t) (ϕ (t)) 2 +(ψ (t)) 2 dt. (3) 2
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραKrivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότερα1. NEODREÐENI INTEGRAL
. NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραRelativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni
Διαβάστε περισσότερα3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64
Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAko je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je
Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.
Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute slu cajne varijable
5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραR A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.
Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραPolinomijalna aproksimacija
1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic
Διαβάστε περισσότεραPrimjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα