UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima"

Transcript

1 UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim z pripremu ispit iz ovog kolegij. Svk konstruktivn sugestij u svrhu poboljšnj ovih mterijl, je dobrodošl. Želim vm što uspješnije svldvnje izloženog grdiv!! dr. sc. Josip Mtejš, EFZG

2 SADRŽAJ Neodredeni integrli... 1 Tehnike integrirnj... 3 Direktn integrcij... 6 Metod supstitucije... 8 Metod prcijlne integrcije Odredeni integrli Neprvi integrli Diferencijlne jedndžbe Primjen integrl u ekonomiji... 36

3 NEODRE-DENI INTEGRALI Nek je zdn reln funkcij f(x). Funkciju F (x) z koju vrijedi F (x) = f(x) nzivmo primitivn funkcij funkcije f(x). Postupk (operciju) kojom iz zdne funkcije f(x) dobivmo njenu primitivnu funkciju F (x) nzivmo integrirnje. F (x) = df (x) dx F (x) = = f(x) df (x) = f(x)dx df (x) = f(x)dx Integrirnje je inverzn opercij od diferencirnj odredivnj diferencijl (u suštini od derivirnj koje je osnov diferencirnj). Pri tome funkciju f(x) nzivmo podintegrln funkcij. Kko je f(x) = F (x) = [F (x) + C], to je F (x) + C z svki C R primitivn funkcij funkcije f(x). Dkle immo Definicij neodredenog integrl: F (x) = f(x) f(x)dx = F (x) + C + 1

4 Nziv neodredeni integrl potječe od neodredene konstnte C koju integrl sdrži. PRIMJERI Provjerite sljedeće tvrdnje: 1. (2x 3)dx = x 2 3x + C jer je (x 2 3x + C) = 2x ( ) 1 x + cos x dx = ln x + sin x + C jer je (ln x + sin x + C) = 1 x + cos x. 3. x 2 e x dx = (x 2 2x + 2)e x + C jer je [(x 2 2x + 2)e x + C] = x 2 e x. + 2

5 TEHNIKE INTEGRIRANJA D bi postupk integrirnj učinili opertivnim, koristeći definiciju integrl, izvodimo: općenit prvil integrirnj (integrl zbroj, rzlike i umnošk konstnte i funkcije), tblicu integrl (izrze - formule z integrle elementrnih funkcij) i metode integrirnj (direktn integrcij, metod supstitucije i metod prcijlne integrcije). + 3

6 1. 2. PRAVILA INTEGRIRANJA [f(x) ± g(x)] dx = cf(x)dx = c f(x)dx f(x)dx ± g(x)dx Ov prvil proizlze iz nlognih prvil z derivirnje, [F (x) ± G(x)] = F (x) ± G (x) i [cf (x)] = cf (x), pri čemu je f(x) = F (x) i g(x) = G (x). TABLICA INTEGRALA OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA 1. 0 = 0 dx = C (konstnt) 2. x n dx = xn+1 n + 1 1dx = x + C + C z n x dx = x 1 dx = ln x + C + 4

7 4. 5. x dx = x ln + C e x dx = e x + C 6. sin xdx = cos x + C 7. cos xdx = sin x + C 8. dx cos 2 x = tn x + C 9. dx sin 2 x = cot x + C + 5

8 Dokz nvedenih formul: derivcij desne strne je podintegrln funkcij, npr. formul 3, [ln x + C] = [ln x + C] = 1 x z x > 0 [ln( x) + C] = 1 x ( 1) z x < 0 = 1 x. DIREKTNA INTEGRACIJA Koristimo prvil i tblicu integrl. 1. (x 4 + 6x 2 4x + 2)dx = x 4 dx + 6 x 2 dx 4 xdx + 2 dx = x x3 3 4 x x + C = x x3 2x 2 + 2x + C + 6

9 2. (3 x + 1 ) x 2 dx = (3x 1/2 + x 2 )dx = 3 x x C = x3/2 x 1 + C = 2x x 1 x + C 3. 3x 4 3 x x 2 dx = (3x 1 4x 5/3 )dx = 3 ln x 4 x C = 3 ln x + 6x 2/3 + C 4. ( x ) x + x5 + 5 x dx = 1 5 x ln x + x x ln 5 + C = x ln x + x x ln 5 + C + 7

10 METODA SUPSTITUCIJE Kod ove metode nstojimo, prikldnom zmjenom vrijbli, polzni integrl svesti n jednostvniji (tblični) oblik. Immo { } x = φ(t) f(x)dx = dx = φ = f(φ(t))φ (t)dt (t)dt ili f(x)dx = { t = ψ(x) dt = ψ (x)dx } = g(t)dt, gdje je ψ(x) i ψ (x) dio podintegrlne funkcije f(x). PRIMJERI 1. ln x x dx = = t e t et dt = { x = e t ili t = ln x dx = e t dt t dt = t2 2 + C } = ln2 x 2 + C + 8

11 2. = e 3x+1 dx = e t 1 3 dt = 1 3 t = 3x + 1 dt = 3dx dx = 1 3 dt e t dt = 1 3 et + C = 1 3 e3x+1 + C 3. 2x x dx = { t = x dt = 2x dx } = dt t Općenito, = dt t = ln t + C = ln(x 2 + 1) + C f (x) f(x) dx = { t = f(x) dt = f (x)dx = ln t + C = ln f(x) + C, je formul logritmskog integrirnj, } f (x) f(x) dx = ln f(x) + C. + 9

12 4. e x e x e x + e x dx = ln(ex + e x ) + C 5. 1 x ln x dx = 1 x ln x dx = ln(ln x) + C x 3 5x dx = 1 20 = 1 20 ln(5x4 + 9) + C = x 1 + x dx = (t 1)t 1/2 dt = 20x 3 5x dx t = 1 + x dt = dx x = t 1 (t 3/2 t 1/2 )dt = t5/2 5 2 t3/ C = 2 5 (1 + x)5/2 2 3 (1 + x)3/2 + C + 10

13 Npomen: Sve dobivene rezultte možemo provjeriti derivirnjem. METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE Polzimo od formule z derivciju produkt funkcij u(x) i v(x), (uv) = u v + uv dx (uv) dx = v u dx + u v dx d(uv) = v du + u dv u dv = d(uv) v du Integrirnjem ove posljednje jednkosti dobivmo formulu prcijlne integrcije u dv = uv v du. Vidimo d se ovom metodom polzni integrl izrčunv djelomično (prcijlno). Pri tome nstojimo d je novi integrl v du jednostvniji od polznog u dv. Postupk je, dkle, slijedeći { u =... du = u } dx =... u dv = dv =... v = =... dv =

14 PRIMJERI 1. x 3 ln x dx = u = ln x, = x4 4 ln x x x dx = x4 4 ln x 1 4 dv = x 3 dx, x 3 dx = x4 4 du = 1 x dx v = x4 4 ln x x C 2. x 2 e x dx = = x 2 e x 2 { u = x 2, du = 2xdx dv = e x dx, v = e x xe x dx } = { u = x, du = dx dv = e x dx, v = e x = x 2 e x 2 ( xe x } ) e x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x + C + 12

15 ODRE-DENI INTEGRALI Do pojm odredenog integrl došlo se preko problem odredivnj površine rvninskih likov (Riemnn XIX. st.). Problem površine: Nek je f : [, b] R neprekidn funkcij i f(x) 0 z sve x [, b]. Kolik je površin lik (pseudotrpez) omedenog prvcim x =, x = b, y = 0 i grfom funkcije y = f(x)? Rješenje problem površine: (skic...) Zdni intervl [, b] podijelimo n proizvoljn broj (n) intervl jednke duljine. U njihovim krjevim povučemo prvce okomite n os x, čime podijelimo polznu površinu n n pseudotrpez. Nd svkim intervlom ko bzom konstruirmo dv prvokutnik: njveći prvokutnik koji je upisn pripdnom pseudotrpezu i njmnji koji mu je opisn. Tržen površin je izmedu površin dviju unij prvokutnik (donj i gornj Drbouxov sum). + 13

16 Profinjujući prticiju polznog intervl [, b] (tj. povečvjući n), donj Drbouxov sum se povećv gornj smnjuje. Te dvije sume imju jednki limes (z n ) koji je tržen površin. Očito je tkv grnični postupk z odredivnje površin vrlo složen često g nije ni moguće provesti. Zbog tog problemu pristupmo mlo drukčije (skic...). Nek je P (x), z proizvoljni x [, b], dio polzne površine izmedu točk i x (dkle, P () = 0 P (b) je tržen površin čitvog pseudotrpez). Ako se iz točke x pomknemo u točku x + x ( x je dovoljno mli prirst), funkcij y = f(x) se promijeni z y površin P (x) z P. Z y > 0 immo y x P (y + y) x y P x y + y, (z y < 0 zmijenimo s ). + 14

17 Ako uzmemo d x 0, immo lim y x 0 odnosno lim x 0 P x lim (y + y), x 0 y P dp (x) (x) = y dp dx dx = y = f(x). Pri tome izrz dp = ydx = f(x)dx nzivmo diferencijl površine ili element površine. Sd je P (x) = dp (x) = f(x)dx = F (x) + C. Kko je P () = 0 immo 0 = F () + C C = F (). Dkle, P (x) = F (x) F (), p je P = P (b) = F (b) F () tržen površin. + 15

18 Ovu formulu (osnovnu formulu diferencijlnog i integrlnog rčun) pišemo u obliku P = b f(x) dx = F (b) F () i nzivmo je odredeni integrl u grnicm od do b ( je donj grnic, b je gornj grnic odredenog integrl). Dkle, odredeni integrl nenegtivne funkcije y = f(x) jednk je rzlici vrijednosti njene primitivne funkcije u gornjoj i donjoj grnici predstvlj mjerni broj površine lik omedenog krivuljm y = 0, x =, x = b i y = f(x). + 16

19 SVOJSTVA ODRE-DENIH INTEGRALA Nek su f, g : [, b] R, d [, b], c R. Td vrijedi b b b f(x)dx = f(x)dx = b d f(x)dx f(x)dx + b d b [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx f(x)dx ± b b cf(x)dx = c f(x)dx b g(x)dx Dokz iz definicije odredenog integrl, npr. 2. b f(x)dx = F (b) F () = F (b) F (d) + F (d) F () = b d f(x)dx + d f(x)dx. + 17

20 Izrčunjte 16 1 PRIMJER xdx. Što nm pokzuje dobiveni rezultt? Rješenje: Kko je xdx = x 1/2 dx = x3/ C = 2 3 x x +C, }{{} F (x) immo 16 1 xdx = F (16) F (1) = = 2 (64 1) = Površin koju ztvrju krivulje x = 1, x = 16, y = 0 i y = x iznosi 42 kvdrtne jedinice. + 18

21 Upute z rčunnje površin: Nek je I = [, b] i f, g : I R neprekidne funkcije. 1. Površin omeden s x =, x = b, y = 0 i y = f(x). () Ako je f(x) 0 z sve x I, td je P = b f(x)dx, što je i definicij odredenog integrl. (b) Ako je f(x) 0 z sve x I, td integrirnjem dobijemo negtivnu vrijednost, p je P = = b b f(x)dx f(x)dx. = b f(x)dx (c) Ako f(x) mijenj predznk n I, td zsebno rčunmo one dijelove površine z koje vrijedi () i one z koje vrijedi (b). N krju dobivene rezultte zbrojimo. + 19

22 2. Površin omeden s x =, x = b, y = f(x) i y = g(x). () je Ako je f(x) g(x) 0 z sve x I, td P = b [f(x) g(x)]dx. Ako je g(x) f(x) 0 z sve x I, td u nvedenoj formuli f i g zmijene mjest. (b) Ako f(x) g(x) mijenj predznk n I, td zsebno rčunmo one dijelove površine z koje vrijedi f(x) g(x) 0, odnosno one z koje je g(x) f(x) 0, n nčin ko pod (), te dobivene rezultte zbrojimo. + 20

23 PRIMJERI 1. Odredite mjerni broj površine koju grf funkcije y = x 3 x ztvr s osi x. Rješenje: Grnice integrcije su sjecišt grf dne funkcije s osi x (nul-točke). Immo x 3 x = 0 x(x 2 1) = 0 x 1 = 0, x 2,3 = ±1. Kko je funkcij pozitivn n 1, 0 negtivn n 0, 1, tržen površin se sstoji od dv dijel (skic...). Immo P 1 = P 2 = 0 1 = ( 1 (x 3 x)dx = ( ) (x 3 x)dx ) ( x 4 = 1 4, = 4 x2 2 ( x 4 4 x2 2 ) 0 1 ) 1 0 = = 2 1 = 1 4 4, p je P = P 1 + P 2 = 1/2 kvdrtne jedinice. + 21

24 Npomen: Uočimo d je zdn funkcij neprn p se tržen površin sstoji od dv jednk dijel (centrlno simetričn s obzirom n ishodište), p je dovoljno izrčunti jedn od njih i rezultt udvostručiti. Slično z prne funkcije. 2. Koliku površinu medusobno ztvrju krivulje y = x 2 i y = 3 2x? Rješenje: krivulj, Grnice integrcije su sjecišt dnih x 2 = 3 2x x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 3, x 2 = 1. Kko je 3 2x x 2 z x [ 3, 1], bit će P = = = 1 3 ( [(3 2x) x 2 ]dx 3x x 2 x3 3 ( ) 3 ) 1 3 ( ) =

25 3. Odredite vrijednost prmetr, > 0 tko d površin koju odreduju krivulje y = x 2 i y = x iznosi 36 kvdrtnih jedinic. Rješenje: Sjecišt su (skic...) x 2 = x x(x ) = 0 x 1 = 0, x 1 =. Immo P = = (x x 2 )dx = 0 ( ) 0 = p je prem uvjetim zdtk, 3 ( x 2 2 x , 6 = 36 3 = 216 = 6. )

26 4. Srednje vrijednosti funkcije y = f(x) n intervlu [, b] definirju se slijedećim formulm: A = 1 b b f(x)dx (ritmetičk) G = e 1 b b ln(f(x))dx (geometrijsk) H = b b dx f(x) (hrmonijsk) Odredite ritmetičku, geometrijsku i hrmonijsku sredinu funkcije y = x n intervlu [1, 5] i usporedite rezultte. + 24

27 Rješenje: A = xdx = 1 4 x = = 3 G = e ln xdx = e 1 4 (x ln x x) 5 1 = e 1 4 (5 ln 5 5) 1 4 (1 ln 1 1) = e 5 4 ln 5 1 = 5 5/4 e 1 = H = 4 = 4 5 dx ln x 5 1 x 1 = 4 ln 5 ln 1 = 4 ln 5 = Vidimo d je H < G < A. + 25

28 NEPRAVI INTEGRALI Ako podintegrln funkcij u području integrcije im prekid ili područje integrcije im jednu ili obje grnice beskončne, td tkv integrl nzivmo neprvi integrl. U tom slučju umjesto točke prekid (ili beskončne grnice) uvodimo vrijbilnu grnicu iz domene podintegrlne funkcije te uzimmo grničnu vrijednost kd on teži toj točki prekid (ili beskončnoj grnici). Immo Definicij: () Nek je f : [, β R neprekidn funkcij. Td je β f(x)dx = lim t β t f(x)dx. (b) Nek je f : α, b] R neprekidn funkcij. Td je b α f(x)dx = lim t α+ b t f(x)dx. + 26

29 (c) Ako je f : [, γ γ, b] R neprekidn funkcij, td polzni integrl rstvimo, b f(x)dx = γ f(x)dx + b γ f(x)dx, p n dobivene integrle primijenimo () i (b). Ako je, u nvedenim definicijm, neki limes beskončn ili ne postoji, kžemo d pripdni neprvi integrl divergir. U protivnom, ko je limes končn (u slučju (c) ob limes končn), integrl konvergir. PRIMJERI 1. Ako je f : R R, definirjte slijedeće neprve integrle + 4 Rješenje: f(x)dx, f(x)dx = f(x)dx, lim t + t 4 + f(x)dx, f(x)dx. + 27

30 2 f(x)dx = lim t 2 t f(x)dx + = lim t + f(x)dx = lim t + 2 t t t f(x)dx, f(x)dx. 2. Koliku površinu grf funkcije f(x) = xe x2 ztvr s osi x? Rješenje: Kko je D(f) = R i f je neprn funkcij, tržen površin se sstoji od dv jednk dijel (jedn nd pozitivnim drugi ispod negtivnog dijel osi x (skic...)). Dkle, P = xe x2 dx =? + 28

31 Kko je xe x2 dx = τ = x 2 dτ = 2x dx x dx = 1 2 dτ = 1 2 e τ dτ immo P = 2 lim t + = 1 2 eτ + C = 1 2 e x2 + C, = 2 lim t + = 2 lim t + = 2 t 0 [( 12 0 ) xe x2 dx ( 12 e x2) t 0 [( 1 2 e t2) ( 12 1 )] ( 12 e0 )] = 1. Dkle, veličin tržene površine, koj se uz os x proteže od do +, iznosi jednu kvdrtnu jedinicu! + 29

32 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Svku jedndžbu, koj sdrži br jednu derivciju nepoznte funkcije, nzivmo diferencijln jedndžb. Rzlikujemo obične (s funkcijm jedne vrijble) i prcijlne diferencijlne jedndžbe (s funkcijm više vrijbli). Njveći red derivcije nepoznte funkcije, koj se u jedndžbi pojvljuje, odreduje red diferencijlne jedndžbe. Tko je, n primjer, y + xy = e x... običn dif. j. prvog red, 4y 5y = 7... običn dif. j. trećeg red, 2 z z x 2+ 2 y 2 = xy... prcijln dif. j. drugog red, y (n) y 2 = x 2... običn dif. j. n-tog red, itd. Svku funkciju koj zdovoljv zdnu diferencijlnu jedndžbu nzivmo rješenje te jedndžbe. To je posebno ili prtikulrno rješenje. Kko jedndžb sdrži derivciju nepoznte funkcije, očito je d se u njenom rješvnju koristi integrirnje. To znči d rješenje može sdržvti jednu ili više neodredenih konstnti (čk i funkcij). Tkvo rješenje nzivmo opće rješenje. Ono obuhvć čitvu klsu funkcij (prtikulrnih rješenj). + 30

33 PRIMJER: Opće rješenje diferencijlne jedndžbe y = 0 je y(x) = C 1 x + C 2, gdje su C 1, C 2 R. Mijenjjući C 1 i C 2 dobivmo rzličit prtikulrn rješenj, npr. y = 3x + 6 i y = x su dv tkv rješenj. Prtikulrn rješenj (tj. konstnte iz općeg rješenj) uglvnom dobivmo n temelju dodtnih uvjet koje zhtijevmo z trženo rješenje (početni uvjeti, rubni uvjeti i sl.). Diferencijlnim jedndžbm mogu se opisti mnogobrojne pojve u prirodi (rzličite vrste gibnj, prijenosi energije, djelovnje sil, kemijski procesi itd.) p se one njčešće pojvljuju u fizici, tehnici, kemiji. Mi ćemo u- poznti i neke primjene u ekonomiji. Područje diferencijlnih jedndžbi je vrlo opsežno i kompleksno područje mtemtike. Većin jedndžbi ne može se riješiti eksplicitno, p se rzvijju proksimtivne metode z njihovo rješvnje. Od sveg nvedenog mi ćemo promtrti smo obične diferencijlne jedndžbe prvog red koje se mogu riješiti metodom seprcije vrijbli. + 31

34 METODA SEPARACIJE VARIJABLI Opći oblik obične diferencijlne jedndžbe n-tog red je F ( x, y, y, y,..., y (n 1), y (n)) = 0, gdje je F funkcij od n + 2 vrijble. Ako je n = 1, immo običnu diferencijlnu jedndžbu prvog red, F ( x, y, y ) = 0. Neke od tih jedndžbi mogu se riješiti metodom seprcije vrijbli. Metod se provodi svodenjem polzne jedndžbe n oblik (y)dy = b(x)dx n slijedeći nčin. 1. Polznu jedndžbu svodimo n oblik A(x, y)y = B(x, y). 2. Uvrštvnjem y = dy/dx dobijemo A(x, y) dy dx = B(x, y) A(x, y)dy = B(x, y)dx. + 32

35 3. Funkcije A i B rstvljmo n fktore jedne vrijble, A 1 (x)a 2 (y)dy = B 1 (x)b 2 (y)dx. 4. Seprirmo vrijble, dijeljenjem jedndžbe s A 1 (x)b 2 (y), A 2 (y) B 2 (y) dy = B 1(x) A 1 (x) dx. 5. Obje strne dobivene jedndžbe integrirmo, A2 (y) B1 B 2 (y) dy = (x) A 1 (x) dx. Ako se korci 1 i/ili 3 ne mogu provesti, td se zdn jedndžb ne može riješiti ovom metodom (potrebne su ili dodtne trnsformcije ili ssvim drug metod). + 33

36 PRIMJER Riješite diferencijlnu jedndžbu x 2 y + y 2 = 0 uz uvjet y(2) = 2/3. Rješenje: Slijedimo gore nvedene korke. x 2 y = y 2 x 2 dy dx = y2 dx x 2 dy = y 2 dx : ( y 2 )x 2 dy y 2 = dx x 2 dy dx y 2 = x 2 1 y = 1 x + C y = 1 C 1 x y = x Cx 1 (opće rješenje) + 34

37 Uvrstimo li uvjet (z x = 2 je y = 2/3) u opće rješenje, dobivmo 2 3 = 2 2(2C 1) = 6 C = 2, 2C 1 p je x y = 2x 1 prtikulrno rješenje zdne jedndžbe. Primijetimo ponovo d opće rješenje zdovoljv dnu diferencijlnu jedndžbu z svki izbor konstnte C R. Time je dn čitv kls funkcij koje su rješenje jedndžbe. U prtikulrnom rješenju konstnt je odreden tko d je osim jedndžbe zdovoljen i postvljeni uvjet. + 35

38 PRIMJENA INTEGRALA U EKONOMIJI 1. Zdne su grnične veličine (T, P,...) tržimo ukupne (T, P,...). Zdn je funkcij grničnih troškov t(q) = 1 Qe Q. Odredite funkciju ukupnih troškov ko su fiksni troškovi 61 novčnu jedinicu. Rješenje: Immo zdno t(q) = T (Q) i T (0) = 61 tržimo T (Q). T (Q) = = Q T (Q)dQ = Qe Q dq (1 Qe Q )dq =... prcijln integrcij... = Q + (Q + 1)e Q + C T (0) = = 0+1e 0 +C C = 60 T (Q) = Q + (Q + 1)e Q

39 2. Zdn je koeficijent elstičnosti (E y,x ) tržimo funkciju (y(x)) diferencijln jedndžb. Odredite funkciju potržnje q(p) čiji koeficijent elstičnosti iznosi E q,p = 2p2 100 p 2, znmo d je q(8) = 18. Rješenje: p q dq dp = 2p2 100 p 2 dq q = 2p 100 p 2 dp dp p ln q = ln(100 p 2 ) + ln C q = C(100 p 2 ) q(8) = = C (100 64) C = 1 2 q(p) = 1 2 (100 p2 ) = 50 p

40 3. Lorenzov funkcij Φ : [0, 1] [0, 1] dje nm vezu izmedu kumultivnog postotk broj nosilc dohotk (F ) i postotk u- kupnog dohotk (Φ). Njen svojstv su: Φ(0) = 0, Φ(1) = 1, Φ (F ) > 0 i Φ (F ) > 0 z F [0, 1]. Indeks koncentrcije je mjer nejednkosti distribucije dohotk rčun se ko K = Φ(F )df. Odredite indeks koncentrcije z Lorenzovu krivulju Φ(F ) = 0.05F F 2. Rješenje: K = 1 2 = 1 2 = ( = (0.05F F 2 )df 0.05 F F 3 3 ( ) )

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka? MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute slu cajne varijable

Neprekinute slu cajne varijable 5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.

MATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://www.fesb.hr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Metalne konstrukcije II

Metalne konstrukcije II etlne konstrukcije II Prof. dr. sc. Drko Dujmović Grđevinski fkultet Sveučilište u Zgrebu Sveučilište u Zgrebu/Grđevinski fkultet/ / http://www.grd.unig.hr/predmet/metkon 3. IŠEDJELI TLAČI ELEETI Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα