U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
|
|
- ÏἈχαϊκός Αλεβιζόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015
2 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni rčun Rimnov integrl Njutn-Ljbnicov formul Rimn-Stiltjesov integrl Kvdrtn vrijcij funkcije Slučjno lutnje Slučjno lutnje Primer slučjnog lutnj Brunovo kretnje Definicij i osobine Brunovog kretnj Primer Brunovog kretnj Vinerov integrl Mrtingli Itoov stohstički integrl Uvod u stohstičke integrle Itoov stohstički integrl Kork Kork Kork Rimnove sume i stohstički integrli Primeri stohstičkih integrl 31
3 6 Primen Itoovog stohstičkog integrl Itoov formul Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku Primen Itoove formule Izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl Stohstički procesi Linerne stohstičke diferencijlne jednčine Primen u R-u Itoov integrl u Volfrmu Zključk 49 Litertur 50
4 Predgovor Profesor Kijoši Ito (Kiyoshi Itô), rod en godine u Jpnu, dns je poznt ko osnivč moderne stohstičke teorije. On je još z vreme studij bio zinteresovn z pojm slučjne promenljive, diferencijlni i integrlni rčun u oblsti verovtnoće. U to vreme, bilo je nekoliko uticjnih istrživč u oblsti verovtnoće; možemo izdvojiti Kolmogorov 1 u Rusiji i Levij 2 u Frncuskoj. Nkon zvršetk studij, Ito se zpošljv u Zvodu z sttistiku u Tokiju, gde mu se pruž mogućnost d ozbiljnije i temeljnije uči Kolmogorovljev koncept teorije verovtnoć, ko i Levijevu teoriju. U to vreme, verovlo se d je Levijev rd izuzetno težk, s obzirom d je Levi, koji je zčetnik nove oblsti u mtemtici, teoriju verovtnoć bziro n sopstvenoj intuiciji. Ito je želeo d opiše Levijeve ideje, koristeći logiku z koju je pretpostvljo d se Kolmogorov njome služio. Vodeći se Levijevim rdom, Kolmogorovljevom logikom i teorijom meričkog mtemtičr Dub 3, Ito je objvio svoj prvi rd koji se bvio stohstičkim diferencijlnim jednčinm. Dns nije redk slučj d se Itoovom metodom objšnjv Levijev teorij. Ito je rzvio teoriju stohstičkih diferencijlnih jednčin, koje opisuju kretnje usled slučjnih dogd j. Nkon objvljenog prvog rd, došli su i drugi rdovi, koji nisu nišli n dobru kritiku mtemtičr. U to vreme Ito još uvek nije bio doktor nuk, i bilo je potrebno d prod e nekoliko godin kko bi njegov rd dobio n znčju i kko bi mtemtičri postli zinteresovni z tu temu. Nkon tog su se u proučvnje ove oblsti uključili i drugi mtemtičri, i doprineli njenom rzvoju. Kko je tih godin Drugi svetski rt bio u toku, Itoov rd je u tom smislu još znčjniji. Nkon zvršetk Drugog svetskog rt, Ito je doktoriro i nstvio d rzvij svoje ideje u stohstičkoj teoriji. Bio je profesor n više univerzitet, ko i počsni predvč n rznim konferencijm i seminrim. Ito je dobio mnoge ngrde z veliki doprinos u mtemtici. Spomenućemo Volfovu 4 ngrdu koju je dobio godine, i Gusovu 5 ngrdu koju je dobio godine. Tkod e, izbrn je z čln Ncionlne kdemije nuk SAD, i Frncuske kdemije nuk. Umro je godine u Jpnu. Cilj ovog rd jeste d čitocu približi Itoovu teoriju, kko u teorijskom smislu tko i u smislu primene. Itoov teorij je širok pojm, te će u ovom rdu biti predstvljen jedn njen deo: Itoov stohstički integrl. 1 Andrey Nikolevich Kolmogorov ( ), ruski mtemtičr koji je do znčjn doprinos teoriji verovtnoće, topologiji i drugim oblstim 2 Pul Pierre Lévy ( ), frncuski mtemtičr koji je posebno bio ktivn u teoriji verovtnoće, procesim, mrtinglim itd. 3 Joseph L. Doob ( ), merički mtemtičr koji je rzvio teoriju mrtingl 4 Wolf Prize- ngrd koj se dodeljuje u Izrelu z izvnredn dostignuć u poljoprivredi, hemiji, mtemtici, medicini, fizici i umetnosti 5 Crl Friedrich Guss Prize- ngrd z izvnredne mtemtičke doprinose koji su pronšli znčjne primene izvn mtemtike 1
5 Prvo poglvlje je posvećeno definisnju pojmov Rimnov integrl, Njutn- Ljbnicov formul, Rimn-Stiltjesov integrl, ko i kvdrtn vrijcij. Ovo poglvlje predstvlj uvod u priču o stohstičkim integrlim i dje osnovu z dlji rd u polju integrl. Drugo poglvlje govori o slučjnom lutnju: prikzn je njegov teorijsk osnov, njegov primer i prikzuje kod u R-u kojim se može simulirti slučjno lutnje. Treće poglvlje je posvećeno definisnju Brunovog kretnj i njegovim osobinm, primeru Brunovog kretnj u R-u, pojmu Vinerovog integrl i mrtingl. Bez uvod enj pojmov koje ovo poglvlje pokriv, ne bi se mogo definisti Itoov stohstički integrl. Četvrto poglvlje je u isto vreme i glvno poglvlje ovog rd jer govori o Itoovom stohstičkom integrlu. Sdrži uvodnu priču u stohstičke integrle, teorijsku osnovu z Itoov stohstički integrl, ko i vezu Itoovog stohstičkog integrl s Rimnovim summ. Peto poglvlje je posvećeno primerim Itoovog stohstičkog integrl. Šesto poglvlje prikzuje primenu Itoovog stohstičkog integrl. Primen je širok pojm, te ćemo se koncentristi n tri bitne stvke: Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku i njen primen, stohstički procesi koji su zsnovni n Itoovom stohstičkom integrlu i linerne stohstičke diferencijlne jednčine. Pored tog, biće prikzn primen Itoovog integrl u R-u i u Volfrmu. Zhvljujem se svom mentoru dr Jeleni Jocković n literturi koju mi je omogućil i n ukznom poverenju. 2
6 1 Integrlni rčun Prks je pokzl d prič o stohstičkom rčunu ume d bude problemtičn onim koji nemju neko veće mtemtičko znnje. Kko je ovj rd fokusirn n stohstički integrl, potrebno je njpre ispričti priču o običnom integrlnom rčunu, što podrzumev uvod enje definicij i osobin Rimnovog, Rimn - Stiltjesovog integrl, Njutn-Ljbnicovu formulu, li i pojm kvdrtne vrijcije. Z pisnje ovog poglvlj korišćen je knjig [5]. 1.1 Rimnov integrl Definicij 1.1. Ogrničen funkcij f koj je definisn n ztvorenom intervlu [, b] integrbiln je u Rimnovom 6 smislu ko sledeći limes postoji: f(t)dt = lim n 0 f(τ i )(t i t i 1 ), (1.1.1) gde je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b] tkv d je = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b, n = mx 1 i n (t i t i 1 ), i τ i izbrn tčk segment [t i 1, t i ]. Pri tome se i b nzivju donjom i gornjom grnicom integrl, respektivno; funkcij f nziv se podintegrlnom funkcijom ili integrndom, izrz f(t)dt je podintegrlni izrz, promenljiv t integrcion promenljiv. Sum koj figuriše u jednčini nziv se Rimnov sum. Vži: ) Ako je f neprekidn funkcij n segmentu [, b], ond je on Rimn integrbiln. b) Monoton funkcij n segmentu je Rimn integrbiln. Svojstv Rimnovog integrl: () Nek su f i g Rimn integrbilne funkcije n segmentu [, b] i nek je α R. Td su funkcije f ± g i αf Rimn integrbilne n [, b]. Pri tome vže jednkosti [f(t) ± g(t)]dt = αf(t)dt = α f(t)dt ± f(t)dt. g(t)dt, (b) Nek su f i g Rimn integrbilne funkcije n segmentu [, b] i α, β relni brojevi, ond je αf + βg Rimn integrbiln n [, b]. Pri tome vži jednkost [αf(t) + βg(t)]dt = α f(t)dt + β g(t)dt. 6 Bernhrd Riemnn ( ), nemčki mtemtičr koji je do znčjn doprinos mtemtičkoj nlizi 3
7 (c) Ako je f Rimn integrbiln funkcij n segmentu [, c] i <b<c, ond je f Rimn integrbiln funkcij n [, b] i n [b, c], i pri tome vži jednkost c f(t)dt = f(t)dt + c b f(t)dt. (d) Ako je funkcij f definisn u tčki, ond je f(t)dt = 0. (e) Ako je <b i f(t)dt postoji, ond je b f(t)dt = 1.2 Njutn-Ljbnicov formul f(t)dt. Nek je funkcij f(t) definisn n intervlu (, b). Primitivnom funkcijom funkcije f(t) nzovimo funkciju ϕ(t), t (, b), ko je ov diferencijbiln i zdovoljv jednkost ϕ (t) = f(t), t (, b). Teorem 1.1. Ako je f : [, b] R neprekidn funkcij, ond je ϕ(x) = njen primitivn funkcij. x f(t)dt, x [, b], Nek je f : [, b] R neprekidn funkcij i ϕ njen proizvoljn primitivn funkcij. Td vži jednkost f(t)dt = ϕ(b) ϕ(). Gornj jednkost se nziv Njutn 7 -Ljbnicov 8 formul i često se piše u obliku 1.3 Rimn-Stiltjesov integrl f(x)dx = ϕ(x) b. Jedno uopštenje Rimnovog integrl dto je Stiltjesovim 9 integrlom, te će se ovj integrl u dljem tekstu nzivti Rimn-Stiltjesov integrl. 7 Sir Isc Newton ( ), engleski mtemtičr i fizičr koji je dns z većinu ljudi jedn od njznčjnih ljudi u istoriji nuke 8 Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz ( ), nemčki mtemtičr, fizičr i pronlzč koji je do znčjn doprinos u optici i mehnici 9 Thoms Jonnes Stieltjes ( ), holndski mtemtičr 4
8 Definicij 1.2. Nek je g monotono rstuć funkcij n končnom ztvorenom intervlu [, b]. Ogrničen funkcij f definisn n segmentu [, b] integrbiln je po funkciji g u Rimn-Stiltjesovom smislu ko sledeći limes postoji: f(t)dg(t) = lim n 0 f(τ i )(g(t i ) g(t i 1 )), (1.3.1) gde su podel n i izbrne tčke τ i definisne n isti nčin ko kod Rimnovog integrl (sekcij 1.1). Funkcij f se nziv integrnd, funkcij g integrtor. Vži i d su neprekidne funkcije n [, b] integrbilne po monotono rstućoj funkciji n [, b] u Rimn-Stiltjesovom smislu. Svojstv Rimn-Stiltjesovog integrl: () Nek su f 1, f 2, g ogrničene relne funkcije definisne n segmentu [, b] i c 1, c 2 proizvoljne konstnte. Ako su f 1, f 2 integrbilne po funkciji g n [, b], ond je c 1 f 1 + c 2 f 2 integrbilno po funkciji g n [, b] i pritom vži (c 1 f 1 + c 2 f 2 )dg = c 1 f 1 dg + c 2 f 2 dg. (b) Nek su f, g 1, g 2 ogrničene relne funkcije n [, b] i c 1, c 2 proizvoljne konstnte. Ako je f integrbiln po funkciji g 1 i integrbiln po funkciji g 2 n [, b], ond je f integrbiln po funkciji c 1 g 1 + c 2 g 2 n [, b] i pritom vži fd(c 1 g 1 + c 2 g 2 ) = c 1 fdg 1 + c 2 fdg 2. (c) Ako je f integrbiln funkcij po funkciji g n [, c] i vži <b<c, ond je f integrbiln po funkciji g n [, b] i n [b, c], i pri tome vži jednkost c fdg = fdg Kvdrtn vrijcij funkcije c b fdg. Rzmtrjmo specijln slučj Rimn-Stiltjesovog integrl kd je f = g, td integrl definisn jednčinom im oblik f(t)df(t). Nek je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b]. Dlje, nek su L n i R n Rimnove sume s izbrnim tčkm τ i = t i 1 i τ i = t i respektivno, L n = f(t i 1 )(f(t i ) f(t i 1 )), (1.4.1) 5
9 R n = f(t i )(f(t i ) f(t i 1 )). (1.4.2) Posle sbirnj i oduzimnj levih i desnih strn jednkosti i 1.4.2, dobij se: R n + L n = (f(t i ) 2 f(t i 1 ) 2 ) = f(b) 2 f() 2, (1.4.3) R n L n = (f(t i ) f(t i 1 )) 2. (1.4.4) Posle sbirnj levih i desnih strn jednkosti i dolzimo do jednkosti z R n ( ) Rn = 1 f(b) 2 f() 2 + (f(t i ) f(t i 1 )) 2, 2 dok oduzimnjem dolzimo do jednkosti z L n ( ) L n = 1 f(b) 2 f() 2 (f(t i ) f(t i 1 )) 2. 2 Definicij 1.3. Limes desne strne jednkosti kd n teži nuli, ko postoji, nziv se kvdrtn vrijcij funkcije f n segmentu [, b]. Možemo primetiti d lim R n lim L n ko i smo ko je kvdrtn n 0 n 0 vrijcij funkcije f rzličit od nule. 6
10 2 Slučjno lutnje Ko uvodnu i motivcionu priču o slučjnom lutnju, predstvićemo primer bcnj fer novčić (glv i pismo pdju s jednkom verovtnoćom ) u kojem se gubi ili dobij 1 dinr zvisno od ishod bcnj. Bcnje novčić je nčin d se nek odluk donese slučjnim putem. Opšte je poznto d glv i pismo pdju s istom verovtnoćom. Posmtrćemo bcnje novčić u igri osvjnj/gubljenj novc. Nime, ko pdne glv, osvj se 1 dinr, ko pdne pismo, gubi 1 dinr. Obeležimo s R i i-ti ishod bcnj novčić. Dkle, R i uzim vrednosti 1, ko je u i-tom bcnju pl glv, i 1, ko je i-tom bcnju plo pismo. P {R i = 1} = P {R i = 1} = 1 2 Očigledno je d je ER i = 0 i DR i = 1, ko i d su R i i R j nezvisne slučjne veličine, jer ishod u i-tom bcnju ne zvisi od ishod u j -tom bcnju. Nek je s S i oznčen ukupn količin novc koju neko poseduje nkon i-tog bcnj (uključujući i i-to bcnje). S i = i j=1 Posmtrjmo očekivnje i disperziju z S i : ( i ) E[S i ] = E R j = j=1 R j i ER j = 0, E [ ] ( Si 2 = E R R 1 R ) = i, gde smo koristili d je E(R i R j ) = 0 i d je E(Ri 2 ) = 1. Ovim smo pokzli d igr im svojstvo odsustv pmćenj (bš ko i rulet), što znči d slučjno lutnje ne pmti gde je bilo pre trenutk u kojem se lutnje trenutno nlzi. Posmtrjmo kvdrtno odstupnje i (S j S j 1 ) 2. j=1 Nkon svkog bcnj ponvlj se dogd j: osvj se ili gubi 1 dinr, tko d vži S j S j 1 = 1. Stog je kvdrtno odstupnje uvek i. Ako promenimo prvil bcnj: dozvoljeno je n bcnj u vremenskom t periodu dužine t. Sd, veličin ulog više neće biti 1 dinr, već. n Zdržvmo svojstvo odsustv pmćenj ; rčunmo kvdrtno odstupnje ( ) 2 t (S j S j 1 ) 2 = n = t. n j=1 7 j=1
11 Kko se dužin vremenskog period t približv nuli, slučjno lutnje teži Brunovom kretnju. Z pisnje ovog poglvlj korišćene su knjige [1] i [3]. 2.1 Slučjno lutnje Posmtrjmo slučjno lutnje koje počinje u 0 s jednko verovtnim skokovim h i h u vremenskim trenucim δ, 2δ,..., gde su h i δ pozitivni brojevi. Nek je {X n } n=1 niz nezvisnih i jednko rspodeljenih slučjnih veličin, tkvih d vži P {X j = h} = P {X j = h} = 1 2. S Y δ,h (t) oznčvmo slučjno lutnje i znmo d je Y δ,h (0) = 0 (slučjno lutnje počinje u 0, te je njegov vrednost u početnom trenutku 0) i Y δ,h (nδ) = X 1 + X X n (slučjno lutnje u trenutku nδ jednko je zbiru slučjnih veličin koje odred uju slučjno lutnje do tog trenutk). Z t > 0 i nδ < t < (n + 1)δ, slučjno lutnje u trenutku t, Y δ,h (t) definiše se ko (n + 1)δ t Y δ,h (t) = Y δ,h (nδ) + t nδ Y δ,h ((n + 1)δ). δ δ Znim ns kko se ponš slučjno lutnje kd δ i h teže nuli. Prvo, potrebno je pozbviti se ponšnjem krkteristične funkcije 10 slučjnog lutnj kd δ i h teže nuli, tj. izrčunti: z λ R fiksirno. lim δ,h 0 EeiλY δ,h(t), (2.1.1) Nek je t = nδ, tj. n = t. Td je krkterističn funkcij slučjnog lutnj δ Ee iλy δ,h(t) = n j=1 Ee iλx j = ( Ee ) iλx n j ( = e iλh e iλh 2 ) n = (cos(λh)) n = (cos(λh)) t δ (2.1.2) gde smo iskoristili činjenicu d su slučjne veličine X j nezvisne, te je krkterističn funkcij zbir nezvisnih slučjnih veličin jednk proizvodu krkterističnih funkcij tih slučjnih veličin. 10 Krkterističn funkcij slučjne promenljive X, u oznci ϕ X (t), definiše se ko ϕ X (t) = Ee itx 8
12 Z fiksirne vrednosti λ i t, limes ne postoji kd δ i h nezvisno teže nuli. Stog, d bi ovj limes postojo potrebno je nmetnuti nekkvu vezu izmed u δ i h. Nek je u = (cos(λh)) 1 δ, tj. ln u = 1 ln cos(λh). Z mlu vrednost h vžiće δ cos(λh) λ2 h 2. Imjući u vidu d je ln(1 + x) x, z mlo x, dobij se procen ln cos(λh) ln (1 12 ) λ2 h λ2 h 2. Stog, z mle vrednosti δ i h vži ln u 1 2δ λ2 h 2, odkle sledi N osnovu jednkosti 2.1.2, Posebno, ko vži h 2 = δ, ond vži u e 1 2δ λ2 h 2. Ee iλy δ,h(t) e [ 1 2δ tλ2 h 2 ]. (2.1.3) lim δ 0 EeiλY δ,h(t) = e 1 2 tλ2, λ R. Ovim smo dokzli teoremu koj sledi i koj govori o grničnom procesu slučjnog lutnj Y δ,h kd δ, h 0, u slučju kd je h 2 = δ. Teorem 2.1. Nek je Y δ,h (t) slučjno lutnje koje počinje u 0 s jednko verovtnim skokovim h i h u trenucim δ, 2δ,... Pod pretpostvkom d je h 2 = δ, z svko t 0, limes B(t) = lim δ 0 Y δ,h (t) postoji u rspodeli. S B(t) je oznčen stohstički proces i vži d je Ee iλb(t) = e 1 2 tλ2, λ R. N osnovu Teoreme 2.1, može se očekivti d stohstički proces oznčen s B(t) im sledeć svojstv: 1) Apsolutn vrednost ngib slučjnog lutnj Y δ,h u svkom korku je h δ = 1 δ i teži k beskončnosti kd δ 0. Ovim se pokzuje d nijedn putnj kretnj B(t) nije diferencijbiln nigde. Ako je δ = t s, ond vži B(t) B(s) 1 δ t s = t s ) Skoro sve putnje kretnj B(t) su neprekidne. 3) Z svko t, B(t) je Gusov slučjn veličin s očekivnjem 0 i disperzijom 1. Ovo svojstvo se dobij ko posledic Teoreme ) Stohstički proces B(t) im nezvisne prirštje. Nime, z 0 t 1 < t 2 < < t n slučjne promenljive su nezvisne. B(t 1 ), B(t 2 ) B(t 1 ),..., B(t n ) B(t n 1 ) Svojstv 2), 3), 4) odred uju osnovni stohstički proces koji se zove Brunovo kretnje. 9
13 2.2 Primer slučjnog lutnj Slučjno lutnje može d se simulir u progrmu R. Prikzćemo kod z simulciju ko i grfički prikz slučjnog lutnj. >x0=0 >T=10 >set.seed(100) >x=c(x0,rnorm(t-1)) >y=cumsum(x) >x [1] [3] [5] [7] [9] >y [1] [4] [7] [10] >pr(mr=rep(2,4)) >plot(y,type="l") Slik 1. Slučjno lutnje 10
14 3 Brunovo kretnje Brunovo 11 kretnje ili Vinerov 12 proces zuzim njznčjnije mesto u teoriji slučjnih proces. Botničr Robert Brun prvi je godine opiso proces koji dns nosi njegovo ime. On je nprvio model z kretnje mlih čestic potopljenih u tečnost ili gs. Primetio je d se one kreću hotično po cik-ck putnjm. Albert Ajnštjn je ovj fenomen objsnio ko rezultt sudrnj tih čestic s molekulim sredine koj ih okružuje. Devedeset godin ksnije, godine merički mtemtičr Norbert Viner je do mtemtičku definiciju i osobine proces Brunovog kretnj, te se iz tog rzlog ovj proces nziv i Vinerovim procesom. Z pisnje ovog poglvlj, korišćene su knjig [1] i skript [4]. 3.1 Definicij i osobine Brunovog kretnj Nek je (Ω, F, P ) prostor verovtnoć. Stohstički proces je merljiv funkcij X(t, ω) definisn n prostoru [0, ) Ω. Vži: ) z svko t, X(t, ) je slučjn promenljiv, b) z svko ω, X(, ω) je merljiv funkcij (nziv se putnj). Definicij 3.1. Stohstički proces B(t, ω) nziv se Brunovo kretnje, ko zdovoljv sledeće uslove: 1) P {ω; B(0, ω) = 0} = 1. 2) Z svko s, tkvo d je 0 < s < t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je normlno rspodeljen s očekivnjem 0 i disperzijom t s. Drugim rečim, z bilo koje < b, P { B(t) B(s) b} = 1 b 2π(t s) e x2 2(t s) dx. 3) B(t, ω) im nezvisne prirštje. Z 0 t 1 < t 2 < < t n, slučjne promeljive B(t 1 ), B(t 2 ) B(t 1 ),..., B(t n ) B(t n 1 ), su nezvisne. 4) Skoro sve putnje Brunovog kretnj B(t, ω) su neprekidne funkcije, ili P {ω; B(, ω) je neprekidno} = 1. Brunovo kretnje se ponekd definiše ko stohstički proces B(t, ω) koji zdovoljv uslove 1), 2) i 3) u Definiciji 3.1. Z tkv stohstički proces vži d je B(t, ω) neprekidn funkcij po t, tj. postoji Ω 0 tkv d je P (Ω 0 ) = 1 i z svko ω Ω, B(t, ω) je neprekidn funkcij po t. Brunovo kretnje B(t) u Definiciji 3.1 počinje u 0. Ukoliko Brunovo kretnje ne počinje u 0, to se posebno npomene. 11 Robert Brown ( ), škotski botničr 12 Norbert Wiener ( ), merički mtemtičr 11
15 Teorem 3.1. Z svko t > 0, B(t) je normlno rspodeljeno s očekivnjem 0 i disperzijom t. Z svko s, t 0, vži E[B(s)B(t)] = min{s, t}. Dokz. N osnovu uslov 1) iz Definicije 3.1, B(t) = B(t) B(0), te prvo tvrd enje teoreme sledi iz uslov 2). Kko bismo pokzli drugo tvrd enje teoreme, pretpostvićemo d je s < t. N osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj vži, E[B(s)B(t)] = E[B(s)(B(t) B(s)) + B(s) 2 ] = 0 + s = s. Isti postupk ponvljmo z t < s. očekivnje jednko min{s, t}. Time dolzimo do zključk d je trženo Teorem 3.2. Z fiksirno t 0 0, stohstički proces B(t) = B(t + t 0 ) B(t 0 ) je tkod e Brunovo kretnje. Dokz. Stohstički proces B(t) zdovoljv uslove 1) i 4) iz Definicije 3.1. Z svko s < t, B(t) B(s) = B(t+t 0 ) B(t 0 ) (B(s + t 0 ) B(t 0 )) = B(t+t 0 ) B(s+t 0 ). (3.1.1) N osnovu uslov 2) iz Definicije 3.1, zključujemo d je slučjn veličin B(t) B(s) normlno rspodeljen s očekivnjem 0 i disperzijom (t+t 0 ) (s+t 0 ) = t s. Stog, B(t) zdovoljv uslov 2). Kko bi se proverio uslov 3) z B(t), potrebno je pretpostviti d je t 0 > 0. Td z 0 t 1 < t 2 < < t n, vži 0 < t 0 t 1 + t 0 < t 2 + t 0 < < t n + t 0. N osnovu uslov 3) z B(t), slučjne veličine B(t k + t 0 ) B(t k+1 + t 0 ), k = 1, 2,..., n, nezvisne su. N osnovu jednkosti 3.1.1, slučjne promenljive B(t k ) B(t k 1 ), k = 1, 2,..., n, su nezvisne i time smo pokzli d B(t) zdovoljv i uslov 3) iz definicije Brunovog kretnj. Drugim rečim, Teorem 3.2 govori o tome d Brunovo kretnje u svkom trenutku počinje ko novo Brunovo kretnje. Teorem 3.3. Z svki reln broj λ > 0, stohstički proces B(t) = B(λt)/ λ je tkod e Brunovo kretnje. Dokz. Stohstički proces B(t) zdovoljv uslove 1), 3) i 4) iz definicije Brunovog kretnj. D bismo proverili uslov 2), njpre primetimo d z svko s < t B(t) B(s) = 1 λ (B(λt) B(λs)), što pokzuje d je B(t) B(s) normlno rspodeljeno s očekivnjem 0 i disperzijom 1 λ (λt λs) = t s. Stog, B(t) zdovoljv i uslov 2) iz Definicije 3.1. N osnovu Teoreme 3.3, z svko λ > 0 i 0 t 1 < t 2 <... < t n slučjni vektori ( (B(λt 1 ), B(λt 2 ),..., B(λt n )), λb(t1 ), λb(t 2 ),..., ) λb(t n ) imju iste rspodele. 12
16 3.2 Primer Brunovog kretnj Kko bismo približili pojm Brunovog kretnj, pokzćemo kko se ono simulir u R-u i kko izgled njegov grfik. N=1000 od = rnorm(n, 0, 1) od = cumsum(od) plot(od, type= "l",min= "Brunovo kretnje", xlb="vreme-t", ylb="odstupnje" ) 3.3 Vinerov integrl Slik 2. Brunovo kretnje U prvom poglvlju odgovorili smo n pitnje kko se definiše integrl f(t)dg(t) ko funkcije f i g zdovoljvju odred ene uslove. Ako ti uslovi nisu ispunjeni, tj integrl ne možemo posmtrti ko Rimn-Stiltjesov integrl. Sd rzmtrmo integrl 13
17 f(t)db(t, ω), (3.3.1) gde je f determinističk funkcij (funkcij koj ne zvisi od ω) i B(t, ω) Brunovo kretnje. Ako je f monotono rstuć i neprekidn, g neprekidn funkcij, vži f(t)dg(t) f(t)g(t) b g(t)df(t) (3.3.2) gde je integrl s desne strne definisn ko u jednkosti smo što su f i g zmenili mest. Pretpostvimo d z svko ω Ω želimo d iskoristimo jednkost 3.3.2, kko bismo definisli integrl u Rimn-Stiltjesovom smislu (RS) f(t)db(t, ω) = f(t)b(t, ω) b (RS) B(t, ω)df(t). (3.3.3) U tom slučju, kls funkcij f(t) z koje je definisn integrl (RS) f(t)db(t, ω) z svko ω Ω je ogrničen, odnosno f(t) mor biti neprekidn funkcij ogrničene vrijcije. Stog, z neprekidnu funkciju neogrničene vrijcije ko što je f(t) = t sin 1, 0 < t 1 i f(0) = 0, ne može se koristiti jednčin z definisnje t integrl 1 f(t)db(t, ω) z svko ω Ω. 0 Dkle, potrebn nm je drugčij idej kko bismo definisli integrl f(t)db(t, ω) z širu klsu funkcij f(t). Ovj novi integrl, koji se nziv Vinerov integrl funkcije f, definisn je z sve funkcije f L 2 [, b]. Ovde se s L 2 [, b] oznčv Hilbertov prostor relno vrednosnih funkcij, čiji je kvdrt modul integrbiln funkcij n [, b]. N primer, integrl 1 t sin 1 db(t) je Vinerov integrl. 0 t Definisnje Vinerovog integrl izvešćemo u dv kork: Kork 1. Pretpostvimo d je f prost funkcij dt u obliku f = i 1 [ti 1,t i ), gde su i konstnte, i t 0 =, t n = b. U ovom slučju, definišemo I(f) = i (B(t i ) B(t i 1 )). (3.3.4) Očigledno, I(f + bg) = I(f) + bi(g) z svko, b R i proste funkcije f i g. 14
18 Lem 3.1. Z prostu funkciju f, slučjn promenljiv I(f) je Gusov promenljiv s očekivnjem 0 i disperzijom E(I(f) 2 ) = f(t) 2 dt. (3.3.5) Dokz. Poznto je d je linern kombincij Gusovih slučjnih promenljivih tkod e Gusov slučjn promenljiv. Stog, n osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj (Definicij 3.1), slučjn promenljiv I(f) koj je definisn jednkošću je Gusov promenljiv s očekivnjem 0. Posmtrjmo sd očekivnje kvdrt slučjne promenljive I(f) E(I(f) 2 ) = E i j (B(t i ) B(t i 1 )) (B(t j ) B(t j 1 )). i,j=1 N osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj, i z i j N osnovu ovih jednkosti sledi, E(B(t i ) B(t i 1 )) 2 = t i t i 1, E(B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) = 0. E(I(f) 2 ) = 2 i (t i t i 1 ) = f(t) 2 dt. Kork 2. S L 2 (Ω) oznčvmo Hilbertov prostor koji obuhvt sve relno vrednosne slučjne promenljive iz Ω čiji je kvdrt integrbiln, i u kojem je definisn unutršnji proizvod X, Y = E(XY ). Nek je f L 2 [, b]. Birmo niz prostih funkcij {f n } n=1 tkv d vži f n f u L 2 [, b]. N osnovu Leme 3.1, niz {I(f n )} n=1 je Košijev niz u L 2 [, b], te stog on konvergir u L 2 [, b]. Definišemo I(f) ko limes niz {I(f n )} n=1: I(f) = lim n I(f n), f L 2 (Ω). (3.3.6) D bi I(f) bio dobro definisn, mor se pokzti d je limes niz {I(f n )} n=1 nezvisn od izbor niz {f n }. Pretpostvimo d je {g m } niz funkcij s istim osobinm ko niz {f n }. Td n osnovu linernosti slučjne promenljive I(f) i jednkosti 3.3.5, vži E( I(f n ) I(g m ) 2 ) = E( I(f n g m ) 2 ) = 2 (f n (t) g m (t)) 2 dt ( [fn (t) f(t)] 2 + [g m (t) f(t)] 2) dt 0, 15
19 kd m, n. Z ovu procenu je korišćeno d je f n g m = [f n (t) f(t)] [g m (t) f(t)], ko i nejednkost (x y) 2 2(x 2 + y 2 ). N osnovu prethodnog, dobijmo d je lim I(f n) = lim I(g m) n m u L 2 (Ω). Ovim smo pokzli d je I(f) dobro definisno. Definicij 3.2. Nek je f L 2 [, b]. I(f) koji je definisn ko nziv se Vinerov integrl funkcije f. I(f) = lim n I(f n) Vinerov integrl I(f) funkcije f možemo oznčiti s ( ) b I(f)(ω) = f(t)db(t) (ω), ω Ω, skoro sigurno. Rdi lkšeg zpis, Vinerov integrl ćemo zpisivti ko f(t)db(t). Teorem 3.4. Z svko f L 2 [, b], Vinerov integrl f(t)db(t) je Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem 0 i disperzijom f 2 = f(t)2 dt. Dokz. N osnovu Leme 3.1, tvrd enje teoreme je tčno ko je f prost funkcij. Generlno, ko je f L 2 [, b], tvrd enje vži n osnovu sledeće činjenice: Ako je X n Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem µ n i disperzijom σn 2 i X n konvergir k X u L 2 (Ω), ond je X Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem µ = lim µ n i disperzijom σ 2 = lim n n σ2 n. Posledic 3.1. Ako f, g L 2 [, b], td E(I(f)I(g)) = f(t)g(t)dt. Posebno, ko su f i g ortogonlne, ond su Gusove slučjne promenljive I(f) i I(g) nezvisne. Dokz. N osnovu linernosti promeljive I i Teoreme 3.4, immo E [ (I(f) + I(g)) 2] = E [ (I(f + g)) 2] = = (f(t) + g(t)) 2 dt f(t) 2 dt + 2 f(t)g(t)dt + g(t) 2 dt. (3.3.7) 16
20 S druge strne, Teorem 3.4 tkod e obezbed uje E[(I(f) + I(g)) 2 ] = E [ I(f) 2 + 2I(f)I(g) + I(g) 2] = Polzno tvrd enje sledi iz jednkosti i f(t) 2 dt + 2E[I(f)I(g)] + g(t) 2 dt. (3.3.8) Primer 3.1. Vinerov integrl 1 sdb(s) je Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem 0 0 i disperzijom 1 0 s2 ds = 1. 3 Teorem 3.5. Nek je f neprekidn funkcij ogrničene vrijcije. Td, z skoro svko ω Ω, ( ) f(t)db(t) (ω) = (RS) f(t)db(t, ω), gde je lev strn jednkosti Vinerov integrl funkcije f, desn strn jednkosti je Rimn-Stiltjesov integrl funkcije f koji je definisn jednkošću Dokz. Z svku podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } segment [, b], definišemo prostu funkciju f n ko f n = f(t i 1 )1 [ti 1,t i ). Primetimo d f n konvergir k f u L 2 [, b] kd n, tj. kd n 0. Stog, n osnovu definicije Vinerovog integrl koje je predstvljen jednkošću vži f(t)db(t) = lim f(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), (3.3.9) n u L 2 [, b]. S druge strne, n osnovu jednčine 3.3.3, sledeći limes vži z sve ω Ω O z neko Ω O z koje vži P (Ω O ) = 1, (RS) f(t)db(t, ω) = f(b)b(b, ω) f()b(, ω) lim n = lim n ( f(b)b(b, ω) f()b(, ω) B(t i, ω)(f(t i ) f(t i 1 )) ) B(t i, ω)(f(t i ) f(t i 1 )). Nkon grupisnj sbirk, dobij se jednkost z svko ω iz Ω O : (RS) f(t)db(t) = lim n f(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )). (3.3.10) Kko L 2 (Ω) konvergencij povlči konvergenciju podniz skoro sigurno, možemo izbrti tkv podniz f n z koji se dobij tvrd enje teoreme n osnovu jednkosti i
21 3.4 Mrtingli Nek je f L 2 [, b]. Posmtrjmo stohstički proces M t = f(s)db(s), t b. (3.4.1) U ovoj sekciji pokzćemo d je stohstički proces M t mrtingl. Kko bi se uvel definicij mrtingl, potrebno je definisti pojm filter. Definicij 3.3. Nek je T intervl u R ili skup pozitivnih brojev. Filter n T je rstuć fmilij σ-polj {F t t T }. Kže se d je stohstički proces X t, t T prilgod en filteru {F t t T } z svko t T, ko je slučjn promenljiv X t F t - merljiv. σ-polje F je kompletno ko A F i P (A) = 0, što povlči to d B F z svko B podskup skup A. U ovom rdu, pretpostvljćemo d su sv σ-polj F t kompletn. Definicij 3.4. Nek je X t stohstički proces koji je prilgod en filteru F t i E X t < z svko t T. Td se kže d je X t mrtingl u odnosu n {F t }, ko z svko s t u skupu T skoro sigurno vži E{X t F s } = X s. Kd se ne nglsi drugčije, filter {F t } se posmtr ko F t = σ{x s ; s t}. Koncept mrtingl je uopštenje niz prcijlnih sum koje proizilze iz niz nezvisnih i jednko rspodeljenih slučjnih veličin {X n } s očekivnjem 0. Nek je S n = X X n. Td je niz {S n } mrtingl. Nek je B(t) Brunovo kretnje, i Td, z svko s t vži F t = σ{b s ; s t}. E{B(t) F s } = E{B(t) B(s) F s } + E{B(s) F s }. Kko je B(t) B(s) nezvisno od F s, n osnovu osobine mtemtičkog očekivnj vži jednkost E{B(t) B(s) F s } = E{B(t) B(s)}. U sekciji Definicij i osobine Brunovog kretnj je utvrd eno d je očekivnje Brunovog kretnj B(t) jednko 0, tj. EB(t) = 0. Stog, E{B(t) B(s) F s } = 0. S druge strne, B(s) je F s -merljivo, te je E{B(s) F s } = B(s). 18
22 Kko je n osnovu ovih dobijenih jednkosti polzno očekivnje jednko B(s), tj. E{B(t) F s } = B(s) z svko s t. Ovim je pokzno d je Brunovo kretnje B(t) mrtingl. Teorem 3.6. Nek je f L 2 [, b]. Td je stohstički proces M t = f(s)db(s), t b, mrtingl u odnosu n filter F t = σ{x s ; s t}. Dokz. Prvo, potrebno je d dokžemo d je E M t < z svko t [, b] kko bismo izrčunli uslovno očekivnje z M t. Primenom Teoreme 3.4 dobij se E( M t 2 ) = f(s) 2 ds f(s) 2 ds. Stog, E M t {E( M t 2 )} 1 2 <. Sledeće što je n redu d dokžemo jeste d vži E{M t F s } = M s z svko s t. Vži M t = M s + i M s je F s -merljivo. Stog, { E{M t F s } = M s + E s f(u)db(u) s f(u)db(u) F s }. Dovoljno je d se pokže d z svko s t, { } E f(u)db(u) F s = 0. (3.4.2) Z početk, pretpostvimo d je f prost funkcij s f = i 1 [ti 1,t i ), gde je t 0 = s i t n = t. U ovom slučju, immo s f(u)db(u) = i (B(t i ) B(t i 1 )). Znmo d su B(t i ) B(t i 1 ), i = 1,..., n nezvisne od σ-polj F s. Stog, E{B(t i ) B(t i 1 ) F s } = 0 z svko i. Sd, pretpostvimo d je f L 2 [, b]. Izbrćemo niz prostih funkcij {f n } n=1 koji konvergir k f u L 2 [, b]. 19
23 Koristićemo Jensenovu nejednkost koj glsi: Nek je X L 1 (Ω). Pretpostvimo d je f konveksn funkcij n R i f(x) L 1 (Ω). Td vži Nejednkost f (E[X F]) E[f (X) F]. E{X F} 2 E{X 2 F} proizilzi n osnovu Jensenove nejednkosti z f(x) = x 2. Dlje sledi { } 2 E (f n (u) f(u))db(u) F s s { ( ) 2 } E (f n (u) f(u))db(u) F s. s Ako iskoristimo činjenicu d je E(E{X F}) = E(X) (ov jednkost sledi iz činjenic d je uslovno očekivnje E{X F} jednko očekivnju od X) i Teoremu 3.4 dobijmo sledeće { } 2 E E (f n (u) f(u))db(u) F s (f n (u) f(u)) 2 du s s 0, (f n (u) f(u)) 2 du kd n. Stog, niz slučjnih veličin E{ f s n(u)db(u) F s } konvergir k E{ f(u)db(u) F s s} u L 2 (Ω). Primetimo d konvergencij u L 2 (Ω) povlči konvergenciju u verovtnoći, što dlje povlči egzistenciju podniz koji konvergir skoro sigurno. Stog, birnjem podniz ko je potrebno, možemo d zključimo s verovtnoćom 1, { } { } lim E f n (u)db(u) F s = E f(u)db(u) F s. (3.4.3) n s Pokzli smo d jednčin vži z proste funkcije, te sledi d je E{ s f n (u)db(u) F s } = 0. Stog, n osnovu jednkosti 3.4.3, vži { } E f(u)db(u) F s = 0, što znči d jednkost vži z svku funkciju f L 2 [, b]. s s 20
24 4 Itoov stohstički integrl Nek je B(t, ω) Brunovo kretnje. U ovom poglvlju bvićemo se prvim stohstičkim integrlom f(t, ω)db(t, ω) koji je definiso Ito u svom rdu 1944.godine. Integrnd f(t, ω) je stohstički proces u odnosu n filter F t = σ{b(s); s t} i E ( f(t) 2 ) <. Kd je integrnd determinističk funkcij f(t), Itoov integrl f(t)db(t, ω) svodi se n Vinerov integrl koji smo definisli u poglvlju 3. Z pisnje ovog poglvlj korišćene su knjige [1], [2], [3] i [6]. 4.1 Uvod u stohstičke integrle Nek je B(t) Brunovo kretnje, i pretpostvimo d je f(t) determinističk funkcij koj pripd prostoru L 2 [, b]. U sekciji Mrtingli, pokzno je d je stohstički proces M t = f(s)db(s), t b mrtingl. Kd se u istoj rečenici nd u pojm mrtingl i pojm stohstičkog integrl, prirodno se nmeće pitnje kko se može definisti stohstički integrl f(t, ω)db(t, ω) z stohstički proces f(t, ω) tko d stohstički proces M t = f(s, ω)db(s, ω), t b jeste mrtingl. Odgovor n ovo pitnje ne nmeće se sm po sebi, te stog je potrebno vrtiti se n početke priče o integrlim. Posmtr se primer gde je f(t) = B(t), tko d integrl, koji se rzmtr, sd im oblik B(t)dB(t). Primenom Rimnovih sum i n ovj integrl z intervl [t i 1, t i ], dobijju se L n = B(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), (4.1.1) R n = B(t i )(B(t i ) B(t i 1 )). (4.1.2) gde su izbrne tčke z L n i R n krjnj lev tčk t i 1 i krjnj desn tčk t i segment [t i 1, t i ]. Ko u jednkosti 1.4.4, vži R n L n = (B(t i ) B(t i 1 )) 2. (4.1.3) 21
25 Ako limes lim n (R n L n ) postoji, ond je on kvdrtn vrijcij Brunovog kretnj B(t). Teorem 4.1. Nek je n = { = t 0, t 1,..., t n 1, t n = b} podel končnog intervl [, b]. Td vži (B(t i ) B(t i 1 )) 2 b (4.1.4) u prostoru L 2 (Ω) kd n = mx 1 i n (t i t i 1 ) 0. Dokz. Primetimo d je b = n (t i t i 1 ), i nek je Φ n = [ (B(ti ) B(t i 1 )) 2 (t i t i 1 ) ] = X i, (4.1.5) gde je X i = (B(t i ) B(t i 1 )) 2 (t i t i 1 ). Dlje vži, Φ 2 n = X i X j. (4.1.6) i,j=1 Z i j, očekivnje proizvod slučjnih veličin X i i X j je jednko nuli zbog tog što Brunovo kretnje B(t) im nezvisne prirštje i još vži E(B(t) B(s)) 2 = t s. S druge strne, E [(B(t) B(s)) 4 ] = 3(t s) 2 i z i = j u jednkosti dobij se E(X 2 i ) = E{(B(t i ) B(t i 1 )) 4 2(t i t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )) 2 + (t i t i 1 ) 2 } = 3(t i t i 1 ) 2 2(t i t i 1 ) 2 + (t i t i 1 ) 2 = 2(t i t i 1 ) 2. (4.1.7) Dlje iz jednkosti 4.1.6, EΦ 2 n = 2(t i t i 1 ) 2 2 n (t i t i 1 ) = 2(b ) n 0, kd n 0. Ovim smo pokzli d Φ n konvergir k 0 u L 2 (Ω). Stog iz jednkosti sledi d vži jednkost Sd primenjujemo Teoremu 4.1 n jednkost d bismo zključili d vži lim (R n L n ) = b n 0 22
26 u L 2 (Ω). N osnovu tog možemo zključiti d Primetimo d vži R n + L n = = lim R n n 0 lim L n. n 0 (B(t i ) + B(t i 1 ))(B(t i ) B(t i 1 )) ( B(ti ) 2 B(t i 1 ) 2) = B(t n ) 2 B(t 0 ) 2 = B(b) 2 B() 2. (4.1.8) Očigledno, sledi iz jednčin i d ( ) R n = 1 B(b) 2 B() 2 + (B(t i ) B(t i 1 )) 2, 2 L n = 1 2 ( B(b) 2 B() 2 N osnovu Teoreme 4.1 može se izrčunti: ) (B(t i ) B(t i 1 )) 2. lim R n = 1 ( B(b) 2 B() 2 + (b ) ), (4.1.9) n 0 2 lim L n = 1 ( B(b) 2 B() 2 (b ) ). (4.1.10) n 0 2 Pitnje je koje od ove dve jednkosti ( i 4.1.9) treb uzeti ko jednkost koj odgovr integrlu B(t)dB(t). Zprvo, koju krnju tčku, levu ili desnu, treb uzeti z procenu integrnd. U jednkostim i uvrstimo d je = 0 i b = t, kko bismo definisli stohstičke procese R(t) i L(t): R(t) = 1 2 (B(t)2 + t), L(t) = 1 2 (B(t)2 t). Primetimo d je očekivnje proces R(t) jednko t. Možemo zključiti d R(t) nije mrtingl, jer očekivnje od mrtingl mor biti konstnt. S druge strne, L(t) jeste mrtingl. Nek je F t = σ{b(s); s t}. Td, z svko s t, E(L(t) F s ) = 1 2 E(B(t)2 F s ) 1 t. (4.1.11) 2 Uslovno očekivnje im sledeće osobine: 1) Ako su X i F nezvisne, td je E(X F) = EX. 2) Ako je X F-merljivo, td je E(XY F) = XE(Y F), tj. E(X F) = X. 23
27 Kko su B(t) B(s) i B(u) nezvisne z svko u s, sledi d su B(t) B(s) i F s nezvisne. Odtle, E(B(t) 2 F s ) = E ( (B(t) B(s) + B(s)) 2 F s ) = E ( (B(t) B(s)) 2 + 2B(s)(B(t) B(s)) + B(s) 2 F s ) = E(B(t) B(s)) 2 + 2B(s)E(B(t) B(s)) + B(s) 2 = t s + B(s) 2 Primenom jednkosti E(B(t) 2 F s ) = t s + B(s) 2 u jednkost dobijmo E(L(t) F s ) = L(s), s t. Ovim smo pokzli d je L(t) mrtingl. Možemo zključiti d ko želimo d sčuvmo osobinu mrtingl pri definisnju stohstičkog integrl f(s)db(s), potrebno je d uzmemo krjnju levu tčku svkog podintervl ko tčke procene. Posmtrjmo sd primer X(t) = 0 B(1)dB(s), 0 t 1. Intuitivno, očekujemo d je X(t) = B(1)B(t). Ali, stohstički proces X(t) nije mrtingl jer E[B(1)B(t)] = min{1, t} = t nije konstnt. Stog integrl t B(1)dB(s) nije ono što smo očekivli. Rzlog iz kog je ovj integrl nedefinisn, 0 ko želimo d sčuvmo svojstvo mrtingl, jeste tj što integrnd B(1) nije prilgod en filteru σ{b(s); s t}, 0 t 1. Bitn npomen po pitnju integrnd jeste d d bi stohstički integrl t f(s)db(s) imo svojstvo mrtingl, potrebno je d integrnd bude prilgod en filteru {F t }. Generlno, dozvolićemo d {F t } bude veći filter od onog koji je dt Brunovim kretnjem, {F t } σ{b(s); s t} s svko t. 4.2 Itoov stohstički integrl U ovoj sekciji, posmtrmo B(t) ko Brunovo kretnje i filter {F t ; t b}, tkve d zdovoljvju sledeće uslove: 1) Z svko t, B(t) je F t -merljivo; 2) Z svko s t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je nezvisn od σ-polj F s. S L 2 d ([, b] Ω) oznčv se prostor svih stohstičkih proces f(t, ω), t b, ω Ω z koje vže uslovi: 1) f(t, ω) je prilgod eno filteru {F t }; 2) E( f(t) 2 )dt <. 24
28 U definisnju stohstičkog integrl f(t)db(t), f L 2 d([, b] Ω) (4.2.1) korišćen je originln Itoov idej. Kko bi se ov idej lkše sprovel u delo, prič je podeljen n 3 kork. U korku 1 definiše se stohstički integrl z proste stohstičke procese u L 2 d ([, b] Ω). Ztim, u korku 2, biće prikzn dokz glvne leme o proksimciji. I njzd, u korku 3 se definiše stohstički integrl z uopštene procese u L 2 d ([, b] Ω) Kork 1 Nek je f prost stohstički proces u L 2 d ([, b] Ω), koji je definisn n sledeći nčin: f(t, ω) = ξ i 1 (ω)1 [ti 1,t i )(t), gde je ξ i 1 F ti 1 -merljivo i još E(ξ 2 i 1) <. Lem 4.1. Nek je Ond je E(I(f)) = 0 i I(f) = ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 )). (4.2.2) E( I(f) 2 ) = E( f(t) 2 )dt. (4.2.3) Dokz. Prvo dokzujemo d je očekivnje od I(f) jednko nuli. Z svko 1 i n u jednkosti vži: E{ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 ))} = E{E[ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 )) F ti 1 ]} U dokzu je korišćeno svojstvo = E{ξ i 1 E[(B(t i ) B(t i 1 )) F ti 1 ]} = E{ξ i 1 E(B(t i ) B(t i 1 ))} = 0. E[B(t i ) B(t i 1 ) F ti 1 ] = E(B(t i ) B(t i 1 )) = 0. Kko bi se dokzlo drugo tvrd enje leme, potrebno je njpre videti čemu je jednko I(f) 2. I(f) 2 = ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) i,j=1 25
29 Z i j i z i < j E{ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 ))} = E{E[ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) F tj 1 ]} = E{ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))E[(B(t j ) B(t j 1 )) F tj 1 ]} = 0 (4.2.4) S druge strne, z i = j E{ξ 2 i 1(B(t i ) B(t i 1 ))} = E{E[ξ 2 i 1(B(t i ) B(t i 1 )) 2 F ti 1 ]} = E{ξ 2 i 1E[(B(t i ) B(t i 1 )) 2 ]} = E{ξ 2 i 1(t i t i 1 )} = (t i t i 1 )E(ξ 2 i 1). (4.2.5) S ov dv slučj je pokriven dokz drugog tvrd enj leme, tj. jednkost sledi iz jednkosti i Kork 2 Lem 4.2. Pretpostvimo d je f L 2 d ([, b] Ω). Td postoji niz prostih stohstičkih proces {f n (t); n 1} u L 2 d ([, b] Ω) tkv d vži lim n E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. Dokz. Kko bi bio pregledniji, dokz je podeljen n specijlne slučjeve i n opšti slučj. Slučj 1: E(f(t)f(s)) je neprekidn funkcij po (t, s) [, b] 2. U ovom slučju, nek je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b] i definišimo stohstički proces f n (t, ω) ko f n (t, ω) = f(t i 1, ω), t i 1 < t t i. (4.2.6) Td je {f n (t, ω)} niz prilgod enih prostih stohstičkih proces. N osnovu neprekidnosti E(f(t)f(s)) n [, b] 2 što dlje povlči d z svko t [, b] vži Rdi dlje bolje procene, koristićemo nejednkost lim E{ f(t) s t f(s) 2 } = 0, (4.2.7) lim E{ f(t) f n(t) 2 } = 0. (4.2.8) n α β 2 2( α 2 + β 2 ) 26
30 i dolzimo do Stog z svko t b vži, f(t) f n (t) 2 2( f(t) 2 + f n (t) 2 ). E{ f(t) f n (t) 2 } 2(E{ f(t) 2 } + E{ f n (t) 2 }) 4 sup E{ f(s) 2 }, (4.2.9) s b Teorem 4.2. (Lebegov teorem o dominntnoj konvergenciji) Nek je (X, M, µ) prostor s merom, i nek je f n : X C, niz funkcij koji z svko x X konvergir k funkciji f. Ako postoji integrbiln (n X) funkcij g, tkv d z sve n N i sve x X vži f n (x) g(x), td vži lim n X f n dµ = Dokz ove teoreme se može nći u knjizi [6]. X lim f ndµ. n N osnovu Lebegove teoreme o dominntnoj konvergenciji može se zključiti lim n Slučj 2: f je ogrničen stohstički proces. E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. U ovom slučju, definišemo stohstički proces g n ko g n (t, ω) = n(t ) 0 e τ f(t n 1 τ, ω)dτ. Primetimo d je stohstički proces g n prilgod en filteru {F t } i E( g n(t) 2 )dt <. Tvrd enje (): Z svko n, E(g n (t)g n (s)) je neprekidn funkcij od (t, s). Kko bi se dokzlo ovo tvrd enje, uvodimo smenu u = t n 1 τ u stohstički proces g n (t, ω) g n (t, ω) = ne n(t u) f(u, ω)du, što može poslužiti kko bi se došlo do jednkosti lim E{ g n(t) g n (s) 2 } = 0. t s Tvrd enje (b): E( f(t) g n(t) 2 )dt 0 kd n. Primetimo d vži f(t) g n (t) = 0 e τ (f(t) f(t n 1 τ))dτ, 27
31 gde f(t) im vrednost nul z t <. Kko je e τ dτ verovtnoć mere n [0, ), može se primeniti Švrcov nejednkost kko bi se došlo do Td, f(t) g n (t) 2 0 f(t) f(t n 1 τ) 2 e τ dτ. E( f(t) g n (t) 2 )dt = = 0 0 e τ E( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dτdt ( ) e τ E( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dt dτ ( ) e τ E ( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dt dτ. (4.2.10) 0 Prem pretpostvci d je f ogrničen stohstički proces, vži skoro sigurno kd n. Ovim je dokzno Tvrd enje (b). f(t, ) f(t n 1 τ, ) 2 dt 0 (4.2.11) Sd, n osnovu Tvrd enj () može se primeniti Slučj 1 n g n z svko n z prilgod eni prosti stohstički proces f n (t, ω) tkv d vži N osnovu Tvrd enj (b) i nejednkosti , vži E( g n (t) f n (t) 2 )dt 1 n. (4.2.12) lim n Ovim je kompletirn dokz Slučj 2. Slučj 3: Opšti slučj z f L 2 d ([, b] Ω). E( f(t) f n (t) 2 )dt = 0. (4.2.13) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Z svko n, definišemo g n(t, ω) tko d je g n (t, ω) = f(t, ω), ko je f(t, ω) n, i g n (t, ω) = 0, ko je f(t, ω) > n. N osnovu Teoreme 4.2, E( f(t) g n (t) 2 )dt 0 (4.2.14) 28
32 kd n. Sd, z svko n možemo d primenimo Slučj 2 n g n stohstički proces f n (t, ω) tko d vži z prilgod eni prosti E( g n (t) f n (t) 2 )dt 1 n. (4.2.15) Kko tvrd enje u lemi proizilzi iz i , ovim smo upotpunili dokz leme Kork 3 U ovom poslednjem, trećem korku, možemo d koristimo sve što smo dokzli u Korku 1 i Korku 2, kko bismo definisli stohstički integrl f(t)db(t), f L 2 d([, b] Ω). Primenjujemo lemu iz Kork 2 kko bismo dobili niz prilgod enih stohstičkih proces {f n (t, ω); n 1} z koji vži tvrd enje iz Leme 4.2. Z svko n, I(f n ) je definisno u Korku 1. N osnovu Leme 4.1, vži E( I(f n ) I(f m ) 2 ) = kd n, m. Stog, niz {I(f n )} je Košijev niz u L 2 (Ω), i vži u L 2 (Ω). Definicij 4.1. Limes E( f n (t)) f m (t) 2 )dt 0 I(f) = lim n I(f n), I(f) = lim n I(f n) (4.2.16) u L 2 (Ω), nziv se Itoov integrl stohstičkog proces f i oznčv se s f(t)db(t). Može se primetiti d z svke, b R i z f, g L 2 d ([, b] Ω) vži I(f + bg) = I(f) + bi(g). Teorem 4.3. Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Td je Itoov integrl I(f) = f(t)db(t) slučjn promenljiv s očekivnjem 0 i još vži E( I(f) 2 ) = E( f(t) 2 )dt. Kko je I linern, z svko f, g L 2 d ([, b] Ω), vži sledeć jednkost ( ) E f(t)db(t) g(t)db(t) = E(f(t)g(t))dt. 29
33 4.3 Rimnove sume i stohstički integrli Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Z podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, b] definišemo Rimnovu sumu funkcije f u odnosu n Brunovo kretnje B(t) ko f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )). (4.3.1) Znim ns d li sum teži Itoovom integrlu f(t)db(t). Pretpostvimo d je E (f(t)f(s)) neprekidn funkcij po t i s. Definišemo stohstički proces f n ko u jednkosti f n (t, ω) = f(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Kko je pokzno u Slučju 1 u dokzu Leme 4.2, immo lim n N osnovu jednkosti , u L 2 (Ω). N osnovu jednkosti E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. f(t)db(t) = lim n I(f n) I(f n ) = = f n (t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) dolzimo do Rimnove sume Ovim smo dokzli sledeću teoremu. Teorem 4.4. Nek je f L 2 d ([, b] Ω) i pretpostvimo d je E (f(t)f(s)) neprekidn funkcij po t i s. Td f(t)db(t) = lim f(t i 1) (B(t i ) B(t i 1 )) n 0 u L 2 (Ω), gde je n = { = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b} i n = mx 1 i n (t i t i 1 ). 30
34 5 Primeri stohstičkih integrl Z pisnje ovog poglvlj korišćen je knjig [1]. Primer 5.1. B(t)dB(t) = 1 2 {B(b)2 B() 2 (b )}. U sekciji Uvod u stohstičke integrle pokušli smo d definišemo integrl B(t)dB(t). Kd koristimo krjnje leve tčke svkog podintervl u podeli intervl [, b] kko bi se ocenio integrnd, dobij se sum L n (jednkost 4.1.1). Ako se limes sume L n kd n posmtr ko integrl, ond iz jednkosti immo B(t)dB(t) = 1 2 {B(b)2 B() 2 (b )}. (5.0.2) Postvlj se pitnje d li je ov vrednost jednk integrlu B(t)dB(t) koji je definisn u sekciji Itoov stohstički integrl? Jedn od osobin Brunovog kretnj jeste d je E(B(t)B(s)) = min{t, s} neprekidn funkcij po t i s. Stog, može se primeniti Slučj 1 iz dokz Leme 4.2, z integrnd f(t) = B(t) i podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, b], z definisnje stohstičkog proces f n (t, ω): f n (t, ω) = B(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Dlje, n osnovu Kork 2 u definisnju stohstičkog integrl u prethodnom poglvlju, možemo videti d je stohstički integrl B(t)dB(t) definisn ko B(t)dB(t) = lim n I(f n), u L 2 (Ω). Sd, n osnovu jednkosti u Korku 1, kd smo definisli stohstički integrl, I(f n ) zdto je ko I(f n ) = B(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), i time dobijmo L n u jednkosti N ovj nčin smo pokzli d vži početn jednkost. Primer 5.2. B(t)2 db(t) = 1 3 (B(b)3 B() 3 ) B(t)dt Služimo se istom idejom ko u primeru 5.1. Pretpostvljmo d je integrl B(t)dt Rimnov integrl od B(t, ω) z skoro svko ω Ω. Rzmotrimo sledeće: E [ B(t) 2 B(s) 2] = E [ ((B(t) B(s)) + B(s)) 2 B(s) 2] = E [ {(B(t) B(s)) 2 + 2B(s) (B(t) B(s)) + B(s) 2 }B(s) 2] = (t s)s + 3s 2 = ts + 2s 2 31
35 Primetimo d je E [B(t) 2 B(s) 2 ] neprekidn funkcij po t i s. Stog možemo d primenimo Slučj 1 iz dokz Leme 4.2 ko z integrnd uzmemo f(t) = B(t) 2. Z podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } segment [, b], definišemo stohstički proces f n (t, ω) ko f n (t, ω) = B(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Stohstički integrl B(t)2 db(t) je zdt ko B(t) 2 db(t) = lim n gde vži konvergencij u L 2 (Ω). Vži i 3 B(t i 1 ) 2 (B(t i ) B(t i 1 )) (5.0.3) B(t i 1 ) 2 (B(t i ) B(t i 1 )) = B(b) 3 B() 3 3 (B(t i ) B(t i 1 )) 3 B(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) 2 (5.0.4) Kko bi pokzli čemu je jednk sum koj figuriše n desnoj strni prethodne jednkosti, koristi se činjenic d je E B(t) B(s) 6 = 15 t s 3 i dobijmo 2 E (B(t i ) B(t i 1 )) 3 = 15 (t i t i 1 ) 3 15 n 2 (b ) 0. (5.0.5) S druge strne, z drugu sumu u jednkosti 5.0.5, možemo modifikovti rgumente u dokzu Teoreme 4.1 koristeći uslovno očekivnje ko u dokzu Leme 4.1 kko bi se dobil nejednkost E n B(t i 1) (B(t i ) B(t i 1 )) 2 n B(t i 1)(t i t i 1 ) 2 = 2t i 1 (t i t i 1 ) 2 2b(b ) n 0. (5.0.6) Nejednkost znči d prv sum s desne strne jednkosti konvergir k 0 u L 2 (Ω), dok nejednkost znči d drug sum s desne strne jednkosti konvergir k B(t)dt. Stog, zključujemo iz jednkosti i d proizilzi ono što je bilo potrebno dokzti u primeru. 32
36 6 Primen Itoovog stohstičkog integrl Primen Itoovog stohstičkog integrl je širok pojm te ćemo se u ovom poglvlju koncentristi n Itoovu formulu u njenom njjednostvnijem obliku i njenu primenu, n stohstičke procese koji se oslnjju n Itoov stohstički integrl, i n linerne stohstičke diferencijlne jednčine. 6.1 Itoov formul Z pisnje ove sekcije korišćen je knjig [1]. U Njutn-Ljbnicovom rčunu, jedn od njbitnijih mtemtičkih lt bez sumnje je formul d dt f(g(t)) = f (g(t))g (t) z diferencijbilne funkcije f i g. On se može zpisti i u obliku integrl ko f(g(t)) f(g()) = f (g(s))g (s)ds. S druge strne, jedno od njbitnijih prvil u Itoovom rčunu jeste f(b(t)) = f(b()) + f (B(s))dB(s) f (B(s))ds z Brunovo kretnje B(t) i dv put diferencijbilnu funkciju f. Ov formul se često piše u diferencijlnom obliku df(b(t)) = f (B(t))dB(t) f (B(t))dt. Pojv sbirk 1 2 f (B(t))dt je posledic nenul kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t). U ovoj sekciji predstvićemo proslvljenu Itoovu formulu u svom njjednostvnijem obliku Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku Njutn-Ljbnicov formul rdi s determinističkim funkcijm. Ako su funkcije f i g diferencijbilne, ond je f(g(t)) tkod e diferencijbiln i vži d dt f(g(t)) = f (g(t)) g (t). 33
37 Dlje će vžiti jednkost f(g(t)) f(g()) = f (g(s)) g (s)ds. (6.1.1) Itoov rčun se bvi slučjnim funkcijm, tj. slučjnim procesim. Nek je B(t) Brunovo kretnje i f diferencijbiln funkcij. Posmtrjmo kompoziciju funkcij f(b(t)). Kko su skoro sve putnje Brunovog kretnj B(t) nigde diferencijbilne, jednkost d dt f (B(t)) = f (B(t)) B (t) očigledno nem nikkvo znčenje. Postvlj se pitnje d li jednkost f(b(t)) f(b()) = f (B(s))dB(s) (6.1.2) vži z svku diferencijbilnu funkciju f. Integrl f (B(s))dB(s) je Itoov stohstički integrl koji je definisn u poglvlju 4 tko d f (B(t)) pripd L 2 d ([, b] Ω). Z funkciju f(x) = x 2, jednkost se svodi n B(t) 2 B() 2 = 2 B(s)dB(s), što je u kontrdikciji s Primerom 5.1 iz poglvlj 5 s smenom b = t, B(t) 2 B() 2 (t ) = 2 B(s)dB(s). Dolzimo do zključk d jednkost ne vži z svku diferencijbilnu funkciju f. Sd se postvlj pitnje d li postoji formul z kompoziciju funkcij f(b(t)) koj će d posluži ko prvilo u integrlnoj formi z Itoov rčun. Kko bismo odgovorili n ovo pitnje, posmtrćemo podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, t]. Td immo f(b(t)) f(b()) = (f(b(t i )) f(b(t i 1 ))). (6.1.3) Nek je f C 2 -funkcij (dv put diferencijbiln i drugi izvod f neprekidn). Td immo Tejlorov rzvoj f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 + λ(x x 0 )) (x x 0 ) 2, gde je 0 < λ < 1. Dlje n osnovu jednkosti vži f(b(t)) f(b()) = f ( ) ( ) B ti 1 Bti B ti f ( B ti 1 + λ i (B ti B ti 1 ) ) (B ti B ti 1 ) 2, (6.1.4) 34
38 gde je 0 < λ i < 1, s B t je oznčeno Brunovo kretnje B(t) rdi lkšeg zpis. Kko bismo došli do teoreme koj obezbed uje jednkost koj se nziv Itoov formul, mormo njpre d uvedemo uopštenje z stohstičke integrle. Stohstički integrl f(t)db(t) z stohstički proces f(t, ω) zdovoljv uslove: 1) f(t) je prilgod en filteru {F t }; 2) f(t) 2 dt < skoro sigurno. Uslov 2) znči d su skoro sve putnje funkcije u Hilbertovom prostoru L 2 [, b]. S L d (Ω, L 2 [, b]) oznčićemo prostor stohstičkih proces f(t, ω) koji zdovoljv uslove 1) i 2). Teorem 6.1. Pretpostvimo d je f neprekidni {F t }-prilgod en stohstički proces. Td f L d (Ω, L 2 [, b]) i f(t)db(t) = lim n 0 f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )), u verovtnoći, gde je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel končnog intervl [, b] i n = mx 1 i n (t i t i 1 ). Više o uopštenju stohstičkih integrl, ko i dokz ove teoreme, nlzi se u knjizi [1]. N prvu sumu u jednkosti može se primeniti Teorem 6.1: lim n 0 f ( ) ( ) t B ti 1 Bti B ti 1 = f (B(s)) db(s) u verovtnoći. Posmtrjmo sd drugu sumu u jednkosti N osnovu Teoreme 4.1, možemo zključiti koji je limes te sume u smislu kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t): f ( B ti 1 + λ i (B ti B ti 1 ) ) (B ti B ti 1 ) 2 kd n 0. f (B(s)) ds (6.1.5) Uzimjući u obzir prethodnu priču, dolzimo do teoreme koju je Ito dokzo godine. 35
39 Teorem 6.2. Nek je f(x) C 2 -funkcij. Td f(b(t)) f(b()) = f (B(s)) db(s) f (B(s)) ds (6.1.6) gde je prvi integrl Itoov integrl, dok je drugi integrl Rimnov integrl z svku putnju od B(s). Primetimo d je poslednji sbirk u jednkosti posledic nenul kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t). Ovj dodtni podtk rzlikuje Itoov rčun od Njutn-Ljbnicovog rčun. Dokz Teoreme 6.2 može se nći u knjizi [1] Primen Itoove formule Primer 6.1. f(x) = x 2. Zmenom u jednkost 6.1.6, dobijmo B(t) 2 B() 2 = 2 B(s)dB(s) + (t ). Kd je t = b gornj jednkost prelzi u jednkost iz Primer 5.1: Primer 6.2. f(x) = x 4. B(t)dB(t) = 1 2 Jednkost postje ( B(t) 4 = B() ( B(b) 2 B() 2 (b ) ). ) B(s) 3 db(s) + 6 Gornj jednkost dje vrednost Itoovog integrl Primer 6.3. f(x) = e x. Jednkost postje B(s) 2 ds. B(s) 3 db(s) = 1 ( B(t) 4 B() 4) 3 B(s) 2 ds. 4 2 e B(t) = ( e B() + ) e B(s) db(s) e B(s) ds. Možemo npisti gornju jednkost ko vrednost Itoovog integrl e B(s) db(s) = e B(t) e B() 1 2 e B(s) ds. 36
40 6.1.3 Izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl Fundmentln teorem Njutn-Ljbnicovog rčun počiv n tome d ko je F primitivn funkcij neprekidne funkcije f n [, b], td f(x)dx = F (x) b F (b) F (). U sekciji Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku pokzli smo d generlno ne postoji formul koj bi mogl d se iskoristi z izrčunvnje stohstičkog integrl g(t)db(t). Ali, kd je g(t) u obliku g(t) = f(b(t)) z neprekidnu funkciju f s neprekidnim izvodom, td je Itoov formul prv formul z to. Teorem koj sledi dje smo drugčiji nčin d se zpiše Itoov formul. Teorem 6.3. Nek je F (t, x) primitivn funkcij funkcije f(t, x) u x. Pretpostvimo d su F i f neprekidne. Td t x ( F f (t, B(t)) db(t) = F (t, B(t)) b t (t, B(t)) + 1 ) f (t, B(t)) dt. 2 x Primetimo d je integrl s desne strne jednkosti iz prethodne teoreme Rimnov integrl z svku putnju Brunovog kretnj B(t). S druge strne, kko bismo primenili prethodnu teoremu, potrebno je nći primitivnu funkciju F (t, x) funkcije f(t, x) po promenljivoj x. U ovom slučju, Itoov formul koj je dt u Teoremi 6.3 je fundmentln teorem z Itoov rčun. Kd integrnd f ne zvisi od t, gornj jednkost postje f (B(t)) db(t) = F (B(t)) b 1 2 f (B(t)) dt (6.1.7) Prikzćemo izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl n nekoliko konkretnih primer. Primer 6.4. Kko bismo procenili stohstički integrl 0 B(s)e B(s) db(s), primetimo d je integrnd dt ko f(b(s)) gde je f(x) = xe x. Stog F (x) = xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C, f (x) = xe x + e x. N osnovu jednkosti 6.1.7, 0 B(s)e B(s) db(s) = (B(t) 1) e B(t) (B(s) + 1) e B(s) ds. 37
41 Primer 6.5. Integrnd stohstičkog integrl B(s) db(s) 2 0 dt je ko f (B(s)) gde je f(x) = 1. Stog F (x) i f (x) su 1+x 2 1 F (x) = 1 + x dx = rctn x + C, f (x) = 2x 2 (1 + x 2 ). 2 N osnovu jednkosti 6.1.7, 1 t B(s) db(s) = rctn B(t) B(s) 2 0 (1 + B(s) 2 ) ds. 2 Primer 6.6. Posmtrjmo stohstički integrl B(s) (1 + B(s) 2 ) db(s). 2 Integrnd je jednk f (B(s)) gde je f(x) = F (x) = 0 x, i vži 1+x 2 x 1 + x 2 dx = 1 2 log(1 + x2 ) + C, f (x) = 1 x2 (1 + x 2 ) 2. Primenimo jednkost kko bismo nšli procenu z stohstički integrl B(s) B(s) db(s) = log(1 + B(t)2 ) 1 1 B(s) (1 + B(s) 2 ) ds. 2 Primer 6.7. Kko bismo procenili stohstički integrl 0 e B(s) 1 2 s db(s) posmtrćemo integrnd koji je u ovom primeru zdt ko f(s, B(s)) gde je f(t, x) = e x 1 2 t. Stog F (t, x) = e x 1 2 t, N osnovu Teoreme 6.3, immo F t = 1 2 ex 1 2 t, f x = ex 1 2 t. 0 e B(s) 1 2 s db(s) = e B(t) 1 2 t 1. 38
42 6.2 Stohstički procesi Z pisnje ove sekcije korišćen je knjig [1]. U poglvlju Itoov stohstički integrl fiksirli smo Brunovo kretnje B(t) i filter {F t ; t b} koji zdovoljv odred ene uslove. Nek je f stohstički proces, tkv d f L 2 d ([, b] Ω). Td, z svko t [, b] vži E ( f(s) 2) ds E ( f(s) 2) ds < Stog, f L 2 d ([, t] Ω). Odvde sledi d je stohstički integrl f(s)db(s) definisn z svko t [, b]. Posmtrjmo stohstički proces X t = N osnovu Teoreme 4.3 immo E ( X t 2) = f(s)db(s), t b. E ( f(s) 2) ds < i zto E X t [E ( X t 2 )] 1 2 <. Stog, z svko t, slučjn promenljiv X t je integrbiln i možemo posmtrti uslovno očekivnje od X t u odnosu n σ-polje, konkretnije filter F s. U poglvlju Itoov stohstički integrl pomenuli smo d je Itoov integrl b f(t)db(t) definisn tko d je stohstički proces X t = f(s)db(s), t b mrtingl. N primer, u istom poglvlju pokzli smo d su stohstički procesi L(t) = B(s)dB(s), t 0 i X 0 t = 0 B(s)2 db(s), t 0 mrtingli. Teorem koj sledi potvrd uje ovo svojstvo. Teorem 6.4. (Svojstvo mrtingl) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Td stohstički proces X t = je mrtingl u odnosu n filter {F t ; t b}. f(s)db(s), t b, (6.2.1) Može se primetiti d stohstički integrl nije definisn z svko fiksirno ω ko što je Rimnov ili Rimn-Stiltjesov integrl. Neprekidnost stohstičkog proces, koji je definisn ko u jednkosti 6.2.1, nije trivijln činjenic ko u elementrnoj relnoj nlizi. Td sto- Teorem 6.5. (Svojstvo neprekidnosti) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). hstički proces X t = f(s)db(s), t b, (6.2.2) je neprekidn. Zprvo, skoro sve njegove putnje su neprekidne funkcije n intervlu [, b]. 39
43 Dokzi prethodnih teorem se mogu nći u knjizi [1]. Sd ćemo uvesti definiciju Itoovog stohstičkog proces. Njpre pr npomen: 1) Fiksirmo Brunovo kretnje B(t) i filter {F t ; t b} tkv d vži ) Z svko t, B(t) je F t -merljiv; b) Z svko s t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je nezvisn od σ-polj F t. 2) Skup stohstičkih proces L d (Ω, L 2 [, b]) smo definisli u sekciji Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku; 3) S L d (Ω, L 1 [, b]) oznčićemo polje svih {F t }-prilgod enih stohstičkih proces f(t) tkvih d vži f(t) dt < skoro sigurno. Definicij 6.1. Itoov proces je stohstički proces X t = X + f(s)db(s) + g(s)ds, t b, (6.2.3) gde je X F -merljivo, f L d (Ω, L 2 [, b]), i g L d (Ω, L 1 [, b]). Koristn krći zpis jednkosti koj figuriše u gornjoj teoremi jeste stohstički diferencijl dx t = f(t)db(t) + g(t)dt. (6.2.4) Potrebno je nglsiti d stohstički diferencijl nem smisl sm po sebi jer su putnje Brunovog kretnj nigde diferencijbilne. Iz tog rzlog potrebno je jednkost koju smo nzvli stohstički diferencijl posmtrti smo ko drugčiji nčin d se zpiše jednkost Teorem 6.6. Nek je X t Itoov proces definisn ko X t = X + f(s)db(s) + g(s)ds, t b. Pretpostvimo d je θ(t, x) neprekidn funkcij s neprekidnim prcijlnim izvodim θ, θ i 2 θ. Td θ(t, X t x x 2 t ) je tkod e Itoov proces i θ θ(t, X t ) = θ(, X ) + x (s, X s)f(s)db(s) [ θ + t (s, X s) + θ x (s, X s)g(s) θ x (s, X s)f(s) 2 2 ] ds. (6.2.5) Jednčinu možemo zpisti u drugčijem obliku bš ko što smo to učinili i s jednčinom Prvo ćemo primeniti Tejlorov rzvoj do prvog izvod z dt kko bismo dobili dθ(t, X t ) = θ t (t, X t)dt + θ x (t, X t)dx t θ x (t, X t)(dx 2 t ) 2. (6.2.6) 40
44 db(t) dt db(t) dt 0 dt 0 0 Tbel 1. Itoov tbel Sd, iskoristimo Itoovu tbelu kko bismo dobili (dx t ) 2 = f(t) 2 dt. Stog dθ(t, X t ) = θ θ dt + t x (f(t)db(t) + g(t)dt) θ 2 x 2 f(t)2 dt = θ ( θ x f(t)db(t) + t + θ x g(t) + 1 ) 2 θ 2 x 2 f(t)2 dt. (6.2.7) N krju, mi možemo d pretvorimo gornju jednkost u jednkost Z izrčunvnje možemo uvek d koristimo ovkvu vrstu oznk u stohstičkom diferencijlu kko bi se došlo do rešenj. Primer 6.8. Nek je f L d (Ω, L 2 [0, 1]). Posmtrjmo Itoov proces X t = 0 f(s)db(s) f(s) 2 ds, 0 t 1, i funkciju θ(x) = e x. Td, dx t = f(t)db(t) 1 2 f(t)2 dt. Primenimo Tejlorov rzvoj i Itoovu tbelu d dobijemo dθ(x t ) = e Xt dx t ext (dx t ) 2 = e (f(t)db(t) Xt 1 ) 2 f(t)2 dt ext f(t) 2 dt = f(t)e Xt db(t). Odvde dlje sledi, e 0 f(s)db(s) 1 t 2 0 f(s)2ds = f(s)e s 0 f(u)db(u) 1 s 2 0 f(u)2du db(s). N osnovu Teoreme 6.4, Y t = e 0 f(s)db(s) f(s)2ds je mrtingl, ko je funkcij f(t) determinističk funkcij n L 2 [0, 1]. Posmtrjmo sd funkciju h ko determinističku funkciju u L 2 [0, T ]. Td z svko t [0, T ], Vinerov integrl h(s)db(s) je normlno rspodeljen s 0 očekivnjem 0 i disperzijom σ 2 = 0 h(s)2 ds. Dkle vži, Ee 0 h(s)db(s) = 1 2πσ + 41 e x e x2 2σ 2 dx = e h(s)2ds.
45 Definisćemo Y t ko Y t = e 0 h(s)db(s) Ee 0 h(s)db(s) = e N osnovu Primer 6.8, Y t im prezentciju Y t = h(s)db(s) h(s)2ds. h(s)e s 0 h(u)db(u) 1 s 2 0 h(u)2du db(s). (6.2.8) Primetimo d integrnd Itoovog integrl u jednkosti pripd polju L 2 d ([0, 1] Ω). N osnovu Teoreme 6.4 stohstički proces Y t, 0 t T, je mrtingl. 6.3 Linerne stohstičke diferencijlne jednčine Z pisnje ove sekcije korišćene su knjige [1] i [7]. Posmtrjmo linernu diferencijlnu jednčinu prvog red dx t dt = f(t)x t + g(t), t b, x = x, (6.3.1) gde je f(t) neprekidn funkcij. Kko bismo rešili ovu diferencijlnu jednčinu, prebcićemo f(t)x t n levu strnu jednkosti i pomnožićemo obe strne jednčine integrcionim fktorom h(t) = e f(s)ds. (6.3.2) Dobijmo Primetimo d je Iz jednčin i sledi ( ) dxt h(t) dt f(t)x t = h(t)g(t). (6.3.3) d dt (h(t)x t) = dh(t) x t + dx t dt dt h(t) = f(t)e f(s)ds x t + dx t dt h(t) = f(t)h(t)x t + dx t dt h(t) ( ) dxt = h(t) dt f(t)x t. (6.3.4) čije je rešenje d dt (h(t)x t) = h(t)g(t), h(t)x t = x + h(s)g(s)ds. 42
46 Odvde sledi d je rešenje x t jednčine x t = xh(t) 1 + = xe f(s)ds + h(t) 1 h(s)g(s)ds g(s)e s f(u)du ds. Pod linernom stohstičkom diferencijlnom jednčinom podrzumevmo diferencijlnu jednčinu u obliku dx t = {φ(t)x t + θ(t)} db(t) + {f(t)x t + g(t)} dt, X = x. (6.3.5) Linern stohstičk diferencijln jednčin može se npisti ko linern stohstičk integrln jednčin X t = x + {φ(s)x s + θ(s)}db(s) + {f(s)x s + g(s)}ds z t b. Uzimjući u obzir integrcioni fktor (jednkost 6.3.2) i proces oblik u prethodnoj sekciji, možemo pretpostviti d je integrcioni fktor z jednkost jednk H t i vži H t = e Yt, Y t = f(s)ds + φ(s)db(s) 1 2 φ(s) 2 ds. (6.3.6) Potrebno je d nd emo d(h t X t ) bš ko što je to slučj s običnom diferencijlnom jednčinom. Vži d(h t X t ) = H t dx t + X t dh t + (dh t )(dx t ). (6.3.7) Primenjujemo Itoovu formulu kko bismo nšli jednkost z dh t dh t = H t dy t H t(dy t ) 2 = H t ( f(t)dt φ(t)db(t) + 1 ) 2 φ(t)2 dt H tφ(t) 2 dt Iz jednkosti i sledi = H t { f(t)dt φ(t)db(t) + φ(t) 2 dt}. (6.3.8) (dh t )(dx t ) = H t φ(t){φ(t)x t + θ(t)}dt. (6.3.9) Ako jednkosti i primenimo n jednkost dobijmo d(h t X t ) = H t {dx t f(t)x t dt φ(t)x t db(t) θ(t)φ(t)dt}. (6.3.10) Primetimo d kd bismo sve sbirke koji sdrže X t prebcili n levu strnu jednkosti 6.3.5, ostje nm sbirk θ(t)φ(t)dt. Ali možemo d se postrmo i z njeg. Iz jednčin i sledi d(h t X t ) = H t {θ(t)db(t) + g(t)dt θ(t)φ(t)dt}, 43
47 što vodi k H t X t = x + H s θ(s)db(s) + H s {g(s) θ(s)φ(s)}ds. Ako obe strne jednkosti podelimo s H t dolzimo do rešenj X t jednčine Zključk do kog smo došli podržn je sledećom teoremom. Teorem 6.7. Rešenje linerne stohstičke diferencijlne jednčine jednko je dx t = {φ(t)x t + θ(t)}db(t) + {f(t)x t + g(t)}dt, X = x, (6.3.11) X t = xe Yt + e Yt Ys θ(s)db(s) + gde je Y t = φ(s)db(s) + {f(s) 1 2 φ(s)2 }ds. 6.4 Primen u R-u e Yt Ys {g(s) θ(s)φ(s)}ds, (6.3.12) Z pisnje ove sekcije korišćen je rd [8]. R je progrmski jezik i softversko okruženje z sttističko izrčunvnje i grfikone. Koristi se većinski z nlizirnje podtk. Sve funkcije koje se mogu koristiti u R-u smeštene su u odgovrjuće pkete. D biste mogli d koristite odred ene funkcije, neophodno je d u svoj progrm implementirte pket koji te funkcije sdrži. R pket Sim.DiffProc nprvljen je godine i sdrži funkcije z rešvnje stohstičkih integrl tip Ito i Strtnovič, funkcije z simulciju i modelirnje stohstičkih diferencijlnih jednčin istih tipov, li i druge funkcije koje služe z procene, simulcije i izrčunvnje u oblsti stohstičkog rčun. Kko je tem ovog rd Itoov stohstički integrl, koncentrisćemo se n funkciju koj se odnosi n njegovo rešvnje. Posmtrmo primer z simulciju Itoovog integrl: t 0 B(s) n db(s) = 1 n + 1 [ B(t) n+1 B(t 0 ) n+1] n 2 t 0 B(s) n 1 ds. Ugrd en funkcij st.int služi z izrčunvnje stohstičkog integrl Itoovog tip. Funkcij im oblik: st.int(expr, lower = 0, upper = 1, M = 1, subdivisions = 1000L, type = c( ito, str ),...) Argumenti funkcije su: expr - izrz u funkciji dve promenljive t (vreme) i w (Brunovo kretnje); lower, upper - donje ili gornje krjnje tčke intervl n kojem se integrli; 44
48 M - broj trjektorij; subdivisions - mksimln broj podintervl; type - Ito ili Strtnovič integrcij; x, object - objekt nsled en od klse st.int ; order - red moment; level - neophodn nivo poverenj;... - dlji rgumenti z nestndrdne metode. Vrednosti: 1) Funkcij st.int vrć objekt nsled en iz klse st.int. 2) X je končn simulcij integrl. 3) fun je funkcij koj je bil integrljen. 4) type je tip stohstičkog integrl 5) subdivisions je broj podintervl koji su nstli u procesu podele. R> fexpr <- expression( w^2 ) R> ito <- st.int(fexpr,type="ito",m=1,lower=0,upper=1) R> ito <- st.int(fexpr,type="ito",m=1,lower=0,upper=1) R> ito Ito integrl: X(t) = integrl (f(s,w) * dw(s)) f(t,w) = w^2 Summry: Number of subintervls = Number of simultions = 1. Limits of integrtion = [0,1]. Discretiztion = Itoov integrl u Volfrmu Volfrm projekt z prikzivnje (Wolfrm Demonstrtions Project) pruž mogućnost demonstrcije rznih mtemtičkih pojmov, med u kojim je i Itoov integrl. N internet dresi može se nći mnji progrm z demonstrciju Itoovog integrl. Progrm pruž mogućnost izbor integrnd; ponud eni integrndi su: 1)B t, 2)e Bt 3)cos(B t ) gde je s B t oznčeno Brunovo kretnje. 45
49 Slik 3. Prikz progrm u Volfrmu Grfik n gornjoj slici prikzuje četiri krive (od kojih se dve poklpju u slučju izbor prvog integrnd) koje pokzuju proksimcije putnje Brunovog kretnj (integrtor), izbrnog integrnd, i levu i desnu strnu Itoove formule. Kko se povećv veličin vremenskog intervl tko se dve krive približvju jedn drugoj, i pokzuju d se poklpju prilikom puštnj limes (Brunovo kretnje). Ako se strelicom n rčunru prelzi preko krive, može se videti stohstički koncept z koji kriv predstvlj proksimciju. Klikom n dugme New pth dobij se nov putnj n grfiku. Klikom n dugme u gornjem desnom uglu, progrm počinje simulciju Itoovog integrl u odnosu n promenu vremen (skl time) i veličine kork (step size). U nredne tri slike, prikzćemo promenu Itoovog integrl ko se z integrnd izbere e Bt. 46
50 Slik 4. Simulcij Itoovog integrl- kork 1 Slik 5. Simulcij Itoovog integrl- kork 2 47
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραKrivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραRelativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj
GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότερα