Interaktivni nastavni materijali o integralima kreirani korixeem programskog paketa

Transcript

1 Mtemtiqki fkultet Univerzitet u Beogrdu Interktivni nstvni mterijli o integrlim kreirni korixeem progrmskog pket mster rd GeoGebr Mentor: doc. dr Miroslv Mri Student: Drgn Nikoli 3/ Beogrd, 4.

2 MENTOR: doc. dr Miroslv Mri QLANOVI KOMISIJE: prof. dr Nebojx Leti prof. dr Milox Arsenovi doc. dr Miroslv Mri

3 Sdrj Uvod 3 Istorijski osvrt n klkulusni rqun 5. Antiqk Grqk Pretklkulusni period i rdovi utn i Ljbnic Rzvoj klkulus Zsnive i rzvoj klkulus vn Evrope Neodreeni integrl 3. Primitivn funkcij Metodi integrcije Metod smene Metod prcijlne integrcije Integrcij nekih posebnih kls funkcij Integrcij rcionlne funkcije Integrcij ircionlnih funkcij Integrcij trigonometrijskih funkcij Odreeni integrl Motivcij z uvoee odreenog integrl Definicij odreenog integrl Integrbilnost Svojstv odreenog integrl Linernost integrl Aditivnost integrl Monotonost integrl Prv teorem o sredoj vrednosti utn-ljbnicov formul Metod smene u odreenom integrlu Metod prcijlne integrcije u odreenom integrlu Primen odreenog integrl Povrxin figur u rvni Duin luk krive Zpremin obrtnog tel Povrxin obrtnog tel Primen integrl u ivotu Rqune zpremine Moment inercije Rd promen ive sile Znim ivi zdci Zk uqk 94

4 Uvod Klkulusni rqun, odnosno rd s izvodim i integrlim, poqeo je svoj rzvoj veom dvno, jox u dob stre Grqke. Arhimed i Eudoks spdju u prve mtemtiqre koji su se bvili izrqunvem povrxin metodom z koju e se ksnije ispostviti d je klkulus. Iz potrebe z rqunem povrxin i zpremin, klkulusom se bve i mnogi mtemtiqri vn evropskog kontinent. Meutim, do konqnog zsniv klkulus dolzi tek nkon 7. vek i rdov utn i Ljbnic. Dolzi do uspostv veze izmeu diferencir i integrcije, ko i formlnog zsniv, primene integrl, pre sveg u geometriji: rqunem povrxin, duin luk krive i zpremin. Nvedene primene, ko i uopxte rd s integrlim mogue je vizuelno prikzti i n tj nqin olkxti rzumeve ove oblsti mtemtike. Ci ovog rd je vizuelizcij rzliqitih teorem, dokz i primer pomou progrmskog pket GeoGebr, xto bi treblo d olkx rzumeve grdiv. Progrmski pket GeoGebr predstv dinmiqki mtemtiqki softver koji objediuje geometriju, lgebru i nlizu. Rzvoj ovog softver zpoqeo je u sklopu svog mster rd Mrkus Hoenvrter n Univerzitetu u Slcburgu. godine. GeoGebr predstv bespltn softver, nmeen nstvnicim i uqenicim, pogodn z interktivno uqee mtemtike. GeoGebr im tri rzliqit nqin prikziv mtemtiqkih objekt: grfiqki, lgebrski i tbelrni prikz. Sve tri vrste prikz objekt su meusobno dinmiqki povezne, ukoliko doe do promene podtk u bilo kom od ov tri prikz, i u drug dv prikz doi e do iste promene, bez obzir n to n koji nqin je objekt izvorno kreirn. GeoGebr predstv progrm u kome se mogu kreirti rzliqite mtemtiqke konstrukcije i n reltivno jednostvn nqin omoguv i kreire nimcij, u qemu se zprvo i ogled interktivnost ovog progrm. Konstruisne objekte i nimcije mogue je squvti u rzliqitim formtim, u zvisnosti od potreb korisnik. Kreirne objekte mogue je squvti ko sliku, li je tkoe mogue predstviti nimcije kreirne u GeoGebri i u okviru neke veb strnice. Uprvo t mogunost koju ovj dinmiqki softver pru se moe iskoristiti kko bi se n kretivn nqin pribliil mtemtik uqenicim osnovnih i sredih xkol, ko i studentim. D bi se neko grdivo nuqilo ono mor i d se rzume, rzumevu grdiv qesto moe d pomogne egov vizuelizcij. Zbog tog GeoGebr predstv koristn progrm u nstvi mtemtike. U ovom rdu e biti reqi o integrlim, nroqito o primeni integrl uz odgovrjuu vizuelizciju. U internet prezentciji ovog rd koj se moe videti n dresi ml865/mster bie predstv eni pleti qiji je ci d uz odgovrjui proprtni tekst priblii integrle svkom ko eli d nuqi nexto o im. U poglv u,,istorijski osvrt n klkulusni rqun" bie ukrtko nveden rzvoj klkulus kroz vekove - poqev od ntiqke Grqke, preko pretklkulusnog period, p sve do utn i Ljbnic, ihovog rd i osvrt n ksniji rzvoj integrlnog rqun. Ci ovog poglv je pre sveg d prike postoje rd s integrlim jox u dvn vremen i to pre sveg onj deo integrlnog rqun koji dns spd u egovu primenu. 3

5 U poglv u,,neodreeni integrl" bie det no objxen rd s neodre- enim integrlim. U ovom delu nvedene su teoreme i dokzi, ko i krkteristiqni primeri koji se qesto pojv uju i ko smostlni zdci i ko delovi drugih zdtk. Nvedene metode, ko i rexe, vizuelizovni su u progrmskom pketu GeoGebr. U poglv u,,odreeni integrl" definisn je odreeni integrl, ko i motivcij z egovo uvoee. Ovde je tkoe opisn i rd s odreenim integrlim. Teoreme koje se nlze u ovoj oblsti, ko i primeri, vizuelizovni su u GeoGebri. U poglv u,,primen odreenog integrl" prikzn je primen integrl z izrqunve povrxine, duine luk krive, zpremine i povrxine obrtnog tel. Definicij izrqunv ovih veliqin, ko i primeri prikzni u ovom poglv u, vizuelizovni su u GeoGebri. U poglv u,,primen integrl u ivotu" prikzn je primen integrl u fizici i u pojedinim prirodnim nukm, ko i u ivotu. Osnovni izvor definicij, teorem i dokz u ovom rdu su kige [5] i []. Slik : Izgled poqetne strne internet prezentcije mster rd,,interktivni nstvni mterijli kreirni korixeem progrmskog pket GeoGebr" 4

6 Istorijski osvrt n klkulusni rqun. Antiqk Grqk Istorijski gledno, integrl se pojvio zntno pre pojm izvod i jox se Arhimed u suxtini koristio ime. Klkulusni rqun - rqun s integrlim i izvodim, pored Arhimed im i druge zsnivqe. Eudoks tkoe svojim metodom eusthije spd u red zsnivq klkulus. Metod eusthije predstv metodu izrqunv povrxine nekog geometrijskog rvnog lik ispuvem unutrxosti tog lik nizom poligon qije povrxine konvergirju k povrxini celog geometrijskog lik. Arhimed je, meutim, koristio drugi metod - metod ekvilibrijum, d bi tek kd je formlno izlgo strog dokz primeivo metod eusthije. Metod ekvilibrijum zsnivo se n mehniqkim rgumentim i primeni ideje d su povrxi tel n neki nqin,,texke" te d se kroz odreive ihovih teixt moe otkriti i mtemtiqki odnos u kome ihove komponente stoje. Metod ekvilibrijum je u stvri preteq metod beskonqno mlih. Arhimedov rd,,kvdrtur prbole" postv teme e integrcije. Ksnije e biti reqi o izrqunvu kvdrture prbole, koju je Arhimed odredio koristei se metodom eusthije, preko sistem upisnih i opisnih prvougonik. Slik : Arhimed Slik 3: Eudoks. Pretklkulusni period i rdovi utn i Ljbnic Rzvoju klkulus u pretklkulusnom periodu doprineli su Robervl 3, Kvlijeri 4 i Ferm 5, koji prktiqno reprodukuju Arhimedov rd, li dodju i dost svojih originlnih doprinos. Kod sve trojice, mod njvixe kod Kvlijerij, primeuje se odstupe od tri grqke dogme, pre sveg rd s ktuelnom beskonqnoxu. Oni su ne smo shvtili to d se linije sstoje od Arhimed iz Sirkuze (grq. Aρχιµηδησ, oko 87-. godine p.n.e.), strogrqki mtemtiqr i fiziqr Eudoks s Knid ( godine p.n.e.), strogrqki mtemtiqr, stronom i nuqnik, jedn od Pltonovih uqenik 3 il de Robervl(fr. Gilles Personne de Robervlle, 6-675), frncuski mtemtiqr 4 Bonventur Frnqesko Kvlijeri(itl. Bonventur Frncesco Cvlieri, ), itlijnski mtemtiqr 5 Pjer de Ferm(fr. Pierre de Fermt, 6-665), frncuski mtemtiqr 5

7 beskonqno tqk, povrxi od beskonqno prvih, prostorn tel od beskonqno povrxi, ve su i s tim objektim poqeli d rqunju. Ferm je veom znqjn po metodim z diferencire (td nzivnim metodim z odre- ive mksimum, minimum i tngenti) i integrise, koji su bili uvod u klkulus i koji su znqjno pomogli utnu 6 i Ljbnicu 7. Slik 4: Kvlijeri Slik 5: Pjer de Ferm U 7. veku dolzi do pronlsk klkulus od strne dv velik mtemtiqr. utn i Ljbnic istovremeno dolze do ideje o zsnivu klkulusnog rqun, uz rzliqitu notciju i potpuno nezvisno jedn od drugog. Oni uspostv ju meusobnu prepisku i u jednom od pism utn je ngovestio postoje nekkvog,,metod" z koji je qk upotrebio i ngrm, xto je u to dob bilo veom rsprostreno. utn je desetk godin ksnije u jednom svom delu objvio kko je Ljbnicu ngovestio poznve odreenog metod i kko mu je Ljbnic odgovorio d je i on pronxo metod iste vrste i sopxtio mu metod. Ksnije e utn pokuxti d opovrgne ovu izjvu i doi e do sukob o utoru klkulusnog rqun. Dost dugo otkrie klkulus nije publikovno ni u celini, ni u delovim, prvi koji je objvio svoje otkrie bio je Ljbnic. Godine 684. u qsopisu,,act Eruditorum koji je liqno osnovo, Ljbnic objv uje qlnk koji sdri prvil diferencir, u svremenoj notciji. Tkoe, u istom qsopisu 686. godine biv objv en Ljbnicov qlnk o integrlnom rqunu, gde se prvi put uvodi oznk z integrl, koj se i dns koristi. Meusobn prepisk dvojice nuqnik biv uzrok velikog spor oko utorstv, ko pobednik iz ovog sukob izlzi utn, koji je imo veliku podrxku Britnske imperije, dok Ljbnic biv optuen z plgijt. Meutim, istorij mtemtike oslobodil je Ljbnic ikkve sume, egov notcij i tehnik se i dns koriste u mtemtiqkoj nlizi. Vixe o sukobu koji je postojo izmeu ov dv velik mtemtiqr, ko i o ihovom ivotu moe se ni u kizi [3]. 6 Isk utn(engl. Isc Newton, ), engleski fiziqr, mtemtiqr, stronom i filozof 7 Gotfrid Vilhem fon Ljbnic(nem. Gottfied Wilhelm von Leibniz, ), nemqki filozof, mtemtiqr i diplomt 6

8 Slik 6: Isk utn Slik 7: Gotfrid Ljbnic Istorijski gledno, Eudoks s svojom metodom eusthije i Arhimed s primenom ovog pronlsk n izrqunve povrxin krivolinijskih figur, spdju u red zsnivq klkulus, dok su Robervl, Kvlijeri i Ferm svojim rezulttim k uqno doprineli rzvoju klkulus u pretklkulusnom periodu. ihovi zk uqci i rd su dost koristili utnu i Ljbnicu koji su pre sveg zsluni z okup e postojeeg mterijl u jednu formlizovnu celinu. Do strogog zsniv klkulusnog rqun dolzi tek u 9. veku..3 Rzvoj klkulus utn i Ljbnic nezvisno jedn od drugog otkrivju osnovnu teoremu klkulus, koj povezuje integrciju i diferencijciju. Pre otkri ove teoreme nije bilo poznto d su integrcij i diferencire bilo kko povezni. Gregori 8 je prvi objvio formulciju i dokz ove teoreme, dok je Brou 9 dokzo opxtiju verziju ove teoreme. Brou je bio profesor Isk utn, koji je dovrxio rzvoj ove mtemtiqke teorije. Ljbnic je sistemtizovo ov zn z beskonqne veliqine i to zpiso u svremenoj notciji. Osnovn teorem klkulus se sstoji iz dv del; prvi deo teoreme se tiqe diferencir i ntidiferencir (odnosno integrcije), dok se drugi deo teoreme odnosi n vezu izmeu ntidiferencir i odreenog integrl. Vno je npomenuti d se ove teoreme odnose n odreene integrle, koji se istorijski pojv uju pre neodreenih. Iko su det no izuqili klkulus, utn i Ljbnic g nisu formlno zsnovli. Rzvojem grniqnih vrednosti dolzi i do formlnog zsniv integrl i integrlnog rqun. Ksnijem zsnivu integrlnog rqun doprineli su Furije koji je svojom nlizom obuhvtio sve funkcije tko xto ih je predstvio ko sumu jednostvnih trigonometrijskih funkcij. Tko- e, kod Furije se prvi put sree znk z odreeni integrl. Rimn je bio prvi koji je formlno zsnovo integrl korixeem limes tj. grniqnih 8 ejms Gregori (eng. Jmes Gregory, ), xkotski mtemtiqr i stronom 9 Isk Brou (eng. Isc Brrow, ), engleski teolog i mtemtiqr n Bptist ozef Furije (fr. Jen Bptiste Joseph Fourier, ), frncuski mtemtiqr i fiziqr Georg Fridrih Bernrd Rimn (nem. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn, ), nemqki mtemtiqr 7

9 vrednosti. On je definiso Rimnov integrl u smislu grniqnih vrednosti Rimnovih sum. Tkoe, ovde je neophodno pomenuti i Drbuov integrl koji je definisn preko Drbuovih sum, xto je jedn od moguih definicij integrl funkcije. Drbuovi integrli ekvivlentni su Rimnovim integrlim, xto znqi d je funkcij Drbu integrbiln ko i smo ko je Rimn integrbiln i td su vrednosti tih integrl, ko postoje, jednke. Slik 8: Gston Drbu Slik 9: Bernrd Rimn Frncuski mtemtiqr Lebeg 3 je formuliso drugqiju definiciju integrl i zsnovo je teoriju mer. Pored pomenutih mtemtiqr, mnogi drugi mtemtiqri doprineli su rzvoju klkulus u celinu koju dns poznjemo. Meu im su i Koxi 4 koji se posebno bvio kompleksnom nlizom i znqjn je i po Koxijevoj integrlnoj teoremi koj se odnosi n integrle holomorfnih funkcij u kompleksnoj rvni. Slik : Ogisten Koxi Slik : Anri Lebeg.4 Zsnive i rzvoj klkulus vn Evrope Klkulus se tokom vekov rzvijo u rznim delovim svet, ne smo u Evropi, ve i u Indiji, Kini, Jpnu i n Bliskom Istoku. Doduxe, utn n Gston Drbu (fr. Jen-Gston Drboux, 84-97), frncuski mtemtiqr 3 Anri Lebeg (fr. Henri Leon Lebesgue, ), frncuski mtemtiqr 4 Ogisten Koxi (fr. Augustin-Louis Cuchy, ), frncuski mtemtiqr 8

10 i Ljbnic su bili prvi koji su formulisli, rzumeli i koristili osnovnu teoremu klkulus. Ali, problemi ko xto su izrqunve povrxine i zpremine bili su poznti i rexeni jox rnije, pre utnovog i Ljbnicovog roe. Ve je pomenut Arhimedov problem kvdrture prbole, vn Evropskog kontinent bilo je sliqnih problem i rexe. Abu Ali l-hsn ibn l-hjm 5 bio je rpski mtemtiqr. Roen je u Bsri, grdu u Persiji, u. veku. Bio je prvi koji je izvrxio integrciju polinom qetvrtog stepen. Arhimed je oko 5. godine pre nove ere npiso delo,,o konoidm i sferoidm", gde je, izmeu ostlog, pokzo zpreminu prboloid, figuru koj nstje rotcijom prbole oko svoje ose. Ovo Arhimedovo delo bilo je nepoznto u rpskom svetu u. veku, p su Tbit ibn Kir iz june Turske i Abu Shl l-kui iz severnog Irn kreirli sopstveni dokz z zpreminu prboloid. Ibn l-hjm je qitjui ihov rd preokrenuo problem n mlo drugqiji sluqj. On je posmtro sluqj kd prbol ne rotir oko ose Ox, ve oko ose x =, n tj nqin kreirjui kupolu koj je krkteristiqn n mnogim grevinm. Problem zpremine ove kupole rexio je deobom kupole n diskove i posmtro je sluqj kd su diskovi veom tnki tko d ihov broj tei beskonqnosti. Zpremin kupole se ond svodi n sumu u kojoj figurixe polinom qetvrtog stepen. Nrvno, ov zpremin dobijen je drugim metodm, rzliqitim od svremene metode integrcije. Ovde je bitno uoqiti d se integrl polinom qetvrtog stepen dobij geometrijskim putem, i to mnogo sloenijim nego xto je to dns. Poqev od. vek, rpski, kineski i indijski mtemtiqri poqeli su d otkrivju tehnike koje bi im omoguile d izrqunju povrxinu izrenu preko bilo kog polinom. Ali, pre nego xto su mogli d otkriju te formule, morli su d stvore polinome. Polinomi drugog i treeg stepen su postojli i godin unzd, li su izrvli povrxine i zpremine odgovrjuih geometrijskih likov. Nije bilo potpuno jsno xt bi qetvrti stepen polinom mogo d predstv. Polinomi vixeg stepen su se skoro istovremeno pojvili oko. godine u Indiji, Kini i n Bliskom Istoku. U Indiji u 4. veku nstl je Kerl xkol. U oj su se izuqvle mtemtik i stronomij u periodu izmeu 4. i 6. vek. U ci u rexv stronomskih problem, u ovoj xkoli je doxlo do otkriv mnogih vnih mtemtiqkih koncept, nroqito u oblsti beskonqnih redov, koji predstv ju znqjnu komponentu rzvoj klkulus. U 7. veku u Jpnu, jpnski mtemtiqri su doxli do otkri u vezi klkulusnog rqun, nroqito mtemtiqr Kov Seki. egov doprinos ogled se u rqunu povrxin figur korixeem integrl, proxirujui metod eusthije. Iz ovog se vidi d se mtemtik u Jpnu rzvijl u istom smeru ko i u Evropi tog dob. Tkoe, klkulus je bio poznt i u Kini. U treem veku kineski mtemtiqr Liu Hui je korixeem Kvlijerijevog princip doxo do formule z zpreminu cilindr, gde je pokzo shvte osnovnih princip integrcije i diferencir. Znim ivo je primetiti d se klkulus koristio i u strom Egiptu z izrqunve zpremine zrub ene pirmide, ko i u ponovnom 5 lt. Alhzen, rpski nuqnik, mtemtiqr, filozof i stronom 9

11 premervu prcel nkon plv e reke Nil, xto se moe videti u Moskovskom ppirusu koji dtir iz 8. godine pre nove ere. Slik : Moskovski ppirus

12 3 Neodreeni integrl Pojm integrl se u xkolovu prvi put jv u qetvrtom rzredu srede xkole i potom se to grdivo dodtno proxiruje n fkultetim n kojim se izuqvju prirodne nuke. Kko diferencire i integrise predstv ju dve uzjmno inverzne mtemtiqke opercije, nkon uvoe pojm izvod i opercij s izvodim, uqenici se susreu s integrlim. Integrl predstv osnovni pojm mtemtiqke nlize. Poznto je d je mogue direktno izrqunti izvode osnovnih elementrnih funkcij, po definiciji, d se izvodi svih ostlih elementrnih funkcij dobijju uz pomo dokznih prvil z izvode lgebrskih kombincij, z izvod sloene i inverzne funkcije. Logiqno je postviti i obrnut problem: ko je poznt izvod F neke funkcije F, ni tu funkciju. Odnosno, ko je f dt funkcij n nekom intervlu, odrediti funkciju F tko d vi: F (x) = f(x) tj. df (x) = f(x). Nvedeni problem predstv uvod u integrlni rqun i rd s integrlim. 3. Primitivn funkcij Definicij. Funkcij F je primitivn funkcij z funkciju f n nekom intervlu ko je F diferencijbiln n tom intervlu i z svko x iz tog intervl vi F (x) = f(x). Primer. Funkcij F (x) = sin x je primitivn funkcij funkcije f(x) = cos x z x R, jer je F (x) = f(x), x R. Primer. Funkcij F (x) = x je primitivn funkcij z funkciju f(x) = x n skupu R. Meutim, funkcij F (x) = x + je tkoe primitivn funkcij z istu funkciju n R jer vi: F (x) = (x + ) = x = f(x). Slik 3: Grfiqki prikz funkcij f, F i F

13 Iz prethodnog primer se moe zk uqiti d ko z dtu funkciju f postoji primitivn funkcij n nekom intervlu ond on nije jednoznqno odreen. Teorem. Ako je F (x) primitivn funkcij z f(x) n nekom intervlu, ond je i F (x) + c, gde je c proizvo n reln konstnt, primitivn funkcij z f(x) n tom intervlu. Dokz. Nek je c proizvo n reln broj i nek je F primitivn funkcij z funkciju f n intervlu (, b). Ond z svko x (, b) vi: Tkoe, z svko x (, b) vi i: F (x) = f(x). (F (x) + c) = F (x) = f(x). Dkle, svk od funkcij F (x) + c, c R je primitivn funkcij z funkciju f n intervlu (, b). Teorem. Ako su F (x) i G(x) primitivne funkcije z funkciju f(x) u nekom intervlu, ond je rzlik F (x) G(x) konstntn u tom intervlu. Dokz. Nek je funkcij φ(x) = F (x) G(x), x (, b). Funkcij φ je diferencijbiln n (, b) i vi: φ (x) = (F (x) G(x)) = F (x) G (x) = f(x) f(x) =. z sve x (, b). Odvde, n osnovu posledice Lgrnove teoreme 6 sledi d je φ(x) = c, odkle je F (x) G(x) = c. Nvedene teoreme imju i svoju geometrijsku interpretciju koj e ovde biti prikzn. Geometrijsk interpretcij ovih teorem bi treblo dodtno d pojsni ihovo znqee. Ako je u koordintnom sistemu xoy u rvni skicirn grfik jedne od primitivnih funkcij funkcije f(x), x (, b) ond e svk kriv u toj rvni dobijen trnslcijom ovog grfik du Oy ose predstv ti grfik funkcije koj je primitivn funkcij z f(x), x (, b). N ovj nqin dobijju se grfici svih primitivnih funkcij. 6 Posledic Lgrnove teoreme o sredoj vrednosti diferencijlnog rqun. Ov teorem se moe videti u kizi []

14 Slik 4: Aplet n kojem su prikzne primitivne funkcije z f(x) = sin x D bi se iz skup svih primitivnih funkcij z f(x) n odreenom intervlu izdvojil jedn odreen primitivn funkcij, mor se postviti dodtni uslov. To e biti prikzno u nrednom primeru. Primer 3. Ni primitivnu funkciju funkcije f(x) = x qiji grfik sdri tqku A(, ). Rexee. Vi sledee: (x ) = ( ) ( ) x (x) = x x. Odvde se moe zk uqiti d je jedn od primitivnih funkcij jednk F (x) = x x. Proizvo n primitivn funkcij je F (x) = x x + c, x R. Kko grfik primitivne funkcije mor d sdri tqku A(, ), dodtni uslov koji funkcij mor d zdovo i je F () =, odnosno, = + c. Odvde se dobij d je c = 5. Tren primitivn funkcij je F (x) = x x

15 Slik 5: Grfiqk interpretcij primer Definicij. Skup svih primitivnih funkcij funkcije f(x) nziv se neodreenim integrlom funkcije f(x) i oznqv se s f(x). U nvedenoj definiciji, simbol je znk integrl, f(x) se nziv podintegrlnom funkcijom, dok je f(x) podintegrlni izrz. Ako je F (x) jedn primitivn funkcij funkcije f(x) n nekom intervlu, ond se, prem teoremi. skup f(x) n tom intervlu moe npisti u obliku {F (x) + c c R}, odnosno, f(x) = F (x) + c. Teorem 3. Nek je F (x) primitivn funkcij funkcije f(x) n nekom intervlu. Td je:. d( f(x)) = f(x);. f(x) = df (x) = F (x) + c; 3. k f(x) = k f(x), k R\{}; 4. Z funkcije f(x) i g(x) vi jednkost (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). Dokz.. Kko je F primitivn funkcij z funkciju f, vi d je F (x) = f(x). Tkoe, vi i: d( f(x)) = d(f (x) + c) = F (x) = f(x).. f(x) = df (x) = f(x) = F (x) + c. Iz nveden dv svojstv zk uquje se d su opercije diferencir i integrcije meusobno inverzne s tqnoxu do proizvo ne konstnte. 4

16 3. Iz prethodnog vi d je ( kf(x)) = k f(x). Tkoe, ( k ( f(x)) = k f(x)) = k f(x). Ovim je dokzno d je lev strn jednkosti jednk desnoj. 4. I ovde e biti pokzno d je lev strn jednkosti jednk desnoj tko xto e i lev i desn strn biti ponosob diferencirne. ( (f(x) + g(x))) = f(x) + g(x); ( f(x) + g(x)) = ( f(x)) + ( g(x)) = f(x) + g(x). Kko je n osnovu pozntih izvod nekih funkcij mogue ni primitivne funkcije, smim tim i neodreene integrle dtih funkcij, d bi nle- e neodreenih integrl jednostvnih elementrnih funkcij bilo olkxno ovde e biti nveden tblic neodreenih integrl uz odgovrjue uslove Integrl Uslovi x α = α + xα+ + c α R\{}, x > = ln x + c x x x = x ln + c >, e x = e x + c sin x = cos x + c cos x = sin x + c cos x = tgx + c x π + kπ, k Z sin x = ctgx + c x kπ, k Z = rcsin x + c x < x + x = rctgx + c x ± = ln x + x ± + c x = ln + x x + c x = 5

17 Slik 6: Aplet n kojem su prikzne neke od funkcij iz tblice i ihovi neodreeni integrli z rzliqite vrednosti konstnte c Nvedeni uslovi se odnose n neprekidnost podntegrlne funkcije, ko i n ogrniqe koj prmetr koji uqestvuje u formuli mor d zdovo i. Tkoe, mor se voditi rqun i o definisnosti elementrne funkcije qiji se neodreeni integrl tri. 3. Metodi integrcije Do sd prikzni primeri mogli su biti rexeni korixeem osnovnih svojstv neodreenog integrl i tblice integrl. Meutim, primeri s kojim se moemo sresti mogu biti mnogo sloeniji od nvedenih, tko d nm rexee nije uvek oqigledno. Zbog tog su ovde predstv en jox dv metod integrcije - metodom smene i metodom prcijlne integrcije. Tko- e, ovde e biti nvedeni i primeri integrcije nekih posebnih kls funkcij. U formulcijm teorem koje slede bie korixen pojm neprekidnodiferencijbilne funkcije n intervlu. To je funkcij koj je diferencijbiln n intervlu i en izvod je neprekidn funkcij n tom intervlu. 3.. Metod smene Ovj metod se zsniv n prvilu z diferencire sloene funkcije. Teorem 4. Nek je F : A R primitivn funkcij funkcije f(t), t A i nek je g : B A diferencijbiln z x B, gde su A i B intervli. Td postoji primitivn funkcij funkcije f(g(x))g (x), x B i pri tom vi jednkost f(g(x))g (x) = F (g(x)) + c. Dokz. Potrebno je dokzti d su izvodi leve i desne strne jednki. ( D = f(g(x))g (x)) = f(g(x))g (x); L = (F (g(x)) + c) = F g(x)(g(x))g (x) = f(g(x))g (x). Odvde vi d je D = L, tj. lev i desn strn su zist jednke. 6

18 Sd e biti prikzno nekoliko krkteristiqnih primer koji se qesto pojv uju u zdcim. Primer 4. Metodom smene rexiti integrl cos x, R. Rexee. U situcijm kd se koristi metod smene u integrlu, ci je d se uvoeem smene dti integrl svede n oblik nekog od tbliqnih integrl ili n neki drugi pogodn oblik. U ovom primeru, bie uveden smen t = x. Nkon izvrxenog diferencir, dobij se dt =, tj. vie = dt. cos x = cos tdt = sin t + c = sin x + c. Slik 7: Aplet n kojem je prikzn grfik podintegrlne funkcije i rexee integrl u zvisnosti od konstnti i c Primenom iste smene ko u prethodnom primeru rexv se i integrl sin x. Primer 5. Rexiti integrl + x. Rexee. Prilikom rexv nvedenog integrl prvo e biti izvrxene odreene trnsformcije, potom uveden i odgovrju smen. Nkon trnsformcije izrz izgled ovko: + x = ( ) = + x ( + ( ) x ). Poxto je izrz trnsformisn n pogodn oblik, moe se uvesti smen t = x, kojom e se nvedeni integrl svesti n tbliqni. Odvde e biti dt =, 7

19 odnosno, = dt. Sd e primenom nvedenih trnsformcij i smene biti prikzno rexee primer. + x = = ( + x ) = ( + ( ) ) x = dt ( + t ) = dt + t = rctgt + c = rctg x + c. Primer 6. Metodom smene rexiti integrl x. Rexee. Ko i u prethodnom primeru, bie izvrxene odgovrjue trnsformcije n dtom integrlu. x = = ( ( x ) ) = ( x ) = dt t = rcsin t + c = rcsin x + c Primer 7. Metodom smene rexiti integrl x. Rexee. Uvodi se smen x = sin t. Odtle je = cos tdt, t = rcsin x i vi d je cos t = ( x ). Uvoeem nvedene smene dobij se sledee: x = sin t cos tdt = sin t cos tdt = cos tdt. Sd je potrebno rexiti integrl cos tdt. U ovom sluqju, kd je integrnd kvdrt neke trigonometrijske funkcije, potrebno je iskoristiti dicione formule z trigonometrijske funkcije poluuglov i n tj nqin se osloboditi kvdrt. Poznto je d vi cos + cos x x =, xto e biti iskorixeno prilikom d eg rexv ovog zdtk. Dkle, vi: x = + cos t cos tdt = dt = t + sin t + c = = t + sin t cos t + c = rcsin x + x x + c. Dobijeno rexee vi pod uslovim d je < x < i d je π < t < π. Primer 8. Rzmotriti rexve integrl oblik f(x + b). 8

20 Rexee. Prilikom rexv integrl ovog oblik uvodi se smen t = x+b. Rexee je: Jedn od primer ovog tip je i (x + b) n = f(x + b) = φ(x + b) + c. (x + b)n+ (n + ) + c. Slik 8: Aplet n kojem je prikzn grfik podintegrlne funkcije i rexee integrl u zvisnosti od konstnti, b, n i c Primer 9. Rexiti integrl x ±. Rexee. Uvoeem smene t = x + x ± Dkle, dobij se d je dt t = dt x ± = t = ln t + c = ln x + x ± + c. 3.. Metod prcijlne integrcije x ±. Metod prcijlne integrcije njqexe se koristi ukoliko je podintegrln funkcij zprvo izvod proizvod dve funkcije. Teorem 5. Nek su u(x) i v(x) diferencijbilne funkcije i nek postoji primitivn funkcij funkcije u (x)v(x). Td postoji primitivn funkcij funkcije u(x)v (x) i pri tome vi jednkost: u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x). 9

21 Skreni zpis ove formule koj e se koristiti u primerim glsi: udv = uv vdu. Dokz. Izvod proizvod dveju diferencijbilnih funkcij u i v nlzi se po formuli: (u(x) v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x), diferencijl proizvod tkvih dveju funkcij je: d(u(x)v(x)) = v(x)du(x) + u(x)dv(x). Ako se iskoristi svojstvo neodreenog integrl koje tvrdi d su opercije nle neodreenog integrl i diferencijl meusobno inverzne, dobij se u(x)v(x) + c = v(x)du(x) + u(x)dv(x). Odvde je u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x), xto je treblo dokzti. Njqexe se koristi skreni zpis ove formule. Metod prcijlne integrcije se moe koristiti ko je mogue ni jednu primitivnu funkciju v(x) z v (x) i ko se zn v(x)du(x). Ovj metod se primeuje ko su dve integrcije jednostvne. N slici 9. je prikzn plet n kojem se grfiqki, kork po kork, prikzuje nqin n koji se vrxi prcijln integrcij. Slik 9: Aplet n kojem je prikzno izvrxve prcijlne integrcije Prilikom korixe ove metode treb voditi rqun o tome d se z u(x) izbere funkcij qiji je izvod jednostvn, pod uslovom d izrz koji posle tog preostje u podintegrlnom izrzu moe jednostvno d se integrli. Do zk uqk d li je primen metode prcijlne integrcije oprvdn i d li je izbor funkcije u(x) i diferencijl dv(x) uspexno nprv en dobij se n osnovu tog d li je n krju dobijeni integrl v(x)du(x) jednostvn i d li g je mogue ni. Primer. Metodom prcijlne integrcije rexiti integrl x e x.

22 Rexee. Z nvedeni integrl postoje dv nqin d se izvrxi prcijln integrcij. Ovde e biti prikzn ob nqin, prvi, koji e podintegrlnu funkciju uqiniti sloenijom i drugi, koji e uprostiti podintegrlnu funkciju, xto je i svrh primeiv prcijlne integrcije. Prvi nqin: Nek je u(x) = e x, dv(x) = x. Odtle sledi d je du(x) = e x, v(x) = x, odnosno vi: x e x = x ex x e x. U ovom sluqju, podintegrln funkcij je postl sloenij z integrciju, tj. polinom u podintegrlnom izrzu je vixeg stepen nego u poqetnom integrlu. Prem tome, ukoliko se nstvi primen metode prcijlne integrcije n ovj nqin, integrl e postjti sve sloeniji, xto nije ci koji treb postii. Drugi nqin: Nek je u(x) = x, dv(x) = e x. Odtle se dobij d je du(x) =, v(x) = e x, p n osnovu nvedene teoreme o prcijlnoj integrciji vi: x e x = xe x e x = xe x e x + c. Odbirom drugog nqin z rexve integrl dolzi se do rexe. Primer. Metodom prcijlne integrcije rexiti integrl e x cos bx, gde su, b R. Rexee. Nek je treni integrl jednk I. Bie primeen prcijln integrcij po formuli. = I = e x cos bx = cos bxde x = ) sin bxde x = ( e x cos bx + b = ex cos bx ( e x cos bx + b ) e x sin bx = ( e x cos bx + b ( e x sin bx b + b ex sin bx b e x cos bx. )) e x cos bx = Integrl dobijen n krju identiqn integrlu koji je zdt n poqetku. Dkle, prethodn jednkost sd izgled ovko: odnosno, vi sledee: I = ex cos bx + b + b ex sin bx b I, I = ex cos bx + b e x sin bx + b. Konqno, dobij se d je treni integrl jednk: I = ex cos bx + b e x sin bx + b.

23 Primer. Metodom prcijlne integrcije rexiti integrl ln x. Rexee. Kd je u pitu integrl funkcije ln x ili bilo koji drugi integrl u kome se ov funkcij pojv uje, on se uvek rexv metodom prcijlne integrcije. U nvedenim sluqjevim, poxto integrl funkcije ln x nije poznt, potrebno je izbrti u(x) = ln x i dv(x) =. Td je du(x) = x Dkle, vi: ln x = x ln x = x ln x x + c., v(x) = x. Slik : Aplet n kojem su prikzn rexe neodreenog integrl z rzliqite vrednosti konstnte c Primer 3. Metodom prcijlne integrcije rexiti integrl rctgx. Rexee. Ko i u prethodnom primeru, kd je u pitu integrl funkcije rctgx ili bilo koji drugi integrl u kome se ov funkcij pojv uje ko deo podintegrlne funkcije, on se rexv metodom prcijlne integrcije. Potrebno je izbrti u(x) = rctgx, dv(x) =, ond je du(x) =, v(x) = x. + x Dobij se: rctgx = x rctgx x + x. Ukoliko se ovde uvede smen t = +x, dobij se d je poqetni integrl jednk: Dkle, x rctgx dt t = x rctgx ln t + c = x rctgx ln + x + c. rctgx = x rctgx ln + x + c.

24 Primer 4. Metodom prcijlne integrcije rexiti integrl + x. Rexee. Nek je polzni integrl jednk I i nek je u(x) = + x, dv(x) =. Odvde je du(x) = x, v(x) = x. Dkle, + x I = + x = x + x x + x. U brojiocu e biti dodto i oduzeto i dobijeni integrl je td mogue zpisti ko zbir dv integrl. x + x + x + x + + x = = x + x + x + ln x + x +. U dobijenom izrzu moe se uoqiti polzni integrl: odnosno, I = x + x I + ln x + x +, Dkle, rexee polznog integrl je: I = x + x + ln x + x +. I = ( x + x + ln x + ) + x. Primer 5. Rexiti integrl x. Rexee. Treni integrl bie oznqen s I i rexv se metodom prcijlne integrcije. Nek je u(x) = x x, dv(x) =. Odvde je du(x) =, v(x) = x. x x I = = x x x x. Ovde se postup ko i u prethodnom primeru, u brojiocu dobijenog integrl e biti dodto i oduzeto, nkon tog, uoqv se d u dobijenom izrzu postoji isti integrl ko polzni: x I = x x Treni integrl jednk je: x = x x I ln x + x. I = ( x x ln x + ) x. 3

25 Primer 6. Ni rekurentnu formulu z integrl I n = ( + x ) n. Rexee. Bie rzmotren dv sluqj. Prvi je kd je n =, drugi kd je n >. U sluqju kd je n =, dobij se tbliqni integrl: = rctgx + c. + x Meutim, u sluqju kd je n >, koristi se metod prcijlne integrcije. nx Nek je u(x) = ( + x ) n, dv(x) =, odkle se dobij d je du(x) = (x n+, v(x) = x. + ) Dkle: I n = ( + x ) n = x (x + ) n + n x (x + ) n+. U brojiocu e biti dodt i oduzet jedinic, p se dobijeni integrl moe predstviti ko zbir dv integrl. Dkle, I n je jednko: I n = ( x (x + ) n +n (x + ) n Odvde se dobij rekurentn vez: ) (x + ) n+ = I n+ = n x (x + ) n + n n Odnosno, ko je u pitu rekurentn vez z I n : I n = n ( x (x + ) n +n (I n I n+ ). I n. ) x (x + ) n + (n 3)I n. 3.3 Integrcij nekih posebnih kls funkcij Prilikom rexv integrl pojedinih kls funkcij, mogue je uvesti neke krkteristiqne smene koje e integrl uprostiti i omoguiti egovo jednostvnije rexve. Ovde e biti rzmotren integrcij tri posebne klse funkcij: rcionlne, ircionlne i trigonometrijske funkcije Integrcij rcionlne funkcije Nek je dt rcionln funkcij P (x). Mogu se z poqetk uoqiti dv Q(x) sluqj. U prvom sluqju, ukoliko je stepen polinom P (x) mi od stepen polinom Q(x) dt funkcij se nziv prvim rzlomkom. U drugom sluqju, ukoliko je stepen polinom P (x) vei od stepen polinom Q(x), moe se izvrxiti de ee polinom P (x) polinomom Q(x) i n tj nqin polinom P (x) se zpisuje u obliku: P (x) = S(x) Q(x) + R(x), 4

26 pri qemu je stepen polinom R(x) mi od stepen polinom Q(x). Sd rcionln funkcij s poqetk izgled ovko: P (x) Q(x) = S(x) + R(x) Q(x), odnosno ko zbir polinom i prvog rzlomk. Ukoliko se tri integrl rcionlne funkcije P (x) Q(x) P (x) Q(x) =, u drugom sluqju to bi bil slede jednkost: S(x) + R(x) Q(x). Kko je iz tblice mogue odrediti integrl polinom, ovj problem se svodi n odreive integrl prvog rzlomk. D bi se odredio integrl prvog rzlomk, z poqetk, potrebno je fktoristti polinom Q(x) u imeniocu. Primer 7. Rzmotriti integrl oblik x. Rexee. Ovo je integrl rcionlne funkcije, kod kog se u brojiocu nlzi konstnt, u imeniocu polinom prvog stepen. Ukoliko se uvede smen t = dt x, dobij se tbliqni integrl. Dkle, rexee je: t Primer 8. Ni integrl x = ln x + c., z k >. (x ) k Rexee. Ko i u prethodnom primeru uvodi se smen t = x. (x ) k = dt t k = ( k)t k + c = ( k)(x ) k + c. Slik : Aplet n kojem su prikzn rexe neodreenog integrl z rzliqite vrednosti prmetr, k i konstnte c 5

27 Primer 9. Rexiti integrl x, ko je. x + Rexee. Bie uveden smen t = x +. Nkon uvoe smene, dobij se rexee: x x + = ln x + + c. Primer. Rzmotriti integrl rcionlne funkcije kod kog je stepen polinom u brojiocu vei od stepen polinom u imeniocu. U pitu je integrl x 3 x +. Rexee. Kko je stepen polinom u brojiocu vei od stepen polinom u imeniocu, prvo e biti izvrxeno de ee polinom. Dobij se: x 3 x + = x x x + = x ln x + + c. Sd e biti nvedene teoreme koje se koriste prilikom integr e rcionlnih funkcij. Stv. Polinom P (x) de iv je s (x ) ko i smo ko je Q() =. Stv. Svki polinom stepen n > im tqno n nul, relnih ili kompleksnih. Meu n nul polinom Q(x) moe biti i jednkih. Prem tome, ko su,,..., m sve rzliqite nule polinom ond se moe npisti Q(x) = c n x n + c n x n c x + c, () Q(x) = c n (x ) k (x ) k (x m ) k m, k + k k m = n, pri qemu se broj k i nziv redom nule i. Primer. Rexiti integrl z n >,. (x + ) n Rexee. Izrz u imeniocu bie trnsformisn: (x + ) = n n ( ( x ) ) n = + n dt (t + ) n, ko je t = x. Dobijeni integrl je rzmotren u primeru 6, p vi: z n =, 3,... (x + ) = n n ( n ( ( x x ) + ) n + (n 3)I n ), 6

28 Slik : Aplet n kojem su prikzn rexe integrl z rzliqite vrednosti broj i n, n slici je prikzno rexee z n = 4 Primer. Rexiti integrl x (x + ) n. Rexee. U nvedenom primeru uvodi se smen t = x +, odvde je i x = dt. x (x + ) n = dt t n = t n+ n + = ( n)t +c = n (n ) (x + ) Stv 3. Ako je kompleksn broj z = α + iβ nul polinom n +c. Q(x) = n c i x i i= s relnim koeficijentim c i, ond je emu konjugovn broj z = α iβ tkoe nul polinom Q(x). Dokz. Z dv proizvo n kompleksn broj z i z ve jednkosti: z ± z = z ± z i z z = z z. Kko je z nul polinom Q(x), vi d je Q(z) = n c i z i =. Potrebno je dokzti d je i Q(z) =. Z Q(z) vi sledee: i= Q(z) = n c i z i = i= n c i z i = i= n c i z i = Q(z) =. i= 7

29 Dkle, ko je Q(x) polinom s relnim koeficijentim i kompleksnom nulom z = α + iβ, td on im i nulu z = α iβ, p je de iv s: (x z )(x z ) = (x (α + iβ))(x (α iβ)) = x αx + α + β = x + px + q, ko je p = α, q = α + β, p, q R. Nveden kvdrtn jednqin im diskriminntu mu od nule. Imjui ovo u vidu, ko i jednkost (), polinom Q(x) s relnim koeficijentim od kojih je uz njvixi stepen jedinic moe se npisti u obliku: Q(x) = (x ) k (x ) k (x p ) k p (x + b x + c ) l (x + b q x + c q ) lq, gde je k + k k p + (l l q ) = n, n je stepen polinom Q, i, b i, c i R, b i 4c i <, i =,... p, j =,..., q. Odreive prmetr ovog rzlg ekvivlentno je nleu svih nul polinom Q(x), tj. rexvu jednqine Q(x) =. Pod pretpostvkom d je rzlge dto u zdtku ili d je polinom Q(x) dovo no jednostvn d g je pozntim metodm mogue rstviti, rcionln funkcij P (x) moe d Q(x) se predstvi u obliku zbir izvesnog broj rzlomk. Svkom fktoru oblik (x i ) k i, i =,..., p, polinom Q(x) odgovr zbir k i rzlomk: A i + A i x i (x i ) A ik i (x i ), k i svkom fktoru oblik (x + b j x + c j ) n j, j =,..., q, odgovr zbir n j rzlomk: M j x + N j x + b j x + c j + M jx + N j (x + b j x + c j ) M jn j x + N jnj (x + b j x + c j ) n j. Pri tom su A iµ, M jν, N jν nepoznti koeficijenti koje treb odrediti. Oni se odreuju metodom neodreenih koeficijent. Izjednqvem dte funkcije P (x) Q(x) s nvedenim zbirom i mnoeem dobijene jednkosti s Q(x) dobijju se polinomi. Dobijen je jednkost dvju polinom. Dv polinom su identiqki jednk ko i smo ko su im jednki koeficijenti uz odgovrjue stepene. Izjednqvem tih koeficijent dobij se sistem jednqin iz kog moemo ni trene koeficijente. Bitno je primetiti d je prilikom ovkvog rzlg u brojiocu uvek polinom z stepen mi od polinom u imeniocu, ko se posmtr opxti oblik polinom. Dkle, svku rcionlnu funkciju je mogue rzloiti n zbir polinom i prostih rzlomk. Prem tome, integrcij rcionlne funkcije svodi se n integrciju polinom i prostih rzlomk. Kko je integrcij polinom jednostvn, u nrednim primerim e biti rzmotreno integrise prostih rzlomk. Primer 3. Rexiti integrl x + 4x +. 8

30 Rexee. U ovom primeru, polinom u imeniocu je nerstv iv. U tom sluqju, kvdrtni trinom x + x + bie zpisn u knonskom obliku x + x + = (x + ) + 9. x + 4x + = (x + x + ) = x + x = Uvodi se smen t = x +. Td se dobij d je poqetni integrl jednk: x + 4x + = Primer 4. Rexiti integrl dt t + 3 = 6 rctg t 3 + c = 6 rctg x + + c. 3 3x + x + 4x + 9. (x + ) + 9. Rexee. Ko i u prethodnom primeru, polinom koji se nlzi u imeniocu je nerstv iv. Polinom e biti zpisn u knonskom obliku x + 4x + 9 = (x+) +5, potom e biti uveden smen t = x+. Odvde je x = t. Dobij se sledee: 3x + x + 4x + 9 = 3x + (x + ) + 5 = 3(t ) + dt = t + 5 3t 4 t + 5 dt. Dobijeni integrl e biti rstv en n zbir dv integrl koji su od rnije poznti. Dobij se sledee rexee: 3x + x + 4x + 9 = 3 tdt t dt t + 5 = = 3 ln t rctg t 5 + c = 3 ln x + 4x rctg x c. Slik 3: Aplet n kojem je prikzn grfik podintegrlne funkcije, ko i rexe integrl z rzliqite vrednosti konstnte c 9

31 Primer 5. Rexiti integrl x + x + 3 (x )(x + ). Rexee. Kko je stepen polinom u brojiocu mi od stepen polinom u imeniocu, nem potrebe z de eem ov dv polinom, jer je u pitu prvi rzlomk. Rcionln funkcij e biti rzloen n zbir prostih rzlomk n sledei nqin: x + x + 3 (x )(x + ) = A x + Bx + C x + + Dx + E (x + ). Ukoliko se obe strne nvedene jednkosti pomnoe s (x )(x + ) dobij se sledee: x +x+3 = (A+B)x 4 +( B+C)x 3 +(A+B C+D)x +( B+C D+E)x+(A C E). Izjednqvem koeficijent uz odgovrjue stepene i dobij se sistem jednqin qij su rexe A =, B =, C =, D = 3, E = 4. Sd je mogue poqetni integrl rstviti n zbir integrl prostih rzlomk: x + x + 3 (x )(x + ) = Prvi integrl jednk je: x x x + x + = ln x. Drugi integrl e prvo biti zpisn ko zbir dv integrl: x + x + = x x + + 3x + 4 (x + ). x + = ln x + + rctgx. Trei integrl se tkoe rstv n dv integrl i dobijju se integrli poznti od rnije: 3x + 4 (x + ) = 3 x (x + ) +4 Rexee poqetnog integrl je ond: x + x + 3 (x + ) = 3 x + + x x + + rctgx. (x )(x + ) = ln x ln 3 x + 4 rctgx+ (x + ) x x + +c Integrcij ircionlnih funkcij Ircionlne funkcije tkoe se mogu pojviti ko deo podintegrlne funkcije. Korixeem odgovrjuih smen integrle qije podintegrlne funkcije sdre korene mogue je svesti n ve rzmotreni i poznti sluqj integrcije rcionlnih funkcij. Ovde e ukrtko, uz pr primer, biti rzmotren integrcij nekih ircionlnih funkcij. 3

32 Prvi i njjednostvniji sluqj je kd se pod korenom nlze linerne funkcije tj. ukoliko je treni integrl oblik: R ( x, n αx + β γx + δ,..., n k αx + β γx + δ gde je s R oznqen rcionln funkcij svojih rgument, n,..., n k su prirodni brojevi. Nek je n =NZS(n,..., n k ). Uvodi se smen: Td je t n = αx + β γx + δ. x = δtn β α γt n = φ(t), = φ (t)dt, p se nvedeni integrl svodi n integrl rcionlne funkcije. Primer 6. Rexiti integrl x 4 x. Rexee. Treni integrl je integrl ircionlne funkcije. Ko xto je reqeno, uvodi se smen t = 4 x i odtle e biti = t 3 dt. Nkon uvedene smene dobij se integrl rcionlne funkcije: x 4 x = t 3 t(t ) dt = ( ) (t + )dt +, ) dt = t ( ) t = + t + ln t +c = t +t+ ln t +c = x + 4 x + ln 4 x +c. Slik 4: Aplet n kojem se z unetu vrednost konstnte c prikzuje odgovrjue rexee integrl 3

33 Bie rzmotren i sluqj kd je potkoren veliqin polinom drugog stepen. Td se uvode Ojlerove 7 smene. Nek je dt integrl oblik R(x, x + bx + c). () Prv Ojlerov smen U sluqju d je >, uvodi se smen x + bx + c = t + x. Ukoliko se kvdrirju obe strne jednkosti, dobij se d je x = t c b t = R (t). Odvde je = R (t)dt i integrl () se svodi n integrl rcionlne funkcije. Primer 7. Rexiti integrl x + x x +. Rexee. Kko je broj koji stoji uz x vei od nule, uvodi se smen x x + = x + t. Odvde je x = t t +, odnosno, = t t dt. Dobij se: (t + ) x + x x + = dt t t + + t + t + (t + )(t + ) dt = dt + 3t (t + )(t + ) dt = dt t + = t ln t + + ln t + + c. Konqno rexee se dobij kd se stvi d je t = x x + x. Drug Ojlerov smen U sluqju kd je c >, uvodi se smen x + bx + c = xt + c. Kvdrirem se dobij d je x = b t c t = R (t). Odvde je = R (t)dt i integrl () se svodi n integrl rcionlne funkcije. Tre Ojlerov smen Ako su x, x meusobno rzliqiti relni koreni kvdrtne jednqine x + bx + c = ond se smenom x + bx + c = t(x x ) integrl () svodi n integrl rcionlne funkcije. Td je x = x t x = R t 3 (t), odnosno, = R 3(t)dt. Prv i tre Ojlerov smen su dovo ne z nlee bilo kog integrl tip (). Primer 8. Rexiti integrl ( + x ) x. Rexee. Ovde se pojv uje potkoren veliqin koj im dve relne nule. Prem tome, uvodi se tre Ojlerov smen, x = t(x + ). Odvde je x = t t + i = 4tdt (t + ) t + t 4 + dt =. Nkon uvedene smene dobij se rexee: t + (t t + )(t + t + ) dt = 7 Leonrd Ojler(nem. Leonhrd Euler, ), xvjcrski mtemtiqr i fiziqr 3

34 = dt t + t + Konqno rexee dobij se kd se stvi d je t = dt t t + = rctg(t + ) rctg(t )+c. x + x. Slik 5: Aplet n kojem se z rzliqite vrednosti konstnte c prikzuje promen rexe integrl Postoje sluqjevi kd je mogue izbei Ojlerovu smenu. Nek je dt integrl oblik P n (x) x + bx + c, gde je P n (x) polinom stepen n, ond se tj integrl moe rexiti primenom formule P n (x) x + bx + c = Q n (x) x + bx + c + λ x + bx + c, gde je Q n (x) polinom stepen n, λ broj. Ukoliko se izvrxi opercij diferencir n obe strne nvedene jednkosti mogu se dobiti konstnte polinom Q n (x) i konstnt λ. Primer 9. Primenom nvedene formule rexiti integrl Rexee. Treni integrl moe se rzloiti po formuli: x + 5x + x + 4x 3 = (Ax + B) x + 4x 3 + λ Nkon diferencir obe strne jednkosti dobij se sledee: x + 5x + x + 4x 3 = A x + 4x 3 + (Ax + B) Svoeem n zjedniqki imenilc dobij se d je: x + x + 4x 3 + x + 5x + x + 4x 3. x + 4x 3. x + 5x + A(x + 4x 3) + (Ax + B)(x + ) + λ, 33 λ x + 4x 3.

35 odnosno, x + 5x + Ax + (6A + B)x + ( 3A + B + λ). Izjednqvem koeficijent uz odgovrjue stepene promen ive x, dobij se sistem: A =, 6A + B = 5, 3A + B + λ =. Rexee sistem jednqin je A =, B =, λ = 6. Dkle, poqetni integrl se moe zpisti u obliku: x + 5x + x + 4x 3 = (x ) x + 4x (x + ) 7 = = (x ) x + 4x ln x + + (x + ) 7 + c Integrcij trigonometrijskih funkcij Nek je dt integrl oblik R(sin x, cos x), gde je R rcionln funkcij svojih rgument. Ovj integrl moe se svesti odgovrjuim smenm n integrl rcionlne funkcije. ) Smen t = tg x Ako je tg x = t ond je x = rctgt. Ukoliko se diferencirju obe strne nvedene jednkosti dobij se = dt + t. Sd je potrebno izrziti funkcije sin x i cos x preko t. sin x = sin x sin x + cos x. Ukoliko se i brojilc i imenilc podele s cos x sin x = tg x + tg x N isti nqin dobij se d je cos x jednko: = t + t. dobij se d je: cos x = tg x + tg x = t + t. Primer 3. Uvoeem smene t = tg x rexiti integrl 5 4 sin x + 3 cos x. 34

36 Rexee. Uvoeem trene smene, dobij se: 5 4 sin x + 3 cos x = dt t 4t + 4 = dt (t ) = t + c = tg x + c. Slik 6: Aplet n kojem se z rzliqite vrednosti konstnte c prikzuje promen rexe integrl U nekim sluqjevim postoje pogodnije smene, koje e ovde biti rzmotrene. ) Smen t = tgx Ako je R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) ond se integrl R(sin x, cos x) svodi n integrl rcionlne funkcije smenom t = tgx. Odvde je x = rctgt, p je = dt + t. Potrebno je sd izrziti funkcije sin x i cos x preko t. Odvde je: cos x = cos x sin x + cos x = + tg x = + t. cos x = + t. Vrednost sin x dobij se iz trigonometrijskog identitet sin x + cos x =. Bie: sin x = t + t. Primer 3. Uvoeem smene t = tgx rexiti integrl Rexee. Uvoeem trene smene dobij se: sin 4 x cos x = + t + t 4 t 4 dt = dt t 4 + dt t + = 3 t 3 t + t + c = tgx tgx 3tg 3 x + c. 35 sin 4 x cos x. dt =

37 3) Smen t = sin x Ako je R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) tj. ko je dt rcionln funkcij neprn po cos x td je njbo smen t = sin x. sin x + cos x Primer 3. Uvoeem odgovrjue smene rexiti integrl sin x +. Rexee. Ovde e prvo biti primeen dicion formul z sinus dvostrukog ugl. Dobij se: sin x + cos x sin x cos x + cos x sin x + = sin x + Podintegrln funkcij je neprn po funkciji cos x, p e biti uveden smen t = sin x. Dobij se d je poqetni integrl ond jednk: t + t + dt = ln t + + rctgt + c = ln sin x + + rctg(sin x) + c. Slik 7: Aplet n kojem se z rzliqite vrednosti konstnte c prikzuje promen rexe integrl 4) Smen t = cos x Ukoliko je R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) tj. ko je dt rcionln funkcij neprn po sin x, td je njbo smen t = cos x. Primer 33. Uvoeem odgovrjue smene rexiti integrl sin 3 x cos x. Rexee. Moe se uoqiti d je podintegrln funkcij neprn po funkciji sin x, p e biti uveden smen t = cos x. Dobij se: sin 3 x cos x = ( cos x) cos x sin x = (t 4 t )dt = = t5 5 t3 3 + c = cos5 x 5 cos3 x 3 + c 36

38 4 Odreeni integrl Odreeni integrl, ko xto je prikzno u istorijskom uvodu, nstje hronoloxki pre pojm neodreenog integrl. Pojm neodreenog integrl se osl n pojm izvod i ne predstv neki novi osnovni pojm, md omoguv olkxn rd s odreenim integrlim. Ve je pomenuto d su se ntiqki nrodi u suxtini koristili nekim specijlnim sluqjevim odreenog integrl. Ovde e biti prikzn problem kvdrture prbole ko jedn od znqjnih Arhimedovih rezultt uz upotrebu svremenih oznk. Tj rezultt se moe smtrti jednim od prvih znqjnih rezultt mtemtiqke nlize. Pri tome e biti korixen pojm limes niz relnih brojev. Problem kvrdrture prbole Korixeem progrmskog pket GeoGebr nprv eni su interktivni pleti n kojim je ilustrovn problem kvdrture prbole kork po kork. Pritiskom n dugmie n veb strnici, n pletu se pojv uju odgovrjui sdrji. Nek je dt prbol y = x i prvougonik s temenim A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), >. Td prbol deli prvougonik n dve figure qije se povrxine odnose ko :. N slici 8. prikzn je prbol i dti prvougonik, ko i ihove povrxine. Pritiskom n dugme,,klizq" n pletu prikznom n slici 8. dolzi do promene duine strnice, smim tim i do promene povrxine prvougonik i xrfirnog del ispod prbole. Slik 8: Interktivni plet n kojem je prikzn povrxin nvedenih figur 37

39 Povrxin prvougonik jednk je P = = 3. Nek je S povrxin xrfirne figure, ogrniqene strnicm AB i BC prvougonik i delom luk prbole od A do C. Treb dokzti d je S : (P S) = :, odnosno, S = 3 P = 3 3. Nek je n prirodn ] [ broj. Odseqk [, ] ose Ox bie pode en n n jednkih odseqk:, n n], [,, (n ) ] n, ; svki od ovih odseqk im [, n duinu. Nd svkim od ovih odseqk potrebno je konstruisti dv prvougonik:,,opisni", qije desno gore teme pripd prboli, i,,upisni", n qije levo gore teme pripd prboli. N slici 9. i slici 3. prikzni su pleti s opisnim, odnosno upisnim, prvougonicim, pritiskom n dugme,,promeni broj podeonih tqk" dolzi istovremeno i do promene broj prvougonik. ( n n ( n Slik 9: Opisni prvougonici Visine opisnih prvougonik, jednke su, redom: ( ), n p su i ihove povrxine jednke, redom: Slik 3: Upisni prvougonici n( n ), ( ), (..., (n ), ) n n), ( ), (, (n ), n n n n) n n). Odtle sledi d je zbir P o povrxin opisnih prvougonik jednk ( ) 3( P O = (n ) + n ) = n ( ) 3 n(n + )(n + ) = n 6 = 3 n + 3n + 6n = n + 3 6n. Povrxin svkog od upisnih prvougonik jednk je rzlici povrxin odgovrjueg opisnog prvougonik i,,dodtog"prvougonik. 38

40 Slik 3: Dodti prvougonici Svki od dodtih prvougonik im jednu od strnic duine, dok je n zbir duin ihovih drugih strnic jednk. Pritiskom n dugme,,pokreni nimciju" n pletu prikznom n slici 3. dodti prvougonici se,,slu" u jedn veliki prvougonik qije su strnice duine n i. Zbog tog je zbir P D povrxin dodtih prvougonik jednk n = 3. Ond je n zbir P U povrxin upisnih prvougonik jednk rzlici P O P D, odnosno Oqigledno je dkle zbog qeg je P U = n + 3 6n 3 n = n + 3 6n. P U < S < P O, n + 3 6n < S < n + 3 6n, 3 n + 3 6n < S 3 3 < 3 n + 3 6n. Ove nejednkosti su tqne z svki prirodn broj n. Poxto je lim n ( 3 n + 3 6n ) =, lim n ( 3 ) n + 3 6n moe se zk uqiti d je S = 3, xto je i treblo dokzti. 3 =, Sd kd je poznt povrxinu S trene figure mogue je povezti problem kvdrture prbole s pojmom primitivne funkcije. Nek je dt prbol y = x. Bie nen povrxin S(t) figure u rvni koj je ogrniqen osom Ox, prvom x = t, t i delom luk prbole z x t. 39

41 Slik 3: Tren povrxin Slik 33: Krivolinijski trpez kd je h > Funkcij S(t) je definisn z svko t i nek je to odreeni pozitivn broj. Bie izrqunt rzlik S(t + h) S(t ). Ako je h >, to je povrxin krivolinijskog trpez prikznog n slici 33. On je ve od odgovrjueg upisnog prvougonik i m od povrxine odgovrjueg opisnog prvougonik. Dkle, t h < S(t + h) S(t ) < (t + h) h, (3) odnosno, t < S(t + h) S(t ) < (t + h). h Ako je h <, t +h >, td e S(t ) S(t +h) biti povrxin krivolinijskog trpez prikznog n slici 34. Slik 34: Krivolinijski trpez kd je h < Povrxin e ond biti izmeu: odnosno, poxto je h < : (t + h) h < S(t ) S(t + h) < t h, (t + h) h > S(t + h) S(t ) > t h. Dkle, vie: (t + h) < S(t + h) S(t ) h Iz formul (3) i (4) sledi d postoji S(t + h) S(t ) lim h h 4 < t. (4)

42 i d je on jednk t. Funkcij S(t) e imti u svkoj tqki t izvod S (t ) = t, xto znqi d je S(t) primitivn funkcij z funkciju t. Odvde je S(t) = 3 t3 + c, t. Kko je S() =, dobij se d je i c =, p je S(t) = 3 t3, t. Z t =, ovo je formul S = 3 3, dobijen prilikom rexv problem kvdrture prbole Arhimedovom metodom. 4. Motivcij z uvoee odreenog integrl Iko se pojm odreenog integrl osl n pojm izvod, on istorijski nstje pre eg. Pojedini problemi iz fizike i geometrije vode do pojm odreenog integrl. Ovde e biti rzmotren problem povrxine. Potrebno je prvo definisti figuru koj se zove krivolinijski trpez. Krivolinijski trpez je figur u rvni koj je ogrniqen s tri dui i jednim lukom neprekidne krive, pri qemu su dve od tih dui prlelne, tre n ih normln i prve koje su prlelne imju s lukom krive njvixe jednu zjedniqku tqku. U specijlnom sluqju jedn ili obe od prlelnih dui moe d se svede n jednu tqku i td se dobij krivolinijski trougo. Pojedine figure u rvni bie mogue rzloiti n nekoliko krivolinijskih trpez ili trouglov, li postoje i one koje nije mogue rzloiti n ovj nqin. Ukoliko je figuru F mogue rzloiti n dve figure F i F i ko te figure imju povrxine P (F ) i P (F ), ond e povrxin figure F biti P (F ) = P (F ) + P (F ). Nek je u rvni dt krivolinijski trpez F. Nek je u toj rvni dt koordintni sistem xoy tko d strnic tog trpez koj se nlzi nsprm egove krivolinijske strnice pripd osi Ox. Trpez se nlzi,,iznd" ose Ox. Nek je y = f(x), x [, b], funkcij qiji je grfik krivolinijsk strnic trpez, pri qemu su i b pcise krjev strnice trpez koj pripd osi Ox. Nek su x, x,..., x n, x n pcise tqk n osi Ox, tkve d je = x < x < < x n < x n = b. Tim tqkm je pode en odseqk [, b] n sledee pododseqke [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], p se ureen (n + )-tork (x, x,..., x n, x n ) zove podel odseqk [, b] i to se zpisuje ko P = {x, x,..., x n, x n }. 4

43 Slik 35: Krivolinijski trpez s podelom Nek je od tih pododseqk izbrn proizvo n, [x i, x i ], i nek je ξ i proizvo n tqk tog pododseqk. Bie konstruisn prvougonik qij je osnov odseqk [x i, x i ], visin f(ξ i ). N slici 36. prikzn je interktivni plet n kojem se pritiskom n dugmie pojv uju odgovrjui sdrji opisni u nvedenoj konstrukciji. Slik 36: Prvougonik nd odseqkom Povrxin ovog prvougonik jednk je P i = f(ξ i )(x i x i ). Ako se ovkv konstrukcij izvrxi nd svkim odseqkom [x i, x i ], i =,,..., n, dobij se figur S qij je povrxin jednk P (S) = n f(ξ i )(x i x i ). i= Z dti odseqk [, b] i dtu funkciju f(x) oblik figure S zvisie od podele P = {x, x,..., x n, x n } odseqk i izbor tqk ξ i [x i, x i ], i =,,..., n. Nek je ovj izbor tqk oznqen s ξ = {ξ, ξ,..., ξ n }. Ako su ovi odseqci sitni, figur S se nee mnogo rzlikovti od krivolinijskog trpez 4

44 F. Nek je x i = x i x i, i =,,..., n. Ond skup { x, x,..., x n } predstv konqn skup pozitivnih relnih brojev, p on sdri svoj njvei element d = d(p ) = mx { x, x,..., x n }. Ako je d dovo no mli pozitivn broj, podeoci su sitni, podel P je,,fin". Ako se broj d smuje uvoeem novih podeonih tqk, podeoci se d e usit- vju i podel postje sve finij. Pri tome e se dobijen stepenst figur koj tko nstje sve me rzlikovti od krivolinijskog trpez. N pletu prikznom n slici 37. pritiskom n dugme,,usitvju" koje se nlzi u tekstu, poqie d se povev broj podeonih tqk, ko i konstruisnih prvougonik i n tj nqin se dobijen figur sve vixe pribliv krivolinijskom trpezu. Slik 37: Aplet n kojem je prikzn stepenst figur uz povee broj prvougonik Definicij 3. Reln broj S je povrxin krivolinijskog trpez F ko z svko ε > postoji δ >, tkvo d je z sve podele P z koje je d(p ) < δ i z svki izbor tqk ξ = {ξ, ξ,..., ξ n } u odgovrjuim pododseqcim ispueno n f(ξ i )(x i x i ) S < ε, odnosno, i= P (F ) = S = lim d n f(ξ i ) (x i x i ). i= 43

45 U kizi [5] se mogu pogledti rzmtr drugih problem koji vode do pojm odreenog integrl. Ukoliko se rezultti dobijeni rexvem tih problem uporede, uoqv se nlogij iz koje se moe zk uqiti d dobijene formule govore o istom pstrktnom pojmu, bez obzir n fiziqku i geometrijsku interpretciju. 4. Definicij odreenog integrl Nek je dt segment [, b] R. Konqn skup tqk P = {x, x,... x n } tkv d je = x < x <... < x n = b nziv se podelom segment [, b]. Ako z skup P [, b] svih podel segment [, b] vi P P ond je podel P finij od podele P. S x i = x i x i bie oznqen duin podeonog segment. Prmetr podele P bie λ(p ) = mx x i. N svkom segmentu [x i, x i ], i =,..., n, je i n izbrn tqk ξ i. Skup svih izbrnih tqk oznqen je s ξ = {ξ, ξ,..., ξ n }. N ovj nqin dobij se podel s istknutim tqkm (P, ξ) segment [, b]. Definicij 4. Nek je f : [, b] R i nek je (P, ξ) podel s istknutim tqkm segment [, b]. Zbir σ(f, P, ξ) = n f(ξ i ) x i nziv se integrlnom sumom funkcije f z dtu podelu (P, ξ). Nveden definicij, ko i uvod u u, interktivno su prikzni u sklopu nvedene veb strnice. Pritiskom n odgovrjue dugme dolzi do geometrijskog prikz nvedenih pojmov, slik plet, ko i del veb strnice gde se nlze odgovrjui dugmii povezni s pletom mogu se videti n slici 38. i= Slik 38: Definicij odreenog integrl 44

46 Definicij 5. Z broj I se ke d je limes (grniqn vrednost) integrlnih sum σ(f, P, ξ) funkcije f : [, b] R kd λ(p ) i pixe se lim σ(f, P, ξ) = I, λ(p ) ko z svko ε > postoji δ >, tko d z svku podelu s istknutim tqkm (P, ξ) P [, b] vi nejednkost kd je λ(p ) < δ. σ(f, P, ξ) I < ε, Ako lim λ(p ) σ(f, P, ξ) postoji i konqn je, ond se ke d je funkcij f integrbiln u Rimnovom smislu n segmentu [, b]. Broj I = lim σ(f, P, ξ) λ(p ) nziv se Rimnovim integrlom funkcije f n segmentu [, b] i pixe se I = b f(x). Broj predstv dou grnicu integrl, broj b predstv goru grnicu integrl, funkcij f nziv se podintegrlnom funkcijom, izrz f(x) podintegrlnim izrzom. Skup svih funkcij integrbilnih u Rimnovom smislu n segmentu [, b] oznqv se s R[, b] i tkve funkcije se nzivju integrbilnim funkcijm. N slici 39. prikzn je plet n kojem se, pritiskom n dugme n kome pixe,,usitv", povev broj podeonih tqk, smuje se podeoni segment i kreirni prvougonici se sve vixe priblivju krivolinijskom trpezu koji grdi funkcij f. Slik 39: Aplet n kojem je prikzno povee broj podeonih tqk i priblive figure koju grde prvougonici krivolinijskom trpezu 45

47 Stv 4. Potrebn uslov d funkcij f bude integrbiln n segmentu [, b] jeste d funkcij f bude ogrniqen n segmentu [, b]. Iz stv 4. se zk uquje d iz Rimn integrbilnosti sledi ogrniqenost, dok obrnuto ne mor d vi. Dokz. Tvree se negir. Nek je funkcij neogrniqen, li i Rimn integrbiln. Poxto je funkcij Rimn integrbiln vi: lim σ(f, P, ξ) = I. λ(p ) Z svko ε > postoji δ > tko d vi: σ(f, P, ξ) I < ε, λ(p ) < δ. Nek je izbrn jedn podel P z koju e ovo d vi. Poxto je dt pretpostvk d funkcij nije ogrniqen, postoji jedn podeoni segment n kome f nije ogrniqen i postoji x k tkvo d to vi. Integrln sum je ogrniqen: I ε < σ(f, P, ξ) < I + ε. Tkoe, integrln sum se moe zpisti i ko σ(f, P, ξ) = f(ξ k ) x k + n f(ξ i ) x i. Koj god vrednost d se uzme z ξ k, f(ξ k ) e se pribliiti beskonqnosti. Zto f(ξ k ) x k moe biti proizvo no veliko (mlo), xto znqi d g je nemogue ogrniqiti s I + ε ili I ε. Poxto je nemogue d zbir ogrniqene veliqine i neogrniqene bude ogrniqen, ko xto je pretpostv eno n poqetku zdtk, dolzi do kontrdikcije. Time je dokzno d polzn pretpostvk nije tqn tj. d svk Rimn integrbiln funkcij mor biti ogrniqen. Primer 34. N primeru Dirihleove funkcije bie prikzno d ko je funkcij ogrniqen ne mor biti Rimn integrbiln. Rexee. Nek je dt Dirihleov funkcij n segmentu [, b]: χ(x) = i= {, x Q, x / Q. Ov funkcij im prekid u svkoj tqki. Nek je dt pretpostvk d je on Rimn integrbiln. Td e integrln sum u tqkm koje pripdju skupu rcionlnih brojev biti σ(f, P, ξ) = rcionlni brojevi e biti σ(f, P, ξ) = n i= x i = b, u tqkm koje nisu n i= x i =. Odvde sledi d limes ove sume ne postoji p Dirihleov funkcij nije integrbiln n [, b]. 46

48 U vezi s integrlnom sumom stoje Drbuove sume. Nek je funkcij f definisn i ogrniqen n segmentu [, b] i nek je P = {x, x,..., x n } podel tog segment. Nek su m i, odnosno, m i M i, odnosno, M: m i = inf f(x), m = inf f(x); x [x i,x i ] x [,b] Sum s = s(f, P ) = n i= M i = sup f(x), M = sup f(x). x [x i,x i ] x [,b] m i x i nziv se doom Drbuovom sumom, S = S(f, P ) = gorom Drbuovom sumom funkcije f n segmentu [, b]. n M i x i i= Stv 5. Ako je funkcij f ogrniqen n segmentu [, b] td z integrlnu i Drbuove sume vi:. m(b ) s(f, P ) σ(f, P, ξ) S(f, P ) M(b );. inf ξ σ(f, P, ξ) = s(f, P ), sup σ(f, P, ξ) = S(f, P ). ξ Dokz ovog stv moe se videti u kizi []. Kko su Drbuove sume ogrniqene, vie d postoje konqni sup s(f, P ) i inf S(f, P ). Do Drbuov sum P P je ogrniqen odozgo s M i, p im svoj supremum, gor Drbuov sum je ogrniqen odozdo p im svoj infimum. Nek je I = sup s(f, P ) P doi Drbuov integrl, I = inf S(f, P ) P gori Drbuov integrl funkcije f n segmentu [, b]. Sd e biti nveden Drbuov teorem i jedn en posledic koj tvrdi d su gori i doi Drbuov integrl ujedno i limesi odgovrjuih sum. Teorem 6. Z ogrniqenu funkciju f n segmentu [, b] vi I = lim s(f, P ), I = lim S(f, P ). λ(p ) λ(p ) Posledic 7. Ve slede dv tvre:. Ogrniqen funkcij n segmentu je integrbiln ko i smo ko joj se doi i gori Drbuov integrl poklpju.. Ogrniqen funkcij f je integrbiln n segmentu [, b] ko i smo ko z svko ε > postoji podel P tog segment tkv d je S(f, P ) s(f, P ) < ε. 47

49 4.3 Integrbilnost U ovom delu bie nveden formulcij i geometrijsk interpretcij pojedinih teorem veznih z odreeni integrl i pojm integrbilnosti. Teorem 8. Svk neprekidn funkcij n segmentu [, b] je Rimn integrbiln n tom segmentu. Dokz ove teoreme moe se videti u kizi []. Stv 6. Svk monoton funkcij n segmentu je Rimn integrbiln. Dokz. Nek je funkcij f rstu n segmentu [, b] i f const. Slik 4: Rstu funkcij s jednim podeonim segmentom ε Z dto ε > nek je P podel segment [, b] tko d je λ(p ) < δ, δ = f(b) f(). Td je: n ε n S(f, P ) s(f, P ) = (M i m i ) x i < f(b) f() (M i m i ) = = i= ε (f(b) f()) = ε. f(b) f() Teorem 9. Nek je funkcij f ogrniqen i neprekidn n segmentu [, b], sem u konqno mnogo tqk prekid. Td je f integrbiln n [, b]. Dokz ove teoreme moe se videti u kizi []. 4.4 Svojstv odreenog integrl 4.4. Linernost integrl Teorem. Nek su funkcije f, g R[, b] i α R. Td je f ± g R[, b] i αf R[, b]. Pri tome ve jednkosti i=. b [f(x) ± g(x)] = b f(x) ± b g(x);. b αf(x) = α b f(x). 48

50 Dokz. Integrln sum integrl Kko je σ(f ± g, P, ξ) = lim λ(p ) b n [f(ξ i ) ± g(ξ i )] x i = i= σ(f, P, ξ) = lim σ(f ± g, P, ξ) = λ(p ) b [f(x) ± g(x)] bie zpisn u obliku: n f(ξ i ) x i ± i= = σ(f, P, ξ) ± σ(g, P, ξ). b je integrln sum integrl obliku: f(x), lim σ(g, P, ξ) = λ(p ) b n g(ξ i ) x i = i= g(x), postoje i [f(x) ± g(x)] p e viti prv jednkost. Nek b αf(x) = α b f(x) zpisn u sledeem σ(αf, P, ξ) = n n αf(ξ i ) x i = α f(ξ i ) x i = ασ(f, P, ξ). i= i= Prelskom n limes kd λ(p ) vidi se d postoji integrl d vi drug jednkost. b αf(x) i Posledic. Ako su f, g R[, b] i α, β relni brojevi, ond αf + βg R[, b]. Pri tome vi jednkost: b [αf(x) + βg(x)] = α b f(x) + β b g(x). Teorem. Nek su f, g R[, b]. Td ve slede tvre:. fg R[, b];. f R[, b]; 3. f R[, b] uz uslov f(x) α > z x [, b]; 4. f R[α, β] ko [α, β] [, b]. Dokz ove teoreme moe se videti u [] Aditivnost integrl Stv 7. Ako je funkcij f R[, c] i < b < c ond je f R[, b], f R[b, c] i pri tome vi jednkost c f(x) = b f(x) + c b f(x). 49

51 Dokz nvedene teoreme moe se videti u []. Imjui u vidu geometrijsku interpretciju odreenog integrl pozitivne funkcije ko povrxine krivolinijskog trpez, ovde e biti nveden i geometrijsk interpretcij dte teoreme. Prikzn je slik plet n kojem, ko i rnije, pritiskom n odgovrjue dugmie, dolzi do kreir slike koj predstv geometrijsku interpretciju nvedene teoreme. Slik 4: Geometrijsk interpretcij teoreme o ditivnosti integrl Prilikom definis integrl b f(x) vil je pretpostvk d je < b. Slede definicij e omoguiti rd s integrlim qij je gor grnic ve ili jednk s doom. Definicij 6.. Ako je < b i integrl. Ako je funkcij f definisn u tqki, ond je b b f(x) postoji, ond je f(x) = b f(x). Stv 8. Nek tqke, b, c R predstv ju krjeve triju segment. Ako je funkcij f integrbiln n njveem od tih segment, ond je on integrbiln i n ostl dv. Pri tome vi jednkost: c f(x) = b f(x) + c b f(x). Dokz. Tvree o integrbilnosti funkcije sledi iz poslede stvke teoreme. Nek je < c < b. N osnovu stv 7. je: b f(x) = c f(x) + 5 b c f(x) f(x) =.

52 tj. c f(x) = b f(x) b c f(x). Ukoliko se uzme u obzir prethodn definicij, dobij se c f(x) = b f(x) + Sliqno se postup i u ostlim sluqjevim. 8 c b f(x). Sd e biti rzmotreni neki sluqjevi rzdvj jednog n dv integrl. Primer 35. Nek je funkcij f : [, ] R neprekidn. Rzmotriti qemu je zdti integrl jednk ukoliko je funkcij f prn, odnosno, ukoliko je neprn. Rexee. Poznto je d je f( x) = f(x) ukoliko je funkcij f prn, ukoliko je neprn ond vi d je f( x) = f(x). Ovde e biti rzmotren ov dv sluqj odvojeno, koristei se pritom nvedenim stvom i definicijom o ditivnosti integrl. Z poqetk, poqetni integrl e biti predstv en ko zbir dv integrl. Dobij se: f(x) = f(x) + U prvi integrl uvodi se smen x = t, odkle je: f( t)dt +. Funkcij f je prn f(x) = f( t)dt+. Funkcij f je neprn f(x) = f(x) = f( t)dt + f(x) = f(x). f( t)dt + f(x) = f(t)dt+ f(t)dt + f(x). f(x) = f(x) =. f(x). Bitno je primetiti d su odgovrjui integrli po x i po t jednki, jer imju iste grnice i uzimju isti rgument odgovrjue funkcije, smo je ime promen ive rzliqito. Slik 4: Prn funkcij Slik 43: Neprn funkcij 8 Dokz je preuzet iz [] 5

53 4.4.3 Monotonost integrl Stv 9. Ako je f R[, b], < b i f(x) > z x [, b], ond je Dokz. Kko je integrln sum σ(f, P, ξ) = nenegtivn, p je tkv i en grniqn vrednost. n i= b f(x). f(ξ i ) x i z svko (P, ξ) P[, b] Posledic 3. Ako je f(x) g(x), x [, b], < b i f, g R[, b], ond je b f(x) b g(x). Dt je geometrijsk interpretcij posledice 3. Krivolinijski trpez koji grdi funkcij g im veu povrxinu od krivolinijskog trpez koji grdi funkcij f. Slik 44: Geometrijsk interpretcij teoreme o monotonosti integrl Stv. Ako je f R[, b], < b ond vi: b b f(x) f(x). Dokz. Iz nejednkosti f(x) f(x) f(x) i n osnovu posledice 3. sledi d je odkle je b f(x) b b f(x) b b f(x) f(x). f(x), 5

54 4.5 Prv teorem o sredoj vrednosti Teorem 4. Nek su f, g R[, b], m = inf x [,b] f(x), M = sup x [,b] f(x) i g(x) (g(x) ) z x [, b]. Td postoji µ [m, M], tko d je b f(x)g(x) = µ b Ako je jox f C[, b], ond postoji c (, b), tko d je b f(x)g(x) = f(c) b g(x). (5) g(x). (6) Dokz. Nek je funkcij g nenegtivn. Td iz m f(x) M sledi Integrcijom se dobij Ako je b b m b mg(x) f(x)g(x) Mg(x), x [, b]. g(x) g(x) =, ond je g(x) > ond je m b b p se z broj µ u relciji (5) moe uzeti f(x)g(x) M b g(x). f(x)g(x) = i relcij (5) vi. Ako je b f(x)g(x) b g(x) M, b f(x)g(x) b g(x). U sluqju neprekidnosti funkcije f, prem Koxi-Bolcnovoj teoremi o meuvrednosti 9 postoji tqk c (, b), tko d je f(c) = µ, p jednkost (6) vi. Ukoliko se u prethodnoj teoremi stvi d je g(x), dobij se posledic nvedene teoreme. Posledic 5. Nek je f R[, b], m = inf f(x), M = sup f(x). Td po- x [,b] x [,b] stoji µ [m, M] tko d b f(x) = µ(b ). (7) Ako je f C[, b], ond postoji c (, b) tko d vi jednkost b 9 Ov teorem se moe videti u kizi [5] f(x) = f(c)(b ). (8) 53

55 Ov posledic se nekd nziv prvom teoremom o sredoj vrednosti. Sd e biti rzmotreno geometrijsko tumqee ove teoreme. N slici 45. je prikzn plet n kojem je grfik funkcije f(x) i prv y = f(c), c (, b). Pritiskom n odgovrjue dugmie n veb strnici n pletu dolzi do iscrtv odreenih geometrijskih likov. Jednkost (8) kzuje d su povrxine krivolinijskog trpez ABCD i prvougonik ABEF jednke. Slik 45: Geometrijsk interpretcij posledice prve teoreme o sredoj vrednosti Primer 36. Ni sredu vrednost funkcije f(x) = sin x e cos x n intervlu [ π, π]. Rexee. U ovom primeru bie primeen teorem o sredoj vrednosti Dkle, f(c) = b b f(x). f(c) = π sin x e cos x. π π Uvoeem smene t = cos x, dolzi se do rexe neodreenog integrl: sin xe cos x = Sd je mogue ni sredu vrednost funkcije f. f(c) = 4π e t dt = et = e cos x. π x e cos π =. Dobijen sred vrednost funkcije jednk je, xto se moe videti i n grfiku nvedene funkcije. 54

56 Slik 46: Grfik funkcije f(x) iz primer 36. Primer 37. Ni broj c koji zdovo v teoremu o sredoj vrednosti z funkciju f(x) = x + 3x +, n intervlu [, 4]. Rexee. Funkcij f(x) je neprekidn n dtom intervlu i mogue je primeniti teoremu o sredoj vrednosti. Odvde je f(c) = 4 4 (x + 3x + ), f(c) = ( x ) 4 x + x 3(c + 3c + ) = 99, odkle se dobij d je c =, 593 i c = 5, 593. Broj c ne pripd zdtom intervlu, p e rexee zdtk biti c. 4.6 utn-ljbnicov formul Ko xto je ve reqeno, Isk utn i Gotfrid Vilhem Ljbnic su krjem 7. vek zsnovli diferencijlni i integrlni rqun, nezvisno jedn od drugog. Tkoe, oni su istovremeno formulisli i osnovnu teoremu klkulus koj e ovde biti nveden. Koristei se tom teoremom bie izveden i utn-ljbnicov formul koj omoguv jednostvniji rd s odreenim integrlim.. 55

57 Nek je funkcij f integrbiln n segmentu [, b]. Kd x uzim vrednost iz segent [, b] ond je φ(x) = x f(t)dt funkcij definisn n [, b]. Ov funkcij qesto se nziv integrlom s promen ivom gorom grnicom. Stv. Nek je funkcij f R[, b] i nek je φ(x) = Td:. funkcij φ je neprekidn n segmentu [, b]; x f(t)dt, x [, b].. ko je funkcij f neprekidn u tqki x [, b], ond je φ diferencijbiln u toj tqki. Pri tom vi: φ (x) = f(x). Dokz.. Nek x, x + h [, b]. Ako je sup f(x) = M, prem posledici x [,b] teoreme o sredoj vrednosti je φ(x + h) φ(x) = x+h p je funkcij φ neprekidn u tqki x. x f(t)dt M h, h,. Prvo e biti nen izvod φ (x) funkcije φ u tqki x u kojoj je funkcij f neprekidn. φ(x + h) φ(x) h Nek je m h = sredoj vrednosti je = h ( x+h inf f(t)i M h = t [x,x+h] m h h f(t)dt x ) f(t)dt = h x+h x f(t)dt. sup f(t). Prem posledici teoreme o t [x,x+h] x+h x f(t)dt M h. Ako je f neprekidn zdesn, odnosno slev, u tqki x, ond m h f(x), M h f(x) z h +, odnosno h, p je odnosno, lim h + h lim h h x+h x x+h x f(t)dt = f(x), f(t)dt = f(x). Ako je funkcij f neprekidn u tqki x, ond je lim h h x+h x 56 f(t)dt = f(x),

58 tj. φ (x) = lim h φ(x + h) φ(x) h = f(x). Nek je funkcij f : [, b] R neprekidn u tqki x [, b], i funkcij Φ(x) = Odvde se moe zk uqiti d vi Φ (x) = ( x b b x f(t)dt. f(t)dt) = f(x). Posledic 6. Ako je f : [, b] R neprekidn funkcij, ond je en primitivn funkcij. φ(x) = x f(t)dt, x [, b], Sledei plet prikzuje integrl funkcije s promen ivom gorom (do- om) grnicom i iscrtv grfik funkcije koj predstv rexee integrl. Slik 47: Aplet n kojem je ilustrovn integrl s promen ivom grnicom Primer 38. Ni izvod funkcije Φ(x) ko je )Φ(x) = b)φ(x) = x x π e t dt, sin t dt. t 57

59 Rexee. Nijedn od ovih integrl se ne moe rexiti ko neodreen, li to ne znqi d on ne postoji, jer svk neprekidn funkcij im primitivnu. ) Nek je e t dt = F (t) + c. Ukoliko se primeni prvi izvod n obe strne nvedene jednkosti dobij se d je F (t) = e t. Kko je u pitu odreeni integrl, dobij se: Φ(x) = F (t) x = F (x) F (), gde je F () konstnt. Dkle, vi d je sin t Φ (x) = F (x) = e x. b) Nek je dt = F (t) + c. Ovde e se postupiti isto ko u prvom delu t ) zdtk: Φ(x) = F (t) x π = F (x) F. Odvde je: ( π Φ (x) = F (x) = F (x) = sin x x. Teorem 7 ( utn-ljbnicov formul). Nek je funkcij f neprekidn n odseqku [, b] i nek je F (x) bilo koj primitivn funkcij z f(x) n [, b]. Ond vi: b f(x) = F (b) F (). Dokz. Nek su F (x) i Φ(x) primitivne funkcije z f(x) n [, b] koje se rzlikuju z konstntu, tj. Φ(x) = F (x) + c. Odnosno, prem osnovnoj teoremi klkulus vi: x Ukoliko se stvi d je x =, dobij se p je c = F () i x Ako se uzme d je x = b dobij se b f(t)dt = F (x) + c. = F () + c, f(t)dt = F (x) F (). f(t)dt = F (b) F (), odnosno, ko se promen iv u podintegrlnom izrzu oznqi s x dobij se b f(x) = F (b) F (). 58

60 Iko su utn i Ljbnic njzsluniji z formulciju i pronlzk ove formule, mnogi mtemtiqri poqev od Arhimed p n d e dli su veliki doprinos otkriu ove formule. utn-ljbnicov formul se njqexe pixe u sledeem obliku: b f(x) = F (x) b = F (b) F (). Primer 39. Rexiti odreeni integrl e x. + ex Rexee. U ovom primeru, prvo e biti izrqunt odgovrjui neodreeni integrl. Uvodi se smen t = e x. Dkle: e x = + ex Nek je F (x) = rctge x. Td je: dt + t = rctgt + c = rctgex + c. e x + e x = rctgex = rctge rctg = rctge π 4. U ovom primeru je primeen utn-ljbnicov formul i n tj nqin je dobijeno rexee odreenog integrl. Primer 4. Rexiti odreeni integrl rcsin x. Rexee. Prvo e biti rexen neodreeni integrl metodom prcijlne integcije. Pri tome mor biti x <. rcsin x = x rcsin x Nek je F (x) = x rcsin x + x. Prem x x = x rcsin x + x + c. utn-ljbnicovoj formuli vi: rcsin x = (x rcsin x + x ) = ( π ) Metod smene u odreenom integrlu Teorem 8. Nek je funkcij f : [, b] R neprekidn, funkcij φ : [α, β] [, b] im neprekidn izvod i pri tome je = φ(α), b = φ(β). Td vi jednkost b f(x) = β α f(φ(t))φ (t)dt. 59

61 Dokz. Nek je F (x) primitivn funkcij funkcije f(x), x [, b]. Z sloenu funkciju (F φ)(t) = F (φ(t)), t [α, β] vi d dt F (φ(t)) = F φ(φ(t)) φ (t) = f(φ(t)) φ (t). Dkle, z α t β funkcij F (φ(t)) je primitivn funkcij funkcije f(φ(t)) φ (t), p vi d je β α f(φ(t))φ (t)dt = F (φ(β)) F (φ(α)) = F (b) F (). S druge strne, kko je F (x) = f(x) sledi b f(x) = F (b) F (). Primer 4. Metodom smene rexiti odreeni integrl π π 4 cos x sin x. [ π 4, π Rexee. U nredenom primeru uvodi se smen t = φ(x) = sin x. Kko x nveden funkcij preslikv odseqk [ π 4, π ] [ ] n odseqk,. Funkcij t = φ(x) = sin x je neprekidno diferencijbiln i vi d je φ ( π ) =, φ Tkoe, funkcij je neprekidn p su ispueni uslovi z teoremu o smeni t promen ive u odreenom integrlu. Dkle: π π 4 cos x sin x = dt t = t =. Bitno je uoqiti d se prilikom nle odreenog integrl u rexeu ne vr n stru promen ivu x i d se prilikom zmene promen ive meju grnice integrcije. Primer 4. Metodom smene rexiti odreeni integrl I = ], ( π ) ln ( + x) + x. Rexee. U ovom primeru prvo e biti uveden smen x = tgt. Kko x [, ], nveden funkcij koj je uveden ko smen preslikv odseqk [, ] n odseqk [, π ]. Ko i u prethodnom primeru, ispueni su uslovi z primenu 4 teoreme o smeni promen ive u odreenom integrlu. Uvoeem nvedene smene u integrl dobij se: I = π ln ( + x) 4 = ln ( + tgt)dt. + x 6 =.

62 Kko z dobijeni integrl nije mogue uoqiti rexee, uvodi se smen koj e trnsformisti grnice integrcije i smu podintegrlnu funkciju. Uvodi se smen p = π t. Dobij se: 4 Kko je π 4 I = = π 4 π 4 ln ln ( + tg( π 4 p))dp = π 4 ( ) π 4 dp = ln dp + tgp ( ln + tgp ) dp = + tgp π 4 ln ( + tgp)dp. ln ( + tgp)dp zprvo integrl koji se pojvio n poqetku zdtk, podintegrln funkcij i grnice integrl su iste ko kod integrl s poqetk nkon uvoe prve smene. Dkle: I = π 4 ln dp I. Dobij se d je I = π 8 ln. Primer 43. Metodom smene rexiti integrl I = π x sin x cos x sin 4 x + cos 4 x. Rexee. Uvodi se smen x = π t. Dobij se: I = π = π x sin x cos x sin 4 x + cos 4 x = ( π π π π sin t cos t cos 4 t + sin 4 t dt t sin t cos t π t) cos t sin t cos 4 t + sin 4 dt = t t sin t cos t cos 4 t + sin 4 t dt. Potrebno je uoqiti d cos 4 t + sin 4 dt im istu podintegrlnu funkciju i t iste grnice ko integrl s poqetk zdtk, p se on moe oznqiti s I. Odvde je: odnosno, I = π π I = π sin t cos t cos 4 t + sin 4 dt I, t π Sd preostje d se rexi integrl π sin t i dobij se d je: I = π 4 sin t cos t cos 4 t + sin 4 t dt. π sin t cos t dt. Uvodi se smen cos 4 t + sin 4 p = t pdp p 4 p +. 6

63 Ovde je potrebno uvesti novu smenu p = s, potom integrl trnsformisti n tbliqni. Dobij se: I = π 8 ds s s + = π 6 ds ( ) s + 4 = π 8 rctg(s ) = π 6. Slik 48: Grfiqki prikz rexe integrl iz primer 43. ko povrxine ispod grfik funkcije n dtom intervlu Primer 44. Rexiti integrl ln x + x. Rexee. Kko se u okviru podintegrlne funkcije nlzi psolutn vrednost, neophodno je rzmotriti kd je t psolutn vrednost pozitivn, kd je negtivn. Zbog osobine ditivnosti integrl, mogue je dti integrl npisti u obliku zbir, p vi: ln x + x = ln x + x + ln x + x. Tkoe, u grnicm integrl nlzi se broj, opxti broj od kog tkoe zvisi znk integrl. Bie rzmotren dv sluqj - sluqj kd je broj > i kd je < <.. > Uvodi se smen x = t z integrl poqetni integrl jednk: = ln x + x = ln t t(t + ) dt + = ln t + t ln t + t ln x + x = ( + t ) dt = 6 ln x. Dobij se sd d je + x dt t + ln x x(x + ) + ln x + x = ln t t dt = ln. ln x + x =

64 . < Kko je broj (, ), grnice integrl morju zmeniti mest, potom e dobijeni integrl biti zpisn ko zbir dv integrl. ln x + x = ln x + x = Uvodi se smen t = x z integrl = ln x + x = ( ln x + + x x ln x + x ln x + x : ln x + x. ln x + x + ln t t(t + ) dt = ) ln x = x = ln. Slik 49: Aplet n kojem je prikzno rexee integrl iz primer 44. u zvisnosti od promene vrednosti broj Primer 45. Rexiti integrl I = π x + sin x. Rexee. Bie uveden smen tko d grnice integrl budu simetriqne. Smenom t = x π grnice postju simetriqne i poqetni integrl je mogue zpisti ko zbir dv integrl. I = π x + sin x = π π t + cos t dt + π π π dt + cos t. Intervl u kome se vrxi integrcij je simetriqn u odnosu n koordintni poqetk. Podintegrln funkcij integrl π π t + cos t dt je neprn n simetriqnom intervlu, p je ovj integrl, prem primeru 35. jednk nuli. Kko je podintegrln funkcij integrl 35. vi d je π π π dt + cos t = π I = π π π dt + cos t dt. Dkle, vi: + cos t 63 dt + cos t. prn, prem primeru

65 Uvodi se smen p = tg t. Dobij se d je poqetni integrl sd jednk I = π dp 3 + p = π rctg p 3 3 = π Metod prcijlne integrcije u odreenom integrlu Teorem 9. Nek funkcije u(x) i v(x) imju neprekidne izvode n segmentu [, b]. Td vi jednkost: b u(x)dv(x) = [u(x)v(x)] b b v(x)du(x). Dokz. Funkcije u i v imju neprekidne izvode, neophodno je d i z ihov proizvod to vi. Z proizvod funkcij u(x)v(x) vi jednkost (u(x) v(x)) = u (x) v(x) + u(x) v (x). Iz nvedene jednkosti se vidi d je i proizvod ove dve funkcije neprekidn. Prem utn-ljbnicovoj formuli je b tj. b xto je treblo dokzti. [u (x) v(x) + u(x) v (x)] = [u(x) v(x)] b u(x)dv(x) + b v(x)du(x) = [u(x) v(x)] b, Nveden formul se skreno pixe u obliku b b udv = uv b vdu. Primer 46. Metodom prcijlne integrcije rexiti odreeni integrl π 3 π 6 (x + ) cos (3x). Rexee. Nek je u(x) = x+, dv(x) = cos (3x). Prilikom rexv odreenog integrl metodom prcijlne integrcije grnice integrl ostju iste. π 3 π 6 (x + ) cos (3x) = 3 (x + ) sin 3x π 3 π 6 3 = 3 (π 3 + ) sin π 3 (π 6 + ) sin π + 9 cos 3x π 3 π 6 π 3 π 6 sin 3x = = π

66 5 Primen odreenog integrl Rd s odreenim integrlim i generlno, qitv klkulusni rqun im brojne primene. Te primene se mogu uoqiti i u ivotu, ko i u mnogim prirodnim, p i druxtvenim nukm. Geometrijsk primen u mtemtici je njqexe pomin, jer se pomou odreenog integrl moe izrqunti povrxin rvnog lik, duin luk krive, ko i povrxin i zpremin obrtnih tel. Mnogi prktiqni problemi mogu se uopxtiti i svesti n odgovrjui geometrijski model, qime je omoguen primen odreenog integrl. Ovde e biti prikzne primene odreenog integrl u geometriji. 5. Povrxin figur u rvni Nek je D rvn geometrijsk figur ogrniqen ztvorenom prostom krivom L. Upisni mnogougo u figuru D je mnogougo qije se sve tqke nlze u D, dok je opisni mnogougo oko figure D mnogougo koji sdri sve tqke figure D. Nek je {W u } skup povrxin upisnih, {W o } skup povrxin opisnih mnogouglov figure D. Skup {W u } je ogrniqen odozgo, skup {W o } ogrniqen odozdo, p postoje sup{w u } = P i inf{w o } = P. Definicij 7. Ke se d je figur D mer iv ko je P = P. Pri tome se zjedniqk vrednost P i P nziv povrxinom figure D i oznqv s P (D). Stv. Rvn figur D je mer iv ko i smo ko z svko ε > postoje opisni i upisni mnogougo figure D, tko d je rzlik W o W u ihovih povrxin m od ε. Dokz ovog tvre moe se videti u []. Nek je u rvni zdt koordintni sistem xoy. Prilikom rqun povrxine figur u rvni bie korixen definisni pojm mer ive figure, definicij 3, definicij 5. i teorem 8.. Nek je n odseqku [, b] ose Ox dt funkcij f(x) koj je neprekidn i nenegtivn n [, b]. Ond je figur F u toj rvni, ogrniqen odseqkom [, b], prvim x = i x = b i delom grfik funkcije y = f(x) z x [, b]. N osnovu nvedenih definicij i teorem, figur F e imti povrxinu: P (F ) = b f(x). N slici 5. prikzn je deo veb strnice n kojoj su, ko i rnije, prikzni plet i dugmii povezni s pletom nprv enim u GeoGebri. Pritiskom n odgovrjue dugmie dolzi do iscrtv figure qij se povrxin tri. N sliqn nqin, n istoj strnici su predstv eni i drugi pleti koji ilustruju preostle sluqjeve. 65

67 Slik 5: Aplet n kojem se iscrtv figur koj je opisn u prvom sluqju i boji trenu povrxinu. Nek je funkcij g(x) n odseqku [, b] neprekidn i nepozitivn. Td e krivolinijski trpez F odreen n sliqn nqin ko u prethodnom sluqju imti povrxinu P (F ) = b g(x). Slik 5: Aplet n kojem je iscrtn figur opisn u drugom sluqju s obojenom trenom povrxinom 3. Ako je funkcij f(x) n odseqku [, b] neprekidn i me znk u tqkm c, c,..., c k, ond figur F, ogrniqen odseqkom [, b], prvim x = i x = b i delom grfik funkcije f(x), x [, b], im povrxinu P (F ) koj se rqun ko zbir krivolinijskih trpez n koje je tu figuru mogue rzloiti i koji se uklpju u jedn od prv dv sluqj. U primeru s 66

68 slike bilo bi = c P (F ) = P (F ) + P (F ) + P (F 3 ) + P (F 4 ) = f(x) c c f(x) + c3 c f(x) b c 3 f(x). Slik 5: Aplet n kojem je iscrtn funkcij opisn u treem sluqju s obojenom trenom povrxinom i oznqenim figurm 4. ) Nek su n odseqku [, b] ose Ox dte funkcije f(x) i g(x) koje su neprekidne n [, b] i z svko x [, b] je g(x) < f(x). Nek je figur F u toj rvni dt s F = {(x, y) x b, g(x) y f(x)}, ko n slici 53. N osnovu prethodnog moe se zk uqiti d figur F im povrxinu P (F ) koj se rqun po formuli P (F ) = b (f(x) g(x)). Slik 53: Aplet n kojem je prikzn figur ogrniqen grficim dveju funkcij n odreenom intervlu s obojenom trenom povrxinom 67

69 Primer 47. Izrqunti povrxinu del rvni koji ogrniqvju krive y = x, x + y =, y = i x = 3. Rexee. Dt je kriv y = x i prve y = x, y = i x = 3. Prvo e biti ncrtn slik i nene preseqne tqke. N slici 54. se izmeu plve, zelene, crvene i ubiqste linije nlzi figur qiju povrxinu treb izrqunti. Meutim, kko figur n slici ne predstv krivolinijski trpez, ve im xpic u tqki (, ) figur e biti pode en n dv del - krivolinijski trougo i krivolinijski trpez. Povrxin cele figure bie zbir povrxin dve me figure, prikzne n slici 55. N slici 54. prikzn je plet n kojem se pritiskom n odgovrjue dugmie iscrtvju funkcije dte u zdtku, ko i odgovrjue preseqne tqke. N slici 55. prikzn je plet n kojem je objxeno kko se rqun povrxin dte figure, pritiskom n dugmie se iscrtvju krivolinijski trougo i krivolinijski trpez n koji je dt figur pode en. Dkle, Slik 54: Figur koju grde funkcije P = P +P = ( x + x)+ 3 Slik 55: Povrxin figure x = 3 x 3 x + x + 3 x 3 3 = Primer 48. Izrqunti povrxinu figure u rvni ogrniqene elipsom s poluosm i b. Rzmotriti i specijln sluqj kd je = b = r. Slik 56: Elips Rexee. Nek je u rvni elipse dt koordintni sistem xoy tko d jednqin elipse bude x + y b =. 68

70 Polovin elipse iznd ose Ox im jednqinu y = b x. Kko je nveden funkcij prn, vie sledee: P (F ) = 4P (F ) = 4 b x = 4 b Koristei se smenom x = sin t, = cos tdt, t =, t = π P (F ) = 4 b π π = 4b x. dobij se π sin t cos tdt = 4b cos tdt = ( ) π + cos t t sin t dt = 4b + = bπ. 4 Ako je specijlno, = b = r, odvde se dobij poznt formul z povrxinu krug K r polupreqnik r P (K r ) = r π. Primer 49. Ni povrxinu rvnog lik ogrniqenog grfikom funkcije f(x) = x + x +, prvom x = i tngentom te krive u tqki A(, y). Rexee. Prvo treb ni y koordintu tqke A. On mor d zdovo i jednqinu krive, p e biti y = + + = 3. Dkle, koordinte tqke su A(, 3). Jednqin tngente u tqki n dtoj krivi bie: y y = f (x )(x x ). Kko je f (x) = x +, bie f (x ) = f () = 3, p je odtle jednqin tngente y = 3x. N slici 57. prikzni su grfik funkcije, tngente i prve x =, ko i deo rvni qij se povrxin tri. Potrebno je ni prvo tqke presek nvedenih funkcij. Funkcij f i prv x = seku se u tqki (, ), prv x = i tngent y = 3x se seku u tqki (, 3). Grnice integrcije po x e biti od do. N slici 57. prikzn je plet n kojem se pritiskom n odgovrjue dugmie iscrtvju funkcije koje ogrniqvju figuru qij se povrxin tri. N ovj nqin je omoguen interktivnost prilikom rexv primer. 69

71 Slik 57: Aplet n kojem je prikzn figur qij se povrxin tri, ko i dugmii koji uqestvuju u iscrtvu funkcij i figure Povrxin figure e biti P = (x + x + ) = x3 3 3x = x3 3 + x x + x = = x 3x = Primer 5. Ni povrxinu rvnog lik ogrniqenog s y = x i y = 3. x Rexee. Potrebno je prvo rzloiti psolutnu vrednost po definiciji. Td je x = y = { x, x x, x <. { 4 x, x x, x <. N slici 58. prikzni su grfici obe funkcije, ko i tren povrxin. Preseqne tqke grfik ove dve funkcije su A( 3, 3) i B(3, ). Kko funkcij y = x im xpic u tqki C(, ), povrxin e se dobiti ko zbir povrxin figur F i F prikznih n slici. 7

72 Slik 58: Aplet n kojem je prikzn figur qij se povrxin tri Dkle, vi sledee: P = P (F ) + P (F ) = (x 3 ) 3 ( + 4 x 3 ) = 3 x x = x 3 ln x 3 + 4x 3 x ln x 3 = 3 ln 3. Primer 5. Izrqunti povrxinu figure ogrniqene krivm f(x) = + x i g(x) = x. Rexee. Z poqetk e biti ncrtni grfici nvedenih funkcij. One se seku u dvem tqkm A ( (, ) i B, ), p e grnice integrcije po x ii od do. Slik 59: Aplet n kojem je prikzn figur qij se povrxin tri Povrxin figure e biti P = ( ) + x x. 7

73 Zbog prnosti funkcije, vi d je P = ( ) + x x = rctgx x3 3 = π 3. U prethodnim primerim, povrxin je bil rqunt u prvouglim koordintm. Meutim, kriv koj ogrniqv figuru qij povrxin se tri moe biti zdt i u drugom obliku. Sd e biti rzmotreno izrqunve povrxine zdte u prmetrskom obliku ili pomou polrnih koordint. Povrxin rvne figure zdte u prmetrskom obliku Ako su funkcije x i y integrbilne n [, b] i ko su prmetrski zdte jednqine krive x = x(t), y = y(t), t [, b], ond je povrxin figure koj se nlzi izmeu zdte krive, ose Ox i prvih x = x() i x = x(b) jednk: P = b y(t)x (t)dt. Primer 5. Ni povrxinu izmeu ose Ox i prvog svod cikloide (, π) koj je dt jednqinm x = r(t sin t), y = r( cos t). Slik 6: Aplet n kojem je prikzno kreire cikloide Rexee. Cikloid je dt u prmetrskom obliku p e en povrxin biti P = rπ y(t)x (t)dt = rπ y(t)x (t)dt, zbog simetriqnosti figure qiju povrxinu se tri. Tkoe, vi d je x(t) = r(t sin t), x (t) = r( cos t), y = r( cos t), t π. Td je P = π π r ( cos t) dt = r ( cos t + cos t)dt = ( 3 = r t sin t + ) π sin t cos t = 3r π. 7

74 Povrxin u polrnim koordintm Nek je dt kriv r = r(φ), φ [α, β] u polrnom koordintnom sistemu, gde je r(φ) neprekidn funkcij. Geometrijsk figur OAB ogrniqen delovim poluprvih φ = α i φ = β i krivom r = r(φ) nziv se krivolinijskim trouglom. Bie nen povrxin tog trougl. Slik 6: Podel ugl Nek je P podel segment [α, β], P = {φ, φ,..., φ n }. Nek je m i = M i = sup φ [φ i,φ i ] inf r(φ), φ [φ i,φ i ] r(φ). Kruni iseqci polupreqnik m i, odnosno M i, ogrniqeni poluprvim φ = φ i i φ = φ i imju povrxinu P = m i φ i, odnosno povrxinu i= i= P = M i φ i, gde je φ i = φ i φ i, i =,,..., n. Unij ovih iseqk predstv upisnu figuru F u, odnosno opisnu figuru F o. Povrxine ovih figur n n su, respektivno, S = m i φ i, S = M i φ i, xto predstv dou, odnosno goru Drbuovu sumu funkcije r (φ) n segmentu α φ β. Zbog neprekidnosti funkcije r = r(φ), ove dve sume e biti jednke i dt figur e biti mer iv,p e povrxin krivolinijskog trougl biti P = β α r (φ)dφ. Primer 53. Ni povrxinu krdioide r = ( + cos φ), φ π, >. Slik 6: Aplet n kojem je predstv eno kreire krdioide 73

75 Rexee. Ovde e biti primeen formul z povrxinu krive koj je dt u polrnim koordintm. Vno je primetiti i d je krdioid simetriqn figur: P = π π ( + cos φ) dφ = ( + cos φ) dφ = 3 π. Primer 54. Ni povrxinu leminiskte r = cos φ. Rexee. Dt kriv je ztvoren i simetriqn u odnosu n prve r cos φ = i r sin φ =, p se moe izrqunti deo leminiskte koji se nlzi u prvom kvdrntu, xto predstv qetvrtinu povrxine cele figure. Kko je u prvom kvdrntu φ π, bie φ π i to e biti grnice integrl. Dkle, 4 vi: Odvde je P 4 = π 4 r dφ = 5. Duin luk krive π 4 cos φdφ = 4 P =. sin φ π 4 = 4. Odreeni integrl tkoe se moe primeniti prilikom izrqunv du- ine luk krive. Nek je kriv L u rvni xoy predstv en grfikom funkcije f(x), x [, b], pri qemu je f(x) neprekidno diferencijbiln n [, b]. Nek je dt podel P = {x, x,..., x n }, = x < x <... < x n = b odseqk [, b] i nek je konstruisn poligonln linij P L s temenim A (x, f(x )), A (x, f(x )),..., A n (x n, f(x n )). Poligonln linij je upisn u krivu L i en duin je jednk s(p L ) = n (xi x i ) (f(x i ) f(x i )). i= N slici 63. prikzn je deo plet n kojem se, pomou dugmi koji se nlze u prteem tekstu iscrtvju podeone tqke, ko i poligonln linij. Pritiskom n dugme se povev broj podeonih tqk, p se poligonln linij sve me rzlikuje od grfik funkcije. N slici je prikzn ve formirn plet, bez dugmi. 74

76 Slik 63: Podeone tqke i poligonln linij Kko je funkcij f diferencijbiln n [, b], prem Lgrnovoj teoremi postoji tqk ξ i [x i, x i ] tkv d je Odtle sledi d je s(p L ) = f(x i ) f(x i ) = f (ξ i )(x i x i ). n (xi x i ) + (f (ξ i )) (x i x i ) = i= n + (f (ξ i )) (x i x i ). Ovo je integrln sum z funkciju + (f (x)) n odseqku [, b] pri podeli P i izboru ξ tqk ξ i [x i, x i ]. Kd broj podeonih tqk neogrniqeno rste, duin d njdueg intervl tei nuli. Luk krive L ime duinu s(l) ko postoji limes ove integrlne sume kd d(p ). Kko je f(x) neprekidn funkcij n [, b], funkcij + f (x) e biti tkoe neprekidn n [, b] i postoji i on je jednk b lim d(p ) i= n + (f (x)) (x i x i ) i= + (f (x)). Dkle, kriv L im duinu luk l = b + (f (x)). Primer 55. Izrqunti obim krug polupreqnik r, r >. Rexee. Obim krug bie jednk duini dv polukrug. Jednqin polukrug koji pripd goroj polurvni glsi y = r x, odkle sledi d je f (x) = y =. Odvde je x r x r O = + x = r r r x r r r x = r rcsin x r = 4r rcsin = rπ. r r 75

77 Primer 56. Ni duinu luk krive dte funkcijom f(x) = ln ( cos x) n intervlu [, π 3 ]. Rexee. Duin luk krive rqun se po izvedenoj formuli: Kko je f (x) = sin x l = cos x π 3 l = π 3 = tgx, bie: + tg x = + (f (x)). π 3 π cos x = 3 cos x. Ovde e biti uveden trigonometrijsk smen, t = tg x, odkle je = dt + t, cos x = t. Grnice integrl se tkoe meju, p do grnic postje + t t =, gor t =. Odvde je 3 l = 3 dt t = ln + t t 3 = ln + 3. Duin luk krive dte u prmetrskom obliku Nek je kriv dt jednqinm x = x(t), y = y(t), t [α, β], gde su x i y neprekidno diferencijbilne n segmentu [α, β]. Nek se elimincijom prmetr t iz dtih jednkosti dobij jednqin krive u obliku y = f(x), x [, b]. Td se duin l krive linije L od tqke (, f()) do tqke (b, f(b)) izrqunv po formuli odnosno, l = l = β α β α ( ) + dt ( ) dy dt, dt (x (t)) + (y (t)) dt. Primer 57. Ni duinu luk steroide dte jednqinom x 3 + y 3 = 3. Rexee. Prelskom n prmetrski oblik jednqine steroide dobij se d je x = cos 3 t, y = sin 3 t, t π. Kko je steroid simetriqn u odnosu n koordintne ose, dobij se l = 4 π (x (t)) + ((y (t)) dt = 4 π 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos tdt = π = sin t cos tdt = 6 sin t π = 6. 76

78 Slik 64: Aplet n kojem je prikzno kreire steroide Primer 58. Ni duinu luk prvog svod cikloide x = (t sin t), y = ( cos t). Rexee. Ovde e biti primeen formul z rqune duine luk krive u prmetrskom obliku: l = β α (x (t)) + (y (t)) dt. Vi d je x (t) = ( cos t) i y (t) = sin t. Kko je x (t) + y (t) = ( cos t) = 4 sin t, odvde je t π l = sin t dt = = z dt = dz t = z = = t = π z = π π = 4 sin zdz = 4 cos z π = 4 ( ) + 4 = 8. Duine luk krive dte u polrnim koordintm Nek je kriv dt polrnom jednqinom r = r(φ), α φ β, gde je funkcij r(φ) neprekidno diferencijbiln. Kriv e biti predstv en u prmetrskom obliku x = r(φ) cos φ, y = r(φ) sin φ, α φ β. 77

79 U tom sluqju izrz z duinu postje odnosno, l = β α (r (φ) cos φ r(φ) sin φ) + (r (φ) sin φ + r(φ) cos φ) dφ, l = β α (r (φ)) + r (φ)dφ. Primer 59. Ni duinu luk koji grdi Arhimedov spirl ρ = φ z φ π. Slik 65: Prikz Arhimedove spirle u zvisnosti od prmetr Rexee. l = π π φ + dφ = φ + dφ. Integrl φ + dφ je rnije rexen i jednk je + φ dφ = ( φ φ + + ln (φ + ) φ + ). Duin trene krive je ond l = ( φ φ + + ln (φ + φ + ) 5.3 Zpremin obrtnog tel ) π = (π 4π + + ln (π + 4π + )). Nek je funkcij f(x) neprekidn i pozitivn funkcij definisn n segmentu [, b]. Ako se krivolinijski trpez qije su strnice segment [, b], delovi prvih x =, x = b i kriv y = f(x), x b obre oko ose Ox dobij se obrtno telo. Povrx koj ogrniqv ovo telo sstoji se od dve bze koje qine krugovi polupreqnik f() i f(b) i omotq. Nek je P = {x, x,..., x n } podel segment [, b] i m i = inf x [x i,x i ] f(x), M i = sup x [x i,x i ] f(x). U rvni xoy mogu se uoqiti prvougonici s osnovom [x i, x i ] i visinm m i, odnosno M i, i =,,..., n. Rotcijom tih prvougonik oko ose Ox dobijju se v ci. 78

80 N slici 66. prikzn je grfiqki deo plet n kojem se, pritiskom n odgovrjue dugmie n veb strnici, formir opisno obrtno telo, ko i pomenuti v ci. Slik 66: Obrtno telo nstlo rotcijom del grfik funkcije oko ose Ox Unij v k qiji su polupreqnici osnov m i im zpreminu v(p ) = n m i π x i, x i = x i x i, unij v k s polupreqnicim osnov M i imju zpreminu V (P ) = n i= M i π x i. Zpremine v(p ), odnosno V (P ), predstv ju dou, odnosno goru, Drbuovu sumu funkcije πf (x), x b. Zpremin dtog obrtnog tel e biti definisn ko limes ovih Drbuovih sum kd prmetr podele tei nuli: V = Dkle, zpremin obrtnog tel iznosi lim v(p ) = lim V (P ). λ(p ) λ(p ) V = π b f (x). Primer 6. Izrqunti zpreminu sferoid koji je nsto rotcijom elipse s poluosm i b oko Ox ose. Rexee. Ko i rnije, iz formule x i= + y b = sledi d je y = b x. Nek gor poluos elipse rotir oko ose Ox, td se dobij elipsoid qiju zpreminu elimo d izrqunmo. 79

81 Slik 67: Sferoid nsto rotcijom gore poluose elipse Ovde e biti primeen formul z zpreminu figure u prostoru. V = π b ( x ). Kko je funkcij y prn, dobij se slede jednkost: V = π b ( x ) = πb ( x x3 3 ) = πb 3 3 = 4 3 b π. Specijlno, z = b = r dobij se jednqin krug x + y = r. Zpremin koj se u tom sluqju dobij je V = 4 3 rr π = 4 3 r3 π. Primer 6. Odrediti zpreminu torus koji se dobij rotcijom krug x + (y ) = r, pri qemu je > r, oko Ox ose. Rexee. Zpremin torus dobij se oduzimem zpremin tel dobijenih obrtem odgovrjuih lukov krug oko Ox ose. Slik 68: Torus (y ) = r x, y = ± r x. 8

82 Odvde sledi y = ( ± r x ), r V = π ( + r r x ) π ( r x ), r = π 4 r x, r V = 8π r x = 8π r r x r x. Ovj integrl e biti zpisn ko rzlik dv integrl: ( r V = 8π r r r x ) x r x. Prvi integrl e se svesti n tbliqni, drugi e biti rexen prcijlnom integrcijom. Td se dobij slede jednkost: V = 8π [ ( x r x + r rcsin x ) ] r, r V = 8π r (rcsin rcsin ), V = 4πr π. Dobij se d je zpremin torus V = π r. Primer 6. U tqki P (3, ) prbole y = (x ) konstruisn je tngent n tu prbolu. Izrqunti zpreminu tel koje nstje rotcijom figure ogrniqene tngentom, prbolom i osom Ox. Rexee. Prvo je potrebno ni jednqinu tngente. On se dobij iz formule y y = f (x )(x x ). Kko je y = f(x) = (x ), odtle vi d je f (x) = i f (3) = (x ). Dobij se d je jednqin tngente y = x +. Zpremin obrtnog tel koje nstje rotcijom dte figure se rqun tko xto se od zpremine tel koje nstje rotcijom tngente oduzme zpremin tel koje nstje rotcijom prbole. N slici 69. prikzn je grfiqki deo plet n kojem je prikzno kko nstje telo qiju zpreminu treb izrqunti. N pletu se iscrtvju prvo funkcije i preseqne tqke, potom dolzi do rotcije figure ogrniqene prbolom i tngentom oko ose Ox. 8

83 Slik 69: Obrtno telo nstlo rotcijom nvedenih funkcij Rotcijom tngente nstje kup, polupreqnik osnove r = i visine H = 4. Primenom formule z zpreminu kupe dobij se d je V = 3 r πh = 6π 3. Dkle, V = V V = 6π 3 π 3 (x ) = 6π ( ) x 3 3 π x = 4π 3. Primer 63. Ni zpreminu tel koje nstje rotcijom lik ogrniqenog krivom y = tgx i prvom y = oko ose Ox u intervlu [, π 4 ]. Rexee. Zpremin tel se rqun po nvedenoj formuli. π V = π 4 tg x = π π 4 sin π x cos x = π 4 cos x cos x = π 4 = π π cos x π 4 = tgx x π 4 = π Povrxin obrtnog tel Nek je krivolinijski trpez F odreen funkcijom f(x), x b. Rotcijom trpez F oko ose Ox nstje obrtno telo prikzno n slici 7. Pored zpremine rotcionog tel, mogue je izrqunti i egovu povrxinu. Nek je funkcij f(x), x b neprekidno diferencijbiln i nek je kriv L, odreen funkcijom f. Nek je dt podel P = {x, x,..., x n }, = x < x <... < x n = b odseqk [, b] i nek je konstruisn poligonln linij P L s temenim A (x, f(x )), A (x, f(x )),..., A n (x n, f(x n )), unutr krive L. Prilikom rotcije krive L oko ose Ox rotir i poligonln linij P L. N 8

84 tj nqin, dobijju se zrub ene kupe, qiji su polupreqnici osnov f(x i ) i f(x i ), z i =,,..., n. N slici 7. je prikzn grfiqki deo plet n kojem je ilustrovn figur koj nstje rotcijom funkcije oko ose Ox. Pritiskom n odgovrjue dugmie koji se nlze u sklopu prteeg tekst n veb strnici dolzi do iscrtv odgovrjuih grfiqkih element n slici i nposletku, dolzi i do rotcije krive oko Ox ose. N pletu je omogueno korisniku d sm izbere broj podeonih tqk, u odnosu n xt se formir i upisn poligonln linij. Xto je broj podeonih tqk vei, to se poligonln linij sve vixe pribliv grfiku dte funkcije. Slik 7: Aplet predstv formire obrtnog tel i zrub enih kup rotcijom grfik funkcije i odgovrjue poligonlne linije Zbir S(P ) povrxin omotq svih ovko dobijenih kup bie S(P ) = n i= π[f(x i ) + f(x i ))] x i + ( f(x i)), gde je x i = x i x i, f(x i ) = f(x i ) f(x i ). Prem Lgrnovoj teoremi o sredoj vrednosti vi: f(x i ) x i = f (ξ i ), z neko ξ i (x i, x i ), i =,,..., n. Kko je f neprekidn funkcij, postoji η i [x i, x i ], tko d je f(x i ) + f(x i ) = f(η i ), i =,,..., n. 83

85 Ako se nvedene jednkosti primene u formuli z povrxinu omotq dobij se S(P ) = π n f(η i ) + f (ξ i ) x i. i= Izrz e biti predstv en u obliku S(P ) = π n f(ξ i ) + f (ξ i ) x i + π i= n [f(η i ) f(ξ i )] + f (ξ i ) x i. Ako je podel P dovo no fin, tqke ξ i i η i koje pripdju segmentu [x i, x i ] se mlo rzlikuju, p e se zbog neprekidnosti funkcije f i vrednosti f(ξ i ) i f(η i ) mlo rzlikovti, p e drug sum biti jednk nuli. Odtle vi d je S(P ) = π i= n f(ξ i ) + f (ξ i ) x i. Nvedeni izrz predstv integrlnu sumu, p je S(P ) = lim π λ(p ) i= n f(ξ i ) + f (ξ i ) x i = π i= b f(x) + f (x). Primer 64. Izrqunti povrxinu sfere nstle rotcijom polovine krug x + y = r oko Ox ose, tko d je y = r x. Rexee. Kko je y = r x, odtle je y = z povrxinu obrtnog tel i dobij se: S = π r Kko je funkcij y prn, dobij se sledee r x r x r r x r x.. Primenom formule S = 4πr r = 4πr. Primer 65. Izrqunti povrxinu sferoid koji nstje rotcijom polovine elipse x + y = oko Ox ose. b Rexee. Uzimjui prmetrske jednqine elipse x = cos t, y = b sin t, t π, dobij se π S = π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. S obzirom n simetriqnost krive u odnosu n osu Oy sledi π S = 4πb sin t sin t + b cos tdt = 4πb 84 π sin t ( b ) cos tdt,

86 gde je ε = z = sin u ε = 4πb π b, dobij se S = 4πb ε ( b ) cos td(cos t) = 4πbε ε z dz, ekscentricitet elipse. Stv jui u posledem integrlu rcsin ε = πb ε cos udu = πb ε ( rcsin ε + ε b ) (rcsin ε + ε ε ), = πb + πb rcsin ε. ε Primer 66. Izvesti formulu z povrxinu torus koji se dobij rotcijom krug x + (y ) = r oko Ox ose, pri qemu je > r. Rexee. Povrxin torus se dobij sbirem povrxin tel koj nstju kd se dv odgovrju luk krug obru oko Ox ose. Odvde e biti izreno y. Izvod funkcije y jednk je (y ) = r x, y = ± r x. y x = r x. Sd se moe uvrstiti funkcij y u formulu z izrqunve povrxine rotcionog tel. S = π r r ( + r x ) + x r x +π r r ( r x ) + x r x. Kko je u pitu prn funkcij (dkle, simetriqn u odnosu n Oy osu), dobij se slede jednkost: S = 4π r ( + r x ) + x r x +4π r ( r x ) + x r x. Zbir ov dv integrl bie predstv en ko integrl zbir i td se dobij sledee: S = 4π r r r r x = 8πr Odvde se dobij d je povrxin torus jednk S = 4π r. 85 r x = 8πr rcsin x r r.

87 6 Primen integrl u ivotu Odreeni i neodreeni integrl imju xiroku primenu u mnogim prirodnim i druxtvenim nukm, ko i u svkodnevnom ivotu. Mnoge relne situcije mogue je svesti n odgovrjui mtemtiqki model i n tj nqin ih rexiti. Ve su nvedeni primeri primene integrl u geometriji - izrqunve povrxin, zpremine i duine. Tkoe, integrli imju veliku primenu u fizici pre sveg, ztim u sttistici, ekonomiji, biologiji, vzduhoplovstvu. Z konstruise prvih projektil V- i V- tokom Drugog svetskog rt neophodni su bili odgovrjui prorquni koji su u sebi sdrli dost integrlnog rqun. 6. Rqune zpremine Primer 67. Polupreqnik vinskog buret je 3cm pri vrhu, polupreqnik buret n sredini je 4cm. Visin buret je m. Kolik je zpremin buret pod pretpostvkom d je boqni luk buret prbol. Rexee. Vinsko bure nem oblik v k ili kupe qiju zpreminu je mogue izrqunti po formuli, p e ono biti predstv eno preko mtemtiqkog model i bie primeen odreeni integrl rdi rqun zpremine. Bure e biti okrenuto n strnu i bie izrqunt jednqin prbole koj predstv boqni luk buret. T prbol im mksimum u tqki (, 4) i prolzi kroz tqke (5, 3) i ( 5, 3). Jednqin prbole je y = x +bx+c. Kko nvedene tqke pripdju prboli, one morju zdovo vti jednqinu prbole. Ukoliko se uvrste koordinte tqk u jednqinu dobij se sistem jednqin iz kog e biti izrqunte vrednosti konstnti, b i c. Sistem koji se tom prilikom dobij je + b + c = b + c = 3 5 5b + c = 3. Rexe ovog sistem su =, b =, c = 4. Dkle, tren prbol im 5 jednqinu y = x + 4. Kd ov prbol rotir oko Ox ose, izmeu tqk 5 ( 5, 3) i (5, 3) dobij se obrtno telo koje odgovr vinskom buretu qiju zpreminu treb izrqunti. Slik 7: Vinsko bure, skic buret nstl rotcijom oko ose Ox 86

88 Bie primeen formul z rqune zpremine obrtnog tel. V = π b 5 ) 5 y = π ( x = π ( ) x x = ( ) x 5 = π 35 8x x = 456cm = 45, 6l 45, l. N sliqn nqin moe se izrqunti zpremin lubenice. Lubenic je sferoidnog oblik, dkle, moe se predstviti ko elips koj rotirem oko ose Ox formir obrtno telo, tj. sferoid. Zpremin sferoid je ve izrqunt, p ko se znju duine due i kre poluose elipse u horizontlnom preseku lubenice mogue je izrqunti enu povrxinu. Integrlni rqun, pored mtemtike, im i veliku primenu u fizici. Pomou integrl mogue je ni centr mse krutog tel i egov moment inercije. Tkoe, mogue je i izrqunti preeni put nekog tel, rd promen ive sile i pritisk. Ovde e biti prikzno n koji nqin je to mogue urditi i bie dti primeri. 6. Moment inercije Moment inercije je mer otpor tel koje rotir i dobij se ko proizvod mse tel i polupreqnik rotcije n kvdrt tj. I = m d. Ukoliko treb izrqunti moment inercije z grupu tel rzliqitih ms m, m,..., m n koji rotirju oko tqke n ud enosti d, d,..., d n respektivno, td je moment inercije jednk I = m d + m d m n d n. Ako su sve tqke n istoj ud enosti od centr rotcije td je moment inercije I = (m + m m n )R, gde je R polupreqnik rotcije. Ove formule mogue je primeniti kd se tri moment inercije rvnog lik. Ali, xt se dexv kd je potrebno ni moment inercije neke krivolinijske povrxi? Nek je dt krivolinijsk povrx koj rotir oko ose Oy. N dtoj povrxi bie uoqen podel s opisnim i upisnim prvougonicim. 87

89 Slik 7: Telo koje rotir oko ose Oy Svki krkteristiqni prvougonik im xirinu x, visinu y y, p je egov povrxin (y y ) x. Ako je k jedinic mse po povrxini, ond svki krkteristiqni prvougonik im msu k(y y ) x. Moment inercije z svki prvougonik je [k(y y ) x] x, jer je svki prvougonik n ud enosti x od ose Oy, p je x polupreqnik rotcije. Odvde se moe ni moment inercije z sve tipiqne prvougonike. Tj moment inercije predstv Drbuovu sumu, koj je ukoliko je podel dovo no sitn tj. ko λ(p ) jednk I y = k b x (y y ). Primer 68. Ni moment inercije z krivu y = x u prvom kvdrntu koj rotir oko Ox ose. Rexee. Z poqetk e biti skicirn grfik funkcije p e se izrqunti moment inercije. Slik 73: Kriv z koju se tri moment intercije Grnice integrcije su = i b =, gor funkcij je y = x, dok je 88

90 do y =. Dkle, moment inercije je I = k x (( x ) ) = k ( ) x 3 = k 3 x5 5 ( = k 3 5 (x x 4 ) = ) = k Rd promen ive sile Nek promen iv sil intenzitet F (x) deluje n mterijlnu tqku n putu AC i nek je funkcij F neprekidn. Prvc i smer te sile su stlni, dok je intenzitet promen iv i zvisi od rstoj x izmeu npdne tqke sile i tqke A. Potrebno je izrqunti rd te sile n putu od tqke do tqke b. Slik 74: Aplet n kojem je ilustrovn rd sile n intervlu Nek je P = {x, x,..., x n } podel segment [, b]. N svkom segmentu [x i, x i ] potrebno je izbrti proizvo nu tqku ξ i, i =,,..., n. Izrz n F (x i ) x i, x i = x i x i, i= predstv priblinu vrednost rd dte sile n putu od tqke do tqke b. Slik 75: Aplet n kojem je ilustrovno kreire podele s istknutim tqkm Rd sile intenzitet F (x) se ond n tom putu definixe ko lim λ(p ) n F (ξ i ) x i = i= b F (x). Hukov zkon z opruge: Sil F potrebn d isteze (ili sbije) opruge x vrir od ene normlne duine do duine proporcionlne s x. Dkle, F = kx. 89

91 Primer 69. Koliki rd mor biti izvrxen n opruzi d bi se on smil s duine m do duine, 75m, ko je konstnt istez k = 6N/m? Rexee. Iz Hukovog zkon se moe zk uqiti d je F = 6x. Preeni put opruge je m, 75m =, 5m. Prem tome, uloeni rd iznosi A =.5 6x = 8x,5 =, 5N m. Primer 7. Kbl teine 3N/m prikqen je z kofu s ug em teine 36N. Kof se podie s dn rudrskog okn dubine 6m. Koliki rd je potrebno uloiti d bi se podigl kof ) od dn do polovine okn; b) od polovine okn do vrh; v) od dn do vrh. Rexee. Z poqetk potrebno je ni kolik sil je potrebn d bi se izvrxio treni zdtk. U ovom sluqju, sil predstv teinu kofe i kbl u bilo kom poloju u oknu. Nek je x trenutni poloj kofe. N dnu okn, x =, n sredini x = 8, n vrhu x = 6. Bilo koji poloj kofe u oknu moe se oznqiti s 6 x. Dkle, F (x) = 3(6 x) + 36 = 84 3x. Slik 76: Aplet n kojem je ilustrovno krete kofe u oknu 9