Izvodi i integrali necelog reda

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2.

2

3 Predgovor Frkcioni rčun (eng. frctionl clculus) je oblst mtemtičke nlize koj se bvi izučvnjem i primenom izvod i integrl prozvoljnog relnog ili kompleksnog red, str je koliko i klsični klkulus kkvim g poznjemo dns. Koreni sežu do krj 7. vek kd su Njutn i Ljbnic postvljli osnove diferencijlnog i integrlnog rčun. Tčnije, Ljbnic je prvi upotrebio oznku d n /dx n f(x) z n-ti izvod funkcije f u svom pismu Lopitlu iz 697. godine, verovtno pretpostvljjući d je n prirodn broj, n št je Lopitl odgovorio upitvši g koje je znčenje izrz z n = /2? Ovom rečenicom rod en je frkcioni rčun. Ne zdugo, novom teorijom su počeli d se bve mnogi poznti mtemtičri i nučnici tog dob, med u kojim su Ojler, Rimn, Liuvil, Abel, Furije... Do krj 2. vek otkrivene su mnoge fizičke mnifestcije i rzličite primene frkcionog rčun. Modeli zsnovni n frkcionim diferencijlnim jednčinm su se pokzli korisnim u fizici, mehnici, elektrotehnici, biohemiji, medicini, finnsijm, teoriji verovtnoće i mnogim drugim nukm koje su se rzvijle poslednjih decenij. Interesntn je činjenic d se u reltivno novoj grni psihologije, tzv. mtemtičkoj psihologiji, sistemi jednčin frkcionog red mogu upotrebiti z modelirnje ponšnj ljudi. U ovom rdu nstojlo se d se frkcioni rčun uvede pomoću već pozntih mtemtičkih pojmov ko i d se prikže primen n rzličitim poljim nuke. Rd sdrži pet glv i orgnizovn je n sledeći nčin. Prv glv sdrži osnovne pojmove mtemtičke nlize koji se koriste pri definisnju frkcionih opertor. Dte su definicije prostor integrbilnih, psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij ko i nek osnovn tvrd enj vezn z njih. Pored tog, integrlne trnsformcije (Furijeov, Melinov i Lplsov) i specijlne funkcije frkcionog rčun (Gm i Bet funcij, Mitg-Leflerov, Gusov hipergeometrijsk i Beselov funkcij). U drugoj glvi je detljno izložen teorij Rimn-Liuvilovih frkcionih opertor. Dte su definicije i osnovne osobine izvod i integrl, s kcentom n svojstvu polugrupe koje frkcioni integrli zdovoljvju, dok kod frkcionih izvod isto ne mor d vži. Pokzn je vez izmed u frkcionih izvod i integrl ko recipročnih opertor ko i teoreme nlogne teoremm klsičnog klkulus (teoreme o rzmeni limes i integrl (izvod), frkcion Tejlorov teorem, Ljbnicov formul z rčunnje frkcionog izvod proizvod funkcij i i

4 formul z prcijlnu integrciju). N krju glve su dti primeri frkcionih izvod i integrl nekih elementrnih funkcij i već pomenute integrlne trnsformcije primenjene n Rimn-Liuvilove integrle i izvode. Treć glv dje drugčiji pristup definisnju frkcionih izvod koji imju široku primenu. Dt je definicij Kputovih izvod i neke osnovne osobine, ko i vez s Rimn-Liuvilovim opertorim, tu su i trnsformcije Kputovih izvod. Četvrt glv je posvećen primeni frkcionih opertor u modelirnju pojv s kojim se svkodnevno srećemo. Akcent je n difuzionim procesim i viskoelstičnim svojstvim mterijl koji se sve više upotrebljvju. Prikzno je nekoliko frkcionih model koji se koriste u fizici, medicini, stomtologiji i biologiji. N krju, u petoj glvi, ko prilog je dt krtk istorijski pregled rzvoj frkcionog rčun i tblice izvod i integrl nekih njčešće korišćenih funkcij. Ogromnu zhvlnost dugujem svom mentoru, dr Snji Konjik n korisnim svetim, sugstijm i primedbm, pre sveg n strpljenju s mnom. Priznjem d joj svojom tvrdoglvošću nism nimlo olkšl poso i ndm se d nm se to neće isprečiti n putu z neku dlju srdnju u budućnosti. Čst je i zdovoljstvo bilo rditi s njom! Tkod e se zhvljujem i člnovim komisije dr Mirjni Stojnović i dr Dnijeli Rjter-Ćirić. Novi Sd, septembr 2. godine Ntš Durković ii

5 Sdržj Predgovor i Uvod. Prostori integrbilnih, psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij.2 Integrlne trnsformcije Furijeov trnsformcij Melinov trnsformcij Lplsov trnsformcij Specijlne funkcije Gm funkcij Bet funkcij Mitg-Leflerov funkcij Gusov hipergeometrijsk i Beselov funkcij Rimn-Liuvilovi integrli i izvodi necelog red 7 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod Vez Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ko recipročnih opertor Frkcioni identiteti Integrli i izvodi necelog red n beskončnim intervlim Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Furijeov trnsformcij Lplsov trnsformcij Melinov trnsformcij Kputovi izvodi 5 3. Definicij i osnovn svojstv Trnsformcije Kputovih izvod iii

6 SADRŽAJ 4 Primen frkcionih izvod Viskoelstičnost Viskoelstičnost tkiv pluć Frkcioni model strukture srednjeg uh Mtemtički model ljudskog zub Frkcion difuzion jednčin Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote Modelirnje kretnj neutron ko subdifuzije u nuklernom rektoru Prmetrsk ocen frkcionih dinmičkih model u biološkim sistemim Prilog Frkcioni rčun kroz istoriju Tblice frkcionih izvod i integrl Zključk 84 Litertur 85 Biogrfij 87 iv

7 Glv Uvod U ovom poglvlju djemo definicije i tvrd enj poznt iz opšte nlize, koj će nm koristiti u definisnju frkcionih izvod i integrl ko i u rešvnju jednčin koje u sebi sdrže frkcione opertore. Dte su definicije L p prostor i prostor psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij ko i osnovn tvrd enj vezn z njih, ztim osnove integrlnih trnsformcij i specijlnih funkcij frkcionog rčun. Tvrd enj su uglvnom bez dokz z više detlj pogledti [], [8] i [2].. Prostori integrbilnih, psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij U ovom odeljku djemo definicije rzličitih prostor funkcij n intervlu [, b], < b... Definicij Nek je n N. S C n ([, b]) oznčvmo prostor funkcij f koje su n put neprekidno diferencijbilne n [, b] s normom f C n = n f (k) C = n mx f (k) (x), n N. x [,b] Specijlno, z n =, C ([, b]) C([, b]) je prostor neprekidnih funkcij f n [, b] s normom f C = mx x [,b] f(x). S C = C ([, b]) oznčvmo prostor beskončno diferencijbilnih ili gltkih funkcij n [, b].

8 . Prostori integrbilnih, psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij..2 Definicij Nek je p. S L p ([, b]) oznčvmo skup Lebegmerljivih funkcij f n [, b] z koje je f p <, gde je i f p = ( b f(x) p dx ) p, p <, f = esssup f(x) := inf{c R f(x) c, skoro svud n [, b]}. x b Npomenimo d su dve funkcije koje su jednke skoro svud n [, b], tj. koje se rzlikuju do n skup mere nul, jednke u prostoru L p ([, b]). Drugim rečim, elementi prostor L p ([, b]) su klse ekvivlencije funkcij, gde su funkcije f i g ekvivlentne ko je f(x) = g(x) skoro svud n [, b]. Može se pokzti d u prostoru Lebeg-merljivih funkcij vže sledeće nejednkosti:. Helderov nejednkost, z p > i p + q = : b f(t)g(t) dt = fg f p g q, f L p ([, b]), g L q ([, b]). 2. Koši-Švrcov nejednkost: b f(t)g(t) dt f 2 g 2, f, g L 2 ([, b]). 3. Nejednkost Minkovskog: f + g p f p + g p, f, g L p ([, b]). 4. Uopšten nejednkost Minkovskog: ( dx f(x, y) dy p ) /p ( dy ) /p, f(x, y) p dx Ω Ω 2 Ω 2 Ω f L p ([, b] [c, d]). Koristeći nejednkost Minkovskog se može pokzti d su f p i f iz definicije..2 norme n L p ([, b]). Iz Helderove nejednkosti dobijmo d n končnim intervlim vži L p ([, b]) L p 2 ([, b]) i f p2 c f p, 2

9 . Prostori integrbilnih, psolutno neprekidnih i neprekidnih funkcij ko je p 2 < p i c = const. Tkod e vži i Fubinijev teorem koj dozvoljv promenu redosled integrcije kod višestrukih integrl...3 Teorem Nek je Ω = [, b], Ω 2 = [c, d], gde su < b, c < d, i nek je f(x, y) merljiv n Ω Ω 2. Ako br jedn od integrl dx f(x, y) dy, dy f(x, y) dx, f(x, y) dx dy Ω Ω 2 Ω 2 Ω Ω Ω 2 psolutno konvergir, ond su sv tri integrl jednk. Koristićemo i specijlni slučj Fubinijeve teoreme, pozntiji ko Dirihleov formul b x b dx f(x, y) dy = b dy y f(x, y) dx (.) koj vži pod pretpostvkom d br jedn od integrl psolutno konvergir. Nek je sd [, b] končn intervl, tj. < < b <. Definišimo prostore psolutno neprekidnih funkcij...4 Definicij Funkcij f je psolutno neprekidn n intervlu [, b] ko z svko ε > postoji δ > tko d z svki končn, po provim disjunktn niz podintervl [ k, b k ] [, b], k =, 2,..., n, z koji je n k= (b k k ) < δ, sledi d je n k= (f(b k) f( k )) < ε. Prostor psolutno neprekidnih funkcij n [, b] se oznčv s AC([, b]). Poznto je d se prostor AC([, b]) poklp s prostorom primitivnih funkcij od L ([, b])-funkcij, odnosno, x f AC([, b]) f(x) = c + φ(t) dt, b φ(t) dt <, (.2) tj. φ L ([, b]). Otud sledi d je izvod psolutno neprekidne funkcije psolutno integrbiln funkcij, tj. f (x) = φ(x) skoro svud n [, b] i c = f(). Obrnuto u opštem slučju ne vži. Nime, psolutn neprekidnost funkcije ne sledi nužno iz postojnj psolutno integrbilnog izvod skoro svud, što će biti od velikog znčj u teoriji frkcionog integro-diferencirnj. 3

10 .2 Integrlne trnsformcije Z n N s AC n ([, b]) oznčvmo prostor funkcij f koje imju neprekidne izvode n [, b] do red n i f (n ) AC([, b]), odnosno { } AC n ([, b]) = f C n ([, b]) f (n ) AC([, b]). Specijlno, AC ([, b]) AC([, b]). Sledeć lem dje krkterizciju prostor AC n ([, b])...5 Lem Funkcij f pripd prostoru AC n ([, b]) ko i smo ko se može zpisti u obliku f(x) = (n )! x n (x t) n φ(t) dt + c k (x ) k, (.3) gde je φ L ([, b]), c k proizvoljne konstnte, k =,,..., n. Jednkost (.3) sledi direktno iz definicije prostor AC n ([, b]), (.2) i poznte formule z rčunnje n-tostrukog integrl..2 Integrlne trnsformcije U ovom odeljku ćemo se upoznti s osnovnim integrlnim trnsformcijm ko što su Furijeove, Melinove i Lplsove trnsformcije, koje ćemo u nstvku koristiti..2. Furijeov trnsformcij Nek je f funkcij jedne relne promenljive. Furijeov trnsformcij funkcije f se definiše ko (Ff(x))(ξ) = f(ξ) := Inverzn Furijeov trnsformcij je dt s: (F g(ξ))(x) = 2π e ixξ f(x) dx, ξ R. (.4) e ixξ g(ξ) dξ, x R. (.5) Prethodni integrli psolutno konvergirju z funkcije f, g L (R) ko i z funkcije f, g L 2 (R). 4

11 .2 Integrlne trnsformcije Ponekd je korisno Furijeovu trnsformciju zpisti u sledećem obliku: (Ff(x))(ξ) = d dξ e ixξ f(x) dx. (.6) ix.2. Npomen Rdi jednostvnijeg zpis, često se izostvlj promenljiv x, ukoliko ne dovodi do zbune, i pišemo smo (Ff)(ξ) ili Ff(ξ). Podjednko ćemo koristiti sve ove oznke. Z dovoljno dobre funkcije f i g, ove trnsformcije su jedn drugoj inverzne, tj. vži F Ff = f i FF g = g, ko i sledeć relcij (FFf)(ξ) = f( ξ). Sledeć osobin dje vezu Furijeovih trnsformcij i opertor trnslcije τ h i diltcije Π λ definisnih s i respektivno. Z funkcije f L k (R), k =, 2, vži: (τ h f)(x) = f(x h), x, h R (.7) (Π λ f)(x) = f(λx), x R, λ > (.8) (Fτ h f)(ξ) = e iξh (Ff)(ξ) (FΠ λ f)(ξ) = λ (Ff) ( ξ λ (Fe ix f(x))(ξ) = (τ Ff)(ξ) = (Ff)(ξ + ), ξ, R. Ako je f L (R) td je (Ff)(ξ) neprekidn ogrničen funkcij koj teži nuli kd ξ. Brzin opdnj funkcije Ff u beskončnosti je u vezi s regulrnošću funkcije f. T vez je dt sledećim jednkostim i (FD n f(x))(ξ) = ( iξ) n (Ff(x))(ξ), n N (.9) D n (Ff(x))(ξ) = (F(ix) n f(x))(ξ), n N (.) i vže z funkcije f C n (R) z koje je f (k) L (R), gde je k =,,..., n. ) 5

12 .2 Integrlne trnsformcije Konvolucij funkcij f i g se definiše pomoću integrl (f g)(x) = i dobro je definisn u sledećim slučjevim: ko f, g L (R) td i f g L (R), ko f L (R), g L 2 (R) td i f g L 2 (R), f(x t)g(t) dt, (.) ko f, g L 2 (R) td je konvolucij funkcij f i g neprekidn, ogrničen funkcij koj se nulir u beskončnosti. Furijeov trnsformcij konvolucije je dt Furijeovom konvolucionom teoremom..2.2 Teorem Nek je ispunjen jedn od prethodnih uslov. Td je Furijeov trnsformcij konvolucije f g dt s (F(f g))(ξ) = (Ff)(ξ)(Fg)(ξ). Tkod e nvodimo sinusne i kosinusne Furijeove tnsformcije funkcije f (F c f)(ξ) = (F s f)(ξ) = i odgovrjuće inverzne trnsformcije (Fc g)(x) = 2 π (Fs g)(x) = 2 π cos(ξx)f(x) dx, ξ R +, sin(ξx)f(x) dx, ξ R +, cos(xξ)g(ξ) dξ, x R +, sin(xξ)g(ξ) dξ, x R +. 6

13 .2 Integrlne trnsformcije.2.2 Melinov trnsformcij Nek je f funkcij jedne relne promenljive. Melinov trnsformcij funkcije f se definiše ko (Mf(t))(s) = f (s) := inverzn Melinov trnsformcij z x R + je dt s (M g(s))(t) = 2πi γ+i γ i t s f(t) dt, s C, (.2) t s g(s) ds, γ = Re (s). (.3) Prethodne relcije se mogu izvesti iz (.4) i (.5) zmenom f(x) s f(e x ) i ix s s. Tko uslovi z konvergenciju integrl u definiciji vže n osnovu odgovrjućih uslov z konvergenciju Furijeove i inverzne Furijeove trnsformcije. Nek od osnovnih svojstv Melinove trnsformcije su: (Mf(t))(s) = s (Mf)(s), R + (M t f(t))(s) = (τ Mf)(s) = (Mf)(s + ), s, C i (Mf(t ))(s) = ( s ) (Mf), R\{}. Ponvljjući prcijlnu integrciju, dobijmo i bitnu vezu z Melinovu trnsformciju n-tog izvod funkcije f, n N. (MD n f)(s) = D n f(t)t s dt = [ D n f(t)t s ] (s ) D n f(t)t s 2 dt = [ D n f(t)t s ] (s )(MDn f)(s ) = n = ( ) k Γ(s) Γ(s k) što se može zpisti i u obliku: (MD n f)(s) = n [ D n k f(t)t s k ] + ( )n Γ(s) (Mf)(s n), Γ(s n) Γ( s + k) [ D n k f(t)t s k ] Γ( s) 7 s + n) +Γ( (Mf)(s n). Γ( s) (.4)

14 .2 Integrlne trnsformcije Specijlno, ko zmen donje i gornje grnice nulir funkcije u sumi, dobijmo pojednostvljenu formulu: (MD n f)(s) = Γ( s + n) Γ( s) (Mf)(s n), gde je Γ specijln Ojlerov gm funkcij o kojoj će više reči biti u odeljku.3.. Melinov opertor konvolucije funkcij f i g se definiše z t R + n sledeći nčin: (f g)(x) = x ( x ) f g(t) dt t t. Teorem konvolucije z Melinovu trnsformciju uz iste pretpostvke ko u teoremi.2.2 je oblik (M(f g))(s) = (Mf)(s)(Mg)(s). Poznto je d se Melinovom trnsformcijom eksponencijlne funkcije dobij gore pomenut gm funkcij:.2.3 Lplsov trnsformcij (Me t )(z) = Γ(z), Re (z) >. Nek je f : R + C, i s C. Lplsov trnsformcij funkcije f se definiše ko (Lf(t))(s) = f(s) := e st f(t) dt. (.5) Z egzistenciju integrl (.5) je potrebno d je funkcij f eksponencijlno ogrničen, što znči d postoje konstnte M > i α R tkve d z neko t vži f(t) Me αt, t > t. Inverzn Lplsov trnsformcij se definiše ko gde je γ = Re (s). (L g(s))(t) = 2πi γ+i γ i e st g(s) ds, (.6) 8

15 .2 Integrlne trnsformcije Koristeći Melinovu trnsformciju može se pokzti d se inverzn Lplsov trnsformcij može zpisti i u obliku (L g)(x) = 2πi γ+i γ i x s Γ( s) g ( s) ds, γ = Re (s) <. Ako su z funkcije f i f 2 definisne Lplsove trnsformcije, td vži L(c f + c 2 f 2 ) = c L(f ) + c 2 L(f 2 ), c, c 2 R, tj. vži linernost Lplsove trnformcije. Jednostvnim rčunom mogu se izrčunti Lplsove trnsformcije nekih elementrnih funkcij: (L t α Γ(α + ) )(s) = s α+, α > (L e t )(s) = s (L t α e t )(s) = Γ(α) (s ) α s (L cos t)(s) = s (L sin t)(s) = s Jedno od njkorisnijih svojstv Lplsove trnsformcije je tzv. konvolucion teorem. Nime, ko pretpostvimo d vže uslovi teoreme.2.2, može se pokzti d je (L(f g))(s) = (Lf)(s)(Lg)(s), (.7) gde je konvolucij funkcij f i g dt u (.). Lplsov trnsformcij se može dobiti i od Furijeove trnsformcije uzimjući d je f(t) = z t < i zmenom promenljive ix = s. Istknimo još i d kd god odgovrjuće Lplsove trnsformcije postoje, vže i sledeće jednkosti nlogne onim z Furijeove trnsformcije: (Lτ h f)(s) = e sh (Lf)(s) (LΠ λ f)(s) = ( s ) λ (Lf) λ (L e t f(t))(s) = (τ Lf))(s) = (Lf)(s + ), s, R D n (Lf(t))(s) = ( ) n (L t n f(t))(s), n N n (L D n f)(s) = s n (Lf)(s) s n k (D k f)(). (.8) 9

16 .3 Specijlne funkcije.3 Specijlne funkcije Specijlne funkcije, ko što su gm, bet ili Mitg-Leflerov funkcij imju znčjnu ulogu u frkcionom rčunu. U dljem rdu ćemo dost koristiti gm i bet funkciju, stog ćemo ih detljno obrditi i upoznti se s njihovim bitnim osobinm..3. Gm funkcij Gm funkcij (često se nziv i Ojlerov gm funkcij) Γ se definiše preko tzv. Ojlerovog integrl druge vrste i glsi: Γ(z) := e t t z dt, z C, (.9) gde je t z = e (z ) ln t. Jsno je d integrl (.9) konvergir z sve kompleksne vrednosti z z koje je Re (z) >. Zist, immo Γ(x + iy) = = e t t x +iy dt = e t t x e iy ln t dt e t t x [cos(y ln t) + i sin(y ln t)] dt, gde je izrz u uglstim zgrdm ogrničen z svko t, ztim konvergencij u beskončnosti je obezbed en s e t, z konvergenciju u nuli mormo imti x = Re (z) >..3. Npomen Često se u literturi može nći i opštij definicij gm funkcije: gm funkcij Γ je meromorfn funkcij nezvisne promenljive z i njen recipročn vrednost je oblik ( Γ(z) = zeγz + z ) z k, k gde je γ =, Ojlerov konstnt. Ovde možemo primetiti d nem dodtnog uslov d je Re (z) >. k= Jedn od osnovnih osobin gm funkcije je d on zdovoljv redukcionu formulu Γ(z + ) = zγ(z), Re (z) >, (.2)

17 .3 Specijlne funkcije koj se lko može pokzti prcijlnom integrcijom. Koristeći prethodnu relciju, Ojlerovu gm funkciju možemo produžiti i n levu polurvn, tj. z vrednosti Re (z) n sledeći nčin: Γ(z) = Γ(z + n) (z) n, Re (z) > n, n N, z Z := {,, 2,...}, (.2) gde je (z) n Pohmerov simbol z z C i n N definisn s: (z) =, (z) n = z(z + ) (z + n ). Sd jednostvno dobijmo sledeće identitete: i Γ(z) = Γ(n + ) = () n = n! Γ(z + n) z(z + ) (z + n ). Primetimo d z ovko zpisnu gm funkciju možemo lko zključiti d je nlitičk svud u kompleksnoj rvni C, osim i tčkm z =,, 2... u kojim im polove prvog red i može se predstviti formulom Γ(z) = što sledi zmenom z = n i n = k. ( )k (z + k)k! [ + O(z + k)] z k, k N,.3.2 Npomen Oznk f(z) = O(g(z)), z, čit se funkcij f je veliko O funkcije g i znči d z ε > z koje je z < ε sledi f(z) g(z) < M, z neko M <. Koeficijent (z + k) u okolini pol z = k se nziv reziduum (osttk) gm funkcije u oznci Res Γ(z) = ( )k k!. Još neke osobine gm funkcije su:. Opšt diferencn jednkost: Γ(z n) = Γ(z + n) = (z) n Γ(z), Γ(z) (z n) n = ( )n ( z) n Γ(z).

18 .3 Specijlne funkcije 2. Funkcionln jednkost: Γ(z)Γ( z) = π sin zπ, ( Γ = 2) π. 3. Duplikcion (Ležndrov) formul: Γ(2z) = 22z ( Γ(z)Γ z + ) π 2 i uopšten Gus-Ležndrov multiplikcion formul: Γ(mz) mmz 2 2π m 2 m ( Γ z + k ), m = 2, m 4. Stirlingov formul: Γ(z) = ( 2πz z ) 2 e z [ + O ], rgz < π, z z i njene posledice: n! = ( n ) n[ ( 2πn + O ], n, e n) Γ(x + iy) = ( 2π y x 2 e π y ) 2 [ + O ], y. y 5. Količnik dve gm funkcije rzvijen u red u okolini beskončnosti: Γ(z + ) Γ(z + b) = z b c =, rg(z + ) < π, z. N c k z k + z b O(z N ), Koristićemo još i Ojlerovu psi-funkciju koj se definiše preko izvod logritm gm funkcije ψ(z) = d dz ln Γ(z) = Γ (z) Γ(z). (.22) 2

19 .3 Specijlne funkcije.3.2 Bet funkcij Bet funkcij B(z, ω) se definiše preko Ojlerovog integrl prve vrste B(z, ω) := t z ( t) ω dt, Re (z) >, Re (ω) >. (.23) Posmtrjmo funkcije f(u) = u z i g(u) = u ω, td je (f g)(u) = p uvodeći smenu τ = vu dobijmo u (f g)(u) = u z+ω τ z (u τ) ω dτ, v z ( v) ω dv. Sd iz teoreme o konvoluciji Lplsove trnsformcije immo p sledi d je L(u z+ω B(z, ω)) = L(u z )L(u ω ) = Γ(z)Γ(ω) s z+ω, u z+ω B(z, ω) = L ( Γ(z)Γ(ω) s z+ω ) = Γ(z)Γ(ω)uz+ω. Γ(z + ω) Odvde dobijmo veom bitnu vezu izmed u gm i bet funkcije koj je dt formulom: B(z, ω) = Γ(z)Γ(ω) Γ(z + ω). (.24) Integrl (.23) im smisl i z vrednosti Re (z) = ili Re (ω) = (z, ω ) i td immo smo uslovnu konvergenciju. Nime, sledeći limes postoji i poklp se s nlitičkim produženjem B(z, ω) s obzirom n ω i vrednosti Re (ω) =, ω : B(z, iθ) = lim ε ε t z ( t) iθ dt, Re (z) >, θ. Tkod e se koristi i sledeći integrl koji se dobij iz (.23) pomoću smene t = y + (x y)ξ : x (t x) α (t y) β dt = (x y) α+β B(α, α β), x > y, < Re (α) < Re (β). 3

20 .3 Specijlne funkcije.3.3 Mitg-Leflerov funkcij Nek je z C, α >, funkcij definisn preko stepenog red s E α (z) = z k Γ(αk + ) (.25) se nziv Mitg-Leflerov funkcij jednog prmetr. Jsno, z α = i α = 2 dobijmo rzvoje eksponencijlne funkcije i hiperboličnog kosinus: E (z) = z k k! = ez E 2 (z) = z k (2k)! = cosh( z). Z α = n N može se pokzti d z funkciju E n (λz n ) vži sledeć diferencijln formul ( d ) nen (λz n ) = λe n (λz n ), λ C, dz ko i ( d ) n ( λ )] [z n E n dz z n = ( )n λ ( λ ) z n+ E n z n, z, λ C. Tkod e, immo i integrlnu reprezentciju z α > i z C ( rg(z) < π): E α (z) = 2πi γ+i γ i Γ(s)Γ( s) Γ( αs) ( z) s ds. Iz (.2) dobijmo d je Melinov trnsformcij Mitg-Leflerove funkcije (ME α ( t))(s) = Γ(s)Γ( s) Γ( αs) z < Re (s) <, dok je Lplsov trnsformcij nešto komplikovnij i stog je nećemo nvoditi. Dvoprmetrsk Mitg-Leflerov funkcij se definiše z α > i β > i glsi E α,β (z) = z k Γ(αk + β). (.26) Jsno je d se Mitg-Leflerov funkcij jednog prmetr može definisti preko dvoprmetrske Mitg-Leflerove funkcije z β =, odnosno E α, (z) = E α (z). Iko se nziv Mitg-Leflerov funkcij, prvi put se pojvljuje u rdovim Vimn, osnovn svojstv su detljno obrdili Agrvl i Humbert četiri decenije ksnije. 4

21 .3 Specijlne funkcije.3.3 Npomen Primetimo d se pri definisnju funkcij nigde ne pominje konvergencij red, med utim, uz pomoć Stirlingove formule se može pokzti d red konvergir z svko z C. Anlogne diferencijlne formule z dvoprmetrsku Mitg-Leflerovu funkciju vže: ( d dz ) nz β E n,β (λz n ) = z β n E n,β n (λz n ), λ C i ( d dz ) n [z n β E n,β ( λ z n )] ko i integrln reprezentcij E α,β (z) = 2πi = ( )n λ ( λ ) z n+β E n,β z n, z, λ C, γ+i γ i Γ(s)Γ( s) Γ(β αs) ( z) s ds. Melinov trnsformcij dvoprmetrske Mitg-Leflerove funkcije je oblik (ME α,β ( t))(s) = Γ(s)Γ( s) Γ(β αs). Koristeći dvoprmetrsku Mitg-Leflerovu funkciju z rzličite vrednosti prmetr α i β, možemo definisti mnoge dobro poznte funkcije: E,2 (z) = E, (z) = E 2, (z 2 ) = E 2,2 (z 2 ) = z k Γ(k + ) = z k k! = ez z k Γ(k + 2) = z k (k + )! = z z k+ k + = ez z z 2k Γ(2k + ) = z 2k (2k)! = cosh z z 2k Γ(2k + 2) = z z 2k+ (2k + )! = sinh z. z.3.4 Gusov hipergeometrijsk i Beselov funkcij Gusov hipergeometrijsk i Beselov funkcij su veom znčjne z frkcioni rčun jer se pojvljuju prilikom rešvnj frkcionih integrl nekih elementrnih funkcij. 5

22 .3 Specijlne funkcije Gusov hipergeometrijsk funkcij 2 F (, b; c; z) se definiše n jediničnoj kružnici pomoću sume hipergeometrijskog red 2F (, b; c; z) = () k (b) k (c) k z k k!, (.27) gde su, b C, c C\Z prmetri i promenljiv z <, () k Pohmerov simbol definisn u.3.. Red psolutno konvergir z z < i z z = kd je Re (c b) >. Z ostle vrednosti promenljive z definiše se nlitičko produženje red preko Ojlerove integrlne reprezentcije 2F (, b; c; z) = Γ(c) t b ( t) c b ( zt) dt, Γ(b)Γ(c b) < Re (b) < Re (c), rg( z) < π. Kumerov funkcij se definiše preko Gusove hipergeometrijske n sledeći nčin F (; c; z) = () k z k (c) k k! = lim b 2 F (, b; c; z ), z <. b Sd možemo definisti Beselovu funkciju J ν (z) pomoću hipergeometrijske funkcije n sledeći nčin: J ν (z) = F (c; z) = z k (c) k k! = lim F (; c; z ), z < ( z ) ν F (ν + ; z2 ) = Γ(ν + ) 2 4 ( ) k (z/2) 2k+ν Γ(ν + k + )k!. (.28) Beselov funkcij se može predstviti i u Posonovoj integrlnoj reprezentciji J ν (z) = (z/2) ν ( t 2 ) ν /2 cos(zt) dt, Re (ν) > πγ(ν + /2) 2. Specijlno z ν = /2 i ν = /2 immo J /2 (z) = ( 2 ) /2 ( 2 ) /2 cos z i J/2 (z) = sin z. πz πz 6

23 Glv 2 Rimn-Liuvilovi integrli i izvodi necelog red Postoji više pristup definisnju izvod i integrl necelog red, njčešće se koristi Rimn-Liuvilov pristup i može se nći u gotovo svim knjigm i rdovim posvećenim ovoj temi. Neke od pomenutih knjig, odkle su i preuzete definicije i tvrd enj koj slede u nstvku tekst su [6], [7], [], [2], [6], [7], [8] i [2]. U stvrnju rčun s integrlim i izvodim necelog red, veom znčjnu ulogu je odigrl Abelov integrln jednčin φ(t) dt = f(x), Γ(α) (x t) α x, < α <, (2.) Jsno, z α = immo φ = f. Z vrednosti < α < (slučj α > se svodi n prethodni kd je < α < ), može se izrčunti (jedinstveno) rešenje jednčine i ono je oblik Slično, φ(x) = d b Γ( α) dx x b Γ(α) x d φ(x) = Γ( α) dx x f(t) dt. (2.2) (x t) α f(t) (t x) α dt je rešenje Abelove jednčine oblik φ(t) dt = f(x), x b, < α <. (t x) α Ako je f psolutno neprekidn funkcij n [, b], td (2.) im jedinstveno rešenje 7

24 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod u prostoru L ([, b]), i može se zpisti n sledeći nčin φ(x) = [ x f() Γ( α) (x ) α + f ] (t) (x t) α dt. Vodeći se jednčinom (2.2) ko i nekim pozntim rezulttim iz klsične nlize, definisćemo izvode i integrle necelog red α R. 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod Poznto je d se n-tostruki integrl funkcije φ može rčunti po formuli x x dx dx... x φ(x) dx = (n )! x (x t) n φ(t) dt, što se lko pokzuje indukcijom po n. Kko je (n )! = Γ(n) immo d desn strn gornje jednkosti može imti znčenje i z necele vrednosti n, tko d se prirodno nmeće sledeć definicij integrl necelog red. 2.. Definicij Nek je f L ([, b]) i α >. Td se levi Rimn-Liuvilov integrl red α funkcije f, u oznci I α x f, definiše ko I α x f(x) = Γ(α) x (x θ) α f(θ) dθ, x [, b], (2.3) dok se desni Rimn-Liuvilov integrl red α funkcije f, u oznci x Ib α f, definiše ko xi α b f(x) = Γ(α) b x (θ x) α f(θ) dθ, x [, b]. (2.4) Gore definisni integrli funkcije f L ([, b]) postoje skoro svud n [, b], tkod e su elementi prostor L ([, b]) što se može pokzti (n primer z levi Rimn-Liuvilov integrl) tko što zpišemo x (x θ) n f(θ) dθ = φ (x θ) φ 2 (θ) dθ, 8

25 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod gde su i { u φ (u) = n, < u b, inče φ 2 (u) = { f(u), u b, inče. Po konstrukciji su obe funkcije φ, φ 2 L (R) p n osnovu teoreme o konvoluciji i pozntih osobin Lebegovih integrl sledi d je i početni integrl tkod e u L ([, b]). Primetimo d vži i sledeć jednkost: Q I α x = x I α b Q, gde je Q refleksivni opertor definisn s (Qφ)(x) = φ( + b x). Veom bitno je svojstvo polugrupe opertor frkcione integrcije Teorem Nek su α, β > i f L ([, b]). Td vži Ix α Ix β f(x) = Ix α+β f(x), xib α xi β b f(x) = xi α+β f(x), skoro svud n [, b]. Specijlno, ko je f C([, b]) ili α + β ond jednkost immo n celom skupu [, b]. Dokz. I α x I β x f(x) = I α x = = = ( ) ( Γ(β) Γ(β) Γ(α) Γ(β) Γ(α) x x ) (x θ) β f(θ) dθ ( θ (x θ) α x x τ b ) (θ τ) β f(τ) dτ dθ (x θ) α (θ τ) β f(τ) dθ dτ, p uvod enjem smene promenljivih θ = τ + s(x τ) dobijmo ( ) = Γ(β) Γ(α) = ( ) x (x τ s(x τ)) α (s(x τ)) β f(τ)(x τ) ds dτ 9

26 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ( ) = = Γ(β) Γ(α) Γ(β) Γ(α) x x (x τ) α ( s) α s β (x τ) β f(τ) ds dτ (x τ) α+β f(τ) ( s) α s β ds dτ. Vidimo d je integrl ( s)α s β ds = B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) p sd lko dobijmo tvrd enje I α x I β x f(x) = Γ(α)Γ(β) Γ(β) Γ(α) Γ(α + β) x (x τ) α+β f(τ) dτ = Ix α+β f(x). Dokz z desni Rimn-Liuvilov integrl ide nlogno. Drugi deo teoreme vži jer ko je f C([, b]) td je i Ix β f C([, b]) p je i Ix α Ix β f C([, b]), tkod e i Ix α+β f C([, b]). Sd, kko se dve neprekidne funkcije poklpju skoro svud n [, b], sledi d se morju poklpti i n celom skupu [, b]. Ako je f L ([, b]) i α + β ond iz prvog del immo d je I α x I β x f(x) = I α+β x f(x) = Ix α+β Ixf(x), p ko u prethodnom rzmtrnju immo neprekidnost i poklpnje n celom skupu, što je i treblo pokzti. Tkod e, može se pokzti d vži i komuttivnost Rimn-Liuvilovih integrl, odnosno vži sledeć propozicij Propozicij Pod uslovim teoreme 2..2 vži jednkost Dokz. Iz prethodne teoreme immo I α x I β x f(x) = I β x I α x f(x) odkle sledi tvrd enje. xi α b xi β b f(x) = xi α+β b f(x) = x I β+α b f(x) = x I β b xib α f(x), 2..4 Npomen Iz prethodne dve teoreme sledi d opertori {I α x : L ([, b]) L ([, b]) : α } formirju komuttivnu polugrupu. Identički opertor I x je neutrlni element ove polugrupe. 2

27 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod U sledećoj definiciji ćemo se upoznti s inverznim opertorom frkcione integrcije kog nzivmo frkcioni izvod Definicij Nek je f AC([, b]) i α <. Td se levi Rimn-Liuvilov izvod red α funkcije f, u oznci D α x f, definiše ko D α x f(x) = d dx I α x f(x) = d Γ( α) dx x f(θ) dθ, x [, b], (2.5) (x θ) α dok se desni Rimn-Liuvilov izvod red α funkcije f, u oznci x Db α f, definiše ko x [, b]. ( xdb α f(x) = d ) xi α dx b f(x) = ( d ) b Γ( α) dx x f(θ) dθ, (2.6) (θ x) α Prethodn definicij dozvoljv d je α = što dje Dxf(x) = x Db f(x) = f(x). Primetimo d smo integrle definisli z proizvoljno α >, med utim u definiciji izvod stoji d je α <. Pre nego što pred emo n slučj kd je α, djemo dovoljn uslov z postojnje frkcionih izvod Lem Nek je f AC([, b]). Td z α <, D α x f i x D α b f postoje skoro svud n [, b]. Štviše, D α x f, x D α b f Lp ([, b]), p < α, i i D α x f(x) = [ x f() Γ( α) (x ) α + f ] (θ) (x θ) α dθ [ xdb α f(x) = b f(b) Γ( α) (b x) α x (2.7) f ] (θ) (θ x) α dθ. (2.8) Dokz. Koristeći definiciju Rimn-Liuvilovog izvod i pretpostvku f AC([, b]), dobijmo D α x f(x) = = = ( ) d Γ( α) dx d Γ( α) dx x x f(θ)(x θ) α dθ ( θ f() + 2 ) f (u) du (x θ) α dθ

28 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ( ) = = ( d f() Γ( α) dx x ( f() Γ( α) (x ) α + d dx (x θ) α dθ + x θ x θ ) f (u)(x θ) α du dθ ) f (u)(x θ) α du dθ. N osnovu Fubinijeve teoreme..3 o zmeni redosled integrl, dobijmo D α x f(x) = ( f() Γ( α) (x ) α + x ) f (x u) α (u) du. α Sd iz osnovnih svojstv diferencirnj prmetrskih integrl dobijmo tvrd enje. Postoje primeri d i uz nešto slbije uslove koje funkcij f mor d zdovoljv, opertor frkcionog izvod je dobro definisn. N primer, moguće je nći frkcione izvode funkcije koj im integrbilne singulritete. Posmtrjmo sledeću funkciju f(x) = (x ) µ, < µ <. Td dobijmo tzv. Ojlerovu formulu Zist, Dx α (x ) µ Γ( µ) =. (2.9) Γ( µ α) (x ) µ+α D α x (x ) µ = = ( ) d Γ( α) dx Uvod enjem smene promenljivih z = θ dobijmo ( ) = = d Γ( α) dx x x d Γ( α) dx = ( ) x z µ (x z) α dz (θ ) µ (x θ) α dθ z µ (x ) α ( z dz x )α Neprekidn, loklno integrbiln funkcij f n (, x) im integrbilni singulritet red r < u tčki θ = ko je lim θ (θ ) r f(θ) = const. 22

29 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod Smenom ξ = z x ( ) = se integrl svodi n bet funkciju: = d Γ( α) dx d (x ) µ α Γ( α) dx (x ) µ ξ µ (x ) α (x ) dξ ( ξ) α ξ µ ( ξ) α dξ = µ α Γ( α) (x ) µ α B( µ, α). Koristeći relcije z bet i gm funkciju (.24) i (.2) dobijmo Dx α (x ) µ = µ α Γ( µ)γ( α) (x ) µ α Γ( α) Γ(2 µ α) Γ( µ) = Γ( µ α) (x ) µ α, što je i treblo pokzti. Očigledno, z µ = α, koristeći svojstvo gm funkcije Γ(m) = ± z m =,,..., immo d je Dx α (x ) α =, p možemo primetiti d funkcij (x ) α kod izvod Dx α igr istu ulogu ko konstnt kod klsičnih izvod. Tkod e immo i d Ojlerov formul vži i kd je µ. Stog, z µ = dobijmo d je Dx α c, z svku konstntu c R. Ove činjenice su od velikog znčj u rdu s frkcionim rčunom zbog velikih rzlik u osobinm izmed u ovko definisnih necelih i već dobro pozntih klsičnih izvod. Pred imo sd n definiciju frkcionih izvod red α z α. U tu svrhu koristićemo sledeće oznke: z α pišemo α = [α] + {α}, gde je [α] ceo deo, {α}, {α} <, rcionlni deo broj α Definicij Nek je f AC [α]+ ([, b]) i α. Td je ( d ) [α] ( d ) [α]+ Dx α f(x) = D x {α} f(x) = Ix {α} f(x), x [, b], dx dx i ( xdb α f(x) = d ) [α] ( xd {α} dx b f(x) = d ) [α]+ xi {α} dx b f(x), x [, b]. Dkle, z n α < n, n N i f AC n ([, b]), immo d je [α] = n i {α} = α [α] = α n + D α x f(x) = ( d ) x n f(θ) dθ, Γ(n α) dx (x θ) α n+ x [, b], (2.) 23

30 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod i nlogno, xdb α f(x) = ( d ) b n Γ(n α) dx x f(θ) dθ, x [, b]. (2.) (θ x) α n+ Ponovo, ko stvimo α = n u (2.) i (2.), respektivno, i kko je [α] = n i {α} = dobijmo i respektivno ( d ) n ( d ) n f(x), Dx n f(x) = D dx xf(x) = dx ( xd n b f(x) = d ) n ( xdb dx f(x) = d ) n f(x). dx Dovoljn uslov z postojnje levog i desnog Rimn-Liuvilovog izvod red α z α [, ) iz leme 2..6 vži i u slučju kd je n α < n. Dkle, dovoljno je d x f(θ) (x θ) b dθ, α n+ Tkod e, z n α < n, n N, immo x f(θ) (θ x) α n+ dθ AC[α]+ ([, b]). D α x (x ) α n =, i xd α b (b x)α n =, ko i Dx α c, i x Db α c, c R. U teoremi 2..2 smo videli d Rimn-Liuvilov opertor integrcije im svojstvo polugrupe, p se prirodno postvlj pitnje d li i opertor diferencirnj zdovoljv isto. Odgovor je potvrdn pod odred enim uslovim, što ćemo videti u sledećoj teoremi, dok u opštem slučju ne mor d vži Teorem Nek je α, β, φ L ([, b]) i nek je f = Ix α+β φ. Td vži D α x D β xf = D α+β x f. Primetimo d nije neophodno d je funkcij φ zdt eksplicitno, već je dovoljno d znmo d tkv funkcij postoji. Dokz. Rdi jednostvnijeg zpis koristićemo oznku D n umesto ( d pretpostvke teoreme i definicije Rimn-Liuvilovog izvod immo dx )n. Iz D α x D β xf(x) = D α x D β x I α+β x = D [α]+ I α+[α] x φ(x) = D [α]+ Ix {α} D [β]+ I β+[β] 24 x Ix α+β D [β]+ I {β} φ(x). x Ix α+β φ(x)

31 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod Koristeći poznt identitet D n I n x f = f gde je n N i svojsvo polugrupe integrlnog opertor, dobijmo D α x D β xf(x) = D [α]+ I α+[α] x = D [α]+ I α+[α] x = D [α]+ I α+[α] x = D [α]+ Ix +[α] = φ(x). D [β]+ Ix +[β]+α φ(x) D [β]+ Ix +[β] Ix α φ(x) Ix α φ(x) φ(x) Dkle, dobili smo d je D α x D β xf(x) = φ(x). Slično se pokzuje i d je D α+β x f(x) = φ(x) odkle sledi tvrd enje. Pokžimo d ukoliko nisu zdovoljeni uslovi teoreme svojstvo polugrupe ko i zkon komuttivnosti z Rimn-Liuvilove izvode ne morju d vže Primer Nek je f(x) = (x ) /2 i α = β = /2. Td iz Ojlerove formule (2.9) immo d je D α x f(x) = D /2 x (x ) /2 = i D β xf(x) = D /2 x (x ) /2 =, odkle sledi d je i D α x D β xf(x) =. Med utim, D /2+/2 x (x ) /2 = D x(x ) /2 = /2(x ) 3/2. Dkle, Dx α+β f(x), p ne vži svojstvo polugrupe, tj. Dx α Dxf(x) β = Dx β Dx α f(x) Dx α+β f(x). Nek je sd f(x) = (x ) /2 i α = /2, β = 3/2. Immo D /2 x f(x) = π/2 D 3/2 x f(x) =, p je Dx /2 Dx 3/2 f(x) =, li Dx 3/2 Dx /2 f(x) = π/4(x ) 3/2 (videti odeljk 2.5). Dkle, Dx α Dxf(x) β Dx β Dx α f(x), p ne vži komuttivnost frkcionih izvod. Opercije frkcione integrcije i diferencirnj s kojim smo se već upoznli z relno α > se mogu prirodno proširiti i n slučj kompleksne vrednosti α z Re (α) >. Slučj Re (α) = ćemo posebno diskutovti. 25

32 2. Definicij i osnovn svojstv Rimn-Liuvilovih integrl i izvod Jsno je d su gore definisni integrli i izvodi red α, α >, ustvri integrli i izvodi kompleksnog red α (Re (α) ) gde je Im (α) =. Rzmotrimo sd izvod isključivo imginrnog red α, dkle Re (α) =. Nek je α = iω. Td se levi i desni izvod imginrnog red definišu formulm i D iω x f(x) = d Γ( iω) dx x xdb iω f(x) = ( d ) b Γ( iω) dx x f(θ) dθ, x [, b] (2.2) (x θ) iω f(θ) dθ, x [, b]. (2.3) (θ x) iω Primetimo d je definicij u potpunosti ist ko definicij (2.5). Med utim, z definisnje integrl imginrnog red ne možemo koristiti definiciju (2.3) zbog divergencije integrl z α = iω p prihvtmo d je Ix iω f(x) = d dx Ix +iω f(x), odkle sledi i I iω x f(x) = d Γ( + iω) dx xib iω f(x) = Γ( + iω) d dx x b x (x θ) iω f(θ) dθ, x [, b] (2.4) (θ x) iω f(θ) dθ, x [, b]. (2.5) D bismo kompletirli definiciju frkcionog integro-diferencirnj z svko α C, ostje d se upoznmo s identičkim opertorom D xf := I xf = f što je u sglsnosti s (2.4). Ko što je i očekivno, ne postoji esencijlnih rzlik izmed u integrl i izvod imginrnog red. Dlje, vži nlogno tvrd enje o egzistenciji i reprezentciji izvod u slučju < α <, stog izostvljmo dokz. 2.. Lem Nek je f AC([, b]). Td D iφ x f postoji z svko x i može se predstviti u obliku (2.7) z α = iφ. U nrednoj teoremi djemo dovoljn uslov z postojnje necelih izvod proizvoljnog komleksnog red α, Re (α) u opštem slučju (specijlni slučjevi z < α < i Re (α) = su već diskutovni u lemm 2..6 i 2..). 26

33 2.2 Vez Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ko recipročnih opertor 2.. Teorem Nek je Re (α) i f AC n ([, b]), n = [Re (α)] +. Td Dx α f i x Db α f postoje skoro svud n [, b] i mogu se predstviti u obliku i D α x f(x) = n n xdb α f(x) = f (k) () Γ( + k α) (x )k + x Γ(n α) ( ) k f (k) () x Γ( + k α) (b x)k + ( )n Γ(n α) f (n) (θ) dθ (2.6) (x θ) α n+ f (n) (θ) dθ. (2.7) (θ x) α n+ Dokz. Kko je f AC n ([, b]), immo reprezentciju iz leme..5 iz prvog poglvlj. Kd to zmenimo u (2.) i stvimo φ(θ) = f (n) (θ), c k = f (n) (), k! nkon jednostvnih trnsformcij dobijmo trženu jednkost. Drug jednkost se nlogno dobij. 2.2 Vez Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ko recipročnih opertor Dobro je poznto iz klsične nlize d su opertori diferencirnj i integrcije recipročni u dtom poretku, drugim rečim, uvek vži (d/dx) x f(t) dt = f(x), med utim u opštem slučju x f (t) dt f(x) zbog pojvljivnj konstnte f(). Tkod e, (d/dx) n Ix n = f, n N, li Ix n f (n) (x) f(x), n N i Ix n f (n) se rzlikuje od f z polinom stepen n. Slično, imćemo i d je Dx α Ix α f = f, dok Ix α Dx α f nije obvezno jednko s f zbog linerne kombincije funkcij (x ) α k, k =, 2,... [Re (α)] + koje, u ovom slučju, igrju ulogu polinom kod frkcionog diferencirnj (videti (2.9)) Teorem Nek je α. Td z svku funkciju f L ([, b]) vži skoro svud. Dx α Ix α f(x) = f(x) i xdb α xib α f(x) = f(x) Dokz. Slično se pokzuje d tvrd enje vži kko z levi, tko i z desni Rimn- Liuvilov izvod i integrl p ćemo dti dokz smo z levi. Slučj kd je α = 27

34 2.2 Vez Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ko recipročnih opertor trivijlno vži jer su td ob D x i I x identički opertori. Z α > postupk je nlogn postupku u dokzu teoreme Dkle, immo Dx α Ix α f(x) = D [α]+ Ix {α} Ix α f(x) = D [α]+ Ix α+[α] Ix α f(x) = D [α]+ Ix +[α] f(x) = f(x), što je i treblo pokzti Npomen Prethodn teorem vži i z funkcije f L p ([, b]), p. Dkle, utvrdili smo d je Rimn-Liuvilov izvod Dx α levi inverzni opertor z Rimn-Liuvilov integrl Ix α. Nrvno, ko što smo već ngovestili u opštem slučju ne možemo tvrditi d je i desni inverzni. U nrednim teoremm ćemo videti kd to ipk vži, kd ne, i kko td izgled reprezentcij z Ix α Dx α f Teorem Nek je α >. Ako postoji funkcij φ L ([, b]) tkv d je f(x) = I α x φ(x), x [, b], td je skoro svud. I α x D α x f(x) = f(x) Dokz. Dokz jednostvno sledi iz prethodne teoreme i definicije funkcije f: I α x D α x f(x) = I α x D α x ( I α x φ(x)) = I α x ( D α x I α x φ(x)) = I α x φ(x) = f(x) Teorem Nek je α > i n = [α] +. Nek je f funkcij tkv d je f AC n ([, b]), td je I n α x n Ix α Dx α f(x) = f(x) Specijlno, z < α < immo I α x D α x f(x) = f(x) (x ) α k Γ(α k) (x )α Γ(α) lim z Dn k I n α + z f(z). lim z I α + z f(z). 28

35 2.2 Vez Rimn-Liuvilovih integrl i izvod ko recipročnih opertor Dokz. Primetimo prvo d limes n desnoj strni postoji n osnovu pretpostvke Ix n α f AC n ([, b]) odkle sledi neprekidnost z D n Ix n α f, iz ekvivlencije (.2) immo d postoji funkcij φ L ([, b]) tkv d je D n I n α x f(x) = D n Ix n α f() + Ixφ(x). Prethodn jednkost predstvlj diferencijlnu jednčinu red n po Ix n α f čije je rešenje dto u obliku n Ix n α f(x) = Sd primenimo Dx n α 2.2. sledi f(x) = = = n n n (x ) k k! lim z Dk I n α + z f(z) + Ix n φ(x). (2.8) n obe strne prethodne jednkosti, p n osnovu teoreme Dx n α ( ) k k! Dx n α ( ) k k! (x ) k+α n Γ(k + α n + ) lim lim z Dk I n α + z f(z) + Dx n α Ix n φ(x) lim z Dk I n α + z f(z) + DxI x n+α Ix n φ(x) z Dk I n α + z f(z) + I α x φ(x). D je Dx n α ( ) k = (x )k+α n Dkle, Γ(k+α n+) ćemo pokzti u odeljku 2.5. f(x) = n (x ) k+α n Γ(k + α n + ) lim z + Dk I n α z f(z) + I α x φ(x). (2.9) Dlje, po definiciji D α x i zmenom u jednkost (2.8) dobijmo Ix α Dx α f(x) = Ix α D n Ix n α f(x) [ n = Ix α D n ( ) k k! lim z Dk I n α + z n = Ix α D n Ix n Ix α D n [( ) k ] φ(x) + k! = I α x φ(x). ] f(z) + Ix n φ (x) lim z Dk I n α + z f(z) Poslednj jednkost sledi iz teoreme 2.2. i činjenice d se u sumi svki sbirk nulir jer je m > k z k =,,..., m. 29

36 2.3 Frkcioni identiteti Sd zmenom n k s k u (2.9) i iz prethodnog rezultt je n Ix α Dx α f(x) = Ix α φ(x) = f(x) odkle sledi tvrd enje. (x ) α k Γ(α k) lim z Dn k I n α + z f(z), Još jedn od bitnih rezultt klsične nlize je Tejlorov teorem koj se može uopštiti i n frkcioni rčun Teorem (Tejlorov teorem) Nek je f AC n ([, b]), n N. Td z svko x, y [, b] vži f(x) = n (x y) k D k f(y) + y Ix n D n f(x). k! Teorem (Frkcion Tejlorov teorem) Nek su zdovoljeni uslovi teoreme Td je f(x) = (x ) α n Γ(α n + ) lim z I n α + z f(z) n (x ) k+α n + Γ(k + α n + ) lim k= z Dk I n α + z f(z) + I n α x Dx n α f(x). 2.3 Frkcioni identiteti U prethodnim odeljcim smo se upoznli s osnovnim osobinm frkcionih integrl i izvod, ko i s njihovom med usobnom vezom, sd ćemo videti još neke identitete koji, očekivno, dost podsećju n već dobro poznte vezne z klsične izvode i integrle. U dljem tekstu, ko nije eksplicitno nglšeno, smtrćemo d su frkcioni integrli i izvodi dobro definisni. Prvo ćemo diskutovti rzmenu redosled limes i integrl Teorem Nek je α > i nek niz neprekidnih funkcij {f k } n= uniformno konvergir n [, b]. Td možemo izmeniti redosled opertor frkcione integrcije i grnične vrednosti, tj. ( I α x lim k f k)(x) = ( lim k I α x f k )(x). 3

37 2.3 Frkcioni identiteti Dokz. Nek je f grnic niz funkcij {f k }. Vži d je td i f tkod e neprekidn funkcij. Sd immo Ix α f k (x) Ix α f(x) = Γ(α) x Γ(α) f k f f k (θ) f(θ) (x θ) α dθ x (x θ) α dθ Γ(α + ) f k f (x ) α Γ(α + ) f k f (b ) α, što uniformno konvergir k nuli z svko x [, b] kd k Propozicij Nek je f nlitičk n ( h, + h) z neko h > i nek je α >. Td je Ix α ( ) k (x ) k+α f(x) = k!(α + k)γ(α) Dk f(x) z x < + h/2 i I α x f(x) = (x ) k+α Γ(k + + α) Dk f() z x < + h. Štviše, I α x f je nlitičk n (, + h). Dokz. Z dokz prve jednkosti koristimo definiciju Rimn-Liuvilovog integrl I α x f(x) = Γ(α) x f(θ)(x θ) α dθ i rzvoj funkcije f u stepeni red u okolini tčke x. Kko je x [, + h/2) red konvergir n celom intervlu n kome integrlimo. Zto, iz teoreme 2.3. možemo d rzmenimo sumu i integrl i n krju iz jednkosti z frkcioni integrl stepene funkcije (detljnije u odeljku 2.5 o elementrnim funkcijm), sledi tvrd enje. Dokz druge jednkosti se izvodi n sličn nčin, li sd rzvijmo funkciju u okolini tčke, što nm dje konvergenciju red n trženom intervlu. Anlitičnost z Ix α f sledi iz druge jednkosti. Sledeć teorem govori o konvergenciji niz frkcionih integrl. 3

38 2.3 Frkcioni identiteti Teorem Nek je p < i nek je {m k } k= niz nenegtivnih brojev koji konvergir k broju m. Td, z svko f L p ([, b]) lim k I m k x f = I m x f gde je konvergencij u smislu norme prostor L p ([, b]). Pre nego što formulišemo nlogne teoreme prethodnim, vezne z frkcione izvode, videćemo d je opertor frkcionog diferencirnj linern. Nime, ko su f i f 2 dve funkcije definisne n intervlu [, b] i c, c 2 R, td je i nlogno z desni izvod D α x (c f + c 2 f 2 ) = c D α x f + c 2 D α x f 2 xd α b (c f + c 2 f 2 ) = c xd α b f + c 2 xd α b f 2. Dokz sledi direktno iz definicije D α x, odnosno x D α b Teorem Nek je α > i nek je {f k } n= niz neprekidnih funkcij koji uniformno konvergir n [, b] tko d Dx α f k postoji z svko k. Nek niz { Dx α f k } k= uniformno konvergir n intervlu [ + ε, b] Td z svko x [, b] immo ( lim k Dx α f k )(x) = ( Dx α lim f k)(x). k Dokz. Kko je Dx α = D [α]+ Ix {α}, n osnovu teoreme 2.3., niz { Ix {α} f k } k uniformno konvergir p možemo d rzmenimo limes i frkcioni integrl, kko ([α] + )-i izvod niz uniformno konvergir n svkom kompktnom podintervlu (, b], n osnovu teoreme iz klsične nlize možemo d rzmenimo limes i izvod z svko < x b, p sledi tvrd enje. Sd možemo izvesti i nlogone propozicije i teoreme Propozicij Nek je f nlitičk n ( h, + h) z neko h > i nek je α >, α / N. Td ( ) α (x ) Dx α k+α f(x) = k Γ(k + α) Dk f(x) z x < + h/2 i I α x f(x) = (x ) k+α Γ(k + α) Dk f() z x < + h. Štviše, D α x f je nlitičk n (, + h). 32

39 2.3 Frkcioni identiteti Dokz. Koristeći propoziciju i definiciju opertor Dx α immo d vži ( ) α [α] (x ) I x [α] α k+[α] α f(x) = k Γ(k + + [α] α) Dk f(x), gde smo koristili d je k!γ(α)(α + k) ( ) n k = ( ) k Γ(k + + α). Diferencirnjem jednkosti [α] put po promenljivoj x, dobijmo ( ) α [α] Dx α f(x) = k Γ(k + + [α] α) D[α][ ( ) k+[α] α D k f ] (x). Iz klsične Ljbnicove formule (Teorem 2.3.7) sledi ( ) α [α] Dx α f(x) = k Γ(k + + [α] α) = [α] ( ) [α] D [α] j[ ( ) k+[α] α] (x)d k+j f(x) j j= ( α [α] k ) [α] ( ) [α] (x ) k+j α j Γ(k + + j α) Dk+j f(x). j= Po definiciji je ( µ j) = kd je µ N i µ < j, p možemo d zmenimo gornju grnicu u sumi s, nkon smene j = l k dobijmo ( )( ) α [α] [α] (x ) Dx α l α f(x) = k l k Γ(l + α) Dl f(x) = = l=k l= l= l ( α [α] ( α l )( [α] l k k ) (x ) l α Γ(l + α) Dl f(x). ) (x ) l α Γ(l + α) Dl f(x) Pre nego što formulišemo sledeću teoremu, nvešćemo bitno svojstvo frkcionih integrl koje ćemo koristiti u dokzu. Nime, može se pokzti d ko je funkcij neprekidn n intervlu [, b] i vži f(x) = O((x ) δ ) kd x z neko δ >, ond je lim I m k x f Ix m f =, (2.2) k gde je {m k } k= niz nenegtivnih brojev koji konvergir k m. Dokz jednkosti (2.2) se može nći u [6]. 33

40 2.3 Frkcioni identiteti Teorem Nek je f C m ([, b]) z neko m N. Td lim α m D α x f = D m f tčksto n intervlu (, b]. Ako je f(x) = O((x ) m+δ ) kd x + z neko δ >, konvergencij je uniformn n intervlu [, b]. Dokz. N osnovu pretpostvke f C m ([, b]), funkciju možemo rzviti u Tejlorov red u okolini tčke. Dkle, f(x) = T m [f; ](x) + R m [f; ](x), pri čemu je T m [f; ](x) = m f (k) () k! (x ) k polinom stepen m, R m [f; ](x) osttk. Immo Dx α f(x) D m f(x) = Dx α T m [f; ](x) D m T m [f; ](x) + Dx α R m [f; ](x) D m R m [f; ](x). Kko je T m [f; ](x) polinom m stepen, D m T m [f; ] =, štviše, D α x T m [f; ](x) = (videti odeljk 2.5 pod.). Sledi m f (k) () (x )k α Γ(k + α) m Dx α f(x) D m f(x) = D m Ix m α f (k) () R m [f; ](x) + (x )k α Γ(k + α) D m R m [f; ](x). Pod pretpostvkom d je f(x) = O((x ) m ) čitv sum je jednk nuli 2 jer se odgovrjući izvodi nulirju u. Ostje još d se oceni rzlik D α x R m [f; ] D m R m [f; ]. U tu svrhu koristimo integrlnu reprezentciju osttk R m [f; ](x) koj im sledeći oblik R m [f; ](x) = Γ(m) x f (m) (u)(x u) m du = I m x D m f(x). Sledi d je D m R m [f; ] = D m Ix m D m f = D m f. Z drugi sbirk, koristeći svojstvo polugrupe integrlnog opertor, možemo d pišemo D α x R m [f; ] = D m I m α x = D m I m x I m α x R m [f; ] = D m I m α x D m f = I m α x D m f. I m x D m f 2 Ako nemmo dodtnu pretpostvku, sum se nulir, jer kd α tčksto konvergir k m n [, b], tj. rgument gm funkcije konvergir k nenegtivnom celom broju ( gm funkcij im polove u nenegtivnim celim brojevim), limes je jednk nuli. 34

41 2.3 Frkcioni identiteti Po pretpostvci je D m f neprekidno n [, b], p tčkst konvergencij sledi n osnovu (2.2) ko posmtrmo Ix m α D m f i IxD m f = D m f. Štviše, ko je f(x) = O((x ) m+δ ) td je D m f(x) = O((x ) δ ) kd x p immo uniformnu konvergenciju n [, b], čime je dokzn drugi deo tvrd enj. Pored svih osobin koje vže i u klsičnom klkulusu, kd se govori o proizvodu funkcij, situcij je drugčij. Podsetimo se prvo Ljbnicove formule z rčunnje običnog izvod proizvod funkcij Teorem (Ljbnicov formul) Nek je n N i f, g C n ([, b]). Td je D n [f g] = n ( ) n (D k f)(d n k g). k Istknimo dve bitne činjenice vezne z Ljbnicovu formulu. Prvo, formul je simetričn, što znči d možemo d menjmo redosled funkcij f i g, d desn strn jednkosti ostne nepromenjen; drugo, d bismo odredili n-ti izvod proizvod, potrebno je d znmo izvode do red n svkog od činioc. Dkle, nijedn od činilc ne mor d im (n+)-i izvod. Može se pokzti d Ljbnicov formul z levi, odnosno desni Rimn-Liuvilov izvod proizvod funkcij u opštem slučju ne vži: D α x (f g) f D α x g + D α x f g i xd α b (f g) f xd α b g + xd α b f g. Med utim, ko pretpostvimo još neke dodtne uslove z funkcije f i g, Ljbnicov formul se može proširiti i n frkcione izvode Teorem (Ljbnicov formul z Rimn-Liuvilove izvode) Ako su funkcije f i g nlitičke n ( h, + h) z neko h > i α > td je D α x [f g](x) = [α] + ( ) α k k=[α]+ ( Dxf)(x) k ( Dx α k g)(x) ( ) α k ( Dxf)(x) k ( Ix k α g)(x) z < x < + h/2. Ovde vidimo d k u sumi uzim nenegtivne cele vrednosti, p smo n desnoj strni mogli pisti D k f umesto D k xf. Dlje, k prolzi kroz sve nenegtivne brojeve i zto, d bi desn strn iml smisl potrebno je d f C ([, b]). Što se tiče funkcije g deluje d nije potrebn toliko jk uslov, s obzirom n to d tržimo izvode do red α, med utim zbog nlitičnosti proizvod, neophodno je d je i 35

42 2.3 Frkcioni identiteti g tkod e nlitičk. Npomenimo još d se iz ove opštije formule može dobiti i prvobitn Ljbnicov formul jer z cele vrednosti α z koje je k > α binomni koeficijent ( α k) je jednk nuli p se i čitv drug sum nulir. Dokžimo sd ovu teoremu. Dokz. Iz propozicije immo D α x [f g](x) = ( ) α (x ) k α k Γ(k + α) Dk [f g](x). Sd primenimo klsičnu Ljbnicovu formulu n D k [f g] i izmenimo redosled sumirnj p dobijmo D α x [f g](x) = = = ( ) α (x ) k α k k Γ(k + α) j= ( ) α (x ) k α k Γ(k + α) j= k=j D j f(x) j= Koristeći poznti identitet ( α l+j l= )( l+j j ( α l + j ( k j ( k j ) D j f(x)d k j g(x) ) D j f(x)d k j g(x) ) (x ) l+j α Γ(l + j + α) ) ( = α α j ) j)( l, dobijmo ( l + j j ) D l g(x). D α x [f g](x) = = ( ) α ( ) α j (x ) D j l+j α f(x) j l Γ(l + j + α) Dl g(x) j= [α] j= + ( ) α D j f(x) j [α] j=[α]+ l= ( α j l= ( ) α D j f(x) j l ) (x ) l+j α Γ(l + j + α) Dl g(x) ( α j l= l ) (x ) l+j α Γ(l + j + α) Dl g(x). Iz prve jednkosti iz propozicij i možemo zmeniti unutršnje sume. Time je tvrd enje pokzno. Dodjmo još d se u slučju frkcionih izvod može izvesti i formul z izvod složene funkcije pozntij ko Fà di Bruno-v formul, li zbog komplikovnosti sme formule, p smim tim i njene neprktičnosti, u rdu nećemo je eksplicitno nvoditi. 36

43 2.4 Integrli i izvodi necelog red n beskončnim intervlim Tkod e vži i formul z frkcionu pcijlnu integrciju (videti i propoziciju 3..6 u poglvlju 3) koj se direktno dokzuje rzmenom integrcije n jednoj od strn jednkosti Lem Nek je α >, q, p + q + α (p i q z p + q = + α) i φ(x) L p ([, b]) i ϕ(x) L q ([, b]). Td je b φ(x) I α x ψ dx = b ψ(x) x Ib α φ dx. (2.2) 2.4 Integrli i izvodi necelog red n beskončnim intervlim Frkcioni integrli dti u (2.3) i (2.4) mogu se jednostvno proširiti s končnih intervl [, b] n relnu poluprvu R + = (, ) i ceo skup relnih brojev R što ćemo videti u dljem tekstu. Nek je x (, ), td se levi, odnosno desni Rimn-Luvilovi integrli definišu respektivno n sledeći nčin: i (I α + f)(x) = I α x f(x) = Γ(α) (I α f)(x) = x I α f(x) = Γ(α) odgovrjući levi i desni izvodi (D α + f)(x) = D α x f(x) = i (D α f)(x) = x D α f(x) = ( d ) n Ix n α f(x) = dx ( d ) n xi n α f(x) = dx x x (x θ) α f(θ) dθ (2.22) (θ x) α f(θ) dθ, (2.23) ( d ) n x Γ(n α) dx ( d ) n Γ(n α) dx f(θ) dθ (x θ) α n+ x (2.24) f(θ) dθ (x θ) α n+ (2.25) gde je n = [α] + i α >. Izrzi I α f, I f α i D α + f, D f α se u literturi obično nzivju Liuvilovi levi i desni + 37

44 2.4 Integrli i izvodi necelog red n beskončnim intervlim frkcioni integrli i frkcioni izvodi n relnoj poluosi R +. Nek je sd x R = (, ), td se levi, odnosno desni Liuvilovi integrli i izvodi definišu n sledeći nčin. Integrli: i Izvodi: i (D α +f)(x) = D α x f = (D α f)(x) = x D α f = gde je n = [α] + i α >. Specijlno, z α = n N je i (I+f)(x) α = Ix α f(x) = Γ(α) (I α f)(x) = x I α f(x) = Γ(α) ( d ) n Ix n α f = dx ( d ) n xi n α f = dx x x (x θ) α f(θ) dθ (2.26) (θ x) α f(θ) dθ. (2.27) ( d ) n x Γ(n α) dx ( d ) n Γ(n α) dx (D +f)(x) = (D f)(x) = f(x) (D n +f)(x) = f (n) (x), (D n f)(x) = ( ) n f (n) (x), x f(θ) dθ, (x θ) α n+ (2.28) f(θ) dθ, (x θ) α n+ (2.29) gde je f (n) (x) običn n-ti izvod funkcije f. Z α C i Re (α) = immo Liuvilove izvode imginrnog red i definišu se nlogno Rimn-Liuvilovim izvodim. Možemo primetiti d su sve definicije nlogne odgovrjućim definicijm n končnim intervlim p vže i nlogn tvrd enj z svojstvo polugrupe integrl, ztim frkcioni izvod je levi inverzni opertor z frkcioni integrl istog red i nrvno, vži formul z frkcionu prcijlnu integrciju, stog ćemo ih smo nvesti bez dokz. 38

45 2.4 Integrli i izvodi necelog red n beskončnim intervlim 2.4. Teorem Nek je α, β >, p i α + β /p. Ako je f L p (R + ) (odnosno f L p (R)), td vži i (I α I β f)(x) = (I α+β f)(x), (I + + +I α β + + f)(x) = (Iα+β + f)(x) (I α I β f)(x) = (Iα+β f)(x) Teorem Nek je α. Td, z svku funkciju f L (R + ) (odnosno f L (R)) vži (D α + I α + f)(x) = f(x), (D α +I α +f)(x) = f(x) i skoro svud. (D α I α f)(x) = f(x) Teorem Nek je α >. Td, z dovoljno dobre funkcije φ, ψ i f, g vže sledeće relcije z frkcionu prcijlnu integrciju i φ(x)(i α ψ)(x) dx = ψ(x)(i φ)(x) α dx, + f(x)(d α g)(x) dx = g(x)(d f)(x) α dx + φ(x)(i α +ψ)(x) dx = ψ(x)(i α φ)(x) dx, f(x)(d+g)(x) α dx = g(x)(d f)(x) α dx Npomen U ovom odeljku smo rdili uz pretpostvku d odgovrjući integrli konvergirju u beskončnosti. Med utim, nekd se frkcioni integrli mogu definisti i opštije uz uslovnu konvergenciju tko d je Γ(α) x (x θ) α f(θ) dθ = Γ(α) lim x N x N li se tom problemtikom ovde nećemo detljnije bviti. (x θ) α f(θ) dθ, 39

46 2.5 Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij 2.5 Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij Posmtrjmo integrle i izvode funkcij f n intervlu [, b], < < b <.. Nek je f(x) = (x ) β ili f(x) = (b x) β i nek su Re (α) > i Re (β) >. Td vže sledeće jednkosti: I α x (x ) β = D α x (x ) β = xi α b (b x)β = Γ(β) Γ(β + α) (x )β+α, Γ(β) Γ(β α) (x )β α, Γ(β) Γ(β + α) (b x)β+α, xdb α (b x)β = Γ(β) Γ(β α) (x )β α. Pokžimo sd prve dve jednkosti. Druge dve se dobijju nlognim postupkom. I α x (x ) β = Γ(α) x (x θ) α (θ ) β dθ. Integrl rešvmo ko prilikom dobijnje Ojlerove formule (2.9) I α x (x ) β = = = = = Γ(α) Γ(α) Γ(α) Γ(α) x x x (x θ) α (θ ) β dθ (x z ) α z β dz (x ) α ( z x ) α z β dz (x ) α ( ξ) α ξ β (x ) β (x ) dξ (x )β+α Γ(α) = Γ(α) (x )β+α B(β, α) = ( ) 4 ( ξ) α ξ β dξ

47 2.5 Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij ( ) = Γ(β)Γ(α) (x )β+α Γ(α) Γ(β + α) Dkle, I α x (x ) β = Γ(β) Γ(β+α) (x )β+α. Drugu jednkost ćemo izvesti direktno koristeći definiciju (2.). Nek je n α < n, n N. D α x (x ) β = = = = = = = ( d ) x n (θ ) β dθ Γ(n α) dx (x θ) α n+ x ( d ) n z β (x z ) n α dz Γ(n α) dx ( d Γ(n α) dx x ) n z β (x ) n α ( z ) n α dz x ( d ) n ξ β (x ) β+n α ( ξ) n α dξ Γ(n α) dx ( d ) n(x ) n+(β α ) Γ(n α) dx ( ξ) n α ξ β dξ Γ(n α) (n + β α ) (β α)(x )β+α B(β, n α) Γ(β) Γ(β α) (x )β+α. U specijlnom slučju, kd je stepen funkcije prirodn broj k immo I α x (x ) k = D α x (x ) k = k! (x )k+α Γ(k + + α) k! Γ(k + α) (x )k α. Već smo n smom početku zključili d je funkcij f(x) = (x ) α tzv. stcionrn funkcij z odgovrjući Rimn-Liuvilov izvod, med utim, može se pokzti d vži i opštiji rezultt, odnosno D α x (x ) α k =, xd α b (b x)α k =, k =,..., n k =,..., n 4

48 2.5 Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij što zprvo sledi n osnovu osobine d je Γ(k) = ± z k =,, Posmtrjmo funkciju f(x) =. Zmenom u definiciju (2.3) frkcionog integrl i jednostvnim rčunom dobijmo I α x = Γ(α) x (x θ) α dθ = Γ(α + ) (x )α. Nrvno, ovu jednkost lko možemo izvesti i iz rezultt pod. ko uzmemo β =. Tko dobijmo i mnogo bitniji zključk vezn z frkcioni izvod koji smo već nveli u odeljku 2., to je d je frkcioni izvod konstntne funkcije f(x) =, p i svke druge kontntne funkcije, rzličit od nule tj. D α x c = Γ( α) c (x ) α. 3. Posmtrjmo sd opštiji slučj kd je f(x) = (x ) β (b x) γ. Rešvjući integrl nlogno prethodnim dobijmo gde je = I α x (x ) β (b x) γ = Γ(α) (x )α+β (b ) γ = (b ) γ Γ(β) Γ(α + β) (x )α+β 2F ( ( 2F γ, β; α + β; x ) = b Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) ( ξ) α ξ β ( x b ξ ) γ dξ γ, β; α + β; x b ), ( ξ) α ξ β ( x b ξ ) γ dξ Ojlerov integrln reprezentcij Gusove hipergeometrijske funkcije definisne u odeljku.3.4. Slično se može izvesti i z funkciju f(x) = (x ) β (x c) γ gde je c < Ix α (x ) β (x c) γ = ( c) γ Γ(β) ( Γ(α + β) (x )α+β 2F γ, β; α+β; x ). c 4. Nek je f(x) = (x ) β ln(x ), Re (β) >. Td je I α x (x ) β ln(x ) = Γ(β) Γ(β + α) (x )β+α [ψ(β) ψ(β + α) + ln(x )], 42

49 2.5 Integrli i izvodi necelog red elementrnih funkcij gde je ψ(z) Ojlerov psi-funkcij definisn s (.22). Zist, nkon smene promenljivih θ = + z(x ) u integrlu dobijmo I α x (x ) β ln(x ) = = (x )β+α Γ(α) ( z) α z β ln z(x ) dz Γ(α) (x )β+α [A + B ln(x )] gde je B = ( z) α z β dz = B(β, α), A = i A se dobij diferencirnjem po β jednkosti B = B(β, α). z β ln z dz ( z) α 5. Z funkciju f(x) = cos x x, koristeći Tejlorov rzvoj funkcije cos x i Posonovu integrlnu reprezentciju Beselove funkcije J ν (z) immo d je I α x cos x = 2 α 2α 2 π(x ) x Slično možemo izvesti i sledeću jednkost Ix α (x ) α cos Ax = ( x π A Nek je sd intervl (, ) ili ceo skup R. 4 J α 2 ( x ), Re(α). ) α /2 cos A(x ) 2 J α 2 ( A(x ) 6. Nek je f(x) = x β. Td se jednostvnom zmenom = i β = u. dobij Ix α x β = Γ(β) Γ(β + α) xβ+α, Re (β) > i Ztim, i D α x x β = xi α x β = xd α x β = Γ(β) Γ(β α) xβ α, Re (β) >. Γ( α β) Γ( β) Γ( + α β) Γ( β) x β+α, Re (α + β) < x β α, Re (α + β [Re (α)]) <. 2 ). 43

50 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod 7. Nek je f(x) = e λx ili f(x) = e λx, i Re (λ) >. Ako je Re (α), vže sledeće jednkosti z Liuvilove integrle i izvode: i xi α e λx = λ α e λx i xd α e λx = λ α e λx I α x e λx = λ α e λx i D α x e λx = λ α e λx, što se jednostvno pokzuje prcijlnom integrcijom. 8. Nek su λ C, Re (α) >, Re (β) > i Re (µ) >. Td vže sledeće relcije vezne z Mitg-Leflerovu funkciju: i (I α + x β E µ,β (λx µ ))(x) = x α+β E µ,α+β (λx µ ) (D α + x β E µ,β (λx µ ))(x) = x α β E µ,α β (λx µ ). Specijlno, ko je µ = α, prethodn formul se može zpisti n sledeći nčin (D α + x β E α,β (λx α ))(x) = xβ α Γ(β α) + λxβ E α,β (λx α ). Ako je Re (α) > i Re (β) > [Re (α)] +, td je (D α x α β E α,β (λx α ))(x) = x β Γ(β α) + λx α β E α,β (λx α ). 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Integrlne trnformcije su od velikog znčj u rešvnju diferencijlnih jednčin koje u sebi sdrže frkcione opertore. Nime, često neke diferencijlne jednčine ne možemo rešiti klsičnim postupcim. Td, dtu jednčinu trnsformcijm pretvorimo u lgebrsku jednčinu koju možemo d rešimo, p odgovrjućom inverznom trnsformcijom tko dobijenog rešenj nlzimo rešenje početne jednčine. U odeljku.2 smo nveli osnove Furijeove, Lplsove i Melinove integrlne trnsformcije. Ovde ćemo pokzti kko one izgledju primenjene n frkcione integrle i izvode. 44

51 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod 2.6. Furijeov trnsformcij Pre nego sto definišemo Furijeovu trnsformciju frkcionih integrl pokžimo sledeću pomoćnu jednkost. θ α e zθ dθ = Γ(α), z. (2.3) zα Z Re (z) > immo d je Re (α) >, i < Re (α) < z Re (z) =. Košijev glvn vrednost funkcije z α, nlitičke u desnoj polurvni, se bir tko d je z α pozitivno z z = x > z relno α. Jednkost vži n osnovu definicije gm funkcije kd je z = x > p sledi d vži i kd je Re (z) >. Posmtrjmo sd grnični slučj, kd je Re (z) = i z. Td immo θ α e ixθ dθ = Γ(α), < Re (α) <, x, (ix) α gde nm uslov Re (α) < obezbed uje konvergenciju u beskončnosti. Uvedimo smenu ixθ = s: θ α e ixθ dθ = (ix) α s α e s ds, gde je L imginrn poluos (, i ) z x > i ( i, ) z x <. Kko se e s nulir u desnoj polurvni kd s, može se pokzti d je td L sα e s ds = x α e x dx = Γ(α), odkle sledi jednkost (2.3) Teorem Nek je < Re (α) < i f L (R). Td je Furijeov trnsformcij integrl I α +f definisn s Dokz. Koristeći jednkost (.6) dobijmo (FI α +f(x))(ξ) = d dξ = L (FI α +f)(ξ) = f(ξ) (iξ) α. (2.3) d Γ(α) dξ e ixξ ix dx Γ(α) f(θ) dθ 45 x θ e ixξ ix (x θ) α f(θ) dθ (x θ) α dx.

52 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Promen redosled integrcije je moguć n osnovu Fubinijeve teoreme..3. Sd diferencirnjem i uvod enjem smene x θ = s, dobijmo (FI α +f(x))(ξ) = = = Γ(α) Γ(α) f(θ) dθ θ f(θ) e iθξ dθ Γ(α) f(ξ) Γ(α) (iξ) α. e ixξ (x θ) α dx e isξ (s) α ds Poslednj jednkost sledi iz (2.3), p otud sledi tvrd enje Npomen Primetimo d je jednkost (2.3) definisn u slučju < Re (α) < i ne može se proširiti i n vrednosti Re (α) u uobičjenom obliku, jer lev strn (2.3) ne mor biti definisn, čk ni z gltke funkcije. Zist, ko je f C i α =, immo (I+f)(x) = x f(θ) dθ, p (I +f)(x) const kd x + i Furijeov trnsformcij FI+f(x) ne postoji u klsičnom smislu. Med utim, jednkost se ipk može uopštiti i z vrednosti α s osobinom Re (α) > gde su funkcije elementi tzv. Lizorkinovog prostor funkcij. Z više detlj videti [2]. Koristeći (2.3) i formulu (.9) z Furijeovu trnsformciju izvod celog red funkcije, dobijmo Furijeovu trnsformciju frkcionih izvod (FD α +f)(ξ) = f(ξ)( iξ) α, Re (α). (2.32) Furijeov trnsformcij se uglvnom koristi pri rešvnju diferencijlnih jednčin koje u sebi sdrže frkcione izvode po prostornoj promenljivoj. Nvedimo još i sinusnu i kosinusnu Furijeovu trnsformciju frkcionih integrl I α f i I f, α pod pretpostvkom d je < α <. + (F c I α f)(ξ) = ξ α( cos απ + 2 F cf(ξ) sin απ ) 2 F sf(ξ), i (F s I α f)(ξ) = ξ α( sin απ + 2 F cf(ξ) + cos απ 2 F sf(ξ) (F c I f)(ξ) α = ξ α( cos απ 2 F cf(ξ) + sin απ ) 2 F sf(ξ), (F s I α + f)(ξ) = ξ α( sin απ 2 F cf(ξ) + cos απ 2 F sf(ξ) 46 ) ).

53 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Lplsov trnsformcij Koristeći konvoluciju definisnu u (.), integrl I α + f se može predstviti u obliku gde je (I α f)(x) = xα + + Γ(α) f(x), Re (α) >, (2.33) { x α x + = α, x >, x <. Kko Lplsov trnsformcij zdovoljv konvolucionu teoremu (.7) možemo izvesti sledeći rezultt z Lplsovu trnsformciju frkcionih integrl (LI α + f)(s) = s α (Lf)(s). (2.34) U slučju opertor I α f Lplsov trnsformcij dovodi do komplikovnije funkcije koj u jezgru sdrži Gusovu hipergeometrijsku funkciju F (; c; z) i stog je nećemo nvoditi, može se nći u [2]. Dokžimo sd jednkost (2.34) Teorem Nek je Re (α) > i f L ((, b)), b > i nek vži f(x) Ae p x, < b < x, gde su A > i p > konstnte. Td je z Re (s) > p. (LI α + f)(s) = s α (Lf)(s), Dokz. Pokžimo prvo d je Lplsov trnsformcij dobro definisn. Nek je x > b + i ne umnjujući opštost, pretpostvimo d je α reln broj. Td je (I α + f)(x) Γ(α) b (x θ) α f(θ) dθ + A Γ(α) C x mx{,α } + A ep x Γ(α) C x mx{,α } + C 2 e p x, x b x b (s) α e p s ds (x θ) α e p θ dθ i kko vži d iz f L ((, b)) sledi I α f L ((, b)), možemo primeniti Lplsovu + trnsformciju n I α f. Sd jednostvnim rčunnjem, uz korišćenje Fubinijieve + teoreme..3 i već dokzne jednkosti (2.3), sledi tvrd enje. U sledećoj teoremi djemo dovoljn uslov z postojnje Lplsove trnsformcije frkcionih izvod. 47

54 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Teorem Nek vže uslovi prethodne teoreme i nek je f AC n ([, b]), n = [Re (α)] + i f (k) () =, k =,,..., n. Td je z Re (s) > p. (LD α + f)(s) = s α (Lf)(s), (2.35) Dokz. Kko je (D α f)(x) = (d/dx) n (I n α f)(x) i iz pretpostvke f (k) () =, + + k =,,..., n, sledi d je i (d/dx) k (I n α f)(x) = z x = i k =,,..., n. + Sd, koristeći prethodnu teoremu i jednkost (.8) koj glsi: dobijmo što je i treblo pokzti. n (L D n f)(s) = s n (Lf)(s) s n k (D k f)(), (LD α + f)(s) = s n s (n α) (Lf)(s), Lplsov trnsformcij frkcionih izvod se upotrebljv pri rešvnju problem u kojim figurišu frkcioni izvodi po vremenskoj promenljivoj Npomen Iz jednkosti (2.34) i koristeći inverznu Lplsovu trnsformciju možemo izvesti sledeću reprezentciju opertor I α + f: Melinov trnsformcij (I α + f)(x) = L x α Lf(x). Melinov trnsformcij Liuvilovih frkcionih integrl I α + f i I α f i frkcionih izvod D α + f i D α f je dt u sledećim teoremm Teorem Nek je Re (α) >, s C i f(t)t s+α L ((, )).. Ako je Re (s) < Re (α), td (MI α + f)(s) = Γ( α s) Γ( s) (Mf)(s + α), Re (s + α) <. (2.36) 2. Ako je Re (s) >, td (MI α f)(s) = Γ(s) (Mf)(s + α). (2.37) Γ(s + α) 48

55 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod Dokz je potpuno nlogn dokzu teoreme Teorem Nek je Re (α) >, n = [Re (α)] +, f(t)t s α L ((, )).. Ako je Re (s) < + Re (α), s C i vže sledeći uslovi [ lim t s k (I n α f)(t) ] =, k =,,..., n t + + i td je [ lim t s k (I n α f)(t) ] =, k =,,..., n, t + (MD α + f)(s) = Γ( + α s) Γ( s) (Mf)(s α), Re (s α) <. (2.38) 2. Ako je Re (s) > i vže sledeći uslovi [ lim t s k (I n α t + f)(t)] =, k =,,..., n i td je [ lim t s k (I n α t f)(t)] =, k =,,..., n, (MD α f)(s) = Γ(s) (Mf)(s α). (2.39) Γ(s α) Ako je Re (α) > i n = [Re (α)] +, uslovi prethodne teoreme nisu zdovoljeni, tj. odgovrjući limesi nisu jednki nuli, td se mogu izvesti i opštije formule od (2.38) i (2.39) i one glse: (MD α + f)(s) = Γ( + α s) Γ( s) n (Mf)(s α)+ Γ( + k s) [ t s k (I n α f)(t) ] Γ( s) + i (MD α f)(s) = Γ(s) n Γ(s α) (Mf)(s α) + ( ) n k Γ(s) [ t s k (I n α Γ(s k) f)(t)]. Specijlno, kd je < Re (α) < immo (MD α + f)(s) = Γ( + α s) Γ( s) (Mf)(s α) + [ t s (I α + f)(t) ] 49

56 2.6 Trnsformcije frkcionih integrl i izvod i (MD α f)(s) = Γ(s) Γ(s α) (Mf)(s α) + [ t s (I α f)(t)]. Z krj djemo vezu Liuvilovih opertor frkcione integrcije s opertorim trnslcije τ h i diltcije Π λ definisnih u (.7) i (.8). Z dovoljno dobre funkcije vže sledeće jednkosti: τ h I α + f = I α h + τ h f i τ h I α f = I α τ h f, α >, h R, i Π λ I α + f = λ α I α + Π λ f i Π λ I α f = λ α I α Π λ f, α >, λ >. 5

57 Glv 3 Kputovi izvodi Rimn-Liuvilovi izvodi i integrli su odigrli znčjnu ulogu u rzvoju teorije frkcionog diferencirnj i integrcije ko i primene u teorijskoj mtemtici (u rešvnju običnih diferencijlnih jednčin, definisnju novih kls funkcij, sumirnju redov, itd.). Med utim, kko se ispostvilo, pojvio se veliki nedosttk pri pokušju modelirnj relnih problem u fizici, posebno u mehnici i teoriji viskoelstičnosti, gde se frkcione diferencijlne jednčine koriste u opisivnju svojstv mterijl. Zto se uvodi nešto drugčiji pristup koji je ustnovio M. Kputo, p otud i nziv Kputovi izvodi. 3. Definicij i osnovn svojstv Postoji više pristup definisnju Kputovih izvod u zvisnosti od utor. Sledeć definicij koristi Rimn-Liuvilove izvode i može se nći u knjigm [] i [6]. Nek su Dx α f i x Db α f Rimn-Liuvilovi izvodi red α C, Re (α) > n [, b] definisni u (2.) i (2.) respektivno. 3.. Definicij Nek je Re (α) > i f AC n ([, b]), n = [Re (α)] +. Td se levi Kputov izvod red α funkcije f, u oznci C D α x f definiše ko [ n C Dx α f(x) = Dx α f (k) () f(θ) (θ ) k] (x), x [, b], (3.) k! dok se desni Kputov izvod red α funkcije f, u oznci C x Db α f definiše ko [ n C x Db α f(x) = xdb α f (k) (b) f(θ) (b θ) k] (x), x [, b]. (3.2) k! 5

58 3. Definicij i osnovn svojstv Ovj koncept Kputovih izvod se pojvljuje u rdovim više mtemtičr, uključujući i Kput, mogu se nći i u veom strim spisim Liuvil, li po dogovoru nose nziv Kput. Koristeći definiciju (2.) Rimn-Liuvilovih izvod i prcijlnu integrciju dobijmo sledeću interpretciju Kputovih izvod: C D α x f(x) = ( ( d ) n Γ(n α) dx x + (x θ) n α n α (x [ n θ)n α f(θ) n α d [ n f(θ) dθ f (k) () (θ ) k] dθ k! f (k) () (θ ) k] x k! ) Prvi sbirk se očigledno nulir, p je prethodni izrz jednk sledećem ( ) = ( d Γ(n α) dx d = = Γ(n α) dx ) x n x (x θ) n α [ n f (θ) = ( ) θ= f (k) () (k )! (θ )k ] dθ (x θ) n α [ ] f (n ) (θ) f (n ) () dθ, odnosno, dobijmo d se Kputov izvod može zpisti u obliku C D α x f(x) = x Γ(n α) f (n) (θ) dθ. (x θ) α n+ Slično se izvodi relcij i z desni Kputov izvod. Prethodn jednkost se često uzim z definiciju Kputovih izvod i uveden je od strne Kput, može se nći u [3] i [4], stog djemo i tu definiciju Definicij Nek je f AC n ([, b]) i n α < n. Levi Kputov izvod red α funkcije f, u oznci C D α x f, se definiše ko C D α x f(x) = x Γ(n α) f (n) (θ) dθ, x [, b]. (3.3) (x θ) α n+ Desni Kputov izvod red α, u oznci C x Db α f, se definiše ko C x Db α f(x) = b Γ(n α) x ( f) (n) (θ) dθ, x [, b]. (3.4) (θ x) α n+ 52

59 3. Definicij i osnovn svojstv Obe definicije Kputovih izvod se podjednko koriste Npomen Iz prethodne definicije i jednkosti (2.), odnosno (2.), možemo zključiti d je Kputov izvod C Dx α, odnosno C x Db α funkcije f jednk Rimn-Liuvilovom integrlu red n α funkcije f (n), tj. odnosno, C Dx α f(x) = Ix n α f (n) (x), C x Db α f(x) = ( )n xi n α f (n) (x). Sd trivijlno sledi d kd je α = n N, Kputov izvod postje običn izvod, tj. C Dxf(x) n = f (n) C (x) i x Db n f(x) = ( )n f (n) (x). Vez Kputovih i Rimn-Liuvilovih izvod se može izrziti sledećom propozicijom Propozicij Nek je f AC n ([, b]) i n α < n. Td vži i b n Dx α f(x) = C Dx α (x ) k α f(x) + Γ(k α + ) f (k) (), (3.5) n xdb α f(x) = C x Db α f(x) + (b x) k α Γ(k α + ) f (k) (b). (3.6) Dokz. Pokžimo jednkost (3.5), (3.6) se dokzuje nlogno. Koristeći definiciju levog Kputovog izvod (3.) i. iz odeljk 2.5 jednostvno dobijmo n C Dx α f(x) = Dx α f(x) odkle sledi tvrd enje. n = Dx α f (k) () f(x) k! f (k) () xdb α k! ( )k (x) Direktn posledic prethodne propozicije je sledeć lem Lem Nek vže uslovi Propozicije Td je odnosno z k =,,..., n. Γ(k + ) Γ(k + α) (x )k α, C D α x f = D α x f ko i smo ko je f (k) () =, C x D α b f = xd α b f ko i smo ko je f (k) (b) =, 53

60 3. Definicij i osnovn svojstv U opštem slučju, Rimn-Liuvilov i Kputov frkcioni izvod se ne poklpju: ( d Dx α f(x) = dt ) [α] I {α} x f(x) I {α} x ( d dt ) [α]f(x) = C D α x f(x), i slično z desne izvode, što sledi iz npomene Nsuprot Rimn-Liuvilovim, Kputovi izvodi zdovoljvju sledeću jednkost C Dx α c = C x Db α c =, c R. Dkle, Kputov izvod konstntne funkcije jednk je nuli što, kko smo već pokzli, kod Rimn-Liuvilovih nije slučj. Tkod e vže i sledeće jednkosti z Kputov izvod funkcij (x ) β i (b x) β i dost su slične odgovrjućim Rimn-Liuvilovim: C D α x (x ) β = C x D α b (b x)β = kd je Re (α) >, Re (β) >. Γ(β) Γ(β α) (x )β, Γ(β) Γ(β α) (b x)β, Kd govorimo o kompoziciji Rimn-Liuvilovog integrlnog i Kputovog diferencijlnog opertor, dobijmo d je Kputov izvod tkod e levi inverzni z Rimn-Liuvilov integrl, li ne i desni Teorem Nek je f C([, b]) i α. Td je C D α x I α x f(x) = f(x) i C x Db α xib α f(x) = f(x), z x [, b]. Dokz. Oznčimo s ϕ(x) = I α x f(x). Može se pokzti d je td D k ϕ() = z k =,,..., n, gde je n = [α] +, p koristeći prethodnu lemu immo C D α x I α x f(x) = C D α x ϕ(x) = D α x ϕ(x). Sd, n osnovu teoreme 2.2. d je Rimn-Liuvilov izvod levi inverzni z Rimn- Liuvilov integrl, sledi C D α x I α x f(x) = D α x ϕ(x) = D α x I α x f(x) = f(x). 54

61 3. Definicij i osnovn svojstv 3..7 Npomen U dokzu smo koristili d je D k ϕ() = z k =,,..., n, gde je n = [α] +, što sledi n osnovu teoreme 2.5 u [6] čij je formulcij sledeć: ko je f H µ ([, b]) z neko µ [, ] i < α <, td je I α x f(x) = f() Γ(α + ) (x )α + O((x ) µ+α ). Dokz sme teoreme je tehničke prirode i prilično je dugčk, p g zto izostvljmo, može se nći u [6]. Primetimo još d je pretpostvk teoreme d f H µ ([, b]), tj. funkcij pripd Helderovom prostoru red µ koji se definiše n sledeći nčin: H µ ([, b]) := {f : [, b] R ( c > )( x, y [, b]) f(x) f(y) c x y µ } Teorem Nek je α > i n α < n. Ako je f AC n ([, b]), td je i xi α b n Ix α C Dx α f(x) = f(x) n C x Db α f(x) = f(x) f (k) () k! ( ) k f (k) () k! Specijlno, ko je < α i f AC([, b]), td je (x ) k (b x) k. Ix α C Dx α f(x) = f(x) f() i xib α C x Db α f(x) = f(x) f(b). Dokz. Nek je α / N. Kko je f AC n ([, b]) immo reprezentciju (3.3), p možemo pisti Ix α C Dx α f(x) = Ix α Ix n α D n f(x) = Ix n D n f(x) = Ix n Dxf(x), n gde smo koristili osobinu polugrupe Rimn-Liuvilovog integrl (teorem 2..2). Sd primenom teoreme n prethodnu jednkost dobijmo tvrd enje. Sledeć teorem je nlogon Tejlorove teoreme z Kputove izvode Teorem (Tejlorov rzvoj z Kputove izvode) Nek je f AC n ([, b]), n α < n i α >. Td je f(x) = n f (k) () k! (x ) k + I α x C D α x f(x). (3.7) 55

62 3. Definicij i osnovn svojstv Jednkost (3.7) je od velikog znčj prilikom rešvnj diferencijlnih jednčin u kojim figurišu dve vrste diferencijlnih opertor. Tkod e vže i sledeće dve leme, koje imju znčjne posledice. 3.. Lem Nek je α >, α / N i f C n ([, b]), gde je n = [α] +. Td C D α x f C([, b]) i C D α x f() =. 3.. Lem Nek je α >, α / N i n = [α] +. Ako je f AC n ([, b]) i z neko α (α, n) je C D α x f C([, b]). Td je C D α x f C([, b]) i c D α x f() =. Dokz. Dokz sledi iz sledećeg niz jednkosti n osnovu komuttivnosti Rimn- Liuvilovih integrl: C Dx α f(x) = Ix n α D n f(x) = I α α x Ix n α D n f(x) = Ix α α c D α x f(x). Pretpostvimo sd d vže uslovi leme 3.. i d je α > 2. Td n osnovu lem sledi d su svi izvodi C Dx α f, < α < 3, neprekidni. Jsno, td su i C Dxf(x) l i C Dx l+ f(x) neprekidni z < l < 2. Med utim, to ne mor nužno d povlči d je C Dxf l C ([, b]). Ko posledicu dobijmo d ne mor d vži ni D C Dxf l = C Dx l+ f, jer je funkcij s desne strne jednkosti neprekidn, dok s leve strne ne mor biti. Tko dobijmo d u opštem slučju Kputovi izvodi ne zdovoljvju svojstvo polugrupe Lem Nek je f C k ([, b]), k N i nek z α, ε > postoji l N, l k tko d α, α + ε [l, l]. Td je C Dx ε C Dx α f(x) = C Dx α+ε f(x). Dokz. Tvrd enje trivijlno vži kd je α = l i α + ε = l i tj slučj nećemo rzmtrti. Inče je < ε <. N osnovu leme 3..5 je C D ε xf(x) = D ε xf(x) kd je f() =. Posmtrjmo sledeće slučjeve:. α + ε N. Td je [α] = α + ε, tj. [α] α = ε. Sd dobijmo C Dx ε C Dx α f(x) = Dx ε C Dx α f(x) = DxI ε x [α] α D [α] f(x) = DxI ε xd ε [α] f(x) = D [α] f(x) = D α+ε f(x) = C Dx α+ε f(x). 2. α N. Iz npomene 3..3 jednostvno sledi C Dx ε C Dx α f(x) = C DxD ε α f(x) = Ix ε D α+ f(x) = C Dx α+ε f(x). 56

63 3. Definicij i osnovn svojstv 3. Ako ne vže prethodni slučjevi, ond immo [α] = [α + ε], p sličnim postupkom dobijmo: C Dx ε C Dx α f(x) = Dx ε C Dx α f(x) = DxI ε x [α] α D [α] f(x) = D Ix ε I x [α] α D [α] f(x) = D IxI x [α+ε] α+ε D [α+ε] f(x) = C Dx α+ε f(x). Time je lem dokzn Teorem Nek je f C µ ([, b]) z neko µ N. Ako je α [, µ], td je D µ α x C D α x f(x) = D µ f(x). Dokz. Ako je α ceo broj tvrd enje vži n osnovu rezultt iz klsične nlize. Pretpostvimo d α nije ceo broj. Td možemo pisti D µ α x C Dx α f(x) = D µ [α]+ Ix α+ [α] I x [α] α D [α] f(x) = D µ [α]+ IxD [α] f(x) = D µ [α] D [α] f(x) = D µ f(x). Primetimo d se u tvrd enju s desne strne jednkosti pojvljuje običn izvod. Dkle, pod odred enim uslovim, kombinovnjem Rimn-Liuvilovog i Kputovog diferencijlnog opertor dobijmo klsičn diferencijlni opertor. Koristeći smo definiciju, možemo pokzti d je Kputov opertor linern, tj. vži sledeć teorem Teorem Nek su f, f 2 : [, b] R tkve d C D α x f i C D α x f 2 postoje skoro svud n [, b] i nek su c, c 2 R. Td C D α x (c f + c 2 f 2 ) postoji skoro svud n [, b] i vži C D α x (c f + c 2 f 2 ) = c C D α x f + c 2 C D α x f 2. Formulisćemo još i Ljbnicovu formulu z Kputov opertor u slučju kd je < α < Teorem (Ljbnicov formul z Kputove izvode) Nek je < α < i f i g funkcije nlitičke n ( h, + h) z neko h >. Td je C D α x [f g](x) = (x ) α Γ( α) g()(f(x) f()) + C Dx α g(x) f(x) ( ) α + Ix k α g(x) C D k k xf(x). k= 57

64 3. Definicij i osnovn svojstv Dokz. Kko je < α <, iz definicije Kputovog izvod (3.) je C D α x [f g] = D α x [f g f()g()] = D α x [f g] f()g() D α x. Sd, n osnovu Ljbnicove formule z Rimn-Liuvilove izvode (teorem 2.3.8) immo ( ) C α Dx α [f g] = f( Dx α g) + ( D k k xf) ( Ix k α g) f()g() Dx α. k= Kd dodmo i oduzmemo izrz f g()( Dx α ) s desne strne, ztim pregrupišemo sbirke, dobijmo ( ) C α Dx α [f g] = f( Dx α [g g()]) + ( D k k xf) ( Ix k α g) k= k= +g()(f f()) Dx α ( ) α = f ( Dx α g) + ( D k k xf) ( Ix k α g) + g()(f f()) Dx α. Ovde smo koristili d je Dx k = D k = C Dx k z k N. Sd tvrd enje jednostvno sledi zmenom izrz Dx α s (x ) α Γ( α), što vži n osnovu odeljk 2.5 pod 2. Koristeći Kputove izvode možemo pokzti formulu z frkcionu prcijlnu integrciju u sledećoj interpretciji Propozicij Nek su f, g AC([, b]) i α <. Td vži formul z frkcionu prcijlnu integrciju i on je oblik: b f(x) D α x g dx = b g(x) x Db α f dx. (3.8) Dokz. Kko f, g AC([, b]), sledi d su levi i desni Rimn-Liuvilovi i Kputovi izvodi funkcij f i g dobro definisni. Immo: b f(x) D α x g dx = = b d f(x) Γ( α) dx f(x) Γ( α) x x g(θ) (x θ) α dθ g(θ) dθ dx (x θ) α b b f (x) x Γ( α) g(θ) dθ dx. (x θ) α 58

65 3. Definicij i osnovn svojstv Ovde smo koristili formulu z klsičnu prcijlnu integrciju. Primenjujući Dirihleovu formulu (.) dobijmo b f(x) D α x g dx = = = = f(b) b Γ( α) f(b) b Γ( α) b b ( f(b) g(θ) Γ( α) g(x) x D α b f dx, gde smo koristili (3.5) z n =. g(θ) (b θ) α dθ b b g(θ) Γ( α) θ g(θ) b (b θ) α dθ (b θ) α + C θ Dα b f g(θ) C θ Dα b f dθ ) dθ f (x) dx dθ (x θ) α Do sd smo rdili s Kputovim izvodim definisnim n končnom intervlu [, b]. Definicij se može proširiti i n intervl (, ) ko i n ceo skup R n sledeći nčin: i ( C D α + f)(x) = C D α x f(x) = x f (n) (θ) dθ (3.9) Γ(n α) (x θ) α n+ ( C D f)(x) α = C x D f(x) α = ( )n f (n) (θ) dθ, (3.) Γ(n α) (θ x) α n+ z x (, ). Ako je x R, td immo i ( C D+f)(x) α = C Dx α f(x) = Γ(n α) x x f (n) (θ) dθ (3.) (x θ) α n+ ( C D f)(x) α = C x D f(x) α = ( )n f (n) (θ) dθ. (3.2) Γ(n α) (θ x) α n+ Kputovi izvodi zdovoljvju sledeće jednkosti: ( C D α +e λx )(x) = λ α e λx i ( C D α e λx )(x) = λ α e λx, x 59

66 3.2 Trnsformcije Kputovih izvod z Re (α) > i λ >. Mitg-Leflerov funkcij E α [λ(x ) α ] je invrijnt u odnosu n C D α x, što nije slučj z C D α. Tčnije, vži sledeć propozicij Propozicij Ako je α >, R i λ C, td je i C D α x E α [λ(x ) α ](x) = λe α [λ(x ) α ] ( C D α x α E α (λx α ))(x) = x E α, α(λx α ). Specijlno, ko je α = n N, vži D n E n [λ(x ) n ] = E n [λ(x ) n ] i D n x n E n (λx n ) = x E n, n(λx n ) = λ x n+ E α[λx α ). 3.2 Trnsformcije Kputovih izvod Nek je Kputov izvod red α funkcije f dt u obliku (3.), tj. ( C D+f)(x) α = Γ(n α) x f (n) (θ) (x θ) α n+ dθ = I n α x f (n) (x), n < α < n. N osnovu Furijeove trnsformcije Rimn-Liuvilovog integrl (2.3) i formule (.9) z rčunnje Furijeove trnsformcije n-tog izvod funkcije, immo (F C D α +f)(ξ) = (FI n α + f (n) )(ξ) = ( Ff (n) ) (ξ) ( iξ) n α = ( iξ)n f(ξ) ( iξ) n α = f(ξ)( iξ) α. Dkle, Furijeov trnsformcij Kputovog izvod C D α +f je dt s: (F C D α +f)(ξ) = f(ξ)( iξ) α, (3.3) i rezultet je isti ko i kod Furijeove trnsformcije Rimn-Liuvilovog izvod D α +f. Furijeov trnsformcij frkcionih izvod se koristi z nlizirnje osciltornih jednčin s prigušenim člnom frkcionog red, ztim z konstrukciju globlnog rešenj linerne frkcione diferencijlne jednčine s konstntnim koeficijentim i izučvnje proces relkscije u izoltorim. Posmtrjmo Kputov izvod C D α + f definisn u (3.9). Sličnim postupkom ko kod Furijeove trnsformcije, n osnovu (2.34) i (.8) dobijmo Lplsovu trnsformciju Kputovog izvod n sledeći nčin: 6

67 3.2 Trnsformcije Kputovih izvod (F C D α f)(s) = (FI n α f (n) )(s) = s (n α) (Lf(n))(s) + + = s α n( n ) s n (Lf)(s) s n k f (k) () n = s α (Lf)(s) s α k f (k) (). Dkle, Lplsov trnsformcij Kputovog izvod C D α + f glsi: n (L C D α f)(s) = s α (Lf)(s) s α k f (k) (). (3.4) + Specijlno, ko je < α immo (F C D α + f)(s) = s α (Lf)(s) s α f(). Kko formul z Lplsovu trnsformciju Kputovog izvod sdrži vrednosti funkcije f i njenih izvod u nuli, što u fizici im svoju interpretciju (npr. f() je početni položj, f () početn brzin i f () ubrznje), z očekivti je d je veom korisn u rešvnju prktičnih problem koji dovode do frkcionih linernih diferencijlnih jednčin s konstntnim koeficijentim uz uobičjene početne uslove. Pod pretpostvkom d postoje (Mf (n) )(s + n α) i (Mf)(s α) n osnovu (.4), dobij se Melinov trnsformcij Kputovog izvod C D α + f. Nek je α > i Re (s) < Re (n α). (M C D α f)(s) = (MI n α f (n) )(s) = + + ( Γ( n + α s) = Γ( s) = n + Γ( n + α s) Γ( s) (Mf (n) )(s) Γ( s n + α + n) (Mf)(s + n α n) Γ( s n + α) ) Γ( s n + α + k) [ f (n k ) (t)t s+n α k ] Γ( s n + α) Γ( + α s) (Mf)(s α) Γ( s) n + Specijlno, z < α <, (M C D α + f)(s) = Γ( + α + k n s) [ f (n k ) (t)t s+n α k ] Γ( s). Γ( + α s) (Mf)(s α) + Γ( s) 6 Γ(α s) [ f(t)t s α ] Γ( s).

68 3.2 Trnsformcije Kputovih izvod Ako zmen donje i gornje grnice nulir funkcije u sumi, dobijmo pojednostvljenu formulu: (M C D α + f)(s) = Γ( s + α) Γ( s) (Mf)(s n). Slično, ko je Re (s) > immo d je Melinov trnsformcij Kputovog izvod C D α f: (M C D α f)(s) = Γ(s) (Mf)(s α) Γ(s α) ( ) n k Γ(s) [ f (n k ) (t)t s+n α k ] Γ(s + n α k), n + ko je < α <, td immo (M C D α f)(s) = Γ(s) Γ(s) [ (Mf)(s α) + f(t)t s α ] + Γ(s α) Γ(s + α). 62

69 Glv 4 Primen frkcionih izvod Već smo u više nvrt npominjli veliku primenu frkcionog rčun pri modelirnju rzličitih pojv u rznim oblstim nuke. Njčešće su to jednčine koje opisuju viskoelstičn svojstv mterijl i proces difuzije čestic. U ovom poglvlju ćemo nvesti primere nekih jednčin i model u kojim se pojvljuju frkcioni opertori. Neki od problem prezentovnih u nstvku su bili rzmtrni n med unrodnoj konferenciji u Špniji 2. god. n temu frkcionog rčun i mogu se nći u [9]. 4. Viskoelstičnost Viskoelstičnost je jedn od oblsti fizike koj pruž njviše mogućnosti z primenu frkcionih diferencijlnih i integrlnih opertor, prvenstveno zbog sve šire upotrebe polimernih mterijl n rzličitim poljim inženjering. Pre nego što definišemo frkcioni model koji objšnjv viskoelstičn svojstv mterijl, podsetimo se klsičnog model. Dobro poznt vez normlnog npon σ i reltivne promene dužine (isteznje ili sbijnje) ε čvrstog elstičnog tel se može iskzti Hukovim zkonom σ(t) = Eε(t), (4.) gde E predstvlj moduo elstičnosti tel. S druge strne, z Njutnovske fluide vži sledeć vez σ(t) = η dε dt, (4.2) gde je s η oznčen koeficijent viskoznosti fluid. Prethodne jednkosti ne predstvljju univezlne zkonitosti, već mtemtičke modele idelnih čvrstih mterijl i fluid koji se u prirodi retko sreću. Štviše, većin mterijl poseduje svojstv i elstičnih tel i fluid i nlze se u stnju izmed u idelnog čvrstog i idelnog tečnog stnj. 63

70 4. Viskoelstičnost Zbog tog se Hukovi (elstični) i Njutnovi (viskozni) elementi se kombinuju u jednu jednčinu koj održv ob svojstv, i to n dv nčin: serijski i prlelno. Serijsk vez dje Mksvelov model viskoelstičnosti dε dt = dσ E dt + σ η, (4.3) z koji immo d ko je σ = const sledi d je i dε dt = const što znči d ko je npon konstntn, deformisnje je beskončno, što ne odgovr stvrnoj situciji. U slučju prlelne veze dobijmo Voigtov model σ = Eε + η dε dt, (4.4) iz kog sledi implikcij ε = const σ = const, što ponovo ne održv eksperimentlno dobijene podtke. U cilju poboljšnj nvedenih nedosttk uvodi se Kelvinov model viskoelstičnosti, koji se dobij serijskom vezom Voigtovog viskoelstičnog i Hukovog elstičnog element i glsi: dσ dt + E + E ( 2 dε σ = E η dt + E ) 2 η ε, (4.5) i Zenerov model viskoelstičnosti, koji se dobij prlelnom vezom Mksvelovog viskoelstičnog i Hukovog elstičnog element: dσ dt + E 2 η σ = (E + E 2 ) dε dt + E E 2 ε, (4.6) η U ob sistem immo po dv Hukov element s modulim elsičnosti E i E 2 i jedn viskoelstični element s koeficijentom viskoznosti η. Ovko dti modeli dju bolji kvlittivni opis svojstv, li s kvntittivne tčke gledišt nisu zdovoljvjući. Tkod e, polzeći od (4.5) i (4.6) ko osnovnih zkon deformisnj viskoelstičnih mterijl, dobijju se komplikovne diferencijlne jednčine višeg red, koje stvrju poteškoće prilikom formulisnj i rešvnj prktičnih problem i ko tkve nisu pogodne z upotrebu. Ako detljnije nlizirmo jednčinu (4.) možemo primetiti d je npon uprvo srzmern reltivnoj promeni dužine čvrstog tel, tčnije, proporcionln je nultom izvodu funkcije promene dužine čvrstog tel, dok kod tečnosti, iz jednčine (4.2) immo d je proporcionln prvom izvodu. Tko se prirodno nmeće pretpostvk d u slučju med u-mterijl, odnos npon i promene dužine možemo izrziti korišćenjem med u-izvod, odnosno σ(t) = E D α t ε(t), < α <, (4.7) gde su E i α konstnte i α zvisi od mterijl. Jednčinu (4.7) je postvio Skot Bler. 64

71 4. Viskoelstičnost Hukov zkon (4.), koji je jednoprmetrski model i Skot Blerov, koji je dvoprmetrski (prmetri su E i α) se mogu dlje uopštvti dodvnjem izrz koji sdrže izvode npon i deformcije proizvoljnog red, što dovodi do petoprmetrskog opšteg Zenerovog model: σ(t) + Dt α σ(t) = bε(t) + c D β t ε(t). (4.8) Prethodn jednčin se može pojednostviti jer kod većine mterijl eksperimentlno se pokzlo d je α = β, p je opšti Zenerov model ustvri četvoroprmetrski model. Dti modeli imju široku primenu, prvenstveno u biomehnici. U nstvku ćemo videti kko oni konkretno izgledju primenjeni n rzličite orgne u orgnizmu. Jedn od prvih definicij biomehnike (J.D. Hmpfri) ko mehnike primenjene n biologiju, može se proširiti n primenu mehnike u svrhu boljeg rzumevnj fiziologije i ptofiziologije, ko i dijgnostikovnj i lečenj bolesti i povred. Ljudski orgnizm je kompleksn biosistem koji osim mehničkih, ispoljv i fiziološke funkcije; proteini, ćelije, tkiv i orgni otkrivju širok spektr mterijl i njihovih struktur, što se održv mnoštvom rzličitih funkcij z izučvnje. Predmet izučvnj je njčešće struktur i mehnizm rd mekog tkiv. Mehničko ponšnje mekog tkiv im krucijlnu ulogu pri stvrnju i rzvijnju čvrstih orgn i u regovnju orgnizm n rzličite povrede, degenertivni uslovi, ko i infekcije i mehničke trume ostvljju drstične promene n mekom tkivu. Mtemtičkim modelim je moguće opisti interkciju izmed u dptcije tkiv i mehničkih uslov unutr mekih tkiv. 4.. Viskoelstičnost tkiv pluć Prethodnu opštu priču možemo primeniti u modelirnju respirtornog sistem čovek, uzimjući pritom u obzir viskoelstičn svojstv tkiv u orgnizmu. Ov tem je detljno obrd en u rdovim [] i [3]. Viskoelstičnost vzdušnih stubov je odred en reološkim osobinm tkiv, odnosno zvisi od udel hrskvice ko viskozne komponente (kolgen) i udel mekog tkiv ko elstične komponente (elstin). Posmtrjući smo elstičn svojstv, pod pretpostvkom d je deformisnje reltivno mlo, sledi linern zvisnost opisn Hukovim zkonom (4.), koj ko tkv ne odgovr viskoelstičnim krkteristikm vzdušnih stubov. Dlje, konstitutivn jednčin dobijen n osnovu Voigtovog model (4.4), ne uzim u obzir efekt relkscije npon, tj. jvlj se već pomenuti problem d ko je ε(t) = ε(t ), t > t, td se ni npon ne menj. Slično se dobij i ko posmtrmo izvod jednčine (4.4) po vremenu σ(t) t = E ε(t) t + η 2 ε(t) t 2. 65

72 4. Viskoelstičnost Dodjmo prethodnoj jednčini s desne strne izrz Hε, proporcionln deformciji, gde je H prmetr koji zvisi od mterijl. Tko dobijmo jednčinu σ(t) t = E ε(t) t + η 2 ε(t) t 2 + Hε(t), (4.9) u kojoj im relkscije npon i predstvlj kombinciju Mksvelovog i Voigtovog model viskoelstičnosti. Jednčin (4.9) u odred enoj meri otklnj nedosttke svkog od model pojedinčno i dost dobro krkteriše viskoelstično ponšnje, li g ne objšnjv u potpunosti. Kliničkim ispitivnjem je pokzno d su interkcije unutr plućnog tkiv u znčjnoj vezi s niskim frekvencijm udisj kod čovek (detljnije u []); viskoelstično svojstvo tkiv pluć pruž otpor tkiv pri niskim frekvencijm koji opd k nuli kko se frekvencij povećv. Elstin je činilc koji odred uje tkvo ponšnje u mekom tkivu i ono se može opisti pomoću frkcionih opertor. Tko jednčin (4.9) dobij precizniji oblik β σ(t) t β = E β ε(t) t β + η α+β ε(t) t α+β + Hε(t), (4.) gde je α, β, β oznčv Rimn-Liuvilov izvod red β. Frkcionom integrcijom red β prethodne jednčine, u Rimn-Luvilovim oznkm, nlzimo zvisnost površinskog npon σ i reltivne promene dužine ε u vzdušnim zidovim: σ(t) = Eε(t) + η Dt α ε(t) + H I β t ε(t). (4.) 4..2 Frkcioni model strukture srednjeg uh Hirurško lečenje hroničnih upl srednjeg uh podrzumev iskorenjivnje ptoloških promen i rekonstukciju bubne opne (membrn timpni) rdi poboljšnj funkcije sluh tj. prenošenj zvuk kroz ušni knl preko bubne opne do spirlnog knl (puž). Prostornim pokretim koščic mleus, inkus i stpes (nzivju se još i čekić, nkovnj i uzengije respektivno), prenose se zvučni tlsi do srednjeg uh ispunjenog tečnošću gde se nlze receptori. U rekonstrukciji bubne opne se njčešće koristi fsci (ovojnic) temporlnog mišić, perihondrium ili grft hrskvice ušne školjke. Anliz tonlnim udiometrom je pokzl d hrskvic, ko rekonstruktivni mterijl im bolje krkteristike u pored enju s fsciom temporlnog mišić i perihonondriumom jer im veću mehničku stbilnost, dok drug dv prvenstveno pružju bolji kustički kvlitet. Pomoću mtemtičkog model mogu se ispitti mehničk svojstv bubne opne i njenih mogućih trnsplnt, ko i ostle strukture srednjeg uh, ligment i tetiv. Model je predstvljen u rdu [5] zsniv se n modifikovnom Zenerovom modelu (4.6) viskoelstičnog tel i zhtev poznvnje vrednosti četiri konstnte koje opisuju 66

73 4. Viskoelstičnost mehničk svojstv svke od nvedenih struktur, rčunju se iz nelinernog sistem koji zdovoljv Klusiuis-Diemovu nejednkost i u kome figuriše Mitg- Leflerov funkcij (detljnije u [5]). Nek je Zenerov model zpisn preko sledeće jednkosti: σ(t) + τ σ D α t σ(t) = Eε(t) + Eτ ε D α t ε(t), (4.2) gde su < α < i τ σ, τ ε, E tržene konstnte. Posmtrjmo prvo slučj stpedilne tetive (skrćeno ST) koj se nlzi izmed u glve stpes i pirmidlnog ispupčenj n unutršnjem zidu šupljine srednjeg uh. Kontrkcij stpedilnog mišić uzrokuje stpedilni refleks koji preko tetive povlči stpes izvn ovlnog prozor. Ovj refleks štiti unutršnje uho od jke buke i omogućv komunikciju uprkos glsnim okolnim zvucim. Zto je rzumevnje strukture i osobin ST jedn od predmet izučvnj, posebno ko je ptološko okoštvnje tetive glvni rzlog gubljenj sposobnosti provod enj zvučnih tls. Pomoću test relkscije npon, izvršen je niz merenj mehničkih svojstv ST u srednjem uhu i dobijene su sledeće vrednosti prmetr u Zenerovom modelu: α =.4, τ σ =.49, τ ε =.397 i E = (4.3) Pored stpedilnog, još jedn mišić u srednjem uhu učestvuje u zštiti i nziv se tensor timpni ili ztezč bubne opne. Tetiv tensor timpni se nlzi izmed u koštnog zid puž i vrt mleus u šupljini srednjeg uh. Kontrkcij mišić tensor timpni povlči bubnu opnu medijlno i ogrničv njenu pokretljivost. Tko je protok zvuk smnjen dok je mišić stegnut. Mehnički opis tetive je znčjn z studije normlnih i ptoloskih funkcij srednjeg uh ko i mogućnosti njegove uspešne rekonstrukcije. Test relkscije npon opisuje viskoelstično ponšnje tetive tensor timpni, vrednosti konstnti u Znerovom modelu iznose α =.4, τ σ =.399, τ ε =.7 i E = 2.3. (4.4) Prednji ligment mleus pruž mehničku podršku glvi mleus. Čini g vezivno tkivo koje predstvlj kompleksnu hijerrhijski ured enu strukturu vlkn kolgen koj su inče prilično tešk z modelirnje. Merenjem relkscije npon prednjeg ligment mleus dobijeni su sledeći podci koji upotpunjuju frkcioni model α =.33, τ σ =.598, τ ε =.55 i E =.64. (4.5) Poslednj i njbitnij struktur unutr srednjeg uh n koju se može primeniti Zenerov model čini bubn opn. Bubn opn je tnk membrn koj rzdvj spoljnje od unutršnjeg uh i im oblik konus s izvijenim strnm. Im znčjnu ulogu u trnsformciji zvučnih tls u mehničke vibrcije slušnih košči- 67

74 4. Viskoelstičnost c. Sstoji se iz tri sloj membrn s kolgenim vlknim rspored enim u rdijlnom i kružnom prvcu i ispoljv viskoelstičn svojstv. Mehničke osobine opne su ispitivne prikupljeni podci iznose α =.536, τ σ = 2.23, τ ε = i E = (4.6) Modifikovn Zenerov model se može koristiti i z opis mehničkih osobin rzličitih trnsplnt koji se koriste u rekonstrukciji bubne opne. Već smo pomenuli d se njčešće koriste fsci temporlnog mišić, perihondrium i hrskvic usne školjke. Fsci je sloj fibroznog tkiv koj obvij mišiće, kosti, orgne, nerve, krvne sudove i druge strukture. Hrskvic je neprokrvljeno fleksibilno vezivno tkivo i nlzi se u zglobovim, grudnom košu, uhu, nosu, lktovim, kolenim, člncim, bronhijm i med upršljenskim diskovim. Nije toliko čvrst ko kost li je kruć i mnje fleksibilnij od mišić. Postoje tri vrste hrskvic: hijelinsk, elstičn i fibrohrskvic. Elstičn se nlzi u školjki uvet i sdrži veliku količinu elstičnih vlkn p ju je moguće modelirti Zenerovim modelom viskoelstičnosti. Uporedimo sd viskoelstičn svojstv bubne opne i njenih trnsplnt. U eksperimentu sprovedenom s trbušnom fsciom dobijene su sledeće vrednosti prmetr Znerovog model α =.499, τ σ = 3.257, τ ε = i E = 5.3, (4.7) dok kod hrskvice ušne školjke oni iznose α =.596, τ σ = 8.588, τ ε = i E =.76. (4.8) Npomenimo još d slušni kpciteti rekonstruisne bubne opne dost zvise od smog implnt, li i od tehnike i uslov pod kojim je postvljen ko i od preostle strukture srednjeg uh Mtemtički model ljudskog zub Odred ivnje mehničkih osobin dentin je od velikog znčj kko s prktične tko i s teorijske tčke glednj. Sstv i mikrostruktur zub 2 su dobro poznti i postoji više rdov posvećenih odred ivnju veze izmed u strukture i mehničkih svojstv zub. Grd u zub čine približno 7% neorgnske i 2% orgnske mterije, ostlih % je vod. Neorgnski deo im strukturu sličnu kostim, dok se Dentin (lt: substnti eburne) ili zubn kost je čvrsto tkivo koje izgrd uje njveći deo zub. Pokriven je s gled i (u predelu krune) i cementom (u predelu koren) i im približn oblik zub, u centrlnom delu formir zubnu šupljinu. 2 Mikrostrukturu zub sčinjvju sitne cevčice, knli tzv. tubule prečnik od µm, koje se protežu kroz čitv zub po putnji koj podseć n slovo S u krunici zub, dok pri korenu imju prvolinijki prvc. 68

75 4.2 Frkcion difuzion jednčin orgnski deo sstoji uglvnom od kolgen tip. Tubule su ispunjene ćelijm odontoblst i dentlnom tečnošću. Ako bismo dentin modelirli ko elstično telo (homogeno, izotropno), d bismo u potpunosti odredili mehničko ponšnje pri konstntnoj temperturi potrebno je poznvnje vrednosti dv prmetr (npr. moduo elstičnosti i Posonov odnos). Ako u obzir uzmemo i stogo orijentisnu cevkstu strukturu zub, neophodno je uvesti mnogo složeniji model. Mi ćemo predstviti viskoelstičn frkcioni model zub (z više detlj pogledti []) zsnovn n modifikovnom Zenerovom modelu definisnom u (4.8). Posmtrjmo specijln slučj jednčine (4.8) kd je α = β i zpišimo je u obliku σ(t) + D α t σ(t) = E ( ε(t) + b D α t ε(t) ), (4.9) gde je < α < i, b i E su konstnte koje se odred uju eksperimentlno. Tko se dobij d je α =.36, =.525, b =.778 i Eε = (4.2) Detljn postupk nlženj vrednosti konstnti u (4.2) se može nći u []. Znčj ovog model je u sledećem: jednostvn je z upotrebu, rdi s mlim vrednostim prmetr E,, b, α i omogućv predvid nje ponšnj mterijl s velikom tčnošću (reltivn grešk je mnj od 3%). Konstnte E,, b i α se mogu odrediti i z rzličite vrednosti temperture što je od znčj u stvrnim kliničkim situcijm, npr. u rekonstruktivnoj stomtologiji, z očekivnje je d će mterijli slični dentinu dvti mnogo bolje rezultte od drugih mterijl. 4.2 Frkcion difuzion jednčin Normln ili običn difuzij je proces spontnog širenj čestic unutr gs, tečnosti ili čvrstog tel. Nziv se još i Gusov difuzij krkterišu je: kretnje čestic iz oblsti više koncentrcije k oblsti niže koncentrcije; koncentrcij im Gusovu gustinu rspodele; sistem je blizk rvnotežnom stnju; simptotsko srednje-kvdrtno premeštnje je linern funkcij vremen tj. x 2 (t) t, distribucij brzine četic je Mksvelov. Normln difuzij se modelir difuzionom jednčinom ϕ(x, t) = D 2 ϕ(x, t) t x 2, (4.2) gde je D difuzion konstnt koj zvisi od svojstv mterijl. Med utim, u odred enim sistemim prethodn prič ne vži i oni su dleko od stnj rvnoteže, difuzij je ili spor ili brz. Tkvo odstupnje od normlne difuzije se nziv nomln difuzij i krkteriše je pre sveg nelinern zvisnost simptotskog srednje-kvdrtnog premeštnj čestic od vremen, tj. x 2 (t) t α, z α. U 69

76 4.2 Frkcion difuzion jednčin zvisnosti od vrednosti prmetr α, vrši se podel nomlne difuzije n subdifuziju (α < ) i superdifuziju (α > ). Anomln difuzij se vrlo efektno može modelirti frkcionim difuzionim jednčinm uz korišćenje tehnike CTRW (eng. continuous time rndom wlk, detljnije u [8]). Modelirnje difuzije u specifičnim poroznim mterijlim (frktlno telo) je jedno od njznčjnijih oblsti primene izvod necelog red. D bi se opislo kretnje unutr frktl, koristi se sledeć jednčin koj sdrži frkcioni izvod: D /d t J(t) = LX(t), (4.22) gde je L konstnt i d dimenzij frktl funkcije J(t) i X(t) su dte u [8]. Veom je vžno d je frkcion difuzion jednčin vezn z dinmičke procese u frktlnom telu, red rezultujuće jednčine zvisi od frktlne dimenzije frktl, što služi pri modelirnju poroznog mterijl. Dlje izucvnje je dovelo do dv tip frkcionih prcijlnih diferencijlnih jednčin. Prv predstvlj generlizciju frkcione prcijlne diferencijlne jednčine (definisn je od strne Oldhm i Špnier više detlj se može nći u [7]) ko zmene z Fikov zkon i im oblik ( D /d P (r, t) t P (r, t) = A + κ ), r r P (r, t) gde je P (r, t) gustin funkcije RW (eng. rndom wlk) n frktlu, A i κ su konstnte, d eksponent nomlne difuzije koji zvisi od frktlne dimenzije posmtrnog tel. Drug jednčin je D 2/d u t P (r, t) = ( r ds r r ds P (r, t) r gde d u i d s zvise od frktlne dimenzije tel. Još jedn primer jednčine drugog tip je Nigmtulinov jednčin koj u njjednostvnijem slučju prostorne jednodimenzione difuzije im sledeći oblik D α t u(x, t) = d2 u(x, t) dx 2. (4.23) Kko je red izvod po vremenu α proizvoljn reln broj, uključujući pritom vrednosti α i α = 2, jednčin (4.23) se često nziv frkcion difuziono-tlsn jednčin. Zist, z α = jednčin postje klsicn difuzion jednčin, dok z α = 2 dobijmo tlsnu jednčinu. Z < α < immo ultrsporu difuziju, vrednosti < α < 2 odgovrju tzv. prelznim procesim. Posmtrjmo sd jednčinu (4.23) u sledećem obliku D α t u(x, t) = λ 2 d2 u(x, t) dx 2, () 7 ),

77 4.3 Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote uz početni i grnični uslov D α t u(x, t) t= = φ(x) (IC) lim u(x, t) =. (BC) x ± Rešenje početnog problem se jednostvno može dobiti uz korišćenje Furijeove i Lplsove trsformcije (detljn postupk je prikzn u [8]) i ono je oblik u(x, t) = gde je G Grinov funkcij definisn n sledeći nčin G(x, t) = π G(x ξ, t)φ(ξ) dξ, (4.24) t α E α,α ( λ 2 β 2 t α ) cos βx dβ, β je Furijeov prmetr trnsformcije. Jednčin () se može zpisti i n drugi nčin tko d se u njoj se pojvljuje frkcioni integrlni opertor. Tko dobijmo Šnjder-Vjsovu frkcionu difuzionu jednčinu: u(x, t) = u(x, ) + λ 2 It α d 2 u(x, t) dx 2, ( ) s početnim uslovom u(x, ) = φ(x). (IC ) Rešenje ovog početnog problem je tkod e (4.24). Rzlik izmed u jednčin () i ( ) je što drug dozvoljv upotrebu klčnih početnih uslov s izvodim celog red, dok kod prve to nije slučj jer se pojvljuje Rimn-Liuvilov izvod. Med utim, jednčine su ekvivlentne ukoliko se u () umesto Rimn-Liuvilovog koristi Kputov diferencijlni opertor. 4.3 Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote Klsičn jednčin provod enj toplote je dt s t T = D xx T, (4.25) gde je D = λ/ρc i izvodi se iz sistem dve jednčine: jednčine blns energije (nziv se još i zkon održnj energije) u pojednostvljenom obliku ρc t T = x q, (4.26) 7

78 4.3 Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote i Furijeovog zkon provod enj toplote q = λ x T, (4.27) pri čemu su tempertur T i toplotni fluks q, veličine koje zvise od (x, t) R R +, λ > oznčv koeficijent toplotne provodljivosti, ρ > gustinu i c > specifični toplotni kpcitet mterijl. Iz jednčine (4.26) sledi d se rzlik izmed u toplotnog fluks koji ulzi i koji izlzi iz infinitezimlno mlog del mterijl, troši n njegovo zgrevnje, odnosno n promenu temperture T. Furijeov zkon (4.27) je konstitutivn jednčin koj povezuje fluks q i temperturni grdijent x T i opisuje osobinu d se toplotni fluks nulir smo ko nem distribucije temperture u prostoru, odnosno, u istom trenutku rzličiti delovi tel imju iste temperture. Kko je (4.25) prboličn prcijln diferencijln jednčin, z posledicu dobijmo d je brzin prostirnj poremećj beskončn, što u fizičkom smislu nije prihvtljivo. Zto, rdi poboljšnj model, postojeću konstitutivnu jednčinu zmenjujemo Ktneovim zkonom provod enj toplote u sledećem obliku τ t q + q = λ x T, (4.28) gde je τ vreme relkscije. Prethodn jednčin se može zpisti i u obliku q = L ( +τs) t ( λ x T ), gde je L inverzn Lplsov trnsformcij, t vremensk konvolucij. Sd kombincijom jednčin (4.26) i (4.28) dobijmo tzv. telegrfsku jednčinu τ tt T + t T = D xx T, D = λ ρc. (4.29) Telegrfsk jednčin je hiperboličn prcijln diferencijln jednčin i brzin v = D/τ širenj poremećj je končn, p jednčin (4.29) opisuje širenje toplotnih tls kroz telo(medi). U prethodnim jednčinm fugurišu isključivo izvodi celog red, stog u cilju generlizcije model provod enj toplote, jednčinu (4.29) ćemo zpisti preko frkcionih izvod n sledeći nčin ( τ C Dt α + ) q = λ C E β b T, α, β (, ), (4.3) gde je C Dα t levi Kputov izvod red α, α < definisn u (3.3), C E β b je simetrizovn Kputov izvod red β definisn s C E β b u(x) = ( ) C Dx β C x D β 2 b u(x) = 2 Γ( β) b u (θ) x θ β dθ, 72

79 4.3 Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote pod pretpostvkom d je funkcij u psolutno neprekidn i < b, β <. U slučju = i b = pišemo Ex β umesto C E β b i immo d je Ex β u(x) = 2 Γ( β) x β u (x). Jednčin (4.3) se nziv Ktneov prostorno-vremenski frkcioni zkon provod enj toplote i detljno je obrd en u rdu [2]. Primetimo d Ktneov prostorno-vremenski frkcioni zkon provod enj toplote uopštv i Furijeov (4.27) i Ktneov (4.28) zkon provod enj toplote. Zist, može se pokzti d kd β, td C E β b x i kd α td (4.3) postje (4.28). Ako β i τ = ili α = td (4.3) postje (4.27). Sd uprivnjem jednčine blns energije (4.26) s Ktneovim prostornovremenskim frkcionim zkonom provod enj toplote (4.3) z = i b =, može se izvesti sledeći sistem jednčin t T = x q () τ C D α t q + q = λe β x T, (2) koji predstvlj model proces provod enj toplote. Dlje se mogu ispitivti egzistencij i jedinstvenost rešenj sistem uz početne (IC) i grnične (BC) uslove: T (x, ) = T (x), q(x, ) =, (IC) lim T (x, t) =, lim x ± Sistem (), (2) je ekvivlentn sledećoj jednčini q(x, t) =. (BC) x ± t T = L ( + s α ) t x E β x T, (3) koj se nziv Ktneov tip prostorno-vremenske frkcione jednčine provod enj toplote. Opšte rešenje početnog problem (), (2), (IC) postoji i jedinstveno je, dokz se može nći u [2]. Prednost korišćenj opertor Ex β, β (, ) (nziv se još i frkcioni grdijent) leži u tome d red frkcionog grdijent opisuje sposobnost mterijl d provodi toplotu. Tko immo d ko u sistem (), (2), (IC), (BC) stvimo β =, sistem modelir klsičnu toplotnu provodljivost dok rešenje pokzuje kko dti mterijl provodi toplotu. Uzimjući mnje vrednosti β u rešenju primećujemo otpor u provodljivosti mterijl, i što je mnj vrednost β, otpor je veći. Tko u grničnom slučju kd je β = mterijl postje ideln izoltor, sistem (), (2), (IC), (BC) predstvlj mtemtički model svršenog termlnog izoltor. 73

80 4.4 Modelirnje kretnj neutron ko subdifuzije u nuklernom rektoru 4.4 Modelirnje kretnj neutron ko subdifuzije u nuklernom rektoru Nuklerni rektor je veom kompleksn sistem s neutronskim lnčnim rekcijm u središtu, kretnje neutron unutr njeg je krjnje složeno. Ovj problem je rzmtrn u rdu [2]. U pored enju s ostlim difuzionim procesim, neutronsk difuzij podrzumev i druge rekcije koje se odvijju u nukleusu (npr. nuklern fisij). Prem tome, dok se kreću, neutroni kko se stvrju, tko ostju zrobljeni u jezgru. Ovj proces se nziv trnsportovnje (premeštnje) neutron s prvog region i energije do drugog, izučv g trnsportn teorij. Anliz, opis i kontrol nuklernog rektor zvisi od preciznog poznvnj distribucije neutron unutr jezgr, njihovo kretnje modelir linern verzij Bolcmnove jednčine (neutronsk trnsportn jednčin), koj stvr dost poteškoć prilikom rešvnj. Stog se koristi jednostvnij proksimcij pomoću neutronske difuzione jednčine koj u opštem slučju im oblik ϕ(r, t) = D 2 ϕ(r, t) Σ (r)ϕ(r, t) + s(r, t), (4.3) v t gde r predstvlj koordinte tčke u prostoru, t vreme, D difuzionu konstntu, Lplsijn, ϕ(r, t) fluks, v brzinu kretnj neutron, Σ psorpciju po poprečnom preseku u r, s(r, t) funkciju rspodele. Jednodimenzion neutronsk difuzion jednčin se dobij iz dve jednčine: neutronske jednčine kontinuitet: i neutronske konstitutivne jednčine: ϕ(x, t) J(x, t) + (Σ νσ f )ϕ(x, t) = v t x (4.32) J(x, t) + ϕ(x, t) + Σ tr (x)j(x, t) = S (x, t), (4.33) v t 3 x gde je Σ tr mkroskopski trnsfer po poprečnom preseku, S početni uslov. U prethodnoj jednčini se često znemruju sbirci J(x,t) v t i S (x, t), te dobijmo pojednostvljeni oblik jednčine (4.33) J = D ϕ(x, t), (4.34) x gde je D difuzion konstnt dt s D = 3Σ tr. Kombinovnjem (4.32) s (4.34) dobijmo neutronsku difuzionu jednčinu: ϕ(x, t) + (Σ νσ f )ϕ(x, t) = D 2 ϕ(x, t) v t x 2. (4.35) 74

81 4.4 Modelirnje kretnj neutron ko subdifuzije u nuklernom rektoru Slično ko u odeljku 4.3 immo d je (4.35) prboličn prcijln diferencijln jednčin p z rezultt dobijmo beskončnu brzinu širenj, što je nereln situcij s obzirom n to d je brzin neutron u jezgru rektor končn. Problem se rešv modifikovnim konstitutivnim zkonom koji je predložio Ktneo, glsi J(x, t) τ + J(x, t) = D t ϕ(x, t). (4.36) x Kombinovnje (4.36) s jednčinom kontinuitet (4.32) rezultir neutronskom telegrfskom jednčinom koj je hiperboličn prcijln diferencijln jednčin i omogućv bolju reprezentciju od klsične difuzione: ( τ v ) 2 ϕ(x, t) ϕ(x, t) t 2 + N + N 2 ϕ(x, t) = D 2 ϕ(x, t) t x 2, (4.37) gde je N = τσ τνσ f + /v i N 2 = Σ νσ f. Poznto je d neutronsk difuzion teorij im smo ogrničenu vlidnost prilikom nlizirnj rektor z št postoji više rzlog (npr. difuzion reprezentcij ne vži u blizini jkih psorber poput goriv i kontrolnih štpov i jezgro rektor je često heterogeno). Ovi problemi su poslužili ko motivcij z rzmtrnje neutronske frkcione telegrfske jednčine (FTE). Espinos i Predes su posmtrli frkcionu verziju konstitutivne jednčine τ α α J(x, t) ϕ(x, t) t α + J(x, t) = D, (4.38) x gde je α t Rimn-Liuvilov izvod red α R, < α < i koj s jednčinom α kontinuitet (4.32) dje trženu neutronsku FTE: ( τ α v ) α+ ϕ(x, t) α ϕ(x, t) t α+ + L t α + ϕ(x, t) + L 2 ϕ(x, t) = D 2 ϕ(x, t) v t x 2, (4.39) gde je L = τ α (Σ νσ f ) i L 2 = Σ νσ f. Med utim, mnogi su sumnjli u primenljivost jednčine s obzirom n to d se ne može izvesti n osnovu nekog stohstičkog proces. Zto se posmtr drugčiji pristup, pomoću CTRW. Nime, kretnje neutron u rektoru se može smtrti subdifuzijom frktl u procesu slučjnog hod, što rezultir nešto drugčijom verzijom neutronske frkcione telegrfske jednčine J(x, t) + τ α 2 α α J(x, t) = D tα t α ϕ(x, t). (4.4) x Detljn postupk dobijnj jednčine se može nći u [2]. 75

82 4.5 Prmetrsk ocen frkcionih dinmičkih model u biološkim sistemim 4.5 Prmetrsk ocen frkcionih dinmičkih model u biološkim sistemim Poslednjih godin prmetrsk ocen privlči dost pžnje mtemtičr. Koristi se u rzličitim primenm, posebno u rčunskoj biologiji z široke klse problem koji zhtevju ponovn merenj rdi odred ivnj vrednosti prmetr. Litertur n ovu temu sdrži dost rdov bvi se istrživnjem brzine tok hemijske rekcije ili odred ivnjem koeficijent u diferencijlnim jednčinm koje bi opisivle dtu pojvu. U nstvku je korišćen rd [4]. Uprvljčki odlučujući dinmički sistem se može zpisti ko sledeći sistem običnih diferencijlnih jednčin s početnim uslovom du(t) dt = f(t, u, λ, λ 2,..., λ m ), (4.4) u() = u, (4.42) gde su λ,..., λ m prmetri, m je broj hemijskih rekcij i z t T, u = (u, u 2,..., u n ) T i f = (f, f 2,..., f n ) T su n-dimenzionlne vektorske funkcije, n je broj vrst. Modeli koji se koriste uglvnom su zsnovni n frkcionim diferencijlnim jednčinm proizilze iz efekt nomlne difuzije. Okolin n kojoj se posmtrni proces odvij se odlikuje velikom gustinom i viskoznošću što je i očekivno s obzirom n mnoštvo molekul koji se tu nlze. U svojim ogledim (988. god.) Kopelmn je primetio d kristln smes mkromolekul može d utiče n prirodu hemijske rekcije. U prtećim rdovim Kopelmn se može nći čvrst dokz nomlnog difuzionog ponšnj protein u membrnm i unutr citozol u ćelijm. Više fktor izziv ovkvo nomlno ponšnje, npr. velik gustin mkromolekul ili pod interkcijom citoskelet ispod membrne dolzi do ztvrnj prostor protein. U nstvku ćemo posmtrti ponšnje genetski regulisn model povrtne informcije u Bcilius subtilis, bkterije koj se nlzi u zemljištu pozntij je ko bkterij sen. Bkterij im veom otporn endoprostor koji joj omogućv visoku tolernciju n ekstremne spoljšnje uslove. Frkcioni model koji nstje i beleži nomlno difuziono ponšnje je strogo nelinern sistem diferencijlnih jednčin u sledećem obliku: s početnim uslovom du(t) dt = D α t f(t, u, λ, λ 2,..., λ m ), t >, () u() = u, (IC) 76

83 4.5 Prmetrsk ocen frkcionih dinmičkih model u biološkim sistemim gde je Dt α Rimn-Liuvilov izvod red α, < α <. Istknimo d je prethodni početni problem ekvivlentn s pozntom Volterovom integrlnom jednčinom: u(t) = u + Γ(α) t (t τ) α f(τ, u(τ)) dτ. Z rešvnje početnog problem (), (IC) koristi se tzv. frkcioni Prediktor-Korektor metod koji je detljno opisn u [4]. 77

84 Glv 5 Prilog U prilogu djemo pr istorijskih npomen u vezi s nstnkom i rzvojem frkcionog rčun, ko i tblice Rimn-Liuvilovih izvod i integrl i Kputovih izvod nekih njčešće korišćenih funkcij. Više istorijskih detlj se može nći u knjigm [6], [7] i [2]. 5. Frkcioni rčun kroz istoriju Prvobitn idej koj je dovel do nstnk diferencijlnog i integrlnog rčun proizvoljnog red dtir iz 7. vek, kd je Ljbnic (Gottfried Leibniz ) u svojim rdovim upotrebio oznku d n y/dx n z n-ti izvod funkcije y = y(x). Nizgled zbunjujuć notcij koj očigledno ngoveštv d je n prirodn broj, nvel je Lopitl (Guillume de L Hopitl ) d ztrži detljnije objšnjenje od Ljbnic i pritom obrzloži izrz u slučju n = /2. Ovim se prvi put postvilo pitnje trženj izvod čiji je red rcionln (eng. frctonl) broj. Otud i nziv frkcioni rčun koji često potstiče n pogrešno tumčenje, jer pod pojmom frkcionog rčun se podrzumev integro-diferencirnje kko rcionlnog, tko i ircionlnog, p čk i kompleksnog red. Osim s Lopitlom, Ljbnic je delio svoj otkrić i s Johnom Bernulijem, kome je i prvi put jvno spomenuo mogućnost postojnj izvod opšteg red. Fkcioni rčun je bio predmet interesovnj i Ojler (Leonrd Euler ), koji je posmtro diferencirnje stepene funkcije d p x /dx p z necele vrednosti prmetr p. Lpls (Pierre-Simon Lplce ) je 82. god. predložio ideju diferencirnj necelog red z funkcije koje imju integrlnu reprezentciju oblik T (t)t x dt. Ideju Ojler je detljnije rzrdio Lkro (Frncois Lcroix ) 82. godine kd je jednostvno izrčuno n-ti izvod funkcije y = x m, zm pozitivn ceo 78

85 5. Frkcioni rčun kroz istoriju broj, i tu formulu uopštio pomoću gm funkcije n sledeći nčin d n y Γ(m + ) = dxn Γ(m n + ) xm n, m n. N tj nčin je z konkretn primer y = x i n = /2 dobio d/2 x = 2 x dx /2 π, što se poklp s dnšnjim rezulttim uz korišćenje Rimn-Liuvilove definicije. Sledeći kork preduzeo je Furije (Joseph Fourier ). Njegov definicij frkcionog opertor proistekl je iz integrlne reprezentcije funkcije f(x) = 2π f(λ) dλ cos t(x λ) dt. Kko je dn dx cos t(x λ) = t n cos[t(x λ) + n 2 nπ] z n N, zmenom n = u (u je proizvoljn broj) Furije je dobio formulu d u dx u f(x) = 2π f(λ) dλ t u cos[t(x λ) + uπ] dt. (5.) 2 Ovo je bil prv definicij izvod proizvoljnog red dovoljno dobrih funkcij. Prvi znčjniji pomk u primeni frkcionih opertor je nprvio Abel (Niels Abel ) 823. godine. On je iskoristio frkcioni rčun pri rešvnju integrlne jednčine koj se pojvljuje u formulciji problem tutohron (problem odred ivnj oblik krive tkve d je vreme spuštnj tel znemrljive mse niz tu krivu, bez trenj, pod uticjem grvitcije nezvisno od početnog položj tel). Opšti slučj Abelove jednčine smo već nveli n početku poglvlj 2. Posmtrjmo sd specijln slučj. Nek je vreme kliznj tel poznto, td Abelov integrln jednčin im oblik k = x (x t) /2 f(t) dt. (5.2) U jednčini (5.2) podintegrln funkcij f je nepoznt, Abel je do rešenj došo tko što je desnu strnu zpiso u obliku π d /2 f(x), p primenio d/2 n obe dx /2 dx /2 strne jednkosti (pod pretpostvkom d opertor zdovoljv uslov D /2 D /2 f = D f = f). Tko je dobio d /2 dx /2 k = πf(x), i zključio d kd znmo frkcioni izvod red /2 konstnte, možemo d odredimo i nepozntu funkciju f. To je bio izvnredn uspeh Abel u oblsti frkcionog 79

86 5. Frkcioni rčun kroz istoriju rčun. Furijeov integrln jednčin i Abelovo rešenje su privukli pžnju Liuvil (Joseph Liouville ), koji je nprvio veliki kork u rzvoju frkcionog rčun. Osnove z rzvoj nove teorije je nšo u td već pozntom rezulttu: D n e x = n e x, što je iskoristio pri definisnju izvod proizvoljnog red µ funkcije f n sledeći nčin D ν f(x) = c k ν k ekx, (5.3) pod pretpostvkom d se funkcij može rzviti u red f(x) = c ke kx. Očigledn nedosttk prethodne definicije je d je on primenljiv smo z specijlne funkcije, i postojnje izvod zvisi od konvergencije red. Med utim, koristeći (5.3), Liuvil je izveo formulu z diferencirnje stepene funkcije koj dost podseć n moderne definicije: D ν f(x) = ( ) ν Γ(ν) f(x + t)t ν dt. (5.4) Rdovi Liuvil iz 832. i 837. godine su prvi koji su sdržli primenu frkcionog rčun n rešvnje nekih tipov običnih linernih diferencijlnih jednčin. Osim Liuvil, njveći doprinos rzvoju teorije frkcione integrcije je do Rimn (Bernhrd Riemnn ). Njegovo interesovnje z frkcioni rčun je počelo još u studentskim dnim kd je i npiso rd n tu temu, koji je nžlost objvljen tek nkon njegove smrti. Trgjući z uopštenjem Tejlorovog red izveo je sledeću formulu: D ν f(x) = Γ(ν) x c (x t) ν f(t) dt + Ψ(x). (5.5) Zbog nejsnosti kod donje grnice integrl, Rimn je smtro d je u definiciji neophodno dodti i komplementrnu funkciju Ψ. Pitnje postojnj komplementrne funkcije je izzvlo dost zbrke. Liuvil je nprvio grešku kd je do sopstvenu interpretciju tržene funkcije, pri čemu nije rzmotrio slučj kd je x = što je dovelo do kontrdikcije. A kko je Kejli (A. Cyley ) primetio, njveć poteškoć kod Rimnove teorije je pitnje beskončno mnogo mogućnosti z odbir komplementrne funkcije. Svk drug prihvtljiv definicij frkcionih izvodbi morl d reši tj problem, što je i učinjeno: dnšnje definicije ne sdrže funkciju Ψ. Holmgren (E. Holmgreen ) je prvi koji se odreko komplementrne funkcije i prvi koji je predložio d se frkcino diferencirnje posmtr ko inverzn opercij z frkcionu integrciju. N istu ideju je došo i Letnikov, nezvisno od Holmgren. 8

87 5. Frkcioni rčun kroz istoriju Grunvld (A. K. Grünwld ) i Letnjikov (A. V. Letnikov ) su 868. rzvili drugčiji pristup frkcionom diferencirnju koji se bzir n sledećoj jednkosti: D ν ( ν h f(x) = lim f)(x) h h ν. (5.6) Njrniji rdovi koji su doveli do Rimn-Liuvilove definicije su del Letnikov iz 869., koji su z polznu tčku uzeli Košijevu integrlnu formulu f (n) (z) = n! f(ξ) dξ 2πi C, gde je C ztvoren kriv u kompleksnoj rvni. Sličnim postupkom, (ξ z) n+ li n otvorenoj krivoj, Lorent (H. Lurent ) je došo do definicije cd ν x f(x) = Γ(ν) x c (x t) ν f(t) dt, Re (ν) >. (5.7) U periodu od je publikovn skromn broj rdov vezn z oblst frkcionog rčun. Doprinos su dli H. Dejvis, A. Erdeli, G. Hrdi, H. Kober, J. Litlvud, M. Riz, S. Smko, H. Vejl... Godine 974. u Konetiktu je održn prv med unrodn konferencij n temu frkcionog rčun. Nkon tog, teorij frkcionih opertor doživljv ngli rzvoj. Do dnšnjeg dn spisk knjig, rdov i tekstov posvećenih teoriji i primeni frkcionog rčun broji više stotin nslov. Detljn pregled većine pomenutih del ko i održnih konferencij, kursev i seminr n dtu temu se može videti u [5]. Z krj postvićemo i jedno interesntno pitnje n koje još uvek nije dt precizn odgovor: D li frkcioni izvodi imju geometrijsku interpretciju?! 8

88 5.2 Tblice frkcionih izvod i integrl 5.2 Tblice frkcionih izvod i integrl Nek je Re (β) > i λ, γ C. Tblic. f(x), x > I α x f(x), α C (x ) β Γ(β) Γ(α+β) (x )α+β (x ± c) γ (±c) γ Γ(α+) (x )α 2F (, γ; α + ; x ±c ), ± c > (x ) β (b x) γ Γ(β) (x ) α+β Γ(α+β) (b ) γ 2 F (β +, γ; αβ + ; x b ), < x < b (x ) β (x ± c) γ Γ(β) Γ(α+β) e λx (x ) α+β (±c) γ 2 F (β +, γ; αβ + ; x e λ (x ) α E,α+ (λx λ) ±c ), ± c > (x ) β e λx Γ(β+)e λ Γ(α+β+) (x )α+β F (β + ; α + β + ; λx λ) ln(x ) [ln(x ) + ψ() ψ(α + )] (x ) β ln(x ) (x ) α Γ(α+) Γ(β) Γ(α+β) (x )α+β [ln(x ) + ψ(β) ψ(α + β)] (x ) ν/2 J ν (λ x ) (2/λ) α (x ) (α+ν)/2 J α+ν (λ x ), Re (ν) > (x ) β E µ,β ((x ) µ ) (x ) α+β E µ,α+β ((x ) µ ), Re (µ) > Tblic 2. f(x), x R I α x f(x), α C (b x) γ Γ( α γ) Γ( γ) (b x) α+γ, Re (α + γ) < α Γ(µ α) (±ix) µ Γ(µ) e ±απi/2 (±ix) ), Re (µ α) > µ α e λx λ α e λx, Re (λ > ) { sin λx { cos λx sin γx e λx cos γx λ α { sin(λx απ 2 ) cos(λx απ 2 ), λ >, Re (α) < { e λx sin(γx αφ) (λ 2 +γ 2 ) α/2 cos(γx αφ) Tblic 3. f(x), x R xi α f(x), α C x γ, x > (x + b) γ, φ = rctn ( γ λ), Re (λ) >, γ > Γ( α γ) Γ( γ) x α+γ, Re (α + γ) < Γ( α γ) Γ( γ) α (x + b) α+γ, Re (α + γ) <, rg(/b) < π e λx λ α e λx, Re (λ > ) { sin λx { cos λx sin γx e λx cos γx x ν/2 J ν (λx) λ α { sin(λx + απ 2 ) cos(λx + απ 2 ), λ >, Re (α) < { e λx sin(γx + αφ) (λ 2 +γ 2 ) ( α/2 cos(γx + αφ) 2 λ, φ = rctn ( γ λ), Re (λ) >, γ > ) αx (α+ν)/2 J ν α (λ x), Re (2α ν) < 3/2, λ > 82

89 5.2 Tblice frkcionih izvod i integrl Nek je α > i n = [α] +. Tblic 4. f(x), x R ( c D α f)(x), α C +, β N i β < n x β Γ(β+) Γ(β+ α) xβ α, β N i β n ili β / N i β > n (x + c) β Γ(β+) c, β R β n x n α Γ(β+ n) Γ(n α+) 2F (, n α; n α + ; x c ) e λx, λ R λ n x n α E,n α+ (λx) n λ α x ( ) n k+( ) λ n! Γ(λ n+) x λ k n k Γ(λ α+) ln x, λ > n + + Γ(λ+) Γ(λ α+) xλ α (ψ(λ n + ) ψ (λ α + ) + ln x) λ n i( ) n/2 x n α 2Γ(n α+) [ F (; n α + ; iλx) n prno + sin λx, λ R F (; n α + ; iλx)] λ n i( ) (n )/2 x n α 2Γ(n α+) [ F (; n α + ; iλx) n neprno + F (; n α + ; iλx)] λ n i( ) n/2 x n α 2Γ(n α+) [ F (; n α + ; iλx) n prno + cos λx, λ R F (; n α + ; iλx)] λ n i( ) (n )/2 x n α 2Γ(n α+) [ F (; n α + ; iλx) n neprno F (; n α + ; iλx)] 83

90 Zključk U ovom rdu su predstvljene teorijske osnove rčun s diferencijlnim i integrlnim opertorim proizvoljnog relnog ili kompleksnog red ko i njihov primen u rzličitim oblstim nuke. Obrd en su dv rzličit pristup definisnju frkcionih izvod i integrl i pokzn je njihov med usobn vez, tkod e, nprvljen je i prlel u odnosu n klsični klkulus. Predstvljeno je i nekoliko model koji ilustruju primenu frkcionih opertor u modelirnju difuzionih proces i viskoelstičnih svojstv mterijl. N krju je dt krtk istorijski osvrt n nstnk i rzvoj frkcionog rčun od 7. vek p do dnšnjih dn. 84

91 Litertur [] Atnckovic, T.M. Applictions Of Frctionl Clculus in Mechnics, lecture notes. Deprtment of Mechnics, Fculty of Technicl Sciences, University of Novi Sd 27. [2] Atnckovic, T., Konjik, S., Oprnic, Lj., Zoric, D. The Cttneo type spce-time frctionl het conduction eqution. Contin. Mech. Thermodyn., to pper, 2. [3] Cputo, M. Liner models of dissiption whose Q is lmost frequency independent, Prt II. Geophys. J. R. Astr. Soc., 3: , 967. [4] Cputo, M. Elsticitá e Dissipzione. Znichelli, Bologn, 969. [5] Dnkuc, D.V., Kovincic, N.I., Spsic, D.T. A New Model for Middle Er Structures with Frctionl Type Dissiption Pttern. Proceedings of 4th IFAC Workshop on Frctionl Differentition nd Its Applictions, 2. [6] Diethelm, K. The Anlysis of Frctionl Differentil Equtions-An Appliction-Oriented Exposition Using Differentil Opertors of Cputo Type. Springer-Verlg, Berlin Heidelberg, 2. [7] Gorenflo, R., Minrdi, F. Frctionl clculus: Integrl nd differentil equtions of frctionl order. In Minrdi F. Crpinteri, A., editor, Frctls nd Frctionl Clculus in Continuum Mechnics,, volume 378 of CISM Courses nd Lectures, pges Springer-Verlg, Wien nd New York, 997. [8] Hnyg, A. Multi-dimensionl solutions of spce-frctionl diffusion equtions. Proc. R. Soc. A, 457: , 2. [9] Hnyg, A. Multi-dimensionl solutions of spce-time-frctionl diffusion equtions. Proc. R. Soc. A, 458:429-45,

92 LITERATURA [] Ionescu, C.M., Kosinski, W., De Keyser, R. Viscoelsticity nd frctl structure in model of humn lungs. Arch. Mech., 62,, pp. 2-48, Wrszw 2. [] Kilbs, A.A., Srivstv, H.M., Trujillo, J.J. Theory nd Applictions of Frctionl Differentil Equtions. Elsevier, Amsterdm, 26. [2] Klimek M. On Solutions Of Liner Frctionl Differentil Equtions Of Vritionl Type. Czestochow University of Technology, Czestochow, 29. [3] Kosinski, W., Ionescu, C.M. On frctionl time derivtives in constitutive modeling of mterils. Proceedings of 4th IFAC Workshop on Frctionl Differentition nd Its Applictions, 2. [4] Liu, F., Burrge, K. Prmeter estimtion for frctionl dynmicl models in biologicl systems. Proceedings of 4th IFAC Workshop on Frctionl Differentition nd Its Applictions, 2. [5] Mchdo, J.T., Kirykov, V., Minrdi, F. Recent history of frctionl clculus. Commun. Nonliner Sci. Numer. Simult., 6(3):4-53, 2. [6] Miller, K.S., Ross, B. An Introduction to the Frctionl Integrls nd Derivtives - Theory nd Applictions. John Willey & Sons, Inc., New York, 993. [7] Oldhm, K.B., Spnier, J. The Frctionl Clculus. Acdemic Press, New York, 974. [8] Podlubny, I. Frctionl Differentil Equtions, volume 98 of Mthemtics in Science nd Engineering. Acdemic Press, Sn Diego, 999. [9] Igor Podlubny, Bls M. Vingre Jr, YngQun Chen, Vicente Feliu Btlle, Inés Tejdo Blser. Proceedings of FDA. The 4th IFAC Workshop Frctionl Differentition nd Its Applictions Bdjoz, Spin, October 8-2, 2. [2] Smko, S.G., Kilbs, A.A., Mrichev, O.I. Frctionl Integrls nd Derivtives - Theory nd Applictions. Gordon nd Brech Science Publishers, Amsterdm, 993. [2] Vishwesh A. Vywhre, P.S.V Ntrj. Modeling Neutron Trnsport in Nucler Rector s Subdiffusion: The Neutron Frctionl-order Telegrph Eqution. Proceedings of 4th IFAC Workshop on Frctionl Differentition nd Its Applictions, 2. 86

93 Biogrfij Rod en sm 9. pril 987. godine u Ind iji. Osnovnu školu Dušn Jerković sm zvršil u Ind ijii ko nosilc Vukove diplome potom sm upisl Gimnziju u Ind iji, prirodno-mtemtički smer i mturirl s odličnim uspehom 26. godine. N Prirodno-mtemtički fkultet Univerzitet u Novom Sdu, odsek z mtemtiku, smer profesor mtemtike, upisl sm se 26. godine i diplomirl 25. vgust 2. godine s prosečnom ocenom 9.3. Nkon zvršetk osnovnih studij upisl sm mster studije n Prirodno-mtemtičkom fkultetu Univerzitet u Novom Sdu, odsek z mtemtiku. Položil sm sve ispite predvid ene nstvnim plnom i progrmom mster studij. Novi Sd, septembr 2. godine Ntš Durković 87