Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Transcript

1 Integrli Frnk Mirim Brückler

2 Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x?

3 Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk funkcij F : I R s svojstvom F (x) = f (x) z sve x I. Mor li ntiderivcij postojti? Ako postoji, im li ih više? Kko ih nći?

4 Primjer Funkcij f : R R zdn s f (x) = 3x 2 ko ntiderivciju im npr. F : R R, F (x) = x 3. No, uočimo d su primjerice i F 2 (x) = x 3 10 i F 3 (x) = x 3 + π tkoder ntiderivcije od f. Teorem Ako funkcij f : I R posjeduje ntiderivciju, ond ih im beskončno mnogo. Ako je F jedn ntiderivcij od f, ond je z svku konstntu C R funkcij F C zdn s F C (x) = F (x) + C tkoder ntiderivcij od f i sve ntiderivcije su tog oblik.

5 Primjer Uzmemo li funkciju f (x) = 1 x, lko bismo pogodili d su njene ntiderivcije oblik F C (x) = ln x + C. No, ln je definirn z x > 0, f z x 0! Z x < 0 uzmimo G(x) = ln( x) p je G (x) = 1 x = 1 x. Dkle, možemo reći d su ntiderivcije od f F C (x) = C + ln x, x I I = R.

6 Neodredeni integrl Neodredeni integrl funkcije f je skup svih njenih ntiderivcij. Oznk neodredenog integrl funkcije f, ko joj je vrijbl oznčen s x, je f (x) dx Funkcij f zove se podintegrln funkcij. Trebli bismo pisti f (x) dx = {FC : C R}, li iz prktičnih rzlog uobičjen je jednostvniji zpis: f (x) dx = F (x) + C. Konstnt C zove se konstnt integrcije. Primjer Pišemo npr. 3x 2 dx = x 3 + C.

7 Teorem (Linernost neodredenog integrl) Nek su funkcije f i g zdne n istom intervlu te K nek konstnt. Td vrijedi: (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, Kf (x) dx = K f (x) dx.

8 Pod tbličnim integrirnjem podrzumijev se integrirnje temeljem osnovne tblice integrl uz eventulno korištenje svojstv linernosti i trnsformcij podintegrlne funkcije formulm iz elementrnije mtemtike. Primjer Odredimo cos 2 x 2 dx. Znmo d je cos2 1+cos 2 = 2 p immo cos 2 x 1 2 dx = cos x dx = 2 = 1 2 dx cos x dx = x 2 + sin x 2 + C.

9 Odredeni integrli Simbolom b f (x) dx bilježimo odredeni integrl funkcije f u grnicm i b (tj. n intervlu [, b]). Ukoliko je f pozitivn i neprekidn n segmentu [, b], ond je po iznosu b f (x) dx isto što i površin omeden s osi pscis, vertiklm x = i x = b te grfom y = f (x). Ako je f neprekidn, li dijelom negtivn n tom segmentu, površine dijelov ispod osi pscis pribrjju se s negtivnim predznkom.

10 Zdtk Kolik je površin omeden grfom y = sin x izmedu x = 0 i x = 3π 2?

11 Zdtk Kolik je površin omeden grfom y = sin x izmedu x = 0 i x = 3π 2? No, odredeni (ili: Riemnnov) integrl im smisl i z mnoge funkcije koje nisu neprekidne n segmentu (području integrirnj).

12 Primjer Kolik je površin koju s x-osi ztvr grf pozitivne funkcije f : [0, L] R, koj je omeden vertiklm x = 0 i x = L? Ako f nije fin, nem jednostvnog nčin z izrčunvnje te površine. Aproksimtivno, mogli bismo intervl [0, L] podijeliti n puno dijelov širine x i ukupnu površinu proksimirti zbrojem površin prvokutnik širine x i visine f (x i ). Dobili bismo P x i f (x i ).

13 Nek je f : [, b] R nek ogrničen 1 funkcij. Podijelimo intervl [, b] n puno dijelov (kže se: nprvimo subdiviziju: = x 0 x 1... x n = b). U prvoj definiciji odredenog integrl rzmci izmedu dv susjedn x i - ne trebju biti jednki, li ćemo rdi jednostvnosti pristup uzeti d jesu: x i+1 x i = x z sve indekse i. 1 Funkcij je ogrničen n svojoj domeni ko joj se grf može ncrtti izmedu dv horizontln prvc y = m i y = M.

14 Nek je f : [, b] R nek ogrničen 1 funkcij. Podijelimo intervl [, b] n puno dijelov (kže se: nprvimo subdiviziju: = x 0 x 1... x n = b). U prvoj definiciji odredenog integrl rzmci izmedu dv susjedn x i - ne trebju biti jednki, li ćemo rdi jednostvnosti pristup uzeti d jesu: x i+1 x i = x z sve indekse i. Donj i gornj integrln (Drbouxov) sum n 1 n 1 s = m i x, S = M i x i=0 1 Funkcij je ogrničen n svojoj domeni ko joj se grf može ncrtti izmedu dv horizontln prvc y = m i y = M. i=0

15 Očigledno će z rzličite odbire subdivizije slike izgledti donekle rzličito: svk subdivizij odreduje po jednu gornju i jednu donju sumu. Ndlje, intuitivno je jsno d što je mnji x (uži prvokutnici) to će gornj i donj sum biti bliže točnoj površini izmedu grf funkcije i osi pscis (odnosno tmo gdje je funkcij negtivn, bit će bliže točnoj površini s predznkom minus).

16 Definicij (Odredeni (Riemnnov) integrl) Gornji integrl I ogrničene funkcije f : [, b] R je limes gornjih integrlnih sum kd x 0 (ko tj limes postoji). Donji integrl I ogrničene funkcije f : [, b] R je limes donjih integrlnih sum kd x 0 (ko tj limes postoji). Ako postoje i gornji i donji integrl i jednki su, ond se broj I = I = I zove odredenim (ili Riemnnovim) integrlom funkcije f : [, b] R i oznčv s b f (x) dx; kžemo d je f (Riemnn-)integrbiln n segmentu [, b]. Brojevi i b zovu se grnice (donj i gornj) odredenog integrl b f (x) dx.

17 Osnovn svojstv odredenog integrl f (x) dx = 0 z svku funkciju f definirnu u (jer površin dužine iznosi 0); b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx z c [, b] (površinu možemo rzbiti n dv dijel vertiklom x = c); ne ssvim očito, li tkoder direktno iz definicije 2 slijedi i b f (x) dx = b f (x) dx (zmjen grnic integrl mijenj predznk odredenog integrl). 2 Rdi se o sljedećem: u definiciji smo od do b išli tko d je svki sljedeći x i bio veći, tj. uz pozitivn x. Ako pk trebmo ići od b do mormo ići ulijevo, tj. dodvti negtivn x.

18 Tkoder, ko je f zdn n simetričnom segmentu [ c, c] i prn je ili neprn, immo još dv korisn svojstv: Nek je f : [ c, c] R integrbiln n [ c, c]. Ako je f prn, ond je c c f (x) dx = 2 f (x) dx, c 0 ko je f neprn, ond je c c f (x) dx = 0.

19 Tkoder, ko je f zdn n simetričnom segmentu [ c, c] i prn je ili neprn, immo još dv korisn svojstv: Nek je f : [ c, c] R integrbiln n [ c, c]. Ako je f prn, ond je c c f (x) dx = 2 f (x) dx, c 0 ko je f neprn, ond je c c f (x) dx = 0. Ako je f : [, b] R funkcij koj im njviše končno mnogo točk prekid u segmentu [, b], ond je on integrbiln n [, b], tj. može se izrčunti b f (x) dx. Ako su sve točke prekid c 1, c 2,..., c m (nbrojne po veličini, tj. < c 1 < c 2 <... < c m < b), ond je b f (x) dx = c1 c2 b f (x) dx + c 1 f (x) dx f (x) dx. c m

20 Tkoder, ko je f zdn n simetričnom segmentu [ c, c] i prn je ili neprn, immo još dv korisn svojstv: Nek je f : [ c, c] R integrbiln n [ c, c]. Ako je f prn, ond je c c f (x) dx = 2 f (x) dx, c 0 ko je f neprn, ond je c c f (x) dx = 0. Ako je f : [, b] R funkcij koj im njviše končno mnogo točk prekid u segmentu [, b], ond je on integrbiln n [, b], tj. može se izrčunti b f (x) dx. Ako su sve točke prekid c 1, c 2,..., c m (nbrojne po veličini, tj. < c 1 < c 2 <... < c m < b), ond je b f (x) dx = c1 c2 b f (x) dx + c 1 f (x) dx f (x) dx. c m Iz derivbilnosti slijedi neprekidnost, iz neprekidnosti integrbilnost.

21 Teorem (Osnovni teorem infinitezimlnog rčun) Nek je reln funkcij f neprekidn n segmentu [, b]. Td je formulom F (x) = x f (t) dt, x [, b] definirn funkcij F i on je ntiderivcij z f n, b. Ndlje, z svku ntiderivciju F od f vrijedi Newton-Leibnizov formul b f (x) dx = F (x) b = F (b) F (). Iz tog slijedi:

22 Zprvo je smo jedn integrl Korolr Z relnu funkciju f neprekidnu n [, b] i njenu ntiderivciju F vrijedi: x F (x) = F () + f (t) dt, x [, b], ( x f (x) = f (t) dt). U terminim neodredenih integrl: ( ) d f (x) dx = f (x), dx df dx = f (x) + C. dx

23 Posljedic Newton-Leibnizove formule je d i odredeni integrl, ko i neodredeni, im svojstvo linernosti: b (f (x) + g(x)) dx = b b Kf (x) dx = K b f (x) dx + b f (x) dx. g(x) dx,

24 Posljedic Newton-Leibnizove formule je d i odredeni integrl, ko i neodredeni, im svojstvo linernosti: b (f (x) + g(x)) dx = b b Kf (x) dx = K b f (x) dx + b f (x) dx. g(x) dx, Primijetimo d Newton-Leibnizov formul vrijedi smo z neprekidne funkcije, no može se (temeljem propozicije??) primijeniti i z funkcije s končno mnogo točk prekid c 1, c 2,..., c m [, b]. Uz oznke c 0 = i c m+1 = b dobivmo formulu b m ci+1 f (x) dx = f (x) dx = c i+1 F i (x) c i i i=0 c i, gdje su F i ntiderivcije od f n pojedinim podintervlim.

25 Primjer Nek je zdn funkcij f : R R s e x, x > 0 f (x) = x 2, 1 < x 0 x + 2, x 1 Izrčunjmo 2 2 f (x) dx..

26 Prcijln integrcij u dv = uv d du (uv) = dx dx v + u dv dx u dv dx = d du (uv) dx dx v v du ( u(x)v (x) dx = u(x)v(x) v(x)u (x) dx).

27 Prcijln integrcij u dv = uv d du (uv) = dx dx v + u dv dx u dv dx = d du (uv) dx dx v v du ( u(x)v (x) dx = u(x)v(x) v(x)u (x) dx). Njčešći slučjevi primjene ovog prvil su sljedeći: Funkcij u im reltivno jednostvnu derivciju, dv = dx; Funkcij u je potencij od x (u prvilu u(x) = x n, n N), dv je eksponencijln ili trigonometrijsk funkcij pomnožen s dx; Funkcij u je nek logritmsk funkcij, dv je oblik x n dx z n R.

28 Metod supstitucije Lnčno prvilo: df dx = df dy dy dx ; Nek je df dy = f (y) pri čemu je y = y(x). Slijedi df = f (y(x))y (x) dx odnosno (jer df = f (y) dy) f (y) dy = f (y(x))y (x) dx, dkle: f (y(x))y (x) dx = f (y) dy. Primjer dx x+b =? Primjer xe x 2 dx =?

29 Integrirnje rcionlnih funkcij Primjer Zdn je integrl x 3 dx. Prvo dijelimo x 2 1 i osttk je x te je x 3 : (x 2 1) = x dkle x 3 x 2 1 = x + x x 2 1, x 3 x 2 1 = x x x 2 1 dx. Dkle: Ukoliko je brojnik rcionlne funkcije stupnj većeg ili jednkog stupnju nzivnik, prvi kork je dijeljenje brojnik s nzivnikom kko bismo izdvojili polinomijlni dio.

30 Integrirnje prvih rcionlnih funkcij Ukoliko treb integrirti prvu rcionlnu funkciju, koristi se rstv n prcijlne rzlomke, u kombinciji s metodom supstitucije i tbličnim integrirnjem. Rstv n prcijlne rzlomke rcionlne funkcije p(x) q(x) je njezin zpis u obliku zbroj rzlomk koji su oblik A (x + b) k ili Ax + B (x 2 + bx + c) k.

31 Isključivo jednostruke relne nultočke nzivnik Njjednostvniji slučj: q(x) im točno onoliko (rzličitih) relnih nultočk koliki mu je stupnj. U tom slučju možemo dobiti rstv oblik p(x) q(x) = n i=1 A i i x + b i, gdje su i x + b i rzličiti fktori nzivnik, treb odrediti konstntne brojnike A 1,..., A n. Ilustrirjmo to nstvkom primjer Primjer x x 2 1 = A x 1 + B x + 1 / (x 2 1) x = A(x + 1) + B(x 1). Uvrstimo x = 1 i x = 1 i dobivmo 1 = 2A,

32 Isključivo relne nultočke nzivnik Ako se u q(x) neki fktor i x + b i pojvljuje s potencijom k većom od 1, tom fktoru odgovr k prcijlnih rzlomk po principu p(x) (x + b) k = B 1 x + b + B 2 (x + b) B k 1 (x + b) k 1 + B k (x + b) k. Primjer Izrčunjmo integrl x (2x + 3)(x 3) 2 dx. Primijetimo: kd god q(x) im smo relne nultočke, integrirnje rcionlne funkcije se svodi n integrirnje funkcij oblik (x + b) n dx koje je lko integrirti linernom supstitucijom.

33 Kompleksne nultočke nzivnik U slučju d q(x) nem smo relne nultočke u rstvu se po Ax+B sličnom principu pojvljuju prcijlni rzlomci oblik, (x 2 +bx+c) k tj. prcijlni rzlomci kojim su brojnici fine funkcije, nzivnici potencije promtrnog fktor. Primjer Izrčunjmo dx (x 2 +1)(x 1).