MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013.

2 Ovaj rad izraden je na Zavodu za algebru i osnove matematike na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno matematičkog fakulteta, pod vodstvom prof. dr. sc. Gorana Muića i predan je na natječaj za dodjelu Rektorove nagrade u akademskoj godini 2012./2013.

3 Sadržaj Uvod 1 1 Algebarski skupovi u afinom prostoru Osnovni pojmovi iz algebre Faktorizacija i derivacija polinoma Dodatni pojmovi iz algebre Faktorizacija polinoma Derivacija polinoma Hilbertov teorem o bazi Algebarski skupovi Hilbertov teorem o nulama Rastav u ireducibilne komponente Ravninski algebarski skupovi Afine mnogostrukosti Osnovni pojmovi Racionalne funkcije i lokalni prsteni Dodatni algebarski pojmovi i rezultati Ravninske krivulje Regularne i singularne točke

4 2.5 Multipliciteti presjeka Algoritam za računanje multipliciteta presjeka Posebne klase krivulja Drukčija definicija multipliciteta presjeka Osnovno o formalnim redovima Multipliciteti presjeka i formalni redovi Primjer primjene Projektivne mnogostrukosti Osnovni pojmovi Veza afinih i projektivnih mnogostrukosti Ravninske krivulje i Bézoutov teorem Afine i projektivne krivulje Projektivni i afini prostori Dualnost Afini prostori Afine krivulje Krivulje u projektivnoj ravnini Veza izmedu algebarskih i afinih krivulja Rezultanta dvaju polinoma Singulariteti Sjecišta krivulja Racionalne krivulje Definicija i karakterizacije Dovoljan uvjet za racionalnost krivulje Kvadratne transformacije

5 5.4 Algoritam za odredivanje racionalnosti ravninske krivulje Primjeri Bibliografija 176 Sažetak 179 Summary 181

6 Uvod Ovaj rad počinje s detaljnim pregledom pojmova i rezultata iz opće algebre koji su nam potrebni u razvoju pojmova iz algebarske geometrije ključnih za proučavanje multipliciteta presjeka dviju afinih ravninskih krivulja. To se sve nalazi u poglavlju 1 te je većina napravljena prema uzoru na tipičnu knjigu iz algebre, [12] te predavanja [23]. U poglavlju 2 najprije definiramo najosnovnije algebarsko geometrijske pojmove kao što su mnogostrukost, racionalna funkcija, lokalni prsten i sam pojam krivulje. Dakle, to su sekcije 2.1, 2.2, 2.3 te 2.4, uglavnom su korištene moderne knjige algebarske geometrije, kao što su [3], [6], [9], [21] te [22], naravno, uz predavanja [18]. Zanimljivih stvari o tome ima takoder i u člancima [14] i [15]. Sada dolazimo na prvu ključnu (od tri) točku u ovome radu, to su sekcije 2.5, 2.6 te 2.7. Sekcija 2.5 je u potpunosti napravljena prema izvrsnoj knjizi [8] te je u njoj dana algebarska definicija multipliciteta presjeka dviju afinih ravninskih krivulja F i G u točki P, u oznaci: I (P, F G). Za još apstraktniji pristup istoj temi te objašnjenja čemu nam uopće služi pojam multipliciteta valja pogledati knjige [7] i [13], u drugoj su navedena neka pitanja koja su ljude dovela do pojma multipliciteta. Ključan dio te sekcije je teorem koji nam daje eksplicitnu formulu za definirani multiplicitet: ( ( I (P, F G) = dim ) K OP A 2 / (F, G) ). 1

7 UVOD 2 No, sam dokaz tog teorema je još plodonosniji jer u njemu nailazimo na postupak koji nam daje algoritam za računanje multipliciteta koji se svodi na elementarne aritmetičke operacije nad polinomima. O načinu izračunavanja multipliciteta postoji mnošto literature, navodimo samo dio. Knjige [10] i [11], članci [2] i [19], a zanimljive stvari se mogu naći i na [1], [5] i [16]. Cijela sekcija 2.6 je posvećena upravo tom algoritmu. U njoj se nalazi prvi značajniji originalni doprinos ovoj temi. Ključne stvari su algoritam (2.6) napisan u programskom jeziku C te teorem Odmah nakon algoritma su navedeni primjeri na kojima je on testiran, njegova valjanost je, jasno, precizno objašnjenja tokom procesa dolaska do samog algoritma. Spomenuti teorem nam daje svojevrsnu motivaciju za ono što slijedi u sekciji 2.7. Tu dajemo drugu definiciju multipliciteta presjeka, onu koja je više geometrijske prirode, nju možemo naći u knjizi [24]. Spomenimo da u [4] možemo naći ponešto o računanju takozvanih Serreovih multipliciteta, no mi se ovdje time nećemo baviti. Ono što slijedi je prvi centralni originalni razultat u ovome radu, a to je dokaz teorema koji nam govori da su dvije definicije multipliciteta presjeka (algebarska i geometrijska) koje smo obradili, jednake. Preciznije, teorem kaže da za multiplicitet presjeka krivulja F i G u točki P = (0, 0), pri čemu je barem jedna od krivulja dovoljno lijepa (što znači da o njoj možemo reći sve samo na osnovu geometrijskih svojstava) vrijedi: ( ( dim ) K O(0, 0) A 2 / (F, G) ) = ν G X, a k X k, pri čemu je f (X) = a k X k jedinstven takav da je F (X, f (X)) = 0 te ν (g) = + ako je k=1 g = 0, a ako je g 0, onda je to najveći n Z 0 takav da X n g, u K [[X]], za g K [[X]]. Spomenimo još kako je sve potkrijepljeno mnoštvom primjera, od kojih je većina vezana uz algoritam, ključan je primjer Podsekcija 2.7 nam prikazuje lijep primjer u kojemu se očitava korisnost teorema 2.7.9, tj. činjenice da su algebarska i geometrijska definicija multipliciteta presjeka medusobno jednake (kada god geometrijska ima smisla). k=1

8 UVOD 3 Poglavlje 3 služi kao uvod u teoriju projektivnih mnogostukosti. Njihova glavna svrha (ona radi koje su uvedene) je da se u projektivnoj ravnini krivulje ponašaju puno bolje nego u afinoj. Preciznije, projektivnu ravninu možemo gledati kao globalnu situaciju, dok je afina lokalna. One krivulje koje se ne sijeku u afinoj ravnini, ali se asimptotski približavaju jedna drugoj, u projektivnoj ravnini se sijeku i za njih kažemo da se sijeku u beskonačnosti. Uz većinu do sada navedene literature, ovdje je još dobro istaknuti knjigu [17]. Ključni dio ovog poglavlja je Bézoutov teorem (3.2.6), koji je svojevrsno poopćenje osnovnog teorema algebre. U nastavku rada se fokus stavlja na pojam racionalnih krivulja te metoda za odredivanje racionalnosti. U poglavlju 4 ponavljamo osnovne definicije iz algebarske geometrije, poput pojmova projektivnog i afinog prostora, afine i projektivne krivulje te dajemo neke osnovne rezultate. Većina rezultata iz ovog poglavlja se može naći u knjizi [24], predavanjima [18], te neke osnovne algebarske činjenice u [12]. Treba istaknuti kako se u sekciji 4.6 daju dokazi dvaju teorema o sjecištima krivulje i pravaca kroz odredenu točku koji omogućuju efikasnu upotrebu algoritma koji se predstavlja u poglavlju 5. U petom poglavlju definiramo racionalnu krivulju u afinoj ravnini kao ireducibilnu krivulju koja se može parametrizirati racionalnim funkcijama. Preciznije, zahtjev je da postoje racionalne funkcije ϕ, ψ takve da se definirajući polinom ove krivulje poništava u (ϕ (t), ψ (t)). Definicija je uzeta iz [21], no treba napomenuti da se poopćenje ove definicije na algebarsku mnogostrukost proizvoljne dimenzije ne uzima za definiciju racionalnosti, već za takve mnogostrukosti kažemo da su uniracionalne, a racionalne mnogostrukosti su one koje su biracionalno ekvivalentne projektivnom prostoru iste dimenzije. Zbog toga dajemo dokaz Lürothovog teorema koji povlači da su definicije racionalnosti i uniracionalnosti u slučaju krivulja u ravnini ekvivalentne. Štoviše, ova ekvivalencija vrijedi isključivo za mnogostrukosti dimenzija 1. Više o tom, tzv. Lürothovom problemu se može naći u [21].

9 UVOD 4 Dalje u radu dolazimo do još jedne karakterizacije racionalnih krivulja, izuzetno važne za primjene. Teorem iz [24] kaže da je krivulja stupnja n koja nema složenih singulariteta racionalna ako i samo ako je (n 1) (n 2) = r i (r i 1), pri čemu su r i multipliciteti singularnih točaka krivulje. Dokaz dovoljnosti je konstruktivan, i iako su metode nalaženja parametrizacija racionalnih krivulja od golemog značenja, u ovom radu smo se ograničili na odredivanje racionalnosti. Više o nalaženju parametrizacija se može naći npr. u članku [20]. Sada kada imamo praktičan kriterij za odredivanje racionalnosti krivulje, prirodno se postavlja pitanje, možemo li na sličan način odrediti racionalnost ukoliko krivulja ima složeni singularitet i ovdje dolazimo do posljednjeg ključnog dijela rada. Odgovor je da postoji metoda kojom krivulju sa složenim singularitetima možemo izmijeniti tako da nova krivulja nema složenih singulariteta, a da sam postupak transformacije ne mijenja racionalnost. Pred kraj poglavlja predstavljamo algoritam koji to čini. Algoritam je temeljen na Walkerovom dokazu tvrdnje da se svaka krivulja može nizom kvadratnih transformacija prevesti u krivulju koja ima samo jednostavne singularitete. Na samom kraju, u dva primjera provodimo algoritam na konkretnim racionalnim krivuljama.

10 Poglavlje 1 Algebarski skupovi u afinom prostoru 1.1 Osnovni pojmovi iz algebre Definicija Prsten je neprazan skup R snabdjeven s dvije binarne operacije, + (zbrajanje) i (množenje), takve da vrijedi: (i) (R, +) je Abelova grupa, tj. vrijedi: (a) (asocijativnost) a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c R, (b) postoji element 0 R R takav da je a + 0 R = 0 R + a = a, a R, (c) za svaki a R postoji a R takav da je a + ( a) = a + a = 0, (d) (komutativnost, tj. Abelovo svojstvo) a + b = b + a, a, b R, (ii) (asocijativnost) a (b c) = (a b) c, a, b, c R, (iii) (distributivnost) a (b + c) = a b + a c i (a + b) c = a c + b c, a, b, c R. Potprsten prstena R je svaki podskup prstena R koji je zatvoren s obzirom na operacije zbrajanje i množenja te je i sam prsten, uz iste operacije. 5

11 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 6 Napomena U ovom radu smatrati ćemo da je prsten uvijek komutativan i da ima jedinicu (različitu od nule). Odnosno, a b = b a, a, b R te 1 R R, a 1 R = 1 R a = a, a R, 1 R 0 R. Takoder, kraće ćemo pisati 0 = 0 R i 1 = 1 R. Nadalje, znak za množenje će uglavnom biti izostavljen, tj. pisati ćemo ab umjesto a b. Za r R i cijeli broj n uvedimo oznaku nr takvu da je nr = r + r r, ako je n > 0, n puta nr = 0, ako je n = 0 te nr = (( n) r), ako je n < 0. Takoder, neka je r 0 = 1 te, za n > 0, r n = r r... r. U prstenu R vrijedi sljedeće: n puta 0 a = 0, a R, ( a) b = a ( b) = (ab), a, b R, ( a) ( b) = ab, a, b R, (na) b = n (ab), n Z, a, b R, n (binomni teorem) (a + b) n = a k b n k, n Z, n 0, a, b R, k=0 ovdje je sa Z označen skup cijelih brojeva. Definicija Neka je R prsten. Pretpostavimo da postoji prirodan broj n takav da je nr = 0, za svaki r R. Najmanji takav prirodan broj n nazivamo karakteristika prstena R i pišemo char (R) = n. Ukoliko takav prirodan broj ne postoji, onda je char (R) = 0. Primijetimo da je karakteristika prstena R zapravo najmanji prirodan broj n (Ukoliko takav postoji.) takav da je n 1 = 0.

12 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 7 Definicija Neka su R i S prsteni. Funkcija f : R S je homomorfizam prstenova (R i S ) ako: f (a + b) = f (a) + f (b) i f (ab) = f (a) f (b), a, b R. Napomena Za gore definirani homomorfizam (Često će biti ispuštena riječ prstenova.) ćemo dodatno podrazumijevati da vrijedi f (1 R ) = 1 S. Ukoliko je homomorfizam injektivan (surjektivan, bijektivan) nazivati ćemo ga monomorfizam (epimorfizam, izomorfizam). Za monomorfizam f : R S ćemo reći da je ulaganje prstena R u prsten S, a za izomorfizam f : R R ćemo reći da je automorfizam prstena R. Ukoliko postoji izomorfizam izmedu prstena R i S, onda ćemo reći da su oni izomorfni i to ćemo označavati s R S. Definicija Element 0 a R se zove djelitelj nule ako postoji 0 b R takav da je ab = 0. Element a R je invertibilan ako postoji b R takav da je ab = 1. Definicija Integralna domena je prsten koji nema djelitelja nule. Polje je integralna domena u kojoj je svaki element različit od nule invertibilan. Primijetimo da u integralnoj domeni vrijedi zakon kraćenja, tj. ako za a, b, c R vrijedi ac = bc i c 0, tada je a = b. Nadalje, jednostavnosti radi, standardno ćemo označavati skup cijelih brojeva (To je primjer integralne domene.) sa Z, skup nenegativnih cijelih brojeva sa Z 0, skup prirodnih brojeva s N, skupove racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva (Što su sve primjeri polja.) redom s Q, R i C. Definicija Polje razlomaka K integralne domene D jest polje čiji elementi su klase ekvivalencije elemenata iz D (D {0}) inducirane relacijom: ( a, b ) (a, b) a b = ab,

13 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 8 stavljamo a b = { ( a, b ) D (D {0}) : ( a, b ) (a, b) }, uz zbrajanje i množenje: a 1 b 1 + a 2 b 2 = a 1b 2 + b 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 1 a2 b 2 = a 1a 2 b 1 b 2. Napomena Gornja definicija je dobra za svaku integralnu domenu R, diskusije i dokaz te činjenice se mogu naći u [12]. U smislu gornje definicije, D je potprsten od K, jednostavno a D identificiramo s a 1. Stavimo li D = Z vidimo da je K = Q. Definicija Neka je R prsten. Prsten polinoma u varijabli X je prsten R [X] koji se sastoji od svih nizova u R koji imaju najviše konačno mnogo članova različitih od 0 uz operacije, za polinome f = (a 0, a 1, a 2,...) i g = (b 0, b 1, b 2,...), dane s: f + g = (a 0 + b 0, a 1 + b 1, a 2 + b 2,...), f g = (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0,..., n a k b n k,...). k=0 n-to mjesto Nadalje, X := (0, 1, 0, 0,...) te X 0 := (1, 0, 0,...). Brojeve a 0, a 1, a 2,... nazivamo koeficijentima polinoma f. Napomena Vrijedi da je 0 R[X] = (0, 0, 0,...) te 1 R[X] = (1, 0, 0,...). Za a R identificiramo (a, 0, 0,...) = a te time dobivamo da je R potprsten od R [X]. Nadalje, skup svih invertibilnih elemenata u R [X] jednak je skupu svih invertibilnih elemenata u R. Definicija Neka je f polinom kao gore. Ukoliko postoji d Z 0 takav da je a d 0, najveći takav d nazivamo stupanj polinoma f i pišemo d = deg ( f ). Ukoliko takav d ne postoji onda taj polinom nazivamo nul polinomom i za njega stupanj ne definiramo. Polinomi iz definicije su jednaki ako i samo ako je a k = b k, za svaki k Z 0. Nadalje, nul polinom označavamo jednostavno s 0, neka f nije nul polinom i neka je d = deg ( f ). Lako se vidi da za n Z 0 vrijedi da je X n = (0,..., 0, 1, 0,...). Sada n-to mjesto

14 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 9 standardno pišemo f = (a 0, a 1, a 2,...) = a 0 + a 1 X + a 2 X a d X d = f (X). Ukoliko je R integralna domena, tada je i R [X] integralna domena te vrijedi da je deg ( f g) = deg ( f ) + deg (g), za sve polinome f i g, različite od nul polinoma. Napomena Pomoću definicije sada lako induktivno definiramo prsten polinoma u više varijabli: R [X 1, X 2 ] = R [X 1 ] [X 2 ],..., R [X 1, X 2,..., X n ] = R [X 1,..., X n 1 ] [X n ], n N, n 3. Neka je f = f (X 1, X 2,..., X n ) R [X 1, X 2,..., X n ]. Neka je k {1, 2,..., n}, promatrajmo R [X 1, X 2,..., X n ] kao R [X 1,..., X k 1, X k+1,..., X n ] [X k ]. U smislu definicije , f možemo napisati kao ( f 0, f 1, f 2,...). Sada, kao u definiciji definiramo deg Xk ( f ), stupanj polinoma f u varijabli X k. Konačno dolazimo do standardnog načina zapisivanja polinoma, ukoliko je f nul polinom označavamo ga s 0. Ako f nije nul polinom, neka je d = deg Xk ( f ), tada pišemo: f (X 1, X 2,..., X n ) = d f l (X 1,..., X k 1, X k+1,..., X n ) X l k. l=0 Opet, ukoliko je R integralna domena, tada je i R [X 1, X 2,..., X n ] integralna domena. Pripadajuće polje razlomaka označavamo s R (X 1, X 2,..., X n ) i nazivamo polje racionalnih funkcija. Propozicija (Univerzalno svojstvo). Neka su R i S prsteni, ϕ : R S homomorfizam prstenova te n N. Nadalje, neka su s 1, s 2,..., s n S, tada postoji jedinstveni homomorfizam ϕ : R [X 1, X 2,..., X n ] S takav da je ϕ R = ϕ (U smislu napomene ) i ϕ (X k ) = s k, k {1, 2,..., n}. Dokaz. Može se naći u [12] na stranici 152, Theorem 5.5.

15 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 10 Neka je f (X 1, X 2,..., X n ) R [X 1, X 2,..., X n ]. Stavimo da je S = R te pogledajmo što je ϕ ( f ). Dobiti ćemo da je to jednako vrijednosti polinoma f (shvaćenog kao funkcije s R n u R) u točki (s 1, s 2,..., s n ), u oznaci f (s 1, s 2,..., s n ). Definicija Upravo opisani homomorfizam nazivamo evaluacija polinoma u točki r = (s 1, s 2,..., s n ) te označavamo s ϕ r. Definicija Polinomi oblika X k 1 1 Xk 2 2 Xk n n, gdje su k 1, k 2,..., k n nenegativni cijeli brojevi, u prstenu R [X 1, X 2,..., X n ] nazivaju se monomi. Stupanj monoma definiramo kao k 1 + k k n. Neka su k 1, k 2,..., k n nenegativni cijeli brojevi, uvodimo oznake X (k) = X k 1 1 Xk 2 2 Xk n n te k = k 1 + k k n. Lako se vidi da svaki polinom f R [X 1, X 2,..., X n ] ima jedinstven zapis u obliku f = a (k) X (k), gdje su a (k) R i X (k) monomi. Kako je deg Xk ( f ) k =0 konačan za sve k = 1, 2,..., n vidimo da je gornja suma zapravo konačna. Definicija Reći ćemo da je polinom f homogen, stupnja (homogenosti) d Z 0, ako su u gornjem prikazu svi koeficijenti a (k) jednaki nula, osim eventualno onih gdje je k = d. Napomena Primijetimo da je prema gornjoj definiciji nul polinom homogen bilo kojeg stupnja. Nadalje, svaki polinom f ima jedinstven prikaz f = f 0 + f f d, gdje je f k homogen polinom stupnja k. Najveći d Z 0 takav da je f d 0 (Takav uvijek postoji, osim za nul polinom, ali za njega stupanj ne definiramo.) nazivamo stupnjem polinoma f i pišemo deg ( f ) = d. Ukoliko je R integralna domena, vidimo da je i R [X 1, X 2,..., X n ] integralna domena te da je deg ( f g) = deg ( f ) + deg (g), gdje su f i g polinomi, različiti od nul polinoma.

16 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU Faktorizacija i derivacija polinoma Imajmo na umu da nama prsten uvijek predstavlja komutativan prsten s jedinicom, koja je različita od nule. Neke od sljedećih definicija su za obični prsten (Dakle, onaj koji možda nije komutativan ili nema jedinicu ili je ima, ali je ona jednaka nuli.) nešto drukčije ili čak uopće nemaju smisla. Uvedimo dodatnu oznaku za skup invertibilnih elemenata prstena R, neka to bude R *. Dodatni pojmovi iz algebre Definicija Element a u prstenu R je ireducibilan ako je različit od nule, nije invertibilan te za svaku faktorizaciju a = bc, gdje su b, c R slijedi da je ili b R * ili c R *. Definicija Neka je R prsten te neka su a, b R i b 0. Kažemo da element b dijeli element a, to označavamo s b a, ako postoji c R takav da je a = bc. Definicija Neka je R prsten. Kažemo da su elementi a, b R {0} asocirani ako postoji c R * takav da je a = bc. Neka je D integralna domena. Primijetimo da su a, b D {0} asocirani ako i samo ako a b i b a. Naime, a b i b a ako i samo ako postoje c, d D takvi da je b = ac i a = bd. Sada imamo da je a = bd = acd, a to je ako i samo ako je a (1 cd) = 0, a pošto smo u integralnoj domeni i a 0, zaključujemo da je cd = 1, dakle, c, d D *. Definicija Integralna domena D je domena jedinstvene faktorizacije (faktorijalna domena), kraće DJF, ako za svaki a D, takav da je a 0 i a D *, postoje n N te a 1, a 2..., a n ireducibilni elementi iz D takvi da je a = a 1 a 2 a n. Nadalje, vrijedi jedinstvenost prikaza, tj. ako su m N i b 1, b 2,..., b m ireducibilni elementi iz D takvi da je a = b 1 b 2 b m, tada je m = n i postoji permutacija π skupa {1, 2,..., n} takva da su, za svaki k {1, 2,..., n}, a k i b π(k) asocirani.

17 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 12 Lema Neka je R faktorijalna domena i neka je K njezino polje razlomaka. Tada se svaki element z K može prikazati u obliku z = a, gdje su a, b R, b 0 i koji nemaju b zajedničkih faktora. Tj. ne postoji c R R *, c 0 takav da c a i c b. Takav prikaz je jedinstven do na množenje invertibilnim elementima iz R. Dokaz. Neka je a b, gdje su a, b R, b 0, bilo koji reprezentant klase z K. Ukoliko je b R * tvrdnja je očita, kao što je očita i ako je a = 0 ili a R *. Pretpostavimo da je a 0 i a, b R *. Tada postoje jedinstveni m, n N i ireducibilni, jedinstveni do na poredak i množenje invertibilnim elementima, a 1, a 2,..., a m R te b 1, b 2,..., b n R takvi da je a = a 1 a 2 a m i b = b 1 b 2 b n. Konačno, dobivamo tražene a i b iz a i b tako da iz prikaza a, odnosno b izbacimo sve parove (a k, b l ), gdje su k {1, 2,..., m}, l {1, 2,..., n}, koji su asocirani. Definicija Neka je R prsten i I njegov potprsten. Kažemo da je I ideal u R ako je, za svaki r R i za svaki x I, rx I. Ideal I je pravi ideal u R ako je I R. Pravi ideal I u R je maksimalan ideal ako nije sadržan u niti jednom većem pravom idealu. Pravi ideal I u R je prost ideal ako vrijedi: ako su a, b R takvi da je ab I, tada je a I ili b I. Primijetimo da je pravi ideal I u prstenu R maksimalan ako i samo ako za svaki ideal J u prstenu R, takav da je I J R, vrijedi da je J = I ili J = R. Nadalje, primijetimo da je ideal I pravi ako i samo ako je I R * =. Definicija Neka su R i S prsteni te ϕ : R S homomorfizam. Slika homomorfizma ϕ, u oznaci Im (ϕ), je skup {ϕ (r) : r R} S. Jezgra homomorfizma ϕ, Ker (ϕ), je skup ϕ 1 (0) = {r R : ϕ (r) = 0} R. Napomena Lako se vidi da je Ker (ϕ) ideal u R. Takoder, ϕ je monomorfizam ako i samo ako je Ker (ϕ) = {0}.

18 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 13 Neka je S bilo koji podskup prstena R, sa S označavamo najmanji ideal u R koji sadrži S. On uvijek postoji i jednak je presjeku svih ideala u R koji sadrže S (R je uvijek primjer jednog takvog). Jasno je da je presjek bilo koje (neprazne) familije ideala u R ponovno ideal u R. Nadalje, znamo točno kako izgleda taj ideal: n S = r k s k : n N, r 1,..., r n R, s 1,..., s n S. k=1 Definicija Ideal I u prstenu R je konačno generiran, ako postoji konačan podskup S R takav da je I = S. U tom slučaju, ako je, za n N, S = {r 1, r 2,..., r n }, pišemo I = (r 1, r 2,..., r n ). Ideal je glavni ako je generiran s jednim elementom. Integralna domena u kojoj je svaki ideal glavni naziva se domena glavnih ideala, kraće DGI. Napomena Svaka domena glavnih ideala je faktorijalna domena. Skup Z je DGI, takoder, ako je K polje, prsten polinoma u jednoj varijabli nad poljem K, K [X] je DGI. Glavni ideal I = (r) u DJF R je prost ako i samo ako je r ireducibilan (ili nula) element u DJF R. Definicija Element p u prstenu R je prost ako je različit od nule, nije invertibilan te ako za neke a, b R vrijedi da p ab onda p a ili p b. Napomena U prstenu R, svaki prost element je ireducibilan. Ako je R DGI, onda vrijedi i obratno, tj. svaki ireducibilan element u R je prost. Definicija Neka je R prsten. Za a, b R kažemo da su relativno prosti ako ne postoji c R takav da je c 0, c R *, c a i c b. Definicija Neka je I ideal u prstenu R. Kvocijentni prsten je skup R/I čiji elementi su klase ekvivalencije skupa R, inducirane relacijom: a b a b I, a, b R. Njegove elemente označavamo sa, za r R, r + I, ili kraće r, a operacije su, za r, r R: (r + I) + ( r + I ) = ( r + r ) + I i (r + I) ( r + I ) = rr + I.

19 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 14 Napomena Gornja definicija je dobra, što se može naći u [12]. Ukoliko je R komutativan prsten s jedinicom (Što u ovom radu uvijek jest!) i I ideal u R, onda je i R/I komutativan prsten s jedinicom. Pravi ideal I u R je prost ako i samo ako je R/I integralna domena, odnosno maksimalan ako i samo ako je R/I polje. Iz ovoga zaključujemo: svaki maksimalni ideal u prstenu R je prost. Primijetimo da ukoliko je R komutativan prsten s jedinicom, različitom od nule (U ovom radu je to uvijek tako!) i I ideal u R, onda je i R/I komutativan prsten s jedinicom, no ona sada ne mora biti različita od nule. Uzmimo npr. I = R. Definicija Neka je R prsten i I ideal u R. Kanonski epimorfizam prstena R u kvocijentni prsten R/I je preslikavanje π : R R/I dano s π (r) = r + I, za svaki r R. Lako se vidi da kanonski epimorfizam uistinu jest epimorfizam s prstena R na prsten R/I. Propozicija (Prvi teorem o izomorfizmu). Neka su R i S prsteni te ϕ : R S homomorfizam. Neka je I ideal u R takav da je I Ker (ϕ). Tada postoji jedinstven homomorfizam ϕ : R/I S takav da je ϕ = ϕ π. Nadalje, Im (ϕ) = Im (ϕ) i Ker (ϕ) = Ker (ϕ) /I. ϕ je izomorfizam ako i samo ako je ϕ epimorfizam i I = Ker (ϕ). Dokaz. U [12], stranica 125, Theorem 2.9. Neka je D integralna domena i neka je p = char (D). Neka je ϕ : Z D jedinstven homomorfizam. On postoji i jedinstven je, zato što mora biti ϕ (1) = 1. Sada lako vidimo da je Ker (ϕ) = (p). No, D je integralna domena, iz čega zaključujemo da je ideal (p) prost u Z. Odnosno, karakteristika integralne domene može biti samo prost broj ili nula. Neka je K polje te n N i I pravi ideal u K [X 1, X 2,..., X n ]. Kako je I pravi ideal, vidimo da I ne sadrži niti jedan element polja K, u suprotnom I ne bi bio pravi ideal.

20 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 15 Promatrajmo kanonski epimorfizam π : K [X 1, X 2,..., X n ] K [X 1, X 2,..., X n ] /I i njegovu restrikciju na polje K, π K. Jasno je da je π K ulaganje polja K u K [X 1, X 2,..., X n ] /I. Dakle, polje K je potprsten prstena K [X 1, X 2,..., X n ] /I. Konačno, K [X 1, X 2,..., X n ] /I je vektorski prostor nad poljem K. Definicija Neka je D integralna domena i neka je f D [X]. Za polinom f kažemo da je primitivan ako, za a D takav da a dijeli sve koeficijente od f slijedi da je a D *. Faktorizacija polinoma Teorem (Faktorizacija u prstenu polinoma). Neka je R domena jedinstvene faktorizacije, tada je, za svaki n N, R [X 1, X 2,..., X n ] takoder domena jedinstvene faktorizacije. Nadalje, neka je K pripadajuće polje razlomaka od R i f primitivan polinom pozitivnog stupnja u R [X]. Tada je f ireducibilan u R [X] ako i samo ako je ireducibilan u K [X]. Dokaz. Sve tvrdnje teorema su posljedice Gaussove leme čiji se iskaz i dokaz mogu naći u [12] na stranici 162, Lemma Konkretan dokaz tvrdnji teorema se nalaze u istoj knjizi na stranicama 163 i 164, riječ je o: Lemma 6.12., Lemma i Theorem Korolar Neka je R domena jedinstvene faktorizacije i K pripadajuće polje razlomaka. Neka su f, g R [X]. Polinomi f i g imaju zajednički faktor u R [X] ako i samo ako ga imaju u K [X]. Dokaz. Direktna posljedica prethodnog teorema. Naime, f i g imaju zajednički faktor ako i samo ako imaju ireducibilni zajednički faktor, zato jer su R i K, a time i R [X] i K [X] DJF. Definicija Neka je R prsten i neka je f R [X]. α R je nultočka polinoma f ako je f (α) = 0.

21 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 16 Definicija Neka je R prsten i f R [X] takav da f nije nul polinom. Koeficijent polinoma f uz X deg( f ) nazivamo vodeći koeficijent polinoma f. Nul polinom ima vodeći koeficijent jednak 0. Polinom je normiran ukoliko mu je vodeći koeficijent jednak 1. Teorem (o dijeljenju polinoma). Neka je R prsten i f, g R [X] različiti od nul polinoma. Nadalje, neka je vodeći koeficijent polinoma g invertibilan u R. Tada postoje jedinstveni polinomi q, r R [X] takvi da f = qg + r i r = 0 ili deg (r) < deg (g). Dokaz. Pogledati u [12], stranica 158, Theorem 6.2. Korolar Neka je D integralna domena i f, g D [X]. Nadalje, neka je g 0. Tada postoje a D {0} i polinomi q, r D [X] takvi da a f = qg + r i r = 0 ili deg (r) < deg (g). Dokaz. Slično kao dokaz prethodnog teorema, samo malo pazimo na vodeći koeficijent polinoma g. Korolar Neka je R prsten i neka je f R [X]. α R je nultočka polinoma f ako i samo ako polinom X α dijeli polinom f u R [X]. Dokaz. Ako je f nul polinom tvrdnja je očita. Pretpostavimo da f nije nul polinom. Neka je g = X α. Prema teremu o dijeljenju polinoma znamo da postoje jedinstveni polinomi q, r R [X] takvi da je f = qg + r i r = 0 ili deg (r) < deg (g). Vidimo da je deg (g) = 1. Stoga je ili r = 0 ili deg (r) = 0, u svakom slučaju je r R. Pretpostavimo da je f (α) = 0. Evaulacijom jednadže f = qg + r u točki α tada dobivamo da je 0 = r, tj. f = qg, odnosno X α = g f. Obratno, ako X α f, to znači da je r = 0. Opet, evaulacijom iste jednadžbe u točki α dobivamo da je f (α) = r = 0.

22 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 17 Korolar Neka je D integralna domena i f D [X] različit od nul polinoma. Tada f ima najviše deg ( f ) nultočaka u D. Dokaz. Indukcija po deg ( f ). Ukoliko je deg ( f ) = 0, polinom f nema niti jednu nultočku jer je jednak nekoj konstanti iz D koja je različita od nule. Dakle, tvrdnja vrijedi. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve polinome stupnja n, za neki n Z 0. Neka je deg ( f ) = n + 1. Ukoliko f nema nultočaka u D gotovi smo. Neka je α D nultočka polinoma f. Prema prethodnom korolaru tada znamo da X α f. Neka je f = (X α) g, gdje je g D [X]. Kako je D integralna domena i deg (X α) = 1 znamo da je deg (g) = n. No, prema pretpostavci, polinom g ima najviše n nultočaka u D, zaključujemo da polinom f ima najviše n + 1 nultočaka u D. Korolar Neka je K polje s beskonačno mnogo elemenata te neka je F polinom u K [X 1, X 2,..., X n ]. Ukoliko je F (a 1, a 2,..., a n ) = 0, za sve a 1, a 2,..., a n K, onda je F = 0. Dokaz. Ukoliko je n = 1 tvrdnja je direktna posljedica prethodnog korolara. Neka je n > 1 te neka tvrdnja vrijedi za n 1. Pretpostavimo suprotno, tj. da je F 0. Tada je polinom F pozitivnog stupnja u barem jednom varijabli, bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je to varijabla X n. Tada postoje m N i F 0, F 1,..., F m K [X 1, X 2,..., X n 1 ], m F m 0, takvi da je F = F i Xn. i Kako je F m 0 i tvrdnja vrijedi za n 1 vidimo da i=0 postoje a 1, a 2,..., a n 1 K takvi da je F m (a 1, a 2,..., a n 1 ) 0. Sada smo dobili ne nul polinom F (a 1, a 2,..., a n 1, X n ), u jednoj varijabli, X n, koji ima beskonačno mnogo nultočaka, što je kontradikcija. Definicija Polje K je algebarski zatvoreno ako svaki ne konstantni polinom iz K [X] ima nultočku u K. Propozicija Svako algebarski zatvoreno polje ima beskonačno mnogo elemenata.

23 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 18 Dokaz. Neka je K algebarski zatvoreno polje. Pretpostavimo da K ima konačno mnogo elemenata, tj. neka su, za n N, k 1, k 2..., k n svi elementi polja K. Promotrimo polinom (X k 1 ) (X k 2 ) (X k n ) + 1. On se nalazi u K [X], no očito nema nultočku u K jer nije djeljiv s niti jednim od polinoma X k 1, X k 2,..., X k n. Kontradikcija! Dakle, polje K ima beskonačno mnogo elemenata. Polje kompleksnih brojeva, C, je primjer algebarski zatvorenog polja. Definicija Neka je R prsten i f R [X] različit od nul polinoma. Neka je α R takav da je f (α) = 0. Multiplicitet nultočke α polinoma f je najmanji prirodan broj n takav da (X α) n dijeli f i (X α) n+1 ne dijeli f. Napomena Sada lako vidimo da u algebarski zatvorenom polju K, svaki polinom f m iz K [X] ima jedinstven prikaz u obliku f = α (X α k ) n k. Pri tome je m N, α je vodeći koeficijent polinoma f, α 1, α 2,..., α m su sve medusobno različite nultočke polinoma f, redom s multiplicitetima n 1, n 2,..., n m. Primijetimo još da je n 1 + n n m = deg ( f ). k=1 Derivacija polinoma Definicija Neka je R prsten i neka je f R [X]. Promatrajmo polinom f u obliku f = r k X k. (Jasno, ako je f nul polinom suma je prazna, inače suma ide do deg ( f ).) k 0 Derivacija polinoma f, u oznaci f X, kraće f X ili f, je polinom kr k X k 1. k 1 Ako je n N i f R [X 1, X 2,..., X n ] tada, za k {1, 2,..., n}, definiramo f X k, odnosno f Xk, kao derivaciju polinoma f u varijabli X k nad prstenom R [X 1,..., X k 1, X k+1,..., X n ]. To je parcijalna derivacija polinoma f po varijabli X k. Propozicija Neka je R prsten i neka su f, g, h R [X]. Tada vrijedi: (1) (α) X = 0, α R,

24 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 19 (2) (α f + βg) X = α f X + βg X, α, β R, (3) ( f g) X = f X g + f g X, (4) ( f m ) X = m f m 1 f X, m N, (5) ako je h (X) = g ( f (X)), onda je h X (X) = g X ( f (X)) f X (X). Neka je n N, F R [X 1, X 2,... X n ] te G 1, G 2,..., G n R [X], tada: n (6) F (G 1, G 2,..., G n ) X = F Xk (G 1, G 2,..., G n ) (G k ) X, k=1 (7) ( F Xk ) X l = ( F Xl ) X k, k, l {1, 2,..., n}. Konačno, ako je F homogen polinom stupnja d, vrijedi tkzv. Eulerov teorem: n (8) df = X i F Xi. k=1 Dokaz. Sve tvrdnje slijede direktno iz definicije, uz elementarni račun. Definicija Neka je R prsten i f R [X]. Definiramo derivacije višeg reda i to kako sljedi: f (0) := f te m X m f = f (m) := ( f (m 1)), m N. Nadalje, za n N te F R [X 1, X 2,..., X n ], neka je α = (α 1, α 2,..., α n ) Z n 0, definiramo: α X α F = α1+α2+...+αn F := α 1 X α 1 1 ( α 2 X α 2 2 ( ( α n... X α F n n X α 1 1 Xα 2 2 Xα n n Poredak u zadnjemu je nebitan, radi prethodne propozicije, tj. tvrdnje (7). Propozicija (Taylorov razvoj). Neka je D integralna domena karakteristike 0 i neka je K pripadajuće polje razlomaka. Tada je char (K) = 0. Neka je f D [X] različit od nul ) ) ). polinoma te neka je d = deg ( f ). Za svaki a D tada, gledajući u K [X], vrijedi: f (X) = d k=0 f (k) (a) k! (X a) k.

25 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 20 Analogno, neka je n N te neka je F D [X 1, X 2,..., X n ] i (a 1, a 2,..., a n ) D n, tada: gdje je F = b α = α=(α 1, α 2,..., α n ) Z n 0 1 α 1!α 2! α n! b α (X 1 a 1 ) α 1 (X 2 a 2 ) α2 (X n a n ) α n, α X α 1 1 Xα 2 2 Xα n n F (a 1, a 2,..., a n ). Jasno, u gornjoj sumi, samo je konačno mnogo članova b α različito od nule. Dokaz. Činjenica da iz char (D) = 0 slijedi da je char (K) = 0 je očita. Naime, vrijedi i više, ako je char (D) = p, za neki p Z 0, onda je i char (K) = p, jer je u svakom prstenu njegova karakteristika (ako nije nula) jednaka najmanjem prirodnom broju p takvom da je p 1 = 0. Taylorov razvoj za polinome u jednoj varijabli se vidi direktno deriviranjem, dok za n varijabli jednostavno primijenimo činjenicu za jednu varijablu n puta, nad odgovarajućom integralnom domenom. Lema Neka je D domena jedinstvene faktorizacije, karakteristike 0. g D [X] ireducibilan polinom pozitivnog stupnja i neka je f D [X]. Tada: Neka je g 2 f g f i g f. Dokaz. Pretpostavimo da g f i g f. Dakle, postoje h, h 1 D [X] takvi da je f = hg i f = h 1 g. Deriviranjem prve jednadžbe dobivamo da je f = h g + hg, uvrštavanjem druge slijedi h 1 g = h g + hg = ( h 1 h ) g = hg. Dakle, g hg. Kako je D integralna domena dobivamo da je g 0, nadalje, jer je char (D) = 0 vidimo da je deg ( g ) = deg (g) 1 0. Polinom g je ireducibilan i g je ne nul polinom manjeg stupnja od stupnja polinoma g. Zaključujemo da su polinomi g i g relativno prosti, tj. nemaju zajedničkih faktora u D [X]. Dakle, iz g hg, slijedi g h, a kako je f = hg, imamo da g 2 f. Obratno, g 2 f, to znači da postoji h 2 D [X] takav da je f = h 2 g 2, deriviranjem dobivamo da je f = h 2 g2 + 2h 2 gg. Konačno, g f.

26 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 21 Lema Neka je R prsten i neka su f, g R [X] te neka je m N. Tada: m ( ) m ( f g) (m) = f (k) g (m k). k Dokaz. Matematičkom indukcijom, uz elementarni račun. k=0 Teorem Neka je D domena jedinstvene faktorizacije, karakteristike 0. Neka je g D [X] ireducibilan polinom pozitivnog stupnja i neka je f D [X]. Tada, za svaki m N vrijedi: g m f g f, g f,..., g f (m 1). Dokaz. Pretpostavimo najprije da g m f, tada postoji h D [X] takav da je f = g m h. No, sada možemo primijeniti lemu na polinome g m i h pa odmah vidimo da g f (k), za svaki k {0, 1,..., m 1}. Obratno, dokaz provodimo matematičkom indukcijom. Za m = 1 tvrdnja je očita, za m = 2 tvrdnja je dokazana u lemi Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki m N, m 2, želimo ju dokazati za m + 1. Dakle, znamo da g f (k), za sve k {0, 1,..., m}, prema pretpostavci tada znamo da g m f. Dakle, dovoljno nam je (a i nužno) pokazati da iz g m f i g f (m) slijedi da g m+1 f. Neka su, slično kao u dokazu leme , h, h 1 D [X] takvi da je f = hg m i f (m) = h 1 g. Sada, deriviranjem prve jednadže m puta, uvrštavanjem druge te primjenom leme dobivamo: m ( ) m h 1 g = h (k) (g m ) (m k). k k=0 Lijeva strana gornje jednakosti je djeljiva s g, svi članovi sume gornje jednakosti, osim eventualnog onog za k = 0 su djeljivi s g, dakle, on je isto djeljiv s g. Odnosno, zaključujemo da g h (g m ) (m). Primijenimo sada lemu na polinome g m 1 i g, slijedi: ( g m 1 g ) (m) m ( ) m ( g ) = m 1 (k) g (m k). k k=0 Za k {0, 1,..., m 2} imamo da g ( g m 1) (k), a za k = m imamo da g g (0) = g. Dakle, dobili smo da g h ( g m 1) (m 1) g. Kao u dokazu leme znamo da su g i g relativno

27 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 22 prosti. Pretpostavimo da g i ( g m 1) (m 1) nisu relativno prosti. Kako je g ireducibilan polinom pozitivnog stupnja zaključujemo da tada g ( g m 1) (m 1), no prema pretpostavci indukcije tada dobivamo da g m g m 1, što je kontradikcija. Dakle, g i ( g m 1) (m 1) g su relativno prosti pa mora g h. Odnosno, konačno imamo da g m+1 f. Korolar Neka je D domena jedinstvene faktorizacije, karakteristike 0. Neka je f D [X] i m N. Vrijedi da je a D nultočka polinoma f, multipliciteta m ako i samo ako je f (a) = f (a) =... = f (m 1) (a) = 0 i f (m) (a) 0. Dokaz. Slijedi direktno primjenom prethodnog teorema i korolara Primjer Neka je R prsten i neka je char (R) = p, gdje je p prost broj. Primijetimo da je Z/pZ primjer takvog prstena, štoviše, polja. Stupanj polinoma f = X p R [X] je jednak p. No, f = p X p 1 = 0, jer je char (R) = p. Dakle, da bismo mogli zaključit da je derivacija polinoma pozitivnog stupnja ne nul polinom, nužno nam je da se nalazimo u prstenu karakteristike nula. 1.3 Hilbertov teorem o bazi Definicija Za prsten R kažemo da je Noetherin prsten ako je svaki ideal u R konačno generiran. Polja i domene glavnih ideala su primjeri Noetherinih prstenova. Teorem (Hilbertov teorem o bazi). Neka je R Noetherin prsten, tada je, za svaki n N, R [X 1, X 2,..., X n ] Noetherin prsten. Dokaz. Dovoljno je dokazati da ako je R Noetherin prsten da je tada i R [X] Noetherin prsten. Tvrdnja će tada za prsten polinoma u n N varijabli slijediti po principu matematičke indukcije. Dakle, neka je R Noetherin prsten. Neka je I R [X] ideal. Ukoliko

28 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 23 je I = (0) tvrdnja je očita, stoga pretpostavimo da je I (0). Za polinom f R [X] uvedimo oznaku f, za vodeći koeficijent polinoma f. Neka je J R skup svih vodećih koeficijenata svih polinoma iz I. J je ideal u R. Naime, neka je a J te neka je r R. Postoji f I takav da je f = a, sada, pošto je I ideal u R [X] zaključujemo da je i r f I, odnosno ra = r f J. R je Noetherin prsten pa postoje d N i f 1, f 2,..., f d I takvi da je J = ( f 1, f 2,..., f d ), naravno, možemo pretpostaviti da su svi ovi polinomi različiti od nul polinoma. Neka je M = max { deg ( f 1 ), deg ( f 2 ),..., deg ( f d ) }. Za svaki k Z 0, takav da je k M, neka je J k R skup svih vodećih koeficijenata svih polinoma iz I, stupnja najviše k. Kao i ranije, zaključujemo da je J k ideal u R. Primijetimo da je J 0 J 1... J M. Neka je m Z 0 najmanji takav da je J m (0), primijetimo tada da je J k = (0), za svaki k Z 0, k < m. Neka je, za k Z 0, m k M, d k N te f k1, f k2,..., f kdk R [X] takvi da je J k = ( f k1, f k2,..., ) f kdk. Tvrdimo da je: I = ( ) f 1, f 2,..., f d, f m1, f m2,..., f mdm,..., f M1, f M2,..., f MdM. Označimo desni ideal s I. Neka je g I, dovoljno je pokazati da stupanj polinoma g možemo po volji smanjiti oduzimajući od njega polinome iz I. Time dobivamo da je I I, dok je očito I I, tj. I = I. No, to je očito. Ako je g = 0 gotovi smo. Neka je g 0. Ukoliko je deg (g) > M, jasno je da možemo izabrati polinom q 1, q 2,..., q d R [X] takve d da polinom q l f l ima vodeći koeficijent jednak g te da je istog stupnja kao polinom g. l=1 Oduzimanjem toga polinoma od polinoma g smanjili smo stupanj polinomu g. Ponavljamo opisani proces sve dok nije g = 0 ili deg (g) M. Ako je g = 0 gotovi smo, a ako nije, neka je deg (g) = k. Tada je m k M, radi definicije skupova J k. No, sada jednostavno na već opisani način poništimo vodeći koeficijent polinoma g, tako da ga promatramo u idealu J k (Ranije smo to napravili u idealu J). Jasno je da ćemo ovim postupkom nakon najviše deg (g) + 1 koraka dobiti da je g = 0.

29 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 24 Napomena Primijetimo da je za svako polje K i svaki n N, K [X 1, X 2,..., X n ] Noetherin prsten. 1.4 Algebarski skupovi Neka je K polje te neka je n N. S A n (K) ili kraće, kada se polje K podrazumijeva, A n, ćemo označavati Kartezijev produkt polja K sa samim sobom, n puta. Dakle, A n je skup svih uredenih n-torki elemenata polja K. Definicija Afini n-dimenzionalni prostor nad poljem K jest A n (K). Elemente toga prostora zvati ćemo točkama. Specijalno, A 1 je afini pravac, A 2 je afina ravnina. Prisjetimo se, neka je f K [X 1, X 2,..., X n ]. Točka x = (x 1, x 2,..., x n ) A n (K) je nultočka polinoma f, ako je f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Definicija Ako f nije konstanta (tj. ako je pozitivnog stupnja) onda skup svih nultočaka polinoma f nazivamo afina hiperploha odredena polinomom f, to označavamo s V ( f ). Napomena Ako je f konstanta i f 0, onda je V ( f ) =, a ako je f = 0, onda je V ( f ) = A n. Za n = 2 hiperplohe nazivamo afine (ravninske) krivulje. Definicija Neka je K polje, n N te S K [X 1, X 2,..., X n ] bilo koji skup polinoma. (Afini) algebarski skup odreden sa S je V (S ) := {x A n (K) : f (x) = 0, f S }. Primijetimo da je V (S ) = V ( f ). Ukoliko je skup S konačan, tj. postoji k N takav f S da je S = { f 1, f 2,..., f k }, za neke f 1, f 2,..., f k K [X 1, X 2,..., X n ], onda jednostavno pišemo V (S ) = V ( f 1, f 2,..., f k ). Lema Uz oznake iz prethodne definicije, neka je I = S (Ideal u K [X 1, X 2,..., X n ] generiran skupom S, ako je S =, stavimo da je I = (0).), tada je V (I) = V (S ).

30 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 25 Dokaz. Očito je S I, stoga, ako je x V (I), tj. f (x) = 0, f I, onda je i f (x) = 0, za sve f S, tj. x V (S ). Dakle, imamo da je V (I) V (S ). Obratno, znamo da je svaki m element iz I oblika f k g k, gdje su m N, f 1, f 2,..., f m S te g 1, g 2,..., g m polinomi k=1 iz K [X 1, X 2,..., X n ]. Konačno, vidimo da ako je x V (S ) onda je i x V (I), radi oblika elemenata skupa I. Upravo dokazana lema nam govori da je svaki algebarski skup zapravo jednak skupu V (I), gdje je I neki ideal u K [X 1, X 2,..., X n ]. Definicija Neka je K polje, n N te V A n (K) bilo koji skup točaka. Definiramo I (V) := { f K [X 1, X 2,..., X n ] : f (x) = 0, x V}. Primijetimo da je I (V) ideal u K [X 1, X 2,..., X n ], za svaki skup točaka V iz A n. Definicija Neka je R prsten i neka je I R ideal. Definiramo radikal ideala I kao skup Rad (I) := { a R : k N, a k I }. Kažemo da je ideal I radikalan ideal ako je Rad (I) = I. Primijetimo da je Rad (I) ideal u R. Naime, ako su a, b R i k, l N takvi da je a k, b l I, onda je (a + b) k+l I, što se vidi direktno primjenom binomnog teorema i toga da je I ideal. Takoder, jasno je da je uvijek I Rad (I). Nadalje, Rad (I) je radikalan ideal, što se vidi direktno iz definicije. Primijetimo još i da ako je I prost ideal da je on radikalan, to se takoder vidi direktno iz definicije prostog i radikalnog ideala. Propozicija Neka je K polje i n N. (1) Ako su I i J ideali u K [X 1, X 2,..., X n ] takvi da je I J, onda je V (I) V (J). (2) Ako su V i W skupovi točaka u A n (K) takvi da je V W, onda je I (V) I (W). (3) Presjek proizvoljne (neprazne) familije algebarskih skupova jest algebarski skup.

31 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 26 (4) Konačna unija algebarskih skupova jest algebarski skup. (5) V (0) = A n (K), V (1) =, V (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) = {(x 1, x 2,..., x n )}, pri čemu su x 1, x 2,..., x n K. (6) Svaki konačni skup točaka u A n (K) je algebarski skup. (7) I ( ) = K [X 1, X 2,..., X n ], I ({(x 1, x 2,..., x n )}) = (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ), za x 1, x 2,..., x n K. Ukoliko je polje K beskonačno, onda je I (A n (K)) = (0). (8) I (V (S )) S, za svaki skup polinoma, S. V (I (W)) W, za svaki skup točaka, W. Takoder, V (I (V (S ))) = V (S ) te I (V (I (W))) = I (W), za svaki skup polinoma, S i za svaki skup točaka, W. (9) Ideal I (V) je radikalan za svaki skup točaka V A n (K). (10) Svaki algebarski skup, različit od praznog skupa i cijelog afinog prostora, jednak je presjeku konačnog broja afinih hiperploha. Dokaz. (1) Očito, ako je točka nultočka svim polinomima nekog skupa, onda je ona nultočka i svim polinomima svakog podskupa tog skupa. (2) Takoder očito, ako se polinom poništava na nekom skupu, onda se poništava i na svakom njegovom podskupu. Pri tome podrazumijevamo da se polinom poništava na skupu, ako je jednak nuli u svakoj točki toga skupa. (3) Neka je {I λ } λ Λ neprazna familija ideala u K [X 1, X 2,..., X n ], gdje je Λ neki indeksni skup. Tada je V (I λ ) = V I λ, λ Λ λ Λ

32 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 27 : f k I λk, λ k Λ, k {1, 2,..., m}, m N ideal generi- m gdje je I λ = λ Λ k=1 ran skupom I λ. λ Λ f k (4) Dovoljno je pokazati da je unija dva algebarska skupa opet algebarski skup. Neka su I i J ideali u K [X 1, X 2,..., X n ]. Tvrdimo da je V (I) V (J) = V (IJ), gdje m je IJ = f k g k : f k I, g k J, k {1, 2,..., m}, m N umnožak ideala I i J, k=1 što je takoder ideal. Neka je x V (IJ), ako je x V (I) gotovi smo. Pretpostavimo da x V (I). Tada postoji f I takav da je f (x) 0. No, sada, kako je f g IJ, za sve g J, x V (IJ) i kako je K polje, a time specijalno i integralna domena, dobivamo da je g (x) = 0, za sve g J. Dakle, x V (J). Ovime smo dobili da je V (IJ) V (I) V (J). Obratno, neka je x V (I) V (J). Očito je tada x V (IJ), to se vidi iz oblika elemenata ideala IJ. Dakle, V (I) V (J) = V (IJ). (5) Očito. (6) Iz (5) vidimo da je prazan skup algebarski skup i da je svaka točka algebarski skup. Takoder, iz (4) znamo da je konačna unija algebarskih skupova takoder algebarski skup. Dakle, svaki konačni skup točaka je algebarski skup. (7) Prva tvrdnja je očita. Nadalje, jednostavnosti radi, označimo x = (x 1, x 2,..., x n ) te I x = (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ). Želimo pokazati da je I ({x}) = I x. Jasno je da ako je f I x da je onda f (x) = 0, tj. f I ({x}). Obratno, neka je f I ({x}). No, sada napravimo Taylorov razvoj polinoma f oko točke x i odmah vidimo da on mora biti u I x. Ovime je i druga tvrdnja pokazana. Neka je sada polje K beskonačno i neka je f I (A n (K)). Želimo pokazati da je f = 0. No, to je upravo tvrdnja korolara

33 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 28 (8) Prva dva svojstva su očita, dok druga dva slijede primjenom prva dva i već pokazanih svojstava u (1) i (2). (9) Očito, ako je f k (x) = 0, za neki k N i neku točku x V, onda je i f (x) = 0, zato jer je K polje, a time i integralna domena. (10) Neka je I ideal u K [X 1, X 2,..., X n ] takav da je V (I) neprazan i različit od cijelog afinog prostora A n (K). Prema Hilbertovom teoremu o bazi, tj. prema napomeni 1.3.3, znamo da postoje m N i f 1, f 2,..., f m K [X 1, X 2,..., X n ] takvi da je I = ( f 1, f 2,..., f m ). Sada prema lemi i dokazu točke (3) vidimo da je m V (I) = V ( f 1, f 2,..., f m ) = V ( f k ). Radi uvjeta na skup V (I) lako vidimo da k=1 medu polinomima f 1, f 2,..., f m nema konstantnih. Napomena Svojstva (3) i (4) nam govore da postoji (jedinstvena) topologija na prostoru A n (K) čija familija zatvorenih skupova je jednaka familiji algebarskih skupova. Tu topologiju nazivamo topologijom Zariskoga. Propozicija Neka je I ideal u prstenu R i neka je π : R R/I kanonski epimorfizam. (a) Neka je J ideal u R/I, tada je J = π 1 ( J ) ideal u R koji sadrži I. Obratno, neka je J ideal u R koji sadrži I, tada je J = π (J) ideal u R/I. (b) Neka je J ideal u R/I i neka je J = π 1 ( J ). Ideal J je radikalan (odnosno prost, odnosno maksimalan) ako i samo ako je ideal J radikalan (odnosno prost, odnosno maksimalan). (c) Neka je J konačno generiran ideal u R koji sadrži I. Tada je J = π (J) konačno generiran ideal u R/I. Dokaz.

34 POGLAVLJE 1. ALGEBARSKI SKUPOVI U AFINOM PROSTORU 29 (a) Tvrdnja da su J i J ideali je očita, takoder, kako je π 1 ( ) 0 R/I = I, očita je i tvrdnja da ideal J sadrži I. (b) Pretpostavimo da je J radikalan ideal, to znači da za svaki a R, ako postoji n N takav da je (a + I) n J, onda je a + I J. No, sada je jasno da to vrijedi ako i samo ako je za svaki a R za koji postoji n N takav da je a n J, da je onda a J. Tvrdnja za proste ideale se dokazuje slično. Ukoliko je J maksimalan ideal, znamo da je J neprazan, nije jednak R/I te ne postoji pravi ideal u R/I kojemo je J pravi podskup. Lako se vidi da to vrijedi ako i samo ako iste tvrdnje vrijede za ideal J, tj. J je maksimalan ideal u R. (c) Tvrdnja je očita, naime, ako je k N i r 1, r 2,..., r k R generatori za J, jasno je da su onda r 1 + I, r 2 + I,..., r k + I generatori za J. Napomena Prema prethodnoj propoziciji lako vidimo sljedeće, ako je R Noetherin prsten i I ideal u R, tada je R/I Noetherin prsten. Takoder, za polje K, n N, I ideal u K [X 1, X 2,..., X n ], K [X 1, X 2,..., X n ] /I je Noetherin prsten. 1.5 Hilbertov teorem o nulama Prije glavnog rezultata, tj. Hilbertovog teorema o nulama, odnosno Nullstellensatz teorema, uvesti ćemo algebarski aparat potreban za dokaz istoga. Takoder, iskazati ćemo i dokazati nekoliko pomoćnih tvrdnji, medu kojima će biti i tkzv. slabi Nullstellensatz. Prije uvodenja novih pojmova, iskažimo i dokažimo neke (pomoćne) tvrdnje koje će nam biti od koristi, a za koje već imamo na raspolaganju potrebnu algebru. Lema Neka je R domena glavnih ideala i neka je P neprazan, prost ideal u R. Tada je P generiran ireducibilnim elementom u R i P je maksimalan ideal u R.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Barbara Bošnjak, Josip Novak, Veronika Pedić. Racionalne funkcije na krivuljama i primjena nad poljem C

Barbara Bošnjak, Josip Novak, Veronika Pedić. Racionalne funkcije na krivuljama i primjena nad poljem C SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Barbara Bošnjak, Josip Novak, Veronika Pedić Racionalne funkcije na krivuljama i primjena nad poljem C Zagreb, 2017. Ovaj rad

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

2. Vektorski prostori

2. Vektorski prostori 2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić

Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god. 2011./12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić (skripta ne može zamijeniti vježbe) 1 Sadržaj 1 Grupe 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

algebarski zatvara Polje Ω je algebarski zatvara potpolja F ako je algebarski zatvoreno (vidi deniciju) i algebarsko nad F.

algebarski zatvara Polje Ω je algebarski zatvara potpolja F ako je algebarski zatvoreno (vidi deniciju) i algebarsko nad F. algebarski element Neka je F polje i E neko pro²irenje tog polja. Za element α E kaºemo da je algebarski nad F ako postoji nenul polinom f F [X] takav da je f(α) = 0. Pro²irenje polja E/F je algebarsko

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Boris Širola Tomislav Berić. predavanja

Matematika 1. Boris Širola Tomislav Berić. predavanja Matematika 1 Boris Širola Tomislav Berić predavanja Predgovor 3 Okosnicu teksta koji imate pred sobom čini neizbrušen materijal koji se predaje u okviru kolegija Matematika 1. Taj je kolegij namijenjen

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc.

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marko Marić RIEMANNOV TEOREM Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Goran Muić Zagreb, rujan, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα