Algebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007.

Transcript

1 Algebarske strukture Braslav Rabar 5. srpnja 2007.

2 Def 1 Neka je S neprazni skup tada pod binarnom operacijom na skupu S razumijevamo svako preslikavanje : S S S, a ureden par (S, ) skupa i neke binarne operacije na njemu zovemo grupoid. Vidimo da binarna operacija svakom paru (a, b) gdje su a, b S pridružuje element skupa S kojeg ćemo označiti sa a b ili samo ab. Def 2 Neka je (S, ) grupoid tada za binarnu operaciju kažemo da je asocijatvna ako vrijedi da za sve a, b, c S vrijedi (ab)c = a(bc). Grupoid u kojem je binarna operacija asocijativna zovemo asocijativni grupoid ili polugrupa. Def 3 Neka je (S, ) grupoid ako postoji element l S takav da vrijedi da je la = a za svaki a S onda za l kažemo da je lijevi neutral, a ako postoji element d S takav da je ad = a za svaki a S onda kažemo da je d desni neutral, a ako postoji element e S takav da je ae = ea = a za svaki a S onda kažemo da je e neutral. Teorem 1 Ako u grupoidu (S, ) binarna operacija ima lijevi i desni neutral onda su ti elementi jednaki pa binarna operacija ima neutralni element, to još znači da je neutal ako postoji jedinstven. Dokaz Neka je l lijevi, a d desni neutral tada vrijedi l = ld = d Def 4 Polugrupu u kojoj binarna operacija ima neutralni element zovemo monoid. Def 5 Neka je (S, ) grupoid sa svojstvom da binarna operacija ima neutral tada ćemo ga ako nije drugačije specificirano označavati sa e neka je sada a S bilo koji element ukoliko postoji u S takav da je ua = e onda kažemo da je u lijevi inverz od a, a ako postoji v S takav da je av = e onda kažemo da je v desni inverz od a, a ako postoji y S takav da je ay = ya = e onda kažemo da je y inverz od a. Ukoliko za a S postoji inverz tada kažemo da je a invertibilan. Teorem 2 Neka je (S, ) monoid i a S sada ako a ima lijevi i desni inverz tada su oni jednaki pa je a invertibilan, to još znači da ako inverz od a postoji onda je jedinstven. Dokaz Neka je u lijevi, a v desni inverz od a tada je u = u(av) = (ua)v = v

3 Teorem 3 Monoid u kojem je svaki element invertibilan zovemo grupom, znači ureden par (G, ) nepraznog skupa G i binarne operacije : G G G zovemo grupom ako su ispunjeni ova tri uvijeta koje zovemo aksiomi grupe: (G1) binarna operacija je asocijatvna (G2) postoji neutral (znamo da je jedinstven) (G3) svaki element a S ima inverz (znamo da je jedinstven) Inverz elementa a S označavamo a 1 Def 6 Neka je S neprazni skup, funkciju : S... S S sa nepraznog konačnog kartezjevog produkta skupa S sa samim sobom u skup S zovemo operacija na skupu S. Skup zajedno sa konačno operacija na njemu naziva sa algebarska struktura. Vidimo da su grupoid, polugrupa, monoid i grupa primjeri algebarskih struktura. Def 7 Neka je (S, ) algebarska struktura gdje je : S S S binarna operacija ako sada za sve a, b S vrijedi ab = ba tada za takvu binarnu operaciju kažemo da je komutativna, a za takvu algebarsku strukturu da je abelova. Def 8 Neka je G = (G, ) grupa tada proizvoljan neprazan podskup A G zvati ćemo kompleks. Za proizvoljne komplekse A i B definramo njihov produkt AB = {ab : a A, b B} U slučaju da je kompleks jednočlan {x} tada ga označavamo i kao x. Sa G označimo skup svih kompleska od G Teorem 4 Neka je G grupa tada je G sa operacijom množenja kompleska monoid. Def 9 Neka je G grupa kažemo da je kompleks H podgrupa od G i pišemo H G ako vrijedi (1) ( x, y H) xy H (2) ( x H) x 1 H Teorem 5 Neka je G grupa tada je kompeleks H podgrupa ako i samo ako vrijedi ( x, y H) xy 1 H Dokaz Predpostavimo da je H podgrupa uzmimo da su x, y H tada jer je y H imamo da je i y 1 H pa je i xy 1 H. Pokažimo da je (y 1 ) 1 = y to vrijedi jer (y 1 ) 1 y 1 = e pa zbog jedinstvenosti inverza slijedi tvrdnja. Predpostvimo sada da za sve x, y H vrijedi da je xy 1 H uzmimo da je y H to možemo jer H nije prazan pa je e = yy 1 H pa je y 1 = ey 1 H sada uzmimo da su x, y H tada jer je y 1 H imamo xy = x(y 1 ) 1 H

4 Def 10 Neka su G i H dvije grupe. Preslikavanje f: G H je homomorfizam grupa ako vrijedi da je f(xy) = f(x)f(y) za sve x, y G Sa Hom(G, H) označimo skup svih homomorfizama iz G u H. Nadalje, homomorfizam f koji je još i injekcija naziva se monomorfizam, f koji je i surjekcija zovemo epimorfizam, a homomorfizam koji je monomorfizam i epimorfizam zovemo izomorfizam. Ako imamo homomorfizam f: G G onda kažemo da je f endomorfizam od G. Sa End(G) označavat ćemo skup svih endomorfizama od G. Endomorfizam koji je još i bijekcija zove se automorfizam od G. Sa Aut(G) označavamo skup svih automorfizama od G. Za proizvoljan homomorfizam f: G H definiramo njegovu jezgru Kerf = {x G : f(x) = e} i njegovu sliku Imf = {f(x) : x G} Teorem 6 Ako su f: G H i g: H K homomorfizmi grupa, onda je i njihova kompozicija g f: G H takoder homomorfizam grupa. Štoviše, ako su f i g oba monomorfizmi (epimorzizmi, izomorfizmi), onda je i g f monomorfizam (epimorfizam, izomorfizam) Dokaz (g f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (g f)(x)(g f)(x), sada se moramo samo sjetiti da kompozicija surjekcija opet surjekcija, injekcija opet injekcija i bijekcija opet bijekcija. Teorem 7 Neka su G i H grupe i neka je f: G H izomorfizam tada je f 1 : H G isto izomorfizam. Dokaz Neka su a, b H pogledajmo f 1 (ab) = f 1 (f(x)f(y)) za neke x, y G, a to je dalje jednako f 1 (f(xy)) = xy = f 1 (a)f 1 (b) Def 11 Za dvije grupe G i H reći ćemo da su izomorfne, ako postoji izomorfizam f : G H; tu činjenicu označavamo sa G = H i to je iz već dokazanog realcija ekvivalencije. Teorem 8 Za proizvoljnu grupu G imamo da je Aut(G) sa operacijom komponiranja funkcija grupa. Teorem 9 Neka su G i H bilo koje grupe i neka je f: G H proizvoljan homomorfizam tada vrijedi: (1) f(e) = e i f(x 1 ) = f(x) 1 (2) f je monomorfizam ako i samo ako Kerf = {e} (3) Imf H

5 Dokaz (1) Imamo da je e = f(e) 1 f(e) = f(e) 1 f(ee) = f(e) 1 f(e)f(e) = f(e) i imamo da je f(x 1 )f(x) = f(x 1 x) = f(e) = e pa je zbog jedinstvenosti inverza f(x 1 ) = f(x) 1 (2) Predpostavimo da je f monomorfizam tada je f(e) = e, ali jer je monomorfizam ne postoji neki drugi element a takav da je f(a) = e, obrnuto neka je Kerf = {e} predpostavimo da je f(a) = f(b) tada je e = f(a)f(b) 1 = f(a)f(b 1 ) = f(ab 1 ) pa je ab 1 Kerf pa je ab 1 = e a = b (3) Neka su x, y Imf tada je x = f(a) i y = f(b) za neke a, b G tada je xy 1 = f(a)f(b) 1 = f(a)f(b 1 ) = f(ab 1 ) pa je i xy 1 Imf Def 12 Neka je S neki neprazan skup tada sa B(S) = {f: S S : f bijekcija } označimo skup svih permutacija skupa S. Teorem 10 Neka je S neki neprazni skup tada je B(S) sa operacijom komponiranja funkcija grupa. Teorem 11 Neka je G grupa tada je familija podgrupa od G zatvorena na presjeke. Teorem 12 Neka je G grupa i neka je S G neki podskup tada sa S označimo najmanju grupu koja sadrži skup S. To je podgrupa od G koju zovemo grupa generirana sa S. Kažemo da je grupa G konačno generirnana ako postoji konačan skup S = {x 1,..., x n } takav da je G = S tada za S pišemo i x 1,..., x n. Grupa je ciklička ako se može generirati jednim elementom, znači ako postoji g G takav da je G = g Teorem 13 Neka je G grupa i neka je S kompleks tada definiramo S 1 = {x 1 : x S} i [S] = {x 1 x 2... x n : n N, x i S S 1 } tada je S = [S] Dokaz Primjetimo da je [S] grupa koja sadrži S pa je S [S], ali svaka grupa koja sadrži S sadrži i [S] pa je [S] S Teorem 14 Neka je G grupa i neka je H G neka podgrupa tada su skupovi H\G = {Hx : x G} i G/H = {xh : x G} dvije particije skupa G koje zovemo redom desne klase i lijeve klase. Dokaz Dokažimo da desne klase čine particiju, dokaz za lijeve je gotovo isti. Pa neka Hx Hy 0 to žnači da za neke h, h H imamo hx = h y pa je x = h 1 h y sada neka je z Hx tada postoji h H takav da je z = hx = hh 1 h y Hy pa je Hx Hy, ali posve simetrično je i Hx Hy pa su Hx i Hy ili disjunktni ili jednaki. Sada neka je p G tada je p Hp pa {Hx : x G} stvarno čine particiju.

6 Def 13 Neka je S skup tada kardinalan broj tog skupa označimo sa S. Red grupe (G, ) je kardinalni broj pripadnog skupa G i označavamo ga sa (G, ) ili u notaciji gdje je G = (G, ) sa G. Teorem 15 Neka je G grupa i neka je H G neka podgrupa tada je G/H = H\G Dokaz Pokažimo da je preslikavanje ϕ : G/H H\G dano sa ϕ(xh) = Hx 1 bijekcija, očito je surjekcija, a injektivnost slijedi jer Hx 1 = Hy 1 hx 1 = h y 1 xh 1 = y(h ) 1 xh yh φ xh = yh Def 14 Neka je G grupa, a H podgrupa i ako je G/H konačno tada taj broj označavamo kao (G : H) = G/H Teorem 16 (Lagrange) Neka je G konačna grupa i H neka njezina podgrupa tada G = H (G : H) Dokaz Dovoljno je pokazati da sve lijeve klase imaju jednak broj elemenata, a to vrijedi jer za svaki x G je ϕ : H xh bijekcija gdje je ϕ(h) = xh Def 15 Neka je G grupa za N G podgrupu od G ćemo reći da je normalna i pišemo N G ako za sve x G vrijedi da je xn = Nx tada vidimo da je N\G = G/N Teorem 17 Neka je G grupa i N G njena podgrupa tada je ekvivalentno (1) xnx 1 = N za sve x G (2) N G (3) (xn)(yn) = (xy)n za sve x, y G (4) xnx 1 N za sve x G Dokaz (1) (2) xn = xnx 1 x = Nx (2) (3) (xn)(yn) = x(ny)n = xynn = xyn (3) (4) xnx 1 xnx 1 N = xx 1 N = N (4) (1) N = xx 1 Nxx 1 xnx 1 xnx 1 = N Teorem 18 Neka je G grupa i N G tada je G/N G grupa s množenjem nasljedenim iz G. Dokaz Asocijativnoast je nasljedena iz G, zatvorenost slijedi iz predhodnog teorema, neutalan element za množenje je N, a inverz od xn je x 1 N Def 16 Neka je G grupa i N G tada grupu G/N zovemo kvocijentna grupa. Postoji prirodni epimorfizam sa G na G/N označimo ga sa π i definiramo ga kao π(x) = xn i zovemo ga kanonski epimorfizam.

7 Teorem 19 Neka je N G normalna podgrupa grupe G i neka je π : G G/N kanonski epimorfizam tada je Ker(π) = N Dokaz Imamo da je Ker(π) = {x G : Nx = N} sada neka je Nx = N tada postoje n, n N takvi da je nx = n tada je x = n 1 n N, obrnuto ako je x N tada je Nx = N Teorem 20 Neka je G grupa i neka je dana familija F normalnih podgrupa od G tada su grupe F i F normalne. Dokaz Neka je F = {N i : i I} familija normalnih podgrupa od G znamo da je presjek podgrupa od G ponovo podgrupa od G, a budući da vrijedi x( N i ) = (xn i ) = (N i x) = ( N i )x imamo da je i normalna podgrupa. Neka je sada N = N i i neka je n N tada postoji k N i i I i I i I i I i I postoje n 1,..., n k i I N i tako da je n = n 1... n k, neka je x G tada je xnx 1 = xn 1 x 1... xn k x 1 jer su {N i : i I} normalne podgrupe imamo xn 1 x 1,..., xn k x 1 i I N i pa je xnx 1 N pa smo dobili xnx 1 N pa je N normalna. Teorem 21 Neka je f : G H homomorfizam tada je Kerf G normalna podgrupa od G. Dokaz Neka je N = Kerf lako se vidi da je N grupa jer neka su x, y N tada f(xy 1 ) = f(x)f(y) 1 = ee 1 = e pa je i xy 1 N, da bi pokazali da je normalna uzmimo neki n N i proizvoljan x G tada je f(xnx 1 ) = f(x)f(n)f(x) 1 = f(x)ef(x) 1 = e pa imamo da je xnx 1 N pa je N normalna. Teorem 22 Neka je f : G H homomorfizam, N G i N Kerf tada je preslikavanje f : G/N H dano sa f(xn) = f(x) dobro definirano i homomorfizam. Nadalje Imf = Imf i Kerf = Kerf/N te je f izomorfizam ako i samo ako je epimorfizam i N = Kerf. Označimo li sa π kanonski epimorfizam π : G G/N tada uz uvijete teorema imamo da sljedeći dijagram komutira G π G/N f H f

8 Dokaz Neka je G grupa i H G neka podgrupa tada vrijedi da je Hx = H x H xh = H. Pa neka je xn = yn tada je y 1 xn = N pa je y 1 x N Kerf pa je e = f(y 1 x) = f(y) 1 f(x) f(x) = f(y) pa je f dobro definirano preslikavanje, pokažimo da je homomorfizam imamo f(xnyn) = f(xyn) = f(xy) = f(x)f(y) = f(xn)f(yn) Jasno je da je Imf = Imf, imamo da je Kerf = {xn : f(x) = e} = Kerf/N. Ako je Kerf = N tada je Kerf = N/N = {N} pa je f monomorfizam, a ako je epimorfizam tada je i izomofrizam, obrnuto ako je f izomorfizam tada je epimorfizam i Kerf = {N} = Kerf/N pa je Kerf = N Teorem 23 (Prvi teorem o izomorfizmu) Neka je f : G H proizvoljan homomorfizam grupa. Neka je N = Kerf tada je preslikavanje f : G/N Imf dano sa f(xn) = f(x) dobro definirano i izomorfizam grupa G/N i Imf. Def 17 Neka je G grupa, x G neki element te A G neki kompleks definramo centralizator elementa x kao C(x) = {g G : gx = xg} i centralizator kompleksa kao C(A) = {g G : ( x A) gx = xg}. Nadalje, definramo normalizator od A kao N (A) = {g G : gag 1 = A}. Centar grupe Z(G) je centralizator od G. Teorem 24 Neka je G grupa i A G neki kompleks tada vrijedi (1) C(A) N (A) i to su podgrupe od G (2) Z(G) G Dokaz (1) Neka su x, y C(A) tada je axy = xay = xya za sve a A pa je xy C(A) i y 1 a = y 1 ayy 1 = y 1 yay 1 = ay 1 za sve a A pa je y 1 C(A). Neka su x, y N (A) tada je xya(xy) 1 = xyay 1 x 1 = xax 1 = A pa je xy N (A) te je y 1 Ay = y 1 yay 1 y = A pa je y 1 N (A), a ako je x C(A) tada je xa = ax pa je xax 1 = a pa je xax 1 = A pa je x N (A) (2) Z(G) = C(G) pa je podgrupa, a jasno je da je normalna jer komutira sa svakim elementom x G Teorem 25 Neka je G grupa i neka je g G proizvoljan element tada funkciju I g : G G danu sa I g (x) = gxg 1 zovemo konjugiranje sa elementom g. Tvrdimo da je (1) I g Aut(G) (2) Int(G) = {I g : g G} je grupa s obzirom na operaciju komponiranja funkcija i tu grupu zovemo grupa unutrašnjih automorfizama Dokaz (1) I g (xy) = gxyg 1 = gxg 1 gyg 1 = I g (x)i g (y) pa je I g homomorfizam pokažimo da je monomorfizam, neka je e = I g (x) = gxg 1 x =

9 g 1 g = e pa je jezgra trivijalna, pokažimo da je epimorfizam neka je y G i neka je x = g 1 yg tada je I g (x) = y pa je I g Aut(G) (2) imamo da je (I g I h ) = I gh i da je Ig 1 = I g 1 Def 18 Neka je G grupa, za automorzizam α Aut(G) kažemo da je vanjski ako α / Int(G) Teorem 26 Neka je G grupa tada je Int(G) Aut(G) Dokaz Int(G) je grupa i Int(G) Aut(G) pa je podgrupa pokažimo da je normalna. Neka je α Aut(G) proizvoljni automorfizam i neka je I g Int(G) proizvoljni unutarnji automorfizam tada je α I g = I α(g) α pa je α I g α 1 = I α(g) pa je αint(g)α 1 Int(G), što znači da je Int(G) normalna podgrupa. Teorem 27 Neka je G grupa tada je G/Z(G) = Int(G) Dokaz Definiramo preslikavanje ϕ : G Int(G) sa ϕ(g) = I g tada je očito ϕ izomorizam i Imϕ = Int(G). Pogledajmo što je Kerϕ = {g G : I g = id}, imamo da je I g = id I g (x) = x( x G) gx = xg( x G) g Z(G) pa je Kerϕ = Z(G) pa po prvom teoremu o izomorfizmu slijedi tvrdnja. Teorem 28 Neka je G grupa, A G neka podgrupa i N G neka normalna podgrupa tada je A N = AN, te ako je A normalana imamo da je AN normalna. Dokaz Za svaki n N i a A postoji takav n N da je na = an, što će reći da u umnošku elemenata iz A N možemo učiniti da svi elementi iz A dodu prije elemenata iz N pa slijedi tvrdnja da A N AN, a obrnuta inkluzija je očita. Teorem 29 (Drugi teorem o izomorfizmu) Neka je G grupa, A G neka podgrupa i N G neka normalna podgrupa. Tada je A N A i vrijedi A/A N = AN/N Dokaz Neka je n A N i neka je a A tada je ana 1 A, a jer je N normalna imamo da je ana 1 N pa je a(a N)a 1 A N pa je A N A. Definiramo ϕ : A AN/N sa ϕ(a) = an i to je homomorfizam kojem je Imϕ = AN/N, a Kerϕ = {a A : an = N} = {a A : a N} = A N pa po prvom teoremu o izomorfizmu slijedi tvrdnja.

10 Teorem 30 Neka je G grupa i neka je N G normalna podgrupa tada je preslikavanje Ψ koje svakoj podgrupi H G koja sadrži N pridružuje Ψ(H) = H/N monotona bijekcija na skup svih podgrupa od G/N. Nadalje H G ako i samo ako je Ψ(H) Ψ(G) Dokaz Monotonost je očita jer H 1 H 2 Ψ(H 1 ) Ψ(H 2 ) pokažimo da je Ψ surjekcija, neka je K G/N neka podgrupa i neka je π : G G/N kanonski epimorfizam stavimo K = π 1 (K) = {g G : gn K} tada vidimo da je K G i da N K te da je K = π(k) = {xn : x K} = Ψ(K) pa je Ψ surjekcija, a jer je π 1 (Ψ(H)) = {g G : gn H/N} = {g H} = H imamo da je i injekcija jer neka je Ψ(H 1 ) = Ψ(H 2 ) kada na to dijelujemo s π 1 dobijemo H 1 = H 2. Sada H G ghg 1 H( g G)( h H) gn(hn)(gn) 1 = ghg 1 N H/N( g G)( h H) gn(h/n)(gn) 1 H/N( g G) H/N G/N pa je teorem u potpunosti dokazan. Teorem 31 (Treći teorem o izomorfizmu) Neka je G grupa i neka su M, N G dvije normalne podgrupe takve da je N M. Tada je (G/N)/(M/N) = G/M Dokaz Po predhodnom teoremu imamo da je M/N G/N Sada za kanonski epimorfizam π : G G/M imamo N Kerf = M pa možemo na preslikavanje π primjeniti teorem 20 te dobijemo preslikavanje π : G/N G/M jasno je da je π epimorfizam jer je π epimorfizam pa po prvom teoremu o izomorfizmu dobivamo (G/N)/Kerπ = Imπ = G/M još trebamo pokazati da je Kerπ = M/N Vidimo da je Kerπ G/N tada po predhodnom teoremu znamo da postoji N H G podgrupa H takva da je Kerπ = H/N jer je M = π(xn) = xm imamo da x H x M pa je H = M i time je teorem dokazan. Teorem 32 Neka su G 1, G 2 grupe i neka su N i G i normalne podgrupe, za i = 1, 2. Predpostavimo da je f : G 1 G 2 neki homomorfizam takav da je f(n 1 ) N 2. Tada je preslikavanje F : G 1 /N 1 G 2 /N 2 definirano kao F (xn 1 ) = f(x)n 2 dobro definrano i homomorfizam grupa. Neka su π i : G i G i /N i kanonski epimorzizmi za i = 1, 2 tada sljedeći dijagram komutira f G 1 G 2 π 1 π 2 F G 1 /N 1 G 2 /N 2

11 Dokaz Pokažimo da je F dobro definiran, neka je xn 1 = x N 1 to je ako i samo ako x = x n 1 za neki n 1 N 1 onda imamo f(x) = f(x )f(n 1 ) pa je f(x)n 2 = f(x )N 2 jer je f(n 1 ) N 2 i homomorfizam je jer F (xn 1 yn 1 ) = F (xyn 1 ) = f(xy)n 2 = f(x)f(y)n 2 = f(x)n 2 f(y)n 2 = F (xn 1 )F (yn 1 ) Teorem 33 Neka je G grupa i neka su A, B G dvije podgrupe tada je kompleks AB grupa ako i samo ako AB = BA Dokaz Neka je AB grupa tada se lako pokaže da je AB = BA predpostavimo obrnuto da je AB = BA tada kad god imamo a, b postoje b, a takvi da je ab = b a i naravno a, a A, b, b B pa neka su x, y AB tada x = a x b x, y = b y a y pa je xy 1 = a x b x a 1 y b 1 y = a x (a 1 y ) (b x ) b 1 AB pa je AB grupa. Def 19 Neka je G grupa za podgrupu K G kažemo da je karakteristčna podgrupa od G ako je α(k) K za sve α Aut(G) Teorem 34 Neka je G grupa, H G normalna podgrupa i K H karakteristična u H onda je K G Dokaz Budući je H normalna u G imamo da je ghg 1 H za sve g G pa je i gkg 1 H za sve g G, sada primjetimo da je funkcija ϕ g : H H dana sa ϕ g (n) = ghg 1 iz Aut(H) pa buduči da je K karakteristična u H imamo da je ϕ g (K) = gkg 1 K pa je K normalna u G. Def 20 Neka je {G i : i I} prozvoljna familija grupa tada se kartezijev produkt G i := {f : I G i : f(i) G i } uz operaciju množenja i I i I (fg)(i) = f(i)g(i) za sve i I zove direktan produkt grupa {G i : i I}. Podgrupa G i := {f G i : f(i) nije neutal za konacno mnogi i I} i I i I direktnog produkta grupa se zove direktna suma grupa {G i : i I}. Teorem 35 Neka je G grupa i neka su G i G, i I neke njezine podgrupe tada je preslikavanje ϕ : i I G i G definirano tako da se izmnože sve koordinate izomorfizam ako i samo ako vrijede sljedeća tri uvijeta: (1) G i G za sve i I (2) G j i j G i = {e} (3) G = I G i Dokaz Neka je G j podgrupa od i I G i takva koji ima neurale svuda osim na j-tom mjestu, primjetimo da je ta podgrupa normalna, ali Gj je izomorfna s G j preko izomorfizma ϕ pa je i G j normalna u G. Zatim imamo da je y

12 G j i j G i = {e} pa kada djelujemo s izomorfizmom ϕ dobijemo (2) jer neural se preslikava u neutral, i slicno za (3). Predpostavimo obrnuto da vrijedi (1)-(3) najprije primjetimo da je (*) g i g j = g j g i gdje je g i G i i g j G j, te i j, da to vidimo definirajmo komutator ω = g i g j g 1 i g 1 j tada jer su G i normalne podgrupe od G imamo da je ω G i G j = {e}. Sada primjenom (*) dobivamo da je ϕ(fg) = ϕ(f)ϕ(g) pa je preslikavanje homomorfizam. Sada predpostavimo da je ϕ(f) = e znamo da su u f samo neke koordinate razlicite od neutrala, znaci da imamo da je produkt nekih elemenata od kojih su svi u razlicitim G i jednak neutralu, to znaci da je inverz jednog proizvoljnog od njih jednak umnošku drugih, ali sada primjenom (2) dobivamo da je inverz toga jednog baš neutral, ali i da je umnozak drugih jednak neutralu, pa neprestalnom primjenom ovog argumenta dobivamo da su svi ti elementi jednaki neutralu dakle f = e i preslikavnje je injekcija, a da je surjekcija slijedi iz (3). Teorem 36 Neka su m, n N takvi da je najveća zajednička mjera (n, m) = 1 tada je Z\nZ Z/mZ = Z\mnZ Dokaz Definirajmo preslikavanja α 1 : Z\nZ Z\mnZ, i α 2 : Z/mZ Z\mnZ dana sa α 1 (k + nz) = km + mnz, α 2 (l + mz) = ln + mnz, ta preslikavanja su monomorfizmi. Definirajmo grupe A 1 = α 1 (Z\nZ) i A 2 = α 2 (Z\mZ), te grupe kao podgrupe komutativne grupe su normalne u grupi Z\mnZ, sa trivijelnim presjekom. Kako su m i n relativno prosti postoje takvi k, l Z da vrijedi km+ln = 1. Kao očitu posljedicu imamo da onda da postoje takvi k 0 {1,..., n 1} i l 0 {1,..., m 1} takvi da je k 0 m+l 0 n 1 (mod mn), a to znači da grupa A 1 A 2 sadrži generator 1 + mnz grupe Z\mnZ pa tako i tu grupu. Znamo da je Z\nZ Z\mZ = A 1 A 2, a po predhodnom teoremu imamo da je A 1 A 2 = Z\mnZ Def 21 Neka su N, H neke grupe i neka je zadan homomorfizam ϕ : H Aut(N), gdje za dani h H označimo taj automorfizam sa ϕ h, definiramo na kartezijevom produktu N H množenje (n 1, h 1 ) (n 2, h 2 ) = (n 1 ϕ h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), tada je (N H, ) grupa i tu grupu zovemo semidirektan produkt grupa N i H i označavamo sa N ϕ H Dokaz Grupoidnost je očita, dokažimo asocijativnost ((n 1, h 1 ) (n 2, h 2 )) (n 3, h 3 ) = (n 1 ϕ h1 (n 2 ), h 1 h 2 ) (n 3, h 3 ) = (n 1 ϕ h1 (n 2 )ϕ h1 h 2 (n 3 ), (h 1 h 2 )h 3 ) = (n 1 ϕ h1 (n 2 )ϕ h1 (ϕ h2 (n 3 )), h 1 (h 2 h 3 )) = (n 1 ϕ h1 (n 2 ϕ h3 (n 3 )), h 1 (h 2 h 3 )) = (n 1, h 1 ) (n 2 ϕ h2 (n 3 ), h 2 h 3 ) = (n 1, h 1 ) ((n 2, h 2 ) (n 3, h 3 )) Za neutralni element uzmimo po kordinatama neutralne elemente. Inverz danog elementa (n, h) je dan formulom (n, h) 1 = (ϕ h 1(n 1 ), h 1 )

13 Teorem 37 Neka su N i H neke grupe i neka je dan homomorfiam ϕ : H Aut(N) tada postoji grupa Ñ N ϕ H izomorna sa N i grupa H N ϕ H izomorfna sa H tako da vrijedi Ñ H = {e} i Ñ H = N ϕ H i obrnuto ako je G neka grupa i postoje N G i H G podgrupe za koje vrijedi N H = {e} i NH = G tada postoji homomorfizam ψ : H Aut(N) takav da je G = N ψ H Dokaz Ako stavimo Ñ = {(n, e) : n N} i H = {(e, h) : h H} tada se lako pokaze da su to podgrupe od semidirektnog produkta izomorfne redom s N i H, pokažimo da je Ñ normalna to slijedi jer u računu (m, h) (n, e) (m, h) 1 primjetimo da ce na drugoj koordinati pisati hh 1 = e. Jasno je da je Ñ H = {e}, a da pokažemo da je Ñ H = N ϕ H primjetimo da je (n, e) (e, h) = (n, h) Predpostavimo da vrijedi ono što se predpostavlja u drugom dijelu u iskazu dokaza, primjetimo da iz tih predpostavki slijedi da se svaki element g G može zapisati kao g = nh gdje je n N i h H i takav je rastav jedinstven zbog predpostavke o trivijalnom presjeku. Definiramo preslikavanje ψ : H Aut(N) sa formulom ψ h (n) = hnh 1 jer je N normalna to preslikavanje je dobro definirano. Konačno uzmimo proizvoljne g 1 = n 1 h 1 i g 2 = n 2 h 2 elemente iz G. Tada imamo g 1 g 2 = n 1 h 1 n 2 h 2 = n 1 h 1 n 2 h 1 1 h 1 h 2 = n 1 ψ h1 (n 2 )h 1 h 2 tada je s preslikavanje f dano sa f(nh) = (n, h) izomorfizam od G i N ψ H Teorem 38 Neka je H G podgrupa grupe G i neka je (G : H) = 2 tada je H G Dokaz Neka je a G ako je a H tada je aha 1 H, ali tada je ah = Ha, a ako a / G tada je G = H ah = H Ha pa je ah = Ha pa je H normalna u G. Teorem( 39 Promatramo podgrupu ) od S n ( definiranu kao D = a, b gdje ) n 1 n n 1 n su a =, b = i n 1 1 n n definiramo N = a i H = b tada vrijedi (1) a n = 1 = b 2, a k 1 za sve 0 < k < n, a 1 b = ba (2) D = {1, a, a 2,..., a n 1, b, ab, a 2 b,..., a n 1 b} (3) postoji ϕ : H Aut(N) tako da je N ϕ H = D Primjetimo da su N i H abelove, ali da D nije abelova. Dokaz (1) i (2) su lake posljedice defincije, pa pokažimo (3), odmah vidimo da je N H = {e} i da je NH = D, a da je N normalna u D slijedi jer je (D : N) = 2 pa slijedi da postoji ϕ

14 Teorem 40 Neka je G ciklička grupa. Tada imamo: (1) Svaka podgrupa H G je ciklička (2) G = Z ili G = Z\nZ za neki n N (3) svaka homomorfna slika od G je ciklička Dokaz Neka je G {e} ciklička, tojest G = g = {g m : m Z} za neki g e. Predpostavimo da je H {e} neka podgrupa i neka je m N najmanji takav da je g m H, takav m sigurno postoji. Tada je očito H g m da pokažemo obrnutu inkluziju uzmimo proizvoljan element h H on se može prikazati kao h = g n = g qm+r gdje je 0 r < m iz čega odmah slijedi da je g r H što daje da je r = 0 jer bi u suprotnom imali kontradikciju pa je h g m što znači da je H ciklička grupa. (2) Očito je f : Z G = g dano sa f(m) = g m epimorfizam grupa. Sada ako je Kerf = {0}, onda je i izomorfizam pa je Z = G, a ako je {0} =Kerf Z onda je po (1) Kerf = m = mz za neki m N. Po prvom teoremu o izomorfizmu slijedi da je Z\mZ = G (3) Ako je f : G H izomorfizam, onda je Imf = f(g) pa je Imf ciklička. Def 22 Neka je G grupa i neka je a G neki, red elemnata a je red cikličke grupe a, i označavamo ga sa o(a). Teorem 41 Neka je G grupa, a G i neka je o(a) = m, gdje je m N neki prirodni broj, tada je a = {e, a,..., a m 1 } gdje su ti elementi medusobno različiti, sada neka je k N takav da k m tada je o(a k ) = m, a ako je k (k, m) = 1 tada je o(a k ) = m Dokaz Jasno je da je a = {e, a,..., a m 1 } i da su ti elementi medusobno različiti, sada neka k m tada je (a k ) m k = a m = e, sada predpostavimo da je o(a k ) = l < m tada je k (ak ) l = a kl = e, ali jer je kl < m imamo kontradikciju. Neka je (m, k) = 1 i predposatvimo da je o(a k ) = d tada d m, a vidmo da m kd pa izlazi da d = m Teorem 42 Neka je G = a ciklička grupa gdje je G = m tada je a k generator od G ako i samo ako (k, m) = 1, a ako je G beskonačna tada su jedini generatori a i a 1 Dokaz Jedan smjer je već dokazan u prošlom teoremu jer ako je (m, k) = 1 tada je o(a k ) = o(a) = m, pa predpostavimo da je o(a k ) = m i da je (m, k) = r > 1 sada imamo da je (a k ) m r = (a m ) k r = e k r = e pa o(a k ) = m < m što je r kontradikcija. Druga tvrdnja je trivijalna. Teorem 43 Neka je G grupa i neka je G = p gdje je p prost broj tada je G ciklička i nema pravih podgrupa.

15 Dokaz Iz Lagrangeovog teorema slijedi da red podgrupe dijeli red grupe pa ne mogu postojati prave podgrupe, za dokaz prve tvrdnje uzmimo a G takav da a e tada H = a {e} pa mora biti H = p iz čega slijedi da je H = G Def 23 Neka je (A, +) abelova grupa gdje je binarna operacija označena sa + tada je uobičajeno neutral označiti 0, a inverz od x sa x, a za x A i a Z definiramo ax = x+x+...+x, zbroj od a članova kada je a > 0, a ako je a = 0 imamo ax = 0, a ako je a < 0 zbrajamo ax = ( x)+( x)+...+( x) i to a puta. Def 24 Neka je (A, +) abelova grupa, X A je baza ako je X = A i za različite generatore x 1,..., x n X vrijedi a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 ako i samo ako su a i = 0 za sve i {1,..., n} Primjetimo da ako grupa A ima bazu X onda je za svaki x X grupa x beskonačna Teorem 44 Neka je A abelova grupa tada su sljedeče tvrdnje ekvivalentne: (1) Abelova grupa A ima nepraznu bazu X (2) Za sve x X A sa x označimo najmanju podgrupu od A što sadrži x tada je x beskonačna i preslikavanje ϕ : x X x A koje pomnoži koordinate izomorfizam. (3) Postoji neprazan skup X sa svojstvom da za svaku abelovu grupu G i preslikavanje f : X G postoji jedinstven homomorfizam f : A G takav da je f proširenje od f sa X na A. Dokaz (1) (2) Ako je X baza abelove grupe A tada za svaki x X nx = 0 n = 0 pa je svaka grupa x beskonačna ciklička i normalna jer ja A abelova. Ako je A = X tada je i A = x Neka je z X x X takav da je z 0, tada za neki n Z vrijedi nz = a 1 x 1 + x x z... + a k x k prebacimo li sve sumande na jednu stranu i primjenimo da je X baza dobivamo posebno n = 0 pa je presjek trivijalan. Sada dobivamo da je funkcija ϕ : x A koja pomnoži sve koordinate izomorfizam. x X (2) (1) Neka je S x x X x gdje su na svim osim na x-toj koordinati neutrali, a na x-toj koordinati je x (primjetimo da je x i koordinata i element na koordinati) Sa S označimo skup svih S x za sve x X primjetimo da je ϕ(s) = X i da je S = x X x pa primjenom izomorfizma ϕ dobivamo da je

16 X = A. Sada neka su x 1,..., x k X i neka vrijedi a 1 x a k x k = 0 tada primjenom izomorfizma ϕ 1 dobivamo a 1 S x a k S xk = 0 iz čega odmah slijedi da je a 1 =... = a k = 0 (1) (3) Neka je X baza grupe A predpostavimo da je dano preslikavanje f : X G. Ako je u A tada je u = n 1 x n k x k jer X generira A i taj zapis od u preko elemenata iz X je jedinstven jer je X baza. Stoga je preslikavanje f : A G koje se podudara s f na X jedinstveno jer vrijedi f(u) = f(n1 x n k x k ) = n 1 f(x1 ) +...+n 2 f(xk ) = n 1 f(x 1 )+...+n k f(x k ) (3) (1) Prvo pokažimo da X iz (3) razapinje A. Predpostavimo suprotno da postoji neki h A\ X, uzmimo neku beskonačnu cikličku grupu G = g, uzmimo funkciju f : X G koja sve šalje u neutral i definiramo dva homomorfizma f 1 : A G i f 2 : A G na način da prvi sve osim elementa h šalje u neutral, a h šalje u g, a drugi sve osim h šalje u neutral, a h šalje u 2g, oba se podudaraju na X sa funkcijom f, pa bi trebali bit jednaki, a nisu. Znači došli smo u kontradikciju pa slijedi da X razapinje A. Pokažimo da je X baza, zadržimo isti G, te uzmimo a 1 x a k x k = 0 i definirajmo f : X G takav da je f(x 1 ) = g, a za sve druge elemente iz X da šalje u neutral i neka je f : A G proširenje od f do homomorfizma tada je 0 = f(0) = f(a 1 x a k x k ) = a 1 g pa slijedi da je a 1 = 0 na sličan način dobijemo da je a 1 =... = a k = 0 Def 25 Abelova grupa A je slobodna ako ima nepraznu bazu. Def 26 Neka je G grupa i neka su G i G podgrupe za i I tada definiramo njihovu sumu G i = G i i I i I Def 27 Neka je S proizvoljan skup, pokažimo način na koji se iz njega može dobiti abelova slobodna grupa A(S) takva da joj je baza S. Definiramo da je A(S) skup svih formalnih suma n 1 s n k s k gdje su n i Z i s i S za sve i {1,..., k} gdje je n 1 s n k s k = 0 n i = 0 za sve i {1,..., k} i definiramo zbrajanje na prirodan način, te identificiramo elemente 1s A(S) sa s S. Primjetimo da je konsrukcija formalna jer mi zapravo ne znamo pravu strukturu elementata iz A(S). Nije teško napraviti neku konstrukciju po kojoj bi znali pravu strukturu elemenata iz A(S), teško je napraviti konstrukciju u kojoj bi na prirodan način iz same strukture dobili zbrajanje. No time se ne bavimo jer nam u daljnjem tekstu nije bitna struktura elemenata grupe A(S) već samo činjenica da je takva grupa moguća. Teorem 45 Svaka abelova grupa G je homomorfna slika neke slobodne abelove grupe A.

17 Dokaz. Neka je X G takav da je X = G neka je A neka slobodna abelova grupa koja ima X za bazu, možemo uzeti A = A(X), gdje je X shvačen samo kao skup. Definramo preslikavanje f : X G takvo da je f(x) = x tada postoji jedinstveno proširenje do homomorfizma f : A G. Primjetimo da je Im f = G jer je X bio skup generatora za G Teorem 46 (Strukturni teorem za konačno generirane komutativne grupe) Neka je G konačno generirana komutativna grupa. Tada postoji k N 0 i postoji t N 0 i postoje m 1 m 2... m t gdje su m i N/{1} takvi da je G = (Z/m 1 Z... Z/m t Z) Z k Dokaz Neka je X = {x 1,..., x n } skup generatora za G, znamo da postoji slobodna abelova grupa A kojoj je X baza i postoji homomorfizam f : A G takav da je Im f = G Znamo po prvom teoremu o izomorfizmu da je G = A/Ker f. Ako je Ker f = {0} tada je f izomorfizam što daje G = A = x 1... x n = Z... Z = Z n, pa predpostavimo da nije izomorfizam. Neka je d i red najmanje podgrupe od G koja sadrži x i za i = 1,..., n BSO možemo predpostaviti da prvih 0 < r n tih d i -eva nisu 0, jer kada bi bilo r = 0 tada bi bilo Ker f = {0}. Primjetimo da je Kerf slobodna abelova grupa s bazom {d 1 x 1,..., d r x r }, pa vrijedi Ker f = d 1 x 1... d r x r = d 1 x 1... d n x n, i to vrijedi jer su grupe d i x i za i > r trivijalne, a direktna suma se ne mijenja ako se dodaju trivijalne grupe. Konačno imamo G = A/Ker f = x i... x n / d i x i... d i x i = x 1 / d 1 x 1... x n / d n x n = Z/d 1 Z... Z/d n Z. Gdje imamo Z/0Z = Z, i Z/1Z = 0. U direktnoj sumi možemo mijenjati poredak sumanada i to ne mijenja strukturu do na izomorfizam. Sada da bi dobili iskaz teorema trebamo samo više puta primjeniti znanu činjenicu, a to je da Z/mZ Z/nZ = Z/mnZ kada (m, n) = 1 Def 28 Neka je (R, +) abelova grupa i neka je (R, ) polugrupa tako da vrijede zakoni distribucije (1) x (y + z) = x y + x z za sve x, y, z R (2) (y + z) x = y x + z x za sve x, y, z R Tada algebarsku struktu (R, +, ) zovemo prsten Ako postoji element 1 R takav da je 1 x = x 1 = x za sve x R tada takav element zovemo jedinica, a za prsten R kažemo da je prsten s jednincom. Prsten R je komutivan ako vrijedi x y = y x za sve x, y R Def 29 Neka je R prsten, skup S R je podprsten ako vrijedi: (1) x + ( y) S za sve x, y S (2) x y S za sve x, y S Tada pišemo analogno ako i kod grupa S R

18 Def 30 Neka je R prsten, ako postoje a, b 0 takvi da je ab = 0 tada kažemo da su dijeljitelji nule. Ako prsten R nema djeljitelja nule tada kažemo da je integralana domena ili samo domena. Def 31 Neka je R prsten s jednicom, za element a R kažemo da je invertibilan ako postoji b R takav da je ab = ba = 1 Skup svih invertibilnih elemenata prstena R zajedno s množenjem iz prstena čine grupu i tu grupu zovemo grupom invertibilnih elemenata i oznčvamo R Def 32 Prsten R je tijelo, ili prsten s dijeljenjem, ako je svaki ne-nul element u R invertibilan, tojest ukoliko je R = R\{0}. Komutativno tijelo se zove polje. Primjetimo da je svako tijelo integralna domena. Def 33 Neka je R prsten i predpostavimo da postoji m N takav da je mx = 0 za sve x R tada definramo karakteristiku prstena kao charr := min{m N : mx = 0} Ako m sa traženim svojstvom ne postoji definiramo da je charr = 0 Def 34 Neka su R i S dva prstena. Preslikavanje f : R S je homomorfizam prstena ukoliko je aditivno i multiplikativno, to jest, ako vrijedi (1) f(x + y) = f(x) + f(y) za sve x, y R (2) f(xy) = f(x)f(y) za sve x, y R Sa Hom(R, S) označimo skup svih homomorfizama iz R u S. Homomorfizam koji je još i injekcija zovemo monomorfizam, a koji je još i surjekcija zovemo epimorfizam, a koji je i injekcija i surjekcija taj zovemo izomorfizam. Posebno ako imamo homomorfizam f : R R, onda kažemo da je endomorfizam od R, sa End(R) označavamo skup svih endomorfizama od R, a endomorfizam koji je i bijekcija zovemo automorfizam, sa Aut(R) označimo skup svih automorfizama od R. Za proizvoljan homomorfizam f : R S definiramo njegovu jezgru Kerf = f 1 (0) = {x R : f(x) = 0} i njegovu sliku Imf = f(r) = {f(x) : x R} Teorem 47 Ako su f : R S i g : S T homomorfizmi prstena, onda je i njihova kompozicija g f : R T takoder homomorfizam prstena. Štoviše ako su f i g oba monomorfizmi (epimorfizmi, izomorfizmi), onda je i g f monomorfizam (epimorfizam, izomorfizam)

19 Dokaz Imao g f(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = g f(x)g f(y) i imamo g f(x + y) = g(f(x + y)) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y)) = g f(x) + g f(y) Sada se moramo samo sjetiti da je kompozicija injekcija opet injekcija, a surjekcija opet surjekcija i bijekcija opet bijekcija. Teorem 48 Neka je f : R S izomorfizam tada je preslikavanje f 1 : S R isto izomorfizam. Dokaz Uzmimo f(a) = x, f(b) = y sada imamo f 1 (xy) = f 1 (f(a)f(b)) = f 1 (f(ab)) = ab = f 1 (x)f 1 (y) i imamo f 1 (x + y) = f 1 (f(a) + f(b)) = f 1 (f(a + b)) = a + b = f 1 (x) + f 1 (y) Def 35 Za dva prstena R i S čemo reći da su izomorfni, ako postoji izomorfizam f : R S, i tu činjenicu označavamo sa R = S i iz več dokazanog to je relacija ekvivalencije. Teorem 49 Svaka konačna komutativna integralna domena sa jedinicom je polje. Dokaz Neka je R kao u iskazu teorema i neka je 0 a R definramo ψ a : R R kao ψ a (b) = ab, predpostavimo da je ψ a (b) = ψ a (c) tada je ab = ac, no to je onda a(b c) = 0 pa kako je R integralna domena imamo b = c prema tome ψ a je injekcija, ali je zato i surjekcija. Pa posebno postoji takav b da je ab = 1 pa je a invertibilan. Odnosno R je polje. Def 36 Neka je zadana familija prstena R i : i I tada se kartezijev produkt R i = {f : I R i : f(i) R i } zajedno s operacijama množenja i i I i I zbrajanja po koordinatama fg(i) = f(i)g(i) i (f + g)(i) = f(i) + g(i) za sve i I zove direktan produkt prstena. Podprsten R i = {f R i : i I i I f(i) 0 za konačno mnogo i I} direktnog produkta zovemo direktna suma prstena Def 37 Neka je R prsten i neka su A, B R neprazni podskupi tada defniramo AB = {ab : a A, b B} Def 38 Neka je R prsten tada je podprsten I R lijevi (desni) ideal ako vrijedi RI I ( IR I). Prsten koji je lijevi i desni ideal zovemo samo ideal. Činjenicu da je I ideal u R označavamo sa I R. Skup svih ideala od R označavamo sa IdR. Ideal I R je pravi ako {0} I R Teorem 50 U tijelu nema pravih ideala.

20 Dokaz. Neka je I R pravi ideal, neka je 0 a I tada za proizvojan b imamo a(a 1 b) = b pa je b I pa znači I = R što je kontradikcija. Teorem 51 Neka je R proizvoljan prsten tada imamo: (1) Ako je {R a : a A} neka familija podprstenova od R tada je i isto podprsten od R (2) Ako je {I a : a A} neka familija ideala od R tada je i od R a A R a a A I a isto ideal Dokaz Da je presjek podprstenova ponovo prsten slijedi odmah iz definicije ( podprstena, ) dokazimo da je presjek desnih ideala desni ideal, vrijedi I a R I a R I a a A a A a A Teorem 52 Neka je f : R S homomorfizam prstena tada je jezgra Kerf R, a slika Imf S Dokaz Neka su x, y Imf tada postoje a, b R takvi da je f(a) = x i f(b) = y tada x + ( y) = f(a) + ( f(b)) = f(a b) pa je x y Imf, imamo xy = f(a)f(b) = f(ab) pa je xy Imf. Neka su a, b Kerf tada imamo f(a + b) = f(a) + f(b) = = 0 i f(ab) = f(a)f(b) = 0, i neka je ar KerfR tada je f(ar) = f(a)f(r) = 0f(r) = 0 Def 39 Neka je R prsten i I R neki ideal, skup S R je skup generatora od I ako je I = S gdje je S najmanji ideal koji sadrži S. Ideal je konačno generiran ako ima konačan skup generatora, ideal je glavni ideal ako mu je skup generatora jednočlan. Kažemo da je R prsten glavih ideala ili krače PGI ako je svaki ideal u R glavni. Def 40 Neka je R prsten i neka je dana familija njegovih ideala {I a : a A} definiramo njihovu sumu I a = I a i produkt I a = {x a1... x an : a A a A a A n N, x ai I ai, i {1,..., n}} Teorem 53 Neka je R proizvoljan prsten, i neka su I, J, K R ideali, tada imamo: (1) I + J = {x + y : x I, y J} (2) IJ = { n i=1 x iy i : x i I, y i J i n N} {0} (3) I + (J + K) = (I + J) + K (4) (IJ)K = I(JK) (5) I(J + K) = IJ + IK (6) (I + J)K = IK + JK

21 Dokaz Definiramo A = {x + y : x I, y J} lako se provijeri da je A podprsten od R, a zatim i ideal koji sadrži I J, primjetimo da ideal I + J sadrži A pa je (1) dokazano. Definiramo B = { n i=1 x iy i : x i I, y i J i n N} {0}, lako se provijeri da je B podprsten od R, a zatim i ideal. Sada primjetimo da B sadrži sve generatore xy od ideala IJ, pa je IJ B, a vidimo da je B podskup od IJ pa je (2) dokazano. Sada su (3),(4), (5) i (6) očite posljedice od (1) i (2). Teorem 54 Neka je R prsten, tada za svaka dva ideala I, J R vrijedi IJ I J Dokaz Očita posljedica od (2) iz prošlog teorema. Def 41 Neka je R neki prsten i I R njegov ideal, tada je posebno (R, +) aditivna grupa i (I, +) (R, +) njegova normalna podgrupa pa je (R/I, +) je dobro definirana grupa, da bi ju organizirali u prsten dovoljno je uvesti množenje (x + I)(y + I) = xy + I, koje je dobro definramo jer ako su x + I = x + I i y + I = y + I, što zapravo znači da je x x I i y y I tada je xy x y = xy xy +xy x y = x(y y )+(x x )y I jer je I ideal. Sada taj dobiveni prsten zovemo kvocjentni prsten od R po I i označavamo ga s R/I. Nadalje preslikavanje π : R R/I dano sa π(x) = x+i je epimorfizam prstena i zove se kanonski epimorfizam. Primjetimo da je Kerπ = I Def 42 Neka je R prsten, ideal P R je prost ako je P R i ako vrijedi da za I, J R takve da je IJ P da je I P ili J P. Skup svih prostih ideala u R označavamo sa SpecR i zovemo spektar prstena R. Ideal P R je potpuno prost ideal ako je P R i ako za svaka dva elementa x, y R takva da je xy P tada je x P ili y P. Skup svih potpuno prostih ideala označavamo sa Spec c R. Ideal M R je maksimalan ako je M R i ako za I R takav da je M I R onda je M = I. Skup svih maksimalnih ideala u R označavamo sa MaxR i zovemo maksimalni spektar prstena R. Ideal S R je poluprost ideal ako je S presjek neke familije prostih ideala. Posebno smatramo da je R poluprost ideal, što odgovara slučaju praznog presjeka. Teorem 55 Za ideal P R sljedeće tvrdnje su ekvivalentne: (1) P je prost ideal (2) Ako su P I, J R ideali tada IJ P (3) U kvocijentu R/P je produkt ne nul ideala je ne nul ideal. (4) Ako su x, y R takvi da je xry P tada je x P ili y P (5) Za proizvoljnje x, y / P postoji element w R takav da xwy / P

22 Dokaz (1) (2) je direktna posljedica definicije. (2) (3) Neka je R = R/P i neka su I, J R neka dva ne nul ideala čiji produkt je nul-ideal, neka je π : R R/P kanonski epimorfizam, defniramo skupove I, J kao praslike po kanonskom epimorfizmu od ideala I = π 1 (I), J = π 1 (J), to su zapravo ideali od R koji strogo sadrže P, te je IJ P (3) (4) Predpostavimo da postoje neki elementi x, y R takvi da je xry P, ali x, y / P. Onda ideali P + x i P + y strogo sadrže P i kao posljedicu toga imamo da su X = (P + x )/P i Y = (P + y )/P ne nul ideali u R, s druge strane imamo (P + x )(P + y ) = P P + P y + x P + x y P pa je očito XY = 0 (4) (5) Predpostavimo da za neke x, y / P ne postoji w R takav da je xwy / P to jest imamo xry P (5) (1) Predpostavimo da P nije prost ideal, onda postoje dva ideala I, J R takava da je IJ R, I P i J P Uzmimo x I\P i y J\P onda nije mogué naći neki w R da bi xwy / P jer je IJ P. Teorem 56 Vrijedi: (1) U proizvoljnom prstenu R je svaki potpuno prost ideal ujedno i prost; tojest imamo Spec c R SpecR (2) U proizvoljnom komutataivnom prstenu A ideal je prost ako i samo ako je potpuno prost; tojest imamo Spec c A = SpecA Dokaz (1) Neka je P potpuno prost ideal, te predpostavimo da su x, y R neki elementi takvi da je xry P tada je posebno i xy = x1y P pa je x P ili y P, što znaći da je P prost. (2) Neka su x, y A takvi da je xy P tada je xay = xya P pa je x P ili y P Def 43 Neka je (Ω, ) neki parcijalno ureden skup tj. skup sa refleksivnom, antisimetričnom i tranzitivnom relacijom na sebi. Podskup L Ω zove se lanac ako su svaka dva elementa iz L usporediva. Element M Ω je maksimalan element u Ω ako vrijedi da za svaki a Ω takav da je M a nužno M = a Neka je sada = Ω Ω ako postoji neki g Ω takav da je ω g za sve ω Ω onda kažemo da je g gornja meda od Ω Teorem 57 (Zornova lema) Neka je (Ω, ) neprazan parcijalno ureden skup. Ako svaki lanac u Ω ima gornju medu tada u Ω postoji barem jedan maksimalan element. Dokaz Netrivijalan i može ga se naći u knjizi Uvod u teoriju skupova Pavle Papića u izdanju HMD-a Zagreb, Teorem 58 Neka je R prsten s jedincom tada (1) Ako je I R neki ideal u R onda postoji barem jedan maksimalan ideal

23 M R takav da je I M. (2) Ako je M R maksimalan ideal onda je on posebno i prost ideal, drugim riječima imamo MaxR SpecR. (1) Defnirajmo skup Ω ako skup svih ideala J R takvih da je I J, taj skup nije prazan jer je I u njemu. Neka je L neki lanac u Ω i neka je Γ unija svih elemenata iz L. Očito je Γ i sam ideal u R i vrijedi da Γ R jer kada bi Γ = R tada bi 1 Γ dakle 1 J za neki J Ω pa slijedi da je taj J = R što je kontradokcija sa izborom elemenata u Ω. Samo primjetimo da je Ω gornja meda od L Sada budući je lanac bio proizvoljan po zornovoj lemi postoji maksimalan element od Ω (2) Predpostavimo da je M neki maksimalan ideal u R, ali nije prost to znači da postoje ideali I, J takvi da je IJ M i da I M i da J M no tada je M M + I pa zbog maksimalanosti slijedi da je M + I = R i slično M + J = R pa slijedi RR = (M + I)(M + J) = MM + MJ + IM + IJ M, a RR = R jer je R prsten s jedinicom, no to je kontradikcija s time da je M maksimalan ideal. Teorem 59 Neka je A komutataivan prsten tada (1) Ideal P A je prost ako i samo ako je kvocjentni prsten A/P integralna domena. (2) Ako je A još prsten s jedinicom tada je ideal M A maksimalan ako i samo ako je kvocjentni prsten A/M polje. Dokaz (1) Predposatvimo da su elementi x = x + N i y = y + N takvi da je xy = xy+p = 0+P tada je xy P, ali kako je P prost imamo x P ili y P pa je ili x = 0 ili y = 0 pa je A/P integralna domena. Predposatvimo sada da je A/P integralna domena, ali da P nije prost, tada postoje neki x, y / P takvi da je xy P, pa imamo da je (x + P )(y + P ) = xy + P = 0 + P, ali x + P P i y + P P pa slijedi da A/P nije integralna domena. (2) Predposatvimo da je M maksimalan ideal neka je x + M proizvoljan ne nul element, to znači da x / M, slijedi da je M M + Ax pa je M + Ax = A specijalo se jednica može zapisati kao 1 = m + ax za neke m M i a A pa imamo m + ax + M = ax + M = 1 + M pa x + M ima inverz a + M. Predposatvimo da je A/M polje, ali da ideal M nije maksimalan, pa postoji neki ideal I A koji ga sadrži. Za proizvoljan element x I\M imamo da je x+m M pa ima inverz pa postoji neki y A\M takav da je xy +M = M pa je 1 = m xy za neki m M, ali x I pa je xy I pa je 1 I što znači da je I = A što je kontradikcija, pa je teorem dokazan. Teorem 60 Neka je A komutativan prsten s jedinicom. Sljedeće trdnje su ekvivalnetne:

24 (1) A je polje (2) IdA = {{0}, A} (3) Ako je B bilo koji komutativan prsten i ϕ : A B bilo koji netrivijalan homomorfizam tada je ϕ monomorfizam. Dokaz (1) (2) Neka je I A neki ne nul ideal, uzmimo bilo koji 0 x I, pa je 1 = xx 1 IA I pa je I = A. (2) (3) U netrivijalanom homomorfizmu imamo da je ϕ(1) = 1 0, a budući je KerA normalna podgrupa mora biti da je KerA = {0} (3) (1) Predpostavimo da A nije polje, to znači da postoji element x iz A koji nema inverz pa je ideal {0} = Ax A pravi, slijedi da je kvocijentni prsten B = A/Ax netrivijalan i kanonski epimorfizam π : A B je netrivijalan homomorfizam koji nije monomorfizam. Teorem 61 (Prvi teorem o izomorfizmu) Neka je f : R S proizvoljan homomorfizam prstena. Tada je Kerf R ideal, Imf S podprsten, a preslikavanje f : R/Kerf Imf dano sa f(x + Kerf) = f(x) je dobro definiani izomorfizam prstena; tojest R/Kerf = Imf Preslikavanje f kao preslikavanje izmedu grupa je dobro definirano, treba samo pokazati da se dobro ponaša prema množenu, a to slijedi jer f(xy + Kerf) = f(xy) = f(x)f(y) = f(x + Kerf)f(y + Kerf) Teorem 62 Neka je R prsten, S R neki podprsten i I R ideal. Tada je S + I R podprsten i S I S. Nadalje vrijedi S/(S I) = (S + I)/I Dokaz Jasno je da je I S ideal u S, te da je I ideal u S + I Sada definiramo preslikavanje φ : S (S + I)/I kao φ(x) = x + I Po drugom teoremu o izomorfizmu za grupe taj φ je epimorfizam prstena. Još samo treba primjeniti prvi teorem o izomorfizmu za prstene. Teorem 63 Neka je R proizvoljan prsten, I R neki ideal i π : R R/I kanonski epimorfizam. Pogledajmo preslikavanje dano sa Ψ : {K IdR : I K} Id(R/I) Ψ(K) = K/I tada je Ψ monotona bijekcija čije inverzno preslikavanje Ψ 1 je invezna slika kanonskog epimorfizma. Nadalje restrikcija preslikavanja Ψ na skup svih prostih ideala koji sadrže I u skup svih prostih ideala prstena R/I je takoder monotona bijekcija.

25 Dokaz Ako je K ideal koji sadrži I onda je K/I ideal u R/I. Nadalje očito je Ψ monotono preslikavanje jer ako su K 1 K 2 tada je K 1 /I K 2 /I. Pokažimo da je Ψ injekcija, predpostavimo da je K 1 /I = Ψ(K 1 ) = Ψ(K 2 ) = K 2 /I. Onda za proizvoljan element k 1 K 1 postoji element k 2 K 2 takav da je k 1 + I = k 2 + I, pa je k 1 k 2 I K 2 pa je k 1 K 2, slično se dokaze i druga inkluzija pa imamo da je K 1 = K 2. Neka je K R/I proizvoljan ideal definramo K = π 1 (K) Sada se lako provjeri da je K ideal u R i da sadrži I i da je π(k) = K. Uzmimo sada neki prost ideal P tvrdimo da je P/I prost ideal. Neka su J 1 i J 2 neka dva ideala od R/I tada znamo da postoje J 1 i J 2 ideali od R takvi da je J 1 = J 1 /I i J 2 = J 2 /I, neka je (J 1 /I)(J 2 /I) P/I, ali sada imamo da je J 1 J 2 P to vrijedi jer za x J 1 i y J 2 imamo da je (x + I)(y + I) = xy + I P/I pa je xy P no kako produkti xy generiraju J 1 J 2 imamo da je J 1 J 2 P sada jer je P prost imamo da je J 1 P ili J 2 P, ali J P J/I P/I pa je P/I prost. Uzmimo sada P prost ideal u R/I, definiramo P = π 1 (P ) i krečući obrnutim korakom se vidi da je P prost ideal koji sadrži I. Teorem 64 (Treći teorem o izomorfizmu) Neka je R prsten i neka su I, J R ideali takvi da je I J. Tada je J/I R/I ideal i vrijedi (R/I)/(J/I) = R/J Dokaz Da je J/I ideal u kvocjentu slijedi iz predhodnog teorema. Nadalje preslikavanje φ : R/I R/J dano sa φ(x + I) = x + J je dobro definiran epimorfizam aditivnih grupa. Po prvom teoremu o izomorfizmu za prstene slijedi (R/I)/Kerφ = Imφ = R/J. Još samo treba primjetiti da je Kerφ ideal oblika K/I za neki K koji sadrži I. No očito je K = J. Tako je teorem dokazan. Def 44 Neka je R prsten i I R neki ideal. Za elemente a, b R kažemo da su kongruentni modulo I i pišemo a b (mod I) ukoliko je b a I Def 45 Neka je R prsten i neka su I, J R ideali kažemo da su ideli I, J relativno prosti ako je I + J = R Teorem 65 Neka su I 1,..., I n R ideali. Definiramo preslikavanje ϕ : R n R/I i sa ϕ(x) = (x + I 1,..., x + I n ) Tada je ϕ homorfizam prstena za koje i=1 vrijedi sljedeće: (1) Preslijavanje ϕ je epimorfizam ako su ideali I i u parovima relativno prosti (2) Preslikavanje ϕ je monomorfizam ako i samo ako I 1... I n = {0} Dokaz Jasno je da je ϕ doista homomorfizam prstena. (1) Predpostavimo da je ϕ surjekcija, ali da I i + I j R za neke i < j. Uzmimo bilo koji element

26 ω koji je u R, ali nije u I i + I j tada zbog surjektivnosti za n-torku Ω = (I 1,..., I i 1, I i +ω, I i+1,..., I j,..., I n ) postoji x R takav da je ϕ(x) = Ω no onda posebno x+i i = ω+i i i x+i j = I j pa je ω x I i i x I j pa je ω = (ω x)+x I i +I j, no to je u kontradikciji s izborom od ω Predpostavimo da su svi I i u parovima relativno prosti. Sada za proizvoljan 1 i n i element a i R, naći ćemo x i R takav da je ϕ(x i ) = (I 1,..., I i 1, a i + I i, I i+1,..., I n ). Naime tada će za x = x x n biti ϕ(x) = (a 1 + I 1,..., a n + I n ) Da bismo pokazali gornju tvrdnju, najprije radi lakšega zapisa BSO možemo predposatviti da je i = 1. Najprije, činjenca da su ideali I 1 i I i za i 2 relativno prosti imamo da je I 1 + I 2 = R, I 1 + I 3 = R,..., I 1 + I n = R. Množenjem tih jednakosti; te korištenjem distributivnosti množenja prema zbrajanju za ideale dobijemo R = R... R = n (I 1 + I j ) I 1 + I 2... I n R. Koristeći činjenicu da je IJ I J dobivamo I 1 + I 2... I n = R Sada sljedi da postoji neki α I 1 i β I 2... I n takvi da je α + β = a 1. Sada imamo da je ϕ(β) = (β + I 1, β + I 2,..., β + I n ) = (a 1 + I 1, I 2,..., I n ) (2) Predpostavimo da je ϕ injekcija, pa neka je a I 1... I n no tada je ϕ(a) = (I 1,..., I n ) što je neutral, a buduči je ϕ inekcija imamo da je a = 0. Obrnuto ako je ϕ(a) = 0 tada je a I 1... I n = {0} pa je ϕ injekcija. Teorem 66 Neka su I 1,..., I n R ideali koji su u parovima relativno prosti. Tada za proizvoljne a 1,..., a n R sustav kongruencija x a i (mod I i ) za i {1,..., n} ima rješenja u R j=2 Dokaz Slijedi iz tvrdnje (1) predhodnog teorema Def 46 Neka je A komutativan prsten s jedinicom, izraz oblika p(x 1,..., X n ) = a i1...i n X i Xn in gdje se podrazumjeva da je ta suma konačna se (i 1,...,i n) N n 0 zove polinom u varijablama X 1,..., X n, elemente a i1...i n A zovemo koefcijentma toga plinoma. Oznaka za skup svih plinoma u varijablama X i je A[X 1,..., X n ]. Stupanj polinoma p A[X 1,..., X n ] više varijabli je dan kao maksimum skupa st(p) = max{i i n : a i1...i n 0} ako taj skup nije prazan, a inaće je st(p) = i taj polinom zovemo nul-polinom. Za ne nul polonom p A[X] element a st(p) zovemo vodeći koeficijent. Na prirodan način se u skup A[X 1,..., X n ] uvodi zbrajanje i množenje i sa tom strukturom je (A[X 1,..., X n ], +, ) komutataivan prsten s jedinicom. Primjetimo da je A[X 1,..., X n ] = A[X 1,..., X n 1 ][X n ] dakle se prsten polinoma u varijablama X 1,..., X n može shvatiti kao prsten u varijabli X n sa koeficijentima iz prstena polinoma prvih n 1 varijabli. Teorem 67 Vrijdi da je A integralna domena ako i samo ako je A[X 1,..., X n ] integralna domena.