Algebarske strukture

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Algebarske strukture"

Transcript

1 i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica

2 i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu služe algebarske strukture?

3 i operacije Operacije Evariste Galois ( ) - Jedan od osnivača teorije grupa i prvi čovek koji je uveo termin "grupa".

4 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.

5 i operacije Operacije Neka je G neprazan skup i f : G n G. Tada za f kažemo da je n-arna operacija (operacija dužine n) skupa G. Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna, binarna, ternarna. Primeri: Preslikavanje f : R R definisano sa f (x) = x je unarna operacija skupa R. Preslikavanje f : N 2 N definisano sa f (x, y) = x + y je binarna operacija skupa N. Preslikavanje f : Z 3 Z definisano sa f (x, y, z) = x 3 2y + z je ternarna operacija skupa Z.

6 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

7 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

8 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

9 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

10 i operacije Operacije Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacije nisu ograničene samo na brojeve. Neka je X neprazan skup. Operacije - presek i - unija su primeri binarnih operacija skupa P(X) (partitivni skup skupa X). Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova su binarne operacije skupa svih realnih nizova. Neka je A neparazan skup i A A = {f : A A} skup svih preslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija (kompozicija preslikavanja) je binarna operacija skupa A. Neka je T skup svih tačaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 T koje svaki par tačaka (A, B) slika u sredinu duži AB je binarna operacija skupa T.

11 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).

12 i operacije Operacije Nama će od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je f binarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x, y) često koristiti (praktičiniji) zapis xfy. Za označavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli +,,,,, /,... Binarna operacija skupa G je komutativna ako za svako a i b iz G važi a b = b a. Binarna operacija skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz G važi (a b) c = a (b c).

13 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?

14 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?

15 i operacije Operacije Ukoliko je skup G konačan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnu binarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n n Operacija 4 skupa Z 4 a b c d a b d b c b a c d b c d a a b d b d b d G = {a, b, c, d} Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata? A m-arnih?

16 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

17 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G neprazan skup i neka je binarna operacija skupa G. Uredjeni par G = (G, ) naziva se grupoid. Skup G se u tom slučaju naziva domen grupoida G. Grupoid G je konačan (beskonačan) ako je G konačan (beskonačan) skup. Grupoid = Skup + Operacija Konačni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije. Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

18 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

19 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

20 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

21 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

22 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

23 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

24 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

25 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Šta je od navedenog grupoid? (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :) ({1, 2, 3}, +), ({ 1, 0, 1}, +), ({ 1, 1}, ) ({3k k Z}, +), ({3k + 1 k Z}, +) Pitanje: Koliko ima grupoida čiji domen ima n elemenata?

26 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI GRUPOIDA (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (Z, ), (Q, ), (R, ) (Q \ {0}, :), (R \ {0}, :) (P(X), ), (P(X), ) (A A, ), (T, s) (Z n, + n ), (Z n, n), n N

27 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru

28 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je komutativan ako je komutativna operacija. Grupoid G = (G, ) je asocijativan ako je asocijativna operacija. Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni? (R, +), (R, ), (R, ), (Z n, + n ), (R, n) (A A, ), (P(X), ), (P(X), ) (T, s), gde je T ranije pomenuti skup tačaka u prostoru

29 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

30 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Grupoid G = (G, ) je grupoid sa jedinicom ako postoji element e G tako da za svaki a G važi: e a = a e = a. Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral) grupoida G. Ako u grupoidu G = (G, ) postoji element e tako da za svaki a G važi e a = a tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo da grupoid G ima levu jedinicu. Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

31 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

32 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

33 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

34 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

35 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI JEDINICA (Z, +), (Q, +), (R, +) - jedinica je 0 (Z, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) - jedinica je 1 (P(X), ) - jedinica je (P(X), ) - jedinica je X (A A, ) - jedinica je identično preslikavanje (Z, ), (R \ {0}, +), (T, s) - nemaju jedinice

36 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.

37 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.

38 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Pitanje: Koji od sledećih grupoida sadrži jedinicu: a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d b c b a b c d c d a a b d b d b d Teorema Ako u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena. Teorema Ako grupoid G ima levu jedinicu e l i desnu jedinicu e d, onda je e l = e d jedinica grupoida G.

39 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?

40 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?

41 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Element a grupoida G = (G, ) je idempotent ako je a a = a. Element a grupoida G = (G, ) je levo skrativ ako važi ( a, b, c G) a b = a c b = c Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativ ako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativ naziva se grupoid sa kraćenjem. (R, +), (R, ), (R \ {0}, ), (R \ {0}, :) su grupoidi sa kraćenjem. Da li je grupoid (A A, ) grupoid sa kraćenjem?

42 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.

43 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je (G = (G, ) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo (desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je b a = e (a c = e). Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element je invertibilan ako je i levo i desno invertibilan. Primeri U grupoidima (Z, +), (Q, +), (R, +) svaki element je invertibilan U grupoidima (Q, ), (R, ) svaki element osim nule je invertibilan U grupoidu (Z, ) jedini invertibilni elementi su 1 i 1 U grupoidima (P(X), ), (P(X), ) nema invertibilnih elemenata osim jedinice.

44 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledećem grupoidu: a b c d e a b d b c a b a e c d b c d a a b c d b e e d d e a b c d e

45 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.

46 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka je G = (G, ) grupoid i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, H H ) grupoid. Tada pišemo H < G. Teorema Neka je G = (G, ) grupoid i i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupoid grupoida G akko važi ( a, b H) a b H.

47 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

48 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

49 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

50 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

51 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

52 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

53 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI PODGRUPOIDA (N, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) (N, ) < (Z, ) < (Q, ) < (R, ) (kz, +) < (Z, +) i (kz, ) < (Z, ), k Z Y X (P(Y ), ) < (P(X), ) i (P(Y ), ) < (P(X), ) (B[A], ) < (A A, ) i (C[A], ) < (A A, ) B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A (T α, s) < (T, s), gde je T α skup svih tačaka u ravni α

54 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

55 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

56 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

57 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

58 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

59 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Da li je (Z, ) < (R, )? Da li je (N, ) < (Z, )? Da li je (Z n, + n ) < (Z, +)? Zadatak: Naći sve konačne podgrupoide grupoida (R, +) i (R, ). Teorema Podgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan (asocijativan) grupoid. Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sa jedinicom?

60 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).

61 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G = (G, ) i S = (S, ) grupoidi. Preslikavanje h : G S za koje važi ( a, b G) h(a b) = h(a) h(b) naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje se h : G S. Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarsku strukturu. Skup svih homomorfizama iz G u S označava se sa Hom(G, S).

62 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

63 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

64 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

65 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida Neka su G i S grupoidi i neka je h : G S homomorfizam. 1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija. 2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija. 3 h je izomorfizam ako je h bijekcija. 4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S. 5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam. Skup svih endomorfizama grupoida G označavamo sa End(G) Skup svih automorfizama grupoida G označavamo sa Aut(G) Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemo da su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G = S. Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

66 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

67 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

68 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

69 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

70 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

71 i operacije Osnovni pojmovi. Primeri Podgrupoid Homomorfizam grupoida PRIMERI HOMOMORFIZAMA Preslikavanje h : N N definisano sa h(n) = 2n je homomorfizam iz (N, +) u (N, +). Preslikavanje h : Z Z n definisano sa h(z) = z mod n (ostatak pri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z, +) u (Z n, + n ). Preslikavanje h : R + R definisano sa h(r) = ln(r) je homomorfizam iz (R +, ) u (R, +). Neka je H < G. Preslikavanje h : H G definisano sa h(a) = a je homomorfizam iz H u G. Odgovarajuće preslikavanje skupa tačaka prave p u realne brojeve je homomrfizam grupoida (T p, s) u grupoid (R, ), gde je definisana sa a b = a+b 2.

72 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Polugrupa je asocijativni grupoid. Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa Polugrupa S = (S, ) je komutativna ako je grupoid (S, ) komutativan. Polugrupa S = (S, ) je sa jedinicom ako grupoid (S, ) ima jedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.

73 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a

74 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema (Opšti asocijativni zakon) Neka je S = (S, ) polugrupa, n N i a 1, a 2,..., a n S proizvoljni elementi. Tada važi: Svi proizvodi elemenata a 1, a 2,..., a n, u istom poretku, su jednaki. Drugim rečima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi od rasporeda zagrada (Stepen u polugrupi) Neka je S = (S, ) polugrupa, a S i n N. Tada je a 1 = a a n+1 = a n a

75 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.

76 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.

77 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.

78 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako element a ima levi inverz b i desni inverz c onda je b = c. Posledica Neka je S polugrupa sa jedinicom i a S. Ako elment a ima inverz, onda je on jedinstven. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata. Tada je I potpolugrupa polugrupe S. Teorema Neka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan element u S skrativ.

79 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Grupoid G = (G, ) je kvazigrupa ako za svaki a, b G svaka od jednačina a x = b y a = b ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako Primeri ( a, b G) (!c, d G) a c = b d a = b. (Z, +), (Q, +), (R, +) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) (Z p, p), p - prost broj

80 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Na osnovu Kejlijeve tablice konačnog grupoida ne možemo lako zaključiti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zaključiti da li je u pitanju kvazigrupa. Pitanje: Koji je od sledećih grupoida kvazigrupa? a b c d a a d a b b b b b c c a b c d d d c d a a b c d a b d a c b a b c d c d c b a d c a d b

81 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?

82 i operacije Polugrupe Kvazigrupe Teorema Konačan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuća Kejlijeva tablica latinski kvadrat. Teorema Svaka kvazigrupa je grupoid sa kraćenjem. Da li važi obrat?

83 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura. Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa. Alternativna definicija grupe, polazeći od najosnovnijih pojmova, izgleda ovako: Grupoid G = (G, ) je grupa ako važi: 1 ( a, b, c G) (a b) c = a (b c) 2 ( e G)( a G) e a = a e = a 3 ( a G)( a 1 G) a 1 a = a a 1 = e

84 i operacije. Primeri Osobine Red elementa PRIMERI GRUPA (Z, +), (Q, +), (R, +) - Jedinica je 0, a inverz za x je x (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1 x (Z n, + n ) - Jedinica je 0 a inverz za x je n x (Z p \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo očigledno) (P(X), ), gde je simetrična razlika (S n, ), gde je S n skup svih permutacija skupa {1, 2,..., n}, a kompozicija permutacija

85 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Rubikova kocka

86 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Dijedarska grupa R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 0 R 0 R 1 R 2 S 0 S 1 S 2 R 1 R 1 R 2 R 0 S 1 S 2 S 0 R 2 R 2 R 0 R 1 S 2 S 0 S 1 S 0 S 0 S 2 S 1 R 0 R 2 R 1 S 1 S 1 S 0 S 2 R 1 R 0 R 2 S 2 S 2 S 1 S 0 R 2 R 1 R 0

87 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1

88 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1

89 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema Grupa je grupoid sa kraćenjem. Teorema Jedini idempotentan element u grupi je jedinica. Teorema Neka je G = (G, ) grupa. Tada važi 1 (a 1 ) 1 = a 2 (a b) 1 = b 1 a 1

90 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.

91 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.

92 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Grupa G = (G, ) je komutativna ako je grupoid (G, ) komutativan. Takvu grupu nazivamo Abelova grupa. Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata Neka je G = (G, ) grupa i neka je H G. Podskup H odredjuje podgrupu grupe G ako je H = (H, H H ) grupa. Tada pišemo H < G.

93 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.

94 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.

95 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konačna. U suprotnom, kažemo da je grupa beskonačnog reda. Pitanje: Ako je G grupa konačnog reda i ako je a G proizvoljan, da li se u nizu a, a 2... a n,... mora naći jedinica grupe G? Neka je G = (G, ) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznaci r(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za koji je a k = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =.

96 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.

97 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.

98 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanja podgrupa koja sadrži a? Teorema Ako je G grupa konačnog reda i a G, tada je r(a) konačan i r(a) G. Teorema Ako je G grupa i a G element konačnog reda. Tada za svaki prirodan broj m važi a m = e r(a) m.

99 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

100 i operacije. Primeri Osobine Red elementa Teorema (Lagranž) Ako je G konačna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe H deli red grupe G. Teorema Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p a. Tada a p 1 1 mod p. Teorema Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

101 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.

102 i operacije Prsten Polje Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju? Neka je R neprazan skup i neka su + i binarne operacije skupa R. Ako važe uslovi 1 (R, +) je Abelova grupa 2 (R, ) je polugrupa 3 Za svaki a, b, c R važi a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c tada je uredjena trojka R = (R, +, ) prsten.

103 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

104 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

105 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

106 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

107 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

108 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

109 i operacije Prsten Polje PRIMERI PRSTENA (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (R[x], +, ) - prsten polinoma nad R (nz, +, ), n N (Z n, + n, n), n N (P(x),, ) (R R, +, ), gde je (R, +, ) prsten.

110 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.

111 i operacije Prsten Polje Za jedinicu 0 Abelove grupe (R, +) kažemo da je nula prstena (R, +, ). Prsten (R, +, ) ima jedinicu ako polugrupa (R, ) ima jedinicu. Jedinica se najčešće obeležava sa 1. Teorema Neka je (R, +, ) prsten. Tada za svaki element a R važi a 0 = 0 a = 0.

112 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.

113 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.

114 i operacije Prsten Polje Prsten R = (R, +, ) je bez delitelja nule ako za svako x, y R važi x y = 0 x = 0 y = 0 Pitanje: Za koje n je prsten (Z n, + n, n) bez delitelja nule? Prsten R = (R, +, ) je komutativan ako je (R, ) komutativna polugrupa.

115 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.

116 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.

117 i operacije Prsten Polje Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva se integralni domen. Prsten R = (R, +, ) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, ) grupa. Prsten R = (R, +, ) je polje ako je (R \ {0}, ) Abelova grupa.

118 i operacije Prsten Polje Teorema Dokazati da je komutativni grupoid (G, ) u kome važi (x y) z = (z x) y polugrupa.

119 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (G, ) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levo invertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, ) grupa.

120 i operacije Prsten Polje Teorema Neka je (R, +, ) polje sa elementima 0, x 1, x 2,..., x n. Dokazati da je 1 + x 1 x 2... x n = 0.

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990. PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007.

Algebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007. Algebarske strukture Braslav Rabar 5. srpnja 2007. Def 1 Neka je S neprazni skup tada pod binarnom operacijom na skupu S razumijevamo svako preslikavanje : S S S, a ureden par (S, ) skupa i neke binarne

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni

Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi teorije Galoa

Osnovni pojmovi teorije Galoa Osnovni pojmovi teorije Galoa Milan Ružić Matematički fakultet, Beograd 4. jun 2004. Uvod U algebri je dugo bilo otvoreno pitanje rešivosti algebarskih jednačina a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 preko radikala,

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić

Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god. 2011./12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić (skripta ne može zamijeniti vježbe) 1 Sadržaj 1 Grupe 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture Algebarske strukture vježbe prema predlošku i zadacima Martine Balagović i Marcele Hanzer natipkali, proširili i uredili Matija Bašić Aleksandar Milivojević Sanjin Ružić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Flag-tranzitivni linearni prostori

Flag-tranzitivni linearni prostori Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Automorfizmi konačno generisanih Abelovih grupa

Automorfizmi konačno generisanih Abelovih grupa Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Automorfizmi konačno generisanih Abelovih grupa Master rad Student: Milica Stanković Mentor: dr Žarko Mijajlović 26 jun 2010 godine Sadržaj 1 Konačno generisane

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Primene teorije modela u poljima

Primene teorije modela u poljima Primene teorije modela u poljima Angelina Ilić Stepić mentor dr.žarko Mijajlović Matematički fakultet, Beograd 008 1 Predgovor Magistarski rad je iz oblasti teorije modela sa primenama na algebarska polja.

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

Uvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.

Uvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa. АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA. master teza

REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA. master teza REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA master teza Autor: Dušan Radičanin Mentor: dr Branimir Šešelja Novi Sad, 2013. 2 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 5 1.1 Razvoj problema povezanih

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Uvod i vektorski prostori

Uvod i vektorski prostori ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или

Διαβάστε περισσότερα