Rad, energija, snaga. Glava Rad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Rad, energija, snaga. Glava Rad"

Transcript

1 Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila ili za grejanje, na električnu energiju za osvetljenje i pokretanje uredjaja i aparata, na hranu koju konzumiramo, na sunčevo zračenje koje nas greje. Te predstave ne odgovaraju medjutim u potpunosti fizičkom pojmu energije. 1 U ovoj glavi će prvo biti uveden pojama rada. Rad se uvek vrši nekom silom koja deluju na neko telo i pomera ga, pri čemu se napadna tačka sile takodje pomera. Zatim će biti definisana kinetička energija kao energija koju poseduju tela koja se nalaze u kretanju. Uopšteno ćemo energiju smatrati sposobnošću tela da izvrši rad. Već je rečeno da je energija jedan od najvažnijih pojmova u fizici. U raznim oblicima je uključena je u svim prirodnim fenomenima a od izuzetno velike važnosti je činjenica da je ukupna količina energije konstantna. Ona može samo da menja oblike, što je u skladu sa činjenicom da ništa ne može nestati bez traga. U skladu sa time, energija je jedna od fizičkih veličina koje se u procesima održavaju odnosno konzervišu. Štaviše, ispostavilo se da je i masa u odredjenom smislu, samo jedan od oblika energije (prema čuvenoj Ajnštajnovoj jednačini E = mc 2 ). 4.1 Rad Skoro sve fizičke veličine koje su do sada pomenute (brzina, ubrzanje, sila,...) imaju isti smisao u fizici kao i u svakodnevnom životu. Ovde će biti 1 One ukazuju samo na to da je neka vrsta goriva neophodna za vršenje rada i da nam u tom smislu obezbedjuju nešto što nazivamo energijom. 103

2 104 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA obradjen rad koji u fizici ima smisao često različit od opšte prihvaćenog. Često kažemo da je za obavljanje nekih poslova potrebno izvršiti težak ili veliki rad, kao što je učenje fizike ili držanje velikog tereta u rukama u polju Zemljine teže. 2 Kada u fizici mislimo na fizičku veličinu pod imenom rad, onda imamo u vidi da prilikom vršenja rada dolazi do prenosa energije sa tela na telo ili do promene njenog oblika. Da bi rad moga da bude izvršen, mora da postoji sila koja deluje na telo, usled čega dolazi do njegovog pomeranja u prostoru. Rad koji nad sistemom izvrši konstantna sila je proizvod komponente sile u pravcu kretanja tela i pomeraja tela 3 A = F d cos θ, (4.1) gde je A rad, d pomeraj tela, a θ ugao izmedju vektora sile F i vektora pomeraja d (slika 4.1(a)). Slika 4.1: (a) Rad nad kosačicom je jednak F d cos θ. (b) Nad koferom, pri njegovom držanju, je jednak nuli. Da bi se pravilno shvatila definicija rada potrebno je proanalizirati i situaciju prikazanu na slici 4.1(b). Čovek koji drži kofer i ne kreće se, ne vrši rad nad njime obzirom da je pomeraj d = 0. Zašto se onda on pri tome umara? Odgovor se nalazi u činjenici da njegovi mišići vrše rad jedni u odnosu na druge kontrahujući se i opuštajući, ali ne vrše rad nad sistemom, odnosno koferom. Da bi se izvršio rad potrebno je pomeranje sistema i potrebno je da sila koja deluje na sistem ima komponentu u pravcu njegovog kretanja. Čovek koji nosi kofer, na primer, u horizontalnom pravcu (slika 2 Osim ovakvog poimanja rada, često govorimo i o umnom, umetničkom, organizacionon, političkom radu,... 3 Gustav Koriolis (Gustave Coriolis, ), francuski matematičar i mehaničar, je prvi upotrebio termin rad za proizvod sile i rastojanja na koje je pomerila telo. U fizici je uglavnom poznat po efektu koji nosi njegovo ime a odnosi se na otklon putanje tela od prave linije usled posmatranja iz sistema reference koji rotira.

3 4.1. RAD (a)) ne vrši rad na koferu jer je sila pod pravim uglom u odnosu na kretanje kofera. 4 U slučaju da sila koja deluje na sistem ima komponentu duž pravca kretanja sistema, kao na slici 4.2(b), rad je izvršen i time je promenjena energija kofera. Energija koju poseduje kofer može da se koristi za pokretanje generatora električne struje na primer što je prikazano na (c) delu iste slike. Slika 4.2: (a) Pri nošenju kofera po horizontali konstantnom brzinom ne vrši se rad, odnosno nema promene njegove energije. (b) Rad se vrši kada se kofer nosi uz stepenište, jer je reč o kretanju duž čije putanje postoji komponenta sile. (c) Energija koju poseduje kofer može da se iskoristi za pokretanje nekog drugog tela, recimo električnog generatora. U tom slučaju kofer vrši rad nad generatorom, predajući mu energiju koja izaziva rotiranje njegovog odgovarajućeg dela što se zatim koristi za dobijanje električne energije. 5 Rad i energija imaju iste jedinice. Iz definicije rada se vidi da on ima definiciju sila puta rastojanje, odakle sledi da je za rad i energiju u SI jedinica njutn-metar. Njutn-metar je zbog značaja dobio posebno ime džul (J), 6 i iznosi 1 J=1 N m = 1 kg m 2 /s Drugim rečima iz cos 90 o = 0 sledi da je rad A = 0. 5 Ovaj proces može da se interpretira i sa stanovišta kofera-sistema nad kojim se u tom slučaju vrši negativan rad (vrši ga generator) jer on pri tome gubi energiju. Sila je usmerena suprotno od pomeraja pa je ugao θ = 180 o, i cos 180 o = 1, pa je zato A negativna veličina. 6 Po engleskom... Džulu,... 7 Podsetimo se da moment sile takodje ima jedinicu N m ali on nema smisao ni rada ni energije.

4 106 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA 4.2 Kinetička energija Šta se dešava kada se izvrši rad nad sistemom? Energija se preda sistemu, ali postavlja se pitanje u kom obliku? Odgovor naravno zavisi od situacije. Na primer, ako se kosačica sa slike 4.1 (a) gura taman toliko jako da se kreće konstantnom brzinom, energija koja joj se predaje od strane onoga koji je gura, neprekidno se troši na savladavane sile trenja sa podlogom. 8 Nasuprot ovom primeru, energija koja se predaje koferu od strane osobe koja ga nosi i penje se uz stepenice, može da se iskoristi u bilo kom docnijem momentu, na primer kao na slici 4.2 (c). Na taj način, energija koja je saopštena nekoj steni pri pravljenju piramide prilikom njenom podizanju na vrh piramide, ostaje uskladištena u njoj čineći je na taj način potencijalno sposobnom da izvrši rad. Ako na telo deluje više sila onda je ukupan rad jednak zbiru radova svake sile ponaosob. Slika 4.3: (a) Grafik F cos θ u funkciji od d za konstantnu silu. Površina ispod krive jednaka je radu koji je izvršila sila. (b) Grafik F cos θ u funkciji od d za silu koja nije konstantna. Rad koji se izvrši u svakom intervalu je jednak površini trake, ukupni rad je jednak ukupnoj površini ispod krive. Slika 4.3 (a) prikazuje grafik komponente konstantne sile F cos θ (u pravcu pomeraja u funkciji pomeraja d). Sa ove slike je očigledno da je rad A = F d cos θ jednak osenčenoj površini ispod grafika. Slika 4.3 (b) prikazuje opštiji sluv caj u kome je sila promenljiva sa vremenom. Kako na grafiku nemamo pravu liniju koja je paralelna sa horizontalnom osom, da bi se primenila ista procedura za izračunavanje rada, zgodno je grafik izdeliti na 8 Ova energija napušta sistem u obliku toplote.

5 4.2. KINETIČKA ENERGIJA 107 vertikalne trake. Trake su širine d i svaka, a da bi se dobila što tačnija vrednost rada unutar tog intervala, za silu se uzima njena srednja vrednost (F cos θ) i,sr unutar njega. Rad za taj interval je A i = (F cos θ) i,sr d i a ukupan rad je jednak sumi ovakvih sabirka. Naravno, i u ovom slučaju, suma je približno jednaka površini ispod grafika. 9 Predjimo sada na analizu prostijeg, jednodimenzionalnog, slučaja kada je sila usmerena duž početne brzine tela i koristi se da bi ga ubrzala. Rad je u tom slučaju A = F d a na osnovu II Njutnovog zakona, ma = F, poprima oblik A = mad. Da bi dobili vezu izmedju rada i brzine, uzimajući da je d = x x 0, jednačina (2.10) postaje v 2 = v ad. Rešimo li ovu jednačinu po ubrzanju a, dobijamo a = (v 2 v0 2 )/(2d). Kada se ovo zameni u prethodni izraz za rad, on postaje A = m v2 v0 2 d, 2d što nakon skraćivanja pomeraja i sredjivanja daje A = 1 2 mv2 1 2 mv2 0. (4.2) Ova formula je veoma važna i naziva se teorema o radu i energiji. Iako je ova formula izvedena za specijalan slučaj sile koja je konstantna po intenzitetu i paralelna pomeranju, ona ostaje u važnosti i u opštem slučaju kada se sila menja po pravcu i po intenzitetu. Formula (4.2) nam kazuje da je izvršeni rad jednak promeni veličine mv 2 /2, koja je zapravo prvi oblik energije koji ćemo pomenuti. Ova vrsta energije je nazvana translatorna kinetička energija (E k ) tela mase m koje se kreće brzinom v, E k = 1 2 mv2 (4.3) odnosno ona je pridružena kretanju tela. Ukoliko je reč o kretanju materijalne tačke, tela, ili sistema tela koja se kreću zajedno, ovaj oblik energije 9 Suma ovako izračunatih radova je to približnija površini što je širina traka manja. U graničnom slučaju, kada je širina veoma mala (u matematičkom smislu beskonačno mala), navedena suma postaje jednaka jednom specifičnom matematičkom objektu pod nazivom integral.

6 108 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA je lako vizuelizovati. Ukoliko je pak reč o kretanju atoma i molekula unutar tela, njihova kinetička energija ostaje sakrivena i naziva se unutrašnjom energijom. 4.3 Potencijalna energija U prethodnom poglavlju je uvedena kinetička energija kao energija koju telo poseduje usled svog kretanja. U ovom poglavlju će biti uvedena druga forma energije pod nazivom potencijalna energija, koja je u vezi sa relativnim položajem tela koja interaguju, odnosno sa položajem tela u polju neke sile. Ona se obično označava sa E p, a kako je vezana za relativan položaj tela koja čine sistem, svaka promena položaja tela u sistemu, izaziva i promenu potencijalne energije. Potencijalna energija može biti shvaćena kao energija koja je akumulirana i koja može ili da predje u kinetičku ili da se na osnovu nje izvrši neki rad. Gravitaciona potencijalna energija Kada neko telo pada ka Zemlji, to se dešava usled toga što Zemlja na njega deluje silom m g (za male visine na kojima se može smatrati da je polje Zemljine teže homogeno) u smeru koji se poklapa sa smerom kretanja tela. Gravitaciona sila vrši rad na telu što izaziva povećanje njegove kinetičke energije. Zamislimo da je neka kocka, mase m puštena da pada (iz stanja mirovanja). Tokom pada njoj raste brzina a time i kinetička energija. Obzirom na kretanje (i vršenje rada), sistem kocka-zemlja poseduje potencijalnu energiju na kojoj god visini se kocka nalazila iznad Zemlje. Prilikom pada ta potencijalna energija se konvertuje u kinetičku. Pretpostavimo da je kocka puštena da pada sa visine y i kao što je to pokazano na slici (4.4). Ako zanemarimo otpor vazduha, jedina sila koja deluje na kocku prilikom njenog pada je Zemljina gravitaciona sila, jednaka m g = mg e y. 10 Rad koji ona izvrši prilikom pomeraja d = (y f y i ) e y je A g = m g d = ( mg e y ) (y f y i ) e y = mgy i mgy f. (4.4) Rad gravitacione sile dakle, zavisi samo od izmene y koordinate tela, odnosno 10 U ovom izrazu je sa e y označen takozvani jedinični vektore y ose. To je vektor jediničnog intenziteta koji ima pravac i smer y ose. Jedinični vektori x i z ose se, u skladu sa tim, označavaju sa e x i e z.

7 4.3. POTENCIJALNA ENERGIJA 109 Slika 4.4: Rad sile pri pomeranju kocke (slobodnom padu) u polju Zemljine težena sa visine y i na y f. od promene u visini tela. 11 Veličina E p = mgy se naziva gravitacionom potencijalnom energijom posmatranog sistema, a rad koji je ovom prilikom izvršen je A = E pi E pf = (E pf E pi ) = E p. (4.5) Može se reći da je rad gravitacione sile jednak negativnoj promeni u gravitacionoj potencijalnoj energiji izmedju početnog i konačnog položaja tela. Potencijalna energija kod elastičnih deformacija Istezanje opruge (za male promene dužine opruge) izaziva njenu elastičnu deformaciju pri čemu je sila koja je izaziva predstavljena Hukovim zakonom F = k l, gde je k konstanta elastičnosti opruge, a l iznos promene njene dužine. Sila potrebna da se opruga istegne za x je, prema tome F = kx i ona lagano raste od 0 (kada je opruga u relaksiranom stanju) do vrednosti kx (kada je opruga istegnuta). Srednja vrednost sile pri ovom procesu je kx/2, pa je rad koji je pri tom izvršen biti A = F d = kx/2 x = kx 2 /2. Izvršeni rad na opruzi je prešao u potencijalnu energiju istegnute opruge 11 Ukoliko kretanje ima i x komponentu, tada je pomeraj d = (x f x i ) e x + (y f y i ) e y ali rad i dalje ima istu vrednost obzirom da je mg e y (x f x i) e x = 0.

8 110 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Slika 4.5: Nedeformisana opruga ne poseduje potencijalnu energiju. Energija deformisane opruge zavisi od stepena deformacije. Slika 4.6: Grafik sile F u zavisnosti od istezanja opruge x je prava linija koeficijenta pravca k. Površina oblasti ispod grafika je kx 2 /2.

9 4.3. POTENCIJALNA ENERGIJA 111 koja prema tome iznosi E p = 1 2 kx2. (4.6) Konzervativne sile i potencijalna energija Analizom analognom prethodnoj, može da se zaključi da, ako je opruga bila istegnuta za x i pa potom za x f (obe pozicije su računate od položaja kada je opruga relaksirana), rad koji će biti izvršen na njoj je A = kx2 f 2 kx2 i 2. (4.7) Drugim rečima rad nad oprugom je jednak razlici potencijalnih energija opruge 12 A nad = E pf E pi. Istezanje (deformacija) opruge spoljašnjom silom izaziva u njoj pojavu sile reakcije (elastične sile) koja je suprotno usmerena od sile koja ju je izazvala. U skladu sa time će rad opruge, pri relaksiranju od momenta kada je istegnuta za x, do relaksiranja do 0, biti A opruge = 1 2 kx2, odnosno može da se prikaže kao (E pf E pi ), gde je E pf = 0 a E pi = kx 2 /2. Drugim rečima, kao i u slučaju rada gravitacione sile, i ovde rad elastične sile može da se predstavi kao negativna razlika potencijalne energije A = E p. (4.8) Takodje je veoma važna činjenica da, i kod jedne i kod druge sile, rad zavisi samo od početne i kranje tačke putanje a ne od načina kako se telo kretalo izmedju njih. To je glavna osobina takozvanih konzervativnih sila. 13 Veoma važna posledica ove činjenice je da je rad konzervativnih sila, kada se početna i krajnja tačka putanje poklope, jednak nuli bez obzira na putanju kojom se sistem kretao. 12 Napomenimo da se praktično identična analiza može izvršiti i pri sabijanju opruge. Sve do sada napisane formule koje se tiču potencijalne energije ostaju da važe, tako da je moguće govoroti o energiji deformacije opruge čime su obuhvaćena oba slučaja - i istezanje, i sabijanje. 13 Kao što ćemo ubrzo videti ovaj naziv ima veze sa time što u tom slučaju važi odgovarajući zakon održanja odnosno konzervacije.

10 112 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Interesantno je proanalizirati posledice teoreme (4.2), kada je reč o konzervativnih silama. U ovom slučaju ona može da se zapiše u obliku A c = E k = E kf E ki, gde je indeksom c kod rada istaknuto da je reč o konzervativnim silama. Kao što smo videli, kada je reč o njima, rad se vrši na račun nagomilane potencijalne energije i jednak je njenoj negativnoj promeni (4.8), pa je na osnovu toga E p = E k, odnosno E k + E p = 0. Dobijena formula ukazuje na činjenicu da je, u slučaju konzervativnih sila, zbir promena kinetičke i potencijalne energije jednak nuli. Ova formula dobija veoma važan oblik ako se najpre eksplicitno zapišu promene energija a dobijeni izraz preuredi i zapiše kao E kf E ki + E pf E pi = 0 E ki + E pi = E kf + E pf. Kako su početni i krajnji momenta izabrani proizvoljno, možemo da zaključimo da je zbir kinetičke i potencijalne energije, u slučaju kada tela interaguju samo konzervativnim silama, konstantan. Drugim rečima, zbir kinetičke i potencijalne energije se ne menja sa vremenom, odnosno važi da je E k + E p = const. (4.9) Dobili smo drugi iskaz teoreme (4.2), za slučaj kada deluju samo konzervativne sile, koji je poznat kao zakon održanja (konzervacije) mehaničke energije. Zbir kinetičke i potencijalne energije sistema se naziva mehanička energija. Sistem na koji deluju samo konzervativne sile se naziva zatvoren sistem jer se njegova ukupna energija ne menja, već dolazi samo do promena formi energije, potencijalna prelazi u kinetičku i obratno Nekonzervativne sile, otvoreni sistemi Obzirom da je za jednu klasu sila izabran poseban naziv konzervativne, interesantno je razmotriti i one druge koje to nisu, i koje se u skladu sa tim,

11 4.3. POTENCIJALNA ENERGIJA 113 nazivaju nekonzervativne. Nekonzervativne sile su one sile čiji rad zavisi od putanje duž koje se vrši. Sila trenja je dobar primer za ovo, naime, za guranje knjige po stolu (slika 4.7) će različit rad biti izvršen u zavisnosti od putanje kojom je guramo od tačke A do tačke B. 14 Slika 4.7: Gubitak kinetičke energije tela usled trenja zavisi od puta kojim se telo kreće. Kako rad zavisi od putanje, u ovom slučaju nije moguće definisati potencijalnu energiju koja odgovara nekonzervativnoj sili. Još je važnija činjenica da se, pri radu nekonzervativnih sila, sistemu ili dodaje ili oduzima energija. Pri trenju se tako zagreva površina kojom su tela u kontaktu, odnosno kinetička energija tela prelazi u toplotnu energiju koja napušta sistem. Osim toga, čak i kada bi se ova toplotna energija nekako uhvatila, ona ne može u potpunosti da se pretvori u rad. Sistem u kome postoje nekonzervativne sile se naziva otvoreni sistem, zbog činjenice da energija može da ga napušta ili ulazi u njega, kao i da menja oblike u toku toga. Često se za takve sisteme kaže da ne važi zakon održanja energije, što bi moglo da nas navede na pomisao da se sada sa energijom dešava nešto mistično i neobjašnjivo. Videli smo da deo energije u ovom slučaju napušta sistem ili ulazi u njega, pri čemu je moguće odrediti i gde ona nestaje kao i to šta je njen izvor. Preciznije tvrdjenje je da se mehanička energija ne održava kada na sistem deluju nekonzervativne sile. Na primer, kada se automobil, kočenjem, usled trenja sa podlogom zaustavlja, gubi kinetičku energiju, pri čemu se ona oslobadja kao toplota što umanjuje njegovu mehaničku energiju. 14 Pri ovome je naravno rad utoliko veći ukoliko je duža putanja.

12 114 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Slika 4.8: (a) Zatvoreni sistem. Stena pada na oprugu koja se sabije i izbaci je na istu visinu. (b) Otvoreni sistem. Kada ista stena padne na tlo, zaustavljaju je nekonzervativne sile i oduzimaju joj svu mehaničku energiju. Na slici 4.8 su uporedno prikazani efekti konzervativnih i nekonzervativnih sila. Na delu (a) je prikaz zatvorenog sistema u kome se održava ukupna mehanička energija. Kamen u početku poseduje samo potencijalnu energiju E pg usled toga što se nalazi u Zemljinom gravitacionom polju. Kada počne da pada deo potencijalne energije prelazi u kinetičku ali njihov zbir sve vreme ima istu vrednost. 15 Prilikom pada na oprugu, kamen izaziva njeno sabijanje povećavajući joj potencijalnu energiju a u momentu kada je opruga maksimalno sabijena ukupna mehanička energija sistema (kamen + opruga) je jednaka samo potencijalnoj energiji sabijene opruge E po. Sabijena opruga izbacuje kamen na više i on nakon odredjenog vremena dostiže istu visinu na kojoj je bio i na početku posmatranja ovog procesa. U situaciji prikazanoj na delu (b) iste slike, kamen ne pada na oprugu već na tlo, koje na njega deluje nekonzervativnim silama koje izazivaju gubitka energije kod njega (disipaciju) pri čemu ta izgubljena energija prelazi u toplotu, zvuk i deformaciju površine tla. Razmotrimo sada modifikaciju teoreme o radu i energiji za slučaj kada imamo posla i sa nekonzervativnim silama. Kao što smo videli, ukupni rad 15 Ukoliko se zanemari otpor vazduha.

13 4.4. ZAKON ODRŽANJA ENERGIJE 115 koji se izvrši nad sistemom, mora da bude jednak promeni njegove kinetičke energije. Ukupni rad medjutim, u principu, može da se sastoji od rada konzervativnih A c i nekonzervativnih sila A nc, odnosno Na osnovu toga je A = A c + A nc. A c + A nc = E k, a kako je rad konzervativnih sila A c = E p, konačno se dobija A nc = E k + E p. (4.10) Drugim rečima, ukupna mehanička energija E = E k + E p se menja tačno za iznos rada nekonzervativnih sila. 4.4 Zakon održanja energije Energija, kao što je već napomenuto, se održava i na taj način predstavlja jednu od najvažnijih fizičkih veličina u prirodu. Zakon održanja energije može da se formuliše na sledeći način: Ukupna energija je konstantna u svakom procesu. Ona može samo da menja oblik i da prelazi iz sistema u sistem ali u celini ostaje jednaka tokom vremena. Do sada je već pomenuto nekoliko oblika energije kao i načina za prelazak od jednog sistema u drugi. Jasno je da je pogodno definisati dva tipa energije - mehaničku (E k + E p ), i energiju koja se pojavljuje usled rada nekonzervativnih sila A nc. Energija medjutim može da ima razne forme, da se manifestuje na puno načina koje treba proučiti pre nego što se dodje do forme jednačine koja bi predstavljala zakon održanja energije. Ako zbir svih ostalih formi energije, koje do sada nisu pominjane, označimo oznakom E r, zakon održanja energije može da se zapiše u obliku E ki + E pi + A nc + E ri = E kf + E pf + E rf. (4.11) Svi tipovi energije i rada su na ovaj način uvršteni u formulu i ona je najopštija jednačina do sada koja predstavlja zakon održanja energije. Kada i u kojim oblicima se javljaju energije E r? Na primer u slučaju leta aviona, njega moramo prvo da opteretimo gorivom (kerozinom) koje će pokretati njegove motore. U tom slučaju kerozin prilikom sagorevanja prelazi u kinetičku energiju kretanja aviona i u potencijalnu energiju jer se avion radom motora pokreće i podiže na odredjenu visinu. Deo energije

14 116 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Objekat/fenomen Energija u džulima Big bang Energija koju oslobadja supernova Fuzija vodonika u okeanima Godišnja potrošnja energije u USA Fuziona bomba (9 megatona) 3, kg vodonika (fuzija u helijum) 6, kg urana (nuklearna fisija) 8, Bomba bačena na Hirošimu (10 kilotona) 4, barel sirove nafte 5, tona TNT 4, galon benzina 1, Hrana koju u toku dana unese odrasla osoba 1, Automobil od 1 tone pri brzini 90 km/h 3, g masti 3, g ugljenih hidrata 1, g proteina 1, komarac (m 10 2 g) pri brzini od 0,5 m/s 1, elektron u katodnoj cevi televizora 4, elektron pod dejstvom napona od 220 V 3, Energija potrebna da pokida DNK lanac Tabela 4.1: Neke karakteristične vrednosti energija. oslobodjene sagorevanjem kerozina prelazi medjutim u toplotu (jedna od oblika E r ) i u rad protiv sila otpora vazduha A nc. Koji drugi oblici energija postoje? Moguće je nabrojati dosta njih koji do sada nisu pominjani. Električna energija je uobičajen oblik energije koja se transformiše u druge forme energija i koja se koristi za vršenje raznih vrsta rada u domaćinstvu i industriji. Puno energetskih izvora na Zemlji u stvari predstavljaju energiju koja je došla sa Sunca a onda je usled nekih procesa uskladištena na odredjeni način. Takav je slučaj sa energijom koja se nalazi u hrani ili pak sa energijom koje poseduju vodotokovi. Nuklearna energija se dobija usled procesa u kojima se deo mase jezgara pretvara u energiju. Nuklearna energija se zatim koristi za dobijanje toplote i električne energije u elektranama, ili se pak oslobadja u eksplozijama bombi. Naredni vid energije je vezan za neprekidno i haotično kretanje atomi i molekula u telima. Odgovarajuća unutrašnja kinetička energija predstavlja toplotnu energiju, jer je u vezi sa temperaturom tela. Pobrojane forme energije kao

15 4.5. SNAGA 117 i sve ostale koje nisu pomenute, mogu da prelaze iz jednog oblika u druge i da se koriste za vršenje rada, medjutim uvek je ukupna količina energije konstantna odnosno održana. 4.5 Snaga Kada se pomene reč snaga imamo više asocijacija iz života. Profesionalni bokser teške kategorija bi mogao da bude jedna od njih jer je reč očigledno o snažnom čoveku. Automobili formule jedan imaju veoma snažne motore za koje kažemo da su snažniji od motora običnih putničkih automobila,.... Sve ove predstave o snazi imaju kao zajedničku osnovu ideju da je reč o izuzetnoj sposobnosti da se izvrši rad a to je u skladu sa naučnom definicijom fizičke veličine snaga. Snaga je brzina vršenja rada, odnosno P = A t. (4.12) SI jedinica za snagu je J/s koja se takodje naziva i vat (W), 16 pri čemu je 17 1 W = 1 J/s = 1 kg m 2 /s 3. Pošto pri vršenju rada zapravo dolazi do prelaska energije, sa jednog tela na drugo, snaga predstavlja brzinu ovog prelaženja, odnosno utroška energije. Na primer sijalica od 60 W, troši 60 J energije u sekundi. Velika snaga znači veliku količinu energije koja se za kratko vreme utroši za vršenje rada. Ukoliko veliki automobil poveća za kratko vreme znatno svoju brzinu, to znači da je za taj interval vremena izvršen veliki rad koji je naravno povezan sa utroškom velike količine goriva. Snaga Sunčevog zračenja koja dolazi do jedinične površine Zemlje (1 m 2 ) ima maksimalnu snagu oko 1,2 kw. Veoma mali deo te energije ostaje uskladišten duže vreme na Zemlji. Čovečanstvo troši fosilna goriva daleko brže nego što se ona stvaraju uz pomoć Sunčeve energije, tako da je neizbežna činjenica da će se njihovi izvori u ne takoj dalekoj budućnosti osiromašiti. Kada je reč o prelasku jednog oblika energije u drugi, retko se dešava da dolazi do kompletnog transfera. Na primer, obična sijalica sa užarenom niti, snage 60 W, konvertuje samo 5 W električne snage u svetlost, dok ostatak 16 Po izumitelju parne mašine Džemsu Vatu (James Watt). 17 Pogotovu kada je reč o snazi automobila često je u svakodnevnoj upotrebi britanska jedinica za snagu pod nazivom konjska snaga KS, čija veza sa SI jedinicom je data izrazom 1 KS=746 W.

16 118 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Objekat/fenomen Snaga u vatima Supernova (na maksimumu snage) Mlečni put Pulsar Sunce Erupcija vulkana na ostrvu Sveta Jelena (maksimum) Munja Nuklearna elektrana Borbeni avion 10 8 Automobil Mašina za sušenje veša Čovek u stanju mirovanja (toplota) 100 Sijalica sa užarenim vlaknom 60 Srce čoveka u stanju mirovanju 8 Električni sat 3 Džepni digitron 10 3 Tabela 4.2: Iznos snage u nekim procesima. od 55 W predstavlja toplotu. Prosečna elektrana konvertuje 35 do 40% goriva u električnu energiju. Ostatak do 100% čini toplota koje elektrana mora da se oslobadja onom brzinom kojom se i stvara. Da bi nuklearna elektrana proizvela MW električne snage, mora da utroši oko MW nuklearne energije. Ostatka od MW toplote, elektrana mora da se nekako oslobodi, usled čega mora da bude opremljena izvanrednim sistemom za hladjenje. U svakom domaćinstvu postoje uredjaji koji za svoj rad koriste električnu energiju. Na kraju meseca elektrodistribucija ispostavlja račune za utrošenu električnu energiju. Ukoliko znamo snagu uredjaja koje koristimo i ako izmerimo vreme njihovog rada možemo da procenimo koliko smo energije potrošili. Jasno je da, što je veća snaga uredjaja i što ga duže koristimo, više energije smo potrošili. Na osnovu izraza za snagu P = E/t, gde je E energija koju nam je isporučila elektrodistribucija, koju smo potrošili za interval vremena t, iznos utrošene energije je E = P t. Na računima za utrošenu električnu energiju, ona je izražena u kw h, odnosno u jedinici snage pomnožene vremenom korišćenja. Obzirom da je snaga uredjaja obično data u kw, potrošenu energiju je najlakše izraziti u kw h.

17 4.5. SNAGA 119 Pošto je iz napred izloženog jasno da je utrošena električna energija direktno proporcionalna snazi električnog uredjaja i vremenu njegovog korišćenja, da bi smanjili potrošnju energije u domaćinstvu treba se truditi da umanjimo ili jedan ili drugi faktor. Pri ovome je takodje veoma važna efikasnost uredjaja. Podsetimo se neverovatno male efikasnosti sijalice sa užarenom niti koja od 60 W snage u svetlost konvertuje samo 5 W dok ostatak predstavlja toplotne gubitke. Dakle, zamena takvih sijalica energetski efikasnijim dovodi do značajnog smanjenja utrošene električne energije Energetika Rad, energija i snaga ljudi. Efikasnost Naša tela, kao i svi živi organizmi, jesu objekti u kojima se odvija prelazak energije iz jednih oblika u druge. U njima se energija koju unosimo hranom, pretvara u tri glavna oblika energije: rad, toplotnu i hemijsku energiju koja se gomila u masnim naslagama, dok oko 5% unete energije ostaje neiskorišćeno i izlučuje se iz organizma. Udeo sa kojim se uneta energija pretvara u druge oblike, zavisi od toga koliku smo količinu hrane uneli u organizam kao i od nivoa njegove fizičke aktivnosti. Ukoliko jedemo više nego što nam treba, za funkcionisanje organizma, obavljanje uobičajenih fizičkih aktivnosti, odnosno rad, i za održavanje odgovarajuće temeperature tela, višak hrane odlazi u masne naslage. Slika 4.9: Energija koju unose živa bića hranom se transformiše u rad, toplotu i masne naslage. Daleko najveći deo odlazi na toplotu, a tačan odnos ovih oblika energije zavisi od fizičke aktivnosti. Rad koji vrši ljudsko telo se ponekad naziva korisnim radom, a reč je

18 120 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA o radu koji se vrši nad telima van sistema (ljudskog organizma), kao što je na primer podizanje i prenošenje raznih tela. Koristan rad se vrši delovanjem sila kojima pomeramo tela koja se nalaze oko nas, a ne uključuje unutrašnji rad, kao što je na primer onaj koji vrši srce pumpajući krv. Medjutim, koristan rad uključuje rad prilikom penjanja stepenicama ili rad pri ubrzavanju tela pri trčanju, pošto je izvršen delovanjem silama na objekte van tela. Sile kojima telo deluje su nekonzervativne, pa tako one menjaju ukupnu mehaničku energiju (E k +E p ) sistema na koji se deluje silama. To je obično i cilj vršenja rada nad spoljašnjim telima. Tako na primer, fudbaler šutirajući loptu povećava i njenu kinetičku i potencijalnu energiju. Tela nisu medjutim u mogućnosti da pretvore celokupnu količinu unete hrane, odnosno energije, u rad. Veliki deo unete energije se pretvara u toplotnu energiju. Sa druge strana, kada vršimo rad na drugim telima mi takodje proizvodimo dodatnu količinu toplotne energije proporcionalno izvršenom radu. Energetska efikasnost E ef se definiše kao odnos izvršenog korisnog rada i unete energije, odnosno E ef = A iz E u, (4.13) gde je A iz izvršeni rad a E u je energija koja je uneta u telo (hranom iz koje se varenjem dobija energija koju telo može da koristi). Kako je izvršeni rad takodje jedna od formi energije, efikasnost može takodje da se predstavi kao E ef = E d E u, (4.14) gde je E d, energija dobijena na osnovu unete energije u telo. Ova definicija se pomalo razlikuje od prethodne jer izvršeni rad ne mora da bude jednak dobijenoj energiji. Kako je, osim toga, snaga zapravo jednaka odnosu energije i vremena za koje se ona transferiše, ako i brojilac i imenilac relacije (4.14) podelimo vremenom, dobićemo izraz za efikasnost u kojem figurišu odgovarajuće snage E ef = P d P u, (4.15) gde je P u konzumirana odnosno uneta a P d dobijena snaga koja se koristi za vršenje korisnog rada ii za dobijanje željene forme energije. 18 U tabeli 4.3 su prikazane energetske efikasnosti (u procentima) sa kojima se odvijaju neke ljudske kao i neke aktivnosti u drugim sistemima. Obzirom 18 Prva formula za efikasnost je preciznija jer u druga dva slučaja postoji elemenat subjektivnosti oko toga kako definisati željeni oblik dobijene energije, odnosno snage.

19 4.5. SNAGA 121 na zakon održanja energije, efikasnost ne može biti veća od 1, ili izraženo u procentima od 100%, ali je veoma važna činjenica da je ovaj koeficijent obično znatno manji od 1! Razlog za ovo leži u činjenici da svi pobrojani sistemi koriste ili toplotnu energiju ili pak hemijsku da bi iz njih dobili koristan rad. Aktivnost/uredjaj Efikasnost (%) Vožnja bicikle i penjanje uz uspon 20 Plivanje po površini vode 2 Plivanje pod vodom 4 Kopanje ašovom 3 Dizanje tegova 9 Parna mašina 17 Benzinski motor 30 Dizel motor 35 Nuklearna elektrana 35 Termoelektrana 42 Tabela 4.3: Efikasnost ljudskog tela i nekih mehaničkih uredjaja. Teškoća u dobijanju korisnog rada iz ovih vrsta energije se sastoji u tome što je na primer toplotna energija povezana sa haotičnim kretanjem atoma i molekula, dok je vršenje rada povezano sa visoko koordiniranim kretanjem prilikom koga sila deluje i pomera neko telo za odredjeno rastojanje. 19 Efikasnost ljudskog tela je ograničena u prvom redu efikasnošću mišića u konvertovanju hrane unete u organizam u koristan rad. Mišić sam za sebe, može da ima efikasnost izmedju 25 i 30%. Kod odredjivanja ukupne efikasnosti moramo da uzmemo u obzir energiju koja je potrebna za funkcionisanje celog tela pa je usled toga njegova efikasnost uvek znatno manja od efikasnosti individualnog mišića. Hrana koja se unosi u organizam jeste, kao što je naglašeno ranije, jedna od ostalih vrsta energije koje smo označili sa E r. Prilikom njenog varenja ona prelazi u druge oblike energije. U metaboličkim procesima se pri tom vrši oksidacija tako da se potrošnja energije pri aktivnostima ljudskog tela može odrediti merenjem količine kiseonika koji se pri tome iskoristi Haotičnim kretanjem atoma i molekula je nemoguće koordinirati i pretvoriti ga u usmereno kretanje, pa se za vršenje rada na osnovu toplotne energije primenjuju druge metode o kojima će biti reči u oblasti termodinamike. 20 Kako su metabolički procesi slični drugim oksidacionim procesima, energetska vrednost hrane se odredjuje njenim sagorevanjem i merenjem toplote koja se pri tome oslobodi.

20 122 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Brzina kojom ćemo izvesti neku fizičku aktivnost je veoma važna (na primer trke atletičara). Što je za kraće vreme izvršena aktivnost, veća je i njena takozvana izlazna snaga. Ukoliko želimo da se trčećim korakom popnemo uz stepenice, izlazna snaga aktivnosti, P = mgh t (m je masa našeg tela a h je visina na sprata na koji se penjemo za vreme t), će biti veća nego kada se penjemo ne žureći. Razlog je u tome što je u prvom slučaju vremenski interval, za koji je telu promenjena potencijalna energija za istu vrednost mgh, manji. Iako je izvršeni rad isti u oba slučaja i iznosi mgh, efekti koje imaju ovakve ativnosti na telo nisu isti. Naporne aktivnosti izazivaju porast u srčanim i respiratornim aktivnostima i mogu da imaju i dugotrajniji uticaj na metaboličke procese u telu. Aktivnost E/t [kcal/min] E/t [W] O 2 [l/min] Spavanje 1,2 83 0,24 Sedenje 1, ,34 Stajanje 1, ,36 Sedenje u učionici 3, ,60 Šetanje (4,8 km/h) 3, ,76 Vožnja bicikle (13-18 km/h) 5, ,14 Drhtanje 6, ,21 Igranje tenisa 6, ,26 Prsno plivanje 6, ,36 Klizanje na ledu (14,5 km/h) 7, ,56 Penjanje uz stepenice (116/min) 9, ,96 Vožnja bicikle (21 km/h) 10, ,00 Kros trčanje 10, ,12 Igranje košarke 11, ,28 Vožnja bicikle (trke) 26, ,30 Sprintanje 34, ,90 Tabela 4.4: Utrošak energije i kiseonika (O 2 ) u jedinici vremena. Podaci su dati za prosečnog čoveka mase 76 kg. Apsolutno sve aktivnosti ljudskog organizma, od razmišljanja do dizanja tegova zahtevaju utrošak energije. Situacije u kojima je telo na prvi pogled vema malo aktivno (prilikom spavanja, češkanja po glavi) su obavezno praćene vidljivim i nevidljivim aktivnostima odredjenih mišića (srce, pluća, digestivni trakt). Drhtanje tela kada nam je hladno je nevoljna reakcija na snižavanje temperature tela, pri kojoj se mišići kontrahuju i relaksiraju i pri

21 4.6. IMPULS. ZAKON ODRŽANJA IMPULSA 123 tome prozivode toplotu. Bubrezi i jetra troše iznenadjujuće veliku količinu energije a čak 25% energije unete u telo se koristi za održavanje električnog potencijala u ćelijama Impuls. Zakon održanja impulsa Impuls i drugi Njutnov zakon Impuls se definiše kao proizvod mase sistema i njegove brzine, odnosno p = m v, (4.16) i reč je o vektorskoj veličini istog pravca i smera kao brzina v. SI jedinica za impuls je kg m/s. Veliki značaj impulsa fiziku je uočen veoma rano, pre nego što je to bio slučaj sa energijom. Impuls je smatran toliko značajnim da je dobio i ime količina kretanja. Čak je i Njutn, svoj drugi zakon, formulisao ne preko ubrzanja, već preko impulsa tvrdnjom da je rezultujuća spoljašnja sila koja deluje na sistem jednaka promeni impulsa sistema u jedinici vremena, odnosno F = p t, (4.17) gde je F rezultujuća spoljašnja sila, p je promena impulsa a t vremenski interval za koji se ona desila. Ova, izvorna, forma II Njutnovog zakona je zapravo i najopštija. Ranija formulacija (3.2) je u stvari samo jedan specijalan slučaj koji može relativno lako da se izvede iz sada navedenog oblika. Primetimo prvo da je promena impulsa p = (m v). Ukoliko je masa tela konstantna, promena impulsa je (m v) = m v, pa II Njutnov zakon, za tela konstantne mase, glasi F = p t = m v t. Kako je v/ t = a, ovaj izraz poprima uobičajen oblik F = m a. Njutnov zakon u izvornom obliku (4.18) je mnogo opštiji jer može da se primeni i na sisteme čija masa se menja sa vremenom (na primer raketa) kao i na one čija masa je konstantna. 21 Nervne ćelije koriste te potencijale za prenošenje nervnih impulsa.

22 124 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA Zakon održanja impulsa Intuitivno je jasno da efekat delovanja sile na neko telo zavisi od veličine primenjene sile i od toga koliko dugo deluje na njega. Promena impulsa tela p, pri delovanju neke sile F za interval vremena t je, prema jednačini (4.18) p = F t. Veličina F t se naziva impuls sile, i kao što vidimo, ona je jednaka promeni impulsa, odnosno količine kretanja, tela. Slično energiji, i za impuls važi zakon održanja, naravno pod odredjenim uslovima. Da bi došli do njih pogodno je analizirati situaciju koja se dešava pri laganom sudaru na primer dva kamiona (slika 4.10). Neka su se oba kretala u istom smeru i neka je drugi, krećući se većom brzinom sustigao prvi i udario u njega. Slika 4.10: Kamioni pre i posle sudara. Ukupan impuls sistema ostaje nepromenjen. Kao rezultat sudara, drugom kamionu se smanjuje brzina, dok se prvom povećava. Pokazaćemo da se pri ovome ukupan impuls sistema ne menja. Promena impulsa prvog kamiona je p 1 = F 1 t,

23 4.7. ZADACI 125 gde je F 1 sila kojom na kamion 1 deluje kamion 2, dok je t vreme trajanja sudara. Slično, promena impulsa drugog kamiona je p 2 = F 2 t, gde je F 2 sila kojom na kamion 2 deluje kamion 1, dok je vreme trajanja sudara t isto u oba slučaja. Prema trećem Njutnovom zakonu, je F 2 = F 1, pa će biti p 2 = F 1 t = p 1. Prema tome, ukupna promena impulsa sistema je p 1 + p 2 = 0, iz čega sledi da je ukupna impuls sistema konstantan, što se, piše kao p 1 + p 2 = const, odnosno p 1 + p 2 = p 1 + p 2. U ovom izrazu su p 1 i p 2 impulsi jednog i drugog kamiona nakon sudara. U razmatranom primeru, tela su se kretala u jednoj dimenziji, ali slični izrazi važe i ako se tela kreću u više dimenzija, uz uslov da je sistem izolovan, odnosno da je rezultanta svih sila jednaka nuli. Drugim rečima, za izolovan sistem, važi zakon održanja impulsa koji se zapisuje kao p tot = const, ili p tot = p tot, (4.18) gde je sa p tot označen ukupan impuls sistema u nekom momentu vremena, a p tot je takodje ukupan impuls ali u nekom docnijem momentu vremena. 4.7 Zadaci 1. Koliko je mesečni (uzeti da mesec ima 30 dana) trošak slušanje muzike na stereo aparatu snage 200 W ukoliko se on koristi 6,0 h dnevno u periodu kad je cena kilovat časa električne energije 3,8 dinara? 2. Odrediti energetsku efikasnost dizača tegova koji metabolizira 8,00 kcal hrane dok podiže tegove od 120 kg na visinu od 2,30 m. 4.8 Rešenja 1. Utrošena električna energija u kw h je E = P t = (0, 200 kw)(6, 00 h/dan)(30 dana) = 36, 0 kw h,

24 126 GLAVA 4. RAD, ENERGIJA, SNAGA a koštaće Cena = (36, 0 kw h)(3, 8 din/kw h) = 136, 8 dinara. 2. Korisni izvršeni rad je u ovom slučaju jednak promeni potencijalne energije tegova koja, odnosno A iz = E d = mgh, pa je energetska efikasnost E ef = mgh, E u gde je uneta količina energije E u = (8, 00 kcal)(4186 J/kcal) = 33, 488 J. Na osnovu ovoga je energetska efikasnost E ef = (120 kg)(9, 80 m/s2 )(2, 30 m) 33, 488 J = 0, 0833 = 8, 33%.

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike 1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica. Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika, kinematika i elastičnost

Mehanika, kinematika i elastičnost Mehanika, kinematika i elastičnost Marko Petković Sreda, 9. Mart 006. god. 1 Osnovne relacije 1. Drugi Njutnov zakon: m v t = F ; m a = F + mω R + m( v ω). Priraštaj impulsa sistema: p p 1 = F t (ako je

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3.1. Gravitaciona sila Prema Opštem zakonu gravitacije, dvije čestice masa m 1 i m 2 se međusobno privlače silom koja je proporcionalna proizvodu masa dvije čestice

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika

TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika Voja Radovanović Fizički fakultet Univerzitet u Beogradu Beograd, 2016. 2 Sadržaj 1 Njutnova mehanika 9 1.1 Elementi kinematike tačke..............................

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Računske vežbe iz Fizike

Računske vežbe iz Fizike Računske vežbe iz Fizike Praktikum Decembar 2009 Mašinski Fakultet Kraljevo Zlatan Šoškić Predgovor Ovaj praktikum je zamišljen kao pomoćni materijal koji se koristi u nastavi predmeta Fizika na Mašinskom

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα