ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.
|
|
- Τιτάνια Δάβης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
2 Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss (GE) Ας ϑεωρήσουµε το γραµµικό σύστηµα a (1) 11 a (1) 1 a (1) 31 x1 + a(1) 1 x + a(1) 13 x1 + a(1) x + a(1) 3 x3 + + a(1) x3 + + a(1) 1n xn = b(1) 1 n xn = b(1) x1 + a(1) 3 x + a(1) 33 x3 + + a(1) 3n xn = b(1) 3 x1 + a(1) x + a(1) x3 + + a(1) nn x n = b (1) a (1) n1 το οποίο µπορεί να γραφεί και 64 n n3 a (1) 11 a (1) 1 a (1) 13 a (1) 1n a (1) 1 a (1) a (1) 3 a (1) n a (1) 31 a (1) 3 a (1) 33 a (1) 3n a (1) n1 a (1) n a (1) n3 a (1) nn x 1 x x 3 x n 3 n 75 = 6 4 b (1) 1 b (1) b (1) 3 b (1) n 3 75 (1) () ή απλά A (1) x = b (1), µε det A (1) 0 και b (1) 0 (3) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου 010 / 85
3 1ο ϐήµα Απαλοιφή του αγνώστου x 1 από τις γραµµές i =, 3,, n, πολλαπλασιάζοντας την οδηγό γραµµή 1 µε τους πολλαπλασιαστές m i1 = a(1) i1 a (1) 11, i =, 3,, n και προσθέτοντας στις γραµµές i =, 3,, n, αντίστοιχα Ενηµέρωση(τροποποίηση) των στοιχείων a () ij = a (1) ij + m i1a (1) 1j, i =, 3,, n, j =, 3,, n και b () i = b (1) i + m i1b (1) 1, i =, 3,, n Ετσι προκύπτει το ισοδύναµο σύστηµα a (1) 11 x1 + a(1) 1 x + a(1) 13 a () x + a() 3 a () 3 x + a() 33 x3 + + a(1) x3 + + a() x3 + + a() 1n xn = b(1) 1 n xn = b() 3n xn = b() 3 nn x n = b () n a () n x + a() n3 x3 + + a() (4) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
4 1ο ϐήµα Το σύστηµα µπορεί να γραφτεί a (1) 11 a (1) 1 a (1) 13 a (1) 1n a () a () 3 a () n 0 a () 3 a () 33 a () 3n a () n a () n3 a () nn x 1 x x 3 x n = b (1) 1 b () b () 3 b () n ή απλά A () x = b () ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
5 ο ϐήµα Απαλοιφή του αγνώστου x από τις γραµµές i = 3, 4,, n, πολλαπλασιάζοντας την οδηγό γραµµή µε τους πολλαπλασιαστές m i = a() i a (), i = 3, 4,, n και προσθέτοντας στις γραµµές i = 3, 4,, n, αντίστοιχα Ενηµέρωση(τροποποίηση) των στοιχείων a (3) ij = a () ij + m ia () j, i = 3, 4,, n, j = 3, 4,, n και b (3) i = b () i + m ib (), i = 3, 4,, n Ετσι προκύπτει το ισοδύναµο σύστηµα a (1) 11 x1 + a(1) 1 x + a(1) 13 a () x + a() 3 x3 + + a(1) 1n xn x3 + + a() n xn a (3) 33 x3 + + a(3) 3n xn a (3) n3 x3 = b(1) 1 = b() = b(3) a(3) nn x n = b (3) n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
6 ο ϐήµα Το σύστηµα µπορεί να γραφτεί a (1) 11 a (1) 1 a (1) 13 a (1) 1n a () a () 3 a () n a (3) 33 a (3) 3n 0 a (3) n3 a (3) nn x 1 x x 3 x n = b (1) 1 b () b (3) 3 b (3) n ή A (3) x = b (3) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
7 Μετά από r 1 ϐήµατα + a (1) 1 x + + a(1) 1,r 1 a () x + + a(),r 1 xr 1 + a(1) 1,r xr 1 + a(),r xr + + a(1) xr + + a() a (r 1) r 1,r 1xr 1 + a(r 1) r 1,r 1n xn = b(1) 1 n xn = b() xr + + a(r 1) a (r) r,r x r + + a (r) rn x n = b (r) r r 1,nxn = b(r 1) r 1 a n,rx (r) r + + a (r) nn x n = b (r) n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
8 r 1 ϐήµα Το σύστηµα µπορεί να γραφτεί a (1) 11 a (1) 1 a (1) 1,r 1 a (1) 1r a (1) 1n a () a (),r 1 a () r a () n 0 a (r 1) r 1,r 1 a (r 1) r 1,r a (r 1) r 1,n a (r) rr a (r) rn 0 a (r) nr a (r) nn x 1 x x r 1 x r x n = b (1) 1 b () b (r 1) r 1 b (r) ṛ b (r) n ή A (r) x = b (r) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
9 Τελικά, µετά από n 1 ϐήµατα το αρχικό σύστηµα µετατρέπεται στο ακόλουθο άνω τριγωνικό σύστηµα εξισώσεων a (1) 11 x1 + a(1) 1 x + + a(1) a () x + a(),r 1 1,r 1xr 1 + a(1) 1,r xr 1 + a(),r xr + + a(1) xr + + a() 1n xn = n xn = a (n 1) n 1,n 1xn 1 + a(n 1) n 1,n xn = a (n) nn x n = b(1) 1 b() b(n 1) n 1 b (n) n (5) ή A (n) x = b (n), (6) όπου A (n) είναι ένας άνω τριγωνικός πίνακας Το σύστηµα µπορεί να λυθεί πολύ εύκολα µε την προς τα πίσω αντικατάσταση από τον τύπο και x i = b(i) i x n = b(n) n a (n) nn Pn j=i+1 a(i) ij x j a (i) ii, i = n 1( 1)1 (7) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
10 Επίλυση των l γραµµικών συστηµάτων Ax k = b k, k = 1(1)l όπου x k = [x 1k, x k,, x nk ] T και b k = [b 1k, b k,, b nk ] T το οποίο γράφεται συµβολικά: A X = B όπου X, B n l πίνακες (συνήθως l n) Αν υποθέσουµε det(a) 0, µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss στον επαυξηµένο πίνακα [A : B] Ειδική περίπτωση B = I Υπολογισµός του αντιστρόφου A 1 ή A X = I Ax k = e k, k = 1,,, n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
11 Υπολογισµός της ορίζουσας det(a) Η τιµή της ορίζουσας ενός πίνακα είναι το γινόµενο των οδηγών στοιχείων στη µέθοδο της απαλοιφής του Gauss ηλαδή : det(a) = a (1) 11 a() a(3) 33 a(n) nn ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
12 Αλγόριθµος της µεθόδου Gauss για τη επίλυση του Ax = b 1 ιάβασε τα δεδοµένα A = (a ij ), 1 i, j n, b = (b i ), 1 i n Για i = 1,,, n να τεθεί a i,n+1 = b i 3 Για r = 1,,, n 1 εκτελούνται τα ϐήµατα Εστω p ο µικρότερος ακέραιος για τον οποίο a p,r 0, p = r, r + 1,, n Αν δεν υπάρχει ο p τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση Πήγαινε στο τέλος 3 Αν p r τότε (εναλλάσονται οι p και r γραµµές) Για q = r, r + 1,, n + 1 εκτελούνται οι αντικαταστάσεις s = a rq a rq = a pq a pq = s 33 Για i = r + 1, r +,, n εκτελούνται τα ϐήµατα Να τεθεί m ir = air a rr 33 Για j = r + 1, r +,, n + 1 να τεθεί a ij = a ij + m ira rj ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
13 Αν a nn = 0 τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση Πήγαινε στο τέλος Να τεθεί (πίσω αντικατάσταση) x n = a n,n+1 /a nn Για i = n 1, n,, 1 να τεθεί [ ai,n+1 ] n j=i+1 x i = a ijx j Εκτύπωση της λύσης x i, 1 i n Τέλος a ii ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
14 Τροποποίηση της µεθόδου Απαλοιφής του Gauss Είναι ϕανερό ότι αν κάποιο οδηγό στοιχείο είναι µηδέν τότε η µέθοδος GE σταµατά Για να αποφύγουµε µια τέτοια περίπτωση πρέπει ο προηγούµενος αλγόριθµος να αναζητά τους συντελεστές της r στήλης κάτω από την κύρια διαγώνιο µέχρις ότου ϐρεθεί ένας ο οποίος είναι διάφορος του µηδενός, έστω ο a (r) ir Στην συνέχεια εναλλάσει τις i και r γραµµές και χρησιµοποιεί τη νέα εξίσωση σάν οδηγό Η διαδικασία αυτή δεν αλλάζει το µαθηµατικό πρόβληµα καθ οσον η τυπική λύση του συστήµατος είναι ανεξάρτητη από την διάταξη των εξισώσεων στο σύστηµα ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
15 Θεώρηµα 313 Αν ο A (1) είναι αντιστρέψιµος(δηλ µη ιδιάζων), τότε υπάρχει ένας µη µηδενικός συντελεστής a (r) ir Θεώρηµα 314 Το σύστηµα A (1) x = β (1) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα A (n) x = β (n) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
16 Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό σύστηµα x 1 + x x 3 = 0 x 1 x = 1 x 1 + 7x 3x 3 = 5 Να υπολογιστεί η λύση του ανωτέρω συστήµατος µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (i) χωρίς οδήγηση και (ii) µε µερική οδήγηση ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
17 Λύση (i) Gauss χωρίς οδήγηση Κατασκευάζουµε τον επαυξηµένο πίνακα [A b], ο οποίος στην προκειµένη περίπτωση είναι ο Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss χωρίς οδήγηση παρουσιάζοντας τους πολλαπλασιαστές από τα αριστερά για κάθε γραµµή Ετσι έχουµε διαδοχικά τους ακόλουθους υπολογισµούς ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
18 ο ϐήµα ο ϐήµα ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
19 Λύση του τριγωνικού συστήµατος x 1 + x x 3 = 0 3x x 3 = 1 x 3 = Αρα x 3 = 1, x = 1 και x 1 = 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
20 Λύση (ii) Gauss µε µερική οδήγηση Εργαζόµαστε µε ανάλογο τρόπο ανταλλάσοντας, όπου απαιτείται, τις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα Ετσι έχουµε (1) Οι αριθµοί των () παρενθέσεων δηλώνουν τη διάταξη των γραµµών (3) () (1) (3) Ανταλλαγή των δύο πρώτων γραµµών ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
21 () (1) (3) () (3) (1) () (3) (1) 1ο ϐήµα Ανταλλαγή των δύο τελευταίων γραµµών ο ϐήµα ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
22 Επίλυση του τριγωνικού συστήµατος x 1 x = 1 15 x 3x 3 = 9 5 x 3 = 5 Η λύση είναι η x 3 = 1, x = 1 και x 1 = 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου 010 / 85
23 Στο προηγούµενο παράδειγµα η αναγκαία ανταλλαγή γραµµών εφαρµόστηκε άµεσα έτσι ώστε να µην ξεφύγει η προσοχή µας από την στρατηγική της µερικής οδήγησης Στην πράξη, είναι πιο αποτελεσµατικό να κάνουµε τις ανταλλαγές των γραµµών µε ένα έµµεσο τρόπο Αυτό επιτυγχάνεται µε την χρήση ενός διανύσµατος διάστασης n, τέτοιου ώστε το i-οστό στοιχείο του να δηλώνει τη γραµµή του πίνακα που περιέχει τους συντελεστές της i-οστής εξίσωσης Ας συµβολίσουµε µε h το διάνυσµα αυτό µε αρχικές τιµές την αρίθµηση των γραµµών, δηλαδή h = [1,, 3,, n] T Ετσι, κάθε ϕορά που απαιτείται ανταλλαγή δύο γραµµών, αρκεί µόνο η αντιµετάθεση των αντίστοιχων στοιχείων του διανύσµατος Κάθε αναφορά σε µια γραµµή του πίνακα συντελεστών ή σε ένα στοιχείο του διανύσµατος του δεξιού µέλους πρέπει να γίνει µέσω του διανύσµατος h ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
24 Οι αρχικές τιµές του h είναι h = [1,, 3] T Για τον προσδιορισµό του οδηγού στοιχείου εξετάζονται οι τιµές a h1,1 = 1 = 1, a h,1 =, a h3,1 = 1 Η µεγαλύτερη τιµή αντιστοιχεί στη γραµµή και ανταλλάσσονται το πρώτο και το δεύτερο στοιχείο του h, οπότε h = [, 1, 3] T Μετά το ϐήµα της απαλοιφής ο πίνακας γίνεται (ϐλ προηγούµενο παράδειγµα (ii) ) Για τον προσδιορισµό του οδηγού στοιχείου ελέγχονται οι τιµές a h, = 3/, a h3, = 15/ Η µεγαλύτερη αντιστοιχεί στη γραµµή 3, συνεπώς ανταλλάσονται το δεύτερο και το τρίτο στοιχείο του h, οπότε h = [, 3, 1] T ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
25 Μετά το ϐήµα της απαλοιφής, ο πίνακας γίνεται Τέλος, η προς τα πίσω αντικατάσταση δίνει x 3 = b h 3 a h3,3 x = b h a h,3x 3 a h, = b 1 a 13 = /5 /5 = 1 x 1 = b h 1 a h1,x a h1,3x 3 a h1,1 = b 3 a 33 x 3 9/ ( 3) 1 = = 1 a 3 15/ = b a x a 3 x 3 = 1 ( 1) = 1 a 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
26 Ο αλγόριθµος απαλοιφής του Gauss µε µερική οδήγηση 1 ιάβασε τα δεδοµένα n, A = (a ij ), 1 i, j n και b = (b i ), 1 i n Για i = 1,,, n να τεθεί a i,n+1 = b i 3 Για i = 1,,, n να τεθεί h(i) = i ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
27 4 Για r = 1,,, n 1 να εκτελεστούν τα ϐήµατα (διαδικασία απαλοιφής) 41 Εστω p ο µικρότερος ακέραιος µε r p n και a(h(p), r) = max a(h(j), r) r j n 4 Αν a(h(p), r) = 0 τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση Τέλος 43 Αν h(r) h(p) τότε (ανταλλαγή των τιµών των h(p) και h(r)) q = h(r) h(r) = h(p) h(p) = q (προσοµοίωση της ϕυσικής ανταλλαγής των γραµµών) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
28 44 Για i = r + 1, r +,, n να εκτελεστούν τα ϐήµατα 441 και Να τεθεί a(h(i), r) m(h(i), r) = a(h(r), r) 44 Για j = r + 1, r +,, n + 1 να εκτελεσθεί a(h(i), j) = a(h(i), j) + m(h(i), r)a(h(r), j) Αν a(h(n), n) = 0 τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση Πήγαινε στο τέλος Επίλυση τριγωνικού συστήµατος(µε προς τα πίσω αντικατάσταση) 5 Να τεθεί x n = a(h(n), n + 1)/a(h(n), n) 6 Για i = n 1, n,, 1 να υπολογιστούν οι x i = a(h(i), n + 1) n j=i+1 a(h(i), j)x j a(h(i), i) 7 Εκτύπωση της λύσης x i, i = 1,,, n Τέλος ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
29 Παρατήρηση Ενώ για αρκετά γραµµικά συστήµατα η µερική οδήγηση παράγει ικανοποιητικά αποτελέσµατα, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η τεχνική αυτή δεν είναι αρκετή ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
30 Παράδειγµα Εστω το γραµµικό σύστηµα 3000x x = x = 4678 Αν εφαρµοστεί ο προηγούµενος αλγόριθµος µε αριθµητική τεσσάρων ψηφίων ϑα έχουµε m 1 = = που οδηγεί στο σύστηµα 3000x x = x = το οποίο έχει τις λύσεις x = 1001 και x 1 = 1000 Ωστόσο οι ακριβείς λύσεις του αρχικού συστήµατος είναι οι x 1 = 1000 και x = 1000 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
31 Μία διαδικασία µερικής οδήγησης, η οποία ϑα µπορούσε να αντεπεξέλθει τη δυσκολία αυτή για τις οποίες η προηγούµενη µέθοδος παρουσιάζει πρόβληµα είναι η λεγόµενη βαθµωτή (scaled) µερική οδήγηση Στην τεχνική αυτή διαιρούνται οι γραµµές, από την οδηγό µέχρι την τελευταία, µε τον εκάστοτε µεγαλύτερο κατά απόλυτο τιµή συντελεστή της κάθε γραµµής Στη συνέχεια εφαρµόζεται η µερική οδήγηση Για το παράδειγµα αυτό έχουµε = και = οπότε εναλλάσονται οι δύο γραµµές και το αποτέλεσµα της απαλοιφής δίνει τις ακριβείς λύσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
32 Βαθµωτή (scaled) µερική οδήγηση Οι δε αλλαγές που διαφέρουν από την προηγούµενη µέθοδο είναι στα ϐήµατα 3-41, τα οποία ϑα πρέπει να αντικατασταθούν µε τα: 3 Για i = 1,,, n να εκτελεσθούν τα ϐήµατα s i = max 1 j n a ij 3 Αν s i = 0 τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση 33 h[i] = i 4 Για r = 1,,, n 1 να εκτελεστούν τα ϐήµατα Εστω p ο µικρότερος ακέραιος µε r p n και a(h(p), r) s(h(p)) = max r j n a(h(j), r) s(h(j)) Η ανωτέρω τεχνική µπορεί επίσης να πραγµατοποιηθεί αν πολλαπλασιάσουµε την εξίσωση Ax = b µε το διαγώνιο πίνακα D 1 του οποίου το i-οστό διαγώνιο στοιχείο είναι το (s i ) 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
33 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου απαλοιφής του Gauss Ας υποθέσουµε ότι ϐρισκόµαστε στο k ϐήµα της απαλοιφής του Gauss για τη λύση l συστηµάτων δηλαδή: a 11 a 1 a 13 a 1k a 1,k+1 a 1n x (1) 1 x () 1 x (l) 1 â â 3 â k â,k+1 â x n â 33 â 3k â 3,k+1 â 3n (1) x () x (l) x (1) 3 x () 3 x (l) 3 0 â 8 kk â k,k+1 â kn = x â < k+1,k â k+1,k+1 â k+1,n (1) k x () k x (l) k x : (1) k+1 x () k+1 x (l) k+1 n k 0 â nk â n,k+1 â nn } {{ } n k x (1) n x () n x (l) n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
34 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE = b (1) 1 b () 1 b (l) 1 ˆb (1) ˆb (1) 3 ˆb (1) k ˆb (1) n ˆb () ˆb(l) ˆb () 3 ˆb(l) 3 ˆb () k ˆb(l) k ˆb() n ˆb(l) n (8) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
35 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE k 8 < : a 11 a 1 a 13 a 1k a 1,k+1 a 1n : a 1,n+1 a 1,n+ a 1,n+l â â 3 â k â,k+1 â n : â,n+1 â,n+ â,n+l â 33 â 3k â 3,k+1 â 3n : â 3,n+1 â 3,n+ â 3,n+l 0 : â kk â k,k+1 â kn : â k,n+1 â k,n+ â k,n+l â k+1,k â k+1,k+1 â k+1,n : â k+1,n+1 â k+1,n+ â k+1,n+l 0 : â nk â n,k+1 â nn : â n,n+1 â n,n+ â n,n+l = } {{ } n k } {{ } l ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
36 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE Επειδή τώρα k = 1(1)n 1 το πλήθος και το είδος των πράξεων για την τριγωνοποίηση του συστήµατος ϑα είναι n 1 (n k) διαιρέσεις k=1 και n 1 (n k)(n k + l) πολλαπλασιασµοί (9) k=1 n 1 (n k)(n k + l) προσθαφαιρέσεις k=1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
37 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE Χρησιµοποιώντας τους τύπους m k = k=1 m(m + 1) και m k = k=1 m(m + 1)(m + 1) 6 και n(n 1) n(n 1)(n 1 + 3l) 6 n(n 1)(n 1 + 3l) 6 διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί (10) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
38 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE Συνεπώς για τον υπολογισµό όλων των x (i) k και δηλαδή και X n 1 l k=1 X n 1 l k=1 l nx k=1 απαιτούνται 1 διαιρέσεις (n k) πολλαπλασιασµοί (n k) προσθαφαιρέσεις nl n(n 1)l n(n 1)l διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί (11) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
39 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE Συνεπώς το συνολικό πλήθος των πράξεων για την εύρεση της λύσης και n(n 1 + l) n(n 1)(n 1 + 6l) 6 n(n 1)(n 1 + 6l) 6 διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί (1) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
40 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της GE Ετσι λοιπόν για την επίλυση ενός µόνον γραµµικού συστήµατος (l = 1) η µέθοδος απαλοιφής του Gauss απαιτεί n 3 n 3 n + n 3 + n 5n n 5n 6 διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί (13) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
41 Υπολογιστική πολυπλοκότητα Για την εύρεση του αντιστρόφου A 1 µε τη µέθοδο της απαλοιφής του Gauss (l = n) απαιτούνται 3n n διαιρέσεις και 4n 3 4n 3 3 3n n 6 3 3n n 6 πολλαπλασιασµοί (14) προσθαφαιρέσεις Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι το πλήθος των πράξεων για τη λύση ενός γραµµικού συστήµατος µε τη µέθοδο της απαλοιφής του Gauss είναι της τάξης O(n 3 /3) ενώ για την εύρεση του αντιστρόφου απαιτείται τετραπλάσιο πλήθος πράξεων Ετσι πάντοτε αποφεύγουµε να υπολογίσουµε τον αντίστροφο ενός πίνακα (είναι προτιµότερο να λύσουµε το σύστηµα) εκτός αν µας Ϲητείται µόνον ο A 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
42 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan (J) Με την χρησιµοποίηση της µεθόδου της απαλοιφής του Jordan είναι δυνατόν να µετασχηµατιστεί ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων σε ένα διαγώνιο πίνακα Το πρώτο ϐήµα της απαλοιφής του Jordan είναι ακριβώς ίδιο µε εκείνο της µεθόδου απαλοιφής του Gauss a (1) 11 x 1 + a (1) 1 x + a (1) 13 x a (1) 1n x n = b (1) 1 a () x + a () 3 x a () n x n = b () a () 3 x + a () 33 x a () 3n x n = b () 3 a () n x + a () n3 x a () nn x n = b () n (15) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
43 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Στο δεύτερο ϐήµα της µεθόδου της απαλοιφής του Jordan απαλείφεται ο x όχι µόνο από τις n τελευταίες εξισώσεις, αλλά συγχρόνως και από την πρώτη a (1) 11 x 1 a (3) 13 x a (3) 1n x n = b (3) 1 a () x + a (3) 3 x a (3) n x n = b (3) a (3) 33 x a (3) 3n x n = b (3) 3 a (3) n3 x a (3) nn x n = b (3) n (16) ή A (3) x = b (3) (17) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
44 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Αν υποθέσουµε ότι αλλάζουµε τους επάνω δείκτες των συντελεστών της δεύτερης γραµµής εκτός του πρώτου Μετά από r 1 τέτοια ϐήµατα ϑα έχουµε το σύστηµα a (1) 11 x 1 +a (r) 1r x r + + a (r) 1n x n = b (r) 1 a () x +a (r) r x r + + a (r) n x n = b (r) a (r 1) r 1,r 1 x r 1 +a (r) r 1,r x r + a (r) r 1,n x n = b (r) r 1 a (r) rr x r + + a (r) rn x n = b (r) r a (r) nr x r + + a (r) nn x n = b (r) n (18) ή A (r) x = b (r) όπου πάλι για λόγους οµοιοµορφίας αλλάξαµε τους επάνω δείκτες των συντελεστών της r 1 γραµµής εκτός του πρώτου ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
45 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Τέλος, µετά από n τέτοια ϐήµατα ϑα έχουµε το διαγώνιο σύστηµα: a (1) 11 x 1 = b (n+1) 1 a () x = b (n+1) (19) a (n) nn x n = b (n+1) n το οποίο µπορεί να γραφεί σαν A (n) x = b (n+1) (0) όπου ο A (n) τώρα είναι ένας διαγώνιος πίνακας Η λύση του συστήµατος είναι η εφόσον a (i) ii 0, i = 1(1)n x i = 1 a (i) ii b (n+1) i ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
46 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Αναλυτικώτερα χρησιµοποιούµε πάλι τους συµβολισµούς και αν a (1) 11 a (1) ij = a ij i, j = 1(1)n b (1) i = b i i = 1(1)n 0, τότε ορίζουµε τους πολλαπλασιαστές m i1 = a(1) i1 a (1) 11, i = (1)n Τώρα προκειµένου να απαλειφθεί ο x 1 από την i-οστή εξίσωση, προσθέτουµε m i1 ϕορές την πρώτη εξίσωση στην i-οστή, οπότε λαµβάνουµε a () ij = a (1) ij + m ij a (1) 1j, i = 1(1)n, i 1 j = 1(1)n και b () i = b (1) i + m i1 b (1), i = 1(1)n, i 1 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
47 ιδάσκοντες:τµήµα Συνεχίζοντας Α ( Αρτιοι) καταλήγουµε : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα σε διαγώνιο Β Αριθµητική (Περιττοί) σύστηµα : Ανάλυση Επίκ ΚαθηγητήςΟ ΦΤζαφέρης µετασχηµατισµός (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου του 010A σε 47 / 85 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Στο σηµείο αυτό παρατηρούµε ότι πριν ακολουθήσει το δεύτερο ϐήµα ϑα πρέπει για λόγους οµοιοµορφίας να κάνουµε τις αντικαταστάσεις a () 1j = a (1) 1j, j = (1)n b () 1 = b (1) 1 Στο τελευταίο ϐήµα τώρα απαλείφεται ο άγνωστος x τόσο από τις τελευταίες n εξισώσεις όσο και από την πρώτη, οπότε λαµβάνουµε και a (3) ij = a () ij + m i a () 1j, i = 1(1)n, i, j = (1)n b (3) i = b () i + m i b (), i = 1(1)n, i όπου για λόγους οµοιοµορφίας ϑέτουµε a (3) j = a () j, j = 3(1)n b (3) = b ()
48 Η µέθοδος απαλοιφής του Jordan Μερική ή ολική οδήγηση Η επιλογή του οδηγού στοιχείου γίνεται όπως ακριβώς στη µέθοδο της απαλοιφής του Gauss και δεν επεκτείνεται στην αναζήτηση όλης της στήλης Υπολογισµός του αντιστρόφου ενός πίνακα Επίλυση συστηµάτων µε τον ίδιο πίνακα συντελεστών των αγνώστων ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
49 Ο αλγόριθµος απαλοιφής του Jordan µε µερική οδήγηση 1 ιάβασε τα δεδοµένα n, A = (a ij ), 1 i, j n και b = (b i ), 1 i n Για i = 1,,, n να τεθεί a i,n+1 = b i 3 Για i = 1,,, n να τεθεί h(i) = i 4 Για r = 1,,, n να εκτελεσθούν τα ϐήµατα (διαδικασία απαλοιφής) 41 Εστω p ο µικρότερος ακέραιος r p n και a(h(p), r)) = max a(h(j), r) r j n 4 Εάν a(h(p), r) = 0 τότε τύπωσε δεν υπάρχει µοναδική λύση Τέλος (προσοµοίωση της εναλλαγής των γραµµών) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
50 43 Εάν h(r) h(p) τότε q = h(r) h(r) = h(p) h(p) = q 44 Για i = 1,,, n και i r να εκτελεσθούν τα ϐήµατα 441 και Να τεθεί 44 Για j = r + 1, r +,, n + 1 να τεθεί a(h(i), r) m(h(i), r) = a(h(r), r) a(h(i), j) = a(h(i), j) + m(h(i), r)a(h(r), j) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
51 Επίλυση διαγώνιου συστήµατος 5 Για i = 1,,, n να τεθεί Εάν a(h(i), i) = 0 τότε τύπωσε όχι µοναδική λύση Τέλος x i = a(h(i), n + 1)/a(h(i), i) 6 Εκτύπωση της λύσης x i, i = 1,,, n Τέλος ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
52 Ασκηση: Η µέθοδος του Jordan µε µερική οδήγηση Να εφαρµοστεί η µέθοδος Jordan µε µερική οδήγηση για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος : (1) () (3) Επιλογή οδηγού γραµµής max{ a 11, a 1, a 31 } = = max{ 1,, 1 } = = = a 1 ανταλλαγή των γραµµών 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
53 1/ 1/ () (1) (3) / 1 1/ 0 15/ 3 9/ Πολ/στές m 1 = a1 a 11 m 31 = a31 a 11 = 1 () (1) (3) 1ο ϐήµα = 1 = 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
54 Η µέθοδος του Jordan µε µερική οδήγηση / 1 1/ 0 15/ 3 9/ /15 1/ () (1) (3) / 3 9/ 0 3/ 1 1/ 1 15/ 4 4 Επιλογή οδηγού γραµµής max{ a, a 3 } = = max{ 15/, 3/ } = = 15/ = a 1 ανταλλαγή των γραµµών () (3) (1) 0 /5 8/5 0 15/ 3 9/ 0 0 /5 / / 0 15/ 0 0 /5 /5 Αρα η λύση είναι η x 1 = 1, x = 1 και x 3 = 1 Πολ/στές m 1 = a 1 a = 1 = 15/ 15 3 m 3 = a 3 a = 3/ 15/ = () (3) (1) 5 () (3) (1) 3ο ϐήµα ο ϐήµα ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
55 Ασκηση ίνεται ο πίνακας A = Να ϐρεθεί ο αντίστροφος A 1 µε τη µέθοδο απαλοιφής του Jordan (J) α) χωρίς οδήγηση β) µε µερική οδήγηση ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
56 α) (J) χωρίς οδήγηση Σχηµατίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα : ιαγωνοποίηση [A ] I = 0 Πολ/στές m 1 = 3 3 m 31 = m 1 = m 3 = m 13 = m 3 = a1 a 11 = = 1 a31 a 11 = 3 = 1 3 a1 a = 1 4 a3 a = 3 a13 a 33 = = 1 a3 a 33 = 8 = 4 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
57 (J) χωρίς οδήγηση Επίλυση διαγωνίων συστηµάτων [ = I A 1 ] ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
58 β) (J) µε µερική οδήγηση Σχηµατίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα : ιαγωνοποίηση [A ] I = Επιλογή οδηγού γραµµής max{ a 11, a 1, a 31 } = = max{ 1,, 3 } = = 3 = a 31 εναλλαγή γραµµών 1 3 Πολ/στές m 1 = a1 a 11 = 3 m 31 = a31 a 11 = 1 3 = 1 3 max{ a, a 3 } = = max{ 0, } = = a 3 εναλλαγή γραµµών 3 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
59 ιαγωνοποίηση Πολ/στές m 1 = a1 a = 3 m 3 = a3 a = 0 = 0 m 13 = a13 a 33 = m 3 = a3 a 33 = = 1 4 = 5 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
60 Επίλυση διαγωνίων συστηµάτων [ = I A 1 ] ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
61 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου του Jordan a 11 â a 1k a 1,k+1 a 1n â kk â k,k+1 â kn â k+1,k â k+1,k+1 â k+1,n â nk â n,k+1 â nn X = B }{{} n k }{{} l }{{} l ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική Ανάλυση 3 Μαρτίου / 85
62 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου του Jordan nx Για τη διαγωνοποίηση του A απαιτούνται nx nx k=1 k=1 ή τελικά ϐρίσκουµε ότι χρειάζονται k=1 (n 1) διαιρέσεις (n 1)(n k + l) πολλαπλασιασµοί (n 1)(n k + l) προσθαφαιρέσεις n(n 1) n(n 1)(n 1 + l) n(n 1)(n 1 + l) διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
63 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου του Jordan Αν τώρα προστεθούν και οι n διαιρέσεις για την εύρεση µιας λύσης τότε για τα l συστήµατα απαιτούνται nl διαιρέσεις Αρα τελικά για τη λύση l συστηµάτων µε τη µέθοδο απαλοιφής του Jordan απαιτούνται n(n 1 + l) διαιρέσεις n(n 1)(n 1 + l) πολλαπλασιασµοί (1) n(n 1)(n 1 + l) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
64 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου του Jordan Για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος οι ανωτέρω τύποι δίνουν (l = 1) n διαιρέσεις n 3 n 3 n + n ενώ για τον υπολογισµό του αντιστρόφου (l = n) δίνουν πολλαπλασιασµοί () προσθαφαιρέσεις, n n 3n 3 n + n 3n 3 n + n διαιρέσεις πολλαπλασιασµοί (3) προσθαφαιρέσεις ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
65 Υπολογιστική πολυπλοκότητα της µεθόδου του Jordan Το πλήθος των πράξεων για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος µε τη µέθοδο του Jordan είναι της τάξης O(n 3 /) Για τον υπολογισµό του αντιστρόφου οι δύο µέθοδοι απαιτούν τον ίδιο ακριβώς πλήθος πράξεων Η µέθοδος του Jordan χρησιµοποιείται µόνον για τον υπολογισµό του αντιστρόφου ενός πίνακα Η µέθοδος Simplex ϐασίζεται στη µέθοδο του Jordan ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
66 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (ή µέθοδος του Thomas) Ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος είναι ο : b 1 c 1 d1 a b c 0 d 3 A = 64 a 3 b 3 c 3 d3 0 a n 1 b n 1 c n 1 dn 1 a n b n dn 75 1 Τριγωνοποίηση 1ο ϐήµα i = 1 m = a b 1 ( αν b 1 0 ) Ενηµέρωση ης γραµµής a = 0 b = b + m c 1 d = d + m d 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
67 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο του Thomas ο ϐήµα i = m 3 = a 3 b ( αν b 0 ) Ενηµέρωση 3ης γραµµής a 3 = 0 b 3 = b 3 + m 3 c d 3 = d 3 + m 3 d i-οστό ϐήµα i = i m i+1 = a i+1 b i ( αν b i 0 ) Ενηµέρωση i+1 γραµµής a i+1 = 0 b i+1 = b i+1 + m i+1 c i d i+1 = d i+1 + m i+1 d i ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
68 Αλγόριθµος του Thomas 1 Τριγωνοποίηση for i = 1 to n 1 do m i+1 = a i+1 /b i b i+1 = b i+1 + m i+1 c i d i+1 = d i+1 + m i+1 d i Υπολογιστική Πολυπλοκότητα n 1 διαιρέσεις, (n 1) πολ/σµοί, (n 1) προσθ/αφαιρ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
69 Επίλυση ενός άνω διδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Μετά από n 1 ϐήµατα προκύπτει το ισοδύναµο άνω τριγωνικό σύστηµα: b 1 c 1 d1 b c 0 d b A = 3 c 3 d3 0 b n 1 c n 1 dn 1 Επίλυση ενός άνω διδιαγώνιου συστήµατος b n dn x n = d n /b n for i = n 1 to 1 do x i = (d i c i x i+1 )/b i Υπολογιστική Πολυπλοκότητα : n 1 διαιρέσεις, n 1 πολ/σµοί, n 1 προσθ/αφαιρ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
70 Ασκηση: Υπολογιστική Πολυπλοκότητα για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνονται οι πίνακες A, B, C R n,n και το διάνυσµα στήλη b R n Να ϐρεθεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα για την αριθµητική επίλυση των παρακάτω συστηµάτων (εύρεση του x R n ) µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (A + B 1 C)x = b (BA + C)x = Bb Λύση 1 (A + B 1 C)x = b Υπολογισµός του B 1 4n 3 : 3 Υπολογισµός του B 1 C : n 3 Επίλυση του γρ συστήµατος µε τη µέθοδο του Gauss : Συνολικά : n 3 3-8n 3 3 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
71 Λύση (BA + C)x = Bb Υπολογισµός του BA : n 3 Επίλυση του γρ συστήµατος µε τη µέθοδο του Gauss : Συνολικά : n 3 3-4n 3 3 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
72 Norms διανυσµάτων Μια norm διανύσµατος είναι µια συνάρτηση ορισµένη στο διανυσµατικό χώρο C n µε πραγµατικές και µη αρνητικές τιµές µε τις παρακάτω ιδιότητες: i) x > 0 αν x 0, x = 0 αν x = 0, για κάθε x C n ii) cx = c x για κάθε c C και x C n (4) iii) x + y x + y για x, y C n (τριγωνική ανισότητα) l p norms (Hölder norms) ( n ) 1/p x i p, p = 1,, 3, x p = i=1 max x i, p = i (5) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
73 Norms διανυσµάτων Οι περισσότερο χρησιµοποιούµενες norms είναι οι l 1, l και l norm x 1 = x = n i=1 ( n i=1 x i αθροιστική norm x i ) 1/ Ευκλείδια norm (6) x = max x i Μεγίστη norm i ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
74 Norms πινάκων Μια norm πίνακα είναι µια συνάρτηση ορισµένη στο C nn µε πραγµατικές τιµές που έχει τις ιδιότητες: i) A > 0, εκτός αν A = 0 οπότε A = 0 ii) ca = c A, όπου c ϐαθµωτό µέγεθος iii) A + B A + B (7) iv) AB A B Norms πινάκων Οι norms πινάκων που αντιστοιχούν στις διανυσµατικές norms ορίζονται από τον τύπο από τον οποίο προκύπτει η σχέση A = max { Ax } x =1 Ax A x (8) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
75 Norms πινάκων Οι τρεις norms πινάκων που αντιστοιχούν στις διανυσµατικές norms δίνονται από τους τύπους A 1 = max j A = max i n i=1 n j=1 a ij a ij (9) A = [ρ(a H A)] 1/ όπου ρ(a) = max λ i (η ϕασµατική ακτίνα του A), όπου λ i οι ιδιοτιµές του A 1 i n και A H είναι ο συζυγής ανάστροφος του A ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
76 Θεώρηµα 365 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει η lim k x(k) = x είναι η lim k x(k) x = 0 Θεώρηµα 366 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει η lim k A(k) = A είναι η lim k A(k) A = 0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
77 Θεώρηµα 367 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συγκλίνει η ακολουθία {A κ } των διαδοχικών δυνάµεων ενός πίνακα A τάξης n, στο µηδενικό πίνακα είναι η ρ(a) < 1 (30) Θεώρηµα 368 Για κάθε πίνακα τάξης n ισχύει A κ A κ, κ = 0, 1,, ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
78 Θεώρηµα 369 Ικανή συνθήκη για τη σύγκλιση της ακολουθίας {A κ } των διαδοχικών δυνάµεων ενός πίνακα A τάξης n στο µηδενικό πίνακα είναι η Απόδειξη A < 1 Από το Θεώρηµα 366 έχουµε ότι lim A κ = 0 αν κ 0 του ϑεωρήµατος 368 αρκεί A < 1 lim κ Aκ = 0 αλλά λόγω lim κ A κ = 0 η οποία για να ισχύει ϑα πρέπει ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
79 Θεώρηµα 3610 Για κάθε πίνακα A τάξης n ισχύει ρ(a) A (31) Απόδειξη Αν λ είναι µια ιδιοτιµή του A και x το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα τότε Ax = λx οπότε λαµβάνοντας τις norms των δύο µελών έχουµε ή εφαρµόζοντας ιδιότητες των norms Ax = λx ή συνεπώς λ x A x λ A ρ(a) = max λ A ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
80 Ασταθή συστήµατα ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b (3) Υποθέτουµε ότι υπάρχουν αρχικά σφάλµατα τόσο στον πίνακα A όσο και στο διάνυσµα b Εστω δa και δb οι διαταράξεις στον A και b, αντίστοιχα Τότε, µε την προϋπόθεση ότι δεν εισχωρούν νέα σφάλµατα κατά την επίλυση, αντί για την ακριβή τιµή του διανύσµατος x, ϑα ϐρίσκουµε ένα διάνυσµα που ϑα περιέχει µία διατάραξη δx Ετσι ϑα έχουµε το διαταραγµένο σύστηµα (A + δa)(x + δx) = b + δb (33) και είναι δυνατόν να ϐρούµε το ακόλουθο ϕράγµα για το σχετικό σφάλµα στο διάνυσα λύση ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
81 Θεώρηµα 71 Εστω ο µη ιδιάζων πίνακας A µε A 1 δa < 1 (34) τότε όπου δx x [ κ δb 1 δa A 1 b + δa ] A (35) κ = κ(a) = A 1 A (36) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
82 Ασταθή συστήµατα Πόρισµα 7 Αν δa = 0 τότε Πόρισµα 73 Αν δb = 0 τότε δx x = δx x A A 1 δb b A A 1 1 A 1 δa δa A ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
83 Ασταθή συστήµατα Παρατηρήσεις (i) (ii) Αν η διαταραχή δa είναι πολύ µικρή, τότε από το Πόρισµα 7 (όπου δa = 0), η σχετική αλλαγή στη λύση είναι ϕραγµένη από την ποσότητα κ(a) = A 1 A Αν κ(a) είναι µικρό, τότε µια µικρή διαταραχή του A ή µια µικρή διαταραχή του b ή µικρές διαταραχές των A και b δεν επιτρέπουν µεγάλες αλλαγές στη λύση x (iii) κ = A 1 A A 1 A = I = 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
84 Ασταθή συστήµατα Ορισµός Αν ο A είναι µη ιδιάζων, τότε κ(a) = A A 1 (37) είναι ο αριθµός συνθήκης για το σύστηµα Ax = b Αν κ(a) είναι ένας µεγάλος αριθµός, τότε µικρές διαταραχές του A ή b είναι δυνατόν να προκαλέσουν µεγάλες διαταραχές στη λύση x του συστήµατος Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι το σύστηµα είναι ασταθές (ill-conditioned) Θεώρηµα 74 Αν ο A είναι πραγµατικός και συµµετρικός, τότε κ(a) = λ 1 (38) όπου λ 1 και λ n είναι η µεγαλύτερη και η µικρότερη κατά απόλυτο τιµή ιδιοτιµές του A, αντίστοιχα ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85 λ n
85 Παρατηρήσεις Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss µε µερική οδήγηση ϑα πρέπει να προτιµάται για την επίλυση πυκνών γραµµικών συστηµάτων Η µέθοδος αυτή είναι ευσταθής τουλάχιστον για µία µεγάλη κλάση προβληµάτων, όπως αποδεικνύει ο Wilkinson Επίσης για πίνακες οι οποίοι είναι πραγµατικοί συµµετρικοί και θετικά ορισµένοι δεν χρειάζεται η µερική οδήγηση προκειµένου η µέθοδος του Gauss να έχει αριθµητική ευστάθεια ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) 3 Μαρτίου / 85
Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν Μ Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν Μ Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 3 1 / 9 Η
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα)
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα) ιδάσκων: Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης 14 Μαρτίου 2019 ιδάσκων: Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα) 14 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. (Σηµειώσεις)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Σηµειώσεις) Ν Μισυρλής S(L ω ) 10 (2, 1) ( 1, µ 2 ) (ω b,ω b 1 ) 10 ω b 20 ω ΑΘΗΝΑ 2008 Ν Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότερα4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότερα2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 4 1 / 48
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε
Διαβάστε περισσότεραβ) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική Αλγεβρα
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Μαρτίου 019 ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα 7 Μαρτίου 019 1 / 99 Επαναληπτικές Μέθοδοι για
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων Στην παρούσα ενότητα µελετούµε αριθµητικές µεθόδους επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, συστηµάτων δηλαδή της µορφής = b =
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 18 Απριλίου 2019
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 18 Απριλίου 2019 2019 1 / 74 Η µέθοδος του Jacobi Η µέθοδος των δυνάµεων, σε συνδυασµό µε τις
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 11 Μαΐου 2016 ιδάσκων: ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 4 Νοεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) 4
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss
.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και
Διαβάστε περισσότερα3. Γραμμικά Συστήματα
3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης
Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΕπίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΑδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα
Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα Νικόλαος Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 19 εκεµβρίου 2018 Νικόλαος Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότερα