ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ."

Transcript

1 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

2 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας και x, b R n. Επαναληπτικές Μέθοδοι Οι επαναληπτικές µέθοδοι χρησιµοποιούνται όταν ο πίνακας A είναι : Μεγάλης τάξης ( ) Αραιός Συγκεκριµένης δοµής ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

3 Βασικές Επαναληπτικές Μέθοδοι Ax = b x = Gx + c R Ax = R b Ορίζουµε την επαναληπτική µέθοδο x = x + τ R (b Ax) = x (k) + τ R (b Ax (k) ), k = 0,,, = (I τ R A)x }{{} (k) + τ } R {{ b } G τ c τ = G }{{} τ x (k) + c τ επαναλ. πίνακας ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

4 Γραµµική στατική Επαναληπτική µέθοδος ου ϐαθµού Για τ = = Gx (k) + c, k = 0,,, () όπου G = I R A και c = R b x (0) αυθαίρετο, x (), x (), x (), ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

5 Σύγκλιση της Επαναληπτικής Μεθόδου Θεώρηµα 4.. Η επαναληπτική µέθοδος = Gx (k) + k, k = 0,,, συγκλίνει αν και µόνον αν ρ(g) < () όπου ρ(g) = max λ i, η ϕασµατική ακτίνα i λ i ιδιοτιµές του G ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

6 Απόδειξη Εστω x το όριο της ακολουθίας x (k), k = 0,,,... και e (k) το διάνυσµα του σφάλµατος στην k επανάληψη Αφού προκύπτει ότι e (k) = x (k) x x = Gx + c = G (x (k) x) {z } e (k+) x {z } e (k) e (k+) = Ge (k) = G e (k ) = = G k+ e (0) e (k) = G k e (0) () Αρα lim k x(k) = x αν και µόνο αν lim k e(k) = 0 ή λόγω της () αν lim k (Gk e (0) ) = 0 για κάθε αυθαίρετο e (0). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

7 ..Απόδειξη Συνεπώς από προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι αναγκαία συνθήκη για να ισχύει lim k G k = 0 είναι η ρ(g) <. Αν τώρα υποθέσουµε ότι ρ(g) <, τότε ο I G είναι µη ιδιάζων και το σύστηµα (I G)x = k έχει µία και µοναδική λύση. Αν όµως ρ(g) < τότε lim G k = 0 ή k lim G k = 0. k Επειδή G k e (0) G k e (0) συνεπάγεται ότι lim G k e (0) = 0, οπότε k από την () προκύπτει ότι lim e (k) = 0 ή lim x (k) = x, k k δηλαδή ότι η ε.µ. (4) συγκλίνει. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 7 / 64

8 Σύγκλιση της ε.µ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη : ρ(g) < Ικανή συνθήκη : G α < ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 8 / 64

9 Κριτήριο διακοπής της σύγκλισης k επανάληψη x (k) = x (k) x (k) x (k). x (k) n k + επανάληψη. n = x (k) α < ɛ, ɛ = 0 d ή όπου α = ή ή. x (k) α α < ɛ, ɛ = 0 d ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 9 / 64

10 Ταχύτητα σύγκλισης µιας επαναληπτικής µεθόδου Στην πράξη εκτός από την εξασφάλιση της σύγκλισης µιας ε.µ., µας ενδιαφέρει η ταχύτητα µε την οποία συγκλίνει η µέθοδος που χρησιµοποιούµε. Με άλλα λόγια επιθυµούµε να µελετήσουµε την ταχύτητα µε την οποία e (k) 0 για k. Από την () έχουµε ότι αν x (0) x, τότε e (k) e (0) Gk. (4) Ετσι η G k δίνει το µέγεθος µε το οποίο η norm του σφάλµατος έχει ελαττωθεί σε ένα κλάσµα έστω ϱ της e (0). Η ελάττωση αυτή µπορεί να επιτευχθεί αν διαλέξουµε το k έτσι ώστε G k ϱ. (5) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 0 / 64

11 Μέση ταχύτητα σύγλισης Για όλα λοιπόν τα αρκετά µεγάλα k ώστε G k η παραπάνω ανισότητα είναι ισοδύναµη µε την log ϱ k k log Gk (6) όπου ξ συµβολίζει τον ελάχιστο ακέραιο µεγαλύτερο του ξ. Η (6) δίνει τον ελάχιστο αριθµό επαναλήψεων για τη σύγκλιση της () Παρατηρούµε ότι ο αριθµός αυτός είναι αντιστρόφως ανάλογος προς την ποσότητα ( k log Gk ). Ετσι οδηγούµαστε στον ορισµό της µέσης ταχύτητας σύγκλισης που είναι η ποσότητα R k (G) = k log Gk. (7) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

12 Ασυµπτωτική ταχύτητα σύγλισης Ορίζουµε ως ασυµπτωτική ταχύτητα σύγκλισης ή ταχύτητα σύγκλισης, την ποσότητα R(G) = lim R k (G) = logρ(g) (8) k καθόσον µπορεί να αποδειχθεί ότι ρ(g) = lim k ( G k k ). Για να έχουµε µια (όχι και τόσο καλή) προσέγγιση του αριθµού των επαναλήψεων που χρειάζεται η (4) για να συγκλίνει χρησιµοποιούµε, σύµφωνα µε την 6, τον τύπο k logρ R(G). (9) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

13 Συµπέρασµα Από τον ανωτέρω τύπο και την (8) συµπεραίνουµε ότι όσο µικρότερη είναι η ϕασµατική ακτίνα του επαναληπτικού πίνακα G τόσο ταχύτερα ϑα συγκλίνει ασυµπτωτικά η επαναληπτική µέθοδος. Ωστόσο για να εκτιµήσουµε την αποτελεσµατικότητα µιας επαναληπτικής µεθόδου ϑα πρέπει να λαβουµε υπόψη τόσο την ταχύτητα σύγκλισής της όσο και την υπολογιστική πολυπλοκότητα που απαιτεί η κάθε επανάληψη. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

14 Βασική διάσπαση του πίνακα A A = D C L C U D = a a 0 a 0 a nn 0 a 0 0 C L = a a a n a n a n... a n,n 0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

15 Βασική διάσπαση του πίνακα A A = D C L C U 0 a 0 0 C L = a a a n a n a n... a n,n 0 C U = 0 a a a n 0 a a n 0 a n 0... an,n 0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

16 Χρήσιµες µορφές πολλαπλασιασµού πίνακα µε διάνυσµα στους τύπους των επαναληπτικών µεθόδων (D x) i = a ii x i, i =,,, n Θέτουµε και τότε έχουµε i (C L x) i = a ij x j, j= n (C U x) i = a ij x j, j=i+ L = D C L U = D C U i =,,, n i =,,, n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

17 Χρήσιµες µορφές πολλαπλασιασµού πίνακα µε διάνυσµα στους τύπους των επαναληπτικών µεθόδων Θέτουµε και τότε έχουµε L = D C L U = D C U (D x) i = a ii x i, i =,,, n i a ij (L x) i = x j, a ii (U x) i = j= n j=i+ a ij a ii x j, i =,,, n i =,,, n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 7 / 64

18 Βασικές Επαναληπτικές Μέθοδοι Ορίζουµε την επαναληπτική µέθοδο = x (k) + τ R (b Ax (k) ), k = 0,,, (0) = (I τ R A)x }{{} (k) + } τ R {{ b } () G τ c τ = G }{{} τ x (k) + c τ επαναλ. πίνακας ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 8 / 64

19 Επαναληπτική µέθοδος Επιταχυντική Jacobi (Jacobi Overrelaxation (JOR)) = x (k) + τ R (b Ax (k) ), k = 0,,, () Αν στην () διαλέξουµε τον R έτσι ώστε R = D τότε προκύπτει ή Αναλύοντας περισσότερο την (4) λαµβάνουµε = (I τ D A)x {z } (k) + τ D b () {z } B τ c τ = B τ x (k) + c τ, k = 0,,, (4) = [( τ)i + τb]x (k) + τ c, (5) όπου B = L + U, L = D C L και U = D C U. (6) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 9 / 64

20 Επαναληπτική µέθοδος Jacobi(J) Αν τ = τότε προκύπτει η ε.µ Jacobi η οποία γράφεται: όπου = Bx (k) + c, m = 0,,, B = I D A = I D (D C L C U ) = D C }{{} L + D C U = L + U }{{} L U είναι ο επαναληπτικός πίνακας της ε.µ. Jacobi. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 0 / 64

21 Σύγκλιση της ε.µ. (J) Ικανή και αναγκαία συνθήκη : Ικανή συνθήκη : Επειδή Η ε.µ. (J) συγκλίνει αν ισχύει max i=()n n j = }{{} j i ρ(b) < ρ(b) B = max a ij a ii < ή a ii i=()n n j = }{{} j i n a ij a ii j = }{{} j i a ij <, για κάθε i ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

22 Σύγκλιση της ε.µ. (J) Αυστηρά διαγωνίως υπερτερών πίνακας αν ισχύει a ii > n j = }{{} j i a ij, για κάθε i τότε ο πίνακας A λέγεται αυστηρά διαγωνίως υπερτερών (α.δ.υ). Αρα αν ο A είναι α.δ.υ. τότε ισχύει δηλ. η ε.µ. J συγκλίνει. ρ(b) B < ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

23 Επαναληπτική µέθοδος Jacobi(J) Υπό µορφή πινάκων : Υπό µορφή συνιστωσών : i = (L + U)x (k) + c, k = 0,,, x (k) = = 6 4 i X j= x (k) x (k) x (k). x (k) i x (k) i x (k) i+. x (k) n 7 5 a ij x (k) j a ii nx j=i i i i+. n 7 5 = a ij x (k) j + bi, i = ()n a ii a ii ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

24 Επαναληπτική µέθοδος (J) Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό σύστηµα x x = x +x x = 0 x +x = Να δειχθεί ότι η µέθοδος του Jacobi συγκλίνει και να ϐρεθούν οι τρείς πρώτες επαναλήψεις, αν x (0) = (, 0, ). Λύση Ο επαναληπτικός πίνακας της µεθόδου Jacobi είναι ο 0 B = I D A = L + U = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

25 Επαναληπτική µέθοδος (J) Επίσης B = B =. Οι ιδιοτιµές του Β είναι 0, και -, εποµένως ρ(b) = < = ( + x(k) ) = (x(k) + x (k) ), k = 0,,... = ( + x(k) ). Για x (0) = (, 0, ) T, δηλαδή για x (0) =, x (0) = 0 και x (0) = έχουµε k = 0 x () = ( + x(0) ) = ( + 0) = x () = (x(0) + x (0) ) = ( + ) = x () = ( + x(0) ) = ( + 0) = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

26 Επαναληπτική µέθοδος (J) k = k = x () = ( + x() ) = ( + ) = x () = (x() + x () ) = ( + ) = x () = ( + x() ) = ( + ) = x () = ( + x() ) = ( + ) = 4 x () = (x() + x () ) = ( + ) = x () = ( + x() ) = ( + ) = 4. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

27 Αλγόριθµος της ε.µ Jacobi(J). ιάβασε n, ɛ, maxiter. Για i = ()n επανάλαβε ιάβασε x0 i ιάβασε b i για j = ()n επανάλαβε ιάβασε a ij. itcount = 0 4. Οσο ισχύει itcount maxiter επανάλαβε 4. Για i = ()n επανάλαβε x i = i X j= a ij a ii x0 j nx j=i+ a ij a ii x0 j + bi a ii 4. itcount = itcount + 4. Αν x x0 < ɛ τότε Για i = ()n επανάλαβε Τύπωσε x i Τέλος. 4.4 Για i = ()n επανάλαβε x0 i = x i 5. Τύπωσε( Οχι σύγκλιση µετά από maxiter επαναλήψεις ) 6. Τέλος ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 7 / 64

28 Υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγορίθµου της ε.µ (J) 4. Για i = ()n επανάλαβε i a ij n x i = x0 j a ii j= j=i+ a ij a ii x0 j + b i a ii A πυκνός Στην κάθε επανάληψη απαιτούνται ιαιρέσεις : [(i ) + (n i) + ] n = n Πολλαπλασιασµοί : [(i ) + (n i)] n = n(n ) Προσθαφαιρέσεις : n(n ) Αν υποθέσουµε ότι απαιτούνται k επαναλήψεις για τη σύγκλιση της µεθόδου J, τότε έχουµε συνολικά : ιαιρέσεις : kn Πολλαπλασιασµοί : kn(n ) = kn kn Προσθαφαιρέσεις : kn(n ) = kn kn ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 8 / 64

29 Επαναληπτική µέθοδος Επιταχυντική Gauss-Seidel (EGS) = x (k) + τ R (b Ax (k) ), k = 0,,, (7) Αν διαλέξουµε τον R έτσι ώστε R = D C L (8) τότε προκύπτει = x (k) + τ(i L) D (b Ax (k) ) (9) ή = L τ,x (k) + τ(i L) c (0) όπου L τ, = I τ(i L) D A. () Εκφράζοντας τον L τ, σε όρους των L και U έχουµε Οπότε έχουµε L τ, = I τ(i L) (I L U) = ( τ)i + τ(i L) U. () = ( τ)x (k) + L + (τ ) L x (k) + τ U x (k) + τ c. () Η ανωτέρω µέθοδος καλείται Επιταχυντική Gauss-Seidel(EGS) και για τ = προκύπτει η γνωστή µέθοδος Gauss-Seidel(GS) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 9 / 64

30 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) Υπό µορφή πινάκων : Υπό µορφή συνιστωσών : = (I L) U {z } L x (k) + c, k = 0,,, = L + Ux (k) + c, k = 0,,, i x (k) = = 6 4 i X x (k) x (k) x (k). x (k) i x (k) i x (k) i+. x (k) n 7 5 a ij j a ii 6 4. i i i+. n 7 5 = j= j=i+ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 0 / 64 nx a ij x (k) j + bi, a ii a ii i = ()n

31 Σύγκλιση της ε.µ. Gauss-Seidel Ικανή και αναγκαία συνθήκη : ρ(l ) < Ικανή συνθήκη : Αν ο A είναι α.δ.υ. τότε ισχύει L B < δηλ. η ε.µ. GS συγκλίνει. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

32 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel(GS) Για τ = προκύπτει ο τύπος της ε.µ GS = L + U x (k) + c. (4) Επαν. µέθοδοι EGS και GS υπό µορφή συνιστωσών EGS X i i = j= ^a ij j GS για τ = προκύπτει +( τ)x (k) i X i i = j= X i +(τ )( ^a ij j + j= νx j=i+ ^a ijx (k) j )+τ( νx j=i+ ^a ijx (k) j )+τ ^b i, i = ()n (5) ^a ijx (k) j + ^b i, i = ()n. (6) όπου ^a ij = aij a ii και ^b i = bi a ii. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

33 Παρατηρήσεις Για την ύπαρξη των δύο ανωτέρω µεθόδων ϑα πρέπει να υπάρχει ο (D C L ) ή det(d C L ) = detd 0 πράγµα που ισχύει αν όλα τα διαγώνια στοιχεία του Α είναι διάφορα του µηδενός. Παρατηρούµε ότι στις ε.µ. EGS και GS οι αριθµητικές πράξεις επηρεάζονται αν εναλλάξουµε τη σειρά των εξισώσεων του συστήµατός µας. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 / 64

34 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό σύστηµα x x = x +x x = 0 x +x = Να δειχθεί ότι η µέθοδος του GS συγκλίνει και να ϐρεθούν οι τρείς πρώτες επαναλήψεις, αν x (0) = (, 0, ). Λύση Ο επαναληπτικός πίνακας της µεθόδου GS είναι ο L = (I L) U = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

35 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) Από τη σχέση (I L)X = I υπολογίζεται εύκολα ο (I L). Εποµένως L = = Οι ιδιοτιµές του L είναι οι 0, 0, / εποµένως ρ(l ) = / < που αποδεικνύει ότι η GS συγκλίνει. Παρατηρούµε ότι ρ(l ) = [ρ(b)] για το παρόν παράδειγµα.. = ( + x(k) ) = (x(k+) + x (k) ), k = 0,,... = ( + x(k+) ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

36 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) Για x (0) = (, 0, ) T, δηλαδή για x (0) =, x (0) = 0 και x (0) =, έχουµε k = 0 k = x () = ( + x(0) ) = ( + 0) = x () = (x() + x (0) ) = ( + ) = 4 x () = ( + x() ) = ( + 4 ) = 7 8 x () = ( + x() ) = ( + 4 ) = 7 8 x () = (x() + x () ) = ( ) = 7 8 x () = ( + x() ) = ( ) = 5 6 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

37 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) k = Παρατήρηση x () = ( + x() ) = ( ) = 5 6 x () = (x() + x () ) = ( ) = 5 6 x () = ( + x() ) = 5 ( + 6 ) =. Η µέθοδος GS συγκλίνει πολύ γρηγορότερα από τη µέθοδο Jacobi προς την ακριβή λύση (,, ) T του συστήµατος. Αυτό αναµενόταν αφού R(L ) = R(B). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 7 / 64

38 Αλγόριθµος της ε.µ Gauss-Seidel(GS). ιάβασε n, ɛ, maxiter. Για i = ()n επανάλαβε για j = ()n επανάλαβε ιάβασε a ij ιάβασε b i ιάβασε x0 i. itcount = 0 4. Οσο ισχύει itcount maxiter επανάλαβε 4. Για i = ()n επανάλαβε x i = i X j= a ij a ii x j nx j=i+ a ij a ii x0 j + bi a ii 4. itcount = itcount + 4. Αν x x0 < ɛ τότε Για i = ()n επανάλαβε Τύπωσε x i Τέλος. 4.4 Για i = ()n επανάλαβε x0 i = x i 5. Τύπωσε( Οχι σύγκλιση µετά από maxiter επαναλήψεις ) 6. Τέλος ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 8 / 64

39 Επαναληπτική Επιταχυντική µέθοδος της ιαδοχικής Υπερµείωσης (Extrapolated Successive Overrelaxation (ESOR)) = x (k) + τ R (b Ax (k) ), k = 0,,, (7) Είναι δυνατόν να ϐρεθούν δύο άλλες µέθοδοι αν εισάγουµε µία παράµετρο στη µορφή του R. Ετσι αν ϑέσουµε R = D ωc L (8) στην (7), όπου ω είναι ένας πραγµατικός αριθµός του οποίου ο ϱόλος στη ϕάση αυτή είναι να διαταράξει τον R έτσι ώστε να προσεγγίζει καλύτερα τον Α τότε έχουµε = x (k) + τ(i ωl) D (b Ax (k) ), k = 0,,... (9) ή = L τ,ω x (k) + τ(i ωl) c (0) όπου L τ,ω = I τ(i ωl) D A. () ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 9 / 64

40 Επαναληπτική Επιταχυντική µέθοδος της ιαδοχικής Υπερµείωσης (Extrapolated Successive Overrelaxation (ESOR)) Προκειµένου να ϐρούµε την εξίσωση των συνιστωσών η (9) µπορεί να γραφτεί σαν = ( τ)x (k) + ωl + (τ ω)lx (k) + τ Ux (k) + τ c () οπότε έχουµε i = ( τ)x (k) i +τ i + ω ^a ij i j + (τ ω) n j=i+ j= j= ^a ij x (k) j ^a ij x (k) j + τ ^b i, i =,,..., n. () Κατά την υλοποίηση της ESOR είναι δυνατόν να γίνει εξοικονόµηση των υπολογισµών αν αποθηκευτεί η ποσότης Lx (k) προκειµένου να χρησιµοποιηθεί στην επόµενη επανάληψη. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

41 Επαναληπτική µέθοδος της ιαδοχικής Υπερµείωσης (Successive Overrelaxation (SOR) ) Αν ϑέσουµε τ = ω στην ESOR λαµβάνουµε τη δηµοφιλή Successive Overrelaxation(SOR) µέθοδο, η οποία δίνεται διαδοχικά από τους τύπους = x (k) + ω(i ωl) D (b Ax (k) ) (4) = L ω x (k) + ω(i ωl) c (5) όπου ή L ω = I ω(i ωl) D A. (6) L ω = (I ωl) [( ω)i + ωu] είναι ο επαναληπτικός πίνακας της ε.µ. SOR. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

42 Επαναληπτική µέθοδος ( Successive Overrelaxation (SOR)) Επίσης η SOR γράφεται και σαν = (I ωl) [( ω)i + ωu]x (k) + ω(i ωl) c (7) ή = ( ω)x (k) + ω[l + Ux (k) + c]. (8) Παρατηρήστε ότι η ποσότητα της αγκύλης είναι η GS µέθοδος, συνεπώς η (8) λαµβάνει τη µορφή = ( ω)x (k) + ω GS (9) όπου GS συµβολίζει την k + επανάληψη της GS µεθόδου. Η (9) υπήρξε η αφετηρία της ανακάλυψης της SOR µεθόδου. Τέλος, υπό µορφή συνιστωσών η SOR δίνεται από τους τύπους i = ( ω)x (k) i i + ω j= ^a ij j + ω n j=i+ ^a ij x (k) j + ω^b i, i =,,..., n. (40) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

43 Σύγκλιση της ε.µ. SOR Αν λ i είναι οι ιδιοτιµές του L ω, τότε det(l ω) = Αλλά det(l ω) = det (I ωl) [( ω)i + ωu] ny i= λ i det (I ωl) det {( ω)i + ωu} = ( ω) n = ( ω) n Αρα [ρ(l ω)] n ny λ i = ny i= i= λ i = ( ω) n = ω n ω rho(l ω) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 4 / 64

44 Σύγκλιση της ε.µ. SOR Για να συγκλίνει η ε.µ. SOR ϑα πρέπει να ισχύει ρ(l ω ) < Αρα ή ω < 0 < ω < Εποµένως, αν η ε.µ. SOR συγκλίνει τότε 0 < ω <. Η ϐέλτιστη τιµή ω b της παραµέτρου ω προσδιορίζεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ϕασµατική ακτίνα rho(l ω ) του επαναληπτικού πίνακα της ε.µ. SOR. Η µελέτη της ρ(l ω ) σαν συνάρτηση της ω ϕαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

45 Μελέτη της ϕασµατικής ακτίνας ρ(l ω ) S(L ω).0 (,) (,µ ) (ω b,ω b ).0 ω b.0 ω ω b = + ρ(b), ρ(l ω b ) = ω b ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

46 Επαναληπτική µέθοδος SOR Υπό µορφή πινάκων ή = ( ω)x (k) + ω GS, k = 0,,, = ( ω)x (k) + ω(l + Ux (k) + c), k = 0,,, Υπό µορφή συντεταγµένων i = ( ω)x (k) i i + ω( j= i = ()n a ij j a ii n j=i+ a ij x (k) j + b i ) a ii a ii ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

47 Επαναληπτική µέθοδος SOR Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό σύστηµα x x = x +x x = 0 x +x = Να δειχθεί ότι η µέθοδος του SOR συγκλίνει και να ϐρεθούν οι τρείς πρώτες επαναλήψεις, αν x (0) = (, 0, ). Λύση Η µέθοδος SOR δίνεται από το ακόλουθο επαναληπτικό σχήµα : = ( ω)x (k) + ω GS, όπου GS είναι το επαναληπτικό διάνυσµα που προκύπτει από την εφαρµογή της Gauss-Seidel µεθόδου. Εποµένως, για το τριδιαγώνιο σύστηµα του προηγούµενου παραδείγµατος, η SOR παράγει το επαναληπτικό σχήµα : ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

48 Επαναληπτική µέθοδος SOR = ( ω)x (k) + ω ( + x(k) ) = ( ω)x (k) + ω (x(k+) + x (k) ), k = 0,,... = ( ω)x (k) + ω ( + x(k+) ). Η ϐέλτιστη τιµή του ω δίνεται από τον τύπο (Θεώρηµα.4.6) ω b = + ρ(b) ή ενώ ω b = = ρ(ω b ) = ω b ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

49 Επαναληπτική µέθοδος SOR Λαµβάνοντας, x (0) = (, 0, ) T, δηλαδή, x (0) =, x (0) = 0 και x (0) = έχουµε για k = 0 x () 4 = ( + ) + + ( + 0) = + = x () 4 = ( + ) ( + 4( + ) + ) = ( + ) x () 4 = ( + ) + + 4( + ) ( + ( + ) ) = 4 ( + ) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

50 Αλγόριθµος της ε.µ SOR. ιάβασε n, ω, ɛ, maxiter. Για i = ()n επανάλαβε για j = ()n + επανάλαβε ιάβασε a ij ιάβασε x0 i. itcount = 0 4. Οσο ισχύει itcount maxiter επανάλαβε 4. Για i = ()n επανάλαβε x i = ( ω)x0 i+ +ω( i X j= a ij a ii x j nx j=i+ a ij a ii x0 j + bi a ii ) 4. itcount = itcount + 4. Αν x x0 < ɛ τότε Για i = ()n επανάλαβε Τύπωσε x i Τέλος. 4.4 Για i = ()n επανάλαβε x0 i = x i 5. Τύπωσε( Οχι σύγκλιση µετά από maxiter επαναλήψεις ) 6. Τέλος ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

51 Ασκηση ίνεται το γραµµικό σύστηµα: α 0 α α 0 α x x x = α α α, α R. Να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε η ε.µ. (GS) να συγκλίνει.. Να δοθούν οι εξισώσεις υπο µορφή συνιστωσών της επαναληπτικής µεθόδου Gauss-Seidel(GS) για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος.. Για α = και x (0) = b να υπολογιστεί η προσεγγιστική τιµή x () της ε.µ. α) GS β) SOR για ω = /. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

52 Λύση Είναι: A = α 0 α α 0 α, b = α α α Η ϐασική διάσπαση του A είναι όπου D = , CL = A = D C L C U α α 0, CU = 0 α α ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

53 Λύση ή D A = I L U όπου L = D C L = α/ α/ 0, U = D C U = 0 α/ α/ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 5 / 64

54 . Επαναληπτικός πίνακας της ε.µ GS Ο επαναληπτικός πίνακας της ε.µ GS είναι ο L = (I L) U Είναι: I L = 0 0 α/ 0 0 α/ Υπολογισµός του (I L) = (I L)(I L) = I x 0 0 y y 0 z z z ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

55 (I L)(I L) = I 0 0 α/ 0 0 α/ x 0 0 y y 0 z z z x 0 0 ( α/)x + y y 0 ( α/)y + z ( α/)y + z z x = y = α/, y = z = α /4, z = α/, z = = = Αρα (I L) = 0 0 α/ 0 α /4 α/ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

56 Εποµένως L = (I L) U = 0 α/ 0 0 α /4 α/ 0 α /8 α /4 Ικανή και αναγκαία συνθήκη σύγλισης της ε.µ. GS Η ε.µ GS συγλίνει ρ(l ) < Εύρεση των ιδιοτιµών του L det(l λi) = 0 λ α/ 0 0 α /4 λ α/ 0 α /8 α /4 λ = 0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

57 Εύρεση των ιδιοτιµών του L det(l λi) = 0 λ α/ 0 0 α /4 λ α/ 0 α /8 α /4 λ = 0 ϱίζες : λ = 0, 0, α / Ικανή και αναγκαία συνθήκη σύγκλισης της ε.µ. GS Αν α = 0 τότε ρ(l ) = 0 <, οπότε η ε.µ. GS συγλίνει. Αν α 0 τότε ρ(l ) = α /, οπότε πρέπει : α / < < α < Αρα α (, ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

58 Επαναληπτική µέθοδος Gauss-Seidel (GS) Υπό µορφή πινάκων : = (I L) Ux (k) + c, k = 0,,, = L + Ux (k) + c, k = 0,,, Υπό µορφή συνιστωσών : i i = j= a ij j a ii n j=i+ a ij x (k) j + b i, i = () a ii a ii ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

59 . Οι εξισώσεις υπο µορφή συνιστωσών της ε.µ. GS για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος είναι οι : = = α x(k+) + α x(m) = α x(k) + α + α α x(k+) + α, k = 0,, ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

60 . Υπολογισµός της προσεγγιστικής τιµής x () Για α = η ε.µ. GS δίνεται από το ακόλουθο επαναληπτικό σχήµα : = ( + x(k) ) = (x(k+) + x (k) ), k = 0,,,... = ( + x(k+) ). Για x (0) = b = (, 0, ) T, δηλαδή για x (0) =, x (0) = 0 και x (0) =, έχουµε για k = 0 x () = ( + x(0) ) = ( + 0) = x () = (x() + x (0) ) = ( + ) = 4 x () = ( + x() ) = ( + 4 ) = 7 8. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

61 k = x () = ( + x() ) = ( + 4 ) = 7 8 x () = (x() + x () ) = ( ) = 7 8 x () = ( + x() ) = ( ) = 5 6 k = x () = ( + x() ) = ( ) = 5 6 x () = (x() + x () ) = ( ) = 5 6 x () = ( + x() ) = 5 ( + 6 ) =. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

62 β) ε.µ SOR = ( ω)x (k) + ω ( α +αx(k) ) = ( ω)x (k) + ω ( α +αx(k+) +αx (k) ) = ( ω)x (k) + ω ( α +αx(k+) ), k = 0,,, ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

63 Για α = και x (0) = b = [, 0, ] T και για ω = / έχουµε : k = 0 i = i = x () = x(0) x () = x(0) i = + + x () = x(0) + ( + x(0) ) = + 4 ( + 0) = 4 (0 + x() + x (0) ) = (/4 + ) = 4 6 ( + x() ) = + 55 ( + 7/6) = 4 64 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου 00 6 / 64

64 k = i = i = x () = x() i = x () = x() + x () = x() + + ( + x() ) = ( + 7/6) = 4 64 (0 + x() + x () ) = (47/ /64) = ( + x() ) = ( + 58/56) = 4 04 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική (Περιττοί) : Ανάλυση Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Μαρτίου / 64

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα

Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Μαρτίου 019 ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα 7 Μαρτίου 019 1 / 99 Επαναληπτικές Μέθοδοι για

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 4 Νοεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) 4

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 4 1 / 48

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation)

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 3.6.1 Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation) Πανεπιστήµιο Αθηνών 10 Μαΐου 2017 (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί3.6.1 Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής(variable

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν Μ Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν Μ Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 3 1 / 9 Η

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα)

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα) ιδάσκων: Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης 14 Μαρτίου 2019 ιδάσκων: Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα) 14 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 13/3/13 Θεώρηµα Stein-Rosenberg Εστω A = D L U όπου L,U

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναληπτικές Μέθοδοι

Ιδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναληπτικές Μέθοδοι η Διάεξη Ιδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναηπτικές Μέθοδοι 8 Ιανουαρίου 008 Γιάννης Σαριδάκης 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4) -- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα

Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα Νικόλαος Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 19 εκεµβρίου 2018 Νικόλαος Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 11 Μαΐου 2016 ιδάσκων: ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 18 Απριλίου 2019

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 18 Απριλίου 2019 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 18 Απριλίου 2019 2019 1 / 74 Η µέθοδος του Jacobi Η µέθοδος των δυνάµεων, σε συνδυασµό µε τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 36 Αριθµητική Παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 3: Βασικές τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Επιτάχυνση σύγκλισης των επαναληπτικών επιλύσεων Gauss-Seidel, κατά την προσομοίωση αναλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1 Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΙΣΥΡΛΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΙΣΥΡΛΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 20 Επιλογή Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13/3/8 1η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) 1.1 Σε ένα σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΑΣΚΗΣΗ. 1. Θεωρία (Κεφ. 1, 2) ξ = 2 της εξίσωσης fx ( ) = 0 για x

1 η ΑΣΚΗΣΗ. 1. Θεωρία (Κεφ. 1, 2) ξ = 2 της εξίσωσης fx ( ) = 0 για x ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 0/3/009 η ΑΣΚΗΣΗ. Θεωρία (Κεφ., ). α) Σε πόσα σηµαντικά ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα