2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

Transcript

1 Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: Ã =

2 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b a n1 x 1 +a n2 x a nn x n = b n Σε μορφή πίνακα όπου A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Ax = b και b = b 1 b 2... b n είναι ο πίνακας των συντελεστών και το δεξιό μέρος Επαυξημένος πίνακας: Ã (1) = Ã = [A b]

3 Απαλοιφή του 1ου αγνώστου Ã (1) = i 1,1 i1 i+1,1... 1,i ,i 1 1i 2i... 1n 1,n+1 2n 2,n i 1,2 i 1,3 i 1,i 1 i 1,i i 1,n i2 i3... i,i 1... ii... in... i 1,n+1 i,n+1 i+1,2 i+1,3 i+1,i 1 i+1,i i+1,n n1 n2 n3 n,i 1 ni (E 2 a(1) i+1,n+1... nn n,n+1 E 1 ) E 2 Για j = 2,...,n ) (E 3 a(1) 31 E 1 E 3 m j1 = ) (E n a(1) n1 E 1 E n τέλος j1 /a(1) 11 (E j m j1 E 1 ) E j

4 Απαλοιφή του 2ου αγνώστου Ã (2) = a (2) a (2) ,i 1... a (2) 2,i 1 1i a (2) 2i... 1n 1,n+1 a (2) a (2) 2n 2,n a (2) i 1,2 a (2) i 1,3... a (2) i 1,i 1 a (2) i 1,i... a (2) i 1,n 0 a (2) i2 0 a (2) a (2) i3... a (2) i,i 1... a (2) a (2) ii a (2)... a (2) in... a (2) a (2) i 1,n+1 a (2) i,n+1 a (2) a (2) i+1,2 i+1,3 i+1,i 1 i+1,i i+1,n i+1,n a (2) n2 a (2) n3... a (2) n,i 1 a (2) ni... a (2) nn a (2) n,n+1 για j = 3,...,n m j2 = a (2) j2 /a(2) ) 22 (E j m j2 E 2 E j τέλος

5 ακέραιος για τον οποίο έχουμε a (i) 0 Απαλοιφή του iστου αγνώστου Ã (i) = a (2) a (2) ,i 1... a (2) 2,i 1 1i a (2) 2i... 1n 1,n+1 a (2) a (2) 2n 2,n a (i 1) i 1,i 1 a (i 1) i 1,i... a (i 1) i 1,n a (i) ii a (i)... a (i) in... a (i) a (i 1) i 1,n+1 a (i) i,n+1 a (i) i+1,n+1 i+1,i i+1,n a (i) ni... a (i) nn a (i) n,n+1 για j = i+1,...,n m ji = a (i) ji /a(i) ) ii (E j m ji E i E j τέλος Σημειώστε: Αν a (i) = 0 τότε η iστη εξίσωση ενναλάσεται με μια απο τις ii επόμενες εξισώσεις ως εξής: E i E p όπου p i είναι ο (μικρότερος)

6 Ã (n) = a (2)... 1,i 1... a (2) 2,i 1 1i a (2) 2i... 1n 1,n+1 a (2) a (2) a (2) n 2,n a (i 1) a (i 1)... a (i 1) a (i 1) i 1,i 1 i 1,i i 1,n i 1,n a (i)... a (i) a (i) ii in i,n a (i+1) a (i+1) i+1,n i+1,n a (n) nn a (n) n,n+1 Επίλυση άνω τριγωνικού συστήματος x n = a (n) n,n+1 /a(n) nn Για i = n ( 1,..,1 ) n x i = a (i) a (i) ij x j /a (i) ii τέλος i,n+1 j=i+1

7 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2,...,n εξίσωση

8 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2,...,n εξίσωση a 1,1 x 1 + +a 1,j x j + +a 1,n x n = b 1 a i,1 x 1 + +a i,j x j + +a i,n x n = b i

9 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2,...,n εξίσωση a 1,1 x 1 + +a 1,j x j + +a 1,n x n = b 1 a i,1 x 1 + +a i,j x j + +a i,n x n = b i πολλαπλασιαστής p = a i,1 a 1,1, οδηγός = a 1,1,

10 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2,...,n εξίσωση a 1,1 x 1 + +a 1,j x j + +a 1,n x n = b 1 a i,1 x 1 + +a i,j x j + +a i,n x n = b i πολλαπλασιαστής p = a i,1 a 1,1, οδηγός = a 1,1, a i,j a i,j p a 1,j, j = 2,...,n

11 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1,...,n 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k +1,...,n εξίσωση

12 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1,...,n 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k +1,...,n εξίσωση a k,k x k + +a k,j x j + +a k,n x n = b k a i,k x k + +a i,j x j + +a i,n x n = b i

13 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1,...,n 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k +1,...,n εξίσωση a k,k x k + +a k,j x j + +a k,n x n = b k a i,k x k + +a i,j x j + +a i,n x n = b i πολλαπλασιαστής p = a i,k a k,k, οδηγός = a k,k,

14 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1,...,n 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k +1,...,n εξίσωση a k,k x k + +a k,j x j + +a k,n x n = b k a i,k x k + +a i,j x j + +a i,n x n = b i πολλαπλασιαστής p = a i,k a k,k, οδηγός = a k,k, a i,j a i,j p a k,j, j = k +1,...,n

15 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών) Για k = 1,...,n 1 (τα βήματα της απαλοιφής). Για i = k +1,...,n (οι υπόλοιπες εξισώσεις). p = a i,k /a k,k. Για j = k +1,...,n (συντ. υπολοίπων αγνώστων). a i,j = a i,j p a k,j. b i = b i p b k

16 Ερωτήσεις 1. Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.

17 Ερωτήσεις 1. Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους. 2. Μετατρέψτε τον παραπάνω αλγόριθμο έτσι ώστε αυτός να εκμεταλεύεται κατάλληλα την μη-μηδενικη δομή ενός συστήματος του οποίου οι συντελεστές των αγνώστων ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη όπου k ακέραιος θετικός αριθμός μικρότερος του n. a i,j = 0, i,j : i j > k

18 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών) Για k = 1,...,n 1 (τα βήματα της απαλοιφής). Για i = k +1,...,n (οι υπόλοιπες εξισώσεις). p = a i,k /a k,k. Για j = k +1,...,n (συντ. υπολοίπων αγνώστων). a i,j = a i,j p a k,j. b i = b i p b k

19 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

20 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο

21 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το a s,k ) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

22 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το a s,k ) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2.2 αν δεν υπάρχει τότε προχωράς στο επόμενο βήμα της απαλοιφής

23 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

24 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

25 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

26 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

27 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

28 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό οδηγά στοιχεία τα 2,0,0,4,

29 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό οδηγά στοιχεία τα 2,0,0,4, λύση η x 4 = 1/2,x 3 = s,x 2 = t,x 1 = 2 t+s/2 3/2.

30 Άσκηση Άλλαξε μια ή περισσότερες τιμές στον αρχικό πίνακα έτσι ώστε το σύστημα να 1. έχει μόνον μια λύση. 2. μην έχει καμία λύση.

31 Αλγόριθμος της απαλοιφής χωρίς οδήγηση (εναλλαγές γραμμών) Για k = 1,...,n 1 (τα βήματα της απαλοιφής). Για i = k +1,...,n (οι υπόλοιπες εξισώσεις). p = a i,k /a k,k. Για j = k +1,...,n (συντελ. υπολοίπων αγνώστων). a i,j = a i,j p a k,j. b i = b i p b k

32 Η απαλοιφή με χρώματα φιγς/γεπιςτυρε.πδφ Δεν χρησιμοποιούνται, χρησιμοποιούνται, υπολογίζονται

33 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

34 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο

35 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το a s,k ) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

36 Οδήγηση πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής 1. αν a k,k 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2. αν a k,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 2.1 αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το a s,k ) το κάνεις οδηγό στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά 2.2 αν δεν υπάρχει τότε προχωράς στο επόμενο βήμα της απαλοιφής

37 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

38 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

39 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

40 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

41 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό

42 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό οδηγά στοιχεία τα 2,0,0,4,

43 Παράδειγμα με μηδενικό οδηγό οδηγά στοιχεία τα 2,0,0,4, λύση η x 4 = 1/2,x 3 = s,x 2 = t,x 1 = 2 t+s/2 3/2.

44 Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης Κάθε σύστημα έχει μοναδική λύση ανν a (i) 0 i όπου a(i) i,i i,i είναι το i-στο διαγώνιο στοιχείο μετά την διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση.

45 Ασκήσεις 1. Άλλαξε μια ή περισσότερες τιμές στον παραπάνω αρχικό πίνακα έτσι ώστε το σύστημα να (α) έχει μόνον μια λύση και (β) να μην έχει καμία λύση. 2. Για ποιές τιμές της παραμέτρου t R έχει λύση το παρακάτω σύστημα; x 1 +x 2 +x 3 = b 1 tx 1 +2tx 2 +2x 3 = b 2 (t +1)x 1 +2tx 3 = b 3 3. Υπολογίστε την λύση του παραπάνω συστήματος αν b 1 = 3, b 2 = 3t +2 και b 3 = 3t Εχει το παρακάτω σύστημα λύση; 2sinα cosβ +3tanγ = 3 4sinα +2cosβ 2tanγ = 10 6sinα 3cosβ +tanγ = 9

46 Διανύσματα και Πίνακες x 2 +2x 3 x 4 = 1 x 1 +x 3 +x 4 = 4 x 1 +x 2 x 4 = 2 2x 2 +3x 3 x 4 = 7

47 Διανύσματα και Πίνακες A = x 2 +2x 3 x 4 = 1 x 1 +x 3 +x 4 = 4 x 1 +x 2 x 4 = 2 2x 2 +3x 3 x 4 = 7

48 Διανύσματα και Πίνακες A = x 2 +2x 3 x 4 = 1 x 1 +x 3 +x 4 = 4 x 1 +x 2 x 4 = 2 2x 2 +3x 3 x 4 = 7 b =

49 Διανύσματα και Πίνακες A = x 2 +2x 3 x 4 = 1 x 1 +x 3 +x 4 = 4 x 1 +x 2 x 4 = 2 2x 2 +3x 3 x 4 = 7 b = x = x 1 x 2 x 3 x 4

50 Διανύσματα Ορισμός - Διάνυσμα είναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά. Συμβολισμός- x 1 x R n x x 2 =..., x i R, i = 1,...,n x n Στοιχεία διανύσματος - x i είναι η i-στη συνιστώσα του διανύσματος x.

51 Πράξεις με διανύσματα x,y R n, x +y = α R, x 1 x 2. x n αx = α + x 1 x 2. x n y 1 y 2. y n = = αx 1 αx 2. αx n x 1 +y 1 x 2 +y 2. x n +y n

52 Γραμμικός συνδοιασμός διανυσμάτων α,β,γ R, x,y,z R n αx + βy + γz = = α x 1 x 2. x n +β y 1 y 2. y n +γ z 1 z 2. z n = αx 1 + βy 1 + γz 1 αx 2 + βy 2 + γz 2. αx n + βy n + γz n

53 Παραδείγματα = 7 ; 3 6 9

54 Παραδείγματα = 7 ; 1 2 =

55 Παραδείγματα = 7 ; 1 2 = = 3 4 0

56 Παραδείγματα = 7 ; 1 2 = = ( 1) =

57 Παραδείγματα = 7 ; 1 2 = = ( 1) =