ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ

2 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ

3 ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α =0 ή β = 0 αβ ¹ 0 Û α ¹ 0 και β ¹ 0 Αναλογία : ονομάζουμε την ισότητα δυο λόγων. Για παράδειγμα αναλογίες ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α γ =. τις β δ α γ = Û αδ = βγ ( χιαστί ) β δ α γ α β = Û = β δ γ δ α γ α + β γ + δ = Û = β δ β γ και α α + β = γ γ + δ α γ α γ α + γ = Û = = β δ β δ β + δ Παράδειγμα : Αν α γ α 5α - 7γ =, να αποδείξετε ότι : =,με [ βδ(5β-7δ) ] ¹ 0 β δ β 5β - 7δ α γ Θεωρούμε = = λ, οπότε α = λβ και γ = λδ. υνεπώς το 5α 7γ, γίνεται: 5α 7γ = 5 λβ 7 λδ = λ( 5β-7δ). Επομένως λ = = = β δ 5α - 7γ α γ 5β - 7δ β δ ΑΚΗΕΙ. Αν οι αριθμοί Α = χ-4ψ+5ω και Β = ψ-χ-3ω είναι αντίθετοι να αποδείξετε ότι ω = ψ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

4 . Αν α, β, γ ακέραιοι διαδοχικοί, να δειχθεί ότι α+β+γ είναι πολλαπλάσιο του Να βρεθεί το αποτέλεσμα της παράστασης: (+ )( + )( + )...( + ) Να σημειωθεί η σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν α, β αντίστροφοι τότε: ι) α=β ιι) α+β=0 ιιι) αβ=0 ιν) αβ= ( + ) β) Το κλάσμα ορίζεται όταν: ( + ) ι) α ¹ - ιι) α ¹ 0 ιιι) α ¹ 0 ή α ¹ - ιν) α ¹ 0 και α ¹ - γ) Αν α, βî Ζ με β ¹ 0, τότε b είναι: ι) θετικός ιι) αρνητικός ιιι) ρητός ιν) ακέραιος 5. Έστω α γ γ 3γ - α =. Να αποδειχθεί ότι : =, βδ(3δ-β) ¹ 0 β δ δ 3δ - β 6. Αν x 3 =, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : y x x - y Α = Β = x + y x Γ = 3x 5y 7. Αν x y z = = και 3x-y+z = 0, να βρεθούν τα x, y, z ΔΥΝΑΜΕΙ. α = α. α 0 = m 3. α m. α = α m+ m - 4. = 5. α β = (αβ) 6. = ( ) b b - - b 7. α = 8. ( ) = ( ) b 9.( α m ) = (α ) m = α m Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

5 Παρατήρηση Προσοχή το αντίστρο- Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Αν α = β Þ α κ = β κ φο δεν ισχύει. ΑΞΙΟΗΜΕΙΩΤΕ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕ. (-β)(+β)= - b. ( ± b ) = ± b + b ( ± b ) = ± 3 b + 3b ± b 4. (+β+γ) = + b + g + b + bg + g ± b = ( ± b )( m b + b ) 6. + b = ( + b ) - b b = ( + b) - 3b ( + b) 8. (x+).(x+β)= x + ( + b) x + b b + g - 3bg = ( + b + g )[( - b ) + ( b - g ) + ( g - ) ] Αν +β+γ=0 ή =β=γ τότε : + b + g = 3bg b = ( - b )( + b b + b ) Παρατήρηση Η ταυτότητα 9 είναι η ταυτότητα του Euler. Πολλές ασκήσεις λύνονται με τη βοήθεια της. Δείτε το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα ( Άσκηση σελ 3 σχολικού βιβλίου ) Να αποδείξετε ότι : (χ-) 3 + (χ-4) 3 + (5-3χ) 3 = 3(χ-)(χ-4)(5-3χ) ύμφωνα με την ταυτότητα του Euler,αν θέσουμε α = χ-,β = χ-4,γ = 5-3χ Παρατηρούμε ότι : α + β + γ = χ-+χ-4+5-3χ = 0,οπότε : α 3 +β 3 +γ 3 = 3αβγÞ (χ-) 3 + (χ-4) 3 + (5-3χ) 3 = 3(χ-)(χ-4)(5-3χ) ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕ ΜΕΘΟΔΟΙ ( ΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΟΔΥΝΑΜΙΕ ) Κάθε άσκηση ή πρόταση συνήθως διαχωρίζεται σε δυο ισχυρισμούς, την υ- πόθεση (Υ) και το συμπέρασμα (). Υπόθεση είναι τα δεδομένα της άσκησης, υμπέρασμα είναι μια πρόταση που προσπαθούμε να αποδείξουμε. Γενικά κάθε πρόταση που περιέχει υπόθεση και συμπέρασμα καλείται ΥΝΕΠΑΓΩ- ΓΗ. Η απόδειξη μιας συνεπαγωγής μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

6 η ΜΕΘΟΔΟ «ευθεία απόδειξη» Ξεκινάμε από την υπόθεση και με την βοήθεια γνωστών ιδιοτήτων και κανόνων προσπαθούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα. Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι : αν + =, τότε α + =. α Υπόθεση εδώ είναι η : + =. Ξεκινώ λοιπόν από την υπόθεση και έχω : + = Þ ( α + ) = Þ α + α + α α = 4 Þ α α + + = 4 Þ α + =. Κατέληξα στο συμπέρασμα. α α η ΜΕΘΟΔΟ «απαγωγή σε άτοπο» Υποθέτουμε ότι δεν αληθεύει το συμπέρασμα (δηλαδή θεωρούμε ότι αληθεύει η άρνηση του συμπεράσματος ), και καταλήγουμε σε μια πρόταση που είτε δεν ισχύει είτε έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση. Παράδειγμα : Αν ρ ρητός και α άρρητος, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ρ+α, ρ-α είναι άρρητοι. Έστω ότι ρ +α ρητός. Δηλαδή ρ + α = ν μ, όπου μ, ν ακέραιοι, τότε α = ν μ - ρ, όμως έτσι προκύπτει ότι ο α είναι ρητός αφού είναι διαφορά δυο ρητών αριθμών. Άτοπο, αφού από υπόθεση ο α είναι άρρητος. Η υπόθεση μου ότι ο ρ + α είναι ρητός καταλήγει σε άτοπο άρα ρ + α άρρητος. ΑΚΗΕΙ 8. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω. α. Αν α ¹ 0 τότε α 0 =. - β. Αν α ¹ 0 και νîν-{0} τότε α =.. γ. (α+β)(α-β)=. 3-8 δ. Αν α ¹ τότε : = ε = στ. Αν νîν τότε (-) + (-) = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

7 9. Να γίνουν οι πράξεις στις παραστάσεις: α) (χ-ψ)-3[5(χ-ψ)-(3χ-ψ)] β) (χ+ψ)(χ-ψ)+(ψ+ρ)(ψ-ρ)+(ρ-χ)(ρ+χ) γ) [χ (ψ - ρ ) 3 ] (χ ψ 4 ρ - ) Να αναπτυχθούν οι ταυτότητες : α ) (α+β) β ) (α-β) γ ) (αβ-3) δ ) (α+3) 3 ε ) (α+β) 3 στ ) (α-β) 3 ζ ) (α-β)(α+β) η ) (χ -ψ )(χ +ψ ) θ ) 9κ -5. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων : α -β = (α-β)(α+β) και (α ± β), να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α ) 98 0 β ) 00 γ ) 5,36 -,36 6,7. Αν α-β = να αποδείξετε ότι : α +β -αβ-4α+4β+3 = - 3. Αν α+β =, να αποδείξετε ότι : (α +β -) (αβ-) = 0 4. Αν α-β =, να αποδείξετε ότι : α 3 (-β)+β 3 (+α) = α+β 5. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : α ) χ+6 β ) 8χ 3 +χ γ ) χ 5 +χ δ ) χ +χ ε ) χ 3 -χ στ ) 8χ -3χ 6. Ομοίως τις παραστάσεις : α ) 4χ -5 β ) χ 4 -ψ 4 γ ) 9β -6 δ ) α (3β+7) ε ) 9κ 00β στ ) χ +8χ+6 ζ ) 36χ +4χ+4 η ) χ +6χ+9 θ ) χ 4-4χ 3 +4χ 7. Να γίνει αντιστοίχηση των στοιχείων κάθε στήλης. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

8 τήλη Α τήλη Β. χ -ψ α.. x 3 -y 3 c -y β. χ -χ ψ+ ψ c 3 + y 3 γ. χ +χ ψ+ ψ c + y c -y 3 3 c -y c + y c + cy + y 4 4 c -y 5. c -y δ. χ +ψ ε. (χ-ψ) (χ+ψ) 8. Να γίνει γινόμενο η παράσταση α 4 +α Να αποδείξετε τις σχέσεις: α) (α+) 3 -α(α+3) =3α+8 β) (α+ β) (α 3 -β 3 )-(α-β) (α 3 +β 3 )=αβ(α-β) (α+ β) γ) (α +β ) (γ +δ )=(α γ + β δ) (α δ -β γ) 0. Αν για τους α, β όπου α, β ¹ 0, ισχύει (α+ β) 3 =α 3 +β 3, τότε οι α, β είναι αντίθετοι.. Να αποδείξετε ότι: (χ-ψ) 3 +(ψ-κ) 3 +(κ-χ) 3 =3(χ-ψ)(ψ-κ)(κ-χ). Επίσης να λυθεί η εξίσωση (χ+) 3 +(3χ-5) 3 +(4-5χ) 3 =0. Έστω α ακέραιος. Αν ο α είναι περιττός, τότε να δείξετε ότι ο α είναι περιττός 3. Έστω α ακέραιος. Αν ο α 3 είναι περιττός, τότε να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός. 4. Να δειχθεί ότι ο 00 + είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή ο 00 + είναι της μορφής 7κ όπου κîζ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

9 .3 Η εξίσωση αχ+β = 0 Για να λύσουμε την εξίσωση ακολουθούμε το παρακάτω σχήμα : ì β ï α ¹ 0 Þ χ = - ï α αχ+β = 0 Þ í ï ìβ = 0 Þ Ταυτοτητα ïα = 0 Þ í î î β ¹ 0 Þ Αδυνατη Παράδειγμα Να λυθεί η παραμετρική εξίσωση : λ (χ-)+3λ = (χ+) ΒΗΜΑ Ο : την φέρνω στη μορφή αχ = β λ (χ-)+3λ = (χ+) Þ λ χ-λ +3λ = χ+ Þ λ χ χ = λ -3λ+ Þ (λ -)χ = λ -3λ+ ΒΗΜΑ Ο : διακρίνω περιπτώσεις για το α και το β. Αν λ λ - ¹ 0 Þ Η εξίσωση έχει λύση την :χ= Αν λ - = 0 Þ λ = ή λ = - - 3λ + λ - Για λ = Þ Η εξίσωση γίνεται : 0χ = 0 Ταυτότητα Για λ = - Þ Η εξίσωση γίνεται : 0χ = 6 Αδύνατη ΑΚΗΕΙ 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. (χ+)(3χ-5)+-4χ =χ+ ε. (χ -6)(3χ-) = (χ+4)(3χ-) β. χ 3 +4χ +χ+4=0 στ. (χ-4) =3(χ-5) -(5χ-) γ. δ. 3 x + 8 3x χ=4 ζ. - + = 0 x x x - x - 5x + 4 x + x + + = x + x - x - 4 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

10 6. Ομοίως οι εξισώσεις α ) λ(λχ-)=(χ+) β ) (α -β )χ= α-β γ ) (λ 3 -)χ=λ- δ ) λχ = λ- ε ) λ χ-λ = 9χ +3λ στ ) λχ = λ +χ ζ ) (λ-)χ +(λ-)χ=0 η ) λ (χ-λ) =χ - θ ) λ -λ 3 χ = 4+8χ ι ) (λ+5)(λ-3)χ = λ-3 7. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω: α. Αν (λ -4)χ-λ= έχει άπειρες λύσεις τότε λ= β. Αν η αχ+β=χ+3 έχει δυο τουλάχιστον λύσεις τότε α=.,β=. x - γ. Η = έχει λύση την χ=. x + 8. Να σημειωθεί η σωστή απάντηση σε κάθε πρόταση. α ) Αν η (λ -)χ= λ 3 - είναι αδύνατη, τότε ο λ είναι ίσος με: ι) ιι) - ιιι) ιν) τίποτα απ τα παραπάνω β ) Αν η εξίσωση αχ+β=0 είναι αδύνατη, τότε η βχ+α=4β είναι: ι) ταυτότητα ιι) αδύνατη ιιι) έχει λύση ιν) τίποτα απ τα παραπάνω γ ) Αν η λχ+=χ+λ έχει λύση διάφορη από το τότε είναι : ι) αδύνατη ιι) αόριστη ιιι) ο λ παίρνει κάθε πραγματική τιμή ιν) έχει ακριβώς μια λύση δ ) Αν η (α +β )χ+αβ=0 είναι ταυτότητα, τότε: ι) α ¹ 0 ή β ¹ 0 ιι) αβ ¹ 0 ιιι) α=0 ή β=0 ιν) α=0 και β=0. 9. ε μια συνάντηση υπάρχουν τριπλάσιοι άντρες από ότι γυναίκες. Κάποια στιγμή φεύγουν 4 άντρες με τις συζύγους τους και οι άντρες τώρα είναι τετραπλάσιοι από τις γυναίκες. Να βρείτε τον αριθμό των αντρών και των γυναικών πριν την αναχώρηση. 30. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 8. Αν αντιστρέψουμε τη σειρά των ψηφίων προκύπτει διψήφιος αριθμός μικρότερος κατά 8. Να βρεθεί ο αρχικός διψήφιος. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

11 .4 ΔΙΑΤΑΞΗ Οι βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων είναι :. α > β Û α-β >0. α > β και β > γ, τότε α > γ ( μεταβατική ) 3. α > β Û α + γ > β + γ 4. α > β Û ìg > 0 Û g > b g í îg < 0 Û g < b g ì + g > b + d 5. α > β και γ > δ τότε í î, b, g, d > 0 Þ g > b d 6. α, β >0 και νî À τότε 7. α, β ομόσημοι τότε : α<β Û ì = b Û í î > b Û > b = b > b ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΟΤΗΤΩΝ η ΜΕΘΟΔΟ «της διαφοράς» Μετασχηματίζουμε την αρχική σχέση Α > Β στην Α Β > 0 και με πράξεις φτάνουμε σε μια προφανή σχέση. Παράδειγμα : Να αποδειχθεί η ανισότητα : + b ³ b. Αρκεί να δείξω ότι : α +β -αβ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδέν. Έχουμε : α +β -αβ = (α-β) ³ 0, είναι ίσον με το μηδέν όταν α = β η ΜΕΘΟΔΟ «συνθετική» Παρατηρούμε ποιες απλές ανισότητες παρουσιάζονται στην ζητούμενη ανισότητα και συνθέτοντας την υπόθεση μας καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση. Παράδειγμα : Αν ισχύει α < β, να δείξετε ότι : 3α-4γ < 3β -4γ Ξεκινώ από την υπόθεση και συνεχίζω με τις ιδιότητες των ανισοτήτων. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

12 α < β Þ 3α < 3β (γιατί 3 > 0 ) Þ 3α + (- 4γ) < 3β + ( -4γ) Þ 3α 4γ < 3β 4γ Καταλήξαμε στο ζητούμενο. 3 η ΜΕΘΟΔΟ «γραμμικού μετασχηματισμού» Αν στην υπόθεση μας δίνονται μια ή περισσότερες σχέσεις, τότε τις μετασχηματίζουμε σε σχέσεις ισότητας και με πράξεις καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση. Παράδειγμα :Αν α + β =, να αποδείξετε ότι : α β. Μετασχηματίζω την αρχική σχέση : α = β. Αρκεί να δείξω ότι : αβ- 0. ύμφωνα με τη μέθοδο έχω : αβ = (-β)β = β-β - = - (β-) 0 Είναι ίσο με μηδέν όταν β =. ΑΚΗΕΙ 3. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω προτάσεις: Αν ν ÎΝ-{0} τότε α=β Û α α>β και γ>δ τότε αγ>βδ αγ >βγ, τότε α>β α>β και γ>0 τότε αγ>βγ Αν α > τότε α> Αν α +β =0 τότε α=β=0 Αν α<β<0 τότε > Αν > τότε α>β b b Αν -<α<3 τότε 4<α <9 = b 3. Αν α > -, να αποδείξετε ότι : 4 + α > + α 33. Αν α > - > β, να αποδείξετε ότι : + α + β +αβ < 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 0

13 α Αν α -, να αποδείξετε ότι : + 4 α + α 35. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: α +β +γ ³4(α-β+γ-6) 36. Να δειχθεί ότι: α) χ +ψ ³χψ, όπου η ισότητα ισχύει για χ =ψ β) (α +β )(β +γ )(γ +α ) ³8, όπου α, β, γ θετικοί και αβγ= 37. Να αποδειχθεί ότι (α+ β) ³4αβ, όπου το ίσον ισχύει όταν α =β. Από ό- λους τους αριθμούς α, β που έχουν άθροισμα 00, να βρεθούν εκείνοι που έχουν μέγιστο γινόμενο. 38. Αν α+β = 4, να αποδείξετε ότι : ι ) αβ 4 ιι ) α +β ³ Αν - α και - β 0, να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: α) 3α- 4β β) α + β 40. Αν < α 3 και 3 < β 4, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχεται η τιμή των παρακάτω παραστάσεων : ι ) α + β ιι ) α-β ιιι ) β α ιν ) α +β 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) λχ > λ+χ β) χ+> x x x 0 + x 5 - x + + γ) - > δ ) λχ < 5λ ε ) χ+6λ ³ 4λχ+ στ ) λ +χ -λχ 4. Να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: α) 4α -4α+3>0 β) α +β +5 ³6α+8β 43. Να δειχθεί η σχέση: α +β +γ +α β+ β γ+ α γ³0 44. Αν α> και β>3, να δειχθεί ότι: αβ+6>3α+β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

14 45. Αν -<α<, να δειχθεί ότι α < 46. Αν α, β, γ, δ>0 με αβγδ=, τότε να δειχθεί : (α +β )(γ +δ ) ³4 47. Αν χ, ψ, κ >0, να δειχθεί ότι (χ+ψ+κ)( + + ) ³9. x y k 48. Αν για τους α, βîr ισχύει α +α β+ β =, να αποδειχθεί ότι - α β Να δειχθούν οι σχέσεις: α) Αν 0<α<, τότε α <α, για κάθε ν> β) < ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να δειχθεί ότι : α +β +γ <αβ+βγ+αγ..6 ΑΠΟΥΤΑ Για τα απόλυτα ισχύουν τα παρακάτω :. ì, ³ 0 = í 7. x θ Û - θ x θ, θ >0 î-, < 0. ³0 για κάθε αî Â 8. x ³θ Û x ³θ ή x -θ, θ > α 9. b = b 4. = α 0. = b b 5. x =θ και θ >0 Û x = ± θ. - b + b 6. x = Û x = ± α ΑΚΗΕΙ 5. Να γραφούν χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής : + b Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

15 Α = x + Β = 3 - x + Γ = 4 x + Δ = - + α - α Ε = α Να γραφούν χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής : Α= +χ- x - Β = 4 - x - x + 4 Γ = x x 53. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω παραστάσεις :. Αν α =β, τότε = b. Αν =, τότε α= 3. Αν = -α, τότε - =α 4. Αν + b =0, τότε α=β=0 5. Αν = b, τότε α=β 6. Ισχύει - b = - b 7. x - = - x 8. Αν x <, τότε χ < ή χ > - 9. Αν x > 3, τότε χ >3 και χ < x = x + 3. Αν χ <, τότε 3 - x = x - 3. Αν x - ψ = 0, τότε χ ψ = Να λυθούν οι εξισώσεις : α) x - = 7 β) x +χ= γ ) 3 x + = 3x + δ ) 3 x - 4 = 5 ε ) - x = 4 στ ) - x +- x = x ζ ) x + 4 = - η ) = Ομοίως : α ) x + = β ) x - 3 = 3 γ ) 3 - x = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

16 56. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) 3 x + x - x + + = 3 3 β ) - x + - x + = 5 3 x x - x - γ ) + + = - x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 3 β) x - 3 γ) x + < 3 δ ) x - > 4 ε ) - x + 4 < 5 στ ) 3 x 5 ζ ) x ³-3 η ) < x Ομοίως : x + 3 ( x + ) α ) - x x x - 8 β ) x > Ομοίως : α ) x - β ) x < 3 γ ) + x - > δ ) - x ³ Αν ισχύουν x,, b 3, να δειχθεί ότι α ) x - + 3b 4 β ) x - 3 γ ) x Αν x < 3 και y <, να αποδείξετε ότι : α ) x + y < 7 β ) 4 y - x - < 6 γ ) 3x - 8y - x + y < Να αποδείξετε ότι : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

17 i ) x + y = x + y, αν και μόνο αν xy ³ 0 ii ) x + y = x - y, αν και μόνο αν xy 0 iii ) x + y = x - y, αν και μόνο αν xy = Να λύσετε τις εξισώσεις : α ) χ+3 x -0 = 0 β ) χ- x + = Να λυθούν οι ανισώσεις : α ) 3 x - ³ x + β ) - x < x γ ) 3 x + > x Αν α, β, γ θετικοί πραγματικοί να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή της παράστασης b g Κ = + + b g 66. Αν ισχύουν α +β +γ =30 και αβ+βγ+γα=7, να δειχθεί ότι + b + g = Αν α+β+γ=, να δειχθεί ότι b + - g ³.7 ΙΔΙΟΤΗΤΕ ΡΙΖΩΝ Οι κυριότερες ιδιότητες των ριζών είναι :. = 4. = b b, α, β ³0. = α, β ³0 5. = α, α ³0 b b 3. =, α ³0 6. m m r m r = m, α³0 Η ΕΞΙΩΗ : x = Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

18 ν άρτιος και α >0 à x = Û x = ± ν άρτιος και α <0 à x = Û η εξίσωση είναι αδύνατη. ν περιττός και α >0 à x = ν περιττός και α <0 à x = Û x = Û x = - χόλιο : Θυμίζουμε επίσης την ιδιότητα : α m m =, μ, ν À Î. ΑΚΗΕΙ 68. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α ) ( x - ), όταν χ β ) ( 3 x - ), όταν χ > 3 γ ) ( x + ), όταν χ - δ ) ( - b) 69. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω προτάσεις:. =α. 4 = 3. 4 =α 4. Οι 5 + και 5 - είναι αντίστροφοι 5. =α 6. Αν α³ 0, τότε = 7. Η χ 0 = έχει μια πραγματική λύση 8. Η χ 0 = -, είναι αδύνατη. 9. Η χ 0 = -χ, έχει δυο πραγματικές ρίζες 70. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω α) δ) ζ ) β) 5 ε) 3 - η ) γ ) στ ) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

19 7. Να αποδείξετε ότι : α ) = β ) (5-7) + (5 + 7) = Αν χ = 5 - α ) χ + x, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : β ) χ - x γ ) χ -( x ) 73. Να γίνουν οι αντιστοιχήσεις τήλη Α τήλη Β. 4 α.. 6 β γ δ ε Να βρείτε τα εξαγόμενα : α ) β ) (4+ 6) (3-5 3) β ) ( ) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας : α ) β ) 4 3 γ ) 3 4 δ ) 3 ε ) b στ ) 3 4 ζ ) Να βρείτε τα εξαγόμενα : 3 6 α ) β ) 3 4 γ ) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

20 77. Να δειχθεί ότι: 4 3 α) 4 < 3 β) + 3 < Να συγκριθούν οι αριθμοί : α ) 5, β ) - 5, 0-6 γ ) 3 4 5, Να συγκριθούν οι αριθμοί + +, +,όπου α>. 80. Να βρεθεί ο χ ÎR, ώστε οι αριθμοί χ + 5, χ - 5 να είναι αντίστροφοι. 8. Αν για τους α, βîr και είναι θετικοί, ισχύει α+β=να δείξετε ότι : ( + b ) +( - b ) =5 8. Αν ισχύει χ+ ψ= + 4 και χ-ψ=, να δειχθεί ότι χψ=. 83. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) χ 4 =4χ β) 5 x =8χ γ ) χ 5 +3 =0 δ ) χ 4-6 =0 ε ) χ 3 +χ =0 στ ) χ 4 +χ =0 ζ ) χ 4 +8χ =0 η ) χ 0 +χ 3 =0 θ ) (4χ+χ 7 )(χ 8-56) = 0 ι ) (χ 3-343)(χ 8 +χ)=0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ 1. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) 2α + γ < 2β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ 1. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) 2α + γ < 2β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) α + γ < β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ > δ, να αποδείξετε ότι: i) 3α+ δ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)

ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α) Για την εξίσωση 6x 3x 1 0 ισχύει α = 3, β = -6, γ = 1 β) Η εξίσωση 3 0 δέχεται σαν λύση τον αριθμό. x 3x 3 ιι) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Λυκείου που θέλουν ένα μεθοδικό και πλήρες βοήθημα στην Άλγεβρα. Το μάθημα αυτό αποτελεί τη γέφυρα ανάμεσα στο γυμνάσιο και το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 /

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 / Εξισώσεις Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 7 / 8 / 8 A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 5 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Επιλεγμένες

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Εξισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 3 445 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2005-2006 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΙΔΑΙΑΣ ΑΡΙΔΑΙΑ : 15 / 6 / 2006 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ (επιλέξτε ένα

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ Ασκήσεις ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη ή ίση του. ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μεγαλύτερη του. ) Η απόσταση δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ii. iv. x vi. 2x viii x. 3 2 xii. x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ii. iv. x vi. 2x viii x. 3 2 xii. x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: 6 6 8 4 i ii ii 6 iv 5 iii 4 4 vi 0 iv viii 6 4 6 v 6 9 6 vi ii vii iv 6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να βρείτε τα αναπτύγματα:

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού 1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα