T = 425 K P = 1, 10, 20, 30, 40 atm A = , B = , a = , b = , c =

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ Απαντήσεις ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ και ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ημερομηνία παράδοσης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογισθεί με τις μεθόδους α) διχοτόμησης, β) απλών επαναλήψεων και γ) Newton ο ειδικός όγκος του n-βουτανίου σε δεδομένη θερμοκρασία και πίεση με την καταστατική εξίσωση πραγματικών αερίων Beattie Bridgeman: PV = RT + β/v + γ/(v 2 ) + δ/(v 3 ) (1) όπου β = RTB A Rc/(T 2 ), γ = -RTBb + aa RBc/(T 2 ), δ = RBbc/(T 2 ) και A, B, a, b, c καθορίζονται πειραματικά για κάθε αέριο. T = 425 K P = 1, 10, 20, 30, 40 atm A = , B = , a = , b = , c = Οι μονάδες των σταθερών είναι P = atm, V = lt/mol, T = Kelvin και R = (lt.atm)/(mol.k) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα σε σχέση με τη σύγκλιση και την αποτελεσματικότητα των τριών διαφορετικών μεθόδων. Λύση Με το Mathematica κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης (1) για κάθε περίπτωση της πίεσης P με σκοπό να προσδιορίσουμε περίπου το διάστημα εντός του οποίου βρίσκονται οι ρίζες της (1): T=425; P=40; A= ; B=0.2462; a= ; b= ; c= ; R= ; beta=r T B - A -R c / T 2 ; gama=-r T B b + a A - R B c/t 2 ; delta=r B b c/t 2 ; Plot[ R T + beta/v+gama/v 2 +delta/v 3 -P V,{V,0.1,1},AxesOrigin{0,0}] Στα γραφήματα που ακολουθούν ο οριζόντιος άξονας είναι το V και ο κάθετος το P. 1

2 P=1 atm: Βλέπουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 30 και P=10 atm: Βλέπουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 2 και P=20 atm: Βλέπουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 1 και 2. 2

3 P=30 atm: Βλέπουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 0.5 και P=40 atm: Βλέπουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 0.2 και 0.4. Α. Μέθοδος Διχοτόμησης Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει με την μέθοδο της διχοτόμησης το συγκεκριμένο πρόβλημα: program askhsh1_bisection implicit none real::t,p(5),aa,bb,a,b,c,beta,gama,delta,r,x,xl,xr integer::k T=425 P=(/1,10,20,30,40/) R= AA= BB= a= b= c= beta=r*t*bb-aa-r*c/t**2 gama=-r*t*bb*b+a*aa-r*bb*c/t**2 delta=r*bb*b*c/t**2!print*,beta,gama,delta print*, 'Enter k=1-5 for item of the Pressure array' 3

4 read*,k print*, ' Enter xl:' read*, xl print*, ' Enter xr:' read*, xr x=bisection(xl,xr,1e-4) print*,'root Found: ', x contains real function bisection(xl,xr,err) real::xl,xr,err real::xm integer::i,maxi=10000 if (f(xl)*f(xr) > 0) then print*, 'Not valid values for xl and xr' stop else open(10,file='results.txt') i=0 do while (i<maxi) i=i+1 xm=(xl+xr)/2. write(10,'(i3,",",3(f9.6,","),3(e12.3,:,","))') i,xl,xm,xr,f(xl),f(xm),f(xr) write(*,'(i3,2x,3(f9.6,2x),3(e12.3,2x))') i,xl,xm,xr,f(xl),f(xm),f(xr) if (abs(f(xm))<err) then bisection=xm return else if (f(xl)*f(xm)<0) then xr=xm else xl=xm end if end if close(10) end if end function real function f(x) real::x f= R*T+beta/x+gama/x**2+delta/x**3-P(k)*x end function end program 4

5 Πίνακες αποτελεσμάτων με τερματισμό διχοτομήσεων όταν το απόλυτο σφάλμα είναι μικρότερο του 10-4 P=1, 30< V<40: n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 04 Μετά από 15 διχοτομήσεις προκύπτει V = lt/mol P=10, 2<V<4: n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 04 Μετά από 16 διχοτομήσεις προκύπτει V = lt/mol 5

6 P=20, 1<V<2: n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 04 Μετά από 17 διχοτομήσεις προκύπτει V = lt/mol P=30, 0.5<V<1: n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 04 Μετά από 16 διχοτομήσεις προκύπτει V = lt/mol 6

7 P=40, 0.2<V<0.4: n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 04 Μετά από 15 διχοτομήσεις προκύπτει V = lt/mol B. Μέθοδος Απλών Επαναλήψεων Γράφουμε την αρχική εξίσωση PV = RT + β/v + γ/(v 2 ) + δ/(v 3 ) στη μορφή 2 3 V RT / V / V / V / P f( V), f '( V) / V 2 / V 3 / V / P Επαναληπτικός αλγόριθμος: n 1 n n n 2 3 V RT / V / / V V / P f( V), n 1,2,... Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει με την μέθοδο των απλών επαναλήψεων το συγκεκριμένο πρόβλημα: program Askhsh1_2!Aplh epanaliptikh implicit none real::t,p(5),aa,bb,a,b,c,beta,gama,delta,r,x0 integer::k T=425 P=(/1,10,20,30,40/) R= AA= BB= a= b= c=

8 beta=r*t*bb-aa-r*c/t**2 gama=-r*t*bb*b+a*aa-r*bb*c/t**2 delta=r*bb*b*c/t**2!print*,beta,gama,delta print*, 'Enter k=1-5 for item of the Pressure array' read*,k print*, 'Enter initial guess x0:' read*, x0 call aplh_epanaliptikh(x0,1e-6) contains subroutine aplh_epanaliptikh(x0,err) real,intent(in)::x0,err real::x,abserr,xold integer:: i,maxi=10000 open(10,file='results2.txt') abserr = 100. i=0 x=x0 write(10,'(i3,",",f12.4,",",3(e15.4,:,","))') 0,x,F(x),DER(x),abserr print '(i3,2x,f12.4,2x,3(e15.4,2x))', 0,x,F(x),DER(x),abserr do while ((i<maxi).and.(abserr>=err)) i=i+1 xold=x if (DER(x)>=1.) then print*,'no convergence. Derivate of current x is >= 1' stop else x = F(xold) abserr = abs(x - xold) write(10,'(i3,",",f12.4,",",3(e15.4,:,","))') i,x,f(x),der(x),abserr print '(i3,2x,f12.4,2x,3(e15.4,2x))', i,x,f(x),der(x),abserr end if if (abserr<err) then print*, 'The root within the prescribed error limit is:',x print*, 'The percentage relative error =',err print*,'the number of iteration performed before achieving' print*,'acceptable error limit is:',i else print*, 'The root is not reached within the error limit after prescribed number of iteration.' print*, 'The approximate root =',xold print*, 'The percentage relative error =',err endif close(10) end subroutine real function f(v) real::v f= (R*T+beta/V+gama/V**2+delta/V**3)/P(k) end function 8

9 real function der(v) real::v der=((-3*delta)/v**4 - (2*gama)/V**3 - beta/v**2)/p(k) end function end program Πίνακες αποτελεσμάτων: 0 P=1 (αρχική εκτίμηση V =28) Αριθμός επανάληψης V f(v ) f'(v ) Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 0 P=10 (αρχική εκτίμηση V =2) Αριθμός επανάληψης V f(v ) f'(v ) Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 07 0 P=20 (αρχική εκτίμηση V =1) Αριθμός επανάληψης V f(v ) f'(v ) Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 07 9

10 0 P=30 (αρχική εκτίμηση V =1) Αριθμός επανάληψης V f(v ) f'(v ) Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 07 0 P=40 (αρχική εκτίμηση V =0.5) Αριθμός επανάληψης V f(v ) f'(v ) Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 07 10

11 3. Μέθοδος Νewton Γράφουμε την αρχική εξίσωση PV = RT + β/v + γ/(v 2 ) + δ/(v 3 ) στη μορφή 2 3 f( V) RT / V / V / V PV 0 με f '( V) / V 2 / V 3 / V P n n1 n f( V ) Αλγόριθμος Newton: V V, n n 0,1,... f '( V ) Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει την εξίσωση με την μέθοδο Newton: program Askshsh1_3!Newton. implicit none real::t,p(5),aa,bb,a,b,c,beta,gama,delta,r real::x,x0,xnew,rel,err,xold integer i,maxi,k T=425 P=(/1,10,20,30,40/) R= AA= BB= a= b= c= beta=r*t*bb-aa-r*c/t**2 gama=-r*t*bb*b+a*aa-r*bb*c/t**2 delta=r*bb*b*c/t**2 print*,beta,gama,delta print*, 'Enter k=1-5 for item of the Pressure array' read*,k print*, 'Enter initial guess x0:' read*, x0 rel=1e-6 maxi=10000 err = 100. i = 1 xold=x0 print*, 0,xold,F(xold),DER(xold),err do while ((i/=maxi).and.(err>=rel).and.(der(xold)/=0.)) xnew = xold - (F(xold)/DER(xold)) if (xnew/=0.) then err = abs((xnew - xold)/xnew) * 100. endif print*, i,xnew,f(xnew),der(xnew),err xold = xnew i = i

12 if ((err<rel).and.(der(xold)/=0.)) then print*, 'The root within the prescribed error limit is:',xold print*, 'The percentage relative error =',err print*,'the number of iteration performed before achieving' print*,'acceptable error limit is:',i - 1 elseif((err>rel).and.(der(xold)/=0.)) then print*, 'The root is not reached within the error limit after prescribed number of iteration.' print*, 'The approximate root =',xold print*, 'The percentage relative error =',err elseif(der(xold)==0.) then print*, 'Newton''s method fails...derivative equal to zero.' endif contains real function f(v) real::v f= R*T+beta/V+gama/V**2+delta/V**3-P(k)*V end function real function der(v) real::v der=-p(k) - (3*delta)/V**4 - (2*gama)/V**3 - beta/v**2 end function end program Πίνακες αποτελεσμάτων (οι αρχικές εκτιμήσεις είναι οι ίδιες με αυτές της μεθόδου των απλών επαναλήψεων): 0 P=1 (αρχική εκτίμηση V =28) Αριθμός x f(x) f'(x) επανάληψης Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E+00 0 P=10 (αρχική εκτίμηση V =2) Αριθμός x f(x) f'(x) επανάληψης Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E+00 0 P=20 (αρχική εκτίμηση V =1) Αριθμός x f(x) f'(x) επανάληψης Απόλυτο σφάλμα E E E E E E 01 12

13 E E E E E E E E E 07 0 P=30 (αρχική εκτίμηση V =1) Αριθμός x f(x) f'(x) επανάληψης Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 0 P=40 (αρχική εκτίμηση V =0.5) Αριθμός x f(x) f'(x) επανάληψης Απόλυτο σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 08 Συγκριτικά έχουμε για όλες τις μεθόδους: Αριθμός διχοτομήσεων/επαναλήψεων P Διχοτόμησης Απλή Επαναληπτική Newton Με εξαίρεση την περίπτωση P=40 η μέθοδος Newton είναι η πλέον υπολογιστικά αποδοτική. 13

14 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να λυθεί με τις μεθόδους απαλοιφή Gauss, παραγοντοποίηση LU, Jacobi, Gauss-Seidel και S.O.R. το σύστημα Ax=b όπου: A Λύση και 15 9 B 21 3 Αρχικά παίρνουμε τη λύση με Mathematica ώστε στη συνέχεια νε ελέγξουμε τα αποτελέσματα: A={ {5, 1, 2, 0}, {0, 3, 1, 1}, {-1, 2, 6, -2}, {1, -2, 1, 4} }; B={15,9,21,-3}; LinearSolve[A,B]//N Αποτελέσματα: Χ1= , Χ2= , Χ3= , Χ4= Α) Απαλοιφή Gauss Επαυξημένο πίνακας γραμμικού συστήματος: Για τον μηδενισμό των στοιχείων της πρώτης στήλης κάτω από την κύρια διαγώνιο χρησιμοποιούνται οι πολλαπλασιαστές m 21 =0.000, m 31 = , m 41 = 0.200: Για τον μηδενισμό των στοιχείων της δεύτερης στήλης κάτω από την κύρια διαγώνιο χρησιμοποιούνται οι πολλαπλασιαστές m 32 =0.733, m 42 = : Για τον μηδενισμό των στοιχείων της τρίτης στήλης κάτω από την κύρια διαγώνιο χρησιμοποιείται ο πολλαπλασιαστής m 43 =0.235:

15 Στη συνέχεια επιλύουμε με οπισθοδρόμηση και παίρνουμε τις λύσεις Χ1= , Χ2= , Χ3= , Χ4= Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει το σύστημα με απαλοιφή Gauss: program askhsh2_1! Naive Gauss Elimination implicit none real::a(4,5),x(4) integer::i A(1,:)=(/5,1,2,0,15/) A(2,:)=(/0,3,1,1,9/) A(3,:)=(/-1,2,6,-2,21/) A(4,:)=(/1,-2,1,4,-3/) call naive_gauss_elimination(a,4,x)!display Result Do i=1,4 print*,i, X(i) Enddo contains subroutine naive_gauss_elimination(a,n,x) integer,intent(in)::n real,intent(inout)::a(n,n+1) real,intent(out)::x(n) real::v(2:n) integer::i,k real::s Do k=1,n-1!find column multipliers v(k+1:n)=a(k+1:n,k)/a(k,k)!use multipliers to eliminate column values reducing each row Do i=k+1,n A(i,k:N+1)=A(i,k:N+1)-v(i)*A(k,k:N+1) Enddo!Display multipliers and Array after each reduction step print* print*,' Multipliers ' print '(100F10.3)',v(k+1:N) print*,' ',k,' ' do i=1,n print '(100(F10.3,:,","))',a(i,:)!Backward Substitution Do k=n,1,-1 s=sum(a(k,k+1:n)*x(k+1:n)) X(k)=(A(k,N+1)-s)/A(k,k) 15

16 Enddo end subroutine End program askhsh2_1 Β) Παραγοντοποίηση LU Ο πίνακας U είναι ο τελικός πίνακας, όπως αυτός προκύπτει με τη μέθοδο Gauss, χωρίς την τελευταία του στήλη: -----U Τα στοιχεία του πίνακα L, που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο, είναι οι αντίστοιχοι πολλαπλασιαστές που χρησιμοποιήθηκαν στην μέθοδο Gauss: -----L H επίλυση του αρχικού συστήματος Ax B ανάγεται στην επίλυση 2 γραμμικών συστημάτων: α) Lz B και β) Ux z Το πρώτο σύστημα επιλύεται με προς τα πίσω αντικατάσταση και δίνει: Ζ1= , Ζ2= , Ζ3= , Ζ4= Το δεύτερο σύστημα επιλύεται με προς τα εμπρός αντικατάσταση και δίνει την τελική λύση του αρχικού συστήματος: Χ1= , Χ2= , Χ3= , Χ4= Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει το σύστημα με παραγοντοποίηση LU: program askhsh2_2! LU Decomposition implicit none real,allocatable::a(:,:),x(:),z(:),l(:,:),u(:,:),b(:) real::s integer::i,k,n n=4 allocate(a(n,n),x(n),z(n),l(n,n),u(n,n),b(n)) A(1,:)=(/5,1,2,0/) A(2,:)=(/0,3,1,1/) A(3,:)=(/-1,2,6,-2/) A(4,:)=(/1,-2,1,4/) B=(/15,9,21,-3/) call LU_Decompose(A,N,L,U) print* print*, '-----A-----' 16

17 do i=1,n print*,a(i,:) print* print*, '-----L-----' do i=1,n print '(100(f10.3,:,","))',l(i,:) print* print*, '-----U-----' do i=1,n print '(100(f10.3,:,","))',u(i,:)!Solve L*Z=B!Forward Substitution Do k=1,n s=sum(l(k,1:k-1)*z(1:k-1)) Z(k)=B(k)-s Enddo Do i=1,4 print*,i, z(i) Enddo!Solve U*X=Z!Backward Substitution Do k=n,1,-1 s=sum(u(k,k+1:n)*x(k+1:n)) X(k)=(Z(k)-s)/U(k,k) Enddo!Display Result Do i=1,4 print*,i, X(i) Enddo contains subroutine LU_decompose(A,N,L,U) integer,intent(in)::n real,intent(in)::a(n,n) real,intent(out)::l(n,n),u(n,n) integer::i,j,k l=0;u=0 do i=1,n l(i,i)=1 do k=1,n do j=k,n u(k,j)=a(k,j)-sum(l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j))!solve to the right down do i=k+1,n l(i,k)=(a(i,k)-sum(l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k)))/u(k,k)!solve!repeat N times end subroutine 17

18 End program askhsh2_2 Γ) Επαναληπτική μέθοδος Jacobi N n1 1 n xi bi aijx j a ii j1 ji Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει το σύστημα με την μέθοδο Jacobi: program askhsh2_3 implicit none real,allocatable::a(:,:),x(:),b(:) integer::i,n n=4 allocate(a(n,n),x(n),b(n)) A(1,:)=(/5,1,2,0/) A(2,:)=(/0,3,1,1/) A(3,:)=(/-1,2,6,-2/) A(4,:)=(/1,-2,1,4/) B=(/15,9,21,-3/) x=0!initial guess call Jacobi(A,B,N,X) do i=1,n print*,x(i) contains subroutine Jacobi(A,B,N,X) integer,intent(in)::n real,intent(in)::a(n,n) real,intent(in)::b(n) real,intent(inout)::x(n) real::x_old(n) integer::i,k real::err open(10,file='results.txt') do k=1,10000 x_old=x do i=1,n x(i)=(b(i)-(sum(a(i,1:i-1)*x_old(1:i- 1))+sum(a(i,i+1:N)*x_old(i+1:N))))/a(i,i) err=maxval(abs(x_old(:)-x(:))) write(10,'(i2,",",e10.3,",",100(f10.3,:,","))') k,err,x print*,k,err,x if (err<1e-6) exit close(10) end subroutine end program 18

19 Πίνακας αποτελεσμάτων (αρχική εκτίμηση x1=x2=x3=x4=0): Αριθμός επαναλήψης Σφάλμα x1 x2 x3 x E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Δ) Επαναληπτική μέθοδο Gauss Seidel i1 N n1 1 n1 n xi bi aijxj aijx j aii j1 ji1 Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει το σύστημα με την μέθοδο Gauss-Seidel: program askhsh2_4 implicit none real,allocatable::a(:,:),x(:),b(:) integer::i,n n=4 allocate(a(n,n),x(n),b(n)) A(1,:)=(/5,1,2,0/) A(2,:)=(/0,3,1,1/) A(3,:)=(/-1,2,6,-2/) A(4,:)=(/1,-2,1,4/) 19

20 B=(/15,9,21,-3/) x=0!initial guess call Gauss_Seidel(A,B,N,X) do i=1,n print*,x(i) contains subroutine Gauss_Seidel(A,B,N,X) integer,intent(in)::n real,intent(in)::a(n,n) real,intent(in)::b(n) real,intent(inout)::x(n) real::x_old(n) integer::i,k real::err open(10,file='results2.txt') do k=1,10000 x_old=x do i=1,n x(i)=(b(i)-(sum(a(i,1:i-1)*x(1:i-1))+sum(a(i,i+1:n)*x_old(i+1:n))))/a(i,i) err=maxval(abs(x_old(:)-x(:))) write(10,'(i2,",",e10.3,",",100(f10.3,:,","))') k,err,x print*,k,err,x if (err<1e-6) exit close(10) end subroutine end program Πίνακας αποτελεσμάτων (αρχική εκτίμηση x1=x2=x3=x4=0): N Error x1 x2 x3 x E E E E E E E E E E E E

21 Ε) Επαναληπτική μέθοδος SOR i1 N n1 1 n 1 n 1 n x i bi aijxj aijxj x i a ii j1 ji1 Πρόγραμμα FORTRAN που επιλύει το σύστημα με την μέθοδο SOR: program askhsh2_5 implicit none real,allocatable::a(:,:),x(:),b(:) integer::i,n real::w n=4 allocate(a(n,n),x(n),b(n)) A(1,:)=(/5,1,2,0/) A(2,:)=(/0,3,1,1/) A(3,:)=(/-1,2,6,-2/) A(4,:)=(/1,-2,1,4/) B=(/15,9,21,-3/) x=0!initial guess w=0.9 call SOR(A,B,N,X,w) do i=1,n print*,x(i) contains subroutine SOR(A,B,N,X,w) integer,intent(in)::n real,intent(in)::a(n,n) real,intent(in)::b(n) real,intent(inout)::x(n) real,intent(in)::w real::x_old(n) integer::i,k real::err open(10,file='results3.txt') do k=1,10000 x_old=x do i=1,n x(i)=w*(b(i)-(sum(a(i,1:i-1)*x(1:i- 1))+sum(a(i,i+1:N)*x_old(i+1:N))))/a(i,i)+ (1-w)*x_old(i) err=maxval(abs(x_old(:)-x(:))) write(10,'(i2,",",e10.3,",",100(f10.3,:,","))') k,err,x print*,k,err,x if (err<1e-6) exit close(10) end subroutine end program 21

22 Πίνακας αποτελεσμάτων (αρχική εκτίμηση x1=x2=x3=x4=0) και 0.9 : N Error x1 x2 x3 x E E E E E E E E E E

23 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λυθεί με τη μέθοδο Newton το σύστημα 1 x2 x1 sin x1x ex2 e x e 2ex Να γίνουν 3 επαναλήψεις με αρχική εκτίμηση x 0 4 και x2 3. Λύση Έστω 1 x2 x1 f1( x1, x2) sinx1x x ex f 2 2( x1, x2) 1 e e 2ex Η μέθοδος Newton σε συνδυασμό με την επίλυση του γραμμικού συστήματος που προκύπτει με τη μέθοδο Cramer, γράφεται ως εξής: 2 2 k1 k x2 1 x1 J( f1, f2) x k f1 f1 x2 f f και x k όπου J ο Ιακωβιανός πίνακκας: J f, f 1 2 k k x f1 f1 x1 f2 f2 x J( f, f ) 1 2 k k x2cos( xx 1 2) x1cos( xx 1 2) x 1 e 1 2e2e 1 4. Λύση του συστήματος με Mathematica: a=1/2 Sin[x1 x2]-x2/(4pi)-x1/2; b=(1-1/(4pi))(exp[2x1]-exp[1])+(exp[1] x2)/pi-2exp[1] x1; FindRoot[{a0,b0},{{x1,0.4},{x2,3}}] Αποτελέσματα: Χ1= , Χ2= Πρόγραμμα Fortran που επιλύει το συγκεκριμένο σύστημα με τη μέθοδο Newton: program NumAnal_5 implicit none 23

24 real::x1,x2,x1_old,x2_old,jac,s1,s2,tol,pi integer::i,n,maxiter pi=4*atan(1.) open(10,file='results.txt') print*,'give initial x1 and x2' read*,x1,x2 n=0 tol=1.0e-6 maxiter=50 do i=1,maxiter n=n+1 x1_old=x1 x2_old=x2 jac=fx(x1_old,x2_old)*gy(x1_old,x2_old)- gx(x1_old,x2_old)*fy(x1_old,x2_old) s1=(f(x1_old,x2_old)*gy(x1_old,x2_old)- g(x1_old,x2_old)*fy(x1_old,x2_old))/jac s2=(g(x1_old,x2_old)*fx(x1_old,x2_old)- f(x1_old,x2_old)*gx(x1_old,x2_old))/jac x1=x1_old-s1 x2=x2_old-s2 write(10,'(i2,",",11(f10.3,:,","))') i,x1_old,x2_old,f(x1_old,x2_old),g(x1_old,x2_old), & fx(x1_old,x2_old),fy(x1_old,x2_old),gx(x1_old,x2_old),gy(x1_old,x2_ol d), & jac,s1,s2 print '(i2,",",11(f10.3,","))',i,x1_old,x2_old,f(x1_old,x2_old),g(x1_old,x2 _old), & fx(x1_old,x2_old),fy(x1_old,x2_old),gx(x1_old,x2_old),gy(x1_old,x2_ol d), & jac,s1,s2 if(abs(x1-x1_old)<=tol.and.abs(x2-x2_old)<= tol) exit enddo write(*,*)x1,x2,n close(10) contains real function f(x1,x2) real::x1,x2 f=0.5*sin(x1*x2)-x2/(4*pi)-x1/2. end function real function g(x1,x2) real::x1,x2 g=(1-1/(4*pi))*(exp(2*x1)-exp(1.))+exp(1.)*x2/pi - 2*exp(1.)*x1 end function real function fx(x1,x2) real::x1,x2 24

25 fx= *x2*cos(x1*x2) end function real function fy(x1,x2) real::x1,x2 fy=-1/(4*pi)+0.5*x1*cos(x1*x2) end function real function gx(x1,x2) real::x1,x2 gx=-2*exp(1.)+2*exp(2*x1)*(1-1/(4*pi)) end function real function gy(x1,x2) real::x1,x2 gy=exp(1.)/pi end function end program NumAnal_5 Πίνακας αποτελεσμάτων (αρχικές τιμές x1=0.4 και x2=3): n x1 x2 f(x1,x2) g(x1,x2) fx(x1,x2) fy(x1,x2) gx(x1,x2) gy(x1,x2) Jac Dx1 Dx E E E E E E E E E E ΑΣΚΗΣΗ 4 Εάν ο πίνακας Α ενός γραμμικού συστήματος Ax=b αναλυθεί σε A D L U, όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας και L και U είναι κάτω και άνω τριγωνικοί πίνακες αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι και οι τρεις επαναληπτικές μέθοδοι Jacobi, GS και SOR μπορούν να γραφούν στη γενική μορφή x k1 1 k 1 M Nx M b, όπου για τη μέθοδο Jacobi: Μ=D και N L U και N U και για τη μέθοδο SOR: M D L και N 1 Λύση, για τη μέθοδο GS: M L D ω D ωu. Η άσκηση επιλύεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος (Αρχείο παραδειγμάτων: 5 - Συστήματα Αλγεβρικών Εξισώσεων, Άσκηση 4) 25