Επιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών:

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 1-13, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ημερομηνίες παράδοσης: Ασκήσεις 1 και : -1-1, Ασκήσεις 3 και 4: Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Επιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: d dt f dx dx x, T, T, x Επιλέξτε εσείς τη συνάρτηση f x. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα που θα μπορούσε να μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών. Λύση: Έστω f ( x) x Διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού επιλέγοντας N ίσα μεταξύ τους διαστήματα ( N 1 κόμβους) στη x κατεύθυνση με μήκος: h 1/ N Αναλυτική λύση: DSolve'',, 1 1,, 1 4 T( x) x 11x 1 Αριθμητική λύση: Διακριτοποιούμε στον τυχαίο εσωτερικό κόμβο () i χρησιμοποιώντας έκφραση κεντρώων πεπερασμένων διαφορών ης τάξης: Ti 1Ti Ti 1 x i Ti 1 Ti Ti 1 h xi, i,..., N με T1, TN 1 1 h Οι διακριτοποιημένες εξισώσεις δίνουν για τους ( N 1) εσωτερικούς κόμβους ένα τριδιαγώνιο σύστημα εξισώσεων, το οποίο μπορεί να επιλυθεί αποτελεσματικά με τον αλγόριθμο Thomas. Παράδειγμα: για N 7 το σύστημα έχει την ακόλουθη μορφή: 1 T hx 1 1 T3 hx3 1 1 T 4 hx T5 hx5 1 1 T 6 hx 6 1 T 7 hx71 με T1 και T8 1 Πρόγραμμα Fortran: Program askhsh1 implicit none

2 doubleprecision,allocatable::a(:),b(:),c(:),d(:),t(:),x(:) doubleprecision:: dr,q,s,h integer::n,i,status n=5!arithmos diasthmatwn -> n+1 komboi allocate(a(:n-1),b(n-1),c(n-),t(n+1),d(n-1),x(n+1)) h=1./n do i=1,n+1 x(i)=(i-1)*h T(1)= T(n+1)=1! Ypologismos syntelestwn algorithmou Thomas gia tous n-1 eswterikous kombous! px gia diasthmata n=6 => Ν+1=7 komboi (n-1=5 eswterikoi):! b(1) c(1) d(1)! a() b() c() d()! a(3) b(3) c(3) d(3)! a(4) b(4) c(4) d(4)! a(5) b(5) c(5) d(5) b(1)=-. c(1)=1. do i=,n-1 a(i)=1. b(i)=-. if (i<n-1) then c(i)=1. end if do i=1,n- d(i)=h***f(x(i+1)) d(n-1)=h***f(x(i+1))-1 print*, ' '!print*, 'a= ',a(:),'b= ',b(:),'c= ',c(:),'d= ',d(:) call Thomas(n-1,a,b,c,d,T(:n)) do i=1,n+1 print '(I3,",",F1.5,",",e.5,",",e.5)',i,x(i),T(i), (11*x(i)+x(i)**4)/1. contains subroutine Thomas(n,a,b,c,d,x) integer,intent(in) :: n doubleprecision, INTENT(INOUT) ::a(:n),b(n),c(1:n-1),d(n) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) integer::i doubleprecision ::t(n),u(n) t(1)=b(1) u(1)=d(1)/t(1)

3 do i=,n t(i)=b(i)-a(i)*c(i-1)/t(i-1) u(i)=(d(i)-a(i)*u(i-1))/t(i) x(n)=u(n) do i=n-1,1,-1 x(i)=u(i)-c(i)/t(i)*x(i+1) end subroutine Thomas doubleprecision function f(x) doubleprecision::x f=x** end function end program Για N 5 το πρόγραμμα δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα Κόμβος x Αριθμητική λύση Αναλυτική λύση 1.E+.E E E E E E- 5.5E E E E E E-1 1.1E E E E E E E E E E-1.19E E-1.3E E-1.387E E-1.57E E-1.757E E-1.94E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-1 5.1E-1

4 E E E E E E E E E-1 6.7E E-1 6.8E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-1 9.3E E E E E E E E+ 1.E+ Παρατηρούμε ότι οι τιμές της αριθμητικής και αναλυτικής λύσης ταυτίζονται σε τέσσερα σημαντικά ψηφία σε κάθε κόμβο. ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί αριθμητικά ο ρυθμός ψύξης ή θέρμανσης ενός σώματος επιλύοντας την ΣΔΕ dt kt T dt a με αρχική συνθήκη T T, όπου T t η θερμοκρασία του σώματος, t η ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου, k η σταθερά αναλογίας, T a η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και T η αρχική θερμοκρασία του σώματος. Επιλέξτε εσείς τις παραμέτρους του προβλήματος και συγκρίνετε με την αντίστοιχη αναλυτική λύση Λύση: Έστω Ta, T 1, k.4 dt kt ( Ta ) f( tt, ), T() T dt kt Αναλυτική λύση: Tt () Te T T a a

5 Επιλύουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών με Euler και RK ης τάξης: h t T i 1 T i h k( T i Ta), i,1,... Euler: RK- k1 f( ti, Ti) k( Ti Ta) k f( ti h, Ti hk1) k( Ti hk1ta) h Ti 1 Ti ( k1k) Πρόγραμμα Fortran: program initial_value_problems! Solve: T'=-k(T-Ta), T[]=To implicit none real::h real,allocatable,dimension(:)::x,y integer::i,method,n=1! number of iterations real::k,ta,to allocate(x(n),y(n)) k=.5 Ta= To=1 x(1)= y(1)=to h=.5!starting point!initial value method=!1=euler, =rk select case (method) case (1) call euler(x,y,h,n) case () call rk(x,y,h,n) end select do i=1,n print '(i3,",",f1.3,",",f1.5,",",f1.5,",",e1.3)', i,x(i),y(i),f1(x(i)),abs(f1(x(i))-y(i)) enddo contains subroutine euler(x,y,h,n) real::x(:),y(:),h integer::i,n do i=1,n-1 y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)) x(i+1)=x(i)+h enddo end subroutine euler

6 subroutine rk(x,y,h,n) real::x(:),y(:),h,k1,k integer::i,n do i=1,n-1 k1=f(x(i),y(i)) k=f(x(i)+h,y(i)+h*k1) y(i+1)=y(i)+(h/)*(k1+k) x(i+1)=x(i)+h enddo end subroutine rk real function f(x,y) result(z) real,intent(in)::x,y z=-k*(y-ta) end function f real function f1(x) result(y)!analytic solution real,intent(in)::x y=(-ta + Exp(k*x)*Ta + To)/Exp(k*x) end function f1 end program initial_value_problems Τα αποτελέσματα του προγράμματος για 1 χρονικά βήματα και για h.1 και.5 παρουσιάζονται στους επόμενους πίνακες: Euler: h=.1 Βήμα x Αριθμητική λύση Αναλυτική λύση Απόλυτο Σφάλμα 1 1.E+1 1.E+1.E E E+1 1.3E E E+1.34E E E E E E+1 4.E E+1 1.1E+1 5.E E E E E E E E E+1 6.9E E E E E E E E E E E E E E E+1 8.7E E E E E E+1 9.8E E E+1 9.E E E+1 9.9E E E E E E E E E E-

7 RK: h=.1 Βήμα x Αριθμητική λύση Αναλυτική λύση Απόλυτο Σφάλμα 1 1.E+1 1.E+1.E E E+1.6E E E E E E E E E+1 7.8E E+1 1.1E E E E E E E+1 1.7E E E E E E+1 1.4E E E E E E E E E+1 1.4E E E E E E+1 1.5E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-3 Euler: h=.5 Βήμα x Αριθμητική λύση Αναλυτική λύση Απόλυτο Σφάλμα 1 1.E+1 1.E+1.E E+1 1.1E+1.88E E E+1 4.4E E E+1 5.5E E E E E E+1 4.9E E E+1 4.5E E E+1 4.3E E E+1 3.5E E E+1 3.3E E E+1.58E E E+1.17E E E E E E+1 1.5E E E+1 1.4E-1

8 E E+1 1.E E E+1 8.9E E E E E E E E E+1 4.4E E E E- RK: h=.5 Βήμα x Αριθμητική λύση Αναλυτική λύση Απόλυτο Σφάλμα 1 1.E+1 1.E+1.E E+1 1.1E+1.45E E E+1 3.8E E E E E E E E E E E E+1 4.4E E E E E E E E E+1 3.E E E+1.6E E E+1.5E E E E E E+1 1.6E E E E E E E E E E E E+1 7.8E E E E E E+1 5.3E E E E-3 Παρατηρούμε πως α) η RK δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την Euler (μικρότερο σφάλμα) και β) Καλύτερα αποτελέσματα και με τις δύο μεθόδους παίρνουμε για μικρότερες τιμές του βήματος h. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η αρμονική ταλάντωση με τριβή μιας μάζας περιγράφεται από το πρόβλημα αρχικών τιμών d y dy dy m ky f t, y( ) y, y 1. dt dt dt t

9 f t, τις αρχικές τιμές Επιλέγοντας εξωτερική δύναμη y και y 1 και τα μεγέθη m, ν και k να λυθεί το πρόβλημα αριθμητικά και να συγκριθούν τα αποτελέσματα με την αναλυτική λύση για t t* (βλέπε Τραχανάς, σελ , μελετώνται οι περιπτώσεις της ισχυρής, ασθενούς και κρίσιμης απόσβεσης). Λύση d x() t dx() t a a a x() t f(), t dt dt x() a, x'() a Επιλέγουμε: t f () t e sint, a1 1, a, a3, a4.4, a5.6 d x t () dx() t dt dt t xt ( ) e sin t, x().4, x'().6 Αναλυτική λύση: yt e e e t t t ( ).5 cost +.1 cost cost. sint cost + t t +.e cost sint +.1e sint sint Γραφική παράσταση στο (,1): Για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης θα κάνουμε ορίσουμε δύο νέες μεταβλητές z () t x() t ; z () t dx()/ t dt 1 Επιλύσουμε το σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: dz1() t z( t); z1().4 dt z 1 ().4 dz() t t e sin t z( t) z1( t); dt z ().6 Συνοπτικά τα αποτελέσματα εμφανίζονται στον επόμενο πίνακα, όπου ο κάθε υποπίνακας αντιστοιχεί σε μία μέθοδο ολοκλήρωσης και περιέχει 3 στήλες: (την τιμή του x, την αριθμητική τιμή του y και το απόλυτο σφάλμα):

10 h=.1 h=.5 h=.1 Euler RK- RK-3 RK

11 Από το συγκεντρωτικό πίνακα είναι προφανές ότι: i) Η R-K 4 ης τάξης δίνει αποτελέσματα με πολύ μεγάλη ακρίβεια σε κάθε χρονικό βήμα ii) Καθώς το χρονικό βήμα μειώνεται αυξάνει και η ακρίβεια σε όλες τις μεθόδους Η σύγκριση των αποτελεσμάτων γίνεται με γραφήματα των απολύτων σφαλμάτων ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων: Ομαδοποίηση γραφημάτων ως προς το χρονικό βήμα: h= Method Euler.6 RK.4 RK3. RK h= Method Euler RK RK3 RK

12 h= Method Euler. RK.1 RK3 RK Σε όλες τις περιπτώσεις οι μέθοδοι R-K δίνουν μικρότερο σφάλμα από την Euler, με τη RK 4 ης τάξης να είναι η πλέον ακριβής. Ομαδοποίηση γραφημάτων ως προς τη μέθοδο ολοκλήρωσης: Euler h

13 RK h RK h RK h Το συμπέρασμα είναι πως όσο μεγαλύτερη η διακριτοποίηση (μικρότερο h) τόσο καλύτερα αποτελέσματα παίρνουμε με κάθε μέθοδο.

14 Πρόγραμμα Fortran: program initial_value_problems_system! y''-y'+y=exp(t)sin(t), y()=-.4, y'[]=-.6 implicit none real::h real,allocatable,dimension(:)::z1,z,x integer::i,method,n=11! number of iterations allocate(x(n),z1(n),z(n)) do method=1,4!1=euler, =rk, 3=rk3, 4=rk4 x(1)=!starting point z1(1)=-.4!initial value z(1)=-.6!initial value h=.1 select case (method) case (1) call euler(x,z1,z,h,n) case () call rk(x,z1,z,h,n) case (3) call rk3(x,z1,z,h,n) case (4) call rk4(x,z1,z,h,n) end select print*, ' ',method,' ' do i=1,n enddo contains print*,i-1,x(i),z1(i),f1(x(i)),abs(f1(x(i))-z1(i)) subroutine euler(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h integer::i,n do i=1,n-1 z1(i+1)=z1(i)+h*f(x(i),z1(i),z(i)) z(i+1)=z(i)+h*g(x(i),z1(i),z(i)) x(i+1)=x(i)+h enddo end subroutine euler subroutine rk(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h,k11,k1,k1,k integer::i,n do i=1,n-1 k11=f(x(i),z1(i),z(i)) k1=g(x(i),z1(i),z(i)) k1=f(x(i)+h,z1(i)+h*k11,z(i)+h*k1) k=g(x(i)+h,z1(i)+h*k11,z(i)+h*k1) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/)*(k11+k1)

15 z(i+1)=z(i)+(h/)*(k1+k) enddo end subroutine rk subroutine rk3(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h,k11,k1,k13,k1,k,k3 integer::i,n do i=1,n-1 k11=f(x(i),z1(i),z(i)) k1=g(x(i),z1(i),z(i)) k1=f(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k11,z(i)+.5*h*k1) k=g(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k11,z(i)+.5*h*k1) k13=f(x(i)+h,z1(i)+h*k1,z(i)+h*k) k3=g(x(i)+h,z1(i)+h*k1,z(i)+h*k) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/6)*(k11+4*k1+k13) z(i+1)=z(i)+(h/6)*(k1+4*k+k3) enddo end subroutine rk3 subroutine rk4(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h,k11,k1,k13,k14,k1,k,k3,k4 integer::i,n do i=1,n-1 k11=f(x(i),z1(i),z(i)) k1=g(x(i),z1(i),z(i)) enddo end subroutine rk4 k1=f(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k11,z(i)+.5*h*k1) k=g(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k11,z(i)+.5*h*k1) k13=f(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k1,z(i)+.5*h*k) k3=g(x(i)+.5*h,z1(i)+.5*h*k1,z(i)+.5*h*k) k14=f(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) k4=g(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/6)*(k11+*k1+*k13+k14) z(i+1)=z(i)+(h/6)*(k1+*k+*k3+k4) real function f(x1,x,x3) result(z) real,intent(in)::x1,x,x3 z=x3 end function f real function g(x1,x,x3) result(z) real,intent(in)::x1,x,x3 z=exp(*x1)*sin(x1)-*x+*x3 end function g

16 real function f1(t) result(y)!analytic solution real,intent(in)::t y= -.5*Exp(*t)*Cos(t) +.1*Exp(*t)*Cos(t)*Cos(*t) - &.*Exp(*t)*Cos(*t)*Sin(t) +.*Exp(*t)*Cos(t)*Sin(*t)+ &.1*Exp(*t)*Sin(t)*Sin(*t) end function f1 end program initial_value_problems_system ΑΣΚΗΣΗ 4 Η ροπή M ανά μονάδα μήκους που απαιτείται για την περιστροφή ενός κυλινδρικού R άξονα, ακτίνας R, κατά γωνία δίδεται από το ολοκλήρωμα M 4 G r rdr, r R, r η λύση του προβλήματος: όπου 1 3 r, R, r r r r r Πρώτα υπολογίστε αριθμητικά πρώτα τη συνάρτηση r και συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με την αναλυτική λύση του προβλήματος. Στη συνέχεια επιλέγοντας τιμές για τη ροπή M και τη παράμετρο G βρείτε την αντίστοιχη γωνία. Λύση: Έστω R 1 Αναλυτική λύση (από Mathematica): DSolve Αριθμητική λύση: () r ( r R ) 3 '', 1,,, Διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού διαιρώντας την απόσταση r 1 σε N ίσα διαστήματα πλάτους r 1/ N. Ορίζονται N 1 κόμβοι. Προσεγγίζουμε τη διαφορική εξίσωση (1) στον τυχαίο κόμβο i : i1i i 1 1i 1i1 3 r ri r i1 i i1 r ri r r, i,..., N r rir όπου r ( i1) r. i

17 1 1 N N+1 r= i-1 i i+1 r=1 Από τις οριακές συνθήκες για i N 1: N 1, ενώ για i 1 θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη μαζί με τη διαφορική εξίσωση: d d 1 d d Παρατηρούμε ότι lim lim dr lim dr r r r r dr r r dr d Έτσι η (1) γράφεται: dr r 4 d Η οριακή συνθήκη dr r r Ο κόμβος i είναι φανταστικός. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών στον κόμβο 1: r To σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο και επιλύεται με αλγόριθμο Thomas: Για τον υπολογισμό της ζητούμενης γωνίας έχουμε: ενώ ο υπολογισμός του ολοκληρώματος R r r( r) dr r r... r r 1 1 N N N 1 N 1 R R 4 G r( r) dr M r () r drθα γίνει με κανόνα τραπεζίου:

18 Πρόγραμμα Fortran: Program askhsh4 implicit none doubleprecision,allocatable::a(:),b(:),c(:),d(:),x(:),r(:) doubleprecision:: dr,q,s,g,m,pi,theta integer::n,i,status= pi=acos(-1.) n=3!arithmos diasthmatwn -> n+1 komboi allocate(a(n),b(n),c(n-1),x(n+1),d(n),r(n+1)) if (status/=) Stop 'Not enough memory' dr=1./n do i=1,n+1 r(i)=(i-1)*dr x(n+1)= b(1)=1. c(1)=-1. do i=,n a(i)=1./dr**-1./(.*r(i)*dr) b(i)=-./dr** if (i<n) then c(i)=1./dr**+1./(.*r(i)*dr) end if d(1)=3.*dr**/8. do i=,n d(i)=-3./. print*, ' ' call Thomas(n,a,b,c,d,x) do i=1,n print '(I3,"u(",F1.5,") = ",D.5,D.5)',i,r(i),x(i),(1- r(i)**)*3./8. print '(I3,"u(",F1.5,") = ",D.5,D.5)',n+1,r(n+1),.,.!Ypologismos oloklirwmatos s= do i=,n s=s+*r(i)*x(i) s=dr*(s+r(1)*x(1)+r(n+1)*x(n+1))/.!print*,s print*,'dwste th roph' read*,m print*,'dwste to G' read*,g!ypologismos gwnias theta theta=m/(4.*g*pi*s) print*, 'theta=',theta contains subroutine Thomas(n,a,b,c,d,x) integer,intent(in) :: n doubleprecision, INTENT(INOUT) ::a(n),b(n),c(n),d(n) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) integer::i doubleprecision ::t(n),u(n) t(1)=b(1) u(1)=d(1)/t(1) do i=,n t(i)=b(i)-a(i)*c(i-1)/t(i-1)

19 u(i)=(d(i)-a(i)*u(i-1))/t(i) x(n)=u(n) do i=n-1,1,-1 x(i)=u(i)-c(i)/t(i)*x(i+1) end subroutine Thomas end program Για N 5 τα αποτελέσματα έχουν ως εξής: Κόμβος r Αριθμητική τιμή της Αναλυτική τιμή της E E E E E E E E E E E E E-1 3.7E E E E E E E E-1 3.6E E E E E E-1 3.5E E E E E E E E-1 3.3E E-1 3.6E E-1 3.1E E E E-1 3.9E E-1 3.E E-1.96E E-1.89E E-1.81E E-1.74E E-1.66E E-1.57E E-1.49E E-1.4E E-1.31E E-1.1E E-1.1E E-1.E-1

20 E E E E E-1 1.7E E E E E E E E-1 1.3E E-1 1.1E E- 9.77E E- 8.46E E- 7.13E E- 5.76E E- 4.37E E-.94E E- 1.49E E+.E+ Η αριθμητική και αναλυτικής λύση ταυτίζονται σε κάθε κόμβο σε τρία σημαντικά ψηφία.