John Nash. Παύλος Στ. Εφραιµίδης. Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Transcript

1 Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

2 ορισµένα αποτελέσµατα του τα σηµεία ισορροπίας Nash (NE Nash Equilibrium) ύπαρξη σηµείου NE διαπραγµατευτικά παίγνια (bargaining games) λύση του Nash για bargaining games 2

3 ισορροπία Nash 3

4 Το θεώρηµα Every finite strategic-form game has a mixed-strategy equilibrium., 1950, Equilibrium points in n-person games, Proceedings of the National Academy of Sciences 36:

5 ισορροπία Nash (Nash equilibrium - NE) Μια ισορροπία Nash είναι ένα προφίλ ενεργειών α* µε την ιδιότητα ότι κανένας παίκτης δεν βελτιώνει τη θέση του επιλέγοντας µια ενέργεια διαφορετική από αυτή στο προφίλ α*, µε δεδοµένο ότι οι υπόλοιποι παίκτες δεν θα αλλάξουν την κίνησή τους. Σηµείωση: Μία ισορροπία αγνών στρατηγικών είναι µια ειδική περίπτωση ισορροπίας µικτών στρατηγικών. 5

6 ύπαρξη ισορροπίας Nash Το θεώρηµα του Nash για τα σηµεία ισορροπίας (Nash) αποδεικνύει την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σηµείου ισορροπίας (Nash) σε µια ευρύτατη κατηγορία παιγνίων. 6

7 απόδειξη χρήσιµες έννοιες για την απόδειξη fixed point theorems Brouwer Fixed Point theorem n=1: easy consequence of the intermediate value theorem f(x)-x=0 Sperner s Lemma Kakutani Fixed point theorem upper semicontinuous 7

8 fixed point theorems Brouwer fixed point theorem Kakutani fixed point theorem: Μια γενίκευση του Brower fixed point theorem για set-valued functions 8

9 Παράδειγµα Ας ξεκινήσουµε µε ένα παράδειγµα: Ένας φοιτητής ξεκινάει στις 08:00 µε το αυτοκίνητο από την Ξάνθη και οδηγεί µέχρι την Κωνσταντινούπολη, όπου φτάνει στις 14:00. Η διαδροµή περνάει από: Ίασµο, Κοµοτηνή, Αλεξανδρούπολη, Κήπους, Ipsala, Kesan, Malkara, Tekirdag, κτλ. Μετά από µερικές ηµέρες ξεκινάει στις 08:00 από την Κωνσταντινούπολη και επιστρέφει στις 14:00 στην Ξάνθη ακολουθώντας την αντίστροφη διαδροµή. Ερώτηµα: Υπάρχει σηµείο της διαδροµής στο σηµείο βρισκόταν την ίδια ώρα της ηµέρας στις δύο διαδροµές; 9

10 Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής Θεώρηµα Ενδιάµεση Τιµής (Intermediate Value Theorem) Έκδοση Ι (υπάρχει και έκδοση ΙΙ που δε θα την πούµε): Εάν η συνάρτηση y = f(x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a,b] και u είναι ένας αριθµός µεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει ένα c [a, b] τέτοιο ώστε f(c) = u. 10

11 fixed point theorem Θεώρηµα σταθερού σηµείου: Εάν g είναι µια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε x [α,β], g(x) [α,β], τότε η g έχει ένα σταθερό σηµείο x* στο [a,b]: g(x*) = x* Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι g(a) a και g(b) b Τότε g(a)-a 0 και g(b)-b 0 Η συνάρτηση h(c)=g(c)-c είναι συνεχής στο [α,β], και το 0 (µηδέν) [h(b),h(a)] Εποµένως υπάρχει x* τέτοιο ώστε h(x*) = 0, δηλαδή g(x*)- x*=0 Εποµένως υπάρχει x* τέτοιο ώστε g(x*)=x* 11

12 Brouwer fixed point theorem Brouwer fixed point theorem: Let S be a compact convex subset of n-dimensional euclidean space, and let f be a continuous function mapping S into itself. Then there exists at least one fixed point, ie., one x S such that f(x)=x. Έστω S ένα compact convex υποσύνολο του n- διάστατου euclidean space, και έστω f µια συνεχής συνάρτηση f:s S. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σταθερό σηµείο, δηλαδή ένα σηµείο x S τέτοιο ώστε f(x)=x. 12

13 Sperner s lemma Sperner s lemma: Το συνδυαστικό αντίστοιχο του θεωρήµατος σταθερού σηµείου του Brower Sperner s lemma στις 2 διαστάσεις: Έστω τρίγωνο ABC και διαµέριση του τριγώνου σε µικρότερα τρίγωνα. Χρωµατίζουµε την κορυφή Α µε το χρώµα 1, την Β µε το χρώµα 2 και την Γ µε το χρώµα 3. Κάθε κόµβος πάνω σε µία από τις 3 ακµές του τριγώνου µπορεί να έχει ένα από τα χρώµατα στις δύο άκρες της ακµής. Αν χρωµατίσουµε όλους τους κόµβους θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τρίγωνο χρωµατισµένο µε 3 διαφορετικά χρώµατα. 13

14 Kakutani fixed point theorem Kakutani fixed point theorem: Let S be a compact convex subset of n-dimensional euclidean space, and let f be an upper semicontinuous function which assigns to each x S a closed convex subset of S. Then there is some x S such that x f(x). (Shizuo Kakutani, ) 14

15 upper semicontinuous Let f be a function with a domain X (a topological space) and such that, for x X, f(x) is a subset of some topological space Y. Then f is said to be upper semicontinuous (u.s.c.) at a point x 0 if for any sequence x 1,x 2,..., converging to x 0, and any sequence of points y 1,y 2,... with y i F(x i ), the limit of the sequence {y n } (if the sequence converges) belongs to f(x 0 ). The function f is upper semicontinuous if it is u.s.c. at each point of X. 15

16 απόδειξη µε το Kakutani fixed point theorem σε ένα σηµείο ισορροπίας Nash η κίνηση σ i κάθε παίκτη i είναι µια βέλτιστη απόκριση στο προφίλ σ -i των κινήσεων των υπολοίπων παικτών... 16

17 17

18 existence result το θεώρηµα ύπαρξης NE αποδεικνύει ότι κάθε στρατηγικό παίγνιο µε n παίκτες στο οποίο κάθε παίκτης έχει πεπερασµένο πλήθος κινήσεων, έχει τουλάχιστον ένα σηµείο ισορροπίας NE σηµείωση: το παραπάνω θεώρηµα δε δίνει κάποια λύση για την εύρεση των σηµείων ισορροπίας 18

19 διαπραγµατευτικά παίγνια (bargaining games) 19

20 Παραδείγµατα 1. Πως διαµερίζεται µια πίτα σε έναν πεπερασµένο αριθµό ατόµων; 2. Ένας πωλητής ενός ακινήτου και ένας υποψήφιος αγοραστής του ακινήτου, πως καταλήγουν σε συµφωνία για την τιµή; Συνήθως: Ο πωλητής ανακοινώνει µια τιµή Ο αγοραστής κάνει µια προσφορά πιθανότατα χαµηλότερη από την αρχική τιµή Ο πωλητής αντιπροτείνει κτλ. 20

21 διαδοχικές προσφορές ultimatum game ultimatum game µε 2 γύρους διαδοχικές προσφορές µε discount factor 21

22 λύση Nash Ο Nash ακολούθησε µια εντελώς διαφορετική προσέγγιση όχι διαδοχικά βήµατα που καταλήξουν κάπου αλλά, ορίζει ένα σύνολο ιδιοτήτων τις οποίες θα πρέπει να ικανοποιεί η τελική έκβαση, και αποδεικνύει ότι υπάρχει µοναδική λύση - έκβαση 22

23 παίγνιο διαπραγµάτευσης Ορισµός: Ένα παίγνιο διαπραγµάτευσης δύο ατόµων αποτελείται από δύο παίκτες 1 και 2, ένα σύνολο S από εφικτές εναλλακτικές εκβάσεις, και µια συνάρτηση χρησιµότητας u i για κάθε παίκτη i, έτσι ώστε: 1. u i (s) d i, για κάθε i, και κάθε s S 2. s S: u 1 (s)>d 1 και u 2 (s)>d 2 Όπου d 1 και d 2 είναι οι αποδόσεις των παικτών σε περίπτωση διαφωνίας 23

24 ιδιότητες ιδιότητες για τη λύση της διαπραγµάτευσης PAR: Pareto efficiency SYM: Symmetry INV: Invariance to equivalent payoff representations IIA: Independence of irrelevant alternatives 24

25 Nash bargaining solution 25

26 Πηγές - Αναφορές Wikipedia entry: (accessed 2012) Game Theory, Fundeberg and Tirole, MIT Press, 1991 Οικονοµική Θεωρία και Αλγόριθµοι, Κυρούσης, Σπυράκης, 2007 Game Theory, 3 rd edition, Owen, Academic Press, 2001 Παίγνια και Λήψη Αποφάσεων, Αλιπράντης και Chakrabarti, Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία,