Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων"

Transcript

1 Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης και τα σημαντικά ψηφία, ώστε να κατανοήσουν τους περιορισμούς κάτω από τους οποίους εκτελείται μια μέτρηση, τη σημασία του τρόπου παρουσίασης του αποτελέσματος μιας μέτρησης και τέλος να αναπτύξουν την ικανότητα να αξιολογούν τις μετρήσεις τους και να ερμηνεύουν τα δεδομένα τους. 2. Γενικά Οι εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής αποσκοπούν στο να διδαχθεί ο σπουδαστής τις μεθόδους και τις πιο βασικές τεχνικές της πειραματικής φυσικής. Να εξοικειωθεί με τις συσκευές μετρήσεων και να καταλάβει τη χρήση τους. Να μάθει να παίρνει και να επεξεργάζεται μετρήσεις ώστε να επαληθεύσει μόνος του πειραματικά ένα μέρος της ύλης που διδάχθηκε θεωρητικά και γενικά να αποκτήσει αυτοπεποίθηση σχετικά με την ικανότητά του να μετρήσει και να συσχετίσει φυσικά μεγέθη. Η θεωρία σφαλμάτων είναι συνδεδεμένη με τη διαδικασία λήψης και επεξεργασίας των μετρήσεων. Η γνώση βασικών εννοιών και υπολογισμών που σχετίζονται με τη θεωρία σφαλμάτων είναι απαραίτητο εργαλείο που βοηθά στον τρόπο λήψης αξιόπιστων μετρήσεων, στην αξιολόγηση και την επεξεργασία των μετρήσεων, αλλά και τη σωστή ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Ειδικότερα, η θεωρία σφαλμάτων εκτός από τη χρήση της για τους σκοπούς του εργαστηρίου φυσικής, συμβάλλει γενικότερα στην εκπαίδευση ενός τεχνολόγου μηχανικού, ο οποίος θα κληθεί να εκτελέσει μετρήσεις που αφορούν στη: διάγνωση της λειτουργίας ενός συστήματος. σύγκριση και ταξινόμηση μεγεθών. πιστοποίηση και τον έλεγχο ποιότητας. λήψη αποφάσεων από ένα σύστημα και ανάδραση σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου. 3. Σύντομο θεωρητικό μέρος 3.1 Αβεβαιότητες μέτρησης Η ακρίβεια κάθε μέτρησης περιορίζεται από διάφορους παράγοντες όπως οι ατέλειες και η πεπερασμένη ικανότητα των οργάνων μέτρησης, η πεπερασμένη ικανότητα του πειραματιστή και οι απρόβλεπτες μεταβολές των συνθηκών μέτρησης. Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι μόνο μια προσέγγιση ή εκτίμηση της τιμής της φυσικής ποσότητας που υπόκειται σε μέτρηση. Το αποτέλεσμα είναι πλήρες μόνο όταν συνοδεύεται από μια ποσοτική έκφραση της αβεβαιότητάς του. Ως σφάλμα ορίζεται η διαφορά μεταξύ μετρούμενης και «αληθούς» ή πραγματικής αλλά άγνωστης τιμής ενός μετρούμενου μεγέθους Μ.Πηλακούτα Σελίδα 1

2 Σφάλμα ύ ή ή ή Ως αβεβαιότητα ορίζεται η ποσοτική έκφραση της «αμφιβολίας» που υπάρχει σχετικά με το αποτέλεσμα της μέτρησης. Είναι δηλαδή ένα μέτρο της αξιοπιστίας της μέτρησης. Σημειώνεται ότι σε πολλά συγγράμματα, η αβεβαιότητα των μετρήσεων αναφέρεται ως "σφάλμα" (error). Στην πραγματικότητα δεν είναι σφάλμα ή λάθος με την κοινή έννοια του όρου γιατί είναι κάτι που δεν μπορεί να αποφευχθεί. Στις σημειώσεις αυτές γίνεται προσπάθεια το σφάλμα και η αβεβαιότητα να χρησιμοποιούνται με τον τρόπο που έχει οριστεί διεθνώς στον οδηγό ISO-GUM (Guide for the Uncertainty of Measurement). Οι αβεβαιότητες στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης προέρχονται από διάφορους παράγοντες και χωρίζονται σε δύο τύπους ανάλογα με τον τρόπο που υπολογίζονται. Τύπου Α. Οφείλονται σε τυχαία μεταβολή παραγόντων και υπολογίζονται με στατιστικές μεθόδους (Γνωστά και ως Τυχαία Σφάλματα) Τύπου Β. Υπολογισμός αβεβαιότητας με άλλους τρόπους. Στην κατηγορία αυτή υπάγονται τα λεγόμενα Συστηματικά σφάλματα, η αβεβαιότητα έμμεσης μέτρησης και η σύνθετη αβεβαιότητα. Τις περισσότερες φορές η αβεβαιότητα είναι σύνθετη έχει δηλαδή συνιστώσα που οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και συνιστώσα που οφείλεται σε συστηματικά φαινόμενα. Πριν αναφερθούμε πιο αναλυτικά στους τύπους αβεβαιότητας και τον τρόπο υπολογισμού τους, θα πρέπει να δούμε κάποια χαρακτηριστικά που σχετίζονται με την αξιοπιστία της μέτρησης. Σχήμα 1: Ακρίβεια και αξιοπιστία Η αξιοπιστία της μέτρησης σχετίζεται με το πόσο λεπτομερής είναι η μέτρηση και πόση επαναληπτικότητα έχει όταν γίνουν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του ιδίου μεγέθους κάτω από ίδιες συνθήκες μέτρησης. Για την κατανόηση της διαφοράς μεταξύ ακρίβειας και αξιοπιστίας, χρησιμοποιείται συχνά το παράδειγμα με τους στόχους σκοποβολής και τα ίχνη των βελών. Τα ίχνη των βελών αντιστοιχούν στις τιμές ενός μεγέθους που λαμβάνονται με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις κάτω από Μ.Πηλακούτα Σελίδα 2

3 ίδιες συνθήκες. Στο σχήμα 1 φαίνεται η αντιστοιχία των θέσεων των ιχνών με την ακρίβεια και την αξιοπιστία της μέτρησης. 3.2 Σημαντικά ψηφία και ακρίβεια οργάνων Όλα τα όργανα έχουν όριο στις μετρητικές τους δυνατότητες. Έχουν πάντα μια ελάχιστη ποσότητα μέχρι την οποία μπορούν να μετρήσουν. Σημαντικά ψηφία μιας μέτρησης θεωρούνται όλα τα ψηφία που μπορούμε να διαβάσουμε με απόλυτη βεβαιότητα συν ένα και μόνο ένα, το τελευταίο, που είναι από εκτίμηση και επομένως είναι αβέβαιο. Η αξιοπιστία μιας μέτρησης συνδέεται με τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων που περιέχει. Μια μέτρηση ενός μεγέθους είναι περισσότερο αξιόπιστη από μια άλλη εάν είναι πιο λεπτομερής, δηλαδή αν περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήθηκε η διάμετρος ενός σύρματος με ένα διαστημόμετρο και βρέθηκε να είναι 2.3 mm. Το ίδιο σύρμα μετρήθηκε με ένα μικρόμετρο το οποίο έδωσε αποτέλεσμα mm. Στο παράδειγμά μας η μέτρηση με το μικρόμετρο έχει 4 σημαντικά ψηφία και είναι περισσότερο αξιόπιστη από τη μέτρηση με το διαστημόμετρο που έχει 2 σημαντικά ψηφία. Στο σχήμα 2 φαίνονται δύο χάρακες υποδιαιρεμένοι με διαφορετικό τρόπο. Το αποτέλεσμα με τον χάρακα α) είναι 2.5 δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2 και 3. Το 2 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Δεν έχει νόημα επομένως να πούμε ότι η μέτρηση είναι 2,56 αφού ακόμα και το 5 είναι αβέβαιο. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.0 και 3.0. Η μέτρηση αυτή έχει 2 σημαντικά ψηφία. Σχήμα 2: Καταγραφή σημαντικών ψηφίων Το αποτέλεσμα με τον χάρακα β) είναι περισσότερο λεπτομερές γιατί έχει περισσότερες υποδιαιρέσεις. Δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2.4 και 2.5, το αποτέλεσμα εκτιμάται ότι είναι Το 2.4 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.40 και 2.50, κάτι που δεν μπορούμε να κάνουμε με τον χάρακα α). Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση έχει 3 σημαντικά ψηφία. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 3

4 3.2.1 Σημασία του τρόπου γραφής του αποτελέσματος μιας μέτρησης Πραγματοποιώντας μια μόνο μέτρηση με ένα όργανο που φέρει υποδιαιρέσεις, η αβεβαιότητα της μέτρησης μπορεί να είναι η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου ή άλλο κλάσμα της (συνήθως μισή υποδιαίρεση). Στην περίπτωση ψηφιακών οργάνων, δίδεται από τον κατασκευαστή. Ο τρόπος με τον οποίο γράφουμε το αποτέλεσμά μας, πρέπει να δείχνει την αξιοπιστία με την οποία μετρήθηκε. Γενικά το τελευταίο ψηφίο μιας μέτρησης είναι πάντα αβέβαιο. Για παράδειγμα αν το αποτέλεσμα μιας μέτρησης μήκους δοθεί με την μορφή α) 52 mm, θεωρούμε ότι το τελευταίο ψηφίο, είναι το ψηφίο που φέρει αβεβαιότητα και επομένως η αληθής τιμή μπορεί να βρίσκεται με μεγάλη πιθανότητα στο διάστημα μεταξύ 51 έως 53 mm, (52±1), θεωρώντας ότι η καλλίτερη εκτίμηση που μπορώ να κάνω είναι με ±1 ελάχιστη υποδιαίρεση. Αν όμως δοθεί με την μορφή β) 52.0, η αβεβαιότητα βρίσκεται στο τρίτο σημαντικό ψηφίο και η αληθής τιμή μπορεί να βρίσκεται με μεγάλη πιθανότητα στο διάστημα μεταξύ 51.9 έως 52.1 mm, (52.0 ± 0.1) Κανόνες καθορισμού σημαντικών ψηφίων Όταν στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης υπάρχει υποδιαστολή, ως σημαντικά ψηφία (συντομογραφία σψ) μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο μη μηδενικό και δεξιά π.χ 2.3 (2 σψ), 2.30 (3 σψ),0.2 (1 σψ), 0.02 (1 σψ) (2 σψ). Όταν δεν υπάρχει υποδιαστολή ως σημαντικά μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο αριστερά ψηφίο μέχρι το τελευταίο μη μηδενικό. π.χ 15 (2 σψ),15000 (2 σψ), (4 σψ) Οι δυνάμεις του 10 δεν αξιολογούνται ως σημαντικά ψηφία. 2,1*10-3 (2 σψ), (2 σψ). Γενικά είναι πιο εύχρηστο και κομψό να εκφράζουμε τα αποτελέσματά μας με τάξεις μεγέθους όπως 5.6*10-3 αντι Επειδή πολλές φορές ένα μέγεθος υπολογίζεται έμμεσα (για παράδειγμα η ταχύτητα ενός κινητού) χρησιμοποιώντας μετρήσεις άλλων μεγεθών (την απόσταση X που διάνυσε το κινητό και το χρόνο t) που λήφθηκαν με διαφορετική αξιοπιστία, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι το αποτέλεσμα που προκύπτει από πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμό ή διαίρεση αριθμών, περιορίζεται πάντα από τον αριθμό με τη μικρότερη αξιοπιστία. Όταν προσθέτουμε η αφαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΔΕΚΑΔΙΚΑ έχει ο αριθμός με τα λιγότερα δεκαδικά. Παράδειγμα: =3.6 και όχι 3.57 Όταν πολλαπλασιάζουμε η διαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ψηφία έχει ο αριθμός με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα: Μ.Πηλακούτα Σελίδα 4

5 *0.02=0.06 και όχι (όπου με κόκκινο φαίνονται τα αβέβαια ψηφία) Πολλές φορές πρέπει να κάνουμε στρογγυλοποίηση του αποτελέσματός μας. Ο κανόνας που ακολουθούμε είναι: Εάν το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από ψηφίο που είναι μικρότερο από 5, μένει ως έχει. Εάν το ψηφίο που ακολουθεί είναι μεγαλύτερο από 5 τότε το ψηφίο που θα κρατήσουμε αυξάνεται κατά μια μονάδα. Με αυτό τον τρόπο έχουν στρογγυλοποιηθεί τα παραπάνω αποτελέσματα υπολογισμών. Για την περίπτωση που το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από το ψηφίο 5, στο εργαστήριο Φυσικής συμφωνούμε τα εξής: εάν το ψηφίο είναι άρτιο μένει ως έχει (π.χ το 6.45 γίνεται 6.4) ενώ αν είναι περιττό αυξάνεται κατά μια μονάδα (π.χ το 6.75 γίνεται 6.8). 3.3 Σύγκριση Μετρήσεων Γενικά αν δεν ξέρουμε ποια είναι η αβεβαιότητα (σφάλμα) μιας μέτρησης, δεν μπορούμε να αποφασίσουμε: αν υπάρχει διακριτή διαφορά μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών του ίδιου μεγέθους (βλ. παράδειγμα 1). αν η μετρούμενη τιμή χαρακτηρίζει πχ το α ή β υλικό (βλ. παράδειγμα 2). αν η απόκλιση της μέτρησης ενός μεγέθους ως προς τη θεωρητική του τιμή είναι αποδεκτή μέσα στα πλαίσια της αβεβαιότητας (βλ. παράδειγμα 3). Παράδειγμα 1: Στο σχήμα 3 φαίνεται η σύγκριση δύο μετρήσεων της ίδιας αντίστασης. Κάθε μέτρηση περιλαμβάνει μια βέλτιστη εκτίμηση, που συμβολίζεται με μια τελεία και ένα εύρος πιθανών τιμών, που συμβολίζεται με μια κατακόρυφη γραμμή. Σχήμα 3 : Δύο μετρήσεις της ίδιας αντίστασης. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 5

6 Στην περίπτωση α) υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο μετρήσεων, ενώ στην περίπτωση β) δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο τιμών διότι υπάρχει επικάλυψη του εύρους των πιθανών τιμών (μη διακριτές μετρήσεις). Παράδειγμα 2: Έστω ότι υπολογίσαμε την πυκνότητα ενός μετάλλου και βρήκαμε 7.9 g/cm 3 Από τη βιβλιογραφία, η πυκνότητα του σιδήρου είναι 7.25 g/cm 3 και του χαλκού 8.22 g/cm 3. Αν δεν ξέρουμε την αβεβαιότητα που συνοδεύει τη μέτρησή μας, δεν μπορούμε να απαντήσουμε ποιο είναι το υλικό που μετρήσαμε. Αν ξέρουμε ότι η αβεβαιότητα είναι πχ 0.4 g/cm 3 τότε μπορούμε να πούμε ότι είναι ο χαλκός Αν όμως το σφάλμα είναι 0.8 g/cm 3 δεν μπορούμε να απαντήσουμε, και σε αυτή την περίπτωση πρέπει να βρούμε τρόπο να βελτιώσουμε την αξιοπιστία του πειράματός μας. Παράδειγμα 3: Έστω ότι σε ένα πείραμα υπολογίσαμε την επιτάχυνση της βαρύτητας και βρήκαμε m/s 2. Αν δεν υπολογίσουμε την αβεβαιότητα στη μέτρηση δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν η διαφορά σε σχέση με την θεωρητική τιμή 9.81 m/s 2 οφείλεται στην αβεβαιότητα ή αν πρέπει να αναζητήσουμε κάποια συστηματική αβεβαιότητα. 3.4 Αβεβαιότητες Τύπου Α (στατιστικού χαρακτήρα) Οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες που σχετίζονται με την επίδραση του περιβάλλοντος (θόρυβος, μεταβολή θερμοκρασίας, παρεμβολές), τις ατέλειες οργάνων, την αλληλεπίδραση οργάνου-μετρούμενου μεγέθους καθώς και σε υποκειμενικούς παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα των μετρήσεων. Με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του φυσικού μεγέθους με το ίδιο όργανο κάτω από ίδιες συνθήκες, περιορίζουμε την επίδραση των αβεβαιοτήτων που οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες. Εάν Χ το μέγεθος το οποίο μετρήθηκε Ν φορές και Χι το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης, η μέση τιμή του δίδεται από τη σχέση: Ν 1 X = X i (1) Ν i=1 Έτσι, θεωρούμε ότι η "Καλύτερη" τιμή για τη μέτρηση είναι ο μέσος όρος που προέκυψε από το σύνολο των μετρήσεων. Θεωρώντας ότι η διαφοροποίηση στις μετρήσεις οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες, οι μετρήσεις περιγράφονται από μια κανονική κατανομή πιθανοτήτων. Στην κανονική κατανομή η μέση τιμή είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης. Όταν το πλάτος της κατανομής είναι μικρό σε σύγκριση με την μέση τιμή, ο μέσος όρος αντιπροσωπεύει, σχετικά καλά, ένα μεγάλο ποσοστό των μετρήσεων ενώ όταν το πλάτος της κατανομής είναι μεγάλο σε σύγκριση με την μέση τιμή, ο μέσος όρος δεν αντιπροσωπεύει καλά το σύνολο των μετρήσεων. Έτσι, το πλάτος της κατανομής των μετρήσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο της αβεβαιότητας των μετρήσεών μας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 6

7 . Σχήμα 4: Κανονική κατανομή Τυπική απόκλιση Η αβεβαιότητα που προκύπτει από τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους, μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους. Στο εργαστήριο φυσικής χρησιμοποιούμε ως μέτρο της αβεβαιότητας, τη λεγόμενη τυπική αβεβαιότητα της μέσης τιμής που συνδέεται με την τυπική απόκλιση της κανονικής κατανομής και υπολογίζεται από την σχέση: N χ - χ i i=1 σ(χ) = (2) Ν(Ν -1) 2 όπου χ η μέση τιμή, Ν το πλήθος των μετρήσεων και χ το αποτέλεσμα κάθε i μέτρησης. Αναγράφοντας το αποτέλεσμά μας με την μορφή: χ ±σ(χ) ορίζεται ένα διάστημα σ(χ) γύρω από τη μέση τιμή, στο οποίο περιμένουμε να βρούμε ένα μεγάλο μέρος των μετρήσεων του μεγέθους Χ με μια πιθανότητα ~68%. Ή διαφορετικά, σημαίνει ότι η πιθανότητα που έχει μια νέα σειρά μετρήσεων του ιδίου μεγέθους να έχει μέση τιμή μέσα στο εύρος τιμών ± σ(χ) γύρω από τη μέση τιμή είναι 68%. Ένα αποτέλεσμα μέτρησης θεωρείται επιστημονικά αποδεκτό, μόνο εάν αναφέρεται μαζί με το διάστημα αβεβαιότητας που καλύπτει την «πραγματική τιμή» του μετρούμενου μεγέθους με μια δεδομένη πιθανότητα. Για να συγκρίνουμε την στατιστική αβεβαιότητα του αποτελέσματός μας, με την «αποδεκτή» τιμή, χρησιμοποιούμε τη σχετική αβεβαιότητα (γνωστή ως σχετικό σφάλμα) : σ(χ) σ σχ% = *100 (3) χ Μ.Πηλακούτα Σελίδα 7

8 Σημειώνεται ότι αν κάνουμε μόνο μια μέτρηση τότε την αβεβαιότητα την εκτιμούμε με βάση την μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου και την συγκρίνουμε με την τιμή του μεγέθους που μετρήσαμε. Η σχετική αβεβαιότητα είναι πολύ χρήσιμη για την σύγκριση της ποιότητας δύο διαφορετικών μετρήσεων. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήθηκε το πλάτος ενός βιβλίου με μία μετροταινία και βρέθηκε 16.8 cm, αν εκτιμούμε ότι η αβεβαιότητα είναι ± 0.1 cm, το σχετικό σφάλμα είναι σ σχ% = 0.1*100/168=0.6%. Με την ίδια μετροταινία μετρήθηκε το ύψος μιας πόρτας και βρέθηκε cm. Θεωρητικά η αβεβαιότητα της δεύτερης μέτρησης είναι επίσης ± 0.1 cm. Το σχετικό σφάλμα όμως στην περίπτωση αυτή είναι 0.05% που είναι πολύ μικρότερο σε σχέση με την μέτρηση του βιβλίου. Γενικά για δοσμένη αβεβαιότητα, η μέτρηση με την μικρότερη σχετική αβεβαιότητα είναι περισσότερο αξιόπιστη. Παράδειγμα υπολογισμού αβεβαιότητας μέσης τιμής. Στον παρακάτω πίνακα έχουν καταγραφεί 10 τιμές που προέκυψαν κατά τη μέτρηση του πάχους ενός πλακιδίου. Υπολογίστηκε η μέση τιμή, X =8.260 mm, οι αποκλίσεις από την μέση τιμή και τα τετράγωνά τους. Τέλος ο υπολογισμός της αβεβαιότητας της μέσης τιμής (σφάλμα μέσης τιμής) έδωσε αποτέλεσμα: σ(χ) = mm. Πίνακας 1: Τρόπος υπολογισμού της αβεβαιότητας στατιστικού τύπου Παρατηρούμε ότι στη μέση τιμή κρατήθηκε ένα παραπάνω ψηφίο (3 δεκαδικά) σε σχέση με αυτά που προκύπτουν από την άθροιση των μετρήσεών μας. Γενικά όταν χρησιμοποιούμε ένα αποτέλεσμα για συνεχόμενους υπολογισμούς όπως είναι οι αποκλίσεις από την μέση τιμή, κρατάμε ένα ψηφίο παραπάνω και κάνουμε τη στρογγυλοποίηση στο τέλος για να μην αλλοιωθεί το αποτέλεσμά μας από συνεχόμενες στρογγυλοποιήσεις. Επίσης το τελικό αποτέλεσμα της αβεβαιότητας πρέπει να στρογγυλοποιηθεί με βάσει την αξιοπιστία με την οποία έγιναν οι μετρήσεις. Για αριθμό μετρήσεων μικρότερο από 20 μπορούμε να κρατήσουμε στην Μ.Πηλακούτα Σελίδα 8

9 αβεβαιότητα ΜΟΝΟ ΕΝΑ σημαντικό ψηφίο. Επειδή στο εργαστήριο Φυσικής ο αριθμός των μετρήσεων που λαμβάνουμε είναι συνήθως κάτω από 10 (λόγω χρονικών περιορισμών), πάντα στρογγυλοποιούμε την αβεβαιότητα στο πρώτο μη μηδενικό ψηφίο. Ο επιστημονικά σωστός τρόπος παρουσίασης της μέσης τιμής μαζί με την αβεβαιότητά της είναι: όσα δεκαδικά ψηφία έχει η αβεβαιότητα, τόσα να έχει και η μέση τιμή. Έτσι το αποτέλεσμα που προκύπτει από τις 10 επαναλήψεις της μέτρησης του πάχους του πλακιδίου (Πίνακας 1), είναι: χ ± σ(χ) = (8.260 ± 0.004) mm Μετά την στρογγυλοποίηση της αβεβαιότητας στο πρώτο σημαντικό ψηφίο σ(χ)=0.004 mm η αβεβαιότητα έχει τρία δεκαδικά ψηφία, έτσι και η μέση τιμή διατηρεί τα τρία δεκαδικά ψηφία. Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι με πιθανότητα 68% η πραγματική μας τιμή βρίσκεται στο διάστημα από mm έως mm. 3.5 Αβεβαιότητες Τύπου Β Συστηματικές αβεβαιότητες Οι συστηματικές αβεβαιότητες (σε πολλά βιβλία αναφέρονται ως συστηματικά σφάλματα) είναι αβεβαιότητες που μπορούν να εντοπισθούν και να αποφευχθούν ή να διορθωθούν. Οφείλονται συνήθως σε μη ικανοποιητική ή λανθασμένη βαθμονόμηση οργάνων, σε λανθασμένες ενέργειες του πειραματιστή, της μεθόδου ανάλυσης κλπ. Οι συστηματικές αβεβαιότητες δίνουν σταθερά μεγαλύτερες ή σταθερά μικρότερες τιμές από τις «πραγματικές». Εντοπίζονται δε συγκρίνοντας τις τιμές του μεγέθους που μας ενδιαφέρει με τιμές που λαμβάνονται με διαφορετική τεχνική, με άλλο πειραματιστή κλπ. Χαρακτηριστικό παράδειγμα συστηματικής αβεβαιότητας είναι η περίπτωση μιας ζυγαριάς της οποίας η βελόνα πριν τη μέτρηση είναι δεξιότερα ή αριστερότερα του μηδενός (Σχήμα 5). Αυτό είναι ένα σφάλμα που παρουσιάζεται σε πολλά όργανα στρεπτής βελόνας και ονομάζεται μετατόπιση του μηδενός. Στα περισσότερα όργανα υπάρχει τρόπος επαναφοράς της βελόνας στο μηδέν. Εάν δεν διορθώνεται άμεσα τότε πρέπει να υπολογιστεί η διαφορά (σφάλμα μετατόπισης μηδενός) και να προστεθεί ή να αφαιρεθεί από το αποτέλεσμα της μέτρησης. Εάν η βελόνα είναι αρχικά δεξιά του μηδενός, η ζυγαριά θα δείχνει μεγαλύτερη τιμή από την πραγματική, άρα θα πρέπει να εκτιμήσουμε τη μετατόπιση του μηδενός και να το αφαιρούμε από τις μετρήσεις μας. Εάν η βελόνα είναι αρχικά αριστερά του μηδενός, η ζυγαριά θα δείχνει μικρότερη τιμή από την πραγματική, άρα θα πρέπει να υπολογίσουμε τη μετατόπιση μηδενός και να την προσθέτουμε στις μετρήσεις μας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 9

10 Σχήμα 5: Συστηματική αβεβαιότητα - μετατόπιση μηδενός Διάδοση αβεβαιότητας Αβεβαιότητα έμμεσης μέτρησης Οι μετρήσεις που γίνονται στο εργαστήριο συχνά δεν μετρούν άμεσα τη φυσική ποσότητα που μας ενδιαφέρει, αλλά χρησιμοποιούνται για τον έμμεσο υπολογισμό της. Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση ονομάζεται "έμμεση". Για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας στις έμμεσες μετρήσεις, χρησιμοποιούνται οι αβεβαιότητες των άμεσα μετρουμένων ποσοτήτων, όπως εξηγείται στη συνέχεια. Έστω το φυσικό μέγεθος που μας ενδιαφέρει περιγράφεται από μια συνάρτηση f (x,y,w) και τα μετρούμενα μεγέθη είναι τα x, y, w των οποίων οι αβεβαιότητες είναι δx, δy και δw. Η κάθε αβεβαιότητα συνεισφέρει στην συνολική αβεβαιότητα του μεγέθους που υπολογίζεται έμμεσα. Η συνεισφορά της κάθε μιας καθορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις που προκύπτουν από το γινόμενο της μερικής παραγώγου της συνάρτησης ως προς την κάθε μεταβλητή, επί την επιμέρους αβεβαιότητα της μεταβλητής δf X = f δ x x f δfy = δy y f w δf W = δ Η αβεβαιότητα του έμμεσα μετρούμενου μεγέθους δίδεται από την σχέση : w f f f x y w δf = δ x + δ y + δ w (4) Παράδειγμα υπολογισμού αβεβαιότητας έμμεσης μέτρησης. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή μιας ωμικής αντίστασης R(V,I), εφαρμόζοντας στα άκρα της μια τάση V και μετρώντας το ρεύμα Ι που τη διαρρέει. Η τιμή της αντίστασης υπολογίζεται με τον νόμο του ΟΗΜ R=V/I. Έστω ότι η αβεβαιότητα στην μέτρηση της τάσης είναι δv και η αβεβαιότητα στην μέτρηση του ρεύματος είναι δi. Θεωρώντας ότι δεν έχουμε κάποιο συστηματικό σφάλμα στις μετρήσεις μας, η αβεβαιότητα που οφείλεται στην μέτρηση της τάσης (μερική αβεβαιότητα τάσης) προκύπτει από τη σχέση: R δv δrv = δv = (5) V I Μ.Πηλακούτα Σελίδα 10

11 H αβεβαιότητα που οφείλεται στην μέτρηση του ρεύματος (μερική αβεβαιότητα ρεύματος) προκύπτει από τη σχέση: R V δr I = δi = - δi (6) 2 I I Η αβεβαιότητα στην τιμή της ωμικής αντίστασης δίδεται από την σχέση: R R δv V 2 δr = δv + δi = + - δi (7) V I I I και το αποτέλεσμα δίδεται με την μορφή R±δR. Τις περισσότερες φορές η αβεβαιότητα είναι σύνθετη, γιατί μπορεί να οφείλεται σε ένα συνδυασμό από τυχαίους παράγοντες, συστηματικά σφάλματα, αβεβαιότητες κλίμακας οργάνων που δίδονται από τον κατασκευαστή κλπ. Κύρια σημεία περιληπτικά Η ακρίβεια μιας μέτρησης μας λέει πόσο κοντά στην τιμή που θεωρούμε «πραγματική» βρίσκεται η μέτρησή μας. Κάθε μέτρηση φέρει πάντα μια αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα ορίζεται ως η ποσοτική έκφραση της «αμφιβολίας» που υπάρχει σχετικά με το αποτέλεσμα της μέτρησης. Λαμβάνοντας πολλές μετρήσεις του ιδίου μεγέθους για να υπολογίσουμε μέση τιμή, μειώνουμε την αβεβαιότητα τύπου Α. Αλλάζοντας την τεχνική μέτρησης μπορεί να περιοριστεί ή να εκμηδενιστούν αβεβαιότητες τύπου Β. Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης γράφεται πάντα μαζί με την αβεβαιότητα που τη συνοδεύει και τις μονάδες της. χ ± σ(χ) = (8.260 ± 0.004) mm Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι η πραγματική τιμή βρίσκεται στο διάστημα από mm έως mm με πιθανότητα 68%. (Υπενθύμιση: Δεν μπορούμε ποτέ να μάθουμε την πραγματική τιμή του μεγέθους Χ) * Οι σημειώσεις αυτές καλύπτουν μόνο τις πλέον γενικές περιπτώσεις υπολογισμού αβεβαιότητας που θα συναντήσει κάποιος σε ένα εργαστήριο γενικής φυσικής. Αν συναντήσετε κάποια περίπτωση που χρήζει περεταίρω διευκρίνησης, συζητήστε την με τον καθηγητή σας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 11

12 4. Ερωτήσεις 1. Πόσα σημαντικά ψηφία έχουν οι αριθμοί 13600, 0.120, ; 2. Τι διακρίνει ένα «τυχαίο σφάλμα» από ένα συστηματικό σφάλμα; 3. Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου d διαφόρων δοκιμίων έγιναν 10 μετρήσεις σε κάθε δοκίμιο με σκοπό τον υπολογισμό της μέσης τιμής της διαμέτρου, καθώς και της αντίστοιχης αβεβαιότητας σ( ). Να διορθωθούν οι πιο κάτω εκφράσεις του τελικού αποτελέσματος κάθε δοκιμίου ώστε να πάρουν την επιστημονικά αποδεκτή μορφή. ±σ( )= ( ± 0. 43) mm ±σ( )= ( ± 0.004) mm ±σ( )= ( ± 0.99) mm ±σ( )= ( ± 0.043) mm Βιβλιογραφία 1. John R. Taylor, «An Introduction to Error Analysis : The Study of Uncertainties in Physical Measurements», 2nd ed. (Univ. Science Books, 1997) 2. B.N. Taylor and C.E. Kuyatt, «Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results» (NIST Technical Note 1297, 1994) 3. «Σφάλματα Μετρήσεων» από το βιβλίο, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Πειραιά, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 4. «Θεωρία Σφαλμάτων» από το βιβλίο Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Αθήνας, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 5. Young H., University Physics, Addison-Wesley (Εκδόσεις Παπαζήση 1990) _Intro.html Μ.Πηλακούτα Σελίδα 12

13 Φύλλο Εργασίας Μετρήσεις Σφάλματα Αβεβαιότητα 1. Να γράψετε το πλήθος των σημαντικών ψηφίων που έχει κάθε ένας από τους ακόλουθους αριθμούς: Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ 3,26 2,650 8,001 4,20*10 3 3,260 0, ,20*10-3 0,26 0, Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω αριθμοί στα τρία και στη συνέχεια στα δύο σημαντικά ψηφία: Αριθμός 3 ΣΨ 2 ΣΨ Αριθμός 3 ΣΨ 2 ΣΨ 7,6310 3,0026 *10 3 5,215 3,5026 *10 2 4, ,0982 4,953 1,4276 0, Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου d διαφόρων δοκιμίων έγιναν 10 μετρήσεις σε κάθε δοκίμιο και υπολογίστηκε η μέση τιμή της διαμέτρου, καθώς και η αντίστοιχη αβεβαιότητα σ( ). Να γραφούν τα αποτελέσματα με τον επιστημονικά αποδεκτό τρόπο ±σ( )= και σ( )= 0, 44 mm και σ( )= 0, 031 mm και σ( )= 0,0055 mm και σ( )= 1 mm και σ( )= 11,9 mm Μ.Πηλακούτα Σελίδα 13

14 4. Κατά τη μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου ελήφθησαν οι παρακάτω μετρήσεις: α/α x i (cm) x (cm) Δx i = x -x i (cm) (Δx i ) 2 (cm 2 ) 1 14, , , , , , , , , ,24 Να υπολογισθούν: α ) Η μέση τιμή x του μήκους του αντικειμένου. β ) H αβεβαιότητα σ( x ) (ή σφάλμα μέσης τιμής). γ ) Η επί τοις εκατό αβεβαιότητα σ% δ ) Να γραφούν τα αποτελέσματα στις παρακάτω μορφές: x ± σ( x )= x ±σ%= Μ.Πηλακούτα Σελίδα 14

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα σε μία σύνθετη μέτρηση. Αρχικά δίνονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Συγγραφείς:. Τμήμα, Σχολή Εφαρμοσμένων Επιστημών, ΤΕΙ Κρήτης Περίληψη Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση μετρήσαμε τη διάμετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή... 2 Έννοια του σφάλματος...3 Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 Εκτίμηση του σφάλματος κατά την ανάγνωση κλίμακας...8 Πολλαπλές μετρήσεις... 10 Περί του αριθμού των σημαντικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Χειμερινό Εξάμηνο 007 1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 007 Πρόβλημα 1 Προσδιορίστε ποια από τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός είναι να κατανοηθεί η έννοια των σφαλμάτων, η σπουδαιότητά τους και η αναγκαιότητα υπολογισμού τους. Δίνονται επίσης οι βασικοί μαθηματικοί τύποι που επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου Μ7 Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου A. Προσδιορισµός της πυκνότητας στερεού σώµατος B. Εύρεση της εστιακής απόστασης συγκλίνοντα φακού. Σκοπός Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα - &. ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος Χρήση διαστημόμετρου για εύρεση πυκνότητας στερεών σωμάτων γεωμετρικού σχήματος Προκειμένου να υπολογιστεί η πυκνότητα σε στερεά σώματα γεωμετρικού σχήματος πραγματοποιούνται μετρήσεις α) της μάζας τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Ο άνθρωπος αρχίζει να αποκτά γνώση για τον φυσικό κόσμο γύρω του, από τη στιγμή που αρχίζει να καταγράφει τα φυσικά φαινόμενα και να τα επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος)

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος) Άσκηση Μ1 Θεωρητικό μέρος Μήκος και μάζα (βάρος) Όργανα μέτρησης μήκους Διαστημόμετρο Με το διαστημόμετρο μετράμε μήκη μέχρι και μερικά μέτρα, σε χαμηλές απαιτήσεις ως προς την ακρίβεια. Το κύριο μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων 1. Θα λέμε ότι Ν μετρήσεις ενός μεγέθους παρουσιάζουν μεγάλη ακρίβεια (accuracy), αν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι κοντά στην αληθινή τιμή του μεγέθους.

Διαβάστε περισσότερα

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της εισαγωγικής άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τη χρήση του πολύμετρου για τη μέτρηση βασικών μεγεθών ηλεκτρικού κυκλώματος, όπως μέτρηση της έντασης

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό.

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Φυσική 1. Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων: α) Καταγραφή δεδομένων σε πίνακα μετρήσεων, β) Επιλογή συστήματος αξόνων με τις κατάλληλες κλίμακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η συνειδητή χρήση των κανόνων ασφαλείας στο εργαστήριο. Η εξοικείωση στη χρήση του υποδεκάμετρου και του διαστημόμετρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου

Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου Σύνοψη Αυτή είναι μια από τις πρώτες ασκήσεις που κάνεις στο εργαστήριο Φυσικής Ι, γι αυτό καλό είναι να μάθεις ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Περιεχόμενα 1) Γενικές Πληροφορίες ) Ανάλυση σφαλμάτων 3) Γραφικές παραστάσεις 4) Υπόδειγμα Εργαστηριακής Άσκησης 5) Εργαστηριακές Ασκήσεις Άσκηση 1 Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Εργαστηριακές Ασκήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΗΧΗΤΙΚΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΣΤΗ ΜΙΑ ΑΚΡΗ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ 1 ο Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Σχ έτος 2011-2012 Εργαστήριο Φυσικής Υπεύθυνος : χ τζόκας 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ Η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΟΜΑΔΑ:RADIOACTIVITY Τα μέλη της ομάδας μας: Γιώργος Παπαδόγιαννης Γεράσιμος Κουτσοτόλης Νώντας Καμαρίδης Κωνσταντίνος Πούτος Παναγιώτης Ξανθάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone

ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone Σκοπός της άσκησης αυτής είναι Η κατανόηση της λειτουργίας και του τρόπου μέτρησης μιας αντίστασης με τη χρήση της διάταξης γέφυρας Wheatstone Θεωρητικό Υπόβαθρο Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση τυπικής αβεβαιότητας τύπου B Η εκτίμηση βασίζεται στις διαθέσιμες πληροφορίες και την εμπειρία, χρησιμοποιώντας συνήθως: τα χαρακτηριστικά του κατασκευαστή

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων Στατιστικοί πίνακες Δημιουργία κλάσεων Τι είναι οι κλάσεις; Κλάσεις είναι ημιανοικτά διαστήματα της μορφής [α i, b i ), τα οποία είναι ταυτόχρονα και διαδοχικά, έτσι ώστε να μην υπάρχει κάποια τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Παράρτημα Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Σκοπός του παραρτήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τη χρήση και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματική διάταξη

1. Πειραματική διάταξη 1. Πειραματική διάταξη 1.1 Περιγραφή της διάταξης Η διάταξη του πειράματος αποτελείται από έναν αερόδρομο και ένα ή δύο κινητά τα οποία είναι συζευγμένα μέσω ελατήριου. Η κίνηση των ταλαντωτών καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμομηχανή με εκτυπωτή

Αριθμομηχανή με εκτυπωτή CITIZEN 350DPII Αριθμομηχανή με εκτυπωτή Εγχειρίδιο οδηγιών 1 Σημείωση: 1) Το Σήμα Ασφάλειας IRAM αναφέρεται μόνο στις συνθήκες ασφάλειας που ορίζονται από το IEC 60950/A11 και όχι στις συνθήκες λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Αθήνα 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ... 2. ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ... 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της δύναμης, η οποία εξισορροπεί δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις και σύγκρισή της με τη συνισταμένη τους που υπολογίζεται αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων Ι (αντιστάσεις σε σειρά)

ΑΣΚΗΣΗ 5 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων Ι (αντιστάσεις σε σειρά) Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 5 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων Ι (αντιστάσεις σε σειρά) Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να σχεδιάζει κύκλωμα αντιστάσεων σε σειρά και να μετράει άγνωστα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013

11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 ΤΟΠΙΚΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Σάββατο 8 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΕΚΦΕ ΑΧΑΪΑΣ (ΑΙΓΙΟΥ) (Διάρκεια εξέτασης 60 min) Μαθητές: Σχολική Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης 1 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝ/ΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΩΤ. ΣΑΚΚΟΠΟΥΛΟΣ Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης (Θεωρία σφαλμάτων, Σημαντικά ψηφία) ΠΑΤΡΑ 2016 2 Εισαγωγή Στη Φυσική, όπως αυτή εκτίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 4: Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011-12 Τοπικός διαγωνισμός στη Φυσική 10-12-2011 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Κεντρική ιδέα της άσκησης Στην άσκηση μελετάμε την κίνηση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Το αμπερόμετρο αποτελείται από ένα γαλβανόμετρο στο οποίο συνδέεται παράλληλα μια αντίσταση R

Το αμπερόμετρο αποτελείται από ένα γαλβανόμετρο στο οποίο συνδέεται παράλληλα μια αντίσταση R Άσκηση : Βασικές μετρήσεις συνεχούς ρεύματος και όργανα μετρήσεων Σκοπός της άσκησης: (Το πολύ 5 γραμμές συνοπτικά τι διεξήχθη στο πείραμα και γιατί) Ο σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με τα βασικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Δασική Βιομετρία ΙΙ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Δασική Βιομετρία ΙΙ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να σχεδιάζει κύκλωμα αντιστάσεων σε παράλληλη σύνδεση και να μετράει

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος 7η ΗΜΕΡΙΔΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΑΔΑ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ: 1. 2. 3. 1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος Ο Σκοπός της άσκησης Ο σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Α. Θεωρητικό Μέρος MM205 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Εργαστήριο 1 ο Όργανα μέτρησης ηλεκτρικών μεγεθών Μετρήσεις στο συνεχές ρεύμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009 2014 Σελίδα 1 από 24 Ταλαντώσεις 1. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ των σημείων Α και Β. (α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κινηθεί

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β - Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Πείραμα και θεωρία Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου Η Φυσική είναι η επιστήμη που διαμόρφωσε και συνεχίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών CX-185 II Αριθμομηχανή με εκτυπωτή Εγχειρίδιο Οδηγιών 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΚΟΠΤΩΝ έως Αριθμητικό Πλήκτρο Χρησιμοποιείται για την εισαγωγή αριθμού στην αριθμομηχανή. Πλήκτρο Υποδιαστολής Χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΖΥΓΟΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Επαλήθευση βασικών σχέσεων του ηλεκτρομαγνητισμού

ΖΥΓΟΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Επαλήθευση βασικών σχέσεων του ηλεκτρομαγνητισμού 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΖΥΓΟΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Επαλήθευση βασικών σχέσεων του ηλεκτρομαγνητισμού Α. ΣΤΟΧΟΙ Η εξοικείωση με τη δημιουργία μικρών βαρών από λεπτό σύρμα μετρώντας το μήκος του.

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος Βασικές Μετρήσεις

Παλμογράφος Βασικές Μετρήσεις Παλμογράφος Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τον παλμογράφο και τη χρήση του για τη μέτρηση των πιο βασικών μεγεθών όπως μέτρηση του πλάτους και της συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα