Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων"

Transcript

1 Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης και τα σημαντικά ψηφία, ώστε να κατανοήσουν τους περιορισμούς κάτω από τους οποίους εκτελείται μια μέτρηση, τη σημασία του τρόπου παρουσίασης του αποτελέσματος μιας μέτρησης και τέλος να αναπτύξουν την ικανότητα να αξιολογούν τις μετρήσεις τους και να ερμηνεύουν τα δεδομένα τους. 2. Γενικά Οι εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής αποσκοπούν στο να διδαχθεί ο σπουδαστής τις μεθόδους και τις πιο βασικές τεχνικές της πειραματικής φυσικής. Να εξοικειωθεί με τις συσκευές μετρήσεων και να καταλάβει τη χρήση τους. Να μάθει να παίρνει και να επεξεργάζεται μετρήσεις ώστε να επαληθεύσει μόνος του πειραματικά ένα μέρος της ύλης που διδάχθηκε θεωρητικά και γενικά να αποκτήσει αυτοπεποίθηση σχετικά με την ικανότητά του να μετρήσει και να συσχετίσει φυσικά μεγέθη. Η θεωρία σφαλμάτων είναι συνδεδεμένη με τη διαδικασία λήψης και επεξεργασίας των μετρήσεων. Η γνώση βασικών εννοιών και υπολογισμών που σχετίζονται με τη θεωρία σφαλμάτων είναι απαραίτητο εργαλείο που βοηθά στον τρόπο λήψης αξιόπιστων μετρήσεων, στην αξιολόγηση και την επεξεργασία των μετρήσεων, αλλά και τη σωστή ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Ειδικότερα, η θεωρία σφαλμάτων εκτός από τη χρήση της για τους σκοπούς του εργαστηρίου φυσικής, συμβάλλει γενικότερα στην εκπαίδευση ενός τεχνολόγου μηχανικού, ο οποίος θα κληθεί να εκτελέσει μετρήσεις που αφορούν στη: διάγνωση της λειτουργίας ενός συστήματος. σύγκριση και ταξινόμηση μεγεθών. πιστοποίηση και τον έλεγχο ποιότητας. λήψη αποφάσεων από ένα σύστημα και ανάδραση σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου. 3. Σύντομο θεωρητικό μέρος 3.1 Αβεβαιότητες μέτρησης Η ακρίβεια κάθε μέτρησης περιορίζεται από διάφορους παράγοντες όπως οι ατέλειες και η πεπερασμένη ικανότητα των οργάνων μέτρησης, η πεπερασμένη ικανότητα του πειραματιστή και οι απρόβλεπτες μεταβολές των συνθηκών μέτρησης. Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι μόνο μια προσέγγιση ή εκτίμηση της τιμής της φυσικής ποσότητας που υπόκειται σε μέτρηση. Το αποτέλεσμα είναι πλήρες μόνο όταν συνοδεύεται από μια ποσοτική έκφραση της αβεβαιότητάς του. Ως σφάλμα ορίζεται η διαφορά μεταξύ μετρούμενης και «αληθούς» ή πραγματικής αλλά άγνωστης τιμής ενός μετρούμενου μεγέθους Μ.Πηλακούτα Σελίδα 1

2 Σφάλμα ύ ή ή ή Ως αβεβαιότητα ορίζεται η ποσοτική έκφραση της «αμφιβολίας» που υπάρχει σχετικά με το αποτέλεσμα της μέτρησης. Είναι δηλαδή ένα μέτρο της αξιοπιστίας της μέτρησης. Σημειώνεται ότι σε πολλά συγγράμματα, η αβεβαιότητα των μετρήσεων αναφέρεται ως "σφάλμα" (error). Στην πραγματικότητα δεν είναι σφάλμα ή λάθος με την κοινή έννοια του όρου γιατί είναι κάτι που δεν μπορεί να αποφευχθεί. Στις σημειώσεις αυτές γίνεται προσπάθεια το σφάλμα και η αβεβαιότητα να χρησιμοποιούνται με τον τρόπο που έχει οριστεί διεθνώς στον οδηγό ISO-GUM (Guide for the Uncertainty of Measurement). Οι αβεβαιότητες στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης προέρχονται από διάφορους παράγοντες και χωρίζονται σε δύο τύπους ανάλογα με τον τρόπο που υπολογίζονται. Τύπου Α. Οφείλονται σε τυχαία μεταβολή παραγόντων και υπολογίζονται με στατιστικές μεθόδους (Γνωστά και ως Τυχαία Σφάλματα) Τύπου Β. Υπολογισμός αβεβαιότητας με άλλους τρόπους. Στην κατηγορία αυτή υπάγονται τα λεγόμενα Συστηματικά σφάλματα, η αβεβαιότητα έμμεσης μέτρησης και η σύνθετη αβεβαιότητα. Τις περισσότερες φορές η αβεβαιότητα είναι σύνθετη έχει δηλαδή συνιστώσα που οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και συνιστώσα που οφείλεται σε συστηματικά φαινόμενα. Πριν αναφερθούμε πιο αναλυτικά στους τύπους αβεβαιότητας και τον τρόπο υπολογισμού τους, θα πρέπει να δούμε κάποια χαρακτηριστικά που σχετίζονται με την αξιοπιστία της μέτρησης. Σχήμα 1: Ακρίβεια και αξιοπιστία Η αξιοπιστία της μέτρησης σχετίζεται με το πόσο λεπτομερής είναι η μέτρηση και πόση επαναληπτικότητα έχει όταν γίνουν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του ιδίου μεγέθους κάτω από ίδιες συνθήκες μέτρησης. Για την κατανόηση της διαφοράς μεταξύ ακρίβειας και αξιοπιστίας, χρησιμοποιείται συχνά το παράδειγμα με τους στόχους σκοποβολής και τα ίχνη των βελών. Τα ίχνη των βελών αντιστοιχούν στις τιμές ενός μεγέθους που λαμβάνονται με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις κάτω από Μ.Πηλακούτα Σελίδα 2

3 ίδιες συνθήκες. Στο σχήμα 1 φαίνεται η αντιστοιχία των θέσεων των ιχνών με την ακρίβεια και την αξιοπιστία της μέτρησης. 3.2 Σημαντικά ψηφία και ακρίβεια οργάνων Όλα τα όργανα έχουν όριο στις μετρητικές τους δυνατότητες. Έχουν πάντα μια ελάχιστη ποσότητα μέχρι την οποία μπορούν να μετρήσουν. Σημαντικά ψηφία μιας μέτρησης θεωρούνται όλα τα ψηφία που μπορούμε να διαβάσουμε με απόλυτη βεβαιότητα συν ένα και μόνο ένα, το τελευταίο, που είναι από εκτίμηση και επομένως είναι αβέβαιο. Η αξιοπιστία μιας μέτρησης συνδέεται με τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων που περιέχει. Μια μέτρηση ενός μεγέθους είναι περισσότερο αξιόπιστη από μια άλλη εάν είναι πιο λεπτομερής, δηλαδή αν περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήθηκε η διάμετρος ενός σύρματος με ένα διαστημόμετρο και βρέθηκε να είναι 2.3 mm. Το ίδιο σύρμα μετρήθηκε με ένα μικρόμετρο το οποίο έδωσε αποτέλεσμα mm. Στο παράδειγμά μας η μέτρηση με το μικρόμετρο έχει 4 σημαντικά ψηφία και είναι περισσότερο αξιόπιστη από τη μέτρηση με το διαστημόμετρο που έχει 2 σημαντικά ψηφία. Στο σχήμα 2 φαίνονται δύο χάρακες υποδιαιρεμένοι με διαφορετικό τρόπο. Το αποτέλεσμα με τον χάρακα α) είναι 2.5 δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2 και 3. Το 2 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Δεν έχει νόημα επομένως να πούμε ότι η μέτρηση είναι 2,56 αφού ακόμα και το 5 είναι αβέβαιο. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.0 και 3.0. Η μέτρηση αυτή έχει 2 σημαντικά ψηφία. Σχήμα 2: Καταγραφή σημαντικών ψηφίων Το αποτέλεσμα με τον χάρακα β) είναι περισσότερο λεπτομερές γιατί έχει περισσότερες υποδιαιρέσεις. Δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2.4 και 2.5, το αποτέλεσμα εκτιμάται ότι είναι Το 2.4 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.40 και 2.50, κάτι που δεν μπορούμε να κάνουμε με τον χάρακα α). Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση έχει 3 σημαντικά ψηφία. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 3

4 3.2.1 Σημασία του τρόπου γραφής του αποτελέσματος μιας μέτρησης Πραγματοποιώντας μια μόνο μέτρηση με ένα όργανο που φέρει υποδιαιρέσεις, η αβεβαιότητα της μέτρησης μπορεί να είναι η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου ή άλλο κλάσμα της (συνήθως μισή υποδιαίρεση). Στην περίπτωση ψηφιακών οργάνων, δίδεται από τον κατασκευαστή. Ο τρόπος με τον οποίο γράφουμε το αποτέλεσμά μας, πρέπει να δείχνει την αξιοπιστία με την οποία μετρήθηκε. Γενικά το τελευταίο ψηφίο μιας μέτρησης είναι πάντα αβέβαιο. Για παράδειγμα αν το αποτέλεσμα μιας μέτρησης μήκους δοθεί με την μορφή α) 52 mm, θεωρούμε ότι το τελευταίο ψηφίο, είναι το ψηφίο που φέρει αβεβαιότητα και επομένως η αληθής τιμή μπορεί να βρίσκεται με μεγάλη πιθανότητα στο διάστημα μεταξύ 51 έως 53 mm, (52±1), θεωρώντας ότι η καλλίτερη εκτίμηση που μπορώ να κάνω είναι με ±1 ελάχιστη υποδιαίρεση. Αν όμως δοθεί με την μορφή β) 52.0, η αβεβαιότητα βρίσκεται στο τρίτο σημαντικό ψηφίο και η αληθής τιμή μπορεί να βρίσκεται με μεγάλη πιθανότητα στο διάστημα μεταξύ 51.9 έως 52.1 mm, (52.0 ± 0.1) Κανόνες καθορισμού σημαντικών ψηφίων Όταν στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης υπάρχει υποδιαστολή, ως σημαντικά ψηφία (συντομογραφία σψ) μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο μη μηδενικό και δεξιά π.χ 2.3 (2 σψ), 2.30 (3 σψ),0.2 (1 σψ), 0.02 (1 σψ) (2 σψ). Όταν δεν υπάρχει υποδιαστολή ως σημαντικά μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο αριστερά ψηφίο μέχρι το τελευταίο μη μηδενικό. π.χ 15 (2 σψ),15000 (2 σψ), (4 σψ) Οι δυνάμεις του 10 δεν αξιολογούνται ως σημαντικά ψηφία. 2,1*10-3 (2 σψ), (2 σψ). Γενικά είναι πιο εύχρηστο και κομψό να εκφράζουμε τα αποτελέσματά μας με τάξεις μεγέθους όπως 5.6*10-3 αντι Επειδή πολλές φορές ένα μέγεθος υπολογίζεται έμμεσα (για παράδειγμα η ταχύτητα ενός κινητού) χρησιμοποιώντας μετρήσεις άλλων μεγεθών (την απόσταση X που διάνυσε το κινητό και το χρόνο t) που λήφθηκαν με διαφορετική αξιοπιστία, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι το αποτέλεσμα που προκύπτει από πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμό ή διαίρεση αριθμών, περιορίζεται πάντα από τον αριθμό με τη μικρότερη αξιοπιστία. Όταν προσθέτουμε η αφαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΔΕΚΑΔΙΚΑ έχει ο αριθμός με τα λιγότερα δεκαδικά. Παράδειγμα: =3.6 και όχι 3.57 Όταν πολλαπλασιάζουμε η διαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ψηφία έχει ο αριθμός με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα: Μ.Πηλακούτα Σελίδα 4

5 *0.02=0.06 και όχι (όπου με κόκκινο φαίνονται τα αβέβαια ψηφία) Πολλές φορές πρέπει να κάνουμε στρογγυλοποίηση του αποτελέσματός μας. Ο κανόνας που ακολουθούμε είναι: Εάν το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από ψηφίο που είναι μικρότερο από 5, μένει ως έχει. Εάν το ψηφίο που ακολουθεί είναι μεγαλύτερο από 5 τότε το ψηφίο που θα κρατήσουμε αυξάνεται κατά μια μονάδα. Με αυτό τον τρόπο έχουν στρογγυλοποιηθεί τα παραπάνω αποτελέσματα υπολογισμών. Για την περίπτωση που το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από το ψηφίο 5, στο εργαστήριο Φυσικής συμφωνούμε τα εξής: εάν το ψηφίο είναι άρτιο μένει ως έχει (π.χ το 6.45 γίνεται 6.4) ενώ αν είναι περιττό αυξάνεται κατά μια μονάδα (π.χ το 6.75 γίνεται 6.8). 3.3 Σύγκριση Μετρήσεων Γενικά αν δεν ξέρουμε ποια είναι η αβεβαιότητα (σφάλμα) μιας μέτρησης, δεν μπορούμε να αποφασίσουμε: αν υπάρχει διακριτή διαφορά μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών του ίδιου μεγέθους (βλ. παράδειγμα 1). αν η μετρούμενη τιμή χαρακτηρίζει πχ το α ή β υλικό (βλ. παράδειγμα 2). αν η απόκλιση της μέτρησης ενός μεγέθους ως προς τη θεωρητική του τιμή είναι αποδεκτή μέσα στα πλαίσια της αβεβαιότητας (βλ. παράδειγμα 3). Παράδειγμα 1: Στο σχήμα 3 φαίνεται η σύγκριση δύο μετρήσεων της ίδιας αντίστασης. Κάθε μέτρηση περιλαμβάνει μια βέλτιστη εκτίμηση, που συμβολίζεται με μια τελεία και ένα εύρος πιθανών τιμών, που συμβολίζεται με μια κατακόρυφη γραμμή. Σχήμα 3 : Δύο μετρήσεις της ίδιας αντίστασης. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 5

6 Στην περίπτωση α) υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο μετρήσεων, ενώ στην περίπτωση β) δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο τιμών διότι υπάρχει επικάλυψη του εύρους των πιθανών τιμών (μη διακριτές μετρήσεις). Παράδειγμα 2: Έστω ότι υπολογίσαμε την πυκνότητα ενός μετάλλου και βρήκαμε 7.9 g/cm 3 Από τη βιβλιογραφία, η πυκνότητα του σιδήρου είναι 7.25 g/cm 3 και του χαλκού 8.22 g/cm 3. Αν δεν ξέρουμε την αβεβαιότητα που συνοδεύει τη μέτρησή μας, δεν μπορούμε να απαντήσουμε ποιο είναι το υλικό που μετρήσαμε. Αν ξέρουμε ότι η αβεβαιότητα είναι πχ 0.4 g/cm 3 τότε μπορούμε να πούμε ότι είναι ο χαλκός Αν όμως το σφάλμα είναι 0.8 g/cm 3 δεν μπορούμε να απαντήσουμε, και σε αυτή την περίπτωση πρέπει να βρούμε τρόπο να βελτιώσουμε την αξιοπιστία του πειράματός μας. Παράδειγμα 3: Έστω ότι σε ένα πείραμα υπολογίσαμε την επιτάχυνση της βαρύτητας και βρήκαμε m/s 2. Αν δεν υπολογίσουμε την αβεβαιότητα στη μέτρηση δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν η διαφορά σε σχέση με την θεωρητική τιμή 9.81 m/s 2 οφείλεται στην αβεβαιότητα ή αν πρέπει να αναζητήσουμε κάποια συστηματική αβεβαιότητα. 3.4 Αβεβαιότητες Τύπου Α (στατιστικού χαρακτήρα) Οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες που σχετίζονται με την επίδραση του περιβάλλοντος (θόρυβος, μεταβολή θερμοκρασίας, παρεμβολές), τις ατέλειες οργάνων, την αλληλεπίδραση οργάνου-μετρούμενου μεγέθους καθώς και σε υποκειμενικούς παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα των μετρήσεων. Με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του φυσικού μεγέθους με το ίδιο όργανο κάτω από ίδιες συνθήκες, περιορίζουμε την επίδραση των αβεβαιοτήτων που οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες. Εάν Χ το μέγεθος το οποίο μετρήθηκε Ν φορές και Χι το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης, η μέση τιμή του δίδεται από τη σχέση: Ν 1 X = X i (1) Ν i=1 Έτσι, θεωρούμε ότι η "Καλύτερη" τιμή για τη μέτρηση είναι ο μέσος όρος που προέκυψε από το σύνολο των μετρήσεων. Θεωρώντας ότι η διαφοροποίηση στις μετρήσεις οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες, οι μετρήσεις περιγράφονται από μια κανονική κατανομή πιθανοτήτων. Στην κανονική κατανομή η μέση τιμή είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης. Όταν το πλάτος της κατανομής είναι μικρό σε σύγκριση με την μέση τιμή, ο μέσος όρος αντιπροσωπεύει, σχετικά καλά, ένα μεγάλο ποσοστό των μετρήσεων ενώ όταν το πλάτος της κατανομής είναι μεγάλο σε σύγκριση με την μέση τιμή, ο μέσος όρος δεν αντιπροσωπεύει καλά το σύνολο των μετρήσεων. Έτσι, το πλάτος της κατανομής των μετρήσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο της αβεβαιότητας των μετρήσεών μας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 6

7 . Σχήμα 4: Κανονική κατανομή Τυπική απόκλιση Η αβεβαιότητα που προκύπτει από τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους, μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους. Στο εργαστήριο φυσικής χρησιμοποιούμε ως μέτρο της αβεβαιότητας, τη λεγόμενη τυπική αβεβαιότητα της μέσης τιμής που συνδέεται με την τυπική απόκλιση της κανονικής κατανομής και υπολογίζεται από την σχέση: N χ - χ i i=1 σ(χ) = (2) Ν(Ν -1) 2 όπου χ η μέση τιμή, Ν το πλήθος των μετρήσεων και χ το αποτέλεσμα κάθε i μέτρησης. Αναγράφοντας το αποτέλεσμά μας με την μορφή: χ ±σ(χ) ορίζεται ένα διάστημα σ(χ) γύρω από τη μέση τιμή, στο οποίο περιμένουμε να βρούμε ένα μεγάλο μέρος των μετρήσεων του μεγέθους Χ με μια πιθανότητα ~68%. Ή διαφορετικά, σημαίνει ότι η πιθανότητα που έχει μια νέα σειρά μετρήσεων του ιδίου μεγέθους να έχει μέση τιμή μέσα στο εύρος τιμών ± σ(χ) γύρω από τη μέση τιμή είναι 68%. Ένα αποτέλεσμα μέτρησης θεωρείται επιστημονικά αποδεκτό, μόνο εάν αναφέρεται μαζί με το διάστημα αβεβαιότητας που καλύπτει την «πραγματική τιμή» του μετρούμενου μεγέθους με μια δεδομένη πιθανότητα. Για να συγκρίνουμε την στατιστική αβεβαιότητα του αποτελέσματός μας, με την «αποδεκτή» τιμή, χρησιμοποιούμε τη σχετική αβεβαιότητα (γνωστή ως σχετικό σφάλμα) : σ(χ) σ σχ% = *100 (3) χ Μ.Πηλακούτα Σελίδα 7

8 Σημειώνεται ότι αν κάνουμε μόνο μια μέτρηση τότε την αβεβαιότητα την εκτιμούμε με βάση την μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου και την συγκρίνουμε με την τιμή του μεγέθους που μετρήσαμε. Η σχετική αβεβαιότητα είναι πολύ χρήσιμη για την σύγκριση της ποιότητας δύο διαφορετικών μετρήσεων. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήθηκε το πλάτος ενός βιβλίου με μία μετροταινία και βρέθηκε 16.8 cm, αν εκτιμούμε ότι η αβεβαιότητα είναι ± 0.1 cm, το σχετικό σφάλμα είναι σ σχ% = 0.1*100/168=0.6%. Με την ίδια μετροταινία μετρήθηκε το ύψος μιας πόρτας και βρέθηκε cm. Θεωρητικά η αβεβαιότητα της δεύτερης μέτρησης είναι επίσης ± 0.1 cm. Το σχετικό σφάλμα όμως στην περίπτωση αυτή είναι 0.05% που είναι πολύ μικρότερο σε σχέση με την μέτρηση του βιβλίου. Γενικά για δοσμένη αβεβαιότητα, η μέτρηση με την μικρότερη σχετική αβεβαιότητα είναι περισσότερο αξιόπιστη. Παράδειγμα υπολογισμού αβεβαιότητας μέσης τιμής. Στον παρακάτω πίνακα έχουν καταγραφεί 10 τιμές που προέκυψαν κατά τη μέτρηση του πάχους ενός πλακιδίου. Υπολογίστηκε η μέση τιμή, X =8.260 mm, οι αποκλίσεις από την μέση τιμή και τα τετράγωνά τους. Τέλος ο υπολογισμός της αβεβαιότητας της μέσης τιμής (σφάλμα μέσης τιμής) έδωσε αποτέλεσμα: σ(χ) = mm. Πίνακας 1: Τρόπος υπολογισμού της αβεβαιότητας στατιστικού τύπου Παρατηρούμε ότι στη μέση τιμή κρατήθηκε ένα παραπάνω ψηφίο (3 δεκαδικά) σε σχέση με αυτά που προκύπτουν από την άθροιση των μετρήσεών μας. Γενικά όταν χρησιμοποιούμε ένα αποτέλεσμα για συνεχόμενους υπολογισμούς όπως είναι οι αποκλίσεις από την μέση τιμή, κρατάμε ένα ψηφίο παραπάνω και κάνουμε τη στρογγυλοποίηση στο τέλος για να μην αλλοιωθεί το αποτέλεσμά μας από συνεχόμενες στρογγυλοποιήσεις. Επίσης το τελικό αποτέλεσμα της αβεβαιότητας πρέπει να στρογγυλοποιηθεί με βάσει την αξιοπιστία με την οποία έγιναν οι μετρήσεις. Για αριθμό μετρήσεων μικρότερο από 20 μπορούμε να κρατήσουμε στην Μ.Πηλακούτα Σελίδα 8

9 αβεβαιότητα ΜΟΝΟ ΕΝΑ σημαντικό ψηφίο. Επειδή στο εργαστήριο Φυσικής ο αριθμός των μετρήσεων που λαμβάνουμε είναι συνήθως κάτω από 10 (λόγω χρονικών περιορισμών), πάντα στρογγυλοποιούμε την αβεβαιότητα στο πρώτο μη μηδενικό ψηφίο. Ο επιστημονικά σωστός τρόπος παρουσίασης της μέσης τιμής μαζί με την αβεβαιότητά της είναι: όσα δεκαδικά ψηφία έχει η αβεβαιότητα, τόσα να έχει και η μέση τιμή. Έτσι το αποτέλεσμα που προκύπτει από τις 10 επαναλήψεις της μέτρησης του πάχους του πλακιδίου (Πίνακας 1), είναι: χ ± σ(χ) = (8.260 ± 0.004) mm Μετά την στρογγυλοποίηση της αβεβαιότητας στο πρώτο σημαντικό ψηφίο σ(χ)=0.004 mm η αβεβαιότητα έχει τρία δεκαδικά ψηφία, έτσι και η μέση τιμή διατηρεί τα τρία δεκαδικά ψηφία. Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι με πιθανότητα 68% η πραγματική μας τιμή βρίσκεται στο διάστημα από mm έως mm. 3.5 Αβεβαιότητες Τύπου Β Συστηματικές αβεβαιότητες Οι συστηματικές αβεβαιότητες (σε πολλά βιβλία αναφέρονται ως συστηματικά σφάλματα) είναι αβεβαιότητες που μπορούν να εντοπισθούν και να αποφευχθούν ή να διορθωθούν. Οφείλονται συνήθως σε μη ικανοποιητική ή λανθασμένη βαθμονόμηση οργάνων, σε λανθασμένες ενέργειες του πειραματιστή, της μεθόδου ανάλυσης κλπ. Οι συστηματικές αβεβαιότητες δίνουν σταθερά μεγαλύτερες ή σταθερά μικρότερες τιμές από τις «πραγματικές». Εντοπίζονται δε συγκρίνοντας τις τιμές του μεγέθους που μας ενδιαφέρει με τιμές που λαμβάνονται με διαφορετική τεχνική, με άλλο πειραματιστή κλπ. Χαρακτηριστικό παράδειγμα συστηματικής αβεβαιότητας είναι η περίπτωση μιας ζυγαριάς της οποίας η βελόνα πριν τη μέτρηση είναι δεξιότερα ή αριστερότερα του μηδενός (Σχήμα 5). Αυτό είναι ένα σφάλμα που παρουσιάζεται σε πολλά όργανα στρεπτής βελόνας και ονομάζεται μετατόπιση του μηδενός. Στα περισσότερα όργανα υπάρχει τρόπος επαναφοράς της βελόνας στο μηδέν. Εάν δεν διορθώνεται άμεσα τότε πρέπει να υπολογιστεί η διαφορά (σφάλμα μετατόπισης μηδενός) και να προστεθεί ή να αφαιρεθεί από το αποτέλεσμα της μέτρησης. Εάν η βελόνα είναι αρχικά δεξιά του μηδενός, η ζυγαριά θα δείχνει μεγαλύτερη τιμή από την πραγματική, άρα θα πρέπει να εκτιμήσουμε τη μετατόπιση του μηδενός και να το αφαιρούμε από τις μετρήσεις μας. Εάν η βελόνα είναι αρχικά αριστερά του μηδενός, η ζυγαριά θα δείχνει μικρότερη τιμή από την πραγματική, άρα θα πρέπει να υπολογίσουμε τη μετατόπιση μηδενός και να την προσθέτουμε στις μετρήσεις μας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 9

10 Σχήμα 5: Συστηματική αβεβαιότητα - μετατόπιση μηδενός Διάδοση αβεβαιότητας Αβεβαιότητα έμμεσης μέτρησης Οι μετρήσεις που γίνονται στο εργαστήριο συχνά δεν μετρούν άμεσα τη φυσική ποσότητα που μας ενδιαφέρει, αλλά χρησιμοποιούνται για τον έμμεσο υπολογισμό της. Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση ονομάζεται "έμμεση". Για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας στις έμμεσες μετρήσεις, χρησιμοποιούνται οι αβεβαιότητες των άμεσα μετρουμένων ποσοτήτων, όπως εξηγείται στη συνέχεια. Έστω το φυσικό μέγεθος που μας ενδιαφέρει περιγράφεται από μια συνάρτηση f (x,y,w) και τα μετρούμενα μεγέθη είναι τα x, y, w των οποίων οι αβεβαιότητες είναι δx, δy και δw. Η κάθε αβεβαιότητα συνεισφέρει στην συνολική αβεβαιότητα του μεγέθους που υπολογίζεται έμμεσα. Η συνεισφορά της κάθε μιας καθορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις που προκύπτουν από το γινόμενο της μερικής παραγώγου της συνάρτησης ως προς την κάθε μεταβλητή, επί την επιμέρους αβεβαιότητα της μεταβλητής δf X = f δ x x f δfy = δy y f w δf W = δ Η αβεβαιότητα του έμμεσα μετρούμενου μεγέθους δίδεται από την σχέση : w f f f x y w δf = δ x + δ y + δ w (4) Παράδειγμα υπολογισμού αβεβαιότητας έμμεσης μέτρησης. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή μιας ωμικής αντίστασης R(V,I), εφαρμόζοντας στα άκρα της μια τάση V και μετρώντας το ρεύμα Ι που τη διαρρέει. Η τιμή της αντίστασης υπολογίζεται με τον νόμο του ΟΗΜ R=V/I. Έστω ότι η αβεβαιότητα στην μέτρηση της τάσης είναι δv και η αβεβαιότητα στην μέτρηση του ρεύματος είναι δi. Θεωρώντας ότι δεν έχουμε κάποιο συστηματικό σφάλμα στις μετρήσεις μας, η αβεβαιότητα που οφείλεται στην μέτρηση της τάσης (μερική αβεβαιότητα τάσης) προκύπτει από τη σχέση: R δv δrv = δv = (5) V I Μ.Πηλακούτα Σελίδα 10

11 H αβεβαιότητα που οφείλεται στην μέτρηση του ρεύματος (μερική αβεβαιότητα ρεύματος) προκύπτει από τη σχέση: R V δr I = δi = - δi (6) 2 I I Η αβεβαιότητα στην τιμή της ωμικής αντίστασης δίδεται από την σχέση: R R δv V 2 δr = δv + δi = + - δi (7) V I I I και το αποτέλεσμα δίδεται με την μορφή R±δR. Τις περισσότερες φορές η αβεβαιότητα είναι σύνθετη, γιατί μπορεί να οφείλεται σε ένα συνδυασμό από τυχαίους παράγοντες, συστηματικά σφάλματα, αβεβαιότητες κλίμακας οργάνων που δίδονται από τον κατασκευαστή κλπ. Κύρια σημεία περιληπτικά Η ακρίβεια μιας μέτρησης μας λέει πόσο κοντά στην τιμή που θεωρούμε «πραγματική» βρίσκεται η μέτρησή μας. Κάθε μέτρηση φέρει πάντα μια αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα ορίζεται ως η ποσοτική έκφραση της «αμφιβολίας» που υπάρχει σχετικά με το αποτέλεσμα της μέτρησης. Λαμβάνοντας πολλές μετρήσεις του ιδίου μεγέθους για να υπολογίσουμε μέση τιμή, μειώνουμε την αβεβαιότητα τύπου Α. Αλλάζοντας την τεχνική μέτρησης μπορεί να περιοριστεί ή να εκμηδενιστούν αβεβαιότητες τύπου Β. Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης γράφεται πάντα μαζί με την αβεβαιότητα που τη συνοδεύει και τις μονάδες της. χ ± σ(χ) = (8.260 ± 0.004) mm Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι η πραγματική τιμή βρίσκεται στο διάστημα από mm έως mm με πιθανότητα 68%. (Υπενθύμιση: Δεν μπορούμε ποτέ να μάθουμε την πραγματική τιμή του μεγέθους Χ) * Οι σημειώσεις αυτές καλύπτουν μόνο τις πλέον γενικές περιπτώσεις υπολογισμού αβεβαιότητας που θα συναντήσει κάποιος σε ένα εργαστήριο γενικής φυσικής. Αν συναντήσετε κάποια περίπτωση που χρήζει περεταίρω διευκρίνησης, συζητήστε την με τον καθηγητή σας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 11

12 4. Ερωτήσεις 1. Πόσα σημαντικά ψηφία έχουν οι αριθμοί 13600, 0.120, ; 2. Τι διακρίνει ένα «τυχαίο σφάλμα» από ένα συστηματικό σφάλμα; 3. Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου d διαφόρων δοκιμίων έγιναν 10 μετρήσεις σε κάθε δοκίμιο με σκοπό τον υπολογισμό της μέσης τιμής της διαμέτρου, καθώς και της αντίστοιχης αβεβαιότητας σ( ). Να διορθωθούν οι πιο κάτω εκφράσεις του τελικού αποτελέσματος κάθε δοκιμίου ώστε να πάρουν την επιστημονικά αποδεκτή μορφή. ±σ( )= ( ± 0. 43) mm ±σ( )= ( ± 0.004) mm ±σ( )= ( ± 0.99) mm ±σ( )= ( ± 0.043) mm Βιβλιογραφία 1. John R. Taylor, «An Introduction to Error Analysis : The Study of Uncertainties in Physical Measurements», 2nd ed. (Univ. Science Books, 1997) 2. B.N. Taylor and C.E. Kuyatt, «Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results» (NIST Technical Note 1297, 1994) 3. «Σφάλματα Μετρήσεων» από το βιβλίο, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Πειραιά, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 4. «Θεωρία Σφαλμάτων» από το βιβλίο Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Αθήνας, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 5. Young H., University Physics, Addison-Wesley (Εκδόσεις Παπαζήση 1990) _Intro.html Μ.Πηλακούτα Σελίδα 12

13 Φύλλο Εργασίας Μετρήσεις Σφάλματα Αβεβαιότητα 1. Να γράψετε το πλήθος των σημαντικών ψηφίων που έχει κάθε ένας από τους ακόλουθους αριθμούς: Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ Αριθμός ΣΨ 3,26 2,650 8,001 4,20*10 3 3,260 0, ,20*10-3 0,26 0, Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω αριθμοί στα τρία και στη συνέχεια στα δύο σημαντικά ψηφία: Αριθμός 3 ΣΨ 2 ΣΨ Αριθμός 3 ΣΨ 2 ΣΨ 7,6310 3,0026 *10 3 5,215 3,5026 *10 2 4, ,0982 4,953 1,4276 0, Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου d διαφόρων δοκιμίων έγιναν 10 μετρήσεις σε κάθε δοκίμιο και υπολογίστηκε η μέση τιμή της διαμέτρου, καθώς και η αντίστοιχη αβεβαιότητα σ( ). Να γραφούν τα αποτελέσματα με τον επιστημονικά αποδεκτό τρόπο ±σ( )= και σ( )= 0, 44 mm και σ( )= 0, 031 mm και σ( )= 0,0055 mm και σ( )= 1 mm και σ( )= 11,9 mm Μ.Πηλακούτα Σελίδα 13

14 4. Κατά τη μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου ελήφθησαν οι παρακάτω μετρήσεις: α/α x i (cm) x (cm) Δx i = x -x i (cm) (Δx i ) 2 (cm 2 ) 1 14, , , , , , , , , ,24 Να υπολογισθούν: α ) Η μέση τιμή x του μήκους του αντικειμένου. β ) H αβεβαιότητα σ( x ) (ή σφάλμα μέσης τιμής). γ ) Η επί τοις εκατό αβεβαιότητα σ% δ ) Να γραφούν τα αποτελέσματα στις παρακάτω μορφές: x ± σ( x )= x ±σ%= Μ.Πηλακούτα Σελίδα 14

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου Μ7 Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου A. Προσδιορισµός της πυκνότητας στερεού σώµατος B. Εύρεση της εστιακής απόστασης συγκλίνοντα φακού. Σκοπός Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος Χρήση διαστημόμετρου για εύρεση πυκνότητας στερεών σωμάτων γεωμετρικού σχήματος Προκειμένου να υπολογιστεί η πυκνότητα σε στερεά σώματα γεωμετρικού σχήματος πραγματοποιούνται μετρήσεις α) της μάζας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΟΜΑΔΑ:RADIOACTIVITY Τα μέλη της ομάδας μας: Γιώργος Παπαδόγιαννης Γεράσιμος Κουτσοτόλης Νώντας Καμαρίδης Κωνσταντίνος Πούτος Παναγιώτης Ξανθάκος

Διαβάστε περισσότερα

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της εισαγωγικής άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τη χρήση του πολύμετρου για τη μέτρηση βασικών μεγεθών ηλεκτρικού κυκλώματος, όπως μέτρηση της έντασης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η συνειδητή χρήση των κανόνων ασφαλείας στο εργαστήριο. Η εξοικείωση στη χρήση του υποδεκάμετρου και του διαστημόμετρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ 1 ο Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Σχ έτος 2011-2012 Εργαστήριο Φυσικής Υπεύθυνος : χ τζόκας 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ Η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone

ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 7 Γέφυρα Wheatstone Σκοπός της άσκησης αυτής είναι Η κατανόηση της λειτουργίας και του τρόπου μέτρησης μιας αντίστασης με τη χρήση της διάταξης γέφυρας Wheatstone Θεωρητικό Υπόβαθρο Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013

11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 11 η ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 ΤΟΠΙΚΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Σάββατο 8 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΕΚΦΕ ΑΧΑΪΑΣ (ΑΙΓΙΟΥ) (Διάρκεια εξέτασης 60 min) Μαθητές: Σχολική Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματική διάταξη

1. Πειραματική διάταξη 1. Πειραματική διάταξη 1.1 Περιγραφή της διάταξης Η διάταξη του πειράματος αποτελείται από έναν αερόδρομο και ένα ή δύο κινητά τα οποία είναι συζευγμένα μέσω ελατήριου. Η κίνηση των ταλαντωτών καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Αθήνα 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ... 2. ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ... 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να σχεδιάζει κύκλωμα αντιστάσεων σε παράλληλη σύνδεση και να μετράει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Παράρτημα Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Σκοπός του παραρτήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τη χρήση και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών CX-185 II Αριθμομηχανή με εκτυπωτή Εγχειρίδιο Οδηγιών 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΚΟΠΤΩΝ έως Αριθμητικό Πλήκτρο Χρησιμοποιείται για την εισαγωγή αριθμού στην αριθμομηχανή. Πλήκτρο Υποδιαστολής Χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος 7η ΗΜΕΡΙΔΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΑΔΑ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ: 1. 2. 3. 1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος Ο Σκοπός της άσκησης Ο σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ.

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ. -1- ΜΕΤΡΗΣΗ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΑΝΑΓΛΥΦΟΥ. Η γνώση των υψομέτρων διαφόρων σημείων μιας περιοχής είναι πολλές φορές αναγκαία για ένα δασοπόνο. Η χρησιμοποίηση φωτογραμμετρικών μεθόδων με τη βοήθεια αεροφωτογραφιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΛΕΒΑΝΤΗ ΖΑΝΝΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ Α 2 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΣΕΝΑΡΙΟ : Πρόκειται να μετατρέψουμε τα εμπρός ελατήρια μιας μοτοσυκλέτας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Α. Θεωρητικό Μέρος MM205 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Εργαστήριο 1 ο Όργανα μέτρησης ηλεκτρικών μεγεθών Μετρήσεις στο συνεχές ρεύμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Εργαστήριο Φυσικής IΙ. Μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού στοιχείου με χρήση υπολογιστή. 1. Σκοπός. 2. Σύντομο θεωρητικό μέρος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Εργαστήριο Φυσικής IΙ. Μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού στοιχείου με χρήση υπολογιστή. 1. Σκοπός. 2. Σύντομο θεωρητικό μέρος ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Σκοπός Το φωτοβολταϊκό στοιχείο είναι μία διάταξη ημιαγωγών η οποία μετατρέπει την φωτεινή ενέργεια που προσπίπτει σε αυτήν σε ηλεκτρική.. Όταν αυτή φωτιστεί με φωτόνια κατάλληλης συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑ 1 ο (βαθµοί 2) Σώµα µε µάζα m=5,00 kg είναι προσαρµοσµένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου και ταλαντώνεται εκτελώντας πέντε (5) πλήρης ταλαντώσεις σε χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

gr/ Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός

gr/ Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός 1. ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ Όργανα µέτρησης µήκους Όταν πρόκειται να µετρήσουµε ένα µήκος, πρέπει να επιλέξουµε εκείνο το όργανο µέτρησης το οποίο είναι κατάλληλο για να µετρήσει το µήκος αυτό και να δώσει την απαιτούµενη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

4. Παρατηρείστε το ίχνος ενός ηλεκτρονίου (click here to select an electron

4. Παρατηρείστε το ίχνος ενός ηλεκτρονίου (click here to select an electron Τα ηλεκτρόνια στα Μέταλλα Α. Χωρίς ηλεκτρικό πεδίο: 1. Τι είδους κίνηση κάνουν τα ηλεκτρόνια; Τα ηλεκτρόνια συγκρούονται μεταξύ τους; 2. Πόσα ηλεκτρόνια περνάνε προς τα δεξιά και πόσα προς τας αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-13 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΦΥΤΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Page1 ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια ( * ) + επιπλέον πληροφορίες, ιδέες και προτάσεις προαιρετικών πειραματικών δραστηριοτήτων, ερωτήσεις... Ένας σημαντικός χρόνος περιορισμένης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 2 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Λευκωσία, 2010

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 περιόδους

ΘΕΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 περιόδους ΘΕΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 περιόδους 11/10/2011 08:28 καθ. Τεχνολογίας Τι είναι Ηλεκτρισμός Ηλεκτρισμός είναι η κατευθυνόμενη κίνηση των ηλεκτρονίων μέσα σ ένα σώμα το οποίο χαρακτηρίζεται σαν αγωγός

Διαβάστε περισσότερα

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ (040) 670854-1 Fax (040) 670854-41

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ (040) 670854-1 Fax (040) 670854-41 Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Εγχειρίδιο Οδηγιών HM 135 Συσκευή Μέτρησης της Οπισθέλκουσας Δύναμης σε Σφαίρες G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012 1 Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός 11η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών EUSO 2013 11Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 ΕΚΦΕ Τρικάλων Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός Τρίκαλα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα ( * ) + επιπλέον πληροφορίες, ιδέες και προτάσεις προαιρετικών πειραματικών δραστηριοτήτων, ερωτήσεις... Στην αρχαιότητα πίστευαν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ E. Λαμπή, Χ. Αλεξόπουλος, Η. Κακουλίδης ΓΕΝΙΚΟ ΧΗΜΕΊΟ ΤΟΥ ΚΡΆΤΟΥΣ Ε X.Y. ΑΘΗΝΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιδιώκεται οι μαθητές: 1. Να συζητούν και να προβληματίζονται για τα μετρήσιμα και τα μη μετρήσιμα μεγέθη. 2. Να πειραματιστούν και να καταλήξουν σε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω

Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο έλεγχος ύπαρξης συντηρητικών και μη συντηρητικών δυνάμεων σε μια δεδομένη διαδρομή σώματος. Το θεωρητικό μέρος έχει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Όπως θα δούμε και παρακάτω το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων, δηλαδή «κόβουν» κάποιες ανεπιθύμητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή ή Άσκηση η 3

Εργαστηριακή ή Άσκηση η 3 Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:09101187 Υπεύθυνος Άσκησης: Μ. Κόκκορης Συνεργάτης: Κώστας Καραϊσκος Ημερομηνία Διεξαγωγής: 9/11/005 Εργαστήριο Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών ν Σωματιδίων Εργαστηριακή

Διαβάστε περισσότερα