2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)
|
|
- Βλάσιος Αρβανίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) 31 Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 311 ίνεται ο πίνακας A = α) Να ϐρεθεί ο A 1 µε τη µέθοδο απαλοιφής (i) Gauss µε µερική οδήγηση (ii) Jordan µε µερική οδήγηση ϐ) Να υπολογιστεί ο αριθµός συνθήκης κ(a) = A A ίνεται το ακόλουθο τριδιαγώνιο n n γραµµικό σύστηµα d 1 f 1 e 2 d 2 f 2 0 e k d k f k e k+1 d k+1 f k+1 e k+2 d k+2 f k+2 0 e n 1 d n 1 f n 1 e n d n x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = g 1 g 2 g k g k+1 g k+2 g n 1 g n (Σ1) α) Αν n = 2k, k δεδοµένος ϑετικός ακέραιος αριθµός 2, να ϐρεθούν οι τύποι για τον υπολογισµό των l i, r i και s i (συναρτήσει των e i, d i, f i και g i ) για το µετασχηµατισµό του συστήµατος (1) στο ακόλουθο ισοδύναµο : 1 r r r k l k l k l n l n 1 x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = s 1 s 2 s k s k+1 s k+2 s n 1 s n ϐ) Να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την υλοποίηση του ανωτέρω µετασχηµατισµού (Σ1) = (Σ2) (Σ2)
2 32 Επαναληπτικές µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 321 ίνεται το γραµµικό σύστηµα : 4 k 0 k 2 k 0 k 4 x 1 x 2 x 3 = 4 0 4, k R α) Να δοθούν οι εξισώσεις υπό µορφή συντεταγµένων των επαναληπτικών µεθόδων (i) Jacobi(J) και (ii) Gauss-Seidel (GS) για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος ϐ) Να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη (διάστηµα τιµών του k) έτσι ώστε η εµ GS να συγκλίνει γ) Για k = 1 και x (0) = ( 4, 0, 4) T να υπολογιστεί η προσεγγιστική τιµή x (2) της λύσης του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος µε την εµ (i) J και (ii) GS 322 Να ϐρεθούν οι τύποι για την αριθµητική επίλυση του γραµµικού συστήµατος (Σ2) στο 312α µε την επαναληπτική µέθοδο SOR και στην συνέχεια να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την επίλυσή του, λαµβάνοντας υπόψη την ειδική δοµή του πίνακα 33 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε τη µέθοδο των δυνάµεων ίνεται ο πίνακας A = Εφαρµόστε δύο ϐήµατα του αλγορίθµου της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος του πίνακα A Λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ = 00001
3 ΑΣΚΗΣΗ 4 (Υλοποίηση Αλγορίθµων - Αποτελέσµατα) Προσοχή: Η ένδειξη * πριν από κάποιο ερώτηµα σηµαίνει ότι το αντίστοιχο ερώτηµα είναι προαιρετικό Τα προαιρετικά ερωτήµατα ϑα ληφθούν υπόψη ϑετικά στην τελική ϐαθµολογία, χωρίς αυτό να σηµαίνει κάποια µείωση για όσους δεν απαντήσουν σε αυτά 41 Επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος και υπολογισµός του αντιστρόφου ενός πίνακα ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b, A = (a ij ) R n,n, x = (x i ), b = (b i ) R n, όπου ο A είναι µεγάλος και πυκνός πίνακας 411 Να υλοποιήσετε σε γλώσσα C (ή C++) τον αλγόριθµο της µεθόδου Jordan µε µερική οδήγηση για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος και να εκτιµηθεί το σχετικό σφάλµα της λύσης x µε τον υπολογισµό των ποσοτήτων α) δx x, όπου δx = x ˆx το απόλυτο σφάλµα * ϐ) δr x, όπου δr = b Aˆx το υπόλοιπο και ˆx : η υπολογιζόµενη λύση από την εφαρµογή του αλγορίθµου Υπόδειξη : Για πειραµατικούς λόγους συνήθως δίνεται το διάνυσµα x (ως προκαθοριζόµενη λύση) και στη συνέχεια υπολογίζεται το b = A x (Για παράδειγµα, αν x = (1, 1,, 1) T, τότε n b i = (A x) i = a ij, i = 1, 2,, n) j=1 412 Με κατάλληλη τροποποίηση του προγράµµατος που χρησιµοποιήσατε στο 411 α) να υπολογίσετε τον αντίστροφο A 1 του πίνακα A * ϐ) να υπολογίσετε τον αριθµό συνθήκης: κ(a) = A A 1 Τα προγραµµατά σας σε όλες τις ανωτέρω περιπτώσεις πρέπει να δίνουν στο χρήστη τις ακόλουθες δυνατότητες επιλογής : (i) να εισάγει τα απαραίτητα δεδοµένα (ii) να δηµιουργεί ένα συγκεκριµένο γραµµικό σύστηµα (µε τη ϐοήθεια τύπων) *(iii) να δηµιουργεί ένα τυχαίο γραµµικό σύστηµα (µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rand για τη δηµιουργία τυχαίων αριθµών) 413 Στη συνέχεια να κάνετε κατάλληλη πινακοποίηση των αποτελεσµάτων σας (ϐλ παρακάτω πίνακα 41) Συµπεράσµατα Αιτιολογήσεις
4 Εφαρµογές Εφαρµογή 1 : n = 4, A = Για την πειραµατική επαλήθευση στο 411 ϑεωρήστε ότι η λύση του γρ συστήµατος είναι η x = (1, 2, 2, 1) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου Εφαρµογή 2 : n = 8, A = Για την πειραµατική επαλήθευση στο 411 ϑεωρήστε ότι η λύση του γρ συστήµατος είναι η x = ( 1, 1, 1, 1 1, 1 1, 1) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου 1 Εφαρµογή 3 : n = 10, A = (a ij ) = i + j 1, i, j = 1, 2,, n όπου προκαθορίζετε εκ των προτέρων τη λύση (παρόµοια µε την εφαρµογή 2) Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου Αποτελέσµατα Πίνακας 41 Επίλυση του Ax = b και υπολογισµός του A 1 (µέθοδος Jordan) Σχ Σφάλµα *Σχ Υπόλοιπο *Αριθµός Εφαρµογή Συνθήκης δx δr x x κ(a) 1 * * 2 * * 3 * *
5 42 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε την αντίστροφο µέθοδο των δυνάµεων (µε µετατόπιση q) ίνεται ο πίνακας A R n,n, ο οποίος έχει τις πραγµατικές ιδιοτιµές λ i, i = 1(1)n (µε λ 1 > λ 2 > λ 3 > > λ n ) και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα x (i), i = 1(1)n Να υλοποιήσετε σε γλώσσα C (ή C++) τον αλγόριθµο της αντιστρόφου µεθόδου των δυνάµεων (µε µετατόπιση q, όπου q λ i ) για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης και της ελάχιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και των αντιστοίχων ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα A Υπόδειξη : Για ανωτέρω υλοποίηση χρησιµοποιήσατε τον αλγόριθµο της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων αντκαθιστώντας στον ϱόλο του πίνακα A τον πίνακα (A qi) 1 Για την εύρεση του αντιστρόφου πίνακα (A qi) 1 να χρησιµοποιήσετε τον αλγόριθµο της µεθόδου Jordan που υλοποιήσατε στο 412 Ως δεδοµένα ϑα δίνονται το αρχικό διάνυσµα, η επιθυµητή ακρίβεια ɛ, η τιµή του q και ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός επαναλήψεων maxiter Στη συνέχεια να κάνετε κατάλληλη πινακοποίηση των αποτελεσµάτων σας (ϐλ παρακάτω πίνακες 421α, 421β, 422α, 422β) Συµπεράσµατα Αιτιολογήσεις Εφαρµογές - Αποτελέσµατα Εφαρµογή 421 : n = 3, A = Ιδιοτιµές : λ 1 = 6, λ 2 = 4, λ 3 = 1 Ιδιοδιανύσµατα : x (1) = [1, 1, 1] T, x 2 = [0, 1, 1] T, x 3 = [1, 0, 1] T Λάβετε q = 55, 56, 57, 58 για την προσέγγιση των (λ 1, x (1) ) και q = 15, 14, 13, 12 για την προσέγγιση των (λ 3, x (3) ) Πίνακας 421α Υπολογισµός των (λ 1, x (1) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Μέγιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 1 x (1) Πίνακας 421β Υπολογισµός των (λ 3, x (3) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Ελάχιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 3 x (3)
6 Εφαρµογή 422 : n = 4, A = , q = 3, 10, 15 Ιδιοτιµές : λ 1 = , λ 2 = , λ 3 = 41085, λ 4 = Ιδιοδιανύσµατα : x 1 = [ 09962, 00712, 00486, 00137] T, x 2 = [02809, 09512, 00998, 00793] T, x 3 = [ 00383, 01119, 09599, 02543] T, x 4 = [ 01032, 00038, 01482, 09835] T Λάβετε q = 147, 148, 149, 15 για την προσέγγιση των (λ 1, x (1) ) και q = 38, 37, 36, 35 για την προσέγγιση των (λ 4, x (4) ) Πίνακας 422α Υπολογισµός των (λ 1, x (1) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Μέγιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 1 x (1) Πίνακας 422β Υπολογισµός των (λ 4, x (3) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Ελάχιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 4 x (4) Στις ανωτέρω εφαρµογές λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ =
7 Οδηγίες για την παράδοση της 2ης Οµάδας Ασκήσεων Σηµείωση : Ολες οι υλοποιήσεις των ασκήσεων να γίνουν σε C ( ή C++ ) Υπόδειξη : Για λόγους εξοικονόµησης χρόνου και ανάπτυξης πνεύµατος εποικοδοµητικής συνεργασίας η εργασία συνιστάται να γίνει από δύο άτοµα (αποκλείεται η συνεργασία περισσοτέρων των δύο ατόµων) Οι οµάδες αυτές ϑα παραµείνουν οι ίδιες όπως και στην 1η Οµάδα Ασκήσεων Προσοχή: Η ένδειξη * πριν από κάποιο ερώτηµα σηµαίνει ότι το αντίστοιχο ερώτηµα είναι προαιρετικό Τα προαιρετικά ερωτήµατα ϑα ληφθούν υπόψη ϑετικά στην τελική ϐαθµολογία, χωρίς αυτό να σηµαίνει κάποια µείωση για όσους δεν απαντήσουν σε αυτά Καταληκτικές ηµεροµηνίες : Η 2η Οµάδα Ασκήσεων ϑα παραδοθεί ως εξής : Η ΑΣΚΗΣΗ 3 ϑα παραδοθεί σε ϕάκελο (1 ϕάκελος ανά οµάδα) στον οποίο ϑα αναγράφετε εξωτερικά ( ΑΜ και Ονοµατεπώνυµα ) και ϑα περιέχει συµπληρωµένο το Φύλλο ερωτήσεων και απαντήσεων Χρησιµοποιήστε ένα αντίγραφο από το έντυπο (ϐλ όπως διευκολύνεστε (χειρόγραφα ή ηλεκτρονικά) παρακάτω) και συµπληρώστε τις απαντήσεις σας Η υποβολή ϑα γίνει στο γραφείο της Γραµµατείας του Α Τοµέα (κ Γ Κουνιάς) την Τετάρτη και ώρα 12-4 Η ΑΣΚΗΣΗ 4 ϑα υποβληθεί ηλεκτρονικά (µε ) στην ηλεκτρονική διεύθυνση : ARANALYSH@diuoagr από Τετάρτη µέχρι και τη Παρασκευή και ώρα 20:00 Η ΑΣΚΗΣΗ 4 ϑα πρέπει να περιλαµβάνει : 1 τα αρχεία µε όνοµα ask4_method_i (c ή cpp) που το καθένα ϑα περιέχει µόνο τον πηγαίο (source) κώδικα για την αντίστοιχη µέθοδο [όπου method το όνοµα της µεθόδου (δηλ J ή J_INV ή INV_POW ) και i η ένδειξη του ερωτήµατος (δηλ 411 ή 412 ή 42)] και 2 ένα µόνο αρχείο κειµένου µε όνοµα ask4_apotel (doc σε word ) για την περιγραφή των αλγορίθµων, την παρουσίαση των αποτελεσµάτων και συµπερασµάτων σας Στο µήνυµά σας(e_mail) το ϑέµα (subject) ϑα είναι µόνο : τα ονοµατεπώνυµα, οι ΑΜ της οµάδας (πχ Παναγιώτου Γ , Πέτρου Φ ) Επίσης στο µήνυµά σας(e_mail) πρέπει να επισυνάψετε ΜΟΝΟ ένα Φάκελο (συµπιεσµένο µε winzip) µε όνοµα ASK4_xxxxxxxzip, όπου xxxxxxx τα τελευταία ψηφία του ΑΜ του ενός από τα µέλη της οµάδας Μέσα στον ϕάκελο αυτό να περιέχονται τα αρχεία µε τον πηγαίο(source) κώδικα (και όχι εκτελέσιµα αρχεία) και το αρχείο κειµένου µε την ανάλυση Προσοχή: Είναι απαραίτητο στην αρχή του κάθε αρχείου (κώδικα και κειµένου) να αναγράφετε τα ονοµατεπώνυµα και τους ΑΜ της οµάδας σας
8 Οροι αποδοχής της 2ης Οµάδας Ασκήσεων Για να γίνει αποδεκτή για αξιολόγηση η εργασία σας ϑα πρέπει να περιλαµβάνει τα ακόλουθα, διαφορετικά ϑα απορρίπτεται ως µη αποδεκτή : Η καθεµία από τις Ασκήσεις 3 και 4 να παραδοθεί εµπρόθεσµα σύµφωνα µε τις προαναφερόµενες καταληκτικές ηµεροµηνίες Σε κάθε συνηµµένο αρχείο να γράφετε τα ονόµατα της οµάδας (σαν σχόλιο στον κώδικα) Το αρχείο κειµένου (στην Άσκηση 4) εκτός από τα ονόµατα της οµάδας ϑα περιέχει τα ακόλουθα : (i) Εκφώνηση άσκησης (έτοιµο αντίγραφο της εκφώνησης) (ii) Ανάλυση Σχεδιασµός : Στην ενότητα αυτή ϑα περιγράψετε σύντοµα τη µέθοδο λύσης του προ- ϐλήµατος (iii) Αλγόριθµος: Με ϐάση την ανάλυση-σχεδιασµό στο (ii) ϑα δώσετε τον αλγόριθµο της µεθόδου επίλυσης του προβλήµατός σας (iv) Υλοποίηση: Παρουσίαση του κώδικα (v) Αποτελέσµατα : Στην ενότητα αυτή ϑα παρουσιάσετε τα αποτελέσµατα (και τα δεδοµένα) για τρία τουλάχιστον τρεξίµατα του προγράµµατός σας µε διαφορετικά δεδοµένα το καθένα (vi) Σχολιασµός: Σχολιασµός των αποτελεσµάτων µε ϐάση τη ϑεωρία ΠΡΟΣΟΧΗ 1 Σε περίπτωση αντιγραφής ή όµοιου κώδικα συνεπάγεται µηδενική ϐαθµολογία 2 Η κάθε άσκηση ϑα πρέπει να λύνεται µε ϐάση τη ϑεωρία που έχετε διδαχθεί 3 Επίσης, ϑα λαµβάνεται κυρίως υπόψη η αποτελεσµατικότητα της µεθόδου που χρησιµοποιείται µε ϐάση την ύλη που έχετε διδαχθεί 4 Μετά την λήξη της καταληκτικής ηµεροµηνίας παράδοσης καµία από τις ασκήσεις δεν ϑα γίνεται δεκτή 5 Η αποστολή µηνύµατος σε άλλη διεύθυνση, εκτός αυτής που προαναφέρεται, ϑα καταστήσει το µήνυµα απορριπτέο χωρίς την ενηµέρωσή σας 6 Λόγω της ηλεκτρονικής αποστολής της Άσκησης 4 δεν ϑα γίνεται καµία δικαιολογία αποδεκτή για την µη αποστολή της εντός της προθεσµίας 7 Ο κώδικάς σας ϑα πρέπει να τρέχει στον µεταγλωττιστή της C ( ή C++) του εργαστηρίου των PC,s 8 Θα πρέπει να επισκέπτεστε συχνά την ιστοσελίδα (στο e-class) του µαθήµατος και να ενηµερώνεστε µε το σχετικό υλικό (Σηµειώσεις, ιαφάνειες, Φροντιστηριακές Ασκήσεις, Ασκήσεις, Βαθµολογίες)
9 Φύλλο ερωτήσεων και απαντήσεων ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΑΜ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 311 ίνεται ο πίνακας A = α) Να ϐρεθεί ο A 1 µε τη µέθοδο απαλοιφής (i) Gauss µε µερική οδήγηση (ii) Jordan µε µερική οδήγηση ϐ) Να υπολογιστεί ο αριθµός συνθήκης κ(a) = A A 1
10 312 ίνεται το ακόλουθο τριδιαγώνιο n n γραµµικό σύστηµα d 1 f 1 e 2 d 2 f 2 0 e k d k f k e k+1 d k+1 f k+1 e k+2 d k+2 f k+2 0 e n 1 d n 1 f n 1 e n d n x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = g 1 g 2 g k g k+1 g k+2 g n 1 g n (Σ1) α) Αν n = 2k, k δεδοµένος ϑετικός ακέραιος αριθµός 2, να ϐρεθούν οι τύποι για τον υπολογισµό των l i, r i και s i (συναρτήσει των e i, d i, f i και g i ) για το µετασχηµατισµό του συστήµατος (1) στο ακόλουθο ισοδύναµο : 1 r r r k l k l k l n l n 1 x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = s 1 s 2 s k s k+1 s k+2 s n 1 s n (Σ2)
11 ϐ) Να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την υλοποίηση του ανωτέρω µετασχηµατισµού (Σ1) = (Σ2)
12 32 Επαναληπτικές µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 321 ίνεται το γραµµικό σύστηµα : 4 k 0 k 2 k 0 k 4 x 1 x 2 x 3 = 4 0 4, k R α) Να δοθούν οι εξισώσεις υπό µορφή συντεταγµένων των επαναληπτικών µεθόδων (i) Jacobi(J) και (ii) Gauss-Seidel (GS) για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος ϐ) Να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη (διάστηµα τιµών του k) έτσι ώστε η εµ GS να συγκλίνει γ) Για k = 1 και x (0) = ( 4, 0, 4) T να υπολογιστεί η προσεγγιστική τιµή x (2) της λύσης του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος µε την εµ (i) J και (ii) GS
13 322 Να ϐρεθούν οι τύποι για την αριθµητική επίλυση του γραµµικού συστήµατος (Σ2) στο 312α µε την επαναληπτική µέθοδο SOR και στην συνέχεια να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την επίλυσή του, λαµβάνοντας υπόψη την ειδική δοµή του πίνακα
14 33 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε τη µέθοδο των δυνάµεων ίνεται ο πίνακας A = Εφαρµόστε δύο ϐήµατα του αλγορίθµου της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος του πίνακα A Λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ = 00001
1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13/3/8 1η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) 1.1 Σε ένα σύστηµα
Διαβάστε περισσότερα1 η ΑΣΚΗΣΗ. 1. Θεωρία (Κεφ. 1, 2) ξ = 2 της εξίσωσης fx ( ) = 0 για x
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 0/3/009 η ΑΣΚΗΣΗ. Θεωρία (Κεφ., ). α) Σε πόσα σηµαντικά ψηφία
Διαβάστε περισσότερα1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση
Διαβάστε περισσότεραµέχρι και την Τρίτη 24.3.2015 και ώρα 22:30 1η Ασκηση ΑΜΕΣΟΙ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΗΜΕΡ/ΝΙΑ 9.3.205 Καταληκτική Ηµερ/νία υποβολής µέχρι
Διαβάστε περισσότερα3η ΕΡΓΑΣΙΑ. 3.1 Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός(ΧΗΜΙΚΟ) Καταληκτική ηµεροµηνία υποβολής
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ
ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 27 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα,
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλη Επεξεργασία Εργαστηριακή Ασκηση Εαρινού Εξαµήνου 2008
Παράλληλη Επεξεργασία Εργαστηριακή Ασκηση Εαρινού Εξαµήνου 2008 Αντικείµενο της εργαστηριακής άσκησης για το 2008 αποτελεί το πρόβληµα της εύρεσης της κατανοµής ϑερµότητας ενός αντικειµένου σε σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 15 Οκτωβρίου 2006
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην πληροφορική
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στην πληροφορική Βασίλειος Βεσκούκης ρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Ρωµύλος Κορακίτης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 4 1 / 48
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση
Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραβ) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΕργασία στην Αριθµητική Ανάλυση
Εργασία στην Αριθµητική Ανάλυση Κάντε πέντε (τουλάχιστον) από τις παρακάτω ασκήσεις. Ο βαθµός σας σ αυτές θ αποτελέσει το 0% του τελικού βαθµού σας στο µάθηµα. Όλες οι ασκήσεις (και τα µέρη τους) είναι
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη
Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 9 ο Εργαστήριο Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη 2018 Απαλοιφή Gauss Με Μερική Οδήγηση Για την εύρεση του οδηγού στοιχείου στο k ο βήμα, αναζητούμε το μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΕΠΠ ΤΡΙΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7)
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΕΠΠ ΤΡΙΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική Αλγεβρα
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Μαρτίου 019 ιδάσκων: Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα 7 Μαρτίου 019 1 / 99 Επαναληπτικές Μέθοδοι για
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΧ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος
Ενότητα 1 - Εισαγωγή Ευστράτιος Γαλλόπουλος c Ε. Γαλλόπουλος 201-2015 Ασκηση 1 Τι ονοµάζουµε υπολογιστικούς πυρήνες ; πυρήνων. Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων Απάντηση ιαδικασίες (που µπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.
Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ 2005
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τα κριτήρια που πρέπει απαραίτητα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος
Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου
Ονοµατεπώνυµο: Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου Α.Μ.: Έτος: ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ο Θέµα ( µονάδα) i) ίνεται το διάνυσµα A µε N 8 στοιχεία. Να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότερα1. Δεν μπορεί να γίνει κλήση μίας διαδικασίας μέσα από μία συνάρτηση.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΕΠΠ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό για καθεμία από τις παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 Μονάδες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις βασικές
Διαβάστε περισσότερα1. Ουρά α. Απώθηση 2. Στοίβα β. Εξαγωγή γ. Ώθηση δ. Εισαγωγή
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότερα1. Ουρά α. Απώθηση 2. Στοίβα β. Εξαγωγή γ. Ώθηση δ. Εισαγωγή
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι εύτερη εργαστηριακή άσκηση
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι εύτερη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 29/12/2010 26 Νοεµβρίου 2010 Με fl (x) συµβολίζεται (όπως και στις σηµειώσεις του µαθήµατος) η αναπαράσταση σε αριθµητική
Διαβάστε περισσότερα8. Λεξιλόγιο μιας γλώσσας είναι όλες οι ακολουθίες που δημιουργούνται από τα στοιχεία του αλφαβήτου της γλώσσας, τις λέξεις.
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1-6 ΟΝΟΜΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΒΑΘΜΟΣ: ΘΕΜΑ 1ο Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τη λέξη Σωστό,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
Θέμα Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Πάτρα 3/5/2017 Ονοματεπώνυμο:.. Α1. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-6 και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα1. Ουρά α. Απώθηση 2. Στοίβα β. Εξαγωγή γ. Ώθηση δ. Εισαγωγή
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΜΑΪΟΥ 2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Να αναφέρετε τα κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί κάθε αλγόριθµος.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Διαβάστε περισσότεραα. Προσπέλαση β. Αντιγραφή γ. ιαγραφή δ. Αναζήτηση ε. Εισαγωγή στ. Ταξινόµηση
ΘΕΜΑ 1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η
Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΜΑΪΟΥ 2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα3 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΠΙΝΑΚΕΣ
Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 23 ΝΟΕ 2016
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :
Διαβάστε περισσότερα