2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) 31 Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 311 ίνεται ο πίνακας A = α) Να ϐρεθεί ο A 1 µε τη µέθοδο απαλοιφής (i) Gauss µε µερική οδήγηση (ii) Jordan µε µερική οδήγηση ϐ) Να υπολογιστεί ο αριθµός συνθήκης κ(a) = A A ίνεται το ακόλουθο τριδιαγώνιο n n γραµµικό σύστηµα d 1 f 1 e 2 d 2 f 2 0 e k d k f k e k+1 d k+1 f k+1 e k+2 d k+2 f k+2 0 e n 1 d n 1 f n 1 e n d n x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = g 1 g 2 g k g k+1 g k+2 g n 1 g n (Σ1) α) Αν n = 2k, k δεδοµένος ϑετικός ακέραιος αριθµός 2, να ϐρεθούν οι τύποι για τον υπολογισµό των l i, r i και s i (συναρτήσει των e i, d i, f i και g i ) για το µετασχηµατισµό του συστήµατος (1) στο ακόλουθο ισοδύναµο : 1 r r r k l k l k l n l n 1 x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = s 1 s 2 s k s k+1 s k+2 s n 1 s n ϐ) Να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την υλοποίηση του ανωτέρω µετασχηµατισµού (Σ1) = (Σ2) (Σ2)

2 32 Επαναληπτικές µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 321 ίνεται το γραµµικό σύστηµα : 4 k 0 k 2 k 0 k 4 x 1 x 2 x 3 = 4 0 4, k R α) Να δοθούν οι εξισώσεις υπό µορφή συντεταγµένων των επαναληπτικών µεθόδων (i) Jacobi(J) και (ii) Gauss-Seidel (GS) για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος ϐ) Να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη (διάστηµα τιµών του k) έτσι ώστε η εµ GS να συγκλίνει γ) Για k = 1 και x (0) = ( 4, 0, 4) T να υπολογιστεί η προσεγγιστική τιµή x (2) της λύσης του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος µε την εµ (i) J και (ii) GS 322 Να ϐρεθούν οι τύποι για την αριθµητική επίλυση του γραµµικού συστήµατος (Σ2) στο 312α µε την επαναληπτική µέθοδο SOR και στην συνέχεια να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την επίλυσή του, λαµβάνοντας υπόψη την ειδική δοµή του πίνακα 33 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε τη µέθοδο των δυνάµεων ίνεται ο πίνακας A = Εφαρµόστε δύο ϐήµατα του αλγορίθµου της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος του πίνακα A Λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ = 00001

3 ΑΣΚΗΣΗ 4 (Υλοποίηση Αλγορίθµων - Αποτελέσµατα) Προσοχή: Η ένδειξη * πριν από κάποιο ερώτηµα σηµαίνει ότι το αντίστοιχο ερώτηµα είναι προαιρετικό Τα προαιρετικά ερωτήµατα ϑα ληφθούν υπόψη ϑετικά στην τελική ϐαθµολογία, χωρίς αυτό να σηµαίνει κάποια µείωση για όσους δεν απαντήσουν σε αυτά 41 Επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος και υπολογισµός του αντιστρόφου ενός πίνακα ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b, A = (a ij ) R n,n, x = (x i ), b = (b i ) R n, όπου ο A είναι µεγάλος και πυκνός πίνακας 411 Να υλοποιήσετε σε γλώσσα C (ή C++) τον αλγόριθµο της µεθόδου Jordan µε µερική οδήγηση για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος και να εκτιµηθεί το σχετικό σφάλµα της λύσης x µε τον υπολογισµό των ποσοτήτων α) δx x, όπου δx = x ˆx το απόλυτο σφάλµα * ϐ) δr x, όπου δr = b Aˆx το υπόλοιπο και ˆx : η υπολογιζόµενη λύση από την εφαρµογή του αλγορίθµου Υπόδειξη : Για πειραµατικούς λόγους συνήθως δίνεται το διάνυσµα x (ως προκαθοριζόµενη λύση) και στη συνέχεια υπολογίζεται το b = A x (Για παράδειγµα, αν x = (1, 1,, 1) T, τότε n b i = (A x) i = a ij, i = 1, 2,, n) j=1 412 Με κατάλληλη τροποποίηση του προγράµµατος που χρησιµοποιήσατε στο 411 α) να υπολογίσετε τον αντίστροφο A 1 του πίνακα A * ϐ) να υπολογίσετε τον αριθµό συνθήκης: κ(a) = A A 1 Τα προγραµµατά σας σε όλες τις ανωτέρω περιπτώσεις πρέπει να δίνουν στο χρήστη τις ακόλουθες δυνατότητες επιλογής : (i) να εισάγει τα απαραίτητα δεδοµένα (ii) να δηµιουργεί ένα συγκεκριµένο γραµµικό σύστηµα (µε τη ϐοήθεια τύπων) *(iii) να δηµιουργεί ένα τυχαίο γραµµικό σύστηµα (µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rand για τη δηµιουργία τυχαίων αριθµών) 413 Στη συνέχεια να κάνετε κατάλληλη πινακοποίηση των αποτελεσµάτων σας (ϐλ παρακάτω πίνακα 41) Συµπεράσµατα Αιτιολογήσεις

4 Εφαρµογές Εφαρµογή 1 : n = 4, A = Για την πειραµατική επαλήθευση στο 411 ϑεωρήστε ότι η λύση του γρ συστήµατος είναι η x = (1, 2, 2, 1) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου Εφαρµογή 2 : n = 8, A = Για την πειραµατική επαλήθευση στο 411 ϑεωρήστε ότι η λύση του γρ συστήµατος είναι η x = ( 1, 1, 1, 1 1, 1 1, 1) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου 1 Εφαρµογή 3 : n = 10, A = (a ij ) = i + j 1, i, j = 1, 2,, n όπου προκαθορίζετε εκ των προτέρων τη λύση (παρόµοια µε την εφαρµογή 2) Στη συνέχεια εφαρµόστε το 412 για τον υπολογισµό του αντιστρόφου Αποτελέσµατα Πίνακας 41 Επίλυση του Ax = b και υπολογισµός του A 1 (µέθοδος Jordan) Σχ Σφάλµα *Σχ Υπόλοιπο *Αριθµός Εφαρµογή Συνθήκης δx δr x x κ(a) 1 * * 2 * * 3 * *

5 42 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε την αντίστροφο µέθοδο των δυνάµεων (µε µετατόπιση q) ίνεται ο πίνακας A R n,n, ο οποίος έχει τις πραγµατικές ιδιοτιµές λ i, i = 1(1)n (µε λ 1 > λ 2 > λ 3 > > λ n ) και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα x (i), i = 1(1)n Να υλοποιήσετε σε γλώσσα C (ή C++) τον αλγόριθµο της αντιστρόφου µεθόδου των δυνάµεων (µε µετατόπιση q, όπου q λ i ) για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης και της ελάχιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και των αντιστοίχων ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα A Υπόδειξη : Για ανωτέρω υλοποίηση χρησιµοποιήσατε τον αλγόριθµο της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων αντκαθιστώντας στον ϱόλο του πίνακα A τον πίνακα (A qi) 1 Για την εύρεση του αντιστρόφου πίνακα (A qi) 1 να χρησιµοποιήσετε τον αλγόριθµο της µεθόδου Jordan που υλοποιήσατε στο 412 Ως δεδοµένα ϑα δίνονται το αρχικό διάνυσµα, η επιθυµητή ακρίβεια ɛ, η τιµή του q και ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός επαναλήψεων maxiter Στη συνέχεια να κάνετε κατάλληλη πινακοποίηση των αποτελεσµάτων σας (ϐλ παρακάτω πίνακες 421α, 421β, 422α, 422β) Συµπεράσµατα Αιτιολογήσεις Εφαρµογές - Αποτελέσµατα Εφαρµογή 421 : n = 3, A = Ιδιοτιµές : λ 1 = 6, λ 2 = 4, λ 3 = 1 Ιδιοδιανύσµατα : x (1) = [1, 1, 1] T, x 2 = [0, 1, 1] T, x 3 = [1, 0, 1] T Λάβετε q = 55, 56, 57, 58 για την προσέγγιση των (λ 1, x (1) ) και q = 15, 14, 13, 12 για την προσέγγιση των (λ 3, x (3) ) Πίνακας 421α Υπολογισµός των (λ 1, x (1) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Μέγιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 1 x (1) Πίνακας 421β Υπολογισµός των (λ 3, x (3) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Ελάχιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 3 x (3)

6 Εφαρµογή 422 : n = 4, A = , q = 3, 10, 15 Ιδιοτιµές : λ 1 = , λ 2 = , λ 3 = 41085, λ 4 = Ιδιοδιανύσµατα : x 1 = [ 09962, 00712, 00486, 00137] T, x 2 = [02809, 09512, 00998, 00793] T, x 3 = [ 00383, 01119, 09599, 02543] T, x 4 = [ 01032, 00038, 01482, 09835] T Λάβετε q = 147, 148, 149, 15 για την προσέγγιση των (λ 1, x (1) ) και q = 38, 37, 36, 35 για την προσέγγιση των (λ 4, x (4) ) Πίνακας 422α Υπολογισµός των (λ 1, x (1) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Μέγιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 1 x (1) Πίνακας 422β Υπολογισµός των (λ 4, x (3) ) (αντίστροφος µέθοδος των δυνάµεων) Μεταβλητή Αριθµός Ελάχιστη Ιδιοδιάνυσµα µετατόπισης επαναλήψεων Ιδιοτιµή q itcount λ 4 x (4) Στις ανωτέρω εφαρµογές λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ =

7 Οδηγίες για την παράδοση της 2ης Οµάδας Ασκήσεων Σηµείωση : Ολες οι υλοποιήσεις των ασκήσεων να γίνουν σε C ( ή C++ ) Υπόδειξη : Για λόγους εξοικονόµησης χρόνου και ανάπτυξης πνεύµατος εποικοδοµητικής συνεργασίας η εργασία συνιστάται να γίνει από δύο άτοµα (αποκλείεται η συνεργασία περισσοτέρων των δύο ατόµων) Οι οµάδες αυτές ϑα παραµείνουν οι ίδιες όπως και στην 1η Οµάδα Ασκήσεων Προσοχή: Η ένδειξη * πριν από κάποιο ερώτηµα σηµαίνει ότι το αντίστοιχο ερώτηµα είναι προαιρετικό Τα προαιρετικά ερωτήµατα ϑα ληφθούν υπόψη ϑετικά στην τελική ϐαθµολογία, χωρίς αυτό να σηµαίνει κάποια µείωση για όσους δεν απαντήσουν σε αυτά Καταληκτικές ηµεροµηνίες : Η 2η Οµάδα Ασκήσεων ϑα παραδοθεί ως εξής : Η ΑΣΚΗΣΗ 3 ϑα παραδοθεί σε ϕάκελο (1 ϕάκελος ανά οµάδα) στον οποίο ϑα αναγράφετε εξωτερικά ( ΑΜ και Ονοµατεπώνυµα ) και ϑα περιέχει συµπληρωµένο το Φύλλο ερωτήσεων και απαντήσεων Χρησιµοποιήστε ένα αντίγραφο από το έντυπο (ϐλ όπως διευκολύνεστε (χειρόγραφα ή ηλεκτρονικά) παρακάτω) και συµπληρώστε τις απαντήσεις σας Η υποβολή ϑα γίνει στο γραφείο της Γραµµατείας του Α Τοµέα (κ Γ Κουνιάς) την Τετάρτη και ώρα 12-4 Η ΑΣΚΗΣΗ 4 ϑα υποβληθεί ηλεκτρονικά (µε ) στην ηλεκτρονική διεύθυνση : ARANALYSH@diuoagr από Τετάρτη µέχρι και τη Παρασκευή και ώρα 20:00 Η ΑΣΚΗΣΗ 4 ϑα πρέπει να περιλαµβάνει : 1 τα αρχεία µε όνοµα ask4_method_i (c ή cpp) που το καθένα ϑα περιέχει µόνο τον πηγαίο (source) κώδικα για την αντίστοιχη µέθοδο [όπου method το όνοµα της µεθόδου (δηλ J ή J_INV ή INV_POW ) και i η ένδειξη του ερωτήµατος (δηλ 411 ή 412 ή 42)] και 2 ένα µόνο αρχείο κειµένου µε όνοµα ask4_apotel (doc σε word ) για την περιγραφή των αλγορίθµων, την παρουσίαση των αποτελεσµάτων και συµπερασµάτων σας Στο µήνυµά σας(e_mail) το ϑέµα (subject) ϑα είναι µόνο : τα ονοµατεπώνυµα, οι ΑΜ της οµάδας (πχ Παναγιώτου Γ , Πέτρου Φ ) Επίσης στο µήνυµά σας(e_mail) πρέπει να επισυνάψετε ΜΟΝΟ ένα Φάκελο (συµπιεσµένο µε winzip) µε όνοµα ASK4_xxxxxxxzip, όπου xxxxxxx τα τελευταία ψηφία του ΑΜ του ενός από τα µέλη της οµάδας Μέσα στον ϕάκελο αυτό να περιέχονται τα αρχεία µε τον πηγαίο(source) κώδικα (και όχι εκτελέσιµα αρχεία) και το αρχείο κειµένου µε την ανάλυση Προσοχή: Είναι απαραίτητο στην αρχή του κάθε αρχείου (κώδικα και κειµένου) να αναγράφετε τα ονοµατεπώνυµα και τους ΑΜ της οµάδας σας

8 Οροι αποδοχής της 2ης Οµάδας Ασκήσεων Για να γίνει αποδεκτή για αξιολόγηση η εργασία σας ϑα πρέπει να περιλαµβάνει τα ακόλουθα, διαφορετικά ϑα απορρίπτεται ως µη αποδεκτή : Η καθεµία από τις Ασκήσεις 3 και 4 να παραδοθεί εµπρόθεσµα σύµφωνα µε τις προαναφερόµενες καταληκτικές ηµεροµηνίες Σε κάθε συνηµµένο αρχείο να γράφετε τα ονόµατα της οµάδας (σαν σχόλιο στον κώδικα) Το αρχείο κειµένου (στην Άσκηση 4) εκτός από τα ονόµατα της οµάδας ϑα περιέχει τα ακόλουθα : (i) Εκφώνηση άσκησης (έτοιµο αντίγραφο της εκφώνησης) (ii) Ανάλυση Σχεδιασµός : Στην ενότητα αυτή ϑα περιγράψετε σύντοµα τη µέθοδο λύσης του προ- ϐλήµατος (iii) Αλγόριθµος: Με ϐάση την ανάλυση-σχεδιασµό στο (ii) ϑα δώσετε τον αλγόριθµο της µεθόδου επίλυσης του προβλήµατός σας (iv) Υλοποίηση: Παρουσίαση του κώδικα (v) Αποτελέσµατα : Στην ενότητα αυτή ϑα παρουσιάσετε τα αποτελέσµατα (και τα δεδοµένα) για τρία τουλάχιστον τρεξίµατα του προγράµµατός σας µε διαφορετικά δεδοµένα το καθένα (vi) Σχολιασµός: Σχολιασµός των αποτελεσµάτων µε ϐάση τη ϑεωρία ΠΡΟΣΟΧΗ 1 Σε περίπτωση αντιγραφής ή όµοιου κώδικα συνεπάγεται µηδενική ϐαθµολογία 2 Η κάθε άσκηση ϑα πρέπει να λύνεται µε ϐάση τη ϑεωρία που έχετε διδαχθεί 3 Επίσης, ϑα λαµβάνεται κυρίως υπόψη η αποτελεσµατικότητα της µεθόδου που χρησιµοποιείται µε ϐάση την ύλη που έχετε διδαχθεί 4 Μετά την λήξη της καταληκτικής ηµεροµηνίας παράδοσης καµία από τις ασκήσεις δεν ϑα γίνεται δεκτή 5 Η αποστολή µηνύµατος σε άλλη διεύθυνση, εκτός αυτής που προαναφέρεται, ϑα καταστήσει το µήνυµα απορριπτέο χωρίς την ενηµέρωσή σας 6 Λόγω της ηλεκτρονικής αποστολής της Άσκησης 4 δεν ϑα γίνεται καµία δικαιολογία αποδεκτή για την µη αποστολή της εντός της προθεσµίας 7 Ο κώδικάς σας ϑα πρέπει να τρέχει στον µεταγλωττιστή της C ( ή C++) του εργαστηρίου των PC,s 8 Θα πρέπει να επισκέπτεστε συχνά την ιστοσελίδα (στο e-class) του µαθήµατος και να ενηµερώνεστε µε το σχετικό υλικό (Σηµειώσεις, ιαφάνειες, Φροντιστηριακές Ασκήσεις, Ασκήσεις, Βαθµολογίες)

9 Φύλλο ερωτήσεων και απαντήσεων ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΑΜ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 311 ίνεται ο πίνακας A = α) Να ϐρεθεί ο A 1 µε τη µέθοδο απαλοιφής (i) Gauss µε µερική οδήγηση (ii) Jordan µε µερική οδήγηση ϐ) Να υπολογιστεί ο αριθµός συνθήκης κ(a) = A A 1

10 312 ίνεται το ακόλουθο τριδιαγώνιο n n γραµµικό σύστηµα d 1 f 1 e 2 d 2 f 2 0 e k d k f k e k+1 d k+1 f k+1 e k+2 d k+2 f k+2 0 e n 1 d n 1 f n 1 e n d n x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = g 1 g 2 g k g k+1 g k+2 g n 1 g n (Σ1) α) Αν n = 2k, k δεδοµένος ϑετικός ακέραιος αριθµός 2, να ϐρεθούν οι τύποι για τον υπολογισµό των l i, r i και s i (συναρτήσει των e i, d i, f i και g i ) για το µετασχηµατισµό του συστήµατος (1) στο ακόλουθο ισοδύναµο : 1 r r r k l k l k l n l n 1 x 1 x 2 x k x k+1 x k+2 x n 1 x n = s 1 s 2 s k s k+1 s k+2 s n 1 s n (Σ2)

11 ϐ) Να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την υλοποίηση του ανωτέρω µετασχηµατισµού (Σ1) = (Σ2)

12 32 Επαναληπτικές µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 321 ίνεται το γραµµικό σύστηµα : 4 k 0 k 2 k 0 k 4 x 1 x 2 x 3 = 4 0 4, k R α) Να δοθούν οι εξισώσεις υπό µορφή συντεταγµένων των επαναληπτικών µεθόδων (i) Jacobi(J) και (ii) Gauss-Seidel (GS) για την επίλυση του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος ϐ) Να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη (διάστηµα τιµών του k) έτσι ώστε η εµ GS να συγκλίνει γ) Για k = 1 και x (0) = ( 4, 0, 4) T να υπολογιστεί η προσεγγιστική τιµή x (2) της λύσης του ανωτέρω γραµµικού συστήµατος µε την εµ (i) J και (ii) GS

13 322 Να ϐρεθούν οι τύποι για την αριθµητική επίλυση του γραµµικού συστήµατος (Σ2) στο 312α µε την επαναληπτική µέθοδο SOR και στην συνέχεια να δοθεί αλγόριθµος (σε µορφή ψευδοκώδικα) για την επίλυσή του, λαµβάνοντας υπόψη την ειδική δοµή του πίνακα

14 33 Αριθµητικός Υπολογισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα µε τη µέθοδο των δυνάµεων ίνεται ο πίνακας A = Εφαρµόστε δύο ϐήµατα του αλγορίθµου της κανονικοποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων για την εύρεση προσεγγιστικής τιµής της µέγιστης κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος του πίνακα A Λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T και επιθυµητή ακρίβεια ɛ = 00001