Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Transcript

1 Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 13/3/13

2 Θεώρηµα Stein-Rosenberg Εστω A = D L U όπου L,U αυστηρά τριγωνικά µητρώα (κάτω, άνω αντίστοιχα) και το µητρώο επανάληψης Jacobi T J = D 1 L + D 1 U 0. Τότε αν T GS είναι τα µητρώα επανάληψης για τις Jacobi και Gauss-Seidel, ισχύει µία από τις ακόλουθες σχέσεις: 1 ρ(t J ) = ρ(t GS ) = < T GS < ρ(t J ) < = ρ(t J ) = ρ(t GS ) 4 1 < ρ(t J ) < T GS. Εποµένως τα µητρώα Jacobi και Gauss-Seidel είναι αµφότερα συγκλίνοντα ή αποκλίνοντα όταν συγκλίνουν η GS είναι καλύτερη. Προσοχή: Το αποτέλεσµα υπέθετε T J 0. Γενίκευση: Αν A δ.κ. ή µη αναγωγήσιµο διαγώνια κυρίαρχο τότε αµφότερες οι Jacobi και Gauss-Seidel συγκλίνουν.

3 Παραδείγµατα matrix n nnz ρ(t J ) ρ(t GS ) χαρακτηριστικά poisson ΣΘΟ, ΜΑ Κ wathen ΣΘΟ το A, όχι το 2D A

4 Παράδειγµα

5 Παράδειγµα Σχήµα: Οι µέθοδοι στο µητρώο µοντέλο Poisson σε πλέγµα 20 20

6 Παράδειγµα Σχήµα: Οπτικοποίηση της πορείας του σχετικού κατάλοιπου ανά επανάληψη για το µητρώο wathen µεγέθους 341 και τις µεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel.

7 Συµµετροποίηση Εστω x (k+1) = Tx (k) + c W 1 x (k+1) = W 1 TWW 1 x (k) + W 1 c οπότε µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η αρχική επαναληπτική µέθοδος είναι ισοδύναµη µε την επαναληπτική µέθοδο: ˆx (k+1) = ˆTˆx (k) + ĉ όπου Wˆx (j) = x (j), ˆT = W 1 TW, Wĉ = c.

8 Ορισµός Μερικές ϕορές, η ανάλυση γίνεται πιο εύκολη για τη µέθοδο που ϐασίζεται στο ˆT π.χ. αν το ˆT = W 1 (I T)W είναι ΣΘΟ. Μια επαναληπτική µέθοδος του τύπου x = Tx + Gb για το πραγµατικό σύστηµα Ax = b ονοµάζεται συµµετροποιήσηµη αν υπάρχει W τέτοιο ώστε W 1 (I T)W είναι ΣΘΟ.

9 Επαναληπτικές µέθοδοι µε πλοκάδες: block Jacobi, GS Οι επαναληπτικές µέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel γενικεύονται µε ϐάση διαµερισµό του µητρώου σε πλοκάδες: ϑέτοντας A 11 A 1p A = A p1 A pp A = D C L C U, D = diag[a 11,...,A pp ], όπου κάθε A ii είναι τετραγωνική πλοκάδα στη διαγώνιο

10 Jacobi κατά πλοκάδες Μπλοκ Gauss-Seidel: A ii (x (k+1) ) i = b i A ij (x (k) ) j j i (A ii )(x (k+1) ) i = Γιατί; Οι µπλοκ µέθοδοι έχουν µεγαλύτερο κόστος ανά ϐήµα κάτω από ορισµένες συνθήκες πετυχαίνουν ταχύτερη σύγκλιση για να επιλέξουµε µέθοδο, εξετάζουµε το (ϐήµατα για σύγκλιση) (κόστος ανά ϐήµα)

11 Θέµατα σύγκλισης Varga, Young Οι µέθοδοι Jacobi και Gauss-Seidel συγκλίνουν για: αυστηρά διαγώνια κυρίαρχα µητρώα µη αναγωγήσιµα, διαγώνια κυρίαρχα µητρώα µε αυστηρή κυριαρχία τουλάχιστον για µία γραµµή. η Gauss-Seidel για συµµετρικά ϑετικά ορισµένα µητρώα. Η Jacobi χρειάζεται και άλλες προυποθέσεις (π.χ. να είναι ΣΘΟ και το 2D A) Στις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει ότι ρ(t GS ) ρ(t J ) < 1 και η Gauss-Seidel συνήθως συγκλίνει ταχύτερα. Προσοχή: Υπάρχουν µητρώα για τα οποία µπορούµε να δείξουµε ότι η Jacobi και η Gauss-Seidel αποκλίνουν και οι δύο, ή συγκλίνουν και οι δύο ή µία αποκλίνει και η άλλη συγκλίνει! Οταν συγκλίνουν και οι δύο, η Gauss-Seidel συγκλίνει πιο γρήγορα... αλλά απαιτεί τη λύση κάτω τριγωνικού συστήµατος σε κάθε ϐήµα.

12 Μητρώα ελέγχου από διακριτοποίηση του τελεστή 2 Στη συνέχεια εξετάζουµε τα χαρακτηριστικά ορισµένων µητρώων που χρησιµοποιούνται για τον έλεγχο πολλών µεθόδων. Αυτά προέρχονται από τη διακριτοποίηση της εξίσωσης Poisson σε χωρίο 1 έως 3 διαστάσεων, [x L,x U ] [y L,y U ] [z L,z U ] µε κεντρισµένες πεπερασµένες διαφορές 2ης τάξης.

13 Μερικά στοιχεία για τριδιαγώνια µητρώα Toeplitz Εστω T = trid[γ,α,β] R n n όπου η υπογράµµιση δείχνει ποιο είναι το διαγώνιο στοιχείο. Για µητρώα της ανωτέρω µορφής γνωρίζουµε αναλυτικά τις ιδιοτιµές, τα ιδιοδιανύσµατα και τύπο για το αντίστροφο µητρώο

14 Θεώρηµα Εστω το τριδιαγώνιο µητρώο T = trid[γ,α,β] R n n όπου γβ 0. Τότε τα ιδιοζεύγη λ k,x k του µητρώου είναι γ πk λ k = α + 2β cos( β n + 1 ) και x k = [ξ 1,k ;,ξ n,k ] όπου ξ j,k = ( ) γ j/2 sin πkj β n + 1. Κατά συνέπεια, αν γβ > 0 όλες οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές. Τα παραπάνω ιδιοδιανύσµατα δεν είναι κανονικοποιηµένα.

15 Σχόλια Σηµειώνουµε ότι η αναλυτική µορφή των ιδιοτιµών οφείλεται στην Toeplitz µορφή του µητρώου. Μητρώα Toeplitz προκύπτουν από τη διακριτοποίηση της εξίσωσης au xx + bu x + cu = d(x), µε συνοριακές συνθήκες Dirichlet και σταθερούς συντελεστές a, b, c. Στην περίπτωση που b = c = 0, το µητρώο είναι A oh := 1 h 2 trid[ 1,2, 1], h = 1 n + 1. Στη συνέχεια δεν λαµβάνουµε υπόψη τον κοινό παράγοντα h και συµβολίζουµε A = trid[ 1,2, 1], h = 1 n + 1.

16 Οι ιδιοτιµές του είναι λ k (A) = 2 2cos( πk ), k = 1,...,n n + 1 Από τις αναλυτικές τιµές ακολουθεί αµέσως ότι min k άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι ϑετικές. Για το παραπάνω µητρώο ισχύει ότι είναι ΣΘΟ είναι Κ (όχι αυστηρά) π λ k = λ 1 = 2 2cos( n + 1 ) > 0 είναι µη αναγωγήσιµο διαγώνια κυρίαρχο.

17 Προσέγγιση ακραίων ιδιοτιµών και δ.κ. Για µεγάλο n Επίσης και για µεγάλο n Επίσης Εποµένως λ 1 = π 2 2cos( n + 1 ) = sin 2 π ( 2(n + 1) ) π2 (n + 1) 2 maxλ k = λ n = 2 2cos( πn k n + 1 ) λ n 4 κ 2 (A oh ) = A 2 A 1 2 = λ max 4(n + 1)2 λ min π 2 Ο δείκτης κατάστασης του µητρώου ως προς τη νόρµα-2 αυξάνει τετραγωνικά µε το n.

18 ιακριτοποίηση (u xx + u yy ) = f,(x,y) Εστω ότι κάθε κόµβος του πλέγµατος (x i,y j ) έχει αριθµηθεί µε τις y y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 x x συντεταγµένες του (i,j). 0 1 x2 x 3 x 4 x5 x 6

19 2 u x 2 (x i,y j ) = u(x i 1,y j ) 2u(x i,y j ) + u(x i+1,j ) + h2 h 2 12 u(4) (x i + θ x h,y j ) 2 u y 2 (x i,y j ) = u(x i,y j 1 ) 2u(x i,y j ) + u(x i,y j+1 ) + h2 h 2 12 u(4) (x i,y j + θ y h) 2 u(x i,y j ) = = u(x i 1,y j ) u(x i,y j 1 ) + 4u(x i,y j ) u(x i+1,y j ) u(x i,y j+1 ) h 2 h 2 12 u(4) (x i θ x h,y j ) h2 12 u(4) (x i,y j + θ y h) }{{} υπόλοιπο Το διακριτό σύστηµα εξισώσεων που ϑα χρησιµοποιήσουµε προκύπτει, όπως και πριν, αν «αποκόψουµε τους όρους του υπολοίπου».

20 ιάταξη και αρίθµηση των αγνώστων Θα πρέπει όµως πρώτα να αποφασίσουµε για τον τρόπο διάταξης και αρίθµησης των αγνώστων σε σχέση µε τους κόµβους. Αυτό αναφέρεται συνήθως σαν το «πρόβληµα της διάταξης» (ordering problem). Οπως καταλαβαίνεται, υπάρχουν πολλοί ((mn)!)) τρόποι διάταξης των αγνώστων, αλλά οι ενδιαφέροντες είναι πολύ λίγοι. Στα πλαίσια της συζήτησής µας, αναφέρουµε δύο.

21 Φυσική ή λεξικογραφική διάταξη natural ordering ιατάσσουµε τις µεταβλητές από κάτω αριστερά προς τα επάνω δεξιά, δηλ. µε τις τιµές που λαµβάνουν στους κόµβους (x 1,y 1 ), (x 2,y 1 ),..., (x m,y 1 ),(x 1,y 2 ),, (x 1,y n ),...,(x m,y n ). Παρατηρείστε ότι η διάταξη είναι «λεξικογραφική» καθώς η µεταβλητή στον κόµβο (x i,y j ) προηγείται αυτής στο (x i,y j ) αν cat(j,i) < cat(j,i ) όπου cat(i,j) συµβολίζει τη συνένωση των i,j, π.χ. η συνένωση των 2,3 δίνει τον αριθµό 23.

22 ιάταξη κόκκινου-µαύρου (Red-Black ordering) Χωρίζουµε τους κόµβους S = S R S B σε δύο διακριτά σύνολα, δηλ. S R S B = /0, έτσι ώστε να µην υπάρχει άµεση σύνδεση στο πλέγµα µεταξύ κόµβων που είναι στο ίδιο σύνολο, δηλ. αν οι κόµβοι P 1 S R (αντίστοιχα S B ) και P 2 είναι γειτονικοί, τότε P 2 S B (αντίστοιχα S R ). Στο πρόβληµα µοντέλο, µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι οι κόµβοι έχουν χρωµατιστεί κόκκινο, αν i + j άρτιο, και µαύρο, αν i + j περιττό. Μετά διατάσσουµε πρώτα τους κόκκινους κόµβους λεξικογραφικά και µετά τους µαύρους λεξικογραφικά. Η δοµή του µητρώου που προκύπτει είναι ( ) D B A RB = B T D όπου D είναι το διαγώνιο µητρώο D = 4I. Η διάταξη µπορεί να γενικευθεί σε περισσότερα από δύο χρώµατα και αντιστοιχεί στο γνωστό πρόβληµα χρωµατισµού γραφηµάτων.

23 Μορφή µητρώου από διάταξη α) ϕυσική ϐ) κόκκινου-µαύρου 0 Natural ordering 0 RB ordering nz = nz = 105

24 Μπλοκ τριδιαγώνια δοµή A = 1 h 2 trid[ I,T, I] n. είναι δηλαδή τριδιαγώνιο κατά ορµαθούς ενώ οι ορµαθοί της διαγωνίου είναι επίσης τριδιαγώνιοι, ειδικότερα T = trid[ 1,4, 1] m.

25 Γινόµενο και άθροισµα Kronecker Ορισµός Εστω µητρώα A R m n,b R p q. Το γινόµενο Kronecker των A,B είναι το µητρώο A B: A B = [α ij B] R (mp) (nq) Στη MATLAB υλοποιείται µε τη συνάρτηση kron

26 Ιδιότητες (A B)(C D) = (AC) (BD) (A B) = A B. (A B) 1 = A 1 B 1 αν A,B αντιστρέψιµες. Αν τα µητρώα A,B είναι διαγωνιοποιήσιµα και Q A,Q B τέτοια ώστε Λ A = Q 1 A AQ A και Λ B = Q 1 B BQ B. A B = (Q A Q B )(Λ A Λ B )(Q A Q B ) 1 Η τελευταία ιδιότητα σηµαίνει ότι οι ιδιοτιµές του A B είναι λ(a B) = {λ i µ j },i = 1 : n,j = 1 : m, όπου λ i είναι οι ιδιοτιµές του A και µ j οι ιδιοτιµές του B.

27 Αθροισµα Kronecker Ορισµός Εστω µητρώα A R m m,b R n n. Το άθροισµα Kronecker των A,B είναι το µητρώο A B = A I n + I m B R (mn) (mn) Εστω ότι A,B διαγωνιοποιήσιµα και Q A,Q B τέτοια ώστε Λ A = Q 1 A AQ A και Λ B = Q 1 B BQ B και έστω Q = Q A Q B. Τότε αν ϑέσουµε Q := Q A Q B ισχύει Q 1 (A B)Q = (Q A Q B ) 1 (A I m + I n B)(Q A Q B ) = (Q 1 A Q 1 B )(A I m + I n B)(Q A Q B ) = Λ A I m + I n Λ b = Λ A Λ B

28 Αποδείξαµε δηλαδή ότι Θεώρηµα Αν A,B διαγωνιοποιήσιµα και Q A,Q B τέτοια ώστε Λ A = Q 1 A AQ A και Λ B = Q 1 B BQ B και έστω Q = Q A Q B τότε οι ιδιοτιµές του A B είναι τα στοιχεία λ i + µ j,i = 1 : n,j = 1 : m και τα ιδιοδιανύσµατα είναι οι στήλες του Q = Q A Q B.

29 Το ϑεώρηµα µας ϐοηθά να υπολογίσουµε άµεσα τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του κατά ορµαθούς τριδιαγώνιου µητρώου A = 1 h 2 trid[ I,T, I] n R (mn) (mn),t = trid[ 1,4, 1] m R m m που είδαµε προηγουµένως.

30 Εχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα: A = 1 h 2 (A n A m ) όπου A N = trid[ 1,2, 1] R N N. Από τη ϑεωρία που αναπτύξαµε στην προηγούµενη ενότητα, γνωρίζουµε αναλυτικά τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του A N. Τότε υπολογίζουµε άµεσα και τις ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα για το A: εποµένως οι ιδιοτιµές ϑα είναι λ k (A N ) = 2 2cos( πk )),k = 1,...,N N + 1 λ i (A n )+λ j (A m ) = 1 h [4 2cos( πi πj )) 2cos( 2 ))],i = 1 : m,j = 1 : n m + 1 n + 1

31 Τα ιδιοδιανύσµατα είναι οι στήλες του Q = Q A Q B. Γνωρίζουµε ότι οι στήλες του Q A είναι x k = [ξ 1,k ;,ξ n,k ] όπου ξ j,k (n) = sin πkj. ενώ το n+1 Q B έχει στήλες x k (m) = [ξ 1,k ;,ξ m,k ] όπου ξ j,k (m) = sin πkj m + 1.

32 Εποµένως το µητρώο των ιδιοδιανυσµάτων αποτελείται από τους όρους ξ j,k (m)ξ r,s (n),j,k = 1 : n; r,s = 1 : m δηλ. [Q] i,j = sin πkj m + 1 sin πrs n + 1 Από τα παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε άνω και κάτω ϕράγµατα για τις ιδιοτιµές, κάτι που ϑα ϕανεί χρήσιµο στη συνέχεια.

33 Για ευκολία έστω m = n. Εχουµε ότι λ i (A n ) + λ j (A n ) = (n + 1) 2 [4 2cos( πi πj )) 2cos( n + 1 n + 1 ))],i,j = 1 : n Εποµένως λ min (A) = (n + 1) 2 π [4 2cos( n + 1 ) 2cos( π n + 1 )] ενώ 2(n + 1) 2 π 2 (n + 1) 2 = 2π2 λ max (A) = (n + 1) 2 [4 2cos( nπ nπ ) 2cos( n + 1 n + 1 )] 8(n + 1) 2 Εποµένως (καθώς A = A ) κ 2 (A) 4 π 2 (n + 1)2 = O(n 2 ) Παρατήρηση γραµµική αύξηση ως προς το µέγεθος του µητρώου.

34 Σύγκλιση Jacobi για το πρόβληµα µοντέλο Poisson Εστω ο διακριτός τελεστής Poisson A σε τετραγωνικό χωρίο µε πλέγµα n n. και λ max (A) = 4(n + 1) 2 [1 cos( nπ n + 1 )], h = 1 n + 1. Αρα A = 1 h 2 (4I L U) L + U = 4I h2 A D 1 (L + U) = I h 2 A 4 ρ(t) = ρ(i h 2 A λ(a) ) = max 1 h2 4 4

35 εποµένως από τις ακραίες τιµές ρ(t) = max{ 1 h 2 λ min(a) 4 π = cos Ασυµπτωτικός ϱυθµός σύγκλισης R (T) = lnρ(t) = ln(1, 1 h 2 λ max(a) } 4 n π 2 2(n + 1) 2 < 1 π 2 2(n + 1) 2 ) π 2 2(n + 1) 2 Για να µειωθεί σφάλµα κατά 1/e, χρειάζονται 1/R (T) = 2(n + 1) 2 /π 2 = O(n 2 ) επαναλήψεις (τάξη του αριθµού των αγνώστων.)

36 Παρατηρήσεις Μπορούµε να εκτιµήσουµε το συνολικό κόστος της Jacobi στο πρόβληµα µοντέλο (πλέγµα n n) για να µειωθεί το σφάλµα, π.χ. κατά e 1, ως εξής: Για το πρόβληµα µοντέλο, το κόστος της κάθε επανάληψης σε αριθµητικές πράξεις είναι O(n 2 ). πρόκειται για µία πράξη MV µε το µητρώο poisson Για να µειωθεί το σφάλµα κατά e 1 µε Jacobi στο πρόβληµα µοντέλο το συνολικό κόστος σε πράξεις ϑα είναι O(n 4 ). Αν n = 1000 τότε για µείωση σφάλµατος κατά 10 t χρειάζονται 2(n+1) 2 π 2 ln επαναλήψεις ώστε συνολικά ϑα χρειαστούν περί τις πράξεις.

37 Παράδειγµα: Η σύγκλιση της Jacobi είναι συνήθως αργή. Η Jacobi είναι πολύ απλή, παράλληλη, αλλά αναποτελεσµατική. Υπάρχουν περιπτώσεις που τη χρησιµοποιούµε: α) για κατασκευή προσταθεροποίησης σε συνδυασµό µε ταχύτερες µεθόδους, ϐ) στα πλαίσια σηµαντικών υπερταχέων επιλυτών όπως οι πολυπλεγµατικές µέθοδοι. Η Gauss-Seidel µπορεί να είναι δύο ϕορές πιο γρήγορη. Ακόµα πιο αποτελεσµατική είναι η SOR που είναι παραµετροποιηµένη γενίκευση της GS.

38 ιαδοχική υπερχαλάρωση (Successive Overrelaxation = SOR) Το M εξαρτάται από παράµετρο χαλάρωσης ω: (D ωl)x (k+1) = [(1 ω)d + ωu]x (k) + 1 ω b T := (D ωl) 1 [(1 ω)d + ωu] Η Gauss-Seidel είναι ειδική περίπτωση της SOR για ω = 1.

39 Σύγκλιση SOR και το ω Εκµεταλλευόµαστε το ότι η ορίζουσα τριγωνικού µητρώου είναι ίση µε το γινόµενο των διαγώνιων στοιχείων της. det(d ωl) 1 = detd 1 det[(1 ω)d + ωu] = det[(1 ω)d] = (1 ω) n detd dett = (1 ω) n detddetd 1 = (1 ω) n Προσέξτε ότι dett = (1 ω) n = n j=1 λ i όπου λ i ιδιοτιµές του T. Εποµένως, ϑα πρέπει κάποια ιδιοτιµή να είναι λ > 1 ω. Αν η επανάληψη συγκλίνει ϑα πρέπει 0 < ω < 2. Για κάθε ω C ισχύει ότι ρ(t) 1 ω. Θεώρηµα Αν A ΣΘΟ τότε για κάθε ω (0,2) και κάθε αρχικό διάνυσµα, η SOR συγκλίνει.

40 Παρατηρήσεις Πώς επιλέγουµε το ω για ϐέλτιση επίλυση; ύσκολο να απαντηθεί στη γενική περίπτωση. Σηµαντικό ϑέµα έρευνας ιδιαίτερα την περίοδο Σε ορισµένες περιπτώσεις µπορεί να ϐρεθεί το ϐέλτιστο ω. Μια σηµαντική κατηγορία µητρώων για τα οποία υπάρχει ϐέλτιστη τιµή ονοµάζονται συνεπώς διατεταγµένα µητρώα.

41 Συνεπώς διατεταγµένα µητρώα Ορισµός Εστω A = I L U και ότι έχει την ακόλουθη ιδιότητα: Για όποιο γ 0 R, οι ιδιοτιµές του γl + γ 1 U (1) είναι ανεξάρτητες του γ. Τότε λέµε πως το A είναι συνεπώς διατεταγµένο (consistently ordered).

42 Ιδιότητα A Μερικές ϕορές ένα µητρώο µπορεί να µην είναι συνεπώς διατεταγµένο αλλά µπορεί να γίνει τέτοιο µε συµµετρικές µεταθέσεις γραµµών και στηλών του. Ιδιότητα A: Αν ένα µητρώο είναι τέτοιο που να υπάρχει µητρώο µετάθεσης τέτοιο ώστε το µητρώο P AP να είναι συνεπώς διατεταγµένο λέγεται ότι έχει την ιδιότητα A. Αν ένα µητρώο είναι συνεπώς διατεταγµένο ή έχει την ιδιότητα A, τότε οι ιδιοτιµές για τα µητρώα επανάληψης Jacobi, Gauss-Seidel, και SOR συνδέονται µε απλούς τύπους.

43 Ειδικότερα 1 Για κάθε ιδιοτιµή µ Λ(T J ) υπάρχει αντίστοιχη ιδιοτιµή µ Λ(T J ). 2 Αν λ = 0 είναι ιδιοτιµή του T SOR(ω) τότε ω = 1. 3 Αν λ 0 είναι ιδιοτιµή του T SOR(ω) για κάποιο ω (0,2) τότε είναι ιδιοτιµή του T J. µ = λ + ω 1 ωλ 1/2 (2) 4 Αν µ Λ(T J ) και το λ ικανοποιεί τη σχέση (2) για κάποιο ω (0,2) τότε το λ είναι ιδιοτιµή του T SOR(ω). 5 Αν ισχύει η σχέση (1) για το A τότε ρ(t GS ) = [ρ(t J )] 2, δηλ. ασυµπτωτικά, η Gauss-Seidel είναι δύο ϕορές πιο γρήγορη από τη Jacobi.

44 Πότε εµφανίζονται µητρώα µε την ιδιότητα A ή συνεπώς διατεταγµένα µητρώα; Στην αριθµητική επίλυση Ε εµφανίζονται αρκετά συχνά. Παραδείγµατα: Εχουν την ιδιότητα A ή είναι συνεπώς διατεταγµένα τα κατά πλοκάδες τριδιαγώνια µητρώα για τα οποία: 1 οι πλοκάδες κατά µήκος της διαγωνίου είναι διαγώνιες 2 οι πλοκάδες κατά µήκος της διαγωνίου είναι τριδιαγώνιες και οι πλοκάδες στις εκτός διαγωνίου ϑέσεις είναι διαγώνιες. Το 2διάστατο πρόβληµα Poisson έχει την ιδιότητα A µε την ϕυσική αρίθµηση είναι συνεπώς διατεταγµένο µε την αρίθµηση R/B nz = 256

45 Θεώρηµα Εστω ότι µπορεί να ισχύει η σχέση (1) για το A και ότι το ρ(t GS ) έχει µόνο πραγµατικές ιδιοτιµές, και ότι µ := ρ(t J ) < 1. Τότε η SOR συγκλίνει για κάθε ω (0,2) και η ϐέλτιστη τιµή του ω είναι ω opt = µ 2. (3) και ρ(t SOR(ω) ) = ω opt 1 = µ 2 (1 + 1 µ) 2 (4)

46 Σχήµα: Σύγκριση κλασικών µεθόδων στο µητρώο poisson σε πλέγµα 20 20, αρχικό διάνυσµα x (0) =zeros(400,1), και δεξιό µέλος b =ones(400,1). Για το πρόβληµα µοντέλο Poisson σε πλέγµα n n ο αριθµός ϐηµάτων για να µειώσουµε το σφάλµα κατά 10 p είναι περίπου Με Jacobi: pn/2 ϐήµατα. Με Gauss Seidel: pn/4 ϐήµατα. Με SOR και ϐέλτιστο ω: p n/3 ϐήµατα Προσοχή Ο ϱυθµός σύγκλισης της SOR είναι εξαιρετικά ευαίσθητος στην επιλογή του ω