Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Επιτάχυνση σύγκλισης των επαναληπτικών επιλύσεων Gauss-Seidel, κατά την προσομοίωση αναλογικών και μικτών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, με μέθοδο χαλάρωσης μητρικών μεταβλητών. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του TANCIC NENAD (Α.Ε.Μ.: 3800) Επιβλέπων: Σταύρος Π. Δοκουζγιάννης Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Α.Π.Θ. 2006

2 Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης Περιγραφή της μεθόδου μερικής χαλάρωσης Gauss-Seidel (PGS) Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Εφαρμογή της PGS σε ένα προσομοιωτή κυκλώματος Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Μatlab Συμπεράσματα

3 Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης Έστω ότι έχουμε μια εξίσωση: m+ 1 m m+ 1 1 m 1 m Ax= b ( M N) x= b Mx Nx + b x M Nx + M b Bx + k Η φασματική ακτίνα του πίνακα Β : n n ρ και = max ρ max < 1 b ( B) B B ( B) 1 i n ij 1 i n j= 1 j= 1 Ο μέσος ρυθμός σύγκλισης του πίνακα Β : lim RB ( ) R( B) ln( ρ( B)) R( B) ln( ρ( B)) m Ο μέσος αριθμός των επαναλήψεων : ( ( )) 1 k ε N = R B x x = b Η εξάρτηση των μέσων αριθμών επαναλήψεων από τη φασματική ακτίνα: ( ) ρ B N ρ ( Β) ij N

4 Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης Οι μέθοδοι Gauss-Seidel και Gauss-Jacobi Α= D L U Gauss Seidel : ( D L) Gauss Jacobi : Dx m+ 1 x = m+ 1 = Ux m + b m ( L + U ) x + b Ο πίνακας Α πρέπει να είναι αυστηρά διαγώνιος δεσπόζων Ο διαγώνιος πίνακας καθορίζεται εξαρχής Ηφασματικήακτίνα ρ (( D U 1 + ) L ) Η σύγκλιση τους είναι συνήθως αργή Σε ορισμένες περιπτώσεις αποκλίνουν

5 Μέθοδος μερικής χαλάρωσης Gauss Seidel ΗδιαδικασίαPGS παραγοντοποίηση: Ax b = ( ) M N x= b ( LU N) x= b u u u οπού LU l u u = l31 l u 33 Η PGS προς τα εμπρός αντικατάσταση m 1 m LUx + = b + Nx m 1 1 m Ux + = L ( b + Nx ) Η PGS προς τα πίσω αντικατάσταση m 1 1 m Ux + = L ( b + Nx ) x m = UL ( b+ Nx) m+ Η χαλάρωση των fill in ορών στους πίνακες LU

6 Μέθοδος Μερικής Χαλάρωσης Gauss Seidel Αλγόριθμος PGS παραγοντοποίησης

7 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Η διαδικασία προσδιορισμού μικρών προς χαλάρωση ορών είναι ευρηματική Για κάθε εξίσωση του πίνακα περιθώρια L ορίζονται Η φασματική ακτίνα περιορίζεται από το άθροισμα μέτρων της σειράς Θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τα κριτήρια χαλάρωσης συγκρίνοντας μονό τους ορούς της ιδίας σειράς με τα διαγώνια τους;

8 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Παράδειγμα : Έστω ότι θέλουμε να χαλαρώσει ο ορός a A = M = N = m+ 1 m m+ 1 1 m 1 ( ) = = + = + M N x b Mx Nx b x M Nx M b ( m ) ( ) m x = U L Nx + U L b 1 1 U L N = ρ ( U 1 L 1 N) =

9 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Προσδιορισμός των κανόνων περιθωρίου Έστω ότι δίνεται ο πίνακας A και έστω ότι χαλαρώνει το a a a a a a a a a a a A a a a a a = a41 a42 a43 a44 a45 a a a a a a11 a12 a13 a14 a a a a a a M = 0 a32 a33 a34 a 35 N = a a41 a42 a43 a44 a a51 a52 a53 a54 a = = l43a l53a31 l54l43a M N U L N U a31 Αν ο πίνακας Α είναι αυστηρά διαγώνιος δεσπόζων και όλα τα μη διαγώνια στοιχειά είναι της ιδίας τάξης τότε θα προκύψει: l53 << 1 l43 << 1 l54 << 1 l54l43 l53 l a l l a l α << First-level error terms

10 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Μετά από απλοποίηση του πίνακα 1 L N και πολλαπλασιασμού του με πίνακα U = = = l43a l53a31 l54l43a B M N U L N U a = = l43a l53a E U L N U a31 E U L N U a U U U a U U a = = U33 l a U 44 l a U Το μέγιστο άθροισμα νορμών σειράς τ c : U a < τ U a < τ a < τ l a < τ l a < τ U U U U U U U c c c c c

11 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος a 31 Εκφράζοντας ως προς το : Συνοπτικά ισχύει : a U U U U < τ a < τ c 31 c U13 U23 k < 3 a < τ 31 c U33U U k 3 kk a < τ U 31 c 33 k = 3 a < τ U 31 c 33 a U < τ a < τ U c 31 c l43 l53 k > 3 a < τ 31 c U l kk k 3 Καταλήγουμε: a U U U < kk 33 kk 31 min τc U33,min τc,minτc k< 3 U k> 3 k3 lk3 Για j<i: a UkkUii U kk < min τ U, min τ, minτ k i ki l ki ij c ii c c To μέγιστο περιθώριο χαλάρωσης τ ι : aij < τ i Το μέγιστο σφάλμα των μέτρων σειράς τ c UkkUii U kk τi = min τc Uii, min τc, minτ c k i ki l ki

12 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Γενικά ισχύει ότι το τ ι περιορίζει τους ορούς που χαλαρώνουν να μην προκαλέσουν ένα νέο σφάλμα μεγαλύτερο από τ U c kk στην εξίσωση κ ; Αν τ κ < τ c Ukk στην εξίσωση κ τότε: UkkUii U kk τi = min τc Uii, min τc, minτ c k i ki l ki Στάδια παραγωγής εσφαλμένων ορών: τ κ = τ c Ukk U 1 ii τi = min τk, min τk, minτ k k i ki l ki ` 1 1. Εσφαλμένοι οροί από ορούς που χαλαρώνουν: N = L N `` 1 ` 2. Εσφαλμένοι οροί από τους ορός που έχουν ήδη χαλαρώσει: N = U N Στάδια υπολογισμού περιθωρίων : ii τ = τ U i τi = min τi, minτk i = 1, i c ii k i l ki

13 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Παράδειγμα 2: Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε ένα μη αποδεκτό σφάλμα κάθε σφάλμα μεγαλύτερο από 0.02 στον πίνακα Β και θέλουμε να χαλαρώσει το a A= M N = = = = B U L N E = UkkUii U kk τi = min τc Uii, min τc, minτc 0.01 = k i ki l ki Εφόσον τ 2 = τ U = 0.01 <0.02 έχουμε: U 1 ii τi = min τk, min τk, minτ k k< i U k< i ki l ki c ii τ a =

14 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Παράδειγμα 1: Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε μη αποδεκτό όρο κάθε όρο στον πίνακα Β που είναι μεγαλύτερο από 0.02 και έστω ότι χαλαρώνει a A = = = B U L N b 21 c M = N = < τ b < τ c E = UkkUii U kk τi = min τc Uii, min τc, minτc = k i ki l ki Εφόσον το a31 < τ 3 τότε δεν μπορεί να χαλαρώσει το a

15 Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Συμπεράσματα : 1. Τα περιθώρια σφάλματος περιορίζουν το άθροισμα νορμών σειράς 2. Στην πράξη τα περιθώρια υπολογίζονται κατά την PGS παραγοντοποίηση 3. Δυνατότητα διόρθωσης εσφαλμένων ορών (fill in) Σύγκριση της PGS με την Gauss Seidel (τ c =0.1) Gauss-Seidel #PGS %LU Ops Matrix #Equations #Iteration Iterations Skipped # % # % # % # %

16 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Δυναμικός έλεγχος των αριθμών επαναλήψεων PGS Κριτήρια βέλτιστης επιλογής του τ c Ευρηματικές προϋπόθεσεις για τη μείωση του αθροίσματος των μέτρων της σειράς Ανάλυση αποτελεσμάτων Τελικές παρατηρήσεις

17 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Συνδυασμός των μεθόδων Newton και PGS 1. Προβλήματα σύγκλισης τάσεων στα μεγάλα κυκλώματα με πολλά μη γραμμικά στοιχειά 2. Προσδιορισμός των σημαντικών τάσεων

18 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Ένα παράδειγμα οπού δεν παρατηρείται πρόβλημα σύγκλισης τάσεων

19 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Υπόλοιπες τάσεις δεν πρέπει να αλάξουν μέχρι να σταθεροποιηθούν οι σημαντικές τάσεις Προβλήματα σύγκλισης των γραμμικών στοιχειών Απαραίτητη εκτίμηση του αριθμού των PGS επαναλήψεων για να συγκλίνουν οι σημαντικές τάσεις σε μια προκαθορισμένη τιμή Σύγκλιση των σημαντικών τάσεων καθορίζεται από την επιλογή των περιθωρίων

20 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Η διαδικασία πρόβλεψης των αριθμών των PGS επαναλήψεων έχει στόχο: 1. Σύγκλιση όλων των σημαντικών τάσεων 2. Επίτευξη μέγιστης ταχύτητας σύγκλισης Ο Αλγόριθμος πρόβλεψης των αριθμών PGS επαναλήψεων : 1. Η PGS mode συμβολίζει τον αριθμό PGS επαναλήψεων 2. Όλες οι PGS modes απαιτούν μόνο μια PGS παραγοντοποίηση 3. Η mode PGS = 0 χρησιμοποιείται για την πρώτη επανάληψη κατά το μεταβατικό στάδιο προσομοίωσης οπού υλοποιείται η LU παραγοντοποίηση 4. Η PGS mode συνήθως αυξάνεται από 1-10 κατά την διαδοχική εκτέλεση των επαναλήψεων Newton. 5. Χρησιμοποιείται η ρουτίνα η οποία επιστρέφει το νέο προβλεπόμενο χρόνο που απαιτεί το CPU για την επίλυση. 6. ΣυγκρίνουμεαυτότονέοχρόνοτουPGS mode με τον προβλεπόμενο χρόνο της PGS mode-1 και αν είναι μεγαλύτερος τότε η PGS mode μειώνεται στην PGS mode-1 στο τέλος της επανάληψης Newton.

21 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Ο στόχος της βέλτιστης επιλογής του τ c είναι: 1. Ο προσδιορισμός των απαραιτήτων αριθμών PGS επαναλήψεων 2. Η καλή απόδοση της μεθόδου PGS Υπολογισμός του τ c εξαρτάται από : 1. Το περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων VNTOL 2. Το απόλυτο περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων TSVTOL 3. Το μέσο αριθμό των PGS επαναλήψεων Ν που απαιτούνται για να μειωθεί η νόρμα του διανύσματος σφάλματος στην τιμή του ε Υπολογισμός του τ c για μια PGS επανάληψη : Αν θέλουμε να μειώσουμε την a 1 VNTOL 1. ε = = a = ln e TSTOL k x x = ε an = 1 ( ε ) για μια επανάληψη ορίζουμε το 2. τ c ρ ( B ) 1 1 a 3. N = = α = = 1 ln ( ρ ( B )) ln ( τ c) ln ( τ c) ( ) ( ) ( ) 4. τ = exp α = exp ln ε = ε c

22 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Αντίστοιχα όταν έχουμε 2 επαναλήψεις PGS : Ενώ για n επαναλήψεις PGS θα έχουμε : Υπάρχουν και αλλά κριτήρια που συσχετίζονται με τα προηγούμενα κριτήρια επιλογης του τ c που πρεπει να λαβουμε υποψη ; 1. Το περιθώριο σφάλματος ρεύματος IRTΟLi του κόμβου i 2. Το απόλυτο περιθώριο σφάλματος ρεύματος ABSTOL 3. H αγωγιμότητα Gij του κλάδου που συνδέει τους κόμβους i και j

23 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος H νέα τιμή για το τ c προκύπτει : ( i, j ) IRTOL = min G ABSTOL i ( VNTOL IRTOL ) min, i ε i = TSVTOL Ανάλυση αποτελεσμάτων : Circuit # MOS # BJT # Diodes #Linear # Matrix Ops # Equations loht Μ 3404 joeh Μ vdram Μ 6137 rnads Μ 1625 rnads Μ 3245 Direct Solution PGS Solution Solve Gain Circuit # Newton itts Total Solve Time # Newton itts Total Solve Time loht joeh vdram rnads rnads

24 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης της PGS σε ένα κύκλωμα τυχαίας παραγωγής δικτύου αντιστάσεων : Σωστή λειτουργία της PGS σε κυκλώματα με μεγάλο αριθμό πράξεων Circuit Ratio of Matrix Ops, to Matrix Nonzero Entries Speedup of PGS Solver Over Direct Solver loht joeh vdram rnads rnads

25 Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος Σωστή λειτουργία και στα κυκλώματα με πολλές αναδράσεις οπού παρατηρείται μεγάλος αριθμός fill in ορών Ο αριθμός των πράξεων κατά τον υπολογισμό περιθωρίου είναι πολύ μικρότερος από τον αριθμό της LU παραγοντοποίησης PGS Tolerance Operations Direct Solution LU Factorization Circuit Operations lohf 133K 2.3M joeh 288K 2.4M vdram 246K 5.8M rnands1 163K 8.5M rnands2 603K 68.5M Ο αριθμός των μαθηματικών πράξεων που χρειάζονται για τον υπολογισμό του περιθωρίου: 1. Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός για κάθε εξίσωση του πίνακα. 2. Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός και μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του πάνω τριγωνικού πίνακα. 3. Απαιτείται μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του κάτω τριγωνικού πίνακα Αντίστοιχα για συμμετρικούς πίνακες είναι 1.5 φορές όσο είναι τα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα

26 Jacobi : Gauss-Seidel : Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους ( k ) 1 ( k 1) 1 x = D ( L + U ) x + D b ( k ) = ( D L ) ( Ux SOR (διαδοχική μέθοδος υπερχαλάρωσης) : x CG ( μέθοδος συζυγών κλίσεων) : x 1 ( k 1 ) ( k 1) ( ωu + ( 1 ω) D) x + ω( D L) b + b ) ( k) 1 1 = ( D ωl) ω ωopt = ρ Tο διάνυσμα τυχαίων διευθύνσεων: (i) p Tα διανύσματαυπολοίπων: Η επιλογη του συντελεστη α: r = b ( i) ( i) α = α = r ( i 1) Η ανανέωση του διανυσματος σφάλματος τυχαίων διευθύνσεων p i T Ax r ( i 1) / p T ( i) Ap ( i) ελαστικοποιει το διανυσμα = r + β ( i ) ( i ) ( i 1 ) ι 1 p r T A r ( i) 1 ( i) γίνεται με την επιλογή β = r i T ( i) r ( i) / r T ( i 1) r ( i 1) ώστε να ισχύει () i ( i 1) () ( 1) p Ap ( r i _ και _ r i )

27 Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους Η PGS ήταν αποδοτική μονό σε παραλλαγές της CG Σύγκριση της απόδοσης μεθόδου CG ως προς τη μέθοδο αρχικών συνθηκών: 1. H μέθοδος PGS ως αρχική συνθήκη 2. Η μέθοδος μερικής LU παραγοντοποίησης PLUCGS Speedup of PLUCGS Speedup of PGS Solver Over Circuit Solver Over Direct Solver Direct Solver loht vdram H PLUCGS είχε τα χαρακτηρίστηκα: 1. Μειωμένη χρησιμοποίηση μνήμης 2. Πιο αργή σύγκλιση 3. Περιλαμβάνει μονό fill in ορούς πρώτου επιπέδου

28 Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους Σύγκριση της PGS με τη μέθοδο CGS που χρησιμοποιεί την PGS σαν μέθοδο αρχικών συνθηκών: 1. Απαιτεί περισσότερη μνήμη από τη μέθοδο PGS 2. Αυξάνει την ταχύτητα επίλυσης μέχρι 15% 3. Έχει αυξημένη περιπλοκότητα κατά το υπολογισμό του περιθωρίου 4. Προσφέρει πιο εύκολη software υλοποίηση 5. Πιθανός διάδοχος των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στα προγράμματα προσομοίωσης των κυκλωμάτων

29 Βήμα 1: Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab LH0024 High Slew Rate Operational Amplifier

30 Βήμα 2: Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Break Transistor και Break Diode

31 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 3: Τα αποτελέσματα των παραμέτρων του τρανζίστορ καθώς και η εξάρτηση τους από τη θερμοκρασία, κατά τον υπολογισμό στο MATLAB

32 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 4: Yπολογισμός των ρευμάτων του Gummel Poon μοντέλου MATLAB DC solution for BJT break TEMPERATURE=10.00 DEG C Ibc2 Ibe2 Ibc1p E-18 Ibe1p Rb Ie 2.21E Temp=10 deg VBE VBC Ib Ic Spice Q(1) Matlab Q(1) E MATLAB DC solution for BJT break TEMPERATURE=27.00 DEG C Ibc2 Ibe2 Ibc1p E-16 Ibe1p Rb Ie 2.19E Temp=27 deg VBE VBC Ib Ic Spice Q(1) Matlab Q(1) E MATLAB DC solution for BJT break TEMPERATURE=40.00 DEG C Ibc2 Ibe2 Ibc1p E-16 Ibe1p Rb Ie 2.11E Temp=40 deg VBE VBC Ib Ic Spice Q(1) Matlab Q(1) E

33 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 5 : Xρήση των μοντέλων tnenadnpn, tnenadpnp, tnenadd

34 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 6 : Υπολογισμός των παραμέτρων του Gummel Poon μοντέλου του tnenadnpn

35 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 7 : Υπολογισμός των ρευμάτων του Gummel Poon μοντέλου του tnenadnpn

36 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Βήμα 8 : Tο ισοδύναμο κύκλωμα Gummel Poon στις θέσεις των τρανζίστορ

37 Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab Συμπεράσματα : 1. Για ορισμένο συνδυασμό παραμέτρων είχαμε μεγάλη ανακρίβεια κατά το υπολογισμό με το ΜATLAB, δηλαδή μεγάλη απόκλιση των τιμών σε σύγκριση με το SPICE. 2. Υπάρχει δυνατότητα, τα κυκλώματα που περιέχουν τρανζίστορ και διόδους να απλοποιηθούν σε ένα κύκλωμα όπου έχουμε μονό εξαρτημένες πηγές και αντιστάσεις. Κατά συνέπεια είναι εφικτή και η υλοποίηση του κυκλώματος με πίνακες καθώς και η επίλυση του με την μεθοδο PGS

38 Συμπεράσματα 1. Εχει καλύτερη απόδοση από ότι οι συνηθισμένες επαναληπτικές χαλαρωτικές μεθόδους 2. Χαρακτηρίζεται από ένα γρήγορο ρυθμό σύγκλισης,το οποίο ελέγχεται δυναμικά, με την ρύθμιση του περιθωρίου σφάλματος 3. Μέχρι και 10 φορές γρηγορότερη επίλυση από την άμεση μέθοδο και μεγάλα κέρδη σε μεγάλα κυκλώματα 4. Σημειώνει μια εξαιρετική γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης 5. Είναι ακριβής σε όλα τα κυκλώματα με πολλούς διαφορετικούς τύπους στοιχείων 6. PGS βελτιώνουν το κέρδος και θα είναι περισσότερα αποδοτική στα κυκλώματα με περισσοτέρους fill-in όρους στον πίνακα 7. PGS παρουσιάστηκε αποδοτική μονό σε παραλλαγές της μεθόδου συζυγών κλίσεων 8. Ενδεχόμενη μελλοντική υλοποίηση στο SPICE

39 ΤΕΛΟΣ