ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016

2 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q Συνάρτηση ολικών εσόδων: TR = R(q) = pq = D(q)q = (50 2q)q = 50q q 2 Μέσα έσοδα [AR(q)] στο διάστημα [q 0, q 1 = q 0 + δq] = =R(q 0 + δq) - R(q 0 ) / δq = R(q 1 ) R(q 0 ) / δq. Τα μέσα έσοδα στο διάστημα από q 0 στο διάστημα είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, του αρχικού σημείο q 0 του διαστήματος, καθώς και του μήκους δq. δq: οι επιπλέον πωλούμενες ποσότητες πλέον των αρχικώς q 0 πωληθησών ποσοτήτων, ήτοι q 1 = q 0 + δq ή δq = q 1 q 0.

3 ΟΡΙΑΚΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Εάν η ποσότητα q και τα ολικά έσοδα μεταβάλλονται συνεχώς, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον οριακό ρυθμό ή στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής των ολικών εσόδων που ονομάζεται και οριακά έσοδα σε ένα σημείο q 0, ως την οριακή τιμή του πηλίκου των διαφορών R(q 0 + δq) - R(q 0 ) / δq, καθώς δq τείνει στο μηδέν. Τα οριακά έσοδα ή ο οριακός ρυθμός μεταβολής των ολικών εσόδων σε ένα σημείο q 0, δεν είναι τίποτε άλλο παρά το όριο των μέσων εσόδων ή του μέσου ρυθμού μεταβολής των ολικών εσόδων στο διάστημα [q 0, q 0 + δq] καθώς το δq τείνει στο μηδέν. Τα οριακά έσοδα, σε αντίθεση με τα μέσα έσοδα, εξαρτώνται μόνο από το σημείο q 0 επειδή οι όροι που περιέχουν το δq γίνονται προοδευτικά αμελητέοι καθώς το δq τείνει στο μηδέν.

4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παράγωγος: Παράγεται από την f(x) και εκφράζει τη στιγμιαία ή σημειακή ταχύτητα μεταβολής της συνάρτησης σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Οριακή ανάλυση: Νεοκλασικοί οικονομολόγοι. Σχολή οριακής οικονομικής ανάλυσης: οριακοί ρυθμοί μεταβολής των οικονομικών μεγεθών. Η παράγωγος εκφράζει της οικονομικής συνάρτησης εκφράζει το οριακό μέγεθος της.

5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω f μια πραγματική συνάρτηση και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 όταν και μόνο όταν η οριακή τιμή του πηλίκου των διαφορών φ(x) υπάρχει και είναι πεπερασμένη, δηλαδή όταν: f x f(x lim 0 ) f x ή lim 0 +h f(x) x x 0 x x 0 h 0 h Η οριακή αυτή τιμή ονομάζεται παράγωγος της f στο σημείο x 0, συμβολίζεται με df(x 0) dx (Leibnitz), f (x 0 ), Lagrange, Df(x 0 ), Cauchy. Η παράγωγος ονομάζεται και οριακός ρυθμός μεταβολής ή στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο x 0. Η παράγωγος μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο σε εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της.

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σταθερή συνάρτηση: f(x) = c f (x) = 0. Ευθεία γραμμή: f(x) = αx + b, α 0 f (x) = α. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού ενός κύκλου με ακτίνα r είναι ίσος με την περιφέρεια του: f(r) = πr 2 f (x) = 2πr. Η συνάρτηση f(x) = x με πεδίο ορισμού το διάστημα (0, ) έχει παράγωγο f x = 1 2 x Η παράγωγος της f x = 3 x στο σημείο x = 0 είναι +.

7 ΠΛΕΥΡΙΚΕΣ Ή ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Μια συνάρτηση δεν μπορεί να έχει παράγωγο σε σημεία ασυνέχειας. Έστω f μια συνάρτηση, x 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και για h>0, [x 0, x 0 + h), (h, x 0 h, x 0 ] δύο διαστήματα που περιέχονται γνησίως στο D(f). Τότε λέμε ότι η f είναι από δεξιά (αριστερά) παραγωγίσιμη στο x 0 όταν και μόνο όταν η οριακή τιμή f x lim 0 +h f(x 0 ) f x ( lim 0 +h f(x 0 ) ) h 0 + h h 0 h υπάρχει και είναι πεπερασμένη. Η οριακή αυτή τιμή ονομάζεται δεξιά (αριστερή) παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f + x 0 (f (x 0 )αντίστοιχα). Οι f + x 0 (f x 0 ονομάζονται και μονόπλευρες ή πλευρικές παράγωγοι. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν οι πλευρικές παράγωγοι υπάρχουν και είναι ίσες. Δηλαδή αν και μόνο αν: f x 0 = f + x 0 = f (x 0 )

8 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Η παράγωγος f (x) μιας συνάρτησης y = f(x), ως μέτρο μεταβολής της y ως προς τις μεταβολές της x, έχει ένα σοβαρό μειονέκτημα. Επηρεάζεται από τις μονάδες μέτρησης των x και y. Θα πρέπει λοιπόν να βρούμε ένα μέτρο ευαισθησίας που να μην επηρεάζεται από τις μονάδες μέτρησης. Ένας τέτοιος ρυθμός μεταβολής είναι η ελαστικότητα. Ελαστικότητα μιας συνάρτησης y = f(x) είναι μια άλλη συνάρτηση που συμβολίζεται με ε y ή η y και ορίζεται ως ο λόγος του σχετικού ρυθμού μεταβολής dy y της y δια του σχετικού ρυθμού μεταβολής dx x της x. Έχουμε δηλαδή ε y = η y = dy y dy = x = x dx x y dx y f x = x f x f (x).

9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (2) Αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρανομαστή επί y/dx παίρνουμε: dy y dy y dx ε y = = dx οριακός ρυθμός μεταβολης της f dx y x = μεσος ρυθμός μεταβολης της f x dx y Έστω ότι αλλάζουμε τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών x και y της συνάρτησης y = f(x) θέτοντας αντίστοιχα x = ax και y = βy, τότε η ελαστικότητα της νέας συνάρτησης y = h(x) σύμφωνα με την προηγούμενη εξίσωση θα είναι: ε y = x dy = ax d(βy) = αβxdy = x dy. y dx βy d(ax) αβydx y dx Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης είναι ανεξάρτητη των μονάδων μέτρησης.

10 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (3) Η ελαστικότητα της γραμμικής συνάρτησης ζήτησης q = f p = a βq, β > 0 ισούται με ε q = βp f(p). Συναρτήσεις με σταθερή ελαστικότητα, y = Ap β : ε y = β. Ελαστικότητα τόξου (Μέση ελαστικότητα): Σε περιπτώσεις όπου μια συνάρτηση δεν μπορεί να εκφραστεί σε αναλυτική μορφή χρησιμοποιείται η ελαστικότητα τόξου ή η μέση ελαστικότητα μεταξύ δύο σημείων (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ) του γραφήματος της f. Αντίθετα με τη σημειακή ελαστικότητα που υπολογίζεται μοναδικά, ο υπολογισμός της ελαστικότητας τόξου εξαρτάται από το εάν θα χρησιμοποιήσουμε ως βάση το σημείο (x 1, y 1 ), ή το σημείο (x 2, y 2 ) ή τη μέση τιμή των (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 )

11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (4) Σημείο (x 1, y 1 ): ε y = x 1 Δy y 1 Δx Σημείο (x 2, y 2 ): ε y = x 2 Δy y 2 Δx Μέση τιμή (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ) : ε y = x 1+x 2 Δy y 1 +y 2 Δx

12 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Αν p = f(x) και q = g(x) τότε ισχύουν: 1. Αν y = f x + a, όπου α σταθερά, τότε ε y = p p+a ε p. 2. Αν y = af x, τότε ε y = ε p. 3. Αν y = f x ± g x, τότε ε y = pε p±qε q p±q. 4. Αν y = f x g(x), τότε ε y = ε p +ε q. 5. Αν y = f x /g(x) με g(x) 0, τότε ε y = ε p ε q. 6. Αν y = f u και u = g(x), τότε y = f(g x ) και ε y = ε f(x) ε g(x).

13 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (2) Έστω q 1 = f 1 p,, q n = f n p είναι οι συναρτήσεις ζήτησης των n καταναλωτών ενός αγαθού, τότε η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού αυτού είναι απλά το άθροισμα των ατομικών συναρτήσεων, δηλαδή Q = q 1 + +q n και η ελαστικότητα της συνάρτησης αυτής ισούται με ε q = q 1 Q ε q q n Q ε q n Δηλαδή η ελαστικότητα ε Q της συνολικής συνάρτησης ζήτησης του αγαθού ισούται προς το μέσο σταθμικό των ελαστικοτήτων των ατομικών συναρτήσεων ζήτησης, όπου ε qi των ατομικών ζητήσεων q i σταθμίζονται με τις σχετικές ποσότητες q i /Q.

14 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ y = g x = af(x), τότε y = g x = af (x) Απλή δύναμη, f(x) = x α : f x = x a = ax a 1, α ε R. Γραμμικός συνδυασμός λf + μg: (λf + μg) = λf (x) + μ g (x), λ και μ ε R. Γινόμενο fg: (fg) (x) = f (x)g (x) Γραμμικός συνδυασμός λ 1 f 1 + λ 2 f λ n f n : (λ 1 f 1 + λ 2 f λ n f n ) (x) = λ 1 f 1 (x)+λ 2 f 2 (x)+ +λ n f n (x) Γινόμενο f 1 f 2 f n : (f 1 f 2 f n ) (x) = f 1 (x) f 2 x f n x +f 1 (x) f 2 x f n 1 x f n x + f 1 x f 2 x f n x = n i=1 f i (x n j=1 j 1 f j (x))

15 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ (2) f f x g x f x g (x) Πηλίκο f/g: x =, αν g(x) 0. g g(x)) 2 Αλυσωτός κανόνας: Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x D(f) και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο σημείο f(x) D(g) τότε η σύνθετη συνάρτηση (g f)=g(f(x)) είναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει (g f) (x)=g (f(x))f (x). Γενικευμένος κανόνας δύναμης: Έστω η συνάρτηση y=[g(x)] α, α R. Τότε αν θέσουμε u=g(x), παίρνουμε y=u α, α R και με εφαρμογή του αλυσωτού κανόνα παραγώγισης παίρνουμε: dy dx = dy du du dx dy dx = aua 1 g x = a g(x) a 1 g x

16 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ (3) Κανόνας της αντίστροφης συνάρτησης: Έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Ι και f (x) 0, x I. Δηλαδή f (x)>0 ή f (x) 0, x I. Τότε η αντίστροφη g = f -1 της f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο y = f(x) του διαστήματος f(i) και η παράγωγος της g (y) = g (f(x)) δίνεται από την ισότητα: g f x = f 1 y = 1 f (x) ή dx dy = 1 dy dx

17 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: y = f x = e x τότε f x = e x y = f x = a f(x) η y γράφεται ισοδύναμα y = e lnaf(x) τότε y = lnaf x e lnaf x = lnaf x a f x ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: y = lnx τότε y = dy = 1 dx x y = lnf(x), θέτουμε u = f(x) τότε y = f (x) f(x) y = F x = f(x) g(x) τότε F x = g f x g(x) x lnf x + f(x) g(x) f(x)

18 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αν η παράγωγος f μιας συνάρτησης f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 D(f ) τότε λέμε ότι η f έχει παράγωγο δεύτερης τάξης. Η παράγωγος της f στο σημείο x 0 ονομάζεται δεύτερη παράγωγος ή παράγωγος δεύτερης τάξης στο σημείο x 0, συμβολίζεται με: f x 0 ή f 2 (x 0 ) ή d2 f(x 0 ) dx 2 = d dx df(x 0 ) dx ή D 2 f x 0 = D(Df x 0 ) Έχει πεδίο ορισμού D(f ) τα σημεία του D(f ) στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη και πεδίο τιμών τις τιμές f (x) R, x D(f ). Είναι το πρόσημο της παραγώγου της παραγώγου της y = f(x).

19 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΙΙ Αν η f (n) είναι παραγωγίσιμη για οποιαδήποτε φυσικό αριθμό σε μία γειτνίαση ενός σημείου, τότε λέμε ότι f είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη. Θεώρημα Leipnitz: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι n φορές παραγωγίσιμες στο σημείο x, τότε η fg είναι n φορές παραγωγίσιμη στο x και ισχύει fg n x = n k=0 n k f k (x)g n k (x)