Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ"

Transcript

1 Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

2 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω συνάρτηση y=f(x) Όριο L (limit) της συνάρτησης y=f(x) είναι ο αριθμός L στον οποίο τείνει η συνάρτηση όταν το x προσεγγίζει μια τιμή a. lim f(x)=l παράδειγμα: lim x a x 3 2x2 = 18=2 3 2 Για να βρούμε το όριο lim(2x 2 ) υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης 2x 2 x 3 όταν το x πλησιάζει την τιμή 3 από κάτω (Αριστερά) 2, 2.5, 2.8, 2.9, 2.95, και από πάνω (δεξιά) 4, 3.5, 3.3, 3.1, 3.05, Αν ορίζεται το όριο μιας συνάρτησης τότε η συνάρτηση είναι συνεχής: Η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχόμενη γραμμή (καμπύλη) χωρίς κενά ή ασυνέχειες. 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

3 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ y=x 3-2x 2 +3x Η συνάρτηση y=x 3-2x 2 +3x+5 είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχόμενη καμπύλη y=10/x Η συνάρτηση y=10/x Δεν είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι 2 καμπύλες μη συνεχόμενες 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

4 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=10/x ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Η συνάρτηση y=10/x -1-2 Δεν είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι 2 καμπύλες μη συνεχόμενες Η συνάρτηση y=10/x δεν ορίζεται για x=0 (y=10/0 αδύνατο) Μπορούμε να εξετάσουμε τη συμβαίνει με το όριο όταν x τείνει στο 0. Από αριστερά 0 - : x -1-1/2-1/4-1/10-1/100-1/1000-1/10000 y Όταν το x πλησιάζει το 0 από αριστερά το y μεγαλώνει και πλησιάζει 10 το - επομένως lim = x 0 x Από δεξιά 0 + : x 1 1/2 1/4 1/10 1/100 1/1000 1/10000 y Όταν το x πλησιάζει το 0 από δεξιά το y μεγαλώνει και πλησιάζει το 10 + επομένως lim = + x 0 + x Επομένως τα 2 όρια από αριστερά και δεξιά είναι διαφορετικά: lim = lim = + η y=10/x δεν είναι συνεχής συνάρτηση. x 0 x x 0 + x

5 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=10/x Η συνάρτηση y=10/x Έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα των y και οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα των x Η συνάρτηση y=10/x δεν ορίζεται για x=0 (y=10/0 αδύνατο) Όταν το x πλησιάζει το 0, το y πλησιάζει το ±, η καμπύλη της συνάρτησης πλησιάζει τον άξονα Υ, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα Y. x 1 1/2 1/4 1/10 1/100 1/1000 1/ y x -1-1/2-1/4-1/10-1/100-1/1000-1/ y Όταν το x πλησιάζει το ±, το y πλησιάζει το 0, η καμπύλη της συνάρτησης πλησιάζει τον άξονα X, έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα Χ. x y /10 1/100 1/1000 1/ / x ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: y /10-1/100-1/1000-1/ /

6 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Y Γ φ Δx Α Β Δy X y=f(x) Εφαπτόμενη ευθεία Κλίση καμπύλης συνάρτησης y=f(x) στο σημείο Α ορίζεται η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο Α. Η κλίση είναι ίση με την εφαπτομένη (tan) της γωνίας φ που σχηματίζει η ευθεία με τον χ άξονα. Η κλίση ευθείας ορίζεται από τη σχέση: Δy/Δx Μαθηματικά ορίζεται: lim Δy Δx 0 Δx δηλαδή το όριο Δy/Δx, όταν το Δx γίνει πολύ μικρό. Ονομάζεται Πρώτη Παράγωγος του y ως προς x και συμβολίζεται: f (x)= dy dx =df(x) dx = d dx f(x) Δείχνει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο Α. 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

7 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η παράγωγος μιας συνάρτησης y=f(x) είναι μια συνάρτηση που μπορεί να υπολογιστεί από τον ορισμό: f (x)= dy dx =df(x) dx = d Δy f(x)= lim dx =lim f(x+h) f(x) h 0 Δx h 0 h Παράδειγμα: f(x)=x 2 => dy dx =lim f(x+h) f(x) (x+h)2 x = lim 2 x = lim 2 +h 2 +2xh x 2 h =lim 2 +2xh =lim(h+2x)=2x h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 f(x)=x 2 +2 => dy dx =lim f(x+h) f(x) (x+h)2+2 (x = lim 2 +2) x = lim 2 +h 2 +2xh+2 x 2 2 h = lim 2 +2xh = lim(h+2x)=2x h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 Επομένως δείξαμε ότι οι συναρτήσεις x 2 και x 2 +2 έχουν την ίδια παράγωγο 2x Γράφουμε (x 2 ) =(x 2 +2) =2x ή d(x2 ) +2) dx =d(x2 =2x dx Για την εύρεση της παραγώγου χρησιμοποιούμε τους κανόνες παραγώγισης αντί του ορισμού 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

8 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Οι κανόνες παραγώγισης χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, χωρίς να εφαρμόσουμε τον ορισμό, επειδή είναι χρονοβόρος: ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ Συνάρτηση f(x) Παράγωγος f (x) a 0 x 1 ax a x n nx n-1 ax n anx n-1 e x e x lnx 1/x log a x=log e x/log e a 1/(xlog e a) 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: ΚΑΝΟΝΕΣ «ΣΥΝΘΕΣΗΣ» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συνάρτηση f(x) u(x)+v(x) u(x)-v(x) u(x)*v(x) u(x) v(x) Παράγωγος f (x) u (x)+v (x) u (x)-v (x) u(x)*v (x)+u (x)*v(x) v x u (x) u x v (x) [v(x)]2 [f(x)] n nf (x)[f(x)] n-1 f(u(x)) lnf(x) f (u(x))u (x)= dy du du dx f (x)/f(x)

9 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΔΙΑΦΟΡΑΣ Συνάρτηση f(x) u(x)+v(x) u(x)-v(x) Παράγωγος f (x) u (x)+v (x) u (x)-v (x) Αν f(x)=u(x)+v(x) => f (x)=u (x)+v (x) Παράδειγμα: y=f(x)=3x+12x 2 => f (x)=dy/dx=(3x+12x 2 ) =(3x) +(12x 2 ) =3+2*24x=3+48x Αν f(x)=u(x)-v(x) => f (x)=u (x)-v (x) Παράδειγμα: y=f(x)=3x-12x 2 => f (x)=dy/dx=(3x-12x 2 ) =(3x) -(12x 2 ) =3-2*24x=3-48x 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

10 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Συνάρτηση f(x) u(x)*v(x) Παράγωγος f (x) u(x)*v (x)+u (x)*v(x) Αν f(x)=u(x)*v(x) => f (x)=u(x)*v (x)+u (x)*v(x) Παράδειγμα 1: y=f(x)=5x 2 => f (x)=dy/dx=[(5)(x 2 )] =(5) (x 2 ) +(5) (x 2 )=5*2x+0* x 2 =10x [είναι η απόδειξη του βασικού κανόνα (ax n ) =n*ax n-1 )] Παράδειγμα 2: y=f(x)=3xe x => f (x)=dy/dx=[(3x)(e x )] =(3x)(e x ) +(3x) (e x )=3xe x +3e x 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

11 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ Συνάρτηση f(x) u(x) v(x) Αν f(x)= u(x) v(x) => f (x)=u x v x u x v (x) v(x) 2 Παράδειγμα 1: y=f(x)=1/x=> f (x)=dy/dx=[(1)/(x)] = 1 x 1 (x) = = -1/x2 x 2 x 2 εναλλακτικά για την y=f(x)=1/x=x -1 => f (x)=(x -1 ) =-1*x -1-1 =-1x -2 =-1/x 2 Παράδειγμα 2: Παράγωγος f (x) u (x) v x u x v (x) [v(x)]2 y=f(x)=5/x 2 => f (x)=dy/dx=[(5)/(x 2 )] = (5) (x2 ) (5) (x 2 ) (x 2 = 0 x2 5 2x ) 2 x 4 = 10x x 4 =-10/x 3 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

12 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης προσπαθούμε να εφαρμόσουμε τον κατάλληλο κανόνα Παραγώγισης: y=5x => dy/dx=y =(5x) =5 y=4x 6 => y =(4x 6 ) =6*4x 6-1 =24x 5 y=2 => y =0 y=2-3x => y =(2-3x) =(2) -(3x) =0-3=-3 y=5x 3 +2x+4 => y =(5x 3 ) +(2x) +(4) =3*5x =15x 2 +2 y=4x-x 6 -x 10 => y =4-6x 5-10x 9 y=3xe x => y =[(3x)(e x )] = (3x)(e x ) +(3x) (e x )=3xe x +3e x y= x2 (x 1) (x 2 ) 2 => ] x y =[ 2 x 2 [(x 1) 2 ] [(x 1) 2 ] ] =[(x 1)2 [(x 1) 2 ] 2 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: = (x 1)2 2x x 2 2(x 1) = 2x(x 1)2 2x 2 (x 1) [(x 1) 2 ] 2 (x 1) 4 =

13 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (2) Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης προσπαθούμε να εφαρμόσουμε τον κατάλληλο κανόνα Παραγώγισης: y=(x 2 3) 1/2 => dy/dx=y =[(x 2 3) 1/2 ] =1/2* (x 2 3) *(x 2 3) = 1 2 2x(x2 3) 1 2=x(x 2 3) 1 2= x x 2 3 Χρήση του κανόνα αλυσίδας (chain rule): dy dx =dy du du dx y=7e 5x2 => θέτουμε u=5x 2 οπότε y=7e u => dy dx =dy du = d(7eu ) d(5x 2 ) du dx du dx =7e u 10x=70xe 5x2 y=ln(7x 3 ) => θέτουμε u=7x 3 οπότε y=ln(u) => dy dx =dy du =d(ln(u)) du dx du d(7x 3 ) dx =1 u 21x2 = 21x2 7x 3 = 3 x 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

14 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΤΑΞΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Επειδή η παράγωγος dy/dx=f (x) μιας συνάρτησης y=f(x) είναι συνάρτηση μπορούμε να «παραγωγίσουμε» την παράγωγο συνάρτησης. Η παράγωγος της παραγώγου, ονομάζεται 2 η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης: f (x)=(f (x)) = d dx (dy y dx )=d2 dx 2 Μπορούμε να ορίσουμε την 3 η παράγωγο ως παράγωγο της 2 ης παραγώγου, κ.ο.κ. Παράδειγμα: y=f(x)=3x 5 => y =f (x)=dy/dx=(3x 5 ) =5*3x 5-1 =15x 4 => y =f (x)=d 2 y/dx 2 =(3x 5 ) =[(3x 5 ) ] =[15x 4 ] =4*15x 3 =60x 3 y =f (x)=d 3 y/dx 3 =(3x 5 ) =[y ] =[60x 3 ] =180x 2 => d 4 y/dx 4 =[180x 2 ] =360x =>.. Μπορούμε να παραγωγίσουμε μια συνάρτηση όσες φορές θέλουμε! Για να βρούμε την παράγωγο κ-τάξης παραγωγίζουμε διαδοχικά τη συνάρτηση 1,2,3,,κ φορές 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

15 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση της μορφής F(y,x)=0 ονομάζεται πεπλεγμένη γιατί δεν μπορεί πάντα να μετατραπεί σε y=f(x). Για να παραγωγίσουμε πεπλεγμένη συνάρτηση: 1. Παραγωγίζουμε ως προς x, θεωρώντας ότι το y είναι συνάρτηση του x. 2. Επιλύουμε τη σχέση που προκύπτει ως προς dy dx. F(y,x)=2x 3-6y 4 +20=0 d dx (2x3-6y 4 +20)=0 => d dx (2x3 )- d dx (6y4 )+ d (20)=0 => dx 6x2-4*6*y 3dy=0 => dx 6x2-24y 3dy =0 => dx 6x 2 =24y 3dy dx => dy dx = 6x2 24y 3 = x2 4y 3 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

16 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή ε d : Αν Q η ποσότητα και P η τιμή ενός προϊόντος, η ελαστικότητα ορίζεται σαν κλάσμα της ποσοστιαίας μεταβολής της ποσότητας ΔQ/Q για μια ποσοστιαία μεταβολή της τιμής ΔP/P: ε d = ΔQ/Q ΔP/P =ΔQ P ΔP Q = Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ΔQ/ΔP με παράγωγο (Q προς P): ε d = dq dp Παράδειγμα: Έστω συνάρτηση ζήτησης Q=10-2P => dq dp =d(10 2P) =-2 => ε dp d = dq P dp Q =-2P Q Αν P=1 => Q=10-2*1=8 => ε d = = 2 8 =-1 4 ε d = 1 <1 ζήτηση ανελαστική 4 P Q Η τιμή ε d =- 1 4 σημαίνει ότι αν αυξηθεί η τιμή του προϊόντος κατά +1% η ποσότητα θα μειωθεί κατά ¼% Αν P=2 => Q=10-2*2=6 => ε d = = 4 6 =-2 3 ε d = 2 3 <1 ζήτηση ανελαστική 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Η έννοια της ελαστικότητας στην μικροοικονομική έχει σχέση με την παράγωγο!!!

17 y ΜΕΓΙΣΤΑ-ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) Η συνάρτηση έχει ολικό Ελάχιστο στο x 1 f(x) y Η συνάρτηση έχει τοπικό Μέγιστο στο x 2 f(x) y x 1 Η συνάρτηση έχει ολικό Μέγιστο στο x 1 x x 2 x 3 Η συνάρτηση έχει τοπικό Ελάχιστο στο x 3 x 1 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: f(x) x Μια συνάρτηση f(x) ανάλογα με την μαθηματική της σχέση μπορεί να έχει ΑΚΡΟΤΑΤΑ: Μέγιστο ή Ελάχιστο Τοπικά Ακρότατα: τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΗΣ f(x) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ f (x)

18 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ y dy dx > 0 Η συνάρτηση έχει ολικό Μέγιστο στο x 2 x 2 x 1 x 3 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: dy dx < 0 f(x) x Αν η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x 2 αναγκαστικά αριστερά του x 2 θα είναι αύξουσα και δεξιά του x 2 θα είναι φθίνουσα (ώστε το x 2 να είναι μέγιστο). Επειδή η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, αριστερά του x 2 η παράγωγος f (x)= dy, που dx στο σχήμα είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας, θα είναι θετική (για να αυξάνει η συνάρτηση) ΕΝΏ δεξιά του x 2 η παράγωγος f (x)= dy, που στο σχήμα είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας, θα είναι αρνητική (για να μειώνεται η συνάρτηση). Επειδή για την παράγωγο μιας συνάρτησης προϋπόθεση είναι η συνέχεια, αναγκαστικά στο σημείο x 2 που από αύξουσα γίνεται φθίνουσα, η παράγωγος από θετική γίνεται αρνητική θα έχουμε f (x)=0 στο x 2. dx

19 y ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 1/3 dy dx > 0 dy dx = 0 dy dx < 0 f(x) Γράφημα της f(x) (πολυώνυμο 3 ου βαθμού): Η f(x) έχει 2 ακρότατα: Στο σημείο x 2 έχει τοπικό μέγιστο Στο σημείο x 5 έχει τοπικό ελάχιστο dy/dx x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Γράφημα της f (x) (πολυώνυμο 2 ου βαθμού): f (x) d 2 y > 0 dx2 x Είναι η παράγωγος της παραπάνω f(x) και την χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε «τι συμβαίνει» για τα ακρότατα της f(x) στα σημεία x 2, x 5. d 2 y < 0 dx2 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

20 y ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 2/3 dy dx > 0 dy dx = 0 dy dx < 0 f(x) Στο σημείο x 2 η f(x) έχει τοπικό μέγιστο: Αριστερά στο σημείο x 1 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx > 0 Δεξιά στο σημείο x 3 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx <0 Στο σημείο x 2 η παράγωγος αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 dy/dx f (x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 d 2 y < 0 dx2 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: d 2 y > 0 dx2 x x Γράφημα της f (x) Αριστερά στο σημείο x 1 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx > 0 Δεξιά στο σημείο x 3 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx <0 Στο σημείο x 2 η παράγωγος f (x) αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 H 2 η παράγωγος d2 y dx 2 <0 θα είναι μικρότερη του μηδέν σε όλη την περιοχή x 1 έως x 3 επειδή η f (x) είναι φθίνουσα

21 y dy/dx f (x) ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 3/3 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: dy dx < 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 d 2 y < 0 dx2 f(x) dy dx > 0 dy dx = 0 d 2 y > 0 dx2 x x Στο σημείο x 5 η f(x) έχει τοπικό ελάχιστο: Αριστερά στο σημείο x 4 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx < 0 Δεξιά στο σημείο x 6 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx >0 Στο σημείο x 5 η παράγωγος αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 Γράφημα της f (x) Αριστερά στο σημείο x 4 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx < 0 Δεξιά στο σημείο x 6 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx >0 Στο σημείο x 5 η παράγωγος f (x) αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 H 2 η παράγωγος d2 y dx 2 >0 θα είναι μεγαλύτερη του μηδέν σε όλη την περιοχή x 4 έως x 6 επειδή η f (x) είναι αύξουσα

22 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για μια συνάρτηση y=f(x) ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΓΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)= dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 <0 ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)== dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 >0 ΑΝ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ 2 ης ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΊΝΑΙ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟ (ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ f (x)= d2 y dx 2 =0) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν υπάρχουν περισσότερα από 1 σημεία (τιμές x) με f (x)= dy dx =0 τότε εξετάζουμε το Κ.Δ.Π. για το καθένα ξεχωριστά 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

23 ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ (ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ) 1 Έστω y=7x 2-2x+1 για να βρούμε τα ακρότατα: Κ.Π.Π.: dy =0 => d(7x2 2x+1) =0 => 14x-2=0 => 14x=2 => x=2/14=1/7 dx dx Επομένως η συνάρτηση για x=1/7 έχει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο) Κ.Δ.Π.: d2 y = d dx 2 dx (dy)=d(14x 2) 0 =14 >0, είναι >0 για όλες τις τιμές του x dx dx Επειδή η 2 η παράγωγος d2 y = 14 >0 το ακρότατο της συνάρτησης για x=1/7=0.14 είναι ελάχιστο. dx 2 2 Έστω y=x 3-12x 2 +44x-48 για να βρούμε τα ακρότατα: Κ.Π.Π.: dy =0 => d(x3 12x 2 +44x 48) =0 => 3x 2-24x+44=0 πολυώνυμο 2 ου βαθμού, Δ=b 2-4ac=(-24) 2-4*3*44)=48 => dx dx x 1 =3.08 και x 2 =5.15, δύο ακρότατα για την συνάρτηση (μέγιστα ή ελάχιστα) Κ.Δ.Π.: d2 y = d 24x+44) dx 2 dx (dy dx )=d(3x2 =6x-24 dx -20 Για x 1 =3.08 => d2 y =f (x dx 2 1 =3.08)=6x-24=6* = =-5.52<0 επομένως για x 1 =3.08 έχουμε μέγιστο Για x 2 =5.15 => d2 y = f (x dx 2 2 =5.15)= 6x-24=6* = =6.90>0 επομένως για x 2 =5.15 έχουμε ελάχιστο 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: y=7x 2-2x y=x 3-12x 2 +44x

24 ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: ΣΥΝΟΛΙΚΑ-ΜΕΣΑ-ΟΡΙΑΚΑ ΕΣΟΔΑ Έστω TR συνολικό έσοδο (Total Revenue), AR μέσο έσοδο (Average Revenue) και MR οριακό έσοδο (Marginal Revenue) για την πώληση x μονάδων προϊόντος. Αν έχουμε τη συνάρτηση εσόδων TR=g(x) θα ισχύει: Μέσο έσοδο AC= TR x =g(x) x Οριακό έσοδο ΜR= d(tr) dx Παράδειγμα: =dg(x) dx =g (x) ο ρυθμός μεταβολής των εσόδων για 1 επιπλέον μονάδα παραγωγής. Έστω TR=50x-2x 2 => AR=TR/x=(50x-2x 2 )/x= 50-2x και MR=d(TR)/dx=(50x-2x 2 ) = 50-4x ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΣΟΔΑ: Κ.Π.Π.: d(tr) =MR=0 => d(50x 2x2 ) =0 =>50-4x=0 => x=50/4=12.5 ακρότατο dx dx Κ.Δ.Π.: d2 (TR) = d dx 2 dx d(tr) dx = d(50 4x) =-4 <0 επομένως για x=12.5 μέγιστα έσοδα dx 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

25 ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: ΣΥΝΟΛΙΚΑ-ΜΕΣΑ-ΟΡΙΑΚΑ ΚΟΣΤΗ Έστω TC συνολικό κόστος (Total Cost), AC μέσο κόστος (Average Cost) και MC οριακό κόστος (Marginal Cost) για την παραγωγή x μονάδων προϊόντος. Αν έχουμε τη συνάρτηση κόστους TC=f(x) θα ισχύει: Μέσο κόστος AC= TC x =f(x) x Οριακό κόστος ΜC= d(tc) παραγωγής. Παράδειγμα: dx 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: =df(x) =f (x) ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής για 1 επιπλέον μονάδα dx Έστω TC=x 3 +3x 2 +6x => AC=TC/x=(x 3 +3x 2 +6x)/x= x 2 +3x+6 Ενώ MC=d(TC)/dx=(x 3 +3x 2 +6x) = 3x 2 +6x+6 ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΣΤΟΣ: Κ.Π.Π.: d(tc) =MR=0 => d(x3 +3x 2 +6x) =0 =>3x 2 +6x+6=0, Δ=6 2-4*3*6=36-72=-36 <0 επομένως δεν υπάρχει λύση dx dx η παράγωγος TC =3x 2 +6x+6 είναι πάντα θετική για τιμές x>0 οπότε δεν υπάρχουν ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα)

26 ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΕΡΔΟΥΣ Έστω TR συνολικά έσοδα (Total Revenue), TC συνολικό κόστος (Total Cost) για την πώληση x μονάδων προϊόντος. Έσοδα: TR(x)=40x-8x 2 Κόστος: TC(x)=8+16x-x 2 Τα κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος=TR-TC=-8+24x-7x 2 Για να μεγιστοποιήσουμε τα κέρδη Π πρέπει: Κ.Π.Π.: dπ =0 => d( 8+24x 7x2 ) =0 =>24-14x=0 => x=24/14=12/7 θα είναι ακρότατο dx dx Κ.Δ.Π.: d2 Π = d(24 14x) =-14 <0 επομένως το x=12/7 είναι μέγιστο dx 2 dx ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα Μέγιστα Κέρδη δεν σημαίνουν απαραίτητα Μέγιστα Έσοδα ή Ελάχιστο Κόστος Μέγιστα Έσοδα: TR(x)=40x-8x 2 Κ.Π.Π.: dtr =0 => dx TR =(40x-8x2 ) =40-16x=0 => x=40/16=5/2=2.5 ενώ Κ.Δ.Π.: d2 TR =TR =(TR ) =(40-16x) =-16<0, επομένως το dx x=2.5 είναι μέγιστο εσόδων. 2 Ελάχιστα Κόστη: TC(x)=8+16x-x 2 Κ.Π.Π.: dtc dx =0 => TC =(8+16x-x2 ) =16-2x=0 => x=16/2=8 ενώ Κ.Δ.Π.: TC =(TC ) =(16-2x) =16>0, επομένως το x=8 είναι ελάχιστο κόστος. Μέγιστα Κέρδη x=12/7, Μέγιστα Έσοδα x=2.5, Ελάχιστο Κόστος x=8 (ΔΕΝ ΣΥΜΠΙΠΤΟΥΝ!!!) 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

27 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Το κόστος αποθεμάτων C επιχείρησης ως συνάρτηση του μεγέθους παραγγελίας q δίνεται από τη συνάρτηση: C=4860q q+7500 Να βρεθεί το q που ελαχιστοποιεί το κόστος. Το ζητούμενο είναι ελαχιστοποίηση κόστους C επομένως: Κ.Π.Π.: dc dq =0 => C =(4860q-1 +15q+7500) =-4860q =0 => 4860q -2 =15 => 4860/q 2 =15 => 4860=15q 2 => q 2 =4860/15=324 =>q=±18, το -18 απορρίπτεται γιατί το q είναι ποσότητα παραγγελίας και δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Κ.Δ.Π.: d2 C dq 2 =C =(C ) =(-4860q ) =-2*4860q -3 =9720/q 3 > 0 για οποιοδήποτε q>0, επομένως το q=18 είναι η τιμή που δίνει ελάχιστο κόστος. Το ελάχιστο κόστος είναι: C(q=18)=4860/18+15* = ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (1) 6.1 (Β 7.1) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: y=6(x-5) 1/2 y=(2x-3)/5x y=e x (x-2) 1/2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Εφαρμογή κανόνων 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (2) 6.2 (Β 7.5) Η συνάρτηση για ένα αγαθό είναι q=20-4p a) Να βρεθεί η ελαστικότητα ζήτησης b) Να υπολογιστεί η ελαστικότητα για p=4, τι σημαίνει αυτό το αποτέλεσμα? c) Για ποια τιμή η ελαστικότητα γίνεται μοναδιαία. ΕΠΙΛΥΣΗ: ε d = dq P dp Q 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (3) 6.3 (Β 7.8) Η μηνιαία παραγωγή εταιρίας περιγράφεται από τις συναρτήσεις: R(x)=60x x C(x)=0.1x 3-20x x+8000 Στους επόμενους μήνες η παραγωγή αυξάνεται σύμφωνα με τη σχέση x=80+4t 2 /5 Να υπολογιστούν τα οριακά μεγέθη σε σχέση με το χρόνο: dr/dt, dc/dt, dπ/dt. ΕΠΙΛΥΣΗ: Σύμφωνα με τον κανόνα αλυσίδας: dr/dt=(dr/dx)(dx/dt) 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (4) 6.4 (Β 7.10) Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή είναι p+3q-30=0 και η συνάρτηση κόστους είναι C(q)=2q 2 +10q. Να υπολογιστούν: a) Η παραγωγή και η τιμή που μεγιστοποιούν τα κέρδη. b) Η ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο μεγίστου κέρδους. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, Έσοδα=τιμή πώλησης * ποσότητα πώλησης. 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

32 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (5) 6.5 (Β 7.11) Η συνάρτηση κόστους μιας επιχείρησης TC=3x+8x 2 +2x 3 a) Βρείτε το μέσο κόστος AC και οριακό κόστος MC. b) Αν τα έσοδα είναι TR=20x-3x 2 βρείτε τα AR, MR. c) Βρείτε σε ποια τιμή του x μεγιστοποιείτε το κέρδος. d) Ελέγξτε αν το μέγιστο κέρδος αντιστοιχεί σε μέγιστα έσοδα. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (6) 6.6 Ένας παραγωγός πουλάει x προϊόντα την εβδομάδα στην τιμή P= x το καθένα. Το συνολικό κόστος για την παραγωγή των x αυτών προϊόντων είναι C(x)=50x Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος; Να βρεθεί το κέρδος αυτό και η τιμή πώλησης. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (7) 6.7 (ΑΛ 20) Η ποσότητα παραγωγής επιχείρησης qv σαν συνάρτηση του αριθμού των εργαζομένων l δίνεται από τη συνάρτηση q(l)=100l 2-0.1l 4. Με ποιο αριθμό εργαζομένων επιτυγχάνεται μέγιστη παραγωγή και πόση είναι η μέγιστη παραγωγή. ΕΠΙΛΥΣΗ: ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

35 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (8) 6.8 (ΑΛ 40) Η συνάρτηση ζήτησης είναι p= x ενώ το κόστος δίνεται από τη σχέση C(x)=50x Βρείτε το x για μέγιστα κέρδη, το μέγιστο κέρδος και την τιμή για το μέγιστο κέρδος. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 35 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΕΝΝΟΙΕΣ Q ή q : Ποσότητα (Quantity) προϊόντος ρ, Ρ : τιμή (Price) προϊόντος ανά μονάδα προϊόντος. Συνάρτηση τηςζητησης; Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του. Δηλαδή Qd = f(p).

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση συναρτήσεων

Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών συναρτήσεων Ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής Παράγωγοι ανώτερης τάξης Εύρεση μεγίστων-ελαχίστων Οικονομικές συναρτήσεις Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Συναρτήσεις Συνάρτηση: Μαθηματική σχέση μεταξύ 2 ή περισσότερων μεταβλητών. y=f(x) η μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι

Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι 2η Γραπτή Εργασία: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 (Μονάδες 23) Το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC=550 ευρώ όταν η παραγωγή είναι Q=100 τεμάχια και το σταθερό κόστος είναι FC=50

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.9.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 1 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.9.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Μελέτη μονοτονίας (αύξουσα φθίνουσα) συνάρτησης f i) Βρίσκουμε την παράγωγο f ii)

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση. Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 5 Ιανουάριος 2014

Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση. Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 5 Ιανουάριος 2014 Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 5 Ιανουάριος 2014 Ελαστικότητα Ελαστικότητα Γενικά η ελαστικότητα μας δείχνει πως αντιδρά μια εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 2 3 / 1 0 / 2 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης.

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Η ελαστικότητα ζήτησης, ενός αγαθού ως προς την τιμή του δίνεται από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του. Δηλαδή %

Διαβάστε περισσότερα

Ο Νόµος της Ζήτησης και της Προσφοράς Ισορροπία Αγοράς. Τεχνικές αριστοποίησης και σύγχρονα εργαλεία

Ο Νόµος της Ζήτησης και της Προσφοράς Ισορροπία Αγοράς. Τεχνικές αριστοποίησης και σύγχρονα εργαλεία Ο Νόµος της Ζήτησης και της Προσφοράς Ισορροπία Αγοράς Τεχνικές αριστοποίησης και σύγχρονα εργαλεία µάνατζµεντ 1 Ο Νόµος της Ζήτησης Μια µείωση στην τιµή ενός αγαθού, ενώ όλα τα άλλα µεγέθη παραµένουν

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Παραγωγής Q (production function):

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1 Άσκηση. Κεφάλαιο Έστω χ η πόσοτητα ενός αγαθού που παράγει μια επιχείρηση. Η κάθε μονάδα αυτής της ποσότητας μπορεί να πουλήθει στην τιμή που δίνεται από τη συνάρτηση P = 00. Το συνολικό κόστος για την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 26/2/2010 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς 26/2/2010 2 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η μελέτη των επιλογών τις οποίες κάνουν οι μικρο-μονάδες μιας οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 01-013 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η συνάρτηση y=f(x), έχει 1 ανεξάρτητη μεταβλητή x Η

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 3 ο Μάθημα: Παράγωγος Συνάρτησης Διδάσκουσα: Κοντογιάννη

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 3 ο Μάθημα: Παράγωγος Συνάρτησης Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 3 ο Μάθημα: Παράγωγος Συνάρτησης Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σχέση με τα οικονομικά Στην επιστήμη των οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποια η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i.  Σ Λ Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ολοκληρωτικός Λογισμός (μέρος ) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 7-2278101 Φαξ: 7-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα. . ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Συνολικά Έσοδα Συνολικά Έσοδα αποκαλούμε τη συνολική πρόσοδο (Total Revenue) που αποκομίζει μια επιχείρηση από την πώληση των προϊόντων της. TR = P * όπου Ρ είναι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι Εργασία - ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ - ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Παρακάτω δίνονται συνολικά ασκήσεις με πολλαπλά ερωτήματα τις οποίες θα επιλύσετε

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Μοντέλα ζήτησης και προσφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.4. Αν αυξηθεί η αμοιβή της εργασίας η καμπύλη του οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα επάνω και αριστερά.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.4. Αν αυξηθεί η αμοιβή της εργασίας η καμπύλη του οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα επάνω και αριστερά. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2008-2009 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών

Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών 1. Έστω ότι μία οικονομία, που βρίσκεται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων, παράγει σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή 10 τόνους υφάσματος και 00 τόνους τροφίμων.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ και ΘΡΑΚΗΣ Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ και ΘΡΑΚΗΣ Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ - Α Εξαμήνου Διδάσκων : ΦΛΩΡΟΥ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 31 / 01/ 2014 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2,0 ώρες ΟΔΗΓΙΕΣ Η εξέταση γίνεται με κλειστά βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η

ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 1 ΕΡΓΑΣΙΑ Η 8 9 Η λύση της εργασίας είναι ενδεικτική και ο υποψήφιος θα πρέπει να βασιστεί σε αυτή και να επιφέρει τις δικές του αλλαγές. Ενημερωθείτε για τις προσφορές πακέτου για όλες τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσφορά των Αγαθών Καμπύλη Προσφοράς Υποθέσεις 1. Η επιχείρηση είναι αποδέκτης τιμών (price taker) και όχι διαμορφωτής τιμών (price maker). 2. H επιχείρηση στοχεύει στην μεγιστοποίηση του κέρδους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ . ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ.Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων που ορίζονται από τους τύπους 9 7 b k bk θετικές σταθερές lo / /. Να υπολογιστούν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Αγορές - Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 6 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Αγορές - 6 Δεκεμβρίου 2012 1 / 26 Ως τώρα, υποθέσαμε ότι οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Μία συνέπεια των

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

25. Μία τυπική επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού, στη μακροχρόνια θέση ισορροπίας της: α. πραγματοποιεί θετικά οικονομικά κέρδη. β. πραγματοποιεί μηδενικά οικονομικά κέρδη. γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας δούμε τα γραφήματα των συναρτήσεων των τριών τελευταίων παραδειγμάτων του τελευταίου μαθήματος. Στο πρώτο παράδειγμα το γράφημα καθεμιάς f () = είναι

Διαβάστε περισσότερα