(1.1) în care am neglijat termenii de ordin superior. Al doilea termen din (1.2) este zero datorită condiţiei de echilibru (1.1).

Transcript

1 - - II. OSCILŢII ŞI UNDE MECNICE. Osclaorul lar armoc Mşcara uu corp s o mşcar osclaor acă s rpă proc î mp. Mşcara osclaor ar loc î jurul u pozţ chlbru. O plasar a corpulu pozţa chlbru prsupu sţa u forţ car să raucă corpul î pozţa chlbru. Î pozţa chlbru acasă forţă s zro ( fţa chlbrulu). p cosrvav r F U r la osclaorul lar cosra rzulă: U F u U s rga poţală. D coţa chlbru a corpulu (F ) rzulă: U Cosrăm u corp masă m lga u rsor car osclază fără frcar î lugul a O. Sum mşcara crulu masă al corpulu. Parcularzâ formula fţ a forţ (.) U u s cooroaa pozţ chlbru ( s soluţa cuaţ ). Pru plasăr mc pum zvola rga poţală U î sr aylor î jurul lu : U U() U( ) ( ) U ( ) (.) î car am glja rm or supror. l ola rm (.) s zro aoră coţ chlbru (.). Mărma k U s umş cosaă lască. Dc: k ( ) U() U( ) (.3) Pum alg (raslaăm orga a O î crul masă al corpulu) ş U( ) (rga poţală rfrţă s ulă). sfl rga poţală a osclaorulu lar v:

2 - - k U (.) car rprză grafc o parabolă. Pru plasăr mc î jurul pozţ chlbru rga poţală rală (curba pucaă) poa f apromaă pr rlaţa (.). Forţa (.) U F k (.5) va rauc corpul î pozţa chlbru acă s opu plasăr. sfl coţa chlbru sabl î pucul s: k > (.6) Doarc pru valor al lu pozv sau gav ar sufc mc (pru a f valablă rlaţa (.)) fucţa U() s crscăoar, rzulă că î pozţa chlbru sabl ( ) rga poţală U() ar u mm. Fucţa lu Hamlo pru osclaorul lar ar prsa: mv H U Ecuaţl lu Hamlo su: H & p p m H p& k Elmâ p cl ouă rlaţ: p m & p& m & & rzulă cuaţa: u: p U m k m & & p& k p& k k k & m (.7) (.8) & (.9) k (.) m s pulsaţa propr (aurală) a osclaorulu. Ecuaţa (.9) s o cuaţ frţală orul o, fără rmul cu rvaa orul îâ ş omogă (fără rmul lbr) cu cofcţ cosaţ.

3 - 3 - Soluţa grală a cuaţ (.9) c scr o mşcar osclaor armocă (amplua ş pulsaţa rămâ cosa) s: C C (.) sau ua formull chval: cos ( ϕ ) (.) s ( ϕ ) (. ) a s b cos (.3) ( ϕ ) [ cos ( ϕ ) s ( ϕ ) ] (.) S poa arăa uşor că rlaţl (.) (.) vrfcă cuaţa (.9). Forma (.) s foar comoă î aplcaţ, oarc calcull cu poţ su ma uşor fcua. Para rală a prs (.) coc cu (.). sfl s poa ulza rprzara osclaţlor pr umr compl (.), ar î rzulaul fal s rţ para rală. Î (.), s amplua osclaţ, s pulsaţa osclaţ, ϕ s faza ţală, ar ϕ s faza momaă (grală) a osclaţ. Elogaţa () f o fucţ procă mp a acaş valoar câ mpul crş cu o proaă, () ( ), cos ( ϕ ϕ ϕ π (.5) ) cos [ ( ) ] cos ( ) u am folos fapul că proaa cosusulu s π. D (.5) rzulă: π π π ν u ν s frcvţa (umărul osclaţ fcua î uaa mp). D (.) rzulă vza s ϕ v ( ) E s ( ϕ) cos ( ϕ) m k (.6) Erga oală a osclaorulu s: mv k m m m (.7) D (.7) rzulă: E E c ma U ma Pru rzulă U U ma, ar pru rzulă U. Grafcul rg poţal s forma fgura alăuraă. Î cazul osclaorulu lar armoc valoara m mporală a rg cc s gală cu valoara m mporală a rg poţal Ec U (.8) u

4 - - m m s Ec Ec ( ) ϕ (.9) m m cos U U ( ) ϕ (.) Î cazul î car rv frcara, cl ouă valor m su fr.. Osclaţ amorza U corp afla î mşcar osclaţ îîmpă o rzsţă cauza forţ frcar. Dacă frcvţa vbraţ a corpulu s mcă, auc forţa frcar p uma vză. Pru vz mc pum zvola forţa frcar î sr aylor upă purl vz. rmul orul zro al sr s ul, oarc c o forţă frcar u acţoază asupra uu corp mobl. Prmul rm car u s aulază s proporţoal cu vza: F f r &, r > (.) u r s cofcul frcar a corpulu cu mul î car osclază. Smul mus araă că forţa acţoază î ss opus vz. Doarc asupra corpulu acţoază ş forţa lască F k, k > (.) rzulă cuaţa frţală a osclaţlor amorza: sau u m & k r& (.3) r k & & & & (.) m m r m, k m (.5) s cofcul amorzar mporală, ar s pulsaţa propr (î absţa frcărlor). Ecuaţa (.) s o cuaţ omogă cu cofcţ cosaţ, avâ soluţa forma: () C λ (.6) u C ş λ su cosa. Îlocu (.6) î (.) s obţ cuaţa caracrscă: cu soluţl: λ λ (.7) λ, ± (.8) a) Cazul frcărlor s ( > ) Î acs caz răăcl cuaţ caracrsc (.8) sî ral ş gav:

5 - 5 - λ, λ (.9) Soluţa ca ma grală a cuaţ (.) s o suprapur a ouă soluţ lar p cu ouă cosa arbrar C ş C : C λ C λ λ λ C C (.) Cosal C ş C s rmă coţl ţal (logaţa ş vza la momul ). casa s o mşcar aprocă (procă) amorzaă. Forma grafculu logaţ î fucţ mp p valoara vz ţal. b) Cazul crc ( ) Î acs caz răăcl cuaţ caracrsc (.8) su gal λ λ. Soluţa C obţuă (.6) u s complă, oarc puc vr mamac soluţa u cuaţ frţal orul o rbu să abă ouă cosa arbrar. D puc vr fzc, cl ouă cosa ar prm spcfcara coţlor ţal (pozţa ş vza). D aca folosm moa varaţ paramrlor, luâ o soluţ forma: u () (.) Impuâ ca soluţa (.) să vrfc cuaţa (.) obţm: & u& u, & && u u& u& u & u u& u u& u u & u u u Dar & u u u & u u a b sfl soluţa grală a cuaţ (.) s: (a b) Soluţa grală a cuaţ (.) s: C λ C λ C (.) casa s o mşcar aprocă crcă. Corpul s plasază spr pozţa chlbru îr-u mp mm, fără a oscla î jurul acsa. c) Cazul frcărlor slab ( < ) Î acs caz răăcl cuaţ caracrsc (.8) su compl. C

6 u: ( C C ) (.3) (.) s psuopulsaţa. Ulzâ rlaţl lu Eulr obţm: u: [ C ( cos s ) C ( cos s ) ] ( a cos b s ) a C C, b (C C ) Pru rzulă a, ar pru π rzulă π (.5) b. Doarc, π, ş su ral, rzulă că a ş b su ral. Soluţa (.5) poa f scrsă ş sub forma: cos ϕ (.6) ( ) Ifcâ (.5) cu (.6) rzulă: ( cos cos ϕ s s ϕ) a cos b s cos ϕ a, - s ϕ b a b b, g ϕ (.7) a D (.6) s cosaă că caracrzază scăra î mp a amplu: () (.8) casă mşcar s umă psuoprocă. Psuoproaa π π (.) (.9) π s ma mar câ proaa mşcăr amorza. (Pru > psuoproaa s magară, ar pru rzulă, asfl că î acs cazur mşcara u poa f procă. Î cazul mşcăr slab amorza ( < ) grafcul logaţ î fucţ mp ar forma fgură. Dcrmul logarmc Λ s f ca logarmul aural al raporulu a ouă valor succsv al amplu, spara prr-u mp o psuoproaă:

7 - 7 - () Λ l l l (.) ( ) ( ) Pr măsurara crmulu s poa rma graul amorzar spcfc uu maral. mplua mşcăr sca î mp aoră prrlor rg cauza forţa frcar. Lucrul mcac fcua forţa frcar s: ( ) L f F F r f f & & < (.) () D rlaţa (.6) rzulă vza: & cos ( ϕ) s ( ϕ) cos ( ϕ) s ( ϕ) Î cazul u amorzăr foar mc, <<, pum glja prmul rm paraza păraă, obţâ: & s ( ϕ) m & m E c Erga poţală s: k m U Erga oală v: m s m ( ϕ) cos ( ϕ) [ s ( ϕ) cos ( ϕ) ] E (.) (.3) (.)

8 - 8 - Pru <<, rlaţa (.) obţm: Îlocu cu î (.) obţm o prs smplfcaă pru rga oală: m E (.5) La avm: m E (.6) sfl: E E (.7) S cosaă că rga oală sca poţal cu mpul. Scăra rg oal î mp s caracrzaă cosaa mp τ, car rprză mpul upă car rga sca or faţă rga ţală: E () τ E τ E E τ m τ (.8) r Dacă auc τ, ar E E (rga osclaorulu amorza). S fş mpul rlaar τ ca f mpul upă car amplua () sca or: () ( τ ) ( τ ) τ τ m τ (.9) r Cosal mp al armoclor gra sursl soor au caţ prv calaa suulu. Erga spaă îr-u rval mp scur s o mărm pozvă: E E (.7) E (.3)

9 - 9 - U psuoproa π î corspu π raa ş c uu raa î corspu u rval mp gal cu. Graul auar a uu osclaor poa f caracrza pr facorul cala Q, f ca raporul îr rga oală a osclaorulu ş rga spaă îr-u rval mp gal cu /. E Pru rga spaă s E. sfl facorul cala s: Q E E (.3) U osclaor slab amorza ar Q >>. sfl o cava mcrou supracoucoar ar Q > 7. Pru u osclaor amorza ( ), facorul cala s f. D rlaţa (.) rzulă: (.3) Q Pru Q. 3. Osclaorul forţa amorza (fără frcar) Cosrăm u osclaor lar asupra cărua acţoază, p lâgă forţa lască, o forţă roară procă: F () F cos (3.) Ecuaţa mşcar a osclaorulu forţa fără frcar s: m & & k F cos (3.) sau & f cos (3.3) u f F /m s saa mască a amplu forţ armoc, ar k/m s pulsaţa propr. Soluţa grală a cuaţ omog (3.3) s gală cu suma r soluţa grală a cuaţ omog omog. C cos ( ϕ) ş o soluţ parculară a cuaţ omog, car s a forma mmbrulu rapa omog. cos. Î cazul soluţ parcular omog u am lua ş u fazaj, oarc î cuaţa mşcar u rv rmul î & aora forţ frcar. Dc: cos ϕ cos (3.) C ( ) Pru mp mul ma mar câ mpul rlaar τ, amplul prmulu rm su pracc ul omog ( >> τ ) << ş c î rgm saţoar, câ osclaţl razor s-au ss: cos (3.5) Impuâ ca soluţa (3.5) să vrfc cuaţa (3.3), obţm:

10 - - & s, & cos, cos cos f cos f (3.6) sfl soluţa v: f cos (3.7) Soluţa (3.7) u s complă, oarc u coţ c o cosaă arbrară, asfl că u pum spcfca pozţa ş vza ţală a osclaorulu. Rzulă că, upă u mp î car pum glja cobuţa soluţ gral a cuaţ omog, fcul coţlor ţal s pr. Varaţa amplu rlaţa (3.6) cu pulsaţa s rprzaă î fgură. Grafcul rprză o curbă sprs ş aca amplua s umă amplu sprsvă. La amplua ar valoara f /, ar pru rzulă. Î cazul î car pulsaţa forţ armoc roar s gală cu pulsaţa aurală a osclaorulu ( ), avm u fom rzoaţă, oarc amplua osclaţlor crş fără lmă ( ). mplua ssmlor fzc ral s îoaua fă, îrucâ rv frcara. Pru <, s pozv, ar pru >, s gav. mplua gavă araă că acă forţa varază ca F cos, plasara varază ca cos. cos rzulă că smul mus s chval cu u fazaj gal cu ± π raa ( ± 8 ) îr forţă ş plasar. Dfazajul ral s π, aoră îârzr răspusulu corpulu oscla la caţ. Doarc cos ( ± π) Pru < plasara s î fază cu forţa. Rzulă că faza s schmbă cu π raa la rzoaţă.. Osclaorul forţa amorza (cu frcar) Cosrăm u osclaor lar asupra cărua acţoază, p lâgă forţa frcar forţa lască k ş o forţă roară procă F cos. Ecuaţa mşcar s: m & k r & F cos r &,

11 - - & & f cos (.) u: r k, F, f (.) m m m Doarc & rouc u rm î s, vom alg o soluţ parculară a cuaţ omog forma: B cos C cos ϕ (.3) s ( ) Pru mp mul ma mar câ mpul rlaar, soluţa grală a cuaţ omog s gljablă ş c soluţa cuaţ (.) î rgm saţoar s: cos ϕ (.) ( ) Osclaţa s forţaă oarc pulsaţa (.) s gală cu pulsaţa forţ roar. S-a lua ϕ aoră îârzr răspusulu corpulu oscla la caţ. Impum ca soluţa (.) să vrfc cuaţa (.) : & & s ( ϕ), & cos ( ϕ) cos (.5) ( ϕ) s ( ϕ) cos ( ϕ) f cos casă gala rbu să f valablă la orc mom, c î parcular ş pru ş fţ pr: π ϕ π, ϕ f cos ( π ϕ) ( ) f cos ϕ (.6) f ( ) f π cos ϕ f s ϕ (.7) g ϕ (.8) s ϕ f f ( ) f ( ) f f (.9) ( ) sfl î rgm saţoar soluţa cuaţ (.) s:

12 - - ( ) f cos arcg (.) Dacă ţal corpul a fos î sar rpaus, ar asupra sa a îcpu să acţoz forţa procă roară, corpul îcp să fcuz osclaţ forţa a căror amplu crş pâă câ ag valoara mamă aă rlaţa (.9)... Rzoaţa ampluu Pru a uc pulsaţa a forţ armoc roar pru car amplua osclaţ forţa s mamă, galăm cu zro rvaa lu (.9) î rapor cu. sau: f Doarc ( ) [ ( )( ) 8 ] 3 f ( ) ( ), rzulă: u Q s facorul cala. Iroucâ (.) î (.8) ş (.9) obţm: 3 (.) (.) Q (.3) g ϕ g ϕ (.)

13 - 3 - f f ( ) ( ) f (.5) Câ, amplua mşcăr osclaor v foar mar, caracrzâ fomul rzoaţă amplu. Pru <, v compl ş c u avm rzoaţă, amplua scrscâ couu. Dpţa amplu ş a faz ϕ s fluţaă foar mul mărma facorulu cala Q. Pru (Q ) rzulă, acă pulsaţa forţ roar s gală cu pulsaţa propr. Î acs caz (.5) rzulă că amplua s fă. casă suaţ u s ralzază pracc, oarc îoaua rv rzsţa mulu. ouş, arbor maşlor rap să s rupă la rzoaţă. La arbor forţa roară prurbaoar s cauzaă mposblaa crăr rguroas p aa roaţ a rooarlor ş a pslor moa p. P baza fomulu rzoaţă s po cosru rzoaor acusc. Î vcăaa pulsaţ propr, faza ϕ s schmbă cu aâ ma mul, cu câ s aprop zro (Q ). rbu să ţm sama că î prsa logaţ am lua fazajul ϕ î loc ϕ. Pru << logaţa s pracc î fază cu forţa caoar, ar p măsură c s aprop răspusul ssmulu s îârza ca fază faţă forţa caoar... Rzoaţa rg poţal m Erga poţală ar prsa: k m m U cos ( ϕ) Valoara m mporală a rg poţal s: (.6)

14 - - m U (.7) D coţa mam a acs rg m obţm: U ( ( ) ) ( )( ) [ ] ( ) 8, ϕ g, f (.8) S cosaă că rzoaţa rg poţal m ar caracrsc asmăăoar cu rzoaţa amplu ( ş g ϕ su aclaş). Valoara mamă a rg poţal m s: 6 f m m U ma (.9) Valorl lu pru car U U ma s obţ asfl: ( ) ( ) 3 f m f m ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ± ± Doarc > rzulă:, (.).3. Rzoaţa ccă a vz D rlaţa (.) pum rma vza:

15 - 5 - ( ) ϕ s & (.) Îrucâ pru ssml oscla rsază î prmul râ fazajul & ϕ r răspusul cc () & ş caţa F (), folos rlaţa (.) obţm: π ϕ cos & ( ) cos & ϕ & ϕ π ϕ (.) D rlaţl (.) ş (.9) pum rma amplua vz: ( ) ( ) f f v f v (.3) Pru a obţ pulsaţa a forţ armoc roar pru car amplua vz s mamă, galăm cu zro rvaa lu V î rapor cu : v 3 o (.) Rlaţa (.) prmă coţa ralzar a rzoaţ cc. Pru, (.) v gal cu. Îlocu î (.8) ş (.3) obţm: g v ϕ π ϕ v (.5)

16 - 6 - ( ) f v ma f v ma (.6) D (.) rzulă: & v ϕ (.7) acă la rzoaţă răspusul cc & s î fază cu caţa F(). D (.9) rzulă f car coc cu (.5) pru... Rzoaţa pur spa m ş a rg cc m Pura spaă forţa frcar s: P ( ) ( ) ϕ s r. r r F f & & & & (.8) Ma mporală a pur spa s rmă asfl: P ( ) r f.3 r v r P (.9) D coţa mam a pur spa m obţm: P, π ϕ, ϕ & (.3) S cosaă că rzoaţa pur spa m ar caracrsc asmăăoar cu rzoaţa ccă a vz. Valoara mamă a pur spa m s: ( ) 8 r f.9 P ma (.3) Valorl lu pru car P P ma s obţ asfl:

17 - 7 - f r f 6 r ( ) 8 (.3) ± ± m ± Doarc s pozv, ar < rzulă: m, (.33) (.3) Erga ccă a osclaţlor forţa s: m & m E s c ( ϕ) Ma mporală a rg cc s aă rlaţa: (.35) m m V E c Ec (.36) Doarc E c ar acaş pţă ca ş P (rmaă V ) rzulă că valoara mamă a rg cc m corspu o lu π, ϕ, ϕ & m f E cma (.6) (.37) 6 Noăm cu ş pulsaţl forţ armoc roar pru car rga ccă a osclaţ forţa s gală cu jumăa valoara mamă: E c m f m f ma E c 3

18 - 8-8 (.3) ( ) Rzulă aclaş valor ş a î rlaţa (.33). s umă lăţma bz rcr î scara pulsaţlor. Grafcul rg cc m î fucţ s o curbă rzoaţă Lorz..5. Rzoaţa pur oal m Pura oală furzaă forţa roară s: & P F F cos ( ) s ( ϕ) F cos s ( ϕ) F cos [ s cos ϕ s ϕ cos ] F s cos ϕ F s cos ϕ Pura oală m s obţ uşor oarc s, cos F s ϕ P (.38) Îlocu F m f ş s ϕ rlaţa (.7) obţm: sau s ϕ (.39) f m f P f Doarc P ar acaş pţă ca ş P m (.) P m (.) V P ş că valoara mamă a pur oal m corspu la, Pura mamă s obţ rlaţl (.) ş (.6): E c (rmaă V ) rzulă π ϕ, ϕ &. f m f Pma m Pma (.) Pulsaţl ş pru car pura oală m s gală cu jumăa valoara mamă s obţ asfl:

19 - 9 - Pma P 8 f m f m 8 ( ) (.3) (.3), (.) (.5) s umş lărgm oală a l rzoaţă. D rlaţa (.5) ş fţa facorulu cala Q (.6) obţm: Q (.7) sfl facorul cala s gal cu raporul îr pulsaţa rzoaţă ş lărgma l rzoaţă. Cu câ Q crş ( sca), cu aâ curba rzoaţă Lorz v ma îală ş ma îgusă. Î acs caz s spu că slcvaa osclaorulu crş. Doarc cosaa mp ş mpul rlaar au prsl: rzulă: τ, τ (.8) τ (.9) (.5) τ Î urma u prurbăr accal a uu osclaor cu îală slcva ( mc), osclaţa va ura u mp îluga ( τ mar). Rlaţa (.9) s asmăăoar rlaţ cru mcaca cuacă. sfl lărgma curb rzoaţă a osclaţlor forţa s gală cu vrsul cosa mp a osclaţlor lbr. s vrs proporţoală cu mpul rlaar τ..6. mplua absorbvă ş amplua sprsvă (lască) Pum obţ aclaş rzula folos rprzara complă. Î acasă rprzar cuaţa (.) v: & z z& z f (.5) u z s o mărm complă. Î rgm saţoar, soluţa cuaţ (.5) s forma: z z (.5)

20 - 3 - Impuâ soluţ (.5) să vrfc cuaţa (.5) obţm: z & z, & z z, z z z f f z (.53) u s umă fucţ rasfr. Dc: z z f z (.5) z u: u: f ( ) ( ) ( ) cos ϕ, ( ) R z f s ϕ, ( ) ϕ g ϕ (.55) (.8) ( ) f ( ϕ) g ϕ ş puau f scrs rc (.53). Rlaţa (.5) poa f scrsă asfl: cos ( ϕ) cos (.56) (.) f ( ) ( ) z f f ( ) ( ) f ( ) f R z cos ( ) ( ) (.57) (.9) s cos a s (.58)

21 f ( ) ( ), a f, ( ) a (.59) s umă amplu sprsvă, ar a s amplua absorbvă. Dc î loc să scrm osclaţl prr-o amplu ş o fază, l scrm î fucţ ouă amplu ( ş a ). Compoa cos s î fază cu forţa ră π F cos, ar compoa a s a cos s fazaă cu 9 faţă forţa roară. Î vcăaa rzoaţ <<, s apropa, ar, Dpar rzoaţă a f f, f f π s cos >> avm: (.6) a, Pru << rzulă Grafcul amplulor f, f cos (.6), a, ar pru >> avm, a. ş a î fucţ ar forma urmăoar: D rlaţa (.58) obţm vza: & s a cos Pura saa absorbă î rgm saţoar s:

22 - 3 - P F & F s cos F cos a Pura m s: F P a m v (.6) (.) S cosaă că uma para magară a soluţ compl corbu la pura absorbă maă p uraa u osclaţ saţoar.rmul cos corbu uma la pura absorbă saa. 5. Osclaţ lcromagc î crcu RLC Pru u crcu LRC sr pum scr rlaţl: Q I Q Q I, U L L L, U R I R R, D lga a oua a lu Krchhoff: U L U R U C obţm: L Q & R Q& Q C : L R Q & Q& Q L LC Ulma rlaţ s forma cuaţ osclaţlor amorza: & & U C Q C sfl osclaţl lcromagc po f sua pr aalog cu osclaţl mcac. Esă corspoţa: m L, k C Q, r R R, v I L LC, F U

23 Pru u crcu LRC sr alma o sursă su : avm cuaţa frţală: L Q Q R Q U cos C R U Q& Q& Q cos L LC L car ar acaş formă cu cuaţa osclaorulu forţa: & & f cos Î mo asmăăor s raază crcuul RLC parall. 6. Compura osclaţlor 6.. Compura osclaţlor armoc parall acaş pulsaţ Vom lucra î rprzara complă a osclaţlor: z ( ϕ ) z ( ϕ ), R z cos ( ϕ ), R z cos ( ϕ ) (6.) (6.) Mşcara rzulaă s o o mşcar osclaor armocă acaş pulsaţ: z z z ( ϕ) ϕ ϕ, R z (6.3) Compl cojugaa acs rlaţ s: ( ϕ) z ϕ ϕ (6.) Făcâ prousul ulmlor rlaţ obţm: z z ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) (6.5) Folos formula lu Eulr:

24 - 3 - obţm: ϕ ϕ cos ϕ cos ( ϕ ϕ ) sau, oarc cos ( ϕ ϕ ) cos ( ϕ ϕ ) cos ( ϕ ϕ ) Rlaţa (6.3) poa f scrsă asfl: (6.6) z [ cos ϕ cos ϕ ( s ϕ ϕ )] ( cos ϕ s ϕ) s Pr fcara părţlor ral ş a clor magar obţm: cos ϕ cos ϕ cos ϕ (6.7) s ϕ s ϕ s ϕ (6.8) D ac rzulă: g ϕ (6.9) s ϕ cos ϕ s ϕ cos ϕ Rlaţa (6.6) poa f obţuă ş (6.7) ş (6.8) pr rcar la păra ş auar mmbru cu mmbru. Dacă ϕ ϕ k π, (k,,,... ) auc, ar osclaţl su î fază. Dacă ϕ ϕ ( k )π, (k,,,... ) auc, ar osclaţl su î opozţ fază. Î parcular, acă rzulă, acă pucul maral rămâ î rpaus. π Dacă ϕ ϕ ( k ), (k,,,... ) auc, ar osclaţl su î cuaraură. 6.. Compura osclaţlor armoc parall pulsaţ puţ fr (fomul băă) Î rprzara complă, osclaţl car s compu su scrs rlaţl: Noâ: obţm: z ( ϕ ), z ( ϕ ) (6.) ε, (6.) ε, ε ϕ z, Compuâ osclaţl obţm: ε (6.) ε ϕ z (6.3)

25 ε ε ϕ z z z ϕ [ ϕ ( ) ] a () ε ε ϕ z ϕ ( ) a () [ ϕ ] ε ε ϕ ϕ z z a a a ε ε ϕ ϕ ϕ ϕ ε ϕ ϕ cos ϕ ϕ ε a ( ) ( ) a ( ε ) a cos ( ε ϕ ϕ ) (6.) (6.5) Rlaţa (6.) poa f pusă sub forma: ε ε z { cos ϕ cos ϕ ε ε s ϕ s ϕ a () [ cos ϕ () s ϕ () ] Ifcâ părţl ral p o par ş părţl magar p ală par, obţm: ε ε cos ϕ cos ϕ cos ϕ a () () ε ε s ϕ s ϕ s ϕ a () ()

26 g ϕ () s ϕ cos ϕ ε ε s ϕ cos ϕ ε ε (6.6) D rlaţl (6.5) ş (6.6) rzulă că amplua ş faza ţală varază î mp, acă osclaţa rzulaă u ma s armocă. mplua mşcăr rzula s o fucţ procă c varază îr u mam gal cu pru ε ϕ ϕ k π ş u mm gal cu auc câ cos ( ε ϕ ϕ ) -, acă pru ε ϕ ϕ ( k )π. Dacă frţa s foar mcă î rapor cu ma pulsaţlor, auc a () ş ϕ () varază foar l î comparaţ cu fucţl cos ş s, acă mşcara rzulaă s o osclaţ moulaă aâ î amplu, câ ş î fază. Maml amplu corspu uor amplfcăr proc al mşcăr osclaor um băă, car su vţa pr alraţa lor cu amplul mm. Pr frcvţa băălor s îţlg umărul băă p uaa mp, ar pr proaa băălor s îţlg mpul scurs îr ouă băă coscuv, acă îr ouă mom amplu mamă. Noâ cu τ b proaa băălor, pum scr urmăoarl rlaţ car corspu la ouă mam coscuv: ε ϕ ϕ k π ε ( τ ) ϕ ϕ ( k )π b Scăzâ rm cu rm prma cuaţ a oua, obţm: ε τ u rzulă proaa băălor Frcvţa băălor s: b π π π τ b (6.7) ε π ( υ υ ) υ b υ υ (6.8) τb π π Rzulă că frcvţa cu car s succ maml, c frcvţa băălor, s gală cu frţa clor ouă frcvţ compo. D rlaţa (6.7) rzulă că maml (băăl) su cu aâ ma rar cu câ frcvţl osclaţlor compo su ma apropa. Dacă frţa r υ ş υ s mar, frcvţa băălor s rcaă, ar amplua a() varază foar rp î mp, asfl îcâ fomul băă u ma poa f pus î vţă prmal. Ilusrăm fomul băă pru υ 6 Hz ş υ 7 Hz, pru car Î cazul parcular î car, ϕ ϕ rlaţa (6.5) obţm: υ b Hz. a () o ε cos ε cos cos (6.9)

27 υ 6 Hz υ 7 Hz υ b Hz Î acs caz (6.) rzulă: R z a () cos [ ϕ () ] cos cos ϕ () (6.) Rlaţa (6.) vţază moulara amplu cos. Fomul băă s poa pu î vţă cu ajuorul a ouă apazoa frcvţ puţ fr. Sul prov la vbraţl clor ouă apazoa s compu ş au aşr la fomul băă: s au u su a căru sa crş ş sca proc. Fomul băă ar aplcaţ umroas î acuscă ş î lcrocă. Î lcrocă s cosrusc rcpoar hroă î car osclaţl lcrc prm la crcuul a ( υ 6 Hz) s suprapu cu osclaţl uu osclaor local cu frcvţa apropaă (υ 9,9 5 Hz) ş au î crcuul uu lfo băă frcvţă ( 6 9,9 5 ) Hz Hz, cu car vbrază mmbraa lfoulu. Vbraţl mmbra cu acasă frcvţă su prcpu urch Compura osclaţlor armoc prpcular acaş pulsaţ Cosrăm o parculă car s mşcă î plaul y sub acţua a ouă osclaţ armoc prpcular acaş pulsaţ. cos (6.) cos ϕ (6.) y B ( ) Pru a obţ racora, lmăm mpul cl ouă rlaţ: cos (6.3) y B cos cos ϕ s s ϕ cos ϕ s ϕ (6.) y cos ϕ s ϕ B Rcâ la păra rlaţa (6.5) obţm: (6.5)

28 B y cos ϕ B ϕ s y cos ϕ y y cos ϕ s ϕ (6.6) B B casa s cuaţa u lps îscrs îr-u rpugh laur ş B. Osclaţa scrsă cuaţa (6.6) s o osclaţ polarzaă lpc. Pru a obţ ughul β forma aa mar a lps cu aa O, prmăm ş y î cooroa polar ( ρ, θ ): y ρ cos θ ρ s θ (6.7) Îlocu (6.7) î (6.6) obţm: ρ s θ B ρ cos θ B ρ s θ cos θ cos ϕ B s ϕ B s ϕ ρ (6.8) s θ B cos θ B s θ cos ϕ Doarc î lugul a mar ρ ar valoara mamă, rzulă că ughul β corspu aulăr rva umorulu rlaţa (6.8). ρ θ s θ cos θ B cos θ s θ ( B ) s β B cos β cos ϕ B cos θ cos ϕ B cos ϕ g β (6.9) B alzăm câva cazur parcular. a) Dacă ϕ k π, (k,,,...), auc osclaţl su î cocoraţă fază, ar rlaţa (6.6) s ruc la forma: y B y (6.3) B car s cuaţa u rp c rc pr org ş s suaă î caral I ş III. Osclaţa s polarzaă lar. S poa arăa că orc mşcar armocă lară s poa scompu î ouă mşcăr osclaor armoc î cocoraţă fază, p rcţ prpcular. b) Dacă ϕ ( k )π, (k,,,...), auc osclaţl su î opozţ fază, ar rlaţa (6.6) v: B y (6.3)

29 car rprză calală agoală a rpughulu. Osclaţa s polarzaă lar. S poa arăa că o mşcar osclaor armocă lară s poa scompu î ouă mşcăr osclaor armoc î opozţ fază, p rcţ prpcular. π ϕ k, (k,,,...), c) Dacă ( ) auc osclaţl su î cuaraură fază, ar rlaţa (6.6) v: y (6.3) B car rprză o lpsă raporaă la al sal. Osclaţa s polarzaă lpc. π Pru k, ϕ osclaţl compo su scrs rlaţl: π cos, y B cos B s (6.33) ar pucul maral s mşcă p racor î ssul aclor casorc. 3 π Pru k, ϕ osclaţl compo su scrs rlaţl: 3 π cos, y B cos B s (6.3) ar pucul maral s mşcă p racor î ss aorar. Î gral, pru k par osclaţa rzulaă s polarzaă lpc rp, ar pru k mpar osclaţa s polarzaă lpc sâg. Î parcular, acă B, lpsa v u crc: y (6.35) 6.. Compura a ouă osclaţ crcular acaş pulsaţ ş amplu, polarza î ssur corar Pr compura u osclaţ polarza rp cos, y s (6.36) cu o osclaţ polarzaă sâg cos, y s (6.37) s obţ o osclaţ lară cu pulsaţa gală cu pulsaţa osclaţlor compo ş cu amplua ublă.

30 - - cos, y y y (6.38) Rzulă că o osclaţ polarzaă lar s chvală cu ouă osclaţ crcular, polarza î ssur corar. cs rzula s ul î suul rzoaţ magc uclar Compura osclaţlor armoc prpcular pulsaţ fr Cosrăm ouă osclaţ armoc prpcular pulsaţ fr: cos ( ϕ ) y B cos ( ϕ ) (6.39) Pr compura lor s obţ o mşcar a căr racor s cuprsă î rpughul, B y B. Dacă pulsaţl su proporţoal cu umr îrg, asfl ca raporul lor să f u umăr raţoal (rapor umr îrg) Q (6.) auc să o proaă, cl ma mc mulplu comu al proalor fcăr mşcăr compo, aşa îcâ mşcara rzulaă s procă, ar racora parcul s o curbă îchsă, umă curbă Lssajous. Rlaţa (6.) s obţ asfl: ( ϕ ) cos [ ( ) ϕ ] cos ( ϕ π) cos π ( ϕ ) B cos [ ( ) ϕ ] B cos ( ϕ π) B cos π

31 - - racora mşcăr p raporul pulsaţlor ş fazajul ϕ r osclaţl π compo. Ca mplu cosrăm racora corspuzăoar cazulu, ϕ. Fgurl lu Lssajous su ulza î lcrocă pru rmara frcvţlor cu ajuorul oscloscopulu. U smal corbu la fla orzoală, ar clălal la fla vrcală. Raporul pulsaţlor s rmă ca raporul r umărul puclor rscţ a racor cu o rapă vrcală ş ua orzoală. Cazul î car pulsaţl vbraţlor compo fră foar puţ îr l poa f rus la compura a ouă vbraţ cu acaş pulsaţ, ar cu fazajul ϕ r l var l î mp. sfl, pru ε obţm: cos ( ϕ ), y B ( ε ) cos ϕ, ϕ ε ϕ ϕ Dacă pulsaţl u su proporţoal cu umr îrg, auc mşcara u ma poa f procă, ar racora s o curbă schsă car acopră îrg rpughul, B y B. Î mo asmăăor po f compus r osclaţ armoc prpcular pulsaţ fr. 7. Dscompura osclaţlor compl 7.. Dscompura osclaţlor proc (aalza armocă) O osclaţ procă complă (armocă) poa f rprzaă prr-o suprapur osclaţ armoc. sfl, mărma fzcă procă () ( ) s poa prma sub forma u sr Fourr u: a () ( a cos b s ) a (7.) () () (7.) a () cos () cos (7.3)

32 - - b a () s () s ar π s proaa fucţ (). S-a als ş u a pru ca a să abă acaş formă ca ş a. Cosaa a cos b s s rmul orul îâ, car ar frcvţa ca ma mcă υ umă frcvţa fuamală, a cos b s s rmul orul o ş corspu frcvţ υ υ ş aşa ma par, rmul orul corspuzâ frcvţ υ υ. rmul orul îâ rprză osclaţa sau armoca fuamală, ar rm orul o, r, paru c. rprză armocl or supror. Opraţa scompur a u fucţ proc oarcar î armoc s umş aalză armocă ş s folosă ca mjloc crcar î acuscă ş lcrocă. Evţra fzcă a armoclor suproar î cazul smallor lcrc, acusc, vbraor araă că zvolara Fourr ar o fuamar marală. (7.) Cofcul a s obţ pr grara rlaţ (7.) la la sau la la. a () a cos b s a π π a s s π π a b cos cos a () sfl, îr-o proaă, pru, s ş cos au u umăr gal valor gav ş pozv, grall acsa f ul. Cofcul a s obţ îmulţ rlaţa (7.) cu cos m ş grâ la la : a () cos m cos m a cos m cos b cos m s () ( m ) cos ( m ) cos cos m a

33 - 3 - ( m) s ( m) s b Pru m grall mmbrul rp su ul (s ruc la cazul aror cu m, m ). Pru m rzulă: () cos a a a () cos Cofcul b s obţ îmulţ rlaţa (7.) cu a () s m s m s m ş grâ la la : a s m cos b s m s ( m ) s ( m ) s () s m a ( m ) cos ( m ) cos b Pru m grall mmbrul rp su ul, ar pru m rzulă: () s b b b () s sfl osclaţa procă armocă () s poa prma cu ajuorul fucţlor ssmulu orogoal rgoomrc. ( m cos s pru orc sau m). Sra Fourr s covrgă, oarc pru cofcţ a ş b v c î c ma mc. Î cazul î car sra Fourr s rap covrgă, s sufc să lmăm la prm r, paru rm a sr. D mul or s ulzază forma complă a sr Fourr: u: () C (7.5) C () răăm că rlaţa (7.5) s că cu rlaţa (7.). (7.6)

34 - - ()( ) ( ) ( ) ( ) b a 7., 7.3 s cos C (7.7) ()( ) ( ) b a s cos C (7.8) () a C (7.9) sfl rlaţa (7.5) v: () C C C ( )( ) s cos b a a ( )( ) s cos b a ( s b cos b s a cos a a ) s b cos b s a cos a ( ) s b cos a a (7.) 7.. Dscompura smallor proc O fucţ procă poa f prvă ca u caz lmă al u fucţ proc cu proaa fă. Pru, π v fzmal,, ar v o varablă couă, asfl că suma rlaţa (7.5) s rasformă î grală. X () () π () π () υ π υ π υ Dacă oăm:

35 - 5 - X ( υ ) ( ) π υ (7.) auc: () X ( υ) π υ υ (7.) X ( υ) (7.) ş () (7.) s umsc gral Fourr. El formază o prch rasforma Fourr (ua s rasformaa Fourr a cllal). X ( υ) scr u fom fzc î omul amplu-frcvţă (rprzar î omul frcvţ), ar () scr aclaş fom î omul amplu-mp (rprzar mporală). Pum scr rlaţa (7.) asfl: () () π υ π υ υ () cos ( ) () s ( ) π υ π υ ( cos π υ s π υ ) υ X () R () ( ) ( ) cos π υ cos ( π υ ) υ () ( ) s π υ s ( π υ ) υ () () π cos cos π s s Doarc î rapor cu graţ cos ş s su fucţ par, pum scr: X π Noâ: ( ) () cos π π () () cos cos () s s, ( ) () B s (7.) π rzulă: X () ( ) cos B ( ) s (7.3) car ar acaş formă ca rlaţa (7.). D rlaţa (7.) obţm: () () () () ( ) π υ X υ υ

36 - 6 - X π υ υ () X ( υ) υ (7.) ( υ ) ( ) υ X ( υ) X ( υ) (7.) s formula lu Parsval pru smal proc. casă formulă ar smfcaţa că rga uu smal î omul mporal s gală cu rga smalulu î omul frcvţ. Î praccă rv uma frcvţ pozv ş c: () X ( υ) υ (7.5) oarc ( ) X υ s o fucţ pară υ. O coţ sufcă pru ca rasformaa Fourr a lu () să s s ca grala () să f fă, acă () < Puls rpughular î mp U puls rpughular î mp s scrs fucţa: {,, (), rs (7.6) car ar urmăoara rprzar grafcă: D rlaţa (7.) rzulă: X ( υ) () π υ π υ ( cos s ) cos s cos s s ( υ ) X s

37 X ( υ) ar o rprzar grafcă forma: Puls rpughular î omul pulsaţ Prsupum că î rlaţa (7.) B ( ) s zro pru orc, ar ( ) s forma: {,, rs ( ) [, ] D rlaţa (7.3) obţm: X Noăm,, () ( ) cos cos s s s cos s cos s cos s cos s cos s (7.8) () cos () cos X

38 - 8 - S obţ o osclaţ rapă rmaă cos, cu amplua l s varablă (). Pru rzulă cos, s X () car ar o formă smlară rlaţ (7.7). u: 7.5. Cofcul Fourr ( ) al uu osclaor amorza ( < ) Elogaţa osclaorulu amorza ar prsa: () cos ( ϕ) (7.9) (7.) Pru a smplfca scrra, algm, ϕ. sfl: () cos Calculăm cofcul Fourr ( ) p baza rlaţ (7.): ( ) () cos cos cos π π [ ( ) ( ) ] π cos cos [ cos ( ) cos ( ) ] π (7.) ( ) π ( ) ( ) (7.) u am folos o grală pul a a cos b a b (7.3) Îlocu (7.) î (7.) obţm:

39 - 9 - ( ) ( )( ) π ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) π π ( ) ( ) ( ) [ ] π (7.) Vom compara cofcul ( ) cu rga oală m a uu osclaor forţa. D rlaţl (.36), (.7) ş (.9) obţm: ( ) C m m m U E E ( ) ( ) [ ] f m E (7.5) Făcâ raporul: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) f m E π ( ) E m f 8 π (7.6) sfl, cofcul Fourr ( ) pru osclaorul amorza s proporţoal cu rga oală m a uu osclaor forţa. cs rzula poa f folos la molara uor fom fzc. D mplu, la msa raaţ lumoas căr u aom ar loc zcara aomulu. S poa prsupu că zcara aomulu s scrsă o rlaţ forma (7.9) caracrscă uu osclaor amorza. Î acs caz, pum spu că amplua Fourr ( ) pru zcara spoaă s proporţoală cu rga m E acumulaă u osclaor forţa Dsaa spcrală pur Pr mărm alaoar (sochască) s îţlg o mărm car î urma rpăr u prţ poa lua orc valoar r-u umăr valor prms. Mărma alaoar s rmaă, puâ ş a c valoar va lua. sfl mărml alaoar au u comporam mprvzbl. U fom s rgoc acă ma mporală () () (7.7) s gală cu ma p asamblu ( ) ( ) ~ (7.8) U procs s saţoar acă ma p asamblu u p orga mpulu:

40 - 5 - ( ) ( ) (7.9) Pru a pua sua procsl alaoar, vom rucha () pru u mp. Noăm mărma ruchaă cu (). Es v că s: () lm ( ) (7.3) Valoara păracă m a lu ( ) () () ( fg. ) () ( 7.) ( υ) υ Luâ rzulă: () lm () u: () ( υ) υ (7.3) lm ( υ) υ S ( υ) lm ( υ) () S ( υ) υ (7.33) (7.3) s umă sa spcrală pur. Dumra prov lcrca, u () s saa curulu alaor p uaa rzsţă ( P U I I R, R Ω P I ). Î rlaţa (7.33) avm o rg împărţă la mp îr-u rval frcvţă gal cu uaa, acă o pur corspuzăoar uăţ rvalulu frcvţă. υ Pru o baă frcvţă cuprsă îr υ ş υ, pura s S ( υ) υ. sfl υ mmbrul rp (7.3) rprză pura oală m (valoara păracă m a lu ()) Fucţa corlaţ. Fucţa auocorlaţ. Rlaţl Wr-Hc Fucţa corlaţ a ouă mărm () ş y () s fă ca ma prousulu ua mărm cu calală fazaă cu rvalul mp τ : ( τ ) ( ) y ( τ) R y lm ( ) y ( τ) lm () y ( τ) (7.3)

41 - 5 - Î cazul procslor saţoar ş rgoc, fucţa corlaţ p uma τ. S fş fucţa auocorlaţ lm ( τ ) ( ) ( τ) R lm () ( τ) lm ( ) ( τ) () ( τ) (7.35) car pru τ v valoara păracă m. Doarc fucţa corlaţ ar smfcaţa u pur m, acasa va prm caracrzara mărmlor rg fă. D rlaţa (7.33) rzulă: ( υ) S lm lm lm ( ) υ lm π υ () () s π υ ( υ) ( υ) ( 7.) π υ s s π υ s () () s s La grara upă s, s cosa ş c pru s τ rzulă s τ. Iroucm s τ pru a fac să apară fucţa auocorlaţ: S ( υ) lm π υ π υ τ () ( ) ( ) τ τ lm π υ τ () ( ) τ τ [ lm Paraza păraă rprză ( τ) τ () ( ) τ π υ τ R (7.35). Rzulă rlaţl lu Wr-Hc: S ( υ ) ( τ) π υ τ R τ (7.36) R () τ ( υ) π υ τ S υ (7.37) sfl saa spcrală pur S ( υ) ş fucţa auocorlaţ R ( τ ) formază o prch Fourr. S fş cofcul corlaţ

42 u ( ) ( τ) ( ) R σ () τ (7.38) R R s valoara păracă m a lu (). () O mărm poa f obţuă pr suprapura uu smal () cu u zgomo () Mărma ( τ) s îmulţş cu () ş s mază pru fr valor al lu τ pru a obţ R ( τ). Luâ rasformaa Fourr a lu R ( τ ) s obţ S ( υ) Zgomoul alb Pru u smal al al căru spcru s cosa î amplu ş couu î fucţ frcvţă, pura smalulu s fă. cs smal s um zgomo alb, pr aalog cu luma albă, ş î cazul lum alb avm acaş pur p uaa rvalulu lugm uă ş u p uaa rvalulu frcvţă, ca î cazul zgomoulu alb. Pr fţ, saa spcrală a zgomoulu alb s cosaă: ( υ) S a cos. (7.39) Fucţa auocorlaţ a zgomoulu alb s obţ rlaţl (7.37) ş (7.39): R () τ S ( υ ) π υ τ υ π υ τ a υ u () τ s fucţa Drac. R ( τ) a ( τ) (7.)

43 S ( υ) ş () τ R au urmăoarl rprzăr grafc: Î praccă pura smalulu s fă, oarc să o frcvţă ăr upă car amplua smalulu sca la zro. Zgomoul alb s furza graoar lcroc ulza î moologa fcar Fucţa auocorlaţ î cazul osclaţlor forţa Lgăura r săţl spcral pur al caţ F () ş al răspusulu () s aă rlaţa: u α ( ) S ( ) α ( ) S ( ) FF s fucţa rasfr a osclaorulu forţa: α ( ) car poa f rmaă aalc sau prmal (s rmă α ( ) că forţa caoar s caracrzaă u zgomo alb, auc: ş c: u: ( ) (7.) (7.) ). Dacă prsupum S FF cos. (7.3) S (7.) ( ) rasformaa Fourr a lu ( ) ( ) S ă fucţa auocorlaţ R () τ : τ R () τ C cos τ s τ (7.5) (7.6) ar C s o cosaă c p. Dacă / << auc: τ R () τ C cos τ (7.7) car ar urmăoara rprzar grafcă:

44 U mcac (lasc) 8.. Iroucr Ml lasc su m cou forma parcul maral car racţoază îr l. Dacă la u mom a o parculă îcp să osclz, upă a vor ra î osclaţ ş parcull vc ş asfl osclaţa s propagă aproap î aproap pr mu, aoră forţlor racţu lasc r parcul. Propagara u prurbaţ prr-u mu lasc s umş uă lască. Ca mplu, cosrăm prurbaţa prousă o pară c ca p suprafaţa lşă a u ap. casă prurbaţ s propagă la suprafaţa ap, î oa rcţl orzoal, formâ u sub formă valur crcular cocrc. O parculă rumguş ( lm) c pluş p suprafaţa ap va cua o mşcar osclaor îr-u pla vrcal, ar u s va plasa p rcţl orzoal car su rcţl propagar a ulor lasc. sfl, î mpul propagăr u u ar loc u raspor subsaţă. Parcull mulu osclază î jurul pozţlor chlbru, ar prurbaţa avasază î ssul propagar a u. Spr osbr ul lcromagc, ul lasc u s propagă î v. Ul lasc s caracrzază pr rasfrul rg mcacă ş rasformara rg cc î rg poţală, î mp c ul lcromagc rasporă rg lcrcă ş magcă, c s rasformă rcproc ua î calală. Vza ulor lasc s fă ş s o caracrscă a fomulu propagar ş a mulu ş u rbu cofuaă cu vza osclaţ a parcullor mulu, car p î prmul râ caracrscl mulu ş aba upă aca caracrscl u (pulsaţ, amplu, fază). D puc vr fzc, propagara u mcac p lascaa ş rţa mulu. Îr-avăr, s cosaă că vza propagar a u prurbaţ mcac s prmă oaua sub forma u răăc păra r-u paramru car fş rzsţa mulu la formaţ ş u paramru car fş rţa mulu. Î gral, mărma prurbaă (pozţa u parcul mu, vza acsa, prsua, saa) s oază cu Ψ (, y, z, ) ş s umă fucţ uă. Fucţa uă p aâ cooroal spaţal, câ ş mp. Dacă rcţa osclaţ a parcullor s parallă cu rcţa propagar a u, auc ua s umş loguală, ar acă rcţa osclaţ s prpculară p rcţa propagar, auc ua s umş rasvrsală. U mu s omog acă mărml maral (saa ρ, prmvaa lcrcă ε, prmablaa magcă µ, coucvaa σ, cl rfracţ ) au acaş valoar î orc puc al mulu. Mul s omog acă proprăţl fzc (rma valorl mărmlor maral) p pozţa puculu mu. Ml azorop au proprăţ fzc car varază î rapor cu rcţa, î mp c î ml zorop u să rcţ prvlga pru acs proprăţ (mărml maral u p rcţ).

45 Ml lar su acla î car s valabl prcpul suprapur (suprpozţ) Ψ Ψ, î caz corar ml f lar. Î m sprsv vza propagar a prurbaţ p caracrscl u, ar î cl sprsv s cosaă. Î ml spav propagara ulor s prouc cu absorbţ rg, î mp c î ml cosrvav rga oală s cosrvă. Caracrul sprsv sau sprsv, cosrvav sau spav p aâ proprăţl mulu, câ ş aura u (lască, lcromagcă). U mu omog, zorop, lar, sprsv ş cosrvav s umş mu al. 8.. Ecuaţa propagar a u pla moocromac O uă s plaă acă oa parcull sua îr-u pla prpcular p rcţa propagar a u osclază c. Cosrăm o uă plaă car s propagă îr-u mu al, -a lugul a O. Prsupum că sursa osclaţ s află î orga a ş cuă osclaţ rasvrsal ca î cazul u coar lasc. Dacă algm ca org a mpulu momul î car sursa O îcp să osclz, auc u puc M îcp să osclz la u mp la proucra osclaţ î O, acă pucul M osclază cu o îîrzr fază faţă O. Î cazul osclaţlor armoc pum scr: y O cos (8.) y ( M cos ) cos (8.) v u v s vza propagar a u. Î cazul coar lasc y ar smfcaţ π logaţ. S cosaă că fucţa y s procă aâ î mp, cu proaa, câ ş î spaţu, cu proaa λ umă lugm uă. Lugma uă s fă ca spaţul parcurs uă î mp o proaă ş s obţ coţa proca spaţală: cos v λ cos π v λ π, v Ecuaţa u (8.) s ma poa scr ş asfl: y M cos π λ π v λ λ v (8.3) cos ( k ) cos k ( v )

46 ( k ) R (8.) u: π k (8.5) v λ r r s mărma vcorulu uă k k u k, u r f vrsorul rcţ propagar. k rgumul fucţ cosus s umş faza u: ( v ) ϕ k k (8.6) Suprafaţa uă s suprafaţa p car faza u ar acaş valoar la u mom a, acă rprză locul gomrc al puclor car osclază î fază. Suprafaţa uă ca ma îpăraă sursă la u mom a s umş fro uă. La u mom a ( cosa) faza u s cosaă ( ϕ cosa) acă cosa (8.7) car rprză cuaţa uu pla prpcular p rcţa propagar, acă avm o uă plaă. D coţa ca faza să f cosaă: ϕ k k (v ) rzulă vza plasar a suprafţ uă, umă vză fază, car coc cu vza u: v (8.8) k Pru > rzulă: v > acă avm o uă car s plasază î ssul pozv al a O, umă uă progrsvă. D rlaţa ϕ k rzulă: ϕ, ϕ k (8.9) sfl pulsaţa scr vza varaţ a faz. Scr rlaţa (8.) pru aclaş mom mp, ar pru ouă puc fr M ş M : y M cos π cos π, λ λ y M cos π obţm frţa fază: λ π π ϕ ϕ ϕ ( ) (8.) λ λ u s frţa rum gomrc. caş rlaţ s pua obţ pr frţra lu ϕ (8.6) la cos. ş ţâ sama paraa fucţ cosus. Dacă λ,,,,..., auc ϕ π ş cl ouă puc osclază î fază,

47 λ,,,,..., auc ϕ ( )π ş pucl M ş ar acă ( ) M osclază î opozţ fază. Rlaţa (8.) poa f scrsă sub o formă ma grală: sau: f cos k (v ) f [ k ( v ) ] Pr rvar obţm: Ψ Ψ k f Ψ k v f v Ψ k f, k ( k f ) k f Ψ (8.) Ψ, k v f Ψ Ψ v Ecuaţa (8.) s cuaţa propagar a ulor. Ecuaţa (8.) s chvală cu urmăoarl ouă cuaţ: v v v v cs cuaţ su sasfăcu acă: Ψ v Ψ, Ψ Ψ Ψ Ψ y Ψ v Ψ Ψ Ψ y u y v. Ecuaţa (8.6) s sasfăcuă o fucţ forma (8.): [ k ( y ) ] f [ k ( ) ] Ψ, k v f (8.) (8.3) (8.) (8.5) (8.6) (8.7) Ψp f v (8.8) oarc: Ψp Ψp k f, y k f, k f ( k f) Ecuaţa (8.7) s sasfăcuă fucţa: [ k ( y ) ] g [ k ( v ) ] Ψ r g (8.9) îrucâ ş y apar î (8.7) î mo smrc. Ψ p (8.8) ş Ψ r (8.9) su soluţ parcular al cuaţ (8.). Soluţa grală a cuaţ propagar a ulor s obţ folos prcpul suprpozţ:

48 Ψ Ψ p Ψ r f [ k (v ) ] g [ k (v ) ] (8.) Soluţa Ψ p corspu u progrsv, ar soluţa car s propagă spr sâga. Faza u rgrsv s: Ψ r corspu u rgrsv, ϕ k (v ) (8.) D coţa ϕ rzulă vza fază a u rgrsv: v (8.) car pru > couc la v <, plcâ asfl umra uă rgrsvă. Î cazul î car rcţa propagar a u u coc cu c ua r al cooroa, cuaţa propagar a u ar forma: sau: u: Ψ Ψ y Ψ z s umş laplaca, ar (, y, z, ) Ψ v (8.3) Ψ Ψ (8.) v (8.5) y z Ψ s fucţa uă U sfrc Soluţa cuaţ (8.) p coţl ţal, ar forma suprafţ uă p forma surs prurbaţ ş proprăţl mulu lasc. Îr-u mu omog ş zorop, o prurbaţ prousă o sursă pucuală s propagă sub formă u sfrc. Î acs caz prurbaţa s propagă cu acaş vză î oa rcţl, asfl că froul uă s o sfră cu crul î sursa pucuală. Daoră smr sfrc, s ma corc să lucrăm î cooroa frc: r s θ cos ϕ y r s θ s ϕ (8.6) z r cos θ Î cooroa sfrc cuaţa (8.) s scr asfl: Ψ r s θ Ψ r r r s θ θ θ s θ ϕ v (8.7) Pru u mu omog ş zorop, Ψ u p θ ş ϕ. Ecuaţa propagar a ulor sfrc v:

49 Ψ ( r Ψ) r r v (8.8) sau: ( r Ψ) r v ( r Ψ) (8.9) casă cuaţ ar acaş formă ca (8.). Noâ: Ψs r Ψ (8.3) rzulă cuaţa: Ψs Ψ s r v (8.3) Soluţa acs cuaţ s forma (8.): Îlocu Ψ s f [ k (v r) ] g [ k (v r) ] (8.3) Ψ s (8.3) obţm: Ψ f [ k (v r) ] g [ k (v r) ] (8.33) r r Soluţa s vrgă pru r, oarc s prsupu că î acs puc s află sursa prurbaţ. La u mom a faza u s cosaă acă: car rprză cuaţa u sfr cu crul î sursă. D coţa ca faza să f cosaă ϕ k (v m r) rzulă vza fază: Pru ua progrsvă ua rgrsvă ϕ k (v m r) (8.3) r cosa (8.35) v r ± (8.36) Ψ p f [ k (v r) ], ϕ k (v r), v r Ψ r g [ k (v r) ], ϕ k (v r), v r r, ar pru r. Ua progrsvă s propagă la sursă spr ror, ar ua rgrsvă s propagă î ss vrs. La saţ foar mar faţă sursă, ul sfrc po f cosra ca u pla pru u omu B msu mc faţă saţa pâă la sursa S. Î acs caz suprafaţa uă ar o rază curbură foar mar ş v u pla prpcular p rcţa propagar.

50 Propagara prurbaţlor logual Ul logual s po propaga aâ î sol, câ ş î lch ş gaz, î mp c ul rasvrsal s po propaga uma î sol sau la suprafaţa lchlor, oarc î flu u să forţ lasc la forfcar, acă forţ proporţoal cu saţa alucar a uu sra faţă alul, car să rasmă osclaţl rasvrsal. Vom aalza cazul ulor acusc car s propagă îr-u gaz. Fomul propagar a ulor logual poa f scrs cu ajuorul a ouă fucţ uă: prsua acuscă ş vza osclaţ a parcul î jurul pozţ sal chlbru Prsua acuscă La chlbru, câ î mu u s propagă u acusc, prsua locală s ca sacă p. Câ î mu s propagă u acusc, îr-u puc câmpul acusc prsua va oscla armoc îr o valoar mamă ş ua mmă. Prsua amcă p s frţa r prsua oală ş prsua sacă p : p p p (8.37) Prsua amcă p s o prsu suplmară (supraprsu), car s aorază fculu oulaoru acusc ş aca s umş prsu acuscă. Doarc prsua acuscă p s mul ma mcă câ prsua chlbru p, rzulă că o asfl gala s valablă ş pru săţl corspuzăoar: p p p, ρ ρ ρ, p << p, ρ << ρ (8.38) Dzvolăm prsua oală p ( ρ ) p ( ρ ) : p p p ( ρ) p ( ρ ρ ) p ( ) ρ ρ î sr aylor î jurul valor chlbru ρ ρ ρ ρ p p ρ ( 8.38) p p ρ ρ ρ Rzulă că prsua suplmară prousă osclaţl soor s proporţoală cu saa suplmară ρ : p p ρ ρ ρ ρ (8.39) Cosrăm u gaz al îr-u clru cu pso. Dacă psoul cuă o mşcar osclaor î jurul pozţ sal chlbru, auc î gaz apar o uă loguală.

51 - 6 - Froul uă pla s prpcular p rcţa ş s propagă î ssul pozv al a O. Prsupum că ara froulu s gală cu uaa ş că la momul ţal ( ) acsa s află î pozţa, u gazul u s prurba. Sub acţua suulu, gazul s plasază cu y (, ) aşa îcâ la mpul va ocupa o ouă pozţ y (, ). Molcull gaz car ţal s găsau la o saţă s vor plasa cu y (, ) ş s vor găs la mpul la saţa y (, ). Doarc scţua ubulu clrc s gală cu uaa, volumul ocupa ţal gaz îr ş s, ar volumul fal va f: y (, ) y (, ) y, f foar mc. Î oul volum, cosra ma mar câ cl ţal, să acaş caa gaz ca ş î volumul ţal prurba: m ( ρ ρ ) y ρ ρ y ρ ( 8.38) m glja rmul y y y ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ y ρ oarc ρ << ρ. Rzulă: ρ y y ρ (8.) casă rlaţ araă că auc câ gazul s plasază îş schmbă saa. Dacă y/ > auc saa ρ sca faţă ρ. y ρ ρ ρ ρ ρ (8.) Dacă prsupum că plasara parcullor gaz y (, ) s forma (8.): y (, ) cos ( ) (8.) v auc vza parcul s: y u y& s (8.3) v D (8.) ş (8.) rzulă: ρ y s ρ v Folos (8.3) obţm: v (8.)

52 - 6 - ρ ρ ρ ρ ρ u v (8.5) Rzulă că varaţa rlavă a săţ uu flu îr-o uă progrsvă s gală cu raporul r vza parcullor ş vza u. Dformaţa rlavă a volumulu gaz s: y y ε (8.6) D (8.), (8.5) ş (8.6) obţm: ρ ρ ε u ε (8.7) v D acasă rlaţ rzulă că, pru ua progrsvă, formaţa rlavă s gală cu rapoarul, cu sm schmba, r vza parcul ş vza u. Dformaţa rlavă s mamă acolo u vza parcullor u (, ) s mamă, acă î pucl î car parcull rc pr pozţl lor chlbru. colo u vza parcullor u s î aclaş ss cu ssul propagar al u logual avm o rgu comprmar (ε < ), ar acolo u vza parcullor s î ss opus avm o rgu rarfr ( ε > ). D rlaţa (8.) pum rma formaţa rlavă mamă: π ε ma k (8.8) v λ car ar orul mărm al raporulu r amplua osclaţ a parcullor ş lugma uă. D ora lascăţ s ş că forul uar, car î cazul osru ar rol prsu amcă, ar prsa: y F l p y E E E E ε (8.9) S l smul mus avâ smfcaţa că supraprsua p s opu formaţ rlav, î acor cu rlaţl (8.39) ş (8.) car rzulă: p y p ρ (8.5) ρ ρ ρ D (8.9), (8.3) ş (8.7) obţm: u E u E p E s (8.5) v v v v p ma E π k E E (8.5) v λ p p s (8.53) ma v

53 Rlaţa (8.53) s prsa prsu acusc moma. S fş prsua acuscă fcac p f ca răăca păraă a m păraulu prsu acusc moma p î curs o proaă. D rlaţa (8.53) obţm: v s p p ma, p f p p ma (8.5) 8... Vza suulu supra lmulu masă m c ocupă volumul fal acţoază o forţă rzulaă F m y p (, ) p (, ) (8.55) u scţua S a fos luaă gală cu uaa. claş lm masă ocupă volumul ţal î car saa gazulu s ρ. Rzulă: ( ) ( ) p p p 8.38 p y ρ p y ρ (8.56) Îlocu p (8.39) obţm: ( ) y p 8. p p y ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ y p y ρ ρ ρ (8.57) y p y ρ ρ ρ (8.58) Ecuaţa (8.58) rprză cuaţa propagar a ulor soor î car vza suulu s: v p ρ ρ ρ (8.59) S cosaă că vza propagar a ulor acusc p saa mulu. D rlaţl (8.9) ş (8.56) obţm: ρ y E y y E y ρ y E y ρ (8.6)

54 - 6 - D (8.6) rzulă că vza ulor acusc logual s: v E ρ (8.6) u E s moulul lasca. D rlaţl (8.5), (8.5) ş (8.6) obţm: p p v ( ρ ) ρ (8.6) Rzulă că varaţl prsu î ua sooră su proporţoal cu varaţl sa, cosaa proporţoala v f păraul vz propagar a u. D rlaţl (8.9), (8.6) ş (8.5) rzulă: p p E ε (8.63) u p p v ρ p p ρ u v (8.6) v sfl varaţa prsu s mamă acolo u formaţa ε s mamă ş s proporţoală cu vza parcullor. Cosrâ că procsul propagar a suulu s aabac γ p V cos. (8.65) pr frţra cuaţ aaba obţm: γ γ V p γ p V V p p Pru o masă gaz cosaă, pum scr: m V m V ρ V ρ ρ ρ ρ Îlocu (8.67) î (8.66) obţm: p p ρ γ ρ V p γ p V V γ (8.66) V v V V ρ ρ p p γ ρ ρ ρ ρ (8.67) v sau γ p V γ k k γ R γ R v γ ρ V m m N a m M u am folos urmăoarl rlaţ, car sî valabl î cazul gazulu al: γ ρ m m R p V V V N a p k, ρ, k, M m N a (8.68) (8.69)

55 Î acs rlaţ s umărul molcul, m s masa u molcul, N a s umărul lu vogaro, M s masa molară, k s cosaa lu Bolzma, ar R s cosaa gazlor prfc. D rlaţa (8.69) rzulă că vza suulu î gaz crş cu mpraura gazulu. Î ar, la C, v 3 m/s, ar î apă la C, v 8 m/s. D rlaţa: p ρ γ p ρ pum scr: p p γ ρ ρ î car p ş ρ su varaţ mc al lu p ş ρ. ρ Îlocu rlaţa (8.5) obţm: ρ p p u γ (8.7) p v D sasca lu Mawll s ş că vza ca ma probablă v p, vza m v ş vza păracă m v, umă uor vză rmcă a molcullor, sasfac galăţl: R 8 R v p < ( v ) < M π M D (8.69) ş (8.7) rzulă: γ v p γ v v 3 3 R v (8.7) M Doarc γ <, rzulă v < v p, v < ( v ), v < v. Dc vza suulu v s ma mcă câ vza m a molcullor gazulu î car acsa s propagă Propagara prurbaţlor rasvrsal Ecuaţa propagar a ulor rasvrsal îr-o coară m m Cosrăm o coară omogă cu saa mască ρ l, u m s l masa corz, ar l s lugma. Coara s faă la cap ş s supusă u su. S cosră că sua î coară s pracc cosaă. Î sara prurbaă, ar soaă, coara O s află -a lugul a O. Vom sua osclaţl rasvrsal mcă amplu al uu lm al corz, car ar î pozţa chlbru lugma ş masa m. Prsupum că, aoră u aum caţ, coara ocupă la u mom a o pozţ fră aca chlbru. Pru coara formaă, rcţl forţlor

56 su car acţoază la capl lmulu coară cosra su fr, asfl că asupra lmulu va acţoa o forţă îr a căr compoă p aa y s: s ( α α) s α (8.7) Rzulaa forţlor p aa Oy să raucă lmul coară la chlbru. Îrucâ sum uma mcl osclaţ al corz vbra, ughurl α ş α forma forţl su car su ag la curba plasaă î pucl abscs, rspcv, cu aa O, sasfac coţl α << raa, α α << raa. Pru ughur mc apromăm susul cu aga ş prsa (8.7) v: y y [ s ( α α) s α] [ g ( α α) g α] (8.73) u y (, ) s cuaţa curb corspuzăoar corz plasa. Pru sufc mc, pum folos fţa rva: y y y car prov zvolara î sr aylor a fucţ or ma mar ca o. sfl prsa (8.73) v: sau: u: y Ngljâ gruaa corz, cuaţa mşcar s: y y y ρ l m a y y y v v ρ l y y s vza propagar a u rasvrsal. Ecuaţa (8.76) s cuaţa propagar a ulor rasvrsal. ρ l la car s gljază rm (8.7) (8.75) (8.76) (8.77) Soluţa cuaţ propagar a ulor rasvrsal Cosrăm o coară vbraă lugm l faă la cap: y (, ) (8.78)

57 y (l, ) (8.79) car la momul s află la saţa f () pozţa chlbru ş ar vza ţală g () : y (, ) f () (8.8) (, ) y g () (8.8) Ecuaţa propagar a ulor rasvrsal î coară (8.76) poa f rzolvaă pr moa sparăr varabllor. S prmă soluţa cuaţ ca u prous ouă fucţ X () ş () p fcar uma câ o sgură varablă: y (, ) X () () (8.8) Impum ca soluţa (8.8) să vrfc cuaţa (8.76): y X y X, X X X X v X (8.83) X v Varabll ş f p, mmbrul sâg al rlaţ (8.83) pzâ uma, ar mmbrul rp uma, rzulă că acasă rlaţ s sasfăcuă uma acă amb mmbr a rlaţ su gal cu acaş cosaă, car rbu să f gavă pru a lma cazurl baal î car soluţa s procă. Dc: Rzulă cuaţl: X X v k (8.8) X k X (8.85) k v (8.86) Soluţl acsor ouă cuaţ su: X cos k B s k (8.87) cos (k v ) B s (k v ) (8.88) D (8.88) rzulă că pulsaţa ar prsa: k v (8.89) u k ar smfcaţa moul al vcorulu uă. Soluţa (8.8) s scr asfl: cos B s (8.9) y (, ) ( cos k B s k ) ( ) D coţl la lmă (8.78) ş (8.79) rzulă: cos B s y (, ) ( ) y (l, ) B s k l ( cos B s ) s k l k l π,,, 3,... (8.9)

58 k π,,, 3,... (8.9) l D (8.89) ş (8.9) obţm: π k v v (8.93) l Pulsaţa s pulsaţa fuamală, ar, 3,... su pulsaţl armoclor. Rzulă că pulsaţa prză valor cuafca, ar raporul pulsaţlor a ouă osclaţ propr al corz s u umăr raţoal (raporul îr ouă umr îrg). Îlocu k ş î (8.9) obţm: π π v π v y (, ) s b cos a s (8.9) l l l Folos prcpul suprpozţ pum scr soluţa grală a cuaţ (8.76) sub forma: π π v π v y (, ) y (, ) s b cos a s (8.95) l l l Cosal a ş b s rmă coţl ţal (8.8), (8.8). f () y (, ) π b s l y π π v π v s b s l l l π v π v a cos l l (8.96) π g () v π a s (8.97) l l Rlaţa (8.96) rprză zvolara î sr Fourr a fucţ f (). Cofcul b al acs sr s rmă asfl: b l f ( ) s π (8.98) l l Î mo smlar, (8.97) obţm: g () π π v s, a l l l π l g ( ) s, a l l π v a g ( ) s l π v π l (8.99)

59 Dacă pozţa ţală a corz s f (), ar vza ţală g () (coara s scoasă pozţa chlbru ş apo s lăsaă lbră), (8.99) rzulă a. Î acs caz soluţa (8.95) v: l π π π v y (, ) f ( ) s s cos (8.) l l l l 8.6 Dsaa volumcă rg a u lasc Erga u cosă rga ccă aoră căra s prouc osclaţl parcullor ş rga poţală ( formaţ) a mulu î car s propagă ua. Dsaa volumcă rg ccă s rga ccă uaa volum: m u u m u ρ y w c lm V lm V ρ (8.) V V Erga poţală s prmă asfl: ε W p l l ε F l ( 8.9) E S ε l E S l ε E V ε ε E V l Dsaa volumcă rg poţală s: Îlocu wc w p y ρ E ε ρ v ε v ( 8.6) ρ (8.3) ş s y v (8.) obţm: y ρ v ρ wp s s v v v Dsaa volumcă a rg oal va f. c w p v Valoara m a săţ rg s: w w ρ s ( 8.3) ρ u (8.) (8.3) (8.) (8.5) ρ w (8.6) Rzulă că saa volumcă rg a u lasc s proporţoală cu saa mulu, cu păraul pulsaţ ş cu păraul amplu osclaţ a parcullor Dsaa fluulu rg al u u mcac. Isaa u Dsa fluulu rgc (vcorul Umov) r j s o mărm vcorală al căr moul s umrc gal cu rga W rasporaă uă î uaa mp, pr uaa

60 - 7 - ar ormală p rcţa propagar ş a căr rcţ ş ss coc cu cl al vz propagar: r r W v j ( 8.7) S v După rcra mpulu vor f ca oa parcull cuprs îr-u clru cu graoara v ş ara baz S. Rzulă: W W S v j v u v (8.8) ρ ma Folos rlaţl (8.5) ş (8.6) obţm: E ρ v p ρ v ma v v ρ v p p j ρ ma v s s (8.9) v ρ v v Isaa ulor lasc r I s valoara m a mărm vcorulu Umov î mp o proaă, acă: r p r ma v I (8.) ρ v v I p ma ρ v p ma z (8.) u z ρ v s umş mpaţa acuscă a mulu, pr aalog cu rzsţa lcrcă. Vza parcullor u corspu săţ saa a curulu, ar p corspu su lcrc alrav. Isaa u corspu pur m a curulu alrav. Îr-avăr rlaţa (8.6) poa f pusă sub forma lg lu Ohm lcrca: p u v (8.) ρ Î cazul u u sfrc, froul uă f sfrc, saa u varază vrs proporţoal cu păraul saţ pâă la sursă Propagara prurbaţlor uraă fă Ua armocă plaă ş ua armocă sfrcă su u moocromac, oarc su caracrza o sgură pulsaţ. O uă moocromacă s fără lmă î spaţu ş urază u mp f. Î rala asma u u să, îrucâ orc prurbaţ ar o uraă fă ş s î îr-u omu f spaţu. Cosrăm o prurbaţ rală scrsă fucţa uă

61 - 7 -,, (8.3), rs Ψ () car ar urmăoara rprzar grafcă. Folos rlaţa (7.) pum rma rasformaa Fourr a lu Ψ : ( ) X ( ) ( ) ( ) ( ) Ψ 8.3 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) s ( ) cos ( ) s ( ) s ( ) ( ) s ( ) X ( ) (8.) ( ) Dpţa păraulu amplu Fourr ( ) s aă î fgură. S cosaă că o prurbaţ uraă fă u s caracrzaă o sgură pulsaţ, c s compusă r-o fa prurbaţ armoc vrs pulsaţ. Valorl amplu cu o mar corbuţ la saa u, car s proporţoală cu X ( ), su cuprs î rvalul

62 - 7 - Îr uraa π (8.5) ( ) π a prurbaţ ş mprcza a pulsaţ să rlaţa: π (8.6) umă rlaţ cru. D acasă rlaţ s cosaă că pru a obţ o prurbaţ rguros armocă, moocromacă ( ) s csar ca acasa să abă o uraă fă ( ). Ivrs, acă, auc, acă pulsaţl să ocup o spcrul. Cazurl ral s îcarază îr acs ouă rm: orc prurbaţ uraă fă ocupă o baă pulsaţ cu aâ ma largă, cu câ uraa s ma mcă Grup u Cosrăm cazul uu umăr mar u armoc pla, a căror frcvţă varază couu îr-u rval îgus cuprs îr υ υ / ş υ υ /, υ << υ. Fcar uă s caracrzaă o aumă valoar a frcvţ ş o aumă valoar a vcorulu uă. Pr suprapura uu umăr f (umărabl) u armoc pla s obţ u grup u. Doarc υ << υ, pum cosra că ul car s suprapu au acaş amplu X ( υ) ş acaş fază, ar faza ţală o algm gală cu zro. sfl, pru o prurbaţ fă a căr amplu X ( υ) s forma Ψ υ υ cos., υ υ υ, υ X (8.7), rs ( υ ) k pum aplca prcpul suprpozţ (mul f lar) sub forma u gral Fourr (7.): ( ) ( ) ( π υ k ) Ψ, X υ υ (8.8) Îrucâ υ s foar mc, pum zvola moulul vcorulu uă î sr aylor î rapor cu υ î jurul valor υ, lmâu- uma la prm o rm: ( υ) k ( υ ) ( υ υ ) k ( υ υ ) k υ υ k υ υ Îlocu (8.7) ş (8.9) î (8.8), obţm: υ υ Ψ (, ) υ υ π υ k Ψ υ k υ υ ( υ υ ) (8.9) υ

63 υ υ k π ( υ υ ) Ψ ( π υ k ) υ υ υ υ υ υ Ψ (, ) Ψ ( π υ k ) f (, ) υ (8.) Noâ: ξ υ k π υ υ, υ υ q, υ q ; obţm: f (, ) υ υ υ q υ υ ξ q υ q υ ξ υ ; ξ υ υ υ υ υ q ξ υ υ υ ξ υ s ξ ξ f (, ) υ s (8.) ξ Îlocu (8.) î (8.) obţm: Ψ Ψ ( ) ( π υ k ), υ ( ) ( π υ k ), Ψ s ξ υ ξ s ξ Ψ (8.) ξ Grupul u rma rlaţa (8.) corspu u u armoc pla ( π υ k ) s ξ Ψ frcvţă υ ş umăr uă k, moulaă facorul. ξ Fucţa uă Ψ (, ) (8.) u rprză o uă armocă plaă, oarc ar o amplu varablă, car p ş : (, ) Ψ s ξ ξ (8.3) Pru ξ avm u mam prcpal cuprs îr abscsl ξ ± π, ar pru ξ ± π,,,..., amplua (, ) s aulază. Maml scuar s rmă coţa: (, ) ξ (8.) car couc la o cuaţ rască g ξ ξ c s rzolvă umrc sau grafc.