CURSUL I PROBABILITATI DISTRIBUTII VARIABILE ALEATOARE. Curs 1 1

Transcript

1 CURSUL I ROBABILITATI DISTRIBUTII VARIABILE ALEATOARE Curs

2 ELEMENTE DE TEORIA ROBABILITĂŢILOR CÂMURI DE ROBABILITATE Tora matmatcă a probabltăţlor porşt d la faptul că fcăru rzultat posbl al uu xprmt alator, rzultat p car îl vom dum vmt, s asocază o valoar umrcă, umtă probabltata vmtulu rspctv. Acastă valoar st o caractrstcă obctvă a vmtulu î codţl xprmtulu dat. Să fctuăm, d xmplu, u xprmt d m or. Dacă î cl m xprţ u vmt A s-a produs d or, atuc 0 m, d ud rzultă ptru frcvţa rlatvă: 0 m, adcă frcvţa rlatvă a uu vmt st îtotdaua u umăr cuprs îtr 0 ş. Ţâd cot că frcvţa rlatvă osclază î jurul probabltăţ vmtulu cosdrat ş că probabltat st aca caractrstcă a vmtulu car dcă î c proporţ s produc vmtul î cazul rptăr xprmtulu d u umăr foart mar d or, rzultă că ş probaltata st tot u umăr îtr 0 ş. D dfţa probabltăţ ca gralzar a cocptulu d frcvţă rlatvă, rzultă că probabltata uu vmt mposbl st 0, ar probabltata uu vmt sgur st. Evmtl pot f smpl, î ssul că u s pot dscompu ma dpart, sau compus d alt vmt c s ptrc smulta. Î acst cotxt putm cosdra două opraţ îtr vmt. Scrm A B ş îţlgm pr acasta u vmt car costă î producra vmtlor A ş B, smulta. Scrm A B ptru cazul câd s produc cl puţ uul d cl două vmt. Fd dat două rzultat A ş B al uu xprmt fctuat d or, să prsupum că A s-a obţut d or ş B d or. Evmtul A B, dc obţra uu vmt d cl două rzultat, s-a obţut ca atar, d sugrază o rgulă d tpul robabltat (A B) robabltat (A) + robabltat (B) + + or, ca c Î cl c urmază vom troduc o prztar axomatcă a cocptulu d probabltat, după Kolmogorov. Curs

3 Corp borla Dfţ: F E o mulţm ş K o faml vdă d părţ al lu E, K (E) cu proprtăţl:. A K CA K. A K Υ A K N 3. E K Dc, st îchsă la opraţl d complmtar ş ruu. S spu, î acst caz, că famla K, împruă cu opraţl mţoat, formază u corp bolra. Dumra d borla v d la matmatcaul Eml Borl, uul dtr fodator tor probabltăţlor. Coscţă: U corp borla st o faml îchsă faţă d opraţua d trscţ, dfrt d umărul lmtlor sal p car l trsctăm: A K Ι K N A Dmostraţa s fac mdat folosd faptul că A C A ropozţ: Fd dată o faml d corpur borl I I U ş proprtăţl ş. K, trscţa lor st tot u corp borla. Dmostrata s fac mdat, folosd proprtăţl corpulu borla ş al opraţlor d trscţ, ruu ş complmtar. Dfţ: F H o faml oarcar d părţ al u mulţm E. H poat f compltată la u corp borla, umt corpul grat d Η, dacă s adaugă E ş toat mulţml c s formază pr ruu, trscţ ş complmtar pord d la lmtl H Η. Dacă luăm p draptă, mulţma trvallor dschs d forma (-,a), a R, corpul borla grat s umşt smplu borlaul p drapta ş costtu baza tor probabltăţlor, aşa cum va f a abordată î przta lucrar. Doarc orc trval îchs s poat obţ pr opraţl mţoat d trval dschs ş vrs, Curs 3

4 orc trval dschs poat f grat pord d la trval îchs, borlaul p drapta st î aclaş tmp grat d mulţma trvallor îchs. Dfţ: Îtr-advăr, s poat scr: [ a, b] Ι a, b + ş Υ a, b a +, b O faml I. I st cl mult umărablă;., j A Aj φ 3. A E A s umşt dsfacr a lu E dacă: Spaţ măsurabl Dfţ O mulţm E împruă cu u corp borla K formază u spaţu măsurabl (E,K). Elmtl lu K s umsc mulţm măsurabl. Dfţ Fd dat (E,K) s (F,L) spaţ măsurabl, o fucţ f: (E,K) (F,L) s umşt fucţ măsurablă dacă îdplşt codţa: A, A L f - (A) K sau, altfl spus: f - (L) K roprtăţ a) Dacă f ş g sut măsurabl, atuc f οg, f +g ş f*g sut măsurabl. b) Dacă f st cotuă, atuc f st borla măsurablă. Obsrvaţ S poat fac u parallsm îtr spaţl topologc ş spaţl măsurabl, îtr fucţl cotu ş fucţl măsurabl. Astfl, o fucţ st cotuă dacă prmaga orcăr mulţm dschs st o mulţm dschsă ar măsurablă st atuc câd prmaga orcăr mulţm măsurabl st măsurablă. Dasma, dacă f ş g sut două fucţ cotu, atuc f + g ş f*g sut cotu. Curs 4

5 Dfţ S umşt măsură orc fucţ poztvă dftă p corpul mulţmlor măsurabl, µ : K R +, adtvă p orc faml I dsjuct:, m, A Φ Am A µ ( A) Coscţ a) µ ( Φ) 0 Îtr-advăr, dacă luăm µ Υ A A, Φ A umărablă d mulţm măsurabl b) F u şr d mulţm A A... ş f A ΥA Dmostraţ: F B A + \ A. Mulţml A µ ( Φ) µ ( Φ Φ) µ ( Φ) µ ( Φ) 0 B sut dsjuct ş, atuc µ ( A ) µ ( A) µ A Υ A B Υ B Υ... Υ B. D adtvtata lu µ rzultă µ B µ ( B) s ( B) µ ( A) ( A) Υ Υ s s µ µ ş µ ( A) < µ ( A) < µ ( A) A ΥA Altfl, {, +,... } Exmpl A, Ι Φ a) F µ dftă după cum urmază: ( A) µ A dar ( A) µ dacă A st ftă ş µ ( A) umărul lmtlor d A, dacă A st ftă. Acastă măsură s umşt î mod atural măsura d umărar. b) F u puct xtror x 0 E fxat. Dfm: ( A) µ dacă x0 A ş x 0 ( A) µ 0 dacă x0 A x 0 Măsura st utlzată î mcaca cuatcă ş s umşt măsura lu Drac. robabltat Vom df probabltata ca o măsură partculară. Dfţ: Fd dat u spaţu măsurăbl ( E, K ). O fucţ : [ 0,] a) măsură ş K cu proprtăţl: Curs 5

6 b) ( E ) s umşt probabltat. roprtăţ: Dc, probabltata ar f o măsură ormată. baza proprtăţlor măsur ş a faptulu că ( E ), s pot dmostra cu uşurţă următoarl proprtăţ:. A B ( A/ B) ( A) ( B). ( ), A A + ( Υ A) lm ( A) 3. ( ), A A + ( Ι A) lm ( A) 4. ( A Υ B) ( A) + ( B) ( A Ι B) 5. ( Υ A) ( A) 6. ( Φ) 0 7. ( CA) ( A), umtă subadtvtat umărablă Î cotxtul tor probabltăţlor, mulţml măsurabl dv vmt, spaţul măsurabl dv câmp d vmt, ar E dv vmtul total. Dfţ: probabltat. Dfţ: U câmp d vmt ( E, K ) îzstrat cu probabltata, s umşt câmp d U vmt car u ma poat f clus î alt vmt A K, B K, A B sau A Ι B Φ s umşt vmt lmtar sau atom. Obsrvaţ rztara axomlor tor probabltăţlor î cotxul ma larg al tor măsur, dcolo d formalsmul smplu ş rgoar, ofră ş avatajul uor trprtăr fomologc ş pctural ptru ul formul. Astfl, dacă probabltata st o măsură, la fl ca ara ptru fgurl pla, formula: s poat ct ca: ( A Υ B) ( A) + ( B) ( A Ι B) Curs 6

7 ara ( A Υ B) ara ( A ) + ara ( B ) - ara ( A Ι B) ca c par ca vdt. Fg.. A A B B Dfţa clască lmtară a probabltăţ drvă î mod atural d oţua d frcvţă, dspr car am vorbt ma sus. Dacă u vmt A s poat ralza î m flur dfrt dtr-u umăr total d voluţ posbl ( j ) j, Exmplu a) ( j ) ş m b) ( A), gal probabl, atuc : Exmplul clasc d câmp d probabltat ft îl costtu vmtl c pot apăra atuc câd, dtr-o ură î car s află bl alb ş gr s xtrag bl. Dacă proporţa bllor alb î ură st p, ş dc a clor gr st q - p, probabltata vmtulu A, ca d bl xtras, să f alb, coform dfţ clasc dft ma sus, s calculază mdat ş st: ( A) p q C D xmplu, vmtul ca d tr bl xtras, două să f alb - a - ş ua să f agră - - s poat dscompu î flul următor : ş A (a a ) U (a a) U ( a a) (A) (a a ) + (a a) + ( a a) p q + p q + p q 3 p q robabltat codţoată C3 p q 3- F B u vmt a căr probabltat st dfrtă d 0. robabltata uu vmt A, rprztă proporţa î car aştptăm să s ralzz A î cadrul tuturor vmtlor câmpulu d probabltat la car aparţ A Curs 7

8 robabltata lu A s ma poat aalza îsă ş î cotxtul î car ştm că s-a produs atror vmtul B. robabltata vmtulu A codţoată d B s otază, î acst caz, cu: (A/B) sau B (A). Dacă s-a costatat xprmtal o frcvţă d aparţ A ş, rspctv B, ptru A ş B, frcvţa rlatvă d aparţ a lu A, câd dja a apărut B, va f: AB B AB B ( AΙ B) ( B) Î acst cotxt apar aturală dfţa probabltăţ vmtulu A, codţoată d B, pr formula: B ( AΙ B) A ( B) U caz spcal îl costtu acla î car probabltata d aparţ a vmtulu A st acaş, dfrt dacă s-a produs sau u vmtul B: (A) B (A) Spum, î acst caz, că vmtl A ş B sut vmt dpdt. Obsrvăm că, rscrd formula atroară B ( A Ι B) A ( B) ( A Ι B) B ( A) * ( B) ( A) * ( B) s poat lua ca dfţ că două vmt sut dpdt atuc câd: ( A Ι B) ( A) ( B) * Formula probabltăţ cauzlor (Bays) F A, A,, A o dsfacr a lu E p car, î cotxtul tor probabltăţlor, o umm sstm complt d vmt. Ea rprztă î aclaş tmp o dsfacr ptru E cât ş ptru orc vmt E Υ Aj Υ ( A Ι ) Dat fd că vmtl E. Să prsupum că, ( A) 0 A Ι sut dsjuct, avm ( ) ( A Ι ).. Î acst codţ avm următoara tormă: Curs 8

9 Torma probabltăţ cauzlor robabltata producr orcăru vmt, st gală cu suma probabltăţlor d producr a lu, codţoat d vmtl complt al sstmulu ( A ), Dmostraţ: D dfţ avm (A j ( Ι Aj) ) ( ) dc, (A j ( Ι Aj) ) ( A Ι ) ( Aj) Aj( ) Aj A A ( A ) j Ι Aj ( Aj) ( A) A Ι ( A) ( Aj) Aj( ) ( A) AI( ) ş (A j ) poat f trprtat ca fd probabltata ca să abă cauza A j. Î acst caz, formula calculază probabltata lu î fucţ d probabltăţl cauzlor car ar f putut dtrma vmtul. robabltăţl (A ) s umsc aprorc, ptru că l s cuosc îat d vmt. robabltăţl (A j ) sut probabltăţl acloraş cauz, dar după c s-a îtâmplat vmtul, ş s umsc d acst motv, probabltăţ apostrorc. Exmplu, câd u pact toxcat st adus la urgţă l prztă aumt smptom ş mdcul, folosd xprţa sa, rzultatl dtrmărlor î sâg ş u sstm computrzat laborază o lstă cu probabltăţl ca toxcaţa să s f făcut cu o aumtă substaţă. Î fzca statstcă paramtr trmodamc sau cuatc a uu sstm rzultă d îsumara uu umăr foart mar d vmt. robabltata d trcr d la o star ţală la o star fală st dată d suma probabltăţlor d trcr p aumt că A podrat fcar cu probabltata, sau altfl spus podra lor, p(a ). Doarc umărul călor poat f d putra cotuulu, î locul sumlor apar tgral. Sau, dacă s-ar produc o crmă, apostror, pum problma rarhzăr suspculor prvd potţal crmal. roblma u st d loc tortcă dacă sutm d xmplu o soctat d asgurăr sau dacă tstul st u tst d malgtat. Curs 9

10 Bayr a fost u pscop car s-a procupat d cauzl vmtlor d luma acasta ş lgătura lor cu cauza fală Dumzu. Formula probabltăţ cauzlor arată cum s trasformă probabltăţl aprorc î probabltăţ apostrorc, după aparţa vmtulu. D xmplu, ştd că u mdcamt s absoarb î, ş s lmă d sâg p ma mult că, cu dfrt probabltăţ dat d cosdrt fzco-chmc ş fzologc, î fucţ d rzultatul uor dtrmăr a coctraţ al acstora î sâgl uu pact, putm pu problma stablr podrlor fctv al acstor că, î scopul dvdualzăr tratamtulu. Obsrvaţ: utm dasma să cosdrăm cazul partcular al dsfacr vmtulu total î două vmt A ş complmtul său CA. Formula lu Bays dv î acst caz: (A) A A( ) ( A) ( ) ( A) + CA( ) ( CA) Aplcaţ: Dacă, d xmplu, (B) st proporţa (probabltata) u bol î populaţ ş cuoscâd proporţa î car u tst dagostc st poztv la bolav B (T) ş la săătoş NB (T) putm calcula probabltata ca u pact la car rzultatul tstulu st poztv să f bolav: + (B) B B( T ) ( B) ( T ) ( B) + NB( T ) ( NB) ud: B (T) st probabltata ca u bolav să f catalogat poztv d cătr tst ş s umşt ssbltata tstulu. NB (T) st probabltata ca u săătos să f catalogat gatv d cătr tst ş s umşt spcfctata tstulu. roblma dv trbl d mportată dacă, d xmplu, st vorba d u tst d dpstar a cacrulu. Curs 0

11 VARIABILE ALEATOARE Dfţ: a) S umşt varablă alatoar (îtâmplătoar sau statstcă) o fucţ rală f dftă p mulţma K a vmtlor, cu proprtata că, orcar ar f umărul ral a, mulţma x K ptru car f(x) a st u vmt d K. Î trm d tora măsur, o varablă alatoar st o fucţ f : (E, K, ) (R, B), măsurablă. ractc vorbd avm dftă probabltata ca varabla să abă valor ma mc dcât orc umăr dat a. b) O varablă alatoar s umşt varablă alatoar smplă dacă a u umăr ft d valor: f : E R, f (E) ftă ş ( f (x) x ) ( f - (x ) ) p c) Vom lucra, î cl c urmază, ca rgulă, cu varabl alatoar dpdt, adcă varabl c au valor dpdt ua d calaltă: ( f ( x) x ) ( g( y) y ) ( f ( x) x ) g( y) ( y ) j * j, x, y j Obsrvaţ: S poat vrfca uşor că varabll alatoar formază o algbră, adcă suma, ş produsul a două varabl alatoar st tot o varablă alatoar; ma mult compura a două varabl alatoar st tot o varablă alatoar. Trbu î acst cotxt să fm atţ la dpdţa sau odpdţa varabllor alatoar mplcat î opraţ. D xmplu putm ct + ud st o varablă alatoar î două flur. utm, d xmplu, să cosdrăm u xprmt rptat d două or rzultatl fd dpdt 3 4 +, 4 4 î tmp c, dacă cosdrăm că ş u au valor dpdt, atuc 4 + utm rprzta grafc acst probabltăţ. Curs

12 D xmplu, apar sub forma p / /4 0 3 x Dar putm rprzta curba cumulatvă a dstrbuţ Dfţ formula: (x<x ) 3/4 / /4 0 3 x Fucţa d rpartţ asocată lu f st fucţa F(x), F:R [ 0,] dftă d F(x) ( f < x ) ( f - (-,x) ) Importaţa acst fucţ costă î faptul că, dacă F(x) st dată s poat dtrma probabltata ca f să a valor îtr-u trval I R, orcar ar f acl trval. Î cazul î car f a u umăr ft d valor, d xmplu {,,3}, câd cuoaştm ( f ),, 3, cuoaştm practc ş ( f ),, 3 Îtr-advăr, ( f ) ( f ). ( f ) ( ( f 3) ( f ) ) ( f 3) * ( f ) ( f 3) * ( ( f ) ) ( f 3 ) ( f ) ( f ) Ca rgulă grală: ( f ) ( f + ) ( f ) Dc am dtrmat o dstrbuţ d probabltat car poat f rprztată sub forma u matrc: 3 ( f ) p p p3 Curs

13 roprtăţ Fucţa d rpartţ ar următoarl proprtăţ: a) a b F(a) F(b) b) a lm F(a) 0 c) a + lm F(a) d) F st cotuă la stâga. Dacă F st cotuă spum că f st varablă alatoar cotuă. Î acst caz, probabltata ca f să a orc valoar partculară st 0. Exmplu: ξ, ( f(x) ξ ) 0 Dacă pum problma probabltăţ ca tmpratura î camră să f t 0,34756 acasta st vdt zro ş d fapt problma c u ar ss î măsura î car tmpratura st o valoar md î jurul căra avm fluctuaţ cotu. Dacă pum problma ca tmpratura să f îtr-u aumt trval oţua d fucţ d rpartţ capătă u coţut cocrt. Dfţ F F(x) fucţa d rpartţ a u varabl alatoar ξ. Dacă xstă o fucţ ρ(x), tgrablă p trvalul (, + ), cu proprtata că ptru orc x R st vrfcată galtata: ρ(x) F x atuc, ρ(x) s umşt dstata d rpartţ sau dstata d probabltat a varabl alatoar ξ, Î acst caz, probabltata ca varabla alatoar să a valor îtr-u trval (-,a) st dată d formula: ş rspctv: (ξ(x) < a) F(a) a ρ (b ξ(x) < a) F(a)-F(b) ( t)dt b a ρ ( t)dt - ρ ( t)dt ρ ( t)dt b a Curs 3

14 Dfţ S umşt valoar md (sau spraţă matmatcă) a u valor alatoar f, umărul M(f) x p, atuc câd ξ st o varablă alatoar smplă ş, rspctv M(f) probabltat ρ. + x ρ ( x)dx, atuc câd ξ st o varablă alatoar cotuă, cu dstata d Î ltratură, opratorul d md s ma otază ş cu E, d la xpctato spraţă î glză. Î cazul varabllor smpl s obsrvă că valoara md a varabl f st mda podrată a valorlor sal x, cu podrl p, car rprztă frcvţl d aparţ al valorlor rspctv. roprtăţ al md: Dacă f ş g sut dpdt, atuc avm: a) M(af) am(f) b) M(f+g) M(f) + M(g) c) M(fg) M(f)M(g) Vom schţa o dmostraţ a proprtăţ b): M(f+g) ( F Gl)( x + xl, Ι ) ( F Ι Gl) x + ( F Ι Gl) l l l Dar, p d altă part, folosd proprtăţl trscţlor ş ruulor d mulţm, rspctv dstrbutvtata trscţ faţă d ruu ş a trscţ faţă d ruu, ş faptul că Υ l l smlar, ( F Gl) Dc, l G E avm ( F Gl) Ι (G l ). M(f+g) ( F) x + ( Gl) xl l Ι (F Ι ( l) M(f) + M(g) Υ l xl G ) (F ) ş Noţua d md s gralzază, dfdu-s momtul d ord al u varabl alatoar: M f x p, atuc câd ξ st o varablă alatoar smplă ş rspctv, Curs 4

15 M (f) + x ρ(x)dx, atuc câd ξ st o varablă alatoar cotuă. S umşt momt ctrat d ord al varabl alatoar f momtul d ordul al abatr sal faţă d md. M c ( f ) ( x µ f ) p c ş rspctv, [ x M ( f )] ρ( x)dx µ +,î cazul u varabl alatoar cotu. Dsprsa d slcţ, sau varata uu şr d rzultat umrc al uu xprmt st mda artmtcă a pătratlor abatrlor acstor valor faţă d mda lor artmtcă. s st: Dacă x, x,, x sut cl valor al sr, dsprsa d slcţ a acstora, s ( ) x După cum vom vda ma dpart la statstcă, o formulă ma utlă ptru dsprsa d slcţ st: xprmt. slcţ. Dfţ s ( ) x Dsprsa d slct st dcatorul prcpal al împrăştr datlor uu Dsprsa u varabl alatoar st cocptul c gralzază dsprsa d Dsprsa varabl alatoar d otază D() sau σ momtul ctrat d ordul do. D() σ M[(-M()) ] ( x M ( )) ρ( x)dx ş rspctv + σ M[(-M()) ] ( x ) p ş st, î partcular, µ, atuc câd varabla alatoar st dscrtă. Rădăca pătrată a dsprs, σ, s umşt abatra md pătratcă a varabl, ar s x abatra stadard. Curs 5

16 roprtăţ a) tru orc varablă alatoar ş orc costat a ş b D(a+b) a D() b) Dacă, Y sut două varabl alatoar dpdt D(+Y) D() + D(Y) Dmostraţ: tru orc două varabl alatoar ş Y, cu mdl µ ş rspctv µ Y, avm D(+Y)M(+Y- µ - µ Y ) M(- µ ) +M(Y- µ Y ) + M[(- µ ) (Y-µ Y )]D()+D(Y)+ M[(- µ ) (Y-µ Y )] Dar, atuc câd ş Y sut dpdt M(Y) µ µ Y, M[(- µ ) (Y-µ Y )] M(Y- µ Y -Yµ + µ µ Y ) µ µ Y- µ µ Y- µ µ Y+ µ µ Y 0 M[(- µ ) (Y-µ Y )] 0 ş dc D(+Y) D() + D(Y) c) Îtr dsprs, valoara md ş momtul d ordul do xstă rlaţa: D(f) M(f ) (M(f)) Dmostraţ: µ x p D() ( x ) p - x µ p + µ p M(f ) - µ + µ M(f ) (M(f)) Obsrvaţ Dacă umm M(f ) mda pătratulu s (M(f)) pătratul md formula capătă o formular uşor d rţut: Dsprsa st gală cu mda pătratulu, mus pătratul md. Rlaţa s ma poat scr sub forma M µ + σ ş am puta s-o umm torma lu tagora î probabltat. Exmplu Î modlul clasc al ur cu bl p car l-am prztat ma sus, probabltata vmtulu d bl xtras, sut alb ra p C p q. Mda varabl alator car da umărul d bl alb d bl xtras va f, pr dfţ, M() C p q Curs 6

17 tru a calcula acastă sumă cosdrăm următoara dttat (pt + q) C p t q ((pt + q) ) ( C p t q ) p(pt + q) - C p t, p car o drvăm î raport cu t q ş apo facm t p C Am obţut, dc, M() p Folosd acaş dttat, dar drvâd d două or s arată că: D() pq Cuoaştra md ş dsprs u varabl alatoar dă o dcaţ asupra trvalulu î car s află valorl varabl, cu ca ma mar probabltat. Ma xact, după cum arată torma următoar, cu cât îdpărtăm ma mult d valoara md, cu atât valorl rspctv sut ma puţ probabl ca valor al varabl dat. Igaltata lu Cbâşv Dacă σ st dsprsa varabl alatoar, probabltata ca modulul abatr sal d la valoara md să a valor ma mar dcât u umăr ε > 0 st ma mcă dcât σ. ε σ ε ( x m ε ) Dmostraţ: orm d la dfţa dsprs M ( x m) [ ] ( x m) p p q σ ş împărţm suma î do trm: uul corspuzător valorlor x ptru car x m ε ş uul corspuzător valorlor lu x ptru car x m <ε. σ ( x m) p ( x m) p + ( x m) p x m ε x m ε Dacă gljăm prmul trm al sum ş morăm x m îlocudu-l cu ε î al dola trm, s obţ σ x m ε ( p + p +... p ) ε p ε +, cu p + p p suma probabltăţlor valorlor x ptru car m ε. x Curs 7

18 Dar + p +... p ( x m ε ) p + ş dc am obţut σ ε ( x m ε ) ca c mplcă următoara rlaţ: ( x m ε ) σ. ε Doarc suma îtr probabltata uu vmt A ş probabltata vmtulu cotrar CA st, avm (CA) -(A) ş galtata s ma poat scr sub forma ( x m ε ) Exmplu: Fε 3σ ε σ 8 3 ε 9 9, atuc galtata Cbâşv dă: ( x m ) Exprmat î cuvt, acastă galtat apart baală, spu d puct d vdr fomologc, orm d mult: robabltata ca orc varablă alatoar să a valor ma îdpărtat d valoara sa md dcât d tr valor stadard, st ma mcă dcât 0,. Vom vda ma dpart că, î cazul î car varabla alatoar ar suplmtar ul proprtăţ d rgulartat, acastă probabltat st char mult ma mcă. Acaş galtat prmt îţlgra lgătur îtr frcvţa ş probabltat, lgătura car xprmă îsăş fudamtara statstc p tora probabltăţlor. Să cosdrăm varabla alatoar car dă umărul d bl alb îtr-o xtracţ d bl d ură. tru acastă varablă avm următoara tormă, car s gralzază î tora probabltăţlor î form car dpăşsc îsă cadrul acst lucrăr. Torma lu Broull: Dacă s otază cu p probabltata ca u vmt A (d xmplu aparţa bl alb) să s ralzz îtr-u xprmt ş f st frcvţa cu car s ralzază vmtul A î xprmt dtc coscutv, şrul (f ) covrg cătr p î probabltat. Altfl spus: Dmostraţ: Frcvţa td î probabltat la probabltata tortcă. Curs 8

19 lm p ε lm ( p ε ) lm ( M ε ) Dar, aplcâd galtata lu Cbâşv: M σ lm p ε lm ε σ ş dc ε ( ε ) 0 Torma lu Broull afrmă uma că galtata f p ε u ar şasa să f ralzată sau că galtata f p ε ar şas mar să f îdpltă dacă st sufct d mar. Dstrbuţa ormală DISTRIBUŢII DE ROBABILITATE Spum că o varablă alatoar st ormal rpartzată N ( m,σ ), atuc câd dstata sa d probabltat st data d formula: ρ ( x m, σ ) ( xm) σ, σ π O prmă codţ ca ρ ( x) să f dstrbuţ d probabltat st aca că + ρ ( x) dx ( f ( t) + ) tru a vrfca acastă codţ, plcăm d la u rzultat car s-a obţut la cursul d matmatcă folosd tgrala dublă, ş aum : + x dx π Î cazul ostru, dacă facm schmbara d varablă x m u avm σ ( xm) u + + σ ρ( x) dsprsa σ. + dx dx σ π σ π σ du Vom arăta î cotuar că o varablă alatoar ormal rpartzată ar mda m ş Să calculăm ma îtâ mda: Curs 9

20 ( ) σ ( ) σ x m x m + + M [ ] x dx ( x m m ) dx σ π σ π + ( ) xm * u + σ + σ x m dx m u σ du m 0 m m σ π σ σ π Itgrala st ulă doarc fucţa d tgrat st mpară. tru calculul dsprs folosm d dttata: D M M M M M ( ) σ π + x ( xm) u + σ dx σ π ( m + σ u) σ du + m π u + mσ u u + σ u u du u + m π + σ u du π Calculăm sparat tgrala rămasă ş obţm: u du u u du u * du π u u u u ud am tgrat pr părţ, luâd u ϕ ş u ψ Dc am obţut ( ) ( m π + σ π ) D( ) obţm: D u M ş îlocud î xprsa lu π ( ) ( m π + σ π ) m σ π ord d la proprtăţl opratorlor d md ş dsprs M ( m) M ( ) m ( m) D( ) D ş a a D D( ) Curs 0

21 s obţ că, dacă o varablă alatoar st ormal rpartzată N ( m,σ ), varabla alatoar rdusă m σ st rpartzată N ( 0,), dc cu dstrbuţa d probabltat ρ x ( x) x t Fucţa d rpartţ asocată st fucţa Φ( t) dx umtă fucţa lu Laplac ş al căr valor s găssc î tabll d practc toat cărţl d statstcă ş probabltăţ. Dstrbuţ bomală Dstrbuţa bomală apar, aşa cum s-a arătat ma sus, la dscrra vmtlor asocat xtracţlor dtr-o ură cu bl alb ş bl gr. Dstrbuţa varabl alatoar umărul d bl alb d bl xtras s poat rprzta ş sub formă matrcală: bomal sut C p q C p q C p q C 0 p q După cum am arătat mda ş dsprsa u varabl alatoar rpartzat M p s D pq Rpartţa bomală apar îtotdaua atuc câd u xprmt cu uma două răspusur posbl s rptă d or. U caz partcular îl prztă xprmtl car s rptă d u umăr foart mar d or, ar vmtul î a căru aparţ sutm trsaţ ar o probabltat foart mcă, catgorst uzual ca vmt rar. La lmtă, câd, p 0, dar p rămâ costat, p, s obţ dstrbuţa osso. Dstrbuţa OISSON Cosdrăm dc că lm C p q p ş trcm la lmtă după lm ( )... ( )...( + )! *lm + lm! Curs

22 Curs dar... lm + ş lm lm ş dc, q p C! lm Dc, dstrbuţa osso st dată d matrca!...!...! 0 Calculâd, după dfţ, mda ş dsprsa u varabl alatoar dstrbut osso ş ţâd cot că 0!, 0!,!,! s obţ 0!!! M [ ] !!!!!!! D Exmplu: Numărul vmtlor advrs la u mdcamt dat st rpartzat osso. Cl ma mult st utlzată dstrbuţa osso î fzca statstcă. Aproxmara ormală a dstrbuţ bomal Ca o rgulă grală, dacă p ş q sut ma mar sau gal cu 5, poat f folostă aproxmara ormală. tru dstrbuţl bomal î car p<0,5 aproxmara st buă

23 ptru valor al lu p ş q ma mc dcât 5. Î acst codţ, aproxmatv ormal dstrbut cu mda 0 ş dvaţa stadard. p pq Acastă trasformar îlsşt d obc calculul probabltăţlor bomal. p pq st Rpartta χ Hlmrt - arso S cosdră obsrvaţ dpdt x, x,, x (varabl alatoar dpdt) ormal dstrbut ( ξ,σ ) N. x ξ Varabll stadard u,, sut d asma dpdt, ar σ suma pătratlor lor va ava o dstrbut c poat f dtrmată. S dfşt u. Dstrbuţa varabl rzultat s otază χ () ş st dfrtă ptru fcar valoar a lu, ar paramtru s dfşt ca umărul d gradlor d lbrtat. Vom dtrma î cotuar paramtr (mda ş dsprsa) u varabl dstrbut χ. tru a afla mda dstrbut χ st csară aflara lu [ ] M, M [ u ] M u M [ u ] u Doarc [ ] 0 [ ] D[ u ] Ca urmar M[χ ()] M [ u ] M [ u ] * Dsprsa va f: D[χ ()] M. 4 4 D [ u ] D[ u ] D[ u ] [ M ( u ) ( M ( u ) ] M ( u ) 4 tru a obţ [ ] u M s folosşt rgula tgrăr pr părţ: ( x) g ( x) dx f ( x) g( x) f ( x) g( x)dx f Î acst caz s va dtfcă: f g 3 ( x) u f ( x) u 3u ( x) g ( x) u u u [ ], dc s va obţ: Curs 3

24 u u u M u u ρ ( u) du u du u u du u π π π u u + + 3u du 3 u du 3M u 3 π π Atuc, D 4 [ u ] M [ u ] M [ u ] 3 ş substtud î rlaţa d ma sus s va obţ Dc varabla D[χ ()] D[ u ] x + x + x +... x st rpartzată χ (), cu grad d lbrtat, avâd mda E(χ ), rspctv dsprsa D(χ ). S poat arăta că dstata d probabltat st dată d fucţa χ χ f(χ ) Γ ud Γ st fucţa Eulr d spţa I-a studată la cursul d matmatcă şă t α aum : ( α ) Γ t dt. Rpartta 0 + χ s folosşt foart mult î statstca matmatcă î vrfcara potzlor asupra galtăţ dsprslor., Rpatţa STUDENT Aalog cu dstrbuţa χ, rpartţa t a fost propusă d Studt (psudomul lu W.S.Gosst, chmst statstca glz), ptru statstca slcţlor mc ş xprmă dvaţl mdlor d slcţ x, faţă d mda îtrg populaţ µ, măsurat î (abatra stadard a mdlor d slcţ). Dacă sut dat două varabl alatoar Z N( 0,) s V χ spu că varabla t t dpdt, s Z V st rpartzată Studt cu grad d lbrtat. s Curs 4

25 ptru Mărma t u dpd dcât d umărul gradlor d lbrtat. Dstrbuţa d probabltat a u varabl alatoar rpartzat Studt td, la dstrbuţa ormală ρ ( t) π Dstata d probabltat st dată d fucţa: f ( x) + Γ x * * π + Γ + t ud x R ş N. Rpartţa F (Bhrs - Fshr Sdcor) sau dstrbuţa raportulu a două dsprs S cosdră frcvt î statstcă raportul a două dsprs car stmază acaş dsprs grală a u colctvtăţ. Dtr-o colctvtat grală s xtrag două slcţ U χ ( ), V χ ( ) F U V F (, ). Raportul lor st o varablă alatoar rpartzată F Examâd acst raport s obsrvă că l u coţ dsprsa colctvtăţ gral σ, d ud rzultă că dstrbuţa acstu raport u dpd dcât d umărul gradlor d lbrtat s al clor două dsprs. Dstata d probabltat st dată d fucţa: + + Γ * * * * f x x + x Γ * Γ, câd x 0. Adr Ncolavc Kolmogorov ( ), fost profsor la Uvrstata d Moscova, a avut cotrbuţ dosbt î aalza matmatcă, aalza fucţoală ş tora probabltăţlor. Carta sa Grudbgrff dr Wahrschlchttsrchug, Brl, 933, a îsmat o rvoluţ î tora probabltăţlor, arătâd că, formal, acastă tor s poat trata ca u caz partcular d tor a tgral (sau tora măsur ). Curs 5