P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r"

Transcript

1 r s s s t t

2 P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st tt t st ttä äär tö äärä s st äs tt ä s st s s tt s st äärää st tt ä äär ttä ää s st ää t s s t tää s tä ä t s t s s t tää tässä t2össä 2 2 st r ä r 2tää t r r st s s ä s s äs t ää s s tt tt st t ö ä ä ä t st t t ä t 2 s äs tt s22s s ttä äär tö äärä sä s äär t ää s r 2 t t ä 2 t tt s ä r ss t st t t r ss tt2 ä s t r ss äs tt 2 ä s t ää t st t ää ös s äs tt äär tt 2 ä t t st t r s t st t s 2 s rt s t ä ä sä s s t ää s t äs tt ät r t tt s t t t t tt t äärät2 r ss äärää ästä s rr2tää t st rt s s t2östä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä t st t 2 är s st s st äärä t ät tt s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s s t 2 r 2 r s s r s ä 2t2s ör r sstä r s t t r st t t t Ö r t r t r t

3 sä tö t st s st t r r st t r ss st ää ös s r s r s äärät2 r ss t t tt s äärästä rt s s s t s st äärä s st ää t s s s

4 t P r s t ss t r tt s t t t s t t s t s 2 s s s s s sä ö s äs t s t s s tä tää tär ä ä ttä s 2ös t t s t t tt s s t s t tää tä t t är 2 stää tt t t rä tä t t s r 2s t r ä st t s t t t s ä tä ä ä ä ä ss s r rt s t st 2ös s ttä st t tä ät tä ä2ttä ät st sä s 2ö t s t s r s P s r ss s t s t ä ä r täs ä tt s ä stä s st ää 2 2 ä ä st s ä ä r 2ös tt ss t s ss s ä ä r s ss s tt tt t t P2t r s r st t tt s 2st s r t2s t t t2 s ts ä s s t t s s r t t s ä t t tää 2t r st ä2ttöö tt 2ös s t ä2tössä t tt t t 2t r st r räs ä stä tt 2 st tt2 t ä stä ä2t tt t2 s ä r t s s ä ts ttä äär tö äärä t s t ä t r ttä ä äs t tä t t t t P rr r t t s tt 2stä ä st str t n m t ö s m n t ö s r t tt s t tt2 ä ä ttä ä t s t t st tt s t s s ä stä ä ttä stä 2 2 s rt s s ttää r t s t ää s t t st tt s ä tt stä s tt t äär s t t s t s r t t t t t r r ss r t ä tä ä ä ä ä t t t t t t ss s t t tt2ä s t s s ss s s t ts stä s r ö2tä s s ä2 ssä 2 2ää s r t tt rs s ö2 tt2 ss ä ä t ä t t s P 2 t r t s ä s ssä s ss t t tt rä ä st ä ä s t r s t s ss s ss

5 2r tää t r t s ä s s t s t r s t 2 r s t r 2 r t tt äs t t s s r t2 t t s st 2 2ää st t tää ä tä s t s ttää s ä ts ä s ss r ss s r ä täs ä s äs t 2 s tä ä t2ö s s ä t r ä 2ö t r r st st s ä s s äär t ää tä s s t t r tt t s t ää s t ä tt2 ä äs tt tä t t r t 2ö t2ö t ssä ästä s rr2tää r ss s ää ös s s äs tt äär tt 2 ä s r ss ss s t ää r s t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st r s st ss s r t tt tässä t2össä äs t ää st s 2 s rt s t t ä ä sä s ss s t ää s t äs tt ät r t t s r st t t2 r ss t t tt s äärää s s t st t rt s t t r t t2ö s ssä ss s ssä ss äs t ää t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s ss t t t s st s st äärää t ät t t s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s

6 st s st P s t s s ss st 2 s s t t s s t s s ä tää s s ä t s 2 s s ä ts ää s täs ä s s t st ts t s s r s t ts s ä 2 s t ä ä t s s ä s s äs t ää s s tt s ä tt st t ö ä ä sä s r st t ä t ss t st t s 2 s äs tt s22s r t t r s s st 2ös ttä äär tö äärä ä sä s s t t s t2 st 2 r s r 2 t t ä 2 t tt r ss s ä t r ss tt2 ä s t t r t 2ö t t ss s t2 s t st s s ä t st t ää ös s s t ää s tt2 ä s r ä ää s s ä t ä t tsä 2 ä r tt äätäs t s r s ä t s t s t r2 r r2 ts t s t r r st t äär t ä s s s a b t s s t ttä b 0 s t ttä s a s b s ss s c a = bc s 2ös ttä t ä a b rt ästä ä2t tää r tää b a st st s b a rt a b r tää tätä b a s s äär t ä t ä t p > ä s ä t s t s t ö tä p ts t 2ös tt s s t s n > t tää 2 st t2 s s st t2t t tt t ö s ttää ss n = n n 2, < n < n, < n 2 < n, n,n 2 N. t ö n n 2 tt st t t ä tä ä st s s n t ä t n = p p 2 p s (p,...,p s ).

7 2ö t st t ttä t ä t 2 s äs tt t ö är st2stä tt tt s s s s äär ttö ä t st s st t s st t s äär äärä {p,p 2,...,p r } ssä r st t s r s n = (p p r )+. 2t n t s äär t ä s st t ö p i t ö stä p i n i r n t k p i k N 2t r tt k p i = (p p r )+ k p i (p p r ) = p i (k (p p i p i+ p r )) =. s 2 tä ö s p i t tä2t22 2ös p i t s s p i s st p i s t ä tää tä ä r st r t s äär tö äärä s t tt2 s t tt tt ttä äär tö äärä tt st t tt 2 s t r t t st t r st s äär ttää tt ää rä s s t t st tt st 2 tt s s s ä t t tt t t t s ä s t r s t ä ts s s ää ss rt s s r t ät s 2 sää ö s st s t2 st 2s r s r s ä ä ä t t s s t s t s ss s t2 st 2 r s st tt ss s t rä ä s ä r t s st s P r 2 tä s äärää 2ö s s

8 s p a,b s s p ab p a t p b s s s p a a k p st a i ssä i {,...,k} s t st s ö2t22 t s st r s s r t t r s s s t s n > s ttää t n = p p 2 p s, ( ssä p i i =,...,s ; s N) t ö p i är st2stä tt tt 2 s äs tt s st st s r st t t ä t ss st t s r s 2 s äs tt s22s t t 2t ttä n s ttää t ss r ss n = p p 2 p s n = q q 2 q r. s p n s p q q 2 q r p st q j tt ttä q j = q s 2s ssä t tä2t22 p = q ä ö t r st t s t 2 tä ö p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q r. t s t äästää t s ss p i = q i i =,...,s s = r s s t2 s t t s t ästä ä ää 2ös s 2 sä 2 ä s2tä s ttä s s s r t t r s s ät s 2 s äs tt s22s s ä s r s t s s ttää ss 2 5 t 2 5 s s s a b st t st ä tää 2 s 2 t s t t ä r st 2 t s stä t ästä ä2 t tää r tää s2t(a, b) ä s r 2 t t ä t t tä ö s ää tt s t s s

9 r 2 t t ä a b s r 2 t t ä s2t(a, b) {xa+yb x,y Z} s t st s tä ä 2s ssä d = ua+vb ä2t tää ttä a d d a r t s x y 0 ss 2 s äs tt s t s t q r s t ttä x = qy+r 0 r < y ä r t ä2ttä ä ä s a = qd+r ssä 0 r < d ä ä t r = a qd = a q(ua+vb) = a qua qvb = ( qu)a+( qv)b. ä ö r ss tt s r > 0 tä ä r st r ss d s ss ä r = 0 d a 2 tr r st 2ös d b s s d a b 2 t t ä s 2ös c ä 2 t t ä c (ua+vb) c d s d > 0 tästä s r ttä c d d = s2t(a,b) s s r 2 t s t t ät t ±,±2,±3,±6 ä ö s r 2 t t ä s2t(24,42) = 6 s r s s r 2 t t ä s2t(2,25) = t s ää tt s t s äär t ä P 2 t tt s t s s a b 2 t tt s s t s st a b P ästä 2 t s stä tt st t ä2ttä ää r tää 2 (a, b) s r tä s r t t ä t ä t t t t 5 = = 3 7 t ä t ss t t rt ä ä s ää s s ss t ö ä t ä t ss s t2 ät t s s 2 t tt 2 (5,2) = 05 s

10 s r s t t 2ö t s ä 2 t ä t 2 2t s s t tt t s t t t s t t t ä ät t ss tt tt st t s ss ss s s t t ä 2 tä tässä ss t s s s s tä2t22 ts ä s s ä ttä rt m n s t s s s t ttä m n ä ö s 7m = 3n, 3 7m 3 m. P ts st st 7 3n 7 n. P s t ts s s m = 3 n = = 3 7 = 22 r rr s t s t2 ät 2 ssä = 22 s

11 r ss st r r r ss tt äs tt r ss s t t2 ä r ttä 2ö 2 t r ss tt r ss t s t s 2ös ä ä s ssä ä ässä s r s t t s ä t s ä2ttä ästä t r st ö2t22 ä s r ss s 2 täs r s 2ö 2 stä t st t s r s r ss äär t ää s ä s t r ss st 2 täs r s äär t ä r ss m s t s a, b Z a b m ä ö s t ttä a r tt b ss m ätä r tää a b ( m). ä 2 tä ö ät r s s22s s2 tr s22s s ä tr s t s s äär t ä 2ös s s a b ( m) a = b+mq, q Z. s s a b t s a b (mod m) s s ss s s k a = b+km st s s a b (mod m) r ss äär t ä m (a b) ä ö ss s k km = a b st a = b+km ää t s st s ss s k a = b + km km = a b ät m (a b) st r ss äär t ä s a b (mod m) s äär t ä r ss äär t ää st st s m (a b) a b (mod m) s ttä a b t ä r tt sä s r ss m tt s st r s t t t [a] m := {a+mk k Z}, ssä [a] m t tää a ää ös s m t m s ää ös t t t t s ää ö s s s

12 s r r tt ss 22 4 (mod 9) s ä 9 (22 4) = 8 s t t ä r tt 3 (mod 7) s 7 (3 ) = 2 s s r t s t (mod 7) m = 7 k = 3 s 9 = s r s ä2ttää t a b r t m,m 2,... st 2 stää s s a b (mod m ) a b (mod m 2 ) a b (mod m k ) ssä a,b,m, m 2,...,m k t s st m,m 2,...,m k t s t s a b (mod [m,m 2,...,m k ]), ssä [m,m 2,...,m k ] m,m 2,...,m k 2 t tt st s s t s a b (mod m ), a b (mod m 2 ),..., a b (mod m k ), t tää r ss äär t ä ttä m (a b), m 2 (a b),..., m k (a b). s r ä ää ttä [m,m 2,...,m k ] (a b). ät r ss äär t ä a b (mod [m,m 2,...,m k ]). s

13 t ttä t t2 2 tä ö r t s t s st 2 s ssä t s 2 tä ö t s r ss ä 2t r t t r tt 2 ä t s st 2 tä ö stä r ttä t ax+by = c 2 tä ö tä ssä a,b c t s ts t tt r s s t s 2 tä ö s s t ax b (mod m) r ss ssä x t t t s t s t 2 tt r s s r ss s s rt 2 tt r s r ss r t s ä r t s s rt 2ös täs ä s äärä ä r t r t s m s s t a b s s2t(a,b) = d tä ö ä ax+by = c ss s r t s s d c s d c ss äär ttö ä t s r t s ä ä sä s s x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö r t s t s 2 tä ö stä ssä n s x = x 0 + ( b d) n, y = y 0 ( ) a n, d s t st s ö2t22 t s t s st t r2 r r2 t s t s s s r t s 2 tä ö 5x+6y = 7 ss s r t s s ä s2t(5,6) = 3 tt 3 7 s s s a,b,c m t s s t ttä m > 0 s2t(c,m) = d ac bc (mod m) a b (mod m d ) st s s ac bc (mod m) t tää ttä m (ac bc) = c(a b) ä ö ss s k c(a b) = km 2 tä ö t t d s ( c ( m ) (a b) = k. d) d s 2 st2 s t tää ttä s a, b c t s s t ttä s2t(a,b) = a bc a c s s ( m s2t d d), c =,

14 2 ä st s r ttä m d (a b). ä ö a b (mod m d ). s s t a, b m s s t ttä m > 0 s2t(a, m) = d s d b r s ax b (mod m) r t s s d b r s ax b (mod m) ss täs ä d ä r tt r t s m st s s r r ss ax b (mod m) tt r s t s 2 tä ö s r t s t s tt ss s tt ax my = b s x r t s r ss ax b (mod m) s s ss s y ät ax my = b s t tää ttä s d b ss r t s d b ax my = b ss äär ttö ä t r t s t s 2 tä ö stä x = x 0 + ( m ) ( a t, y = y 0 + t, d d) ssä x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö ä t x r t x = x 0 + ( m d ) t, t r t s r s r ss ä tä äär ttö ä t ä r tt r t s äärä äär ttä s s ts tää sää tö t tt ss s r t s st x = x 0 + ( m d ) t x 2 = x 0 + ( m d ) t 2 t r tt m s ä ä s r t s t r tt x 0 + ( m ) ( m ) t x 0 + t 2 d d (mod m).

15 ä ttä ssä x 0 t t r ss s ( m ) ( m ) t t 2 d d (mod m). 2t s2t(m, m d ) = m d s m d m t s s t t 2 (mod d). ästä ä ää ttä ä r tt r t s s tt x = x 0 +( m )t ssä t ä2 ä ää ö s t d s tä s d 2 tä östä x = x 0 +( m )t ssä t = 0,,2,...,d s d s r ts tää r ss 9x 2 (mod 5) r t s t s s2t(9, 5) = ss täs ä ä r tt r t s ä ä r t s t ö2 t2 ät s ö2 tää t tt2 r t s sätää s s t rr t 5/3 = 5 t s ö2tä s s t t t r st t s 2 tä öä 9x 5y = 2 s r t s 5 = = = t 3 = 9 6 = 9 (5 9 ) = ä ö = 2 t 2 tä ö 9x 5y = 2 t tt2 r t s s st x 0 = 8 y 0 = 4 s t st s st ä ää ttä ä r tt r t s s 2 tä ö stä x = x 0 8 (mod 5) x = x (mod 5) x = x (mod 5) s s s a,b c t s s2t(a,b) = s2t(a,c) = s2t(a,bc) = sä s ä2ttää ttä s a,a 2,...,a n t s b t s s t ttä s2t(a,b) = s2t(a 2,b) = = s2t(a n,b) = s2t(a a 2 a n,b) = s

16 ää ös s s ss ss s 2 t 2 ssä s s s st r ss s2st stä ss 2 s tt tt r t s r s t s ö2tää t tt2 tt t ää ö s 2 s tt s t ää ö s s tt s ts ä t ää ö s ä ä r t st s r ssä s r s s t ttä ä s ää ös s äär ttää n tt t ättää ä t t ää ö s t s s ää ös s m,m 2,,m r s t s s t t r tt s t s 2 t st ättö ä ä ö r s s 2 tä ör2 ä ä x a (mod m ) x a 2 (mod m 2 ) x a r (mod m r ) 2 s äs tt r t s M = m m 2 m r st s t r ss s2st 2 tä r t s r tää M k = M m k = m m 2 m k m k+ m r. s t tää ttä s2t(m k,m k ) = s s2t(m j,m k ) = j k ä ö s ö2 tää M k ää t s y k m k s t ttä st t s r s s M k y k (mod m k ). x = a M y +a 2 M 2 y 2 + +a r M r y r.

17 s x r t s r r ss ä ä s tt s s tä2t22 ä2ttää ttä x a k (mod m k ) k =,2,...,r s m k M j j k s M j 0 (mod m k ). ä ä t r tt ttä x s ss t t r t ts s t r t r tt ss m k ä ö x a k M k y k a k (mod m k ), s M k y k (mod m k ). 2t ä2t tää ttä t ä t s s r t s t r tt M t x 0 x r ss 2 tä ör2 ä r t s s k x 0 x a k (mod m k ), s t ttä m k (x 0 x ). ä2ttä ä ä s tt ä ää ttä M (x 0 x ) ä ö x 0 x (mod M). s r t s r r ss 2 tä ör2 ä 2 s äs tt M s s r 2st x (mod 3) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) r t s s s t r t M = = 05 M = 05/3 = 35, M 2 = 05/5 = 2, M 3 = 05/7 = 5.

18 tt t s äär ttää y r t st 35y (mod 3) t st st 2y (mod 3) ästä s y 2 (mod 3) r s y 2 ö2 tää r t s 2y 2 (mod 5) ästä s y 2 (mod 5) s s y 3 r t s 5y 3 (mod 7) s y 3 (mod 7) ä ö x (mod 05). r st t ä ttä x t t tt r ss s2st x 52 (mod 05) t ttä 52 (mod 3) 52 2 (mod 5) 52 3 (mod 7) s r t s ät 2 tä s st r ss s2st s

19 r s ts ä s r t räs 2 s rt s st r t st s ss r tt äärä s t s s t t t s ä ä ä t st 2 2rö ää s ä s ä ä s t t 2 t r t 2 tt 2rö ää tä ä 2 t s t ä t t s t t ä2t2 ä 2rö 2t t t 2 t t t t 2 st tt2 ä s r tt r t st s r s t r s t s st s st st s t t t tt r ss st sää tö s s r s ss s ssä tö ssää r s s t tt ttä ss äär tö äärä s n s t ttä n n + 2 s sä tä ät r t t ää r s tt 2ös ttä r ttä ä s r t r s t s t t s s s s ttä 2 t s tt r t t ää r st 2ös äätt ää ttä s st ää t s s s ä ä t2ö s ssä ss t st t 2s s s s s ässä ss ä2 ää ä t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st 2 s rt s t r s st sä s t t st t r t s t s s t t r t s st ää rää äär t ttä ss s st ää t s s s s s tt s ss ää s s ä t ä ä2t tt2 t s t r r2 t r2 r r2 t s t s r s r t r t r s ä2t ttä ssä s l 0 m < l m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m. m

20 st s t t t st s r s r tää är st ä ä s äs ä m ( ) l ( ) k k k=0 = m ( ) ( ) l l ( ) k +( ) m. k m k=0 ä2ttä ä ä s tt s st t t t t r tt ( ) ( ) l l = ( ) m +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m (( ) ( )) l l = ( ) m, m m (( ) ( )) = ( ) m l! (l )! m!(l m)! (m )!((l ) (m ))! (( ) ( )) l (l ) (l m+) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m, m! (m )! t t 2 t t ä (( ) ( )) (l ) (l 2) (l m+) l = ( ) m (m )! m. s m m = s s stä t r stä (( ) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m (m )! = ( ) m ( (l ) (l 2) (l m+) (l m) m! ( )) l m m ).

21 rr t s ä ttä ttä ä (l m)! t s ( ) (l ) (l 2) (l m+) (l m) (l m )! = ( ) m m!(l m )! ( ) = ( ) m (l )! m!(l m)! ( ) l = ( ) m, m ä t st ä tt s s r s X ät2 ä äär ss N t P,,P r r tt r s s s t X r tää N 0 äärää ss X 2 tää ä s tä s s st {,2,,r} s I = {i,,i k } r tää N(I) = N(i,,i k ) äärää ss X s t P i,p i2,,p ik N( ) = X = N s m s t r s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k s m s t r t s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k st s ä2 tä öt tt t X t s s s s t X tr ä2 tä ö r x ss X t t ttä x täs ä l tt s s P i s l = 0 x 2 tää s tt P i s x s t rr ss N 0 ss 2 tää s tt s ä rr ss N( ) = X = N s l x 2 s s s P i s tä s t N 0 2 tää s tt P i s ä tää 2 s s s s t r tt ttä x s t P,P 2,,P l I {,2,,l,,r,r} ssä r rt s s äärä

22 s i I i > l ss s s t x ä ö t x s t ss r tt s s t x s t ss N(I) s I {, 2,, l} x s I t s t P i,p i2,,p il s tr 2 ä N(I) s k = 0,,,l ( l ss täs ä k) tt s s s I = k s m l x tr ä2 tä ö l ( ) l ( ) k = 0. k k=0 s m < l x tr ä2 tä ö m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m, m tr t s t s m r t s m r t s r t s s r ä st t r s ä2ttä stä s r X = {,2,3,...,30} s t X t t ät s s s r tt r tää tt s s s r st P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t N 0 äärä ss t ät s äärää 2 tää s s st P,P 2,P 3 r st s X

23 P st t s t t st t t s s P s s t = I 2t X \I P st t s t t st t t s s P 2 s t = I 2 2t (X \I )\I 2 P st t s t t st t t s s P 3 s s t = I 3 ((X \I )\I 2 )\I 3 = N 0 =,7,,3,7,9,23,29 2t ö2 tt2 X t 2 tää s s st P,P 2,P 3 s r s ssä s r ssä s tt t ä t t N 0 X = {,2,3,...,30} P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t t t t s t P r r 2t N 0 äärää r s X äärä t s s P tt ä tää ä ä t st X ä ää t ä ä ä st t t s s P 2 ä tä tt ää ä t s s st t ä t s s P 3 ä tä tt t s ss ((X \ I ) \ I 2 ) \ I 3 2t tt t st st tt s rt s s t s 2 s ts t2 stä s s st r s sätää t t s s st P P 2 ä s t tt ss 2t t ä ä ä sätää t s t P P 3 t tt s ä t s t P 2 P 3 s tt 2t s t t s s st t ä s s t t s t P,P 2 P 3 ä s t 2 s ä ö s N 0 äärä s ä täs ää s r ssä s t s ss

24 äärät2 r ss t t tt s äärästä s ä äs tt s äärää t t r t t a m s ä t r t t x s r s 2ös t s äs tt s t st s äärää tt t r r ss s ä stä t r t t s t st s ä ä stä t r t s r ss ss s st äärää t t tt ss x s r ss a (mod m) s st s t st s t ät s r x t t r tt a ss m äärä x +θ ssä θ < m st s s x m = q s {,...,qm} s sä tää täs ä x m t s ss r ss ss m t t s r s ttä x Z r tää x s s [x] m x rt s {x} = x [x] r tää [x] = qm+r ssä 0 r < m ä ö qm < x = qm+r+{x} qm+(m )+θ < qm+m = (q +)m, s s qm < x x < (q +)m stä s q < x m < q +. x st s t st s q + st 2 ä ää 2 tää 2 t stä t t st ss t t s s r s ä ä stä st q tt s s2st ä ää ö s m ä ää 2t s s s2st ää ö s ä m ästä s r ttä ss q t q + s r ss ss a (mod m) s r ä2 tä östä s s r x = 20 ä t 2 täs r s t s t t (mod 6) 5 (mod 6) 2t s s x = 20 r ss a (mod 6) ssä a = (,2,3,4,5,6) s t s s t ät s r 20 t

25 t r tt a ss θ tt θ < t t 6 20 s t ttä t t s ss är st2 s ssä s ss ss 2 s st 6 ää ös [,2,3,4,5,6],[7,8,9,0,,2],[3,4,5,6,7,8], [9,20]. 2t t tt q + ä 2 ä ää ä stä st 2 t s ä t ss ä stä st q 3 tt s s2s t ä ää ö s 6 s s st s2st stä ää ö s 6 s q < x m < q + 3 < x m < 4, ä tää s t s 20 6 ss s st s tä s tä s x p i,,p ik r s ä r tt r tää N(i,,i k ) s t st s äärää n x n(n+2) 0 (mod p i p ik ). ä ö N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ < st s s p r t n(n+2) 0 (mod p) t n 0 (mod p) n 2 (mod p).

26 t 0 2 (mod p) s p 3 s s n t t tt r ss ss s t u,...,u k {0, 2} n u (mod p ) n u 2 (mod p 2 ) n u k (mod p k ). s ää ös s s s u,...,u k ss 2 s äs tt ää ös a (mod p p k ) s t ttä n r t s r ss r2 ä s s n a (mod p p 2 p k ). tä ä r ss x p p 2 p k +θ(a) r t s s t st s ss r x ssä θ(a) < s s u i s t t i {,,k} t t 2 t sä 2 k ä ö ssä θ < s N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ,

27 rt s t b b 2 s t s t äär t t2 s r st b = loglog2+ 2 g(t) t(logt) 2dt, ssä g(t) = O() b 2 = p ( ( log ) ) = p p p k=2 kp k. ä ö b +b 2 = γ, ssä γ r t st s ö2t22 2 t s t s st t r r2 ss s s s r γ 2 äär t t2 r ä ä s r r γ = 0, rt s ss ä2t tää 2ö r tt2 s e γ,78072 äär t ä s f ä t s r t s r t g r t s t t t t f g t t t r r x t r t tt s t t t äär t t2 st s ss r tää t f = O(g) f g,

28 s ss s c > 0 f(x) cg(x), x t s sä t2 ät t f äär tt 2 s s rt s s x 2 p x ssä γ r ( p) = e γ logx+o(), st s t t s ä s s k=2kp k > p(p ), p>x p>x k=2 < kp k p>x p(p ) < n(n ) n>x = n n+ n(n ) n>x = ( n n(n ) n ) n(n ) n>x = ( n ) n n>x s t 2 ä n är stä ä ä t r t s 2 är ( ) ( ) ( )

29 ä n>x ( n ) n ( ) = O x ( ) = O. logx s s s exp(t) = +O(t) t ä t s r t t ä ä O(/ log x) r t tt s ä x 2 s x 2 O(t) s s r ä stä logx log2 tässä t s ss r t tt ä [0, log2 ä ö ] ästä s r ttä ( ( )) ( ) exp O = +O. logx logx log p x ä t s s p x p + p x k=2 s b +b 2 = γ 2t ( ) = ( log ) p p p x = kp k p x = p x k= p + p x k=2 kp k. ( ) = loglogx+b kp k +O +b 2 logx p>x ( ) = loglogx+γ +O, logx k=2 kp k

30 ( ( ( )) = e p) γ logxexp O logx p x ( ( )) = e γ logx +O logx = e γ logx+o(). s

31 s s t P rä ä st ä ä t t ät 2 tä t ä s s ä r ttä t ä tt t s t t t s ä ä t s t rä ä s t t t t r äs ä t s r ss s s rä ä s ä r t r t t s st st ä s r ä täs ä s ts t s s s s r s t s ä t s s tt t ät s s s ä ä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s s s t t t s st s st äärää t ät tt x s r ä ä s ssä t st t s st ää t s s s ää s s ä t ä ä2t tt2 2 t s t st t r r2 ss s s s st äärä s r r tää π 2 (x) p äärää t ät s r x p+2 2ös ä ö π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. st s 5 y < x r tää r = r(y) r tt äärää t ät s r y r tää ä tä p,...,p r r tää π 2 (y,x) p äärää y < p x p+2 2ös s y < n x n s ä n+2 t n > p i i =,...,r n(n+2) 0 (mod p i ) i r tää N 0 (y,x) s t st s n x äärää i =,...,r ä ö n(n+2) 0 (mod p i )

32 π 2 (x) y +π 2 (y,x) y +N 0 (y,x). ä2t tää r s tt ö2 ttä s N 0 (y,x) 2 är X s t s s t ät s r x st r t t p i y P i s s s ttä n(n+2) p i p i n(n+2), ssä n s t s. s s I = {i,...,i k } s sä t22 {,...,r} N(I) s s n X äärä n(n + 2) s p i,...,p ik t st N(I) s s n X äärä n(n+2) p i p ik s N(I) = N(i,...,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ <. m r s s t ttä m r ä2 tä ö s N 0 (y,x) m ( ) k N(I) k=0 m ( ) k k=0 I =k {i,...,i k } {,...,r} ( ) 2 k x +O(2 k ). p i p ik äs ää ä ä s s t r t r tää s tt 2 t s s t s ä t t s ä s stä s t st 2 t t ä x x m ( ) k k=0 {i,...,i k } {,...,r} 2 k p i p ik + m ( ) k O(2 k ) k=0 {i,...,i k } {,...,r} s ä s stä s t st ( ) k 2 k t s tää t ( 2) k ä sä s r ä ä stä s t

33 x m k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik + m ( ) r ( ) k O(2 k ) k k=0 r t t s t s st m r st t tästä r t s st m r ä ää ät sä s s tää t r 2 s s O s s 2 ä s x r k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k x p i p ik } {{ } A r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} } {{ } B ( ( 2) k m ( ) r +O )2 k. p i p ik k k=0 }{{} C r st s r s ä tä t r ä A, B C r s t t t r s t t r ä A r A = x k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik = x 2<p y ( 2 ) p sää ä ä s t t r t s 2 är s sö t s x 2<p y = x ( x p y < x p y ( = x 2<p y ( 2p + p 2 ) ( ) 2 p ( ) 2 )( ) 2 p 2 ( p p y ) 2 ( p ) ) 2,

34 s t ( x e γ logy +O() P tä ä ä s s r t 2 ös ä ) 2 ( x e γ logy ( ) 2 x logy x = (logy) 2. ) 2 t t s s A x (logy) 2. ä2t tää r tää s k (x,...,x r ) s s st t r s st s2 tr s stä 2 s t ss r tt tt st k st t st r x,...,x r s ä i {,...,r} t t s s s k (x,...,x r ) = {i,...,i k } {,...,r} x i x ik. s (x + +x r ) k s sä tää k! rt 2 ä s t r t tä ä sä s 2ös t t r ä r tt (x + +x r ) k k! = (s (x,...,x r )) k k! ( e ) ks < (x,...,x r ) k, k s ( k e )k < k! ä ä r ä ää t r st k! ( k e) k 2πk r s r s t r ä B

35 B = x = x r x k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik p i 2 k p i p ik ( ) 2 ä2ttä ä ä 2 r tää s ä stä r t s 2 ä t x < x = x < x r k=m+ r k=m+ r k=m+ r k=m+ s s r s < x s k ( 2 p i,..., 2 p r ) ( e k) ks ( 2 p i,..., 2 p r ) k ( e k) k ( 2 p p r ) k ( ) k ( 2e ) k m p p y r k=m+ ( ) k cloglogy, m ssä c s tt s t s s m t s t ttä ( 2 p ik ) s s m > 2cloglogy, B x r k=m+ ( ) k cloglogy x m r k=m+ 2 < x k 2 m.

36 r st s r s t r ä C s r r tt äärä t t r t y 2r y 2t t r stä C t ä r C m k=0 ( ) r 2 k < k m (2r) k (2r) m y m. k=0 st tää s r s t r A, B C r t s x π 2 (x) y + (logy) + x 2 2 m +ym x + x m + y (logy) }{{ 2 2 }}{{} m }{{} A B C, ssä t r st t ää m s t s tt s tt y ä t s r t t tt m ä t s s s t ttä 5 y < x, m > 2cloglogy. t ä2tä össä t ts ttä m s r s ä ät tt s r m r t tt t ää t r r s m r c = max{2c,(log2) } ( ) logx y = exp 3c loglogx = x 3c loglogx m = 2[c loglogx]. y tä2ttää t x r ttä ä s r t t s r s r t r ä A,B C ä ä y m r t t t r A t r st s

37 logy = logx 3c loglogx, s A = r s s c (log2) x (logy) 2 x(loglogx)2 (logx) 2. s t r stä B m = 2[c loglogx] > 2c loglogx 2, s ä t r stä C B = x 2 m < 4x 2 2c loglogx = 4x (logx) 2c log2 4x (logx) 2. ( ) 2c C = y m y 2c loglogx loglogxlogx = exp = x 2 3c 3. loglogx stä ä ä ä ä r t A,B C s s π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2.

38 s st ää t s s s ss t r s ttä s s äär tö äärä t r t s t ä t st tt s tä ä s s tä t t tt t t t s s tt2 st tt t st ttä ää t s st st s r s s t tää s r s tä ä t st s s s p,p 2,... s r s s p p + 2 2ös ä ö ( + ) p n= n p n +2 ( = 3 + ) ( ) + 7 <. ( + ) ( ) + 9 st s s ss t st t ttä x 2 ät π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. r 2 ös ä s st p äärää t ät s r n p+2 2ös s n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 (loglogn) 2 (logn) 2. r tää y = log n 2 ä s t (logy) 2 y 2 logy y 4. sätää ä2 tä ö s r rt s c 8 s t s

39 logy cy 4. t t s r s 2 ä r t st y r s t t r tt s r f(y) = cy 4 logy f (y) = c 4 y 3 4 y. s y 0 tä2t22 c y 4 4 y = 0. stä s y r c 4 y 4 = 0, ( 4 ) y = = c c. 4 2t t tää ttä t f t s r tässä st ssä t t s r s t f ä2ttä2t2 stä r t s r s rt t s s t ( 4 ) 4 2 = 52 c ( 4 ) : 2 = c 2c 4. c 4 t s r s c = 8 f ( ) > 0 8 f ( ) < 0 s t f s 32 äär är t ä s äär är t s r y r r s t t ä t c r s tt t f äär r ss

40 ( (4 ) ) 4 f c ( 4 ( = c log c)4 c) = c 4 ( 4 ) c 4log c ( 4 = 4 4log. c) s 4 c < log( 4 c) < 0 4 4log ( 4 c) 4 c 8 r f(y) 0 logy cy 4 ät r n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 ät s s n s st äärää äär t tää 2 ä p n st p n s t p n n ä ö n = π 2 (p n ) p n (logp n ) 3 2 p n (logn) 3 2 n 2 s n p n, (logn) 3 2 st p n n(logn) 3 2. t t s r s s r n= p n. tt s ä t r s s rtä ä ä t s t n = 2 s

41 p n 3 + n= r s p n=2 n n= p n 3 + n=2. n(logn) 3 2 ä s ä t r t s r s s äärät2 t r t st s st t t t s r s 2 ä s r r t r ä t r s ässä t s 2 = lim N dx x(logx) 3 2 N 2 dx x(logx) 3 2 ( ) d = d 3 dx logx dx (logx) 2 = 2 (logx) 2 x = 2, x(logx) 3 2 N 2 x(logx) 3 2 ( dx = 2 ) = 2, logn log2 log2 logn 0, N s r s s s st ää t s s r s s

42 tt t st tr t t 2t r r2 r r r r r r r r rt2 tr t t t s r t s t t t2 r rs t2 Pr ss r 2s r ss rr t 2 s t t P t ä r t t r t rs Pr r tt rs r r s r ss tt t tt t t st r t t st s 2 st ät tsä 2 ä äätä r tt r st r tt s t s 2 t r r2 ss s s r t ts t t s r r r r r r t s t s P r s t s t ss t r st t tt s tt P 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt t rr2t r r ss 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt s t t r2 r r2 ts t s r t s s 2 P s 2 ss s tts r r r s t r st r 2 2 r 2 r P r s t 2 r s t r 2st r s rt st t t r s r t tt t r r t r s r t t tt Pr t r tt t r r Pr t r t tt

43 sst r r s r st t t r r s r tt t r r r s r st t t tt

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016

Διαβάστε περισσότερα

LEM. Non-linear externalities in firm localization. Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni

LEM. Non-linear externalities in firm localization. Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni LEM WORKING PAPER SERIES Non-linear externalities in firm localization Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni Institute of Economics, Scuola Superiore Sant'Anna, Pisa, Italy * University of Paris

Διαβάστε περισσότερα

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael

Διαβάστε περισσότερα

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Pierre Coucheney, Patrick Maillé, runo Tuffin To cite this version: Pierre Coucheney, Patrick

Διαβάστε περισσότερα

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada

Διαβάστε περισσότερα

ON THE MEASUREMENT OF

ON THE MEASUREMENT OF ON THE MEASUREMENT OF INVESTMENT TYPES: HETEROGENEITY IN CORPORATE TAX ELASTICITIES HENDRIK JUNGMANN, SIMON LORETZ WORKING PAPER NO. 2016-01 t s r t st t t2 s t r t2 r r t t 1 st t s r r t3 str t s r ts

Διαβάστε περισσότερα

P r s r r t. tr t. r P

P r s r r t. tr t. r P P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str

Διαβάστε περισσότερα

ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts

ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts

Διαβάστε περισσότερα

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

❷ s é 2s é í t é Pr 3

❷ s é 2s é í t é Pr 3 ❷ s é 2s é í t é Pr 3 t tr t á t r í í t 2 ➄ P á r í3 í str t s tr t r t r s 3 í rá P r t P P á í 2 rá í s é rá P r t P 3 é r 2 í r 3 t é str á 2 rá rt 3 3 t str 3 str ýr t ý í r t t2 str s í P á í t

Διαβάστε περισσότερα

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical

Διαβάστε περισσότερα

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor t s st tt r st s s r r t rs t2 t P t rs str t t r 1 t s ér r tr st tr r2 t r r t s t t t r t s r ss r rr t 2 s r r 1 s r r t s s s r t s t

Διαβάστε περισσότερα

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison

Διαβάστε περισσότερα

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( ) Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques

Διαβάστε περισσότερα

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

A hybrid PSTD/DG method to solve the linearized Euler equations

A hybrid PSTD/DG method to solve the linearized Euler equations A hybrid PSTD/ method to solve the linearized Euler equations ú P á ñ 3 rt r 1 rt t t t r t rs t2 2 t r s r2 r r Ps s tr r r P t s s t t 2 r t r r P s s r r 2s s s2 t s s t t t s t r t s t r q t r r t

Διαβάστε περισσότερα

QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013. On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks

QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013. On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013 On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks Karl Finger, Daniel Fricke and Thomas Lux ss rt t s ss rt t 1 r t

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires Jerome Dubail To cite this version: Jerome Dubail. Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires. Physique mathématique [math-ph].

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ss rt t r s t t t rs r ç s s rt t r t Pr r r q r ts P 2s s r r t t t t t st r t

ss rt t r s t t t rs r ç s s rt t r t Pr r r q r ts P 2s s r r t t t t t st r t Ô P ss rt t r s t t t rs r ç s s rt t r t Pr r r q r ts P 2s s r r t t t t t st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica

Διαβάστε περισσότερα

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies

Διαβάστε περισσότερα

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.

Διαβάστε περισσότερα

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers 1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse

Διαβάστε περισσότερα

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l = C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9

Διαβάστε περισσότερα

Das Pentagramma Mirificum von Gauß

Das Pentagramma Mirificum von Gauß Wissenschaftliche Prüfungsarbeit gemäß 1 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien vom 07. Mai 198, in der derzeit gültigen Fassung Kandidatin: Jennifer Romina Pütz

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

Aboa Centre for Economics. Discussion paper No. 122 Turku 2018

Aboa Centre for Economics. Discussion paper No. 122 Turku 2018 Joonas Ollonqvist Accounting for the role of tax-benefit changes in shaping income inequality: A new method, with application to income inequality in Finland Aboa Centre for Economics Discussion paper

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a

Διαβάστε περισσότερα

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Noureddine Rhayma To cite this version: Noureddine Rhayma. Contribution à l évolution des méthodologies

Διαβάστε περισσότερα

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Délivré par UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Préparée au sein de l école doctorale Energie et Environnement Et de l unité de recherche Procédés, Matériaux et Énergie Solaire (PROMES-CNRS, UPR 8521)

Διαβάστε περισσότερα

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Bertrand Marcon To cite this version: Bertrand Marcon. Hygromécanique des

Διαβάστε περισσότερα

IJAO ISSN Introduction ORIGINAL ARTICLE

IJAO ISSN Introduction ORIGINAL ARTICLE IJAO Int ISSN 0391-3988 J Artif Organs 2015; 38(11): 600-606 OI: 10 5301 a 5000 52 ORIGINAL ARTICLE Fluid dynamic characterization of a polymeric heart valve prototype (Poli-Valve) tested under continuous

Διαβάστε περισσότερα

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Khadija Idlemouden To cite this version: Khadija Idlemouden. Annulations de la dette extérieure

Διαβάστε περισσότερα

Langages dédiés au développement de services de communications

Langages dédiés au développement de services de communications Langages dédiés au développement de services de communications Nicolas Palix To cite this version: Nicolas Palix. Langages dédiés au développement de services de communications. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

Traitement STAP en environnement hétérogène. Application à la détection radar et implémentation sur GPU

Traitement STAP en environnement hétérogène. Application à la détection radar et implémentation sur GPU Traitement STAP en environnement hétérogène. Application à la détection radar et implémentation sur GPU Jean-François Degurse To cite this version: Jean-François Degurse. Traitement STAP en environnement

Διαβάστε περισσότερα

Une Théorie des Constructions Inductives

Une Théorie des Constructions Inductives Une Théorie des Constructions Inductives Benjamin Werner To cite this version: Benjamin Werner. Une Théorie des Constructions Inductives. Génie logiciel [cs.se]. Université Paris- Diderot - Paris VII,

Διαβάστε περισσότερα

t ts P ALEPlot t t P rt P ts r P ts t r P ts

t ts P ALEPlot t t P rt P ts r P ts t r P ts t ts P ALEPlot 2 2 2 t t P rt P ts r P ts t r P ts t t r 1 t2 1 s r s r s r 1 1 tr s r t r s s rt t r s 2 s t t r r r t s s r t r t 2 t t r r t t2 t s s t t t s t t st 2 t t r t r t r s s t t r t s r t

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective

Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective Alessio Franci To cite this version: Alessio Franci. Pathological synchronization in neuronal populations : a control

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Three essays on trade and transfers: country heterogeneity, preferential treatment and habit formation

Three essays on trade and transfers: country heterogeneity, preferential treatment and habit formation Three essays on trade and transfers: country heterogeneity, preferential treatment and habit formation Jean-Marc Malambwe Kilolo To cite this version: Jean-Marc Malambwe Kilolo. Three essays on trade and

Διαβάστε περισσότερα

Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak

Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak Thomas Auphan To cite this version: Thomas Auphan. Analyse de modèles pour

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

A Probabilistic Numerical Method for Fully Non-linear Parabolic Partial Differential Equations

A Probabilistic Numerical Method for Fully Non-linear Parabolic Partial Differential Equations A Probabilistic Numerical Metod for Fully Non-linear Parabolic Partial Differential Equations Aras Faim To cite tis version: Aras Faim. A Probabilistic Numerical Metod for Fully Non-linear Parabolic Partial

Διαβάστε περισσότερα

Segmentation d IRM cérébrales multidimensionnelles par coupe de graphe

Segmentation d IRM cérébrales multidimensionnelles par coupe de graphe Segmentation d IRM cérébrales multidimensionnelles par coupe de graphe Jérémy Lecoeur To cite this version: Jérémy Lecoeur. Segmentation d IRM cérébrales multidimensionnelles par coupe de graphe. Informatique

Διαβάστε περισσότερα

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

ο ο 3 α. 3* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο 18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T

Διαβάστε περισσότερα

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:

Διαβάστε περισσότερα

Efectos de la cromodinámica cuántica en la física del bosón de Higgs Mazzitelli, Javier

Efectos de la cromodinámica cuántica en la física del bosón de Higgs Mazzitelli, Javier Efectos de la cromodinámica cuántica en la física del bosón de Higgs Mazzitelli, Javier 2016 07 22 Tesis Doctoral Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires www.digital.bl.fcen.uba.ar

Διαβάστε περισσότερα

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

VISCOUS FLUID FLOWS Mechanical Engineering

VISCOUS FLUID FLOWS Mechanical Engineering NEER ENGI STRUCTURE PRESERVING FORMULATION OF HIGH VISCOUS FLUID FLOWS Mechanical Engineering Technical Report ME-TR-9 grad curl div constitutive div curl grad DATA SHEET Titel: Structure preserving formulation

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0. ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()

Διαβάστε περισσότερα

La naissance de la cohomologie des groupes

La naissance de la cohomologie des groupes La naissance de la cohomologie des groupes Nicolas Basbois To cite this version: Nicolas Basbois. La naissance de la cohomologie des groupes. Mathématiques [math]. Université Nice Sophia Antipolis, 2009.

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Raréfaction dans les suites b-multiplicatives

Raréfaction dans les suites b-multiplicatives Raréfaction dans les suites b-multiplicatives Alexandre Aksenov To cite this version: Alexandre Aksenov. Raréfaction dans les suites b-multiplicatives. Mathématiques générales [math.gm]. Université Grenoble

Διαβάστε περισσότερα

Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons

Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons M. Sénoville To cite this version: M. Sénoville. Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons. Physique Nucléaire Expérimentale [nucl-ex].

Διαβάστε περισσότερα

Stratégies Efficaces et Modèles d Implantation pour les Langages Fonctionnels.

Stratégies Efficaces et Modèles d Implantation pour les Langages Fonctionnels. Stratégies Efficaces et Modèles d Implantation pour les Langages Fonctionnels. François-Régis Sinot To cite this version: François-Régis Sinot. Stratégies Efficaces et Modèles d Implantation pour les Langages

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii).. இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.

Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique Stéphane Bancelin To cite this version: Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.

Διαβάστε περισσότερα

Voice over IP Vulnerability Assessment

Voice over IP Vulnerability Assessment Voice over IP Vulnerability Assessment Humberto Abdelnur To cite this version: Humberto Abdelnur. Voice over IP Vulnerability Assessment. Networking and Internet Architecture [cs.ni]. Université Henri

Διαβάστε περισσότερα

Approximation de haute précision des problèmes de diffraction.

Approximation de haute précision des problèmes de diffraction. Approximation de haute précision des problèmes de diffraction. Sophie Laurens To cite this version: Sophie Laurens. Approximation de haute précision des problèmes de diffraction.. Mathématiques [math].

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα