P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r"

Transcript

1 r s s s t t

2 P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st tt t st ttä äär tö äärä s st äs tt ä s st s s tt s st äärää st tt ä äär ttä ää s st ää t s s t tää s tä ä t s t s s t tää tässä t2össä 2 2 st r ä r 2tää t r r st s s ä s s äs t ää s s tt tt st t ö ä ä ä t st t t ä t 2 s äs tt s22s s ttä äär tö äärä sä s äär t ää s r 2 t t ä 2 t tt s ä r ss t st t t r ss tt2 ä s t r ss äs tt 2 ä s t ää t st t ää ös s äs tt äär tt 2 ä t t st t r s t st t s 2 s rt s t ä ä sä s s t ää s t äs tt ät r t tt s t t t t tt t äärät2 r ss äärää ästä s rr2tää t st rt s s t2östä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä t st t 2 är s st s st äärä t ät tt s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s s t 2 r 2 r s s r s ä 2t2s ör r sstä r s t t r st t t t Ö r t r t r t

3 sä tö t st s st t r r st t r ss st ää ös s r s r s äärät2 r ss t t tt s äärästä rt s s s t s st äärä s st ää t s s s

4 t P r s t ss t r tt s t t t s t t s t s 2 s s s s s sä ö s äs t s t s s tä tää tär ä ä ttä s 2ös t t s t t tt s s t s t tää tä t t är 2 stää tt t t rä tä t t s r 2s t r ä st t s t t t s ä tä ä ä ä ä ss s r rt s t st 2ös s ttä st t tä ät tä ä2ttä ät st sä s 2ö t s t s r s P s r ss s t s t ä ä r täs ä tt s ä stä s st ää 2 2 ä ä st s ä ä r 2ös tt ss t s ss s ä ä r s ss s tt tt t t P2t r s r st t tt s 2st s r t2s t t t2 s ts ä s s t t s s r t t s ä t t tää 2t r st ä2ttöö tt 2ös s t ä2tössä t tt t t 2t r st r räs ä stä tt 2 st tt2 t ä stä ä2t tt t2 s ä r t s s ä ts ttä äär tö äärä t s t ä t r ttä ä äs t tä t t t t P rr r t t s tt 2stä ä st str t n m t ö s m n t ö s r t tt s t tt2 ä ä ttä ä t s t t st tt s t s s ä stä ä ttä stä 2 2 s rt s s ttää r t s t ää s t t st tt s ä tt stä s tt t äär s t t s t s r t t t t t r r ss r t ä tä ä ä ä ä t t t t t t ss s t t tt2ä s t s s ss s s t ts stä s r ö2tä s s ä2 ssä 2 2ää s r t tt rs s ö2 tt2 ss ä ä t ä t t s P 2 t r t s ä s ssä s ss t t tt rä ä st ä ä s t r s t s ss s ss

5 2r tää t r t s ä s s t s t r s t 2 r s t r 2 r t tt äs t t s s r t2 t t s st 2 2ää st t tää ä tä s t s ttää s ä ts ä s ss r ss s r ä täs ä s äs t 2 s tä ä t2ö s s ä t r ä 2ö t r r st st s ä s s äär t ää tä s s t t r tt t s t ää s t ä tt2 ä äs tt tä t t r t 2ö t2ö t ssä ästä s rr2tää r ss s ää ös s s äs tt äär tt 2 ä s r ss ss s t ää r s t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st r s st ss s r t tt tässä t2össä äs t ää st s 2 s rt s t t ä ä sä s ss s t ää s t äs tt ät r t t s r st t t2 r ss t t tt s äärää s s t st t rt s t t r t t2ö s ssä ss s ssä ss äs t ää t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s ss t t t s st s st äärää t ät t t s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s

6 st s st P s t s s ss st 2 s s t t s s t s s ä tää s s ä t s 2 s s ä ts ää s täs ä s s t st ts t s s r s t ts s ä 2 s t ä ä t s s ä s s äs t ää s s tt s ä tt st t ö ä ä sä s r st t ä t ss t st t s 2 s äs tt s22s r t t r s s st 2ös ttä äär tö äärä ä sä s s t t s t2 st 2 r s r 2 t t ä 2 t tt r ss s ä t r ss tt2 ä s t t r t 2ö t t ss s t2 s t st s s ä t st t ää ös s s t ää s tt2 ä s r ä ää s s ä t ä t tsä 2 ä r tt äätäs t s r s ä t s t s t r2 r r2 ts t s t r r st t äär t ä s s s a b t s s t ttä b 0 s t ttä s a s b s ss s c a = bc s 2ös ttä t ä a b rt ästä ä2t tää r tää b a st st s b a rt a b r tää tätä b a s s äär t ä t ä t p > ä s ä t s t s t ö tä p ts t 2ös tt s s t s n > t tää 2 st t2 s s st t2t t tt t ö s ttää ss n = n n 2, < n < n, < n 2 < n, n,n 2 N. t ö n n 2 tt st t t ä tä ä st s s n t ä t n = p p 2 p s (p,...,p s ).

7 2ö t st t ttä t ä t 2 s äs tt t ö är st2stä tt tt s s s s äär ttö ä t st s st t s st t s äär äärä {p,p 2,...,p r } ssä r st t s r s n = (p p r )+. 2t n t s äär t ä s st t ö p i t ö stä p i n i r n t k p i k N 2t r tt k p i = (p p r )+ k p i (p p r ) = p i (k (p p i p i+ p r )) =. s 2 tä ö s p i t tä2t22 2ös p i t s s p i s st p i s t ä tää tä ä r st r t s äär tö äärä s t tt2 s t tt tt ttä äär tö äärä tt st t tt 2 s t r t t st t r st s äär ttää tt ää rä s s t t st tt st 2 tt s s s ä t t tt t t t s ä s t r s t ä ts s s ää ss rt s s r t ät s 2 sää ö s st s t2 st 2s r s r s ä ä ä t t s s t s t s ss s t2 st 2 r s st tt ss s t rä ä s ä r t s st s P r 2 tä s äärää 2ö s s

8 s p a,b s s p ab p a t p b s s s p a a k p st a i ssä i {,...,k} s t st s ö2t22 t s st r s s r t t r s s s t s n > s ttää t n = p p 2 p s, ( ssä p i i =,...,s ; s N) t ö p i är st2stä tt tt 2 s äs tt s st st s r st t t ä t ss st t s r s 2 s äs tt s22s t t 2t ttä n s ttää t ss r ss n = p p 2 p s n = q q 2 q r. s p n s p q q 2 q r p st q j tt ttä q j = q s 2s ssä t tä2t22 p = q ä ö t r st t s t 2 tä ö p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q r. t s t äästää t s ss p i = q i i =,...,s s = r s s t2 s t t s t ästä ä ää 2ös s 2 sä 2 ä s2tä s ttä s s s r t t r s s ät s 2 s äs tt s22s s ä s r s t s s ttää ss 2 5 t 2 5 s s s a b st t st ä tää 2 s 2 t s t t ä r st 2 t s stä t ästä ä2 t tää r tää s2t(a, b) ä s r 2 t t ä t t tä ö s ää tt s t s s

9 r 2 t t ä a b s r 2 t t ä s2t(a, b) {xa+yb x,y Z} s t st s tä ä 2s ssä d = ua+vb ä2t tää ttä a d d a r t s x y 0 ss 2 s äs tt s t s t q r s t ttä x = qy+r 0 r < y ä r t ä2ttä ä ä s a = qd+r ssä 0 r < d ä ä t r = a qd = a q(ua+vb) = a qua qvb = ( qu)a+( qv)b. ä ö r ss tt s r > 0 tä ä r st r ss d s ss ä r = 0 d a 2 tr r st 2ös d b s s d a b 2 t t ä s 2ös c ä 2 t t ä c (ua+vb) c d s d > 0 tästä s r ttä c d d = s2t(a,b) s s r 2 t s t t ät t ±,±2,±3,±6 ä ö s r 2 t t ä s2t(24,42) = 6 s r s s r 2 t t ä s2t(2,25) = t s ää tt s t s äär t ä P 2 t tt s t s s a b 2 t tt s s t s st a b P ästä 2 t s stä tt st t ä2ttä ää r tää 2 (a, b) s r tä s r t t ä t ä t t t t 5 = = 3 7 t ä t ss t t rt ä ä s ää s s ss t ö ä t ä t ss s t2 ät t s s 2 t tt 2 (5,2) = 05 s

10 s r s t t 2ö t s ä 2 t ä t 2 2t s s t tt t s t t t s t t t ä ät t ss tt tt st t s ss ss s s t t ä 2 tä tässä ss t s s s s tä2t22 ts ä s s ä ttä rt m n s t s s s t ttä m n ä ö s 7m = 3n, 3 7m 3 m. P ts st st 7 3n 7 n. P s t ts s s m = 3 n = = 3 7 = 22 r rr s t s t2 ät 2 ssä = 22 s

11 r ss st r r r ss tt äs tt r ss s t t2 ä r ttä 2ö 2 t r ss tt r ss t s t s 2ös ä ä s ssä ä ässä s r s t t s ä t s ä2ttä ästä t r st ö2t22 ä s r ss s 2 täs r s 2ö 2 stä t st t s r s r ss äär t ää s ä s t r ss st 2 täs r s äär t ä r ss m s t s a, b Z a b m ä ö s t ttä a r tt b ss m ätä r tää a b ( m). ä 2 tä ö ät r s s22s s2 tr s22s s ä tr s t s s äär t ä 2ös s s a b ( m) a = b+mq, q Z. s s a b t s a b (mod m) s s ss s s k a = b+km st s s a b (mod m) r ss äär t ä m (a b) ä ö ss s k km = a b st a = b+km ää t s st s ss s k a = b + km km = a b ät m (a b) st r ss äär t ä s a b (mod m) s äär t ä r ss äär t ää st st s m (a b) a b (mod m) s ttä a b t ä r tt sä s r ss m tt s st r s t t t [a] m := {a+mk k Z}, ssä [a] m t tää a ää ös s m t m s ää ös t t t t s ää ö s s s

12 s r r tt ss 22 4 (mod 9) s ä 9 (22 4) = 8 s t t ä r tt 3 (mod 7) s 7 (3 ) = 2 s s r t s t (mod 7) m = 7 k = 3 s 9 = s r s ä2ttää t a b r t m,m 2,... st 2 stää s s a b (mod m ) a b (mod m 2 ) a b (mod m k ) ssä a,b,m, m 2,...,m k t s st m,m 2,...,m k t s t s a b (mod [m,m 2,...,m k ]), ssä [m,m 2,...,m k ] m,m 2,...,m k 2 t tt st s s t s a b (mod m ), a b (mod m 2 ),..., a b (mod m k ), t tää r ss äär t ä ttä m (a b), m 2 (a b),..., m k (a b). s r ä ää ttä [m,m 2,...,m k ] (a b). ät r ss äär t ä a b (mod [m,m 2,...,m k ]). s

13 t ttä t t2 2 tä ö r t s t s st 2 s ssä t s 2 tä ö t s r ss ä 2t r t t r tt 2 ä t s st 2 tä ö stä r ttä t ax+by = c 2 tä ö tä ssä a,b c t s ts t tt r s s t s 2 tä ö s s t ax b (mod m) r ss ssä x t t t s t s t 2 tt r s s r ss s s rt 2 tt r s r ss r t s ä r t s s rt 2ös täs ä s äärä ä r t r t s m s s t a b s s2t(a,b) = d tä ö ä ax+by = c ss s r t s s d c s d c ss äär ttö ä t s r t s ä ä sä s s x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö r t s t s 2 tä ö stä ssä n s x = x 0 + ( b d) n, y = y 0 ( ) a n, d s t st s ö2t22 t s t s st t r2 r r2 t s t s s s r t s 2 tä ö 5x+6y = 7 ss s r t s s ä s2t(5,6) = 3 tt 3 7 s s s a,b,c m t s s t ttä m > 0 s2t(c,m) = d ac bc (mod m) a b (mod m d ) st s s ac bc (mod m) t tää ttä m (ac bc) = c(a b) ä ö ss s k c(a b) = km 2 tä ö t t d s ( c ( m ) (a b) = k. d) d s 2 st2 s t tää ttä s a, b c t s s t ttä s2t(a,b) = a bc a c s s ( m s2t d d), c =,

14 2 ä st s r ttä m d (a b). ä ö a b (mod m d ). s s t a, b m s s t ttä m > 0 s2t(a, m) = d s d b r s ax b (mod m) r t s s d b r s ax b (mod m) ss täs ä d ä r tt r t s m st s s r r ss ax b (mod m) tt r s t s 2 tä ö s r t s t s tt ss s tt ax my = b s x r t s r ss ax b (mod m) s s ss s y ät ax my = b s t tää ttä s d b ss r t s d b ax my = b ss äär ttö ä t r t s t s 2 tä ö stä x = x 0 + ( m ) ( a t, y = y 0 + t, d d) ssä x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö ä t x r t x = x 0 + ( m d ) t, t r t s r s r ss ä tä äär ttö ä t ä r tt r t s äärä äär ttä s s ts tää sää tö t tt ss s r t s st x = x 0 + ( m d ) t x 2 = x 0 + ( m d ) t 2 t r tt m s ä ä s r t s t r tt x 0 + ( m ) ( m ) t x 0 + t 2 d d (mod m).

15 ä ttä ssä x 0 t t r ss s ( m ) ( m ) t t 2 d d (mod m). 2t s2t(m, m d ) = m d s m d m t s s t t 2 (mod d). ästä ä ää ttä ä r tt r t s s tt x = x 0 +( m )t ssä t ä2 ä ää ö s t d s tä s d 2 tä östä x = x 0 +( m )t ssä t = 0,,2,...,d s d s r ts tää r ss 9x 2 (mod 5) r t s t s s2t(9, 5) = ss täs ä ä r tt r t s ä ä r t s t ö2 t2 ät s ö2 tää t tt2 r t s sätää s s t rr t 5/3 = 5 t s ö2tä s s t t t r st t s 2 tä öä 9x 5y = 2 s r t s 5 = = = t 3 = 9 6 = 9 (5 9 ) = ä ö = 2 t 2 tä ö 9x 5y = 2 t tt2 r t s s st x 0 = 8 y 0 = 4 s t st s st ä ää ttä ä r tt r t s s 2 tä ö stä x = x 0 8 (mod 5) x = x (mod 5) x = x (mod 5) s s s a,b c t s s2t(a,b) = s2t(a,c) = s2t(a,bc) = sä s ä2ttää ttä s a,a 2,...,a n t s b t s s t ttä s2t(a,b) = s2t(a 2,b) = = s2t(a n,b) = s2t(a a 2 a n,b) = s

16 ää ös s s ss ss s 2 t 2 ssä s s s st r ss s2st stä ss 2 s tt tt r t s r s t s ö2tää t tt2 tt t ää ö s 2 s tt s t ää ö s s tt s ts ä t ää ö s ä ä r t st s r ssä s r s s t ttä ä s ää ös s äär ttää n tt t ättää ä t t ää ö s t s s ää ös s m,m 2,,m r s t s s t t r tt s t s 2 t st ättö ä ä ö r s s 2 tä ör2 ä ä x a (mod m ) x a 2 (mod m 2 ) x a r (mod m r ) 2 s äs tt r t s M = m m 2 m r st s t r ss s2st 2 tä r t s r tää M k = M m k = m m 2 m k m k+ m r. s t tää ttä s2t(m k,m k ) = s s2t(m j,m k ) = j k ä ö s ö2 tää M k ää t s y k m k s t ttä st t s r s s M k y k (mod m k ). x = a M y +a 2 M 2 y 2 + +a r M r y r.

17 s x r t s r r ss ä ä s tt s s tä2t22 ä2ttää ttä x a k (mod m k ) k =,2,...,r s m k M j j k s M j 0 (mod m k ). ä ä t r tt ttä x s ss t t r t ts s t r t r tt ss m k ä ö x a k M k y k a k (mod m k ), s M k y k (mod m k ). 2t ä2t tää ttä t ä t s s r t s t r tt M t x 0 x r ss 2 tä ör2 ä r t s s k x 0 x a k (mod m k ), s t ttä m k (x 0 x ). ä2ttä ä ä s tt ä ää ttä M (x 0 x ) ä ö x 0 x (mod M). s r t s r r ss 2 tä ör2 ä 2 s äs tt M s s r 2st x (mod 3) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) r t s s s t r t M = = 05 M = 05/3 = 35, M 2 = 05/5 = 2, M 3 = 05/7 = 5.

18 tt t s äär ttää y r t st 35y (mod 3) t st st 2y (mod 3) ästä s y 2 (mod 3) r s y 2 ö2 tää r t s 2y 2 (mod 5) ästä s y 2 (mod 5) s s y 3 r t s 5y 3 (mod 7) s y 3 (mod 7) ä ö x (mod 05). r st t ä ttä x t t tt r ss s2st x 52 (mod 05) t ttä 52 (mod 3) 52 2 (mod 5) 52 3 (mod 7) s r t s ät 2 tä s st r ss s2st s

19 r s ts ä s r t räs 2 s rt s st r t st s ss r tt äärä s t s s t t t s ä ä ä t st 2 2rö ää s ä s ä ä s t t 2 t r t 2 tt 2rö ää tä ä 2 t s t ä t t s t t ä2t2 ä 2rö 2t t t 2 t t t t 2 st tt2 ä s r tt r t st s r s t r s t s st s st st s t t t tt r ss st sää tö s s r s ss s ssä tö ssää r s s t tt ttä ss äär tö äärä s n s t ttä n n + 2 s sä tä ät r t t ää r s tt 2ös ttä r ttä ä s r t r s t s t t s s s s ttä 2 t s tt r t t ää r st 2ös äätt ää ttä s st ää t s s s ä ä t2ö s ssä ss t st t 2s s s s s ässä ss ä2 ää ä t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st 2 s rt s t r s st sä s t t st t r t s t s s t t r t s st ää rää äär t ttä ss s st ää t s s s s s tt s ss ää s s ä t ä ä2t tt2 t s t r r2 t r2 r r2 t s t s r s r t r t r s ä2t ttä ssä s l 0 m < l m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m. m

20 st s t t t st s r s r tää är st ä ä s äs ä m ( ) l ( ) k k k=0 = m ( ) ( ) l l ( ) k +( ) m. k m k=0 ä2ttä ä ä s tt s st t t t t r tt ( ) ( ) l l = ( ) m +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m (( ) ( )) l l = ( ) m, m m (( ) ( )) = ( ) m l! (l )! m!(l m)! (m )!((l ) (m ))! (( ) ( )) l (l ) (l m+) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m, m! (m )! t t 2 t t ä (( ) ( )) (l ) (l 2) (l m+) l = ( ) m (m )! m. s m m = s s stä t r stä (( ) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m (m )! = ( ) m ( (l ) (l 2) (l m+) (l m) m! ( )) l m m ).

21 rr t s ä ttä ttä ä (l m)! t s ( ) (l ) (l 2) (l m+) (l m) (l m )! = ( ) m m!(l m )! ( ) = ( ) m (l )! m!(l m)! ( ) l = ( ) m, m ä t st ä tt s s r s X ät2 ä äär ss N t P,,P r r tt r s s s t X r tää N 0 äärää ss X 2 tää ä s tä s s st {,2,,r} s I = {i,,i k } r tää N(I) = N(i,,i k ) äärää ss X s t P i,p i2,,p ik N( ) = X = N s m s t r s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k s m s t r t s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k st s ä2 tä öt tt t X t s s s s t X tr ä2 tä ö r x ss X t t ttä x täs ä l tt s s P i s l = 0 x 2 tää s tt P i s x s t rr ss N 0 ss 2 tää s tt s ä rr ss N( ) = X = N s l x 2 s s s P i s tä s t N 0 2 tää s tt P i s ä tää 2 s s s s t r tt ttä x s t P,P 2,,P l I {,2,,l,,r,r} ssä r rt s s äärä

22 s i I i > l ss s s t x ä ö t x s t ss r tt s s t x s t ss N(I) s I {, 2,, l} x s I t s t P i,p i2,,p il s tr 2 ä N(I) s k = 0,,,l ( l ss täs ä k) tt s s s I = k s m l x tr ä2 tä ö l ( ) l ( ) k = 0. k k=0 s m < l x tr ä2 tä ö m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m, m tr t s t s m r t s m r t s r t s s r ä st t r s ä2ttä stä s r X = {,2,3,...,30} s t X t t ät s s s r tt r tää tt s s s r st P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t N 0 äärä ss t ät s äärää 2 tää s s st P,P 2,P 3 r st s X

23 P st t s t t st t t s s P s s t = I 2t X \I P st t s t t st t t s s P 2 s t = I 2 2t (X \I )\I 2 P st t s t t st t t s s P 3 s s t = I 3 ((X \I )\I 2 )\I 3 = N 0 =,7,,3,7,9,23,29 2t ö2 tt2 X t 2 tää s s st P,P 2,P 3 s r s ssä s r ssä s tt t ä t t N 0 X = {,2,3,...,30} P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t t t t s t P r r 2t N 0 äärää r s X äärä t s s P tt ä tää ä ä t st X ä ää t ä ä ä st t t s s P 2 ä tä tt ää ä t s s st t ä t s s P 3 ä tä tt t s ss ((X \ I ) \ I 2 ) \ I 3 2t tt t st st tt s rt s s t s 2 s ts t2 stä s s st r s sätää t t s s st P P 2 ä s t tt ss 2t t ä ä ä sätää t s t P P 3 t tt s ä t s t P 2 P 3 s tt 2t s t t s s st t ä s s t t s t P,P 2 P 3 ä s t 2 s ä ö s N 0 äärä s ä täs ää s r ssä s t s ss

24 äärät2 r ss t t tt s äärästä s ä äs tt s äärää t t r t t a m s ä t r t t x s r s 2ös t s äs tt s t st s äärää tt t r r ss s ä stä t r t t s t st s ä ä stä t r t s r ss ss s st äärää t t tt ss x s r ss a (mod m) s st s t st s t ät s r x t t r tt a ss m äärä x +θ ssä θ < m st s s x m = q s {,...,qm} s sä tää täs ä x m t s ss r ss ss m t t s r s ttä x Z r tää x s s [x] m x rt s {x} = x [x] r tää [x] = qm+r ssä 0 r < m ä ö qm < x = qm+r+{x} qm+(m )+θ < qm+m = (q +)m, s s qm < x x < (q +)m stä s q < x m < q +. x st s t st s q + st 2 ä ää 2 tää 2 t stä t t st ss t t s s r s ä ä stä st q tt s s2st ä ää ö s m ä ää 2t s s s2st ää ö s ä m ästä s r ttä ss q t q + s r ss ss a (mod m) s r ä2 tä östä s s r x = 20 ä t 2 täs r s t s t t (mod 6) 5 (mod 6) 2t s s x = 20 r ss a (mod 6) ssä a = (,2,3,4,5,6) s t s s t ät s r 20 t

25 t r tt a ss θ tt θ < t t 6 20 s t ttä t t s ss är st2 s ssä s ss ss 2 s st 6 ää ös [,2,3,4,5,6],[7,8,9,0,,2],[3,4,5,6,7,8], [9,20]. 2t t tt q + ä 2 ä ää ä stä st 2 t s ä t ss ä stä st q 3 tt s s2s t ä ää ö s 6 s s st s2st stä ää ö s 6 s q < x m < q + 3 < x m < 4, ä tää s t s 20 6 ss s st s tä s tä s x p i,,p ik r s ä r tt r tää N(i,,i k ) s t st s äärää n x n(n+2) 0 (mod p i p ik ). ä ö N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ < st s s p r t n(n+2) 0 (mod p) t n 0 (mod p) n 2 (mod p).

26 t 0 2 (mod p) s p 3 s s n t t tt r ss ss s t u,...,u k {0, 2} n u (mod p ) n u 2 (mod p 2 ) n u k (mod p k ). s ää ös s s s u,...,u k ss 2 s äs tt ää ös a (mod p p k ) s t ttä n r t s r ss r2 ä s s n a (mod p p 2 p k ). tä ä r ss x p p 2 p k +θ(a) r t s s t st s ss r x ssä θ(a) < s s u i s t t i {,,k} t t 2 t sä 2 k ä ö ssä θ < s N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ,

27 rt s t b b 2 s t s t äär t t2 s r st b = loglog2+ 2 g(t) t(logt) 2dt, ssä g(t) = O() b 2 = p ( ( log ) ) = p p p k=2 kp k. ä ö b +b 2 = γ, ssä γ r t st s ö2t22 2 t s t s st t r r2 ss s s s r γ 2 äär t t2 r ä ä s r r γ = 0, rt s ss ä2t tää 2ö r tt2 s e γ,78072 äär t ä s f ä t s r t s r t g r t s t t t t f g t t t r r x t r t tt s t t t äär t t2 st s ss r tää t f = O(g) f g,

28 s ss s c > 0 f(x) cg(x), x t s sä t2 ät t f äär tt 2 s s rt s s x 2 p x ssä γ r ( p) = e γ logx+o(), st s t t s ä s s k=2kp k > p(p ), p>x p>x k=2 < kp k p>x p(p ) < n(n ) n>x = n n+ n(n ) n>x = ( n n(n ) n ) n(n ) n>x = ( n ) n n>x s t 2 ä n är stä ä ä t r t s 2 är ( ) ( ) ( )

29 ä n>x ( n ) n ( ) = O x ( ) = O. logx s s s exp(t) = +O(t) t ä t s r t t ä ä O(/ log x) r t tt s ä x 2 s x 2 O(t) s s r ä stä logx log2 tässä t s ss r t tt ä [0, log2 ä ö ] ästä s r ttä ( ( )) ( ) exp O = +O. logx logx log p x ä t s s p x p + p x k=2 s b +b 2 = γ 2t ( ) = ( log ) p p p x = kp k p x = p x k= p + p x k=2 kp k. ( ) = loglogx+b kp k +O +b 2 logx p>x ( ) = loglogx+γ +O, logx k=2 kp k

30 ( ( ( )) = e p) γ logxexp O logx p x ( ( )) = e γ logx +O logx = e γ logx+o(). s

31 s s t P rä ä st ä ä t t ät 2 tä t ä s s ä r ttä t ä tt t s t t t s ä ä t s t rä ä s t t t t r äs ä t s r ss s s rä ä s ä r t r t t s st st ä s r ä täs ä s ts t s s s s r s t s ä t s s tt t ät s s s ä ä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s s s t t t s st s st äärää t ät tt x s r ä ä s ssä t st t s st ää t s s s ää s s ä t ä ä2t tt2 2 t s t st t r r2 ss s s s st äärä s r r tää π 2 (x) p äärää t ät s r x p+2 2ös ä ö π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. st s 5 y < x r tää r = r(y) r tt äärää t ät s r y r tää ä tä p,...,p r r tää π 2 (y,x) p äärää y < p x p+2 2ös s y < n x n s ä n+2 t n > p i i =,...,r n(n+2) 0 (mod p i ) i r tää N 0 (y,x) s t st s n x äärää i =,...,r ä ö n(n+2) 0 (mod p i )

32 π 2 (x) y +π 2 (y,x) y +N 0 (y,x). ä2t tää r s tt ö2 ttä s N 0 (y,x) 2 är X s t s s t ät s r x st r t t p i y P i s s s ttä n(n+2) p i p i n(n+2), ssä n s t s. s s I = {i,...,i k } s sä t22 {,...,r} N(I) s s n X äärä n(n + 2) s p i,...,p ik t st N(I) s s n X äärä n(n+2) p i p ik s N(I) = N(i,...,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ <. m r s s t ttä m r ä2 tä ö s N 0 (y,x) m ( ) k N(I) k=0 m ( ) k k=0 I =k {i,...,i k } {,...,r} ( ) 2 k x +O(2 k ). p i p ik äs ää ä ä s s t r t r tää s tt 2 t s s t s ä t t s ä s stä s t st 2 t t ä x x m ( ) k k=0 {i,...,i k } {,...,r} 2 k p i p ik + m ( ) k O(2 k ) k=0 {i,...,i k } {,...,r} s ä s stä s t st ( ) k 2 k t s tää t ( 2) k ä sä s r ä ä stä s t

33 x m k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik + m ( ) r ( ) k O(2 k ) k k=0 r t t s t s st m r st t tästä r t s st m r ä ää ät sä s s tää t r 2 s s O s s 2 ä s x r k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k x p i p ik } {{ } A r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} } {{ } B ( ( 2) k m ( ) r +O )2 k. p i p ik k k=0 }{{} C r st s r s ä tä t r ä A, B C r s t t t r s t t r ä A r A = x k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik = x 2<p y ( 2 ) p sää ä ä s t t r t s 2 är s sö t s x 2<p y = x ( x p y < x p y ( = x 2<p y ( 2p + p 2 ) ( ) 2 p ( ) 2 )( ) 2 p 2 ( p p y ) 2 ( p ) ) 2,

34 s t ( x e γ logy +O() P tä ä ä s s r t 2 ös ä ) 2 ( x e γ logy ( ) 2 x logy x = (logy) 2. ) 2 t t s s A x (logy) 2. ä2t tää r tää s k (x,...,x r ) s s st t r s st s2 tr s stä 2 s t ss r tt tt st k st t st r x,...,x r s ä i {,...,r} t t s s s k (x,...,x r ) = {i,...,i k } {,...,r} x i x ik. s (x + +x r ) k s sä tää k! rt 2 ä s t r t tä ä sä s 2ös t t r ä r tt (x + +x r ) k k! = (s (x,...,x r )) k k! ( e ) ks < (x,...,x r ) k, k s ( k e )k < k! ä ä r ä ää t r st k! ( k e) k 2πk r s r s t r ä B

35 B = x = x r x k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik p i 2 k p i p ik ( ) 2 ä2ttä ä ä 2 r tää s ä stä r t s 2 ä t x < x = x < x r k=m+ r k=m+ r k=m+ r k=m+ s s r s < x s k ( 2 p i,..., 2 p r ) ( e k) ks ( 2 p i,..., 2 p r ) k ( e k) k ( 2 p p r ) k ( ) k ( 2e ) k m p p y r k=m+ ( ) k cloglogy, m ssä c s tt s t s s m t s t ttä ( 2 p ik ) s s m > 2cloglogy, B x r k=m+ ( ) k cloglogy x m r k=m+ 2 < x k 2 m.

36 r st s r s t r ä C s r r tt äärä t t r t y 2r y 2t t r stä C t ä r C m k=0 ( ) r 2 k < k m (2r) k (2r) m y m. k=0 st tää s r s t r A, B C r t s x π 2 (x) y + (logy) + x 2 2 m +ym x + x m + y (logy) }{{ 2 2 }}{{} m }{{} A B C, ssä t r st t ää m s t s tt s tt y ä t s r t t tt m ä t s s s t ttä 5 y < x, m > 2cloglogy. t ä2tä össä t ts ttä m s r s ä ät tt s r m r t tt t ää t r r s m r c = max{2c,(log2) } ( ) logx y = exp 3c loglogx = x 3c loglogx m = 2[c loglogx]. y tä2ttää t x r ttä ä s r t t s r s r t r ä A,B C ä ä y m r t t t r A t r st s

37 logy = logx 3c loglogx, s A = r s s c (log2) x (logy) 2 x(loglogx)2 (logx) 2. s t r stä B m = 2[c loglogx] > 2c loglogx 2, s ä t r stä C B = x 2 m < 4x 2 2c loglogx = 4x (logx) 2c log2 4x (logx) 2. ( ) 2c C = y m y 2c loglogx loglogxlogx = exp = x 2 3c 3. loglogx stä ä ä ä ä r t A,B C s s π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2.

38 s st ää t s s s ss t r s ttä s s äär tö äärä t r t s t ä t st tt s tä ä s s tä t t tt t t t s s tt2 st tt t st ttä ää t s st st s r s s t tää s r s tä ä t st s s s p,p 2,... s r s s p p + 2 2ös ä ö ( + ) p n= n p n +2 ( = 3 + ) ( ) + 7 <. ( + ) ( ) + 9 st s s ss t st t ttä x 2 ät π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. r 2 ös ä s st p äärää t ät s r n p+2 2ös s n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 (loglogn) 2 (logn) 2. r tää y = log n 2 ä s t (logy) 2 y 2 logy y 4. sätää ä2 tä ö s r rt s c 8 s t s

39 logy cy 4. t t s r s 2 ä r t st y r s t t r tt s r f(y) = cy 4 logy f (y) = c 4 y 3 4 y. s y 0 tä2t22 c y 4 4 y = 0. stä s y r c 4 y 4 = 0, ( 4 ) y = = c c. 4 2t t tää ttä t f t s r tässä st ssä t t s r s t f ä2ttä2t2 stä r t s r s rt t s s t ( 4 ) 4 2 = 52 c ( 4 ) : 2 = c 2c 4. c 4 t s r s c = 8 f ( ) > 0 8 f ( ) < 0 s t f s 32 äär är t ä s äär är t s r y r r s t t ä t c r s tt t f äär r ss

40 ( (4 ) ) 4 f c ( 4 ( = c log c)4 c) = c 4 ( 4 ) c 4log c ( 4 = 4 4log. c) s 4 c < log( 4 c) < 0 4 4log ( 4 c) 4 c 8 r f(y) 0 logy cy 4 ät r n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 ät s s n s st äärää äär t tää 2 ä p n st p n s t p n n ä ö n = π 2 (p n ) p n (logp n ) 3 2 p n (logn) 3 2 n 2 s n p n, (logn) 3 2 st p n n(logn) 3 2. t t s r s s r n= p n. tt s ä t r s s rtä ä ä t s t n = 2 s

41 p n 3 + n= r s p n=2 n n= p n 3 + n=2. n(logn) 3 2 ä s ä t r t s r s s äärät2 t r t st s st t t t s r s 2 ä s r r t r ä t r s ässä t s 2 = lim N dx x(logx) 3 2 N 2 dx x(logx) 3 2 ( ) d = d 3 dx logx dx (logx) 2 = 2 (logx) 2 x = 2, x(logx) 3 2 N 2 x(logx) 3 2 ( dx = 2 ) = 2, logn log2 log2 logn 0, N s r s s s st ää t s s r s s

42 tt t st tr t t 2t r r2 r r r r r r r r rt2 tr t t t s r t s t t t2 r rs t2 Pr ss r 2s r ss rr t 2 s t t P t ä r t t r t rs Pr r tt rs r r s r ss tt t tt t t st r t t st s 2 st ät tsä 2 ä äätä r tt r st r tt s t s 2 t r r2 ss s s r t ts t t s r r r r r r t s t s P r s t s t ss t r st t tt s tt P 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt t rr2t r r ss 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt s t t r2 r r2 ts t s r t s s 2 P s 2 ss s tts r r r s t r st r 2 2 r 2 r P r s t 2 r s t r 2st r s rt st t t r s r t tt t r r t r s r t t tt Pr t r tt t r r Pr t r t tt

43 sst r r s r st t t r r s r tt t r r r s r st t t tt

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

ON THE MEASUREMENT OF

ON THE MEASUREMENT OF ON THE MEASUREMENT OF INVESTMENT TYPES: HETEROGENEITY IN CORPORATE TAX ELASTICITIES HENDRIK JUNGMANN, SIMON LORETZ WORKING PAPER NO. 2016-01 t s r t st t t2 s t r t2 r r t t 1 st t s r r t3 str t s r ts

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013. On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks

QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013. On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks QBER DISCUSSION PAPER No. 8/2013 On Assortative and Disassortative Mixing in Scale-Free Networks: The Case of Interbank Credit Networks Karl Finger, Daniel Fricke and Thomas Lux ss rt t s ss rt t 1 r t

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Das Pentagramma Mirificum von Gauß

Das Pentagramma Mirificum von Gauß Wissenschaftliche Prüfungsarbeit gemäß 1 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien vom 07. Mai 198, in der derzeit gültigen Fassung Kandidatin: Jennifer Romina Pütz

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Voice over IP Vulnerability Assessment

Voice over IP Vulnerability Assessment Voice over IP Vulnerability Assessment Humberto Abdelnur To cite this version: Humberto Abdelnur. Voice over IP Vulnerability Assessment. Networking and Internet Architecture [cs.ni]. Université Henri

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

ενώ θεωρήσαμε το διάνυσμα R στην κατεύθυνση του άξονα z. + = + (172) Έτσι οι συναρτήσεις Green παίρνουν την τελική τους μορφή :

ενώ θεωρήσαμε το διάνυσμα R στην κατεύθυνση του άξονα z. + = + (172) Έτσι οι συναρτήσεις Green παίρνουν την τελική τους μορφή : Σε τρεις χρικές διαστάσεις θα έχουμε K( r, r ; t t dpp si( pτ dθ siθ exp( ip os θ π dp si( pτ si( p (171 Όπς και στο προηγούμενο κεφάλαιο (εξ. (8 έτσι και εδώ μεταγράψαμε την ολοκλήρση σε σφαιρικές συντεταγμένες,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα:

Ιστοσελίδα: ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel4 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Αποκωδικοποιηση Γραμμικων Κωδικων Μπλοκ Soft-Decision Decoding ψ(t),

Διαβάστε περισσότερα

Geometric Tomography With Topological Guarantees

Geometric Tomography With Topological Guarantees Geometric Tomography With Topological Guarantees Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari To cite this version: Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari. Geometric Tomography With Topological

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 3 6 11 1 12 7 1 2 5 4 3 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 9 10 1 8 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 18 20 21 22 23 24 26 28 30

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ %& " ' ' & " ( # ) &! * & +, #, %- %& + # -. %/ *, # ( % $ % + 0 ( % % / 1 2),

!  # $ %&  ' ' &  ( # ) &! * & +, #, %- %& + # -. %/ *, # ( % $ % + 0 ( % % / 1 2), ! " #$%& "''&"(#)&!*&+, #,%-%&+# -.% *,#(%$%+0 (%% 1 2), "34564778 9: (2;' ' < "5=674 < ( >""? +"( 5!"#!"$ #!% &"$"'#($ )# *+%),%"-.%,0(#+,% & 12.+#.3 )#.$ *+% &4 4.'+).) & & & &2.+#.,(!.5$"63 *+% 1 &&)"5%)%#"'#

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t?

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t? Παρουσιαστές:??ast?s??? Τσάκας?/?t?? t???/?s????p???af???? t????????a??a Se???t???p????f?????a???????? Master of Applied Science (M.App.Sci)? a?ep?s t?µ?? G?a s?? ί???/?s????p???af???? t??????? Τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763

Διαβάστε περισσότερα

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ

Διαβάστε περισσότερα

01 A. b = 2 b = n b = n + 1

01 A. b = 2 b = n b = n + 1 P P 1èt s Ð P Ôst ì t è t Ð Ð t èr è ❼ ❼s t t s s Ð s Ð sô t r s Ð t s Ô ❼r rì ì èq Ð ì r t t èr Ôt r t r trðt rìq r r❼2t r rqðs 1èt s t r t ì s s ❼ ì s èq Ð r❼2t st r t ì st Ôt r ì st trðt ì P t r tè

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλων. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλων. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλων Παραδείγματα ct (): U t ( x ( t), x ( t)) 1 ct (): U t ( x ( t), x ( t), x ( t)) 3 1 3 Θέσης χρόνου ταχύτητας χρόνου Χαρακτηριστικού-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. VECTƠ PHÁP TUYẾN (HAY PHÁP VECTƠ) CỦA MẶT PHẲNG Vectơ 0 gọi là vtpt của mặt phẳng a nếu giá của vuông góc mặt phẳng a. Vtpt của mp a thường ký hiệu

Διαβάστε περισσότερα

!"#ά%&'( 19 ) *+&,-,+ό/'(0 1+(23'(+'24ό0 5(- 62(7-8ί(- 1%:+;4ώ/ =&' : >&=+(('=(/(4'=ή 1(%'5'=ή

!#ά%&'( 19 ) *+&,-,+ό/'(0 1+(23'(+'24ό0 5(- 62(7-8ί(- 1%:+;4ώ/ =&' : >&=+(('=(/(4'=ή 1(%'5'=ή L'ώ+8(0 J%(8(2=(ύ#:0, 7&!20ή4 8&')0)/&'ή ',& 9,6'ό"/&, 8&')0)/ί,!"#ά%&'( 19 ) *+&,-,+ό/'(0 1+(23'(+'24ό0 5(- 62(7-8ί(- 1%:+;4ώ/ =&' : >&=+(('=(/(4'=ή 1(%'5'=ή @5( ="#ά%&'( &-5ό "A'="/5+;/ό4&25" 2" 7:5ή4&5&

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πξόβιεκα Κξππηνγξαθίαο

Πξόβιεκα Κξππηνγξαθίαο Πξόβιεκα Κξππηνγξαθίαο Αληαιιαγή κελπκάησλ κεηαμύ δύν κεξώλ ώζηε ην πεξηερόκελό ηνπο, ζε πεξίπησζε ππνθινπήο από ηξίην, λα παξακέλεη αθαηάιεπην Γηα παξάδεηγκα, νη ειεθηξνληθέο αγνξέο ζηεξίδνληαη ζηελ απνζηνιή

Διαβάστε περισσότερα

{3k + a : k N a = 1,2}.

{3k + a : k N a = 1,2}. P P 1èt s t rð P Ôst ì t è t Ð Ð t èr è ❼ ❼s t t s s Ð s Ð sô t r s Ð t s Ô ❼r rì ì èq Ð ì r t t èr Ôt r t r trðt rìq r r❼2t r rqðs 1èt s t r t ì s s ❼ ì s èq Ð r❼2t st r t ì st Ôt r ì st trðt ì P t r

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ HILBERT ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διπλωματική εργασία του Χασαπλαδάκη Μιλτιάδη Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

Jean Pierre Serre. Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p

Jean Pierre Serre. Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p Jean Pierre Serre Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p. 1-42. 2 0 X X X X X Kähler 1 X X X Chow X n 12 1 H. Cartan [3] H. Cartan W-L. Chow

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ 232 Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών. Διάλεξη 2 Οργάνωση μνήμης Καταχωρητές του MIPS Εντολές του MIPS 1

ΗΥ 232 Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών. Διάλεξη 2 Οργάνωση μνήμης Καταχωρητές του MIPS Εντολές του MIPS 1 ΗΥ 232 Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Διάλεξη 2 Οργάνωση μνήμης Καταχωρητές του MIPS Εντολές του MIPS 1 Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων 1 Σύνολο Εντολών Το ρεπερτόριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηματική προτυποποίηση στις σύγχρονες επιστήμες και την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας για τους µαθητές

Φύλλο εργασίας για τους µαθητές Φύλλο εργασίας για τους µαθητές Μετάφραση από Δρ. Σφλώµος Γεώργιος Ένα σετ που απαρτίζεται από 14 λωρίδες αναπαριστά τα χρωµοσώµατα από τη µητέρα (θηλυκό) δράκο. Το άλλο, διαφορετικά χρωµατισµένο σετ,

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Ρομποτικός Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης

Ρομποτικός Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική Ι Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ 3 (Έλεγχος Δύναμης) Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου &

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 4ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 301-400 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων (Databases)

Βάσεις Δεδομένων (Databases) Βάσεις Δεδομένων (Databases) ΕΠΛ 342 Χειμερινό Εξάμηνο 2011 Διδάσκοντες Καθηγητές Γιώργος Σαμάρας (ΧΩΔ01 109) Σύνδεση Ισότητας (Equi-Join) Θ στην σύνδεση είναι = (=-Join) r r.ai = s.aj s =-σύνδεση του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Ενότητα 1: Σύνθετη Αντίσταση Εναέριων Γραμμών Μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Αριθμός Τιμολογίου. Αρθρο

ΠΡΟΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Αριθμός Τιμολογίου. Αρθρο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΡΓΟ : ΕΠΙΣΚΕΥΗ - ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΡ. ΜΕΛ. : 60/15 A/A ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ : ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΑ ΠΡΟΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Χωματουργικά, καθαιρέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΕΡ- ΕΠΕΝΕΡΓΟΥΜΕΝΗΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗΣ ΠΛΩΤΗΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΕΡ- ΕΠΕΝΕΡΓΟΥΜΕΝΗΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗΣ ΠΛΩΤΗΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΕΡ- ΕΠΕΝΕΡΓΟΥΜΕΝΗΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗΣ ΠΛΩΤΗΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ Κώστας Βλάχος, και Ευάγγελος Παπαδόπουλος Σχολή Μηχ. Μηχ. Ε.Μ.Π., Εργαστήριο Αυτομάτου Ελέγχου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km,

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km, 33 2G 2016> 3 = Y ARID ZOE RESEARCH Vol.33 o.2 Mar.2016 doi:10.13866/j.azr.2016.02.02 1 1,2, 1, 1, 3, 4 (1.,!"#$%&', 830011; 2., ( 100049;3.)* +,-. /01, 841000; 4. + 234567, + 832000) :89 TM:;,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι

Διαβάστε περισσότερα