ALGEBRA, GEOMETRIE ANALITICA ȘI DIFERENȚIALA SINTEZE TEORETICE ȘI APLICAȚII
|
|
|
- Λευκοθέα Αναστασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 LGEBR GEOMETRIE NLITIC ȘI DIFERENȚIL SINTEZE TEORETICE ȘI PLICȚII
2 cs mrl rpră u supor d curs ds sudțlor d ul I c cuprd s orc ș prolm rolv dsprs d volumul Elm d lgră lră gomr lcă ș drțlă uor: Io Vldmrscu Lumț Grcu Grcu Lumț
3 I SPŢII VECTORILE I Spţul vcorl - dţ proprăţ F V o mulţm vdă ş K u corp comuv Dţ I Spum că V r srucură lgrcă d spţu vcorl (su spţu lr ps copul K dcă s îsră cu două lg d compoţ: - o lg d compoţ ră oă dv: : V V V ( ; - o lg d compoţ ră oă mulplcv: : K V V ( cr îdplsc urmăorl proprăţ: (V s grup ( ( V ( K ; ( ( V ( K ; ( ( ( V ( K ; v ( V Vom o csă srucură (VK Elml lu V s umsc vcor r lml lu K sclr Oprţ s v um dur vcorlor r oprţ îmulţr vcorlor cu sclr Noăm cu lmul u l corpulu K r cu vcorul ul d V dcă lmul uru l grupulu (V Vcor s oă cu ră dsupr ( c uor l lulu l Empl: r sclr cu lr mc l lulu grc( µ c ş F M(m K mulţm mrclor cu m l ş colo cu lm d corpul K csă mulţm ormă u spţu vcorl ps corpul K ţă d oprţl oşu d dur mrclor ş îmulţr mrclor cu sclr d K F M(K mulţm mrclor cu o sgură l ş cu colo cu lm d corpul K csă mulţm s m oă: K {( / K } Elml lu Oprţl d dur vcorlor l -dmsol ş d îmulţr csor cu sclr dv: ( ( ( ( S vrcă uşor că împruă cu cs două oprţ K s umsc vcor l -dmsol K s u spţu vcorl ps corpul K F M( K mulţm mrclor cu o sgură coloă ş l cu lm d corpul K c s po o: ~ K K
4 Elml lu K ~ î cs c s umsc vcor coloă -dmsol Ş î cs c ( K ~ K s spţu vcorl Dorc mulţml M(K ş M(K s dossc dor pr modul d scrr lmlor î prccă s vorş dor dspr vcor -dmsol pul csor l su coloă suîţlgâdu-s d co Spţul ( R R dmsol s umş spţul vcorl rl -dmsol r ( C C spţul vcorl compl - Mulţm polomlor d o drmă cu cocţ rl d grd cl mul gl cu ( N ormă spţu vcorl ps corpul R ţă d oprţl oşu d dur polomlor ş îmulţr polomlor cu sclr rl S păsră propr dcă îlocum corpul R cu K Mulţm polomlor d o drmă d grd cu cocţ d K u r srucură d spţu vcorl ţă d oprţl dc î mplul Trorm I (Rgul d clcul î spţul vcorl Î orc spţu vcorl V ps K u loc rmţl: ( V ; ( K ; (- ( V ; su ; 5 ( V dc (V s grup l Coscţ: F V u spţu vcorl ps K Su dvăr rmţl: Dcă K ş V uc Dcă K uc I Dpdţă ş dpdţă lră coprr lră uu ssm d vcor F (VK u spţu vcorl ş S { } Dţ I Spum că u vcor K sl îcâ: u ssm d vcor d V V s o comţ lră d vcor ssmulu S dcă să D mplu vcorul ul s o comţ lră d vcor lu S orcr r ssmul S d V Dţ I Mulţm uuror comţlor lr d vcor d S s umş coprr lră lu S ş s oă L ( S Î prculr dcă S { } L uc ( S { K } K K Î mod vd L( ( Propoţ I Dcă { } L( ( L( L p Dmosrţ: p uc K Dorc L( ( p
5 ( L p Dc p p p Oțm sl că: L ( L( Propoţ I Dcă L( ( L( L p uc L ( Juscr s smăăor cu c propoţ ror L ( Î prculr Dţ I Spum că ssmul S s lr dpd (su că vcor su lr dpdţ dcă să sclr K u oţ ul sl îcâ: ll spus vcor oţ sclr ul K su lr dpdţ dcă să cl puţ o comţ lră ulă lor cu u Dţ I5 Spum că ssmul S s lr dpd (su că vcor să su lr dpdţ dcă S u s lr dpd Cu l cuv vcor oţ sclr ul Empl Î su lr dpdţ dcă d orc comţ lră ulă lor rulă R vcor ( ; ( ( su lr dpdţ Î spţul vcorl l polomlor cu cocţ rl d grd cl mul poloml: X X X su lr dpd Îr-dvăr dcă X X ( X X pr dcr cocţlor rulă Propoţ I Îr-u spţu vcorl u loc urmăorl rmţ: Orc ssm d vcor cr coţ vcorul ul s lr dpd Orc sussm l uu ssm lr dpd s lr dpd Orc suprssm l uu ssm lr dpd s lr dpd F V Ssmul{ } s lr dpd dcă ş um dcă Dţ I6 U ssm d vcor lu V s lr dpd dcă orc sussm l său s lr dpd Propoţ I Ssmul d vcor S { } dr s scr c o comţ lră clorllţ Dmosrţ: s lr dpd dcă ş um dcă cl puţ uul Prsupum că S s lr dpd Dc să K K u oţ ul sl îcâ
6 Dorc sclr u su oţ ul uc să cl puţ u dc { } sl îcâ c c îsmă că să ş vrsul său ( - Î cs codţ d rlţ: K îmulţă cu ( - oţm: ( ( ( ( K Dc s scr c o comţ lră d cllţ - vcor Rcproc prsupum că d ssmul S vcorul ( { } s scr c o comţ lră clorllţ: K d ud oţm: ( K Cum u oţ sclr cs comţ lr ul su ro rulă că S s lr dpd I Bă ş dmsu pru u spţu vcorl Dţ I7 Spum că u ssm d vcor S V s ssm d gror pru V dcă orc vcor V s scr c o comţ lră vcorlor d S ll spus dcă L( S Propoţ I5 F dpdţ uc Dmosrţ m V vcor spţulu vcorl V ş m L( lr Prsupum pr surd că m> D m L( dducm că orcr r { } vcorul s rpră c o comţ lră d vcor { } dcă Cosdrăm ssmul lr omog: dpdţ m m m m m m m Dorc m> cs ssm r ş soluţ l F ( m m m m cs p corc lr dpdţ vcorlor Corolr Dcă { } V r m L( o sl d soluţ uc vm: cu m> uc m su lr Dţ I8 Ssmul B d vcor d V s umş ă pru V dcă B s lr dpd ş L( B V Torm I Orc spţu vcorl cr u s rduc l vcorul ul posdă cl puţ o ă M c d orc ssm d gror l lu V pum rg cl puţ o ă Torm I To l uu spţu vcorl su orm d clş umăr d vcor Dmosrţ F B { } { } m B Coorm Propoţ I5 rulă două l lu V Dorc V L( uc L( B ( m log s oţ B m Dc î coclu m
7 Dţ I9 Spum că spţul vcorl (V K r dmsu ă dcă să î V o ă ormă d vcorvom scr dm V Î c corr spum că spţul V r dmsu ă ş scrm dm V Dmsu spţulu vcorl ul { } s pr dţ Empl: Dmsu lu R s (scrm dm R Vcor ( ş ( su lr dpdț dorc: R ( ( ş îrucâ pru orc vcor ( v v v v v v R L ( Dc vcor ormă o ă pru R sl dm R dm R (dmosrț d smăăor cu c prcdă r ormă d vcor: ( ( ( K poră uml d ă cocă (urlă sdrd lu R Osrvţ I F V u spţu vcorl ps K d dmsu ă Su dvăr urmăorl rmţ: Orcr vcor (su m mulţ d V su lr dpdţ Orcr vcor d V lr dpdţ ormă o ă pru V Orcr ssm d gror pru V orm d vcor s o ă pru V Propoţ I Îr-u spţu vcorl V dmsol orc ssm d vcor lr dpdţ po compl pâă l o ă spţulu Torm I F V u spţu vcorl ş B { } V orc vcor l lu V s po scr î mod uc c o comţ lră d vcor d B Dmosrţ: F uc B s ă lu V dcă ş um dcă V u vcor rrr Prsupum c scrr lu î rpor cu B u s ucă Dc să K sl îcâ: ş să K sl îcâ: Oţm: ( ( ( s lr dpd rulă Cum { } Dc ş scrr lu î rpor cu vcor d B s ucă Rcproc prsupum că orc vcor d V s scr î mod uc c o comţ lră d vcor lu B Î cul vcorulu ul oţm: 5 scrr ucă sl că dcă cm o comţ lră ulă d vcor d B oţ sclr c pr ru să ul dc ssmul B s lr dpd Dorc orc vcor d V s scr c o comţ lră d vcor lu B rulă c B ormă o ă lu V sl scrr uu vcor îr-o ă s ucă Sclr c pr î csă rprr poră uml d coordol vcorulu î rpor cu cosdră Vom o pr [ ] B colo coordolor lu î rpor cu B Dcă coordol lu î rpor cu B ş B { } s o ă pru V uc su
8 Empl: Î R { } î B su ş B ( ş ( ş R ( Cum coordol lu Î R B { } ( B su 5 ş - ( ş ( Dorc 5 coordol lu î F P spţul vcorl l polomlor cu cocţ rl d grd cl mul - Mulţm lmlor ormă o ă î P Coordol uu polom P( su cocţ polomulu Dcă s cosdră o lă ă cs - (- coorm ormul lu Tlor polomul P( po scrs: P' ( P(P(! ( ( P ( (! ( Rulă că î rpor cu csă ă coordol lu P( su: P( P '( P ( (! 5 Î M ( R ormă o ă căc su vd lr dpd r pru orc mrc M ( R vm: c d dcă l ormă ș c d u ssm d gror pru M ( R Coordol lu î csă ă d ocm lml sl: cd I Schmr coordolor uu vcor l o schmr F (V K u spţu vcorl d dmsu r B { K } B { } Cosdrăm u vcor rrr V c r urmăorl scrr î cl două : K rspcv K N propum să găsm rlţ d lgăură îr coordol ş Dorc B s ă pru V r scrr csor vcor î rpor cu B Mrc c s oţ scrd coordol vcorlor V uc : două pru V î B p colo s: M M M K K K K M 6
9 7 csă mrc s umş mrc d rcr d l B l B vm: D c rulă: ( dcă: su î scrr mrclă: M dcă [ ] [ ] B B M csă gl s chvlă cu gl: [ ] [ ] B B M csă gl s umş ormul d schmr coordolor uu vcor câd s rc d l B l B I5 Lm susuţ ş plcţ Torm I6 (Lm susuţ F (VK u spţu vcorl d dmsu ă ş { } B K o ă pru V r K u vcor d V uc u loc urmăorl rmţ: { } B s o ouă ă pru V dcă ş um dcă Dcă K s u l vcor d V uc coordol l vcorulu î { } B su d d ormull: pru plcț l lm susuț Dr cl m mpor plcţ l lm susuţ mm: lr coordolor vcorlor î dr ; lr vrs u mrc; lr rgulu u mrc; rolvr ssmlor lr;
10 8 Empl: Să s clcul vrs mrc Noâd cu colol mrc vm: I sl oţm: 5 6 Dorc rgul u mrc po d c umăr mm d colo su l lr dpd s po olos lm susuţ l clculul rgulu u mrc D mplu pru clculul rgulu mrc 6 vm: / / 6 u os rodus două colo î ou ă dc rg Lm susuţ s po olos ş l rolvr ssmlor lr Să s rolv ssmul: 7 Noâd cu L( colo rmlor lr ş cu colol cocţlor cuosculor vm:
11 7 L 5 5 L L Ssmul dv: Mrc ssmulu r rgul c ş mrc să ş dc ssmul s compl drm cuoscul prcpl d ş Soluţ ssmulu s: 7 R I6 Suspţ vcorl F (VK u spţu vcorl Dţ I9 Spum că V V V s suspţu vcorl l lu V dcă s spţu vcorl ţă d clş lg î rpor cu cr V s spţu vcorl Propoţ I8 loc V V V V s suspţu lr l lu V dcă ş um dcă ( K ş ( V r Empl: { / } R { M } F VR uc V ( K s suspţu vcorl l lu R Mulţm M ( R / s suspţu vcorl l lu ( R s { } M um suspţul mrclor smrc Mulţm mrclor smrc M M ( R / s suspţu vcorl l lu ( R s M F V u spţu vcorl ps K uc mulţml {} ş V su suspţ vcorl l lu V um suspţ mpropr Propoţ I F (VK u spţu vcorl cu dm V ş V u suspţu vcorl l lu V uc dmv Juscr s mdă ș s ă p Propoț 5 Osrvţ I 9 Dcă V s spţu vcorl ps K d dmsu ă r V s u suspţu vcorl l său cu dmv ucv V Osrvţ I Orcr r { m} V mulţm L ( m s suspţu vcorl l lu V 9
12 I7 Oprţ cu suspţ vcorl F V u spţu vcorl ş V V două suspţ vcorl l sl Noăm: V V { V ş } d V V { V V ş } d V V Torm I8 V V ş V IV su suspţ vcorl l lu V Osrvţ I Torm prcdă po grlă sl: o sumă ă d suspţ vcorl l cluş spţu vcorl s suspţu vcorl ş o rscţ ă d suspţ vcorl l cluş spţu vcorl s suspţu vcorl Osrvţ I Ruu două (su m mul suspţ vcorl u s î grl suspţu vcorl Juscr cs rmţ s po c p urmăorulu cormplu d vm: V V { V V su } V Cosdrăm VR lgm urmăorl două suspţ vcorl: {( R} ş V {( / R} V / Vcorul ( V vcorul ( V dr sum lor ((( u prţ lu V V To d c s po osrv că î grl V V s dr d V V Dţ I F V ş V două suspţ vcorl l spţulu vcorl V Spum că V s sumă drcă d V ş V dcă cr vcor d V s scr î mod uc c sumă dr u vcor d V ş u vcor d V ş oăm V V V Empl: F VR V {( / R} s V ( { / } uc R V V R Dţ I Dcă VV V ş V V vcorul s umş procţ lu p suspţul V prllă cu V r vcorul s umş procţ lu p suspţul V prllă cu V Torm I Dcă V s u spţu vcorl d dmsu ă V ş V două suspţ vcorl l lu V uc VV V dcă ş um dcă u loc rlţl: V V { }; dm V dmv dm V Torm I (orm dmsu su ormul lu Grssm Dcă V ş V su suspţ vcorl l spţulu vcorl dmsol (VK uc: dm(v V dmv dmv -dmv V Propoţ I Dcă V s u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş V V vcorl l lu V sl îcâ dmv dmv > uc V V {} dm Dmosrţ: su suspţ ( V V dmv dmv ( V V Dr V V s suspţu vcorl l lu V dc ( V V dm dm ş rlţ roră dv dmv dmv dm( V V Ţâd sm d poă pum scr: < dmv dmv dm( V V Rulă ( V > dcv V {} dm V
13 I8 Prolm rolv Să s drm î spţul R suspţul orm d soluţl ssmulu omog: Soluţ: Drmul prcpl l ssmulu s D p Rolvăm ssmul orm d prml două cuţ î rpor cu s - cuoscul prcpl S oţ 7 s 7 sl o soluţ rrră ssmulu d s 7 7 cu R r spţul soluţlor ssmulu s ( / 7 7 L R V ud 7 7 Î R vm ( ( ( ş vcorul S cr să s clcul coordol lu ţă d } { B ud Soluţ: Drmăm mrc d rcr d l { } l { } vm: cu d ş ( [ ] 6 7 B dcă 6 7 Să s prc dpdţ lră urmăorlor ssm d vcor:
14 ( ( (6 d R ( ( (5 d R c ( ( ( ( d R Soluţ: F Oţm ssmul: Rulă că vcor { } su lr dpdţ Să drmăm rlţ d dpdţ lră Ssmul s compl drm Rulă R Pru r cs rpră o rlţ d dpdţă lră îr c r vcor Osrvţ Pru sl rpd dpdţ lră uu ssm d vcor d R dţ pr coordol lor îr-o ă s suc să clculăm drmul l căru colo rpră coordol csor vcor Dcă drmul s dr d ro vcor su lr dpdţ ll su lr dpdţ M mul ormă o ă lu R dorc dmsu lu R s sl vcor { } su lr dpdţ Dc ormă o ă î R dorc umărul lor cocd cu dmsu spţulu vcorl R c log vcor { } su lr dpdţ pru că vm: I R s du vcor ( ( ( ( 7 Să s r că ssmul S{ } s u ssm d gror î R Să s rgă d S u sussm S cr să cosu o ă d R Soluţ: F R ( R Să răăm c să sclr R sl îcă Idcâd compol d clş dc rulă:
15 ( s : 7 S osrvă că mrc ssmulu s 7 ş rgul s Esă drmul Dc ssmul (s cu cuoscul s compl smplu drm Dc orc comţ lră d vcor dcă L( Vcor { } su prmţ î cocă: R R s scr c o Drmul coordolor s rulă că su lr dpdţ Dmsu spţulu lr R d rulă că ormă o ă csu spţu 5 F spul vcorl R ş vcor ( ( ( Să s r că { } cosu o ă î R S dă vcorul (- R Să s drm sl îcă { } să cosu o ă î R c Să s găsscă mrc d rcr d l B { } l B { } Soluţ: S vrcă pul că drmul corspuăor s ul 6 8 dc{ } ormă o î R Es suc c drmul corspuăor să ul dcă Rulă că: 6 c Pru drm mrc d rcr d l B l B prmăm vcor d B oţm: Drmăm coordol lu î { } î rpor cu B ş
16 d ud Mrc d rcr d l B l B s 6 6 L 6 Î spţul vcorl R s cosdră B } { R ud ( ( ( S cr: Să s găsscă coordol vcorulu (- î B ; Să s r că } { B ud ( ( ( s o ouă ă î R c Să s drm coordol lu î rpor cu B Soluţ: Vrcăm pul că { } s o ă î R vm Ulăm ormul [ ] ( [ ] B B ud B rpră cocă lu R r S oţ: S clculă 8 (6 Rulă că vcor su lr dpdţ ş ormă o ă î R c vm ormul [ ] ( [ ] B B ud 5
17 5 7 Î spţul vcorl ( R M s du vcor: 7 5 ş scrş îr-o ă orcr Să s r c B{ } s o ă î ( R M Să s drm coordol vcorulu î B Soluţ: Vrcăm dcă vcor su lr dpdţ Cosdrăm Rulă 7 5 Rulă 5 7 S- oţu u ssm omog cr dm dor soluţ lă dorc drmul ssmulu s dr d ro vm îr-dvăr: 5 5 ( Rulă că vcor su lr dpdţ Cum dmsu spţulu vcorl ( R M s rulă că { } ormă o ă î spţul vcorl cosdr F δ γ D dcr compolor d clş ord rulă: 5 7 δ γ γ δ γ γ Ssmul s compl drm dorc drmul s ul ş c urmr plcăr ormullor lu Crmr oţm: Să s drm R sl îcâ mrcl să lr dpd Soluţ: Cosdrăm ş mpum codţ c ssmul c s oţ să dmă dor soluţ lă Ssmul c s oţ s:
18 Ssmul s omog r cuţ ş cuoscu; pru c cs ssm să dmă soluţ mrc ssmulu ru s ă rgul vm: su su ( pru ( dc rgul u m s r Dcă rgul mrc s r dcă l l ş ssmul r dor soluţ lă dcă vcor { } su lr dpdţ Dcă rgul mrc s dc ssmul dm ş l soluţ sl că vcor u m su lr dpdţ 9 S du î R vcor ( ( c ( Cosu cş o ă pru R? Soluţ: C cş vcor să orm o ă drmul mrc orm cu coordol lor î cocă ru să vm: sl vcor cosdrţ ormă o ă î R Folosd lm susuţ să s rolv ssmul: Soluţ: Sum î R Noăm cu vcor d R ormţ cu cocţ cuosculor d ssm ş cu L vcorul rmlor lr Scrm loul corspuăor ş plcâd lm susuţ vm: 6
19 7 L B Soluţ ssmulu s
20 II PLICŢII LINIRE II plcţ lr-dţ mpl proprăţ Nuclul ş mg u plcţ lr Dţ II Dcă XY su spţ vcorl ps corpul K uc plcţ lră (su morsm su homomorsm d spţ vcorl dcă: U( U( U( ( X (propr d dv U : X Y s umş plcţ U( U( ( K ( X (propr d omog Propoţ II F X ş Y două K spţ vcorl uc U : X Y s plcţ lră dcă ş um dcă r loc rlţ: ( U( U( ( K ( X U Empl: plcţ : R R ( R s lră p câd g : R R g( R u m s o plcţ lră plcţ U : C[ ] R U ( ( d ud C[ ] { :[ ] R uc cou} 8 s lră F P (R spţul polomlor cu cocţ rl d grd cl mul plcţ U : P ( R P ( R U ( P P' ud P s drv polomulu P s lră Propoţ II Dcă U : X Y s plcţ lră uc u loc: U ( X Y ( ( U ( U X U U( ( K X Dţ II F U : X Y plcţ lră Dm: d -uclul plcţ lr U pr KrU { X U ( } d -mg plcţ lr lr U pr Im U { Y ( X sl câ U ( } Propoţ II Kr U s suspţu vcorl l lu X Im U s suspţu vcorl l lu Y Y Torm II O plcţ lră U : X Y s cvă dcă ş um dcă Kr U { X } Tormă II O plcţ lră cvă duc u ssm d vcor lr dpdţ îr-u ssm d vcor lr dpdţ uc: Torm II F X ş Y spţ vcorl ps K dm X dm KrU dm ImU dm X < Dcă U : X Y s o plcţ lră Dţ II Dmsu suspţulu Im U s umş rgul plcţ lr U r dmsu suspţulu Kr U s umş dcul plcţ lr U
21 Osrvţ II plcţ lră U : X Y s surcvă dcă ş um dcă ImU Y Propoţ II Dcă plcţ lră plcţ lră U : X Y s cvă uc ş vrs s U : Y X s II Iomorsm d spţ vcorl Spţul vcorl Hom (XY Dţ II Două spţ vcorl X ş Y s umsc omor dcă să U : X Y plcţ lră ş cvă r U s umş î cs c omorsm F X Y două spţ vcorl ps K d dmsu rspcv m Torm II F B { } o ă spţlu vcorl X r vcor rrr d Y uc să o ucă plcţ lră Coscţă O plcţ lră U l vcorlor u B { } U : X Y sl îcâ U( lu X pr U : X Y s compl drmă dcă s cuosc mgl U( Torm II5 (orm omorsmulu Două spţ vcorl X ş Y d dmsu su omor dcă ş um dcă dm Xdm Y Coscţă Orc K-spţu vcorl -dmsol s omor cu K F XY două spţ lr ps corpul K d Dţ II5 Noăm pr Hom X Y { U : X Y U plc lr } ( mulţm uuror plcţlor lr d p X cu vlor î Y Uor csă mulţm s m oă ş cu L(XY Dcă XY uc o plcţ lră U : X X s umş opror lr (su rsormr lră su domorsm Noăm pr Ed X { U : X X U plc lră} spţul vcorl X ( mulţm uuror oprorlor lr dţ p Dcă î plus u domorsm s cv l s umş uomorsm Noăm pr u( X { U:X X U lr ş cv} mulţm uuror uomorsmlor d p X Torm II6 Mulţm Hom (XY ormă u K spţu vcorl î rpor cu oprţl: : Hom( X Y Hom( X Y Hom( X Y (UV( U( V( ( : K Hom( X Y Hom( X Y U V Hom( X Y ( X ; ( K ( U ( U ( ( U Hom( X Y s Torm II7 F XY spţ vcorl ps clş corp K d dmsu mrspcv uc dm Hom(XY m II Dscrr u plcţ lr îr-o prch d F X ş Y spţ vcorl ps K d dmsu dm Xm dm Y U : X Y o plcţ lră ş } o ă pru X ş B { } o ă pru Y Dorc U ( Y m { m B mod uc c o comţ lră vcorlor B : cs s v scr î 9
22 U ( m F X cu scrr s î B : uc: Dr U m m m m m ( U U( U( Y ş dc l v dm o scrr î rpor cu B : ( U η Cum scrr uu vcor îr-o ă s ucă vom v: ( η η η m m m m Folosd scrr mrclă: [ U( ] ( [ ] B B B B m η dcă: Câd l B B su uc l s om d scrr roră ş vom v: [ U ( ] [ ] ( X Dţ II6 Mrc M ( m K c coţ p colo coordol î B l mglor vcorlor B pr rmdul plcţ lr U s umş mrc socă plcţ lr U î rpor cu l B ş B Empl: F U : R R dă pr U( ( (vcor d scrş î rpor cu l coc d spţl vcorl Evd Hom( R R orcr r ( R R R U Dorc U ( ( U( ( ( ( l coc s Osrvţ II Dcă corspud o mrc părcă d ordul U mrc plcţ U î rpor cu U : X X s u opror lr ş dm X uc ţă d o ă d X lu U î Osrvţ II F U : X Y ş V : X Y două plcţ lr r B ş B pru X rspcv Y Dcă mrcl soc plcţlor lr U ş V î rpor cu cs su ş rspcv B uc mrcl plcţlor U V ş U î rpor cu clş su B ş rspcv Torm II8 F X Y Z spţ vcorl ps K d dmsu dmxm dmy dmzp B B B pru X rspcv Y ş Z r U : X Y V : Y Z plcţ lr cu ( M ( m K mrc socă lu U î rpor cu l B B r B ( p M ( p K mrc socă lu V î rpor cu l
23 B B Compur (produsul plcţlor U ş V î ord VU s o o plcţ lră dă d mrc produs B M( p m K î rpor cu l B B II Schmr mrc u plcţ lr l schmr lor Torm II9 F U:X Y o plcţ lră d spţ vcorl dmsol dm Xm dm Y F B { m } ş { } B ' ' ' m î X ş B { } B' { ' ' } î Y r L ( m ş m M h ( µ h mrcl d rcr d l B l B rspcv d l B l B F d sm h ( h mrc socă plcţ lr U î rpor cu l B ş B r B ( m U rpor cu l B ş B uc BM - L mrc lu m Coscţă Dcă ş B su mrcl corspuăor oprorulu lr U : X X î două dr B ş B d X uc BL - L ud L s mrc d rcr d l B l B Osrvţ II Rgul mrc u plcţ lr două spţ vcorl U : X Y s cosrvă l schmr lor î cl Dţ II7 Rgul u plcţ lr U : X Y cocd cu rgul mrc soc î rpor cu două rrr d X rspcv Y Dţ II8 F X u K spţu vcorl ş U:X umş vr ţă d U dcă pru orc S vm X u opror lr U suspţu vcorl S l lu X s U ( S (ll spus U ( S S Empl: Suspţl mpropr { X} ş X su vr ţă d orc opror lr U : X X Propoţ II5 Sum uu umăr d suspţ vr dţă d u opror lr s u suspţu vr ţă d cl opror lr Irscţ uu umăr d suspţ vr ţă d u opror lr s u suspţu vr ţă d cl opror lr Torm II9 F S u suspţu vcorl l lu X ş B { } u ssm d gror pru S uc S K p s vr î rpor cu oprorul lr U:X X dcă ş um dcă U ( S ( p II6 Vlor ş vcor propr F X u spţu vcorl ps K ş U:X Dţ II9 U sclr V sl îcâ U( vlor propr X u opror lr K s umş vlor propr oprorulu lr U dcă să u vcor Vcorul s umş vcor propru pru oprorul U corspuăor Propoţ II5 Dcă s u vcor propru pru oprorul U corspuăor vlor propr r K uc s vcor propru pru U corspuăor vlor propr
24 Torm II F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş ( M ( K oprorulu U Ed( X î rpor cu B { } pru U dcă ş um dcă s rădăcă (î K polomulu P ( ( U d I (* mrc K lu X uc u sclr K s vlor propr Torm II F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş U Ed( X Dcă M ( K mrc oprorulu U î rpor cu B ş B s s mrc lu U î rpor cu B uc ( I d BI d ( s d I Dţ II Polomul (* s umş polomul crcrsc l oprorulu lr U r ( s umş cuţ crcrscă lu U Prcc pru drm vlorl ş vcor propr pru oprorul lr U Ed( X ă procdăm sl: S ă o ă B { } K lu X; S scr mrc oprorulu U î rpor cu B; Drmăm polomul crcrsc P ( ( U d I ; d I Rolvăm cuţ crcrscă ( Rădăcl (î K m m l cs cuţ su vlorl propr l lu U cu X d dmsu 5 Vcor propr corspuăor vlor propr su vcor l căror coordo î rpor cu B su soluţl ul l ssmulu ( I [ ] [ ] Emplu: F U : C C u opror lr cr îr-o ă d ( C C s crcr d mrc: Pru găs vlorl propr ş vcor propr socţ procdăm sl: Scrm cuţ crcrscă I Oţm ( ( Rolvăm cuţ crcrscă ş găsm vlorl propr: Pru cr vlor propr găsm vcor propr socţ rolvâd ssmul: ( I [ ] ] Pru vm: [
25 Dc vcor propr corspuor vlor propr su d orm pru (- s u vcor propru pru Pru vm: Dc ( C ( C Î prculr cu s u vcor propru corspuăor vlor propr Î prculr pru oţm vcorul propru ( Osrvţ II5 Dcă s o vlor propr oprorulu U Ed( X lu U corspuăor vlor propr cocd cu mulţm Kr( U \{ } domorsmul dc l spţulu vcorl X uc mulţm vcorlor propr X ud X rpră Torm II Vcor propr uu opror lr U corspuăor l vlor propr dsc două câ două su lr dpdţ Coscţă Dcă vlorl propr dsc două câ două l uu opror lr U : X X su î umăr d dm X uc vcor propr socţ csor vlor propr ormă o ă pru X r mrc socă lu U î csă ă s: ud su cl vlor propr dsc Dţ II Spum că u opror lr s opror cu srucură smplă su dgoll dcă să o ă î rpor cu cr mrc s r ormă dgolă Dţ II Mulţm vlorlor propr l uu opror lr s umş spcrul oprorulu Torm II Codţ csră ş sucă c mrc oprorulu U Ed( V să ă orm dgolă î rpor cu B s c oţ vcor d B să vcor propr lu U Torm II(Torm Cl-Hmlo F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş mrc oprorulu lr U : X X î rpor cu B lu X uc P U ( ~ ud ~ rpră mrc ulă d ordul ll spus polomul crcrsc l uu opror lr s vrc d propr s mrc Osrvţ II6 Dcă s cuoş polomul crcrsc uc d orm Cl-Hmlo pum drm - c o sumă d pur succsv l lu î lul urmăor: d ud p ( p Dţ II F [ p p p ] pi cu p ( o vlor propr oprorulu lr umş suspţul propru soc vlor propr { } U Mulţm S X U( s
26 U Osrvţ II7 Suspţul propru X ş s dc u suspţu vcorl l lu X Propoţ II6 Suspţul propru S s vr ţă d U ; dm S r dm X r rg( I S soc vlor propr rpră d p uclul oprorulu lr S soc vlor propr r proprăţl: ; c dm S m m ordul d mulplc l vlor propr Torm II5 F vlorl propr l oprorulu lr U : X X ud dm X ş m ordul d mulplc l vlor propr suc c dm S Pru c U să dgoll s csr ş m ş m m m Î cs c să o ă B X ţă d cr mrc oprorulu U r orm: M M S M M M M M o M M M M M M M M M M M M M M M M M M M (**** M M ud gură d m or Osrvţ II8 Î codţl cs orm spţul vcorl X s sum drcă suspţlor S II7 Prolm rolv F U : C C d d ormul U ( ud ( ε ε Să s drm polomul crcrsc vlorl ş vcor propr ş po să s dcdă dcă s su u u opror dgoll Soluţ: cs ssm r soluţ lă dcă ş um dcă Ecuţ crcrscă d dducm că vlorl propr l oprorulu U su ş
27 Î plus su vcor propr corspuăor vlorlor propr rspcv S osrvă că mrc oprorulu U î rpor cu E { } spţulu lr C s dgolă: F U : R R oprorul lr cr î cocă d R r mrc Să s drm vlorl ş vcor propr pru oprorul U Soluţ: Ecuţ crcrscă oprorulu lr U s: I ş r o sgură rădăcă rlă (dc o vlor propr r u vcor propru corspuăor s ( F mrc oprorulu lr U : R R î rpor cu cocă ( Să s r că s dgollă ş să s drm o ă ţă d cr mrc lu U r orm dgolă Soluţ: P U ( ( ( Vlorl propr l oprorulu lr U su cu m m Suspţul propru soc lu vm: s S Kr( U I ε ε ε cr s rduc l o sgură cuţ ε ε Dc: { R / ( R} S Suspţul propru soc lu s rduc l mulţm soluţlor ssmulu omog Dc / ( ε ε ε { R : R} S Evd dm S dm S dc U s dgoll 5
28 6 Vom lg î S { } B cu ( ( r î S { } B ud ( Dorc ( ( ( U U U mrc oprorulu lr U î { } B s: S F oprorul ( ( ( : R R ud ş ( su scrş î cocă { } B lu R Să s dmosr că s lr Să s r că s dgollă ş să s drm o ormă dgolă s prcum ș o ă î rpor cu cr r csă ormă Soluţ: Dmosrăm că s opror lr dcă ( ( ( ( R ş ( R ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl s u opror lr l lu R Îrucâ ( ((- ( ((- ( ((- dducm că mrc lu î rpor cu B s : Drmăm polomul crcrsc l lu : ( ( ( ( d I P Rolvăm cuţ crcrscă: ( ( Dorc ( P r grdul ş vlor propr dsc rulă că s dgoll dcă să o ă î rpor cu cr mrc şă r orm: D B s ormă d vcor propr corspuăor vlorlor propr Procdâd c î rcţl prcd oţm că ( ( ( su vcor propr corspuăor vlorlor propr
29 7 O ă î rpor cu cr r mrc dgolă D s { } B 5 Ulâd ormul d schmr mrc ş uu opror lr l schmr spţulu vcorl să s dducă mrc şă oprorulu d prolm prcdă î ' B Soluţ: S ş că dcă s mrc şă oprorulu î B ş L s mrc d rcr d l B l ' B uc mrc şă lu î ' B s dă d rlţ: L L D sl cuoscâd pru pu plc ormul prcdă vm vo d mrc L mrc d rcr d l B l ' B { } ' B cu ( ( ( Dorc B s cocă rulă [ ] [ ] [ ] B B B ş sl mrc L s: L plcâd ormul L L L L d d duc lu L s găsş prs lu L L sl D 6 F V u spţu rdmsol ps R ş plcţ V V : dă pr : ( ( orcr r ( ud ş ( su scrş î rpor cu { } B lu V S cr: Să s r că ( V Ed Să s r că s cvă (dc ş surcvă csă s scr mrc lu î rpor cu B dsă s scr mrc lu î rpor cu ( ' B ud
30 8 Soluţ: răăm că ( ( ( ( ( ( V ş R log c l pucul d l prolm prcdă Pru ră că s cvă clculăm Kr ş olosm propr { } v Kr cvă Evd { } ( { } / v v V Kr Kr F ( Kr v 7 Dorc drmul ssmulu s ul dducm că l r um soluţ lă sl { } Kr v Dc s cvă Osrvţ: mplcă surcvă dorc dr d rm lr ssmul lr dm soluţ (ucă dă d rgul lu Crmr c Îrucâ: [ ] [ ] [ ] B B B dducm că : ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl mrc lu î B s: B d L L B B ' ud L s mrc d rcr d l B l ' B dcă L Oţm: L sl găsm: ' B
31 9 III FORME BILINIRE III Form lr-dţ mpl F V u spţu vcorl rl Dţ III O ucţ : V V R s umş ormă lră dcă : ( ( ( ( V R ; ( ( ( ( V R Osrvţ III Dcă s o ormă lră uc : ( ( V R ( ( V R ( ( ( V Empl: F [ ] ( V C < R spţul vcorl rl l ucţlor cou d p [] cu vlor rl uc plcţ: [ ] ( ( ( ( ( : C V g d g g V V R s o ormă lră Îr-dvăr propr s ssăcuă: ( [ ] ( ( ( d h g h g C h g ( ( ( R h g h d h g d h ( ( ( ( ( ( log s vrcă propr III Eprs lcă u orm lr î rpor cu o ă F V u spţu vcorl rl cu dm V< B { }o ă pru V ş : V V R o ormă lră F rrr d V V ( ( Dc ( ( Noâd cu ( mrc ( s umş mrc orm lr î rpor cu B
32 sl vm: ( prs c poră uml d prs lcă orm lr rpor cu B Eprs lu po scrsă su orm: ( [ ] [ ] B B cs s prs mrclă orm lr rpor cu B Empl: F R R R : ( vcor d scrş î cocă lu R răăm că s lră î prmul rgum ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( log s ră că s lră ș î cl d-l dol rgum Clculăm lml mrc lu î rpor cu cocă: ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl mrc s î rpor cu cocă s : Să oăm cu R [X] spţul vcorl l ucţlor poloml cu cocţ rl d grd cl mul F : [ ] [ ] R R R ( ( ( d g g Vom scr mrc lu rpor cu { } B Elml mrc su: ( ( d d
33 ( ( ( d d d ( d 5 sl mrc lu î rpor cu B s: 5 F B { ( III Schmr mrc u orm lr l schmr două l lu V F C ( c mrcr d rcr d l B l } ş B { } mc lu î B r B mrc lu rpor cu B vm: B( ( ( s s s c ( c s c c s c c s s s s Oțm că: B C C Osrvţ III Ţâd sm d ormul d schmr mrc u orm lr câd s schmă (BC C dducm că rgul mrc u orm lr s vr l schmr Dţ III Rgul mrc u orm lr rpor cu o ă orcr lu V s umş rgul orm lr su smplu rgul lu Dţ III F V spţu vcorl rl ş : V V R Spum că s ormă lră smrcă dcă: Empl: ( ( ( V Form lră :R R R dă pr : ( ( ( ( R s smrcă Form lră :R R R dă pr : ( ( ( ( R u s smrcă B
34 Propoţ III F V u spţu vcorl rl d dmsu ă dm < V B { } o ă pru V ş : V V R o ormă lră căr mrc î rpor cu B s ( uc s o ormă lră smrcă dcă ş um dcă s o mrc smrcă ( Juscr s mdă căc dcă s smrcă vm: ( ( ( V Pru ( ( ( s smrcă Rcproc dcă s smrcă vm: B B B ( [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( B B B B B dcă s smrcă III Form părc F V u spţu vcorl rl ş : V V R o ormă lră smrcă Dţ III plcţ :V R ( ( V ( s umş orm prcă socă orm lr Dţ III5 Form lră smrcă poră uml d polr orm părc Dţ III6 O ormă lră : V V R s umş : pov dă dcă ( > ( V ; pov smdă su gvă dcă ( ( V ; c gv dă dcă ( < ( V ; d gv smdă su povă dcă ( ( V ; dă dcă ( V sl îcâ ( > ş ( < Cosdrăm V dmsol dm V < B { } o ă lu V ş B uc Egl: ( V ( ( { ( rpră prs lcă orm părc î rpor cu B Mrc s umş mrc orm părc î rpor cu B ( mrc lu î Egl ( [ ] B [ ] B poră dumr d prs lcă orm părc î scrr mrclă Dţ III7 Numm rg l orm părc rgul orm lr d cr prov: rg( rg( rg( Osrvţ III Pum scr prs lcă orm părc sl: ( ( <
35 Empl: F :R R o ormă părcă căr prs lcă î rpor cu cocă lu R s: ( ( ( ( ( 5 R Mrc lu î rpor cu cocă s: 5 5 F orm părcă : R R ( ( ud ( R Mrc soc lu î rpor cu cocă lu R s : Osrvţ III Dcă s cuoş orm părcă pum drm orm lră d cr prov ulâd ormul: - - ] ( ( ( [ ( ( V Empl: Pru orm părcă dă î mplul ror ( ( vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ş d c couâd clcull găsm: ( ( Pum oț prs lcă lu ș ll ș um olosd pul că mrc socă î rpor cu cocă s dcă cu mrc să lu dcă cu : Oțm: ( ( ( III5 ducr u orm părc l o ormă cocă F V u spţu vcorl rl cu dm { } u u u B V < o lu V ş :V R o ormă părcă Spum că orm părcă lu r î rpor cu B o prs cocă dcă ( R sl îcâ ( ( ( V u Mrc lu î rpor cu o sl d ă s î mod vd o mrc dgolă:
36 KK KK B L L LL L LL sl rg(r ud r rpră umărul cocţlor ul dr-o ormă cocă s Rgul u orm părc s vr l schmr căc l s gl cu rgul polr sl cr s vr l schmr Cl m cuoscu mod d ducr u orm părc l o ormă cocă su: mod lu Guss ş mod lu Jco Mod lu GUSS Torm III F V u spu vcorl rl d dmsu ă dm V< :V R o ormă părcă ş { } B o ă lu V î rpor cu cr r prs lcă: uc ( B { u u u } ( ( < ă lu V î rpor cu cr r orm cocă: ( ( ( Dmosrţ (procdul dscrs poră uml d mod lu GUSS Dcă ( ( V uc ( ( ( ( Prsupum că u s orm ulă Dcă ( îrucâ u s orm părcă ulă ( { } Fără mcşor grl pum cosdr că Î cs c dcă cm urmăor schmr d coordo: - M ugm l cul î cr găsm cl puţ u păr î ou prs dorc î rpor cu ol coordo prs lc orm părc s { ( { ( ( ( ( ( ( Cosdrăm uc vm: ( ( { g( u co ( g( g(
37 5 ( { ~ u co g Fcm urmăor schmr d coordo: M Î rpor cu ol vrl K (dc î rpor cu o ouă ă prs lcă lu s: ( ( { ~ ( p co u g S r rţomul pru rmul ( g ~ sl după u umăr d pş s oţ prs cocă lu Osrvţ III Form cocă u orm lr u s ucă rmţ d m sus s po usc p u mplu cocr cosdrâd dvrş cocţ ul cu cr îcpm procdul dscrs ror Empl: F ( ( ( : R R R scrsă î rpor cu cocă { } B Folosd mod lu Guss să s ducă l o ormă cocă ordr I Cosdrăm drp coc ul d sr cocul rmulu dcă uc cm schmr d coordo: Î rpor cu vrll vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Trcâd l ol vrl: oţm : ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( (
38 6 Noăm: u u u Î rpor cu u u u vm : ( ( ( ( u u u ordr II Cosdrăm drp oc ul d sr cocul rmulu dcă ( ( ( : R R R uc cm schmr d coordo: Î rpor cu vrll vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ecuăm urmăor schmr d vrl: Oțm: ( ( ( ( Î rpor cu vm sl o lă ormă cocă pru dră d c d cul prcd Mod lu JCOBI Torm III F V u spţu vcorl rl d dmsu ă dmv< :V R o ormă prcă căr prs lcă î rpor cu { } B s ( ( Dcă oţ mor prcpl mrc : L L L L L L L L K 5
39 7 su ul dcă d K K M L M uc ( { } B ' î rpor cu cr: ( ( ( Vcor K s cosrusc c î cl c urmă F polr lu lgm: ş drmăm sclrul rl d codţ: ( Propum ş drmăm sclr d codţl : ( ( ( M Empl: F :R R ( ( ( ( î rpor cu cocă { } B lu R Vom sl dcă s po plc mod lu Jco ş dcă d vom drm prs cocă lu ş lu R î rpor cu cr r orm cocă găsă Mrc şă lu î rpor cu cocă s: sl vm: Dc mod lu Jco s po plc dcă ( { } ' B ă lu V î rpor cu cr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ' ' Cosrum vcor
40 8 ( ( ( ( ( ( ; ; c sl ; ( c sl ( ( ( ( F sl că: ( ( ( Torm III (Lg rţ lu Slvsr Numărul cocţlor ul prcum ș umărul cocţlor pov îr-o ormă cocă u orm părc u dpd d î cr s oţuă c ormă cocă Dţ III8 Numărul p d (* s umş dcl pov d rţ l lu r q s umş dcl gv d rţ l lu Dţ III9 Form părcă rlă ( s umş pov dă dcă pru orc ( V ( Torm III Form părcă rlă ( s pov dă dcă ș um dcă oţ drmţ p p ud pp p p p K K K K K su src pov III7 Prolm rolv Să s ducă l orm cocă orm părcă (ou R R : ( Soluţ: vm ( (
41 ( ( ( Fcm schmr d coordo : 8 ş oţm : ( 6 6 ( d coordol lu î ou ă Să s ducă l orm cocă orm părcă R R : ( 5 6 Soluţ: vm ( 5 ( 5 ( ( ( Fcm schmr d coordo : 5 ş oţm : ( 8 5 F orm părcă ( Să s ducă l o ormă cocă olosd mod Gus Să s plc mod Jco dcă s posl pru oţ o ormă cocă ş î rpor cu cr r csă ormă Să s vrc po rulul orm lu Slvsr Soluţ: (
42 Fcm schmr d coordo : 8 8 ş oţm : ( 8 sl să r cocț ul dr cr do pov ș uul gv Mrc corspuăor î rpor cu î cr su prc coordol vcorlor s : vm d - uc o ormă cocă lu s : ( 8 6 ω ω ω S osrvă că umărul cocțlor pov s do r l clor gv s uu dc s vrcă rulul orm lu Slvsr Pru drm } { ' B î cr r orm cocă roră procdăm sl: - drmăm cosdrâd ş ( ud rpră polr lu Oţm : - drmăm luâd ş ( ( Oţm : 6 6 -pru -l drm p lgm ş mpum codţl ( ( (
43 Oţm: Să s ducă l orm cocă urmăor ormă părcă: R R : ( Soluţ: Vom plc mod lu Guss (mod Jco u s po plc dorc Dorc u vm vrl l păr î prs lu cm m îâ schmr d coordo: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ş s oţ o orm părcă pru cr Couâd procdul d d mod lu Guss oţm succsv: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Făcâd schmr d coordo : ( ( ( (
44 IV SPŢII EUCLIDIENE IVSpţ ucld Igl Cuch-Schwr F E u spţu vcorl ps corpul umrlor rl R Dţ IV plcţ :E E R s umş produs sclr dcă: >< > ( E; < (propr d smr; < > < > ( R ( E; (propr d omog î prmul rgum; >< >< > ( E; < (propr d dv î prmul rgum; ( E ş (produsul sclr s pov d Dţ IV U spţu vcorl rl p cr s- d u produs sclr s umş spţu ucld Osrvţ IV Îr-u spţu ucld u loc rlțl: ( R ( E sl produsul sclr s dv ş omog ș î l dol rgum Osrvţ IV Produsul sclr d p u spţu vcorl rl s o ormă lră smrcă ş pov dă Dţ IV U spţu vcorl rl p cr s- d u produs sclr s umş spţu ucld (rl Empl: { F EC[ ] :[ ] R ucţ couă } plcţ : C [ ] C[ ] R g ( g( d ( g C[ ] s u produs sclr F ER plcţ : R R R dă pr R s u produs sclr Dspr ( < > Vom o u spţu ucld cu ( < > dă pr: R spum că s spţul vcorl ucld coc E su smplu cu E Dţ IV Numm lugm (orm vcorulu sclrul rl orcr r ( ( Torm IV Î orc spţu ucld E r loc gl Cuch-Buovs-Schwr: ( E (* Osrvţ IV Rlţ prcdă s po rscr ș sl: Î cul prculr l produsulu sclr : R R R d pr gl Cuch-Buovs- Schwr dv: ( ( Propoţ IV Norm : E R ( E ; ( E E spţu ucld r proprăţl:
45 E ( R ( E ; ( E (gl rughulu Osrvţ IV Îr-u spţu ucld E r loc rlţ: orcr r Dţ IV5 F X o mulţm vdă O plcţ d : X X R vâd proprăţl: d( ( X ; d( d(( X ; d( ; d( d( d( ( X s umş mrcă (dsţă p X Mulţm X îsră cu o mrcă d s umş spţu mrc Vom scr( X d Torm IV F E u spţu ucld uc ucţ E E R s o mrcă p E Osrvţ IV 5 Cosdrăm spţul ucld coc dm d s ( m ; < < ( ; ( ( ( ( K ( K d su mrc Mrc d s umş mrc (dsţ ucldă d : dă pr d( ( E R uc: IV B orogol ş oroorm Dţ IV6 Vcor E s umsc orogol dcă ş oăm Osrvţ IV6 Dcă uc Propoţ IV U ssm d m vcor { } (orm lu Pgor î spţ ucld m K ul ş orogol do câ do s lr dpd Dţ IV7 O ă spţulu ucld E cu vcor ( orogol do câ do s ums ă orogolă Dţ IV8 O ă spţulu ucld E s umş oroormă dcă s o ă orogolă ş orm căru vcor d ă s glă cu Torm IV (d sţă lor oroorm F( E spţu ucld uc î E să cl puţ o ă oroormă Dmosrţ F B { L } p: o ă lu E dm E (ă Vom cosru o ă oroormă pru E pord d l B î două Ep I: ' Cosrum o ă orogolă B { L } orm d vcor orogol do câ do ş ul sl:
46 Drmăm p sl îcâ dcă < >< >< > < > < > Evd Dcă uc c c s ls pru că su lr dpdţ Prsupum că m cosru vcor ul ş orogol do câ do : L răăm că pum cosru vcorul orogol p vcor L ş ul după rgul: L Drmăm sclr L sl îcâ: sl L < < < Dc > >< > < < > > L L < > L < > L > < > Dc s cuoscu ş î plus dducm că s ul Îr-dvăr ţâd sm d prsl vcorlor L dducm că s scr: ν L ν Dcă uc ν L ν dcă L r lr dpdţ c c s o cordcţ pru că ăcu pr dr-o ă Rulă că Î prcpulu ducţ m cosru vcor L orogol do câ do ş ul d ud dducm că L su lr dpdţ Îrucâ dm E dducm că Ep II: '' Cosrum o ă oroormă B { u L } d l B sl: u ' B s o ă orogolă pru E cu vcor orogol do câ do ş cr cu orm ură pord
47 5 u u u B K vm: ( u u dc u u > < > >< < u Dc " B s o ă oroormă pru E Procdul d oţr u oroorm pord d l o ă dă pr m sus s umş procdul d oroormr GRM-SCHMIDT Osrvţ IV7 Îr-o ă oroormă { } g g B coordol uu vcor orcr cocd cu produsl sclr g Juscr s mdă căc dcă g g vm: g g g g g g g g g g Dc g g Empl: Î R s cosdră produsul sclr: ( ( ( R F : ( ( ( { } E Cosrum orogolă { } F sl: γ Cu codţl: ( ( ( c D ( oţm: Dc ( D ( oţm: γ D (c oţm: γ γ
48 Dc ( Cum uc vcor: g ; ; g g ( cosu o ă orogolă î R Coordol vcorulu ( - prm coordoă: g - dou coordoă: g - r coordoă: g î csă ă vor : IV Eprs lcă produsulu sclr ş orm î rpor cu o ă orcr ş î rpor cu o ă oroormă E spţu ucld ş B { L} F ( < > vm: < >< > < > o ă pru E Cosdrăm do vcor rrr Noâd < > oţm: < > umă prs lcă produsulu sclr î rpor cu B Mrc ( M ( Eprs orm s: R s umş mrc produsulu sclr î rpor cu B ( < > E Dcă B { L } s o ă oroormă lu E vm: < > δ D c dducm o propr mporă ş um: mrc produsulu sclr î rpor cu o ă oroormă s mrc u d ord dm E Î cs c oţm pru produsul sclr ş pru ormă urmăorl prs : 6
49 7 rulă că ( ; > < Osrvţ IV8 Dcă ( ( R M s mrc produsulu sclr î rpor cu o ă orcr { } B L vm: ( > < M L Dcă B s o ă oroormă uc: ( > < M L IVCrrul lu Grm d dpdţă lră vcorlor Torm IV (Crrul lu Grm F E u spţu ucld Codţ csră ş sucă c vcor ssmulu { } S K să lr dpdţ s c drmul: Γ um drmul Grm soc ssmulu S să ul Osrvţ IV8 Ssmul S s lr dpd dcă ş um dcă Γ Empl: F V [ ] [ ] { } cou R C : ş [ ] [ ] R C C : pr ( [ ] ( ( C g d g g Să s r că ucţl { } su lr dpd răm că ( Γ ud: ( Γ d d d d d d d d d Clculâd grll oţm: ( 5 Γ
50 8 IV5 Prolm rolv S cosdră plcţ : R R R > < cr î rpor cu cocă { } lu R r prs lcă : ( ( ( ( > < orcr r ( ( R S cr: Să s r că ( > < R s u spţu vcorl ucld Să s r că vcor ş su orogol c Să s clcul d Să s scr mrc produsulu sclr î rpor cu { } Pord d l { } să s scr o ă oroormă Soluţ: Vom ră că plcţ R R R > < : s u produs sclr vrcâd proprăţ d dţ produsulu sclr (dţ V R > >< < dorc prs s smrcă î ş ( ( ( ( > < ' ' ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R > >< < ( ( ( ( > < ( ( ( ( ( R > < R ( ( ( ( R > < > < Pru ră că vcor ş su orogol clculăm produsul lor sclr Coordol vcorlor ş î dă su: ( ( R sl produsul lor sclr s: ( ( ( ( > < c ( ( 6 > < d Mrc produsulu sclr s ( ( > < M R
51 9 Fd o mrc d ( R M coţ ouă lm dr produsul sclr d rl rulă că mrc smrcă Vom clcul sl dor 6 lm > < > < > < > < > < > < M îâ căuăm o ă orogolă { } γ Puâd codţl : > < > < > < oţm u ssm cu cuoscul γ Rolvâd cs ssm găsm : γ Dc ( ormă { } cr s o ă orogolă B oroormă căuă s dc: 9 > < > < > < B oroormă s ormă cu vcor ur orogol do câ do: (
52 5 Dc ( s o ă oroormă Să s r că plcţ R R R > < : dă pr : > < orcr r ( ş ( R u s produs sclr p R Soluţ: Osrvăm că > < rsul compolor puâd ul Dc > < ș pru ( u dor pru ş sl rulă că propr d dț produsulu sclr u s îdplă sl plcţ dă u s u produs sclr Să s r că î spţul vcorl rl ( R M mrcl : drmă o ă Dm plcţ ( ( R R R > < : M M pr < B> ( B v v v v ( R M v v v v B Să s r că ( ( > R < M s u spţu vcorl ucld rl c Să s r că mrcl d uț su lr dpd olosd drmul Grm Soluţ: răăm că mrcl su lr dpd ş că ( ( L M R F Drmul ssmulu s 8 Ssmul d lr ş omog dm dor soluţ lă: sl mrcl d su lr dpd
53 răăm că mrcl d cosu u ssm d gror pru M ( R dmosrâd că orcr r mrc ( R s po rpr c o comţ lră d mrcl F Căuăm umrl rl sl îcî: c d Oţm pru drmr umrlor ssmul lr: lr c d Dorc drmul ssmulu s ul ssmul r soluţ ucă dă d rgul lu Crmr: ud rpră drmul oțu d pr îlocur colo cu colo rmlor sl m oțu că M ( L( R Dc { } cosu o ă pru ( R M Vrcăm că su dvăr proprăţl produsulu sclr rl B>< B > ( B M ( R < doră pulu că prs s s smrcă î B C v v v v < > ( ' ( ( ( v v v v v v v v < C>< B C> ; < B> v v v v < B> < > ( ( ( ( ( ( R plcţ dă s dc u produs sclr p M ( R sl ( ( > ş v ; M < > c Cosrum cu uorul produsulu sclr drmul Grm soc ssmulu { } vm: < > 7 < > < > < > 6 < > 6 < > < > < > < > 6 7 M R < s u spţu vcorl ucld M 5
54 < > 9 sl oțm: 7 6 Γ Drmul d ul coorm crrulu Grm rgăsm rulul d l pucul dcă pul că vcor dț su lr dpdț R spţul vcorl ucld coc Să s r că vcor: F ( <> ( ( ( ș ( R Grm soc Soluţ: Cosrum cu uorul produslor sclr drmul Grm soc vm: < > 6 < r > < > < u > < r > 6 < > < u > < > 9 < u > 5 < u u > u su lr dpdț olosd drmul 6 Γ Coorm coscț crrulu Grm vcor d uț su lr dpdț 5
55 V VECTORI LIBERI ÎN SPȚIU V Vcor lr Eprs lc l oprţlor cu vcor Dţ V Numm vcor u sgm d drpă or Elml crcrsc l uu vcor su: drcţ- dă d drp supor ss d d modul d prcurgr sgmulu mărm (su modul dă d lugm gmulu org Noţ olosă: B ud s org B rm (ssul d prcurs d d l l B Mărm vcorulu s oă cu B Vcor m po oţ pru smpl cu o sgură lră sl: v V U vcor cu mărm glă cu u poră uml d vcor ur Vcorul pru cr rm cocd cu org s umş vcor ul Mărm s s dc ro drcţ ş ssul d drm El s oă cu Clscr vcorlor Vcor s împr î r mr cgor: Lgţ - u org îr-u puc d spţu; d mplu v uu puc mrl î mşcr p rcor lucăor - org s po dpls î lugul drp supor; d mplu orţ cr cţoă supr uu sold rgd dorc pucul d plcţ l cs po su orud p drp supor cul s clş Lr- org po suă orud î spţu Dţ V Do vcor su gl dcă u cş drcţ clş ss ş clş modul Î cul vcorlor lgţ ru să ă ş cş org Dţ V Do vcor s umsc prll dcă u cş drcţ Dţ V Do vcor s umsc colr dcă u c supor cş drpă Osrvţ V Pru cul vcorlor lr cl două oţu cocd ( spu că do vcor su prll s chvl cu spu că su colr Dţ V5 Do vcor s umsc chpolţ dcă u cş drcţ clş ss ş clş modul cu l cuv dcă po suprpuş prr-o mşcr d rslţ Osrvţ V Pru cul vcorlor lr oţu d chpolţă s chvlă cu c d gl Dţ V6 Do vcor s umsc opuş dcă u cş drcţ clş modul ş ssur dr Î cul vcorlor lgţ ru să ă ş cş org Opusul uu vcor v s oă v 5
56 Vcor cu cr oprăm î cour s cosdrţ vcor lr Dcă vm m mulţ vcor lr po duş sl îcâ să ă cş org Oprţ cu vcor Dţ V7 (Rgul prllogrmulu F V ş V do vcor dţ vâd org î pucul O S umş sumă vcorlor V ş V vcorul O ud s vârul opus lu O î prllogrmul cosru cu uorul clor do vcor (g Noţ olosă s: V V O O V V V Fg Dţ V8 (Rgul l polgol îchs S umş sumă vcorlor V ş V vcorul O ud O s org prmulu vcor r s rm clu d-l dol cs d urmă vâd org î rm prmulu (g V V V O V Fg csă rgulă s chvlă cu rgul prllogrmulu dr pră vul că po uşor plcă culu î cr vm d ăcu sum vcor N V 6 V 5 S V V V 6 V S Fg Propoț V dur vcorlor r urmăorl proprăț V V V V (comuv ( V V V V ( V (socv V 5
57 V V V ( V Dţ V9 Drţ dr vcor V ş V s u vcor V c rpră d p sum dr prmul vcor ş opusul clu d-l dol: V V V V ( V V V V V Fg V S osrvă că vcorul drţă r org î rm scăăorulu ş rm î c dscăuulu Dţ V S umş produs dr sclrul ş vcorul V u l vcor o V cr r cş drcţ cu vcorul d clş ss su ss opus cu V după cum s src pov su src gv r modulul s d d rlţ: V V Osrvţ VPr îmulţr uu sclr ul cu orc vcor s oţ vcorul ul Propoț V Îmulțr vcorlor cu sclr r urmăorl proprăț: ( V V V (s dsruvă ţă d dur sclrlor V V V V (s dsruvă ţă d dur vcorlor ( ( V ( V Dţ V S umş vrsor l uu vcor u vcor ur cr r cş drcţ ş clş ss cu vcorul d Vrsorul vcorulu V s oă cu vrsv ş s d d rlţ: Dscompur uu vcor după două drcţ cocur d pl V vrs V V F d d două drcţ î pl c s rscă î pucul O Cosdrăm vcorul d V su î plul clor două drcţ vâd org î O ş rm î pucul (Fg5 D s duc prll l d ş d ş s oă cu pucl d rscţ vm rlţ: V O O O Vcor O O s umsc compol vcorl l vcorulu d ţă d drcţl d d 55
58 d d O Fg5 Dscompur uu vcor după r drcţ cocur coplr d d cl r drcţ cocur î O ş V vcorul d vâd org î pucul O (g6 d F d O V d d B Fg 6 d D rm vcorulu d ducm o prllă l drp d pâă câd cs rscă plul orm d d î B D B ducm po prll l d ş oăm cu cs rscţ r d ducm o prllă l OB ş oăm cu rscţ cu d d Noâd V O V O V O oţm: V V V V r V V V poră uml d compol vcorulu d după cl r drcţ Propoţ 6 Dcă vcor V V su colr uc îr să rlţ V V R * cu Osrvţ V5 Do vcor V V su colr dcă ş um dcă să u sclr * R sl îcâ V Procţ uu vcor p o ă V Pr ă îţlgm o drpă p cr s- sl u ss pov d prcurgr puclor sl Vcorl o ă s crcră d u vrsor Dţ V Numm ugh do vcor oăm pr ( V V Cosdrăm u vcor V ughul d rvlul [ π ] V B V ş o ă D d vrsor u orm d ssurl lor pov p cr-l 56
59 V u D Fg7 Dţ V Numm procţ vcorulu V p D u sclr gl cu produsul dr modulul vcorulu cosdr ş cosusul ughulu orm d cs vcor cu D Noăm: V cos( V D su pr u V V cos( V u pr D V Procţ uu vcor p o ă s u sclr pov su gv după cum ughul dr vcor ş vrsorul s scuţ su ou Eprs lcă vcorlor D D D Să cosdrăm r drp cocur îr-u puc O ş orogol două câ două Orăm cs r drp cu uorul vrsorlor sl îcâ rdul O ( să drc dcă u osrvor su d- lugul vrsorulu cu cpul î ssul lu să osrv suprpur vrsorulu ps d l drp spr sâg după u ugh d O O O o 9 Fgur gomrcă sl cosruă s umş rpr cr orogol r l s oă d oc cu Să cosdrăm u puc M î spţu M M M O M Fg8 Vcorul OM s umş vcor d poţ l puculu M Dscompum cs vcor după drcţl lor O O O sl oţm: OM OM OM OM OM OM OM poră uml d compol vcorl l vcorulu OM Compol vcorulu d poţ l lu M d colr cu vrsor csor să sclr sl îcâ OM OM ş dc OM OM 57
60 Dţ V Sclr cr pr poră uml d compol su coordol sclr l vcorulu OM O oţ chvlă pru vcorul OM s c cr prcă dor compol sclr l vcorulu dcă: OM ( Rlţ OM poră uml d prs lcă vcorulu OM Sclr s umsc coordol cr l puculu M; poră uml d scsă s umş ordo r co puculu M Fcăru puc d spţu î corspud î mod uc u rpl (ordo d umr rl coodo cr l sl ş rcproc Cosdrăm cum u vcor orcr drm d coordol rmăţlor sl ( ( B (org ş vm: V B OB O Dr O r OB sl că oţm: ( ( ( V B B O Fg9 Sclr ( ( ( Trscrr lcă oprţlor sud Cosdrăm do vcor dţ pr prsl lor lc: s umsc compol sclr l vcorulu B V ş V V ; V V V V V r prs lcă: ( ( ( V Î cul sum vcor vm rlţ: V Vm m m m m m m m V r prs lcă: ( ( ( V V V Osrvţ V6 Do vcor V V su prll (colr dcă ş um dcă R V V 58 sl îcâ:
61 Produsul sclr Dţ V S umş produsul sclr do vcor V V u sclr o V clor do vcor ş cosusul ughul orm d cş dcă ( V V V V V cos V V gl cu produsul dr modull Î cul prculr l vcorlor gl oţm: V V V Propoţ V Produsul sclr do vcor r urmăorl proprăţ: Produsul sclr s ul î urmăorl suţ: Dcă cl puţ uul dr vcor s vcorul ul Câd vcor d ul su orogol dorc î cs c cosusul ughulu dr s gl cu ro D c pum dduc urmăor propoţ: codţ csră ş sucă c do vcor ul să orogol s c produsul lor sclr să ul Produsul sclr do vcor s gl cu produsul dr modulul uu vcor ş procţ clull p l dcă: V ( pr V V VV su schmâd rolurl vcorlor V V V ( pr V V Procţ uu vcor p o ă s glă cu produsul sclr dr vcorul d ş vrsorul Es comuv dcă V V V V 5 Es dsruv ţă d dur vcorlor dcă: 6 Dcă V ( V V V V V V su sclr vm:( V ( V ( ( V Osrvăm că vm urmăorl rlţ: V Cosdrăm V ş Eprs lcă produsulu sclr s: Î cul prculr l vcorlor gl oţm: V V V V V V Dducm ormul cu uorul căr pum clcul cosusul ughulu orm d do vcor (drcţ ş po prs lcă s vm: 59
62 cos cos ( V V V V V V ( V V Osrvţ V7 O codţ csră ş sucă c do vcor să orogol s: V V Dţ V5 Cosusurl ughurlor p cr l c u vcor cu l rprulu cr por uml d cosusurl drcor l vcorulu cosdr F γ ughurl p cr l c V cos cu l d coordo uc: cos( V cos cos( V cos cos ( V γ Eprs lcă vrsorulu lu V s: Empl: u V cos cos cosγ V S du vcor V ş V prcum ş ughul dr c do vcor Soluţ: Produsul lor sclr s: V V 6 ( ( Să s drm produsul lor sclr modull ş vrsor lor Modull lor su: V ( 56 V ( 5 Vrsor clor do vcor su: u V V u V V 5 5 Ughul dr c do vcor s drm cu uorul cosusulu său: V V cos( V V cos( V V V V Pru c vlor l umărulu rl m vcor V m ş V m su orogol? Soluţ: V V V V ş dc m m 6
63 Produsul vcorl Dţ V6 Produsul vcorl do vcor V V cosdrţ î csă ord s u vcor o V V prpdculr p vcor V V or sl îcâ rdul V V V V să drp (orr s dă d rgul mâ drp su urghulu dcă s ssul d îr urghulu sl îcâ vcorul V să s suprpuă ps V p drumul cl m scur r modulul s d d rlţ: ( V V V V V V s Propoţ V5 Produsul vcorl r urăorl proprăţ: Modulul produsulu vcorl s u sclr rprâd r prllogrmulu cosru p c do vcor; V V Fg D c pum dduc o ormulă pru clculul r uu rugh BC vm: σ BC B C Produsul vcorl s ulă î urmăorl suţ: V su V su V V ( V V ( V V su ( V π ; s V V V V (s comuv; ( V ( V ( ( V V V pru orc sclr ; V V V V V V V (s dsruv ţă d dur vcorlor 5 ( Eprs lcă produsulu vcorl Pord d l rlțl vd: oțm urmăor prs lcă produsulu vcorl l lu csă ord: V V V cu V î 6
64 Empl: S du vcor V ş V Să s drm vrsorul u drcţ prpdculr p plul drm d c do vcor Soluţ: Vcor dţ su colr ş dc rcțl lor drmă îr-dvăr u pl To drpl prpdculr p plul drm d vcor dţ su prll îr l sl să două drcţ (drp or cu propr d uţ u vâd drp vrsor vrsorul lu V V ş cllă vrsorul opus V V 5 sl uul d vrsor s: u 5 Clăll vrsor s: u Fd d pucl ( B ( ş ( cs îl drmă 5 Soluţ: Clculăm lugml lurlor rughulu vm: B B 8 C C 8 C să s drm prmrul ş r rughulu p cr BC BC 6 sl P BC BC B C r s dă d: σ B C 6 B C dc σ BC Produsul m V Dţ V7 Produsul m r vcor gl cu produsul sclr dr vcor V ş V ( V V V V ( V V V V cosdrţ î csă ord s u sclr o ( V V V dcă 6 V Osrvţ V7 Vlor soluă produsulu m s glă cu volumul prllppdulu cosru p c r vcor
65 V V h V V O V Fg Produsul m r vcor prs lcă: V ( V V V V Propoţ V5 Produsul m r urmăorl proprăţ: ( V V V ( V V V ( V V V ( V V cv ( c( V V V V r urmăor Es dv î orcr dr rguml sl d mplu ( V V V V ( V V V ( V V V ( V V V ( R 5 Tr vcor: dcă Empl: V dorc ş V V ( V V V su coplr dcă ş um S du r orţ: cţoă î clş pl F F 6 F 6 Să s r că o Soluţ: Folosm codţ csră ş sucă c r vcor să coplr: ( F F 6 F 6 6
66 Dulul produs vcorl V Dţ V8 Dulul produs vcorl r vcor d d gl: V V ( V V Propoţ V6 Vcorul V V ( V V V cosdrţ î csă ord s u vcor o cu V V s coplr cu vcor V V ş vrcă rlţ: V ( V V ( V V V ( V V V V cs purâd uml d ormul d dscompur dululu produs vcorl V Prolm rolv F ( B( C( Să s clcul: Prmrul rughulu BC; r rughulu BC; c Ughul B l rughulu BC; d Vrsorul drcţ vrs( C CB ; Volumul rdrulu OBC Soluţ: Prmrul rughulu BC s P BC B C BC vm: B B C C BC BC ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 sl oţm: P 8 9 BC r rughulu BC s dă d rlţ: σ BC B C B C 6 6 B BC ( ( 6 ( σ BC B C 6
67 c ˆ B BC cos B ˆ π B B BC B BC d Vrs( C CB C CB C CB C CB 6 6 C CB Vrs Volumul rdrulu V OBC s clculă olosd rlţ: mmă ( O OB OC V OBC ± 6 V V OBC OBC ± 6 5 ± 6 ( F ( m B( C( Soluț: B C BC σ BC B C 5 Să s drm m R sl îcâ r rughulu BC să ( ( m ( ( m ( ( m ( ( m ( ( ( m ( m ( m B C m 5 σ BC σ BC ( m ( m 5 ( m ( ( m 5 8m 6m 5 r rughulu v mmă uc câd prs 8m 6m 5 v mmă lâd mmul ucț d grdul do oțm: m( 8 6m 5 ( m cs mm s oț câd m sl σ m 6 ș s oț pru m dc pru ( 65
68 S cr: F ( m B( m C( Să s r că prmrul rughulu BC s cl puț gl cu 5 6 Să s l vlorl pov l lu m pru cr r rughulu BC s c Să s l volumul rdrulu OBC ş dsţ d l O l plul BC d Vlorl lu m sl îcâ pucl O B C să coplr? Soluţ: B ( ( m ( m B( m ( m ( ( m ( C( m C ( ( ( m BC ( m BC sl vm: P BC 6 m 9 m m m m P BC ( m ( m 5 m σ BC B C ( m ( m ( m m ( m ( m B C m ( m ( m B C m m B C m m σ BC m m ( ( m 8 m m 6m m m ( ( m 7m 8m m sl sgur rădăcă povă cuț s m căc l dol cor s pru m pov c Volumul rdrulu OBC s d d: V OBC ( O OB OC 6 V OBC ± 6 m m m m 6 Dr V σ d( O BC d( O ( BC Cum OBC BC BC m m σ d ( O ( BC V σ OBC BC ( m ( m m m 66 m m
69 d O B C su coplr ( O OB OC ( m ( m m su m m { } F ( m B( m C( Să s drm m R sl îcâ vcor B BC să orogol Soluţ: ( ( ( m m B m B ( ( ( m BC ( m BC Vcor B BC su orogol B BC ( m 6 m B BC6 m m 6 m m m m Cum 8< u să vlor rl l lu m pru cr vcor să orogol S cr: 5 F ( m B( C( Să s l vlorl lu m R sl îcâ prmrul rughulu BC să mm Să s l vlorl lu m R sl îcâ r rughulu BC să mmă c Să s l vlorl lu m R sl îcâ r rughulu BC să d Să s l volumul rdrulu OBC ş dsţ d l O l plul BC Esă m R sl îcâ dsț să? Dr? Esă vlor url l dsț d l O l plul BC cr să u poă oțu dr d poț lu d coordol umr rl î spțu? Esă pl BC su l orc dsță umăr url d pucul O? Vlorl lu m sl îcâ pucl O B C să coplr? Soluț: Prmrul rughulu BC s P BC B C BC vm: B C ( m B ( m ( m C 5 ( m BC BC sl oţm: ( m 5 ( m P BC Osrvăm că ( m 5 ( m 5 P BC prmrulu c s oț dcă m dcă pru m cr rpră dc vlor mmă r rughulu BC s dă d rlţ: 67
70 σ BC B C B C m m ( m B BC σ BC m ( m B C ( σ BC dc vlor mmă r s ș s oț pru m Osrvăm că ( m c ( m ( m ( m m σ BC su m d Volumul rdrulu V OBC s: ( O OB OC V OBC ± 6 m m m V OBC ± ± 6 6 d ( O ( BC V σ OBC BC m m ( m ( m d d d ( O ( BC m m m m m m ( O ( BC ( O ( BC ( m m m m m m m m ( m m m m m ( m ( m m ( m 7 7 U Ecuț dm soluț rl dcă ș um dcă ( sl pru orc vlor url l lu să puc î spțu cu coordol umr rl sl îcâ ( O ( BC d Esă vlor url l lu sl îcâ orcr r î spțu cu coordol umr rl d( O ( BC O B C su coplr ( OB OC m m O? 68
71 VI ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ VI Drp î spţu Osrvţ VI O drpă î spţu po drmă d : u puc ş o drcţ dă; două puc dsc; rscţ două pl Dţ VI Dcă d s o drpă orcr ş V d spum că s u vcor drcor l drp d Drp drmă d u puc ş d u vcor drcor ( l m Propoţ VI F ( M u puc d d spţul ucld rdmsol ş V u vcor d uc să o ucă drpă d c rc pr M ş r vcor drcor p Juscr s mdă dorc prr-u puc rc o sgură drpă prllă cu o drcţ dă (drcţ vcorulu F M u puc rrr d spțu M d M M colr cu cs lucru s rlă ( R sl îcâ: Ecuţ M M r r r r r r poră uml d cuţ vcorlă drp c rc pr pucul d vcor d poţ r ş r c vcor drcor p Cosdrâd ( l m ş procâd cuţ vcorlă p l rprulu cr cosdr oţm rlţl: l m R cs rlţ poră dumr d cuţl prmrc l drp c rc pr ( drcor p ( l m M ş r vcor Dcă d cuţl prmrc lmăm prmrul dducm şrul d rpor gl: l m c poră uml d cuţl cr coc l drp c rc pr ( ( l m M ş r c vcor drcor p Osrvţ VI Fcm urmăor prcr: dcă umorul uu rpor s uc umărăorul corspuăor ru să s ul Drp drmă d două puc dsc M două puc dsc d d spţul ucld rdmsol Pr Propoţ VI F ( cl două puc rc o drpă ucă l căr cuţ cr su: Juscr s mdă dorc u vcor drcor pru drp căuă s vcorul ( ( ( MM 69
Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.
ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL F R lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Cuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...
Cuprs Preţă Meod elmăr complee Guss Jord Spţ vecorle Noţue de spţu vecorl Depedeţ ş depedeţ lră ssemelor de vecor 8 Ssem de geeror Bă uu spţu vecorl Coordoele uu vecor îr-o bă dă Subspţul vecorl geer de
7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
x (s-a neglijat curentul de câmp faţă de cel de difuzie, tranzistor fără câmp intern) * ecuaţiile de continuitate (valabile pentru orice x şi t ):
D omlr TP N. oţ.6. omlr TP. ţl ş modll brs-oll * s d ţ ş modl vlbl r or rgm d ţor - s drmă lgăr dr rţ ş sl l l bor * oz smlor: - rzsor oţ l l dmsol ' - bz m slb doă mrăţ >> - lgml zolor r l morl ş olorl
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
9. UTILIZAREA TRANSFORMATELOR LAPLACE ŞI Z ÎN STUDIUL SEMNALELOR
9. UIIAREA RASFORMAEOR APACE ŞI Î SUDIU SEMAEOR rform Forr (ră ş vră) rlă o rformr rprăr ml oml mp î oml frvţă ( ω) ş vr. Grlâ vrbl mgră ω omplă: σ ω (frvţ omplă), obţ mol m grl rprr mllor, m rform pl.
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Functii de distributie in fizica starii solide
uc sbu zc s sol I cusul zc solulu s- olos c uc sbu -Dc D u sc obbl ocu cu lco l o slo -u l uc sbu Mwll-olz M u sc obbl ocu cu lco slo -u scouco cul u scouco sc uc sbu os-s Plc czul oolo s o uc sbu o cs
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
cele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
The Multi-Soliton Solutions to The KdV Equation by Hirota Method
Progrss Appld Mhcs Vol. 8, o., 4, pp. -5 OI:.968/69 ISS 95-5X [Pr] ISS 95-58 [Ol].cscd..cscd.org Th Mul-Solo Soluos o Th KdV Equo y Hro Mhod MA L [],* [] pr of Mhcs Sccs, zhou Uvrsy, zhou, Ch. *Corrspodg
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
CAPITOLUL IV SERII FOURIER
CAPITOLUL IV SERII FOURIER Sr Fourr ptru uţ Fuţ prod Trsormt prodă Dzvotr î sr Fourr u uţ prod u prod Empu Fuţ prod osttu u d s d uţ r dtortă proprtăţor or trv rvt î dvrs prom tort ş prt U mjo d rprztr
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare
IV6 Sseme de ecuţ lre IV6 Defţ Noţ Ssemele de ecuţ lre erv prope î oe domele memc plce Î uele czur, ele pr î mod url, d îsăş formulre proleme Î le czur, ssemele de ecuţ lre rezulă d plcre uor meode umerce
τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
METODE NUMERICE APLICAŢII
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE
7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE S numş funcţi (prous) convoluţi în imp smnllor şi ingrl: f ( ) Noţi conscră prousului convoluţi în imp s urmăor: no Convoluţi unui smnl cu (7.) (7.) δ su u conuc l rzul
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I
CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((
? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b
Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci
3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
3. TEHNICI DE MODULAŢIE DIGITALĂ. MODULATORE & DEMODULATOARE Semnale BPSK (Binary Phase Shift Keying) Semnalul transmis are.
3. HICI D ODULŢI DIGILĂ. ODULOR & DODULOR 3.. ml BK Biry h hi Kyig mlul rmi r - Dl rmi ±, [ k, k ] - mpliui - coă, ur i - Frcvţ - - Fz glă cu u upă cum - rmi /- BK co co, co co, oulorul. Dmoulorul. Rcr
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
PARTS LIST. 1. EXPLODED VIEW 1.1 FINAL ASSEMBLY <M1> The instruction manual to be provided with this product will differ according to the destination.
ARTS IST SATY RCAUTIO arts identified by the symbol are critical for safety. Replace only with specified part numbers. BWAR O BOUS ARTS arts that do not meet specifications may cause trouble in regard
MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector
s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.
Mesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη
Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael
SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2
SKEMA PERCUBAAN SPM 07 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS SOALAN. a) y k ( ) k 8 k py y () p( ) ()( ) p y 90 0 0., y,, Luas PQRS 8y 8 y Perimeter STR y 8 7 7 y66 8 6 6 6 6 8 0 0, y, y . a).. h( h) h h h h h h 0
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE
Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia
SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %
➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I
tr 3 P s tr r t t 0,5A s r t r r t s r r r r t st 220 V 3r 3 t r 3r r t r r t r r s e = I t = 0,5A 86400 s e = 43200As t r r r A = U e A = 220V 43200 As A = 9504000J r 1 kwh = 3,6MJ s 3,6MJ t 3r A = (9504000
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức
SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul
SONATA D 295X245. caza
SONATA D 295X245 caza 01 Γωνιακός καναπές προσαρμόζεται σε όλα τα μέτρα σε όλους τους χώρους με μηχανισμούς ανάκλησης στα κεφαλάρια για περισσότερή αναπαυτικότητα στην χρήση του-βγαίνει με κρεβάτι η χωρίς
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2
ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS
Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées
Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Noureddine Rhayma To cite this version: Noureddine Rhayma. Contribution à l évolution des méthodologies
4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
Probabilităţi şi statistică. Nicoleta Breaz - coordonator Lucia Căbulea Ariana Pitea Gheorghe Zbăganu Rodica Tudorache
roltăţ ş sttstcă Ncolt Brz - coordotor Luc Căul r t Ghorgh Zăgu Rodc Tudorch Io Rs dtur StudIS dctr@hooco Is Sos Stf cl Mr r5 Tl/f: 775 Dscrr CI Blotc Nţol Roâ COORDONTOR: NICOLT BRZ Luc Căul r t Ghogh
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
4. Interpolarea funcţiilor
Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ υπ Άρ. 62 τής 19ης ΜΑΙΥ 1961 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ III ΚΙΝΤΙΚΙ ΝΜΙ ΤΥΡΚΙΚΗΣ ΚΙΝΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΎΣΕΩς Ό κττέρ νόμς της Τυρκικής Κιντικής Συνελεύσεις όστις υπεγράφη
2. Functii de mai multe variabile reale
. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
Na/K (mole) A/CNK
Li, W.-C., Chen, R.-X., Zheng, Y.-F., Tang, H., and Hu, Z., 206, Two episodes of partial melting in ultrahigh-pressure migmatites from deeply subducted continental crust in the Sulu orogen, China: GSA
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)